Cinetique_dynamique Des Solides

7/26/2019 Cinetique_dynamique Des Solides

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Cintique et dynamique des

systmes de solides


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CINTIQUE des systmes matriels .......................................................... 3

1.) Notion de masse .................................................................................................3

2.) Centre de masse d'un ensemble matriel..........................................................4

3.) Torseurs cintique et dynamique......................................................................6

4.) nergie cintique ...............................................................................................8

CINTIQUE du solide................................................................................. 9

1.) Oprateur d'inertie d'un solide .........................................................................9

2.) Moments cintique et dynamique d'un solide.................................................13

3.) Dtermination de l'nergie cintique d'un solide ........................................... 15

4.) Stratgies..........................................................................................................16

DYNAMIQUE du solide ............................................................................ 18

1.) Principe fondamental de la dynamique ..........................................................18

2.) Thorme de l'nergie puissance..................................................................19

3.) Mouvements particuliers.................................................................................21

4.) quilibrage.......................................................................................................22

5.) Moteurs ............................................................................................................25

6.) Mthode gnrale d'tude des systmes de solides ......................................... 25


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CINTIQUE DES SYSTMESMATRIELS

1.)NOTION DE MASSE

1.1.)DfinitionLa masse caractrise la quantit de matire. La reprsentation mathmatique associe est une mesure positive ounulle, compltement additive, dfinie sur un domaine E de l'espace.

!e "E alors m(e) !0

Quelle que soit la partition de E en n sous ensembles eitels que :

E1+ e2 + + en = E ei#ej= $!i "jon peut crire :

m(E) = %i=1

n

m(ei) [4-1]

1.2.)Conservation de la masseSi t1et t2sont les repres de deux instants quelconques, on dit que E est masse conservative si pour tout sous-ensemble e de E, on a :

m(E,t1) = m(E,t

2) [4-2]

1.3.)Solide matrielLe solide matriel S est celui prcdemment dfini en cinmatique auquel on attribue une mesure positive demasse. Le solide matriel est un systme masse conservative.

1.4.)Ensemble de solides matrielsUn ensemble E est un ensemble de solides matriels s'il n'est constitu que de solides matriels. En particulier, ilne comporte ni fluide ni ressort. Sa masse est conservative.

1.5.)

ThormeSi E est un ensemble masse conservative et f&(P,t) une fonction vectorielle dfinie sur E, on dmontre que :

ddt

'()

*+,

-.P/E

f&

(P,t) dmR

= -.P/E

')

*,d f&(P,t)

dt Rdm [4-3]

Tous les systmes considrs par la suite sont des ensembles de solides matriels.


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2.)

CENTRE DE MASSE D'UN ENSEMBLE MATRIEL

2.1.)DfinitionSi le point G est le centre de masse d'un ensemble matriel E, il vrifie la relation :

-.P0E

GP&

dm = 0 [4-4]

2.2.)UnicitSupposons que, pour un ensemble matriel E, il existe deux centres de masse G1et G2.

Si G1et G2sont centres de masse, ils vrifient respectivement :

-.

P0E

G1P&

dm = 0 et -.P 0E

G2P&

dm = 0

En faisant la diffrence, on obtient :

-.P 0E

(G1P&

G2P&

)dm = 0 1 -.P 0E

G1G2&

dm = 0

Le vecteur G1G2&

tant indpendant de l'intgration en P, on obtient :

G1G2&

-.P 0E

dm = 0

ou encore :

G1G2&

m(E) = 0

Ce qui implique que G1G2&

= 0, donc que G1 est confondu avec G2.

2.3.)Dtermination

En se plaant en un point quelconque Q, on a : GP&

= GQ&

+ QP&

En portant dans la relation de dfinition, il vient :

-.P 0E

GP&

dm = -.P 0E

GQ&

dm + -.P 0E

QP&

dm = 0

Mais : -.P 0E

GQ&

dm = GQ&

-.P 0E

dm = GQ&

m(E)

d'o : -.P 0E

QP&

dm = m(E) QG&

soit encore :

QG&

=1

m(E) -.

