CHAPITRE 7

Triangles et droites parallèles

Objectifs:

- Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle.

- Connaître et utiliser le théorème de Thalès dans le triangle.

Thalès serait né autour de 625 avant J.C. à Milet en Asie Mineure (actuelle Turquie).

Considéré comme l'un des sept sages de l'Antiquité, il est à la fois mathématicien, ingénieur, philosophe et homme d'Etat mais son domaine de prédilection est l'astronomie.

Il aurait prédit avec une grande précision l'éclipse du soleil du 28 mai de l'an - 585.

Ce n'est peut-être qu'une légende, Thalès en explique cependant le phénomène.

Curieusement, le fameux théorème de Thalès (vu en 4e) n'a pas été découvert par Thalès.

Il était déjà connu avant lui des babyloniens et ne fut démontré qu'après lui par Euclide d'Alexandrie.

I. Théorèmes des milieux1) Les 1er et 2ème théorèmes des milieux

A

B C

I est le milieu de [AB]

I

J est le milieu de [AC]

J Que constate-t-on ?

(IJ) // (BC)

Le 1er th. des milieuxDans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

et BC = 2 x IJ

Le 2ème th. des milieuxDans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

2) Le 3ème théorème des milieux

A

B

C

I est le milieu de [AB]

ILa droite (d) passant par I est parallèle à (BC)

(d)

Que constate-t-on ?

J

(d) coupe [AC] en son milieu J.

Le 3ème th. des milieux Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.

II. Le « petit »théorème de Thalès

Dans un triangle ABC, où M appartient à [AB] et N appartient à [AC],

Si (MN) est parallèle à (BC) Alors AM AN MNAB AC BC

A

B

C

M

N

AMAB

ANAC

MNBC

Exemple : Sur la figure ci-dessous, (CF) et (DE) sont parallèles.

Calculer la longueur BD.

Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.

E

D

C

BF

7 cm

3 cm 4 cm

Comme: - C appartient à [BD]

- F appartient à [BE]

- (CF) et (DE) sont parallèles

d’après le théorème de Thalès, on a :

BC BF CFBD BE DE

x x

4 3Donc

BD 7

Produit en croix BD = 4 x 7 ÷ 328

Donc BD3

ou encore BD 9,3cm

III. Agrandissement et réduction

A

C

BB ’

C ’ Le triangle AB’C ’ est un agrandissement du triangle ABC.

Pour obtenir le triangle AB’C ’, toutes les longueurs du triangle ABC sont multipliées par un même nombre  k appelé le coefficient d’agrandissement.

On a ainsi : AB ’ = k x AB

AC ’ = k x AC

B’C ’ = k x BC

On retrouve la formule de Thalès :AB' AC' B'C'

kAB AC BC

Remarque : les longueurs des côtés du triangle AB’C’ sont proportionnelles aux longueurs des côtés du

triangle ABC.