Géométrie vectorielleI- Translation et notion de vecteur   :

1) Vocabulaire

- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut nommer

indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..

Activité   :

Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi passer dela position 1à la position 2 , en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans le sens qui lefera monter et de la distance qui sépare les deux positions.

On peut donc considérer que la position 2 constitue une image de la position 1après un certain temps.En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.Le glissement a été effectué :

- dans la direction de la droite ….- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche- d’une longueur égale à …………

On dit que le dessin en position 2 est l’image du dessin en position 1 par la translation quitransforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur A⃗B.Cette translation transforme le point C en le point……Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du quadrilatère ABDC ?……………………………………………………………………………………………………..

2) Translation   :

Définitions : A et B sont deux points du plan.- A tout point M du plan, on associe par la translation qui

transforme A en B, un unique point M’ tel que [AM’] et [BM] ont le même milieu.On dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme

A en B.- La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de vecteur A⃗B. On dit

alors que M’ est l’image du point M par la translation de vecteur A⃗B.

3) Vecteur   :

Définition : Si D est l’image de C par la translation de vecteur A⃗B alors on dit que les vecteurs A⃗B et C⃗D sont égaux. On note A⃗B = C⃗ D.

2 3 4 5 6

2

3

0 1

1

x

y

A B

DC

AB

CD

Propriété (admise) : A⃗B = C⃗D équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Vocabulaire :Si la translation de vecteur A⃗B transforme C en D et aussi E en F, alors on a : A⃗B = C⃗D = ¾¾\s\up8(\d\fo2(On dit que les vecteurs A⃗B, C⃗D et ¾¾\s\up8(\d\fo2( sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut également nommer ¾\s\up6(\d\fo1( par exemple (on n’est pas obligé de donner un nom aux points extrêmes du vecteur).Un vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( a donc une infinité de représentants dans le plan. 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

0 1

1

x

y

A B

DC

u

u

E Fu

u

Exemple 1 :La figure est constituée de parallélogrammes. 1) Donner trois vecteurs égaux à  :…………………………………………………………………………….2) Compléter : ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2(.3) Donner le représentant d’origine D du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( : ………………….4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( : ……………….Exemple 2 :

A

B

C

D

E

F

1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur A⃗B et E’, image de E par la translation de vecteur A⃗B.

2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

Propriété : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si A⃗I= I⃗B

Exercices :

4) Vecteurs particuliers   :

- Le vecteur nul, noté ¾¾\s\up8(\d\fo2(, est le vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2(, … (l’origine et l’extrémité du vecteur sont confondues : « on ne se déplace pas dans le plan. »)On a : ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\

fo2( = …- L’opposé du vecteur A⃗B est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; on le

note − ¾¾\s\up8(\d\fo2( ou ¾¾\ s\up8(\d\fo2(. On a : − A⃗B = B⃗A

Exemple :La figure est constituée de parallélogrammes. 1) Donner trois vecteurs opposés au vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( :……………………………………………………………………...........2) Compléter : − ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ….. = ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( = … = ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

Exercices : II- Addition de vecteurs   :

2 3 4 50 1

1

x

yA B

DC

AB

u

E Fu

u

v⃗

u⃗

vu⃗⃗

1) Définition : u⃗ et v⃗ désignent deux vecteurs et A un point.Si la translation de vecteur u⃗ associe à A le point B et si la translation de vecteur v⃗ associe à B le point C alors la translation qui transforme A en C est dite translation de vecteur u⃗+ v⃗ .

La somme des deux vecteurs u⃗ et v⃗ est donc le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur u⃗ et de vecteur v⃗ . On note ce vecteur u⃗+ v⃗ .

2) Construction   :

Relation de Chasles : Quelques soient les points A, B et C : +=

En pratique : On dispose bout à bout le représentant ¾¾\s\up8(\d\fo2( de ¾¾\s\up8(\d\fo2( et le représentant ¾¾\s\up8(\d\fo2( de ¾¾\s\up8(\d\fo2(

Propriété :Si u=A B⃗ et v⃗=A C⃗ , alors u+ v⃗=A D⃗ où ABDC parallélogramme.

En pratique : pour construire la somme u⃗+ v⃗ , on représente ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( à partirdu même point origine A. Si ¾\s\up6(\d\fo1( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( et ¾\s\up6(\d\fo1( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( alors on construit le parallélogramme de côtés [AB]et [AC]. ¾\s\up6(\d\fo1(+¾\s\up6(\d\fo1(= ¾¾\s\up8(\d\fo2( où [AD] est la diagonale de ABDC.

