CNAM Traitement Analogique du Signal - creatis.insa …chris/TSanalogique.pdf · Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet 2 Objectif, plan et organisation • Maîtriser

Traitement Analogique du Signal( ELE103 )

Christophe OdetProfesseur INSA de Lyon

Hugues Benoit-CattinMaître de Conférences INSA de Lyon

CNAM

2005-2006

Traitement Analogique du Signal - Christophe Odet

2

Objectif, plan et organisation

• Maîtriser le signal analogique et les moyens analogiques (électroniques) de le traiter

• Plan du cours– I- Signaux et systèmes, Transformé de Fourier, corrélation (5h)– II - Rappels de probabilité, signaux aléatoires (4h)– III - Filtrage analogique (9h)– IV - Modulation analogique (6h)

• Organisation– 24h de cours– 21h de TD (Hugues Benoit-Cattin)– 1 interrogation écrite intermédiaire– Contrôle final


3

Ressources complémentaires

• Travail personnel: 2H par heure de cours ou de TD• Bibliographie, ouvrages de référence• Association des élèves et anciens élèves du CNAM

– Anciens sujet d ’examen– Polycopiés des cours du Professeur B.Fino du CNAM Paris

• Ce document disponible en version électroniquehttp://www.creatis.insa-lyon.fr/~chris/TSanalogique.pdf

• Contact avec les enseignants– Email, RDV…

• Site web du cnam : www.cnam.fr• Etc...


4

Introduction

• Pourquoi traiter les signaux– Générer, Mettre en forme, Adapter, Moduler, Analyser,

Extraire l’information…

• Signaux déterministes et aléatoires– Information et hasard– Bruit et signal utile

• Fonctions de traitement– Générer, amplifier, filtrer, moduler, échantillonner, convertir

• Analogique vs. Numérique– avantages et inconvénients des deux approches– domaines d’utilisation


5

I - Signaux et systèmes, Transformée de Fourier, corrélation

– Signaux continus, échantillonnés, quantifiés, numériques– Énergie et puissance– Signaux utiles– Système linéaire invariant (SLI), convolution– Analyse harmonique, Transformée de Fourier– Réponse en fréquence des SLI– Corrélation de signaux transitoires


6

I-1 Signaux continus, échantillonnés, quantifiés, numériques

• Signal continu x(t)

• Signal échantillonné

• Signal quantifié

• Signal numérique (échantillonné+quantifié)– ex: suite de valeur entière

t

x(t)

][

)(][)(

kx

kTtkTxtxe ∑+∞

∞−

−= δ

Tt

tionquantificadepasentiertnavectntx

∆∆= )(,)()(

,...78,2,34,6,5,3,1...,][ →kx


7

I-2 Énergie et puissance

• Énergie moyenne normalisée

• Puissance moyenne normalisée

• Énergie totale

• Puissance totale

• Signaux à énergie finie (signaux réels)

• Signaux à puissance finie (modéles…)

∫=2

1

)(),( 221

t

tdttxttW

∫−=

2

1

)(1

),( 2

1221

t

tdttx

ttttP

∫+∞

∞−= dttxW )(2

∫∞→=

TTdttx

TP )(

1lim 2

0=⇒∞< PW

∞→⇒∞< WP


8

I-3 Signaux utiles

• Signe Sgn(t) =t / |t|, -1 pour t<0, +1 pour t>0

• Echelon unité u(t)=(1+Sgn(t))/2

• Rampe

• Rectangle ∫ ∞−

==t

tutdssutr )(.)()(

)()()( 21

21 −−+= tututRect

1

-1

1

-1/2 1/2

1


9

• Triangle

• Signaux de largeur et de position quelconque

• Impulsion de Dirac (Théorie des Distribution)

– « Impulsion » de largeur nulle et de hauteur infinie !– Ce n’est pas un signal physique.

[ ] −∈−

=0

1,1,1)(

tttTri

nconvolutiotRecttRecttTri == *)(*)()(

-1 1

1

T

A

t0

)(. 0

Ttt

RectA−

)(tδ1


10

• Dirac: Formules fondamentales

• Exercice: démontrer la formule précédente

• Dirac: Relation avec les signaux usuels

∫∫ ∫

∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−=−==−

===

)()(*)(),()(*)(),()()(

)()0()()(),0()()(,1)(

0000 ttxtttxtxttxtxtttx

txttxxdtttxdtt

δδδ

δδδδ

...)(1lim)(1lim)(

)21()

21()(

)()(

),()(

00===

−−+=

==

→→

∞−∫

TtTri

TTtRect

Tt

ttdt

tdRect

tdt

tduunitééchelontudvv

TT

t

δ

δδ

δδ

)(21

)()(1

)( fta

at δπ

ωδδδ =⇒=


11

• Sinus cardinalx

xSinxSinc

ππ )(

)( =

∫+∞

∞−=1)( dxxSinc


12

• Exercices:

– Représenter

– Représenter

– Montrer que

– Calculer et représenter

– Montrer que (T. de Fourier)

– Montrer que

)( KTt

Tri −

)(*)()(.Tt

RectTt

RectTt

TriT =

)(*)( 00

Ttt

RectT

ttRect

−−

∫+∞

∞−−= dtftjtRectfSinc )2exp()()( π

)( 0

Ttt

Tri−

∫+∞

∞−−= dfftjfftfj )2exp()()2exp( 00 πδπ


13

I-4 Système linéaire invariant (SLI) convolution

• Système linéaire

– si e1(t) (resp. e2(t)) produit s1(t) (resp. s2(t)) en sortie alorsa.e1t()+b.e2(t) produit a.s1(t)+b.s2(t)

• Système invariant– si e(t) produit s(t) alors e(t-t0) produit s(t-t0), le fonctionnement ne

dépend pas de l ’instant d ’observation

• Convolution

h(t) est la réponse impulsionnelle (à un Dirac)Elle caractérise entièrement le fonctionnement linéaire du système.

e(t) s(t)

∫+∞

∞−−== τττ dthetethts )()()(*)()(

δ(t) h(t)


14

• Exercices:– Quelle est la réponse impulsionnelle h(t) d ’un SLI tel que

s(t)=e(t) ?

– Soit un SLI de rép. Imp. h(t)=Rect(t). Calculer la sortie pour une entrée e(t)=Rect(t).

– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée est u(t) échelon unité. Que vaut la sortie s(t)? En déduire et représenter la réponse impulsionnelle du circuit RC.


15

• Fonction de transfert– H(p) transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle– H(p) est en général une fraction polynomiale– Stabilité si les pôles de H(p) sont à partie réelle négative

donc situés dans la partie gauche du plan de Laplace

• Exercices: étudier les fonctions de transfert suivantes et si possible, déterminer la réponse impulsionnelle

321

)(

21

)(

22

1

−++

=

+=

ppp

pH

ppH

541

)(

)1)(2(1

)(

24

3

++=

++=

pppH

pppH


16

I-5 Analyse harmonique Transformée de Fourier

• Soit un signal x(t) de durée T respectant les conditions de Dirichlet

• En dehors de la durée T, le signal est périodisé:Décomposition en série de Fourier

• Remarque: si x(t) est réel (*:conjugué)

• Puissance moyenne

∫

∑

−=

=+∞

∞−

Tn

n

dtTt

njtxT

X

Tt

njXtx

)2exp()(1

)2exp()(

π

πDécomposition d ’un signal enune somme de fonction sinus et cosinus

Spectre de Raies séparéesde 1/T

*nn XX =−

∑∫+∞

∞−

=22 )(

1nT

XdttxT


17

• Quand

• C ’est la Transformée de Fourier (T.F.) directe et inverse

• X(f) est en général complexe: module, phase, représentation de Bode , représentation vectorielle…

• Exemple:

∞→T

∫∫∞+

∞−

+∞

∞−

=

−=

dfftjfXtx

dtftjtxfX

)2exp()()(

)2exp()()(

π

π

)()( fXtx F→←

)()( fSinctRect F→←

-1/2 1/2

1


18

• Propriétés et formules utiles

)()()()(

)(1

)(

)(*)()()2exp()(

)2exp()()(

)(*)()()(

)()()(*)(

)()2()(

)()()()(

)()(

000

00

**

fxtXalorsfXtxsi

af

Xa

atx

fffXffXtfjtx

ftjfXttx

fYfXtytx

fYfXtytx

fXfjdt

txd

fbYfaXtbytax

fXtx

FF

F

F

F

F

F

nFn

n

F

F

−→←→←

→←

−=−→←

−→←−

→←

→←

→←

+→←+

−→←

δπ

π

π

Linéarité

SLI, filtrage…

Modulation

Théorème du Retard

Modulation

Compression/dilatation


19

• Cas très courant:– Module de X(f) pair, phase impaire– Partie réelle de X(f) paire, partie imaginaire impaire

• Exemple/exercice– Calculer et représenter (module et phase) la T.F. de Rect(t-1/2)

)()()( * fXfXréelesttxsi =−

Module |X(f)| Phase Arg(X(f))


20

• T.F. des signaux usuels (exercices)

