Charalambos LEMONIDIS. p18. Las matemàticas de la Naturaleza y de la vida

Communication C1

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L A GESTION D UNE SITUATION OUVERTE EN MATHMATIQUES : QUESTIONS D EXPERIENCE ET DE RAPPORT AU SAVOIRMagali HERSANTMatre de confrences, IUFM des Pays de la Loire CREN [email protected]

Rsum Cette communication qui est issue dun travail dans le cadre dune recherche INRP concerne lenseignement des mathmatiques lcole lmentaire et se situe dans le cadre de la didactique des mathmatiques. Son objet est de comparer la gestion effective dune mme situation ouverte par deux enseignants dexprience ingale : un instituteur matre formateur et un professeur des coles stagiaire. Ltude comparative seffectue selon plusieurs axes relatifs la mene de la sance par les deux enseignants : problme mathmatique pos, organisation du travail dans la classe, situation mathmatique rellement propose aux lves et traitement des propositions des lves, gestion du tableau. Elle permet finalement de questionner le rle de lexprience et celui du rapport au savoir dans lorganisation du dbat dans la classe.

En mathmatiques, lcole lmentaire, les situations ouvertes , dont les situations de dbat, constituent des lieux privilgis pour travailler la fois la rsolution de problmes et les activits langagires. Les programmes actuels incitent dailleurs, aprs les travaux du groupe ERMEL (ERMEL, 1999), proposer aux lves des problmes pour chercher qui conduisent entre autres les lves exposer et argumenter leur rponse. Mais il est reconnu que la gestion de ces situations encore peu habituelles en classe de mathmatiques est relativement difficile, en particulier pour les jeunes enseignants (Douaire et al., 2003). De ce fait, ces situations interrogent la didactique des mathmatiques plusieurs titres. Les questions portent dabord sur les apprentissages mathmatiques des lves. Dautres questions concernent les pratiques effectives et la formation denseignants : comment les professeurs grent-ils ces situations en mathmatiques ? En quoi leur gestion dpend t-elle de lexprience denseignement du professeur ? Comment former des enseignants la pratique du dbat en classe ? Dans cette communication, nous abordons ces questions partir de ltude comparative de deux sances relatives une mme situation ouverte en mathmatiques au cycle 3. Lune est mene par un instituteur matre formateur et lautre par un professeur des coles stagiaire. Lobjet de la comparaison est de comprendre comment les deux enseignants grent lavance de la situation et de questionner le rle ventuel de leur exprience dans les dcisions quils prennent. La situation tudie et le cadre de lanalyse sont prsents dans la premire partie de ce texte. La comparaison du droulement effectif dans les deux classes partir de lanalyse de certains pisodes des sances, en termes dapprentissage des lves et de gestion du dbat dans la classe, fait lobjet de la seconde partie. En conclusion, nous questionnons les pratiques observes au regard des expriences denseignement et du rapport aux mathmatiques des deux enseignants.XXXIIe COLLOQUE COPIRELEMDES PROFESSEURS ET DES FORMATEURS DE MATHMATIQUES CHARGS DE LA FORMATION DES MATRES

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I LA SITUATION TUDIE ET LE CADRE DE LANALYSE Nous proposons une analyse didactique qui vise dune part comprendre la faon dont les deux professeurs grent lavance de la situation dans la classe et, dautre part, envisager les effets de cette gestion sur lactivit mathmatique des lves et leurs apprentissages. Les rfrences thoriques sont principalement celles de la thorie des situations (Brousseau, 1998), notamment la notion de contrat didactique et de rpartition de responsabilit entre le professeur et les lves dans la construction des savoirs et connaissances dans la classe et celle de milieu (Brousseau, 1996 ; Perrin-Glorian & Hersant, 2003). I 1 La situation propose aux lves Le problme tudi, dit Des trois nombres qui se suivent , est extrait de ERMEL (ERMEL, 1999) et conu pour des lves de cycle 3. Etant donn un nombre entier naturel n quelconque il sagit de dterminer sil peut scrire comme la somme de trois nombres qui se suivent. Lensemble des nombres qui vrifient cette proprit mathmatique que nous noterons P par la suite est lensemble des multiples de trois. I 1.1 Le droulement prvu Le problme a t choisi dun commun accord entre les deux enseignants et le chercheur. La prparation de la situation a aussi t commune. Pour la premire sance, lobjectif est que les lves rsolvent le problme pour les nombres 15, 96 et 46, argumentent et dbattent propos des preuves proposes. Les lves nauront pas de calculatrice disposition. Pour les lves les plus en difficult lors de la recherche pour 96, il est convenu de proposer le nombre 36. Le droulement prvu est le suivant. Dabord, poser le problme pour le nombre 15 de faon sassurer que les lves ont bien compris la consigne et en faire une rsolution collective, principalement orale. La consigne choisie est Le nombre 15 peut-il scrire comme la somme de trois nombres qui se suivent ? Oui ? Non ? Pourquoi ? . Ensuite, individuellement et par crit, les lves rsolvent le problme pour 96 (ventuellement 36), avec une consigne identique. Aprs la correction de cette question, les lves cherchent par groupe une solution pour 46 et ralisent une affiche reprenant leur rponse. Sil reste du temps, le professeur demande aux lves de trouver dautres nombres qui marchent et ventuellement dmettre une hypothse sur lensemble des nombres ( tous les nombres ) qui vrifient la proprit. Il est plutt prvu que ces questions fassent lobjet des sances suivantes, conformment la situation telle quelle prsente dans ERMEL. I 1.2 Analyse a priori de la situation Lobjet de cette analyse est double : tudier les procdures de rsolution possibles pour les lves ; dterminer les potentialits adidactiques de la situation et les interventions ncessaires de lenseignant. La situation de la premire sance est compose dune suite de trois petites situations semblables. Dans les deux premires, les nombres vrifient la proprit P, ce qui nest pas le cas de la troisime.

LA GESTION DUNE SITUATION OUVERTE EN MATHMATIQUES

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Lorsque les nombres vrifient la proprit Raisonnons dabord sur le cas du nombre 15. Il est assez simple de trouver une dcomposition correcte en procdant par essais successifs en partant de la suite 1, 2, 3. Pour rsoudre le problme les lves peuvent : a) tablir une conjecture de type oui et chercher une dcomposition par essais successifs ; b) Chercher une dcomposition (par essais successifs) sans vritablement tablir de conjecture ; c) tablir une conjecture de type non et en chercher une preuve. Lors du travail individuel, la validation dune solution va venir essentiellement du contrle du respect des contraintes. Les lves nont pas de calculatrice disposition, des erreurs peuvent donc subsister ce niveau. Par ailleurs, pour un lve qui sengagerait dans la procdure c, la seule rtroaction possible de la situation elle-mme serait quil trouve (par hasard) la dcomposition correcte. Cela suppose donc quil na pas rellement tabli de conjecture non . Lors de la mise en commun, les rtroactions vont par contre pouvoir venir des autres lves qui peuvent proposer des arguments contre les propositions faites. Il est donc possible que la situation soit rsolue avec un minimum dinterventions de lenseignant. Pour 96, il devient plus laborieux de procder par essais successifs. Cependant, on peut penser trouver la suite correspondante en effectuant une division par 3 de 96. Pour traiter ce cas, il devient un peu plus important dtablir une conjecture. I 1.3 Lorsque les nombres ne vrifient pas la proprit Le cas de 46 est plus compliqu que les prcdents, en particulier car la preuve fait appel dune part au caractre discret de lensemble des entiers naturels et dautre part la croissance de la fonction somme sur les entiers naturels. Or ces proprits sont la fois subtiles, transparentes et intuitives pour les lves. Cela peut nuire linstauration dun dbat dans la classe. En effet, au niveau du cycle 3, les lves vont pouvoir prouver que 46 ne se dcompose pas en la somme de trois nombres conscutifs en indiquant que : la somme de 14, 15 et 16 vaut 45 ; celle de 15, 16, 17 vaut 48 ; 46 est compris entre 45 et 48 et on ne peut pas latteindre.

La preuve consiste donc non plus exhiber un triplet correct mais mettre en relation des arguments pour effectuer, finalement, un raisonnement par labsurde. Si un lve conjecture que 46 peut se dcomposer en la somme de trois nombres conscutifs et produit un triplet qui permet, son avis, de le montrer, il est assez facile prouver que le triplet ne convient pas car il ne respecte pas une des contraintes. Dans ce cas, les rtroactions peuvent facilement venir soit de llve qui contrle son rsultat, soit des autres lves de la classe. Dans le cas o llve fait la conjecture correcte mais produit une preuve errone, il sera peut tre plus difficile pour les autres lves de la

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classe de ragir aux arguments proposs. Des interventions de lenseignant sont donc prvoir ce moment. I 2 Les enseignants et les classes La situation a t mene et filme dans deux classes de cycle 3 de la mme cole, en ZEP, par deux enseignants dexprience trs ingale. Le professeur A est matre formateur et mne la sance dans la classe A qui est le CM1 CM2 dune de ses collgues. Le professeur B est une stagiaire de lIUFM qui mne la sance dans une classe de cycle (CE2-CM1-CM2) qui est la classe habituelle du matre formateur et que nous appellerons classe B. La stagiaire a une licence de mathmatiques, ce qui nest pas le cas du matre formateur. La classe B est rpute plus difficile que la classe A, les lves sont un peu plus en difficult. La sance est dabord ralise dans la classe A, puis dans la classe B. Le professeur A assiste la sance mene par le professeur B et rciproquement. I 3 Outils danalyse des interactions observes Pour lanalyse des interactions didactiques nous considrons deux niveaux (Hersant, 2004). Un niveau global qui correspond la fonction didactique de linteraction dans le droulement du dbat, du point de vue du professeur. Un niveau local qui correspond la faon dont linteraction est gre entre les interlocuteurs. Parmi les interactions observes celles qui correspondent aux propositions formules par les lves pour rpondre la question mathmatique sont essentielles puisque les objectifs de la sance concernent la formulation de propositions et largumentation. Pour lanalyse des propositions dlves nous prenons en compte les caractristiques suivantes qui sont indpendantes : conjecture : est-ce que llve a tabli une conjecture mathmatique ? Est-ce quil lexplicite ? Cette conjecture est-elle correcte ? justification : est-ce que llve donne explicitement une justification de sa rponse ? Cette justification prend-t-elle en compte explicitement une, deux, trois ou quatre contraintes ? Est-ce que llve propose une dcomposition possible ? Si oui, cette dcomposition est-elle correcte ?

La proposition dune dcomposition nimplique pas que lexplicitation des trois contraintes (ni mme le respect de la contrainte somme). Ainsi proposer une dcomposition ne peut pas vraiment avoir valeur de preuve mathmatique tant que le respect des contraintes nest pas explicit. Pour autant, dans certains cas il peut apparatre vident pour les lves que ces contraintes sont respectes. La faon dont les propositions des lves sont traites par lenseignant correspond entre autres une rpartition des responsabilits entre le professeur et les lves et va reflter certains aspects du contrat didactique mis en place dans la classe. Pour chacune des caractristiques, le professeur peut choisir de lvaluer, de renvoyer lvaluation la classe, certains lves de la classe ou llve qui fait la proposition.


