Choix d’investissements en matériels de télécommunications : une nouvelle approche de la notion de coût équivalent

602 pp. 602-612

Choix d'investissements en mat6riels de t616communications : une nouvelle approche

de la notion de coot 6quivalent M i c h e l M I N O U X *

Agn6s G U E R A R D **

Analyse

La notion de co~t ~quivalent a ~t~ introduite, il y a une dizaine d'anndes, ~ propos de la comparaison dconomique de matdriels de transmission, pendant une pdriode d'accroissement rapide du rdseau tdldphonique. Cet article propose une nouvelle ddfinition du co~t dquivalent, ?t la fois plus simple et plus gdndrale, non limitde aux cofits d'investissement et inddpendante du type de croissance des demandes. Le problbme du choix du matdriel est d'abord traitd dans le cas d'une croissance des besoins lindaires dans le temps, puis gdndralisd au cas d'une croissance quelconque. Les rdsultats sont appliquds aux matdriels les plus usuels qui sont caractdri- sds d' un point de rue dconomique soit par un coz~t lindaire en fonction de la capacitd, soit par un facteur d'dconomie d'dchelle constant.

Mots el6s : R6seau t616communication, Equipement t616- communication, Planification, Etude 6conomique, Etude comparative, CoOt financement, Actualisation.

S E L E C T I O N O F T E L E C O M M U N I C A T I O N E Q U I P M E N T :

A N E W A P P R O A C H O F T H E E Q U I V A L E N T C O S T C O N C E P T

needs, versus time, and is then generalized to any kind of growth. The results are applied to the more frequently used equipment which are characterized from an economical point of view either by a linear cost versus capacity, or by an economy o f scale with constant economy-of-scale coefficient.

Key words : Telecommunication network, Telecommuni- cation equipment, Planning, Economic study, Comparative study, Financing cost, Actualization.

Sommaire

Introduction.

1. Ddfinition du co~t dquivalent.

2. Utilisation du co~t dquivalent dans le choix du matdriel le mieux adaptd aux besoins.

Conclusion.

Annexe.

Bibliographic (5 rdf ).

I N T R O D U C T I O N

Abstract

The equivalent cost method has been introduced, some ten years ago, when comparing transmission equipment from an economical point of view, during a period o f rapid growth of the telephone network. This paper proposes a new definition for the equivalent cost, which is more simple and more general, not limited to the equipment costs, and independent from the type of growth. The problem of the equipment choice is first treated in the case o f a linear growth of

L ' 6 v o l u t i o n d ' u n r6seau de t616communica t ions est r endue n6cessa i re p a r la c ro issance des beso ins en moyens de t r a n s m i s s i o n o u de c o m m u t a t i o n qui est une cons6quence d i rec te de la c ro issance du trafic.

Le p r o b l 6 m e d u cho ix o p t i m a l des mat6r ie l s /~ ins ta l ler p o u r r 6 p o n d r e /~ cet te c ro issance se heu r t e t o u j o u r s / t une s6rieuse difficult6 : c o m m e n t c o m p a r e r entre eux des mat6r ie l s qui , p o u r couvr i r les mSmes besoins, on t des cofi ts e t des dur6es de r empl i s sage tr6s diff6rents ?

* Au CNET - Paris A, ATR - 92131, Issy-les-Moulineaux. ** A la Direction des Affaires Industrielles et Internationales. AET - 92131, Issy-les-Moulineaux.

ANN. TgLI~COMMUN., 36, n o 11-12, 1981 1/11

M. MINOUX. - NOTION DE CO~JT EQUIVALENT 603

C'est afro de rendre possibles ces comparaisons qu 'a 6t6 introduite la notion de codt dquivalent qui s 'appuie sur des techniques de calcul d'amortissement (*) [1].

Bien qu'i l s'agisse l~t d 'un outil h la fois simple et puissant d 'aide h la dOcision en matiOre de choix d'investissements, son emploi 6tait jusqu'ici limit6 par le caractOre restrictif des hypothOses (demande exponentielle, loi de variation du coot 6quivalent en x -b, ...).

D 'un autre c6tO, la prOsentation qui en &ait faite comportai t deux inconvOnients :

a) le calcul du coot 6quivalent suppose fondamen- talement une loi de variation particuliOre (en x-b), laquelle est vOrifiOe expOrimentalement e t a posteriori sur la base des calculs effectuOs dans le cadre m~me de cette hypothOse ;

b) les liens entre les hypothOses faites sur la loi de variation du coot 6quivalent d 'une part, et les coots bruts des matOriels d 'autre part, n 'apparaissent pas directement. Ces liens existent, 6videmment, mais de fa~on trOs indirecte, par l'intermOdiaire d 'une vOrification expOrimentale, a posteriori, de la loi de variation du coot 6quivalent.

Nous proposons ici une approche nouvelle de la notion de coot 6quivalent, destinOe h montrer :

1) que cette notion peut &re dOfinie dans le cadre d'hypothOses beaucoup moins restrictives : en particulier, qu'il n 'est pas nOcessaire de supposer une croissance exponentielle de la demande ;

2) que le coot 6quivalent est un bon critOre pour le choix du matOriel le plus 6conomique : il s'identifie au critOre du coot actualis6 lorsque la pOriode d'Otude est 6gale h la durOe de remplissage du matOriel ;

3) que la loi de variation des coots 6quivalents optimaux se d6duit directement de la courbe des cotTts bruts (en fonction de la capacitO) de la famille de matOriels que l 'on considOre. Par consOquent, si l 'on recherche des hypothOses simplificatrices permettant un calcul explicite, c 'est sur les cot~ts bruts qu'il faut vOrifier ces hypothOses, et non pas sur les coots 6quivalents.

4) lorsque la courbe des coots bruts de la famille de matOriels peut ~tre approximOe par une courbe d'Oquation : KCa (C est la capacitO), on retrouve la loi de variation en x -b du coot ~quivalent prise comme hypothOse dans la prOsentation antOrieure [*].

(*) MOULON (J.). PrOsentation synthOtique d'un critOre de comparaison bas6 sut le coot 6quivalent du circuit. Note technique CNET, 174/DR]TR/JM, (1973).

MOULON (J.) MOthode de comparaison 6conomique des systOmes de transmissions utilisant une loi de lissage basOe sur la notion de coot 6quivalent et permettant d'Oviter l'emploi des valeurs rOsiduelles. Note technique CNET, 139/DR/TR/JM, (1972).

DANIZET (B.). La mOthode du coot 6quivalent appliquOe aux 6tudes comparatives de syst~rnes de transmission. Rappel thOofique, rnise en pratique, exemple &application. Note technique. CNET, TAI/C3/BD 2854.

