Chapitre 7: Forces centrales - Université Paris-Saclay...K E p r - 2 2 0 p,eff 2 mr K L E r - Nous allons surtout nous intéresser au cas K>0 et nous allons étudier les trajectoires

Chapitre 7: Forces centrales

Introduction

1

En présence d’une force centrale dérivant d’une énergie potentielle (seul cas considéré dans ce

chapitre), le mouvement du point matériel M peut-être parfaitement décrit. Dans le cas

particulier d’une force en « 1/r2 » (force de gravitation, force électrique), la trajectoire est une

conique (ellipse, parabole ou hyperbole).

http://www.space.com/23782-comet-ison-is-alive-survives-sun-swing-video.html

Trajectoire de la comète ISON lors de son passage au plus près du SOLEIL entre le 28 Novembre et le 1er décembre 2013

Photos prises par le sattelite SOHO



















Chapitre 7: Forces centrales

I Caractéristiques d’un mouvement à force centrale

II Energie potentielle effective

III Application à une force en « 1/r2 »

2

Chapitre 7: Forces centrales I CARACTERISTIQUES D’UN MOUVEMENT A FORCE CENTRALE

1) Planéité de la trajectoire

Soit une force centrale (dérivant d’une énergie potentielle) dont le centre est O.

Dans tout ce chapitre, on supposera le référentiel galiléen. On en déduit que le

moment cinétique en O est conservé.

3

F

v

O

M

OM

OL

Plan contenant et à chaque instant

OMv

pOMvmOMLO

OMLO

vLO

Le déplacement d’une particule soumise à une force centrale s’effectue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique.


2) Loi des aires

4

O

OL

http://www.youtube.com/watch?v=uzTq94bF6jo

Plus le satellite est proche de la Terre et plus il tourne vite. Lorsque la trajectoire est circulaire, il se déplace à vitesse constante.

A1 A1

Les deux aires colorées ont la même surface

Loi des aires : steOC

2m

L

dt

dA

Le rayon vecteur (d’origine O) balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.

v

v


3) Lois de conservation

5

La force est centrale et on suppose qu’elle ne dépend que de et qu’elle dérive

d’une énergie potentielle Ep. On utilise les coordonnées polaires pour repérer le point

dans le plan de la trajectoire (perpendiculaire au moment cinétique).

-) L’énergie mécanique est donc conservée :

(on peut vérifier que si on dérive cette expression par rapport au temps, on retrouve le PFD)

-) Le moment cinétique est conservé :

OMr

urur r

v 2222 θrrv

0p222

p2

pcm rEθ rrm2

1rEmv

2

1EEE EC ste

steC z2

0 u θ r mL

Nous venons d’écrire deux constantes du mouvement. Il y a deux inconnues, r(t) et (t) et nous avons deux équations, on peut donc déterminer ces deux fonctions ainsi que l’équation de la trajectoire r().

Chapitre 7: Forces centrales II ENERGIE POTENTIELLE EFFECTIVE

1) Energie potentielle effective

6

La deuxième relation permet d’exprimer en fonction de r et de constantes. En la

réintroduisant dans la première équation, il apparaît une équation différentielle qui ne

dépend que de r et de ses dérivées par rapport au temps.

θ

θ r mL

rEθ rrm2

1

20

0p222

E

2

O

0p2

202

r m

Lθ

rEr m 2

Lr m

2

1

E

rE effp, ne dépend que de r

ne dépend que de r


1) Energie potentielle effective

7

2

20

peffp,r m 2

LrErE s’appelle l’énergie potentielle effective

2

20

r m 2

L s’appelle la barrière centrifuge car elle empêche la particule de s’approcher infiniment près de O

0effp,2 rEr m

2

1E


2) Particule soumise à une force attractive

8

Si la force est attractive, l’énergie potentielle est nécessairement une fonction croissante de r.

Physiquement, on choisit l’énergie potentielle nulle pour r tendant vers l’infini. Donc pour

tout r, l’énergie potentielle est négative.

On ne s’intéresse ici qu’à connaître le type de trajectoire de la particule (résolution graphique)

0effp,2 rEr m

2

1E

rE effp,

rEp

0 2

20

r m 2

L

r

Energie

E0

Suivant la valeur de E0, il y a des solutions ou pas et le type de trajectoire dépend de E0.