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II LMENTS DE COMPARAISON DES DEUX SANCES Ltude linaire comparative des deux sances permet de reprer des diffrences et des similitudes dans la gestion de la situation par les enseignants A et B. Globalement, il ny a pas dcart majeur par rapport la prparation. Cependant, dans la classe A, la sance va au-del de ce qui tait prvu puisque lide que les nombres multiples de trois pourront toujours admettre une dcomposition est donne, tandis que dans la classe B, la sance se clt sur lexemple de 96. Les sances ont la mme dure (1 h 10 environ) mais le nombre de tours de parole observs dans la classe B est beaucoup plus important que celui observ dans la classe A (plus de 800 contre environ 500). Cet cart est rparti rgulirement au cours des diffrences phases de la sance. Intressons nous maintenant plus prcisment certains moments du droulement pour prciser ce qui diffrencie les deux enseignants et le questionner du point de vue de lexprience, du rapport au savoir mathmatique et des apprentissages des lves. II 1 La dvolution du problme La premire intervention des enseignants, qui a un rle cl dans la dvolution du problme aux lves, est assez diffrente plusieurs niveaux. II 1.1 Lenrlement des lves dans la rsolution mathmatique B nimplique pas vraiment personnellement les lves dans le problme qui va tre donn, elle sadresse rarement directement eux (au dbut, utilisation du il faudra , puis du vous et enfin du on , nous ) : le problme aujourdhui, il faudra bien, bien faire attention. Faudra toujours justifier, dire pourquoi on fait quelque chose, alors faudra pas rpondre au problme en disant seulement oui, non. Daccord ? Faudra toujours dire oui parce que quelquehhhh quelque chose ou alors non parce que quelque chose quelque chose. Daccord ? donc aujourdhui, je vais vraiment vous demander de faire a. Cest bien, chaque fois que vous rpondez quelque chose. (inaud) cest toujours de faire des phrases en disant parce que quelque chose. Daccord ? alors notre petit problme aujourdhui, a va tre de crire alors coutez bien l a va tre un petit peu compliqu au dbutdcrire des nombres daccord ? comme une somme, une somme cest comme une addition, de trois nombres qui se suivent. Alors l a parat un petit peu difficile. On va on va se faire un exemple tous ensemble daccord ? alors lexemple tous ensemble a va tre avec le nombre 15. A loppos, A sadresse directement aux lves ds le dbut (en gras), puis utilise une fois ou deux le on la fin de la prsentation. Il prcise aussi clairement que le rle des lves sinscrit dans une double logique (soulign) : logique dapprentissage (apprendre rsoudre un problme), logique daide (aider un PE apprendre son mtier, aider un prof de maths de lIUFM) : Donc, vous votre rle il est triple : dabord, ben, vous allez apprendre quelque chose, hein, vous savez, vous savez des choses sur les nombres, vous savez faire des oprations, et bien aujourdhui et puis deux autres fois, mais l ce sera avec Valrie votre matresse, vous allez apprendre rsoudre un problme en utilisant ce que vous savez sur les nombres et sur les oprations. Je peux pas en dire plus pour linstant, donc a cest vous allez apprendre quelque chose, jespre en tout cas. Deuxime

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rle, heu vous allez aider heu les tudiantes ben heu apprendre puisque ces tudiantes vont devenir institutrices lanne prochaine et puis heu dans deux ans pour heu.. toi je le souhaite. Et dernire chose, et bien pour nous, donc Magali quest une professeur de maths, liufm, l o on forme les matres et bien ce que vous ferez nous apprendra pour savoir comment on peut faire faire des maths aux lves. Voil. Aujourdhui.. on va. Certains nombres coutez bien. Certains nombres se dcomposent en une somme de trois nombres qui se suivent et dautres pas. On va expliquer tout a. Et bien aujourdhui, on va apprendre trouver ces nombres, en trouver certains et surtout expliquer pourquoi. Je vais vous donner un exemple. Par exemple, le nombre 15 15 il crit il se dcompose en la somme de trois nombres qui se suivent. II 1.2 La place du problme dans les apprentissages B indique aux lves quil va falloir faire attention, expliquer, justifier, dire pourquoi, faire des phrases. Le problme est dcrire des nombres comme une somme de trois nombres conscutifs (B ne rappelle pas la fin que ce qui est important est de justifier). Elle nindique pas que cela va servir apprendre rsoudre des problmes. Elle place les lves dans une logique du faire (cf. supra). Au contraire, A situe le problme dans la continuit des apprentissages des lves et leur indique clairement quils vont apprendre rsoudre des problmes et en particulier quil sagit dapprendre trouver les nombres qui se dcomposent en la somme de trois nombres conscutifs, en expliquant pourquoi (cf. supra). II 1.3 Le problme mathmatique pos B ne prcise pas que certains nombres peuvent se dcomposer comme la somme de trois nombres conscutifs et dautres pas. Elle propose dcrire des nombres comme la somme de trois nombres conscutifs. Ce choix nous amne envisager deux consquences opposes concernant lactivit mathmatique future des lves : 1) En parlant de nombres, B donne un caractre local au travail et peut laisser penser quon va travailler sur des nombres pris au hasard, sans sintresser au cas gnral, voire que la dcomposition est possible pour tout entier. Cela est contradictoire avec la suite du problme o les lves auront trouver un critre qui permet de savoir si un nombre peut se dcomposer ou pas comme la somme de trois nombres conscutifs ; 2) De cette faon B laisse le problme trs ouvert puisquelle nindique pas que quil y a une partition entre les nombres qui vrifient la proprit et ceux qui ne vrifient pas. Il est donc possible que cela permette finalement de mieux poser le problme pour les lves qui dcouvriront deux mmes que tous les nombres ne vrifient pas la proprit. La suite du droulement montre que cela nempche pas les lves de penser que certains ne peuvent pas se dcomposer comme la somme de trois nombres conscutifs. Lenseignant A indique clairement que seulement certains nombres vrifient la proprit et prcise que lobjet de la sance est de les trouver. Il donne ainsi un caractre plus


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gnral au problme (trouver ces nombres). Mais il ferme aussi le problme en cartant tout doute chez les lves. Ainsi, les deux enseignants donnent aux lves des perspectives mathmatiques diffrentes et induisent ainsi une activit mathmatique diffrente. Dans un cas, il sagit de faire sur des cas particuliers, sans se soucier de dgager des critres gnraux ou bien de faire avec une assez grande ouverture ; dans lautre cas, le problme est prsent comme un travail sur des exemples pour dgager un critre gnral. II 1.4 La difficult du problme B prsente plusieurs reprises le problme comme un problme difficile et petit alors que A ne donne aucune prcision l-dessus au dpart. Plus tard, pour le cas de 15, il prcisera que cest simple en fait . II 1.5 Discussion Le caractre local que B donne au problme peut peut-tre sexpliquer par le fait quelle nest que de passage dans la classe. On peut aussi penser que cela est li une professionnalisation en cours, une difficult dcider de ce qui est essentiel dans une situation et percevoir les apprentissages comme une continuit. Au contraire, A, qui est aussi de passage dans la classe de CM1/CM2, implique demble plus les lves et donne une dimension plus gnrale au problme en le situant dans les apprentissages. Son exprience lui permet peut tre de mieux situer le problme dans la perspective dapprentissages long terme pour les lves. Cependant, il semble que B laisse plus douverture au problme que A, ce qui nest pas sans consquence sur le contrat didactique mis en place et largumentation venir. II 2 La gestion des cas 15 et 96 II 2.1 Le cas de 15 Le travail sur ce nombre doit permettre aux lves de comprendre la consigne et la ncessit de respecter les critres suite (les nombres se suivent), somme (leur somme vaut 15) et termes (avoir 3 termes dans la somme). Des diffrences apparaissent dans la gestion de cette phase au niveau de lorganisation du travail dans la classe, de ce qui est en jeu ce moment-l, de la faon dexpliciter et de respecter la contrainte les trois nombres se suivent , du traitement des propositions des lves. Lorganisation du travail dans les deux classes B donne les feuilles aux lves et leur demande un travail individuel rapide. Ce travail est suivi dun travail collectif et oral plus long. La recherche individuelle devrait permettre chacun des lves de rentrer dans le problme, mais ce moment est si court que ce nest pas sr. A propose directement un travail oral.

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La situation rellement propose dans les deux classes et ses enjeux A annonce clairement que 15 se dcompose comme la somme de trois nombres qui se suivent. Il ferme ainsi le problme : les lves nont plus tablir de conjecture, lenjeu est de travailler sur la justification (exhiber une dcomposition de 15 et montrer quelle convient). Les propositions des lves vont tre du type : 15 se dcompose en la somme des trois nombres suivants . Ces propositions dlves devront tre acceptes ou rejetes par les autres lves de la classe avec des arguments du type je suis daccord / jaccepte la proposition car les trois nombres se suivent et leur somme est 15 . B laisse la question ouverte ( on essaie de lcrire comme une somme ). Le problme va vraiment correspondre au traitement dun premier cas, simple, qui sera loccasion de sintresser particulirement au respect des contraintes. Explication de la contrainte les trois nombres se suivent A travaille sur lexpression trois nombres qui se suivent partir de la dcomposition de 15 propose par une lve, Sidonie (interaction 1) : P : heu Sidonie. Si : heu .. 5 3 3 5. P : jentends pas. Si : 3 5. P : comment tu cris a avec une somme ? 3 5 ? Si : 5 +5+5. P : 5+5+5. En effet, 15 E : inaud1. P : alors pourquoi ? Si : 3 5 a fait 15. P : en effet, 15 a se dcompose en la somme de trois nombres, mais est-ce que 5 5 5 se suivent ? Pe : non. P : Sidonie, regarde bien. Est-ce que 5 5 5 se suivent ? Si : comment a ? E : non. P : jai trois nombres ici qui se suivent. Donc l on a bon, on a trois nombres mais ces trois nombres ne suivent pas. Donc a ne va toujours pas. Mais on commence comprendre dj. Il nindique pas explicitement ce que signifie trois nombres qui se suivent , bien que llve ne semble pas comprendre. A la suite de cette interaction, il rejette la proposition dun autre lve qui ne respecte pas cette contrainte ( Je ne prends pas 5+8+2 ) et en indiquant que cest comme pour Sidonie. La signification de ce que sont trois nombres qui se suivent est laisse en grande partie aux lves. Ce nest apparemment pas un enjeu pour le professeur, ce quil vise plutt cest le respect des contraintes.

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Inaud signifie inaudible.