L'ensemble des rOsultats obtenus dans ce cadre apparait alors comme consOquence du fait que la courbe des coots bruts d 'une famille de matOriels de transmission est tr~s bien approximOe par une fonction de la forme KC ~. Ce phOnomOne est connu sous le n o m d'~conomie d'dchelle e t a fait indOpen- damment l 'objet de nombreuses vOrifications expOri- mentales [2, 3].

1. Di~FINITION DU COI3T i~QUIVALENT

1.1. Insuffisance du crit~re du bilan actual is6 : un exemple .

Montrons tout d ' abord sur un exemple l 'insuffisance du critOre du bilan actualis6 pour la comparaison 6conomique des matOriels.

Une artOre de transmission doit ~tre 6quipOe de 5 000 voles tOlOphoniques par an, pendant plusieurs ann~es. Supposons que l 'on ait le choix entre deux matOriels de transmission M, et M 2 .

M, est un systOme de transmission sur cfible ~t paires mOtalliques, chaque paire 6tant ~quipOe d 'un systOme MIC ~ 30 voies : un cfible de 672 paires pa r exemple, de capacit6 maximale 20 160 voies.

M 2 est un systOme de transmission sur cfible ~t fibres optiques, 6quip6 de systOmes /t 34 Mbit/s (480 voles) : un cfible de 70 fibres a donc une capacit6 maximale de 16 800 voies.

A raison de 5 000 voies tOlOphoniques par an, il faut installer un deuxiOme cfible au bout de 4 ans dans le cas M, , et au bout de 3 ans darts le cas M2 �9

Soit 1, le coot total du matOriel Mt , c'est-/t-dire la somme : des coots de fourniture et de pose d 'un c~ble h 672 paires ; des coots d'Oquipement et d'installa- t ion des syst~mes MIC h raison de 167 par an ; des coots d 'exploi tat ion et de maintenance de l 'ensemble, le tout rOparti sur 4 annOes et actualis6 /t l'annOe origine.

Soit, de la m~me fagon, 12 le coot total du matOriel M 2 , c'est-/L-dire la somme : des coots de fourni ture et de pose d 'un cfible h 70 fibres optiques ; des coots d'Oquipement et d ' installation des systOmes h 34 Mbit/s h raison de 11 par an ; et des coots d 'exploi- ration et de maintenance de l 'ensemble, le tout rOparti sur 3 annOes, et actualis6 h l'annOe origine.

Calculons les coots actualisOs A1 et A2 d'Oqui- pement de l'artOre pendant 5 arts, avec les mat6riels M, et M2 respectivement (taux d 'actual isat ion v : 9 % ) : ( ' / A, = / 1 1 + (1 + ' 0 4 -~ 1,71 / 1 ,

( ' / A2-----/2 1 + ( 1 + '~)~ = 1 , 7 7 / 2 ,

d'ofi A 2 I A t ---- 1,04 h i 1 , �9

2/11 ANN. T~L~COMMtm., 36, n ~ 11-12, 1981

604 M. MINOUX. - NOTION DE CO~JT EQUIVALENT

Le m~me calcul, effectu6 stir une p6riode de 7 ans, donne :

A1 = I t 1 + (1 -t- v) 4 = 1 , 7 1 I I ,

( 1 1 ) A2 = I2 1 + (1 + x) 3 + (1 + x) 6 = 2,37 12,

k

d'of i A21A1 ----- 1,39 12111 �9

Supposons maintenant que 12111 = 0,90. La figure 1 mont re que, dans ce cas, le r6sultat

de la comparaison entre les syst6mes M1 et M2 est invers6 suivant que le bilan aetualis6 est calcul6 sur 5 ans ou sur 7 ans.

A~ r~ bilan sur

-fans

1,2+ / / . . . . . . . . 5 ans

0,8 /

I j ' 0,85

o',s ; ,:z I_z ! 1

FIG. 1. - - CritOre du bilan actualis6 : comparaison de deux mat6riels M~ et M z .

A~/A~ est le rapport des bilans actualis6s. 19./I test le rapport des coots d'investissement et d'exploitation pour un premier cable.

Criteria o f cost evaluation : comparing two equipments M x and Mv

AJAx is the cost evaluation ratio. IJI1 is the equipment and maintening cost ratio, for a first cable.

Ceci s 'explique pa r le fait que, sur 7 ans, le second mat6riel n ' es t pas complOtement rempli, et se trouve done dOsavantag6 par r appor t au premier (qui lui est complOtement rempli).

1.2. Recherche d'un crit6re de comparaison ind6pen- dant de la p6riode d'6tude.

Si l ' on veut d6terminer un crit6re de choix qui ne d6pende pas de la dur6e de la p6riode d'6tude, il faut placer les mat6riels dans les m~mes conditions, et les comparer sur une p6riode de temps (0, T) suffi-

samment longue pour qu' i l n ' y ait pas de capacit6 rOsiduelle en fin de pOriode (capaeit6 installOe et payOe, mais non utilisOe).

Ainsi, pour comparer les matOriels M1 et M 2 , de capacitOs respectives C 1 et C2 et de cofits 11 et l z , pour une vitesse de croissance v, et si leurs durOes de remplissage sont :

n t = C d v , n 2 = C 2 1 v ,

il faudra choisir le plus petit T tel que :

T = kl nl : k2 n2 avec kl et k2 entiers.

Alors le cofit actualis6 sur [0, T] correspondant

au choix du premier matOriel sera :

I1 /1 ZI(V , T) = I~ + (1 + v)"' + "'" + (1 + x) (k'-l)" ' '

1 - - (1 + -0 - r soit zl(v, T) ----- 11 1 - - (1 + -r)-",

De m~me si l ' on choisit le deuxiOme mat6riel, on aura un cofit actualis6 :

1 - - (1 + x) - r z2(v, T) = I 2

1 - - ( 1 + x)-"2

Remarquons que zl

zl(v, T)

I1 avec yl(v) = v

De la m~me faqon,

z2(v , T)

avec y2(v) = v

s'Ocrit sous la forme :

r - 1 vy l ( v )

=,=oE (1 + x y '

1 - - ( 1 + "0 -1

1 - - ( 1 + z) -c, /~ "

z2 s'Ocrit sous la forme :

r-l~ vy2(v)

=-,--~o (1 + "r)' ' 1 - - ( 1 + v) -1

1 - - (1 + x) -c2/v "

On voit que la compara i son des deux matOriels Mt et M 2 , pour la vitesse de croissance v, se ramOne

la comparaison des deux quantitOs Y1(0 et y2(v), lesquelles apparaissent inddpendantes de la durde T

sur laquelle s 'e f fec tue la comparaison.

Ce qui vient d 'Stre fait s'Otend aisOment au cas o f / l e choix se prOsente dans une famille de p matOriels M , , chacun de cofit I , et de capacit6 Cr(r = 1, 2,..., p).