9

0rEr m2

1effp,0

2 E

rE effp,

r

Energie

E0

mineff,p,0effp, ErE

r0

mineff,p,0effp,0 ErEE

Pas de solution



10

0rEr m2

1effp,0

2 E

rE effp,

r

Energie

E0

mineff,p,0effp, ErE

r0

mineff,p,0effp,0 ErEE

A tout instant, r=r0. La trajectoire est donc un cercle de rayon r0.



11

0rEr m2

1effp,0

2 E

rE effp,

r

Energie

E0

mineff,p,E

r0

0ErE 00effp,

La distance à O, r, ne peut varier qu’entre deux valeurs rmin et rmax. La trajectoire est donc une trajectoire fermée (ellipse par exemple). Aux instants où la particule atteint les deux extrema de sa trajectoire (r=rmin ou r=rmax), ce qui ne veut pas dire que l’énergie cinétique est nulle !!!

0r

Remarque : plus E0 est proche de 0, plus rmax augmente et tend vers l’infini



12

0rEr m2

1effp,0

2 E

rE effp,

r

Energie

E0

mineff,p,E

r0

0E0

La distance à O, r, ne peut être que plus grande qu’une valeur minimale rmin. La trajectoire est donc une trajectoire ouverte (branche d’hyperbole par exemple). Aux instants où la particule atteint le minimum de sa trajectoire (r=rmin), ce qui ne veut pas dire que l’énergie cinétique est nulle !!!

0r



13

0rEr m2

1effp,0

2 E

rE effp,

r

Energie

E0

mineff,p,E

r0

Selon la valeur de E0, la trajectoire peut être une trajectoire fermée (un cercle éventuellement) ou ouverte.


3) Particule soumise à une force répulsive

14

Si la force est répulsive, l’énergie potentielle est nécessairement une fonction décroissante de r.

Physiquement, on choisit l’énergie potentielle nulle pour r tendant vers l’infini. Donc pour tout r,

l’énergie potentielle est positive.

On ne s’intéresse ici qu’à connaître le type de trajectoire de la particule (résolution graphique)

0effp,2 rEr m

2

1E

rE effp,

rEp

0 2

20

r m 2

L

r

Energie

E0

Suivant la valeur de E0, il y a des solutions ou pas et le type de trajectoire dépend de E0.



15

rE effp,

rEp2

20

r m 2

L

r

Energie

E0

0rEr m2

1effp,0

2 E

0E0

Pas de solution



16

rE effp,

rEp2

20

r m 2

L

r

Energie

E0

0rEr m2

1effp,0

2 E

0E0

La distance à O, r, ne peut être que plus grande qu’une valeur minimale rmin. La trajectoire est donc une trajectoire ouverte (branche d’hyperbole par exemple). Aux instants où la particule atteint le minimum de sa trajectoire (r=rmin), ce qui ne veut pas dire que l’énergie cinétique est nulle !!!

0r



17

rE effp,

rEp2

20

r m 2

L

r

Energie

E0

0rEr m2

1effp,0

2 E

La trajectoire est nécessairement une trajectoire ouverte.

Chapitre 7: Forces centrales III APPLICATION A UNE FORCE EN 1/r2

1) Introduction

18

Parmi les quatre forces fondamentales dans l’Univers , deux varient en 1/r2: -) la force de gravitation -) la force électrique

On peut écrire : avec K>0 pour la force de gravitation et la force

électrique si Qq<0, sinon K<0.

On peut en déduire l’énergie potentielle :

ur

MmG F

2g

ur

Qq

4

1 F

20

e

ur

K- F

2

r

K- rEp

2

20

effp,r m 2

L

r

K-rE

Nous allons surtout nous intéresser au cas K>0 et nous allons étudier les trajectoires qui sont des coniques.


