81

CHAPITRE III

ELASTOPLASTICITE DES SYSTEMES

DE BARRES EN FLEXION

82

83

1. Calcul élastoplastique d’une poutre console sous charge concentrée

Une poutre de longueur 2l, encastrée à son extrémité O et en appui simple au point B, est

soumise à une charge verticale concentrée d’intensité Q, appliquée en son milieu A, que l’on fait

croître progressivement à partir d’une valeur initiale nulle. La figure 1 montre l’allure générale,

affine par morceaux, d’un diagramme de moments fléchissants statiquement admissible pour le

problème. Il dépend de la réaction d’appui Y au point B, que l’on peut prendre comme inconnue

hyperstatique du problème (structure hyperstatique d’ordre 1). Il vient alors immédiatement :

lx lxlY

lx xlQxlY

xM

2 si )2(

0 si )()2(

)( (3.1)

OA

B

Q

Y

l l

Yl

lQY )2(

x

y

Figure 1. Diagramme de moments fléchissants statiquement admissibles pour une poutre sous

charge concentrée

Dans le cadre de la modélisation «poutre», la loi de comportement est du type moment-

courbure. Partant de la résolution du problème d’évolution élastoplastique pour un élément de

poutre, effectuée au chapitre II-section 4, on adoptera une schématisation simplifiée, de type

élastique parfaitement plastique, du diagramme de la figure 13 de ce chapitre (figure 2), dans

laquelle le comportement de l’élément de poutre demeure élastique tant que le moment de flexion

est inférieur à la valeur limite lM .

Le tableau ci-après récapitule les différents cas rencontrés selon les valeurs de MM et , dans

l’hypothèse où la valeur du moment limite est la même en flexion positive et négative. Il apparaît

notamment que, en raison du fait que dans le cas de la charge plastique 0M , le taux de

courbure est purement plastique, avec le même signe que celui du moment de flexion.

84

M

lM

eM

zEI

Figure 2. Schématisation simplifiée de la loi de comportement «moment-courbure» d’une poutre

en flexion élastoplastique

ll MMM

ze EIMM /

lMM

0M

0M

z

e EIM /

0

0

/

p

zEIM

lMM

0M

0M

z

e EIM /

0

0

/

p

zEIM

1.1. Phase de comportement élastique

Partant d’un état initial ( 0Q ) naturel (diagramme de moments nul) on augmente

progressivement la valeur du chargement. Le comportement de la poutre est alors en tout point

élastique, soit :

)(d

d)()( 2,0

2

2

xx

vEIxEIxMlx zz (3.2)

où v(x) désigne la flèche au point x, comptée positivement dans le sens de l’axe Oy, le moment

fléchissant M(x) étant positif selon le sens de l’axe Oz. La procédure de résolution directe de ce

problème est classique. Elle consiste à intégrer à deux reprises l’équation (3.2) où l’on tient

compte de (3.1), et à exprimer les différentes conditions aux limites :

85

encastrement en O : 0)0(d

d)0( x

x

vxv (3.3(a))

appui simple en B : 0)2( lxv (3.3(b))

ainsi que la condition de continuité de la flèche et de la rotation au point A :

)(d

d )(

d

d , )()( lx

x

vlx

x

vlxvlxv (3.4)

Le diagramme des moments fléchissants solution est alors après calculs (figure 3) :

lx lxlQ

lx lxQ

xMQ

Y

2 si )2(16

5

0 si 32

11

8)( 16

5 (3.5)

tandis que la flèche en tout point a pour expression :

lx lllxxxlEI

Qx

lx lx-EI

Qx

xv

z

z

2 si 8205296

0 si 181196

)(22

2

2

(3.6)

O A B

Q

16/5Ql

8/3Ql

zEIQlq 96/7 3

16/5QY

Figure 3. Diagramme de moments fléchissants et déformée de la structure dans la phase de

comportement élastique

d’où en particulier le déplacement q du point d’application de la charge (compté positivement

dans le sens des y négatifs) :

86

zEI

Qllxvq

96

7)(

3

(3.7)

Cette solution reste valable tant que lxMxM l 2,0 )( , c’est-à-dire compte tenu de

(3.5), tant que le moment à l’encastrement O est supérieur à lM . La limite d’élasticité qui

correspond à la plastification en flexion négative à l’encastrement est donc égale à :

l

MQMQlxM

lel

3

88/3)0( (3.8)

le déplacement correspondant valant :

z

lee

EI

lMQQqq

36

7)(

2

(3.9)

Remarque.

