Transport quantique dans les systèmes désordonnés

Gilles Montambaux, Université Paris-Sud, CNRS, Orsay (France)

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5 septembre 2012

Cours 2

diffusion et localisation faible

( , ')clP r r

Résumé du cours 1

conductance ~ transmission ~ probabilité

1

( )1d

F DD

F

g

vp

V

diffusion classique corrections quantiques

Croisement quantique correction d’ordre 1/g

2

2

eG g

h

eG

h

transport classique

effets quantiques

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3

1d

F F D

Vg

v

Volume du système

Volume d’un tube de section F

qui diffuse d’un bord à l’autre

Conductance = rapport de deux volumes

4

TD

5

y

y

nk

W

2 2 2

F x yk k k Canal transverse

int int/

F Fk k WM

W

ykW

xk

yk

2yk

W

TD

6

int int/

F Fk k WM

W

2 2

2

/ 4int int

( / ) 4

F Fk k SM

W

Nombre M de canaux transverses

d=2

d=3

1 111 1

1 1

/ 2int int ( )

( / ) (2 )

d ddd F d

Fd d

A k AM k W

W

(d)

TD

7

TD

Spectre non corrélé

Spectre corrélé

thE

TD

Dt Dt

régime diffusif régime ergodique

thE E thE E

Les niveaux d’énergie sont fortement corrélés sur une tranche d’énergie thE

TD

10

TD

2 2 22 2 int[ ]

F

e e WG M

h h

Qu’obtient-on pour des particules classiques (fermions) ?

TD

« Sharvin-Knudsen »

« Maxwell » Drude-Ohm

2

2S

eG M

h

eM S

lG G

We

D S

lG G

L

Fk WM

TD

S. Tarucha et al., Phys. Rev. B 47, 4064 (1993)

Sharving M

eDrude

lg M

L

TD

Fk WM Int

122 1

. 1. ( ) 2 2

d

d Fbal cla ds Fxs

k WeG e W

hv A

11 22 ( ) 2

2

dd

FOhm F

ed

k WW eG e

h

l

L LAD

1

12 2

. . 2 2 2

d

d

Fbal quant

k WeM Int A

eG

h h

2

4

Fk SM Int

F eDv l

d

Loi d’Ohm

Coefficient de diffusion

Conductance de Sharvin (balistique)

Conductance balistique quantifiée

M nombre de canaux d=2 d=3

TD

15

TD

16

Interférences et désordre

Rétrodiffusion cohérente 1985

une configuration de désordre

moyenne oscillations de période f0/2dans un cylindre métallique désordonné

f0disparaît f0/2subsiste !!!!

f

La cohérence de phase n’est pas détruite par un désordre statique Une figure d’interférence pour chaque configuration du désordre En moyenne, les effets d’interférences ne disparaissent pas complètement :

Effet Sharvin-Sharvin 1981

17

La localisation faible

Variation importante de la résistance R(B) d’un film métallique en fonction du champ magnétique appliqué L’ échelle de champ B sur laquelle R(B) varie dépend de la température Effet de cohérence de phase $ une contribution cohérente, déviation à la loi d’Ohm, qui augmente la résistance. Cette contribution est détruite par le champ magnétique -> magnétorésistance négative : signature de la localisation faible

magnétorésistance d’un film de magnésium

18

La Localisation faible

Effet de cohérence de phase qui résiste au désordre

Boucles et croisements quantiques Nombre de boucles et probabilité de retour Champ magnétique, cohérence de phase Localisation faible en dimension d Quelques solutions de l’équation de diffusion Champ magnétique et magnétorésistance négative Oscillations AAS-Sharvin-Sharvin