)2/(12/)()(

)/(1)Sgn(

)()2exp(

)2exp()(

)(1

1)(

))()((2

)2(

))()((21

)2(

)()(

)()/(

)()(

00

00

000

000

fjftu

fjt

fftfj

ftjtt

f

t

ffffj

tfSin

fffftfCos

fRecttSinc

TfTSincTtRect

fSinctRect

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

πδ

π

δπ

πδ

δ

δ

δδπ

δδπ

+→←

→←

−→←

−→←−

→←

→←

−−+→←

−++→←

→←

→←

→←


21

I-6 Réponse en fréquence des SLI

• La réponse en fréquence d ’un SLI est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle

• H(f) gain en fréquence, module, phase, diagramme de Bode ( en dB 20log(|H(f)| )

e(t) s(t)h(t)

)()()()(*)()(

)()(

)()(

)()(

fHfEfSthtets

fHth

fSts

fEte

F

F

F

F

=→←=

→←

→←

→←


22

• Exercice– Soit un circuit RC initialement au repos. Le signal d ’entrée

est Rect(t-1/2). • Que vaut le gain en fréquence H(f)?• En déduire spectre S(f) du signal de sortie s(t). • Pour RC=0.1, représenter rapidement le signal de sortie

s(t)


23

• Relation entre Fourier et Laplace– Fourier = axe imaginaire du plan de Laplace

– Exemplefjp

pHfHπ2

)()(=

=

11

)( 2 ++=

pppH

23

21

,23

21

: jjpôles −−+−

)(

)(

fH

pH


24

I-7 Corrélation de signaux transitoires(à énergie finie)

• Produit scalaire, inter-corrélation

• Interprétation: orthogonalité

• Signaux réels

)(

)()()(),()(*

**

τ

τττ

−=

+=+= ∫+∞

∞−

yx

xy

C

dttytxtytxC

)(

)()()(),()(

τ

τττ

−=

+=+= ∫+∞

∞−

yx

xy

C

dttytxtytxC

0=xyC

réelle


25

• Autocorrélation x(t)=y(t)

• Énergie• Fonction paire si x(t) est réel• Inégalité de Schwarz

– La fonction d ’autocorrélation est maximale en τ=0

)(

)()()(),()( **

τ

τττ

x

xx

Cnoté

dttxtxtxtxC ∫+∞

∞−+=+=

)()( ττ −= xx CCxx WxxC == ,)0( *

)0()( xx CC ≤⇒ τ

)10

(.10)10

( . tTri

tRect AutoCorr →


26

• Autocorrélation d ’un bruit

• Relation avec la convolution

Implantation de la corrélation par filtrage (SLI), filtre adapté

)(*)()( * τττ yxCxy −=

y(t) s(t)=Cxy(t)h(t)=x*(-t)


27

• Densité spectrale d ’énergie (DSE)

– Énergie

– DSE réelle, positive ou nulle, indépendante de la phase– Exemple/exercice

2)(

)2exp()())(.(.)(

fX

dtftjtCtCFTfDSE xxx

=

−== ∫+∞

∞−π

∫∫∞+

∞−

∞+

∞−===

=

dffDSEdttxCW

en

xx )()()0(

02

τ

)()( 20 fSincttRect DSE →−


28

• SLI, corrélation et DSE

– Filtrage

– Identification

• Bruit blanc en entrée, identification par intercorrélation entrée sortie

e(t) s(t)h(t)

)()()(

)(*)(

)(*)(*)(*)()(*)()(

2 fDSEfHfDSE

tCtC

thtethtetststC

es

eh

s

=

=−−=−=

)(*)()(*)(*)()(*)()( tCthtethtetstetC ees =−=−=

)()()()( thtCttC ese =⇒= δ


29

II - Rappels de probabilités. Processus et signaux aléatoires

– Fréquence relative, probabilité– Probabilités combinées– Probabilités conditionnelles, indépendance– Variables aléatoires, fonction de répartition, densité de

probabilité– Moments statistiques, moyenne, variance…– Corrélation et covariance– Processus aléatoire– Stationnarité, ergodicité– Densité spectrale de puissance– Filtrage des processus aléatoires


30

II-1 Fréquence relative, probabilité

• N expériences, événement A réalisé M fois:– Fréquence relative

• Probabilité• Exemple: 10 jets de dé à 6 face: 1,5,3,4,2,5,6,5,3,4

F(1)=1/10 F(2)=1/10 F(3)=2/10F(4)=2/10 F(5)= 3/10 F(6)=1/10

Intuitivement (dé non pipé!) Prob(i)=P(i)=1/6• Valeur non démontrable, souhaitée, jamais réalisée exactement(sauf par hasard), valeur moyenne des fréquences relativesparamètres statistiques du processus aléatoire associé

NM

AF =)(

1)(0,lim)( ≤≤=∞→

AProbNM

AProbN

∑=

=6

1

1)(i

iF


31

II-2 Probabilités combinées

• Événements s ’excluant mutuellement– P(A ∪ B)=P(A ou B)=P(A)+P(B)– ex: jeu de dé: P(1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6) = 6 x 1/6 = 1

• Événements non disjoints, non exclusifs– A∩B=Ø P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A,B)

P(A,B)=P(A ∩B) A et B en même tempssi A∩B=0 P(A,B)=0

– ex: P( pair ou >4) ? • Par énumération complète (souvent irréalisable)

P(2 ou 4 ou 5 ou 6)=2/3 • P(Pair)+P(>4)-P(Pair et >4)= 1/2 + 2/6 - 1/6 = 2/3


32

II-3 Probabilités conditionnelles, indépendance

• Événements A et B non exclusifs, N expériences, A se produit M(A) fois, B M(B) fois et A et B ensembles M(A,B).– F(A)=M(A)/N– F(B)=M(B)/N– F(A et B)=M(A,B)/N– M(A,B)/M(B) = fréquence d ’apparition de A lorsque B est

aussi réalisé– A la limite P(A/B)=P(A,B)/P(B)

Prob A sachant B– Théorème de Bayes: P(A,B)= P(A/B)P(B)

= P(B/A)P(A)


33

• Ex: Jeu de dé: P(2/pair) ? (intuitivement 1/3)P(pair)=1/2, P(2,pair)=P(2)=1/6

P(2/pair)P(pair)=P(pair/2)P(2)=P(2,pair)

P(2/pair)=(1/6) / (1/2) = 1/3 P(pair/2)=(1/6) / (1/6) = 1 (Trivial !)

• Prob(A1, A2,... AN)=Prob(A1).Prob(A2/ A1)…Prob(AN/ A1... AN-1)

• Événements indépendantsP(A/B)=P(A) et P(B/A)=P(B)P(A,B)=P(A)P(B)


34

Votepour A

Votepour B

Population 1 0,459 0,441

Population 2 0,051 0,049

Exemple:

P(vote A)=0,459+0,051 = 0,51P(vote A/pop.1)=P(vote A et pop.1)/P(pop.1)

=0,459/(0,459+0,441) = 0,51

donc P(vote A) = P(vote A/pop.1) donc indépendance.

Le vote pour Aou B dépend ilde la population ?


35

II-4 Variables aléatoires, fonction de répartition, densité de probabilité

• Valeurs dépendant du hasard, loi de probabilité =distribution définie par: fonction de répartition F(x)

densité de probabilité p(x)• Fonction de répartition: variable aléatoire X

– F(x)=Prob (X ≤ x) , fonction non décroissante– F(-∞)=0, F(+ ∞)=1

• Densité de probabilité

∫∫

∫=−=≤<=

=≥=

∞+

∞−

∞−

b

a

x

dxxpaFbFbXaProbdxxp

duupxFxpdx

xdFxp

)()()()(,1)(

)()(,0)(,)(

)(


36

• Variable aléatoire discrète (VAD)– valeurs distinctes en nombre fini ou dénombrable– Fonction de répartition en escalier, – Densité de probabilité en Diracs– ex: jeu de dé

• Exercice: somme de deux dés

1 2 3 4 5 6

1

1/6

F(x)

1 2 3 4 5 6

1/6

p(x)

x x


37

• Variable aléatoire continue (VAC)– ex: Loi normale, Gaussienne

Densité de probabilité Fonction de répartition

e( )−( )−x 3 2

πp(x)=

+ 1

2( )erf −x 3

1

2


38

Histogramme, estimation de la densité de probabilité p(x)

• Événement se produit M(xi,∆x) fois en N expériences

• Densité de probabilité estimée (VAD ou VAC approchée par une VAD)

22x

xxx

x ii

∆+≤≤

∆−

xxxpN

xxMavecxxp i

ii ∆∆=

∆∆ ).,(~),(

),(~

NxxMx

xxx

xProbdxxp i

Nii

xx

xx

i

i

),(lim)

22()(2

2

∆=

∆+≤≤

∆−=

∞→

∆+

∆−∫

x

∆x

xi

),(~ xxp i ∆


39

II-5 Moments statistiques, moyenne, variance…

• VAD– valeur moyenne expérimentale

– Espérance mathématique = moyenne statistique

• VAC

N

Nx

N

Nxx i

ii

ii

iii ∑

∑∑

==La valeur xi est apparueNi fois sur N expériences

∑===∞→

iii

Nx xProbxxXE )(.lim)(µ

∫+∞

∞−== dxxpxXEx )(.)(µ


40

• Moments d ’ordre n

• Moments centrés

• Valeur quadratique moyenne mx,2

• Variance

• Écart-type (déviation standard)

