COHOMOLOGIE FEUILLETÉE ET THÉORIE DE …bm0032/MotSemWS15_16/TopFeui.pdf · Quelques notions d’algèbre di↵érentielle . . ... Quelques notions élémentaires de géométrie

COHOMOLOGIE FEUILLETÉE ET THÉORIE DE GALOISDIFFÉRENTIELLE SUPÉRIEURE

pTitre provisoireqpar

Joseph Ayoub

Résumé. — Dans cet article, nous introduisons une nouvelle topologie de Grothendieck que nous appellons latopologie feuilletée. Nous développons des outils pour calculer la cohomologie feuilletée aux points génériques.Pour ce faire, nous devons calculer explicitement le type d’homotopie feuilleté d’un corps di↵érentiel, un avatarsupérieur du groupe de Galois di↵érentiel absolu.

Abstract. — In this article, we introduce a new Grothendieck topology that we call the foliated topology. Wedevelop tools for computing foliated cohomology at generic points. For this, we are led to compute explicitly thefoliated homotopy type of a di↵erential field, a higher avatar of the absolute di↵erential Galois group.

Table des matières

1. Quelques notions d’algèbre di↵érentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Rappels d’algèbre di↵érentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Théorème de l’involutivité générique de Malgrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Propriété de finitude pour les algèbres de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Théorie de Galois di↵érentielle classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Décomposition maximale, I. Définition et sorites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Décomposition maximale, II. Existence et noyau totalement décomposable . . . . 222.3. Extensions subordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Extensions normales et pseudo-normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Rappels sur les groupoïdes algébriques et les groupoïdes rationnels . . . . . . . . . . 382.6. Groupoïde de Galois di↵érentiel d’une extension normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7. Démonstration d’un résultat technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8. Correspondance de Galois di↵érentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.9. Quelques compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Théorie de Galois di↵érentielle supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Quelques notions élémentaires de géométrie �-algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Quotient discret d’un �-schéma. Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Topologie feuilletée, I. Le cas des �-schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4. Faisceaux f-invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5. Faisceaux feuilletés discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.6. Faisceaux feuilletés localement discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7. Lemme curieux, I. Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Mots clefs. — Algèbre di↵érentielle, feuilletage, topologie feuilletée, théorie de Galois di↵érentielle supérieure, type d’ho-motopie feuilletée.

L’auteur a bénéficié du soutien partiel du Fond National Suisse de la Recherche Scientifique (NSF), projet no. 2000201-124737/1.

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3.8. Lemme curieux, II. Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.9. Rappels sur les foncteurs « cosquelette » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.10. Hyper-recouvrements génériques d’un �-schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.11. Un résultat remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.12. Hyper-clôture di↵érentielle et type d’homotopie feuilleté générique . . . . . . . . . . 1143.13. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, I. Préliminaires . . . . . . . . . . . . 1173.14. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, II. Construction et étude . . . . 1213.15. Autour de la descente fidèlement plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.16. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, III. Préscindage . . . . . . . . . . 130

4. Calculs de groupes de cohomologie et de type d’homotopie feuilletés . . . . . . . . . . . . . . 1394.1. Quelques outils techniques, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2. Torseurs sur des schémas semi-simpliciaux et cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3. Quelques outils techniques, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, I . . . . . . . . . . . . . . 1494.5. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, II . . . . . . . . . . . . . . 1574.6. Lemme de Poincaré feuilleté et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.7. Complexe de de Rham associé à un schéma en groupe commutatif et connexe . . 1654.8. Quelques constructions universelles sur les variétés abéliennes . . . . . . . . . . . . . . 1674.9. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, IV. Scindage . . . . . . . . . . . . . . 1714.10. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, V. Scindage (suite) . . . . . . . . 1794.11. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, III . . . . . . . . . . . . 1824.12. Un ind-schéma en groupe commutatif et connexe universel . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.13. Cohomologie des espaces d’Eilenber-Mac Lane algébriques, IV . . . . . . . . . . . . 191

5. Étude cohomologique de certains faisceaux de formes di↵érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.1. Les faisceaux ⌦�, d et leur cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.2. Les faisceaux A~ et leur cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.3. Les faisceaux ⌦~, d et leur cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6. Au delà des �-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.1. Feuilletages schématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2. Feuilletages schématiques (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3. Le grand site feuilleté d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.4. Le petit site feuilleté d’un feuilletage di↵érentiellement lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.5. Cohérence toposique et quelques points des topos feuilletés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.6. Cohomologie feuilletée au point générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7. Carrés distingués en topologie feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.8. Une construction d’hyper-recouvrements génériques faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.9. Étude locale de la cohomologie feuilletée, I. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.10. Étude locale de la cohomologie feuilletée, II. Préliminaires (suite) . . . . . . . . . . 2456.11. Étude locale de la cohomologie feuilletée, III. Préfaisceaux malléables . . . . . . 2506.12. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VI. Un complément . . . . . . . . . . . . . . 2596.13. Étude locale de la cohomologie feuilletée, V. Préfaisceaux pré-discrets . . . . . . 2616.14. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VI. Préfaisceaux pré-grossiers . . . . 2636.15. Objets semi-simpliciaux robustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.16. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VII. Préfaisceaux spéciaux . . . . . . . . 2706.17. Sur la propriété de Mayer–Vietoris formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7. La topologie h-feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.1. Feuilletages singuliers et topologie h-feuilletée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.2. Résolution de certaines singularités de feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.3. Rappels sur les groupes ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.4. Quelques anneaux de séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

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7.5. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, I. Le cas formel et sans défaut . . . . . . . . 2837.6. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, II. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.7. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, III. Un théorème de comparaison . . . . 2967.8. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, IV. Rigidité forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

1. Quelques notions d’algèbre di↵érentielle

Dans cette section, nous rappelons quelques résultats classiques d’algèbre di↵érentielle. En particulier,nous donnons une preuve détaillée du théorème de l’involutivité générique de Malgrange ; ce théorèmejouera un rôle très important dans ce travail et sera utilisé couramment dans la suite.

1.1. Rappels d’algèbre di↵érentielle. —On fixe un ensemble fini � “ tB1, ¨ ¨ ¨ , Bmu. Un �-anneau est un anneau A muni d’une action de � par

des opérateurs di↵érentiels qui commutent deux à deux. Ainsi, pour 1 6 i 6 m, on a des homomorphismesde groupes abéliens Bi : A // A vérifiant

Bipa ¨ bq “ a ¨ Bipbq ` Bipaq ¨ b, @pa, bq P A2 et rBi, B js “ 0.

On notera A�“0 le sous-anneau des constantes de A, i.e., celui donné par

A�“0 “ ta P A; Bipaq “ 0, 1 6 i 6 nu.Lorsque A est un corps, on parlera de �-corps ; A�“0 est alors un sous-corps de A. Un �-morphisme de�-anneaux est un morphisme d’anneaux commutant à l’action des B P �. Un �-morphisme de �-corps estappelé aussi une �-extension.

Si A est un �-anneau et D Ñ A est une partie, l’anneau des fractions Ard´1; d P Ds est naturellement un�-anneau. Si P Ñ A est un idéal premier, on note comme d’habitude, AP “ Ard´1; d < Ps. Lorsque A estintègre et que P “ 0, on obtient le �-corps des fractions de A, qu’on note FracpAq.

On fixe un �-anneau A. Une pA,�q-algèbre est un �-morphisme de �-anneaux f : A // B. Souvent, lemorphisme f sera sous-entendu, et on dira simplement que B est une pA,�q-algèbre.Exemple 1.1. — Étant donné un ensemble d’indices I, on note Axxi; i P Iy la pA,�q-algèbre des poly-

nômes di↵érentiels en les variables xi. En tant que A-algèbre, elle est librement engendrée par les Brxi aveci P I et r P Nm. (Comme d’habitude, si r “ pr1, ¨ ¨ ¨ , rmq, on note Br “ Br1

1 ¨ ¨ ¨ Brmm .) Si B est une pA,�q-

algèbre et pbiqiPI P B I , il existe un unique morphisme de pA,�q-algèbres f : Axxi; i P Iy Ñ B tel quebi “ f pxiq. ⇤Exemple 1.2. — Soient A un �-anneau, et B et C des pA,�q-algèbres. Alors, la A-algèbre B bA C est

naturellement une pA,�q-algèbre. L’action d’un opérateur B P � sur un tenseur b b c (avec b P B et c P C)est donnée par Bpb b cq “ b b Bpcq ` Bpbq b c. ⇤

On dit qu’une pA,�q-algèbre B est engendrée par une partie E Ñ B si la A-algèbre B est engendréepar la partie tBrpeq; e P E et r P Nmu. C’est le cas si et seulement si le morphisme de pA,�q-algèbresAxxe; e P Ey Ñ B, envoyant xe sur e, est surjectif. Une pA,�q-algèbre B est dite de type fini s’il existeune partie finie E Ñ B qui l’engendre. Il revient au même de dire que B est isomorphe à un quotient deAxx1, ¨ ¨ ¨ , xny.

Étant donné un �-anneau A, un pA,�q-module est un A-module M muni d’homomorphismes de groupesabéliens Bi : M // M, pour 1 6 i 6 m, qui commutent deux à deux et tels que

Bipa ¨ lq “ a ¨ Biplq ` Bipaq ¨ l, @pa, lq P A ˆ M.

Ces homomorphismes sont encore appelés des opérateurs di↵érentiels. Le produit tensoriel des pA,�q-modules est défini comme pour les pA,�q-algèbres. On dit que le pA,�q-module M est engendré par unepartie E Ñ M si le A-module M est engendré par la partie tBrplq; l P E et r P Nmu. Le pA,�q-module Mest de type fini s’il existe par une partie finie E Ñ M qui l’engendre.

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Clairement, A est naturellement un pA,�q-module. Un �-idéal de A est simplement un sous-pA,�q-module de A. On dit qu’il est de type fini s’il est de type fini en tant que pA,�q-module.Exemple 1.3. — Soit B une pA,�q-algèbre. Alors, le B-module des di↵érentielles de Kähler relatives⌦B{Aest naturellement un pB,�q-module. En e↵et, ⌦B{A est le B-module librement engendré par les symbolesdb, pour b P B, satisfaisant aux relations suivantes

da “ 0, @a P A, et dpb ` cq “ db ` dc et dpbcq “ b ¨ dc ` c ¨ db, @b, c P B. (1)

L’action de B P � sur ⌦B{A est donnée par Bpdbq “ dpBpbqq. Pour voir que cette action est bien définie, ilfaut montrer qu’elle préserve le B-module engendré par les relations (1). Pour les deux premières relations,il n’y a rien à montrer. Pour la troisième, le calcul suivant :

Bpdpbcq ´ b ¨ dc ` c ¨ dbq “ dpb ¨ Bc ` c ¨ Bbq ´ Bb ¨ dc ´ b ¨ dpBcq ´ Bc ¨ db ´ c ¨ dpBbq“ tdpb ¨ Bc ` c ¨ Bbq ´ dpb ¨ Bcq ´ dpc ¨ Bbqu ` tdpb ¨ Bcq ´ b ¨ dpBcq ´ Bc ¨ dbu

`tdpc ¨ Bbq ´ c ¨ dpBbq ´ Bb ¨ dcu,permet de conclure. (Pour être parfaitement précis, il faut aussi vérifier que le B-module librement engendrépar les symboles db, pour b P B, est un pB,�q-module pour lorsqu’on fait agir � par Bpdbq “ dpBbq.)

Une façon plus conceptuelle de procéder est d’invoquer l’isomorphisme⌦B{A “ I{I2 où I Ñ BbA B est lenoyau du morphisme de multiplication BbA B // B. Puisque I est un �-idéal, la structure de pB,�q-modulesur ⌦B{A s’en déduit. ⇤Lemme 1.4. — Soit A un �-anneau et soit M un pA,�q-module. Alors, l’annulateur annpMq de M est un�-idéal de A.Démonstration. — Rappelons que annpMq “ ta P A; a ¨ m “ 0 @m P Mu. Il s’agit de montrer que annpMqest stable par les opérateurs di↵érentiels B P �. Pour a P annpMq et m P M, on a

0 “ Bpa ¨ mq “ a ¨ Bm ` pBaq ¨ m.

Puisque a annule aussi Bm, on obtient que pBaq ¨ m “ 0. Ceci étant vrai pour tout m P M, le lemme estdémontré. ⌅

Le lemme suivant est bien connu ; il est dû à Ritt.Lemme 1.5. — Soient A une pQ,�q-algèbre et I Ñ A un �-idéal. Alors

?I est aussi un �-idéal.

Démonstration. — Soit x P ?I et montrons que Bpxq P ?

I pour tout B P �. Soit r > 1 tel que xr P I. Nousallons utiliser la formule suivante

Bapysq “ÿ

a1`¨¨¨às“a

a!a1! ¨ ¨ ¨ as!

pBa1yq ¨ ¨ ¨ pBasyq.

vraie pour y P A et a, s P N. Lorsque a “ s, l’un des ai est nul à moins que a1 “ ¨ ¨ ¨ “ as “ 1. Il s’ensuitque

Brpxrq “ r!pBxqm mod pxq.Ceci montre que Bx P a

I ` pxq “ ?I. ⌅

Étant donné un anneau A, on note Ared l’anneau réduit associé à un anneau A, i.e., celui donné parA{ ap0q.Corollaire 1.6. — Si A est une pQ,�q-algèbre, alors Ared est naturellement une pQ,�q-algèbre.Définition 1.7. — Soient A une pQ,�q-algèbre et E Ñ A une partie. On note pEq� le �-idéal engendré

par E et pEq�´parf sont radical (appelé aussi clôture parfaite) ; ce dernier est encore un �-idéal d’après leLemme 1.5. Un �-idéal I Ñ A est dit radicalement de type fini s’il existe une partie finie E Ñ I telle quepEq�´parf “ ?

I.Notons le lemme suivant qui sera utile plus tard.

Lemme 1.8. — Soient A un �-anneau et I Ñ A un �-idéal parfait. Soient f , g P A tels que f ¨ g P I. Alors,pBr f q ¨ pBsgq P I pour tout r, s P Nm.


Démonstration. — Par récurrence, il su�t de montrer que f ¨ pBgq P I pour tout B P �. Puisque I est un�-idéal, il s’ensuit que Bp f ¨ gq “ f ¨ pBgq ` pB f q ¨ g est dans I. En multipliant cet élément par f ¨ pBgq et enremarquant que pBgq ¨ pB f q ¨ f ¨ g P I, on déduit que f 2 ¨ pBgq2 P I. Or, I “ ?

I, ce qui permet de conclure.⌅Corollaire 1.9. — Soit A une pQ,�q-algèbre. Soit I ( A un �-idéal strict et supposons que I est maximalpour cette propriété. Alors I est un idéal premier.Démonstration. — Soient f , g P A tel que f ¨ g P I et f < I. On cherche à montrer que g P I. Puisque I estmaximal, on a A “ I ` p f q�. On peut donc écrire

1 “ a `ÿ

rPNm

br ¨ Br f (2)

avec a P I et br P A nuls sauf pour un nombre fini d’entre eux. Il s’ensuit que

g “ a ¨ g `ÿ

rPNm

br ¨ pBr f q ¨ g. (3)

Le Lemme 1.5 et la maximalité de I entraînent que I est parfait. En utilisant le Lemme 1.8, on en déduitque pBr f q ¨ g P I. L’égalité (3) permet maintenant de conclure. ⌅Corollaire 1.10. — Soit A une pQ,�q-algèbre non nulle. Il existe alors des �-idéaux premiers dans A.

Démonstration. — En e↵et, d’après le Lemme de Zorn, il existe des �-idéaux stricts dans A qui sontmaximaux pour cette propriété. Un tel idéal est premier par le Corollaire 1.9. ⌅

Le résultat suivant est du à Kolchin [36] ; il généralise le théorème de la base de Ritt.Théorème 1.11. — Soit A une pQ,�q-algèbre telle que tout �-idéal de A est radicalement de type fini.

Alors, tout �-idéal de Axxy est aussi radicalement de type fini.Démonstration. — On suppose par l’absurde qu’il existe des �-idéaux dans Axxy qui ne soient pas radica-lement de type fini. On en fixe un et on le note I. D’après le Lemme 1.12 ci-dessous, l’idéal I est premier.Quitte à remplacer A par A{A X I et I par son image dans pA{A X Iqxxy, peut supposer que A X I “ 0.

Pour continuer, nous aurons besoin d’une petite digression. Munissons Nm de l’ordre lexicographique,i.e., décrétons que r ® r1 si et seulement si il existe 1 6 u 6 m tel que ri “ r1

i pour 1 6 i 6 u ´ 1 etru 6 r1

u ´ 1. Étant donné un polynôme di↵érentiel P P Axxy r A, on note ordpPq le plus grand élémentr P Nm, pour l’ordre lexicographique, tel que Brx apparaît e↵ectivement dans P. (Si P P A, on convient queordpPq est strictement plus petit que tout élément de Nm.) L’ensemble ordpI r t0uq Ñ Nm, formé des ordpPqpour P P I non nul, est un sous-ensemble de Nm stable par translation suivant les vecteurs dans Nm. Leséléments minimaux de ordpI r t0uq, pour l’ordre partiel naturel (r 6 r1 si et seulement si ri 6 r1

i pour tout1 6 i 6 m) sont en nombre fini ; on les note r1, ¨ ¨ ¨ , rs. On fixe aussi des éléments P1, ¨ ¨ ¨ , Ps dans I r t0utels que ordpPjq “ r j pour tout 1 6 j 6 s. On supposera aussi que le degré dj de Pj relativement à Br j x estminimal. On peut alors écrire

Pj “ Qj,0 ¨ pBr jxqd j ` ¨ ¨ ¨ ` Qj,d j´1 ¨ pBr j

xq ` Qj,d j

où les Qj,k sont des polynômes di↵érentiels d’ordres strictement plus petits que r j (pour l’ordre lexicogra-phique) avec Qj,0 , 0. On pose aussi

Rj “ dj ¨ Qj,0 ¨ pBr jxqd j´1 ` ¨ ¨ ¨ ` Qj,d j´1.

C’est la dérivée de Pj par rapport à Br j x considéré comme une variable indépendante. Pour e P Nm r t0u,on vérifie aisément que

BePj “ Rj ¨ Br jèx ` un polynôme di↵érentiel d’ordre strictement plus petit que r j ` e.

Notons R “ R1 ¨ ¨ ¨ Rs ¨ Q1,0 ¨ ¨ ¨ Qs,0. Nous allons montrer que :b

I ¨ pRq� “ pR ¨ P1, ¨ ¨ ¨ ,R ¨ Psq�´parf.

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L’inclusion « Ö » est claire. Pour l’inclusion inverse, il su�t de montrer que is S est un polynôme di↵érentielnon nul de I, il existe u P N tel que Ru ¨ S P pP1, ¨ ¨ ¨ , Psq�. On raisonne par récurrence sur ordpS q. Parconstruction, il existe un unique 1 6 j0 6 s tel que r j0 6 ordpS q (pour l’ordre partiel naturel sur Nm). Ily a deux cas de figure. Si ordpS q “ r j0 , la division euclidienne par rapport à Br j0 x fournit une expressionpQj0,0qu ¨ S “ Pj0 ¨ T ` Z où T et Z sont des polynômes di↵érentiels d’ordres plus petits ou égaux à r j0

et tel que le degré de Br j0 x dans Z est strictement plus petit que dj0 . Vu les choix précédents et puisqueZ P I, on a nécessairement Z “ 0. Ceci montre que Ru ¨ S P pP1, ¨ ¨ ¨ , Psq�. Supposons maintenant queordpS q , r j0 et notons e “ ordpS q ´ r j0 . C’est un élément de Nm r t0u. Le polynôme di↵érentiel BePj0 estlinéaire en Br j0 èx et a même ordre que S . Une division euclidienne fournit alors une relation de la formepRj0qu ¨ S “ pBePj0q ¨ T ` Z avec Z un polynôme di↵érentiel d’ordre strictement plus petit que celui de S .Puisque Z P I, l’hypothèse de récurrence permet de conclure.

Il est maintenant aisé de terminer la preuve du théorème. En e↵et, on vient de prouver que I ¨ pRq� étaitradicalement de type fini. Par ailleurs, on a R < I. En e↵et, puisque I est premier, il su�t de vérifier que lesQj,0 et les Rj ne sont pas dans I, ce qui est clair pour des raisons d’ordre et de degré. Il s’ensuit que I ` pRq�contient strictement I et il est donc radicalement de type fini puisque I a été supposé maximal. Le Lemme1.13 ci-dessous permet donc de conclure. ⌅

Les lemmes ci-dessous ont servi dans la preuve du Théorème 1.11.Lemme 1.12. — Soient A une pQ,�q-algèbre et I0 Ñ A un �-idéal. On suppose que I0 n’est pas radica-

lement de type fini. Il existe alors un �-idéal I Ñ A, contenant I0, qui n’est pas radicalement de type fini etqui est maximal pour ces propriétés. De plus, I est un idéal premier.Démonstration. — L’existence de I est assurée par le Lemme de Zorn. Il est immédiat que I est parfait, i.e.,I “ ?

I. Montrons que I est un idéal premier. Pour cela, considérons des éléments f , g P A tels que f ¨g P I.Si f < I et g < I, les �-idéaux I ` p f q� et I ` pgq� sont radicalement de type fini puisque I est maximal.D’après le Lemme 1.8, on a Br f ¨ Bsg P I pour tout r, s P Nm. Il s’ensuit que le �-idéal pI ` p f q�q ¨ pI ` pgq�qest contenu dans I. Or, il contient I2. On a donc

I “b

pI ` p f q�q ¨ pI ` pgq�qce qui est une contradiction puisque le membre de droite est radicalement de type fini. ⌅Lemme 1.13. — Soient A une pQ,�q-algèbre et I Ñ A un �-idéal. On suppose qu’il existe x P A tel que

I ¨ pxq� et I ` pxq� soient radicalement de type fini. Alors, il en est de même de I.Démonstration. — Par hypothèse, on peut trouver des éléments a1, ¨ ¨ ¨ , an P I tels que :

bI ¨ pxq� “ pa1 ¨ x, ¨ ¨ ¨ , an ¨ xq�´parf et

bI ` pxq� “ px, a1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf. (4)

Nous allons montrer que?

I “ pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf. Bien entendu, il est su�sant de montrer l’inclusionI Ñ pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf. Soit donc y P I. D’après la seconde égalité dans (4), on peut écrire, pour p P Nsu�samment grand,

yp “nÿ

i“1

ÿ

rPNm

vi, r ¨ Brai `ÿ

sPNm

us ¨ Bsx

où les coe�cients vi, r et us appartiennent à A et sont nuls sauf pour un nombre fini d’entre eux. En multi-pliant cette expression par y, on obtient

yp`1 “nÿ

i“1

ÿ

rPNm

pvi, r ¨ yq ¨ Brai `ÿ

sPNm

us ¨ py ¨ Bsxq.

Pour terminer la preuve, il su�t de montrer que y ¨ Bsx est dans pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf. Puisque y ¨ x P I ¨ pxq�, ildécoule de la première égalité dans (4) que y ¨ x P pa1 ¨ x, ¨ ¨ ¨ , an ¨ xq�´parf Ñ pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf. On conclutà l’aide du Lemme 1.8. ⌅

Le résultat suivant est connu sous le nom du théorème de la base de Ritt (ou de Raudenbush-Ritt) [45].


Corollaire 1.14. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre de type fini.Alors tout �-idéal de A est radicalement de type fini.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Théorème 1.11. ⌅Définition 1.15. — Une pQ,�q-algèbre A ayant tous ses idéaux radicalement de type fini est dite radica-

lement noethérienne. Il revient au même de demander que toute chaîne croissante de �-idéaux parfaits eststationnaire.Remarque 1.16. — Si A est une pQ,�q-algèbre radicalement noethérienne et B une localisation de A

(i.e., obtenue à partir de A en inversant des éléments), alors B est aussi une pQ,�q-algèbre radicalementnoethérienne. En e↵et, pour tout �-idéal J Ñ B on a J “ �´1pJq ¨ B avec � : A // B le morphismecanonique. ⇤Remarque 1.17. — On peut reformuler le Théorème 1.11 en disant que si A est un pQ,�q-algèbre radica-lement noethérienne, il en est de même de Axxy. De même, on peut reformuler le Corollaire 1.14 en disantque toute pK,�q-algèbre de type fini (avec K un �-corps) est radicalement noethérienne. ⇤Proposition 1.18. — Soit A une pQ,�q-algèbre.

(i) Tout �-idéal premier de A contient un �-idéal premier minimal.(ii) L’intersection des �-idéaux premiers minimaux de A est l’idéal des éléments nilpotents de A.

(iii) Tout élément non nul d’un �-idéal premier minimal est un diviseur de zéro.(iv) Si A est réduite, tout diviseur de zéro de A appartient à un �-idéal premier minimal.(v) Tout �-idéal premier minimal de A est aussi un idéal premier minimal. Réciproquement, tout idéal

premier minimal de A est un �-idéal premier minimal.(vi) Si A est radicalement noethérienne, alors ses �-idéaux premiers minimaux sont en nombre fini.

Démonstration. — L’intersection d’une suite décroissante de �-idéaux premiers est encore un �-idéal pre-mier. La propriété (i) découle donc du Lemme de Zorn.

Un élément nilpotent de A appartient à tout idéal premier. Il est donc dans l’intersection des �-idéauxpremiers minimaux de A. Montrons la réciproque. Soit a P A et supposons qu’il est dans l’intersection detous les �-idéaux premiers minimaux de A. D’après (i), ceci revient à dire que a appartient à tous les �-idéaux premiers de A. On en déduit que la pQ,�q-algèbre Ara´1s ne contient aucun �-idéal premier. D’aprèsle Corollaire 1.10, cette pQ,�q-algèbre est nécessairement nulle. Ceci ne peut se produire que lorsque a estnilpotent. Le point (ii) est démontré.

Soit Q Ñ A un �-idéal premier minimal et considérons la pQ,�q-algèbre AQ (obtenue en inversant leséléments de A r Q). C’est un anneau local et Q ¨ AQ est son unique �-idéal premier. D’après (ii), Q ¨ AQ estconstitué d’éléments nilpotents. Ainsi, si q P Q, il existe f P A r Q tel que f ¨ qn “ 0. Ceci démontre (iii).

Réciproquement, supposons que A est réduit et soit a P Ar t0u un diviseur de zéro. On peut donc trouverb P A r t0u tel que a ¨ b “ 0. Puisque A est réduit, b n’est pas nilpotent et, d’après (ii), il existe un �-idéalpremier minimal Q Ñ A tel que b < Q. On a donc nécessairement a P Q, ce qui démontre (iv).

La première assertion de (v) découle facilement de (iii). En e↵et, soit Q Ñ A un �-idéal premier minimalet soit Q0 Ñ Q un idéal premier. On doit montrer que Q0 “ Q. Puisque tout élément de Q r Q0 est undiviseur de zéro et que A{Q0 est intègre, l’image de Q dans A{Q0 est nécessairement réduite à t0u. Cecidémontre le résultat recherché. Pour montrer la seconde assertion de (v), on se donne un idéal premierminimal P Ñ A. La pQ,�q-algèbre AP est non nulle et admet un unique idéal premier PAP. D’après leCorollaire 1.10, cet idéal est nécessairement un �-idéal. Or, on peut retrouver P comme l’image inverse dePAP par le morphisme de pQ,�q-algèbres A // AP. Ceci entraîne que P est un �-idéal.

On démontrera la première assertion dans (vi) par contraposition. Pour cela, remarquons que si B est unepQ,�q-algèbre réduite possédant un nombre infini de �-idéaux premiers minimaux, il existe un diviseur dezéro b P B r t0u tel que le nombre de �-idéaux premiers minimaux dans B contenant b est encore infini.(En e↵et, si b1 ¨ b2 “ 0 avec b1, b2 P B r t0u, tout �-idéal premier minimal de B contient b1 ou b2.) Onapplique ce principe à une pQ,�q-algèbre A possédant un nombre infini de �-idéaux premiers minimaux

8 JOSEPH AYOUB

pour construire une chaîne strictement croissante de �-idéaux parfaits. On choisit a1 P A dont la classedans A{ ap0q est non nulle et appartient à un nombre infini de �-idéaux premiers minimaux. Supposonsque a1, ¨ ¨ ¨ , an est construite et que A{pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf possède un nombre infini de �-idéaux premiersminimaux. On choisit alors an`1 P A dont la classe dans A{pa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parf est non nulle et appartientà un nombre infini de �-idéaux premiers minimaux. La pQ,�q-algèbre A{pa1, ¨ ¨ ¨ , an, an`1q�´parf possèdeencore un nombre infini de �-idéaux premiers minimaux, ce qui permet de continuer. Par construction, il estclair que le chaîne ppa1, ¨ ¨ ¨ , anq�´parfqn>1 est strictement croissante. Autrement dit, A n’est pas radicalementnoethérienne. ⌅Remarque 1.19. — Souvent, il est pratique d’étendre la construction du corps des fractions à des anneauxnon nécessairemment intègres. Ainsi, pour un anneau R, on note FracpRq l’anneau obtenu en inversant dansR tous les éléments qui ne sont pas des diviseurs de zéro dans Rred. (Bien sûr, lorsque R est intègre, on re-trouve le corps des fractions de R.) Lorsque R possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux, FracpRqest le produit direct des anneaux locaux en ces idéaux premiers minimaux. Ceci s’applique à un anneau noe-thérien mais aussi à une pQ,�q-algèbre radicalement noethérienne (d’après la Proposition 1.18(vi)). ⇤

1.2. Théorème de l’involutivité générique de Malgrange. —Le but de ce paragraphe est d’établir le résultat suivant. (On rappelle que |r| “ r1 ` ¨ ¨ ¨ ` rm.)

Théorème 1.20. — Soient S une pQ,�q-algèbre radicalement noethérienne, et A une pS ,�q-algèbreréduite et de type fini. Soit A0 Ñ A une sous-S -algèbre de type fini, et notons An (pour n P N) la sous-S -algèbre de A engendrée par les Brx avec x P A0, r P Nm et |r| 6 n. Supposons que A “ î

nPN An, ce quirevient à demander que A0 contient un système de générateurs de la pS ,�q-algèbre A. Alors, il existe v P Net f P Av tels que les conditions suivantes sont satisfaites.

(a) L’élément f n’est pas un diviseur de zéro dans A et, si p Ñ A est un idéal premier minimal d’imagesinverses pv Ñ Av et q Ñ S , la S {q-algèbre pAv{pvqr f ´1s est lisse (et en particulier de présentationfinie).

(b) Pour tout n > v, la Anr f ´1s-algèbre An`1r f ´1s est isomorphe à l’algèbre symétrique d’un Anr f ´1s-module projectif de type fini.

Remarque 1.21. — L’énoncé ci-dessus est le théorème de l’involutivité générique pour les systèmesdi↵érentiels algébriques. Il a été conjecturé par É. Cartan sous une forme imprécise et a été démontré parMalgrange [39] qui lui donna aussi une forme définitive. La démonstration que nous proposons ici reprendcelle de [39]. ⇤Remarque 1.22. — L’hypothèse que A est réduite est nécessaire pour la validité du Théorème 1.20 commele montre l’exemple de la pQ, tBuq-algèbre Qx✏y{ppBi✏q ¨ pB j✏q; i, j P Nq. ⇤Lemme 1.23. — Soit A une pQ,�q-algèbre radicalement noethérienne. Il existe f P A qui n’est pas diviseurde zéro dans Ared et tel que Ar f ´1s est un produit direct de pQ,�q-algèbres irréductibles, i.e., admettant ununique idéal premier minimal.Démonstration. — Pour démontrer le lemme, on peut supposer que A est réduite. D’après la Proposition1.18, A possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux Q1, ¨ ¨ ¨ ,Qn. Pour chaque 1 6 i 6 n, on choisitfi P Qi r

îj,i Q j et on pose :

f “nÿ

i“1

f1 ¨ ¨ ¨ pfi ¨ ¨ ¨ fn “ f1 ¨ ¨ ¨ fn ¨nÿ

i“1

1fi.

On a alors f <î

i Qi mais f P Qi ` Qj pour tout 1 6 i , j 6 n. Il s’ensuit que B “ Ar f ´1s possède nidéaux premiers minimaux P1 “ Q1r f ´1s, ¨ ¨ ¨ , Pn “ Qnr f ´1s et que Pi ` Pj “ B pour tout 1 6 i , j 6 n.D’après le théorème des restes chinois, on a B » B{P1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ B{Pn et les B{Pi sont bien irréductibles. ⌅Corollaire 1.24. — Pour démontrer le Théorème 1.20, on peut supposer que les �-anneaux S et A sont

intègres et que le morphisme structural S // A est injectif.


Jusqu’à la fin de la preuve du Théorème 1.20, S sera une pQ,�q-algèbre intègre et radicalement noethé-rienne, et A une pS ,�q-algèbre intègre, de type fini et de morphisme structural injectif.

On peut supposer que A “ S xx1, ¨ ¨ ¨ , xpy{I avec I un �-idéal premier vérifiant S X I “ 0 et que A0 estl’image de S rx1, ¨ ¨ ¨ , xps dans A.Notation 1.25. — On note F “ S xx1, ¨ ¨ ¨ , xpy et Fn (pour n P N) la sous-S -algèbre de F engendrée par

les Brx j avec 1 6 j 6 p, r P Nm et |r| 6 n. Clairement, F “ înPN Fn et la S -algèbre Fn est une algèbre de

polynômes en un nombre fini de variables. On note In “ I X Fn ; c’est un idéal premier de Fn. On a uneidentification canonique : Fn{In “ An. ⇤

Étant donné un polynôme di↵érentiel P P S xx1, ¨ ¨ ¨ , xpy r S , son ordre total est défini comme étant lemaximum des nombres |r| lorsque r varie parmi les m-uplets d’entiers tels que Brx j apparaît e↵ectivementdans l’écriture de P pour au moins un des 1 6 j 6 p. Ce nombre sera noté ordtotpPq et on conviendra qu’ilest nul si P P S . Clairement, P P Fn si et seulement si ordtotpPq 6 n. En fait, ordtotpPq est le plus petit entiern tel que P P Fn. Le résultat ci-dessous est simple mais crucial pour la suite.Proposition 1.26. — Soit P P S xx1, ¨ ¨ ¨ , xpy r S d’ordre total plus petit ou égal à un entier naturel v.

Alors, pour tout s P Nm r t0u, on peut écrire d’une manière unique :

BsP “ Ns, vpPq `pÿ

j“1

ÿ

rPNm, |r|“v

C jrpPq ¨ Br`sx j, (5)

avec C jrpPq des polynômes di↵érentiels d’ordre total inférieur ou égal à v et Ns, vpPq un polynôme di↵érentiel

d’ordre total inférieur ou égal à v ` |s| ´ 1. De plus, les polynômes di↵érentiels C jrpPq sont obtenus en

dérivant P par rapport au symbole Brx j considéré comme une variable indépendante.Démonstration. — C’est immédiat. ⌅Remarque 1.27. — Pour v P N, notons dv : Fv // ⌦Fv´1pFvq la di↵érentielle de Kähler relative de la

Fv´1-algèbre Fv. (On conviendra ici que F´1 “ S .) Puisque Fv est une Fv´1-algèbre de polynômes en lesBrx j pour 1 6 j 6 p et |r| “ v, le Fv-module ⌦Fv´1pFvq est librement engendré par les wr

j “ dvpBrx jq. Avecles notations de la Proposition 1.26, on a alors :

dvpPq “pÿ

j“1

ÿ

|r|“v

C jrpPq ¨ wr

j. (6)

Ceci est une simple reformulation du fait que C jrpPq est la dérivée de P par rapport à Brx j considéré comme

un variable indépendante. ⇤Construction 1.28. — On considère des symboles linéairement indépendants we

j pour 1 6 j 6 p ete P Nm. Pour v P N, on note Wvpnq le Av-module libre ayant pour base les we

j pour 1 6 j 6 p et |e| “ n.(On remarquera que Wvpnq “ W0pnq bA0 Av.) Pour n > v, on considère le sous-Av-module Rvpnq Ñ Wvpnqengendré par les éléments de la forme

pÿ

j“1

ÿ

|r|“v

c jrpPq ¨ wr`s

j (7)

avec P P Iv et |s| “ n ´ v ; ci-dessus, on a noté c jrpPq la classe de C j

rpPq P Fv dans le quotient Av “ Fv{Iv.Lorsque 0 6 n 6 v ´ 1, on prendra pour Rvpnq l’image du morphisme canonique Rnpnq bAn Av // Wvpnq.

Il sera utile d’introduire la Av-algèbre graduée Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms. En e↵et, on peut munir Wv “ ÀnPNWvpnq

d’une structure de Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module libre de rang p en posant zs ¨ wej “ we`s

j . On a alors ze ¨ w0j “ we

j

et pw01, ¨ ¨ ¨ ,w0

pq est une base du Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module Wv. Remarquons aussi que c jr`tpBtPq “ c j

rpPq pourtout t P Nm de sorte que si on multiplie par zt le vecteur (7) pour P on obtient le vecteur (7) pour BtP.Il s’ensuit les deux propriétés suivantes. D’une part, Rv “ À

nPN Rvpnq est un sous-Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-modulegradué de Wv et il est engendré par ses éléments homogènes de degré au plus v, i.e., par Rvp0q ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Rvpvq.(Ici, le point qui demande vérification est l’inclusion z j ¨ Rvpv ´ 1q Ñ Rvpvq pour tout 1 6 j 6 m et v > 1.)

10 JOSEPH AYOUB

D’autre part, si v1 > v, l’isomorphisme canonique Wv bAv Av1 » Wv1 envoie Rv dans Rv1 . On en déduit doncdes morphismes de Av1rz1, ¨ ¨ ¨ , zms-modules gradués Rv bAv Av1 // Rv1 . ⇤

On note le fait suivant qui sera utile plus tard.Proposition 1.29. — Pour tout v P N, il existe un isomorphisme canonique :

⌦Av´1pAvq » Wvpvq{Rvpvq. (8)

Cet isomorphisme envoie dAv{Av´1pBrx j ` Ivq sur wrj ` Rvpvq pour tout 1 6 j 6 p et |r| “ v. (Ici encore, on

convient que A´1 “ S .)Démonstration. — En e↵et, d’après la Remarque 1.27 et modulo les identifications wr

j “ dvpBrx jq, on a

Wvpvq{Rvpvq » ⌦Fv´1pFvq{pIv ¨⌦Fv´1pFvq ` ∞PPIv

Fv ¨ dvpPqq» ⌦Av´1pBvq{pJv ¨⌦Av´1pBvq ` ∞

PPJvBv ¨ dBv{Av´1pPqq

où Bv “ Fv{Iv´1Fv et Jv “ Iv{Iv´1Fv. Puisque Av “ Bv{Jv, le Av-module dans la seconde ligne ci-dessuss’identifie à ⌦Av´1pAvq. ⌅Lemme 1.30. — Il existe un entier v P N et un élément f P Av r t0u tels que les conditions suivantes sontsatisfaites.

(i) Pour tout n P N, le sous-Avr f ´1s-module Rvpnqr f ´1s est un facteur direct du Avr f ´1s-module libreWvpnqr f ´1s. En particulier, c’est un Avr f ´1s-module projectif.

(ii) Pour tout v1 > v, le morphisme canonique

Rvr f ´1s bAv Av1 // Rv1r f ´1sest un isomorphisme de Av1r f ´1srz1, ¨ ¨ ¨ , zms-modules gradués.

Démonstration. — Considérons le Arz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module gradué W “ W0 bA0 A et son sous-Arz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module gradué R Ñ W donné par l’union croissante des images des morphismes canoniques Rv bAv A // W(pour v P N). Puisque FracpAqrz1, . . . , zms est noethérien, le FracpAqrz1, . . . , zms-module R bA FracpAq estnécessairement de type fini. On peut donc trouver v P N tel que le FracpAqrz1, . . . , zms-module R bA FracpAqest engendré par l’image de Rv. Il s’ensuit alors que pour tout v1 > v, le morphisme canonique de Av1-modules Rv bAv Av1 // Rv1 induit un isomorphisme après extension des scalaires à FracpAv1q. Autrement dit,on a un isomorphisme :

pRv bAv Av1q bAv1 FracpAv1q » Rv1 bAv1 FracpAv1q. (9)Fixons v P N comme ci-dessus. Choisissons un sous-Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module de type fini Rv Ñ Rv tel que

R´v bAv FracpAvq “ Rv bAv FracpAvq. (10)

(Un tel sous-module existe puisque FracpAvqrz1, ¨ ¨ ¨ , zms est un anneau noethérien ce qui entraîne que lesous-FracpAvqrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module Rv bAv FracpAvq Ñ Wv bAv FracpAvq est de type fini.) D’après [26, Co-rollaire 11.3.3] appliqué à la Av-algèbre Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms et le Avrz1, ¨ ¨ ¨ , zms-module de présentation finieWv{Rv , le sous-ensemble des p P SpecpAvq tels que pWv{Rv qp est plat sur pAvqp est ouvert. De plus, cetensemble est non vide car il contient le point générique. (En e↵et, puisque Av est intègre, son anneau localau point générique est un corps.) Ainsi, il existe f P Av r t0u tel que Wv{Rv r f ´1s est plat sur Avr f ´1s. Il enest de même des facteurs directs Wvpnq{Rv pnqr f ´1s pour tout n P N. Or, les Wvpnq{Rv pnqr f ´1s sont ausside présentation finie sur Avr f ´1s. Ce sont donc des Avr f ´1s-modules projectifs. Il s’ensuit que Rv pnqr f ´1sest un facteur direct de Wvpnqr f ´1s.

Nous montrerons (i) et (ii) en vérifiant que pour tout v1 > v, le morphisme Rv r f ´1s bAv Av1 // Rv1r f ´1sest un isomorphisme. Considérons pour cela le carré commutatif :

Rv r f ´1s bAv Av1 //

✏✏

Rv1r f ´1s✏✏

Wvr f ´1s bAv Av1„// Wv1r f ´1s.


Les flèches verticales sont injectives : c’est vrai par définition pour la flèche verticale de droite et c’estvrai pour la flèche verticale de gauche puisque les Rv pnqr f ´1s sont des facteurs directs des Wvpnqr f ´1s. Ils’ensuit que le morphisme Rv r f ´1s bAv Av1 // Rv1r f ´1s est injectif. Pour montrer que ce morphisme estsurjectif, il su�t de montrer que le morphisme

Wv{R´v r f ´1s bAv Av1 // Wv1{Rv1r f ´1s

est injectif. Puisque Av1 est intègre et que les Wvpnq{Rv pnqr f ´1s sont projectifs (et donc sans torsion), il su�tde vérifier cela après extension des scalaires au corps des fractions de Av1 . On utilise alors les isomorphismes(9) et (10) pour conclure. ⌅Démonstration du Théorème 1.20. — Soient v P N et f P Av vérifiant les conclusions du Lemme 1.30D’après le Lemme 1.31 ci-dessus, la propriété (a) est satisfaite quitte à remplacer f par un multiple conve-nable. Pour la propriété (b), fixons un entier n > v. Notre objectif est de montrer que An`1r f ´1s est iso-morphe à l’algèbre symétrique d’un Anr f ´1s-module projectif de type fini.

On note I1n`1 Ñ Fn`1 l’idéal engendré par In et les BP pour B P � et P P In. Clairement, on a I1

n`1 Ñ In`1.On introduit aussi les notations suivantes :

B “ Fn`1{InFn`1, J “ In`1{InFn`1, J1 “ I1n`1{InFn`1 et L “ FracpAnq.

(Avec ces notations on a An`1 » B{J.) On montrera les deux propriétés suivantes.(1) La Anr f ´1s-algèbre B{J1r f ´1s est isomorphe à l’algèbre symétrique d’un Anr f ´1s-module projectif de

type fini.(2) Les L-algèbres de type fini pB{J1q bAn L et pB{Jq bAn L ont même dimension de Krull.

Ces deux propriétés permettent de conclure. En e↵et, vu la propriété (1), il est su�sant de voir que le mor-phisme B{J1r f ´1s // // B{Jr f ´1s est inversible. Or, la propriété (1) entraîne aussi que SpecpB{J1r f ´1sq estun schéma intègre. Il su�t donc de montrer que l’immersion fermée SpecpB{Jr f ´1sq // SpecpB{J1r f ´1sqest un morphisme dominant. On peut vérifier cela après changement de base à SpecpLq. Ceci est alors im-médiat puisque les dimensions de Krull de SpecppB{Jq bAn Lq et SpecppB{J1q bAn Lq sont égales par lapropriété (2).

Pour démontrer la propriété (1), on fixe des polynômes di↵érentiels P1, ¨ ¨ ¨ , Pg P In tels que

I1n`1 “ InFn`1 `

gÿ

h“1

mÿ

i“1

pBiPhq ¨ Fn`1.

D’après la Proposition 1.26, on peut écrire

BiPh “ Ni, h `pÿ

j“1

ÿ

|r|“n

C jr, h ¨ BiBrx j (11)

avec Ni, h, Cjr, h P Fn. En réduisant modulo l’idéal InFn`1, on obtient des générateurs de l’idéal J1 Ñ B, à

savoir les :

ni, h `pÿ

j“1

ÿ

|r|“n

c jr, h ¨ pzi ¨ wr

jq. (12)

Ci-dessus, on a noté zi ¨ wrj au lieu de BiBrx j. On notera aussi ws

j au lieu de Bsx j pour 1 6 j 6 p et |s| “ n ` 1.Ainsi, Br f ´1s est l’algèbre symétrique du Anr f ´1s-module libre Wnpn ` 1qr f ´1s et les vecteurs

pÿ

j“1

ÿ

|r|“n

c jr, h ¨ pz j ¨ wr

jq (13)

(pour 1 6 i 6 m et 1 6 h 6 g) engendrent le facteur direct Rnpn ` 1qr f ´1s de Wnpn ` 1qr f ´1s. Par ailleurs, lemorphisme SpecpB{J1r f ´1sq // SpecpAnr f ´1sq est dominant puisque An // B{J1 est injectif. (En e↵et, encomposant avec B{J1 // // B{J on obtient l’inclusion évidente An ãÑ An`1.) La propriété (1) découle alorsdu Lemme 1.32 ci-dessous.

12 JOSEPH AYOUB

Il nous reste à montrer (2). D’après ce qui précède, pB{J1q bAn L est isomorphe à la L-algèbre symétriquedu L-vectoriel pWnpn ` 1q{Rnpn ` 1qq bAn L. La dimension de Krull de la L-algèbre pB{J1q bAn L est doncégale au rang du An-module projectif Wnpn ` 1q{Rnpn ` 1q.

Par ailleurs, la Proposition 1.29 fournit un isomorphisme⌦LppB{Jq bAn Lq » pWn`1pn ` 1q{Rn`1pn ` 1qq bAn L.

En particulier, le pB{Jq bAn L-module ⌦LppB{Jq bAn Lq est projectif et son rang est celui du An`1-moduleprojectif Wn`1pn`1q{Rn`1pn`1q. Puisque pB{JqbAn L est une L-algèbre réduite et de type fini, il en découlequ’elle est lisse et de dimension de Krull égale au rang du An`1-module projectif Wn`1pn ` 1q{Rn`1pn ` 1q.Ceci permet de conclure puisque Wn`1pn ` 1q{Rn`1pn ` 1q » pWnpn ` 1q{Rnpn ` 1qq bAn An`1. (On rappelleque An`1 “ B{J.) ⌅Lemme 1.31. — Soit R une Q-algèbre intègre et soit P une R-algèbre intègre, de type fini et de morphismestructural injectif. Il existe alors g P P r t0u tel que la R-algèbre Prg´1s est lisse (et en particulier deprésentation finie).Démonstration. — Puisque la R-algèbre P est de type fini, il existe une R-algèbre de présentation finieP1 est un morphisme surjectif de R-algèbres P1 // // P, de noyau I, induisant un isomorphisme sur les fibresgénériques : P1bRFracpRq » PbRFracpRq. En particulier, on a IbRFracpRq “ 0, i.e., tout élément de I est detorsion sur R. Le lieu de lissité du morphisme SpecpP1q // SpecpRq est un ouvert de SpecpP1q qui rencontrele sous-schéma fermé SpecpPq Ñ SpecpP1q. (En e↵et, puisque FracpRq est un corps de carcatéristique nulle,le lieu de lissité du FracpRq-schéma SpecpP bR FracpRqq est non vide.) On peut donc trouver g1 P P1,d’image non nulle g P P, tel que la R-algèbre P1rg1´1s est lisse. On a�rme que P1rg1´1s // Prg´1s est unisomorphisme, ce qui terminera la preuve du lemme. Pour vérifier cela, il su�t de montrer que l’image de Idans P1rg1´1s est nulle. Ceci découle du fait que tout élément de I est de torsion sur R alors que la R-algèbreP1rg1´1s est plate. ⌅Lemme 1.32. — Soient R un anneau intègre et M un R-module projectif de type fini. On suppose donnés

des vecteurs v1, ¨ ¨ ¨ , vn P M, engendrant un facteur direct N Ñ M, et des éléments r1, ¨ ¨ ¨ , rn P R. On noteP “ RrMs{pv1 ´ r1, ¨ ¨ ¨ , vn ´ rnq. Alors, l’une des deux alternatives ci-dessous est satisfaite :

(i) SpecpPq // SpecpRq n’est pas dominant ;(ii) P est isomorphe à RrM{Ns.

Démonstration. — Supposons qu’il existe des éléments a1, ¨ ¨ ¨ , an P R tels que la relation∞n

i“1 ai ¨ vi “ 0soit satisfaite alors que d “ ∞n

i“1 ai ¨ ri est non nul. Puisque d est dans R X pv1 ´ r1, ¨ ¨ ¨ , vn ´ rnq “ kertR ÑPu, l’image de SpecpPq // SpecpRq est contenue dans Zpdq “ tp P SpecpRq; d P pu. Puisque d , 0, lefermé Zpdq est strict et le SpecpPq // SpecpRq n’est pas dominant.