En effet, le mSme ra isonnement appliqu6 ~t toutes les comparaisons possibles de matOriels deux ~t deux, conduit h choisir, indOpendamment de la durOe sur laquelle s 'effectuent les comparaisons , le matOriel M, pour lequel la quantit6

Is 1 - - (1 + ~)--1 %(v) - - v 1 - (1 + x) - c ' l ~ '

est minimale, c 'est-~-dire :

% ( 0 = rnin { y , ( v ) } . r = l , . . . p

A N N . T I ~ L ~ C O M M U N . , 36, n ~ 11-12, 1981 3/11

M. MINOUX. -- NOTION DE COLIT I~QUIVALENT 605

1.3. D6fmition du coiit 6quivalent et interpretation.

Par d~finition, nous appellerons coat dquivalent du matOriel M (de eapaeit6 C et coot total I) pour la vitesse de croissanee v, la quantit6 y(v) donnOe par la relation :

I 1 ~ ( 1 + "r) -~ (1) ~(v) = -

v 1 - (1 + T) - c / v "

Compte tenu du paragraphe pr~eOdent, on voit que le coot actualis~ z(v, T) pour Tmultiple de Clv = n (durOe de remplissage du matOriel M pour la vitesse de croissance v) est done de la forme :

r - ~ v . ' c (v ) z(v, T) = ~ ,

(1 + T) t

et en particulier, pour T ---- Clv = n, on a : z(v, n) = L done :

" - ~ v ~'(v) (2) /----- 2~ (1 + Ty"

I t = 0

La formule (2) est tr~s int~ressante car elle montre que le coat ~quivalent peut s'interprdter comme le colTt (f icti f) qu'il faudrait verser chaque annie par unit~ de capacit~ suppl~mentaire install~e de faqon ~ce que la somme (aetualisOe) de ces versements fictifs sur la durOe de remplissage du matOriel soit dquivalente ~t l'investissement rOel L

Le coot 6quivalent s 'apparente done ~ la notion d'amortissement, chore aux 6eonomistes. Cependant, la diffOrence essentielle est qu'il s'agit d 'un amortissement calcul6 sur la dur~e de remplissage du matdriel, et non sur sa durde de vie. De fait, T dOpend de la durOe de remplissage Clv, alors qu 'un amortissement dOpend de la durOe de vie 6conomique du matOriel.

Enfin, il est fondamental de remarquer que la validit6 du coot 6quivalent eomme erit~re de ehoix d'investissement rOsulte des dOveloppements du paragraphe 1.2. prOeOdent, et ne repose en r i en sur l 'inter- prOtation 6conomique qui en est donnOe ici.

Reprenons l 'exemple du paragraphe 1.1. Les durOes de remplissage sont : pour le c~tble mOtallique, nt ----- 20 160/5 000 = 4 annOes, pour le cfible optique, n2 = 16 800/5 000 = 3,4 annOes.

Le rapport des eo0ts 6quivalents des deux syst~mes s'Oerit :

T~ -- I~ 1 - - ( 1 + T)-"2= 1,17I~.

La figure 2 reprend la figure I en la complOtant avec le r~sultat du calcul des coots 6quivalents. Cette figure indique que, si comme nous l 'avions suppos6 I2 / I ~ = 0,90, le syst~me M~ est prOfOrable, sur le plan 6eonomique, au systOme M2 et que eeei reste vrai tant que 12/I~ >~ 0,85.

A~.2

A I

bilon sur 7 ons

bilan sur Sans

o8

o,6.

0,6 0,8 t 1,2 l z

11

FIG. 2. - - Cdt~re du coot 6quivalent : comparaison de deux matOdels.

Y~/YI est le rapport des coots &luivalents.

Criteria of equivalent cost : comparing of two equipments. Yz/Yz is the equivalent cost ratio.

1.4. Cofit ~quivalent et capacit6s r6siduelles.

Nous avons vu au paragraphe 1.1., que, ce qui rend l 'utilisation du bilan aetualis6 dOlieate pour la comparaison de matOriels de eapacitOs et de coots diffOrents stir une pOriode quelconque est que les matOriels n 'arr ivent pas toujours ~t pleine capacit6 en fin de pOriode.

I1 existe done des capacitds r~siduelles (payOes mais non encore utilisOes) dont il faut tenir compte sous peine, nous l 'avons vu, de fausser les comparaisons.

Supposons clue l 'on sache estimer le coot (aetualisO) des capacitOs rOsiduelles, et eonsidOrons un matOriel M de coot 6quivalent y(v).

Pour 0 multiple de la durOe de remplissage, on a vu au paragraphe 1.2. que le bilan actualis6 total correspondant est :

1 - - (1 + ~ ) - 0 z(v, 0) ~ I

1 - - (1 + ~ ) - c / v �9

Si maintenant 0 n 'est plus un multiple de la durOe de remplissage du matOriel, on pourra dOfinir un bilan actualisd << corrig~ >> z(v, 0) en retranchant du bilan aetualis6 rOel le coot des capacitOs rOsiduelles.

Remarquons que pour 0 multiple de la durOe de remplissage, on a :

~(v , 0) = z ( v , 0)

(puisqu'il n ' y a pas de eapaeit6 rOsiduelle darts ce cas).

4/11 ANN. TI~LI~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981

606 M. MINOUX. -- NOTION DE COUT I~QUIVALENT

Par ailleurs, la comparaison des mat6riels entre eux suivant le crit6re du bilan actualis6 corrigd ~(v, 0) n 'a de sens que si les r6sultats de la comparaison sont ind6pendants de la dur6e 0 consid6r6e. Done, E(v, 0) doit ~tre de la forme :

~(v, 0) = ~(v) + ( 0 ) ,

off la fonction +(0) est ind6pendante du mat6riel consid6r6.

Comme pour 0 multiple de C]v, on doit avoir :

z(v, 0) = ~(v, 0) = q~(v) ~ (0 ) ,

1 - - (1 + "r) - ~ et que : z ( v , O ) = I

1 - - (1 + "r) - c / o '

1 - - (1 + "r) - ~ = vy(v) l _ _ ( 1 + ' r ) - x '

on d6duit par identification :

~(v) = v ~,(v),

1 ~ (1 -q- "r) - ~ +(0) = 1 - - ( 1 + ~ ) - 1 �9

La fonction s 0) cherch6e peut done s'6crire :

1 - - (1 + "r) - ~ ~(v, 0) = v y(v) 1 - - ( 1 + x)-~ "

On voit que cette fonction, qui correspond ~t un bilan actualis6 corrigd pour les valeurs de 0 non multiples de la dur6e de remplissage n ----- C / v r6alise un l i ssage de la fonction z(v, T) qui, elle, n 'est d6finie que pour les valeurs de T multiples de n = C[v.