• Inégalité de Tchebycheff

))((,,n

nxnx XEmcm µµ −==−

)(,n

nx XEm =

∑∫

−=

−=−==+∞

∞−−

iii

xx

VADxprobx

VACdxxpxXEm

)()()(

)()()())((2

222,

2

µ

µµσ µ

xσ 222, xxxm µσ +=

2

2

2

2

)(

1)(

εσ

εµ

εσ

εµεµ

xx

xxx

Xprob

Xprob

≤≥−

−≥+<<−


41

• Fonction f(X) d ’une variable aléatoire X

• Exercices– Moyenne et variance du jeu de dé– Calculer moyenne et variance de la loi normale

• Rappel

– Moyenne de la somme de deux dés

)()()(

)()()())((

VADxprobxf

VACdxxpxfXfE

ii

ni

nn

∑∫

=

=+∞

∞−

2

2)(

2)(

2

2

s

exp

smx

π

−−

=

)(2

0

2

xerfdtex

t =∫ −

π


42

• Signal gaussien (loi normale)moyenne m=0 (volt)écart-type s=1 (volt)

– Probabilité que le signal dépasse 2 (volt) ?

π2)(

2)( 2x

exp

−

=

[ [ ] ])2(1)2(

)()(),22,(2

2

FF

dxxpdxxpxprob

−+−=

+=−∞∪∞−∈ ∫∫+∞−

∞−

9545.0)2(

)1)2

((21

)(,2

)(2

2

)(2

2

=

+−

==

−−

erf

smx

erfxFs

exp

s

mx

π0,0455 (environ 1/20)


43

• Signal sinusoïdal à phase aléatoire

u variable aléatoire uniformément réparti en 0 et 2πdensité de probabilité

Rappel: moyenne temporelle nulle et variance temporelle a2/2 ( Valeur efficace au carré)

– moyenne et variance de x(t) au sens statistique

00 1)2sin(.),( fTutfautx =+= π

[ [ππ

2,0,21

)( ∈= uup

∫∫

∫∫

=+=−=

=+==

∞+

∞−

+∞

∞−

π

π

ππ

µσ

ππ

µ

2

0

2

02

222

2

00

2)2(cos

2)()),((

0)2cos(21

)(),(

aduutf

aduuputx

duutfaduuputx

∫∫ −==TT

dtmtxT

dttxT

m0

22

0))((

1)(

1σ


44

II-6 Corrélation et covariance• Variables aléatoires X et Y• Statistique du second ordre, moments conjoints• Corrélation statistique

• Covariance

• Indépendance• Coefficient de corrélation

– dé-corrélation si– relation linéaire entre X et Y si

• Somme de deux variables aléatoires Z=X+Y

∑∫∫

=

==

),(

),(..)(

iiii

xy

yxprobyx

dxdyyxpyxXYER

yxxyyxxy RYXEC µµµµ −=−−= )))(((

)()(),(,0 ypxpyxpCxy ==⇒

11 ≤=≤−yx

xyxy

C

σσρ

0=xyρ1±=xyρ

xyyxz C2222 ++= σσσ


45

II-7 Processus aléatoire

• Ensemble de signaux dépendants de (au moins) deux variables

• u dépend des lois du hasard • Description d ’un processus aléatoire par des lois de

probabilité

),( utxX =

u1

u2

u3

t

t1 t2


46

• Variables aléatoires• Fonction de répartition, densité de probabilité,

moyenne, variance…au sens statistique.(a ne pas confondre avec les mêmes notions temporelles sur un signal

particulier x(t,ui)

• Statistiques d ’ordre 1: loi de probabilité de l ’amplitude d ’un signal à l ’instant ti.

• Statistiques d ’ordre 2: loi de probabilité conjointes des amplitudes d ’un signal à deux instants ti et tj

– fonctions de répartition conjointe, densité de probabilitéconjointe, corrélation, covariance...

– Fonction d ’autocorrélation statistique– Fonction d ’autocovariance

),().....,(),,( 21 utxutxutx i

))()((),( 2121 tXtXEttRx =

)()(),(

)))()())(()(((),(

2121

221121

ttttR

ttXttXEttC

xxx

xxx

µµ

µµ

−=

−−=


47

• Signal sinusoïdal àphase aléatoire

0

0

1

)2sin(.),(

fT

utfautx

=

+= π

t1 t2

))(2cos(2

))2)(2(cos(21

))(2cos(21

))2)(2cos(21

))(2cos(21

(

))2sin()2sin((

),(),(

120

2

1201202

1201202

1010

2121

ttfa

uttfEttfa

uttfttfEa

utfautfaE

ttRttC xx

−=

++−−=

++−−=

++=

=

π

ππ

ππ

ππ

Rem: Dépend de t2-t1


48

II-8 Stationnarité, ergodicité

• Stationnarité: invariance temporelle des propriétés statistiques– Stationnarité au sens largevaleur moyenne et fonction d’autocorrélation invariante

dépendante de l ’écart τ=t2-t1

• Ergodicité: propriétés « moyennes » temporelles égales au propriétés statistiques

221

21

)()(),(

)(),(

xxxx

xx

RCttC

RttR

µττ

τ

−==

=

∫∫−

∞→

∞+

∞−

====2

2

)(1

lim)()(.)(

T

TTx dttx

TtxdxxpxXEµ


49

• Ergodicité(suite)– Puissance– Variance = valeur efficace au carré– Auto corrélation

• Conséquence pratique– Étude statistique = étude temporelle– Stationnarité et ergodicité sont souvent supposées vraies

sur une certaine durée– voir propriétés de l ’autocorrélation dans le chapitre I

22 )()( txPXE x ==

∫ +=+=∞→ TTx dttxtxtXtXER )()(lim))()(()( τττ


50

II-10 Densité spectrale de puissance• Comportement fréquentiel des processus aléatoires

(à puissance finie)– Densité spectrale de puissance

– Dans la pratique, estimation

– Théorème de Wiener-Khintchine

– Voir les notions correspondantes pour les signaux déterministes.

=

∞→ TTfX

EfDSP i

Tx

2),(lim)(

),()().(),( . TfXTt

RecttxTtx iFourierT

ii →=

∑=

=N

i

ix T

TfXN

fDSP1

2),(1)(

~

)()( . fDSPR xFourierT

x →τ


51

• Bruit blancDSP constanteX(t1) non corrélé avec X(t2) pour t1 différend de t2• Bruit blanc à bande limitée

Puissance

)()()(1

τδτ ARAfDSP TF = →=−

<<

=ailleurs

fffAfDSP

0)( 21

∫+∞

∞−−==== )(2)()0( 21

2 ffAdffDSPRP σ


52

II-11 Filtrage des processus aléatoires

• Action d’un opérateur g sur un processus aléatoire XY=g(X) px(x) densité de probabilité de X

• Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (à t=0)

∑ ==

=

kk

xx

kxy xgyderacinesxavec

dxxdg

xpyp

k

)(,)(

)()(

[ [ πππ 21)(,,),sin()( =−∈== xpxxaxgy x

1),arcsin(1: xay

xRacines −= π

)(sin1)cos()( 2 xaxa

dxxdg

−==

22

1)(

yayf y

−=

π.../...


53

• SLI et DSP

• Exemple: bruit blanc filtré par circuit RC fc=1/(2πRC)

X(t,u) Y(t,u)h(t)

)()()()(*)()(2

fDSPfHfDSPtCtCtC xyxhy ==

2)(1

1)(

cff

fH+

=2

1

)(,)(

+

==

c

yx

ff

AfDSPAfDSP

A

X(t) Y(t)0 50 100 150 200

-4

-2

0

2

4

0 50 100 150 200-4

-2

0

2

4


54

III - FILTRAGE ANALOGIQUE

– Avant-propos: relations de Bayard-Bode– Généralités sur le filtrage

• Les étapes de la réalisation d ’un filtre

– Modélisation des filtres– Filtre idéal– Fonctions de réponse normalisées du 1er et du 2nd ordre– Transposition des fonctions de réponse– Fonctions d’approximations– Synthèse des filtres analogiques– Structures de filtres actifs– Exemple complet de calcul d’un filtre– Introduction aux problèmes de sensibilité


55

III-1 Avant propos: relations de Bayard-Bode– signal réel causal déterminé par sa partie paire ou impaire

– Transformée de Fourier signal réel causal• partie réelle paire, partie imaginaire impaire

02

)()(,

2)(

)(

00)(2

)()()(,2

)()()(

)()()(

≥==

<=

−−=−+=

+=

xpourxf

xfxf

xf

xpourxfcausalsignal

xfxfxfxfxfxf

xfxfxf

IP

IP

IP

∫∫∞∞

−==

+ →←

00

..