Supposons maintenant que∞n

i“1 ai¨vi “ 0 entraîne que∞n

i“1 ai¨ri “ 0. Alors, l’association vi ri s’étenden un morphisme R-linéaire f : N Ñ R. Notons encore f : SpecpRq // SpecpRrNsq la section associée.Clairement, on a SpecpPq “ SpecpRrMsq ˆSpecpRrNsq, f SpecpAq. Or, N est un facteur direct de M. Le choixd’une décomposition M » L‘ N fournit un isomorphisme SpecpRrMsq » SpecpRrLsqˆSpecpRq SpecpRrMsq.L’associativité du produit fibré fournit l’isomorphisme SpecpPq » SpecpRrLsq recherché. ⌅Remarque 1.33. — L’hypothèse que S est radicalement noethérienne n’intervient que dans la réduction

au cas où A est intègre (cf. le Corollaire 1.24). Ainsi, la conclusion du Théorème 1.20 reste valable pourune pQ,�q-algèbre S générale quitte à supposer que la pS ,�q-algèbre réduite et de type fini A possède unnombre fini d’idéaux premiers minimaux (ce qui est su�sant pour l’argument utilisé dans la preuve duLemme 1.23). ⇤

1.3. Propriété de finitude pour les algèbres de constantes. —L’objectif de ce paragraphe est d’établir des propriétés de finitude pour les algèbres de constantes. Pour

ce faire, nous aurons besoin de quelques résultats préliminaires.Rappelons que pour un �-anneau A, on note A�“0 le sous-anneau des constantes de A. De même si B P �,

on notera AB“0 le noyau de l’opérateur B : A // A ; c’est un sous-anneau de A. Le lemme classique ci-dessous et son corollaire sont incontournables lorsqu’on étudie le sous-corps des constantes d’un �-corps.


Lemme 1.34. — Soient K un �-corps et V un pK,�q-module. Supposons donnés v0, ¨ ¨ ¨ , vn P V et fixonsB P �. Alors, les vecteurs pv j, Bv j, ¨ ¨ ¨ , Bnv jq P Vn`1, pour 0 6 j 6 n, sont linéairement dépendants sur K siet seulement si les v j, pour 0 6 j 6 n, sont linéairement dépendants sur le sous-corps KB“0.Démonstration. — Une implication est claire : si les v j sont linéairement dépendants sur KB“0, alors lesvecteurs pv j, Bv j, ¨ ¨ ¨ , Bnv jq sont aussi linéairement dépendants sur KB“0 et donc aussi sur K. (On utilise quel’opérateur B est KB“0-linéaire.)

Pour la réciproque, on raisonne par récurrence sur l’entier n. Lorsque n “ 0, il n’y a rien à montrer. Onsuppose donc que n > 1 et que le résultat est connu pour n ´ 1. On fixe une relation de dépendance :

nÿ

j“0

gj ¨ pv j, Bv j, ¨ ¨ ¨ , Bnv jq “ 0 (14)

avec g0, ¨ ¨ ¨ , gn P K dont au moins un est non nul. Si les vecteurs pv j, ¨ ¨ ¨ , Bn´1v jq, pour 0 6 j 6 n ´ 1,sont linéairement dépendants sur K, l’hypothèse de récurrence permet de conclure. Si ces vecteurs sontlinéairement indépendants sur K, alors nécessairement gn , 0. En multipliant par g´1

n dans (14), on peutsupposer que gn “ 1. On a alors les relations

pRkq : ´Bkvn “n´1ÿ

j“0

gj ¨ Bkv j ppour 0 6 j 6 nq.

En appliquant l’opérateur B à pRkq et en retranchant pRk`1q, on obtient les relations

pR1kq : 0 “

n´1ÿ

j“0

pBgjq ¨ Bkv j ppour 0 6 j 6 n ´ 1q.

Puisque les vecteurs pv j, ¨ ¨ ¨ , Bn´1v jq, pour 0 6 j 6 n ´ 1, sont supposés linéairement indépendants sur K,on trouve que Bgj “ 0. Ainsi, les gj sont dans KB“0 pour tout 0 6 j 6 n. ⌅

Le résultat suivant généralise le Lemme 1.34 ; il apparaît aussi dans [36].Corollaire 1.35. — Soient K un �-corps et V un pK,�q-module. Supposons donnés v0, ¨ ¨ ¨ , vn P V.

Alors, les familles pBrv jq06r1,¨¨¨ ,rm6n P pVn`1qm, pour 0 6 j 6 n, sont linéairement indépendants sur K si etseulement si les v j, pour 0 6 j 6 n, sont linéairement indépendants sur le sous-corps des constantes K�“0.Démonstration. — On raisonne par récurrence sur le cardinal de � “ tB1, ¨ ¨ ¨ , Bmu. Lorsque m “ 1, ils’agit du Lemme 1.34. Supposons que le résultat est connu pour les �1-corps (avec �1 “ tB1, ¨ ¨ ¨ , Bm´1u).En l’appliquant aux n ` 1 vecteurs pv j, Bmv j, ¨ ¨ ¨ , Bn

mv jq du pK,�1q-module Vn`1, on trouve qu’ils sont li-néairement dépendants sur le sous-corps K�1“0. En considérant V comme un pK�1“0, tBmuq-module et enappliquant le Lemme 1.34, on obtient le résultat recherché. ⌅

Le résultat suivant est également tiré de [36].Proposition 1.36. — Soient K un �-corps et A une pK,�q-algèbre. Alors, le morphisme évident

K bK�“0 A�“0 // A (15)

est injectif.Démonstration. — On raisonne par l’absurde. On se donne un élément non nul f P K bK�“0 A�“0 appar-tenant au noyau de (15). On peut écrire f “ ∞

↵PI x↵ b c↵ avec I est un ensemble fini, c↵ P A� r t0u etx↵ P K r t0u linéairement indépendants sur K�. Dire que f est dans le noyau de (15) équivaut à dire que∞

↵PI c↵ ¨ x↵ “ 0. En dérivant, on obtient que∞

↵PI c↵ ¨ Brx↵ “ 0 pour tout r P Nm. Il s’ensuit que les famillespBrx↵qrPNm , pour ↵ P I, sont linéairement dépendants sur A. Elles sont aussi linéairement dépendants sur Kpuisqu’elles proviennent par extension des scalaires du K-vectoriel KNm . Le Corollaire 1.35 entraîne que lesx↵, pour ↵ P I, sont linéairement dépendants sur K�“0, ce qui est contraire à notre hypothèse de départ. ⌅Corollaire 1.37. — Soit K un �-corps et notons C son corps des constantes. Soit E une C-algèbre et

munissons K bC E de l’action de � donnée par Bpx b eq “ Bpxq b e pour tout B P �, x P K et e P E. Alors,nous avons un isomorphisme canonique E » pK bC Eq�“0.

14 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Le morphisme E // K bC E est injectif et permet d’identifier E à une sous-C-algèbrede K bC E. On a clairement E Ñ pK bC Eq�“0 et le triangle :

K bC E // K bC pK bC Eq�“0

✏✏

K bC E

est commutatif. La flèche horizontale est injective. Il en est de même de la flèche verticale d’après la Pro-position 1.36. Il s’ensuit que la flèche horizontale est un isomorphisme. Ceci entraîne le résultat recherchépuisque K est une C-algèbre fidèlement plate. ⌅

Corollaire 1.38. — Soient K un �-corps, et A et A1 des pK,�q-algèbres. On note C “ K�“0, Q “ A�“0

et Q1 “ A1�“0. Alors, le morphisme canonique Q bC Q1 // A bK A1 est injectif.Démonstration. — En e↵et, le morphisme qui nous intéresse est la composition de

Q bC Q1 // Q bC A1 // A bK A1.

Le premier morphisme est injectif puisqu’il s’obtient de l’inclusion Q1 ãÑ A1 par application du foncteurexact Q bC ´. Le second morphisme s’identifie au morphisme obtenu de Q bC K // A par application dufoncteur exact ´ bK A1. La Proposition 1.36 permet de conclure. ⌅

Corollaire 1.39. — Soient K un �-corps (resp. un �-corps de caractéristique nulle), L{K une �-extension et A une pK,�q-algèbre. On note C “ K�“0, D “ L�“0 et on fixe une sous-C-algèbre Q Ñ A�“0.Si la Q-algèbre A est plate (resp. régulière), il en est de même de la D bC Q-algèbre L bK A.Démonstration. — D’après la Proposition 1.36, le morphisme canonique DbC K // L est injectif. PuisqueL est un corps (resp. un corps de caractéristique nulle) ce morphisme est même plat (resp. régulier). Ils’ensuit que

D bC A » pD bC Kq bK A // L bK A

est aussi plat (resp. régulier). Si A est une Q-algèbre plate (resp. régulière), le morphisme DbC Q // DbC Aest alors plat (resp. régulier). D’après ce qui précède, on déduit que le morphisme D bC Q // L bK A estaussi plat (resp. régulier). ⌅

Le résultat suivant est également bien connu.Lemme 1.40. — Soit A une pQ,�q-algèbre intègre. Alors le sous-anneau A�“0 est algébriquement clos

dans A. Autrement dit, si a P A est zéro d’un polynôme unitaire à coe�cients dans A�“0, alors a P A�“0.Démonstration. — On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe a P A r A�“0 algébrique sur A.On fixe un polynôme unitaire P P A�“0rts tel que Ppaq “ 0 et on suppose que son degré est minimal. Onobtiendra une contradiction en construisant un polynôme unitaire de degré moindre et annulant a. Puisque an’est pas une constante, il existe B P � tel que Bpaq , 0. En appliquant l’opérateur B à la relation Ppaq “ 0,on obtient que Bpaq ¨ P1paq “ 0. Puisque A est intègre, ceci entraîne que P1paq “ 0. Par ailleurs, P1 est unpolynôme à coe�cient dominant degpPq. Puisque A�“0 est une Q-algèbre, ceci permet de conclure. ⌅

Le résultat suivant sera utile dans la suite. Sa preuve repose sur la Proposition 1.36 et le Lemme 1.40. Ilest aussi certainement bien connu.Proposition 1.41. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et notons C “ K�“0 son corps des

constantes. Soit C1{C une extension de C. Alors, K bC C1 est une pK,�q-algèbre intègre. De plus, en posantK1 “ FracpK bC C1q, nous avons une identification canonique C1 “ pK1q�“0.Démonstration. — L’anneau K bC C1 est naturellement une pK,�q-algèbre en posant Bpx b c1q “ Bpxq b c1pour tout x P K, c1 P C1 et B P �. Puisque C est algébriquement clos dans K (cf. le Lemme 1.40) l’anneauK bC C1 est intègre. On peut donc passer au corps des fractions pour obtenir le �-corps K1.

Notons D “ pK1q�“0 ; c’est un sous-corps de K1 contenant C1. D’après la Proposition 1.36, le morphismecanonique K bC D // K1 est injectif. (Il s’ensuit en particulier que K bC D est intègre, mais on aurait pu


aussi utiliser le Lemme 1.40.) Puisque C1 Ñ D, on a nécessairement FracpK bC Dq » K1. Autrement dit,l’inclusion C1 ãÑ D induit un isomorphisme :

FracpK bC Dq » FracpK bC C1q.Nous a�rmons que ceci entraîne que C1 “ D. En e↵et, puisque le degré de transcendance de l’extensionD{C1 est égal à celui de FracpKbC Dq{FracpKbCC1q, nous pouvons déjà déduire que D{C1 est une extensionalgébrique. Ainsi, pour montrer que C1 “ D, il su�t de montrer que C1 est algébriquement clos dans KbCC1.Ceci est une conséquence du Lemme 1.40. ⌅Corollaire 1.42. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension engendrée parune famille de constantes pliqiPI . Alors, l’extension L�“0{K�“0 est aussi engendrée par la famille pliqiPI .Démonstration. — Notons C “ K�“0 et soit D “ Cpli; i P Iq Ñ L le sous-C-corps engendré par les li.Clairement, nous avons D Ñ L�“0. D’après la Proposition 1.36, le morphisme canonique K bC D // Lest injectif. Puisque les li engendrent la �-extension L{K, nous déduisons que FracpK bC Dq “ L. LaProposition 1.41 entraîne maintenant que L�“0 “ D. ⌅

Le résultat ci-dessous ne servira pas tout de suite, mais il sera utile plus tard.Corollaire 1.43. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et notons C “ K�“0. Soit D{C une

extension. Alors, l’association L L�“0 induit une bijection entre l’ensemble des sous-�-extensions deFracpK bC Dq{K et celui des sous-extensions de D{C. De plus, si L Ñ FracpK bC Dq est un sous-�-corpscontenant K, alors on a FracpK bC L�“0q » L.Démonstration. — Soit L Ñ FracpK bC Dq un sous-�-corps contenant K. Nous montrerons que l’inclusionFracpK bC L�“0q ãÑ L est un isomorphisme. Ceci terminera la preuve du corollaire.

On note E “ L�“0 et L0 “ FracpK bC Eq. Ainsi, L0 est un sous-�-corps de L et on a L�“00 “ L�“0 “ E.

D’après la Proposition 1.41, on a FracpK bC Dq “ D. Ainsi, la Proposition 1.36, appliquée à FracpK bC Dqvu comme une �-algèbre sur L0 et L, entraîne que les morphismes canoniques

L0 bE D // FracpK bC Dq et L bE D // FracpK bC Dqsont injectifs. En passant aux corps des fractions, on obtient des morphismes de �-corps :

FracpL0 bE Dq // FracpK bC Dq et FracpL bE Dq // FracpK bC Dq.Ces morphismes sont clairement surjectifs ; ce sont donc des isomorphismes. En particulier, on peut déduireque l’inclusion L0 ãÑ L induit un isomorphisme FracpL0 bE Dq » FracpL bE Dq. Ceci n’est possible que siL0 “ L. ⌅

Nous avons à présent su�samment d’outils pour entreprendre l’objectif que nous nous sommes fixés dansce paragraphe, à savoir, l’étude des propriétés de finitude pour les algèbres de constantes. Notre premierrésultat dans cette direction est le suivant. Sa preuve repose sur le théorème de la base de Ritt (i.e., leCorollaire 1.14).Théorème 1.44. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et A une pK,�q-algèbre intègre et de

type fini. Alors, FracpAq�“0 est une extension de type fini de K�“0.Démonstration. — Notons L “ FracpAq, D “ L�“0 et C “ K�“0. Pour montrer que l’extension D{C est detype fini, il su�t de montrer que toute suite croissante de sous-extensions est stationnaire. Soit

C Ñ D0 Ñ D1 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ Dn Ñ Dn`1 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ D (16)une telle suite. La pL,�q-algèbre L bK A est de type fini. Elle est donc radicalement noethérienne d’après leCorollaire 1.14. Il en est de même de la pL,�q-algèbre LbK L puisqu’elle s’obtient de LbK A par localisation(cf. la Remarque 1.16). Il s’ensuit que toute suite croissante de �-idéaux parfaits de L bK L est stationnaire.Nous utiliserons cette propriété pour montrer que la suite (16) est stationnaire.

D’après les Corollaires 1.38 et 1.39, le morphisme canoniqueD bC D // L bK L (17)

est injectif et régulier. Dans la suite, on identifiera D bC D à une sous-algèbre de L bK L. En fait, on a mêmeD bC D Ñ pL bK Lq�“0.

16 JOSEPH AYOUB

Pour tout n P N, on note In Ñ D bC D le noyau du morphisme canonique D bC D // // D bDn D et onpose Jn “ In ¨ pL bK Lq. Puisque l’algèbre D bDn D est réduite (Dn étant de caractéristique nulle), l’idéal Inest parfait. Puisque L bK L est une D bC D-algèbre régulière, il en est de même de l’idéal Jn. Par ailleurs,puisque D bC D est contenue dans le sous-anneau des constantes de L bK L, on déduit que Jn est aussi un�-idéal. Ainsi, nous avons construit une suite croissante pJnqnPN de �-idéaux parfaits dans la pQ,�q-algèbreradicalement noethérienne L bK L. Il existe donc un entier v P N tel que Jn “ Jv pour tout n > v. Pourterminer la preuve, il reste à montrer que ceci entraîne que In “ Iv. (En e↵et, DbDv D // DbDn D sera doncinversible ce qui forcera l’égalité Dv “ Dn.) Pour cela, il su�t de savoir que I “ pI ¨ pL bK Lqq X pD bC Dqpour tout idéal I Ñ L bK L. Une telle propriété est une conséquence de la fidèle platitude. Ainsi, dans lereste de la preuve, nous allons montrer que L bK L est une D bC D-algèbre fidèlement plate.

Notons L0 “ FracpK bC Dq. D’après la Proposition 1.36, le morphisme K bC D // L est injectif. Cecipermet de définir un morphisme L0 ãÑ L. Clairement L0 bK L0 // L bK L est fidèlement plat. Il su�t doncde montrer que D bC D // L0 bK L0 est fidèlement plat. La platitude de ce morphisme est claire. (En e↵et,le but s’identifie à une localisation de K bC pDbC Dq). Il reste donc à montrer que le morphisme de schémasSpecpL0 bK L0q // SpecpD bC Dq est surjectif. Un point de SpecpD bC Dq correspond à une extensionU{C et à deux morphismes u1, u2 : D // U de C-algèbres. Notons V “ FracpK bC Uq. Les morphismesu1 et u2 induisent alors des morphismes canoniques v1, v2 : L0 // V de K-algèbres. Ceci permet de définirun point de SpecpL0 bK L0q. C’est l’antécédent recherché. ⌅

En utilisant le théorème de l’involutivité générique de Malgrange (i.e., le Théorème 1.20) on peut préciserle Théorème 1.44 de la manière suivante.Théorème 1.45. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et A une pK,�q-algèbre réduite et de

type fini. Notons C “ K�“0 le sous-corps des constantes de K. Il existe alors un élément f P A qui n’estpas un diviseur de zéro et tel que les conditions suivantes sont satisfaites.

(a) La C-algèbre B “ pAr f ´1sq�“0 est de type fini, et la B-algèbre Ar f ´1s est régulière et fidèlement plate.De plus, le morphisme SpecpAr f ´1sq // SpecpBq est ouvert.

(b) Pour tout g P A, il existe h P B tel que la C-algèbre pArp f ghq´1sq�“0 est isomorphe à Brh´1s.(c) L’inclusion FracpBq ãÑ FracpAq�“0 est une bijection.

Démonstration. — Vu le Lemme 1.23, on ne restreint pas la généralité en supposant que l’anneau A estintègre. Le Théorème 1.44 entraîne alors que l’extension FracpAq�“0{C est de type fini. Il existe donc unélément f0 P A r t0u tel que Ar f ´1

0 s contient des générateurs de cette extension. Ainsi, on peut trouver unesous-C-algèbre de type fini B0 Ñ pAr f ´1

0 sq�“0 telle que FracpB0q “ FracpAq�“0.Par ailleurs, soit A0 Ñ A une sous-K-algèbre de type fini qui engendre la pK,�q-algèbre A, i.e., A “înPN An avec An Ñ A la sous-K-algèbre engendrée par les Bra avec a P A0 et |r| 6 n. D’après le Théorème

1.20, il existe v P N et f1 P Av r t0u tels que, pour n > v, An`1r f ´11 s est l’algèbre symétrique d’un Anr f ´1

1 s-module projectif de type fini. Quitte à remplacer v par un entier plus grand et f1 par un multiple non nul, onpeut supposer que f1 est un multiple de f0 et que Avr f ´1

1 s contient B0.D’après la Proposition 1.36, le morphisme canonique K bC B0 // Avr f ´1

1 s est injectif. Or, K bC B0

et Avr f ´11 s sont des K-algèbres de type fini. On peut donc trouver un multiple f2 P Av r t0u de f1 tel que

Avr f ´12 s est une KbC B0-algèbre lisse. (Pour trouver un tel f2, on applique [27, Corollaire 17.15.13] à la fibre

générique du morphisme dominant et de type fini SpecpAvr f ´11 sq // SpecpKbC B0q et on utilise ensuite [27,

Proposition 17.7.11] et [26, Corollaire 11.1.5].) On peut aussi trouver b0 P KbC B0 tel que la pKbC B0qrb´10 s-

algèbre lisse Avrpb0 ¨ f2q´1s est fidèlement plate. (Rappelons qu’en présence de la propriété de lissité, cecisignifie simplement que le morphisme SpecpAvrpb0¨ f2q´1sq // SpecppKbC B0qrb´1

0 sq est surjectif.) D’aprèsle Lemme 1.48 ci-dessous, on peut trouver b1 P B0 r t0u tel que la B0rb´1

1 s-algèbre pK bC B0qrpb0 ¨ b1q´1sest fidèlement plate. On pose B “ B0rb´1

1 s et f “ b0 ¨ b1 ¨ f2. Avec ces choix, la B-algèbre Avr f ´1s estrégulière et fidèlement plate. Puisque les Avr f ´1s-algèbres Anr f ´1s sont lisses et fidèlement plates (d’aprèsle Théorème 1.20), il découle aussi que la B-algèbre Ar f ´1s est régulière et fidèlement plate. En fait, leraisonnement ci-dessus montre aussi que le morphisme SpecpAr f ´1sq // SpecpBq est ouvert.


Notons B1 “ pAr f ´1sq�“0. C’est une sous-B-algèbre de la B-algèbre fidèlement plate Ar f ´1s. Par ailleurs,on a FracpBq Ñ FracpB1q Ñ FracpAq�“0 ce qui force l’égalité FracpBq “ FracpB1q. Le Corollaire 1.47entraîne donc que B “ B1. Les points (a) et (c) sont démontrés. Il reste à vérifier le point (b). Puisquele morphisme SpecpAr f ´1sq // SpecpBq est ouvert on peut trouver h P B r t0u tel que le morphismeSpecpArp f ghq´1sq // SpecpBrh´1sq est surjectif. Le raisonnement précédent, basé sur le Corollaire 1.47,permet encore une fois de montrer que Brh´1s “ pArp f ghq´1sq�“0. ⌅Lemme 1.46. — Soient R un anneau et S Ñ R un sous-anneau. Donnons nous un élément f P S qui n’estpas un diviseur de zéro, et notons T “ S r f ´1s et Q “ Rr f ´1s. Si la S -algèbre R est fidèlement plate, alorsS » F ˆQ R.Démonstration. — Remarquons d’abord que f n’est pas un diviseur de zéro dans R. En e↵et, le morphismef : R // R est injectif puisqu’il s’obtient de f : S // S par application du foncteur exact R bS ´. Ainsi,S r f ´1s et R s’identifient à des sous-anneaux de Q de sorte que F ˆQ R est simplement l’intersection F X Rdans Q.

Nous démontrons d’abord le lemme en supposant que l’inclusion S ãÑ R admet une rétraction r :R // // S . Donnons nous un élément a P F X R. Il existe alors n P N et g P S tels que f n ¨ a “ g. Puisquef , g et a sont des éléments de R, on peut leur appliquer la rétraction r pour obtenir la relation f n ¨ rpaq “ g.Il s’ensuit que f n ¨ pa ´ rpaqq “ 0. Puisque f n n’est pas un diviseur de zéro dans R, on obtient la relationa “ rpaq. Ceci démontre que a P S .

Traitons maintenant le cas général. Puisque R est une S -algèbre fidèlement plate, il su�t de montrer quele morphisme S // F ˆQ R est inversible après application du foncteur exact R bS ´. Le morphisme quenous obtenons ainsi s’identifie à

R // Rr f ´1s ˆRbS Rrp1b f q´1s pR bS Rq.Autrement dit, il su�t de montrer le lemme pour le sous-anneau R “ 1 bS R ãÑ R bS R et son élément1 b f . Or, la multiplication R bS R // // R est une rétraction à l’inclusion R ãÑ R bS R. Nous nous sommesdonc ramenés au cas considéré ci-dessus. ⌅Corollaire 1.47. — Soient R un anneau intègre et S Ñ S 1 Ñ R des sous-anneaux. On suppose que la

S -algèbre R est fidèlement plate et que FracpS q “ FracpS 1q. Alors, S “ S 1.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que S 1 est une S -algèbre de type fini.L’égalité FracpS q “ FracpS 1q entraîne alors l’existence d’un élément f P S r t0u tel que S r f ´1s “ S 1r f ´1s.Il s’ensuit que S 1 Ñ S r f ´1s X R, l’intersection étant prise dans Rr f ´1s. Or, le Lemme 1.46 a�rme queS “ S r f ´1s X R. Ceci permet de conclure. ⌅Lemme 1.48. — Soient C un corps, R une C-algèbre et D{C une extension. Alors, SpecpDbCRq // SpecpRqest un morphisme ouvert.Démonstration. — Par un argument de passage à la limite, on se ramène au cas où l’extension D{C estde type fini. On peut alors supposer que D “ FracpPq avec P une C-algèbre intègre et de type fini. Lemorphisme de schémas qui nous intéresse se factorise de la manière suivante :

SpecpD bC Rq u// SpecpP bC Rq v

// SpecpRq.Soit U Ñ SpecpD bC Rq un ouvert Zariski. Topologiquement parlant, le morphisme u est l’inclusion d’unepartie de SpecpR bC Rq munie de la topologie induite. Il existe alors un ouvert V Ñ SpecpP bC Rq tel queU “ u´1pVq. Or, si p P SpecpRq, le morphisme up : SpecpDbCppqq // SpecpPbCppqq est d’image dense.(Rappelons que ppq “ FracpR{pq.) Ainsi SpecpP bC ppqq rencontre V si et seulement si SpecpD bC ppqqrencontre U. Il s’ensuit que vpVq “ v ˝ upUq. Puisque le morphisme v est plat et de présentation finie, lapartie vpVq est ouverte dans SpecpRq. Le lemme est démontré. ⌅

2. Théorie de Galois di↵érentielle classique

Le but de cette section est de présenter la théorie de Galois di↵érentielle de Kolchin (et de Picard-Vessiot)sous une forme qui sera mieux adaptée pour les besoins de ce mémoire. Les résultats de cette section

18 JOSEPH AYOUB

ne sont pas vraiment nouveaux. En l’occurrence, notre présentation est très proche de celle de [37, 38] :la théorie de Galois di↵érentielle sera obtenue en analysant la « création » de nouvelles constantes dansdes produits tensoriels d’extensions de �-corps. Toutefois, nous nous sommes e↵orcés de considérer lesextensions arbitraires de �-corps – contrairement à [37] où seulement les �-extensions fortement normalessont considérées – ce qui nous a permis de dégager la notion de « noyau totalement décomposable » quisera importante pour la théorie de Galois di↵érentielle supérieure développée dans les sections ? ? et ? ?.

2.1. Décomposition maximale, I. Définition et sorites. —Nous introduisons maintenant la notion de décomposition maximale qui jouera un rôle fondamental dans

notre présentation de la théorie de Galois di↵érentielle. Nous sommes surtout intéressés par la décom-position maximale des �-extensions, mais il sera plus commode de considérer aussi des �-algèbres plusgénérales. Dans ce paragraphe nous regroupons quelques sorites relatifs à la notions de décompositionmaximale ; des résultats plus importants seront donnés au paragraphe suivant.Définition 2.1. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre réduite possédantun nombre fini de �-idéaux premiers minimaux. Nous dirons qu’une �-extension L{K décompose maxima-lement la pK,�q-algèbre A si la condition suivante est satisfaite. Pour toute �-extension L1{L, le morphismecanonique

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Aq�“0q // FracpL1 bK Aq�“0 (18)est inversible. (Si A n’est pas nécessairement réduite mais possède un nombre fini de �-idéaux premiersminimaux, nous dirons que L{K décompose maximalement A si elle décompose maximalement Ared.)Remarque 2.2. — Gardons les notations et les hypothèses de la Définition 2.1 et supposons que A est

réduite. Le morphisme A // FracpAq est injectif et plat. Il en est de même de L bK A // L bK FracpAq quipréserve donc les non diviseurs de zéro et induit un morphisme injectif

FracpL bK Aq // FracpL bK FracpAqq. (19)

Or, le morphisme (19) est une localisation de FracpL bK Aq, et dans FracpL bK Aq r t0u tout élément estsoit inversible, soit un diviseur de zéro. Ceci montre que (19) est un isomorphisme.

Le raisonnement précédent étant valable pour toute �-extension L{K, on en déduit que la �-extensionL{K décompose maximalement la pK,�q-algèbre A si et seulement si elle décompose maximalement lapK,�q-algèbre FracpAq. (Strictement parlant, nous devons utiliser que les morphismes (18) pour les pK,�q-algèbres A et FracpAq sont les mêmes modulo les identifications provenant des isomorphismes (19) pourL{K et L1{K. Ceci est une conséquence de la construction de (18) qui se fait directement sur FracpAq (voirla Construction 2.3 ci-dessous)) ⇤Construction 2.3. — L’existence du morphisme (18) n’est pas complètement évidente. Expliquons donccomment le construire. Vu que (19) est inversible, on peut remplacer A par FracpAq. Or, FracpAq est unproduit direct d’un nombre fini de �-extensions. Ainsi, il su�t de traiter la cas d’une �-extension M{K. LesCorollaires 1.38 et 1.39 entraînent que le morphisme

L1�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0 // L1 bL FracpL bK Mqest injectif et plat. En particulier, il préserve les non diviseurs de zéro. On peut donc lui appliquer Fracp´qpour obtenir le morphisme (18). Il découle aussitôt de la construction que le morphisme (18) est toujoursinjectif. ⇤Remarque 2.4. — Un cas particulier extrêmement important de la Définition 2.1 est celui d’une extensionM{K algébriquement irréductible, i.e., telle que K est algébriquement clos dans M. Dans ce cas, pourtoute �-extension L{K, la pK,�q-algèbre L bK M est intègre et FracpL bK Mq est un corps. De même,le Lemme 1.40 entraîne que K�“0 est algébriquement clos dans M�“0. Il s’ensuit que la K�“0-algèbreL�“0 bK�“0 M�“0 est intègre et que FracpL�“0 bK�“0 M�“0q est un corps. La condition que L{K décomposemaximalement M{K se traduit alors plus concrètement de la manière suivante. Pour toute �-extension L1{L,le corps des constantes de FracpL1 bK Mq est engendré (en tant que corps) par les corps des constantes deL1 et FracpL bK Mq. ⇤


Exemple 2.5. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et notons C “ K�. Soit C1 une C-algèbre(possédant un nombre fini d’idéaux premiers minimaux). Alors, la pK,�q-algèbre KbCC1 est maximalementdécomposée par la �-extension triviale K{K. Ceci est une conséquence immédiate des définitions et de laProposition 1.41. ⇤Proposition 2.6. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre possédant

un nombre fini de �-idéaux premiers minimaux. Une �-extension L{K décompose maximalement A si etseulement si elle décompose maximalement toutes les sous-pK,�q-algèbres de type fini de A.Démonstration. — Bien entendu, on ne restreint pas la généralité en supposant que la pK,�q-algèbre A estréduite.

On montre d’abord que la condition est su�sante. Supposons donc que toute sous-pK,�q-algèbre de typefini de A est maximalement décomposée par une �-extension L{K. Clairement, A est l’union filtrante de sessous-pK,�q-algèbres de type fini B Ñ A telles que q B X q est une bijection entre les idéaux premiersminimaux de A et B. (Pour que cette propriété soit satisfaite, il su�t que q X B , q1 X B si q, q1 Ñ A sontdes idéaux premiers minimaux distincts.) Si B Ñ A est une telle sous-pK,�q-algèbre, on a une injectioncanonique FracpBq ãÑ FracpAq qui est aussi un morphisme plat. Vu la construction du morphisme (18), onobtient des carrés commutatifs

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Bq�“0q //

✏✏

FracpL1 bK Bq�“0

✏✏

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Aq�“0q // FracpL1 bK Aq�“0

(20)

pour toute �-extension L1{L. Les flèches verticales dans (20) sont injectives et en passant à la colimitesuivant B Ñ A, elles induisent un isomorphisme. Or, par hypothèse, la flèche horizontale supérieure est unisomorphisme. Ceci permet de conclure.

On montre maintenant que la condition est nécessaire. On suppose donc que A est maximalement décom-posée par une �-extension L{K et on fixe une sous-pK,�q-algèbre de type fini B Ñ A. On peut trouver f P Atel que B // Ar f ´1s est encore injectif et l’association q BXq est une bijection entre les idéaux premiersminimaux de Ar f ´1s et B. Puisque la �-extension L{K décompose maximalement A, elle décompose aussimaximalement Ar f ´1s. (En e↵et, FracpAr f ´1sq est un facteur direct du produit de corps FracpAq.) On peutdonc remplacer A par Ar f ´1s et supposer que q B X q est une bijection entre les idéaux premiers mini-maux de A et B. On dispose alors du carré commutatif (20). Cette fois, c’est la flèche horizontale inférieurequi est supposée inversible et on doit prouver que la flèche horizontale supérieure est également inversible.Pour cela, on montrera que le carré (20) est cartésien. On utilise encore une fois que la flèche horizontaleinférieure dans (20) est la colimite filtrante suivant les sous-pB,�q-algèbres de type fini A1 Ñ A des flèchesanalogues associées à A1. Ceci nous permet de remplacer la pK,�q-algèbre A par une sous-pK,�q-algèbrede type fini A1 Ñ A. Or, FracpL bK A1q et FracpL bK Bq sont des produits finis d’extensions (de type fini) deL. Le résultat recherché découle maintenant du Lemme 2.7 ci-dessous. ⌅Lemme 2.7. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle, et L{K, M{K et M1{M des �-extensions. Alors,le carré

FracpL�“0 bK�“0 M�“0q //

✏✏

FracpL bK Mq�“0

✏✏

FracpL�“0 bK�“0 M1�“0q // FracpL bK M1q�“0

(21)

est cartésien.Démonstration. — Notons M0 “ FracpK bK�“0 M�“0q et M1

0 “ FracpK bK�“0 M1�“0q ; ce sont des �-corps(cf. la Proposition 1.41). Remarquons que le carré

M0//

✏✏

M

✏✏

M10

// M1

(22)

20 JOSEPH AYOUB

est cartésien. En e↵et, puisque M0 est un corps, il su�t de vérifier que le morphisme M10 bM0 M // M1

est injectif. Or, d’après la Proposition 1.36, le morphisme canonique M1�“0 bM�“0 M // M1 est injec-tif. Il s’ensuit que FracpM1�“0 bM�“0 Mq // M1 est aussi injectif. Puisque FracpM1

0 bM0 Mq s’identi-fie à FracpM1�“0 bM�“0 Mq, ceci entraîne l’injectivité du morphisme qui nous intéresse. En appliquantFracpL bK ´q au carré cartésien (22), on obtient de nouveau un carré cartésien :

FracpL bK M0q //

✏✏

FracpL bK Mq✏✏

FracpL bK M10q // FracpL bK M1q.

(23)

Pour démontrer cela, on peut supposer que l’extension L{K est de type fini. Dans ce cas, la pL,�q-algèbreFracpL bK M0q est un produit fini de corps. Il est alors su�sant de montrer que le morphisme

FracpL bK Mq bFracpLbK M0q FracpL bK M10q // FracpL bK M1q

est injectif. Ceci découle aussitôt de l’injectivité du morphisme M bM0 M10

// M1 établie ci-dessus.Le foncteur p´q�“0 préserve les carrés cartésiens. En l’appliquant au carré cartésien (23), on se ramène

à démontrer le lemme avec M et M1 remplacés par M0 et M10. Autrement dit, on peut supposer que M “

FracpK bK�“0 M�“0q et de même pour M1. Le carré (21) s’identifie alors au carré

FracpL�“0 bK�“0 M�“0q //

✏✏

FracpL bK�“0 M�“0q�“0

✏✏

FracpL�“0 bK�“0 M1�“0q // FracpL bK�“0 M1�“0q�“0.

Or, la Proposition 1.41 entraîne que les flèches horizontales dans le carré ci-dessus sont des isomorphismes.Ceci permet de conclure. ⌅

Vu la Proposition 2.6, il est légitime d’étendre la Définition 2.1 de la manière suivante.Définition 2.8. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre. Nous dirons

qu’une �-extension L{K décompose maximalement la pK,�q-algèbre A si toute sous-pK,�q-algèbre detype fini B Ñ A est maximalement décomposée par L{K au sens de la Définition 2.1.Lemme 2.9. — Gardons les hypothèses de la Définition 2.8. Si L{K est une �-extension qui décompose

maximalement une pK,�q-algèbre A, alors il en est de même de toute �-extension L1{K qui contient L{K.Démonstration. — On se ramène au cas où la pK,�q-algèbre A est de type fini. La propriété recherchée estalors une conséquence immédiate de la Définition 2.1. ⌅Proposition 2.10. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et A une pK,�q-algèbre. Alors la �-extension L{K décompose maximalement A si et seulement si elle décompose maxima-lement les �-extensions FracpA{pq{K pour tous les �-idéaux premiers minimaux p Ñ A.Démonstration. — Montrons d’abord que la condition est su�sante. Nous supposons donc que les �-extensions FracpA{pq{K sont décomposées maximalement par L{K. Fixons une pK,�q-algèbre de type finiB Ñ A et montrons qu’elle est décomposée maximalement par L{K. Il existe des idéaux premiers minimauxp1, ¨ ¨ ¨ , pn Ñ A tels que les idéaux premiers minimaux de B sont exactement les qi “ pi X B. Il s’ensuit queBred est une sous-pK,�q-algèbre de type fini de A1 “ ±n

i“1 A{pi. Notre hypothèse entraîne clairement queA1 est maximalement décomposée par L{K. D’après la Proposition 2.6, il en est de même de B.

Réciproquement, supposons que la pK,�q-algèbre A est maximalement décomposée par L{K et fixonsun idéal premier minimal p. Il s’agit de montrer que la pK,�q-algèbre intègre A0 “ A{p est maximalementdécomposée par L{K. Or, si B0 Ñ A0 est une sous-pK,�q-algèbre de type fini, il existe une sous-pK,�q-algèbre de type fini B Ñ A telle que B0 est l’image de B par le morphisme évident A // // A0. De plus, quitteà remplacer B par une sous-algèbre plus grande, on peut supposer que pX B est un idéal premier minimal deB. Il s’ensuit que FracpB0q est un facteur direct du produit fini de corps FracpBq. Notre hypothèse entraîneque B est maximalement décomposée par L{K. Il en est donc de même de FracpBq et de son facteur direct


FracpB0q. Nous avons ainsi démontré que B0 est maximalement décomposée par L{K et ceci pour toutesous-pK,�q-algèbre de type fini de A0. ⌅

Le résultat ci-dessous complémente la Proposition 2.10.

Lemme 2.11. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et M{K et L{K des �-extensions. NotonsK1 Ñ M la clôture algébrique de K dans M. Pour que L{K décompose maximalement M{K il su�t que lesdeux conditions suivantes soient satisfaites.

(a) L’extension L{K contient une clôture galoisienne de K1{K.

(b) Pour tout morphisme de K-extensions K1 ãÑ L, la �-extension M{K1 est maximalement décomposéepar la �-extension L{K1.

Démonstration. — En e↵et, en utilisant la Proposition 2.6, on peut se ramener au cas où la �-extensionM{K est de type fini. Pour toute �-extension L1{L, on a alors :

FracpL1 bK Mq “π

�:K1ãÑL

FracpL1�bK1 Mq.

Ceci permet de conclure. ⌅

Remarque 2.12. — Le Lemme 2.11 est utile puisqu’il permet de se ramener au cas géométriquementirréductible de la Remarque 2.4. ⇤

Remarque 2.13. — Ci-dessus, nous avons implicitement utilisé le fait bien connu suivant. Si K est un�-corps de caractéristique nulle et K1{K une extension algébrique, il existe une unique structure de �-corpssur K1 telle que l’inclusion K ãÑ K1 est compatible à l’action des opérateurs di↵érentiels B P �. Plus tard,nous généraliserons ce fait aux algèbres étales sur un �-anneau. ⇤

Proposition 2.14. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et A et A1 deux pK,�q-algèbres. SoitL{K est une �-extension qui décompose maximalement A et A1. Alors, elle décompose aussi maximalementA bK A1.

Démonstration. — D’après les Propositions 2.6 et 2.10, il su�t de traiter le cas où les pK,�q-algèbressont des �-extensions de type fini M{K et M1{K. Soit L1{L une �-extension. Puisque la �-extension L1{Kdécompose maximalement la pK,�q-algèbre M1{K (cf. le Lemme 2.9) et puisque FracpL1 bK Mq est unproduit de �-extensions de L1, on déduit que le morphisme canonique

FracpFracpL1 bK Mq�“0 bL1�“0 FracpL1 bK M1q�“0q // FracpL1 bK M bK M1q�“0 (24)

est inversible. En utilisant maintenant que L{K décompose maximalement M et M1, on obtient les isomor-phismes canoniques

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q » FracpL1 bK Mq�“0

et FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK M1q�“0q » FracpL1 bK M1q�“0.

En joignant ceci à l’isomorphisme (24), on obtient que le morphisme canonique

FracpL1�“0 bL�“0 pFracpL bK Mq�“0 bL�“0 FracpL bK M1q�“0qq // FracpL1 bK M bK M1q�“0 (25)

est inversible. En utilisant l’isomorphisme (24) avec L1{K remplacé par L1{K, on peut réécrire l’isomor-phisme (25) de la manière suivante :

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK M bK M1qq „// FracpL1 bK M bK M1q�“0.

Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

22 JOSEPH AYOUB

2.2. Décomposition maximale, II. Existence et noyau totalement décomposable. —Dans ce paragraphe, on continue l’étude de la notion de décomposition maximale introduite dans §2.1.

Notre prochain résultat a�rme que toute pK,�q-algèbre A est maximalement décomposée par certaines�-extensions.Théorème 2.15. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre. Alors, il existe

une �-extension L{K qui décompose maximalement A et telle que L�“0{K�“0 est une extension algébrique.Si la pK,�q-algèbre A est de type fini, on peut supposer en plus que la �-extension L{K est le corps desfractions d’une pK,�q-algèbre simple et de type fini.Remarque 2.16. — Précisons qu’une pK,�q-algèbre S est dite simple si elle est non nulle et si p0q et S

sont ses seuls �-idéaux. Si A est une pK,�q-algèbre et I Ñ A un �-idéal maximal, alors A{I est une pK,�q-algèbre simple. Si S est une pK,�q-algèbre simple et si T est une pS ,�q-algèbre telle que T bS FracpS q estune pFracpS q,�q-algèbre simple, alors T est une pK,�q-algèbre simple. ⇤

On démontre d’abord un résultat préliminaire.Proposition 2.17. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et A et B des pK,�q-algèbres de type

fini. On suppose que le morphisme

FracpFracpBq�“0 bK�“0 FracpAq�“0q // FracpB bK Aq�“0 (26)

n’est pas inversible. Il existe alors une pK,�q-algèbre simple et de type fini S telle que le morphisme (26),avec B remplacé par S , n’est pas inversible. De plus, on peut prendre pour S un quotient d’une localisationde la pK,�q-algèbre B.Démonstration. — D’après le Théorème 1.45 et quitte à inverser un non diviseur de zéro dans A, on peutsupposer que la K�“0-algèbre A�“0 est de type fini, que FracpA�“0q “ FracpAq�“0 et que le morphismeA�“0 // A est fidèlement plat (et même régulier). Ceci s’applique également à la pK,�q-algèbre B. Enutilisant encore une fois le Théorème 1.45, on peut trouver un non diviseur de zéro f P B bK A tel quela K�“0-algèbre pB bK Ar f ´1sq�“0 est de type fini, FracppB bK Ar f ´1sq�“0q “ FracpB bK Aq�“0 et lemorphisme pB bK Ar f ´1sq�“0 // B bK Ar f ´1s est fidèlement plat. Ceci dit, il découle des hypothèses del’énoncé que le morphisme injectif

B�“0 bK�“0 A�“0 // pB bK Ar f ´1sq�“0 (27)

n’est pas inversible, même génériquement, i.e., après application de Fracp´q. Puisque le morphisme (27)est injectif et de type fini, on peut remplacer f par un multiple (cf. le Théorème 1.45(b)), et supposer quece morphisme est plat.

Soit n P SpecpB�“0q un idéal maximal tel que le morphisme

pnq bK�“0 A�“0 // pnq bB�“0 pB bK Ar f ´1sq�“0, (28)

déduit par changement de base du morphisme de B�“0-algèbres (27), est injectif mais non inversible gé-nériquement. (D’après [26, Proposition 9.6.1], le sous-ensemble des idéaux premiers de B�“0 satisfaisantà ces conditions est une partie constructible de SpecpB�“0q ; elle est dense puisqu’elle contient les idéauxpremiers minimaux de B�“0. Ceci assure l’existence de n.) Soit S un quotient simple de la pK,�q-algèbreB{nB. Il s’ensuit que le morphisme

S bK�“0 A�“0 // S bB�“0 pB bK Ar f ´1sq�“0 (29)

est de présentation finie, plat, injectif mais non inversible génériquement. Or, quitte à localiser d’avantageB, le morphisme évident

S bB�“0 pB bK Ar f ´1sq�“0 // S bK Ar f ´1s (30)est nécessairement injectif. En e↵et, ce morphisme est obtenu en appliquant S bB ´ au morphisme

B bB�“0 pB bK Ar f ´1sq�“0 // B bK Ar f ´1s. (31)

Le morphisme (31) est injectif d’après la Proposition 1.36. (On utilisera les propriétés satisfaites par B,B�“0, etc, pour se ramener à vérifier l’injectivité après changement de base à FracpBq qui est alors unproduit fini de �-corps.) Or, la source de ce morphisme est une B-algèbre de présentation finie et, quitte à


remplacer f par un multiple convenable, son but est fidèlement plat sur une sous-B-algèbre de présentationfinie aussi grande qu’on veut. (On utilise ici le Théorème 1.20.) Il s’ensuit que le morphisme (31) est plat audessus d’un ouvert dense de SpecpBq. Autrement dit, quitte à localiser d’avantage B, on peut supposer que leB-morphisme (31) est plat et injectif fibre par fibre au-dessus de B (cf. [26, Proposition 9.6.1]). L’injectivitéde (30) découle aussitôt.

Il est maintenant aisé de conclure. Considérons le triangle commutatif :

S �“0 bK�“0 A�“0 //

,,

S �“0 bB�“0 pB bK Ar f ´1sq�“0

✏✏

S bB Ar f ´1s.La flèche horizontale s’obtient par changement de base suivant pnq ãÑ S �“0 du morphisme (28). Cetteflèche est donc injective mais non inversible génériquement. La flèche verticale est injective puisque lemorphisme (30) est injectif. Il s’ensuit que le morphisme S �“0 bK�“0 A�“0 // pS bB Ar f ´1sq�“0 n’est pasinversible génériquement. Or, quitte à inverser un élément non nul de S , on peut supposer que S �“0 “FracpS q�“0. On obtient alors que le morphisme

FracpS q�“0 bK�“0 FracpAq�“0 // FracpS bB Aq�“0

n’est pas inversible génériquement. La proposition est démontrée. ⌅Démonstration du Théorème 2.15. — Supposons d’abord que la pK,�q-algèbre A est de type fini. Nousallons montrer qu’il existe une pK,�q-algèbre simple et de type fini S telle que la �-extension FracpS q{Kdécompose maximalement A. On procède par l’absurde en supposant que, pour toute pK,�q-algèbre simpleS , on peut trouver une pS ,�q-algèbre intègre et de type fini T telle que le morphisme

FracpFracpT q�“0 bFracpS q�“0 FracpS bK Aq�“0q // FracpT bK Aq�“0

n’est pas inversible. En appliquant la Proposition 2.17, on peut supposer que T bS FracpS q est simple.Puisque S est simple, ceci entraîne que T est aussi simple.

Ainsi, on peut construire une chaîne croissante de pK,�q-algèbres simples et de type fini :

S 0 Ñ S 1 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ S n Ñ S n`1 Ñ ¨ ¨ ¨ (32)

telle que les morphismes

FracpS n`1q�“0 bFracpS nq�“0 FracpS n bK Aq�“0 // FracpS n`1 bK Aq�“0 (33)

sont des inclusions strictes pour tout n P N. On note Ln “ FracpS nq, S “ înPN S n et L “ FracpS q. On pose

Dn “ L�“0 bL�“0n

FracpLn bK Aq�“0.

Les morphismes (33) fournissent alors une chaîne d’inclusions strictes de L�“0-algèbres :

D0 ( D1 ( ¨ ¨ ¨ ( Dn ( Dn`1 ( ¨ ¨ ¨ . (34)

L’union des ces L�“0-algèbres n’est autre que la L�“0-algèbre D “ FracpL bK Aq�“0 qui est un produit finid’extensions de type fini de L. Ceci entraîne que le chaîne (34) est nécessairement stationnaire. C’est lacontradiction recherchée.

Supposons maintenant que A est une pK,�q-algèbre quelconque. Il existe une famille pS ↵q↵PI de pK,�q-algèbres simples de type fini telle que pour toute sous-pK,�q-algèbre de type fini A0 Ñ A, il existe ↵0 P Itel que A0 est maximalement décomposée par FracpS ↵0q{K. Il su�t alors de trouver une �-extension L{Kcontenant tous les S ↵ et telle que L�“0{K�“0 est une extension algébrique. Une façon de procéder est demunir l’ensemble I d’un bon ordre et de construire une famille de �-extensions pL↵{Kq↵PI par inductiontransfinie de la manière suivante. Si ↵ P I est limite, on pose L↵ “ î

�†↵ L�. Si ↵ “ �` 1, on prend pour L↵le corps des fractions d’un quotient simple de la pL�,�q-algèbre de type fini L� bK S ↵. (Voir [50, Theorem1] pour un argument similaire.) ⌅

24 JOSEPH AYOUB

On continue avec un autre résultat important lié à la notion de décomposition maximale ; ce résultat seraà la base de la construction du noyau totalement décomposable d’une �-extension (voir la Définition 2.20ci-dessous).Théorème 2.18. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension. Si L{K est une�-extension qui décompose maximalement M, nous posons

N “ FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X M, (35)

l’intersection étant prise dans FracpL bK Mq modulo les identifications canoniques. Nous avons alors lespropriétés suivantes.