Par construction, la fonction ~ poss6de la propri&6 importante suivante : Pour route valeur de v, il revient au m~me de comparer les mat6riels suivant le crit6re du coat 6quivalent y(v) ou suivant le crit6re du coat actualis6 corr igd-~(v , 0).

En effet, pour deux mat6riels quelconques Mt et M j , on a toujours :

~j(v, O)l-i~(v, O) = ~'j(v)l'h(v) (quantit6 ind6pendante de 0).

Remarquons enfin qu'/t partir de l 'expression de ~(v, 0) il est facile de donner une m&hode pour retrouver le coat actualis6 des capacit6s r6siduelles.

Supposons que 0 soit tel que :

( k - - 1 ) C / v < 0 <~ k C l v ,

le bilan actualis6 total (cor respondant / t l ' installation de k fois le m~me mat6riel M /t intervalles n : C[v) est :

1 ~ (1 + -r) - k c / v 1 ~ (1 + -r) - ~ 1 1 - - (1 + "r) -c/~ > ~(v, 0) = vy(v ) 1 - - ( 1 + "r) -~ '

1 - - (1 + "r) - ~ ----I

1 - - (1 + "r) - c l o "

Les capacit6s r6siduelles /L l ' instant 0 sont :

A C = k C - vO,

et leur coot (actualis6) est :

1 - - (1 + "r) - k c/~ 1 - - (1 + "r) - ~ A I = I - - I

1 - - (1 + "r)-cl v 1 - - (1 + "r) - e l y "

D'ofi (puisque 0 ----- k C / v - - A C l v ) :

(1 + ~ ) - kc/o AI = I 1 - - (1 q- "r)-c2 v [(1 + x) ac/v - - 1].

I1 est int6ressant de comparer ce r6sultat ~t celui obtenu en appliquant la m6thode classique de prise en compte des valeurs r6siduelles qui consiste h attribuer h la capacit6 r6siduelle un coot fictif pro- portionnel h la capacit6 non utilis6e en fin de p6riode d'&ude.

Reprenons encore l 'exemple du paragraphe 1.2. Quelle que soit la p6riode (0, 0) retenue, 5 ans ou 7 ans ou m~me davantage,

~2(v, O)/-~t(v, 0) ----- Y2/'h = 1,17 I 2 [ I t �9

- - S u r 5 ans, le syst6me Mt (cAble m&allique) est install6 en double, ce qui procure une capacit6 maximale de 40 320 voies. A raison de 5 000 voies 6quip6es par an, il reste 15 320 voies non utilis6es en fin de p6riode, sur les 20 160 du deuxi6me cable. Une estimation du coot de cette capacit6 r6siduelle s'6crit, apr& actualisation :

(It/(1 + x) s) (15 320/20 160) = 0,49 11 .

Ce coat dolt &re retranch6 du bilan actualis6 d'investissement et d 'exploitat ion A t , calcul6 au paragraphe 1.1., pour obtenir un bilan Bt qui tient compte des capacit6s r&iduelles :

Bt ----- A1 - - 0,49 It = 1,22 I .

Quant au syst6me M2 (cAble optique), il est install6 lui aussi 2 fois, et la capacit6 r&iduelle est de 8 600 voies sur les 16 800 du deuxiOme cable. Le bilan B2 correspondant s'6crit alors :

B 2 = .42 - - ( I2] (1 -]- "0 5) (8 600116 800) ---- 1,44 12 .

On en d6duit sur 5 ans B2]BI = 1,18 I 2 ] I 1 .

Sur 7 ans, un calcul analogue fournit :

B 2 / B 1 -~ 1,19 I2[I1 �9

On remarque tout de suite que les valeurs obtenues sont en excellent accord avec les r6sultats fournis par la m6thode du coot 6quivalent, h savoir :

~2(v, 0)fzt(v, 0) = 1,17 I2[ I t .

L'6cart est tr6s faible (de l 'ordre de 1 /t 2 ~o) et il est facile de l 'expliquer.

Si on reprend l 'exemple du mat6riel Mt sur 5 ans, la m6thode des coots proportionnels conduit ~t attri-

I t 15 320 buer la valeur (1 + "r) s 20 160 = 0,49 It aux capa-

cit6s r&iduelles. De son c6t6, la m6thode du coot 6quivalent calcule

cette valeur r6siduelle par la somme de versements annuels fictifs qui auraient 6t6 n6cessaires entre l'ann6e 5 et l 'ann6e 8 pour amener le syst6me/t pleine capacit6, c'est-/t-dire :

AN};. TI~L~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981 5/11

M. MINOUX. - NOTION DE COLIT I~QUIVALENT 6 0 7

v ~q(v) v y l (v) v v l (v) (1 q- "r) ~ -4- (1 -f- "r) 6 + (1 -F "r) ~ '

"h(v) 6tant caleul6 de faqon que :

Z v Vdv) 11----t=o ~ (1 + ' r ) ' "

On obtient alors :

coot actualis6 de la capacit6 r6siduelle

= ~l(v, 8 ) - ~l(v, 5 ) ,

1--(1 + ' r ) - s 1--(1 + ' 0 - s =/1 1 - - ( 1 + ' r ) - * - - I 1 1 - - ( 1 + ' r ) - * '

= 0 , 5 1 / 1 .

Les deux r6sultats (0,49 Ix et 0,51 I1) ne different fmalement que par des termes d'actualisation.

L'int6r~t du coot 6quivalent, par rapport & la m&hode des coots proportionnels, est de fournir une estimation des coots des capacit6s r6siduelles permettant de corriger les bilans actualis6s de telle sorte que les comparaisons entre mat6riels diff6rents soient significatives, c'est-&-dire que les r6sultats ne d@endent pas de fagon critique de la p6riode d'6tude (souvent choisie de fa~on arbitraire).

. A

U T I L I S A T I O N DU C O U T I~QUIVALENT P O U R LE C H O I X DU MATI~RIEL

LE MIEUX ADAPTI~ AUX BESOINS

2.1. l~conomie d'6chelle d'une famille de mat6riels.

En pratique, pour un besoin d6fini, il existe plusieurs families de mat6riels, en g6n6ral de technologies diff6rentes. A ehaque mat6riel correspond une capa- cit6 maximale C et un coot total L

G6n6ralement, l ' installation d 'un mat6riel suppose un premier investissement d ' infrastructure puis des investissements 6ehelonn6s dans le temps et correspondant aux extensions successives. I1 faut alors consid6rer, comme nous l 'avons dit au chapitre pr6c6dent, que le coot total I e s t la somme actualis6e du premier investissement (efible, mise en place, premier 6quipement), et des d6penses ult6rieures, comportant entre autres les coots d'6quipements et les d6penses d'exploitation et de maintenance, jusqu'& saturation de la capacit6 C.