P 0E

QP&

dm [4-5]


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2.4.)PartitionPlutt que de calculer directement l'intgrale sur E, il est souvent intressant de raliser une partition de E en nsous-ensembles disjoints ei, de masse miet de centre de masse respectif Gi.

On a alors : -.

P0E

QP&

dm= %

i=1

n -.

P0

ei

QP&

dm = %i=1

n

mi QGi&

d'o la relation : %i=1

n

miQG&

= %i=1

n

miQGi&

[4-6]

On peut faire de mme pour un ensemble E constitu d'un ensemble F auquel on a enlev p ensembles e i, demasse miet de centre de masse respectif Gi. On obtient alors la relation :

-.P0E

QP&

dm = -.P 0E

QP&

dm %i=1

p -.P 0ei

QP&

dm = m(F) QGF&

%i=1

p

mi QGi&

qui devient la formule dite "des masses ngatives" :

m(F) %i=1

p

mi]QG&

= m(F) QGF&

%i=1

p

miQGi&

)

2.5.)Symtrie matrielleOn dit qu'il y a symtrie matrielle pour l'ensemble E si tout point P appartenant E correspond par symtriespatiale un point P' appartenant E tel que : dm(P) = dm(P')

S'il existe un lment de symtrie matrielle (plan ou axe) pour l'ensemble E, le point G appartient cet lmentde symtrie.

Si la symtrie matrielle est effective autour d'un point, c'est ncessairement le centre de masse.

La dmonstration est trs simple en prenant le point Q sur l'lment de symtrie matrielle.

2.6.)RemarquesEn fixant un repre orthonorm R centr en O et en appliquant la formule de dfinition du centre de masse pour

Q = O on obtient : OG&

=1

m(E) -.

P 0E

OP&

dm

En drivant cette expression dans R, il vient : m(E) '()

*+,dOG

&

dt R=

ddt'()

*+,-.

P 0EOP&

dm

R

En appliquant le thorme relatif aux ensembles de solides matriels, on obtient :

m(E) '()

*+,dOG

&

dt R= -

2.

P 0E

'()

*+,dOP

&

dt Rdm

ce qui devient :

m(E) V&

(G/R) = -.P 0E

V&

(P/R) dm [4-7]

Cette intgrale est appele rsultante des quantits de mouvement pour l'ensemble E en mouvement par rapportau repre R.


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Sous les mmes conditions, en drivant une seconde fois, on a :

m(E) 3&

(G/R) = -.P 0E

3&

(P/R) dm [4-8]

Cette intgrale est appele rsultante des quantits dacclration pour l'ensemble E en mouvement par rapport

au repre R.

3.)

TORSEURS CINTIQUE ET DYNAMIQUEOn considre le systme matriel E, de centre de masse G, en mouvement par rapport au repre R.

3.1.)Dfinition du torseur cintiqueLe torseur cintique d'un ensemble matriel E dans son mouvement par rapport un repre R est dfini par :

C(E/R) =

I45

6

-.P 0E

V&

(P/R) dm = m(E) V&

(G/R)

-.P 0E

IP&

^ V&

(P/R) dm = 7&(I,E/R)

Dans le mouvement de l'ensemble E par rapport R, la rsultante cintique est m(E) V&

(G/R) et le moment

cintique en I est 7&(I,E/R). On vrifie facilement la relation torsorielle habituelle :

7&(B,E/R) = 7&(A,E/R) + m(E) V&

(G/R) ^ AB&

[4-9]

En faisant intervenir le centre de masse G et tout point I, on a : 7&(I,E/R)= 7&(G,E/R) + m(E) V&

(G/R) ^ GI&

3.1.a)Cas particuliers Si l'ensemble matriel est de dimension suffisamment rduite par rapport aux autres systmes considrs, on

peut l'assimiler un point unique M de masse m. Le torseur cintique se rduit au glisseur :

C(M/R) =M456

m V

&(M/R)

0

Si G est un point fixe dans R, le torseur cintique se rduit au couple : C(E/R) = 456

0

7&(G,E/R)