(a) Le sous-corps N Ñ M ne dépend pas du choix de l’extension qui décompose maximalement M.(b) L’inclusion évidente FracpL bK Nq�“0 // FracpL bK Mq�“0 est une bijection.(c) Le morphisme évident FracpL bL�“0 FracpL bK Nq�“0q // FracpL bK Nq est inversible.

Démonstration. — Pour démontrer (a), on se donne une �-extension L1{L et on appelle N 1 Ñ M le sous-corps obtenu à partir de L1{K à l’aide de la formule (35). On doit montrer que N “ N 1. Puisque L{Kdécompose maximalement M, on a FracpL1 bK Mq�“0 » FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q. Il s’ensuitque

N 1 “ FracpL1 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X M.Puisque le corps M est contenu dans FracpL bK Mq, on déduit que

N 1 Ñ FracpL1 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X FracpL bK Mq “ FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q.(Pour établir l’égalité ci-dessus on part du carré cocartésien

L bL�“0 FracpL bK Mq�“0 //

✏✏

FracpL bK Mq✏✏

L1 bL�“0 FracpL bK Mq�“0 // L1 bL FracpL bK Mqauquel on applique Fracp´q. Le carré obtenu est alors cartésien car FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q est uneunion filtrante de produits finis de corps.) Ceci entraîne immédiatement que N 1 “ N.

On donne maintenant la preuve de (b). D’après le Lemme 2.19 ci-dessous, la pL,�q-algèbre FracpLbK Nqest donnée par

FracpL bK FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0qq X FracpL bK K bK Mq,l’intersection étant prise dans FracpL bK L bK Mq. (Pour une meilleure lisibilité nous n’avons pas identifiéK bK M et M dans la formule ci-dessus. De même, nous n’identifierons pas K bK N et N dans la suite dela preuve de (b).) Il s’ensuit que

FracpL bK K bK Nq�“0 “ FracpL bK FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0qq�“0 X FracpL bK K bK Mq�“0,

l’intersection étant prise dans FracpL bK L bK Mq�“0. Or, on a des isomorphismes canoniques :

FracpL bK FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0qq�“0

» FracpFracpL bK Lq�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q» FracpL bK L b Mq�“0;

le premier isomorphisme est une conséquence de la Proposition 1.41 et le second est une conséquence dufait que L{K décompose maximalement M. On a donc obtenu l’égalité

FracpL bK K bK Nq�“0 “ FracpL bK K bK Mq�“0.

C’est ce qu’il fallait demontrer.Il reste à vérifier (c). Par construction et en utilisant (b), on a K bK N Ñ FracpL bL�“0 FracpL bK Nq�“0q.

On en déduit un morphisme canonique

L bK N // FracpL bL�“0 FracpL bK Nq�“0q.


En composant avec le morphisme dans (c), on trouve le morphisme évident L bK N // FracpL bK Nq quiest inversible génériquement. Ceci montre que le morphisme dans (c) est surjectif. Or, on sait déjà qu’il estinjectif. Ceci termine la preuve du théorème. ⌅Lemme 2.19. — Soient k un corps, C{k une extension et C1, C2 Ñ C des sous-corps contenant k. On note

C3 “ C1 X C2. Alors, pour toute extension D{k, on a

FracpD bk C3q “ FracpD bk C1q X FracpD bk C2q,l’intersection étant prise dans FracpD bk Cq.Démonstration. — Par un passage à la limite, on se ramène au cas où l’extension D{k est de type fini. SoitD0{k Ñ D{k une sous-extension transcendante pure telle que D{D0 est une extension finie. Alors, pour tout1 6 i 6 3, on a FracpDbk Ciq “ DbD0 FracpD0 bk Ciq. Puisque D est plat sur D0, il su�t donc de démontrerle résultat pour D0. Une récurrence immédiate nous ramène en fin de compte au cas de l’extension kptq{k.Il s’agit alors de vérifier que C3ptq “ C1ptq X C2ptq, ce qui est immédiat. ⌅Définition 2.20. — Avec les notations et les hypothèses du Théorème 2.18, le sous-�-corps N Ñ M

sera appelé le noyau totalement décomposable de la �-extension M{K ; il sera noté Mtd. On dira qu’une�-extension M{K est totalement décomposable si M “ Mtd.

D’après la construction, on a M�“0 Ñ Mtd. La �-extension M{K est totalement décomposable si etseulement si il existe une �-extension L{K telle que FracpL bK Mq “ L bL�“0 FracpL bK Mq�“0.Exemple 2.21. — Une �-extension algébrique est totalement décomposable. Pour voir cela, il su�t de

traiter le cas d’une extension finie M{K. On prend alors L{K une clôture galoisienne de M{K de sorte que

L bK M “ FracpL bK Mq “π

�:MãÑL

L et pL bK Mq�“0 “π

�:MãÑL

L�“0.

Il s’ensuit que L bK M “ L bL�“0 pL bK Mq�“0 ce qui entraîne que Mtd “ M. ⇤Remarque 2.22. — Soit M{K une �-extension totalement décomposable. Si K1 Ñ M est un sous-�-

corps contenant K, alors la �-extension M{K1 est aussi totalement décomposable. (La réciproque est trèscertainement fausse !) Pour vérifier cela, on peut supposer que la �-extension K1{K est de type fini. Si L{Kdécompose totalement M, alors tout facteur direct irréductible du produit fini de �-corps FracpL bK K1qfournit une �-extension de K1 qui décompose totalement la �-extension M{K1. ⇤Lemme 2.23. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et M{K et L{K des �-extensions. Alors,

L{K décompose maximalement la pK,�q-algèbre M si et seulement si elle décompose maximalement lapK,�q-algèbre Mtd.Démonstration. — Notons N “ Mtd. Clairement, si la pK,�q-algèbre M est maximalement décomposéepar L{K, alors il en est de même de N (utiliser la Proposition 2.6). Réciproquement, supposons que lapK,�q-algèbre N est maximalement décomposée par L{K et fixons une �-extension L1{L telle que L1{Kdécompose maximalement M. Nous avons alors une chaîne d’isomorphismes canoniques :

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Nq�“0q » FracpL1 bK Nq�“0 » FracpL1 bK Mq�“0.

(Le premier isomorphisme traduit le fait que L{K décompose maximalement M et le second isomorphismeest celui du Théorème 2.18(b).) Par ailleurs, nous avons des inclusions

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Nq�“0q ãÑ FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q ãÑ FracpL1 bK Mq�“0.

Il s’ensuit que ces inclusions sont des égalités. En particulier, on a un isomorphisme canonique

FracpL1�“0 bL�“0 FracpL bK Mq�“0q » FracpL1 bK Mq�“0.

Ceci étant vrai pour les�-extensions de L su�samment grandes, c’est aussi vrai pour toutes les�-extensionsL1{L (utiliser le Lemme 2.7). Autrement dit, L{K décompose maximalement M. ⌅Proposition 2.24. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension de type fini.

Alors, l’extension (et non seulement la �-extension) Mtd{K est de type fini. En particulier, son degré detranscendance est fini.

26 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Notons N “ Mtd et fixons une �-extension L{K qui décompose maximalement M.La �-extension N{K est de type fini puisqu’elle est contenue dans M{K. Il s’ensuit que la �-extensionFracpLbKNq{L est aussi de type fini. Le Théorème 1.44 entraîne donc que l’extension FracpLbKNq�“0{L�“0

est de type fini. Or, d’après le Théorème 2.18(c), on a

FracpL bK Nq “ FracpL bL�“0 FracpL bK Nq�“0q.Il s’ensuit que l’extension (et non seulement la �-extension) FracpL bK Nq{L est de type fini. Il en est doncde même de l’extension N{K. ⌅Proposition 2.25. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension. Soit M1 Ñ Mun sous-�-corps contenant K. Alors, on a M1td “ Mtd X M1.Démonstration. — En e↵et, soit L{K une �-extension qui décompose maximalement M{K et donc aussiM1{K. On note N “ Mtd et N 1 “ M1td. On considère la pL,�q-algèbre

FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X FracpL bK M1q. (36)

C’est une union filtrante de produits finis de corps. On peut donc lui applique le Corollaire 1.43 pour déduirequ’elle est égale à la pL,�q-algèbre obtenue en appliquant FracpL bL�“0 ´q à

FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q�“0 X FracpL bK M1q�“0

“ FracpL bK Mq�“0 X FracpL bK M1q�“0

“ FracpL bK M1q�“0

Ceci montre que (36) est égale à FracpL bL�“0 FracpL bK M1qq. On peut donc faire le calcul suivant :

Mtd X M1 “ FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X M1“ FracpL bL�“0 FracpL bK Mq�“0q X FracpL bK M1q X M1“ FracpL bL�“0 FracpL bK M1qq X M1 “ M1td.

La proposition est démontrée. ⌅Corollaire 2.26. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension. Si M{K est

totalement décomposable, il en est de même de toutes ses sous-�-extensions.Démonstration. — C’est un cas particulier de la Proposition 2.25. ⌅Proposition 2.27. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension. Soient

M1, M2 Ñ M des sous-�-corps contenant K et supposons que le �-corps M est engendré par M1 et M2.Supposons enfin que pM2qtd “ M2. Alors, le �-corps Mtd est engendré par pM1qtd et M2. De plus, une�-extension L{K décompose maximalement M si et seulement si elle décompose maximalement M1 et M2.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que la �-extension M{K est de type fini.(Utiliser le Corollaire 2.26.) On note N1 “ pM1qtd et N “ Mtd. Clairement, N contient N1 et M2 ; il contientdonc le sous-�-corps N 1 Ñ M engendré par N1 et M2. Le but est de montrer que N 1 “ N. Soit L{K une�-extension qui décompose maximalement M (et donc aussi M1 et M2). Il su�t de montrer que l’inclusion

FracpL bK N 1q ãÑ FracpL bK Nq (37)

est une bijection.D’après le Théorème 2.18(c), on a :

FracpL bK Nq “ FracpL bL�“0 FracpL bK Nq�“0q. (38)

Puisque N 1 Ñ N, le Corollaire 2.26 entraîne que la �-extension N 1{K est totalement décomposée. On a doncégalement :

FracpL bK N 1q “ FracpL bL�“0 FracpL bK N 1q�“0q. (39)Ainsi, il est su�sant de montrer que l’inclusion

FracpL bK N 1q�“0 ãÑ FracpL bK Mq�“0 (40)

est une bijection. Or, le produit fini de �-corps FracpL bK Mq est engendré par FracpL bK M1q et FracpL bKM2q. Puisque M2 est totalement décomposable, on a FracpLbK M2q “ FracpLbL�“0 FracpLbK M2q�“0q. Ceci


montre que le produit fini de �-corps FracpL bK Mq est en fait engendré par FracpL bK M1q et FracpL bKM2q�“0. Le Corollaire 1.42 entraîne aussitôt que le produit fini de corps FracpL bK Mq�“0 est engendré parFracpLbK M1q�“0 et FracpLbK M2q�“0. Or, ces deux produits finis de corps sont dans l’image de (40). Cecimontre que (40) est une bijection. ⌅

Dans la même veine, on a le résultat suivant.Proposition 2.28. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et A une pK,�q-algèbre intègre et de type fini. On suppose que la �-extension FracpAq{K est totalement décomposée parL{K. Il existe alors un ouvert dense U Ñ SpecpAq tel que pour tout �-idéal premier p P U, la �-extensionFracpA{pq{K est totalement décomposée par L{K.Démonstration. — D’après le Théorème 1.20 et la Proposition 2.24, on peut, quitte à localiser A, supposerque la K-algèbre (et non seulement la pK,�q-algèbre) A est de type fini. On note B “ L bK A ; c’est une L-algèbre (et non seulement une pL,�q-algèbre) de type fini. Puisque la �-extension FracpAq{K est totalementdécomposée par L{K, on a :

FracpBq » FracpL bL�“0 FracpBq�“0q. (41)Par ailleurs, d’après le Théorème 1.45, il existe un non diviseur de zéro f P B tel que FracpBr f ´1s�“0q “FracpBq�“0. Il s’ensuit que le morphisme canonique

L bL�“0 Br f ´1s�“0 // Br f ´1s (42)

est un isomorphisme génériquement, i.e., après application de Fracp´q. Puisque la source et le but de (42)sont des L-algèbres (et non seulement des pL,�q-algèbres) de type fini, il existe un non diviseur de zérog P L bL�“0 Br f ´1s�“0 tel que (42) induit un isomorphisme :

pL bL�“0 Br f ´1s�“0qrg´1s „// Brpg f q´1s. (43)

Le morphisme de schémas SpecpBq // SpecpAq est ouvert (voir le Lemme 1.48). Soit U Ñ SpecpAql’image de SpecpBrpg f q´1sq par ce morphisme ; c’est un ouvert dense de SpecpAq. Si p P U est un �-idéal,on déduit de (43) un isomorphisme de pL,�q-algèbres :

pL bL�“0 Br f ´1s�“0qrg´1s bA pA{pq „// B{pBrpg f q´1s “ L bK pA{pqrpg f q´1s. (44)

Il en découle aussitôt que la pL,�q-algèbre LbK pA{pqrpg f q´1s est engendrée par les inverses de g et f , et parl’image de Br f ´1s�“0 par (44). Or l’image de Br f ´1s�“0 est contenue dans le sous-anneau des constantes.On obtient ainsi que le produit de pL,�q-corps FracpL bK A{pq est engendré par ses constantes. Autrementdit, on a :

FracpL bL�“0 FracpL bK pA{pqq�“0q “ FracpL bK pA{pqq. (45)Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

2.3. Extensions subordonnées. —Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant et d’en tirer quelques conséquences.

Théorème 2.29. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension. Il existe alorsune �-extension M{K qui satisfait aux propriétés suivantes.

(a) M est totalement décomposée par L{K.(b) M�“0{K�“0 est un extension algébrique.(c) Si M1{K est une �-extension qui satisfait aux conditions (a) et (b) ci-dessus, il existe une inclusion de

�-extensions M1{K ãÑ M{K.De plus, M{K est unique à un isomorphisme non canonique près et M�“0 est une clôture algébrique deK�“0. Si la �-extension L{K est de type fini, alors M est isomorphe au corps des fractions d’une pK bK�“0

L�“0,�q-algèbre simple et de type fini.La preuve du Théorème 2.29 utilise une propriété importante des �-extensions totalement décomopo-

sables que nous devons établir auparavant.

28 JOSEPH AYOUB

Proposition 2.30. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et M{K une �-extension de type fini ettotalement décomposable. Alors, M est isomorphe au corps des fractions d’une pFracpK bK�“0 M�“0q,�q-algèbre simple et de type fini.Démonstration. — Puisque M{FracpKbK�“0 M�“0q est aussi une �-extension totalement décomposable, onpeut remplacer K par FracpKbK�“0 M�“0q et supposer que M�“0 “ K�“0. On fixe A Ñ K une pK,�q-algèbrede type fini telle que FracpAq “ K. D’après le Théorème 1.20 et la Proposition 2.24, on peut remplacer Apar une localisation et supposer que la K-algèbre (et non seulement la pK,�q-algèbre) A est de type fini. Ils’agit de montrer qu’en localisant d’avantage A, on obtient une pK,�q-algèbre simple.

D’après le Théorème 2.15, il existe une �-extension L{K qui décompose totalement M et telle que L “FracpBq avec B une pK,�q-algèbre simple et de type fini. On pose :

C “ B bK A et N “ FracpCq “ FracpL bK Mq.On a donc :

N “ FracpL bL�“0 N�“0q “ FracpB bB�“0 N�“0q. (46)(En e↵et, puisque la pK,�q-algèbre B est simple et de type fini, L�“0 est une extension finie de K�. Quitte àlocaliser B, on peut alors supposer que B�“0 “ L�“0.) D’après le Théorème 1.45, il existe un non diviseurde zéro f P C tel que :

N�“0 “ FracpCr f ´1s�“0q. (47)En combinant (46) et (47), on obtient que :

N “ FracpB bB�“0 Cr f ´1s�“0q. (48)

Le Théorème 1.45 permet aussi de supposer que la K�“0-algèbre Cr f ´1s�“0 est de type fini.Considérons d’abord le morphisme :

B bB�“0 Cr f ´1s�“0 // Cr f ´1s. (49)

Puisque B�“0 “ L�“0 est une extension finie de K�“0, la Proposition 1.36 entraîne que le morphisme(49) est injectif. Puisque A est une K-algèbre (et non seulement une pK,�q-algèbre) de type fini, le B-morphisme (49) est de type fini. Or, d’après (48), il induit un isomorphisme génériquement. Il existe doncun non diviseur de zéro g P C tel que le morphisme

SpecpCrpg f q´1sq // SpecpB bB�“0 Cr f ´1s�“0q (50)

est une immersion ouverte dominante.Considérons ensuite le morphisme :

A bA�“0 Cr f ´1s�“0 // Cr f ´1s. (51)

Puisque A�“0 “ M�“0 “ K�“0, la Proposition 1.36 entraîne que le morphisme (51) est injectif. On rappelleque la K-algèbre (et non seulement la pK,�q-algèbre) A est de type fini. D’après le Théorème 1.20 et quitteà remplacer f par un multiple convenable, la K-algèbre Cr f ´1s possède une sous-K-algèbre de type finiS , contenant l’image de (51) et telle que Cr f ´1s est l’union filtrante de S -algèbres fidèlement plates et detype fini. On peut donc supposer que le non diviseur de zéro g P C, choisi ci-dessus, rend le morphisme deK-schémas :

SpecpCrpg f q´1sq // SpecpA bA�“0 Cr f ´1s�“0q (52)ouvert. (On peut s’assurer aussi que ce morphisme soit plat, mais il ne sera pas de type fini en général !) No-tons V Ñ SpecpA bA�“0 Cr f ´1s�“0q l’image de (52). C’est un ouvert Zariski dense. (En e↵et, le morphisme(52) est dominant puisque (51) est injectif.) D’autre part, la projection :

SpecpA bA�“0 Cr f ´1s�“0q // SpecpAq (53)

est un morphisme plat et de type fini. C’est donc également un morphisme ouvert. On notera U Ñ SpecpAql’image de V par (53). C’est un ouvert Zariski dense de SpecpAq.

Considérons à présent le morphisme :

SpecpA bA�“0 N�“0q ãÑ SpecpA bA�“0 Cr f ´1s�“0q. (54)


(On rappelle que N “ FracpCq.) Les fibres du morphisme (53) rencontrent l’image de l’inclusion (54) endes parties denses. Ainsi, si W Ñ SpecpA bA�“0 N�“0q désigne l’image inverse de V par (54), alors l’imagede W par la projection :

SpecpA bA�“0 N�“0q // SpecpAq (55)n’est autre que l’ouvert U Ñ SpecpAq. Puisque V est l’image du morphisme (52), alors W est aussi l’imagedu morphisme :

SpecpCrpg f q´1s bCr f ´1s�“0 N�“0q // SpecpA bA�“0 N�“0q. (56)On déduit de ce qui précède que l’image du morphisme

SpecpCrpg f q´1s bCr f ´1s�“0 N�“0q // SpecpAq (57)

est égale à U Ñ SpecpAq. En utilisant l’immersion ouverte (50), on obtient que l’image du morphisme :

SpecpB bB�“0 N�“0q “ SpecppB bB�“0 Cr f ´1s�“0q bCr f ´1s�“0 N�“0q // SpecpAq (58)

contient l’ouvert dense U Ñ SpecpAq. Il existe donc h P A r t0u, tel que le morphisme :

SpecpB bB�“0 N�“0rh´1sq // SpecpArh´1sq (59)

est surjectif. Ceci permet de conclure. En e↵et, d’après le Lemme 2.31 ci-dessous, la pK,�q-algèbre Q “B bB�“0 N�“0rh´1s est simple. Ainsi, si 0 ( J ( Arh´1s est un �-idéal, on a nécessairement J ¨ Q “ Q. Cecicontredit la surjectivité du morphisme de K-schémas (59). ⌅Lemme 2.31. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre simple. On supposeque A�“0 “ FracpAq�“0 et on note C “ A�“0. Si D{C est une extension, alors A bC D est encore unepK,�q-algèbre simple.Démonstration. — Puisque C est algébriquement clos dans A, l’anneau AbC D est intègre. Soit J ( AbC Dun �-idéal et montrons que J “ 0. Pour cela, nous pouvons supposer que J est maximal. En particulierR “ pA bC Dq{J est intègre. Puisque la pK,�q-algèbre A est supposée simple, le morphisme A // R estnécessairement injectif. Il induit donc un morphisme de pK,�q-corps FracpAq ãÑ FracpRq. Il est clair quele �-corps FracpRq est engendré par FracpAq et D. Le Corollaire 1.42 entraîne alors que FracpRq�“0 “ D.D’après la Proposition 1.36, le morphisme canonique FracpAq bC D // FracpRq est injectif. Il en découleque le morphisme canonique A bC D // R est également injectif. Autrement dit, on a bien J “ 0. ⌅

Le second ingrédient dans la preuve du Théorème 2.29 est le résultat suivant.Proposition 2.32. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension de type fini.

Soit M{K une�-extension totalement décomposée par L{K. Alors, la�-extension (et donc aussi l’extension)M{FracpK bK�“0 M�“0q est de type fini.Démonstration. — D’après la Remarque 2.22, on peut remplacer K par FracpK bK�“0 M�“0q et supposerque K�“0 “ M�“0. Dans ce cas, il faut montrer que l’extension M{K est de type fini. (D’après la Proposition2.24, ceci équivaut à la type finitude de la �-extension M{K.)

Puisque L est une �-extension de type fini, tout facteur direct du produit fini de �-corps FracpLbK Mq estune �-extension de type fini de M. Le Théorème 1.44 entraîne alors que la M�“0-algèbre FracpL bK Mq�“0

est un produit fini d’extensions de type fini de M�“0. Puisque M�“0 “ K�“0 Ñ L�“0, il s’ensuit que la L�“0-algèbre FracpL bK Mq�“0 est un produit fini d’extensions de type fini de L�“0. Comme L{K décomposetotalement M{K, on a FracpL bK Mq “ L bL�“0 FracpL bK Mq�“0. Ceci montre que la L-algèbre (et nonseulement la pL,�q-algèbre) FracpL bK Mq est un produit fini d’extensions de type fini de L. Ceci entraîneque l’extension (et non seulement la �-extension) M{K est de type fini. ⌅Démonstration du Théorème 2.29. — On divise la preuve en deux parties. Dans la première, on traite le casoù la �-extension L{K est de type fini.Partie A : Nous supposons ici que la �-extension L{K est de type fini. Considérons l’ensemble E des classesd’isomorphismes de �-extensions M{K totalement décomposées par L{K et telles que M�“0 est une clôturealgébrique de K�“0. L’ensemble E est non vide puisqu’il contient la �-extension KbK�“0 K�“0{K avec K�“0

30 JOSEPH AYOUB

une clôture algébrique de K�“0. Il est ordonné par la relation d’inclusion. Suppsons donnée une chaîne dansE :

M0{K Ñ M1{K Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ Mn{K Ñ Mn`1{K Ñ ¨ ¨ ët notons M “ î

n Mn. Alors, la �-extension M{K est totalement décomposée par L{K. D’après la Propo-sition 2.32, l’extension M{K bK�“0 M�“0 est de type fini. Puisque K�“0 » M�“0

n » M�“0, il existe alors unentier n0 P N tel que Mn “ Mn`1 pour n > n0. L’ensemble E possède donc des éléments maximaux.

Fixons une �-extension M{K P E, maximale pour l’inclusion. Nous allons montrer que la condition (c)est satisfaite. Soit A1 Ñ M1 une sous-pK bK�“0 M1�“0,�q-algèbre simple et de type fini telle que M1 “FracpA1q. (Une telle algèbre existe par la Proposition 2.30.) L’extension M1�“0{K�“0 étant algébrique, nouspouvons fixer un plongement M1�“0{K�“0 ãÑ M�“0{K�“0. Ce plongement induit une inclusion K bK�“0

M1�“0 ãÑ M. (Rappelons que par ailleurs, nous avons un plongement canonique K bK�“0 M1�“0 ãÑ M1 dontl’image est contenue dans A1.) Notons K1 “ K bK�“0 M1�“0 et B1 “ A1 bK1 M ; c’est une pM,�q-algèbre detype fini. Fixons un quotient simple B1 // // B et notons N “ FracpBq. Alors N�“0 est une clôture algébriquede K�“0.

Puisque la pK,�q-algèbre A1 est simple, le morphisme évident A1 // B est injectif. Il induit donc unmorphisme de pK,�q-corps M1 “ FracpA1q ãÑ FracpBq “ N. Par ailleurs, on a aussi une inclusion M ãÑ N.De plus, le �-corps N est engendré par M et M1. D’après la Proposition 2.27, la �-extension N{K esttotalement décomposée par L{K. Par la maximalité de M, on déduit que M “ N. En particulier, M1{K estune sous-�-extension de M{K.

Montrons enfin l’unicité à isomorphisme près de la �-extension M{K. Soit M1{K une �-extension satis-faisant aux conditions (a)–(c) de l’énoncé. La condition (c), appliquée à M{K et M1{K, fournit des mor-phismes de �-extensions :

◆ : M1{K ãÑ M{K et ◆1 : M{K ãÑ M1{K.

Il su�t donc de montrer que � “ ◆ ˝ ◆1 est inversible. Pour cela, on forme le pK,�q-corps

H “ colim tM �ãÑ M �ãÑ ¨ ¨ ¨ �ãÑ M �ãÑ ¨ ¨ ¨ u. (60)

La �-extension H{K est totalement décomposée par L{K. Puisque M�“0 est une clôture algébrique de K�“0,on déduit que � : M�“0 ãÑ M�“0 est un isomorphisme. Il s’ensuit que M�“0 » H�“0 et en particulier,H�“0{K�“0 est une extension algébrique. La Proposition 2.32 entraîne que la �-extension H{K bK�“0 M�“0

est de type fini. La colimite dans (60) est donc nécessairement stationnaire. Autrement dit, l’inclusion� : M ãÑ M est bijective.Partie B : On traite maintenant le cas d’une �-extension L{K arbitraire. On note tL↵{K; ↵ P Iu l’ensembledes sous-�-extensions de type fini de L{K. Pour chaque ↵ P I, on fixe une �-extension M↵{K satisfaisantaux conditions (a)–(c) de l’énoncé. On peut supposer que M�“0

↵ “ K�“0 avec K�“0 une clôture algébriquefixée de K�“0. On note K “ K bK�“0 K�“0. Alors, M↵ est le corps des fractions d’une pK,�q-algèbre simpleet de type fini A↵.

On muni I d’un ordre total. (On ne suppose pas que ↵ 6 � entraîne que M↵ est contenue dans M�.) Onconstruit par induction transfinie une famille croissante de �-extensions pM6↵{Kq↵PI de la manière suivante.Si ↵ P I est le plus petit élément, on prend M6↵ “ M↵. Si ↵ P I est limite, on posera M6↵ “ î

�†↵ M6�.Si ↵ “ � ` 1, on prend pour M6↵ le corps des fractions d’un quotient simple de M6� bK A� bK A↵. (Lefacteur A� est superflu sauf peut-être si � est limite.) On pose alors M “ î

↵PI M6↵. Par construction, ona des morphismes A↵

// M. Ils sont injectifs puisque les A↵ sont simples. Il s’ensuit des morphismes depK,�q-corps M↵ ãÑ M et leurs images engendrent le �-corps M. Or, les �-extensions M↵{K sont totalementdécomposées par L{K. La Proposition 2.27 et un argument de passage à la colimite entraînent alors que la�-extension M{K est totalement décomposée par L{K.

D’autre part, par construction, l’extension M�“0{K�“0 est algébrique ; c’est même une clôture algébriquede K�“0. Pour terminer, il reste donc à montrer que la �-extension M{K satisfait à la condition (c) et qu’elleest unique à un isomorphisme près.


Soit M1{K une �-extension totalement décomposée par L{K et telle que M1�“0{K�“0 est une extensionalgébrique. On cherche à construire une inclusion M1{K ãÑ M{K. On va d’abord construire un �-corps M2qui contient M1 et M. Pour cela, on construit par induction transfinie une famille de �-corps pM2

6↵q↵PI de lamanière suivante. Si ↵ P I est le plus petit élément, on prend pour M2

6↵ le corps des fractions d’un quotientsimple de M1 bK A↵. Lorsque ↵ est limite, on posera M2

6↵ “ î�†↵ M2

� . Si ↵ “ �` 1, on prendra pour M↵ lecorps des fractions d’un quotient simple de M2

� bK A�bK A↵ contenant le quotient simple de M�bK A�bK A↵

utilisé ci-dessus. Ainsi, par construction, le �-corps M26↵ contient M1 et M6↵ On pose M2 “ î

↵PI M26↵. Le

pK,�q-corps M2 contient M et M1 qui l’engendrent. La Proposition 2.27 entraîne alors que la �-extensionM2 est totalement décomposée par L{K. On note aussi que M2�“0 » K�“0.

Pour conclure, il su�t de montrer l’assertion suivante. Si M1{M une �-extension telle que M�“01 “ M�“0

et telle que M1{K est totalement décomposable par L{K, alors M1 “ M. Ceci démontrera aussi l’unicité deM{K à isomorphisme près en adaptant le raisonnement utilisé à la fin de la partie A.

Soit N{K Ñ M1{K une extension de type fini. On montera que N Ñ M ce qui terminera la preuve. Ilexiste une sous-�-extension de type fini L0{K Ñ L{K qui décompose totalement N{K. Soit M0{K une �-extension satisfaisant aux conditions (a)–(c) par rapport à L0{K. Par la construction de M, on dispose d’uneinjection M0 ãÑ M. Considérons le sous-�-corps M1

0 Ñ M1 engendré par N et M0. D’après la Proposition2.27, L0{K décompose totalement M1

0{K. Puisque M1�“00 Ñ M1�“0, on déduit que l’extension M1�“0

0 {K�“0

est algébrique. D’après la partie A de la preuve, on a nécessairement M10 “ M0. Ceci montre que N Ñ M0

et termine la démonstration du théorème. ⌅Définition 2.33. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et L{K et M{K des �-extensions.

Nous dirons que M{K est subordonnée à L{K si elle vérifie les conditions (a)–(c) du Théorème 2.29. Nousdirons que M{K est potentiellement subordonnée à L{K si l’extension M�“0{K�“0 est algébrique et si la�-extension M bM�“0 M�“0{K, avec M�“0 une clôture algébrique de M�“0, est subordonnée à L{K.Remarque 2.34. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension. Alors, une �-

extension M{K est subordonnée à L{K si et seulement si elle vérifie les conditions (a) et (b) du Théorème2.29 et si, pour toute sous-�-extension de type fini L1{K Ñ L{K, elle contient une sous-�-extension M1{K ÑM{K qui est subordonnée à L1{K. (Ceci découle facilement de la propriété (c) et du fait que la �-extensionconstruite dans la partie B de la preuve du Théorème 2.29 est engendrée par les �-extensions subordonnéesaux sous-�-extensions de type fini de L{K.) ⇤Remarque 2.35. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension de type fini.

Alors, L{K possède des �-extensions de type fini qui lui sont potentiellement subordonnées. En e↵et soitM{K une �-extension potentiellement subordonnée à L{K. D’après la Proposition 2.32, M est de type finisur K bK�“0 M�“0. Soit M0 Ñ M un sous-pK,�q-corps engendré par un ensemble fini de générateurs de la �-extension M{K bK�“0 M�“0. On a alors M0 bM�“0

0M�“0 » M ce qui entraîne que M0{K est potentiellement

subordonnée à L{K. ⇤Le résultat suivant est une conséquence de la preuve du Théorème 2.29. Nous laisserons les détails au

lecteur.Corollaire 2.36. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle. Nous avons les propriétés suivantes.

(i) Soient L{K une �-extension, M{K une �-extension potentiellement subordonnée à L{K, et N{K une�-extension totalement décomposée par L{K et telle que l’extension N�“0{K�“0 est algébrique. Alors,tout pK,�q-morphisme M ãÑ N induit un isomorphisme M bM�“0 N�“0 » N.

(ii) Soient L{K et L1{L des �-extensions et soient M{K et M1{K des �-extensions subordonnées à L{K etL1{K respectivement. Alors, M{K est isomorphe à une unique sous-�-extension de M1{K.

Le résultat suivant sera souvent utilisé dans la suite. C’est aussi une conséquence de la preuve du Théo-rème 2.29.Corollaire 2.37. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et L{K et N{K des �-extensions. On

suppose que l’extension N�“0{K�“0 est algébrique. Soient M{K une �-extension subordonnée à L{K et�1, �2 : M ãÑ N des morphismes de pK,�q-corps. Alors, les images de �1 et �2 sont égales.

32 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — En e↵et, considérons le sous-�-corps N 1 Ñ N engendré par �1pMq et �2pMq. PuisqueN 1�“0 Ñ N�“0, l’extension N 1�“0{K�“0 est algébrique. La Proposition 2.27 entraîne que la �-extensionL{K décompose totalement N 1{K. L’argument utilisé à la fin de la preuve du Théorème 2.29 montre queN 1 “ �ipMq pour i P t1, 2u. ⌅Proposition 2.38. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension telle que L�“0

est algébriquement clos (resp. une clôture algébrique de K�“0). Soit M{K une �-extension subordonnée àL{K. Alors, M{K est non canoniquement isomorphe à une (resp. une unique) sous-�-extension de L{K.Démonstration. — Nous montrons comment construire un plongement de M{K dans L{K ; l’unicité dansle cas respé découle du Corollaire 2.37. Fixons une clôture algébrique K�“0 de K�“0 et notons K “ K bK�“0

K�“0. Nous supposerons que M�“0 “ K�“0 Ñ L�“0, ce qui ne restreint pas la généralité.D’après la construction de la �-extension M{K (voir la partie B de la preuve du Théorème 2.29) il existe

un ordinal µ et une µ-suite croissante de pK,�q-corps pM⌫q⌫Pµ qui satisfait aux conditions suivantes. Si 0 P µdésigne le plus petit élément, M0 “ K. Si ⌫ est limite alors M⌫ “ î

⌫1†⌫ M⌫1 . Enfin si ⌫ “ ⌫1 ` 1 alors M⌫

est le corps des fractions d’une sous-pM⌫,�q-algèbre simple et de type fini A⌫.Nous allons construire des plongements compatibles M⌫ ãÑ L par induction transfinie. Pour 0 P µ, nous

prenons l’inclusion K ãÑ L déduite de l’inclusion K�“0 Ñ L�“0. Si ⌫ est limite, nous prenons pour M⌫ ãÑ Lla colimite des M⌫1 ãÑ L pour ⌫1 P ⌫. Supposons maintenant que ⌫ “ ⌫1 ` 1 et que l’inclusion M⌫1 ãÑ L estconstruite. Nous allons montrer comment étendre cette inclusion à M⌫.

Clairement, l’extension M⌫{M⌫1 est totalement décomposée par la �-extension FracpL bK M⌫1q{M⌫1 .Puisque M⌫1{K est totalement décomposée par la �-extension L{K, nous disposons d’un isomorphismecanonique :

FracpL bL�“0 FracpM⌫1 bK Lq�“0q » FracpL bK M⌫1q. (61)Il s’ensuit que M⌫{M⌫1 est aussi totalement décomposée par la �-extension L{M⌫1 . Ainsi, nous avons unisomorphisme canonique :

FracpL bL�“0 FracpL bM⌫1 M⌫q�“0q » FracpL bM⌫1 M⌫q. (62)

On rappelle que M⌫ “ FracpA⌫q avec A⌫ une pM⌫1 ,�q-algèbre simple et de type fini. D’après le Théorème1.20 et la Proposition 2.24, on peut remplacer A⌫ par une localisation et supposer que la M⌫1-algèbre (et nonseulement la pM⌫1 ,�q-algèbre) A⌫ est de type fini. D’après le Théorème 1.45, il existe un non diviseur dezéro f P L bM⌫1 A⌫ tel que :

FracppL bM⌫1 A⌫r f ´1sq�“0q » FracpL bM⌫1 A⌫q�“0 “ FracpL bM⌫1 M⌫q�“0. (63)

Il découle de (62) et (63) que le morphisme canonique :

L bL�“0 pL bM⌫1 A⌫r f ´1sq�“0 // L bM⌫1 A⌫r f ´1s. (64)

est un isomorphisme génériquement. On note E “ pL bM⌫1 A⌫r f ´1sq�. D’après le Théorème 1.45 et quitteà remplacer f par un multiple convenable, on peut supposer que E est une L�“0-algèbre de type fini. Ainsi,(64) est un morphisme de L-algèbres de type fini. Il existe donc un ouvert Zariski dense U Ñ SpecpLbL�“0 Eqau-dessus duquel le morphisme de L-schémas :

SpecpL bM⌫1 A⌫r f ´1sq // SpecpL bL�“0 Eq (65)

est un isomorphisme. D’après le Lemme 2.39 ci-dessous, il existe un point fermé x P SpecpEq dont leL-point associé dans SpecpL bL�“0 Eq appartient à U. On en déduit un L-point de SpecpL bM⌫1 A⌫r f ´1sq quifournit un morphisme de pL,�q-algèbres :

L bM⌫1 A⌫r f ´1s // L. (66)

Après restriction à A⌫, on obtient un morphisme de pM⌫1 ,�q-algèbres A⌫// L. Un tel morphisme est né-

cessairement injectif puisque A⌫ est simple. Il induit donc une inclusion de �-corps M⌫ ãÑ L. ⌅Le lemme suivant est classique.


Lemme 2.39. — Soient k un corps algébriquement clos et X un k-schéma de type fini. Soit K{k uneextension et U Ä X bk K un ouvert non vide. Alors, l’ensemble Xpkq X UpKq est non vide. (Autrement dit,Xpkq est Zariski dense dans X bk K.)Démonstration. — On peut supposer que X est a�ne et intègre. Soit r : X // An

k un morphisme fini etsurjectif. Alors, l’image inverse d’un k-point de An

k est constituée de k-points de X. De plus, le morphismer est universellement ouvert de sorte que rpUq est un ouvert non vide de An

K . Ainsi, il est su�sant de traiterle cas de l’espace a�ne An

K .Lorsque n “ 0, il n’y a rien à montrer. Si n “ 1, le résultat est immédiat puisque A1

kpkq est infini et doncnécessairement dense pour la topologie de Zariski. Supposons que n > 2 et que le résultat est démontrépour n ´ 1. Notons V Ä An´1

K l’image de U par une projection linéaire p : AnK

// An´1K définie sur k ; c’est

un ouvert non vide. L’hypothèse de récurrence assure l’existance d’un k-point x P An´1k pkq X VpKq. La fibre

F “ p´1pxq est isomorphe à A1k et G “ pF bk Kq X U est un ouvert non vide. On peut donc trouver un

k-point dans Fpkq X GpKq. ⌅Corollaire 2.40. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension de type fini.

(i) Soit M{K une �-extension de type fini, totalement décomposée par L{K et telle que M�“0 est al-gébrique sur K�“0. Il existe alors une extension finie C{L�“0 est une inclusion de �-extensionsM{K ãÑ L bL�“0 C{K.

(ii) Soient M{K et N{M des �-extensions de type fini, et supposons que N{K est totalement décomposéepar L{K et que N�“0 est algébrique sur K�“0. Supposons donné un plongement M{K ãÑ L{K. Ilexiste alors une extension finie C{L�“0 et un morphisme de �-extensions N{M ãÑ L bL�“0 C{M.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Proposition 2.38. Les détails sont laissés aulecteur. ⌅Proposition 2.41. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et M{K une �-

extension potentiellement subordonnée à L{K. Soient D{K�“0 et E{D des extensions telles que L�“0{K�“0 ÑE{K�“0, et soit D1{D une extension algébrique telle que M�“0{K�“0 Ñ D1{K�“0. Alors, la �-extensionFracpM bM�“0 D1q{FracpK bK�“0 Dq est potentiellement subordonnée à FracpL bL�“0 Eq{FracpK bK�“0 Dq.Démonstration. — D’après la Remarque, il su�t de traiter le cas où la �-extension L{K est de type fini.D’après la Remarque 2.35, on peut aussi supposer que la �-extension M{K est de type fini. Par un argumentde passage à la limite, on se ramène également au cas où les extensions D{K�“0, D1{D et E{D sont de typefini. Quitte à élargir E, on peut en fait supposer que D “ D1.

Comme on ne suppose pas que l’extension L�“0{K�“0 est algébrique, on est amené à fixer une �-extension auxiliaire H{K. Il s’agit d’une �-extension de type fini telle que l’extension H�“0{K�“0 est finieet telle que les �-extensions potentiellement subordonnées de L{K sont totalement décomposées par H{K.(L’existence d’une telle �-extension est assurée par le Théorème 2.15.) Soit S Ñ H une sous-pK,�q-algèbrede type fini telle que FracpS q “ H et S �“0 “ H�“0.

Soit A Ñ M une sous-pK,�q-algèbre de type fini telle que FracpAq “ M et A�“0 “ M�“0. D’aprèsle Théorème 1.20 et la Proposition 2.24, on peut supposer que la K-algèbre (et non seulement la pK,�q-algèbre) A est de type fini. D’après le Corollaire 2.40(i), et quitte étendre le corps des constantes de H (etdonc aussi de S ), on peut supposer qu’il existe une inclusion de pK,�q-corps M ãÑ H. Quitte à localiserS , on peut supposer que cette inclusion est induite, par passage aux corps des fractions, d’un morphisme depK,�q-algèbres A ãÑ S .

Soit N{FracpK bK�“0 Dq une �-extension de type fini potentiellement subordonnée à la �-extensionFracpL bL�“0 Eq{FracpK bK�“0 Dq. Quitte à étendre le corps des constantes de N, on peut supposer que cette�-extension contient FracpM bM�“0 Dq{FracpK bK�“0 Dq. Ceci permet d’identifier FracpM bM�“0 Dq (et parla même occasion M) à un sous-�-corps de N.

Dire que le pFracpK bK�“0 Dq,�q-corps N est totalement décomposé par la �-extension FracpL bL�“0

Eq{FracpKbK�“0 Dq équivaut à dire que le pK,�q-corps N est totalement décomposé par la �-extension L{K.En particulier, quitte à étendre la �-extension H{K, on peut supposer que l’extension N{K est totalementdécomposée par H{K. (On utilise une deuxième fois le Théorème 2.15.) D’après le Corollaire 2.40(ii), et

34 JOSEPH AYOUB

quitte à remplacer D par une extension finie su�samment grande et contenant H�“0, il existe une inclusionde �-corps N ãÑ FracpH bH�“0 Dq qui étend l’inclusion M ãÑ H fixée ci-dessus. On note que ceci entraîneen particulier que N�“0 “ D. Pour la suite, on fixe les données suivantes.

– Une sous-K�“0-algèbre de type fini R Ñ D contenant H�“0 et M�“0, et telle que FracpRq “ D.– Une sous-pA bA�“0 R,�q-algèbre de type fini Q Ñ N telle que FracpQq “ N.

D’après le Théorème 1.20 et la Proposition 2.24, on peut supposer que la K-algèbre (et non seulement lapK,�q-algèbre) Q est de type fini. On a déjà remarqué que le pK,�q-corps N est totalement décomposé parla �-extension L{K. Ainsi, quitte à localiser Q, on peut supposer, grâce à la Proposition 2.28, que le corpsdes fractions de tout quotient irréductible de Q est totalement décomposé par L{K.

On fixe un non diviseur de zéro f P S bS �“0 R et un morphisme de pK,�q-algèbres Q // S bS �“0 Rr f ´1squi induit l’inclusion N ãÑ FracpHbL�“0 Dq après passage aux corps des fractions. On a alors un diagrammecommutatif où tous les morphismes sont injectifs :

A

✏✏

// A bA�“0 R //

✏✏

Q

✏✏

S // S bS �“0 R // S bS �“0 Rr f ´1s.Quitte à localiser d’avantage Q (et remplacer f par multiple convenable), on peut supposer aussi que lesmorphismes

A bA�“0 R // Q et Q // S bS �“0 Rr f ´1s (67)

sont plats. (Pour le premier morphisme, on utilise que les K-algèbres en question sont de type fini ; pour lesecond morphisme, on s’en sort à l’aide du Théorème 1.20.)

Nous allons montrer que le morphisme A bA�“0 R // Q est un isomorphisme génériquement. (Ceci ter-minera la démonstration puisque FracpM bM�“0 Dq sera isomorphe à N, ce qui entraînera que la �-extensionFracpM bM�“0 Dq{FracpK bK�“0 Dq est potentiellement subordonnée à FracpL bL�“0 Eq{FracpK bK�“0 Dq.)

Rappelons qu’on a N�“0 “ D. En particulier, D est algébriquement clos dans N. Ainsi, quitte à localiserQ, nous pouvons supposer que les fibres non vides du morphisme SpecpQq // SpecpRq sont géométri-quement irréductibles (cf. [26, Théorème 9.7.7]). Supposons par l’absurde que le morphisme de SpecpRq-schémas de type fini

SpecpQq // SpecpA bA�“0 Rq (68)

n’est pas un isomorphisme génériquement. On peut alors trouver un point fermé p P SpecpRq vérifiant lespropriétés suivantes.

1. La fibre en p du SpecpRq-schéma SpecpS bS �“0 Rr f ´1sq est non vide. (Il en est donc de même de lafibre en p du SpecpRq-schéma SpecpQq qui est de plus géométriquement irréductible.)

2. La fibre en p du morphisme de SpecpRq-schémas (68) n’est pas inversible génériquement.

(Pour montrer qu’un tel point fermé existe, on montre que l’ensemble des points (non nécessairement fer-més) p P SpecpRq vérifiant les propriétés 1 et 2 ci-dessus contient un ouvert dense de SpecpRq. Pour lapropriété 1, c’est clair. Pour la propriété 2, on distingue deux cas : soit la fibre générique de (68) est unmorphisme de dimension relative non nulle, soit la fibre générique de (68) est un morphisme générique-ment fini de degré au moins 2. Pour conclure, on utilise que la dimension et le degré sont des fonctionsconstructibles.)

Notons ppq “ R{p. Puisque les morphismes (67) sont supposés plats, et que les anneaux A bA�“0 ppq,Q{pQ et S bS �“0 ppq sont intègres, nous obtenons une inclusion de pK,�q-algèbres :

A bA�“0 ppq ãÑ Q{pQ ãÑ S bS �“0 ppq.La première inclusion n’est pas un isomorphisme génériquement. En passant aux corps des fractions, nousobtenons des inclusions de pK,�q-corps :

M bM�“0 ppq ( FracpQ{pQq Ñ H bH�“0 ppq;


la première inclusion étant stricte. Rappelons, qu’en utilisant la Proposition 2.28, nous avons assuré quele pK,�q-corps FracpQ{pQq est totalement décomposé par la �-extension L{K. Or, FracpQ{pQq�“0 estisomorphe à ppq puiqu’il est contenu dans pH bH�“0 ppqq�“0 “ ppq et qu’il contient pM bM�“0 ppqq�“0 “ppq. Le Corollaire 2.36 entraîne alors que M bM�“0 ppq “ FracpQ{pQq. C’est la contradiction recherchée.⌅

On peut reformuler la Proposition 2.41 comme une généralisation du Corollaire 2.36(i).Corollaire 2.42. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et M{K une �-

extension potentiellement subordonnée à L{K. Soit N{K une �-extension totalement décomposée par N{Kmunie d’un morphisme de pK,�q-corps M ãÑ N. Alors, l’inclusion évidente FracpM bM�“0 N�“0q ãÑ N estune bijection.Démonstration. — Notons D “ N�“0 et soit E{D une extension contenant L�“0. D’après la Proposition2.41, FracpM bM�“0 Dq est potentiellement subordonnée à la �-extension FracpL bL�“0 Eq{FracpK bK�“0 Dqqui décompose totalement N. Le Corollaire 2.36(i) permet alors de conclure. ⌅

Théorème 2.43. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et M{K une�-extension potentiellement subordonnée à L{K. Alors, une �-extension N{K est totalement (resp. maxi-malement) décomposée par L{K si et seulement si elle est totalement (resp. maximalement) décomposéepar M{K. En particulier, M{K est totalement décomposée par elle-même.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas non respé ; le cas réspé en découle grâce au Lemme 2.23.

Supposons d’abord que la �-extension N{K est totalement décomposée par M{K. Soit L�“0 une clôturealgébrique de L�“0 et notons L “ L bL�“0 L�“0. D’après la Proposition 2.38, la �-extension L{K contientune copie de M{K. Il s’ensuit que L{K décompose totalement N{K. Il en est donc de même de L{K.

Réciproquement, supposons que la �-extension N{K est totalement décomposée par L{K et montronsqu’elle est aussi totalement décomposée par M{K. Pour cela, nous pouvons supposer que N{K est de typefini. Il s’agit de montrer que

FracpM bM�“0 FracpM bK Nq�“0q // FracpM bK Nq (69)

est un isomorphisme. La pK,�q-algèbre FracpM bK Nq est un produit fini de pK,�q-corps. Il su�t donc demontrer que le morphisme

FracpM bM�“0 N 1�“0q // N 1 (70)

est inversible pour tout facteur direct irréductible N 1 de FracpM bK Nq. Or, la �-extension N 1{K contient les�-extensions M{K et N{K qui l’engendrent. D’après la Proposition 2.27, la�-extension N 1{K est totalementdécomposée par L{K. Puisque la �-extension M{K est potentiellement subordonnée à L{K, le Corollaire2.42 a�rme que (70) est bien inversible. ⌅

2.4. Extensions normales et pseudo-normales. —Forts des résultats du §2.3, nous sommes en mesure d’introduire la notion centrale de �-extension nor-

male, qu’on pourrait aussi appeler de Kolchin, et sa version a↵aiblie de �-extension pseudo-normale.Définition 2.44. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle. Une �-extension N{K est dite normale(ou de Kolchin) si elle vérifie les conditions suivantes.

(a) L’extension N�“0{K�“0 est algébrique.

(b) La �-extension N{K est totalement décomposée par elle-même.