En tou te rigueur, 1 devrait done d6pendre de la vitesse v d'aeeroissement des 6quipements. Mais l 'approximation faite en le consid6rant ind6pendant est le plus souvent acceptable parce que le coot du premier investissement est g6n6ralement pr6pond6- rant, et l 'approximation ne porte que sur l'actualisation de termes beaueoup plus faibles.

Portons C en abscisse et ! en ordonn6e. Une famille

de mat6riels est alors repr6sent6e par un nuage de points entre lesquels on peut faire passer une courbe :

Z = f ( C ) ,

repr6sentative de la famille des mat6riels consid6r6s (voir Fig. 3). Dans la plupart des cas, la courbe v6rifie

Cout d'investissement et d'exploitation, actualise sur le p&iode de remplissoge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ _ _ _ ~ I= f(C)

----- t ~ I ] I I E I [

I C~ C z C3 Copacit6

moximale du syst~me

FIG. 3. - - Exemple de courbe caract6ristique d'une farnille de rnat6riels.

Example of characteristic curve of one equipment family.

le principe des ~conomies d'~chelles, & savoir que le coot d 'un syst6me crolt avec sa capacit6 et, de plus, le coot moyen d 'un 6quipement est plus faible dans un systbme de grande capacit6 que dans un syst6me de faible capacit6.

On d6finit d'ailleurs le facteur du d'dchelle comme &ant le rapport du coot moyen au coot marginal :

f(C)lC e(C) -- f ' (C) (g6n6ralement e d6pend de C).

L '6tude d'6conomie d'6chelle pour les mat6riels de t6Mcommunications a fait l 'objet de nombreux travaux et on a pu montrer que, dans tousles domaines des t616communications (commutat ion, transmission,...), la loi ! = f(C) est toujours tr6s bien appro- xim6e par une relation de la forme :

I = K C ~,

off ~3 est un coefficient compris entre 0 et 1 et off K est une constante (cf. [5, 6]).

Dans ce cas, on remarque que le facteur d '6conomie d'6chelle est e = 1]~3 et done qu'i l est constant (ind6pendant de C).

L '6tude du coot 6quivalent pour des familles de mat6riel avec facteur d '6conomie d'6chelle constant est trait6e en d&ail dans le paragraphe 2.2.2.

Remarquons que, dans certains cas, il peut ~tre pr6f6rable d 'approximer la fonction I = f(C) par une fonction de coot lin6aire avec coot fixe.

Le probl~me du choix du meilleur mat6riel dans une telle famille, est trait6 en annexe. Les crit6res de ehoix d6velopp6s darts le paragraphe 2.2.1., s 'appliquent directement & ce probl6me.

6/11 ANN. TIELI~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981

608

2.2. Choix du mat6riel optimal : eas d'une croissance lin6aire.

2.2.1. Famille de mat6riels queleonques.

Pour une vitesse de croissance constante (v 6qui- pements par an), t rouver le syst6me le mieux adapt6 aux besoins revient /L chercher le couple (I, C) pour lequel :

O'r/aC = 0 , ce qui s'6crit :

[ 1 ] , i l o g ( l + ' r ) f ( C ) _ 0 , 1 (1 +-%.)c1~ f (C) (1 + "r) c/~ v

ou encore :

f(C) log(1 + I:) (4) (1 + %.)c/o = 1 + - -

f ' (C) v

Bien entendu, la mani6re de proc6der est id6alisOe et suppose la courbe f(C) continue, alors que, dans la pratique, on choisit en g6nOral pa rmi une famille discr6te. Ce qui suit est n6anmoins une indication de voisinage pour le matOriel optimal.

I1 est int6ressant de constater que, dans la formu- lation (4), 16g6rement modifi6e sous la forme (5) suivante :

f ( C ) I C (5) (1 + %.)n = 1 + n f-(r-(~ log(1 + ' r ) ,

apparaissent les grandeurs caract6ristiques :

- - n, dur~e de remplissage, (n = Clv ) ,

- - f ( C ) ] C , eo~t m o y e n d 'un 6quipement dans le syst6me de capacit6 C,

- - f ' (C) , coot marg ina l d 'un 6quipement dans le m~me syst6me,

le r appor t du coot moyen au coot marginal 6tant, rappelons-le, le facteur d '6conomie d'6chelle de la famille de mat6riels consid6r6e.

Cette formulat ion (5) mont re aussi que le syst6me opt imal ~ installer, c'est-~t-dire le cran d 'ex tens ion de la part ie de r6seau consid6r6e, ne d6pend que du taux d 'actual isat ion %- et de la quantit6 v d'6quipe- ments install6s par ann6e.

2.2.2. Famille de mat6riels avee facteur d'6conomie d'6chelle constant - - Cofits 6quivalents optimaux.

Darts le cas d 'un facteur d '6conomie d'6chelle constant e ----- 1/[~ c'est-/t-dire d ' une fonct ion f(C) de la forme :

f(C) = K C ~ ,

la relation (5) se simplifie et s '6crit :

(6) (1 + ~ y = 1 + ( n i p ) l o g (1 + %.).

Cette relat ion montre que (au moins dans le cas d 'une croissance lin6aire) la dur6e de remplissage opt imale n est ind6pendante de la vitesse (ou demande annuelle) v.

La capacit6 opt imale ( o u c r a n d 'extension optimal) se d6finit par :

M. MINOUX. - NOTION DE COLIT t~QUIVALENT

C ~ - n v .

Le tableau I donne un certain nombre de valeurs de n solutions de (6), en fonction de valeurs de et -r r6alistes, compte tenu de la conjoncture actuelle :

TABL. I. - - Dur6es optimales de remplissage n.

0.4 0.6 0.8

0.07 24 ans 14 ans 6 ans

0.09 19 ans 11 ans 5 ans

0.11 16 ans 9 ans 4 ans

0.13 13 ans 8 ans 4 ans

On voit donc que la not ion de coot 6quivalent permet (avec une forme analytique r6aliste I ----- f(C) = K C ~ pour la fonction de coot brut de la famille de mat6riels consid6r6es) de retrouver la not ion de cran d 'extension et d ' abou t i r h des valeurs en accord avec la prat ique courante.

Etudions maintenant la forme de la courbe des coots 6quivalents opt imaux. Pour chaque vitesse de croissance v, il existe, parmi tous les syst6mes envi- sageables, un mat6riel opt imal qui minimalise le coot 6quivalent.

