Chapitre 6 : Notion de fonction, fonctions linéaires et affines.

I. Notion de fonction, vocabulaire, notations.

Def 1 : Une fonction est un outil mathématique qui à un nombre fait correspondre un autre nombre. Le premier nombre est souvent noté x et s’appelle l’antécédent. Le second nombre est souvent noté y et s’appelle l’image. Sur un graphique, les antécédents sont en abscisse et les images en ordonnée.

Notations :

( )

( )

y f x

x f x

x y

=

֏

֏

La flèche ֏ signifie « a pour image » et est aussi utilisée en géométrie.

y (noté aussi ( )f x ) est l’image de x par la fonction f .

x est l’antécédent de y par la fonction f .

Graphiquement on a :

fC est la représentation graphique (ou courbe représentative) de la fonction f .

Chaque point M de cette courbe a pour abscisse un antécédent, et pour ordonnée l’image

correspondante par la fonction f .

II. Rappels sur la proportionnalité et interprétation graphique.

Def 2 : Un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité lorsque l’on « passe » de la 1° à la 2° ligne en multipliant tous les nombres de la première ligne par le même coefficient. Ce coefficient peut être relatif, décimal fractionnaire... On l’appelle coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Poids de tomates acheté (kg)

2 5 7 3

Prix à payer (Euros)

3 7,5 10,5 4,5

Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix au kg, soit 1,5.

Rque1 : on peut aussi voir un tableau de proportionnalité comme des écritures fractionnaires égales, qui ont toutes la même valeur.

Ici, on a 2 5 7 3

3 7,5 10,5 4,5= = = .

Cependant, calculer une écriture fractionnaire aboutit souvent sur une valeur approchée, donc sur une approximation. Interprétation graphique de la proportionnalité :

Pté 1 : Si on place sur un graphique les points qui correspondent à un tableau de proportionnalité, on obtient des points alignés sur une droite qui passe par l’origine. Réciproquement, une droite qui passe par l’origine représente toujours une proportionnalité.

III. Fonctions linéaires.

Def 3 : Soit un nombre donné k.

La fonction linéaire de coefficient k est la fonction « qui multiplie par k ». :f x kx֏ .

On note aussi ( ) ou .f x kx y kx= =

L’image y ou ( )f x est obtenue en multipliant par k l’antécédent noté x.

Exemple pour k = - 5 :

( ) 5 ou : 5

(2) 5 2

1 1 55 .

3 3 3

f x x f x x

f

f

= − −

= − ×

− = − × − = +

֏

L’antécédent de 10 est 2 car (2) 10.f =

Remarque fondamentale : une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire. Réciproquement, toute fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

Pté 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

(Voir figure au paragraphe II).

IV. Fonctions affines.

Def 4 : Soient a et b deux nombres donnés. La fonction « qui multiplie par a, puis ajoute b au résultat » est une fonction affine.

:f x y ax b= +֏ .

Le nombre a s’appelle coefficient directeur et le nombre b ordonnée à l’origine.

On note aussi ( ) ou .f x ax b y ax b= + = +

L’image y ou ( )f x est obtenue en multipliant par a l’antécédent noté x, puis en ajoutant b au résultat.

Exemple : Considérons f : x֏ 3x+1.

On fait un tableau de valeurs : x -2 -1 0 2

y=3x+1 -5 -2 1 7

On place dans un repère les points dont on a calculé les coordonnées (x ; y) grâce au tableau de valeurs (en réalité, comme c’est une droite, deux points suffiront).

L’interprétation du coefficient directeur « a » est la même que pour une fonction linéaire : il traduit l’inclinaison de la droite par rapport à l’horizontale. Quant à « b », que l’on appelle « ordonnée à l’origine », il permet de savoir où la droite croise l’axe des ordonnées (c’est donc l’ordonnée du point de la droite situé au-dessus de l’origine). Pour une fonction affine, l’équation de la droite

est de la forme D y = ax+b.

Dans cet exemple, on a donc : D y = 3x+1.

Pté 3 : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, qui ne passe pas nécessairement par l’origine du repère.

Remarque 1 : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, où b=0. Remarque 2 : Si on prend deux valeurs distinctes quelconques de x (on les notera x et x’) et les valeurs correspondantes de y (on les notera y=f(x)=ax+b et y’=f(x’)=ax’+b), on peut calculer le coefficient directeur a de la fonction affine comme ceci :

' ( ') ( ) différence des ordonnées

' ' différence des abscisses

y y f x f xa

x x x x

− −= = =

− −

On dit qu’il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et les accroissements de x (voir livre p.148). Remarque 3 : Si a>0, on dit que la fonction f est croissante ; si a<0, on dit que la fonction f est décroissante ; si a=0, la fonction f est constante. Remarque 4 : Ce chapitre est fondamental pour la classe de seconde.