Une �-extension M{K est dite pseudo-normale si son noyau totalement décomposable Mtd{K (cf. la Défi-nition 2.20) est une �-extension normale.Lemme 2.45. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension telle que l’exten-

sion M�“0{K�“0 est algébrique. Alors, M{K est pseudo-normale si et seulement si elle est maximalementdécomposée par elle-même.

36 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Notons N “ Mtd le noyau totalement décomposable de M. Si M{K est pseudo-normale,alors N{K est totalement décomposée par elle-même et donc aussi par M{K. D’après le Lemme 2.23, M{Kest maximalement décomposée par elle-même.

Réciproquement, supposons que la �-extension M{K est maximalement décomposée par elle-même.Alors, N{K est aussi totalement décomposée par M{K. Nous voudrons montrer que N{K est en fait to-talement décomposée par N{K. Pour cela, nous ne restreignons pas la généralité en supposant que K�“0

est algébriquement clos. Soit E{K une �-extension subordonnée à M. D’après le Théorème 2.43, N{Kest totalement décomposée par E{K. Or, d’après la Proposition 2.38, nous disposons d’une inclusion depK,�q-corps E ãÑ M. Puisque E est totalement décomposable, son image dans M est contenue dans N.Ceci montre que la �-extension N{K est totalement décomposée par elle-même. ⌅Lemme 2.46. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M{K une �-extension normale (resp.

pseudo-normale). Alors, M{K est l’union filtrante de ses sous-�-extensions de type fini qui sont normales(resp. pseudo-normales).Démonstration. — Il su�t de montrer que toute sous-�-extension de type fini M0{K Ñ M{K est contenuedans une sous-�-extension normale (resp. pseudo-normale) et de type fini.

Puisque la �-extension M{K est totalement (resp. maximalement) décomposée par elle-même, on dé-duit que M0{K est totalement (resp. maximalement) décomposée par M{K. Il existe donc une sous-�-extension de type fini L{K Ñ M{K qui décompose totalement (resp. maximalement) M0{K. Soit N 1{K une�-extension de type fini potentiellement subordonnée à L{K. D’après le Corollaire 2.40, il existe une ex-tension finie galoisienne C{M�“0 et une inclusion de �-extensions N 1{K ãÑ M1{K avec M1 “ M bM�“0 C.Notons G le groupe de Galois de l’extension C{M�“0 ; il agit aussi sur l’extension M1{M. Quitte à étendrele corps des constantes de N 1, on peut aussi supposer que N 1 est stable par l’action de G et que le corpsM1�“0 est engendré par M�“0 et N 1�“0. On pose alors N “ N 1G ; c’est un sous-pK,�q-corps de type fini deM tel que N 1 “ N bN�“0 N 1�“0. De cette manière, on obtient une sous-�-extension de type fini N{K Ñ M{Kqui est potentiellement subordonnée à L{K.

D’après le Théorème 2.43, M0{K est totalement (resp. maximalement) décomposée par N{K. De même,N{K est totalement décomposée par elle-même. Notons M1{K Ñ M{K la sous-�-extension de type fini en-gendrée par N et M0. D’après la Proposition 2.27, M1{K est totalement (resp. maximalement) décomposéepar N{K et donc aussi par elle-même. C’est la �-extension normale (resp. pseudo-normale) recherchée. ⌅

Le résultat suivant décrit une propriété remarquable des �-extensions normales.Proposition 2.47. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension telle que L�“0

est algébrique sur K�“0. Soient M, N Ñ L des sous-�-corps et supposons les conditions suivantes.

(a) Le morphisme M�“0 bK�“0 N�“0 // L�“0 est injectif.

(b) La �-extension N{K est normale et pM bM�“0 L�“0q X pN bN�“0 L�“0q “ K bK�“0 L�“0, l’intersectionétant prise dans L modulo les identifications canoniques.

Alors, le morphisme canonique M bK N // L est injectif et FracpM bK Nq�“0 “ M�“0 bK�“0 N�“0. Deplus, la �-extension FracpM bK Nq{K est normale.Démonstration. — On va d’abord établir l’égalité FracpM bK Nq�“0 “ M�“0 bK�“0 N�“0. Puisque N{Kest normale et qu’elle est contenue dans L{K, on a des identifications canoniques :

FracpL bK Nq “ FracpL bN FracpN bK Nqq“ FracpL bN FracpN bN�“0 FracpN bK Nq�“0qq“ FracpL bN�“0 FracpN bK Nq�“0q.

Il s’ensuit que :FracpL bK Nq�“0 “ L�“0 bN�“0 FracpN bK Nq�“0.

En particulier FracpL bK Nq�“0 est contenu dans FracppN bN�“0 L�“0q bK Nq. Il s’ensuit que

FracpM bK Nq�“0 Ñ FracpM bK Nq X FracppN bN�“0 L�“0q bK Nq“ FracpM X pN bN�“0 L�“0qq bK N.


En utilisant la propriété (b) de l’énoncé, en obtient que :

M X pN bN�“0 L�“0q “ M X pK bK�“0 L�“0q “ K bK�“0 M�“0.

On déduit de ce qui précède l’inclusion :

FracpM bK Nq�“0 Ñ pK bK�“0 M�“0q bK N » M�“0 bK�“0 N.

Or, on a pM�“0 bK�“0 Nq�“0 “ M�“0 bK�“0 N�“0. Ceci fournit l’égalité recherchée.On montre maintenant que le morphisme M bK N // L est injectif. Pour cela, il est su�sant de montrer

que N bK pM bK Nq // N bK L est injectif. La source de ce morphisme se réécrit pN bK Mq bN pN bN Nqet il est donc su�sant de montrer que

FracpN bK Mq bN FracpN bK Nq // FracpN bK Lq (71)

est injectif. On note que le morphisme (71) est induit par les inclusions de pN,�q-algèbres :

FracpN bK Mq ãÑ FracpN bK Lq et FracpN bK Nq ãÑ FracpN bK Lq.Puisque la �-extension N{K est totalement décomposée par elle-même, FracpN bK Nq s’identifie canoni-quement à FracpN bN�“0 FracpN bK Nq�“0q. Ceci permet de réécrire (71) de la manière suivante :

FracpN bK Mq bN�“0 FracpN bK Nq�“0 // FracpN bK Lq. (72)

La condition (a) et la détermination de FracpM bK Nq�“0 montrent que l’anneau N bK M est intègre.Ainsi, FracpN bK Mq est un �-corps. Il s’ensuit que tout �-idéal de la source de (72) est engendré par desconstantes. Pour montrer que (72) est injectif, il est donc su�sant de montrer qu’il induit un morphismeinjectif sur les anneaux des constantes. En utilisant encore une fois la détermination de FracpM bK Nq�“0

ainsi que la Proposition 1.41, on peut écrire le morphisme (72)�“0 de la manière suivante :

pN�“0 bK�“0 M�“0q bN�“0 FracpN bK Nq�“0 // FracpN bK Lq�“0. (73)

Il est donc su�sant de montrer que

FracpN bK Nq bK�“0 M�“0 // FracpN bK Lq (74)

est injectif. Or, (74) s’obtient par application de FracpN bK ´q à partir du morphisme N bK�“0 M�“0 // Lqui est injectif d’après la condition (a) et la Proposition 1.36. Ceci permet de conclure. ⌅

Proposition 2.48. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension normale. SoitL Ñ N un sous-pK,�q-corps. Alors, la �-extension N{L est encore normale.Démonstration. — On traite d’abord le cas où la �-extension N{K est de type fini. Dans ce cas, la pL,�q-algèbre FracpN bK Lq est un produit fini de �-extensions de L et, si P{L est l’une des ces �-extensions, alorsN{L est totalement décomposée par P{L. D’autre part, N{K décompose totalement la sous-�-extensionL{K Ñ N{K. Il s’ensuit que P » N bN�“0 P�“0. On en déduit que la �-extension N{L est aussi totalementdécomposée par elle-même. Elle est donc normale.

On passe au cas général. Quitte à remplacer K et L par K bK�“0 N�“0 et L bL�“0 N�“0 respectivement, onpeut supposer que K�“0 “ L�“0 “ N�“0. D’après le Lemme 2.46, N{K est l’union filtrante de ses sous-�-extensions normales et de type fini. Soit N0{K Ñ N{K une telle sous-�-extension et soit N1 Ñ N le sous-�-corps engendré par N0 et L. On montrera que la �-extension N1{L est normale ; ceci permettra de conclurepuisque N{L est l’union filtrante de telles �-extensions. On note L0 “ N0XL. D’après le cas traité ci-dessus,on sait que la �-extension N0{L0 est normale. D’après la Proposition 2.47, N1{L » FracpN0 bL0 Lq{L estune �-extension normale. La proposition est démontrée. ⌅

Remarque 2.49. — La variante de la Proposition 2.48, où « normale » est remplacé par « pseudo-normale », n’est pas vraie en général. Toutefois, si on suppose de plus que L{K est totalement décom-posable (ce qui n’est pas automatique si N{K est seulement supposée pseudo-normale), on peut tout demême déduire que N{L est encore pseudo-normale. ⇤

38 JOSEPH AYOUB

2.5. Rappels sur les groupoïdes algébriques et les groupoïdes rationnels. —Ce paragraphe contient des rappels concernant les groupoïdes dans la catégorie des schémas. Ces rappels

serviront au §2.6 dans la construction du groupoïde de Galois di↵érentiel d’une �-extension normale.Définition 2.50. — Soit S un schéma. Un S -groupoïde est un foncteur contravariant G de la catégorie

des S -schémas dans celle des groupoïdes. (La 2-catégorie des groupoïdes est considérée ici comme unecatégorie ordinaire en lui retirant ses 2-morphismes.) On note obpGq et flpGq les préfaisceaux d’ensemblesqui envoient un S -schéma T sur les ensembles d’objets et de flèches de GpT q. Le S -groupoïde G est ditalgébrique (on parlera aussi de S -schémas en groupoïdes) si les préfaisceaux d’ensembles obpGq et flpGqsont représentables.

Nous rappelons ci-dessous la construction du nerf d’un S -groupoïde algébrique. Comme d’habitude, onnote � la catégorie des ordinaux finis n “ t0 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ nu, pour n P N, et �1 Ñ � sa sous-catégorie ayant lesmêmes objets mais où on ne retient que les applications strictement croissantes. Un foncteur contravariantde source � (resp. �1) est appelé un objet simplicial (resp. semi-simplicial).Construction 2.51. — Soit G un S -groupoïde. Pour n P N, on note Gn le préfaisceau d’ensembles

donné par GnpT q “ hompn,GpT qq, pour tout S -schéma T . Autrement dit, GnpT q est l’ensemble des suitescomposables de n ` 1 flèches dans GpT q. On obtient ainsi un préfaisceau simplicial G‚ sur la catégorie desS -schémas. Pour 0 6 i 6 n, on note simplement di : Gn // Gn´1 le morphisme correspondant à l’uniqueapplication injective �i : n ´ 1 ãÑ n évitant i. De même, pour 0 6 i 6 n ´ 1, on note si : Gn´1 // Gn lemorphisme correspondant à l’unique application surjective �i : n⇣ n ´ 1 qui identifie i et i ` 1.

Supposons maintenant que G est un S -schéma en groupoïdes. Par définition, G0 et G1 sont donc repré-sentables par des S -schémas que nous noterons abusivement G0 et G1. Les morphismes d0, d1 : G1 // G0sont alors des morphismes de S -schémas. Plus généralement, pour tout n > 2, les préfaisceaux Gn sontégalement représentables. En fait, nous avons :

Gn “ G1 ˆd1,G0, d0 G1 ˆd1,G0, d0 ¨ ¨ ¨ ˆd1,G0, d0 G1 pn facteurs G1q. (75)

Nous obtenons ainsi un S -schéma simplicial G‚ associé canoniquement au S -schéma en groupoïdes G etqui sera appelé le nerf de G. ⇤

L’existence d’inverse dans le schéma en groupoïdes G se traduit par la propriété que les carrés

G2d1//

d0✏✏

G1

d0✏✏

G1d0// G0,

G2d2//

d1✏✏

G1

d1✏✏

G1d1// G0

sont cartésiens. Autrement dit, on a des isomorphismes canoniques

pd10, d

11q : G2

„// G1 ˆd0,G0, d0 G1 et pd1

1, d12q : G2

„// G1 ˆd1,G0, d1 G1.

Le résultat suivant est bien connu et sa preuve est immédiate.Proposition 2.52. — La Construction 2.51 fournit une équivalence entre la catégorie des S -schémas en

groupoïdes G et la catégorie des S -schémas simpliciaux G‚ satisfaisant aux conditions suivantes :

(a) Pour tout n > 2, on a un isomorphisme canonique

Gn„// G1 ˆd1,G0, d0 G1 ˆd1,G0, d0 ¨ ¨ ¨ ˆd1,G0, d0 G1 pn facteurs G1q

donné par les n morphismes Gn // G1 qui correspondent aux applications 1 Ñ n d’image ti, i ` 1u(pour 0 6 i 6 n ´ 1).

(b) On a des isomorphismes canoniques

pd0, d1q : G2„// G1 ˆd0,G0, d0 G1 et pd1, d2q : G2

„// G1 ˆd1,G0, d1 G1.


Cette équivalence identifie G0 et G1 aux S -schémas obpGq et flpGq ; la composition dans G est alors donnéepar d1

1 ˝ pd10, d

12q´1.

Dans la suite, nous utiliserons le résultat précédant pour confondre les notions de S -groupoïde algébriqueet celle de S -schéma simplicial (satisfaisant à certaines conditions). Ainsi, lorsque nous dirons que G‚ estun S -groupoïde algébrique, nous entendrons par là que G‚ est un S -schéma simplicial satisfaisant auxconditions (a) et (b) de la Proposition 2.52.Remarque 2.53. — Soit G‚ un S -groupoïde algébrique. Le passage à l’inverse induit un automorphisme

involutif ⌧ de G1 tel que les diagrammes suivants commutent :

G1

pd0,d1q ((

⌧„ // G1

pd1,d0q✏✏

G0 ˆS G0,

G1�//

d1✏✏

G1 ˆd0,G0, d0 G1⌧îd

„ // G1 ˆd1,G0, d0 G1 „pd1

0,d12q´1// G2

d11✏✏

G0s0

// G1,

G1//

d0✏✏

G1 ˆd1,G0, d1 G1idˆ⌧// G1 ˆd1,G0, d0 G1 „

pd10,d

12q´1// G2

d11✏✏

G0s0

// G1.

Le morphisme ⌧ peut se définir comme la composition de

G1idˆs0// G1 ˆd0,G0, d0 G1 „

pd10,d

11q´1// G2

pd10,d

12q

„ // G1 ˆd1,G0, d0 G1pr1// G1.

On peut également l’obtenir comme le morphisme composé pr2 ˝ pd10, d

12q ˝ pd1

1, d12q´1 ˝ ps0 ˆ idq. ⇤

Remarque 2.54. — Soit S un schéma. Un S -schéma en groupe (ou encore un S -groupe algébrique) estun S -schéma en groupoïdes G tel que obpGq “ S . D’une manière équivalente, c’est aussi un S -schéma engroupoïdes G‚ tel que G0 “ S .

Si G est un S -schéma en groupoïdes, il lui correspond canoniquement un obpGq-schéma en groupe donnépar le produit fibré flpGq ˆpd0,d1q, obpGqˆS obpGq obpGq. En language simplicial, le G0-schéma en groupe associéau S -schéma en groupoïdes G‚ est donné par G1 ˆpd0,d1q,G0ˆS G0 G0. (Le S -schéma simplicial correspondantà ce G0-schéma en groupe est donné par le produit fibré G‚ ˆpG0{S qˆ‚ G0, où G0 est considéré comme unschéma simplicial constant.) Plus généralement, si T est un S -schéma et x P G0pT q un T -point, on disposed’un T -schéma en groupe Gx, donné par le produit fibré de G1 ˆpd0,d1q,G0ˆS G0, px,xq T . C’est le groupe desautomorphismes de x. ⇤

On se propose maintenant de décrire les actions d’un groupoïde à l’aide du language simplicial. Ontravaille d’abord dans la catégorie des ensembles. Soit G un groupoïde (dans la catégorie des ensembles).Un G-ensemble à gauche (resp. à droite) X est un foncteur covariant (resp. contravariant) de G dans lacatégorie des ensembles.Remarque 2.55. — On passe des G-ensembles à gauche vers les G-ensembles à droite en associant à X

le foncteur X˝ identique à X sur les objets et tel que X˝pgq “ Xpg´1q pour g P flpGq. ⇤Construction 2.56. — Soient G un groupoïde et X un G-ensemble à gauche. On peut associer à X un

groupoïde≥GX défini de la manière suivante.

– Un objet de≥GX est un couple pe, xq avec e P obpGq et x P Xpeq.

– Une flèche pe, xq Ñ pe1, x1q de≥GX est une flèche e Ñ e1 P flpGq telle que x1 “ Xpe Ñ e1qpxq.

On dispose alors d’un morphisme de groupoïdes r :≥GX // G donné par pe, xq x.

Notons G‚ et X‚ les nerfs des groupoïdes G et≥GX respectivement. Le morphisme de groupoïdes r induit

alors un morphisme d’ensembles simpliciaux r‚ : X‚ // G‚. Par construction, on a X0 “ ≤ePobpGq Xpeq et

r0 : X0 // G0 est l’application évidente. Remarquons aussi que nous avons un isomorphisme canoniqueX1 » X0 ˆr0,G0, d0 G1 qui envoie une flèche pe, xq Ñ pe1, x1q dans

≥GX sur ppe, xq, pe Ñ e1qq. Nous disposons

40 JOSEPH AYOUB

également d’un autre isomorphisme X1 » G1 ˆd1,G0, r0 X0 qui envoie la flèche pe, xq Ñ pe1, x1q sur le coupleppe Ñ e1q, pe1, x1qq. Autrement dit, les carrés

X1di//

r1✏✏

X0

r0✏✏

G1di// G0,

(76)

sont cartésiens pour i P t0, 1u. Or, rappelons le, nous avons des isomorphismes canoniques :

Xn » X1 ˆd1, X0, d0 ¨ ¨ ¨ ˆd1, X0, d0 X1 et Gn » G1 ˆd1,G0, d0 ¨ ¨ ¨ ˆd1,G0, d0 G1.

Il s’ensuit que les carrés

Xnl//

rn✏✏

Xm

rm✏✏

Gnl// Gm,

(77)

sont cartésiens pour toute application l : m Ñ n. Nous dirons alors que le morphisme d’ensembles simpli-ciaux r‚ : X‚ // G‚ est cartésien. ⇤

La vérification du lemme suivant facile et sera laissée au lecteur.Lemme 2.57. — Soient G un groupoïde et G‚ son nerf. La Construction 2.56 fournit une équivalence

entre la catégorie des G-ensembles à gauche (resp. à droite) X et la catégorie des morphismes cartésiensd’ensembles simpliciaux r‚ : X‚ // G‚.Remarque 2.58. — La donnée d’un morphisme cartésien d’ensembles simpliciaux r‚ : X‚ // G‚ a la

vertu d’être indépendante d’un choix de coté. Bien entendu, il y a donc deux G-ensembles qu’on peutextraire à partir de r‚ : X‚ // G‚, l’un à gauche et l’autre à droite, et ces deux G-ensembles sont échangéspar le procédé expliqué dans la Remarque 2.55. ⇤Exemple 2.59. — Soit G un groupoïde. Alors, G agit naturellement à gauche sur l’ensemble G1. En e↵et,on dispose d’un foncteur covariant X donné par Xpeq “ te1 Ñ e P flpGqu. Cette action correspond aumorphisme cartésien d0 : G1`‚ // G‚. (Ici, nous avons noté G1`‚ l’ensemble simplicial obtenu de G‚ encomposant avec l’endonfoncteur n 1 ` n de �.)

Dualement, G agit naturellement à droite sur G1. En e↵et, on dispose d’un foncteur contravariant X1donné par X1peq “ te Ñ e2 P flpGqu. Cette action correspond au morphisme cartésien G‚`1 // G‚ donnépar les morphismes dn`1 : Gn`1 // Gn. (Ici, nous avons noté G‚`1 l’ensemble simplicial obtenu de G‚ encomposant avec l’endonfoncteur n n ` 1 de �.) ⇤

Les considérations ci-dessus motive la définition suivante.Définition 2.60. — Soient S un schéma et G‚ un S -schéma en groupoïdes. Un G‚-schéma est un mor-

phisme de S -schémas simpliciaux r‚ : X‚ // G‚ tels que les carrés (77) sont cartésiens. (Un tel morphismede S -schémas simpliciaux sera dit cartésien, cf. [5, Définition 2.4.11(1)].) Souvent, nous dirons simplementque X‚ est un G‚-schéma ou encore que le S -schéma en groupoïdes G‚ agit sur le S -schéma X0.Remarque 2.61. — Soient S un schéma, G‚ un S -schéma en groupoïdes et X‚ un G‚-schéma. Soit T

un S -schéma et expliquons comment le groupoïde G‚pT q agit sur l’ensemble X0pT q. Fixons x P X0pT q etnotons e P G0pT q son image par r0 : X0 // G0. Donnons nous une flèche g : e Ñ e2 (resp. h : e1 Ñ e)appartenant à G1pT q. Alors, g ¨ x P X0pT q (resp. x ¨ h P X0pT q) est l’image du couple px, gq (resp. ph, xq) parla composition de

X0 ˆr0,G0, d0 G1pd0,r1q´1

// X1d1// X0 ( resp. G1 ˆd1,G0, r0 X0

pr1,d1q´1// X1

d0// X0 ).

Remarquons que l’action de G‚ sur X0 est déterminée par le S -schéma simplicial 1-tronqué associé à X‚. Lereste de la structure assure que cette action est associative. ⇤


Exemple 2.62. — L’Exemple 2.59 se transporte sans di�culté aux S -schémas en groupoïdes G‚. Ainsi, ondispose de deux G‚-ensembles canoniques donnés par les morphismes cartésiens de S -schémas simpliciauxG1`‚ // G‚ et G‚`1 // G‚. L’inversion des flèches fournit un isomorphisme canonique entre ces deux G‚-ensembles. Ceci permet de définir la notion de G‚-torseur. Il s’agit d’un G‚-schéma X‚ qui est, localementpour la topologie étale sur S , isomorphe au G‚-schéma G1`‚. (Lorsque G‚ est un S -schéma en groupe, i.e.,G0 “ S , on retrouve la notion habituelle de torseur.) ⇤

On passe maintenant à la définition des S -groupoïdes rationnels. En première approximation, il s’agitd’un groupoïde dans la catégorie des S -schémas et des morphismes rationnels. Puisque la compositiondes morphismes rationnels n’est pas toujours définie à moins que nous nous restreignons aux morphismesrationnels localement dominants, nous sommes forcés de laisser tomber les morphismes de dégénérescenceet donc l’existence des identités. Pour nos besoin, il sera su�sant de se restreigner au cas où le schéma debase S est artinien (et même le spectre d’un produit fini de corps). Dans ce cas, la notion de S -morphismerationnel est particulièrement simple ; rappelons la. (Pour une meilleur notion, valable sans hypothèses surS , nous renvoyons le lecteur à [20, Exposé XVIII, §1].)Définition 2.63. — Soient S un schéma artinien, et X et Y des S -schémas de type fini. Un S -morphisme

rationnel r f s : X // Y est une classe d’équivalence de couples pU, f q avec U Ñ X un ouvert dense etf : U // Y un S -morphisme. Deux couples pU, f q et pU 1, f 1q sont équivalents si f |UXU1 “ f 1|UXU1 . Lemorphisme rationnel r f s est dit dominant (resp. localement dominant) s’il en est ainsi de son représentantf . Lorsque cela ne cause pas de confusion, on notera simplement f au lieu de r f s.

Pour un morphisme de schémas noethériens, nous dirons qu’il est localement dominant si tout point dela source admet un voisinage ouvert qui domine un ouvert du but. Ainsi, si S est artinien, les S -schémasde type fini et les S -morphismes rationnels localement dominants forment une catégorie que nous noteronspSch{S qrat. Le résultat suivant est immédiat.Lemme 2.64. — Soient A un anneau artinien et S “ SpecpAq. La catégorie pSch{S qrat est équivalente à

l’opposée de la catégorie des A-algèbres artiniennes essentiellement de type fini (i.e., obtenues en localisantdes A-algèbres de type fini).Notation 2.65. — Soient A un anneau artinien et B une A-algèbre artinienne essentiellement de type fini.On note SpecratpBq l’objet de pSch{S qrat qui lui correspond par l’équivalence du Lemme 2.64. ⇤

Soient f : U // X et g : V // X deux S -morphismes rationnels localement dominants. SoientU 1 Ñ U et V 1 Ñ V des ouverts denses sur lesquels f et g sont définis et les morphismes f : U 1 // Xet g : V 1 // X sont universellement équidimensionnels. (On peut par exemple prendre U 1 et V 1 de sorteque U 1

red et V 1red sont plats sur Xred.) Alors, le S -schéma U 1 ˆX V 1 est bien défini à un unique isomorphisme

près dans la catégorie pSch{S qrat. On l’appellera le « produit fibré » de f et g et on le notera U ˜ XV .(Bien entendu, il ne s’agit pas du produit fibré catégorique dans pSch{S qrat qui n’existe pas en général.)Par construction, on dispose de deux projections pr1 : U ˜ XV // U et pr2 : U ˜ XV // V . Ce sont desS -morphismes rationnels localement dominants. Notons aussi qu’un carré commutatif dans pSch{S qrat :

W //

✏✏

Vg✏✏

Uf

X

(78)

induit un S -morphisme rationnel W // U ˜ XV . (On fera attention que ce morphisme n’est pas localementdominant en général.) Lorsque ce morphisme est un isomorphisme birationnel, nous dirons que le carré (78)est rationnellement cartésien. Le résultat suivant est immédiat.Lemme 2.66. — Soient A un anneau artinien et S “ SpecpAq. Soient U // X et V // X des S -

morphismes rationnels localement dominants et notons B // E et B // F les morphismes de A-algèbresartiniennes qui leurs correspondent via l’équivalence du Lemme 2.64. Alors, via cette même équivalence,U ˜ XV correspond à la A-algèbre artinienne FracpE bB Fq.Définition 2.67. — Soit S un schéma artinien. Un S -groupoïde rationnel est un objet semi-simplicial G‚

dans la catégorie pSch{S qrat satisfaisant aux conditions suivantes.

42 JOSEPH AYOUB

(a) Pour tout n > 2, on a un isomorphisme birationnel canonique

Gn„// G1 ˜ d1,G0, d0G1 ˜ d1,G0, d0 ¨ ¨ ¨ ˜ d1,G0, d0G1 pn facteurs G1q

donné par les n morphismes Gn // G1 qui correspondent aux applications 1 Ñ n d’image ti, i ` 1u(pour 0 6 i 6 n ´ 1).

(b) On a des isomorphismes birationnels canoniques

pd0, d1q : G2„// G1 ˜ d0,G0, d0G1 et pd1, d2q : G2

„// G1 ˜ d1,G0, d1G1.

Lorsque G0 “ S 0, on parlera alors de S -groupe rationnel. (On retrouve alors la notion classique due à Weilde « loi de groupe rationnelle ».)Définition 2.68. — Étant donnés un schéma artinien S et un S -groupoïde rationnel G‚, on appelle

G‚-schéma rationnel un morphisme d’objets semi-simpliciaux r‚ : X‚ // G‚ dans pSch{S qrat tel que lescarrés

Xnl//

rn

✏✏

Xm

rm

✏✏

Gnl// Gm

sont rationnellement cartésiens pour toute application strictement croissante l : m Ñ n.Remarque 2.69. — Gardons les hypothèses et les notations de la Définition 2.68 et supposons de plus

que S “ G0, i.e., que G‚ est un S -groupe rationnel. Alors, G1 agit rationnellement à gauche sur X0 via lacomposition de

G1 ˆS X0 „pd0,r1q´1

// X1d1// X0.

On définit de même l’action à droite associée à r‚ : X‚ // G‚ en échangeant les rôles de d1 et d0. ⇤Remarque 2.70. — Soient S un schéma artinien et G‚ un S -groupoïde rationnel. Nous dirons que G‚

possède finiment d’objets lorsque le S -schéma G0 est fini. Dans ce cas, on peut former le produit fibréG‚ ˆpG0{S 0q‚ G0 et obtenir un G0-groupe rationnel. En particulier, pour tout point fermé x P G0, on disposed’un groupe rationnel Gx. C’est le groupe des automorphismes de l’objet x. ⇤

Dans le reste du paragraphe, nous penchons un peu plus sur le cas des groupes rationnels. Rappelons quele théorème de régularisation de Weil assure qu’un S -groupe rationnel est birationnellement isomorphe àun unique S -groupe algébrique. Le lecteur trouvera une preuve de ce résultat, étendu à des schémas de basegénéraux, dans [20, Exposé XVIII, §1]. Il est plausible que ce résultat, convenablement formulé, reste vraipour les S -groupoïdes généraux. Heureusement, nous n’aurons pas à nous servir de ce théorème de Weil.Toutefois, nous aurons besoin d’un résultat géométrique très simple qui sert également dans la preuve de cethéorème de Weil. Il est basé sur l’observation simple suivante.Lemme 2.71. — Soient S un schéma, X, Y et W des S -schémas, et p : W // X et q : W // Y des S -

morphismes. On suppose que pp, qq : W // X ˆS Y est un morphisme ouvert (par exemple, une immersionouverte). Soit U Ñ X un ouvert S -dense (i.e., les intersections de U avec les fibres de la projection structuralX // S sont de ouverts denses). Alors, on a qpWq “ qpp´1pUqq.Démonstration. — Quitte à remplacer W par son image dans X ˆS Y , on peut supposer que pp, qq :W // X ˆS Y est l’inclusion d’un ouvert.

Clairement, on a qpp´1pUqq Ñ qpWq. Réciproquement, soit y P Y un point tel que q´1pyq est non vide. Ilfaut montrer que q´1pyq X p´1pUq est non vide. Or, lorsque W est un ouvert de X ˆS Y , on a

q´1pyq X p´1pUq “ pW X X ˆS yq X pW X U ˆS Yq “ W X pU ˆS yq.Puisque U Ä X est S -dense, on déduit que U ˆS y est un ouvert dense de X ˆS y. Ainsi W X pU ˆS yq estvide si et seulement si W X pX ˆS yq est vide. On conclut en remarquant que q´1pyq “ W X pX ˆS yq. ⌅


Soient k un corps et G un k-groupe rationnel. Soient B un k-schéma artinien (non nécessairement de typefini) et b : X // B un k-morphisme de type fini. Supposons que X est muni d’une action à gauche de G,notée a : G ˆk X // X, rendant le carré

G ˆk X a//

idˆb✏✏

Xb✏✏

G ˆk Bpr2// B

commutatif. (Autrement dit, X est G ˆk B-schéma rationnel.) On suppose que G agit transitivement sur lesfibres du morphisme b, i.e., que le morphisme canonique

pa, pr2q : G ˆk X // X ˆB X (79)est dominant.Proposition 2.72. — Gardons les hypothèses et les notations ci-dessous. Il existe alors des ouverts densesU Ñ X, W Ñ G ˆk X tels que les conditions suivantes sont satisfaites.

(a) L’action a est définie sur W et le morphisme a|W : W // X est plat.(b) Le morphisme ppr1|W , a|Wq : W // G ˆk X est une immersion ouverte d’image dense.(c) L’image du morphisme a|W : W // X est égale à U.(d) L’image de W par la projection pr2 : G ˆk U est égale à U.

Démonstration. — Le morphisme idG â : GˆkGˆk X // Gˆk X est birationnellement isomorphe à mîdX, où m : G ˆk G // G est la multiplication de G. Il s’ensuit aussitôt que l’action a : G ˆk X // X estgénériquement un morphisme fidèlement plat. (Autrement dit, elle correspond à un morphisme fidèlementplat de k-algèbres artiniennes par l’équivalence du Lemme 2.64.) On peut donc trouver un ouvert denseW1 Ñ G ˆk X tel que a est définie sur W1 et le morphisme a|W1 : W1 // X est plat et dominant. Puisque(79) est dominant, on peut quitte à rétrécir W1, supposer que le morphisme

pa|W1 , pr2|W1q : W // X ˆB X

est ouvert. (Il su�t par exemple qu’il soit plat sur les schémas réduits associés.) De même, puisque ppr1, aq :G ˆk X // G ˆk X est un isomorphisme birationnel, on peut rétrécir W1 et supposer que ppr1|W1 , a|W1q estune immersion ouverte d’image dense.

Notons U1 “ pr2pW1q, U2 “ apW1q et U “ U1 X U2 ; ce sont des ouverts denses de X. Puisque B estartinien, ces ouverts sont aussi B-denses. D’après le Lemme 2.71, l’image de W2 “ W1 X pr´1

2 pUq par a|W1

est égale à U2 alors que son image par pr2 est égale à U. Une deuxième application du Lemme 2.71 entraîneque l’image de W “ W2 X a´1pUq par pr2 est encore égale à U et il en est de même de son image par a.Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅Corollaire 2.73. — Gardons les hypothèses et les notations ci-dessous. Quitte à remplacer X par un

ouvert dense, on peut supposer que l’action a : G ˆk X // X est définie sur un ouvert dense W ÑG ˆk X tel que les morphismes a|W : W // X et pr2|W : W // X sont plats et surjectifs, et le morphismeppr1|W , a|Wq : W // G ˆk X est une immersion ouverte d’image dense.

Le résultat ci-dessous complémente la Proposition 2.72 et son Corollaire 2.73.Proposition 2.74. — Gardons les hypothèses et les notations ci-dessous et supposons de plus que le corpsk est algébriquement clos. Supposons aussi que l’action a : G ˆk X // X est définie sur un ouvert denseW Ñ G ˆk X vérifiant les conclusions du Corollaire 2.73. Pour g P Gpkq, notons Wg Ñ X l’ouvert obtenuen intersectant W avec g ˆ X dans G ˆk X. La restriction de a|W à Wg est une immersion ouverte que nousnoterons ag : Wg // X.

Soit X0 Ñ X un ouvert dense. Alors, il existe un nombre fini de k-points g1, ¨ ¨ ¨ , gn P Gpkq tels que X estl’union des ouverts agipWgi X X0q pour 1 6 i 6 n.Démonstration. — (Le fait que ag est une immersion ouverte est clair. En e↵et, c’est la fibre en g dumorphisme ppr1|W , a|Wq qui est une immersion ouverte par hypothèse.) Puisque B est artinien et qu’on peut

44 JOSEPH AYOUB

traiter ses composantes connexes une par une, on peut supposer que B “ SpecpKq avec K une extensionde k. Il est aussi clair qu’on peut supposer K algébriquement clos. Par quasi-compacité, il su�t de montrerque X “ î

gPGpkq agpWg X X0q, et on peut se restreindre aux points fermés de X.On pose W0 “ pr´1

2 pX0q X W, l’intersection étant prise dans G ˆk X. Pour g P Gpkq, on note pW0qg Ñ Xl’intersection de W0 avec g ˆ X. Ainsi, on a pW0qg “ Wg X X0.

Soit x P XpKq un K-point. D’après le Lemme 2.71, le morphisme a|W0 : W0 // X est surjectif. Enparticulier, F0 “ pa|W0q´1pxq est non vide. Étant donné que le morphisme

ppr1|W0 , a|W0q : W0 // G ˆk X » pG ˆk Kq ˆK X

est une immersion ouverte, on déduit aussitôt que le morphisme F0 // G ˆk K, donné par la compositionde F0 ãÑ W0 // G ˆk K, est une immersion ouverte ; on identifie F0 avec son image dans G ˆk K. Parconstruction, si g P Gpkq X F0pKq, l’image de l’immersion ouverte ag|pW0qg : pW0qg // X contient le pointx. Il reste donc à montrer que Gpkq X F0pKq est non vide. Ceci découle immédiatement du Lemme 2.39étant donné que F0 est un ouvert non vide de G ˆk K. ⌅

2.6. Groupoïde de Galois di↵érentiel d’une extension normale. —Dans ce paragraphe, nous reprenons l’étude des extensions normales de �-corps. Plus précisément, nous

montrerons comment attacher à une telle extension un groupoïde algébrique, son groupoïde de Galois dif-férentiel. Ceci demandera encore un certain e↵ort mais on dispose déjà de su�samment de théorie pourintroduire la variante rationnelle de ce groupoïde. Rappelons d’abord la construction suivante.Construction 2.75. — Soient pM,b, 1q une catégorie monoïdale unitaire et X un objet de M muni d’un

morphisme u : 1 // X. On dispose alors d’un objet semi-cosimplicial C‚pX, uq de M, dit de Cech, obtenude la manière suivante. Pour n P N, on a

CnpX, uq “ X b ¨ ¨ ¨ b X pn ` 1 facteurs XqPour n > 1 et 0 6 i 6 n, le morphisme di : Cn´1pX, uq // CnpX, uq est donné par la composition de

Xbn » Xbi b 1 b Xbní idbubid// Xbn`1.

Lorsqu’il n’y a pas de confusion sur le morphisme u, on notera C‚pXq au lieu de C‚pX, uq.Si X est une algèbre associative et u est son unité, C‚pXq s’étend naturellement en un objet cosimplicial

de M. Pour n > 1 et 0 6 i 6 n ´ 1, le morphisme si : CnpXq // Cn´1pXq est la composition de

Xbn`1 » Xbi b X b X b Xní´1 idbmbid// Xbn

où m : X b X Ñ X est la multiplication.Dualement, si X est muni d’un morphisme X // 1 (resp. si X est une coalgèbre coassociative et couni-

taire), on a un objet semi-simplicial (resp. simplicial) C‚pXq. ⇤La proposition ci-dessous est une conséquence des résultats du §2.4.

Proposition 2.76. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et detype fini. Alors, la K�“0-algèbre semi-cosimpliciale FracpC‚pN{Kqq�“0 définit, via l’équivalence du Lemme2.64, un K�“0-groupoïde rationnel.Démonstration. — Il s’agit de vérifier les conditions (a) et (b) de la Définition 2.67 pour FracpC‚pN{Kqq�“0

vu comme objet semi-simplicial de pSch{K�“0qrat. Pour n > 2, on a un isomorphisme évident

Fracpn foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkj

pN bK Nq bN ¨ ¨ ¨ bN pN bK Nqq „// Fracp

n`1 foishkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkjN bK N bK ¨ ¨ ¨ bK Nq (80)

induit par les morphismes FracpC1pN{Kqq // FracpCnpN{Kqq correspondant aux inclusions 1 ãÑ n d’imageti, i ` 1u. En passant aux sous-anneaux des constantes, on obtient l’isomorphisme

Fracpn foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkj

pN bK Nq bN ¨ ¨ ¨ bN pN bK Nqq�“0 „// Fracp

n`1 foishkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkjN bK N bK ¨ ¨ ¨ bK Nq�“0. (81)


Il est donc su�sant de montrer que le morphisme canonique

Fracpn foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkj

FracpN bK Nq�“0 bN�“0 ¨ ¨ ¨ bN�“0 FracpN bK Nq�“0q // Fracpn foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkj

pN bK Nq bN ¨ ¨ ¨ bN pN bK Nqq�“0

(82)est inversible. Or, puisque la �-extension N{K est normale, la N-algèbre artinienne FracpN bK Nq estengendrée par son sous-anneau des constantes FracpN bK Nq�“0. Le Corollaire 1.42, étendu aux �-algèbresartiniennes, entraîne aussitôt que le morphisme (82) est surjectif. Par ailleurs, le Corollaire 1.38 assure quele morphisme (82) est injectif. Ceci termine la vérification de la condition (a).

La condition (b) se démontre par la même méthode. On traite uniquement le cas du morphisme pd0, d1q.On part de l’isomorphisme évident

pd0, d1q : FracppN bK Nq bd0,N, d0 pN bK Nqq „// FracpN bK N bK Nq (83)

auquel on applique p´q�“0. Ceci nous ramène à montrer que le morphisme canonique

FracpFracpN bK Nq�“0 bd0,N�“0, d0 FracpN bK Nq�“0q // FracppN bK Nq bd0,N, d0 pN bK Nqq�“0 (84)est inversible. L’argument utilisé pour traiter le cas du morphisme (82) s’applique sans changement. ⌅Remarque 2.77. — L’hypothèse de type finitude imposée à la �-extension N{K dans la Proposition

2.76 sert uniquement à faire le lien avec la notion de groupoïde rationnel via le Lemme 2.64. En e↵et, lapreuve ci-dessus, montre plus généralement que la K�“0-algèbre semi-cosimplicial FracpC‚pN{Kqq�“0 estun K�“0-« cogroupoïde rationnel » dans un sens qu’on laissera au lecteur le soin de préciser. ⇤Définition 2.78. — Gardons les hypothèses et les notations de la Proposition 2.76. Le K�“0-groupoïde

rationnel défini par la K�“0-algèbre semi-cosimpliciale FracpC‚pN{Kqq�“0 est appelé le groupoïde ration-nel de Galois di↵érentiel de la �-extension N{K ; on le note Gal�, rat

‚ pN{Kq. Si K�“0 “ N�“0, on obtientmême un K�“0-groupe rationnel qu’on note simplement Gal�, ratpN{Kq ; en tant qu’objet de pSch{K�“0qrat

il correspond à la K�-algèbre artinienne FracpN bK Nq�“0.Remarque 2.79. — Le K�“0-groupoïde rationnel Gal�, rat

‚ pN{Kq admet finiment d’objets : le K�“0-schémaGal�, rat

0 pN{Kq “ SpecpN�“0q est fini. De plus, il est connexe : le morphisme

pd0, d1q : Gal�, rat1 pN{Kq // Gal�, rat

0 pN{Kq ˆK�“0 Gal�, rat0 pN{Kq

est dominant (et même surjectif). En e↵et, il correspond par l’équivalence du Lemme 2.64 au morphismeN�“0 bK�“0 N�“0 // FracpN bK Nq�“0

qui est injectif d’après le Corollaire 1.38. ⇤Le résultat suivant complémente la Proposition 2.76.

Proposition 2.80. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale etde type fini. Via l’équivalence du Lemme 2.64, le morphisme d’algèbres semi-cosimpliciales

FracpK bK�“0 FracpC‚pN{Kqq�“0q // FracpC‚pN{Kqq (85)

définit un KbK�“0Gal�, rat‚ pN{Kq-schéma rationnel. Si K�“0 “ N�“0, ce dernier est un KbK�“0Gal�, rat

‚ pN{Kq-torseur rationnel.Démonstration. — Il s’agit de vérifier que (85) induit un morphisme rationnellement cartésien d’objetssemi-simpliciaux de pSch{Kqrat. Or, FracpC‚pN{Kqq définit bien un K-groupoïde rationnel. Il su�t donc demontrer que les carrés

FracpC0pN{Kqq�“0 di//

✏✏

FracpC1pN{Kqq�“0

✏✏

FracpC0pN{Kqq di// FracpC1pN{Kqq

sont rationnellement cartésiens pour i P t0, 1u. Ceci revient à montrer que les morphismes

FracpNbN�“0 FracpNbK Nq�“0q // FracpNbK Nq et FracpFracpNbK Nq�“0bN�“0 Nq // FracpNbK Nq

46 JOSEPH AYOUB

sont inversibles, ce qui est vrai puisque la �-extension N{K est normale.Supposons maintenant que K�“0 “ N�“0 et montrons que le K bK�“0 Gal�, rat

‚ pN{Kq-schéma rationnelque l’on vient de définir est un torseur. Pour cela, on étend les scalaires de K à N. Le changement de basedu morphisme (85) auquel on applique Fracp´q s’écrit alors :

FracpN bN�“0 FracpC‚pN{Kqq�“0q // FracpC1`‚pN{Kqq.Or, on dispose d’un triangle commutatif de N-algèbres semi-cosimpliciales :

FracpN bN�“0 FracpC‚pN{Kqq�“0q

--

d0// FracpN bN�“0 FracpC1`‚pN{Kqq�“0q

✏✏

FracpC1`‚pN{Kqq.Puisque la �-extension N{K est normale, la flèche verticale du triangle ci-dessus est un isomorphisme. Cecitermine la preuve de la proposition. ⌅

Corollaire 2.81. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale etde type fini. Supposons que K�“0 “ N�“0. Alors, Gal�, ratpN{Kq “ SpecratpFracpN bK Nq�“0q (cf. Notation2.65) est naturellement un K�“0-groupe rationnel. De plus, SpecratpNq est naturellement un Gal�, ratpN{Kq-torseur rationnel défini sur K.

Nous voulons maintenant ra�ner les constructions précédentes pour obtenir un K�“0-groupoïde algé-brique Gal�‚ pN{Kq birationnellement isomorphe au K�“0-groupoïde rationnel Gal�, rat

‚ pN{Kq. Comme nousl’avons déjà signalé, il est probablement possible d’obtenir Gal�‚ pN{Kq via une généralisation aux grou-poïdes du théorème de régularisation de Weil [20, Exposé XVIII]. Toutefois, nous avons décidé d’utiliser laparticularité de la situation pour obtenir ce groupoïde d’une manière di↵érente, d’autant plus que cela four-nira des renseignements supplémentaires bien utiles. Ces renseignements seront regroupés dans le théorèmeci-dessous.Théorème 2.82. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et

de type fini. Il existe alors une sous-pK,�q-algèbre simple et de type fini B Ñ N, et des morphismes deK�“0-schémas

cn : Specpn foishkkkkkkkikkkkkkkj

B bK ¨ ¨ ¨ bK Bq // Xn pour n P Ntels que les conditions suivantes sont satisfaites.

(a) B�“0 “ N�“0, FracpBq “ N, et les K�“0-schémas Xn sont de type fini et lisses.

(b) Les morphismes cn sont fidèlement plats, à fibres géométriques connexes, ouverts et réguliers. Lesmorphismes SpecppB{Kqbnq // K ˆK�“0 Xn, déduits des cn, sont de type fini, fidèlement plats et lisses.

(c) Si V Ñ SpecppB{Kqbnq est un ouvert a�ne standard et U “ cnpVq, le morphisme OpUq // OpVq,donné par f f ˝ cn, induit un isomorphisme OpUq » OpVq�“0.

(d) Les morphismes ppri, cnq : SpecppB{Kqbnq // SpecpBq ˆN�“0 Xn, déduits de cn et des n projectionspri : SpecppB{Kqbnq // SpecpBq, sont des immersions ouvertes denses.

(e) Les propriétés (a)–(c) ci-dessus restent vraies si B est remplacée par une localisation B1 par des nondiviseurs de zéro (par exemple B1 “ N), et ceci pour les morphismes c1

n déduits de cn en composantavec les inclusions évidentes :

SpecppB1{Kqbnq ãÑ SpecppB{Kqbnq.La propriété (d) reste aussi vraie à condition que B1 soit obtenue en inversant un nombre fini d’élé-ments (et donc aussi un seul élément) de B, ou, à défaut de cela, en remplaçant « immersion ouverte »par « pro-immersion ouverte ».


Munis du Théorème 2.82, nous sommes en mesure de donner la construction du groupoïde de Galoisdi↵érentiel d’une �-extension normale sans trop de peine. Ainsi, nous avons choisi de reléguer la preuve dece théorème au §2.7 et passer directement à la construction de ces groupoïdes de Galois. Notons toutefoisque le Corollaire 2.81 jouera un rôle crucial dans la preuve du Théorème 2.82, ce qui justifie l’introductiondes groupoïdes rationnels de Galois di↵érentiels au préalable.

Nous commençons par un corollaire qui assure l’unicité des K�“0-schémas Xn à un isomorphisme uniqueprès. Cela nécessitera une construction qui sera généralisée plus tard.Construction 2.83. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et A une pK,�q-algèbre. Si S est unK�“0-schéma, on note hom�pSpecpAq, S q l’ensemble des morphismes de K�“0-schémas f : SpecpAq // Ssatisfaisant à la condition suivante : pour tout p P SpecpAq, l’image du morphisme ´ ˝ f : OS , f ppq // Ap estcontenue dans le sous-anneau pApq�“0. L’association S hom�pSpecpAq, S q définit alors un copréfaisceau,i.e., un foncteur covariant de la catégorie des K�“0-schémas dans celle des ensembles. Si ce copréfaisceauest coreprésentable, on notera SpecpAq�“0 le K�“0-schéma qui le coreprésente.

La construction précédente est fonctorielle dans le sens suivant. Étant donné un morphisme de pK,�q-algèbres A // A1, on en déduit un morphisme de copréfaisceaux :

hom�pSpecpA1q,´q // hom�pSpecpAq,´q.Il s’ensuit un morphisme de K�“0-schémas SpecpA1q�“0 // SpecpAq�“0 si ces copréfaisceaux sont core-présentables. ⇤Corollaire 2.84. — Gardons les notations est le hypothèses du Théorème 2.82. Alors, pour n P N, le

K�“0-schéma Xn coreprésente le foncteur hom�pSpecppB{Kqbnq,´q.Démonstration. — Fixons l’entier n et notons A “ pB{Kqbn. Notons aussi c et X au lieu de cn et Xn. SoientS un K�“0-schéma et f : SpecpAq // S un élément de hom�“0pSpecpAq, S q. Il s’agit de montrer qu’ilexiste un morphisme g : X // S tel que f “ g ˝ c. (L’uncité que g est alors claire puisque le morphisme cest fidèlement plat.)

Soit pTiqiPI un recouvrement de S par des ouverts a�nes et notons Vi “ f ´1pTiq. Soit pVi jq jPJi un recou-vrement de Vi par des ouverts a�nes standards de SpecpAq. Ainsi, Vi j » SpecpAra´1

i j sq et les ai j, pour i P Iet j P Ji, engendrent A comme idéal. On notera fi j : Vi j // Ti les morphismes obtenus par restriction de f .

