CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

Dans ces circuits électriques, les sources d’énergie fournissent des tensions ou des courants alternatifs sinusoïdaux qui, après un bref régime transitoire, imposent leur période aux courants et tensions du circuit.

1. Tensions et courants alternatifs sinusoïdaux.

Rappel : les grandeurs variables dans le temps se notent en minuscule alors que les valeurs continues se notent en majuscules.

1.1. Une grandeur alternative sinusoïdale peut s‘écrire sous la forme :

x = A cos (ω t + φ)A est l’amplitude(ω t + φ) est la phase (en rad)φ est la phase à l’origine.

ω est la pulsation (en rad .s-1)T = 2 π / ω est la période (en s)F = ω / 2 π est la fréquence (en Hz)

La valeur moyenne d’une grandeur alternative sinusoïdale est nulle.

1.2. Valeur efficace.L’intensité efficace d’un courant alternatif est égale à l’intensité du courant continu qui produirait le même effet Joule dans la même portion de circuit résistif.

∫=Τ

0

222 eff dtt

Τ2πcosΙ

Τ1 I

Pour un courant alternatif sinusoïdal d’amplitude I , elle vaut :

2IIeff =

Cette définition s’étend à toutes les grandeurs sinusoïdales rencontrées en régime sinusoïdal forcé.

2. Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale.

2.1. Vecteur tournant.À toute fonction sinusoïdale du temps x = A cos (ω t + ϕ), on peut associer un vecteur de valeur A tournant autour de son origine à la vitesse angulaire ω.

2.2. Vecteur de Fresnel

ω

ω t + ϕ

A cos (ω t + ϕ )

A sin (ω t + ϕ )

A

Toutes les grandeurs d’un circuit en régime sinusoïdal forcé ont la même pulsation ; le vecteur de Fresnel ne reprend que les principales, l’amplitude A et la phase à l’origine ϕ (compté positivement dans le sens trigonométrique ‘direct’).

Remarque : on peut associer le nombre complexe A e j ϕ = A cos ϕ + j sin ϕ au vecteur de Fresnel.

A cos ϕ

A sin ϕ

ϕ

+

A

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3. Impédance d’une portion de circuit.

On suppose que le circuit est parcouru par un courant alternatif sinusoïdal d’intensité i = I cos ω t (on dit que le courant impose l’origine des phases)La tension aux bornes d’une portion de circuit peut s’écrire u = U cos (ω t + ϕu).ϕu est ici le déphasage de la tension par rapport au courant.

3.1. L’impédance est le rapport entre les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité ; c’est aussi le rapport entre les amplitudes des valeurs correspondantes.

IU

IU

Zeff

eff ==

3.2. Impédance d’un conducteur ohmique : Z = R

uR = R I = R I cos ω tR I U = R I

ϕ = 0

3.3. Impédance d’un condensateur : ω= C1Z

)2t(cosIC1dttcosIC

1CquC

π−ωω=ω== ∫ ωCI 2

π−ω= C

IU

2π−=ϕ

3.4. Impédance d’une bobine : ω= LZ

)2t(cosILtsinLtdidLuL

π+ωω=ωω−==2π+

IL ωILU ω=

2π+=ϕ

3.5. Impédance d'une portion de circuit "RLC série".

La loi d'additivité des tensions dans une circuit "série" s'écrit :)2t(cosIC

1)2t(cosILtcosIRu π−ωω+π+ωω+ω=

que l'on cherche à écrire :u = U cos (ω t + ϕ)

La construction de Fresnel permet de trouver directement l'impédance et le déphasage de la tension par rapport au courant.

uB

i

L

CuC

q

RRi

u

2π+

IL ω

ωCI 2

π−R I

ϕ

U = Z I

U = Z I

RC

1Ltan u

ω−ω=ϕ

22

C1LRZ

ω−ω+=

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4. Évolution des tensions en fonction de la fréquence.

4.1. Les impédances dépendent de la fréquence :l'impédance d'un conducteur ohmique est indépendante de la fréquencel'impédance d'une bobine augmente avec la fréquence.l'impédance d'un condensateur diminue avec la fréquence.

4.2. Le comportement d'un circuit RLC série dépend lui aussi de la fréquence.Dans les exemples qui suivent, la tension aux bornes du circuit RLC est imposée par un générateur. La tension aux bornes du conducteur ohmique est proportionnelle à l'intensité du courant et permet donc d'étudier ses variations en fonction de la fréquence.

R = 100 Ω ; L = 0,10 H ; C = 1,0 µF.

Basse fréquence : l'intensité du courant est faible à cause de la présence du condensateur.

Fréquence moyenne : l'intensité du courant est grande (ici, elle est maximale) ; le condensateur et la bobine se compensent.

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Fréquence haute : l'intensité du courant est faible à cause de la présence de la bobine

5. Mesures de déphasage.

+ π / 2 ou - π / 2

ϕ u

2 π

mesure de ϕu : tT2

u ∆π=ϕ

signe de ϕu : la tension u passe par la valeur 0 après l'intensité du courant (visualisée par le tension uR aux bornes du conducteur ohmique) ; la tension u est "en retard" sur le courant : ϕu < 0

Remarques :La tension uC aux bornes du condensateur est "en retard" sur le courant : ϕC = - π / 2 < 0 ;La tension uL aux bornes de la bobine est "en avance" sur le courant ϕL = + π / 2 > 0 Quand ϕu < 0, le circuit est dit "capacitif ; la tension aux bornes du condensateur et supérieure à la tension aux bornes de la bobinequand ϕu > 0, le circuit est dit "inductif" ; la tension aux bornes du condensateur est inférieure à la tension aux bornes de la bobine

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6. Puissance consommée par un dipôle.

6.1. La puissance électrique instantanée consommée par un dipôle vaut p(t) = u(t) i(t).

En régime continu (U et I constant), cette puissance vaut :P = U I

Dans la cas du régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne consommée sur une période par un dipôle vaut :

ϕ== ∫ cosIUdt)t(i)t(uT1P effeff

T

0

6.2. En régime sinusoïdal, on définit :

La puissance apparente P = Ueff Ieff (elle se mesure grâce aux indication des voltmètre et ampèremètre).La puissance active Pa = Ueff Ieff cos ϕ (c'est celle qui est réellement consommée par le dipôle).La puissance réactive Pr = Ueff Ieff sin ϕ.

Le rapport ϕ= cosPPa est appelée facteur de puissance.

6.3. Importance du facteur de puissance d'une installation domestique.

cos ϕU

Le distributeur d'énergie électrique garantit à l'utilisateur une tension d'utilisation U constante.En supposant que l'ensemble des lignes électriques allant de la centrale de production d'électricité jusqu'au consommateur ont une résistance r, la puissance consommée en ligne (pertes) par effet joule a pour expression :

ϕ= 22

2

cosUPrpertes

Pour réduire les pertes, on peut :augmenter le cos ϕ du consommateur (le plus proche de 1)augmenter la tension de distribution (lignes à haute tension)

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