)2sin()()Im(,)2cos()()Re(

)Im()Re()(

dtfttffdtfttff

fjftf FT

ππ


56

• TF inverse

– partie imaginaire nulle

– Re(f) paire et Im(f) impaire

• Relation entre Re(f) et Im(f): Bayard-Bode

– Relation entre module et phase– Filtres spécifiés par le gain (module) en fréquence

( )

)()(

)2sin()Im()2cos()(

)Im()()( 2

tftf

dfftfdfftfRe

dfefjfRetf

IP

ftj

+=

−

=+=

∫ ∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ππ

π

∫∫∞∞

−====00

)2sin()Im(4)2cos()(4)(2)(2)( dfftfdfftfRetftftf IP ππ

∫∫∞∞

−−=

−=

022

022

)(2)Im(,

)Im(2)( dy

yfyRef

fdyyfyy

fReππ


57

III - 2 Généralités sur le filtrage

• Opérations– Multiplication en temps, Convolution en fréquence :

• échantillonnage, fenêtrage, modulation

– Convolution en temps, Multiplication en fréquence: • filtrage

• Filtrage– Séparer, modifier, éliminer, amplifier, atténuer …

les composantes fréquentielles d ’un signal en module et/ou en phase

– Intervalles de fréquences éliminées: • Bandes coupées BC

– Intervalles de fréquence conservées: • Bandes passantes BP

– Intervalles intermédiaires : • Bandes de transition BT f

H(f)

BP BT BC1

0


58

• Synthèse de filtre– En fonction d ’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit),

construire un circuit qui possède cette réponse• Circuits (LC, RC..) passifs• Filtres actifs utilisant des éléments amplificateurs• Simulation de filtre LC avec composants actifs

– Gyrateurs, NIC,…

• Filtres à capacités commutés– intermédiaires entre le numérique et l ’analogique

• Filtres numériques

?Gabarit

f

|H(f)|+

C

CR2

R1

Ve

Vs+


59

• Les étapes de la synthèse d ’un filtre– Cahier des charges, spécifications de filtrage, gabarit

• module, phase, réponse impulsionnelle, indicielle

– Approximation: Calcul de la fonction de transfert respectant le gabarit

• normalisation, transposition, optimisation, calcul de l ’ordre….

– Choix d ’une structure électronique– Calcul des composants, calcul de sensibilité– Simulation du circuit– Câblage, test

• Il est souvent nécessaire de revenir en arrière pour obtenir un résultat satisfaisant

• Ces étapes sont réalisables +/- automatiquement par des outils logiciels (utilisez les!)


60

III - 3 Modélisation des filtres• Filtre (linéaire) = système linéaire invariant

– Fonction de transfert, gain en fréquence

– Affaiblissement

e(t) s(t)h(t)

)()()()(

)(,2,)()(

)( fjefHfEfS

fHfjppEpS

pH φπ ====

))(log(20)(,)(

1)()(

)( fHGainAfffAfHfS

fEfA dBdBdB −=−====

Gabaritd ’affaiblissement

f

A(f)dB


61

• Propriétés de H(p), H(f)– fraction réelle de deux polynômes à coefficients réels– pôles et zéros de H(p) sont réels ou par paires complexes

conjuguées– pôles à partie réelle strictement négative (partie gauche du plan de

Laplace) pour stabilité– En analogique, degré du numérateur inférieur ou égal au degré du

dénominateur– Dans le contexte temporel, relation de Bayard-Bode valables, filtre

causal réel

– Réponse en fréquence continue, pas de passage « brusque » de la bande passante (BP) à la bande coupée (BC)présence obligatoire de bandes de transition (BT) « progressives »

f

H(f)

BP BT BC1

0 f

H(f)

BP BC1

0


62

• Zéros d ’affaiblissement• Pôles d ’affaiblissement

– zéros de transmission,zéros de H(p) imaginaires purs

• Forme générale– pk: pôles– zn: zéros– K facteur d ’échelle (gain) réel– En général, on choisit K tel qu’il y ait le maximun de zéros

d ’affaiblissement (gain =1 (0dB)) car la sensibilité des filtres aux variations des composants est nulle aux zéros d ’affaiblissement (théorème).

• Degré du dénominateur=ordre du filtre

dBfAf idBi 0)(/ =

0)(

)(/

=

∞→

j

jdBj

fH

dBfAf

∏∏

−

−=

kk

nn

pp

zpKpH

)(

)()(


63

Filtre elliptique passe-bas,ordre 3, BP 3dB, BC 20dB,fc=0.16

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

yP

art

Plan de Laplace, pôles (x) et zéros (o)

|H(f)|

+ .2542 p2 .3938

+ + + p3 .591 p2 1.0031 p .3938H(p)=

AdB(f)

GaindB(f)

Zéros 0.0000 + 1.2446i0.0000 - 1.2446i

pôles -0.0842 + 0.9617i-0.0842 - 0.9617i-0.4226

k = 0.2542


64

• Synthèse en cascade (filtre actifs)– filtre d ’ordre N pair: N/2 cellules d ’ordre 2– filtre d ’ordre N impair : N/2 cellules d ’ordre 2, une cellule

d ’ordre 1

– Problème de l ’ordre des cellules ?– Problème de la répartition des pôles et des zéros dans

chaque cellule ?

• Synthèse additive par décomposition en éléments simples– peu utilisée en analogique

01

01

12

0 0,1,2

2,

0,1,2

2, .)(dpdcpc

apapabpbpb

pH

N

k kkk

kkk

++

++++

= ∏−

=

Celluleordre 2

Celluleordre 2

Celluleordre 2

Celluleordre 1


65

III - 4 Filtre idéal • Peut -on réaliser un filtre passe-bas idéal ?

• Réponse impulsionnelle non causale, bande de transition de largeur nulle

filtre idéal irréalisable• Filtre non idéal:

– approximation du filtre idéal– déphasage non nul– Oscillations (Sinc(t)), dues à la transition raide, gênantes– Besoins réels moins draconiens pour les applications

)2

()(cf

fRectfH =

-fc 0 fc f

H(f)1

)2(2)( tfSincfth cc=


66

III - 5 fonctions de réponse normalisées• Normalisation de H(p)

– dans les formules, apparaît systématiquement une pulsation particulière caractéristique ωp

– s : variable de Laplace normalisée– Ω : pulsation ou fréquence normalisée, SANS DIMENSION– La forme normalisée permet de travailler sur une expression

INDEPENDANTE des fréquences réelles (de coupure,…)

• Exemple: circuit passe-bas RC, fc=1/2πRC

– Tous les passe-bas du premier ordre ont les mêmes fonctions de transfert et réponses en fréquence NORMALISEES

fjrjrp πω 2+=+=

Ω+=+=+== jr

ff

jr

jr

sp

pppppp ωωωω

ωω

Ω+=Ω

+=

+==

+=

jH

ssH

ppH

RCRCppH

pp 1

1)(,

11

)(,1

1)(,

1,

11

)(ω

ω


67

• Fonction du premier ordre (passe-bas)– pôle s=-1 (p=-wp)– Diagramme de Bode (asymptote -6dB/octave, -20dB/décade)

-3dB à Ω =1 (ω=ωp)

ssH

+=

11

)(

|H(Ω)|échelles linéaires7,0

21 ≈

Module(dB)

Phase(radians)π/4

π/2

−3Ω

ΩΩ


68

– Réponse impulsionnelle normalisée

– Réponse impulsionnelle dénormalisée

τττ −= → euhsH inverseLaplaceT )()()( .

tp

inverseLaplaceT petuthpH ωω −= → )()()( .

ωp

1/ωpconstante de temps

t


69

III - 6 Transposition des fonctions de réponse

• Passe-bas Passe-hautPasse-bandeRéjecteur/coupe-bande

– Simplifier les procédures de calcul des filtres– L ’étude des filtres passe-bas est suffisante

• Transposition passe-bas/passe-haut– Symétrie (en échelle log) autour du point

– est en général situé dans la bande de transition

ω

ω

ωω p

p

jjj

js

s −↔Ω

↔Ω↔ ,1

,1

pωω ==Ω ,1

pωω ==Ω ,1


70

– Exemple: Fonction du premier ordre

p

p

j

j

jj

ss

ss

ωω

ωω

+=

Ω+Ω

+=

+↔

+ 11,

111

11

1


71

• Exercice: Fonction passe-haut du second ordre

481

4)( 2

2

pp

ppH

++=

•Vérifier que cette fonction correspond bien à un passe-haut

•Tracer rapidement la module de laréponse en fréquence (voir ci-dessous)