Exemple 1 :1) Construire le représentant d’origine A du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( + ¾\s\up6(\d\fo1(.2) Construire un représentant du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.3) Construire le point M tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾\s\up6(\d\fo1( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.4) Construire le point N tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2(+ ¾¾\s\up8(\d\fo2(.5) Construire le point P tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.6) Construire le point R tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.7) Construire le point S tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.8) a) Construire le point T tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(. b) Justifier que ATBC est un parallélogramme.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1

1

x

y

A

B

C

u

v

w

t

Exemple 2 :ABCD est un rectangle de centre I.1) Construire le représentant d’origine C du vecteur u⃗=A⃗B+C⃗I+ B⃗C .2) Démontrer que u⃗=A⃗I

Exemple 3 :1) Compléter :

I⃗J= I⃗B+ B⃗ . . . C⃗D=.⃗ . . A+ A⃗ . . . M⃗N=.⃗ . . P+ .⃗ . . . .. .⃗ .. E=F⃗ .. .+G⃗ . . . H⃗ . ..=.⃗ . .. . .+ I⃗JA⃗B+C⃗D+B⃗C=.⃗ . . . .. A⃗B=.⃗ .. C+ .⃗ . . D+ .⃗ .. . ..2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :u⃗=A⃗C+ C⃗A+C⃗Bv⃗= A⃗B− A⃗C+ D⃗Cw⃗= A⃗B+B⃗C +C⃗Ax⃗= A⃗B− A⃗C+ B⃗C−B⃗A

Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par O⃗E=O⃗A+O⃗B et O⃗F=O⃗B+O⃗C . 1) Faire une figure.2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.

3) Différence de deux vecteurs   :

Définition : La différence des vecteurs ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( est le vecteur noté ¾\s\up6(\d\fo1( − ¾\s\up6(\d\fo1( ; c’est la somme du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( et de l’opposé du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( : ¾\s\up6(\d\fo1( − ¾\s\up6(\d\fo1( = ¾\s\up6(\d\fo1( + (− ¾\s\up6(\d\fo1() où − ¾\s\up6(\d\fo1( est l’opposé du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1(.

Exemple : Construire le vecteur ¾\s\up6(\d\ fo1( − ¾\s\up6(\d\fo1(.

III- Coordonnées d’un vecteur dans un repère   :

Soit (O; I, J) un repère du plan.

1) Définitions   :

Le couple (xM ; yM) de coordonnées du point M est aussi le couple de coordonnées du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2(. On note ¾¾\s\up8(\d\fo2( (xM ; yM) ou

¾¾\s\up8(\d\fo2( les coordonnées d’un vecteur peuvent être écrites en ligne ou en colonne

2 3 4

2

0 1

1

x

y

u

A

B

C

D

v

Pour différencier des coordonnées d’un point, les coordonnées d’un vecteur seront notées verticalement.

xM  est l’abscisse du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( et yM est l’ordonnée du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

Les coordonnées d’un vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( sont les coordonnées du point M tel que ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾\s\up6(\d\fo1( : Si M (xM ; yM) alors ¾\s\up6(\d\fo1( a aussi pour coordonnées (xM ; yM).

On note ¾\s\up6(\d\fo1( . xM  est l’abscisse du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1(, yM est l’ordonnée du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1(.

Exemple 1 :1) Dans le repère (O ; ¾\s\up7(\d\fo1( ; ¾\s\up7(\d\fo1() ci contre, donner les coordonnées des points O, I, J et M, des vecteurs ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2( , ¾\s\up7(\d\fo1(, ¾\s\up7(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1(.

3) Tracer un représentant de chacun des vecteurs : ¾\s\

up6(\d\fo1((−1 ¿ ) ¿¿

¿¿ et ¾¾\s\up8(\d\fo2(

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿.

Exemple 2 :

Lire les coordonnées des vecteurs : A⃗B , C⃗D ,E⃗F et G⃗H .

……………………………………………………………

……………………………………………………………

i

j

M

O

u

Exemple 3 :

On se place dans un repère orthonormé (O ; I, J)1) Placer les points A(−1 ; 2), B(3 ; 0) et C(0 ; −3).2) Placer les points D et E tels que ¾¾\s\up8(\d\fo2( (2 ; −1) et

¾¾\s\up8(\d\fo2( 3) Tracer un représentant des vecteurs ¾\s\up6(\d\fo1( (3 ; −2) et¾\s\up6(\d\fo1((2,5 ; 2)4) Placer les points M et N tels que ¾¾\s\up8(\d\fo2( =¾\s\up6(\d\fo1( et ¾¾\s\up8(\d\fo2( = -¾\s\up6(\d\fo1(.