Puisque f P hom�pSpecpAq, S q, le morphisme ´ ˝ f : OpTiq // OpVi jq se factorise par le sous-anneauOpVi jq�“0 “ pAra´1

i j sq�“0. Notons Ui j “ cpVi jq et ci j : Vi j // Ui j le morphisme déduit de c. D’aprèsle Théorème 2.82(c), on a un isomorphisme canonique OpUi jq » OpVi jq�“0. Il existe donc un uniquemorphisme de K�“0-algèbres OpTiq // OpUi jq rendant commutatif le triangle :

OpTiq //

´˝ f ''

OpUi jq´˝c✏✏

OpVi jq.Puisque Ti est a�ne, ce morphisme correspond à un morphisme de K�“0-schémas gi j : Ui j // Ti tel quefi j “ gi j ˝ ci j. Notons encore gi j : Ui j // T le morphisme gi j composé avec l’inclusion Ti ãÑ T .

Nous allons montrer que les gi j se recollent. Quitte à ra�ner les recouvrements pVi jq jPJi , nous pouvonssupposer que les schémas Vi j sont connexes et donc irréductibles. (En e↵et, SpecpAq est un schéma normal,ce qui découle du fait que c est régulier et que X est lisse.) Il s’ensuit que les Ui j sont aussi irréductibles.Soient ↵, � P ≤

iPI Ji. Si U↵ X U� “ H, il n’y a rien à montrer. Supposons donc que U↵ X U� , H. Cecientraîne que V↵ X V� , H. En e↵et, si V↵ X V� “ H alors V↵ \ V� est un ouvert standard de SpecpAqet on doit donc avoir OpU↵ Y U�q “ OpV↵ \ V�q�“0. Ceci est absurde puisque U↵ Y U� est connexe etOpU↵ Y U�q ne contient pas d’idempotents non triviaux, ce qui n’est pas le cas de OpV↵ \ V�q�“0. Ainsi,le morphisme V↵ X V�

// U↵ X U� est dominant. Or, il égalise les deux morphismes g↵|U↵XU� , g1�|U↵XU� :

U↵ X U�// S . Ceci montre que g↵|U↵XU� “ g�|U↵XU� . On peut donc recoller les morphismes pg↵q↵ pour

obtenir un morphisme g défini surî

i, j Ui j. Il reste à voir que pUi jqiPI, jPJi est un recouvrement de X ce quidécoule du fait que c : SpecpAq // X est surjectif car fidèlement plat. ⌅

48 JOSEPH AYOUB

Théorème 2.85. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et detype fini. Alors, le schéma simplicial SpecpC‚pN{Kqq�“0 est un K�“0-groupoïde algébrique. De plus, il estbirationnellement isomorphe au groupoïde rationnel Gal�, rat

‚ pN{Kq.Démonstration. — D’après le Théorème 2.82(c) et (e), on sait que le corps des fractions du K�“0-schémaSpecpCnpN{Kqq�“0 s’identifie canoniquement à FracpCnpN{Kqq�“0. Ceci montre que le K�“0-schéma semi-simplicial SpecpC‚pN{Kqq�“0 est birationnellement isomorphe à Gal�, rat

‚ pN{Kq.Pour n > 2, considérons le morphisme

Specpn`1 foishkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkj

N bK N bK ¨ ¨ ¨ bK Nq�“0 //

n foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkjSpecpN bK Nq�“0 ˆN�“0 ¨ ¨ ¨ ˆN�“0 SpecpN bK Nq�“0 (86)

induit par les morphismes SpecpCnpN{Kqq�“0 // SpecpC1pN{Kqq�“0 correspondant aux inclusions 1 ãÑ nd’image ti, i ` 1u. Nous allons montrer que (86) est un isomorphisme ce qui établira la condition (a) de laProposition 2.52 pour le schéma simplicial SpecpCnpN{Kqq�“0.

Nous savons déjà que (86) est un isomorphisme birationnel puisque Gal�, rat‚ pN{Kq est un K�“0-groupoïde

rationnel (cf. la Proposition 2.76). Il su�t donc de montrer que ce morphisme est fidèlement plat. On disposed’un carré commutatif :

SpecppN{Kqbn`1q „//

cn`1

✏✏

SpecpN bK Nq ˆN ¨ ¨ ¨ ˆN SpecpN bK Nqc2ˆ¨¨¨ˆc2✏✏

SpecppN{Kqbn`1q�“0(86)// SpecpN bK Nq�“0 ˆN�“0 ¨ ¨ ¨ ˆN�“0 SpecpN bK Nq�“0.

D’après le Théorème 2.82(b), le morphisme cn`1 et fidèlement plat. Il est donc su�sant de montrer que lemorphisme c2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ c2 est fidèlement plat. Ceci découle par récurrence du Lemme 2.86 ci-dessous, et duThéorème 2.82(b), (d) et (e).

La condition (b) de la Proposition 2.52 se démontre en utilisant le même argument. Les détails serontlaissés au lecteur. ⌅Lemme 2.86. — Soient k un corps et k1{k une extension telle que k est algébriquement clos dans k1. SoientX et Y des k-schémas de type fini, et X1 et Y 1 des k1-schémas. On suppose donnés des morphismes fidèlementplats de k-schémas p : X1 // X et q : Y 1 // Y. On suppose aussi que le morphisme Y 1 // Y ˆk k1, déduitde q, est plat. Alors, le morphisme p ˆ q : X1 ˆk1 Y 1 // X ˆk Y est fidèlement plat.Démonstration. — Le morphisme X1 ˆk1 Y 1 // X ˆk Y est plat. En e↵et, on peut le factoriser de la manièresuivante :

X1 ˆk1 Y 1 // X1 ˆk1 pk1 ˆk Yq » X1 ˆk Y // X ˆk Y.Il reste donc à montrer qu’il est surjectif. Pour cela, on peut supposer que k est algébriquement clos. (Ene↵et, si k est une clôture algébrique de k, k1 bk k est encore un corps puisque k est algébriquement clos dansk1. Il est donc loisible de remplacer k, k1, X, X1, etc, par k, k1 bk k, X bk k, X1 bk k, etc.)

Puisque le morphisme X1 ˆk1 Y 1 // X ˆk Y est plat, son image est stable par générisation, i.e., si ⇠ P ⌘ etsi ⇠ est dans l’image, il en est de même de ⌘. Il su�t donc de montrer que tout point fermé est dans l’imagede ce morphisme. Puisque k a été supposé algébriquement clos, et que les k-schémas X et Y sont de typefini, les points fermés de X ˆk Y sont les k-points. On fixe donc x P Xpkq et y P Ypkq. Puisque p et q sontfidèlement plats, les fibres X1

x “ p´1pxq et Y 1y “ q´1pyq sont des sous-schémas fermés non vides de X1 et Y 1.

Le sous-schéma fermé X1x ˆk1 Y 1

y est également non vide et ses points sont envoyés sur le point px, yq par lemorphisme p ˆ q. Ceci termine la preuve du lemme. ⌅Définition 2.87. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et de

type fini. Le K�“0-groupoïde algébrique SpecpC‚pN{Kqq�“0 est appelé le groupoïde de Galois di↵érentielde N{K ; on le note Gal�‚ pN{Kq. Si K�“0 “ N�“0, on obtient même un K�“0-groupe algébrique qu’on notesimplement Gal�pN{Kq ; en tant que K�“0-schéma, il est donné par SpecpN bK Nq�“0.Remarque 2.88. — Comme dans la Remarque 2.79, on voit facilement que le K�“0-groupoïde algébriqueGal�‚ pN{Kq est connexe et admet finiment d’objets. ⇤


On note la conséquence suivante.Corollaire 2.89. — Reprenons les hypothèses et les notations du Théorème 2.82. Alors, les K�“0-

schémas Xn sont quasi-projectifs (et en particulier séparés).Démonstration. — Vu le Théorème 2.85 et la Remarque 2.88, il est su�sant de montrer qui si G est ungroupoïde algébrique de type fini sur un corps k et si obpGq est représenté par un k-schéma étale, alorsflpGq est représenté par un k-schéma quasi-projectif. Quitte à remplacer k par une extension finie, ce quiest loisible par [23, Corollaire 6.6.5], on peut supposer que obpGq est une somme disjointe de copies deSpecpkq. Dans ce cas, flpGq est une somme disjointe de k-groupes algébriques et de k-torseurs sur des k-groupes algébriques. Quitte à remplacer une deuxième fois k par une extension finie, on peut supposer queflpGq est une somme disjointe de k-groupes algébriques. Or, il est bien connu qu’un k-groupe algébrique estreprésenté par un k-schéma quasi-projectif (voir [19]). ⌅Proposition 2.90. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et

de type fini. On suppose que K�“0 “ N�“0. Alors, le groupe des K�“0-points du K�“0-groupe algébriqueGal�pN{Kq “ SpecpN bK Nq�“0 agit à gauche sur la �-extension N{K de la manière suivante. Soit g PGal�pN{KqpK�“0q et soit a P N bK N un non diviseur de zéro tel que SpecppN bK Nra´1sq�“0q est unvoisinage a�ne du point rationnel g. Alors, les compositions de

↵ : N d0// N bK N // N bK Nra´1s bpNbK Nra´1sq�“0, g K�“0

� : N d1// N bK N // N bK Nra´1s bpNbK Nra´1sq�“0, g K�“0

sont des isomorphismes de pK,�q-corps, et l’action de g sur N est donnée par �´1 ˝ ↵.Démonstration. — Soit B Ñ N une sous-pK,�q-algèbre de type fini satisfaisant aux conditions (a)–(d) duThéorème 2.82. D’après le Corollaire 2.81, SpecpBq est naturellement un Gal�pN{Kq-schéma rationnel.Cette action est donnée par l’unique morphisme rationnel

a : Gal�pN{Kq ˆK�“0 SpecpBq // SpecpBqqui rend commutatif le triangle

SpecpB bK Bq�“0 ˆK�“0 SpecpBq

a

✏✏

SpecpB bK Bqpc1,d0q 33

d1 -- SpecpBq(cf. la Remarque 2.69). Plus précisément, d’après le Théorème 2.82(d), on sait que le morphisme pc1, d0qest une immersion ouverte. On note W son image : c’est un ouvert dense de Gal�pN{Kq ˆK�“0 SpecpBq etl’action a est définie sur W.

Si g est un point rationnel de Gal�“0pN{Kq, alors son action sur SpecpBq est définie sur un ouvert dense.En e↵et, d’après le Théorème 2.82(b), c´1

1 pgq est non vide. Il s’ensuit que d0pc´11 pgqq est un ouvert non vide

de SpecpBq ; il est nécessairement dense puisque SpecpBq est irréductible. De plus, il est facile de voir quel’action de g est donnée par Specratp�q ˝ Specratp↵q´1 “ Specratp↵´1 ˝ �q. L’action de g sur le corps desfractions de SpecpBq est donc donnée par l’inverse de ↵´1 ˝ �. Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅Remarque 2.91. — La Proposition 2.90 n’est pas vraiment satisfaisante. En e↵et, on aimerait avoir une

action algébrique du K�“0-groupe algébrique Gal�“0pN{Kq et non seulement une action « discrète » dugroupe des ses points rationnels. Il est possible d’obtenir une telle action, non pas sur la �-extension N{K,mais plutôt sur son modèle canonique qui est un K-schéma quasi-projectif et lisse X, muni d’une action de� sur son faisceau structural, et tel que N s’identifie au corps des fractions de X. Nous ne décrirons pas cetteconstruction ici. Le lecteur intéressé est invité à consulter [18]. ⇤Théorème 2.92. — Gardons les hypothèses de la Proposition 2.90. Alors, Gal�pN{KqpK�“0q s’identifie

naturellement au groupe de tous les automorphismes de la �-extension N{K.

50 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Dans la Proposition 2.90 nous avons décrit une action du groupe Gal�pN{KqpK�“0qsur la �-extension N{K. Cette action est fidèle puisqu’elle provient d’un torseur rationnel sour le K�“0-groupe algébrique Gal�pN{Kq. Il reste à montrer que tout pK,�q-automorphisme � : N „

// N coïncide avecl’action d’un g P Gal�pN{KqpK�“0q. Le K�“0-point g est donné par la composition de

SpecpK�“0q » SpecpNq�“0�// SpecpN bK Nq�“0

idb�// SpecpN bK Nq�“0.

La vérification que ce K�“0-point redonne l’automorphisme � par le procédé décrit dans la Proposition 2.90est fastidieuse mais facile. Elle sera laissée au lecteur. ⌅

2.7. Démonstration d’un résultat technique. —Dans ce paragraphe, nous démontrerons le Théorème 2.82 qui a servi dans la construction du groupoïde

de Galois di↵érentiel associé à une �-extension normale au §2.6. Nous commençons pas une réduction.Lemme 2.93. — Pour démontrer le Théorème 2.82, il su�t de considérer le cas où K�“0 est algébriquementclos et K�“0 “ N�“0.Démonstration. — Soit K�“0 une clôture algébrique de K�“0 et notons K “ K bK�“0 K�“0. Alors, N bK�“0

K�“0 est un produit direct de pK,�q-corps N1, ¨ ¨ ¨ ,Ns. De plus, les �-extensions Ni{K sont isomorphesdeux à deux puisqu’elles sont subordonnées à N{K (cf. le Théorème 2.29 et la Définition 2.33). Il s’ensuitque pour 1 6 i, j 6 s, la �-extension Ni{K est totalement décomposée par �-extension N j{K (cf. laRemarque 2.22). Ceci montre que les �-extensions Ni{K sont également isomorphes deux à deux.

Notons G le groupe de Galois de l’extension K�“0{K�“0. D’après la discussion précédente, la pK,�q-algèbre N “ N bK�“0 K�“0 est un produit direct de s copies d’un même pK,�q-corps N1 vérifiant pN1q�“0 “K�“0. Supposons que le Théorème 2.82 est connu pour la �-extension normale N1{K. Soient B1 Ñ N1 unesous-pK,�q-algèbre de type fini et c1, n : SpecppB1{Kqbnq // X1, n des morphismes tels que les propriétés(a)–(e) sont vérifiées.

En prenant le produit direct de s-copies de B1, on trouve une sous-pK,�q-algèbre de type fini B Ñ N. Enprenant pour Xn et cn un coproduit de sn copies de X1, n et c1, n, on obtient des morphismes de K�“0-schémascn : SpecppB{Kqbnq // Xn. Il est immédiat que les propriétés (a)–(e) sont encore vérifiées pour B Ñ N etles cn.

Le reste de la preuve est un exercice en descente galosienne. Soit B1 la sous-pK,�q-algèbre de N engen-drée par les translatés de B par l’action de G. Puisque B est de type fini sur K, la K-algèbre B1 est de typefini. Puisque FracpBq “ N, on a aussi

FracpBq “ FracpB1q “ N.

On peut donc trouver une sous-pK,�q-algèbre de type fini B2 Ñ N, stable par l’action de G et qui estune localisation commune de B et B1. En particulier, la sous-pK,�q-algèbre B2 Ñ N et les morphismesc2

n : SpecppB2{Kqbnq // Xn satisfont aux propriétés (a)–(e).En utilisant le Corollaire 2.84, on déduit que les schémas Xn sont aussi munis d’une action de G et les

morphismes c2n sont G-équivariants. On pose B “ pB2qG, Xn “ Xn{G et cn : SpecppB{Kqbnq // Xn les

morphismes induits. La vérification des propriétés (a)–(e) pour B et les morphismes cn est facile et seralaissée au lecteur. ⌅

À partir de maintenant et jusqu’à la fin du paragraphe, la �-extension normale et de type fini N{K serafixée et nous supposerons que K�“0 est algébriquement clos et que K�“0 “ N�“0. Soit B Ñ N une sous-pK,�q-algèbre de type fini telle que FracpBq “ N. Nous nous réservons le droit de localiser B par un nondiviseur de zéro chaque fois que cela nous semble utile. En particulier, en utilisant le Théorème 1.20 et laProposition 2.24, nous pouvons supposer que la K-algèbre B est de type fini et lisse.

Nous démontrons d’abord une version générique du Théorème 2.82.Proposition 2.94. — Pour tout n P N, il existe un ouvert dense et distingué V Ñ SpecppB{Kqbnq, et un

morphisme de K�“0-schémas v : V // U tels que les conditions suivantes sont satisfaites.


(a) Le K�“0-schéma U est a�ne, de type fini et lisse.(b) Le morphisme v est fidèlement plat, à fibres géométriques connexes, ouvert et régulier. Le morphisme

SpecppB{Kqbnq // K ˆK�“0 U, déduit de v, est de type fini et lisse.(c) Si V 1 Ñ V est un ouvert a�ne standard et U 1 “ vpV 1q, alors OpU 1q » OpV 1q�“0.(d) Les morphismes V // SpecpBq ˆK�“0 U déduits de v et des n projections V // SpecpBq, sont des

immersions ouvertes denses.

Démonstration. — Notons a P pB{Kqbn le non diviseur de zéro fourni par le Théorème 1.45 appliqué àla pK,�q-algèbre pB{Kqbn. Posons V “ SpecppB{Kqbnra´1sq et U “ SpecpppB{Kqbnra´1sq�“0q, et notonsv : V // U le morphisme évident. Alors, U est un K�“0-schéma a�ne, de type fini et lisse, et v estrégulier, fidèlement plat et ouvert. Le Théorème 1.45 nous dit aussi que si V 1 Ñ V est un ouvert distingué,il existe un ouvert distingué V2 Ñ V 1, dense dans V 1, tel que U2 “ vpV2q est un ouvert distingué de U etOpU2q “ OpV2q�“0. Ceci permettra en particulier de remplacer V et U par des ouverts denses arbitrairementpetits.

La propriété (a) de l’énoncé est donc satisfaite. La première moitié de la propriété (b) est aussi satisfaitemis à part la connexité géométrique des fibres ; elle découle de la surjectivité de v et de la propriété (d)puisque SpecpBq est un K�“0-schéma géométriquement connexe. La deuxième moitié de la propriété (b) estsatisfaite quitte à rétrécire l’ouvert V puisque V // KˆK�“0 U est un morphisme dominant entre K-schémasde type fini.

La propriété (d) est également facile à réalisée. En e↵et, puisque la �-extension N{K est normale, lesmorphismes V // SpecpBqˆK�“0 U sont des isomorphismes birationnels. On peut donc rétrécir V pour queces morphismes deviennent des immersions ouvertes denses.

Il reste à établir la propriété (c). Comme rappelé ci-dessus, il existe un ouvert distingué V2 Ñ V 1, densedans V2, et tel que U2 “ vpV2q est un ouvert distingué et OpU2q “ OpV2q�“0. En fait, on peut mêmesupposer que V2 “ V 1 X v´1pU2q (cf. le Théorème 1.45(b)). Puisque v|V 1 : V 1 // U 1 est fidèlement plat, ondéduit que OpU 1q “ OpV 1q XOpU2q, l’intersection étant prise dans OpV2q. (En e↵et, O est un faisceau pourla topologie fpqc ; voir par exemple [51].) Il s’ensuit que OpU 1q “ OpV 1q X OpV2q�“0 “ OpV 1q�“0. ⌅Définition 2.95. — Soient n P N et V Ñ SpecppB{Kqbnq un ouvert. Nous dirons que V est bon s’il

existe un K�“0-schéma de type fini et lisse U, et un morphisme de K�“0-schémas v : V // U vérifiant lesconditions (b)–(d) de la Proposition 2.94.

Ainsi, la Proposition 2.94 a�rme que SpecppB{Kqbnq contient un ouvert dense et bon.Lemme 2.96. — Soit V Ñ SpecppB{Kqbnq un ouvert bon au sens de la Définition 2.95 et v : V // U le

K�“0-morphisme associé. Alors, U coreprésente le copréfaisceau hom�pV,´q. En particulier, le morphismev est unique à un unique isomorphisme près.Démonstration. — La preuve est exactement la même que celle du Corollaire 2.84. Précisons quandmême la définition du copréfaisceau hom�pV,´q qui, strictement parlant, ne rentre pas dans le cadre dela Construction 2.83. Si S est un K�“0-schéma, hom�pV, S q est l’ensemble des morphismes de K�“0-schémas f : V // S satisfaisant à la condition suivante : pour tout x P V , l’image du morphisme ´ ˝ f :OS , f pxq // OV,x est contenue dans le sous-anneau pOV,xq�“0. ⌅

Sous les conditions du Lemme 2.96, nous noterons V�“0 le K�“0-schéma U.Corollaire 2.97. —

(i) Si V Ñ SpecppB{Kqbnq est un bon ouvert, il en est de même de tout ouvert V 1 Ñ V. De plus, V 1�“0 est

l’image de V 1 par v : V // V�“0.(ii) Si V1 et V2 sont des ouverts bons de SpecppB{Kqbnq, il en est de même de V1 Y V2.

Démonstration. — La partie (i) est claire et elle est incluse pour mémoire. Nous nous concentrons doncsur la partie (ii). Pour i P t1, 2u, notons Ui “ pViq�“0 et vi : Vi // Ui le morphisme canonique. Notonsaussi V “ V1 Y V2 et V12 “ V1 X V2. On peut supposer que V1 et V2 sont connexes. (Utiliser que v1 et v2induisent des bijections sur les ensembles des composantes connexes.) De même, si V1 X V2 “ H, alors

52 JOSEPH AYOUB

v “ v1 \ v2 vérifie les conditions (b)–(d) de la Proposition 2.94. On peut donc se concentrer sur le casV12 ,H. Ainsi, dans la suite, V , V1, V2 et V12 seront supposés connexes, et donc aussi irréductibles puisquele schéma SpecppB{Kqbnq est normal.

En utilisant (i), nous obtenons des isomorphismes canoniques :

v1pV12q » pV12q�“0 » v2pV12q. (87)

Ceci nous permet de construire un K�“0-schéma U par recollement de U1 et U2 suivant l’isomorphismecomposé (87). Nous avons alors un morphisme de K�“0-schémas v : V // U ainsi qu’un diagrammecommutatif à flèches horizontales des immersions ouvertes :

V1//

✏✏

V

✏✏

V2oo

✏✏

U1// U U2.oo

Nous identifierons U1 et U2 à leurs images dans U de sorte que U1 “ vpV1q, U2 “ vpV2q et U1 X U2 “vpV1 X V2q.

Montrons que le morphisme v : V // U ainsi construit vérifie les conditions (b)–(d) de la Proposition2.94. Commençons par la fin : les morphismes V // SpecpBq ˆK�“0 U sont des immersions ouvertes. Ene↵et, c’est bien le cas des restrictions de ces morphismes aux ouverts Vi, pour i P t1, 2u. Or, V est supposéirréductible ce qui entraîne que V1 et V2 sont denses dans V . On peut donc appliquer le Lemme 2.98 ci-dessous pour conclure.

Par construction, le morphisme v est fidèlement plat, ouvert et régulier. Il découle de (d) qu’il est aussi àfibres géométriques connexes. La seconde moitié de (b) est claire.

Il reste à démontrer la propriété (c). Soit V 1 Ñ V un ouvert distingué non vide et notons, pour i P t1, 2u,V 1

i “ Vi X V 1 et U 1i “ vpV 1

i q. Puisque V 1 “ V 11 Y V 1

2, nous avons U 1 “ U 11 Y U 1

2. Ainsi, OpU 1q est lenoyau de la double flèche OpU 1

1q ˆ OpU 12q //

// OpU 11 X U 1

2q. Puisque le morphisme V 11 X V 1

2// U 1

1 X U 12

est dominant, le morphisme OpU 11 X U 1

2q // OpV 11 X V 1

2q�“0 est injectif. Il s’ensuit que OpUq est aussi lenoyau de la double flèche OpV 1

1q�“0 ÔpV 12q�“0 //

// OpV 11 XV 1

2q�“0. Ceci fournit l’identification recherchéeOpU 1q “ OpV 1q�“0, et termine la preuve du corollaire. ⌅

Lemme 2.98. — Soient X un schéma séparé et U, V Ñ X des ouverts denses tels que X “ U Y V. Soitj : X // Y un morphisme de schémas et supposons que j|U et j|V sont des immersions ouvertes. Alors j estaussi une immersion ouverte.Démonstration. — Quitte à remplacer Y par son ouvert jpXq “ jpUq Y jpVq, on peut supposer que lemorphisme j est surjectif. Il s’agit dans ce cas de montrer que j est un isomorphisme. Le problème est localsur Y : il su�t donc de montrer que les morphismes j´1 jpUq // jpUq et j´1 jpVq // jpVq, déduits de j parchangement de base suivant les inclusions jpUq ãÑ Y et jpVq ãÑ Y respectivement, sont des isomorphismes.Autrement dit, on peut supposer que Y “ jpUq. En identifiant Y et U, on a donc une rétraction j : X // Ude l’inclusion évidente U ãÑ X. Puisque X est séparé, l’inclusion U ãÑ X est nécessairement une immersionfermée. Puisque U est un ouvert dense, on obtient que U “ X. ⌅

Lemme 2.99. — Soit V Ñ SpecppB{Kqbnq un ouvert distingué, bon au sens de la Définition 2.95. Soitq : V // SpecppB{Kqbnq une immersion ouverte telle que ´ ˝ q : pB{Kqbn // OpVq est un morphismede pK,�q-algèbres. Supposons que pour toutes les projections pri : SpecppB{Kqbnq // SpecpBq, pour1 6 i 6 n, il existe une immersion ouverte qi : pripVq // SpecpBq telle que le carré

Vq//

✏✏

SpecppB{Kqbnqpri✏✏

pripVq qi// SpecpBq

commute. Alors, qpVq est aussi un ouvert bon de SpecppB{Kqbnq.


Démonstration. — Notons U “ V�“0 et v : V // U le morphisme canonique. Posons V 1 “ qpVq etv1 : V 1 // U la composition de qpVq » V // U. Il est clair que v1 satisfait aux conditions (b) et (c) dela Proposition 2.94, et ceci sans supposer l’existence des immersions ouvertes qi. Ces immersions ouvertesservent à vérifier la condition (d). En e↵et, elles permettent décrire les morphismes V 1 // SpecpBq ˆK�“0 Ucomme les compositions de

V 1 » V // pripVq ˆK�“0 Uqiîd// SpecpBq ˆK�“0 U

ce qui entraîne immédiatement que ces morphismes sont des immersions ouvertes denses. ⌅Proposition 2.100. — Quitte à localiser la pK,�q-algèbre B par un non diviseur de zéro, le K-schéma

SpecppB{Kqbnq, vu comme un ouvert de lui-même, est bon au sens de la Définition 2.95.Démonstration. — D’après la Proposition 2.80, SpecpBq est un Gal�, ratpN{Kq-torseur rationnel défini surK. Rappelons que G “ Gal�, ratpN{Kq est le groupe rationnel de Galois di↵érentiel de la �-extension nor-male N{K (cf. la Définition 2.78). D’après le Corollaire 2.73 et quitte à localiser B par un non diviseur dezéro, on peut supposer que l’action rationnelle a : G ˆK�“0 SpecpBq // SpecpBq est définie sur un ouvertdense W Ñ G ˆK�“0 SpecpBq tel que les morphismes a|W , pr2|W : W // SpecpBq sont plats et surjectifs, etle morphisme ppr1|W , a|Wq : W // G ˆK�“0 SpecpBq est une immersion ouverte d’image dense.

Le K�“0-groupe rationnel Gn “ GˆK�“0 ¨ ¨ ¨ˆK�“0 G agit rationnellement sur le K-schéma SpecppB{Kqbnqvia l’action produit

an : Gn ˆK�“0 SpecppB{Kqbnq // SpecppB{Kqbnq.Cette action est définie sur l’ouvert dense Wn “ W ˆK ¨ ¨ ¨ ˆK W de SpecppB{Kqbnq. Il est encore vraique les morphismes an|Wn , pr2|Wn : Wn // SpecppB{Kqbnq sont plats et surjectifs, et que le morphismeppr1|Wn , an|Wnq : Wn // Gn ˆK�“0 SpecppB{Kqbnq est une immersion ouverte d’image dense.

D’après la Proposition 2.94 il existe un ouvert dense et bon V Ñ SpecppB{Kqbnq. D’après la Proposition2.74, on peut trouver des éléments g1, ¨ ¨ ¨ , gm P GnpK�“0q tels que SpecppB{Kqbnq est recouvert par lesimages des immersions ouvertes an

gi: pWnqgi X V // SpecppB{Kqbnq. Le Corollaire 2.97 et le Lemme 2.99

permettent de conclure. ⌅En démontrant la Proposition 2.100, nous avons trouvé une sous-pK,�q-algèbre simple et de type fini

B Ñ N et des morphismes cn : SpecppB{Kqbnq // Xn tels que les conditions (a)–(d) du Théorème 2.82 sontsatisfaites. Il nous reste à vérifier la condition (e). Pour cela, il su�t de montrer que si B1 est une localisationde B par un non diviseur de zéro, alors les morphismes c1

n : SpecppB1{Kqbnq // Xn, obtenus en composantles cn avec les inclusions évidentes SpecppB1{Kqbnq ãÑ SpecppB{Kqbnq, sont surjectifs. Ceci est un casparticulier du lemme suivant.Lemme 2.101. — Soient k un corps et W, W0, et Xi, pour 1 6 i 6 n, des k-schémas. Soient c : W // W0 etpi : W // Xi, pour 1 6 i 6 n, des k-morphismes. On suppose que les morphismes ppi, cq : W // Xi ˆk W0sont des immersions ouvertes. Alors, si Ui Ñ Xi sont des ouverts denses, on a

cpWq “ cpp´11 pUiq X ¨ ¨ ¨ X p´1

n pUnqq.

Démonstration. — Ceci découle par récurrence du Lemme 2.71. ⌅Le Théorème 2.82 est maintenant démontré !

2.8. Correspondance de Galois di↵érentielle. —Dans ce paragraphe, nous démontrerons l’analogue di↵érentiel de la correspondance de Galois qui est

essentiellement due à Kolchin.Théorème 2.102. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension normale et detype fini telle que K�“0 “ N�“0. Il existe alors une bijection strictement décroissante entre l’ensemble dessous-�-extensions M{K Ñ N{K et celui des sous-K�“0-groupes fermés de Gal�pN{Kq. Cette correspon-dance associe à M{K le sous-groupe Gal�pN{Mq. De plus, la �-extension M{K est normale si et seulement

54 JOSEPH AYOUB

si Gal�pN{Mq est un sous-groupe distingué de Gal�pN{Kq. Dans ce cas, on a un isomorphisme canoniquede K�“0-groupes algébriques :

Gal�pM{Kq » Gal�pN{KqGal�pN{Mq . (88)

Jusqu’à la fin de ce paragraphe, nous fixons une fois pour toute une �-extension normale N{K commedans l’énoncé du Théorème 2.102. Nous commençons avec le résultat suivant.Proposition 2.103. — Soit M{K Ñ N{K une sous-�-extension. Alors, Gal�pN{Mq est naturellement un

sous-K�“0-groupe fermé de Gal�pN{Kq. Si la �-extension M{K est normale, alors Gal�pM{Kq est naturel-lement un quotient de Gal�pN{Kq et on a une suite exacte courte de K�“0-groupes algébriques :

1 // Gal�pN{Mq // Gal�pN{Kq // Gal�pM{Kq // 1. (89)

Démonstration. — Pour une sous-�-extension générale M{K Ñ N{K, on dispose d’un morphisme deK�“0-schémas simpliciaux

SpecpC‚pN{Mqq�“0 // SpecpC‚pN{Kqq�“0

induisant un morphisme de K�“0-groupes algébriques

Gal�pN{Mq “ SpecpN bM Nq�“0 // SpecpN bK Nq�“0 “ Gal�pN{Kq. (90)

Montrons que le morphisme (90) est une immersion fermée. Puisqu’il s’agit d’un morphisme de K�“0-groupes algébriques, il su�t de montrer que (90) est une immersion localement fermée génériquementsur SpecpN bM Nq�“0. Il su�t de vérifier ceci après changement de base suivant l’extension N{K�“0. Or,d’après le Théorème 2.82(d), les morphismes

SpecpN bM Nq // N bK�“0 SpecpN bM Nq�“0 et SpecpN bK Nq // N bK�“0 SpecpN bK Nq�“0

sont des isomorphismes génériquement. Il est donc su�sant de montrer que le morphisme

SpecpN bM Nq // SpecpN bK Nqest une immersion fermée, ce qui est clair.

Supposons maintenant que M{K est elle-même une �-extension normale. On dispose alors d’un mor-phisme de K�“0-schémas simpliciaux

SpecpC‚pN{Kqq�“0 // SpecpC‚pM{Kqq�“0

induisant un morphisme de K�“0-groupes algébriques

Gal�pN{Kq “ SpecpN bK Nq�“0 // SpecpM bK Mq�“0 “ Gal�pM{Kq. (91)

Puisque le morphisme SpecpN bK Nq // SpecpM bK Mq est dominant, il en est de même du morphisme(91). Ceci entraîne que Gal�pM{Kq est un quotient de Gal�pN{Kq.

Il reste à établir la suite exacte (89). Seule l’exactitude au milieu nécessite une preuve et, pour cela, ondoit montrer que le carré

SpecpN bM Nq�“0(90)//

✏✏

SpecpN bK Nq�“0

(91)✏✏

SpecpMq�“0�// SpecpM bK Mq�“0

est cartésien. Puisqu’il s’agit d’un carré commutatif de K�“0-groupes algébriques, il su�t de montrer quece carré est cartésien génériquement sur SpecpN bM Nq�“0. Il su�t aussi de vérifier cela après change-ment de base suivant M{K�“0 sur la ligne horizontale inférieure et suivant N{K�“0 sur la ligne horizontale


supérieure. En utilisant le Théorème 2.82(d), on se ramène donc à considérer le carré

SpecpN bM Nq //

✏✏

SpecpN bK Nq✏✏

SpecpMq �// SpecpM bK Mq

qui est évidemment cartésien. Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

On fixe une clôture algébrique K�“0 de K�“0 et on note K “ K bK�“0 K�“0 et N “ N bK�“0 K�“0. Lerésultat suivant fournit un « inverse » à la correspondance M{K Gal�pN{Mq.Lemme 2.104. — Soit H Ñ Gal�pN{Kq un sous-K�-groupe fermé. Il existe alors une unique sous-�-

extension FixpHq{K Ñ N{K telle que FixpHq bK�“0 K�“0 Ñ N est le sous-corps des éléments fixés parl’action du groupe Gal�“0pN{KqpK�“0q. De plus, on a une identification canonique H “ Gal�pN{FixpHqq.Démonstration. — La construction de FixpHq est facile. On note FixpHq Ñ N le sous-pK,�q-corps deséléments fixés par le sous-groupe HpK�“0q Ñ Gal�pN{KqpK�“0q. Puisque H est défini sur K�“0, il découleaussitôt que FixpHq est stable par l’action de GalpK�“0{K�“0q. On pose alors

FixpHq “ FixpHqGalpK�“0{K�“0q.

Par descente galoisienne, on a bien FixpHq bK�“0 K�“0 “ FixpHq.Il reste à identifier H avec Gal�“0pN{FixpHqq. Clairement HpK�“0q et Gal�“0pN{FixpHqqpK�“0q agissent

sur la �-extension N{FixpHq. D’après le Théorème 2.92, on a donc une inclusion

HpK�“0q Ñ Gal�pN{FixpHqqpK�“0qet il en découle que H Ñ Gal�pN{FixpHqq. On peut donc remplacer K par FixpHq, supposer que FixpHq “K et chercher à montrer que H “ Gal�pN{Kq. Or, d’après le Corollaire 2.81, le K-schéma SpecratpN{Kqest un Gal�pN{Kq-torseur rationnel. Puisque HpK�“0q est Zariski dense dans H, on obtient que

SpecratpFixpHqq “ SpecratpNHpK�“0qq » SpecratpNq{H

qui n’est isomorphe à SpecpKq que lorsque H “ Gal�pN{Kq. Ceci termine la preuve du lemme. ⌅Lemme 2.105. — Soit M{K Ñ N{K une sous-�-extension et notons H “ Gal�pN{Mq. Alors, M “

FixpHq.Démonstration. — Comme avant, on fixe une clôture algébrique K�“0 de K�“0. Clairement, HpK�“0qagit par l’identité sur M bK�“0 K�“0. Il s’ensuit que M Ñ FixpHq. Ainsi, on peut remplacer K par M,supposer que H “ Gal�pN{Kq, et chercher à montrer que FixpGal�pN{Kqq “ K. On procède comme dansla dernière partie de la preuve du Lemme 2.104. D’après le Corollaire 2.81, le K-schéma SpecratpN{Kq estun Gal�pN{Kq-torseur rationnel. Puisque Gal�pN{KqpK�“0q est Zariski dense dans Gal�pN{Kq, on obtientque

SpecratpFixpGal�pN{Kqqq “ SpecratpNGal�pN{KqpK�“0qq » SpecratpNq{Gal�pN{Kq “ SpecpKq.Ceci termine la preuve du lemme. ⌅Démonstration du Théorème 2.102. — Les correspondances

M{K Ñ N{K Gal�pN{Mq et H Ñ Gal�pN{Mq FixpHq{K

sont inverses l’une de l’autre. En e↵et, si H Ñ Gal�pN{Kq est un sous-K�“0-groupe algébrique, le Lemme2.104 assure que H “ Gal�pN{FixpHqq. Réciproquement, si M{K Ñ N{K une sous-�-extension, le Lemme2.105 assure que M “ FixpGal�pN{Mqq.

Si la �-extension M{K est normale, la Proposition 2.103 assure que Gal�pN{Mq est un sous-groupedistingué de Gal�pN{Kq et donne l’isomorphisme canonique (88). Pour terminer la preuve du théorème, ilreste à montrer que si Gal�pN{Mq est un sous-groupe distingué alors M{K est une �-extension normale.

56 JOSEPH AYOUB

Dans le reste de la preuve, on supposera que K�“0 est algébriquement clos, ce qui ne restreint pas lagénéralité. Si g P Gal�pN{KqpK�“0q, on a

Gal�pN{gpMqq “ g ¨ Gal�pN{Mq ¨ g´1.

(En e↵et, tout point rationnel du sous-groupe g ¨ Gal�pN{Mq ¨ g´1 fixe tous les éléments de gpMq.) Ainsi,si Gal�pN{Mq est distingué dans Gal�pN{Kq, on a Gal�pN{gpMqq “ Gal�pN{Mq ce qui entraîne que M “gpMq.

Notons C1, ¨ ¨ ¨ ,Cn les corps résiduels des points génériques de Gal�pN{Kq. Pour tout 1 6 i 6 n, ondispose d’un point canonique gi P Gal�pN{KqpCiq et d’un automorphisme de FracpN bK�“0 Ciq qu’onnotera encore gi. Le même argument utilisé ci-dessus montre que cet automorphisme envoie le sous-�-corps FracpM bK�“0 Ciq dans lui-même. En démêlant les constructions (cf. la Proposition 2.90), on obtientque la composition de

N d0// FracpN bK Nq FracpN bK�“0 FracpN bK Nq�“0q„

oo “n∫

i“1

FracpN bK�“0 Ciq

envoie M dans≤n

i“1 FracpM bK�“0 Ciq. En posant C “ ≤ni“1 Ci “ FracpN bK Nq�“0, obtient alors un carré

commutatifM bK M //

✏✏

FracpM bK�“0 Cq✏✏

N bK N // FracpN bK�“0 Cq.Ceci montre en particulier que M bK M s’injecte dans FracpM bK�“0 Cq ce qui permet d’obtenir un mor-phisme de pK,�q-algèbres artiniennes FracpM bK Mq // FracpM bK Cq. Il découle du Corollaire 1.43 quechaque facteur indécomposable de FracpM bK Mq est une �-extension de M engendrée par des constantes.Il s’ensuit que la �-extension M{K est totalement décomposée par elle-même, i.e., elle est normale. Cecitermine la preuve du théorème. ⌅

2.9. Quelques compléments. —Dans ce paragraphe, on donne des compléments à la théorie de Galois di↵érentielle. D’abord, on explique

comment isoler la plus grande sous-�-extension de Picard-Vessiot d’une �-extension normale et on étendla correspondance de Galois di↵érentielle à des �-extensions de Picard-Vessiot qui ne sont pas supposéesde type fini. Ensuite, on construit des clôtures normales et de Picard-Vessiot d’un �-corps. Enfin, on fait lelien entre représentations linéaires du groupe de Galois di↵érentiel absolu et les modules di↵érentiels.Définition 2.106. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension de type fini.

On dit que N{K est de Picard-Vessiot si elle est normale (i.e., de Kolchin) et si son groupoïde de Galoisdi↵érentiel Gal�‚ pN{Kq est linéaire (i.e., donné par un schéma simplicial a�ne).

Lorsque la �-extension N{K n’est plus supposée de type fini, on dira qu’elle est de Picard-Vessiot sielle est normale et si tous ses sous-�-extensions normales et de type fini sont de Picard-Vessiot au sensprécédant.Lemme 2.107. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension normale. Alors

N{K est de Picard-Vessiot si et seulement si la �-extension N{K bK�“0 N�“0 est de Picard-Vessiot.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que la �-extension N{K est de type fini.Le lemme découle alors du fait que sur un corps k, un k-groupoïde algébrique G‚ ayant finiment d’objetsest a�ne si et seulement si le G0-groupe algébrique G1 ˆpd0,d1q,G0ˆkG0,� G0 est a�ne. ⌅

On aura besoin d’un résultat simple et bien connu sur les groupes algébriques.Proposition 2.108. — Soit G un groupe algébrique sur un corps k. Alors, OpGq est naturellement une

algèbre de Hopf et G // SpecpOpGqq un morphisme de groupes algébriques. De plus, ce morphisme estinitial parmis les morphismes de G dans un k-groupe algébrique linéaire.


Démonstration. — Tout découle de la remarque suivante. Si X et Y sont des k-schémas de type fini, alorsOpXq bk OpYq » OpX ˆk Yq. En e↵et, il su�t d’utiliser que le produit tensoriel au-dessus de k est exact. ⌅Théorème 2.109. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension normale. Il

existe alors une plus grande sous-�-extension M{K Ñ N{K qui est de Picard-Vessiot. Si K�“0 “ N�“0

et si la �-extension N{K est de type fini, alors Gal�pM{Kq s’identifie au quotient linéaire maximal deGal�pN{Kq, i.e., au K�“0-groupe a�ne SpecpOpGal�pN{Kqqq.Démonstration. — On se ramène aussitôt au cas où N{K est de type fini et K�“0 “ N�“0. Le résultatrecherché est alors une conséquence immédiate de la correspondance de Galois, i.e., le Théorème 2.102, etde la Proposition 2.108. ⌅Proposition 2.110. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension de Picard-

Vessiot. Supposons que K�“0 “ N�“0. Alors, pN bK Nq�“0 est naturellement une K�“0-algèbre de Hopf quiest de type fini si et seulement si la �-extension N{K est de type fini.Démonstration. — Supposons d’abord que la �-extension N{K est de type fini. Puisque N{K est de Picard-Vessiot, le K�“0-schéma SpecpN bK Nq�“0 est a�ne ; en e↵et il représente Gal�pN{Kq. Or, d’après leThéorème 2.82(c), on a OpSpecpN bK Nq�“0q “ pN bK Nq�“0. Il s’ensuit que

Gal�pN{Kq “ SpecpN bK Nq�“0 “ SpecppN bK Nq�“0qce qui donne la structure d’algèbre de Hopf sur la K�“0-algèbre pN bK Nq�“0.

Si N{K n’est pas nécessairement de type fini, on peut tout de même l’écrire comme l’union filtrante dedes sous-�-extensions normales de type fini : N “ î

↵ N↵. Alors, les N↵ sont des �-extensions de Picard-Vessiot de type fini. D’après la discussion précédente, les K�“0-algèbres pN↵ bK N↵q�“0 sont naturellementdes algèbres de Hopf. Il en est donc de même de la K�“0-algèbre pN bK Nq�“0 puisqu’elle est l’unionfiltrante des pN↵ bK N↵q�“0. ⌅

La Proposition 2.110 permet d’étendre la construction du groupe de Galois di↵érentiel au cas d’une�-extension de Picard-Vessiot qui n’est pas nécessairement de type fini.Définition 2.111. — Gardons les hypothèses de la Proposition 2.110. Alors, le pro-K�“0-groupe linéaire

SpecppN bK Nq�“0q est appelé le groupe de Galois di↵érentiel de N{K et sera noté Gal�pN{Kq.On a aussi une correspondance de Galois « infinie ».

Théorème 2.112. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, et N{K une �-extension de Picard-Vessiot telle que K�“0 “ N�“0. Il existe alors une bijection strictement décroissante entre l’ensemble dessous-�-extensions M{K Ñ N{K et celui des sous-groupes fermés du pro-K�“0-groupe linéaire Gal�pN{Kq.Cette correspondance associe à M{K le sous-groupe Gal�pN{Mq. De plus, la �-extension M{K est nor-male si et seulement si Gal�pN{Mq est un sous-groupe distingué de Gal�pN{Kq. Dans ce cas, on a unisomorphisme canonique de K�“0-groupes algébriques :

Gal�pM{Kq » Gal�pN{KqGal�pN{Mq . (92)

Démonstration. — Il s’agit d’une extension immédiate du Théorème 2.102. ⌅Remarque 2.113. — Évidemment, la restriction aux �-extensions « infinies » de Picard-Vessiot est une

restriction de forme. On peut sans di�culté étendre la correspondance de Galois di↵érentielle pour les �-extensions « infinies » normales, quitte à se battre avec des pro-groupes algébriques non nécessairementlinéaires. ⇤

On passe maintenant à la construction des clôtures normales. Expliquons d’abord de quoi il s’agit.Définition 2.114. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle. Une clôture normale (ou de Kolchin)

de K est une �-extension normale pK{K maximale au sens suivant. Toute �-extension normale M{K estisomorphe à une sous-�-extension de pK{K.Proposition 2.115. — Tout �-corps de caractéristique nulle possède une clôture normale unique à un

isomorphisme (non unique) près.

58 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Soit pN↵{Kq↵PI une famille de représentants des classes d’isomorphismes des�-extensionsnormales et de type fini de K. Pour chaque ↵ P I, on choisit une sous-pK,�q-algèbre simple et de type finiS ↵ Ñ N↵. Ceci permet de reproduire l’argument utilisé à la fin de la démonstration du Théorème 2.15 (voiraussi [50, Theorem 1]). On obtient de cette manière une �-extension pK{K et des inclusions de pK,�q-corpsi↵ : N↵ ãÑ pK, pour ↵ P I, telles que l’extension pK�“0{K�“0 est algébrique et le pK,�q-corps pK est engendrépar les i↵pN↵q.

Clairement, les �-extensions N↵{K sont totalement décomposées par pK{K. En utilisant la Proposition2.27, on déduit que la �-extension pK{K est totalement décomposée par elle-même ; elle est donc normale.

Puisque toute �-extension normale et de type fini est isomorphe à l’une des N↵{K, il découle que pK{Kdécompose totalement toute �-extension normale M{K, même si cette �-extension n’est pas de type fini.La Proposition 2.38 montre alors que M{K est isomorphe à une sous-�-extension de pK{K. De plus, cettesous-�-extension est unique d’après le Corollaire 2.37, ce qui donne en particulier l’unicité de pK{K àisomorphisme près. ⌅Définition 2.116. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle. Une clôture de Picard-Vessiot de K

est une �-extension de Picard-Vessiot rK{K maximale au sens suivant. Toute �-extension de Picard-VessiotM{K est isomorphe à une sous-�-extension de rK{K.Proposition 2.117. — Tout �-corps de caractéristique nulle possède une clôture de Picard-Vessiot rK{K

unique à un isomorphisme (non unique) près. Si pK{K est une clôture normale de K, alors rK{K est iso-morphe à la plus grande sous-�-extension de pK{K qui est de Picard-Vessiot.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Théorème 2.109 et de la Proposition 2.115. ⌅

Définition 2.118. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et rK{K une clôture de Picard-Vessiot.Alors, le pro- rK�“0-groupe linéaire Gal�p rK{KbK�“0 rK�“0q est appelé le groupe de Galois di↵érentiel linéaireabsolu de K ; il sera noté ÄGal�K.

Dans le reste du paragraphe, nous faisons le lien entre modules di↵érentiels et représentations du groupede Galois di↵érentiel linéaire absolu. Nous commençons par une définition.Définition 2.119. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M un pK,�q-module de rang fini surK. On dit qu’une �-extension L{K trivialise M si le pL,�q-module M bK L est trivial, i.e., isomorphe à Ln

muni de l’action évidente de �. Il revient de même de demander que le L-vectoriel M bK L admet une baseformée de vecteurs constants.

Le résultat suivant est certainement bien connu.Proposition 2.120. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M un pK,�q-module de rang fini

sur K. Il existe alors une �-extension de Picard-Vessiot L{K de type fini qui trivialise M.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que K�“0 est algébriquement clos. Ondivise la preuve en deux étapes.Étape A : Nous allons d’abord démontrer qu’il existe une �-extension de type fini L{K qui trivialise M ettelle que L�“0 “ K�“0. (Le fait qu’on peut remplacer L{K par une �-extension de Picard-Vessiot sera établidans l’étape suivante.)

On raisonne par récurrence sur le rang de M. Lorsque ce rang est nul, il n’y a rien à montrer. Supposonsdonc que M est non nul et notons A la pK,�q-algèbre symétrique

ÀdPN Sd M_. Alors M bK A admet un

vecteur constant non nul donné par l’image de 1 P K du morphisme de pK,�q-modules K ãÑ MbK M_. SoitB un quotient simple de la pK,�q-algèbre Ar f ´1

i ; i P Is, où p fiqiPI est une base de M_. Alors, K1 “ FracpBqest une�-extension de type fini vérifiant K1�“0 “ K�“0 et telle que le pK1,�q-module M1 “ MbK K1 possèdeun vecteur constant non nul, engendrant une droite D1 Ñ M1. L’hypothèse de récurrence appliquée à M1{D1fournit une �-extension de type fini K2{K1 vérifiant K2�“0 “ K1�“0 et telle que M1{D1 bK1 K2 possède unebase formés de vecteurs constants. Ainsi, quitte à remplacer K par K2, on peut supposer que M admet unebase e0, ¨ ¨ ¨ , en telle que Bipe0q “ 0 et Bipe jq “ ui, je0, avec ui, j P K, pour tout 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 n. On aalors les relations Bi1pui2 jq “ Bi2pui1 jq qui entraînent que la pK,�q-algèbre E “ Kxx1, ¨ ¨ ¨ xny{pBix j “ ui jq est


non nulle. Si L est le corps des fractions d’un quotient simple de E, le pL,�q-module M bK L est trivial ; iladmet une base de vecteurs constants donnée par e0 et les e j ´ x j ¨ e0 où x j et la classe de x j dans L.