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Dans la classe B, un lve propose voix intelligible mais sans tre interrog la mme dcomposition que Sidonie. B ne relve pas cette rponse et demande de donner 3 nombres qui se suivent . Elle va alors travailler, partir dun exemple 1 2 3, explicitement sur la signification de lexpression nombres qui se suivent et le respect simultan des deux contraintes : ici on a trois nombres qui se suivent mais leur somme ne fait pas 15 , donc a ne va pas. La faon dont B gre la parole ce moment peut permettre de signifier quil faut lever le doigt pour pourvoir tre interrog. Par ailleurs, faut-il interprter le travail spcifique sur le vocabulaire comme un pralable ncessaire pour la stagiaire ? Le traitement des propositions des lves Le tableau suivant indique la faon dont A traite les diffrentes propositions des lves. Propositions 3-14 Guillaume :5 10 15 Traitement (dans lordre o il est effectu) Contrainte somme : A pose la question et les autres lves rejettent Rejete. A note quil y a le respect de la contrainte termes. Contrainte suite : non traite. 15-30 Sidonie 1 : 35 Sidonie 2 : 5 5 5 Contrainte somme : A demande Sidonie dcrire sous la forme dune somme . Contrainte somme : A value. Contrainte suite : A pose la question, les lves valuent. 31-36 Salah : 5 8 2 37-42 Coralie : 4 5 6 Contrainte suite : A value et rejette la proposition. Contrainte somme : non traite. Contrainte somme : traite par Coralie, spontanment. Accepte par les autres lves. Contrainte suite : A pose la question (Coralie ne le prcise pas demble) et les autres lves valident.

Lorsquune proposition dlve est errone lenseignant va : soit valuer la contrainte respecte et demander aux autres lves de la classe de se prononcer sur le respect de la seconde contrainte (2) ; soit demander directement aux lves dvaluer la contrainte non respecte et ne pas traiter la seconde contrainte (1) ; soit valuer lui-mme la contrainte non respecte et rejeter la proposition (3).

En termes de rpartition de responsabilits, on peut donc dire que pour cette phase lenseignant garde une grande part de responsabilit. Du point de vue des mathmatiques, la faon dont il gre cette phase montre implicitement que pour rejeter une proposition, il suffit quune des contraintes ne soit pas respecte. Dans la classe B, ltude aboutit au tableau suivant :

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Propositions Jeffry : 1 2 3

Traitement A la demande de B, donner 3 nombres conscutifs. Contrainte suite : donne. Contrainte somme : traiter par les lves.

Mallaury : 5 5 5

Contrainte suite : des lves valuent spontanment cette contrainte. B nen tient pas compte et interroge sur la contrainte somme. Contrainte somme : value la demande de B. Contrainte suite : nouvelle valuation la demande de B.

E:567 E:456 Nam : 4 5 6

Pas trait. Temps de travail personnel. Pas trait. Temps de travail personnel. Contrainte suite : B pose la question. Plusieurs lves valident. Contrainte somme : plusieurs lves valident, B dcompose le travail.

Dans cette classe, une part plus importante de responsabilit est laisse aux lves dans le traitement des propositions faites. En effet, B demande le plus possible aux lves de valider, quelquefois mme quand cest trs simple (pour la somme par exemple). Par ailleurs, B sattache vrifier systmatiquement le respect des deux contraintes et la contrainte respecte est toujours sollicite en premier, de faon ne pas tuer lintrt de regarder le respect de lautre contrainte. Conclusion Au cours de cette phase, A ferme plusieurs niveaux la situation, sans que cela apparaisse li une ncessit de gestion (il le fait ds le dbut) : au niveau mathmatique (les lves nauront finalement se prononcer que sur le respect des contraintes), au niveau de la prise de dcision des lves (il value certaines propositions et dirige le traitement des autres). Il laisse par contre une ouverture sur la signification de lexpression nombre qui se suivent quil traite implicitement travers des exemples et contre-exemples. B laisse la situation ouverte au niveau mathmatique. Elle dirige le travail sur le respect des contraintes travers un jeu de questions mais nvalue pas directement les rponses proposes par les lves et demande toujours la vrification des deux contraintes. Elle laisse aussi une certaine ouverture pour ce qui concerne le travail mathmatique. A semble tre essentiellement sur lobjectif comprendre la consigne tandis que B semble considrer ce moment dj comme un moment de recherche et un entranement la mthode de vrification des propositions.


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II 2.2 Le cas de 96 Dans les deux classes, le travail est organis dabord avec une phase de travail personnel et individuel puis une phase de mise en commun. La gestion du travail individuel Dans la classe A, les interventions de lenseignant concernent : des aspects dorganisation lis lutilisation dune feuille, au dbut du travail surtout (6 interventions sur 27) ; la poursuite de la dvolution du problme (19/27) qui est soit individuelle, soit collective (renvoi la classe la question dun lve) ; lvaluation des rponses des lves qui reprsente le tiers des interventions de lenseignant ce moment (5/15). Cette valuation concerne soit la valeur de vrit (2/5) mathmatique de la rponse, soit la justification de la rponse (3/5). Elles sont en gnral associes la poursuite de la dvolution du problme.

Ces interventions risquent de restreindre lactivit de llve la recherche dune rponse de type oui / non sans justification. De plus, elle nincite pas travailler sur les aspects contrle du rsultat et organisation du travail. Par ailleurs, elles tuent aussi le suspens sur la valeur de vrit des rponses et donc sur la source du dbat. Dans la classe B, les interventions de lenseignante concernent la gestion du bruit dans la classe, lorganisation du travail sur feuille, la dvolution du problme. La dvolution du problme se fait notamment avec : un rappel linitiative de B sur la faon dont on rpond un problme et sur les exigences de B ; une prcision de la faon dont on peut organiser le travail : B conseille de faire des essais.

Les interventions individuelles de B auprs des lves nont pas pour fonction dvaluer les rponses des lves (du moins dans ce qui a pu en tre retranscrit) mais de poursuivre la dvolution ou dinciter la validation par des questions. Lorsquelle circule auprs des lves, B leur indique sils peuvent passer au travail sur le nombre 46 mais il ne semble pas quelle value pour autant la validit de leur rponse pour 96. Elle regarde plutt sils ont produit une rponse conforme ce quelle leur a rappel au dbut. Ainsi, B met en place les lments ncessaires au dbat et favorise probablement la problmatisation de la question. Dans les deux classes le contrat didactique tabli nest pas le mme. Dans la classe A les lves ont la responsabilit dune premire production et peu celle de la validation tandis que dans la classe B les lves ont la responsabilit de la premire production et celle de la validation (contrle). Ces deux contrats renvoient des rgles du dbat mathmatique diffrentes.

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La gestion des mises en commun Dans la classe A, la mise en commun consiste essentiellement en une interaction duale entre lenseignant et llve Jonathan quil interroge. Sa proposition est : Oui car 96 = 31 + 32 + 33 . Elle est correcte mathmatiquement mais largument suite nest pas explicit. La fonction didactique de linteraction semble tre pour lenseignant de conclure sur le cas de 96. En effet, A value la justesse de la proposition (par rptition puis en prcisant tas juste, tu as raison , a marche, cest clair ) puis demande llve dexpliciter ses arguments. Comme il ny parvient pas, cest un autre lve qui explicite largument suite qui sera valid par rptition par lenseignant. Dans la classe B, Jordy qui est interrog fait dabord une proposition errone : 31 + 32 + 32. Des lves ragissent sans tre interrogs et B nvalue pas la proposition de Jordy. Une fois lerreur corrige, B dirige lvaluation de la proposition en demandant explicitement aux lves de se prononcer sur le respect des contraintes suite et somme ( est-ce cest bien des nombres qui se suivent ? ; est-ce que la somme a fait bien 96 ? ). La faon dont elle pose ces questions la classe induit un peu la rponse, mais il nous semble essentiel que la stagiaire laisse aux lves une part de responsabilit dans la validation de la proposition. II 2.3 La gestion du cas 46 Dans les deux classes, plusieurs lves ont rflchi individuellement au problme pour 46 avant la mise en commun pour 96. Un dbut de rsolution orale du problme pour 46 dbute naturellement dans la continuit de la mise en commun sur 96. Dans la classe B, plusieurs lves prennent la parole pour faire des propositions ou donner darguments. B ne prend pas position. Elle saffaire permettre la circulation des ides entres les lves en rappelant par exemple aux lves dcouter ce que dit un autre lve, relancer le problme (par exemple : on a trouv pour 15 pour 96 mais pour 46 on a un problme ) ou rapprocher des propositions dlves (par exemple regarde on la dj fait ). Elle tient le rle de mmoire des changes entre les lves et de rpartiteur de la parole dans la classe. Au moment o B interrompt le dbat pour lancer le travail en groupes, deux types darguments ont t mis dans la classe : 14 + 15 + 16 = 45 et 15 + 16 + 17 = 48 donc on ne peut pas et on ne peut pas car 46 est un nombre impair2. Lors de la mise en commun, les lves qui justifient limpossibilit de dcomposer 46 en la somme de trois nombres conscutifs par le fait que 46 est impair prennent une place importante. B renvoie dabord la classe la possibilit de poser des questions propos de cet argument, puis prcise ce quest un nombre impair mais, dans le feu de laction, se trompe ce qui ne facilite pas la suite du dbat. Pour autant, il faut noter quelle value rarement les propositions des lves, quelle privilgie lchange entre les lves. Elle facilite dailleurs le dbat plusieurs reprises en exploitant les cas prcdemment traits comme exemple ou contre-exemple. Dans la classe A, la premire phase de travail collectif sur le nombre 46 ne permet pas daller aussi loin que dans la classe B. Les arguments avancs sont moins bien explicits et sont tous du type on peut faire 45, on peut faire 48, mais on ne peut pas faire 46 .

Les lves nont pas appris prcdemment ce quest un nombre impair, mais cest un argument qui a t donn par Victor et qui est repris par les autres lves.

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Lors de la mise en commun, les lves ragissent peu aux diffrentes propositions et A value les rponses des lves. Il ny a pas vraiment de dbat. Lattitude moins ractive des lves dans cette classe peut tre lie au contrat didactique instaur au dbut de la sance par le professeur A. Mais il nous semble aussi que le contrat didactique habituel de la classe o les lves sont peu habitus dbattre joue un rle important. II 3 Des aspects moins didactiques de la gestion Lanalyse comparative des deux sances fait aussi apparatre des diffrences dans la gestion daspects moins directement didactiques de la sance. Le professeur A observe et mmorise les productions des lves lorsquil circule dans la classe. Il choisit dailleurs ensuite les lves qui vont aller au tableau sur la base de cette observation et sur des critres plus sociaux (place de llve dans le groupe classe). La stagiaire observe les productions des lves mais ne les mmorise pas. Cela la conduit dans cette sance envoyer au tableau en premier lieu pour la correction de 96 une lve trs en difficult qui na pas russi le problme pour 96 et qui elle a demand de traiter le cas plus simple de 36. A norganise pas son tableau comme le fait B avec un coin brouillon o les lves crivent leurs propositions et un coin propre o elle note clairement les conclusions pour chacun des cas sous la forme Oui on peut dcomposer en la somme de trois nombres qui se suivent car .