•Choisir la pulsation ωp et normaliser la fonction•Transposer la fonction normalisée pour obtenir

une fonction passe-bas•Vérifier que la fonction obtenue a un

comportement passe-bas


72

• Transposition passe-bas/passe-bande– Décalage de Ω=0 en Ω=1

– B = bande passante relative (à 3dB), ωp fréquence centrale du passe-bande

)(),1

(),1

(1

ω

ω

ωω

ω p

pBj

jBj

js

sB

s −↔Ω

−Ω↔Ω+↔

ω1 ωp ω2

)3(2

1dB−

pp fff

B 1212 −=

−=

ωωω


73

– Fonction du premier ordre

22 1,

111

Ω−Ω+Ω

++↔

+ jBjB

sBsBs

s

1051

===

BBB

dB

! Ordre x 2


74

• Transposition passe-bas/coupe-bande

– Ex: premier ordre

1)1

(1

12 +

=+

↔s

sB

ss

B

s

2

2

2

2

11

,1

11

1Ω−Ω+

Ω−++

+→

+ jBBsss

s

dB1051

===

BBB

Gain nul pour Ω=1


75

III - 7 Fonctions d’approximations• Fonction du premier ordre

– voir étude précédente…

• Fonction du 2eme ordre– Q coefficient de qualité,

ou de surtension– z, coefficient d ’amortissement

s+11

zQ

d

sdssH

211

1)( 2

==

++=

211

)(Ω−Ω+

=Ωjd

jH1)2(

1)(

224 +−Ω+Ω=Ω

djH

)1

())(( 2Ω−Ω−

=Ωd

ArctgjHArg

7.02

1,2

2100

)( 2

≈><−±=Ω⇒=Ω

ΩQdsi

detpourmaximum

djHd

M

Q

Q

Q

dd

jHH MM >−

=

−

=Ω=

2

2

411

41

1)(

1)0()1(

=−=

jHjQjH


76

• Fonction du 2eme ordre (suite)

QHQdSi MM ≈≈Ω>><< ,1,1,1

π−=Ω−

≈Ω>>Ω ArgjH ,1

)(,12

Asymptote -40dB/déc.

dB

3,2,5.0,1.0=d


77

• Fonction du 2eme ordre (suite)Phase

Rem: si d>2, H(s) équivalent à deux filtres du premier ordre en cascade. Ce n’est plus un VRAI 2eme ordre!

3,2,5.0,1.0=d

)(1

)(1

)(21 Ω−Ω−

=ss

sH2

11

Ω=Ωcoupuredepulsations


78

• Fonction du 2eme ordre (suite)– Passe-haut:

symétrie des courbes précédentes par rapport à Ω=1

– Passe-bande:

A faire en exercice… et voir transp.73

2

2

1)(,

1sds

ssH

ss

++=→

21)(

sdsds

sH++

=

dB

3,2,5.0,1.0=d


79

• Fonction de Butterworth– filtre d ’ordre n

– …on montre:• H(s) pôles sur le cercle unité

nn jH21

1)(

Ω+=Ω

niinn

js iiii ,1),12(2

),sin()cos( =−+=+=π

ϕϕϕ

2/,1),cos(2

,1

11

1)(

,1

1)(

2/)1(

12

2/

12

nid

impairnpoursdss

sH

pairnpoursds

sH

ii

n

i i

n

i i

=−=+++

=

++=

∏

∏−

=

=

ϕ


80

• Fonction de Butterworth (suite)

– Fonctions passe-bas H(s)

n=1234

Pente -n20db/déc.

-3dB

322

2

2211

11

11

3

2112

111

ssssssn

ssn

sn

+++=

+++=

++=

+=


81

• Choix de l ’ordre n d’un filtre de Butterworth– Gabarit passe-bas normalisé d’affaiblissement:ATTENTION: la courbe doit passer par 3dB à Ω=1

• 4 paramètresAbp,Abc Ωbp Ωbc

– Il faut respecter: f

A(f)dB

Abp

Abc

Ωbp Ωbc

nN

A

A

bcnbc

bpnbp

<⇒

−<Ω+

−>Ω+

min

210

210

)1

1(log20

)1

1(log20

K


82

• Exemple: 1dB, 40 dB, 0.8, 2…/… 6.64<n

Mauvais choix de Ωbp et Ωbc ? Dans la pratique, seul le rapport (sélectivité) k=Ωbp/ Ωbc intervient

ex: 0.872, 2.18 5.9<nn=6 suffisant !Il faut résoudre

7 6

bcnbp

bpnbp

Ak

A

−=Ω+

−=Ω+

))(1

1(log20

)1

1(log20

210

210

Marges ?


83

…. Ce qui conduit à:

Les pulsations Ωbp et Ωbc doivent être placées correctement (dans la plage de réglage disponible).

Pour l ’exemple, on obtient n=5,76. On choisira donc n=6.

)/1log(2)110log()110log( 1010

kn

bpbc AA

−−−=


84

• Autres fonctions d ’approximation

– Filtres polynomiaux: • Butterworth

– sélectif, optimisation de la réponse en amplitude

• Legendre (Papoulis)– Très sélectif, avec atténuation continûment décroissante

• Chebychev– Les plus sélectifs, ondulation dans la bande passante

• Bessel (Thomson)– Peu sélectif, optimisation de la réponse en phase

– Filtres elliptiques (Cauer)– Présence de zéros de transmission dans la bande coupée, encore

plus sélectif que Chebychef, mais atténuation limitée en bande coupée


85

• Filtres de Chebychev– Ondulation dans la bande passante ( ER :Equal Ripple filters)

Polynômes de Chebychev

– Exemples: n=3 et n=4, b=1

)(1

1)(

22 Ω+=Ω

n

nTb

jH

2110 2,,1 −− −Ω=Ω== nnn TTTTT

21

1

b+

Ω

Ω

dB


86

• Filtres de Chebychev (suite)– … on montre: pôles situés sur une ellipse dans le plan de

Laplace– La fonction de transfert H(s) dépend de l ’ordre n ET de b

(b définit l’ondulation en bande passante)– ex: b=1 ondulation de 3dB en bande passante– ex: H(s) pour n=2 et 3, pour 1 dB d ’ondulation

– Tables (techniques de l ’ingénieur,…)– Logiciels (Matlab,…)

)0058.14971.01)(0235.21(1

907.09957.011

2

2

sss

ss

+++

++


87

• Filtres de Cauer– présence de zéros de transmission dans la bande coupée

coupure très raide, bande de transition étroite, forte sélectivité

– comportement de Chebychev dans la bande passante– mais…réalisation et réglages délicats– Fonction de transfert de base d ’ordre 2:

– Gain (asymptote) en BF : b/c– Gain (asymptote) en HF : a– Passe-haut (b/c<a) ou passe-bas (b/c>a)– Zéros de transmission (gain nul, atténuation infinie)

– Dénominateur: résonance à environ Ωm=1 (cf. étude du 2nd ordre)

– Grande sélectivité pour mais avec d faible (risque d’instabilité) et (faible différence entre BP et BC)

– On peux étudier la forme simplifiée avec c=1, a=1 (passe-haut avec b<a) ou b=1 (passe-bas avec b>a)

cdssbas

sH++

+= 2

2

2 )(

ab

=Ω∞

∞Ω≈Ωm

ba ≈


88

a=0.1 , b=1 , d=1 a=0.9, b=1, d=0.2

a=1, b=0.1, d=0.9 a=1, b=1, d=0.2


89

• Filtres de Cauer (suite)– Ordre > 2 : mise en cascade (produit) de N fonctions d’ordre 2

∏=

∞

++

+=

N

i

mimi

i

pd

p

p

pH1

2

2

2

2

1

1)(

ωω

ω

mi

i

ωω∞ : Zéros de transmission dans la BC

: Position approximative des maximas dans la BP

1221 ∞∞ ωωωω mm

a

p

ω

ω ...2211 === ∞∞ ωωωωωω mmap


90

• Fonctions passe-tout– Module |H(f)|= 1, action sur la phase

)1

(211

)(

)(211

)(

22

2

2

1

Ω−Ω

−=+++−

=

Ω−=+−

=

ba

arctgphasebsasbsas

sH

arctgphasess

sH


91

III - 8 Synthèse des filtres analogiques

• Obtenir le circuit électronique réalisant une fonction de transfert donnée

• Critères de choix– Domaine de fréquence– Coût, nombre de composants, précision– stabilité– sensibilité aux variations de valeurs des composants– Dynamique – Amplification nécessaire– Impédances d’entrée et de sortie


92

• Solutions– Filtres passifs

• LC, en HF, Q élevé difficile à obtenir en BF• RC, pôles réels, pas de surtension donc pas de forte sélectivité

– Filtres actifs• Présence d ’éléments amplificateurs• Utilisation en BF (limite de bande passante des composants)• Source d ’énergie nécessaire• Dynamique limitée (saturation)• Structures

– Classique à amplificateur contre-réactionné– Simulation de LC (NIC, Gyrateurs,….)

– Filtres a capacités commutées• Fonctionnement échantillonné• Structure de filtres actifs classiques


93

III - 9 Structures des filtres actifs

• Filtres RC actifs (pas d ’inductance)• H(p) : fraction de deux polynômes d ’ordre N et M

• Factorisation des polynômes

• Regroupement des pôles et zéros complexes conjugués en fonctions du second (et premier) ordre

MM

NN

papapapbpbpbb

pH++++++++

=...1...