3.2.)Dfinition du torseur dynamique

D (E/R) =

I456

-.P 0E

3&(P/R) dm = m(E) 3&(G/R)

-.P 0E

IP&

^ 3&

(P/R) dm = 8&

(I,E/R)

Dans le mouvement de l'ensemble E par rapport R, la rsultante dynamique est m(E) 3&

(G/R) et le moment

dynamique en I est 8&

(I,E/R). On vrifie facilement la relation torsorielle habituelle :

8&

(B,E/R) = 8&

(A,E/R) + m(E) 3&

(G/R) ^ AB&

[4-10]

En faisant intervenir le centre de masse G et tout point I, on a : 8&(I,E/R)= 8&(G,E/R) + m(E) 3&(G/R) ^ GI&


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3.2.a)Cas particuliers Si l'ensemble matriel est de dimension suffisamment rduite par rapport aux autres systmes considrs, on

peut l'assimiler un point unique M de masse m. Le torseur dynamique se rduit au glisseur :

D (M/R) =

M

456

m 3

&(M/R)

0

Si G est un point fixe dans R, le torseur dynamique se rduit un couple : D (E/R) = 456

0

8&

(G,E/R)

3.3.)Relation entre les moments cintique et dynamiqueReprenons l'expression du moment cintique :

7&(I,E/R)= -.

P 0E

IP&

^ V&

(P/R) dm

En drivant cette relation dans R et en appliquant le thorme relatif aux ensembles de solides matriels, on a :

') *,ddt7&(I,E/R)

R= -.

P 0E

') *,ddt(IP&^ V&(P/R))

Rdm

En effectuant la drivation, il vient :

')

*,d

dt7&(I,E/R)

R= -.

P 0E

'()

*+,dIP

&

dt R^ V

&(P/R) dm + -.

P 0E

IP&

^ '()

*+,dV

&(P/R)dt R

dm

Exprimons :

'()

*+,dIP

&

dt R= V

&(P/R) V

&(I/R)

sans oublier que le point I est alors un point gomtrique. On obtient alors :

')

*,d

dt7&(I,E/R)

R= -.

P0E

(V&

(P/R) V&

(I/R)) ^ V&

(P/R) dm + -.P 0E

IP&

^ 3&

(P/R) dm

Le produit vectoriel de deux vecteurs identiques tant nul, il ne reste que :

')

*,d

dt7&(I,E/R)

R= -.

P 0E

V&

(I/R) ^ V&

(P/R) dm + -.P 0E

IP&

^ 3&

(P/R) dm

En factorisant les termes indpendants des sommations et en appliquant les dfinitions, il vient :

')

*,d

dt7&(I,E/R)

R= V

&(I/R) ^ m(E) V

&(G/R) + 8

&(I,E/R)

D'o la relation : 8&

(I,E/R) = ') *,ddt 7&(I,E/R)

R+ m(E) V

&(I/R) ^ V

&(G/R) (I : point gomtrique) [4-11]

Remarque

Il est prfrable pour viter toute confusion de retenir cette relation sous la forme :

8&

(I,E/R) = ')

*,d

dt 7&(I,E/R)

R+ m(E) '

()

*+,dOI

&

dt R^ V

&(G/R) [4-12]

Dans dernire relation : O est l'origine du repre Ret I un point gomtrique


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4.)

NERGIE CINTIQUE

4.1.)DfinitionL'nergie cintique d'un point P affect de la masse dm dans son mouvement par rapport un repre R est

donne par :T(P/R) =

12(V

&(P/R))

2dm

L'nergie cintique d'un ensemble matriel E en mouvement par rapport un repre R est alors :

2T(E/R) = -.P 0E

(V&(P/R))2dm [4-13]

4.2.)Proprit

O

G

x

y

!

x!

! y

!

04-c03

On considre le repre R{O, x&, y&, z&} et le repre R'{G, x&, y&, z&} en

translationpar rapport R. Pour tout point P on a :

V&

(P/R) = V&

(P/R') + V&

(G/R)

En reportant dans la dfinition de l'nergie cintique, il vient :

2T(E/R) = -.P 0E

(V&

(P/R') + V&

(G/R))2

dm

En dveloppant, on a :

2T(E/R) = -.P 0E

(V&

(P/R'))2

dm + 2-.