CONCLUSION Cette tude de cas montre que lexprience dun enseignant nest pas le seul lment qui intervient au niveau de linstauration des conditions favorables un dbat en mathmatiques dans une classe. Il nous semble en effet que la stagiaire par louverture quelle laisse la situation ds le dbut et le contrat didactique quelle instaure favorise plus lmergence dune discussion entre les lves que lenseignant A. Cette diffrence de gestion est-elle lie un rapport aux mathmatiques diffrent chez les deux enseignants ?

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M. HERSANT

RFRENCES BROUSSEAU G. (1996) Lenseignant dans la thorie des situations didactiques, in Actes de la 8me Ecole dEt de didactique des mathmatiques, in Perrin-Glorian, Noirfalise (ed), I.R.E.M. de Clermont-Ferrand, 3-46. BROUSSEAU G. (1998) Thorie des situations didactiques, La pense Sauvage. DOUAIRE J. & AL. (2003) Gestion des mises en commun par les matres dbutants, Faire des maths en classe ?,53-69. ERMEL (quipe de didactique de mathmatiques), DOUAIRE Jacques (Dir.), HUBERT Christiane (Dir.) (1999) Vrai ? Faux ? On en dbat ! De largumentation vers la preuve au cycle 3, INRP. HERSANT C. (2004) Caractrisation dune pratique denseignement des mathmatiques, le cours dialogu, Revue canadienne de lenseignement des sciences, des mathmatiques et des technologies, 4(2), 241-258. PERRIN-GLORIAN M. J. & HERSANT C. (2003) Milieu et contrat didactique, outils pour l'analyse de squences ordinaires, Recherches en didactique des mathmatiques, 23(2), 217-276.

Communication C2

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U TILISATION , EN FORMATION DES PE, DU DVD E NSEIGNER LES MATHMATIQUES AU CYCLE 2. D EUX SITUATIONS D APPRENTISSAGE EN IMAGES Muriel FENICHELPIUFM IUFM de Crteil [email protected]

Catherine TAVEAUPIUFM IUFM de Crteil, IREM Paris 7 [email protected]

Rsum Cette communication a pour objectif de prsenter le contenu dun outil multimdia conu pour la formation des enseignants du premier degr. Des pistes pour son utilisation dans le cadre de la formation initiale et continue des Professeurs des coles sont exposes. La dmarche dlaboration de ce DVD, complt par un Cdrom, a pour ambition dillustrer : - dune part certains concepts didactiques et pdagogiques partir de situations de classe, - dautre part de fournir aux formateurs tous les outils pour la comprhension de la situation et aux enseignants tous les outils pour la mise en uvre dans les classes. Les deux squences dapprentissage prsentes dans le DVD concernent respectivement un travail autour de la numration dans une classe de CP/CE1 et un autre autour de lintroduction du cercle au CE1.

I PRSENTATION DU PROJET Dans le cadre de lIUFM de Crteil, en partenariat avec le CRDP de la mme acadmie, nous travaillons sur llaboration doutils multimdia pour la formation en mathmatiques, initiale et continue, des Professeurs des coles. Ce projet est n de la ncessit de renouveler les supports vido dont dispose le rseau national des formateurs de mathmatiques en IUFM. En effet les anciens supports comportant des sances filmes dans les classes ne peuvent plus tre diffuss (les copies de copies tant maintenant de mauvaise qualit) ou commercialiss puisque la rglementation concernant le droit limage a volu. La formation des Professeurs des coles est courte et condense dans le temps, or elle doit permettre de dvelopper rapidement chez les stagiaires des gestes professionnels dans des domaines o ils ne sont pas ncessairement experts : peu dentre eux ont reu une formation scientifique. Dautre part, le rapport quentretiennent ces stagiaires la lecture de documents didactiques et/ou pdagogiques semble difficile, do la ncessit dexemplifier des situations dapprentissage par limage afin dessayer dviter le risque de dnaturation didactique des situations proposes.XXXIIe COLLOQUE COPIRELEMDES PROFESSEURS ET DES FORMATEURS DE MATHMATIQUES CHARGS DE LA FORMATION DES MATRES

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M. FNICHEL C. TAVEAU

Nous avons donc besoin doutils adquats pour rendre plus comprhensibles les enjeux de lenseignement des mathmatiques lcole primaire aussi bien pour les futurs Professeurs des coles que pour les enseignants dj titulaires. Nous avons ralis un premier DVD illustrant deux squences dapprentissages mathmatiques pour des enfants de cycle 2 de lcole primaire. Ce DVD est accompagn dun Cdrom comportant des clairages thoriques en mathmatiques et en didactique sur les thmes abords, des programmations possibles pour la classe, des analyses didactiques a priori et a posteriori des sances filmes ainsi que des travaux dlves. Dans le DVD, chaque sance filme en classe est suivie dun entretien avec lenseignant. Cet outil est labor de manire pouvoir tre utilis principalement par les formateurs dans le cadre de leur travail de formation. Il est aussi accessible par des stagiaires en formation ainsi que par des enseignants titulaires, au mme titre que nimporte quels autres ouvrages didactiques. Ce premier produit multimdia prsente deux squences dapprentissages filmes : lune concerne lapprentissage de lobjet gomtrique cercle en relation avec lutilisation du compas en CE1 et lautre porte sur lapprentissage de la numration, plus particulirement sur la notion de groupement par dix dans la numration crite chiffre au CP et au CE1.

II UN PRODUIT AU SERVICE DE LA FORMATION INITIALE ET CONTINUE Afin dlaborer un produit rpondant nos interrogations de formateurs mais aussi aux proccupations de lensemble des formateurs, nous avons prsent notre projet au colloque National de la COPIRELEM de 2004 afin de constituer un cahier des charges en troite relation avec la communaut des formateurs de mathmatiques des IUFM. Nous prsentons en annexe ce cahier des charges. Lors de llaboration du DVD et du Cdrom nous avons essay de rpondre au plus prs ces demandes. Voici les principaux points que nous faisons merger partir des sances filmes : le concept de dvolution, la notion de variables didactiques ; la notion de situations problmes ; la place de la validation ; limportance et le rle des sances dentranement dans les moments dapprentissage ; les diffrents types de difficults rencontres par les lves ; le rle du langage dans la construction des objets mathmatiques.

UN DVD POUR LA FORMATION DES PE

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Nos choix concernant les deux situations filmes sont les suivants : Deux domaines diffrents sont abords Combien de bchettes ? Issue de la situation des fourmillons de ERMEL traite du nombre et de sa dsignation crite chiffre.

Le petit moulin prsente une approche du cercle et du disque en illustrant le lien entre lobjet technologique quest le compas et lobjet gomtrique quest le cercle.

Deux situations diffrentes dapprentissage sont illustres Combien de bchettes ? est construite comme une situation problme ; Le petit moulin est un exemple dapprentissage en situation, men autour dun projet.

Des dispositifs diffrents, rflchis selon les situations dapprentissages sont prsents Combien de bchettes ? ncessite une alternance entre travail collectif et travail de groupe ; Le petit moulin ncessite une alternance travail collectif et de travail individuel.

La varit de ces approches mathmatiques, didactiques et pdagogiques doit favoriser, nous lesprons, lappropriation dun bon nombre de concepts chez les stagiaires et les

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enseignants. Nous esprons que les formateurs, leur tour, trouveront les ressources ncessaires dans cet outil multi mdia pour illustrer leurs sances de formation1. Nous travaillons dans le mme sens llaboration dun deuxime DVD concernant lapprentissage des mmes notions mathmatiques (la numration, le cercle) mais pour des lves de cycle 3 de lcole primaire. Ce produit permettra de dillustrer la ncessit de travailler sur la continuit des apprentissages.

III UN EXEMPLE DUTILISATION EN FORMATION DES PROFESSEURS DES COLES Nous avons utilis ce DVD en formation des futurs professeurs des coles (PE2) diffrents moments de la formation et notamment pour prparer leurs stages dans les classes. Voici la forme que nous avons retenue pour ce travail : 1) Visionner la chronologie dune sance aprs avoir propos, par exemple, le questionnement suivant aux stagiaires : - Reprer les diffrentes phases de la sance ; - Caractriser ces phases en dfinissant leur rle ;, - Prciser la tche de llve, le rle de lenseignant ; - Reprer les difficults des lves ; - Reprer et analyser les dispositifs pdagogiques mis en uvre. 2) La mise en commun avec les stagiaires permet ensuite de traiter, selon le choix du formateur, une notion ou un concept didactique. 3) Le visionnement de lentretien avec lenseignant dont la sance de classe a t prsente, peut enrichir les apports effectus par le formateur. Pour ce faire, le formateur trouvera beaucoup dlments dans le Cdrom2 (qui contient lquivalent dun ouvrage didactique de 200 pages) : la chronologie dtaille de chaque sance ; la fiche de prparation de lenseignant ; des productions dlves et leur analyse ; lanalyse didactique de la sance ; un clairage pdagogique diffrent selon les sances.

De plus, des complments plus thoriques permettent dapprofondir une question didactique ou pdagogique. Une bibliographie accompagne ces documents.

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Voir en annexe 2 larborescence des situations filmes du DVD. Voir en annexe 3 le contenu du Cdrom.


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IV PERSPECTIVE DE TRAVAIL Les premiers retours de lutilisation de ce produit par les formateurs sont trs encourageants. Le produit multimdia est dune grande souplesse dutilisation. Le formateur peut choisir exactement la partie quil souhaite faire voir ses stagiaires. Il peut construire le questionnement adapt ses objectifs de formation et se servir de la vido pour illustrer ses propos. Pour le formateur de mathmatiques en IUFM, lusage de situation dhomologie est assez frquent pour aborder la fois des contenus mathmatiques et des notions didactiques et pdagogiques. Mais il ne dispose pas toujours de situations riches qui puissent tre proposes dans une dmarche dhomologie ; de plus le temps de formation lui est compt. Le produit multimdia peut efficacement avoir sa place comme outil de formation, mais ses contenus doivent tre rflchis. Que souhaite-t-on montrer ? Comment ? Et pourquoi ? Dans notre travail, nous avons essay de porter un clairage sur lactivit relle des lves et leurs difficults, tout en prsentant aussi la pratique de leur enseignant. Nous analysons lcart entre ce que le matre avait prvu et la ralit de la sance. Nous apportons des zooms sur des sujets comme la motricit fine pour la construction du cercle , la mise en place du tutorat , laide personnalise de lenseignant , tous ces gestes peu imaginables ou/et peu visibles dans une classe. Loutil multimdia illustre des notions que le seul discours ne permet pas dapprhender. Il aide ensuite lanalyse a priori. Un travail approfondi par un formateur partir du DVD et du Cdrom peut faire que certaines situations deviennent des situations de rfrence pour un groupe de stagiaires ; on pourra sy rfrer tout au long de lanne. Ainsi il sera peut tre plus facile de pouvoir mesurer la capacit de transposition des stagiaires face aux situations denseignement quils doivent construire et mener.