L’analyse de la structure en phase élastique, faite ici par l’approche directe, peut être réalisée

de manière totalement équivalente en recourant au théorème du potentiel minimum pour le calcul

de l’inconnue hyperstatique (équation (3.5)) et au théorème de Castigliano pour le calcul de la

flèche q (équation (3.7)).

1.2. Phase élastoplastique ; notion de rotule plastique

Le chargement étant poursuivi au-delà de la limite d’élasticité, on peut tout d’abord penser à

faire l’hypothèse d’une zone plastique se propageant à partir de l’encastrement, c’est-à-dire que

le moment limite en flexion négative serait atteint sur un intervalle de la forme 0 ,0 x :

00 )( xx MxM l (3.10)

Or une telle hypothèse ne peut convenir, car le diagramme de moments de la forme (3.10) qu’elle

implique ne peut être statiquement admissible, c’est-à-dire de la forme (3.1).

On propose alors une solution alternative consistant à admettre que seule la section située à

l’encastrement O reste plastifiée, le reste de la structure demeurant élastique. Compte tenu des

conditions d’équilibre, le diagramme de moments est alors nécessairement de la forme (figure 4) :

lxlxllMQ

lxxlMQM

xMQQl

ll

e

2 2/)2( /

0 2/ /

)( : (3.11)

87

La déformation (courbure) plastique, localisée au seul encastrement, est nécessairement de la

forme :

)()( 0 xx pp (3.12)

OA

B

Q

2/)/( lMQY l

2/)( QlM l

)(xv

lMxM )0(

)0(d/d xxvp

rotule

plastique

Figure 4. Diagramme des moments et déformée de la structure en phase élastoplastique

où 0 désigne la distribution de Dirac au point x=0, tandis que p représente la discontinuité de

rotation purement plastique (et donc totale puisqu’il n’y pas de discontinuité de rotation

élastique), en ce même point (figure 4), qui vaut alors :

)0(d

d)0(

d

d)0(

d

d

x

x

vx

x

vx

x

vp (3.13)

Il en résulte que le champ de déformation de courbure totale s’écrit :

)()(

)()()(d

d02

2

xEI

xMxxx

x

v p

z

pe (3.14)

et donc le champ de rotation, obtenu par intégration de (3.14), en tenant compte de (3.11) :

lxllxlxlMQllMQlM

lxxlMQxM

EI

xHxx

v

lll

ll

z

p

2 4/)3)(( )/(4/ /

0 4/ /1

)()(d

d

2

2

(3.15)

88

où H(x) désigne la fonction d’Heaviside ( 1)0( ,0)0( xHxH ). La déformée de la

structure (figure 4) est obtenue par intégration de (3.15) en tenant compte de la condition

0)0( xv . On obtient ainsi tous calculs faits :

lxllxlxlMQlxllMQ

lxlMllMQlM

lxxlMQxM

EI

xxv

ll

lll

ll

z

p

2 /12)4()/(4/)()/(

)( 12/ /2/

0 12/ /2/

1

)(

22

32

32

(3.16)

En exprimant alors que la flèche est nulle au point B )2( lx , il vient :

03/3/41

2)2( 32 QllMEI

llxv l

z

p (3.17)

d’où la valeur de la discontinuité de rotation plastique à l’encastrement

QQEI

lQlM

EI

l e

z

l

z

p 4

3/84

22

(3.18)

Cette dernière relation permet de montrer que la règle d’écoulement plastique est bien vérifiée

au niveau de la rotule plastique (rotule plastique «négative»), puisque :

04

0 , 2

QEI

lMMM

z

pl (3.19)

q

Q

lMQ le 3/8

lMQ ll /2 lMQ ll /3

Figure 5. Courbe charge-déplacement

89

Dans cette phase de comportement élastoplastique, l’expression du déplacement du point

d’application de la charge s’écrit :

ee

z

l

z

qQQEI

lMQl

EI

llxvq

646)(

32

(3.20)

qui correspond au second segment de droite de la courbe charge-déplacement représentée sur la

figure 5.

