Chapitre 8: La relativité restreinte

8.1 L’hypothèse de l’éther

• Vers 1800, il était connu que la lumière était une onde transversale et on supposait qu’elle avait besoin d’un milieu de propagation qu’on appelait l’éther.

• Vers 1800, on trouva que la lumière est une onde électromagnétique se déplace à la vitesse:

• Les deux constantes caractérisent les propriétés électomagnétiques de l’éther.

0 01c

0 0et

8.2 L’expérience de Michelson Morley

• L’expérience de Michelson-Morley à montré qu’il était impossible de mettre en évidence l’éther par un déplacement relatif.

• La vitesse de la lumière est toujours la même, peut importe la vitesse de la source ou celle de l’observateur.

v

8.3 La covariance

• Les lois de la mécanique de Newton sont covariantes, c’est-à-dire qu’elles gardent la même forme sous la transformation de Galilée (transformation d’un référentiel d’inertie S à un autre S’)

• Les lois de l’électromagnétisme de Maxwell ne sont pas covariantes et changent de forme d’un référentiel à un autre.

' ' ' ' ' ??S S x x vt y y z z t t

8.4 Les deux postulats d’Einstein

• Le principe de la relativité: Toutes les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels d’inertie (covariance).

• Le principe de la constance de la vitesse de la lumière: La vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels d’inertie (Elle ne dépend pas de la vitesse de la source ou de celle de l’observateur)

8.5 Définitions• Un événement est un phénomène qui se produit en un point unique dans

l’espace et à un instant unique dans le temps (un point de l’espace-temps).• Un observateur est une personne pourvu d’une horloge et d’une règle qui

prend des mesures dans son voisinage immédiat.• Un référentiel est un ensemble d’observateurs répartis dans l’espace. Le

référentiel propre d’un objet est celui dans lequel il est au repos. Les horloges sont synchronisées.

Évènements

8.6 La relativité de la simultanéité• Deux évènements en des points différents de

l’espace sont simultanés si un observateur à mi-chemin entre les deux reçoit les éclairs (informations) au même moment.

• Deux évènements distincts dans l’espace qui sont simultanés dans un référentiel ne sont pas simultanés dans un autre référentiel en mouvement par rapport au premier

8.7 La dilatation du temps

2'

Lt

c

2 22

2 22

22 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1

'

1

t tc L v

t tc v L

t c v L

L ct

v c

tt

v c

Δt’ (T0) est le temps propre car il est mesuré par une seule horloge au repos dans S’

Δt (T) est le temps dilaté mesuré par deux horloges dans S qui est en mouvement relativement à S’. Δt est nécessairement plus long que Δt’ car la lumière doit parcourir une distance plus grande à la même vitesse.

Note: S se déplace vers la gauche par rapport à S’ ou S’ se déplace vers la droite par rapport à S.Flash MovieFlash MovieFlash Movie

8.7 Exemple

La durée de vie moyenne d’un muon au repos est de 2.2 µs. Un muon produit au CERN à une vitesse de 0.9994c. Quelle sera sa durée de demi-vie mesurée dans le référentiel du laboratoire?

6 66

2 2 2 22

' 2.2 10 2.2 1028.9 2.2 10 63.5

1 1 0.99941 0.9994

tt s

v c c c

La durée de vie du muon est un temps propre car elle est mesurée dans le référentiel où le muon est au repos.

8.8 La contraction des longueurs

2 2 2 2

2 2 2 20

' : ' '

' ':

1 1

' 1 1

S x v t

v t xS x v t

v c v c

x x v c ou L L v c

Δx (L0) est la longueur propre car elle est mesurée dans S (au repos).

Δx’ (L) est la longueur contractée et elle est mesurée dans le système S’ (en mouvement).

L’effet de contraction des longueurs est le corolaire de la dilatation du temps.

Exemple E8 La durée de vie moyenne des muons au repos est de 2.2 μs. À quelle vitesse par rapport référentiel S vont-ils parcourir 400 m (mesuré dans S) avant de se désintégrer.

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

Solution dans le référentiel S Solution dans le référentiel S

1 1

1

11

Dans un cas comme dans l'autre, il faut isoler v

x v c x v cx x xv v

t t t tt

v c

tt x x v c

v c

v

xt

2 2 22 2 2

8

2 2 22 8

6

1 11 1

1 11.55 10

1 1 1 1

400 3 102.2 10

v c vcx

t

v m s

cxt

8.9 L’effet Doppler en relativité

0

2 2

00 0

0 0

2 20

' : '

' 1: 1

1

1 1 1:

1 1 1

: 1 Effet Doppler

: 1 E

longitudinal

transversaffet Doppler l

S t T

t v cd v tS T t t t v c

c c v c

T v c v c v c c vS T T T

c vv c v c v c

c v vS f f f

c v c

S f v c f

L’effet Doppler relativiste dépend uniquement de la vitesse relative entre la source et l’observateur. Dans les deux cas (longitudinal et transversal), l’effet de dilatation du temps augmente la période (diminue la fréquence). Dans le cas longitudinal, l’éloignement de source produit un retard supplémentaire qui augmente encore plus la période (diminue la fréquence).

À t=0, O’ est confondu avec O et c’est le début d’un cycle. La figure illustre la situation une période plus tard.

8.12 L’addition relativiste des vitesses'

' 21x

xx

u vu

vu c

'

'

' 2 2

'

' 2 2

: 40

: ?

:vaisseau spacial 0.1

Particule: missile 0.7

0.1 0.7 0.8) 0.748

1 1 0.7 0.1 1.07

0.1 0.7 0.6) 0.645

1 1 0.1 0.7 0.93

x

x

xx

x

xx

x

Exemple E

S terre u

S u c

v c

u v c c ca u c

vu c c c c

u v c c cb u c

vu c c c c

8.13 La quantité de mouvement et l’énergie

2

2

2

2

- 0

0

Ep

cE

Mv E c vMc

L E L ELx v t v

c Mc c McM M EL E

M x mL

E m

m xL L M

c

c c

x

Selon l’électromagnétisme, une impulsion lumineuse transporte une quantité de mouvement E/c.

La boîte de masse M subit un recul à une vitesse v pendant un temps Δt en parcourant une distance Δx.

Pour que le centre de masse ne bouge pas, il faut que l’impulsion lumineuse transporte une masse m

Si un corps libère une quantité d’énergie E sous forme de rayonnement, sa masse diminue de E/c2. La masse d’un corps est une mesure de l’énergie qu’il contient.

0

002 2

2

20 0

2 20 0

2 2 2 2 40

quantité de mouvement

masse relativiste1

énergie totale

énergie au repos

- ( 1) énergie cinétique relativiste

p mv m v

mm m

v c

E mc

E m c

K E m c m c

E p c m c

Exemple E46

22 31 8 12

2 2 2 22

31 8 21

.8 46

) 1 9.11 10 3 10 15.8 1 1.21 10 7.58

1 1 115.8

1 1 0.9981 0.998

) 15.8 9.11 10 0.998 3 10 4.31 10

o

o

NYC Chap E

a K m c J MeV

v c c c

b p mv m v kg m s

Un électron se déplace à 0,998c. Trouverz (a) son énergie cinétique en électronvolts; (b) le module de sa quantité de mouvement.

19Note: 1 1.6 10eV J