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Algèbre2

Chapitre M3

Algèbre 2

RESOLUTION D’UN PROBLEME DU PREMIER DEGRE

Capacités Connaissances Dans des situations issues de la géométrie, d’autres disciplines, de la vie professionnelle ou de la vie courante, rechercher et organiser l’information, traduire le problème posé à l’aide d’équations ou d’inéquations, le résoudre, critiquer le résultat, rendre compte.

Méthodes de résolution : - d’une équation du premier degré à une

inconnue ; - d’une inéquation du premier degré à une

inconnue ; - d’un système de deux équations du premier

degré à deux inconnues. Fiches méthodes 19 à 22

Choisir une méthode de résolution adaptée au problème (algébrique, graphique, informatique).

Contenu du dossier :

c Cours M3

c Exercices (livre CH3 pages 39-50)

c Corrigé des exos

c Evaluation EM5

c Corrigé de l’évaluation EM5

SBP M3


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I. Equation du 1er degré Activité 1 : Expression littérale

Ecrire le périmètre des figures en fonction de c.

P = P = P = P =

Activité 2: Calculer la valeur numérique d’une expression littérale

a) Le périmètre du losange est : P = 4c. Calculer P lorsque c = 5 cm

P =

P =

Expression littérale Une expression littérale est un programme de calcul écrit avec des lettres et des nombres. Lorsqu’une expression littérale permet de calculer une grandeur, on l’appelle « formule ».

c

8

2

4

c

6 2c

4

c


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b) L’aire de la partie coloriée A est donnée par l’expression A = 4 ×(12 – x). Calculer cette aire si x = 9 m.

A =

A =

c) L’énergie E consommée par un radiateur de puissance P pendant une durée t est donnée par la formule E = P ⋅ t. Si P est en watts et t en secondes alors E est en joules ; Calculer E si P = 2 000 W et t = 300 s. E =

E =

Valeur numérique d’une expression littéraire Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale, il faut remplacer les lettres par les nombres correspondants, puis exécuter les calculs en respectant les règles de priorité des opérations. Règle de priorité des opérations Sans parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l’addition ou la soustraction. Lorsqu’un calcul comporte des parenthèses, on commence par calculer ce qui est entre les parenthèses. Activité 3 : Former et résoudre une équation

a) La longueur d’un des côtés du triangle est inconnue et notée x.

b) Choisir dans la liste des nombres suivants {1,2,3,4,5} ceux qui sont solutions des équations : "#$

= 7,5 2,6 y = 5,2

3t – 5 = 1 4x – 10 = 6

m = y = t = x =

• Ecrire le périmètre P de ce triangle en fonction de x.

• Dans l’expression P = x + 6, remplacer P par le nombre 11.

• Résoudre l’équation x + 6 = 11, c’est chercher le nombre x pour lequel l’égalité est vraie.

• Dans la liste des nombres suivants {0,2,4,5,10}, choisir le nombre convenable vérifiant l’égalité :

• La solution de l’équation est x = parce qu’on a + 6 = 11.

• La longueur du côté inconnue est m.

x 2m

4m

12 m

4 m

x


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Caractéristiques d’une équation du 1er degré C’est une égalité écrite avec une inconnue représentée par une lettre. Au premier degré l’exposant de la lettre est 1. (x = x1)

Activité 4 : Techniques de résolution de l’équation - 2x + 5 = 5x + 8 + x

Règles de transposition dans une équation • Si x + a = b, alors x = b – a • Si x – a = b, alors x = b + a

• Si ax = b, alors x = 𝒃𝒂 ( a ≠ 0)

• Si 𝒙𝒂= b, alors x = b ⋅ a ( a ≠ 0)

Lorsqu’un nombre change de membre : l’addition devient une soustraction, la multiplication devient division et vice-versa.