1.3. Charge limite et mécanisme de ruine plastique

La solution mise en évidence dans la phase de comportement élastoplastique demeure valable

tant que le point A où le moment est maximal reste élastique, soit :

l

MQQMQlM

llll 3 2/)( (3.21)

Cette valeur du chargement ne peut être dépassée. En effet, un diagramme de moments

fléchissants statiquement admissible avec une valeur Q du chargement est de la forme (3.1). Il

respecte le critère de plasticité en tout point de la structure si et seulement si les moments

extrêmes aux points O et A satisfont ce critère :

ll MYl-QlMYl 2 et (3.22)

OA

B

lMQQ ll /3

lMY l /

lM

lM

y

0p

02 p

Figure 6. Diagramme des moments associé à la charge limite et mécanisme de ruine plastique

Il est alors facile de voir que les deux inégalités précédentes ne peuvent être simultanément

satisfaites si lMQQ ll /3 . En d’autres termes il n’est pas possible d’équilibrer une valeur du

chargement strictement supérieure à lQ par une distribution de moments fléchissants qui respecte

le critère de plasticité. Il s’agit encore une fois d’un raisonnement de calcul à la rupture fondé sur

90

l’examen de la compatibilité entre les conditions d’équilibre de la poutre, se traduisant par

l’expression (1) du diagramme des moments, et le respect d’un critère de résistance.

lQQ constitue la charge limite de la structure. Maintenant le chargement à cette valeur :

0 , 3 Ql

MQQ

ll (3.23)

la distribution correspondante des moments fléchissant est :

lx llxM

lx lxMxM

l

l

2 si /2

0 si 1/2)( (3.24)

Elle correspond à la plastification en flexion négative de la section O (encastrement) et en flexion

positive de la section A située au point d’application de la charge (figure 6).

Puisque le diagramme des moments reste constant ( 0M en tout point) les taux de

déformation de courbure sont purement plastiques, donc nulles en dehors des points O et A où le

critère de plasticité est atteint. Ces sections sont le siège de rotules plastiques, négative en O et

positive en A compte tenu de la loi de comportement. La compatibilité géométrique implique que

les taux de discontinuités de rotation plastiques en ces points sont reliées entre elles : 0p en

O et 02 p en A. Le mécanisme de ruine plastique correspondant est représenté sur la figure

6 : il s’agit d’un «mécanisme de poutre» dans lequel les deux moitiés de la structure sont animées

de mouvements de rotation de vitesses respectives p et p . Cette phase d’écoulement

plastique libre est associée au palier horizontal de la courbe charge-déplacement de la figure 5.

1.4. Phase de décharge et état résiduel

Partant de l’état où la section A vient juste d’entrer en plasticité, on effectue une décharge que

l’on suppose élastique. Le diagramme des moments résiduels (figure 7(c)) qui correspond à la

décharge totale de la structure, est alors obtenu en superposant au diagramme associé à la charge

limite (figure 7(a)) celui correspondant à un calcul purement élastique où lQQ (figure 7(b)).

Il vient alors compte tenu des expressions (3.5) des distributions de moments en phase

élastique, écrites pour lMQ l /3 , et de (3.24)

lx

M

lx lxll

MlxM

lx lxl

MlxM

xMl

ll

ll

r 2/18

2 si )2(16

15/2

0 si 32

11

8

31/2

)(

(3.25)

91

Une telle distribution de moments résiduels est autoéquilibrée, c’est-à-dire de la forme (3.1)

avec lMYQ lr 16/et 0 . On observe encore une fois que ce sont ces efforts résiduels qui,

par le biais des déformations élastiques qu’ils engendrent, rétablissent la compatibilité

géométrique des déformations plastiques acquises par la structure dans sa phase de chargement.