Notons y*(v) l ' enveloppe inf6rieure des courbes de coot ym(V) de tous le s mat6riels m ~ M c'est-~-dire :

y*(v) = min ym(V) (VV). m ~ M

La relation (1) s'6crit :

K C ~ 1 - - ( 1 + ' r ) -1 -~(v) = . v 1 - - (1 + %-)-ely "

Pour le mat6riel optimal, d 'apr6s la relation (6), n = C / v est constant (ind6pendant de v) done :

(nv) ~ 1 - - (1 + %-)-1 y*(v) : K

v 1 - - ( 1 + - r ) - " '

1 - - ( 1 + %.)--1 d'o/i : y*(v) = K ' v ~-1 avec : K ' = K n ~

1 - - ( 1 + - r ) - " '

(n &ant solution de l '6quation (6)). On d6duit de ce qui pr6c6de que :

"c*(v) lv*(Vo) = ( vo l v ) 1 - ~.

On retrouve l~t un r6sultat important , qui apparais- sait en hypoth6se dans les pr6c6dents expos6s sur la m6thode du coot 6quivalent (*), mais qui n 'es t en fait, on le voit, qu 'une cons6quence du compor tement 6conomique de la famille de mat6riels consid6r6e, dans le cas particulier f r6quemment rencontr6 d ' un facteur d '6conomie d'6chelle constant.

(*) MOULON (J.). Pr6sentation synth6tique d'urt crit6re de comparaison bas6 sur le coot 6quivalent du circuit. Note technique. CNET, 174/OR/TM/JM, 1973.

ANN. TIgLI~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981 7/11

M. MINOUX. -- NOTION DE COUT I~QUIVALENT 609

On voit d 'autre par t que cette formule concerne les codts dquivalents optimaux, et non les codts dquivalents individuels pour chaque mat6riel, et qu'il n'est done pas justifi6 a priori de l'utiliser pour calculer le cofit 6quivalent d ' un mat6riel (*).

2.2.3. Influence du taux d'actualisation sur le choix du mat6riel optimal et interpr6tation 6conomique.

L'actualisation est un moyen commode de prendre en compte les contraintes budg&aires annuelles par l 'interm6diaire d ' un seul param&re global appel6 taux d'actualisation. Envisag6 du point de vue de l '6conomie math6matique, on peut dire que le taux d'actualisation est une p$nalit~ associ6e ~ la eontrainte bud# ta i r e et mesure, en un sens, la difficult6 qu'il y a ~t satisfaire cette contrainte pour r6aliser un certain objectif de croissance de l'entreprise.

Ainsi, un taux d'actualisation fort indique une contrainte budg6taire serr6e (insuffisance des moyens financiers par rappor t aux objeetifs fix6s), un taux d'actualisation faible indique une bonne ad6quation des moyens aux objectifs.

Pour &udier l ' influence du taux d'actualisation sur le ehoix du mat6riel optimal, observons que ee ehoix consiste /t t rouver le meilleur compromis entre deux solutions extremes :

- - une solution A consistant h investir tr6s souvent des mat6riels de tr6s faible capacit6 ;

une solution B consis tant / t investir ~t intervalles tr6s espac6s des mat6riels de grande capacit6.

Dans la solution A, on a une bonne r6partition des d6penses dans le temps (d 'oh la possibilit6 d'6quili- brer les budgets) mais les mat6riels choisis 6tant de faible capacit6, leur cofit moyen est tr6s 61ev6 du fair de l '6eonomie d'6chelle. Sur une p6riode de plusieurs ann6es, la d6pense (en francs constants) sera done relativement 61ev6e, d 'oh la difficult6 de tenir les contraintes budg6taires.

Dans la solution B, les mat6riels ehoisis 6rant de forte capacit6, les cofits moyens sont faibles, done la d6pense totale sur plusieurs ann6es (pour satisfaire le m~me objectif) sera plus faible que darts la solution A. Cependant, la solution B aboutit ~t une mauvaise r6partition dans le temps des d6penses, d'ofa le risque de ne pouvoir tenir les eontraintes budg&aires pour certaines ann6es.

Le meilleur compromis sera done en g6n6ral une solution interm6diaire entre A et B, mais d 'autant plus proehe de A que les contraintes budg&aires seront plus serr6es, e'est-h-dire que la valeur de sera plus 61ev6e.

I1 est done normal que la eapacit6 du mat6riel optimal (done la dur6e de remplissage optimale) d6croisse lorsque le taux d'actualisation augmente : on retrouve ainsi de faqon qualitative les r6sultats du tableau I.

(*) Voir note bas de p. 608.

8/11

2 .3 . C h o i x du m a t 6 r i e l o p t i m a l : g 6 n 6 r a f i s a t i o n / t u n e cro i s sanee q u e l e o n q u e .

Etudions maintenant le cas oh la vitesse de croissance des besoins n 'es t plus constante.

La demande est done d6crite par la donn6e des vitesses de croissance :

Vo pour la premiere ann6e ,

vl pour la deuxi6me ann6e.

L'id6e consiste /t se ramener au cas d 'une vitesse constante en lin6arisant la demande entre l ' instant 0 et une date cible t.

Nous v6rifierons ci-apr6s, sur un exemple, que le choix de la date cible t n'est pas tr6s critique pourvu que la croissance soit suffisamment r6guli6re (c'est-h- dire que la variation de la vitesse de croissance ne soit pas trop brusque).

La eapacit6 cible ~ la date cible t est t - - I

C , = ~ v, 1=0

et la vitesse de croissance moyenne sur (0, t) est :

c, t

La relation (5) du paragraphe pr6c6dent fourni t alors la capaeit6 du mat6riel optimal correspondant /t cette vitesse de eroissanee moyenne ~.

Pour montrer la validit6 de cette m6thode, consi- d6rons le cas particulier (fr6quemment rencontr6) d 'une croissance des besoins de la forme :

vl = ~o(1 + ct) t ,

Vo est la vitesse de croissance initiale des besoins (entre l 'ann6e 0 et l 'ann6e 1) et vz est la vitesse de croissance des besoins entre l 'ann6e i et l 'ann6e i + 1 (le eas g > 0 correspond / t u n e croissance acc616r6e des besoins, g < 0, h une croissance ralentie).

Nous supposerons, par ailleurs, que la famille des mat6riels que l 'on consid6re suit une loi d '6conomie d'6chelle avee facteur d '6conomie d'6chelle constant e = 1/[~ (cette hypoth6se est uniquement destin6e /l simplifier les raisonnements et les ealculs mais il serait facile de s 'en affranehir).

Supposons que l 'on cherche h satisfaire les besoins sur une p6riode de temps [0, T].

Chaque fois qu 'un investissement sera n6cessaire, on appliquera la m6thode pr6c6dente en lindarisant la demande sur 1 an et en choisissant le mat6riel optimal au sens du cofit 6quivalent pour la vitesse de croissance eorrespondante.

La croissance des besoins entre l ' instant 0 et l ' instant 1 6rant Vo, choisissons comme premier investissement le mat6riel optimal (au sens des cofits 6quivalents) correspondant h cette vitesse Vo.