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ANNEXE 1 Voici les aspects principaux que les participants du colloque de la COPIRELEM ont souhait retenir concernant ce cahier des charges : a) Le support (DVD et Cdrom) doit permettre une exploitation en miroir ou en simultan des trois aspects didactique, pdagogique et mathmatique. Le montage des sances filmes doit en tenir compte. Concernant la didactique, les participants souhaiteraient voir apparatre : les diffrents types de situation : apprentissage, rfrence, entranement ; la dmythification de lenseignement hroque : le rle des diffrentes situations dans la gestion des apprentissages mathmatiques ; la dvolution de la situation ; lappropriation de la consigne par les lves, ce qui va leur permettre dentrer dans la tche ; le point de vue du matre, celui des lves ; ce que dit le matre, ce quentendent les lves : les interactions ; le temps du matre, celui des lves. Prendre en compte le temps rel de lapprentissage (prsence de laffichage du temps rel dans le montage) ; le dcoupage de la sance : enchanements, interactions, fonction des diffrents moments : possibilit de zoom sur les moments cls ; le traitement de lerreur ; les diffrents types daides : comment sont-ils donns, sur quels critres ? entretiens a priori, a posteriori ; la prise en compte de la dure dans la construction dun concept ; les limites dune analyse essentiellement didactique.

Concernant la pdagogie, les participants ont retenu les points suivants : la gestion de la diffrenciation ; la gestion des moments de mise en commun ; la prise en compte des productions des lves pour adapter sa progression ; les gestes, les postures et les paroles de lenseignant ; la gestion de la parole dans les moments collectifs, fonction de la parole, relance, circulation de la parole ; le passage de lcrit priv lcrit partag, exploitation de la parole dans les mises en commun ; les prises dinformation par le matre travers lobservation des lves, ses prises de dcisions ; les limites dune analyse uniquement pdagogique.


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b) Le support DVD doit permettre de mettre en regard les actions de lenseignant et celles des lves en simultan ou en dcal. En utilisant la technologie permise par le support DVD il est plus ais de mettre en vidence, et assez finement, la gestion des interactions (lves/lves ou lves/matre) dans la classe. Pour prendre en compte les liens qui existent entre la didactique et la pdagogie et pour amorcer la rflexion sur la reproductibilit dune situation, les participants ont propos de filmer la mme situation dans des classes diffrentes. Dautre part, les participants ont attir notre attention sur le fait quun tel outil ne doit pas uniquement montrer des situations modles mais aussi des situations dont lanalyse critique permet davancer dans la rflexion de la gestion des apprentissages mathmatiques lcole primaire. Les contenus mathmatiques que les participants aimeraient voir traits : La numration ; Des situations de partage ; Aires/grandeurs mesurables ; Espace et gomtrie ; Calcul mental/calcul rflchi ; Introduction des critures symboliques ; Les interactions verbales dans une activit mathmatique en maternelle ; Le moment de synthse dune activit mathmatique.

Dans le Cdrom, les participants ont propos de prendre en compte les points suivants : les mises en perspective historique, pistmologique, thorique des connaissances traites, la prise en compte de leur spiralit dans la scolarit, et son importance dans la construction du savoir mathmatique ; le rle du langage dans lacquisition des connaissances mathmatiques ; des productions dlves ; des progressions ; les pr-requis ; des alternatives de points de vue, dapproches ; des complments possibles, entranements,) ; une bibliographie. diffrents prolongements possibles (jeux,

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ANNEXE 2 : ARBORESCENCE DES SANCES FILMES DANS LE DVD

Combien de bchettes?Chronologie Sance 1 clairages sur Pour aller plus loinPrise en compte de la parole

Lenseignante

Un groupe dlvesLe pouvoir

Les procdures

Sance 2

clairages sur Pour aller plus loin

Lobstacle Les procduresLien entre lcrit et loral critures mathmatiques Valeur et quantit

Sance 3

Pour aller plus loin

Du matriel lcriture La gestion du double niveau

Le petit moulinChronologie Sance 1 clairages sur Pour aller plus loinProcdures des lves Les enjeux de la situation La mise en commun Passage du rond au cercle Maniement du compas Aide de lenseignant

Sance 2

clairages sur

Sance 3Difficults des lves

Sance 4 Sance 5

clairages sur Pour aller plus loin

Tutorat

Entretien avec les lves


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ANNEXE 3 : CONTENU DU CDROM

Le CDROMPour chaque situationPrsentation de la classeAnalyse didactique de la sance Fiche de prparation de lenseignant avec les documents donns aux lvesProductions dlves

La progression

Sance 1La squence

Des rflexions didactiques sur lenseignement des domaines abords

Une composante de la construction Lenseignement de la gomtrie du nombre : la numration lcole primaire

Bibliographie

Quel enseignement de la gomtrie lcole primaire ?

Tous les documents mis sur le CDROM sont imprimables en pdf, et la navigation est facile et agrable.

Communication C3

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L TAYAGE DU MATRE DANS LA RSOLUTION DE PROBLMES AU CE1Jean-Franois FAVRATMatre de confrences, IUFM, site de Nmes LIRDEF, IUFM de Montpellier [email protected]

Rsum Les documents daccompagnement des programmes de mathmatiques pour le cycle 2 (SCEREN / CNDP, 2002, p 13 et 14) dcrivent largement la place que pourraient occuper les problmes dans lenseignement des mathmatiques et proposent une liste rnove de comptences mthodologiques travailler. Ils incitent fortement les matres chercher des dispositifs denseignement dans lesquels les lves sont conduits rsoudre des problmes par eux-mmes et communiquer sur leurs solutions (dmarches et rsultats). La mise en uvre de tels dispositifs peut poser problme aux matres dbutants (stagiaires de deuxime anne IUFM, nouveaux titulaires), partags entre le souci daider les lves en difficult et celui de les laisser chercher seuls ; ils sont surpris par certaines productions, voire inquiets des carts quelles peuvent prsenter avec leurs attentes, etc. Ils se posent beaucoup de questions sur les manires de crer des espaces de communication mathmatique entre les lves, sur leur positionnement dans la classe en tant que matre, sur la gestion des vnements imprvus, etc. A la recherche de documents pdagogiques pouvant servir de tmoignages pour la formation, nous avons enregistr des enseignants dun mme niveau dans des sances quils avaient prpares ensemble. Cette communication prend donc appui sur des extraits de deux sances de rsolution de problmes au CE1, enregistrs chez deux matres, propos du mme nonc soustractif. Ces matres sont la fois proches ils assument les prsupposs didactiques des documents daccompagnement et diffrents dans leur manire de concevoir ltayage du matre. Le but est de comparer leur gestion contraste de deux phases (appropriation de lnonc par la classe, discussion sur les solutions) et danalyser les interactions orales dans la classe (place des changes entre les lves, contenus explicites, etc.). Ce faisant nous pensons pouvoir contribuer lanalyse tout la fois des pratiques professionnelles relles des enseignants et des conduites langagires de jeunes lves en mathmatiques. Mots-cls : Rsolution de problmes - dbat - oral - tayage - dbut de cours.

Le travail a t ralis dans le cadre dune recherche de lInstitut National de Recherche Pdagogique sur loral, conduite avec lquipe des professeurs de lIUFM Nmes (Micheline Cellier, Martine Dreyfus) et trois matres gardois engags dans cette recherche (Soizic Bozec, Ingrid Roudil, Alain Bouzin). Ces collgues, sinterrogeant alors sur les enjeux et les modalits dun ventuel enseignement de loral lcole lmentaire (cf. leur problmatique dans la revue Repres INRP Enseigner loral, n24/25, coordonn par Claudine Garcia-Debanc et Isabelle Delcambre), souhaitaient analyser des pratiques denseignement accordant une large place loral. Avec cette quipe, nous avons donc mis au point et enregistr trois squences de trois sances consacres la rsolution de problmes, sances dans lesquelles les lves de CE1 avaient communiquer oralement leurs dmarches et dbattre de leurs solutions. Ce travail sur la dure a permis lquipe danalyser les changes entre les lves, leursXXXIIe COLLOQUE COPIRELEMDES PROFESSEURS ET DES FORMATEURS DE MATHMATIQUES CHARGS DE LA FORMATION DES MATRES

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J-F. FAVRAT

contenus, les types darguments, finalement leur appropriation des objets mathmatiques viss dans ces sances de rsolution de problmes (cf. larticle dans le numro de Repres cit, J-F. Favrat, 2003). Une partie de ce corpus a t reprise et analyse avec lquipe1 coordonne par Dominique Bucheton (LIRDEF) pour faire apparatre les gestes professionnels dploys par les matres lors de la prsentation dun problme dans une classe. Sylvie Copp (2000) stait dj intresse cette question, avec un matre dbutant, en montrant quune conception squentielle, linaire, de la rsolution de problmes, pouvait conduire des pratiques privant les lves dun temps de rflexion autonome sur lnonc de problme. Grce au visionnage mutuel de leurs enregistrements, les matres ont pu prendre conscience de leur gestion contraste, ds les premiers instants, de sances quils avaient pourtant dans le dtail prpares ensemble. Ils ont pu ainsi dcouvrir ce qui restait personnel dans leur interprtation de discours didactiques partags.

I LES CHOIX EFFECTUS Il sagit dune sance de rsolution de problmes poss lcrit. Les matres organisaient rgulirement de telles sances avec des objectifs tant mthodologiques que notionnels, dans lesprit des ateliers de rsolution de problmes proposs par Rmi Brissiaud (1992) dans son manuel Japprends les maths, utilis et suivi dans ces classes. I 1 Lnonc Lnonc2 choisi par lquipe (matres impliqus et chercheurs) est le suivant. Il y a deux versions, chaque matre ayant lgrement adapt son texte pour sa classe. Pour la communication dans ce colloque, nous ne nous sommes appuys que sur les sances ralises dans les classes n1 et n3, situes dans une zone dducation prioritaire de Nmes. Pour la classe n1 : Sbastien et Franois comparent leurs collections de voitures. Sbastien en a 17, Franois en a 22. Combien de voitures Franois a-t-il de plus que Sbastien ? Pour la classe n3 : Sbastien et Maxime comparent leurs collections de voitures. Sbastien en a 17, Maxime en a 22. Combien de voitures a-t-il de plus que Sbastien ?

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quipe de recherche technologique (ERT) dont le thme de travail sintitule Conditions et difficults de lentre dans les situations dapprentissage : les langages, vecteurs de la construction des savoirs . Tir du manuel Maths CE1, p 114, (cf. J-F. Favrat, 1999).