Méthode 1 : Algébrique

Résoudre l’équation : - 2x + 5 = 5x + 8 + x

Ø Réduire le membre de droite :

Ø Isoler l’inconnue dans un membre :

Ø Réduire chaque membre :

Ø On obtient une équation de la forme ax = b dont la solution est : x = 𝒃𝒂

Ø La solution de l’équation est :

Attention à toujours donner la valeur exacte de la solution.

Méthode 2 : Calculatrice

(voir capsule sur : mathssciences.eklablog.com) • Modèle Casio : MENU → EQUA → EXE → F 3 (SOLVER) → Ecrire l’équation 2x + 5 = 5x + 8 + x comme suit : (-) 2 X,θ, T + 5 SHIFT . 5 x,θ, T + 8 + X,θ, T EXE → F6 Lire la valeur de x. Pour passer à l’équation suivante : →F2(DEL) → F1 (YES)


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Application : Transformation de formules : En utilisant les règles de transposition vues précédemment, transformer les formules ci-dessous.

Egalité à transformer Egalités proposées

P = U ⋅ I U = I =

W = P ⋅ t P = t =

p = () F = S =

f = *+ T =

R = ρ ⋅ ,)

l = ρ =

s =

pA - pB = ρgh h = ρ =

pA = PB =

S = -./ ×0$

h = B +b =

B = b =

y = ax + b x =

b =

Umax = U × 2 U =

Exercices : c 5 page 39 c 9 page 9 c 12 page 40 c 97 page 45 c 99 page 45


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II. Inéquation du 1er degré Activité 5 : Comment résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue ? Résoudre l’inéquation : 2x + 5 ≤ - 10 – x

Ø Regrouper les termes qui contiennent x dans un membre et les termes constants dans l’autre.

Ø On obtient une inéquation de la forme ax ≤ b. Si a > 0 les solutions sont tous les x

tel que x ≤ 𝒃𝒂 .

Ø Les solutions sont tous les nombres ou à

Ø Représenter les solutions sur un axe en barrant la partie de l’axe qui ne convient pas.

0

Résoudre l’inéquation : 4 – 2x < 5x + 18

Ø Regrouper les termes qui contiennent x dans un membre et les termes constants dans l’autre.

Ø On obtient une inéquation de la forme ax < b. Si a < 0 les solutions sont tous les x

tel que x > 𝒃𝒂 .

Ø Les solutions sont tous les nombres à

Ø Représenter les solutions sur un axe en barrant la partie de l’axe qui ne convient pas.

0

Exercices : c 34page 40 c 36 page 40 c 38page 41 c 108 page 46


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III. Système de 2 équations à 2 inconnues Activité 6 : Logiciel Géogébra

RÉSOLUTION GRAPHIQUE D’UN SYSTEME

Pré-requis : - Périmètre de figures usuelles (triangle ; trapèze) ; - Mise en équation ; - Transformation de formule ; - Fonction affine.

Objectifs : - Comprendre la notion de système ; - Résoudre graphiquement un système à l’aide d’un logiciel.

Activité On considère les deux figures suivantes qui possèdent des mesures communes mais inconnues :

On donne : périmètre du triangle : 7 m périmètre du trapèze : 9 m

Exprimer les périmètres de chaque figure en fonction de x et de y :

Périmètre du triangle :

Périmètre du trapèze :

Appel n°1

Ces deux équations où les deux inconnues représentent les mêmes nombres forment un système d'équations :

…………… . .…………… . .

Nous allons résoudre ce système graphiquement à l'aide du logiciel GEOGEBRA

x

y

x

Triangle isocèle

x x

x

y

Trapèze isocèle


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Résolution à l’aide de l’outil informatique

1) Vous devez voir apparaître l’écran suivant :

2) Si la page n’occupe pas tout l’écran, l’agrandir en cliquant sur �. 3) Écrire la 1ère équation du système dans la zone de saisie � puis valider au clavier par la

touche « Entrée ». Quelle représentation graphique obtient-on ?