)( 221

2210

∏

∏−

=

−

=

−

−= 1

0

1

0

)(

)()( M

jj

N

ii

pp

zppH

∏∏ ==++

++

kk

kpapaa

pbpbb pHpHkkk

kkk )()( 2210

2210


94

• Hk(p): fraction de polynômes de degré 2 à coefficients réels

• Synthèse en cascade (voir III-3)

• Problèmes d ’impédance d ’entrée et de sortie des structures électroniques en cascade

• Filtres actifs en tension (cellule à transfert de tension)

– impédances d’entrée forte– impédances de sortie faible

• Filtres actifs en courrant– impédance d’entrée faible– impédance de sortie forte

• Filtres passif– Adaptation d ’impédance Ze=Zs– Transfert de puissance

ZeZs


95

• Structure/cellule biquadratique

– valeurs de a,b,c : passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur (coupe-bande)

• Réalisation de la structure biquadratique– Structures universelles

• Passe-bas, passe-haut,… par choix/réglage des valeurs des composants et/ou choix de la sortie du montage

• Delyannis-Friend, Fleisher-Tow, réseau à variable d’état…

– Structures à 1 amplificateur (opérationnel)• A contre-réaction simple• de Rausch, ou à contre-réactions multiples • de Sallen et Key, ou à source contrôlée• à convertisseur d ’impédance (NIC) (généralement deux

amplificateurs)

– Simulation d’inductance, gyrateur– etc….(autres solutions moins intéressantes)

1)( 2

2

++++

=dss

cbsassH


96

• Exemple de cellule universelle– simulation de H(s) par intégration

– a,c,d>0– ad>b (sauf pour passe-bande)– Passe-bas: a=b=0, enlever R2 et R3

– Passe-haut: b=c=0, enlever R1

– Passe-bande: a=c=0, enlever R1 et R3 et R2=R/b

-+

-+

-+

R RR/d

R RCC

R1=R/c R2=R/(ad-b) R3=R/aue

us

1)()(

2

2

++++

−=dss

cbsassusu

e

s

1)()(

2 ++=

dssbs

susu

e

s


97

• Structure à contre-réaction simple

– Z1 et Z2 quadripôles complexes définis par leur trans-résistance (Is/Ve) en sortie court-circuitée

– Sur la borne - de l ’ampli-op (parfait) , courant nul, donc:

Is(s) pour Z1 = - Is(s) pour Z2

-+

Z1(s) Z2(s)

)()(

)(1

2

sZsZ

sH −=

IsVe )(

)()(

sIsV

sZs

e=

)()(

)()(

)(1

2

sZsZ

sVsV

sHe

s −==


98

• Exemple/exercice:

• Structure de Sallen et Key

-+

C2

RR RR C1C1

221

2221

1)(

pCCRpRCpH

++−=

Z2

Z4

Z3Z1

K

)())1(()(

4312431

42

ZZZZZKZZZKZ

pH+++−+

=

-+

R1 R2

1

21RR

K +=


99

• Filtre passe-bas

– Cas particulier K=1 (amplificateur monté en suiveur)

C2

C1

RR

K

210

21

21

221221

2

200

2

1,

)1(2,

))1(2(11

1)(

CCRCCCKC

dKA

pRCCCKCpRK

ppd

Asds

AsH

=−+

==

+−++=

++=

++=

ω

ωω

210

2

1

22121

2

200

2

1,2,1

211

11

)(

CCRCC

dA

pRCCRCpppd

Asds

AsH

===

++=

++=

++=

ω

ωω

!!! Instabilité si d=0


100

• Structure de Rausch (contre-réactions multiples)Admittances Yi

ex: Y1=1/R1,Y2=C2p,Y3=1/R3,Y4=1/R2,Y5=C1pPasse-bas

-+

Y1

Y4 Y5

Y3Y2

4354321

31

)()(

YYYYYYYYY

pH++++

−=

32212

321

321

1

2

)(1

1)(

RRCCpRRRRR

pCRR

pH++++

−=


101

• Convertisseur d ’impédance négative (NIC)

ZRR

IV

Z i1

2−==-+

IR2

R1Z

V

-+

r

Kr

R2

entrée

C2

sortie

R1C1

2211212

2211

12

)(1

1)(

CRCRpKCRCRCRp

CpRK

pH

+−++−

=

Ex: Passe-bande


102

III -10 Exemple complet de calcul d’un filtre

• Réalisation d ’un filtre passe-haut Chebyshev

• Etapes:

– normalisation– (transposition passe-bas)– recherche H(s), vérification (tables, abaques, logiciel…)– factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du

second ordre– (transposition passe-haut)– dé-normalisation– choix structure électronique, calcul des composants– test,...

10 18 f(kHz)

A(dB)40

1


103

• Normalisation– choix de la fréquence de normalisation f0 ?– attention aux propriétés de la fonction d ’approximation

choisie et d’une éventuelle marge par rapport au gabarit– On choisit ici f0=18kHz, avec une ondulation (Chebyshev)

inférieure à 1dB, soit 0.5 dB, pour garder une marge sur le gabarit en limite et dans la bande passante

kHzfff

180

0

=

=Ω

1/1.8 1 Ω

A(dB)40

1


104

• Transposition (pas nécessaire si les outils permettent de travailler directement sur un passe-haut)

• Recherche de Hpb(s)– Ordre ?

• À titre indicatif, Butterworth (transp. 83) n=8.98, ordre 9 ou 10• Matlab: Chebyshev type 1, ondulation 0.5 dB

>> cheb1ord(1, 1.8, 0.5, 40, ’s ’) ----> n=6

Ω→Ω

1

1 1.8 Ω

A(dB)40

1


105

• Recherche de H(s) (suite)

– Vérification (ex: Matlab)>>[b,a]=cheby1(6,0.5,1,'s')

b = 0 0 0 0 0 0 0.0895a = 1.0000 1.1592 2.1718 1.5898 1.1719 0.4324 0.0948

>> freqs(b,a)---> observation de la courbe, zoom...

0.0948 0.4324 1.1719 1.5898 2.17181592.10895.0

)( 23456 ++++++=

sssssssH pb


106

• factorisation, pôles-zéros, organisation en cellules du second ordre (synthèse en cascade)>>[z,p,k]=cheby1(6,0.5,1,'s')

z =[ ]p = -0.2898 + 0.2702i , -0.2898 - 0.2702i

-0.2121 + 0.7382i , -0.2121 - 0.7382i-0.0777 + 1.0085i , -0.0777 - 1.0085i

k = 0.0895>>zp2sos(z,p,k)

• Transposition passe-bas / passe-haut

1.0230)0.15530.5900)(0.4243 0.1570)(0.5796 (0.0895

)( 222 ++++++=

sssssssH pb

ss 1→

1.0230)0.155310.5900)(0.4243 10.1570)(0.5796 (10.0895

)( 222

6

sssssss

sH++++++

=


107

• Dénormalisation

– Pulsation de résonance de la cellule i

– Coefficient de qualité Qi=1/di

– On choisit a priori

00

2

020

2

0

20

2

2

0

2

02

2

2,1

)(

1)()(

fpcpb

pKpH

scsbsKsHsH

iii

i

i i ii

ii

πω

ωω

ω=

++=

++==

∏

∏ ∏

=

= =

kHzf

KKK

18

0895.0

0

210

==

iri c

0ωω ≈

i

i

ii

cb

Qd ==

1

4473.00895.033

2

0

=== ∏=i

ii KK


108

• Calcul des composants– Structure de Rausch passe-haut

– Par identification, pour la cellule i

– Résolution: par exemple, choix de R2, calcul de R1,C1,C2– Dans certains cas, on tombe sur des impossibilités qui

nécessitent de revenir en arrière (choix R2, Ki, structure…)

-+

C1

C2 R2

C1R1

21212

211

212

12

)2(1)(

RRCCpCCpRRRCp

pH+++

−=

212120

2110

212

120

)2( RRCCc

CCRb

RRCK iii =+==

ωωω


109

• Résultats– Cellule 0: bi=0.5796 ci=0.1570 choix R2=1kΩ

• R1=135.8Ω C1=16nF C2=5.63nF

– Cellule 1: bi=0.4243 ci=0.59 choix R2=10kΩ• R1=365.3Ω C1=3.09nF C2=4.08nF

– Cellule 2: bi=0.1553 ci=1.023 choix R2=50kΩ• R1=146.7Ω C1=2.18nF C2=4.99nF

-+

16nF 5.63nF 1kΩ

16nF135Ω

-+

3.09nF 4.08nF 10kΩ

3.09nF365Ω

-+

2.18nF 4.99nF 50kΩ

2.18nF146Ω


110

• Si les valeurs obtenues sont incohérentes (trop petites, trop grandes…), retour sur choix de R2,Ki,structure…

• Problème de dynamique– Gain des cellules dans la bande passante

• Cellule 0 : 2.8• Cellule 1 : 0.76• Cellule 2 : 0.436

– Facteur de qualité (résonance)• Cellule 0 : 0.67• Cellule 1 : 1.83• Cellule 2 : 6.5

…. Choix de l ’ordre des cellules, modifications des Ki

2

1

CC

cK

i

i =

Cellule 2

Cellule 1Cellule 0

Réponse totale


111

• Vérification par simulation

• Câblage, test, problème de précision des composants


112

III - 11 Introduction aux problèmes de sensibilité

• Sensibilité d’un paramètre a (fréquence de coupure, gain, …)

en fonction d’un composant b (résistance, capa…):

• En général:

– Plus Q est grand, une petite variation d’un composant entraînera une grande variation de Q. Risque d’instabilité,gabarit non respecté...

bba

Saab

dbda

S ab

ab ∆=∆= ,

QS Q ∝


113

• Ex: Sallen-Key passe-bas

– Si C1 varie(augmente) de 10%, ω0 varie(diminue) de 5%

• Exercice: pour la structure de sallen key passe-bas, montrer que:

Que peut-on en déduire ?Que devient l ’expression pour K=1 ?