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LTAYAGE DU MATRE DANS LA RSOLUTION DE PROBLMES AU CE1

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Cest la premire fois que les lves ont rsoudre un tel type de problme, dit de comparaison de deux tats , selon la terminologie de Grard Vergnaud (1981). La question y est formule avec lexpression de plus inductrice dune addition, inapproprie ici si elle est applique aux nombres 17 et 223. Cette particularit constitue lune des difficults principales et prvisibles de cet nonc. Lintention des matres est que les lves la reprent, la dpassent ou du moins participent son dpassement. I 2 Le droulement Le scnario commun prvu pour la sance comporte cinq phases : appropriation de lnonc : lecture individuelle silencieuse, lecture haute voix, rponse dventuelles questions de comprhension souleves par la lecture ; le matre veille ce que ni les dmarches ni les rponses ne soient dvoiles cette tape ; rsolution individuelle : chaque lve crit sa dmarche et sa solution sur sa feuille de recherche en vue de communiquer ensuite avec les camarades de son groupe ; cette phase est assez courte, le matre naide pas les lves, il les relance ventuellement ; travail de groupe : les lves se mettent daccord sur une dmarche que chacun a comprise et la reportent sur une affiche ; le matre sassure avant de donner laffiche que tous les membres dans chaque groupe sont daccord ; il ny a pas de rapporteur dsign4 ; mise en commun : les lves commentent oralement, critiquent, valident ou invalident les dmarches affiches ; le matre gre les tours de parole, recentre, fait avancer les dbats ; synthse : le matre dresse sur une affiche le catalogue des dmarches correctes ; cette affiche restera dans la classe pour les sances ultrieures.

Les matres conviennent a priori de ne pas aider individuellement plus particulirement tels ou tels lves. Ils esprent, grce surtout au travail de groupe, depuis longtemps instaur, et aussi pendant la mise en commun des solutions, que certains lves assumeront ce rle. Dautres sances consacres aux mmes types de problmes seront organises, avec des aides individualises, si besoin. Cette sance est conue comme la premire rencontre avec ce type de problmes et comme la premire sance dune squence plus complte.

3

Dans son manuel cit, R. Brissiaud propose dabord des problmes dits dgalisation . Sur ce thme des collections de voitures, il est possible de rdiger un problme dgalisation : Sbastien a 17 voitures, Franois en a 22. Combien de voitures Sbastien doit-il acheter pour en avoir autant que Franois ? Cest la fonction des affiches de prsenter les dmarches ; il est inutile de prvoir un dfil de rapporteurs venant lire au tableau ce que chaque lve peut lire de sa place. Le dmarrage de la mise en commun, sans ces rapporteurs, implique davantage les lves par lobligation quils ont de prendre connaissance des affiches, par la possibilit aussi bien sr de poser des questions aux auteurs dune affiche en cas dincomprhension.

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4

J-F. FAVRAT

I 3 Raisons du dispositif Ce canevas de sance tente de rpondre aux recommandations formules dans les textes officiels. Les plus rcents (Ministre de lducation nationale, 2002) indiquent une liste de comptences5 travailler dans la rsolution de problmes. Au cycle 2, les comptences suivantes sont particulirement travailles : - sengager dans une procdure personnelle de rsolution et la mener son terme ; - rendre compte oralement de la dmarche utilise, en sappuyant ventuellement sur sa feuille de recherche ; - admettre quil existe dautres procdures que celle quon a soi-mme labore et essayer de les comprendre ; - rdiger une rponse la question pose ; - identifier des erreurs dans une solution. On y lit toute la place que peut prendre la matrise de la langue loral, articule avec la production dcrits de travail. Cest laccent mis sur la communication, sur la rflexion propos des dmarches, qui nous a guids et fait carter un certain nombre dactivits ritualises (souligner la question, rechercher les informations utiles, schmatiser, etc.) souvent considres comme un pralable indispensable la rsolution6.

II COMPARAISON DES DBUTS DE SANCE Au colloque nous avons pu visionner les deux dbuts de sance dans les classes n1 et n3, depuis linstallation des lves jusqu la mise en route du travail individuel. Ils sont retranscrits dans les annexes n1 et n2. II 1 Les contrastes Ils apparaissent sur plusieurs points. Leur longueur : soixante tours de parole pour la classe n1 contre quarante pour la classe n3 ; la rpartition des tours de parole, leur contrle par le matre, leur contenu ;

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Les textes officiels antrieurs (Ministre de lducation nationale, 1991, 1995) proposaient la liste bien diffrente qui suit : - analyser des problmes de recherche simples ; - choisir les donnes ncessaires leur rsolution ; - mobiliser des connaissances dj acquises ; - exposer clairement des rsultats.

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Ces activits, cohrentes avec les textes officiels antrieurs (cf. la note prcdente) qui insistaient davantage sur la lecture de lnonc, ont t critiques soit pour leur manque defficacit (B. Sarrazy, 1997 ) soit cause du moment o elles se placent, cest--dire spares et trop en amont de la rsolution (J. Julo, 2002 ; S. Copp & C. Houdement, 2002).


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Classe n1

Classe n3

- Lalternance matre / lve dans les - Lalternance matre /lve dans les interventions est trs rgulire : il est rare interventions est moins rgulire : il peut y quil y ait la place pour deux interventions avoir plusieurs tours de parole pris par des dlves entre deux prises de parole du lves diffrents entre deux tours du matre ; matre ; - le matre donne la parole individuellement, - les lves prennent la parole parfois sans y - le matre pose des questions (quatorze tours avoir t invits (tours 8, 20, 24), posent des questions (tours 8, 32, 35), se rpondent de parole nettement interrogatifs), reprend les rponses, les reformule, les complte, parfois sans que le matre intervienne (tours 34 37 ; donne son accord, explique ; - les lves rpondent aux questions du - le matre prsente le travail, lorganise, pose matre lors du rappel sur lorganisation du trs peu de questions (aucune ne vise le travail (on observe une grande coopration rappel du dispositif, deux portent sur la comprhension de lnonc). matre / lve pendant cette sous-phase) ou pendant la recherche dexplications ; - les lves ne posent pratiquement aucune question : une seule, inaudible, propos du verbe comparer, est reprise par le matre.

le contenu des explications apportes par le matre. Classe n1 Classe n3

- Cette demande dexplication porte sur la - la demande dexplication porte sur le signification du verbe comparer ; fragment a-t-il de plus , extrait de la - le matre (tour 56) rpond la demande question ; dexplication aprs avoir cherch des - lexplication est fournie par une lve (tour lments de clarification dans la classe 34) ; (tours 42 55) ; - le matre entend cette explication mais ne la - on peut interprter les interventions du rpte pas, il ne la fait pas rpter. Il matre (tour 48 et surtout tour 59) comme nintervient pas sur le fond : il se contente des mises en garde contre de possibles de rappeler que Maxime est un garon (tour procdures errones, comme des perches 38) propos du pronom elle utilis par tendues dont on ne peut dire, ce moment des lves (tours 34, 35, 37) ; du droulement, si elles seront saisies. Il fait - on peut interprter la question (tour 39) allusion une ferme cole car peu de temps apparemment ouverte, pose par le matre auparavant il a conduit sa classe dans cette llve qui est lorigine de la demande ferme cole. dexplication comme une manire de clore la discussion, de la renvoyer aux lves, aux groupes.

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II 2 Les analogies Malgr ces diffrences frappantes, les deux matres sacquittent tous les deux dun certain nombre de tches communes, constituant une check-list pour cette phase, un agenda7. Faire entrer dans la sance tiqueter la sance (cest--dire signifier quil sagit de mathmatiques, et plus prcisment de rsoudre des problmes de mathmatiques) Relier avec lavant Prsenter le dispositif Donner lnonc du problme Faire lire lnonc Sinformer des incomprhensions Grer les incomprhensions Clore le dbut de la sance Veiller au bon fonctionnement Grer le temps

Cette liste ninduit pas une chronologie, certaines tches sont ncessairement successives, dautres sont ralises en mme temps ou assumes tout le long du droulement de cette phase. Elle nimpose pas non plus, on la vu, un seul mode de faire. II 3 Commentaires La retranscription lcrit de ces dbuts ne rend videmment pas compte daspects importants (gestes vers les lves ou vers les affiches ralises auparavant lors des synthses des sances analogues, intonations, position du matre dans la classe, regards, etc.) qui montreraient que la posture du matre de la classe n3 nest pas un retrait sur tous les plans. Ce retrait se rduit la dcision de ne pas intervenir publiquement sur le fond ds le dbut de la sance. Cela peut paratre paradoxal, puisque cest lui (cf. lannexe n2, tour 29) qui cherche sinformer publiquement de lventualit dincomprhensions dans des termes dailleurs assez proches de ceux employs par le matre n1 (cf. lannexe n1, tours 38, 40). Une telle demande cre logiquement la demande de rponses. En fait, il ouvre un espace de parole, laisse des lves sexprimer, mais ne relaie ni ne valide expressment lexplication fournie que les lves peuvent nanmoins avoir entendue. On peut certes se demander si cet espace pouvait tre ouvert par une autre question plus neutre, moins centre sur les incomprhensions, plus oriente vers la formulation de remarques, mais le matre ayant conserv cette manire de faire lors de toutes les sances prcdentes, les lves en ont admis le principe. La confrontation de ces deux dbuts montre, et cest essentiel, que le matre dispose, pour la gestion des explications initiales, de plusieurs possibilits : chercher les explications dans la classe (cas du matre n1), laisser sinstaller un dbat entre des lves (cas du matre n3), proposer linterprtation attendue en sappuyant sur les ractions des lves, leurs formulations (cas du matre n1), ne pas intervenir7

Au sens de ce qui doit tre fait .


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publiquement sur le fond (cas du matre n3), etc. Le choix qui existe entre ces possibilits, dont le retrait dans les conditions dcrites plus haut, lui revient. Au moment de prendre la dcision, il peut considrer que durant les autres phases du droulement (cf. le canevas plus haut), les lves vont avoir dautres occasions dinteragir, de sentraider, de lui demander nouveau des explications et donc quil sera encore temps de prendre de nouvelles dcisions. Est-il possible de prdire les effets de la dcision prise par chaque matre ? Pour rpondre cette question, les productions des lves peuvent nous clairer. Dans la classe n1, toutes les procdures affiches sont correctes (le matre de cette classe disait quil en tait ainsi chaque sance de rsolution de problme), 80% des solutions individuelles sont exactes. Dans la classe n3, une des solutions prsentes sur une affiche est inexacte et il y a moins de rponses individuelles correctes (50%). Ce constat rsulte-t-il de cette seule prise de dcision ? En fait nous pensons quil ne peut tre tranger la diffrence de gestion de la phase dexplications mais quil rsulte aussi de lensemble des dcisions prises par le matre au dbut et par la suite, et de bien dautres facteurs lis la classe et aux lves. Nous venons de dcrire la manire avec laquelle le matre de la classe n3 vite de prendre en charge les explications que certains lves rclament ds le dbut de la sance. Nous allons prsenter comment il gre la mise en commun8, phase non seulement destine valider les rponses mais aussi clarifier linterprtation de la question du problme.