Étape B : Ici, nous montrons comment remplacer la �-extension L{K de l’étape précédente par une sous-�-extension de Picard-Vessiot.

Fixons une base pv1, ¨ ¨ ¨ , vrq du K-module M. Soit pw1, ¨ ¨ ¨ ,wrq une base du L-module M bK L tels queBipwjq “ 0 pour tout 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 r. Soit pgjkq16 j, k6r la matrice à coe�cients dans L telle que :

wj “rÿ

k“1

gjk ¨ vk

et notons A Ñ L la sous-pK,�q-algèbre engendrée par les gjk et N “ FracpAq son corps des fractions. Ilest clair que le pA,�q-module M bK A admet une base de vecteurs constants, i.e., il est isomorphe à Ar. Ils’ensuit que la �-extension N{K trivialise M. Pour terminer, il reste à voir que N{K est de Picard-Vessiot.

Notons B “ Ardetpgjkq´1s. Il existe alors une matrice phjkq16 j, k6r à coe�cients dans B telle que

v j “rÿ

k“1

hjk ¨ wk.

Pour 1 6 k 6 r, notons fk : M // B le morphisme K-lineaire donné par fkpv jq “ hjk. Par construction,fk est un morphisme de pK,�q-modules. De plus, les images des fk engendrent une sous-pK,�q-algèbre detype fini A1 Ñ B telle que A1rdetphjkq´1s “ B. Il s’ensuit que N “ FracpA1q.

Puisque N{K trivialise le pK,�q-module M, il découle que la pN,�q-algèbre N bK A1 est engendrée parses constantes. Autrement dit, le morphisme

N bN�“0 pN bK A1q�“0 // N bK A1

est un isomorphisme. En particulier, la �-extension N{K est totalement décomposée par elle-même. C’estdonc une �-extension normale. Par ailleurs, le groupe algébrique SpecpN bK Nq�“0 admet un morphismevers un schéma a�ne, à savoir SpecpN bK A1q�“0, induisant un isomorphisme génériquement. Ceci n’estpossible que lorsque le groupe algébrique SpecpN bK Nq�“0 est a�ne. Autrement dit, la �-extension N{Kest bien de Picard-Vessiot. ⌅

La Proposition 2.120 suggère la construction suivante.

Construction 2.121. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et M un pK,�q-module de rang finir. On suppose que M est trivialisé par une �-extension de Picard-Vessiot N{K telle que K�“0 “ N�“0 “ C.Nous allons associer à M une représentation algébrique (à gauche) de rang r du groupe de Galois di↵érentielGal�pN{Kq. Le C-vectoriel sous-jacent à cette représentation est V “ pMbK Nq�“0. L’action de Gal�pN{Kqsur V est induite par la composition de

V “ pM bK Nq�“0 d0// pM bK N bK Nq�“0

pM bK N bC pN bK Nq�“0q„OO

„// pM bK Nq�“0 bC pN bK Nq�“0.

On laisse au lecteur le soin de vérifier que ceci définit bien une représentation algébrique du groupeGal�pN{Kq “ SpecppN bK Nq�“0q. ⇤

Théorème 2.122. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et N{K une �-extension de Picard-Vessiot telle que K�“0 “ N�“0 “ C. La Construction 2.121 fournit une équivalence de catégories entre,d’une part, la catégorie des pK,�q-modules de rang fini trivialisés par N{K, et d’autre part, la catégoriedes représentations algébriques (à gauche) de rang fini du groupe Gal�pN{Kq.

60 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Décrivons la construction inverse. Soit V une représentation algébrique du groupeGal�pN{Kq de rang r. Cette représentation (à gauche) est donnée par une une coaction (à droite) sur l’al-gèbre de Hopf pN bK Nq�“0. Notons ca : V // V bC pN bK Nq�“0 cette coaction. Nous posons alors

M “ eq"

V bC Nv//

u// V bC N bK N

*

où u et v sont respectivement les compositions de

V bC N » V bC N bK K ãÑ V bC N bK N et de

V bC N ca// V bC pN bK Nq�“0 bC N // V bC N bK N.

Les morphismes v et u étant des morphismes de pK,�q-modules, le K-vectoriel M est naturellement unpK,�q-module. Nous montrerons que M bK N est isomorphe à Nr en tant que pN,�q-module, ce qui entraî-nera en particulier que M est de rang r sur K.

Pour calculer v b idN , on utilise le diagramme commutatif (où cm et m désignent la comultiplication etla multiplication de l’algèbre de Hopf pN bK Nq�“0) :

V bC pN bK Nq�“0 bC N cm//

pidV bmq˝ca✏✏

V bC pN bK Nq�“0 bC pN bK Nq�“0 bC N //

pidV bmq˝ca✏✏

V bC pN bK N bK Nq�“0 bC NpidV bmq˝ca✏✏

V bC pN bK Nq�“0 bC N ca//

✏✏


✏✏

V bC pN bK N bK Nq�“0 bC N

✏✏

V bC N bK N ca// V bC pN bK Nq�“0 bC N bK N // V bC N bK N bK N.

De même, on a le carré commutatif évident (où ⌘ désigne l’unité de l’algèbre de Hopf pN bK Nq�“0) :

V bC pN bK Nq�“0 bC Nidb⌘//

pidV bmq˝ca✏✏


pidV bmq˝ca✏✏

V bC pN bK N bK Nq�“0 bC NpidV bmq˝ca✏✏

V bC pN bK Nq�“0 bC Nidb⌘//

✏✏

V bC pN bK Nq�“0 bC pN bK Nq�“0 bC N // V bC pN bK N bK Nq�“0 bC N

✏✏

V bC N bK NubidN

// V bC N bK N bK N.

Les flèches verticales à droite et à gauche dans les deux diagrammes ci-dessus, induisent des isomorphismesen passant aux fibres génériques. Il s’ensuit que M bK N est, à isomorphisme près, sandwiché entre les deuxN-modules

V bC eq

#

pN bK Nq�“0 bC Ncm//

idb⌘// pN bK Nq�“0 bC pN bK Nq�“0 bC N

+

et

V bC eq

#

Frac`pN bK Nq�“0 bC N

˘ cm//

idb⌘// Frac

`pN bK Nq�“0 bC pN bK Nq�“0 bC N˘+

.

Or, les deux égalisateurs ci-dessus sont égaux à N ; il s’agit là d’un fait général valable pour toute algèbrede Hopf sur N.

Le reste de la preuve est une vérification pénible du fait que la construction décrite ci-dessus fournit unfoncteur quasi-inverse au foncteur décrit dans la Construction 2.121. Nous n’avons pas eu le courage derédiger les détails. ⌅


3. Théorie de Galois di↵érentielle supérieure

D’après la Section 1, nous pouvons associer à un �-corps de caratéristique nulle K un pro-groupoïdealgébrique (non nécessairement a�ne) unique à un isomorphisme non unique près, son pro-groupoïde deGalois di↵érentiel absolu. Il est défini comme étant le pro-groupoïde de Galois di↵érentiel d’une clôturenormale du �-corps K. Dans cette section, nous allons voir que le pro-groupoïde de Galois di↵érentielabsolu de K est le pro-groupoïde fondamental d’un pro-K�“0-schéma semi-simplical que nous appelleronsle type d’homotopie feuilleté du �-corps K. Ce dernier admet des groupes d’homotopie supérieurs non nulsqui jouerons un rôle important dans la suite.

Le language géométrique, réduit au minimum vital dans la Section 1, devient de plus en plus pertinent etmême indispensable. Ainsi, nous commençons cette section par la notion de �-schéma qui, plus loin, seraenglobée dans une notion plus générale de feuilletage schématique. Ensuite, nous introduisons une nou-velle topologie de Grothendieck, qu’on appellera la topologie feuilletée. Il s’agit en vérité d’une extensionassez immédiate de la topologie étale au contexte des schémas di↵érentiels. Le troisième paragraphe estconsacré au « lemme curieux » (voir le Théorème 3.90), qui sera d’un grand secours dans l’étude de latopologie feuilletée. Ce lemme motive et crédibilise notre définition du type d’homotopie feuilleté. Le restede la section est consacré à l’étude de la tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté d’un �-corps decaractéristique nulle, et notamment de ses groupes d’homotopie supérieurs.

3.1. Quelques notions élémentaires de géométrie �-algébrique. —Comme avant, un ensemble fini d’opérateurs di↵érentiels � “ tB1, ¨ ¨ ¨ , Bmu sera fixé.

Définition 3.1. —

(i) Un espace (localement) �-annelé est un espace (localement) annelé pX,OXq en �-anneaux. Plus préci-sément, pour tout ouvert U Ñ X, l’anneau OXpUq est muni d’une action de � qui en fait un �-anneauet, pour toute inclusion d’ouverts V Ñ U, le morphisme de restriction ⇢U

V : OXpUq // OXpVq est unmorphisme de �-anneaux.

(ii) Un morphisme d’espaces (localement) �-annelés f : pY,OYq // pX,OXq est un morphisme d’espaces(localement) annelés qui respecte les structures de �-anneaux, i.e., tel que OXpUq // OYp f ´1pUqqest un �-morphisme.

(iii) Enfin, un �-schéma est un espace �-annelé pX,OXq tel que l’espace annelé sous-jacent (i.e., obtenuen oubliant les actions des B P �) est un schéma. Les morphismes de �-schémas (qu’on appelle aussisimplement �-morphismes) sont les morphismes d’espaces localement �-annelés.

On peut considérer, d’une manière plutôt trivial, un schéma ordinaire comme �-schéma en décrétant queles opérateurs di↵érentiels B P � s’annulent sur toutes les sections de son faisceau structural. Comme decoutume, nous omettons souvent le faisceau structural OX des notations. Étant donné un �-schéma S , nousappellerons pS ,�q-schémas les morphismes de �-schémas de but S .Proposition 3.2. — Soit A un �-anneau. Alors, le schéma a�ne SpecpAq est naturellement un �-schéma.De plus, pour tout espace localement �-annelé pX,OXq, il existe une bijection canonique entre l’ensemblesdes morphismes d’espaces localement �-annelés f : pX,OXq // SpecpAq et l’ensembles des morphismesde �-anneaux A // OXpXq. Cette bijection envoie f sur le morphisme induit sur les sections globales.Démonstration. — Montrons que SpecpAq est naturellement un �-schéma. Soit U Ñ SpecpAq un ouvertZariski et soient p fiqiPI une famille d’éléments de A telle que U “ î

iPI Dp fiq. (Rappelons que Dpaq estl’ouvert standard de SpecpAq formé des idéaux premiers de A ne contenant pas a.) Pour i, j P I, soit pgkqkPKi j

une famille d’éléments de A telle que Ui X U j “ îkPKi j

Dpgkq. Alors, OpUq s’identifie canoniquement àl’égalisateur de la double flèche π

iPI

Ar f ´1i s //

//

π

i, jPI

π

kPKi j

Arg´1k s. (93)

Or, pour tout f P A, l’anneau Ar f ´1s possède une unique structure de �-anneaux telle que le morphismeévident A // Ar f ´1s commute à l’action de �. De plus, si g P A est un multiple de f , le morphisme

62 JOSEPH AYOUB

Ar f ´1s // Arg´1s commute aussi à l’action de �. Ceci entraîne aussitôt que l’égalisateur de (93) possèdeune action de � qui en fait un �-anneau. Il est immédiat que cette action ne dépend pas des choix e↵ectuéset qu’elle est compatible aux morphismes de restrictions.

La deuxième moitié de l’énoncé est une conséquence immédiate de son analogue pour les anneaux etles espaces localement annelés (cf. [22, Proposition 1.6.3]). Le seul point qui mérite d’être mentionné estle suivant. Soit � : A // OXpXq un morphisme de �-anneaux et considérons le morphisme d’espaceslocalement annelés h : X // SpecpAq qui lui est associé. Alors, h est un morphisme d’espaces �-annelés.En e↵et, soit U Ñ SpecpAq un ouvert Zariski et montrons que OpUq // OXph´1pUqq est bien un morphismede �-anneaux. D’après la construction de l’action de � sur OpUq, il est su�sant de traiter le cas où U “Dp f q pour un certain f P A. Il s’agit alors de vérifier que le morphisme

Ar f ´1s // OXph´1pDp f qqqcommute à l’action de �. Ceci est clair puisque A // OXph´1pDp f qqq est un morphisme de �-anneaux. ⌅Remarque 3.3. — Soit A un �-anneau. Les pSpecpAq,�q-schémas seront simplement appelés les pA,�q-

schémas. D’après la Proposition 3.2, la donnée d’un pA,�q-schéma équivaut à la donnée d’une structure depA,�q-algèbres sur le �-anneau des sections globales du faisceau structural d’un �-schéma. ⇤Corollaire 3.4. — Le foncteur A SpecpAq fournit une équivalence entre la catégorie des �-anneaux

et celle des �-schémas a�nes.Proposition 3.5. — La catégorie des �-schémas possède les limites finies et ils commutent au foncteur

« oubli de l’action de � ».Démonstration. — Il su�t de montrer que les produit fibré de �-schémas existe et qu’il commute au fonc-teur d’oubli. (En e↵et, le produit direct de �-schémas est un le produit fibré au-dessus de SpecpZq.)

Si S “ SpecpAq, X “ SpecpBq et Y “ SpecpCq sont des �-schémas a�nes et si des �-morphismesX // S et Y // S sont donnés, alors le produit fibré X ˆS Y est donné par SpecpB bA Cq où B bA Cest muni de la structure de �-anneaux décrite dans l’Exemple 1.2. Ceci est une conséquence immédiate dela Proposition 3.2. Le produit fibré en général est obtenu par recollement comme dans la preuve de [22,Théorème 3.2.1]. Une autre manière de pocéder est de construire une action de � sur le faisceau structuraldu produit fibré de schémas XbS Y en recollant les actions dont nous disposons d’après le cas des �-schémasa�nes. ⌅Proposition 3.6. — Soit X un �-schéma et notons O�“0

X le sous-préfaisceau de OX donné par O�“0X pUq “

OXpUq�“0 pour tout ouvert Zariski U Ñ X. Alors, O�“0X est un faisceau.

Démonstration. — En e↵et, O�“0X est le noyau du morphisme de faisceaux

∞BP� B : OX //

ÀBP�OX. Il

est donc lui-même un faisceau. ⌅Définition 3.7. — Soit X un �-schéma. Un pOX,�q-module est un faisceau de OX-modules M muni d’uneaction de � telle que Bpa ¨ lq “ a ¨ Bplq ` Bpaq ¨ l pour tout B P �, et toutes sections a et l de OX et M. LepOX,�q-module M est dit quasi-cohérent s’il en est ainsi du OX-module sous-jacent.Proposition 3.8. — Soitent A un �-anneau et M un pA,�q-module. Alors, le OSpecpAq-module quasi-

cohérent rM associé à M est naturellement un pOSpecpAq,�q-module quasi-cohérent. De plus, le foncteurM rM définit une équivalence entre la catégorie des pA,�q-modules et celle des pOSpecpAq,�q-modulesquasi-cohérents.Démonstration. — La construction de l’action de � sur rM se fait comme dans la preuve de Proposition 3.2.L’équivalence de catégories de l’énoncé découle facilement de [22, Théorème 1.4.1 et Corollaire 1.4.2]. ⌅Exemple 3.9. — Soit f : Y // X un morphisme de �-schémas. Alors, le OY-module⌦ f des di↵érentiellesde Kähler relatives est naturellement un pOY ,�q-module quasi-cohérent. Il s’agit d’une extension immédiatede l’Exemple 1.3. (On peut aussi l’obtenir comme le faisceau normal de l’immersion diagonale Y ãÑ YˆXY .Cette immersion étant un morphisme de �-schémas, la structure de pOY ,�q-module sur ⌦ f s’en déduit.) ⇤Remarque 3.10. — Si X est un �-schéma, alors OX est un pOX,�q-module quasi-cohérent. Les sous-

pOX,�q-modules sont appelés les �-idéaux de OX.


Si I Ñ OX est un �-idéal quasi-cohérent, le sous-schéma fermé ZpIq Ñ X qu’il définit est naturellementun �-schéma. On parlera alors de sous-�-schéma fermé de X. On a ainsi une bijection entre les �-idéauxquasi-cohérents de OX et les sous-�-schémas fermés de X. ⇤

Remarque 3.11. — Soient X un �-schéma et U Ñ X un ouvert. Alors, l’espace localement �-anneléobtenu en restreignant le faisceau structural OX à U, est aussi un �-schéma. Nous dirons que U est unsous-�-schéma ouvert de X. On dispose aussi de la notion de sous-�-schéma localement fermé de X. C’estsimplement un �-schéma fermé d’un �-schéma ouvert de X.

Toutefois, voici un point extrêmement important où la « topologie » des �-schémas di↵ère de celle desschémas ordinaires : si U est un sous-�-schéma ouvert d’un �-schéma X, il n’existe pas en général desous-�-schémas fermés complémentaires ! Autrement dit, un sous-ensemble fermé de X ne supporte pas engénéral une structure de �-schémas. ⇤

Définition 3.12. — Soient X un �-schéma et Z Ñ X une partie de X. On dit que Z est un �-fermé s’ilexiste un �-idéal quasi-cohérent I Ñ OX tel que Z “ ZpIq. Autrement dit, un �-fermé est un fermé quisupporte une structure de sous-�-schéma de X.Lemme 3.13. — Soient X un �-schéma et M un pOX,�q-module quasi-cohérent. On suppose que M est

localement de type fini en tant que OX-module. Alors, le support de M est un �-fermé de X. p1q

Démonstration. — La question est locale sur X. On peut donc supposer que X “ SpecpAq et M “ rM oùA est un �-anneau et M un pA,�q-module qui est de type fini en tant que A-module. D’après [21, Chapitre0, (1.7.4)], le support de M coïncide avec le fermé de SpecpAq défini par l’idéal annpMq. Le Lemme 1.4permet de conclure. ⌅

Rappelons qu’un schéma est dit de caractéristique nulle si ses corps résiduels sont de caractéristiquenulle. Un �-schéma est dit de caractéristique nulle si c’est le cas du schéma sous-jacent.Lemme 3.14. — Soient X un �-schéma de caractéristique nulle et I Ä OX un �-idéal quasi-cohérent.

Alors, le radical?I est encore un �-idéal quasi-cohérent.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Lemme 1.5. ⌅

Si X est un schéma, nous notons comme d’habitude Xred “ Zpap0q q son plus grand sous-schéma ferméréduit. D’après le Lemme 3.14, si X est un �-schéma de caractéristique nulle, Xred est naturellement unsous-�-schéma fermé de X. Et si Z Ñ X est un �-fermé, il existe une unique structure de sous-�-schémafermé réduit de X supportée par Z.Définition 3.15. — Soit S un �-schéma. Un pS ,�q-schéma X est dit localement de type fini s’il existe unrecouvrement par des ouverts a�nes pTiqiPI de S et des recouvrements par des ouverts a�nes pYi jq jPJi deX ˆS Ti, tels que les pOpTiq,�q-algèbre OpYiq sont de type fini.

On dit que le pS ,�q-schéma X est de type fini si de plus le S -schéma X est quasi-compact. (Lorsque Sest quasi-compact, ceci équivaut à dire que X est quasi-compact.)Proposition 3.16. — Soient A un �-anneau et B une pA,�q-algèbre. Alors, SpecpBq est un pSpecpAq,�q-

schéma de type fini si et seulement si la pA,�q-algèbre B est de type fini.Démonstration. — Seule la réciproque nécessite une preuve. Supposons donc que le pSpecpAq,�q-schémaSpecpBq est de type fini. Puisqu’une pAr f ´1s,�q-algèbre est de type fini si et seulement si elle est de typefini en tant que pA,�q-algèbre, il existe, d’après la Définition 3.15, un recouvrement de SpecpBq par desouverts a�nes pYjq jPJ tels que les pA,�q-algèbres OpYjq sont de type fini. L’espace topologique SpecpBqétant quasi-compact, on peut supposer que l’ensemble I est fini. Quitte à ra�ner le recouvrement pYjq jPJ,on peut aussi supposer que les ouverts Yj sont standards, i.e., Yj “ Dpbjq pour bj P B.

Pour i P I, la pA,�q-algèbre Brb´1i s est de type fini. On peut donc trouver des éléments gi,1, ¨ ¨ ¨ , gi,ni P B

qui engendrent la pA,�q-algèbre Brb´1i s. Notons C Ñ B la sous-pA,�q-algèbre de B engendrée par la famille

1. On rappelle que le support d’un OX-module M, généralement noté SupppMq, est le sous-ensemble des points x P X telsque le OX,x-module Mx est non nul.

64 JOSEPH AYOUB

pgi,sqiPI,16s6ni . Ainsi, pour tout i P I, nous avons Crb´1i s “ Brb´1

i s et en particulier on a l’égalité des OSpecpAq-modules quasi-cohérents rC “ rB. D’après [22, Théorème 1.3.7], nous déduisons que C “ B, ce qui terminela preuve de la proposition. ⌅Proposition 3.17. — Soit f : Y // X un morphisme quasi-compact de �-schémas. Alors, l’image ferméeschématique de f est un sous-�-schéma fermé de X. p2q

Démonstration. — La question est locale au-dessus de X. On peut donc supposer que X “ SpecpAq est un�-schéma a�ne. Puisque f est quasi-compact, il s’ensuit que Y admet un recouvrement fini pYiqiPI par desouverts a�nes Yi. Or, l’image fermée schématique de f est l’union des images fermées schématiques def |Yi . Ainsi, on peut supposer que Y est lui même a�ne, isomorphe à SpecpBq. Mais alors, l’image ferméeschématique de f est donnée par le sous-schéma fermé défini par l’idéal kertA Ñ Bu qui est clairement un�-idéal. ⌅Corollaire 3.18. — Soit f : Y // X un morphisme quasi-compact de �-schémas. Si Z Ñ Y est un�-fermé, il en est de même de f pZq.

Nous aurons besoin de versions a↵aiblies des notions de quasi-compacité et de type finitude. Nous lesintroduisons dans la définition ci-dessous.Définition 3.19. —(a) Un �-schéma (ou, plus généralement, un schéma) est dit presque quasi-compact s’il possède un re-

couvrement fini par des ouverts quasi-a�nes. Si S est un �-schéma, un pS ,�q-schéma X (ou sonmorphisme structural) est dit presque quasi-compact s’il existe un recouvrement ouvert pTiqiPI de Stel que les schémas X ˆS Ti sont presque quasi-compacts.

(b) Si A est un �-anneau, un pA,�q-schéma X est dit presque de type fini s’il existe un recouvrement de Xpar des ouverts Zariski Y j Ñ X, pour 1 6 j 6 n, admettant des immersions ouvertes Y j ãÑ SpecpBjq oùles Bj sont des pA,�q-algèbres de type fini. Plus généralement, un pS ,�q-schéma X (ou son morphismestructural) est dit presque de type fini s’il existe un recouvrement pTiqiPI de S par des ouverts a�nestel que les pOpTiq,�q-schémas X ˆS Ti sont presque de type fini.

Lemme 3.20. — Soient S un �-schéma et X un pS ,�q-schéma presque quasi-compact (resp. presque detype fini).

(i) Pour tout morphisme de �-schémas S 1 // S , le pS 1,�q-schéma X ˆS S 1 est presque quasi-compact(resp. presque de type fini).

(ii) Si Y est un pX,�q-schéma presque quasi-compact (resp. presque de type fini), alors Y est aussi unpS ,�q-schéma presque quasi-compact (resp. presque de type fini).

(iii) Si U est un ouvert de X, alors U est un pS ,�q-schéma presque quasi-compact (resp. presque de typefini).

(iv) Si le morphisme structural de X se factorise à travers d’un morphisme de �-schémas T // S , alorsX est un pT,�q-schéma presque quasi-compact (resp. presque de type fini).

Démonstration. — Ces propriétés sont immédiates. Elles sont laissées au soin du lecteur. ⌅Proposition 3.21. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et X un pK,�q-schéma presque de type

fini. Alors, toute chaîne décroissante de �-fermés :

Z0 Ö Z1 Ö ¨ ¨ ¨ Ö Zn Ö ¨ ¨ ëst stationnaire.Démonstration. — En utilisant que X est presque quasi-compact, on se ramène facilement au cas où Xest un ouvert d’un pK,�q-schéma a�ne de type fini. Le résultat recherché est alors d’une conséquenceimmédiate du Corollaire 1.14 et de la correspondance biunivoque entre les idéaux parfaits d’un anneau etles �-fermés de son spectre. ⌅

2. Pour plus de précision, nous employons le terme « image fermée schématique » au lieu de « image schématique » de [22,Définition 6.10.1].


3.2. Quotient discret d’un �-schéma. Théorème d’existence. —Dans ce paragraphe, on fixe un �-corps K de caractéristique nulle et on note C “ K�“0 son corps des

constantes. Étant donné un C-schéma X, le produit fibré K bC X “ SpecpKq ˆSpecpCq X est naturellementun pK,�q-schéma. (On applique la Proposition 3.5 en considérant SpecpCq et X comme des �-schémas oùl’action de � est identiquement nulle.) Notons d’abord le résultat suivant.Proposition 3.22. — Le foncteur X K bC X, de la catégorie des C-schémas dans celle des pK,�q-

schémas, est pleinement fidèle.Démonstration. — Puisque K est une C-algèbre fidèlement plate, le foncteur K bC ´ est fidèle. Il reste àmontrer qu’il est plein. Soient X et Y deux C-schémas, et soit ' : K bC Y // K bC X un pK,�q-morphisme.Nous cherchons un morphisme de C-schémas f : Y // X tel que ' “ K bC f . Soit pVjq jPJ un recouvrementouvert de Y et supposons que les ' j “ '|KbCV j proviennent de morphismes de C-schémas f j : Vj // X.Alors, puisque notre foncteur est fidèle, les morphismes f j se recollent pour fournir le morphisme f recher-ché. Ainsi, nous pouvons travailler localement sur Y , ce qui nous permet en particulier de supposer queY “ SpecpBq avec B une C-algèbre.

Soit U Ñ X un ouvert a�ne. Nous allons voir que l’image inverse de K bC U par ' est de la formeK bC V pour un ouvert V Ñ Y . Pour cela, notons W “ '´1pK bC Uq. Puisque U est a�ne, le morphisme'|W : W // K bC U correspond à un morphisme de pK,�q-algèbres '˚ : K bC OpUq // OpWq. Cemorphisme envoie OpUq dans OpWq�“0. D’après le Lemme 3.23 ci-dessous, OpVq » OpWq�“0 où V estl’image de W par la projection K bC Y // Y . Nous disposons donc d’un carré commutatif de pC,�q-algèbres :

OpWq K bC OpUqoo

OpVq

OO

OpUq

OO

oo

qui induit la factorisation suivante du morphisme de pK,�q-algèbres K bC OpUq // OpWq :

K bC OpUq //

++

K bC OpVq✏✏

OpWq.Autrement dit, le morphisme '|W : W // K bC U s’étend en un morphisme '1

U : K bC V // K bC Uprovenant d’un morphisme de C-schémas fU : V // U. Or, W est un ouvert dense dans K bC V . (En e↵et,par construction, l’ouvert W rencontre tous les fibres du morphisme K bC V // V et ces fibres sont desschémas intègres d’après la première assertion de la Proposition 1.41.) Puisque ' et '1

U coïncident sur W,nous déduisons que p'|KbCVqred : pK bC Vqred // pK bC Xqred coïncide avec p'1

Uqred : pK bC Vqred // pK bCXqred. Ceci su�t pour entraîner que K bC V Ñ W et donc aussi l’égalité de ces deux ouverts. De plus, nousobtenons aussi que '|KbCV : K bC V // K bC X provient d’un morphisme de C-schémas fU : V // X.En faisant varier l’ouvert a�ne U Ñ X, on obtient un recouvrement de Y par des ouverts V pour lesquels'|KbCV provient d’un morphisme de C-schémas. La discussion au début de la preuve permet de conclure.⌅

Le lemme ci-dessous généralise le Corollaire 1.37. Il a servi dans la preuve de la Proposition 3.22.Lemme 3.23. — Soit E une C-algèbre et soit W Ñ SpecpK bC Eq un ouvert Zariski. L’image de W par laprojection SpecpK bC Eq // SpecpEq et un ouvert Zariski V Ñ SpecpEq. De plus, on a un isomorphismecanonique OpVq » OpWq�“0.Démonstration. — La première assertion est mise pour mémoire ; elle découle du Lemme 1.48. Le mor-phisme de pC,�q-schémas p : W // V induit un morphisme de C-algèbres OpVq // OpWq�“0 et nouscherchons à montrer que ce morphisme est inversible. Il est plus précis de montrer que le morphisme defaisceaux OV // p˚O�“0

W est inversible (cf. la Proposition 3.6). Ceci a l’avantage de rendre le problème lo-cal sur V . En évaluant ce morphisme de faisceaux sur des ouverts standards de SpecpEq, nous retombons sur

66 JOSEPH AYOUB

notre problème initial dans le cas où V “ SpecpEq, i.e., celui où la projection W // SpecpEq est surjective.C’est ce cas que nous allons considérer dans la suite.

Soit W 1 Ñ W un ouvert qui s’envoie surjectivement sur SpecpEq. D’après [20, Exposé IX, Corollaire4.6], W 1 est schématiquement dense dans W de sorte que le morphisme OpWq // OpW 1q est injectif. On endéduit des inclusions :

E ãÑ OpWq�“0 ãÑ OpW 1q�“0.

Ceci montre qu’il est su�sant de traiter le cas de l’ouvert W 1, i.e., de montrer que E » OpW 1q�“0. Commeapplication de ce principe, nous pouvons supposer que W est un ouvert standard. En e↵et, puisque le schémaSpecpEq est quasi-compact, on peut d’abord trouver un ouvert quasi-compact W 1 Ñ W qui s’envoie surjecti-vement sur SpecpEq. Un argument de passage à la limite montre que, pour des sous-C-algèbres su�sammentgrandes K0 Ñ K et E0 Ñ E, W 1 provient d’un ouvert W 1

0 Ñ SpecpK0 bC E0q qui s’envoie surjectivement surSpecpE0q. On peut alors appliquer le Sous-lemme 3.24 ci-dessous pour conclure.

Fixons g P K bC E tel que W “ Dpgq et notons E1 “ pK bC Erg´1sq�“0. Nous devons montrer quel’inclusion E Ñ E1 est une égalité. Puisque la C-algèbre K est plate et d’après la Proposition 1.36, nousavons une chaîne d’inclusions :

K bC E ãÑ K bC E1 ãÑ K bC Erg´1s.En inversant g dans les deux premiers anneaux, nous obtenons l’égalité K bC Erg´1s “ K bC E1rg´1s.Puisque le E-algèbre K bC Erg´1s est fidèlement plate, ceci montre que l’inclusion E ãÑ E1 est une égalité.⌅

Sous-lemme 3.24. — Soient X et Y des schémas de type fini sur un corps k, et soit f : Y // X un k-morphisme. On suppose que Y est a�ne, et que f est surjectif à fibres irréductibles et de dimension nonnulle. Soit W Ñ Y un ouvert Zariski tel que f pWq “ X. Il existe alors un ouvert standard D Ñ Y, contenudans W et tel que f pDq “ X.Démonstration. — Notons Z “ Y r W. Il su�t de construire un fermé T Ñ Y tel que Z X T “ H etf pT q “ X. En e↵et, puisque Y est a�ne, on peut alors trouver une section a P OpYq qui s’annule sur Z etqui vaut 1 sur T . Il s’ensuit que T Ñ Dpaq Ñ W et D “ Dpaq convient.

Pour construire T on raisonne par récurrence noethérienne sur X. On peut alors supposer que si X1 ( Xest un fermé strict, alors il existe un fermé T 1 Ñ Y , ne rencontrant pas Z et tel que f pT 1q “ X1.

Soient X1 Ñ X et Y 1 Ñ Y les lieux réguliers de Xred et f ´1pX1qred, et notons f 1 : Y 1 // X1 le morphismeinduit. Ce morphisme est dominant puisqu’il en est ainsi de f . De plus, les fibres génériques de f 1 sontirréductibles et de dimension non nulles.

Soit x P X1 un point fermé tel que f est plat en tout point de f ´1pxq et tel que f 1´1pxq , H. Soienty0 et y1 des points fermés distincts de f 1´1pxq r Z. (L’existence de ces points est assurée par l’hypothèsedimp f ´1pxqq ° 0.) Soit t P OpYq une section qui s’annule sur y0 et qui vaut 1 sur ty1u \ Z. PosonsT0 “ Zptq Ñ Y . Nous allons montrer que f pT0q contient un ouvert non vide de X ; ceci et la récurrencenoethérienne terminera la preuve du sous-lemme. En e↵et, dans le cas contraire, il existe un voisinageouvert U Ñ X contenant x et tel que S “ f pT0q X U est de codimension non nulle dans U. (On utilise bienentendu le théorème de Chevalley qui assure que f pT0q est une partie constructible de X.) Notons V l’imageinverse de U dans Y . Quitte à rétrécire U, nous povons supposer que f : V // U est plat. La condition surles fibres de f entraîne alors que V est irréductible. (Plus généralement, si P Ñ U est une partie irréductible,il en est de même de f ´1pPq.) Il est clair que T0 X V Ñ f ´1pS q. Or, f ´1pS q est une partie irréductible decodimension non nulle dans V et T0 X V est un diviseur de Cartier dans V . Il s’ensuit que T0 X V “ f ´1pS q.Mais ceci est impossible puisque y1 < T0 alors que y1 P f ´1pS q. ⌅

Dans le reste de ce paragraphe, nous investiguons l’existence d’un adjoint à gauche au foncteur pleine-ment fidèle K bC ´ de la Proposition 3.22. Il est probable qu’un tel adjoint n’existe pas même si nous nousrestreignons aux pK,�q-schémas réduits et de type fini. Toutefois, nous n’avons pas de contre-exemples àfournir. Au lieu de ça, nous proposons un théorème d’existence « local » (cf. le Théorème 3.31) qui apporteune réponse très satisfaisante à la question. Nous commençons par introduire quelques notions.


Sauf mention explicite du contraire un C-schéma sera considéré comme un pC,�q-schéma en le munissantde l’action identiquement nulle de �.Définition 3.25. — Soient Y un pK,�q-schéma, X un C-schéma et f : Y // X un morphisme de pC,�q-

schémas.

(a) Nous dirons que f : Y // X (ou, s’il n’y a pas de confusion possible, que X) est un quotient discretcatégorique du pK,�q-schéma Y si pour tout C-schéma T, l’application

homCpX,T q // homC,�pY,T q (94)

est bijective.

(b) Nous dirons que f : Y // X (ou, s’il n’y a pas de confusion possible, que X) est un quotient discrete↵ectif du pK,�q-schéma Y si les conditions suivantes sont réunies.

(i) Le morphisme f est ouvert et surjectif.

(ii) Pour tout ouvert V Ñ Y d’image U “ f pVq, le morphisme OpUq // OpVq�“0 est un isomor-phisme.

(c) Nous dirons que f : Y // X (ou, s’il n’y a pas de confusion possible, que X) est un quotient discretpseudo-e↵ectif du pK,�q-schéma Y s’il existe un ouvert schématiquement dense Y0 Ñ Y tel que f |Y0

est un quotient discret e↵ectif du pK,�q-schéma Y0.

Remarque 3.26. — Gardons les notations de la Définition 3.25. Dire que X est un quotient discret ca-tégorique de Y équivaut à dire que le copréfaisceau homC,�pY,´q, défini sur la catégorie des C-schémas,est coreprésentable par X. En particulier, lorsqu’il existe, un quotient discret catégorique est unique à unisomorphisme unique près ; on le notera Y�“0. (Lorsque Y est a�ne, on retrouve ainsi la Construction 2.83.)

Par ailleurs, si T est un C-schéma, on a une bijection canonique :

homC,�pY,T q » homK,�pY,K bC T q.Ainsi, le pK,�q-schéma Y admet un quotient discret catégorique si et seulement si l’hypothétique adjoint àgauche du foncteur K bC ´ (cf. la Proposition 3.22) est défini sur Y . ⇤Exemple 3.27. — Soit X un C-schéma. On peut reformuler la Proposition 3.22 en disant que X est le

quotient discret catégorique de K bC X. Le Lemme 3.23 montre aussi que X est un quotient discret e↵ectifde K bC X. Ceci n’est pas une coïncidence. En e↵et, un quotient discret e↵ectif est catégorique d’après laProposition 3.28 ci-dessous. ⇤Proposition 3.28. — Entre les di↵érents type de quotients discrets introduits dans la Définition 3.25, on

a les implications suivantes :

(e↵ectif) ñ (pseudo-e↵ectif) ñ (catégorique).

Démonstration. — L’implication (e↵ectif) ñ (quasi-e↵ectif) étant évidente, il s’agit de montrer l’impli-cation (pseudo-e↵ectif) ñ (catégorique). Supposons donc que le morphisme f : Y // X est un quotientdiscret pseudo-e↵ectif et soit Y0 Ñ Y un ouvert schématiquement dense tel que f |Y0 satisfait aux conditions(i) et (ii) de la Définition 3.25.

Soit T un C-schéma. On doit montrer que l’application (94) est bijective. Cette application est injective.(En e↵et, d’après (i) et (ii), f |Y0 est surjectif et induit des injections sur les anneaux locaux ; c’est donc aussile cas pour f .) Il en est de même de l’application homC,�pY,T q // homC,�pY0,T q. (En e↵et, Y0 est schéma-tiquement dense dans Y .) Il est donc su�sant de montrer que l’application homCpX,T q // homC,�pY0,T qest surjectif. Ainsi, on peut remplacer Y par Y0 et supposer que f : Y // X est un quotient discret e↵ectif dupK,�q-schéma Y ; étant donné un morphisme de pC,�q-schémas g : Y // T , on montrera qu’il se factorisepar f .

Le reste de la preuve est calqué sur la preuve du Corollaire 2.84, mais aussi, de la Proposition 3.22.

68 JOSEPH AYOUB

Soit pTiqiPI un recouvrement de T par des ouverts a�nes et notons Vi “ g´1pTiq et gi : Vi // Ti lesmorphismes induits. Puisque g est un morphisme de pC,�q-schémas, le morphisme OpTiq // OpViq sefactorise par le sous-anneau OpViq�“0. Notons Ui “ f pViq et fi : Vi // Ui le morphisme déduit de f .D’après (ii). on a un isomorphisme OpUiq » OpViq�“0. Comme dans la preuve de la Proposition 3.22, onobtient alors un morphisme de C-schémas hi : Ui // Ti tel que gi “ hi ˝ fi. Ceci entraîne également queVi “ f ´1pUiq. En e↵et, les morphismes

g| f ´1pUiq : f ´1pUiqred // Tred et f ´1pUiqredf// pUiqred

hi// Tred

coïncident sur l’ouvert Vi qui est dense dans f ´1pUiq. Ces morphismes sont donc égaux et en particulier,l’image inverse de Ti contient f ´1pUiq. (Le fait que Vi est dense dans f ´1pUiq provient du fait que les fibresgénériques du morphisme f : Yred // Xred sont intègres, ce qui est un cas particulier du Lemme 1.40.)

Il est maintenant facile de conclure. En e↵et, on doit montrer que les morphismes hi se recollent sur X.Or, pour i, j P I, on a

f pVi X Vjq “ f p f ´1pUiq X f ´1pU jqq “ f p f ´1pUi X U jqq “ Ui X U j.

Il s’ensuit que le morphisme Vi X Vj // Ui X U j est surjectif. Or, il induit des injections sur les anneauxlocaux d’après la condition (ii) de la Définition 3.25. Puisque gi|ViXV j “ gj|ViXV j , on a nécessairementhi|UiXU j “ hj|UiXU j . ⌅Proposition 3.29. — Soit Y un pK,�q-schéma réduit et de type fini. Il existe alors un ouvert dense Y 1 Ñ Yadmettant un quotient discret e↵ectif X1. Le C-schéma X1 est alors réduit, et, quitte à rétrécir Y 1, on peut lesupposer a�ne et de type fini.Démonstration. — Lorsqu’il existe, le quotient discret e↵ectif d’un pK,�q-schéma réduit est un C-schémaréduit. Ceci découle aussitôt de la Définition 3.25. Le reste de la proposition est essentiellement d’unereformulation du Théorème 1.45.

Puisqu’on travaille localement sur Y , on ne restreint pas la généralité en supposant que Y “ SpecpAqavec A une pK,�q-algèbre intègre et de type fini. On prendra Y 1 “ Dp f q avec f P A comme dans l’énoncédu Théorème 1.45 et on montrera que X1 “ SpecpBq est le quotient discret e↵ectif de Y 1. (On rappelle queB “ pAr f ´1sq�“0.) En fait, il reste à établir la la propriété (ii) de la Définition 3.25 qui est, en apparence,plus forte que la propriété (c) du Théorème 1.45.

Supposons d’abord que l’ouvert V Ñ Y 1 est standard, i.e., de la forme Dp f gq avec g P A. Notons U ÑSpecpBq l’image de V par la projection SpecpAr f ´1sq // SpecpBq. D’après la preuve de la propriété (c) duThéorème 1.45, pour tout h P B tel que Dphq Ñ U, on a bien Brh´1s “ pArp f ghq´1sq�“0. En appliquant cecià un recouvrement de U par des ouverts standards, on déduit facilement que OpUq » OpVq�“0.

On suppose maintenant que V Ñ Y 1 est arbitraire et on note comme avant U son image dans X1. PuisqueX1 est un schéma noethérien, l’ouvert U est quasi-compact et on peut trouver un ouvert quasi-compact deY 1 contenu dans V et ayant même image dans X1. Il est donc su�sant de considérer le cas où V est quasi-compact. Par une récurrence sur le nombre d’ouverts standards nécessaires à couvrir V , on se ramène àmontrer la propriété suivante. Soient V1 et V2 deux ouverts non vides de V tels que V “ V1 Y V2 et tels quela propriété (ii) de la Définition 3.25 est vraie pour les ouverts V1, V2 et V1 X V2. Alors, cette propriété (ii)est aussi pour l’ouvert V .

En e↵et, notons U1, U2 et U12 les images de V1, V2 et V1 X V2 dans X1. Par hypothèse, nous avons lesidentifications suivantes :

OpU1q “ OpV1q�“0, OpU2q “ OpV2q�“0 et OpU12q “ OpV1 X V2q�“0.

Puisque O�“0 est un faisceau, il s’ensuit que OpVq�“0 est l’égalisateur de la double flèche

OpU1q ˆ OpU2q //// OpU12q. (95)

Puisque Y 1 est irréductible, l’ouvert V1 X V2 est non vide. Il en est donc de même de l’ouvert U12. PuisqueX1 est également intègre, il s’ensuit que U12 est dense dans U1 XU2 de sorte que le morphisme de restrictionOpU1 X U2q // OpU12q est injectif. On peut donc remplacer U12 par U1 X U2 dans la double flèche (95)sans changer son égalisateur. On retrouve ainsi l’isomorphisme recherché. ⌅


Corollaire 3.30. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle, et soit tLi{KuiPI une famille finie de �-extensions pseudo-normales et de type fini. Alors, le �-schéma SpecpbiPILi{Kq possède un quotient discrete↵ectif.Démonstration. — Par descente galoisienne on peut supposer que K�“0 est algébriquement clos. Pour i P I,notons L1

i “ Ltdi le noyau totalement décomposable de la �-extension Li{K. Alors, le morphisme

SpecpbiPILi{Kq // SpecpbiPIL1i{Kq

est fidèlement plat et ouvert. Or, nous avons FracpbiPILi{Kq�“0 “ FracpbiPIL1i{Kq�“0. Il en découle que si

SpecpbiPIL1i{Kq possède un quotient discret e↵ectif, il en est de même de SpecpbiPILi{Kq et ces quotients

s’identifient canoniquement. Ainsi, nous pouvons supposer que les �-extensions Li{K sont normales.D’après la Proposition 3.29, il existe un ouvert dense U Ñ SpecpbiPILi{Kq admettant un quotient discret

e↵ectif. Or, le groupe de K�“0-points de±

iPI Gal�pLi{Kq agit sur le �-schéma SpecpbiPILi{Kq qui est alorsrecouvert par des translatés de U. Ceci permet de conclure. ⌅

On arrive maintenant au théorème principal de ce paragraphe.Théorème 3.31. — Soit Y un pK,�q-schéma réduit et de type fini. Il existe alors un �-fermé Z Ñ X,

partout de codimension non nulle, tel que le pK,�q-schéma Y r Z admet un quotient discret pseudo-e↵ectifX. De plus, quitte à élargir le �-fermé Z, on peut supposer que X est un C-schéma a�ne et de type fini.Démonstration. — D’après la Proposition 3.29, on peut trouver un ouvert dense V Ñ Y admettant unquotient discret e↵ectif que l’on note q : V // U. Quitte à rétrécir V , on peut supposer que U est un C-schéma a�ne et de type fini. On fixe une compactification j : U ãÑ U avec U un C-schéma projectif etréduit, et on note Y 1 l’image fermée schématique de l’immersion diagonale p◆V , j ˝ qq : V ãÑ Y ˆC U. Alors,Y 1 est un pK,�q-schéma réduit. La projection sur le premier facteur de Y ˆC U induit un morphisme depK,�q-schémas e : Y 1 // Y qui est un isomorphisme au-dessus de l’ouvert V . En tant que morphisme deschémas, e est projectif (et en particulier de type fini).

D’après le Lemme 3.32 ci-dessous, il existe un �-fermé Z11 Ñ Y 1, disjoint de l’ouvert e´1pVq, et tel

que le morphisme de schémas e|Y 1rZ11

: Y 1 r Z11

// Y est formellement non ramifié. D’après le Corollaire3.18 et puisque e est projectif, Z1 “ epZ1

1q est un �-fermé de Y . Quitte à élargir Z11, on peut supposer que

Z11 “ e´1pZ1q. On obtient ainsi un morphisme de pK,�q-schémas e1 : Y 1 r Z1

1// Y r Z1 qui est projectif et

formellement non ramifié.D’après [27, Théorème 17.4.1 et Remarque 17.4.1.2], le morphisme e1 est localement quasi-fini. Puisqu’il

est projectif, e1 est en fait un morphisme fini. Considérons le OYrZ1-module

M “ cokertOYrZ1// pe1q˚OY 1rZ1

1u.

Il s’agit clairement d’un pOYrZ1 ,�q-module qui est quasi-cohérent et localement de type fini en tant queOYrZ1-module. On note Z2 Ñ Y r Z1 son support, un �-fermé d’après le Lemme 3.13. On pose Z3 “Z1 Y Z2 ; c’est un �-fermé de Y . Puisque e1 est un isomorphisme au-dessus de l’ouvert V , on a encoreV Ñ Y r Z3. Aussi, par construction, le morphisme e est un isomorphisme au-dessus de Y r Z3. En e↵et, siZ1

3 “ e´1pZ3q, le morphisme fini e3 : Y 1 r Z13

// Y r Z3 induit une surjection OYrZ3// // pe3q˚OY 1rZ1

3. C’est

donc une immersion fermée. Puisque son image contient l’ouvert dense V , le morphisme e3 est surjectif.Enfin, puisque le schéma Y est réduit, e3 est nécessairement un isomorphisme.

Il est maintenant facile de conclure. En e↵et, l’isomorphisme Y 1 r Z13 » Y r Z3 et la projection sur le

second facteur de Y ˆC U induisent un morphisme de pC,�q-schémas p : Y r Z3 // U qui coïncide avecq sur V . On pose Z “ Z3 \ p´1pU r Uq. Alors, Z est un �-fermé et le morphisme p : Y r Z // U est unquotient discret pseudo-e↵ectif, puisque U est le quotient discret e↵ectif de l’ouvert dense V Ñ Y r Z. ⌅Lemme 3.32. — Soit f : Y // X un morphisme de �-schémas. On suppose que f est localement de type

fini (resp. de présentation finie) en tant que morphisme de schémas. Alors, l’ensemble des points y P Y oùle morphisme f est non ramifié (resp. où f est formellement non ramifié sur un voisinage convenable de y)est le complémentaire d’un �-fermé de Y.