O

lMQQ ll /3

lM

lM

O

O

16/15 lM

8/9 lM

8/lM

16/lM

)(a

)(b

)(c

lQQ

Figure 7: Décharge élastique totale et diagramme de moments résiduels

Cette observation est illustrée sur la figure 8. Le champ des déformations plastiques s’écrit en

effet :

)()()( xQQx O

lpp (3.26)

avec d’après (3.18) :

z

llp

EI

lMQQ

12)( (3.27)

de sorte qu’en intégrant deux fois par rapport à x et en tenant compte des conditions aux limites à

l’encastrement 0)0(d/d)0( xvvxv , l’expression de la flèche résiduelle, notée pv ,

s’écrit:

92

xQxv lpp )()( (3.28)

On voit donc que le champ (3.26) est bien intégrable, mais que la distribution de flèche dont

il dérive n’est pas géométriquement compatible, car ne respectant pas la condition d’appui en

lx 2 (figure 8(a)). En revanche, si l’on superpose à pv la flèche élastique associée à la

distribution de moments résiduels (3.25) égale à (figure 8(b)) :

6/16

6/)( 3232 xlxlEI

Mxlx

EI

Yxv

z

l

z

rel (3.29)

la distribution de flèche résiduelle (figure 8(c)) s’écrit :

)2(96

6/1612

)()()( 32 xll

x

EI

Mxlx

lEI

Mx

EI

lMxvxvxv

z

l

z

l

z

lelpr (3.30)

On voit donc qu’elle est bien géométriquement compatible puisque

0)2()0( lxvxv rr (3.31)

)(a

)(b

)(c

)( lp Q

)(xM rrY

)(xM r

rY

)(xv p

)(xvel

)(xv r

Figure 8: Interprétation des moments résiduels comme rétablissant la compatibilité géométrique

des déformations plastiques

93

2. Méthode de résolution énergétique

On se propose dans cette section de reprendre la résolution du problème d’évolution

élastoplastique précédent, en s’appuyant sur un principe de minimum de l’énergie que l’on établit

préalablement dans le cas général de structures planes chargées dans leur plan.

2.1. Principe de minimum en contrainte

Considérant un système de barres en flexion, noté L, on se place pour simplifier1 dans la

situation où :

les données en déplacements sont nulles (appuis fixes, encastrements,..) ;

les données en efforts dépendant d’un seul paramètre de chargement noté Q ;

la structure est supposée une fois hyperstatique, et l’on désigne par Y l’inconnue

hyperstatique.

Les barres ont un comportement élastique parfaitement plastique de sorte que, l’état initial du

système étant naturel, la déformation de courbure en un point quelconque repéré par son abscisse

s, s’écrit :

))((

)()()(

sEI

sMss p (3.32)

où p est la courbure plastique, M le moment fléchissant et EI le module de rigidité à la flexion.

On suppose que cette structure a subi une évolution élastoplastique au terme de laquelle on

désigne par Q la valeur du paramètre de chargement, q la valeur correspondante du déplacement

généralisé, p la distribution de courbure élastoplastique engendrée par le chargement, et Y la

valeur de l’inconnue hyperstatique. Désignant alors par (Q’,Y’) un couple de valeurs quelconques

du paramètre de chargement et de l’inconnue hyperstatique, on introduit la fonction quadratique

suivante :

qQ

YQ

sYQMEI

YQMYQ p '

','(

d )','(2

)','()','(

)

2

G

FL

(3.33)

où )','( YQM désigne la distribution de moments fléchissants en équilibre avec (Q’,Y’). Nous

allons établir que le couple solution (Q,Y) réalise, à pq et fixés, le minimum de cette fonction

quadratique.

1 Ces hypothèses simplificatrices ne nuisent pas à la généralisation des résultats présentés.

94

)','(Min),( fixés et )','(

YQYQqQX

p FF (3.34)

Cette propriété est aisément démontrable. Il suffit pour cela de calculer la différence :

qQQsYQMYQMEI

YQMYQM

YQYQ

p )'(d ),()','(2

),()','(

),()','(

22

L

FF (3.35)

soit en tenant compte de l’inégalité :

),()','(),(

2

),()','( 2222

YQMYQMEI

YQM

EI

YQMYQM

(3.36)

et de la loi de comportement (3.32) :

qQQsYQMYQM

qQQsYQMYQMEI

YQMYQYQ p

)'(d ),()','(

)'(d ),()','(),(

),()','(

L

L

FF

(3.37)

Or )(s étant cinématiquement admissible avec q (car solution du problème d’évolution), et la

distribution de moments fléchissants ),()','( YQMYQM étant statiquement admissible avec