III ANALYSE DU DBAT DANS LA CLASSE N3 Avant lanalyse, les questions qui se posent sont multiples. Des lves de CE1 peuvent-ils entrer dans un dbat de validation propos de leurs dmarches de rsolution ? Si oui, sur quels aspects de leurs dmarches centrent-ils leurs changes et quels types darguments utilisent-ils ? Quelles conditions doivent tre runies pour quun dbat apparaisse ? En particulier, quels rles le matre doit-il privilgier ? La pratique des dbats a-t-elle des effets sur les apprentissages ? Un montage vido de quelques extraits (pour les retranscriptions, voir lannexe n3) du dbat qui a eu lieu pendant la phase de communication sur les dmarches a pu tre projet lors de la communication au colloque. Ces dmarches taient prsentes sur des affiches fixes au tableau, face au groupe-classe (cf. les annexes n4 et n5 pour connatre la composition des groupes et leur disposition dans la classe). III 1 Quels sont les protagonistes (du moins ceux qui sexpriment) ? Shoriane et Dorsaf (du groupe B) : elles dfendent une solution fausse, celle qui consiste ajouter les nombres 17 et 22.

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Faute de temps, il ntait pas possible, pendant ce colloque, de comparer les mises en commun dans les deux classes n1 et n3. Pour connatre un peu ce qui sest pass dans la classe n1, le lecteur peut se reporter larticle de Repres dj cit (J-F. Favrat, 2003).

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Leila et Sanae (du groupe A) : elles dcrivent des procds permettant de trouver lcart entre 17 et 22. Elles sopposent longuement : Sanae compte rebours sur ses doigts partir de 22, alors que Leila compte de 17 22. Jordan (du groupe C) : il soutient que la rponse exacte est 5 et que le calcul de la somme 17 + 22 ne rpond pas la question du problme. III 2 Que disent les lves ? Ils explicitent des procds de calcul. Cest ce qui apparat de prime abord : Shoriane (tours 43, 45) ; Dorsaf (tours 47, 50) ; Sanae (tours 64, 67, 69, 73, 75) ; Leila (tours 66, 68, 70, 72, 74). Leurs noncs sont articuls entre eux : il est frquent quun lve reprenne une expression utilise par un intervenant antrieur. Ainsi par exemple Shoriane (venant au tableau) : Nous on a fait dix-sept plus trente-deux euh vingt-deux aprs euh on a compt on a fait la calc on a fait on a on a fait la calcul. Des lves : Le calcul ! () Leila : Mais nous on dit pas que dix-sept plus vingt-deux. () Jordan (du groupe C) : On demande pas de calculer (inaudible) on demande combien Maxime a a de plus que Sbastien de voitures on nous dit pas de calculer. () Leila : Nous dans le schma on dit combien Maxime a de de plus que Sbastien. Mais eux, ils ont fait dix-sept plus vingt-deux galent trente-neuf. Si on aurait fait dix-sept plus trente-deux galent euh dix-sept plus vingt-deux galent trente-neuf eh ben ce serait juste le rsultat mais on na pas dit a on na pas dit dix-sept plus vingt-deux. Ils affinent leurs arguments. Les mmes tours de paroles montrent que Leila et Jordan abandonnent la description des procds de calcul pour inviter Shoriane se centrer sur la question pose. On voit que Leila distingue la justesse dun calcul de sa pertinence (comptence indique pour le cycle 3 dans les documents dapplication des programmes de mathmatiques). En faisant une remarque positive sur le travail du groupe de Shoriane, elle adopte une attitude conciliatrice et cherche en mme temps lamener davantage examiner sa dmarche plutt que son calcul. Ils y parviennent sans que le matre intervienne sur le fond ni pour reprendre des expressions maladroites. Il coute, donne la parole, remercie, reste neutre sur la valeur des explications fournies par les lves, il ne veut pas clore trop vite les changes. Il est frappant de constater quil ne saisit pas loccasion des remarques de Jordan (tour 52) et de Leila (tour 61). On sait en effet, que certains matres ce nest pas le cas de celui-ci craignant la longueur des dbats ou leur confusion sappuient trs vite sur les


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remarques pertinentes de quelques lves pour reprendre la parole ; comme ce sont souvent les mmes lves, cela leur confre un rle dassistants du matre. Par ailleurs ce matre croit les lves capables de trouver des arguments (ce nest pas sans raison on vient de le montrer), dvoluer (ce nest pas le cas ici de Shoriane). De son propre aveu, il pensait quelle pourrait changer davis parce quil avait observ quelle avait les deux rponses 5 et 39 sur sa feuille de travail ; il sen tait dj tonn auprs de son groupe avant la mise en commun. Les lves ne se sont pas mis daccord tout seuls. Cest le matre qui a permis de conclure : il a crit au tableau deux questions : celle de lnonc et cette autre : Combien Maxime et Sbastien ont-ils de voitures en tout ? Les lves ont alors pu associer chaque question sa bonne rponse, 5 ou 39. La confiance que porte ce matre ses lves et au dispositif na pas t due. Ils ont bien dtect lorigine des erreurs et grce aux interactions ils ont volu dans leurs propos, ils ont su dpasser certaines difficults dexpression sans tre guids. Cette confiance nest pas banale, car bien des matres qui nous avons montr ces extraits trouvent que ltayage de ce matre nest pas suffisant : le dbat leur parat long, ils lauraient interrompu plus tt, ds la premire intervention de Jordan (tour 52). La question de ltayage est donc souvent pose. III 3 Ltayage : un enjeu professionnel On peut considrer que ltayage est laffaire du matre et lenvisager de trois faons. ici il est plutt relationnel : le matre cre et maintient un espace de parole ouverte et centre sur les enjeux dapprentissage ; il aurait pu tre matriel. On aurait pu imaginer qu un moment donn, les lves soient invits simuler la situation voque dans lnonc, laide de matriel, voitures ou images ; il aurait pu tre intellectuel. Bien des malentendus entre les lves ont leur origine dans des emplois personnels et peu prcis des verbes compter, calculer, ajouter, enlever. Ces lves omettent dexpliciter les complments de ces verbes. Par ailleurs, le dbat, forcment oral, ne prend plus appui sur les affiches, mme si elles en ont t le point de dpart. On peut se demander si les traces crites ne sont pas sous-estimes dans leurs effets structurants ( cours terme pour la communication dans le dbat, long terme pour la mmorisation des diverses dmarches possibles).

Mais ltayage est-il bien uniquement laffaire du matre ? Nous pouvons penser que, dans cette classe, le fait davoir travaill en groupe na pas produit deffets dentraide ni de structuration. En effet Shoriane a manifestement impos son point de vue aux camarades de son groupe, Leila et Sanae qui sopposent longuement pendant le dbat ont pourtant travaill dans le mme groupe. Il nous semble donc quune partie de ltayage pourrait tre dlgue aux lves dans les groupes. Cest par cette question sur ltayage, ses diverses modalits, ses divers moments lintrieur dune mme sance, que notre recherche est relance puisquil sagit en effet de mieux dcrire les conditions dmergence de la prise de parole mathmatique du

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maximum dlves et de garantir lefficacit des interactions pour les apprentissages. Mais nous ne pouvons conclure sans dire quune des conditions se trouve chez les lves eux-mmes : quils sengagent dans les relations dentraide mutuelle, dans les espaces de parole. Manire de rendre hommage tous ceux qui lont fait dans cette sance.

BIBLIOGRAPHIE BRISSIAUD R. et AL. (1992) Japprends les maths, CE1, (manuel et livre du matre), Retz, Paris. COPP S. (2000) Diffrents types de savoir en jeu dans lactivit professionnelle des professeurs. Etude de cas dun jeune professeur des coles dans la tche Prsentation du problme aux lves , in Actes du XXVIe colloque COPIRELEM, IREM de Grenoble. COPPE S., HOUDEMENT C. (2002) Rflexions sur les activits concernant la rsolution de problmes lcole lmentaire, Grand N, 69, IREM de Grenoble. FAVRAT J-F et al. (1999) Maths CE1, (manuel et guide pdagogique), Delagrave, Paris. FAVRAT J-F. (2003) Loral dans les sances de rsolution de problmes de mathmatiques lcole primaire : des exemples de dbats au CE1, Repres, 24/25, INRP, Paris. GARCIA-DEBANC C., DELCAMBRE I. (2003) Enseigner loral, Repres, 24/25, INRP, Paris. JULO J. (2002) Des apprentissages spcifiques pour la rsolution de problmes ? Grand N, 69, IREM de Grenoble. Ministre de lducation nationale (1991) Les cycles lcole primaire, Direction des coles, CNDP/Hachette, Paris. Ministre de lducation nationale (1995) Programmes de lcole primaire, Direction des coles, CNDP/Savoir livre, Paris. Ministre de la jeunesse, de lducation, de la recherche (2002) Documents dapplication des programmes ; mathmatiques, cycle 2, Direction de lenseignement scolaire, SCEREN/CNDP, Paris. SARRAZY B. (1997) Sens et situation : une mise en question des stratgies mtacognitives en mathmatiques, Recherches en didactique des mathmatiques, 17/2, La pense sauvage ditions, Grenoble. VERGNAUD G. (1981) Quelques orientations thoriques et mthodologiques des recherches franaises en didactique des mathmatiques, Recherches en didactique des mathmatiques, 2.2, La pense sauvage ditions, Grenoble.


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ANNEXE N1 : DBUT DE LA SANCE, CLASSE N1 Le matre :Donc, comme dhabitude. Quest-ce que a veut dire comme dhabitude ? Quest-ce quon fait dhabitude ? 2. Une lve : On lve le doigt. 3. Le matre : Ah ! On lve le doigt. (inaudible) tu mexpliques. Mava ? 4. Mava : On discute. 5. Le matre : Ah ! Ben, est-ce quon discute de suite ? Nathalie ? 6. Nathalie : On chuchote. 7. Le matre : + On chuchote. Mais + On lve le doigt. + Leila ? 8. Leila : inaudible. 9. Le matre : fort. 10. Leila : inaudible. 11. Le matre : Oui mais, avant de se mettre daccord, Elodie ? 12. Elodie : On se met + On se met daccord. 13. Plusieurs lves la suite : On sexplique. On sexplique. 14. Le matre : On sexplique. 15. Sbastien : On est seul. On travaille. 16. Le matre : Dabord, voil, le premier temps, si on se met tout seul et on travaille tout seul, on va rsoudre + le problme + tout seul et ensuite + ce que vous avez dit+ ensuite quatre + et donc quatre +. Le matre attend que les lves poursuivent. 17. Le matre : Quest-ce quon fait quatre ? 18. Un lve : On sexplique ! 19. Le matre : On sexplique, oui. Ouahiba ? 20. Ouahiba : Il faut quon se met daccord. 21. Le matre : Quon se mette daccord, bien sr. + Dorian ? 22. Dorian : On chuchote pour pas dranger les autres. 23. Le matre : On chuchote pour pas dranger les autres, oui.+ Nadia ? 24. Nadia : On discute. 25. Le matre : On discute, voil et on ne se dispute + surtout + pas, daccord ? Puis on regarde pas non plus sur le groupe voisin. Pasque quoi a sert de regarder sur le groupe voisin ? 26. Plusieurs lves en mme temps : A copier. 27. Le matre : Voil ! Audrey ? 28. Audrey : Ou si on fait des fautes, et ben, le voisin, il peut le recopier, il aura ( peine audible) faux des choses. 29. Le matre : une faute donc a sert rien de recopier non plus le++. 30. Mava ( peine audible) : On calcule comme on pense. 31. Le matre : Voil ! On fait ce que lon pense, trs bien. Donc, pour linstant+ je vous le donne, vous le lisez, daccord ?+ Pour linstant, vous ne faites rien. Le matre distribue les noncs, les lves chuchotent, commencent lire lnonc, le matre les y engage. 32. Le matre : On le lit (inaudible). Les lves lisent leur nonc, pendant ce temps, le matre le recopie au tableau. 33. Khader : Matresse, jai trouv, jai trouv la rponse. 34. Le matre : Ah ! Est-ce quon dit la rponse ? 35. Les lves chuchotent (on entend): Il la dit. Puis : Non. Puis : Si. 36. Le matre : Quelquun lit haute voix ? Khader, sil te plait ? 37. Khader : Sbastien + Sbastien et Franois compa comparent leur + collection de voitures, Sbastien en a dix-sept, Franois en a vingt-deux. Combien de voitures Franois a-t-il de plus que Sbastien ? 38. Le matre : Voil ! Est-ce que vous avez tous compris les mots ? 39. Les lves : Oui ! Oui ! 40. Le matre : Que vous avez des difficults sur quelque chose ? + Des questions ? ++ Bon ! Alors vous faites. 41. Le matre : Ah ! Tu sais pas ce que a veut dire comparer ? 42. Le matre : Quest-ce que a Ah ben, je vous demande sil y en a qui ne savent pas les mots et vous ne dites rien et jentends comparer. + Heureusement que jai loreille fine ! H ? Mava ? Quest-ce que a veut dire comparer ? 43. Mava : Pasque y a Sbastien il a dix-sept. 1.