P 0E

V&

(P/R') V&

(G/R)dm

+ -.

P 0E

(V&

(G/R))2dm

puis en factorisant :

2T(E/R) = -.P 0E

(V&

(P/R'))2

dm+ 2 V

&(G/R) -.

P 0E

V&

(P/R') dm+ m(E) (V

&(G/R)

2)

Mais :

-.P 0E

V&

(P/R') dm = m(E) V&

(G/R') = 0

et donc :

2T(E/R) = 2T(E/R') + m(E) ( V&

(G/R))2

[4-14]

Ce dernier terme pouvant s'interprter comme l'nergie cintique du "point" G, affect de la masse totale, dansson mouvement par rapport R.


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CINTIQUE du solide

1.)

OPRATEUR D'INERTIE D'UN SOLIDE

1.1.)RappelLe solide matriel conserve videmment ses proprits cinmatiques. Il existe alors un torseur cinmatiqueassoci au mouvement de S par rapport un repre R :

V(S/R) =

O456

9&

(S/R)

V&

(O,S/R)

Par dfinition le centre de masse G du solide est fixe dans S.

Remarque

Il ne faut videmment pas confondre torseur cinmatique et torseur cintique.

1.2.)Moment d'inertie d'un solide par rapport un axe

!S

H

Pi

"

Qx y

z

" "

"

04-c01

On considre un repre R{Q, x&, y&, z&}, un solide S et un axe :dfini par

le point Q et le vecteur unitaire i&: := (Q, i&)

Le point P est un point de S et il a pour projection orthogonale sur :lepoint H.

Par dfinition du moment d'inertie de S par rapport un axe, on a :

I(:,S) =-.

P 0S

(HP&

)2dm.

Mais : ||HP&

|| = || i&^ QP&

||

d'o :

[HP&2

]= ( i&^ QP

&) ( i&^ QP

&) = i&(QP

&^ ( i&^ QP

&))

On obtient alors :

I(:,S) = i&-.P0S

QP&

^ ( i&^ QP&

) dm [4-15]

1.3.)Dfinition de l'oprateur d'inertie d'un solide

On appelle oprateur d'inertieJau point Q d'un solide S l'oprateur qui, tout vecteur u&de l'espace, associe le

vecteur -.P0S

QP&

^ ( u&^ QP&

) dm.

On note : J(Q,S) u&= -.P0S

QP&

^ ( u&^ QP&

) dm [4-16]

Le moment d'inertie de S par rapport :dfini par (Q, i&) a pour expression : I(:,S) = i&J(Q,S) i&

Dans un repre R{O, x&, y&, z&}, l'oprateurJ(Q,S) s'exprime par une matrice 3 x 3.


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1.4.)Expression de l'oprateur d'inertie d'un solide

Exprimons dans un repre R{O, x&, y&, z&} les vecteurs intervenant dans la dfinition de l'oprateurJ(Q,S) :

QP&

= x x&+ y y& + z z& u&= u1 x&+ u2 y

&+ u3 z&En calculant le double produit vectoriel, on a :

QP&

^ [ u&^QP&

]= [u1(y2+z

2)u2 x yu3 x z] x

&+ [u2 (x2+z

2)u3 y zu1 x y] y

&+ [u3 (x2+y

2)u1 x zu2 y z] z

&

En effectuant l'intgration et en factorisant les termes indpendants du point P, il vient :

-.P0S

QP&

^ ( u&^ QP&

) dm = (u1 -.P0S

(y2+z

2) dm) u2 -.

P0S

xydm u3 -.P0S

xzdm) x&

+ ( u1 -.P0S

x ydm + u2 -.P0S

(x2+z

2) dm u3 -.

P0S

y zdm) y&

+ ( u1 -.P0S

x zdm u2 -.P0S

y zdm + u3 -.P0S

(x2+y

2) dm) z&

C'est bien le produit d'une matrice par le vecteur u&.

L'expression de la matrice est :

J(Q,S) =

;

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