Appel n°2

Renommer la représentation graphique : l'appeler (D1). ( sélectionner la représentation graphique en cliquant avec le bouton droit de la souris et dans l’onglet sélectionner « renommer »)

4) Écrire maintenant la 2nde équation du système dans la zone de saisie � puis valider au clavier par la touche « Entrée ». Quelle représentation graphique obtient-on ?

Appel n°3

Renommer la représentation graphique obtenue : l'appeler (D2).

Sur le bureau double-cliquer (à l’aide du bouton gauche de la souris) sur l’icône

Geogebra

�

� �

�

�


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5) Sélectionner l’icône � et l’onglet « intersection entre deux objets », avec la souris sélectionner les deux courbes. Un point A apparaît. Lire les coordonnées du point d’intersection A de ces deux droites dans « la fenêtre algèbre » à droite de l’écran. x = y = I ( ; )

Remplacer dans la première équation x et y par les valeurs que vous venez de trouver :

Cette équation est-elle vérifiée pour les valeurs trouvées ? o OUI o NON

Remplacer dans la deuxième équation x et y par les valeurs que vous venez de trouver :

Cette équation est-elle vérifiée pour les valeurs trouvées ? o OUI o NON

Appel n°4 6) Conclure

– Quelle est la mesure du côté x ?

– Quelle est la mesure du côté y ?

Interprétation

- De quelle nature sont les fonctions représentées sur le graphique ?

- Réécrire la 1ère équation :

- Isoler y y =

Appel n°5

- Réécrire la 2nde équation :

- Isoler y y =

Appel n°6

- C'est l'écriture de l'équation de la droite représentant une fonction affine : y = ax+b


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Conclusion Pour résoudre graphiquement un système de deux équations à deux inconnues, on détermine graphiquement les coordonnées du point d'intersection des droites qui ont pour équations celles du système.

Fin de l'activité Aller dans le menu "Editer" � de la barre de menus, puis « tout sélectionner» puis sur la touche « supp » de votre clavier.

Appel n°7

Évaluation Résoudre comme précédemment les systèmes d'équations figurant sur la fiche d'évaluation donnée à la suite.

Entre chaque exercice, cliquer sur "Editer" 4 puis sur « tout » sélectionner puis sur la touche « supp » de votre clavier pour effacer toutes les équations et les tracés de droites.

Exercice n°1 :

Résoudre graphiquement le système d'équations :

⎩⎪⎨⎪⎧ 4x + 3y = 165x - y = 1

La solution du système est : 𝑥 = ⋯ .𝑦 = ⋯ .

Exercice n°2 :


⎩⎪⎨⎪⎧ 4x + 2y = -6x + 3y = 1



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Exercice n°3 :


⎩⎪⎨⎪⎧ 4x + 3y = 412x + 5y = 31 (faire un Zoom arrière en cliquant sur la fenêtre pour afficher les droites dans l'écran)


Exercice n°4 :


⎩⎪⎨⎪⎧ 5x - y = 853x + 2y = 90 (faire un Zoom arrière en cliquant sur la fenêtre pour afficher les droites dans l'écran)


Remise en état du poste de travail Cliquer sur la fenêtre "Fichier" � puis "Fermer" ; Le message suivant apparaît : Voulez-vous sauvegarder vos modification ?, cliquer sur "Non";

Cliquer sur la fenêtre "Démarrer" puis "Arrêter".

Appel n°8

Activité 7 : Calculatrice

Reprendre les cinq systèmes précédents :

(voir capsule sur : mathssciences.eklablog.com) • Modèle Casio : MENU → EQUA → EXE → F 1 (SILMULTANEOUS)) → F1(2 unknows :2 inconnues) → entrer les coefficients des deux équations ; exemple : premier système : 4 EXE 3 EXE 16 EXE 5 EXE (-)1 EXE 1 EXE → F1 (SOLV) Lire la valeur du couple de solutions (x ;y) Pour passer au système suivant : → F1 (REPT) et entrer les nouveaux coefficients sans effacer les autres.

Exercices : c 117page 46 c 120 page 46

Documents

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