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Le matre (linterrompant) : Ah non ! Tu expliques pas quest-ce que a veut dire comparer Ins : Ca veut dire quils mettent ensemble. Le matre : Ah non ! Est-ce que a veut dire mettre ensemble comparer ? Sbastien (peu audible, plusieurs lves parlent). : Ils rajoutent. Le matre : Non ! Justement pas quils rajoutent. Audrey : Ils enlvent. Le matre : Ah non ! Comparer. Sophie : Ca veut dire combien Franois a de voitures. Sbastien : De plus que Sbastien. Le matre : Oui mais, quest-ce que a veut dire quand on compare ? Sbastien : Quon les spare. Le matre : Ah et b, quest-ce que a veut dire comparer ? + Alors ? Le matre : B+ Mettons si y a + euh + tant de + Mettons la ferme cole, tiens ! Il y a tant de poules et tant de coqs, si on compare le nombre de poules, a veut dire quon regarde. + On compare, a veut dire qui en a le plus, qui en a le moins, cest a, comparer. 57. Audrey : Cest ce que jai dit. 58. Le matre : Cest ce que tu avais dit aussi + plus ou moins. 59. Le matre : Mais, comparer, cest pas ajouter, attention ! Voil. Cest bien compris ? Pas rponse de la part des lves. 60. Le matre. Trs bien. Alors vous y allez !


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ANNEXE N2 : DBUT DE LA SANCE, CLASSE N3Le matre : Bien. Ca y est ? Des lves : Oui. Le matre : Donc aujourdhui nous accueillons nouveau dans la classe monsieur Favrat + madame Bompard. 4. Des lves : On les avait dj reconnus. 5. Le matre : Nous allons refaire + faire nouveau un travail en + de mathmatiques 6. Des lves (en mme temps que le matre): Oh. 7. Le matre (qui continue sa phrase) : comme on a fait dailleurs lautre jour. ++ Voil + donc on va commencer par les mathmatiques ce matin. 8. Des lves (peu audibles) : Oh la dicte ? 9. Le matre : La dicte on la fera aprs la rcration 10. Le matre : Leila, mets-toi l.+ Tu es prte ? 11. Le matre : Alors Tayeb, tu nous lis le problme qui est au tableau. 12. Tayeb : L ? 13. Le matre : Oui. 14. Tayeb : Sbastien et + Maxime + Sbastien et Maxime compa + com + comparant. 15. Le matre : Non. 16. Des lves : comparent Dautres : comparent. 17. Tayeb : comparent leurs collections de voitures Sbastien en + en a dix-sept, Maxi en a vingt-deux. Combien de voitures a-t-il de plu que Sbastien ? 18. Des lves : Plus que. 19. Tayeb : Plus que Sbastien. 20. Un lve (voix basse) : Jai rien compris ce problme. 21. Le matre : Bien. Sabrina, tu veux nous relire ce problme. 22. Sabrina : Sbastien et Maxime comparent leurs collections de voitures. Sbastien en a dix-sept, Maxime en a vingt-deux. Combien de voitures a-t-il de plus que Sbastien ? 23. Un lve : Bastien. 24. Des lves (plusieurs parlent la fois, entre voisins, mais certains propos sont audibles): de plus ++ cinq de plus. 25. Le matre : Chut + Vous ne donnez pas de rponse, hein ! 26. Le matre : Vous allez travailler, vous travaillez dabord individuellement. 27. Un lve : seuls. 28. Le matre : Tout seuls vous chercherez une solution, chercherez une rponse + et aprs vous travaillez quatre + daccord ? 29. Le matre : Est-ce quil y a des mots que vous ne comprenez pas dans le problme ? Il y a quelque chose que vous ne comprenez pas ?. 30. Shoriane : Oui. 31. Le matre : Shoriane ? 32. Shoriane : A-t-il de plus que Sbastien ? A-t-il de plus, je ne comprends pas. 33. Des lves (plusieurs en mme temps, confus) :. 34. Une lve : Ben oui + pasque Sbastien il en na que dix-sept et Maxime elle a que vingt-deux, elle a vingt-deux, a veut dire elle a plus que Sbastien. 35. Shoriane : Pourquoi y a t-il crit a-t-il de plus que Sbastien + a-t-il de plus quelle 36. Un lve : Combien a-t-il de plus que Sbastien ? 37. Un lve : Combien a-t-elle de plus ? 38. Le matre : Maxime, cest un garon. Il accueille ensuite un lve en retard. 39. Le matre : Shoriane, tu as un peu mieux compris ? 40. Le matre : Chacun va chercher une rponse pour le problme. Le matre distribue les feuilles pour la recherche. 1. 2. 3.

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ANNEXE N3 : Dbat dans la classe n3[.] 1. Shoriane (venant au tableau) : Nous on a fait dix-sept plus trente-deux euh vingt-deux aprs euh on a compt on a fait la calc on a fait on a on a fait la calcul. 2. Des lves : Le calcul ! 3. Shoriane : Le calcul aprs eh ben on a trouv euh ( propos confus ) trente-neuf aprs eh ben on a crit on a fait Sbastien et Maxime aprs aprs eh ben euh Sbastien il avait dix-sept eh Maxime eh ben il avait vingt-deux alors on a compt aprs ben on a crit on a crit euh lgal+ non (Jordan du groupe C lui souffle lgalit ) Sbastien et Maxime a trente-neuf voitures aprs eh ben aprs eh ben on a fait euh. 4. Le matre : Merci Shoriane. Jordan, je te donnerai la parole mais + dabord Dorsaf + qui est du mme groupe que Shoriane. Elle va nous expliquer autre chose. Dautres lves demandent la parole. 5. Dorsaf (du groupe B) : Nous on a pris les vingt de vingt-deux a nous a fait vingt plus les dix de dixsept a fait trente plus les sept trente-sept plus les deux trente-neuf. 6. Leila : Mais nous on dit pas que dix-sept plus vingt-deux. 7. Le matre : Jordan ? Tu prendras la parole, Leila. 8. Dorsaf (commentant les dessins de son affiche, inaudible) : Sbastien il en a dix-sept l et Maxime il il en a vingt-deux et a le total a nous a fait trente-neuf. 9. Le matre : Merci, Dorsaf. Jordan ? 10. Jordan (du groupe C) : On demande pas de calculer (inaudible) on demande combien Maxime a a de plus que Sbastien de voitures on nous dit pas de calculer. [] 1. Leila : Nous dans le schma on dit combien Maxime a de de plus que Sbastien. Mais eux, ils ont fait dix-sept plus vingt-deux galent trente-neuf. Si on aurait fait dix-sept plus trente-deux galent euh dix-sept plus vingt-deux galent trente-neuf eh ben ce serait juste le rsultat mais on na pas dit a on na pas dit dix-sept plus vingt-deux. Sanae (du groupe A): Matre. Le matre : Sanae. Sanae (venant au tableau) : Nous le ntre nous alors on a fait on a fait cinq on a fait cinq parce que on a compt sur les mains on a compt sur les mains a nous a fait a nous a fait cinq alors on a crit cinq euh on a crit une phrase. Dorsaf : Pourquoi vous avez crit dix-sept plus cinq ? Leila : Eh oui parce quil en a cinq de plus que Sbastien. Parce que regarde dix-sept euh non dixsept dix-huit vingt vingt et un vingt-deux. Quelques lves parlent en mme temps, Sanae attend les bras croiss puis reprend. Sanae (en montrant les nombres sur ses mains) : On a compt sur les mains. Alors on a fait vingtdeux on a fait vingt-deux sur les mains, aprs on a fait vingt et un. Leila : Ctait pas vingt-deux ctait vingt dix-sept. Sanae : Ah oui (interrompue). Leila : Dix-sept dix-huit vingt vingt et un. Un lve : Vingt dix-sept ? Leila : Non dix-sept plus cinq a fait vingt-deux alors on a on a on a compt que Maxime elle en avait cinq de plus que Sbastien. Sanae : Oui mais on a fait sur les mains on a fait sur les mains on a fait vingt-deux sur les mains aprs on a fait vingt et un, aprs vingt et un, vingt aprs dix-neuf dix-neuf dix-huit dix-sept et +et + et quand on a fait sur les mains tout a a nous fait sur les mains (elle montre les cinq doigts dcompts). Leila : a nous a fait vingt-deux. Sanae : a nous a fait cinq + alors on a crit on a fait cinq oui mais (se tournant vers laffiche B) y en a des autres qui-s-ont eu faux+ dans celui-l + ils ont eu faux dans celui-l + dans celui-l. Plusieurs lves tentent dintervenir en mme temps pour contester ou approuver Sanae. Leila : Je leur ai expliqu (inaudible) on doit dire combien Maxime a de plus que Sbastien + mais eux ils ont fait dix sept plus vingt deux galent trente-neuf.

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16. Sanae : Vous avez eu faux parce que regarde vous avez pens a a fait trente-neuf. Non il faut enlever. 17. Leila : Non il faut pas enlever il faut pas enlever il faut faire il faut compter combien elle en a de plus que Sbastien. 18. Sanae : Oui je sais. Dans eux a fait trente-neuf, en ralit a fait cinq + cinq. 19. Le matre : Bien. Merci Sanae. Merci. Alors eu