211

, 0

1

0

121

00

1

1

0 −=⇒== ωω ωω

ωCC

SCCR

CdCd

S

10RCdK

S dK ω

−=


114

IV - MODULATION ANALOGIQUE- Introduction, généralités- Modulation d’amplitude

– avec porteuse– sans porteuse– Bande latérale unique– Bande latérale résiduelle– Modulateurs– Démodulateurs– Performance en présence de bruit

- Modulation angulaire (Fréquence,Phase)– Modélisation, contenu spectral– Règle de Carson– Comportement en présence de bruit– Modulateurs– Démodulateurs


115

IV-1 Introduction, généralités

• Cadre général de la modulation

• Buts:– Transposition/adaptation en fréquence– Multiplexage fréquentiel, partage du support– Amplification, faible bruit– Modification du spectre, codage, confidentialité– Domaine d’application principal : Télécommunications

Modulation DémodulationTransmissionStockageAmplification

Signal démodulé

Signal modulant

Porteuseauxiliaire


116

• Classification des techniques de modulation

– modulation analogiques, signaux modulants analogiques• porteuse sinusoïdale

– Modulation d ’amplitude (AM)– Modulation angulaire

» Modulation de fréquence (FM)» Modulation de phase (PM)

– Combinaison AM / FM ou PM• porteuse impulsionnelle (modulation d ’impulsion) (suite

d ’impulsions périodiques)– en amplitude (PAM)– en durée (PDM)– en position (PPM)– en fréquence (PFM) (proche PPM)


117

Modulations analogiques à porteuse sinusoïdale

AMPLITUDE

FREQUENCE

PHASE

AMPLITUDE et PHASE


118

Modulations analogiques impulsionnelles


119

• Modulation par Déplacement d’Amplitude MDA– (Amplitude Shift Keying ASK)

• Modulation par Déplacement de Phase MDP– (Phase Shift Keying PSK)

• Modulation par Déplacement de Phase Différentiel MDPD– (Differential Phase Shift Keying DPSK)

• Modulation d’Amplitude de deux porteuses en quadrature MAQ– (Quadrature Amplitude Modulation QAM)

• Modulation par Déplacement de Fréquence MDF– (Frequence Shift Keying FSK)

- modulations numériques, représentation numérique des signauxmodulants quantifiés


120

modulations numériques

AMPLITUDE

FREQUENCE

PHASE

AMPLITUDE et PHASE

1 0 1 0 1 1

Modulant :

Porteuse :

Alphabet fini (ex. binaire)


121

IV-2 Modulation d ’amplitude• Modulation avec porteuse (AM, MDBAP, DSB)

– Signalmodulant g(t)

– Signalmodulé s(t)

– Indice de modulation

• si m>1 il y a sur-modulation

)2cos())(

1()2cos())(()(

))(max(,)(

pppppp tfBUAtg

mtfUtgBts

tgAAtgA

απαπ ++=++=

=<<−

BA

m =m<1 m=1


122

• AM, aspect fréquentiel

)]()([2

)]()([2

)(

)2cos())(()()(.).(,)(

ppp

ppp

pp

ffGffGU

ffffBU

fS

tfUtgBtsfGFTspectreAtgA

−+++−++=

+=<<−

δδ

π

Bande latérale supérieure (BLS)

-fp 0 fp f G(f)

Bande latérale inférieure (BLI)

!! Information dupliquée en BLI et BLS


123

• AM, rendement (puissance de l ’émetteur ?)

– pour g(t) signal sinusoïdal amplitude APg=A2/2

– Puissance porteusePp=Up

2/2– Dans le signal modulé, puissance totale

Ptot= Up2A2/8 + Up

2A2/8 + B2Up2/2

– Rendement (Up

2A2/8 + Up2A2/8 ) / Ptot = m2/(m2+2)

– maximum, sans sur-modulation m=1, rendement 33% !• Seule la moitié est utile...

• Mauvais rendement, mais démodulation simple par détection d ’enveloppe

• Améliorer le rendement en éliminant la porteuse, m>>1 , d ’ou….

modulation sans porteuse


124

• Modulation sans porteuse (AM-P, MDBSP,DBSSC)

)]()([2

)(

)2cos()()()(.).(,)(

ppp

pp

ffGffGU

fS

tfUtgtsfGFTspectreAtgA

−++=

=<<−

π

-fp 0 fp f G(f)

Bande latérale inférieure (BLI)

Bande latérale supérieure (BLS)

Rendement 100% mais seulela moitié est utile !

Et démodulation plus difficile


125

• Modulation à bande latérale unique (BLU, SSB)– Filtrage d ’une des deux bandes latérales (difficile, filtre très

sélectif)– Réalisation par modulateur spécial– Bande passante réduite d ’un facteur 2

– Pour un signal modulant sinusoidal de fréquence f0, le signal modulé est un signal sinusoidal pur de fréquence fp+f0

-fp 0 fp f G(f)

Bande latérale unique (BLU)


126

• Modulation à bande latérale résiduelle (BLR, VSB)– Transmission des très basses fréquences (vidéo,…)– Modulation AM puis filtrage spécifique de la BLU– En présence d ’une porteuse, démodulation d ’enveloppe

avec une distorsion acceptable

-fp 0 fp f G(f)

Bande latérale unique (BLU)


127

• Modulateurs AM– Multiplieur analogique, transconductance variable

– Amplification à gain variable=multiplication

T

Ct

T

BEB

T

BEBB

TBE

B

BE

Ct

UI

y

UV

IUV

II

mVq

kTU

VI

VI

y

=

≈−=

==∂∂

=∂∂

=

))(exp()1)(exp(

26,

00

β

E

Ic(t)

e(t)

s(t)

)()()()()( tetIUR

tVRytIRts CT

BEtC ∂−=∂−=∂−=∂

)()(

)(11

tIUR

thR

tG cT

−=−=β


128

– Modulation par non-linéarité (inter-modulation)• Système à relation entrée-sortie non linéaire

• Ex: système quadratique s(t)=e2(t)

∑=

=N

n

nn teats

0

)()(

)4cos(2

)2cos()(2)(2

)(

)2cos()()(2

22

tfU

tfUtgtgU

ts

tfUtgte

pp

ppp

pp

ππ

π

+++=

+=

0 fp 2fp f

G(f)Fmax 2Fmax


129

• Démodulateurs analogiques AM– Démodulation synchrone: multiplication et filtrage passe-bas

• ex: en modulation sans porteuse

– Problème: connaître fp: AM avec porteuse, reconstitution(PLL...)

– En BLU ou BLR, démodulation isochrone sinon distorsion

[ ])cos()()4cos()(2

)(

)2cos()()(:

)2cos()()(:

ddpdp

dpd

pp

tgtftgUU

td

tfUtstdonDémodulati

tfUtgtsModulation

ϕϕπ

ϕπ

π

++=

+=

=

Modulation AM à 2fp éliminée parfiltrage passe-bas

Signal g(t) démoduléDémodulation isochronesi ϕd=0


130

– Démodulation par détection d’enveloppe, AM avec porteuse• , détecteur de crête, redressement et filtrage passe-bas

• Fréquence de coupure du passe-bas fc=1/2πRC

R CSignal AM e(t) Signal démodulé s(t)

Pour éviter les distorsions, on montre:

a) τ ≈ τHF

p(t)

s(t)

c) τBF >> τ >> τHF

p(t)

s(t)

b) τ ≈ τBF

p(t)

s(t)

21

21

m

fmRC

f mp

−>>>

π


131

Performances en présence de bruit (AM avec porteuse)

• Dans la bande de réception du signal (filtre passe-bande largeur 2F)– Puissance du bruit = 4FN0

– Puissance du signal (g(t) sinusoïdal amplitude A) =Up2A2/4

– Puissance porteuse = B2Up2/2

– Rapport Signal/Bruit

Filtrepasse bande

Démodulateur Filtrepasse bas

Bruit blanc(DSP constante : N0)

0

222

16

)2(

FN

ABURSB p

HF

+=


132

• Après démodulation– Puissance du bruit = 4FN0

– Puissance du signal = A2Up2/2

– Rapport Signal/Bruit

• Gain en RSB

– Maximum 2/3 pour m=1, c ’est à dire diminution du RSB !

