Activité d'approche n°1 : Crible d'Eratosthènescolamath.free.fr/newdocs/TSSpM/TSSpM_2015_CHAP3_Notes_de_cours.pdf · 8/14 TS-Spé Math : Chap.3 : Nombres premiers Cours n°3 II)

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Chap. 3 : Nombres premiers

Objectifs :m8. Nombres premiers.m9. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Activité d'approche n°1 : Crible d'Eratosthène

Définition

On dit qu'un nombre p est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

1. Zéro est-il un nombre premier ?...................................................................................................................................................2. Un est-il premier ?...................................................................................................................................................

3. Rayer les multiples de 2, puis les multiples de 3, etc.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100101 102 103 104 105 106 107 108 109 110111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130131 132 133 134 135 136 137 138 139 140141 142 143 144 145 146 147 148 149 150


4. À partir de quand aurait-on pu s'arrêter ?.....................................................................................................................................................5. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 150.

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.....................................................................................................................................................6. Y a-t-il des nombres premiers impairs consécutifs ?.....................................................................................................................................................7.a. Dans le tableau ci-dessus, quelle est la plus grande séquence sans nombre

premier ?.....................................................................................................................................................b. 24=1×2×3×4. Expliquer pourquoi, en ce cas, 24+2, 24+3, et 24+4 ne sont pas

premiers...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................c. De manière général, notons n! = 1×2×3×4×...×n. Montrer que tous les

nombres entiers compris entre n!+2 et n! + n ne sont pas premiers...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°1

Chapitre III : les nombres premiers

I) Nombres premiers

Définition n°1

Un nombre entier naturel p est premier s'il a exactement …............................................................................... , …...... et ….....................................Par opposition, on dit qu'un nombre qui n'est pas premier est composé.

Remarques 0 …................................................... car …...............................................................................1 …................................................... car …...............................................................................Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : …................................................................................................................................................

Propriété n°1

Soit n un nombre entier strictement supérieur à 1. Alors le plus petit diviseur de n est …..............................

Démonstration :

Par l'absurde :....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exemple n°1Décomposer le nombre 50 en facteurs premiers :.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°1Ex.25 p.27.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°2Ex.28 p.27.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°3**Ex.86 p.30.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°4**Ex.87 p.30...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Cours n°2

Propriété n°2

Tout nombre composé n admet un diviseur premier au plus égal à √n .

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Démonstration

On utilise la propriété précédente : comme n est composé, il existe un plus petit diviseur premier d de n, distinct de n............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Conséquence :Si un nombre n ne possède pas de diviseur autre que 1 entre 1 et √n , alors, ….......................................................................

Exemple n°297 est-il un nombre premier ? Justifier.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Propriété n°3

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration :

Par l'absurde et en utilisant la propriété n°2 :..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°5Ex.32 p.27.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°6Ex.81 p.29.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°7Ex.82 p.29.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°3

II) Décomposition en facteurs premiers

Propriété n°4 (Existence d'une décomposition)

Soit n un nombre entier naturel. Alors il existe un nombre fini de nombres premiers p1, p2, p3,...,pk distincts tels que n = .................................................................

où 1, 2, 3, … k sont des entiers non nuls.

Démonstration :

Par l'absurde : ................................................................................................................... Supposons que la propriété ne soit pas vraie pour tous les entiers, et soit n le premier entier qui ne soit ni premier, ni décomposable en produit de nombres premiers ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exemple n°3:Décomposer 140 en facteurs premiers..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Propriété n°5 (Unicité d'une décomposition) - admise

Soit n un nombre entier naturel. Alors la décomposition de n en facteur pre-miers p1

1× p22 ×p3

3× …. …. × pkk où 1, 2, 3, … k sont des entiers non nuls, et

où les pi, 1ik sont des nombres premiers tous distincts, est …........................................

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Propriété n°6 (diviseurs)

Soit n un nombre entier naturel et p11× p2

2 ×p33× …. …. × pm

m sa décomposi-tion en facteurs premiers. Alors tout produit partiel pi1

i1× pi2

i2 ×pi3

i3× …. …. ×

pik

ik de cette décomposition (les ij étant tous inférieurs ou égaux aux ij ).

Exemple n°4En utilisant la décomposition en facteurs premiers, donner tous les diviseurs de140..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Propriété n°7 (Nombre de diviseurs)

Soit n un nombre entier naturel et p11× p2

2 ×p33× …. …. × pm

m sa décomposi-tion en facteurs premiers. Alors le nombre de diviseurs de n est …................................................

Exemple n°5Soit a un nombre entier tel que a=25×3n. Donner le nombre de diviseurs de a...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°8Ex.30 p.27.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°9Ex.99 p.30.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°10*Ex.101 p.31..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°11**Sujet E p.38..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°12***On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par u0 = 1 et, pour tout entier n supérieur à 0, un+1 = 10 × un + 21.1. Calculer u1, u2 et u3.2.a. Démontrer, pour tout entier naturel n, 3un = 10n+1 – 7.b. En déduire l'écriture décimale de un.

3. Montrer que u2 est un nombre premier.4. Montrer que, pour tout entier naturel n, un n'est ni divisible par 2, ni divisiblepar 3, ni divisible par 5.5.a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4 –(–1)n [11]

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n'est pas divisible par 11.6.a. Donner le reste de la division division euclidienne de 104 par 17. En déduire que 1016 ≡ 1 [17].b. En déduire que, pour tout entier naturel k, 3u16k+8 est divisible par 17, puis,

par l'absurde, que u16k+8 est divisible par 17.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°13**Pour tout entier naturel n, on considère le nombre N = n4 + 4. On se demande s'ilexiste des valeurs de n pour lesquels N est premier.1. En remarquant que n4 + 4 = n4 + 4n2+ 4 – 4n2, factoriser n4 + 4.2. En déduire que N est premier si et seulement si n=1......................................................................................................................................................

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Indices et résultatsExercice n°1 (Ex.25 p.27) : 113 et 227 sont premiers. Les autres ne le sont pas. Exercice n°2 (Ex.28 p.27) : 45 = 3

2×5 ; 1400 = 2

3×5

2×7 ; 735 = 3 × 5 × 7

2. Exercice n°3** (Ex.86 p.30) : 1. différencier n=2 et n≠2. Si n est premier, n n'est pas pair. 2. Non. 3.

Non. Exercice n°4** (Ex.87 p.30) : 2. Les nombres premiers sont de la forme 6q+1 ou 6q+5. 3. Distinguer

le cas 6q+1 et le cas 6q+5. Exercice n°5 (Ex.32 p.27) : a : 24 ; b : 8.Exercice n°6 (Ex.81 p.29) : Diviser 1789 par chaque entier de la liste.Exercice n°7 (Ex.82 p.29) : 1. Factoriser f. 2. Penser aux entiers négatifs. Exercice n°8 (Ex.30 p.27) : 19

6 et 130

17

Exercice n°9 (Ex.99 p.30) : 3696.Exercice n°10* (Ex.101 p.31) : p14 ou p2

×q4, p et q étant premiers.

Exercice n°11** (Sujet E p.38) : A.2. 17×37 B.1. (1;5;5),(5;1;5),(-1;-5;5),(-5;-1;5) B.2. n4+4. B.3.

Montrer que les deux facteurs sont strictement plus grands que 1. Exercice n°12***

1. u0=1, u1=31, u2=331, u3=3331. 2.b. 333....31 (le nombre de 3 est n). 6.a. 14. Exercice n°13**

1. n4 + 4 =(n²+2-2n)(n²+2+2n).

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