70 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — On traite uniquement le cas non respé qui est en fait plus général. Puisque f est loca-lement de type fini, le OY-module quasi-cohérent ⌦ f est localement de type fini. D’après [27, Proposition17.2.1], le morphisme f est donc formellement non ramifié au voisinage d’un point y P Y si et seulement sile OY,y-module p⌦ f qy est nul. Il s’agit donc de montrer que le support du OY-module ⌦ f est un �-fermé deY . Ceci découle du Lemme 3.13 étant donné que ⌦ f est naturellement un pOY ,�q-module (cf. l’Exemple3.9). ⌅

3.3. Topologie feuilletée, I. Le cas des �-schémas. —Dans ce paragraphe, nous introduisons une nouvelle topologie de Grothendieck que nous baptiserons la

topologie feuilletée de type fini. L’étude de cette topologie occupera une place importante dans cet article.Notation 3.33. — Étant donné un pQ,�q-schéma X, nous noterons Fttf�{X la catégorie des pK,�q-schémasréduits et localement de type fini. ⇤Définition 3.34. — Soit X un pQ,�q-schéma. La topologie feuilletée de type fini sur Fttf�{X est la

topologie de Grothendieck engendrée par la prétopologie des familles de morphismes de pX,�q-schémaslocalement de type fini t fi : Yi // YuiPI telles que Y “ î

iPI fipYiq. La topologie feuilletée de type fini seradésignée par « fttf » et le foncteur « faisceau feuilleté associé » sera noté afttf.Remarque 3.35. — Étant donné un pQ,�q-schéma Y , nous dirons qu’une famille de �-morphismes loca-

lement de type fini t fi : Yi // YuiPI est un recouvrement fttf si elle est couvrante dans le site pFttf�{Y, fttfq.Ceci n’entraîne pas confusion : si Y est un pX,�q-schéma localement de type fini pour un certain pQ,�q-schéma X, ceci revient aussi à dire que t fi : Yi // YuiPI est une famille couvrante dans le site pFttf�{X, fttfq.⇤Remarque 3.36. — En mai 2013, quelques semaines après avoir posté une version préliminaire de ce

papier, j’ai pris connaissance, grâce à Carlos Arrache et Sergey Gorchinskiı, d’un article de RaymondHoobler [31] où une topologie semblable à notre topologie fttf à été introduite dans l’étude du groupe deBrauer di↵érentiel. La topologie de Hoobler, qualifiée de « �-flat », est l’analogue di↵érentiel de topologiefidèlement plate et de présentation finie fppf. Autrement dit, les familles couvrantes pour la topologie �-flatsont des familles de morphismes de pX,�q-schémas qui deviennent couvrantes pour la topologie fppf (oufpqc ?) après l’oubli de l’action de �. ⇤Proposition 3.37. — Soit f : Y // X un morphisme de pQ,�q-schémas. Alors le foncteur Y ˆX ´ :

Fttf�{X // Fttf�{Y induit un morphisme de sites

f : pFttf�{Y, fttfq // pFttf�{X, fttfq.Autrement dit, le foncteur « image inverse » f ˚ : ShvfttfpFttf�{Xq // ShvfttfpFttf�{Yq est exact.Démonstration. — Notons ↵ f : Fttf�{X // Fttf�{Y le foncteur donné par ↵ f p´q “ Y ˆX ´. Puisque ↵ fcommute aux limites finies, il découle de [2, Exposé I, Proposition 5.4(4)] que le foncteur « image inversede préfaisceaux » ↵˚

f est exact. Puisque ↵ f respecte les prétopologies de la Définition 3.34, il découle de [2,Exposé III, Proposition 1.6] qu’il est continu, i.e., que p↵ f q˚ préserve les faisceaux. Enfin, on applique [2,Exposé III, Proposition 1.3] pour déduire que le foncteur f ˚ “ afttf ˝ p↵ f q˚ est exact. ⌅Lemme 3.38. — Gardons les hypothèses et les notations de la Proposition 3.37. Si le morphisme de �-

schémas f est localement de type fini, alors le foncteur f ˚ coïncide avec le foncteur « image directe »suivant le foncteur f ˝ ´ : Fttf�{Y // Fttf�{X qui envoie un pY,�q-schéma localement de type fini Y 1sur lui-même vu comme pX,�q-schéma. Autrement dit, si F est un faisceau sur Fttf�{X, alors pour toutY 1{Y P Fttf�{Y, on a p f ˚FqpY 1{Yq “ FpY 1{Xq.Démonstration. — Il s’agit d’un fait standard valable pour un site général. ⌅

Étant donné un anneau R, la R-algèbre Rrrtss “ Rrrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss admet une structure naturelle de �-anneau :si F “ ∞

rPNm ar ¨ tr est une série formelle à coe�cients dans R, alors

BiF “ BFBti

“ÿ

rPNm

ri ¨ ar ¨ tr´1i


pour tout 1 6 i 6 m. (Bien entendu, 1i désigne le m-uplet nul sauf à la i-ième place où il vaut 1.)Afin de vérifier que la topologie feuilletée possède su�samment de points, nous aurons besoin du résultat

suivant qui est certainement bien connu.Proposition 3.39. — Soient X un �-schéma, C un corps de caractéristique nulle et c : SpecpCq // X

un C-point de X. (On ne suppose pas que c est un morphisme de �-schémas !) Il existe alors un uniquemorphisme de �-schémas �c : SpecpCrrtssq // X rendant le triangle de schémas

SpecpCq o//

c ,,

SpecpCrrtssq�c✏✏

Xcommutatif.

Si x P X est l’image de c, le morphisme de �-anneaux �c : OX,x // Crrtss est donné par la formule deTaylor, à savoir :

�˚c p f q “

ÿ

rPNm

c˚pBr f qr!

¨ tr. (96)

Démonstration. — L’existence est facile : il s’agit de montrer que le morphisme OX,x // Crrtss, donné par(96), est un morphisme de �-anneaux. Ce morphisme est additif et commute clairement à l’action des B P �.Pour voir qu’il commute à la multiplication, on utilise la formule de Leibniz généralisée

Brp f ¨ gq “ÿ

p`q“r

r!p!q!

¨ Bp f ¨ Bqg.

L’unicité est tout aussi facile. En e↵et, soit f P OX,x et notons F “ ∞rPN ar ¨ tr l’image de f par �c . Alors,

pour tout r P Nm, on a :

r! ¨ ar “ o˚pBrFq “ o˚pBr�˚c f q “ o˚�˚

c pBr f q “ c˚pBr f q.Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

Par ailleurs, on a le résultat suivant.Proposition 3.40. — Soit C un corps de caractéristique nulle, algébriquement clos et de degré de trans-

cendance indénombrable sur son corps premier (i.e., sur Q). Soit f : Y // SpecpCrrtssq un morphisme de�-schéma. On suppose que f est localement de type fini et que son image contient le point fermé du schémalocal SpecpCrrtssq. Alors, f admet une section.Démonstration. — On peut supposer que Y “ SpecpAq avec A une pCrrtss,�q-algèbre de type fini. Il existeun sous-corps C0 Ñ C de degré de transcendance dénombrable sur Q et une pC0rrtss,�q-algèbre de type finiA0 telle que

A “ A0 bC0rrtss Crrtss.(En e↵et, une présentation de la pCrrtss,�q-algèbre A dépend d’un nombre fini de séries formelles à coef-ficients dans C ; il su�t alors de prendre pour C0 le sous-corps engendré par les coe�cients de ces séries.)La C0rrtss-algèbre A0 est de type dénombrable, i.e., engendrée par une famille dénombrable d’élements. Ilen est de même de la C0-algèbre B0 “ A0 bC0rrtss C0. L’hypothèse que l’image de f contient le point ferméde SpecpCrrtssq entraîne que la C0-algèbre B0 est non nulle. Ainsi, si q est un idéal premier de B0, l’exten-sion pqq{C0 est de degré de transcendance au plus dénombrable et se plonge donc dans l’extension C{C0.Autrement dit, le schéma SpecpB0q admet des C-points.

On fixe un point b0 : SpecpCq // SpecpB0q. On en déduit un C-point c : SpecpCq // Y en prenant lacomposition de

A // A bCrrtss C » A0 bC0rrtss C » B bC0 Cb0bid// C.

La Proposition 3.39 fournit alors un morphisme canonique de �-schémas �c : SpecpCrrtssq // Y . Puisquef ˝ �c est un endomorphisme du �-schéma SpecpCrrtssq qui induit l’identitié sur le point fermé, l’unicitédans la Proposition 3.39 permet de conclure que f ˝ �c “ id. ⌅

72 JOSEPH AYOUB

Corollaire 3.41. — Soit C un corps de caractéristique nulle, algébriquement clos et de degré de transcen-dance indénombrable sur son corps premier (i.e., sur Q). Soient X un pQ,�q-schéma et c : SpecpCq // Xun C-point. Alors, pour tout morphisme localement de type fini de �-schémas f : X1 // X tel que l’imagede c est contenue dans l’image de f , il existe un triangle commutatif de �-schémas

X1

f✏✏

SpecpCrrtssq �c//

44

X.

En particulier, il existe un C-point c1 : SpecpCq // X1 tel que c “ f ˝ c1.Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate de la Proposition 3.40. ⌅

Nous donnons maintenant la construction de foncteurs fibres du site feuilleté d’un pQ,�q-schéma.Construction 3.42. — Soit C un corps de caractéristique nulle, algébriquement clos et de degré de

transcendance indénombrable sur son corps premier. Soit X un pQ,�q-schéma et soit c : SpecpCq // Xun C-point. On note VcpXq la catégorie des couples pX1, c1q constitués d’un pX,�q-schéma localement detype fini X1 et d’un C-point c1 : SpecpCq // X1 dont l’image dans X est c. (Bien entendu, une flècheu : pX1, c1q // pX2, c2q est un morphisme de pX,�q-schéma u : X1 // X2 tel que c2 ˝ u “ c1.) Étant donnéun préfaisceau d’ensembles F sur Fttf�{X, on pose

�cpFq “ colimpX1,c1qPVcpXq

FpX1q.

L’ensemble �cpFq est appelé la fibre de F en c. ⇤Lemme 3.43. — On garde les notations et les hypothèses de la Construction 3.42. Soit U Ñ X un ouvert

a�ne contenant l’image de c. On note AcpUq l’ensemble ordonné des sous-pOpUq,�q-algèbres de typefini de Crrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss. Alors, l’ensemble ordonné AcpUq est filtrant et le foncteur AcpUqop // VcpXq, quienvoie A Ñ Crrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss sur le pX,�q-schéma SpecpAq muni du C-point correspondant à la compositionde A ãÑ Crrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss⇣ C, est cofinal. En particulier, VcpXq est un catégorie cofiltrante.Démonstration. — Il est clair que AcpUq est filtrant. Pour voir que le foncteur AcpUqop // VcpXq estcofiltrant, on utilise la Proposition 3.39. ⌅Corollaire 3.44. — On garde les notations de la Construction 3.42 et du Lemme 3.43. Étant donné un

préfaisceau d’ensembles F sur Fttf�{X, on a :

�cpFq “ colimAPAcpUq

FpSpecpAqq.

De plus, le foncteur �c, défini sur la catégorie des préfaisceaux d’ensemble sur Fttf�{X, est exact.Démonstration. — C’est une conséquence directe du Lemme 3.43. ⌅Lemme 3.45. — On garde les notations de la Construction 3.42 et du Lemme 3.43. Soit F un préfaisceaud’ensembles sur Fttf�{X. Alors, l’application canonique �cpFq // �cpafttfpFqq est bijective.Démonstration. — Notons F 1 le préfaisceau séparé associé à F. Nous allons d’abord montrer que l’appli-cation

�cpFq // �cpF 1q (97)est bijective. Puisque le morphisme de préfaisceaux F // F 1 est surjectif et puisque le foncteur�c est exact(cf. le Corollaire 3.44), l’application (97) est surjective. Pour montrer qu’elle est injective, choisissons deuxéléments u, v P �cpFq qui s’envoient sur le même élément de �cpF 1q. On peut alors trouver pX1, c1q P VcpXqet des représentants u, v P FpX1q de u et v. Quitte à ra�ner pX1, c1q dans la catégorie cofiltrante VcpXq,on peut aussi supposer que u et v s’envoient sur le même élément de F 1pX1q. Vu que F 1 est le préfaisceauséparé associé à F, il existe un recouvrement feuilleté t f 1

i : X1i// XuiPI tel que u|X1

i“ v|X1

ipour tout i P I.

D’après le Corollaire 3.41, il existe i0 P I et un C-point c1i0 : SpecpCq // X1

i0 tels que f 1i0 définit une flèche

pX1i0 , c

1i0q // pX1, c1q dans VcpXq. L’égalité u|X1

i0“ v|X1

i0entraîne alors que u “ v.


Vu la discussion précédente, on peut supposer que F est séparé. Le morphisme F // afttfpFq est alorsinjectif. Puisque le foncteur �c est exact (cf. le Corollaire 3.44), il s’ensuit que l’application

�cpFq // �cpafttfpFqq (98)

est aussi injective. Il reste donc à montrer que cette application est surjective. Fixons u P �cpafttfpFqq etsupposons qu’il est classe d’une section u P afttfpFqpX1q pour un certain pX1, c1q P VcpXq. Il existe unrecouvrement feuilleté t f 1

i : X1i// X1uiPI tel que u|X1

iP FpX1

iq pour tout i P I. (Ici, on a utilisé l’injectionF ãÑ afttfpFq pour identifier FpX1

iq à un sous-ensemble de afttfpFqpX1iq.) D’après le Corollaire 3.41, il existe

i0 P I et un C-point c1i0 : SpecpCq // X1

i0 tels que f 1i0 définit une flèche pX1

i0 , c1i0q // pX1, c1q dans VcpXq. La

classe de u|X1i0

P FpX1i0q dans �cpFq fournit alors un antécédent à u par l’application (98). ⌅

Théorème 3.46. — Soit X un pQ,�q-schéma. Pour chaque x P X, fixons un corps algébriquement clos Cxde degré de transcendance indénombrable sur Q et un morphisme de schémas cx : SpecpCxq // X d’imagex. Soit f : F // F 1 un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur Fttf�{X. Alors, afttfp f q est injectif (resp.surjectif, un isomorphisme) si et seulement si il en est ainsi des �cxp f q pour tout x P X. Autrement dit, lesfoncteurs �cx forment un famille conservative de points du topos feuilleté du pQ,�q-schéma X.Démonstration. — Supposons d’abord que le morphisme afttfp f q est injectif. Puisque les foncteurs �cx

sont exacts (cf. le Corollaire 3.44), les applications �cxpafttfp f qq sont injectives. Il en est de même desapplications �cxp f q d’après le Lemme 3.45. Supposons ensuite que le morphisme afttfp f q est surjectifet notons F0 l’image du morphisme de préfaisceaux f . Alors, l’inclusion F0 ãÑ F 1 induit un isomor-phisme afttfpF0q » afttfpF 1q. D’après le Lemme 3.45, il est donc su�sant de montrer que les applications�cxpFq // �cxpF0q sont surjectives. Ceci découle de l’exactitude des foncteurs �cx (cf. le Corollaire 3.44).

Réciproquement, supposons que les applications �cxp f q sont injectives (resp. surjectives) pour tout x P Xet montrons que le morphisme de faisceaux afttfp f q est injectif (resp. surjectif). D’après le Lemme 3.45, onne restreint pas la généralité en supposant que F et F 1 sont des faisceaux.

Nous commençons d’abord par l’assertion concernant l’injectivité. Soit Y un pX,�q-schéma localementde type fini et soient u, v P FpYq deux sections qui s’envoient sur la même section par f . Pour tout y P Yd’image x P X, choisissons un Cx-point cy : SpecpCxq // Y d’image y et tel que pY Ñ Xq ˝ cy “ cx. (Ceciest possible d’après le Corollaire 3.41.) On obtient ainsi un objet pY, cyq P VcxpXq, ce qui permet d’associerles classes u et v de u et v dans �cxpFq. Puisque l’application �cxp f q est supposée injective, il s’ensuitque u “ v. Il existe donc un ra�nement pY 1

y, c1yq // pY, cyq dans VcxpXq tel que u|Y 1

y “ v|Y 1y . Or, la famille

tY 1y

// YuyPY est couvrante pour la topologie feuilletée. Puisque F est un faisceau, et un particulier séparé,il s’ensuit que u “ v.

L’assertion concernant la surjectivité se démontre en se ramenant à l’assertion concernant l’injectivité.En e↵et, considérons la somme amalgamée F 1 ≤

F ‹ prise dans la catégorie des préfaisceaux et où ‹ désignele préfaisceau final. Dire que f : F // F 1 est surjective (dans la catégorie des faisceaux feuilletés) revientà dire que afttfpF 1 ≤

F ‹q // afttfp‹q est injectif. Or, d’après ce qui précède, ceci équivaut à dire que lesapplications �cxpF 1q≤�cx pFq ‹ // ‹ sont injectives pour tout x P X. (On utilise ici le Corollaire 3.44 et leLemme 3.45.) Ceci permet de conclure étant donné que les applications �cxpF 1q // �cxpFq sont supposéessurjectives. ⌅

La convention ci-dessous, quoique un peu abusive, est bien pratique et sera souvent employée dans lasuite.Notation 3.47. — Soit X un pQ,�q-schéma et Y un pX,�q-schéma non nécessairement localement de typefini. On suppose que Y est a�ne et que le morphisme structural Y // X se factorise par un ouvert a�ne Ude X. (Ceci est par exemple le cas si Y est local.) Alors, pour tout préfaisceau F sur Fttf�{X, on note :

FpYq “ colimBÑOpYq, sous-pOpUq,�qálgèbre

de type fini

FpSpecpBqq.

Ceci est indépendant du choix de l’ouvert a�ne U. Si Y est donné par spectre d’une pOpUq,�q-algèbre R,on note aussi FpRq au lieu de FpSpecpRqq. ⇤

74 JOSEPH AYOUB

Remarque 3.48. — Avec la Notation 3.47 et vu le Corollaire 3.44, les foncteurs fibres �cx du Théorème3.46 sont donnés simplement par : F FpCxrrtssq. ⇤

3.4. Faisceaux f-invariants. —Dans ce paragraphe, nous étudions une classe de faisceaux feuilletés jouissant de propriétés particulière-

ment agréables.Définition 3.49. — Soit X un pQ,�q-schéma.

(i) Nous dirons qu’un ouvert U Ñ X est f-dense si Z X U , H pour tout sous-�-schéma fermé non videZ Ñ X.

(ii) Nous dirons qu’un faisceau feuilleté (ou plus généralement un préfaisceau) F sur Fttf�{X est f-invariant si l’application FpYq // FpVq est bijective pour tout ouvert f-dense V Ñ Y d’un pX,�q-schéma localement de type fini Y.

Lemme 3.50. — Soit f : Y // X un morphisme de pQ,�q-schémas et soit U Ñ X un ouvert f-dense.Alors, f ´1pUq est f-dense. En particulier, si Y est non vide, il en est de même de f ´1pUq.Démonstration. — Il su�t de montrer que f ´1pUq est non vide si Y est non vide. Pour ce faire, on peutsupposer que X “ SpecpAq et Y “ SpecpBq, avec A et B des pQ,�q-algèbres non nulles. On peut mêmeremplacer B par B{n avec n Ñ B un �-idéal maximal. Ceci nous ramène au cas où Y “ SpecpLq avec L un�-corps. L’image de f correspond alors à un �-ideal premier p Ñ A. Or, par hypothèse, on a U XZppq ,H.Puisque U est ouvert et Zppq est irréductible, il s’ensuit que U contient le point générique de Zppq, i.e.,l’image de f . Ceci permet de conclure. ⌅

Lemme 3.51. — Soit C un corps de caractéristique nulle. Alors, le �-anneau Crrtss est simple. En parti-culier, tout ouvert non vide de SpecpCrrtssq est f-dense.Démonstration. — En e↵et, si F P Crrtss est une série formelle non nulle, il existe r P Nm tel que BrF estinversible (ce qui équivaut à demander que son terme constant est non nul). ⌅

Lemme 3.52. — Soient X un pQ,�q-schéma et U Ñ X un ouvert. Il existe alors un unique �-fermé Z Ñ Xtel que Z X U “ H et U est f-dense dans X r Z.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas où X “ SpecpAq est a�ne. Supposons que le fermé X r U estdéfini par un idéal I Ñ A et notons Z Ñ X le �-fermé défini par le �-idéal I� engendré par I. Alors, parconstruction, si T Ñ X est un sous-�-schéma fermé, nous avons T X U “ H si et seulement si T Ñ Z. Cecipermet de conclure. ⌅

Corollaire 3.53. — Soit X un pQ,�q-schéma et soit F un faisceau feuilleté f-invariant sur Fttf�{X. Alors,F est flasque au sens suivant : pour tout pX,�q-schéma localement de type fini Y et pour tout ouvert V Ñ Y,l’application FpYq // FpVq est surjective lorsque FpYq est non vide.Démonstration. — En e↵et, d’après le Lemme 3.52, il existe un �-fermé Z Ñ Y tel que V est un ouvertf-dense de Y r Z. Puisque F est f-invariant, il s’ensuit que FpY r Zq » FpVq. Par ailleurs, puisque F estun faisceau feuilleté et que tY r Z ãÑ Y, Z r Yu est un recouvrement feuilleté, on a un isomorphismecanonique FpYq » FpY rZq ˆ FpZq. Puisque FpYq est non vide, il en est de même de FpZq et la projectionFpY r Zq ˆ FpZq // FpY r Zq est bien surjective. ⌅

Proposition 3.54. — Soit X un pQ,�q-schéma et soit F un faisceau sur Fttf�{X pour la topologie feuille-tée. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes.

(a) F est f-invariant.

(b) Pour tout pX,�q-schéma a�ne de type fini Y “ SpecpBq et pour tout f P B, l’application

FpY r Zpp f q�qq // FpY r Zp f qqest bijective. (On rappelle que p f q� est le �-idéal de B engendré par f .)


Démonstration. — L’implication (a) ñ (b) est claire puisque Y r Zpp f q�q est f-dense dans Y r Zp f q. (Voirle Lemme 3.52 et plus précisément sa preuve.)

Réciproquement, supposons la condition (b) satisfaite pour un faisceau feuilleté F, et fixons un pX,�q-schéma localement de type fini Y et un ouvert f-dense V Ñ Y . Nous cherchons à montrer que l’applicationFpYq // FpVq est bijective. Puisque F est un faisceau, la question est locale sur Y et nous pouvons supposerque Y “ SpecpBq est a�ne et de type fini sur X. Supposons que le fermé Y r V est défini par un idéal de Bengendré par une famille p fiqiPI . La condition que V est f-dense se traduit alors par l’égalité p fi; i P Iq� “ B.Autrement dit, nous avons un recouvrement feuilleté de Y donné par les ouverts Yi “ Y r Zpp fiq�q pouri P I. De plus, d’après le Lemme 1.8, l’intersection Yi j “ Yi X Yj est donnée par Y r Zpp fi f jq�q pour touti, j P I. Notons aussi Vi “ Y r Zp fiq et Vi j “ Vi X Vj “ Y r Zp fi f jq. Puisque F est un faisceau pour latopologie feuilletée, nous avons :

FpYq “ eq

#π

iPI

FpYiq ////

π

i, jPI

FpYi jq+

et FpVq “ eq

#π

iPI

FpViq ////

π

i, jPI

FpVi jq+

.

La condition (b) fournit les isomorphismes canoniques FpYiq » FpViq et FpYi jq » FpVi jq, ce qui entraînele résultat recherché. ⌅Corollaire 3.55. — Soit X “ SpecpAq un pQ,�q-schéma a�ne et soit F un faisceau feuilleté f-invariantsur Fttf�{X. Soit Y “ SpecpBq un pX,�q-schéma a�ne (non nécessairement de type fini) et soit U “SpecpBr f ´1sq un ouvert standard de Y qui est f-dense. Alors, l’application FpYq // FpUq est bijective.Démonstration. — Rappelons que FpYq est la colimite des FpRq suivant les sous-pA,�q-algèbres de typefini R Ñ B. De même, FpUq est la colimite des FpRr f ´1sq suivant les sous-pA,�q-algèbres de type finiR Ñ B contenant f . D’après la Proposition 3.54, on a FpRr f ´1sq » FpSpecpRq r Zpp f q�qq. Ainsi, lecorollaire sera établi si nous montrons que pour R su�samment grande, le fermé Zpp f q�q Ñ SpecpRq estvide. Ceci est clair puisque dans B l’élément f engendre le �-idéal B. (Utiliser que l’ouvert U est f-densedans Y .) ⌅Proposition 3.56. — Soit X un pQ,�q-schéma. Pour chaque x P X, fixons un corps algébriquement clos

Cx de degré de transcendance indénombrable sur Q et un morphisme de schémas cx : SpecpCxq // Xd’image x. Soit F un faisceau sur Fttf�{X pour la topologie feuilletée. Alors, les conditions suivantes sontéquivalentes.

(a) F est f-invariant.

(b) Pour tout x P X, l’application FpCxrrtssq // FpFracpCxrrtssqq est bijective.

Démonstration. — L’implication (a) ñ (b) découle du Lemme 3.51 et du Corollaire 3.55. Pour la ré-ciproque, supposons que F vérifie la condition (b). Remarquons d’abord que si V Ñ Y est un ouvertf-dense d’un pX,�q-schéma localement de type fini Y , alors l’application FpYq // FpVq est injective.En e↵et, si s1, s2 P FpYq sont deux sections distincts, il existe un point x P X et un morphisme depX,�q-schémas u : SpecpCxrrtssq // Y tels que s1|Cxrrtss , s2|Cxrrtss. La condition (b) entraîne alors ques1|FracpCxrrtssq , s2|FracpCxrrtssq, ce qui force l’inégalité s1|V , s2|V puisque, d’après le Lemme 3.50, le mor-phisme u envoie le point générique de SpecpCxrrtssq dans V .

Il reste à voir que l’application FpYq // FpVq est surjective. Soit s P FpVq une section. Pour chaquey P Y d’image x P X, il existe un morphisme de pX,�q-schémas uy : SpecpCxrrtssq // Y qui envoie le pointfermé du schéma local SpecpCxrrtssq sur y. D’après le Lemme 3.50, le morphisme uy envoie le point géné-rique du schéma SpecpCxrrtssq dans V . D’après la condition (b), il existe une unique section ty P FpCxrrtssqtelle que ty|FracpCxrrtssq “ s|FracpCxrrtssq. Vu la discussion ci-dessus, l’application Fpu´1

y pUqq // FpFracpCxrrtssqqest injective, ce qui fournit l’égalité plus précise ty|u´1

y pVq “ s|u´1y pVq. (On laissera au lecteur le soin de définir

Fpu´1y pUqq dans le cas où l’ouvert u´1

y pUq est non a�ne.)En revenant à la définition des ensembles FpCxrrtssq, on trouve alors une famille de morphismes de

pX,�q-schémas localement de type fini t fi : Yi // YuiPI , couvrante pour la topologie feuilletée, et dessections ti P FpYiq telles que ti| f ´1

i pVq “ s| f ´1pVq pour tout i P I. Pour i, j P I, on note Yi j “ Yi X Yj et

76 JOSEPH AYOUB

fi j : Yi j // Y le morphisme évident. D’après la discussion ci-dessus, l’application FpYi jq // Fp f ´1i j pVqq

est injective. Il s’ensuit que ti|Yi j “ t j|Yi j “ s|Yi j . Les sections ti se recollent donc en une section t P FpYqtelle que t|V “ s. La proposition est démontrée. ⌅

Les faisceaux feuilletés f-invariants sont en fait des faisceaux pour une topologie de Grothendieck quenous introduisons maintenant. Pour des raisons techniques, nous nous restreignons au cas des �-schémaslocalement de type fini sur un �-corps de caractéristique nulle.Définition 3.57. — Soient K un�-corps de caractéristique nulle et X un pK,�q-schéma localement de typefini. La topologie f-feuilletée sur Fttf�{X est la topologie de Grothendieck engendrée par la prétopologiedes familles finies de morphismes de pX,�q-schémas localement de type fini t fi : Yi // YuiPI telles que lesconditions suivantes sont satisfaites.

(i) Pour tout i P I, le morphisme de schémas Yi // fipYiq est universellement ouvert.

(ii) Notons Zi Ñ fipYiq le plus grand ouvert dans lequel fipYiq est f-dense (ce qui équivant aux conditions :fipYiq Ñ Zi et fipYiq r Zi est �-fermé). Alors, Y “ î

iPI Zi.

La topologie f-feuilletée sera désignée par « f-fttf » et le foncteur « f-faisceau feuilleté associé » sera notéaf-fttf. Enfin, la catégorie des faisceaux d’ensembles sur le site pFttf�{X, f-fttfq sera notée Shvf-fttfpFttf�{Xq.Remarque 3.58. — Il y a lieu de considérer une variante de la topologie f-feuilletée introduite ci-dessus oùla condition (i) est remplacée par la condition plus forte, à savoir : pour tout i P I, le morphisme de schémasYi // fipYiq est une immersion ouverte. La topologie ainsi obtenue sera appelée la topologie f-Zariski etsera designée par « f-Zar ». ⇤Proposition 3.59. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et soit X un pK,�q-schéma localement

de type fini. Toute famille couvrante pour la topologie feuilletée se ra�ne par une famille couvrante pourla topologie f-feuilletée.Démonstration. — En e↵et, soient Y P Fttf�{X et t fi : Yi // YuiPI une famille couvrante pour la topologiefeuilletée. On raisonne par récurrence noethérienne sur le �-schéma Y : si Y est vide, il n’y a rien à montrer.Si Y est non vide, on peut trouver i1 P I tel que fi1 domine une composante irréductible de Y . Il découle duThéorème 1.20 qu’il existe un ouvert non vide V1 Ñ Yi1 tel que g1 “ fi0 |V1 : V1 // Y est universellementouvert. Notons Z Ñ Y le plus grand �-fermé de Y disjoint de l’ouvert g1pV1q. Alors, g1pV1q est f-dense dansY r Z. L’hypothèse de récurrence appliquée à la famille tYi ˆY Z // ZuiPI , couvrante pour la topologiefeuilletée, permet de conclure. ⌅Remarque 3.60. — En utilisant le Théorème 1.20, on peut montrer qu’une famille t fi : Yi // YuiPI

de morphismes de pK,�q-schémas localement de type fini est couvrante pour la topologie f-feuilletée (i.e.,qu’elle se ra�ne par une famille finie comme dans la Définition 3.57) si et seulement si pour tout morphismede �-schémas Q // Y avec Q non vide, il existe i0 P I tel que Q ˆY Yi est non vide. La Proposition 3.59découle aussitôt de cette caractérisation. ⇤Corollaire 3.61. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et soit X un pK,�q-schéma localement detype fini. Soit F un préfaisceau sur Fttf�{X. Les conditions suivantes sont équivalentes.

(a) F est un faisceau f-feuilleté.

(b) F est un faisceau feuilleté f-invariant.

Démonstration. — D’après la Proposition 3.59, un faisceau f-feuilleté est un faisceau feuilleté. Clairement,il est aussi f-invariant. Ceci montre l’implication (a) ñ (b). Réciproquement, soit F un faisceau feuilletéf-invariant. Soit Y un pX,�q-schéma localement de type fini et soit t fi : Yi // YuiPI un recouvrement f-feuilleté. Notons Zi comme dans la Définition 3.57. Quitte à ra�ner le recouvrement t fi : Yi // YuiPI , onpeut supposer que Zi X Zj “ H si i , j. Ainsi, Y est (ensemblistement) l’union disjointe des Zi. PuisqueF est un faisceau feuilleté, on a alors FpYq » ±

iPI FpZiq. Notons Z˝i l’image de Yi // Zi. Puisque Z˝

i estun ouvert f-dense de Zi et que F est f-invariant, on déduit que FpZiq » FpZ˝

i q. Par ailleurs, puisque lemorphisme Yi // Z˝

i est surjectif et, utilisant une deuxième fois le fait que F est un faisceau feuilleté, on


obtient FpZ˝i q » eqtFpYiq //

// FpYi ˆY Yiqu. En mettant tout cela ensemble, on obtient

FpYq “π

iPI

eqtFpYiq //// FpYi ˆY Yiqu.

Ceci termine la preuve du corollaire. ⌅Proposition 3.62. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle, L{K une �-extension et X un pK,�q-

schéma a�ne de type fini. Notons Y “ X bK L et f : Y // X le morphisme évident. Soit F un faisceaufeuilleté f-invariant sur Fttf�{X. Alors, le préfaisceau ↵˚

f F coïncide avec son faisceau f-feuilleté associé surles pY,�q-schémas a�nes de type fini. En particulier, on a des bijections naturelles FpYq » p f ˚FqpYq »af-fttfp f ˚FqpYq.Démonstration. — Soit Y 1 un pY,�q-schéma a�ne de type fini et soit t fi : Y 1

i// Y 1

i uiPI une famille cou-vrante pour la topologie f-feuilletée avec Yi des �-schémas a�nes. Il existe alors une sous-pK,�q-algèbrede type fini A Ñ L, un pA,�q-schéma de type fini T et des morphismes de pA,�q-schémas de type finigi : Ti // T tels que Y “ T bB L et fi “ gi bB L. Quitte à ra�ner B et la famille t fi : Y 1

i// Y 1

i uiPI , on peutsupposer que la famille tgi : Ti // TuiPI est aussi couvrante pour la topologie f-feuilletée. (Pour cela, onraisonne comme dans la preuve de la Proposition 3.59.) Or, on a :

p↵˚f FqpYq “ colim

BÑB1ÑLFpT bB B1q

(avec B1 Ñ L parcourant les sous-pK,�q-algèbres de type fini) et de même pour les Yi et Yi ˆY Y j au lieu deY . Le résultat recherché découle aussitôt de la commutation des limites finies aux les colimites filtrantes. ⌅Remarque 3.63. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension. Notons f :

SpecpLq // SpecpKq le morphisme de �-schémas associé à cette extension. Soit F un faisceau feuilleté(non nécessairement f-invariant) sur Fttf�{K. Nous verrons plus loin, comme conséquence facile du lemmecurieux (cf. le Théorème 3.90), que l’application FpLq // p f ˚FqpLq est bijective. Néanmois, il est possiblede voir l’injectivité de cette application en adaptant la preuve de la Proposition 3.62. En e↵et, si u, v P FpLqsont identifiés dans p f ˚FqpLq “ pafttf↵˚

f FqpLq, il existe un pL,�q-schéma a�ne Y “ SpecpNq tel que uet v sont identifiés dans FpYq. On peut trouver une sous-pK,�q-algèbre de type fini B Ñ L et une sous-pB,�q-algèbre de type fini M Ñ N telle que u et v proviennent de sections u, v P FpBq vérifiant u|M “ v|M.En appliquant le Théorème 1.20, on peut remplacer B par une localisation de sorte que le morphismeSpecpMq // SpecpBq est surjectif. Ce dernier définit alors un recouvrement feuilleté de SpecpBq. PuisqueF est un faisceau feuilleté, il s’ensuit que u “ v et donc aussi que u “ v. ⇤

3.5. Faisceaux feuilletés discrets. —Dans ce paragraphe, nous identifions les faisceaux feuilletés les plus simples, à savoir ceux qui sont

discrets. Nous commençons par interpréter le Théorème 3.31 comme un résultat d’existence locale.Proposition 3.64. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et notons C “ K�“0 son corps des

constantes. Pour tout Y P Fttf�{K, il existe un recouvrement feuilleté t fi : Yi // YuiPI tel que chaque Yiadmet un quotient discret pseudo-e↵ectif qui est un C-schéma de type fini.Démonstration. — La question est locale sur Y . On peut donc supposer que Y est a�ne. Le Théorème 3.31,joint à la Proposition 3.21, entraîne l’existence d’une suite finie de �-fermés

Y “ Y0 Ö Y1 Ö ¨ ¨ ¨ Ö Yn Ö Yn`1 “ Htelle que Yi r Yi`1 admet un quotient discret pseudo-e↵ectif pour tout 0 6 i 6 n. La famille des immersionslocalement fermées tYi r Yi`1 ãÑ Yu06i6n convient alors. (On attire l’attention du lecteur au fait que, mêmesi Y est supposé de type fini, les �-schémas Yi r Yi`1 ne sont pas en général quasi-compacts. Toutefois, ilssont presque quasi-compacts et même presque de type fini sur K.) ⌅Notation 3.65. — Étant donné un schéma S , nous noterons Ct{S la catégorie des S -schémas réduits et

localement de type fini. ⇤Définition 3.66. — Soit S un schéma. La topologie constructible sur Ct{S est la topologie de Grothen-

dieck engendrée par la prétopologie des familles de morphismes de S -schémas localement de type fini

78 JOSEPH AYOUB

tsi : Ti // TuiPI telles que T “ îiPI sipTiq. La topologie constructible sera désignée par « ct » et le fonc-

teur « faisceau constructible associé » sera noté act. Enfin, la catégorie des faisceaux d’ensembles sur lesite pCt{S , ctq sera notée ShvctpCt{S q.Remarque 3.67. — Lorsque S est un Q-schéma, la Définition 3.66 est un cas particulier de la Définition

3.34 qui s’obtient en prenant � “ H. Ainsi, on a Ct{S “ FttfH{S et ShvctpCt{S q “ ShvfttfpFttfH{S q. LaNotation 3.47 sera aussi utilisée dans le contexte des S -schémas a�nes. ⇤Théorème 3.68. — Soit K un �-corps de carcatéristique nulle et notons C “ K�“0 son corps des

constantes. Le foncteur �K : Ct{C // Fttf�{K donné par �Kp´q “ K bC ´ (cf. la Proposition 3.22) induitun morphisme de sites �K : pFttf�{K, fttfq // pCt{C, ctq et �1

K : pFttf�{K, f-fttfq // pCt{C, ctq. De plus, lesfoncteurs « image inverse »

�˚K : ShvctpCt{Cq // ShvfttfpFttf�{Kq et �1˚

K “ af-fttf˝�˚K : ShvctpCt{Cq // Shvf-fttfpFttf�{Kq (99)

sont pleinement fidèles.Démonstration. — Puisque le foncteur �K commute aux limites finies, il découle de [2, Exposé I, Proposi-tion 5.4(4)] que le foncteur « image inverse de préfaisceaux » �˚

K est exact. Puisque le foncteur �K respecteles prétopologies des Définitions 3.34 (resp. 3.57) et 3.66, il découle de [2, Exposé III, Proposition 1.6]qu’il est continu, i.e., que p�Kq˚ préserve les faisceaux. Enfin, on applique [2, Exposé III, Proposition 1.3]pour déduire que le foncteur �˚

K (resp. �1˚K ) est exact, ce qui démontre la première assertion de l’énoncé.

Le reste de la preuve est consacré à la pleine fidélité des foncteurs �˚K et �1˚

K . Soient F et G deux faisceauxsur Ct{C pour la topologie constructible, et considérons l’application :

homShvctpCt{CqpF,Gq // homShvfttfpFttf�{Kqp�˚KpFq, �˚

KpGqq. (100)

Puisque le foncteur �˚K commute au colimites, et que le faisceau F est une colimite de faisceaux associés

à des préfaisceaux représentables, on peut supposer que F “ actpT q pour un certain C-schéma réduit et detype fini T . Il est alors su�sant de montrer que l’application

GpT q “ homShvctpCt{CqpactpT q,Gq // homShvfttfpFttf�{KqpafttfpKbC T q, afttf�˚KpGqq “ afttf�

˚KpGqpKbC T q (101)

est bijective. D’après le Lemme 3.69 ci-dessous et vu la Proposition 3.22, pour montrer que l’application(101) est bijective, il su�t de montrer que l’application évidente

�˚KpGqpK bC T q // afttf�

˚KpGqpK bC T q (102)

est bijective. Autrement dit, il s’agit de montrer que le préfaisceau �˚KpGq coïncide avec son faisceau feuilleté

associé sur les pK,�q-schémas de la forme KbCT (avec T P Ct{C). La même discussion s’applique lorqu’onremplace �˚

K et afttf par �1˚K et af-fttf, ce qui nous ramène également, dans le cas de la topologie f-feuilletée, à

montrer que l’application�˚

KpGqpK bC T q // af-fttf�˚KpGqpK bC T q (103)

est bijective. On divise la preuve de ces propriétés en deux parties.Partie A : Notons H (resp. H1) le préfaisceau séparé pour la topologie feuilletée (resp. f-feuilletée) associéau préfaisceau �˚

KpGq. Dans cette partie, nous allons vérifier que H (resp. H1) et �˚KpGq coïncident sur

X P Fttf�{K si ce dernier admet un quotient discret pseudo-e↵ectif T qui est dans Ct{C. Pour ce faire, il estsu�sant de considérer le cas respé.

Clairement, le morphisme �˚KpGqpXq // H1pXq est surjectif. Pour montrer qu’il est injectif, on fixe deux

sections u, v P �˚KpGqpXq qui ont même image dans H1pXq. Il existe alors un recouvrement f-feuilleté

t fi : Xi // XuiPI tel que u|Xi “ v|Xi pour tout i P I. D’après la Proposition 3.64 et quitte à ra�ner ce recou-vrement, on peut supposer que chaque Xi admet un quotient discret pseudo-e↵ectif qui est un C-schéma detype fini qu’on notera Ti. D’après le Lemme 3.69 ci-dessus, on a �˚

KpGqpXq “ GpT q et �˚KpGqpXiq “ GpTiq.

Il s’ensuit que les sections u, v P GpT q satisfont à u|Ti “ v|Ti pour tout i P I. Or, la famille tTi // TuiPI estcouvrante pour la topologie constructible. (En e↵et, le morphisme de schémas

≤iPI Xi // T est nécessai-

rement surjectif.) Puisque G est un faisceau, il s’ensuit que u “ v comme désiré.


Partie B : Nous vérifions maintenant que l’application

HpK bC T q // afttf�˚KpGqpK bC T q (resp. H1pK bC T q // af´fttf�

˚KpGqpK bC T q)

est bijective pour tout T P Ct{C. Puisque H (resp. H1) est séparé, cette application est injective. Seule lasurjectivité nécessite une vérification. On traite uniquement le cas respé ; le cas non respé se démontre de lamême manière.

Fixons une section u P af-fttf�˚KpGqpK bC T q. Il existe un recouvrement f-feuilleté t fi : Xi // K bC TuiPI

tel que u|Xi P H1pXiq pour tout i P I. D’après la Proposition 3.64 et quitte à ra�ner ce recouvrement, onpeut supposer que chaque Xi admet un quotient discret pseudo-e↵ectif Ti qui est un C-schéma de type fini.D’après le Lemme 3.69 ci-dessous et l’étape précédente, on a des isomorphismes

GpTiq » �˚KpGqpXiq » H1pXiq.

On note u1i P GpTiq l’unique antécédent à u|Xi par la composition des ces isomorphismes.

Pour i, j P I, on fixe un recouvrement f-feuilleté t fi jk : Xi jk // Xi j “ Xi ˆKbCT XjukPLi j tel que chaqueXi jk possède un quotient discret pseudo-e↵ectif Ti jk qui est un C-schéma de type fini. Remarquons que lafamille de morphismes tTi jk // Ti j “ Ti ˆT T jukPLi j est couvrante pour la topologie constructible. (Il s’agitlà du point crucial de la démonstration !) En e↵et, puisque les morphismes Xi jk // Ti jk sont surjectifs, ilsu�t de montrer que le morphisme Xi j // Ti j est surjectif. Ceci est assuré par le Lemme 3.70 ci-dessous.

Nous a�rmons que u1i|Ti jk “ u1

j|Ti jk pour tout i, j P I et k P Li j. Ceci terminera la preuve de la surjectivité.(En e↵et, puisque G est un faisceau, les sections u1

i se recollent en une section u1 P GpT q » �˚KGpK bC T q.

L’image de u1 dans H1pK bC T q est l’antécédent à u recherché.) Or, d’après le Lemme 3.69 ci-dessous etl’étape précédente, on a des isomorphismes

GpTi jkq » �˚KpGqpXi jkq » H1pXi jkq

et leur composition envoie u1i|Ti jk et u1

j|Ti jk sur le même élément, à savoir u|Xi jk . ⌅Lemme 3.69. — Gardons les notations et les hypothèses du Théorème 3.68, et notons �˚

K le foncteur« image inverse sur les préfaisceaux » suivant le foncteur �K. Soit X un pK,�q-schéma réduit, localementde type fini et admettant un quotient discret catégorique X�“0 qui est un C-schéma de type fini. Alors, pourtout préfaisceau d’ensembles G sur Ct{C, nous avons un isomorphisme canonique : GpX�“0q » �˚

KpGqpXq.Démonstration. — En e↵et, par définition du foncteur �˚

K , on a :

�˚KpGqpXq “ colim

pT,XÑKbCTq P XzpCt{CqGpT q.

Puisque X�“0 est le quotient discret catégorique de X, la catégorie XzpCt{Cq est équivalente à X�“0zpCt{Cqqui admet un objet initial, à savoir l’identité de X�“0. Il s’ensuit que la colimite ci-dessus vaut simplementGpX�“0q. ⌅Lemme 3.70. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et C “ K�“0 son corps des constantes. On

suppose donnés deux pK,�q-schémas X et Y, trois C-schémas P, Q et T , et un diagramme de pC,�q-schémas

Xf✏✏

Yg✏✏

P m// T Qnoo

tel que f et g sont surjectifs. Alors, le morphisme évident

f ˆ g : X ˆKbCT Y // P ˆT Q (104)

est surjectif.Démonstration. — Soit D{C une extension, et soient p P PpDq, q P QpDq et t P T pDq des D-points tels quemppq “ npqq “ t. Ceci définit un D-point pp, qq P P ˆT QpDq. Nous allons montrer que la fibre en pp, qqdu morphisme (104) est non vide, ce qui terminera la preuve du lemme. Pour ce faire, on peut remplacerles C-schémas P, Q et T par SpecpDq, et les pK,�q-schémas X et Y par les pK,�q-schémas X ˆP SpecpDqet Y ˆQ SpecpDq. Ces derniers sont non vides puisque f et g sont surjectifs. On se retrouve donc à montrer

80 JOSEPH AYOUB

l’assertion suivante. Si D{C est une extension et si X et Y sont des pK bC D,�q-schémas non vides, alorsX ˆKbC D Y est non vide.

Pour démontrer l’assertion ci-dessus, on ne restreint pas la généralité en supposant que X “ SpecpAqet Y “ SpecpBq avec A et B des pK bC D,�q-algèbres non nulles. Puisque D est un corps, on a alors desinclusions D ãÑ A�“0 et D ãÑ B�“0. La Proposition 1.36 entraîne que les morphismes K bC D // A etK bC D // B sont injectives. Or, d’après la Proposition 1.41, K bC D est une algèbre intègre. Il s’ensuitque A bKbC D B est non nulle, ce qui termine la preuve du lemme. ⌅Définition 3.71. — Gardons les notations et les hypothèses du Théorème 3.68. Un faisceau d’ensembles Fpour la topologie feuilleté sur Fttf�{K est dit discret s’il est dans l’image essentielle du foncteur pleinementfidèle �˚

K : ShvctpCt{Cq // ShvfttfpFttf�{Kq. Autrement dit, F est discret si et seulement si le morphisme decounité �˚

Kp�Kq˚F // F est un isomorphisme.Le résultat suivant montre qu’on aurait pu aussi bien utiliser la topologie f-feuilletée dans la définition

des faisceaux discrets.Proposition 3.72. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle. Alors, un faisceau feuilleté discret sur

Fttf�{K est automatiquement f-invariant.Démonstration. — Soit F un faisceau constructible sur Ct{C (avec C “ K�“0). Il s’agit de montrer que lemorphisme de faisceaux feuilletés

afttf�˚KF // af´fttf�

˚KF (105)

est un isomorphisme. Pour cela, nous appliquerons le Théorème 3.46. Soit D{C une extension, avec Dalgébriquement clos et de degré de transcendance indénombrable sur son corps premier, et K ãÑ D unmorphisme de C-corps. En évaluant le morphisme (105) sur SpecpDrrtssq et en utilisant la Proposition 3.56et le Lemme 3.69, on se ramène à montrer que l’application

FpDq “ �˚KFpDrrtssq // �1˚

K FpLq, (106)

avec L “ FracpDrrtssq, est inversible.Remarquons que D “ L�“0. D’après la Proposition 3.62, nous avons une bijection naturelle �1˚

K FpLq »paf-fttf f ˚�˚

KFqpLq où f est le morphisme SpecpLq // SpecpKq. En utilisant le carré commutatif de mor-phismes de sites

pFttf�{L, fttfq f//

�L✏✏

pFttf�{K, fttfq�K✏✏

pCt{D, ctq f0// pCt{C, ctq,

on déduit un isomorphisme canonique af-fttf f ˚�˚KF » af-fttf�˚

L f ˚0 F. Il s’ensuit que �1˚

K FpLq est naturellementisomorphe à paf-fttf�˚

L f ˚0 FqpLq qui est naturellement isomorphe à f ˚

0 FpDq » FpDq par le Théorème 3.68. Laproposition est démontrée. ⌅

Les deux propositions ci-dessous fournissent des caractérisations utiles pour les faisceaux feuilletés dis-crets.Proposition 3.73. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et notons C “ K�“0 son corps des

constantes. Soit F un faisceau d’ensembles sur Fttf�{K pour la topologie feuilletée. Alors, les conditionssuivantes sont équivalentes.

(a) F est discret.(b) Pour toute extension D{C et tout morphisme de C-extensions K ãÑ D, induisant une structure de

pK bC D,�q-algèbre sur Drrtss (cf. la Proposition 3.39), le morphisme

FpK bC Dq // FpDrrtssqest un isomorphisme.

(c) La conclusion du point (b) est satisfaite pour une extension D{C, avec D un corps algébriquementclos de degré de transcendance indénombrable sur Q, et un morphisme de C-extensions K ãÑ D.


Démonstration. — L’implication (a) ñ (b) est facile. En e↵et, supposons que F “ �˚KF0. D’une part, le

Théorème 3.68, entraîne que FpK bC Dq » F0pDq. D’autre part, puisque �˚KF0 est le faisceau feuilleté

associé à �˚KF0, les Lemmes 3.45 et 3.69 entraînent que FpDrrtssq » p�˚

KF0qpDrrtssq » F0pDq. Ceci permetde conclure.

L’implication (b) ñ (c) étant évidente, il reste à montrer que (c) ñ (a). Ainsi, supposons que F est unfaisceau feuilleté sur Fttf�{K vérifiant (c) et notons G “ p�Kq˚F “ p�Kq˚F. D’après le Théorème 3.46, ilsu�t de montrer que le morphisme de préfaisceaux �˚

KG // F induit un isomorphisme sur le point associéà l’inclusion K ãÑ D. Autrement dit, il faut montrer que l’application

p�˚KGqpDrrtssq // FpDrrtssq

est bijective. Or, d’après le Lemme 3.69, nous avons p�˚KGqpDrrtssq » GpDq » FpK bC Dq et, d’après la

propriété (c), nous avons FpDrrtssq » FpK bC Dq. Ceci permet de conclure. ⌅Proposition 3.74. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle. Soit F un faisceau feuilleté sur Fttf�{K.Les conditions suivantes sont équivalentes.

(a) F est discret.

(b) F est f-invariant et pour toute �-extension L{K, l’application évidente

FpK bK�“0 L�“0q // FpLqest bijective.

(c) F est f-invariant et pour toute �-extension L{K, l’application évidente

FpFracpK bK�“0 L�“0qq // FpLqest bijective.