2) Coordonnées d’un vecteur   :

Théorème : Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur

¾¾\s\up8(\d\fo2( sont : ¾¾\s\up8(\d\fo2(Démonstration :

Exemples : Soient A(3 ; 2), B(−2 ; 4) et C(−1 ; −3). Calculer les coordonnées des vecteurs ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2( et ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

Exercices :

IV- Egalité de deux vecteurs   :

Théorème (admis): Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

En langage mathématique : ⇔

Exemples : On travaille dans un repère (O; I, J).

1) Soient A(3 ; −1) et ¾\s\up6(\d\fo1((−2 ¿ ) ¿¿

¿¿. Calculer les coordonnées de B tel que ¾¾\s\

up8(\d\fo2( = ¾\s\up6(\d\fo1(.

2) Soient A(5 ; 6), B(−7 ; 1), C(5 ; −3) et D(−7 ; −8). Montrer que ABDC est un parallélogramme.

3) Soient A(3 ; 2), B(−2 ; 4) et C(−1 ; −3). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercices :

3) Coordonnées   :

Théorème : Soient u⃗ ¿ (x ¿ ) ¿

¿¿

deux vecteurs dans un repère (O ; I, J) du plan. Le vecteur somme ¾\s\up6(\d\fo1( + ¾\s\up6(\d\fo1( a pour coordonnées : ¾\s\up6(\d\fo1( + ¾\

s\up6(\d\fo1(( x+x ' ¿ ) ¿¿

¿¿.

Exemple : On se place dans un repère (O ; I, J).1) Soit A(4 ; 2), B(−2 ; 3), C(1 ; −1) et D(−2 ; −2)

a) Placer ces points et construire le vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.b) Calculer les coordonnées de ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(. Vérifier

graphiquement.2) On considère les points E(−1 ; −2), F(3 ; −4) et G(4 ; 7).

a) Calculer les coordonnées du vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2( + ¾¾\s\up8(\d\fo2(.b) En déduire les coordonnées du point H tel que EFHG est un parallélogramme.

Exercices :

Théorème :

Soient u⃗ ¿ (x ¿ ) ¿

¿¿

deux vecteurs dans un repère (O ; I, J) du plan. Le vecteur différence ¾\s\up6(\d\fo1( - ¾\s\up6(\d\fo1( a pour coordonnées : ¾\s\up6(\d\fo1( -

¾\s\up6(\d\fo1(( x−x ' ¿ )¿¿

¿¿.

Exercices :

IV- Produit d’un vecteur par un nombre réel   :

1) Construction   :

Définitions- Pour tout vecteur ¾\s\up6(\d\fo1(, 0.¾\s\up6(\d\fo1( = ¾¾\s\up8(\d\fo2(, et pour tout réel k, k.¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2(.- Soit ¾\s\up6(\d\fo1( un vecteur non nul et k un réel non nul : le produit du vecteur ¾\s\up6(\d\fo1( par le réel k est le vecteur noté k ¾\s\up6(\d\fo1(.

Exemple 1 :Si k > 0 :

0 1

u

A B C

D

v

EF

Tracer un représentant des vecteurs 2¾\s\up6(\d\fo1(, 3¾\s\up6(\d\fo1(, \f(1;2 ¾\s\up6(\d\fo1(

Si k < 0 :

0 1

u

A B C

D

v

EF

Tracer un représentant des vecteurs −¾\s\

up6(\d\fo1(, −2¾\s\up6(\d\fo1(, et −

Exemple 2 :Construire les points A, B, C, D et E vérifiant :

I⃗A=2 u⃗ J⃗B=− 12

v⃗ I⃗C=32

v⃗ I⃗D=2 v⃗−u⃗ J⃗E=u⃗−12

v⃗

Exemple 3 :A et B sont deux points distincts du plan. Construire dans chaque cas le point M tel que (faire 3 figures) :

a) A⃗M= 3

4A⃗B

b) M⃗A=3 A⃗B c) B⃗M= A⃗B

Règles de calcul :k et k’ sont des réels, ¾¾\s\up8(\d\fo2( et ¾¾\s\up8(\d\fo2( sont des vecteurs :

k (¾\s\up6(\d\fo1( + ¾\s\up6(\d\fo1() = k ¾\s\up6(\d\fo1( + k ¾\s\up6(\d\fo1( (on peut "distribuer" k)

(k + k’) ¾\s\up6(\d\fo1( = k ¾\s\up6(\d\fo1( + k’ ¾\s\up6(\d\fo1( (on peut "distribuer" ¾\s\up6(\d\fo1()

k (k’ ¾\s\up6(\d\fo1() = (k k’) ¾\s\up6(\d\fo1( k u⃗=0⃗⇔ k=0 ou u⃗=0⃗ (règle du produit nul)