Avec un facteur d '6conomie d'6chelle constant e = 1][~ on a vu au paragraphe 2.2.2. que la eapacit6 optimale Co = nvo , ofa n est ind6pendant de Vo, est solution de :

ANN. TI~LI~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981

610 M. M I N O U X . -- N O T I O N D E C O ' I T I ~ Q U I V A L E N T

(] + ~)" = ~. + (nl~) log(1 + -r).

Cependant, c o m m e la croissance n 'es t pas lin6aire, la saturation va avoir lieu, en r6alit6, /t l ' instant n~ d6fini par :

n I -- 1

Vo(1 + 00' = nVo , l = 0

soit :

(7) (1 + ~ ) " 1 - 1

n = =~ (1 + ~),1 = 1 q - n ~ .

A l ' instant n l , un second investissement sera ngcessaire. La vitesse de croissance (lin6aris6e sur un an) &ant ~ cet instant :

v~ = Vo(1 + ~),1,

le mat6riel opt imal cor respondant ~t cette vitesse de croissance est choisi. Sa capacit6 est :

C1 = nv l ,

oil n e s t toujours solution de

(1 + z)" = 1 + (n ]~ ) l og0 + ~).

Compte tenu de ce nouvel investissement, la satu- rat ion se fera durant l 'ann6e n2 telle que

Vo(1 + ~)' = nvo + n v l , l = 0

ce qui implique que :

(1 + ~)"z = 1 + 0m(1 + (1 + , )"~) ,

= (1 + ~)2n~,

et done que :

n2 ~-~ 2 na .

On voit que la m & hode conduit donc h investir toutes les n~ ann6es, nx d6pendant de n par la relation :

(1 + ~)"~ = 1 + n ~ r

Le premier mat6riel est de capacit6 :

Co = nvo ,

le second de capacit6 :

C~ = n v l -~ nv0(1 + ~)n~,

le troisi6me de capacit6 :

C 2 = n v 2 ~--- nvo(1 + 0r 2"~ ,

et ainsi de suite. Compte tenu du fait que l 'investissement est li6 h la capacit6 par :

I = K C ~ .

Sur une p6riode de t emps tr6s longue (*), le brian

(*) Le choix d'une p&iode de temps tr6s longue est unJquement destin6 ~ 61iminer, encore une lois, les probl~mes de capacit6s r6siduelles, de fagon ~ rendre comparables des s6quences d'investissement diff6rentes. On pourrait tr~s bier comme dans le w 1.4., effectuer cette comparaison sur une p6riode de temps finie en tenant compte des cofits des capacit6s r6siduelles. Cependant, ceci entrainerait des complications suppMmemaires inutiles.

actualis6 d 'une telle polit ique d'investissement est :

K[nvo(1 + ~)t,1]~ Z

l=oZ" (1 + ~)1,1 ,

= K ( n v o ) a ~ pin1 , f = O

en posant (suivant les notat ions de (* ) ) :

9 ----- (1 + ~)a/(1 + ~). D 'of i

(7) Z = K ( n v o ) ~ 1/(1 - - : 9 .

On remarquera que K ( n v o ) ~ n 'es t autre que le eofit du premier mat6riel de capacit6 :

(1 + ~)"1 - - 1 C 0 = n v 0 ~--- v 0

or

et Z s'6crit encore :

Z = K [ (1 + ~ ) " 1 - 1 - Vo]~ 1 1 - - p"l

Nous allons voir que cette politique conduisant au cofit actualis6 Z e s t en fair tr6s proche de la politique optimale.

Remarquons tout d ' a b o r d que le cofit actualis6 (sur une p6riode de temps tr6s longue) d 'une politique d'investissements consistant ~t investir toutes les ann6es est :

z(v) = K . Vo i - - 0 ~ '

(les calculs sont les m~mes que pr6c6demment et on retrouve la valeur Z pou r ~ = nl).

Parmi toutes les polit iques possibles, la politique optimale est obtenue avec ~* tel que

Le calcul mont re que ~* ne d~pend que de e, ~ et z, et ne d6pend pas de Vo �9 Par cons6quent, avec une vitesse de croissance de la fo rme vi = Vo(1 + e)~, la politique opt imale consiste ~ investir toutes les ~x* armies.

Nous allons main tenant v&ifier que Z est t r& proche de z(~.*) et pour eela, comparer les quanti t& :

' ( l + ~ ) " x - - l l ~ 1 - - et I ( 1 + ~ ) ~ - 1 ~ 1 1 - - 9"1 ~ 1 - t ~ '

pour diff~rentes valeurs de ~t. Prenons les valeurs num6riques (r~alistes) suivantes :

-r = 9 % ,

= 0 ,6 ,

= 5 % .

Le tableau I indique alors que (dans l 'hypoth6se d 'une croissance lin6aire) la dur6e de remplissage du mat6riel opt imal est :

(*) Voir note bas de p. 608.

ANN. T~LI~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981 9/11

M. MINOUX. -- NOTION DE CO'IT I~QUIVALENT 611

n = 11 ans.

Le tableau I I donne, pour diff6rentes valeurs de ~z, la valeur de :

8 [(1 + ~ ) ~ - - 1 ~ / = (1 - - p ~ ) ,

pour z = 9~o, ~ = 0,6, 0c ---- + 5~o (n = 11 ans et nl = 9 arts).

6quivalent peut 8tre d6finie sous des hypoth6ses beaucoup plus g6n6rales, et que le champ d 'appl i - cation peut ainsi 8tre consid6rablement 61argi.

La n6cessit6 d 'une telle g6n6ralisation est apparue init ialement dans les 6tudes de planification ~t moyen ou long terme des r6seaux de t616communications (cf. [4, 5]) dans lesquelles :

1) les families de mat6riels ne suivent pas toujours

TABL. II. - - Evaluation de la valeur ~t* correspondant h @ optimal (croissance acc616r6e).

10 711 10 589 10 533

10"

10 528

11

10 564

12

10 633

13

10 732

On constate d 'une par t que l ' o p t i m u m est tr6s plat, d ' au t re par t que la valeur optimale de ~z et de ~t* ~ 10 ans.

Ceci est h comparer h la valeur de nl ----- 9 ans obtenue comme solution de l '6quat ion (7).

On voit qu ' i l n ' y a pas d '6car t significatif entre la valeur obtenue pour nl = 9 ans et pour ~* = 10 ans.

L 'observat ion est du m~me ordre pour une valeur n6gative de g, comme le mont re le tableau III , 6tabli pour des valeurs :

" r = 9 ~ , ~ = 0 , 6 , ~ = - - 5 ~ o ( n - - l l a n s et n l = 16ans).

une loi ~t facteur d '6conomie d'6chelle constant (r6seaux de jonctions urbains pa r exemple) ;

2) les lois de ctoissance des besoins ne sont pas toujours exponentielles mais peuvent 8tre lin6aires, lin6aires par morceaux, etc.

