Chapitre III : Résistance des matériaux

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Chapitre III : Re sistance des mate riaux

1 Introduction

La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de la

mécanique permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures des

différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).

L'objectif est de concevoir une structure suivant des critères de résistance, de

déformation admissible et de coût financier acceptable.

Exemple : lors du dimensionnement d’une poutre composant une charpente métallique, on

calcule celle-ci de manière à :

- ce qu’elle résiste en toute sécurité (qu’elle ne se rompe pas).

- ce que les déformations de celle-ci restent dans des proportions admissibles

(qu’elle ne plie pas trop).

- ce que le prix de celle-ci ne soit pas trop élevé (on ne la surdimensionne pas trop).

Dans ce chapitre, nous étudierons quatre types de sollicitation :

- Traction/compression

- Cisaillement

- Torsion

- Flexion

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2 Traction/compression

2.1 Définition

Une pièce longue par rapport à sa section est sollicitée à la traction simple

lorsqu'elle est soumise à deux forces opposées portées par la ligne

moyenne qui tendent à l’allonger.

2.2 Essais de traction

On applique progressivement à une éprouvette cylindrique un effort de traction croissant,

afin d’étudier son allongement ΔL.

Pour l’essai de traction, on utilise généralement le type d’éprouvette représenté ci-dessous.

L’indicateur de charge et le comparateur à cadran permettent de connaître respectivement

l’effort appliqué sur l’éprouvette et la variation de sa longueur.

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2.2.1 Résultats obtenus

La machine d’essais permet d’enregistrer la courbe effort – allongement qui a l’allure

suivante :

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2.2.2 Interprétation des résultats

La courbe obtenue est appelée courbe de traction, elle fait apparaitre deux zones

(pour les métaux) :

La zone OA est appelée zone élastique. Cette droite très inclinée correspond à une période de déformation où l’allongement

augmente lentement et proportionnellement à la charge. Cette zone est dite élastique car

lorsqu’on cesse de tirer sur l’éprouvette, elle reprend sa longueur initiale.

Le point A marque la fin de l’élasticité. On observe alors une zone floue (AB) qui dépend de

la nature du matériau, puis une courbe (BC) où l’allongement augmente plus rapidement

que la charge. La déformation est alors permanente.

Cette zone (ABC) est appelée zone plastique. Le point C marque le début de la zone de striction Durant la période de striction, la section de l’éprouvette va diminuer et l’allongement va continuer à augmenter, alors que l’effort de traction diminue. Le point D marque la rupture de l’éprouvette

2.2.3 Caractéristique mécanique du matériau

Au point A, on définit la limite d’élasticité du matériau (ou résistance élastique).

Re est le quotient de la charge par la section de

l’éprouvette

𝑅𝑒 = 𝐹𝐴

𝑆

Exemple : pour sortir une éprouvette de 100mm² de sa zone élastique, on doit appliquer une

charge de 23 500 N. Quel sera la résistance élastique du matériau constituant l’éprouvette ?

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Au point C, on définit la résistance à la rupture du matériau.

R = 𝐹𝑐

𝑆

Exemple : Pour l’éprouvette de l’exemple précédent, la charge maximale mesurée avant

rupture de l’éprouvette était de 34 000N. Quel sera sa résistance à la rupture ?

Extrait du GDI p.324

Remarque : 1MPa =

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2.3 Notion de contrainte

Si on isole une section de l’éprouvette lorsqu’elle est soumise à la

traction et qu’on divise la surface obtenue en de toutes petites

surfaces de 1 mm², que constate-t-on pour chacune de ces petites

surfaces ?

L’effort de traction F est uniformément

réparti dans chaque petite surface de notre

section. Chacune de ces petites forces

possède la même intensité et est

perpendiculaire à la section de l’éprouvette.

On les appelle contraintes normales.

𝜎 =𝑁

𝑆

2.4 Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité (pour que la pièce reste fonctionnelle malgré sa déformation),

la contrainte normale de la pièce doit rester inférieure à la résistance pratique à l’extension

Rpe.

𝑁

𝑆≤ Rpe

𝜎 ≤ Rpe

Rpe =Re

s

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Exemple :

Soit une barre soumise à un effort de traction de 12000 N. Rechercher la section nécessaire

si on utilise un acier S235 avec un coefficient de sécurité de 5 par rapport à Re. Calculer

ensuite le diamètre.

2.5 Résistance d’une vis à la traction

Les valeurs de résistance à la traction d’une vis sont des valeurs

normalisées. En règle générale, la classe de qualité d’une vis est

notée sur sa tête par deux chiffres séparés par un point.

Pour connaître la limite d’élasticité d’une vis, il faut :

Pour connaître la résistance à la rupture d’une vis, il faut :

Exemple :

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Exercice :

1) Une vis métrique 30 permet de soutenir le crochet d’une grue. Cette vis est de qualité

9.6. Si on adopte un coefficient de sécurité de 10, déterminer quelle charge maximale

peut être soulevée avec la grue.

2) Une installation de manutention utilise une barre cylindrique en acier E295 de

diamètre 22mm soumise à un effort de traction de 20.000N.

1. Calculer la contrainte de traction sur cette barre en MPa.

2. Calculer le coefficient de sécurité appliqué à la barre.

3) Soit un boulon métrique 14 soumis à un effort de 8.000N, l'installation sur laquelle est

monté ce boulon doit avoir un coefficient de sécurité de 4.