Exemple :Soit u⃗=2 A⃗C+2 C⃗D− A⃗D . Simplifier l’écriture de ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

2) Coordonnées   :

u⃗

v⃗

Théorème : On se place dans un repère (O ; I, J) quelconque. Soient et k un réel quelconque. Les coordonnées du vecteur produit k¾\s\up6(\d\fo1( sont k¾\s\up6(\d\fo1((kx ¿ ) ¿¿

¿¿  

Exemple 1 : 2¾¾\s\up8(\d\fo2( + 3¾¾\s\up8(\d\fo2( = (2 + 3)¾¾\s\up8(\d\fo2( = 5¾¾\s\

up8(\d\fo2( -3 \f(2;3¾¾\s\up8(\d\fo2( = \f(2;3 ¾¾\s\up8(\d\fo2( = -2¾¾\s\up8(\d\fo2( 3 ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\up8(\d\fo2( équivaut à ¾¾\s\up8(\d\fo2( = ¾¾\s\

up8(\d\fo2(, c’est à dire A = M.

Exemple 2 : On travaille dans un repère (O; I, J). On considère les points A (3 ; 2) et B (–2 ; 1). Déterminer les coordonnées de M tel que A⃗M=2 A⃗B

Exercices : V- Vecteurs colinéaires   :

1) Notion de colinéarité   :

Définition : On dit que les deux vecteurs ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires s’il existe un réel k tel que = k (ou ¾\s\up6(\d\fo1( = k ¾\s\up6(\d\fo1(). Le réel k s’appelle coefficient de colinéarité.

Remarques :

- Deux vecteurs non nuls ¾¾\s\up8(\d\fo2( et ¾¾\s\up8(\d\fo2( sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.- Par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ¾¾\s\up8(\d\fo2(.

Exemples : 1) Si = 2 alors ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires.

Si = −1

3 alors ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires.2) Soient ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( deux vecteurs du plan vérifiant −2 + 3 ¾\s\up6(\d\fo1( = 0⃗ . Montrer que ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) Parmi les vecteurs suivants, déterminer ceux qui sont colinéaires et donner leur coefficient de colinéarité.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) Soient u⃗=2 B⃗A+ 2

3A⃗C

et v⃗=1

2B⃗A+ 1

6A⃗C

. Montrer que ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) Coordonnées   :

Théorème : u⃗ ¿ (x ¿ ) ¿

¿¿

sont colinéaires :- si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.- si et seulement si xy’ - x’y = 0.

Exemple : Dans les différents cas, dire si les vecteurs ¾\s\up6(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1( sont colinéaires :

a) u⃗ ¿ (2 ¿ ) ¿

¿¿

b) u⃗ ¿ (4 ¿ ) ¿

¿¿

c) u⃗ ¿ (1 ¿ ) ¿

¿¿

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) Applications de   la colinéarité :

a) Pour montrer que deux droites sont parallèles   :

Propriété : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.

Exemple :On considère les points A(−2 ; 0) B(4 ; 3) C(3 ; −2) D(1; –3), (AB) est-elle parallèle à (CD) ?……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) Pour montrer que trois points sont alignés :

Propriété : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si et sont colinéaires.

Remarque : on pourrait aussi choisir les vecteurs et B⃗C , C⃗A et C⃗B , … : on forme deux vecteurs à partir des 3 points A, B et C.

Exemple : On considère les points E (−1; −2) F (3; 1) G (−3; −3,5) et H(5 ; 2)1) Montrer que les points E, F et G sont alignés.2) Les points E, F et H sont-ils alignés ?……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exercices :

Exemple 1 :1) Dans le repère (O ; ¾\s\up7(\d\fo1( ; ¾\s\up7(\d\fo1() ci contre, donner les coordonnées des points O, I, J et M, des vecteurs ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2(, ¾¾\s\up8(\d\fo2( , ¾\s\up7(\d\fo1(, ¾\s\up7(\d\fo1( et ¾\s\up6(\d\fo1(.

2) Tracer un représentant de chacun des vecteurs : ¾\s\up6(\d\

fo1((−1 ¿ ) ¿¿

¿¿ et ¾¾\s\up8(\d\fo2(

(0 ¿ ) ¿¿

¿¿.

i

j

M

O

u

Exemple 2 :

Lire les coordonnées des vecteurs : A⃗B , C⃗D ,E⃗F et G⃗H .

……………………………………………………………

……………………………………………………………

……………………………………………………………

……………………………………………………………

Exercice   : Démonstration du Théorème : Soit (O; I, J) un repère du plan.Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur ¾¾\s\up8(\

d\fo2( sont : ¾¾\s\up8(\d\fo2(