QQ ' , l’application du théorème des travaux virtuels conduit à la nullité du membre de droite de

(3.37). D’où le principe de minimum énoncé (3.37), qui se traduit par l’annulation des dérivées

partielles :

)( ,'

0,'

)( 0,'

,'

bYQY

qYQQ

aYQY

YQY

GF

GF

(3.38)

Dans le cas d’une évolution purement élastique, pour laquelle 0p , la fonction G n’est

autre que l’énergie complémentaire, et l’équation (3.38(a)) le principe du minimum en contrainte

(ou théorème du potentiel minimum), tandis que la seconde équation constitue le théorème de

Castigliano relatif aux structures élastiques. Dans le cas général, où la distribution de courbure p est de nature anélastique (plastique, mais aussi par exemple thermique, etc.), l’équation

(3.38(a)) est désignée sous l’appellation de théorème de Colonnetti.

95

2.2. Retour sur l’exemple de la poutre-console

Dans l’exemple de la poutre traité au début de ce chapitre, l’ensemble des distributions de

moments fléchissants statiquement admissibles pour le problème est de la forme (3.1), c’est-à-

dire paramétré par l’inconnue hyperstatique Y. Le calcul de la fonctionnelle G donne alors :

l

p

l

p

z

xxlxQxxlxYQYQYEI

lYQ

0

2

0

223

d)('d2)('''5''86

)'';( G (3.39)

Le principe du minimum en contrainte établi au paragraphe précédent est alors appliqué aux

différentes phases d’évolution du système.

Phase élastique.

Dans cette phase 0)( xp , et les équations (3.38) donnent immédiatement compte tenu de

(3.39) :

16

5 0,

QYYQ

Y

G (3.40)

ainsi que (théorème de Castigliano) :

EI

QlYQ

EI

lqYQ

YQq

z 96

7)52(

6 ,

'

33

G

(3.41)

Phase élastoplastique.

Le champ de déformation plastique, correspondant à la formation d’une rotule plastique à

l’encastrement, est de la forme

)()( 0 xx pp (3.42)

d’où :

p

z

lQYQYQYEI

lYQ )''2(''5''8

6)','( 22

3

G (3.43)

et par suite

)( 526

,'

)( 025166

,'

3

3

blYQEI

lYQ

Qq

alQYEI

lYQ

Y

p

z

p

z

G

G

(3.44)

96

L’équation (3.44(a)) combinée avec le fait que lMQQYlxM )(2)0( (hypothèse de

plastification en flexion négative à l’encastrement) permet alors de retrouver l’expression (3.18)

de la rotation plastique :

QlMEI

l l

z

p 3/84

2

(3.45)

Tenant compte de ce résultat, l’équation (3.44(b)) fournit quant à elle l’équation de la courbe

donnant le déplacement en fonction de la charge en phase élastoplastique :

4/6/ 526

,'

23l

z

p

z

MQlEI

llYQ

EI

lYQ

Qq

G (3.46)

Charge limite et écoulement plastique libre.

Le champ de déformation plastique correspond à la formation de deux rotules plastiques

repectivement localisées en O et A. Désignant par pp et les dicontinuités de rotation

plastiques en ces points, le champ de courbure plastique peut s’écritre :

)()()( 0 xxx l

ppp (3.47)

où )(xl désigne la distribution de Dirac au point A(x=l), de sorte que la fonctionnelle à

minimiser a pour expression :

pp

z

lYlQYQYQYEI

lYQ ')''2(''5''8

6)','( 22

3

G (3.48)

d’où par application du principe de minimum (3.38) :

)( 526

,'

)( 025166

,'

3

3

blYQEI

lYQ

Qq

allQYEI

lYQ

Y

p

z

pp

z

G

G

(3.49)

La première équation donne puisque lMQQ ll /3 et lMY l / :

pp

z

lpp

EI

lM 2

62 (3.50)

qui représente l’équation de compatibilité géométrique, reliant les taux de rotations plastiques. La

seconde équation conduit à l’expression du déplacement de la charge en phase d’écoulement

plastique, en fonction de de la discontinuité de rotation plastique 0p qui demeure arbitraire :

97

06

2

p

z

lp lq

EI

lMlq (3.51)

*************