1. Calculer la contrainte de traction sur ce boulon en MPa.

2. Choisir la matière du boulon parmi les suivantes.

S 185 : Re = 185MPa S 235 : Re = 235MPa E 295 : Re = 295MPa

S 355 : Re = 355MPa E 360 : Re = 360MPa C 55 : Re = 420MPa

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2.6 Expression de l’allongement correspondant à une déformation élastique

Nous allons à présent étudier la manière avec laquelle une pièce soumise à la traction va

s’allonger. Pour ce faire, nous allons rester dans la zone de déformation élastique du

matériau (OA).

L’allongement (ΔL) va dépendre de :

- L’effort de traction

- La section de la pièce

- La nature du matériau

- La longueur de la pièce

Tous ces éléments vont être reliés par la relation suivante :

ΔL =NL

ES

ΔL = allongement [mm]

N = effort de traction [N]

L = Longueur initiale [mm]

E = Module de young [Mpa]

S = section [mm]

Le module de Young, appelé aussi module d’élasticité longitudinal est une constante qui

dépend de la nature du matériau. Il s’exprime généralement en MPa et est proportionnel à

la pente de la droite correspondant à la zone élastique.

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Exercice :

Un barreau cylindrique en acier de 10 mm de diamètre est soumis à un effort de traction de

400 daN. La longueur de ce barreau lorsqu’il n’était pas soumis à la charge étant de 2m,

déterminer la longueur totale de celui-ci lorsqu’il est soumis à la traction.

Même question si le barreau est en cuivre.

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2.7 Application

1) Une barre de longueur 4m est formée d’un rond en acier doux et est fixée dans un

palier (vissée). Celle-ci est soumise à un effort de traction de 3000daN. (Rpe =

100 N/mm² et E = 200000 N/mm²)

a. Déterminer le diamètre de ce rond.

b. Calculer la contrainte normale dans la barre

c. Clacluler l’allongement total.

2) Une chaine de levage est formée de maillons soudés et doit supporter une charge de

5 tonnes.

a. Déterminer le diamètre nécessaire d’un maillon si

l’acier à une résistance élastique de 285 Mpa. Le

coéficient de sécurité appliqué est de 5.

b. Calculer la contrainte normale si la charge supportée

est de 3,5 tonnes

3) Le fond de la cuve du compresseur est maintenu au moyen de 12

vis. Le diamètre de la cuve est de 380mm et la pression relative à

l’intérieur du réservoir est de 10 bars.

a. Calculer la poussée (force) sur le fond de la cuve

engendrée par la pression de l’air comprimé.

b. Rechercher le diamètre nominal des vis (classe de qualité 8.8)

4) Une chaine (Galle), composée de maillon entretoisés par deux

plaques permet de transmettre un mouvement de rotation entre

un moteur (1450 tr/min, 6kW) et une scie à ruban. Le pignon

d’entrainement moteur à un diamètre primitif de 100mm.

a. Déterminer le couple transmis via le pignon moteur ainsi

que l’effort de traction dans la chaine.

b. Représenter les sections de la chaine soumise aux efforts normaux

c. Si on considère une résistance pratique à l’extension de 50 N/mm²,

déterminer la section minimale d’un maillon.

d. Si l’épaisseur d’un maillon est de 1.5 mm et que le diamétre de perçage est de

2mm, déterminer les dimensions du maillon

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2.8 Calcul des câbles destinés aux appareils de levage

2.8.1 Généralité

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Les câbles de traction sont composés de fils d’aciers très fin tressés, enroulés de façon

hélicoïdal sur une ou plusieurs couches, généralement autour d’un fil métallique central,

formant des torons, qui à leurs tour, sont enroulés de façon hélicoïdal autour d’un noyau ou

âme, et forment les câbles à torons multiples.

Leurs utilisations sont très variées et très courantes dans l’industrie, la manutention, etc.

C’est ainsi qu’on peut les retrouvés par exemple dans les pont suspendus pour maintenir le

tablier.

Composition : La composition d’un câble détermine le nombre et la disposition des torons,

des fils et de l’âme.

La composition de la coupe du câble représentée est : 7 torons de 7 fils âme métallique (7x7

fils).

Diamètre d’enroulement : Il s’agit d rapport entre le diamètre du câble et le diamètre de la

poulie. Dans la majeure partie des cas, le diamètre de la poulie doit être équivalent à 22 fois

le diamètre du câble ou à 360 fois le diamètre du fil composant le câble. Dans certains cas ou

pour certaines activités, un rapport supérieur ou inférieur peut être requis.

2.8.2 Influence du poids du câble

Pour les applications utilisant un câble de grande longueur servant à soulever une charge

verticalement (ex : ascenseur), il y lieu de tenir compte du poids du câble dans les calculs de

dimensionnement.

Exemple : Un câble en acier formé de 34 torons de chacun 7 fils (D = 2,2mm)

commence à se déformer de manière permanente lorsque qu’il est soumis à un effort de

traction de 11 MN. La masse du câble est de 8kg par mètre.

1) Quelle charge utile peut-il soulever à une profondeur de 750m sachant que le

coefficient de sécurité est de 8 ?

a. Charge maximale que le câble peut soulever (sans tenir compte de son

poids propre).

b. Poids du câble.

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c. Charge utile.

2) Calculer la contrainte normale en haut et en bas du câble.

a. En haut

b. En bas

2.8.3 Influence de l’inertie au démarrage

Cas d’une charge au repos.

Cas d’une charge en MRUA.

Application

1) Une cage de puit de mine de masse 6500kg démarre d’un MRUA dont la vitesse

atteint 2m/s après une montée d’un mètre. Quel est l’effort de traction pendant le

démarrage ?

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