Correction quantique à la conductance dans un conducteur désordonné

19 int ( )P t

int

1( )

cl

P tg

G

G

Correction quantique

Conductance classique

Trajectoires opposées

clG

Un croisement Une boucle

Croisement

= distribution de boucles de temps t = probabilité de retour

int

22( )

eP t

hG

La Localisation faible

(0, )clP L

(0, )P LG

Signe (-)

k 'k

k 'kel

F

'k k

Rétrodiffusion

21

Comment calculer ? int int( ) ( , , ) dP t P r r t d r

int ( )P t

= Probabilité de retour classique

Diffuson

Terme d’ Interférence =

Cooperon =

Si invariance par renversement du temps

int ( , , ) ( , , )clP r r t P r r t

22

Différence importante :

( , ', )clP r r t

int ( , ', )P r r t

*

jA *T

jA

jA T

jA .p dl

Si invariance par renversement du temps int ( , , ) ( , , )clP r r t P r r t

Les trajectoires appariées vont dans le même sens

ont la même phase

jA jA

Diffuson Cooperon

Si la cohérence de phase entre trajectoires appariées est préservée

Les trajectoires appariées vont dans des sens opposés

23

Localisation faible

La probabilité de retour P(t) est plus grande pour petit d Les effets de cohérence sont plus importants à basse dimension

/ 2

nt 2i /( ) ( )

(4 )

4

d

d

cl

D

d

LP t P t

Dt

t

int int

2 2

( ) ( )2 2

e

D

D

e e dtG P P

h ht t

temps passé dans l’échantillon temps de collision élastique

Dt e

pour

D

24

2

0

i

/ /

nt4 ( ) et t

D

e dtG P t e e

h

f

Correction de localisation faible, résultat exact

int int

2 2

( ) ( )2 2e

D

e eP

dtG

ht P t

h

résultat qualitatif

résultat correct

coupure des trajectoires longues à cause de la perte de cohérence de phase au-delà de f

La mesure de cette correction quantique permet de mesurer la longueur de cohérence de phase

25

2

0

i

/ /

nt4 ( ) et t

D

e dtG P t e e

h

f

Limite macroscopique L Lf D f / 2

( )4

d

DP tt

/ 2

e

d

dt

t

f

1 1

e f

lne

f

ef 1 ( 1 )d quasi D

2d

3d

Effet de la dimension d’espace

L Df f

26

Système mésoscopique L Lf D f

1 ( 1 )

2

3

d quasi D

d

d

2

2

2

( )2

( )2ln

e

e

L TeG

h L

L TeG

h l

e LG

h l

f

f

2

2

2

2

2ln

e

e

eG

h

e LG

h l

e LG

h l

1 ( 1 )

2

3

d quasi D

d

d

Correction plus importante à basse d, car la probabilité de retour est augmentée

Effet de la dimension d’espace

27

Sous champ, déphasage entre trajectoires conjuguées par R.T. le cooperon oscille avec le flux (cf. oscillations Sharvin-Sharvin)

Cohérence de phase et champ magnétique

Diffuson Cooperon

Cooperon: des trajectoires appariées traversées par un flux magnétique acquièrent des phases opposées

f f0

2f

f

0

2f

f

0

2f

f

0

4f

f

différence de phase 0

2 2

h

e

f oscillations de période

int ( ) ( )clP t P t 0

4i

ef

f

28

Impuretés magnétiques, couplage électron-phonon, interaction entre électrons

Diffuson Cooperon

Si la cohérence de phase est brisée au delà d’un temps , seules les trajectoires de temps contribuent t f

* * * *

f

/

int ( ) ( )cl

tP t P t e f

0

4i

ef

f

Cohérence de phase

/ Bte

Les trajectoires qui entourent plus d’un quantum de flux ne contribuent pas à int ( )P t

0( )tf f 0( )tf f

0BBD f

Effet d’un champ magnétique (qualitatif)

/

int ( ) ( )cl

tP t P t e f

0

(4

)i

t

ef

f

2(( ) )R tt B BDtf

Toutes les trajectoires n’entourent pas le même flux

cf. TD

Equation de diffusion pour Pint(r,r,t) ?

2

int ( , ', ) (2 ') ( )D i e P r r t r rt

At

potentiel vecteur

charge effective

'r r

( , ', ) ( ') ( )clD P r r t r r tt

Cooperon

Diffuson

cf. TD