2) Coniques

19

Une conique est une courbe obtenue à l’intersection entre un cône et un plan. Ainsi , on obtient une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique

Définition géométrique :

F F F F’ F’

2aMF’FM 2aMF’FM

ellipse parabole hyperbole

http://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/conique/36235

Une conique est caractérisée par un centre O, deux foyers F et F’ et deux paramètres : a et b en cartésiennes ; e et p en polaires


2) Coniques

20

ELLIPSE :

A

B

A’

B’

x

y

F F’

b a

c

p

Cartésiennes :

Polaires :

1b

y

a

x2

2

2

2

cosθ e1

pr

O

222 bac

a est le demi-grand axe, b est le demi-petit axe

1e

Relations : ae1a

bp 2

2

a ec


2) Coniques

21

HYPERBOLE :

A A’

x

y

F F’ a

c

p

Cartésiennes :

Polaires :

1b

y

a

x2

2

2

2

cosθ e1

pr

O

222 bac

1e

Relations : a 1-ea

bp 2

2

a ec

asymptotes : ou xa

by

e

1θ cos 0

0θ


2) Coniques

22

PARABOLE :

x

y

F F’ p/2

p

Cartésiennes :

Polaires :

2pxy2

θ cos1

pr

O

1e


3) Lois de Képler

23

Ces lois de Kepler ont été établies vers 1610. Elles concernent le système solaire mais s’appliquent à tout système régi par la force de gravitation et peut se généraliser au cas de la force électrostatique. 1ère loi : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un foyer. 2ième loi (loi des aires) : le rayon vecteur issu du Soleil balaye des aires égales pendant des temps égaux. 3ième loi : les carrés des temps de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes des ellipses.


4) Nature des trajectoires

24

En utilisant les lois de Kepler, on peut montrer que la force de gravitation est en 1/r2.

Réciproquement, en utilisant la RFD, on peut montrer que la trajectoire est une

conique.

En effet, . Si on pose , on en déduit

l’équation du mouvement (formule de Binet) :

qui définit le paramètre p. Cette équation différentielle admet comme solution :

En choisissant bien l’axe polaire, on peut prendre 0=0 et u0>0. En posant e=pu0, on

obtient : qui est l’équation d’une conique (en polaires).

r2

r2u θr-r m a mu

r

K- F

θr

1θu

pL

kmu

1

dθ

θud20

2

2

p

1θθcosuθu 00

cosθ e1

pr


5) Energie totale

25

On peut maintenant calculer l’énergie totale de la planète, comète…électron autour

du noyau….

En calculant E0-Ep(r), et en utilisant le fait que la trajectoire est une conique, on en

déduit :

De même, et donc

En utilisant la relation entre p, e et a pour une ellipse ou une hyperbole, on a :

r2

r2u θr-r m a mu

r

K- F

steste20

p Cr

kC

mpr

LrE

cosθ e1

pr

steCd

drE

rEθ rm

2

1rEθ rrm

2

1p

22

2

p222

0

2

220

20

c2mp

1eL

mpr

LrE

p

1ek

2

1

2mp

1eLE

2

2

220

0

1e si 2a

kE

1e si 2a

kE

0

0


5) Energie totale

26

rE effp,

r

Energie

E0=0 : e=1, parabole

E0>0 : e>1, hyperbole

E0<0 : 0<e<1, ellipse e=0, cercle

1e si 2a

kE

1e si 2a

kE

0

0


6) Période du mouvement

27

Dans le cas d’une ellipse, le mouvement est périodique de période T. La loi des aires

permet de déterminer la relation entre T et a :

La surface d’une ellipse est ab. On en déduit que : . Sachant que

et que

On obtient la troisième loi de Kepler :

ste0 C2m

L

dt

dA

b a πT2m

L0 kmp

L20

22222 e1acab

k

m

a

T 2

3

2 4

Chapitre 7: Forces centrales IV RESUME

28

Dans un mouvement à force centrale, la trajectoire est plane. La loi des aires est

toujours vérifiée. L’énergie mécanique et le moment cinétique sont conservés.

Lorsque la force est attractive, la trajectoire est soit fermée soit ouverte alors que pour

une force répulsive, on ne peut avoir que des trajectoires ouvertes.

Dans le cas d’une force en 1/r2 attractive,

r

Energie

E0=0 : e=1, parabole

E0<0 : 0<e<1, ellipse

e=0, cercle

1e si 2a

kE

1e si 2a

kE

0

0

E0>0 : e>1, hyperbole

k

m

a

T 2

3

2 4

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Chapitre 7: Forces centrales - Université Paris-Saclay...K E p r - 2 2 0 p,eff 2 mr K L E r - Nous allons surtout nous intéresser au cas K>0 et nous allons étudier les trajectoires