Sans porteuse (AMP-P) (exercice à démontrer)

Exercice: Calculer GRSB en modulation AM BLU avec et sans porteuse

0

22

8FN

UARSB p

BF =

2

2

22

mm

RSBRSB

GHF

BFRSB +

==

2=RSBG


133

IV-3 Modulation angulaire (Fréquence,Phase)

• Modèle général

– Modulation de phase (PM) si

– Modulation de fréquence (FM) si

• Modèle simplifié– Modulation de phase

– Modulation de fréquence

))(2cos()( ppp ttfUts απ +∆Φ+=

)()( tmkt =∆Φ

dttd

tmk

duumktt

))((21

)(

)(2)(0

∆Φ=

=∆Φ ∫

π

π

))(2cos()(0∫+=t

pp duumtfUts π

))(2cos()( tmtfUts pp += π

Fréquenceinstantanée

dttd

ftf pi

)(21

)(∆Φ

+=π


134

• … d ’où équivalence :

Modulationde Phase

m(t) s(t) Modulationde Fréquence

m(t) s(t)d/dt⇔

Modulationde Fréquence

m(t) s(t) Modulationde Phase

m(t) s(t)∫ dt⇔

Modulation de Phase (PM) Modulation de Fréquence (FM)


135

• Propriétés principales des modulations angulaires

– Indépendance du niveau de signal démodulé par rapport au signal reçu…

– ... ce qui implique une meilleure immunité au bruit qu’en modulation d’amplitude

– Bonne résistance aux perturbations si l’indice de modulation est élevé

– Largeur de bande du canal de transmission élevée

– La modulation FM possède une immunité au bruit supérieure à la modulation PM


136

• Spectre des signaux modulés– forme générale

– Complexe à calculer dans le cas général– Différent de zéro uniquement au « voisinage » de la porteuse

• Modulation à bande étroite NFM (faible niveau)

[ ][ ]

)(!

))(()2exp()(

))(exp()2exp()(

)2sin())(sin()2cos())(cos()(

0

fSn

tjtfjReUts

tjtfjReUts

tfttftUts

TF

n

n

pp

pp

ppp

→←

∆Φ=

∆Φ=

∆Φ−∆Φ=

∑∞

=

π

π

ππ

π<<∆Φ )(t

[ ]

[ ])()()()(4

)(

)2sin()()2cos()(2

ppppp

ppp

ffDSPffDSPffffU

fDSP

tfttfUts

++−+++−=

∆Φ−=

ΦΦδδ

ππ Analogue à modulationd ’amplitude


137

• NFM - Réalisation par chaîne d ’Armstrong

– Le signal est aussi faiblement « modulé en amplitude »

Déphaseurπ/2

Porteuse X +

Signal modulant m(t)

Signal modulés(t)

Signal modulant

Porteuse, signal modulé


138

• Signal modulant sinusoïdal

– en PM

– en FM

– Indice de modulation

– en FM

)2cos()( tfUtm mm π=

)2sin()2sin()(

21

)(

)2cos()2cos()()(

max

max

tfftffkUdt

tdtf

tftfkUtkmt

mmmmi

mmm

πππ

ππ

∆==∆Φ

=∆

∆Φ===∆Φ

)2cos()2cos()(

21

)(

)2sin()2sin()(2)(

max

max

tfftfkUdt

tdtf

tftff

Ukdttmkt

mmmi

mmm

m

πππ

πππ

∆==∆Φ

=∆

∆Φ===∆Φ ∫

mffmax∆

=β

))2sin(2cos(

))(22cos()(

tftfU

duumktfUts

mpp

t

pp

πβπ

ππ

+=

+= ∫ ∞−


139

• Signal modulant sinusoïdal en FM– on montre (décomposition en série de Fourier)

– Jn(β) désigne la fonction de Bessel de 1ère espèce d’ordre n– Densité spectrale de s(t): spectre de raies (s(t) périodique)

))(2cos()()( tnffJUts mpn

np += ∑+∞

−∞=

πβ

[ ]∑+∞

−∞=

−−+++=n

mpmpnp

s nfffnfffJU

fDSP )()()(4

)( 22

δδβ

J0 J1 J2 J3

Fonctionsglobalement décroissantes

quand n augmenteLe spectre est donc « borné »pour une valeur de β donnée


140

fp=30fm=1β =10

fp=30fm=1β =5

fp=30fm=2β=5

fp=20fm=1β=5

Exemples de DSPs(f)


141

Exemples de DSPs(f) en NFM β<<1

• Il ne reste plus que 3 raies: la porteuse et deux raies latéralesà fp-fm et fp+fm, (analogie avec AM faible)

• Le signal modulé s(t) est quasiment sinusoïdal.

fp=20fm=1β=0.5

fp=20fm=1β=0.1


142

• Règle de Carson (signal quelconque)

– largeur du spectre du signal modulé

Fp

Bs

mfBs )1(2 +≈ β

• Exemple:Porteuse à 20 Mhz, FMFréquence max du

signal modulant 20 kHz (audio)pour β=2

Bs=120 kHzpour β=0.1

Bs=40 kHz (identique à AM)


143

• Comportement en présence de bruit– pour un RSB en entrée supérieur à 5dB

– … donc, augmenter l ’indice de modulation β pour améliorer le RSB en sortie...

– … au prix d ’une augmentation de la largeur de bande Bs

– Bruit basse-fréquence en sortie du démodulateur FM

– … pré-accentuation (amplification) des HF avant modulation

entréesortie RSBRSB 23β=

223

)( fRSBBs

PfB

entrée

entréeBF =


144

• Modulateurs FM• β<<1 (NFM)

– Chaîne d ’armstrong– VCO (Voltage Controlled Oscillators)

• Oscillateur à Quartz accordable par diode varicap

• … mais variation de fréquence faible (β<<1) pour conserver une bonne linéarité

• β>1 (WFM)– Il est difficile d’obtenir une porteuse stable et une grande

excursion de fréquence– Modulateurs plus complexes

u

ii

u

Comportement capacitif de la diode bloquée


145

• Multiplication de fréquence et mélangeur

• VCO + PLL (Phased Locked Loop, boucle à verrouillage de phase)

Oscillateur à quartzdiviseur par R

Comparateurde phase

Filtre passe-basfc << Fmin

fx/R

f/N

fx

Diviseur par Nprogrammable

VCOs(t)

m(t)

v0


146

• Démodulateurs FM• Discriminateur en quadrature

– Fréquence instantanée fi(t)

– Signal modulé e(t)

– Signal modulant m(t) PM:

FM:

Multiplieure(t)

Filtre passe-basfc << fpx(t)

y(t)

s(t)signal BFDéphaseur

))((2 pi ftfr −+π

dttd

ftf pi

)(21

)(∆Φ

+=π

)()( ttmk ∆Φ=

dttd

tmk))((

21

)(∆Φ

=π

))(cos())(2cos()( tUttfUte HFppp Θ=∆Φ+= π

))(2

)(cos()( tmkrtUtx HFp ++Θ=π


147

• …/...

++++Θ=

Θ++Θ==

))(2

cos())(2

)(2cos(2

))(cos())(2

)(cos()()()(

2

tmkrtmkrtU

tUtmkrtUtetxty

HFp

HFpHFp

ππ

π

Terme HF (2fp) Terme BFéliminé par filtrage passe-bas

[ ]

))(2

)(1)(

))(sin(2

))(2

cos(2

)(

2

22

tmkrU

tstmkrgénéralen

tmkrU

tmkrU

ts

p

pp

−≈⇒<<

−=

+= π


148

• Exemple de réalisation: circuit accordé sur fp

bobi

ne

Multiplieur

e(t)L C R

C0

Filtre passe-basfc << fpx(t)

y(t)

s(t)signal BF

Exemple pour fp = 10,7 MHz, fréquence intermédiaire des récepteurs FMC = 100pF, C0 = 5pF, L = 2.1mH et R = 1kΩ

Gain

Phase10.7MHz 10.7MHz

Autour de fpdéphasage:

))((2 pi ftfr −+π

Pente r


149

• Démodulateur à PLL

– Quand la PLL est verrouillée, les phases de e(t) et v(t) sont égales:

– En FM:

Comparateurde phase

Filtre passe-basfc << Fi

VCO v(t)

Sortie du démodulateur s(t)

e(t)

))(2cos()( ttfUte pp ∆Φ+= π

))(2cos()( ∫+= dttsgtfAtv pπ

Équation du VCO

)(2

)())((

21

)( tmg

kts

dttd

tmkπ

π=⇒

∆Φ=

)())((

)()( tsgdt

tddttsgt =

∆Φ⇔=∆Φ ∫


150

• Exemple/exercice (bande FM)– Porteuse fp= 100 Mhz– Déviation de fréquence maximale ±75kHz– Signal modulant audio, fréquence min 50Hz,

fréquence max 15kHz

– Calculer les indices de modulation maxi et mini– En déduire les largeurs de bande Bs maxi et mini– Etudier et critiquer les schémas de modulation

• Chaîne d ’Armstrong• Chaîne d ’Armstrong et multiplieur• Chaîne d ’Armstrong, multiplieur et mélangeur

• Exercice– Signal modulant m(t)=2Rect(t/T) - 1, avec T=1ms– Porteuse FM à 10Mhz, Largeur de bande Bs = 20kHz– Quel indice de modulation proposez-vous ?

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