Nous avons ainsi 6t6 conduits ~t une pr6sentation nouvelle de la notion de coot 6quivalent qui offre de nombreux avantages :

- - elle mont re bien que la n6cessit6 premi6re du coot 6quivalent d6coule directement du besoin de compare r des s6quences d ' invest issements ayant des

TABL. III. - - Evaluation de la valeur de ~t* correspondant h ~ optimal (croissance ralentie).

12

5018

13

5 013

14

5 015

15

5 023

16

5 036

17 18

5 052 5 071

L~t aussi, l ' op t imum est tr6s plat, et toute valeur de v comprise entre 12 et 18 peut &re retenue comme 6tant optimale, et Vindication

nl ----- 16 ans

est tout ~t fait suffisante.

C O N C L U S I O N

La notion de coat dquivalent est un 616ment d 'aide ~t la d6cision simple et efficace pour choisir entre des mat6riels diff6rents, tant du point de vue de leurs caract6ristiques techniques (capacit6) que de leurs caract6ristiques 6conomiques (coOt).

D ' a b o r d 61abor6e dans un cadre tr6s restrictif (croissance exponentielle de la demande, famille de mat6riels avec facteur d '6conomie d'6chelle constant), nous montrons dans cet article que la notion de coot

coots et des dur6es de remplissages diff6rents. Bien que le coot 6quivalent se prate h une interpr6tation 6conomique simple, cette interpr6tat ion (qui, comme toute interpr6tation, peut ~tre tax6e de subjectivit6) ne constitue plus son unique justification ;

- - elle montre , d 'au t re part , que le coot 6quivalent peut 8tre d6fini pour n ' impor t e quelle famille de mat6riels et que l ' on peut ainsi s 'affranchir tota lement de l 'hypoth6se classique (faite dans (*) [1]) sur la loi de var ia t ion des coots 6quivalents en x -b (laquelle n ' e s t valable, comme nous l ' avons montr6, que pour les coats dquivalents optimaux et pour une famille de mat6riels avec facteur d '6conomie d'6chelle constant) ;

- - elle mont re enfin que le crit~re du coot 6qui- valent peut 8tre utilis6 pour choisir la meilleure s6quence de mat6riels r6pondant h une croissance quelconque (lin6aire ou non lin6aire) des besoins et

(*) Voir les deux notes techniques de M. Moulon en bas de p. 608.

I0/II ANN. T~L~COMMUN., 36, n o 11-12, 1981

612 M. MINOUX. -- NOTION DE CO'IT I~QUIVALENT

que l ' a p p r o x i m a t i o n p a r l in6a r i sa t ions successives de la c o u r b e de c ro i s sance c o n d u i t h u n c o o t actualis6 tr6s p r o c h e du c o o t actual is6 de la po l i t i que op t imale .

A ins i g6n6ralis6, le cri t6re du c o o t 6quiva len t a 6t6 ut i l is6 depu i s p lus ieurs ann6es c o m m e 616ment de base dans les p r o g r a m m e s de p l an i f i ca t ion h moyen ou l ong t e r m e des r6seaux t616phoniques ( r6seaux de t r a n s m i s s i o n in t e ru rba ins , cf. [4, 5], r6seaux de jonc- t ions u rba ins ) (*).

P lus l a rgemen t , il cons t i tue un ou t i l f o n d a m e n t a l p o u r l ' i ng6n i eu r ou le p lan i f i ca teur d a n s de n o m b r e u x d o m a i n e s de l ' 6 c o n o m i e des t616communica t ions : ing6nier ie des syst6mes de t r a n s m i s s i o n ou de c o m m u - t a t i on , p r6vis ion , 6tudes de p r o s p e c t i v e su r les nou- veaux sys t6mes de t616communica t ions , etc.

A N N E X E

Famille de mat6riels avec fonction de coot lin6aire

D a n s les syst6mes c o m p o r t a n t une p a r t i e de coot fixe et une pa r t i e p r o p o r t i o n n e l l e h la capaci t6 , la

(*) PELLETIER (J.). Etude de la structure h long terme du r6seau de transmission de Paris extra muros /t l 'aide du programme OSIRIS. Fiche technique. CNET FT/RCC/ECR/83, juillet 1977.

famil le de mat6r ie l s ob6i t it une loi de la f o r m e :

f ( c ) = p C + q.

Le fac teur d ' 6 c o n o m i e d '6chel le , dans ce cas, n ' e s t pas i n d 6 p e n d a n t de la capaci t6 , et vau t :

b ( C ) = 1 + qlpC.

D a n s le cas d ' u n e c ro i ssance l in6aire des besoins , la f o rmu le (5) d o n n e la dur6e de rempl i ssage n* du mat6r ie l o p t i m a l :

(1 + - : ) ' = 1 + l o g ( 1 + ' r ) ( n + p - ~ o ) ,

sa capaci t6 6 tan t C = nvo . Le t a b l e a u A - I d o n n e que lques va leurs num6r iques

pou r la dur6e de r emp l i s s age n du mat6r ie l op t ima l .

TABU A.I. - - Dur6es de remplissage n du mat6riel optimal.

0.2 1. 10. 50.

0,07 2 ans 5 ans 14 ans 27 ans

0,09 2 ans 5 ans 13 ans 23 arts

0,11 2 ans 4 ans 11 ans 20 ans

0,13 2 ans 3 ans 10 arts 18 ans

Premier manuscrit refu le 16 aoat 1981, second manuscrit refu le 23 janvier 1981,

acceptd le 10 avril 1981.

B I B L I O G R A P H I E

[1] MOULON (J.). Comparaison 6conomique des syst~mes ~t large bande. M6thode du coOt 6quivalent. Rev. FITCE, Belg. (mai-juin 1972).

[2] ELLIS (L. W.). La baisse des coots dans les t616communica- tions : 6volution des technologies ou 6conomies d'6chelle ? Rev. Tdldcommunic., Fr. (1977), n ~ 52/3.

[3] ELLIS (L. W.). La loi des ~ volumes 6conomiques, appliqu6e

aux t616communications. Rev. Tdldcommunic., Fr. (1975) n* 50.

[4] MINOUX (M.). Optimisation et planification des r6seaux de T616communications. ]?roe. 7 c IFIP conf. on optimi- zation techniques, Nice (1975).

[5] MrNoux (M.). Planification des investissements en r6seau intcr-urbain - - le programme OSIRIS. Echo Rech., Fr. (avril 1974).

ANN. T~.L~COMMUN., 36, n ~ 11-12, 1981 11/11

Documents

Choix d’investissements en matériels de télécommunications : une nouvelle approche de la notion de coût équivalent