De plus, dans (b) et (c), on peut se restreindre à L “ FracpDrrtssq avec D{C une extension telle que D estalgébriquement clos et de degré de transcendance infinie sur son corps premier.Démonstration. — L’équivalence (b) ô (c) découle du Corollaire 3.55 et du fait que le �-anneau K bK�“0

L�“0 est simple, de sorte que tout ouvert non vide de SpecpK bK�“0 L�“0q est f-dense.Pour montrer l’implication (b) ñ (a), on utilise la Proposition 3.73. Plus précisément, nous allons vérifier

que la condition (b) de l’énoncé à démontrer entraîne la condition (b) de la Proposition 3.73. En e↵et,soient D{K�“0 une extension et K ãÑ D un morphisme de K�“0-corps. Notons L “ FracpDrrtssq, une �-extension de K. Alors, puisque F est f-invariant, nous avons l’isomorphisme FpDrrtssq » FpLq. Par ailleurs,nous avons par hypothèse l’isomorphisme FpK bK�“0 L�“0q » FpLq. Puisque L�“0 “ D, il s’ensuit quel’application FpK bC Dq // FpDrrtssq est bijective comme désiré.

Il reste à montrer l’implication (a) ñ (b). Or, si F est discret, il est f-invariant d’après la Proposition3.72. Pour vérifier que l’application dans (b) est bijective, on peut prendre L “ FracpDrrtssq. (En e↵et, lesassociations

U P Ct{L� FpK bK�“0 Uq et U P Ct{L� FpL bL�“0 Uqdéfinissent des faisceaux sur Ct{L�“0 pour la topologie constructible. Il su�t donc de montrer que l’ap-plication FpK bK�“0 Dq // FpL bL�“0 Dq est bijective pour une extension D{L�“0 aussi grande que l’onveut. Puisque F est f-invariant, on a FpL bL�“0 Dq » FpFracpL bL�“0 Dqq. On peut donc remplacer L parFracpL bL�“0 Dq et supposer que L�“0 est algébriquement clos et de degré de transcendance indénombrablesur son corps premier. On peut aussi supposer que le �-corps L est contenu dans FracpL�“0rrtssq. On utiliseenfin que F est un faisceau feuilleté pour obtenir la réduction recherchée.) Or, puisque F est f-invariant, ona FpDrrtssq » FpFracpDrrtssqq. On utilise la Proposition 3.73 pour conclure. ⌅Corollaire 3.75. — Soit K un �-corps de carcatéristique nulle et soit F un faisceau feuilleté discret sur

Fttf�{K.

(i) Soit G un faisceau feuilleté f-invariant admettant une surjection F // // G. Alors, G est discret.

(ii) Soit H Ñ F un sous-faisceau feuilleté f-invariant. Alors, H est discret.

82 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — D’après la Proposition 3.74, il su�t de montrer que GpFracpK bK�“0 L�“0qq // GpLqest bijective pour toute �-extension L{K. On ne restreint pas la généralité en supposant que L “ FracpDrrtssqavec D un corps algébriquement clos et de degré de transcendance indénombrable sur son corps premier.L’application en question est nécessairement injective car G est un faisceau. Pour montrer qu’elle est sur-jective, on utilise que G est f-invariant pour déduire la bijection GpDrrtssq » GpLq. Il est donc su�sant deprouver que l’application GpK bC Dq // GpDrrtssq est surjective. Or, on dispose d’un carré commutatif

FpK bC Dq „//

✏✏

FpDrrtssq✏✏✏✏

GpK bC Dq // GpDrrtssqoù la flèche horzontale supérieure est bijective car F est discret et la flèche verticale de droite est surjectivecar F // G est surjectif (en tant que morphisme de faisceaux feuilletés) et l’évaluation en Drrtss est unpoint du site pFttf�{K, fttfq (cf. le Théorème 3.46). Ceci démontre (i).

Soit L{K une �-extension et montrons que l’application HpFracpK bK�“0 L�“0qq // HpLq est bijective.L’injectivité étant claire, il su�t de montrer la surjectivité. Notons L0 “ FracpK bK�“0 L�“0q et fixonss P HpLq. Puisque H est un faisceau feuilleté, pour montrer que s provient de HpL0q, il su�t de montrerqu’elle est dans eqtHpLq //

// HpL bL0 Lqu. Puisque H est un sous-faisceau de F, il su�t de montrer que

s P eqtFpLq //// FpL bL0 Lqu.

Or, puisque F est discret, on a FpLq » FpL0q ce qui entraîne que les deux applications de FpLq dansFpL bL0 Lq sont égales. ⌅

3.6. Faisceaux feuilletés localement discrets. —Dans ce paragraphe, nous fixons un �-corps K de caractéristique nulle. Nous allons introduire les fais-

ceaux feuilletés localement discrets sur Fttf�{K que nous classifierons à l’aide du pro-groupe de Galoisdi↵érentiel absolu de K, lorsque K�“0 est algébriquement clos.

Étant donnée une �-extension L{M, nous noterons simplement pL{Mq : SpecpLq // SpecpMq le mor-phisme de �-schémas correspondant.Définition 3.76. — Un faisceau feuilleté F sur Fttf�{K est dit localement discret s’il existe une �-

extension L{K telle que pL{Kq˚pFq est un faisceau feuilleté discret sur Fttf�{L. Nous dirons alors que F esttrivialisé par la �-extension L{K.

Clairement, un faisceau feuilleté discret est localement discret.Lemme 3.77. — Soit F un faisceau feuilleté localement discret sur Fttf�{K. Alors, F est f-invariant.

Démonstration. — Nous allons vérifier que F satisfait à la condition (b) de la Proposition 3.56. Soit Dun corps algébriquement clos, de caractéristique nulle et de degré de transcendance indénombrable sur soncorps premier. Fixons un plongement L ãÑ D induisant un morphisme de �-anneaux L ãÑ Drrtss. Nousdevons montrer que l’application

FpDrrtssq // FpFracpDrrtssqqest bijective. Or, puisque l’évaluation en SpecpDrrtssq est un point des topos feuilletés de K et L, nous avonsun isomorphisme :

FpDrrtssq » ppL{Kq˚FqpDrrtssq.Par ailleurs, la Remarque 3.63 fournit une injection (qui est en fait un bijection, mais nous ne le serons queplus tard) :

FpFracpDrrtssqq ãÑ ppL{Kq˚FqpFracpDrrtssqq.Ainsi, nous somme ramenés à montrer que l’application

ppL{Kq˚FqpDrrtssq // ppL{Kq˚FqpFracpDrrtssqqest bijective. Puisque pL{Kq˚F est discret par hypothèse, la Proposition 3.72 permet de conclure. ⌅


Construction 3.78. — Soit M{K une �-extension et soit G un préfaisceau sur Fttf�{M. Nous allonsdéfinir un faisceau f-feuilleté pM{Kq5G sur Fttf�{K de la manière suivante.

Pour X un pK,�q-schéma, on note SMpXq l’ensemble ordonné des ouverts U Ñ M bK X qui sont sché-matiquement denses relativement à X. Autrement dit, pour tout point x P X, U est dense dans le schémaSpecpM bK pxqq. Clairement, SMpXq est cofiltrant (car stable par intersection) et un morphisme de pK,�q-schémas X1 // X induit, par changement de base, une application croissante SMpXq // SMpX1q.

Alors, pour X P Fttf�{K, on pose :

ppM{Kq15GqpXq “ colim

UPSMpXqGpUq.

Ceci définit bien un préfaisceau sur Fttf�{K et on pose pM{Kq5G “ af-fttfpM{Kq15G. ⇤

Remarque 3.79. — Gardons les notations de la Construction 3.78. Nous disposons de transformationsnaturelles pM{Kq˚G // pM{Kq1

5G // pM{Kq5G. Par ailleurs, si N{K Ñ M{K est une sous-�-extension,nous avons un isomorphisme canonique pM{Kq1

5 » pN{Kq15 ˝ pM{Nq1

5. Il en découle une transformationnaturelle canonique pM{Kq5 // pN{Kq5 ˝ pM{Nq5. ⇤Proposition 3.80. — Soit M{K une �-extension et notons N Ñ M son noyau totalement décomposable

(cf. la Définition 2.20). Soit F un faisceau feuilleté discret sur Fttf�{N. Alors, le morphisme canonique

pN{Kq5F // pM{Kq5pM{Nq˚F

est un isomorphisme.Démonstration. — Le morphisme de l’énoncé est obtenu en appliquant af-fttf à la composition de

pN{Kq15F

// pN{Kq15pM{Nq˚pM{Nq˚pN{Kq˚F

✏✏

pN{Kq15pM{Nq1

5pM{Nq˚pN{Kq˚F „// pM{Kq1

5pM{Kq˚F.

(107)

Nous allons montrer que la composition de (107) induit un isomorphisme sur les faisceaux f-Zariski as-sociés (cf. la Remarque 3.58), ce qui est su�sant pour conclure. Il est facile de voir que le site f-ZariskipFttf�{K, f-Zarq admet su�samment de points donnés par les évaluations en les �-extensions de type finiK1{K. Or, en évaluant (107) en K1{K, on obtient l’application :

FpFracpN bK K1qq // ppM{Nq˚FqpFracpM bK K1qq. (108)

Puisque le faisceau feuilleté F est discret, on peut supposer que F “ �˚N F0 avec F0 un faisceau pour la

topologie constructible sur Ct{N�“0. Puisque N�“0 “ M�“0, on trouve aussi que pM{Nq˚F » �˚MF0.

D’après la Proposition 3.74, il s’ensuit que l’application (108) s’identifie à

F0pFracpN bK K1q�“0q // F0pFracpM bK K1q�“0q. (109)

Or, FracpN bK K1q�“0 “ FracpM bK K1q�“0 car N{K est le noyau totalement décomposable de M{K. Laproposition est démontrée. ⌅Proposition 3.81. — Soit M{K une �-extension maximalement décomposée par une �-extension L{K.

Soit G un faisceau feuilleté discret sur Fttf�{M. Alors, le faisceau feuilleté pM{Kq5G est localement discret.De plus, il est trivialisé par la �-extension L{K.Démonstration. — D’après la Proposition 3.80, on peut remplacer la �-extension M{K par son noyautotalement décomposable Mtd et G par l’unique faisceau feuilleté discret G1 tel que G » pM{Mtdq˚G1.Autrement dit, on peut supposer que la �-extension M{K est totalement décomposable.

Nous devons montrer que pL{Kq˚pM{Kq5G est un faisceau feuilleté discret. Puisque pM{Kq5G est unfaisceau f-feuilleté, la Proposition 3.62 montre que pL{Kq˚pM{Kq5G est un faisceau f-feuilleté. Il coïncidedonc avec le faisceau f-feuilleté associé au préfaisceau E “ ↵˚

pL{KqpM{Kq15G. Nous devons donc montrer

que af-fttfpEq est un faisceau feuilleté discret.

84 JOSEPH AYOUB

Soit G0 le faisceau pour la topologie constructible sur Ct{L�“0 tel que G “ �˚LG0. Si Y est un pL,�q-

schéma a�ne et localement de type fini, on a

EpYq “ ppM{Kq15GqpYq “ colim

VÑYbK M P SMpYqGpVq.

Puisque l’inclusion Y bL FracpLbK Mq // Y bK M est schématiquement dense relativement à Y , on obtient,en posant H “ FracpL bK Mq, un isomorphisme évident

colimVÑYbK M P SMpYq

GpVq » colimWÑYbLH P SHpYq

GpWq.

(Ci-dessus, H n’est pas toujours un �-corps, mais la définition de l’ensemble ordonné SHpYq reste valable.)Or, puisque M est totalement décomposée par L, on a H » FracpL bL�“0 Dq avec D “ H�“0. Puisque lemorphisme Y bL H // Y bL�“0 D est schématiquement dense relativement à Y , on peut réécrire les colimitesci-dessus et obtenir un isomorphisme naturel (en Y) :

EpYq » colimUÑYbL�“0 D P SDpYq

GpUq. (110)

Considérons à présent le préfaisceau E0 sur Ct{L�“0 défini par

E0pT q “ colimQÑTbL�“0 D P SDpTq

G0pQq

pour tout L�“0-schéma de type fini T . Vu la déscription (110) de E, on a un morphisme canonique depréfaisceaux sur Fttf�{L :

�˚LE0 // E. (111)

Ce morphisme induit un isomorphisme après évaluation sur les �-extensions de type fini de L. En e↵et, siL1{L est une �-extension, on a les identifications canoniques :

p�˚LpE0qqpL1q » E0pL1�“0q » G0pFracpL1�“0 bL�“0 Dqq.

Par ailleurs, en utilisant la formule (110), on obtient :

EpL1q » GpFracpL1 bL�“0 Dqq » G0ppFracpL1 bL�“0 Dqq�“0q “ G0pFracpL1�“0 bL�“0 Dqq.Ceci dit, il découle que le morphisme (111) induit un isomorphisme sur les faisceaux f-Zariski associés. Ilinduit donc aussi un isomorphisme sur les faisceaux f-feuilletés associés. Or, il est clair que af-fttf�LE0 »�˚

LactE0. Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

On est maintenant en mesure de montrer l’un des résultats essentiels sur les faisceaux feuilletés locale-ment discrets.Théorème 3.82. — Soit F un faisceau feuilleté localement discret sur Fttf�{K. Alors F est trivialisé par

la clôture normale pK{K de K (cf. la Définition 2.114).Démonstration. — En e↵et, soit L{K une �-extension qui trivialise F. Notons G “ pL{Kq˚F et considéronsle morphisme canonique

F // pL{Kq5G. (112)

Puisque F est un faisceau feuilleté, il découle de la Construction 3.78, que le morphisme de préfaisceauxF // pL{Kq1

5G est injectif. Puisque F est un faisceau f-feuilleté (voir le Lemme 3.77) et que le foncteuraf-fttf est exact, il s’ensuit que (112) est injectif. Ceci permet d’identifier F à un sous-faisceau de pL{Kq5G.

D’après la Proposition 3.81, pL{Kq5G est un faisceau feuilleté localement constant qui est trivialisé partoute �-extension L1{K qui décompose maximalement la �-extension L{K. Puisque toute �-extension estmaximalement décomposée par la clôture normale pK{K, il s’ensuit que le faisceau feuilleté p pK{Kq˚pL{Kq5Gest discret. Ainsi, p pK{Kq˚F est un sous-faisceau feuilleté f-invariant d’un faisceau feuilleté discret. LeCorollaire 3.75(ii) entraîne que p pK{Kq˚F est discret. Ceci termine la preuve du théorème. ⌅


Corollaire 3.83. — Soit F un faisceau feuilleté localement discret sur Fttf�{K. Si N{K est une �-extension normale, il existe un plus grand sous-faisceau feuilleté localement discret FN Ñ F qui est trivia-lisé par N{K. Il est donné par le produit cartésien :

FN “ F ˆpN{Kq˚pN{Kq˚F pN{Kq˚�˚Np�Nq˚pN{Kq˚F. (113)

De plus, F est l’union filtrante des FN lorsque N{K parcourt l’ensemble des sous-�-extensions de type finid’une clôture normale pK{K.Démonstration. — Soit N{K une �-extension normale. Montrons d’abord que la formule (113) définitbien un sous-faisceau de F. Le morphisme F // pN{Kq˚pN{Kq˚F est injectif de sorte que F s’identifieà un sous-faisceau de pN{Kq˚pN{Kq˚F. (En e↵et, F s’injecte dans pN{Kq5pN{Kq˚F et cette injection sefactorise à travers pN{Kq˚pN{Kq˚F.) D’autre part, si G est un faisceau f-feuilleté sur Fttf�{N, le morphismede préfaisceaux �˚

Np�Nq˚G // G est injectif sur les pN,�q-schémas localement de type fini X possédant unquotient pseudo-e↵ectif X�“0 qui est un N�“0-schéma de type fini. (Utiliser le Lemme 3.69 et le fait que lemorphisme X // N bN�“0 X�“0 est un recouvrement pour la topologie f-feuilletée.) Puisque le foncteur afttfest exact, on déduit que le morphisme �˚

Np�Nq˚G // G est injectif. Appliquant ceci à G “ pN{Kq˚F, onvoit que FN s’identifie à l’intersection de F avec un sous-faisceau de pN{Kq˚pN{Kq˚F. En particulier, FNest un sous-faisceau de F.

Soit maintenant E Ñ F un sous-faisceau feuilleté localement discret et trivialisé par la �-extensionnormale N{K. Alors, par construction, on a une inclusion EN Ñ FN de sous-faisceaux de F. Or, puisquepN{Kq˚E est discret, il est isomorphe à �˚

Np�Nq˚pN{Kq˚E. Il s’ensuit que EN “ E et E Ñ FN . Ceci montreque FN est le plus grand sous-faisceau localement discret de F qui soit trivialisé par N{K.

Il reste à montrer la dernière assertion. Il su�t de traiter le cas où K�“0 est algébriquement clos, i.e.,K�“0 “ pK�“0. (En e↵et, il est facile de voir qu’un faisceau localement discret est trivialisé par N si etseulement si il est trivialisé par N 1 “ N bN�“0 pK�“0 ce qui entraîne que FN “ FN1 .) Dans ce cas, on voitimmédiatement que

colimN{K Ñ pK{K de type fini

p�Nq˚pN{Kq˚F » p�pKq˚p pK{Kq˚F,

ce qui entraîne l’égalité F pK “ colimNÑ pK FN . On conclut grâce au Théorème 3.82 qui fournit l’égalitéF pK “ F. ⌅

Le Théorème 3.82 et son Corollaire 3.83 motivent la construction suivante.Construction 3.84. — Soit F un faisceau feuilleté localement discret sur Fttf�{K. Supposons que F est

trivialisé par une �-extension normale de type fini N{K telle que K�“0 “ N�“0. Dans la suite, nous noteronsC le corps des constantes commun à K et L.

Nous allons construire une action à gauche du groupe de Galois di↵érentiel Gal�pN{Kq (cf. la Définition2.87) sur E “ p�Nq˚pN{Kq˚F, un faisceau sur Ct{C pour la topologie constructible. Autrement dit, nousallons construire des applications

EpT q // EpT ˆC Gal�pN{Kqq (114)

naturelles en T P Ct{C et vérifiant les hypothèses d’unitarité et d’associativité usuelles.Rappelons que, en tant que C-schéma, Gal�pN{Kq est donné par SpecpN bK Nq�“0. D’après le Théorème

2.82(b, d, e), le morphisme évident

SpecpN bK Nq // N bC SpecpN bK Nq�“0 “ N bC Gal�pN{Kqest une limite projective d’immersions ouvertes f-denses. Puisque F est f-invariant, on a un isomorphismecanonique

FpT bC N bC Gal�pN{Kqq » FpT bC N bK Nq.On prendra pour (114) la composition de :

EpT q » FpT bC Nq d0// FpT bC pN bK Nqq » FpT bC N bC Gal�pN{Kqq » EpT ˆC Gal�pN{Kqq,

86 JOSEPH AYOUB

où d0 désigne le morphisme induit par N » K bK N ãÑ N bK N, i.e., par la projection sur le second facteurde SpecpN bK Nq. La vérification que ceci définit bien une action à gauche est laissée au lecteur. ⇤Théorème 3.85. — Soit N{K une �-extension normale, de type fini et telle que K�“0 “ N�“0. Nous

noterons C le corps des constantes commun à K et L. La Construction 3.84 fournit une équivalence decatégories entre, d’une part, la sous-catégorie pleine de ShvfttfpFttf�{Kq formée des faisceaux localementdiscrets trivialisés par N{K, et d’autre part, la catégorie des faisceaux sur pCt{C, ctq munis d’une action àgauche de Gal�pN{Kq.Démonstration. — On divise la preuve en plusieurs étapes.Étape A : Soit F un faisceau feuilleté sur Fttf�{K localement discret et trivialisé par N{K auquel on associele faisceau E sur Ct{C muni de son action de Gal�pN{Kq comme dans la Construction 3.84. Par ailleurs,soit E1 un faisceau pour la topologie constructible sur Ct{C et notons G1 “ �˚

N E1. D’après le Lemme 3.87ci-dessous, la Construction 3.84 fait correspondre au faisceau localement discret pN{Kq˚G1 le faisceau

rE1 “ E1p´ ˆC Gal�pN{Kqqmuni de l’action naturelle de Gal�pN{Kq, i.e., celle induite par la multiplication de Gal�pN{Kq. L’ensemblehomGal�pN{KqpE, rE1q, des morphismes équivariants de faisceaux de E dans rE1, s’identifie à hompE, E1q, l’en-semble des morphismes de faisceaux de E dans E1. Similairement, on a :

hompF, pN{Kq˚G1q » homppN{Kq˚F,G1q » hompE, E1q.(La seconde bijection ci-dessus s’obtient en appliquant le Théorème 3.68.) Il s’ensuit aussitôt que la Construc-tion 3.84 induit une bijection :

hompF, pN{Kq˚G1q » homGal�pN{KqpE, rE1q.En particulier, cette construction est pleinement fidèle sur les objets de la forme pN{Kq˚G avec G un fais-ceau discret sur Fttf�{N.Étape B : Soit F 1 un faisceau feuilleté sur Fttf�{K localement discret et trivialisé par la �-extension N{K.On a alors

F 1 “ eqtpN{Kq˚pN{Kq˚F 1 //// pN{Kq˚pN{Kq˚pN{Kq˚pN{Kq˚F 1u. (115)

(Pour vérifier cela, on peut appliquer le foncteur exact et conservatif pN{Kq˚ et utiliser la retraction

pN{Kq˚pN{Kq˚pN{Kq˚F 1 // pN{Kq˚F 1

induite par la counité de l’adjonction. Les détails, désormais classiques, sont laissés au lecteur.)Similairement, si E1 est le faisceau sur Ct{C associé à F 1 par la Construction 3.84 on a d’une manière

Gal�pN{Kq-équivariante

E1 “ eq

E1p´ bC Gal�pN{Kqq //// E1p´ bC Gal�pN{Kq bC Gal�pN{Kqq(

. (116)

L’une des flèches ci-dessus est induite par l’action de Gal�pN{Kq sur E1 et l’autre par la multiplication deGal�pN{Kq ; le groupe Gal�pN{Kq agit sur les faisceaux

rE1 “ E1p´ ˆC Gal�pN{Kqq et rrE1 “ rE1p´ ˆC Gal�pN{Kqq “ E1p´ ˆC Gal�pN{Kq ˆC Gal�pN{Kqqde la manière usuelle.

En utilisant l’étape A, et les isomorphismes (115) et (116), il découle que Construction 3.84 induit unebijection hompF, F 1q » homGal�pN{KqpE, E1q. On a ainsi montrer que cette construction est un foncteurpleinement fidèle.Étape C : Pour terminer la preuve, il reste à montrer que la Construction 3.84 est essentiellement surjec-tive, i.e., qu’elle permet d’obtenir, à isomorphisme près, toute les actions à gauche de Gal�pN{Kq sur desfaisceaux E1 sur Ct{C.


Ceci découle de l’étape précédente et plus précisément de l’isomorphisme (116). En e↵et, puisque laConstruction 3.84 est un foncteur exact, il est facile de voir qu’en l’appliquant au faisceau localementdiscret

F 1 “ eqtpN{Kq˚�˚N E1 //

// pN{Kq˚pN{Kq˚pN{Kq˚�˚N E1u (117)

on retrouve le faisceau E1 et son action de Gal�pN{Kq. Dans (117), une des flèches est donnée par l’unitéde l’adjonction ppN{Kq˚, pN{Kq˚q et l’autre flèche est induite par la flèche

�˚N E1 // pN{Kq˚pN{Kq˚�˚

N E1

qui correspond, via le Lemme 3.87 ci-dessous et le Théorème 3.68, à l’action de Gal�pN{Kq sur E1 :

E1p´q // E1p´ ˆC Gal�pN{Kqq.Ceci termine la preuve du théorème. ⌅Lemme 3.86. — Soient N{K une �-extension normale et G un faisceau feuilleté discret sur Fttf�{N. Alors,pN{Kq˚G est localement discret et il est trivialisé par N{K. De plus, si G “ �˚

N E avec un E un faisceaupour la topologie constructible sur Ct{N�“0, on a un isomorphisme canonique :

pN{Kq˚pN{Kq˚G » �˚N Ep´ ˆN�“0 SpecpN bK Nq�“0q. (118)

Démonstration. — On traite uniquement le cas où la �-extension N{K est de type fini ; le cas général s’endéduit facilement en raisonnant comme dans la preuve du Corollaire 3.83.

Puisque G est un f-faisceau, il en est de même de pN{Kq˚G. Ainsi, si Y est un pN,�q-schéma a�ne et detype fini, on a d’après la Proposition 3.62 :

ppN{Kq˚pN{Kq˚GqpYq “ ppN{Kq˚GqpYq “ GpY bK Nq » GpY bN pN bK Nqq. (119)

Puisque G est un faisceau feuilleté discret, il existe un faisceau feuilleté discret H sur Fttf�{K1, où K1 “K bK�“0 N�“0, tel que G “ pN{K1q˚H. En appliquant une deuxième fois la Proposition 3.62, on déduit unisomorphisme, naturel en Y P Fttf�{N :

GpY bN pN bK Nqq » HpY bN pN bK Nqq (120)

où la structure de pK1,�q-schéma sur Y bN pN bK Nq est déduite de l’inclusion K1 Ñ N au niveau de ladeuxième copie de N bK N. D’après le Théorème 2.82(b, d, e), le morphisme évident de pK1,�q-schémas

Y bN SpecpN bK Nq // Y bN�“0 SpecpN bK Nq�“0

est une limite projective d’immersions ouvertes f-denses. Puisque H est f-invariant, il s’ensuit un isomor-phisme canonique :

HpY bN pN bK Nqq » HpY bN�“0 SpecpN bK Nq�“0q (121)où la structure de pK bK�“0 N�“0,�q-schéma sur Y bN�“0 SpecpN bK Nq�“0 est déduite de la structure depK,�q-schéma sur Y et la structure de N�“0-schéma sur SpecpN bK Nq�“0 donnée par l’inclusion de N�“0

sur le second facteur de N bK N.À l’aide des identifications (119), (120) et (121), il est facile d’obtenir l’isomorphisme

p�Nq˚pN{Kq˚pN{Kq˚G » Ep´ ˆN�“0 SpecpN bK Nq�“0qqui permettra de retrouver l’isomorphisme (118) si l’on savait que pN{Kq˚pN{Kq˚G est discret. Le reste dela preuve est consacrée à montrer que pN{Kq˚pN{Kq˚G est discret.

Puisque pN{Kq˚G est un faisceau f-feuilleté, il est en de même de pN{Kq˚pN{Kq˚G d’après la Proposition3.62. Pour montrer que pN{Kq˚pN{Kq˚G est discret, nous pouvons donc appliquer la Proposition 3.74, quinous ramène à calculer les sections de pN{Kq˚pN{Kq˚G au-dessus d’une �-extension de type fini L{N.Utilisant les identifications (119), (120) et (121), nous obtenons :

pN{Kq˚pN{Kq˚GpLq » HpL bN�“0 SpecpN bK Nq�“0q“ HppL bK�“0 N�“0q bN�“0bK�“0 N�“0 SpecpN bK Nq�“0q. (122)

88 JOSEPH AYOUB

D’après la Proposition 3.74, il est su�sant de montrer que l’application naturelle

EpL�“0 bN�“0 SpecpN bK Nq�“0q // HppL bK�“0 N�“0q bN�“0bK�“0 L�“0 SpecpN bK Nq�“0qest bijective. Ceci découle du Théorème 3.68 appliqué à chaque facteur direct du produit fini de �-corpsL bK�“0 N�“0. ⌅

Lemme 3.87. — Soit N{K une �-extension normale, de type fini et telle que K�“0 “ N�“0. Nous noteronsC le corps des constantes commun à K et L.

(i) Soit E un faisceau pour la topologie constructible sur Ct{C et G “ �˚N E le faisceau feuilleté discret

sur Fttf�{N associé à E. Alors, le faisceau pN{Kq˚G est localement discret et il est trivialisé par N{K.De plus, la Construction 3.84 appliquée à pN{Kq˚G donne le faisceau Ep´ ˆC Gal�pN{Kqq muni del’action évidente, à savoir celle induite par la multiplication sur Gal�pN{Kq.

(ii) Soit F un faisceau localement discret sur Fttf�{K trivialisé par N{K et G “ pN{Kq˚F. Notons E “p�Nq˚pN{Kq˚F de sorte que G “ �˚

N E. Alors, la Construction 3.84 appliquée au morphisme naturelF // pN{Kq˚G fournit un morphisme de faisceaux Ep´q // Ep´ ˆC Gal�pN{Kqq qui n’est autreque celui définissant l’action à gauche de Gal�pN{Kq sur E.

Démonstration. — Mis à part la première assertion de (i) qui a été établie dans une plus grande généralitédans le Lemme 3.86, la vérification est facile mais fastidieuse. ⌅

On termine le paragraphe avec un exemple important de faisceaux localement discrets.Proposition 3.88. —

(a) Soit M un pK,�q-module de rang fini sur K. On note M� le préfaisceau sur Fttf�{K donné par

X P Fttf�{K M�pXq “ �pX,M|Xq�“0,

où M|X désigne le pOX,�q-module OX bK M. Alors, le faisceau feuilleté M� “ afttfM� est localementdiscret.

(b) Supposons que M soit trivialisé par une �-extension normale N{K telle que K�“0 “ N�“0 “ C etnotons V “ pM bK Nq�“0 la représentation algébrique de Gal�pN{Kq associée à M par le Théorème2.122. On note V� le préfaisceau sur Ct{C donné par

T P Ct{C V�pT q “ �pT,V|T q,où V|T est le OT -module OT bC V. Alors, le faisceau pour la topologie constructible V� “ actV�, munide l’action de Gal�pN{Kq induite de son action sur V, correspond à M� par le Théorème 3.85.

Démonstration. — Calculons d’abord le préfaisceau ↵˚pN{KqM� avec N{K une �-extension qui trivialise M

(cf. la Proposition 2.120). Si Y est un pN,�q-schéma a�ne et de type fini, nous avons

p↵˚pN{KqM�qpYq “ M�pYq “ �pY,M|Yq�“0 » OpYq�“0 bN�“0 pM bK Nq�“0.

Ainsi, en posant V “ pM bK Nq�“0, on obtient un isomorphisme de préfaisceaux

↵˚pN{KqM� » �˚

NpO bN�“0 Vq.Il s’ensuit que nous avons les isomorphismes de faisceaux feuilletés suivant :

pN{Kq˚M� » afttfp�˚NpO bN�“0 Vqq » �˚

NpactpO bN�“0 Vqq. (123)

La partie (a) de l’énoncé est démontrée.Pour démontrer (b), supposons que K�“0 “ N�“0 “ C. D’après (123), la Construction 3.84 appliquée

au faisceau localement discret M� fournit le faisceau V� “ actpO bC Vq. Il reste à voir que les actions dugroupe Gal�pN{Kq sont les mêmes. Ceci découle facilement des Constructions 2.121 et 3.84. ⌅


3.7. Lemme curieux, I. Démonstration. —Soit pC, ⌧q un site, i.e., une catégorie essentiellement petite C munie d’une topologie de Grothendieck

⌧. Comme d’habitude, nous notons PShpCq la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur C et Shv⌧pCq sasous-catégorie pleine des faisceaux pour la topologie ⌧. L’inclusion Shv⌧pCq ãÑ PShpCq possède un adjointà gauche appelé le foncteur « faisceau associé » et noté a⌧.

Nous supposerons que le topos Shv⌧pCq possède su�samment de points. Cette hypothèse est probable-ment superflue mais simplifiera grandement certaines démonstrations ; de plus elle est satisfaite dans lesapplications auxquelles nous aspirons dans ce mémoire.

Notons �opPShpCq et �opShv⌧pCq les catégories des objets simpliciaux dans PShpCq et Shv⌧pCq. Unmorphisme de faisceaux simpliciaux f‚ : F‚ // G‚ est une équivalence ⌧-locale si la fibre x˚p f‚q est uneéquivalence d’homotopie pour tout point x du topos Shv⌧pCq. (Cette notion n’est raisonnable qu’en présencede su�samment de points ; consulter [34] pour une définition qui marche en toute généralité.) De même,un morphisme de préfaisceaux simpliciaux est une équivalence ⌧-local s’il en est ainsi du morphisme induitsur les faisceaux simpliciaux associés.

Soit X // S un morphisme de faisceaux d’ensembles sur C et formons le faisceau simplicial de CechC‚pX{S q. Rappelons que

CnpX{S q “n`1 foishkkkkkkkikkkkkkkj

X ˆS ¨ ¨ ¨ ˆS Xet que les faces et les dégénérescences sont induites par les projections et les diagonales partielles. Lerésultat suivant est bien connu.Lemme 3.89. — Si X // S est surjectif, alors C‚pX{S q // S est une équivalence ⌧-locale (S étant

considéré comme un faisceau simplicial simplicialement constant).Démonstration. — C’est tellement simple que nous ne résistons pas à rappeler la preuve. Vu que Shv⌧pCqpossède su�samment de points, on se ramène à travailler dans le topos ponctuel : X et S sont donc desensembles. L’application surjective X // S possède alors une section qui fournit une rétraction S “C‚pS {S q // C‚pX{S q. La même section fournit aussi une homotopie simpliciale entre l’identité de C‚pX{S qet la composition de

C‚pX{S q // S // C‚pX{S q.(Alternativement, on peut remarquer que C‚pX{S q est le classifiant du groupoïde ayant X pour ensembled’objets et X ˆS X pour ensemble de flèches, et que ce groupoïde est équivalent au groupoïde discret ayantS pour ensemble d’objets.) ⌅

Le Théorème 3.90 ci-dessous décrit une classe de sous-faisceaux simpliciaux de C‚pX{S q pour lesquels laconclusion du Lemme 3.89 reste vraie. Ce théorème est le « lemme curieux » auquel nous faisions référencedans le titre de ce paragraphe. (On rappelle que la catégorie �` est obtenue à partir de � en rajoutant unobjet initial ´1 “ H vérifiant hom�`pm,´1q “ H pour m > 0. Les foncteurs contravariants définis sur �`sont appelés les objets simpliciaux augmentés.)Théorème 3.90. — Soient X // S un morphisme surjectif dans Shv⌧pCq et U‚ Ñ C‚pX{S q un sous-

faisceau simplicial. Le morphisme de faisceaux simpliciaux U‚ // S est une équivalence ⌧-locale si lesconditions pCnq ci-dessous sont satisfaites pour tout n P N. (On convient que U´1 “ C´1pX{S q “ S .)

pCnq Soient pm↵q↵PI P pN \ t´1uqI une famille d’entiers et, pour chaque ↵ P I, soit r↵ : m↵ ãÑ n uneflèche strictement croissante dans �`. On note r1

↵ : m↵ ` 1 ãÑ n ` 1 l’extension de r↵ donnée parr1↵pm↵ ` 1q “ n ` 1. Alors, le morphisme de faisceaux

dn`1 :£

↵PI

pr1˚↵ q´1pUm↵`1q //

£

↵PI

pr˚↵q´1pUm↵q, (124)

induit par dn`1 : Cn`1pX{S q // CnpX{S q, est surjectif.La preuve du Théorème 3.90 comporte plusieurs étapes et nécessite quelques résultats préliminaires. On

note d’abord la réduction suivante.Lemme 3.91. — Il su�t de montrer le Théorème 3.90 dans le cas où Shv⌧pCq est le topos ponctuel.

90 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — En e↵et, les conditions pCnq sont préservées par les morphismes de topos et nous avonssupposé que Shv⌧pCq possède su�samment de points. ⌅

Ainsi, jusqu’à la fin de la preuve du Théorème 3.90, X et S seront des ensembles, f : X // S sera uneapplication surjective et U‚ Ñ C‚pX{S q sera un sous-ensemble simplicial vérifiant les conditions pCnq.Proposition 3.92. — L’application évidente ⇡0pUq // S est bijective.Démonstration. — Montrons d’abord que l’application ⇡0pUq // S est surjective. Pour cela, il est su�santde montrer que l’application U0 // S est surjective. Or, d’après la condition pC0q, la composition de

pr´11 pU0q ãÑ X ˆS X

pr2// X

est surjective. Il su�t alors de contempler le carré commutatif

pr´11 pU0q pr2

// //

✏✏

X

✏✏✏✏

U0// S

pour conclure.Pour établir l’injectivité de l’application ⇡0pUq // S , remarquons que ⇡0pUq est le quotient de U0 par la

relation d’équivalence engendrée par la relation suivante : x „ y ô px, yq P U1. Il su�t donc de montrerque si f pxq “ f pyq pour x, y P U0, il existe z P U0 tel que px, zq et py, zq sont dans U1. Or, d’après lacondition pC1q, l’application d2 : X ˆS X ˆS X // X ˆS X envoie d´1

0 pU1q X d´11 pU1q surjectivement sur

d´10 pU0q X d´1

1 pU0q “ U0 ˆS U0. p3q Puisque px, yq P d´10 pU0q X d´1

1 pU0q, il existe bien z P U0 tel quepx, y, zq P d´1

0 pU1q X d´11 pU1q. ⌅

Proposition 3.93. — Les composantes connexes de l’ensemble simplicial U‚ sont simplement connexes.Autrement dit, le groupoïde fondamental de U‚ est équivalent à un groupoïde discret.Démonstration. — On a les décompositions évidentes suivantes :

C‚pX{S q “∫

sPS

C‚p f ´1psq{tsuq et U‚ “∫

sPS

U‚ X C‚p f ´1psq{tsuq.

De plus, les conditions pCnq sont encore satisfaites pour les U‚ X C‚p f ´1psq{tsuq. Ceci nous ramène aucas où S est un singleton et U‚ est connexe (cf. la Proposition 3.92). Nous pouvons aussi noter l’ensemblesimplicial de Cech associé à f par C‚pXq ; il est donné par CnpXq “ Xn`1.

Nous utiliserons la présentation suivante du groupoïde fondamental ⇧pUq (cf. [32, Chapter III, §1]). Sesobjets sont les éléments de U0 et à chaque px, yq P U1 correspond une flèche pxyq : x Ñ y. Les flèches de⇧pUq sont des compositions de telles flèches et de leurs inverses. Les relations entres les flèches de ⇧pUqsont conséquences des relations

pxyq ˝ pyzq “ pxzqvalable dès que px, y, zq P U2. Étant donné un m ` 1-uplet px0, ¨ ¨ ¨ , xmq tel que pxi, xi`1q P U1 pour tout0 6 i 6 m ´ 1, nous poserons

px0 ¨ ¨ ¨ xmq “ px0x1q ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ pxm´1xmq.Le reste de la preuve est divisé en deux étapes.Étape 1 : Soient x, y, z P U0, et supposons que px, yq, px, zq et py, zq sont dans U1. Alors, on a la relationpxzq “ pxyq ˝ pyzq dans ⇧pUq.

Lorsque px, y, zq P U2, ceci est vrai par la description du groupoïde ⇧pUq donnée ci-dessus. En général,on peut trouver t P U0 tel que py, z, tq, px, z, tq et px, y, tq sont dans U2. En e↵et, d’après la condition pC2q,l’application d3 : X4 // X3 induit une surjection

d´10 pU2q X d´1

1 pU2q X d´12 pU2q d3

// // d´10 pU1q X d´1

1 pU1q X d´12 pU1q,

3. Dans une version antérieure, c’était d´10 pU0q X d´1

0 pU0q au lieu de d´10 pU0q X d´1

1 pU0q. Vérifie que c’était bien un typo !


et il su�t de prendre t tel que px, y, z, tq est un antécédant de px, y, zq par cette surjection. Il s’ensuit, qu’ona les relations suivantes dans ⇧pUq :

pytq “ pyzq ˝ pztq, pxtq “ pxzq ˝ pztq et pxtq “ pxyq ˝ pytq.Il en découle aussitôt que

pxzq “ pxtq ˝ pztq´1 “ pxyq ˝ pytq ˝ pztq´1 “ pxyq ˝ pyzq,ce qu’on cherchait à démontrer.Étape 2 : Fixons un point base o P U0. Dans cette étape, nous allons montrer que le groupe ⇡1pU, oq esttrivial ce qui terminera la preuve de la proposition.

Soit px0, ¨ ¨ ¨ , xmq un m ` 1-uplet tel que xi P U0 pour tout 0 6 i 6 m. Il existe alors z P U0 tel quepxi, zq P U1 pour tout 0 6 i 6 m. En e↵et, d’après la condition pCmq, l’application dm`1 : Xm`2 Ñ Xm`1

induit une surjection£

r1:1ãÑm`1, r1p1q“m`1

pr1˚q´1pU1q // //

£

r:0ãÑmpr˚q´1pU0q “ Um`1

0 .

Il su�t alors de prendre z P U0 tel que px0, ¨ ¨ ¨ , xm, zq est un antécédent de px0, ¨ ¨ ¨ , xmq.Supposons maintenant que x0 “ xm “ o et que pxi, xi`1q P U1 pour tout 0 6 i 6 m ´ 1 de sorte que le

m ` 1-uplet px0, ¨ ¨ ¨ , xmq détermine un automorphisme px0 ¨ ¨ ¨ xmq de o P ⇧pUq. D’après l’étape précédenteappliquée aux triplets pxi, xi`1, zq, on obtient les relations

pxixi`1q “ pxizq ˝ pxi`1zq´1.

Il s’ensuit que

px0 ¨ ¨ ¨ xmq “ px0x1q ˝ px1x2q ¨ ¨ ¨ ˝ pxm´1xmq “ px0zq ˝ pxmzq´1 “ pozq ˝ pozq´1 “ ido.

Or, tout automorphisme de o dans ⇧pUq est obtenu à partir d’un m ` 1-uplet comme ci-dessus (m pouvantvarier). Nous avons donc montré que ⇡1pU, oq » 1. ⌅

L’étape suivante consiste à analyser l’homologie de l’ensemble simplicial U. (Ci-dessus, nous commet-tons l’abus de notation consistant à désigner par le même symbole un groupe abélien simplicial et le com-plexe simple qui lui est associé. Précisons aussi que si E est un ensemble, E b Z “ ≤

ePE Z désigne legroupe abélien libre engendré par E.)Proposition 3.94. — Le morphisme U‚ b Z // S b Z est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, on a

H0pU‚ b Zq » S b Z et HepU‚ b Zq “ 0 si e , 0.Démonstration. — Posons

R‚pU b Zq “ Cône tU‚ b ZÑ S b Zu r´1s.Ainsi, nous avons RnpU bZq “ Un bZ si n > 0, R´1pU bZq “ S bZ et RnpU bZq “ 0 si n † ´1. (Dansla suite, il nous arrivera de noter RpU b Zq ou RpU‚ b Zq ce même complexe.)

Nous allons montrer par récurrence sur e P N que le complexe R‚pU b Zq est e-connexe, i.e., que sonhomologie est nulle en degrés plus petits ou égaux à e. Lorsque e “ 0, ceci est une conséquence de laProposition 3.92 qui fournit un isomorphisme canonique H0pU b Zq » S b Z.

Supposons que e > 1 et que la e ´ 1-connexité est établie pour les complexes R‚pU b Zq, quelque soit lesous-ensemble simplicial U‚ satisfaisant aux conditions pCnq du Théorème 3.90 (pour X et S convenables).Nous divisons la preuve en plusieurs étapes.Étape 1 : Considérons le morphisme d’ensembles simpliciaux g‚ : U1`‚ // U‚ donné par gn “ d0 etformons l’ensemble bisimplicial de Cech V‚,‚ “ C‚pU1`‚{U‚q. Ainsi, nous avons :

Vp,q “p`1 foishkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkj

U1`q Ûq ¨ ¨ ¨ Ûq U1`q .

92 JOSEPH AYOUB

On dispose d’un carré commutatif d’ensembles simpliciaux

U1`‚//

g✏✏

U0

f✏✏

U‚// S

(125)

où la flèche horizontale supérieure est donnée par les applications U1`n // U0 correspondantes aux flèches0 : 0 Ñ 1 ` n. (Bien entendu, U0 et S sont considérés ici comme des ensembles simpliciaux simplicia-lement constants.) Le carré (125) induit un morphisme d’ensembles bisimpliciaux V‚,‚ // C‚pU0{S q. (Ici,l’ensemble bisimplicial C‚pU0{S q est simplicialement constant relativement à la seconde variable.)

Par ailleurs, on dispose d’un morphisme évident V‚,‚ // C‚pX{S q. (Ici, l’ensemble bisimplicial C‚pX{S qest simplicialement constant relativement à la première variable.) Ce morphisme est donné par les compo-sitions de Vp,q Ñ Uq ãÑ CqpX{S q. Clairement, le carré d’ensembles bisimpliciaux

V‚,‚//

✏✏

C‚pX{S q✏✏

C‚pU0{S q // S

est commutatif. On en déduit alors un morphisme d’ensembles bisimpliciaux

V‚,‚ // C‚pU0{S q ˆS C‚pX{S q. (126)

Il est immédiat que ce morphisme est injectif. (Le lecteur remarquera que lorsque U‚ “ C‚pX{S q, le mor-phisme (126) est un isomorphisme.)Étape 2 : Fixons les entiers p, q > 0. Clairement, CppU0{S q ˆS CqpX{S q est un sous-ensemble de

CppX{S q ˆS CqpX{S q “ Cp`1`qpX{S q.De plus, il admet la description suivante :

CppU0{S q ˆS CqpX{S q “£

l :0Ñp`1`q, lp0q6p

pl˚q´1pU0q Ñ Cp`1`qpX{S q. (127)

De même, à l’aide de l’injection (126), on peut identifier Vp,q à un sous-ensemble de CppU0{S q ˆS CqpX{S qet donc aussi à un sous-ensemble de Cp`1`qpX{S q. De plus, il est immédiat que :

Vp,q “£

t : 1`qãÑp`1`q, tp1q>p`1

pt˚q´1pUq`1q Ñ Cp`1`qpX{S q. (128)

Étape 3 : Pour tout p P N, le sous-ensemble simplicial Vp,‚ Ñ CppU0{S qˆS C‚pX{S q satisfait aux conditionspCnq du Théorème 3.90. (Bien entendu, nous identifions S 1 ˆS C‚pX{S q à l’ensemble simplicial de Cechassocié à l’application pr1 : S 1 ˆS X // S 1 obtenue par changement de base.)

En e↵et, donnons-nous un entier n P N et des flèches injectives r↵ : m↵ ãÑ n dans �` et notonsr1↵ : m↵ ` 1 ãÑ n ` 1 les flèches de � obtenues comme dans l’énoncé du Théorème 3.90. Notons

s↵ : p ` 1 ` m↵ Ñ p ` 1 ` n (resp. s1↵ : p ` 1 ` m↵ ` 1 Ñ p ` 1 ` n ` 1)

l’application de � qui est l’identité sur 0 6 a 6 p et qui envoie p ` 1 ` b (resp. p ` 1 ` b1) sur p ` 1 ` r↵pbq(resp. p ` 1 ` r1

↵pb1q) pour 0 6 b 6 m↵ (resp. 0 6 b1 6 m↵ ` 1).Grâce à la formule (128), l’application dn`1 :

ì↵PI pr1

↵ q´1pVp,m↵`1q //ì

↵PI pr↵q´1pVp,m↵q s’identifie à£

↵PI

£

t1:1`m↵`1ãÑp`1`m↵`1,t1p1q>p`1

ps1˚↵ q´1pt1˚q´1pU1`m↵`1q dp`1`n`1

//

£

↵PI

£

t:1`m↵ãÑp`1`m↵,

tp1q>p`1

ps˚↵q´1pt˚q´1pU1`m↵q.

(129)


Cette application est bien surjective d’après pCp`1`nq. (Le lecteur remarquera que même lorsque certainsdes m↵ sont égaux à ´1, le raisonnement précédent reste valable. En e↵et, selon la convention adoptée dansl’énoncé du Théorème 3.90, on a Vp,´1 “ CppU0{S q “ ì

r : 0Ñp pr˚q´1pU0q.)

Étape 4 : Nous sommes maintenant en mesure de terminer la preuve de la proposition. D’après l’hypothèsede récurrence et l’étape précédente, les complexes

RpVp,‚ b Zq “ CônetVp,‚ b ZÑ CppU0{S q b Zusont e ´ 1-connexes pour tout p > 0. En fait, pour p “ 0, nous avons mieux : d’après le Lemme 3.95ci-dessous et puisque V‚,0 “ U1`‚, le complexe RpV0,‚ b Zq est acyclique. Il s’ensuit que le complexesimple

L‚ “ TotpRpV‚,‚ b Zqqest e-connexe. (Ceci découle par exemple de la suite spectrale de doubles complexes

E1p,q “ HqpRpVp,‚ b Zqq ñ Hp`qpL‚q,

et du fait que E1p,q “ 0 si p 6 0 ou q 6 e ´ 1 et en particulier si p ` q 6 e.) Nous bouclerons la récurrence

en montrant que le complexe R‚pU b Zq est quasi-isomorphe à L‚.En e↵et, pour q P N, on a V‚,q “ C‚pU1`q{Uqq et l’application d0 : U1`q // Uq est surjective car elle

possède une section, à savoir s0. D’après le Lemme 3.89, le morphisme d’ensembles simpliciaux V‚,q // Uqest une équivalence d’homotopie. Il s’ensuit que le morphisme de complexes V‚,q b Z // Uq b Z est unquasi-isomorphisme. De même, puisque l’application U0 // S est surjective, le morphisme de complexesC‚pU0{S q b Z // S b Z est un quasi-isomorphisme. Ainsi, le morphisme de bicomplexes

RpV‚,‚ b Zq // RpU‚ b Zqinduit un quasi-isomorphisme sur les colonnes. En passant aux complexes simples, on obtient alors le quasi-isomorphisme L‚ // RpU‚ b Zq recherché (cf. [53, Lemma 2.7.3]). ⌅

Le lemme suivant a servi dans la preuve de la Proposition 3.94.Lemme 3.95. — Soit A‚ un groupe abélien simplicial. Alors, le morphisme A1`‚ // A0, induit par d0 :

A1 // A0, est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Ceci est bien connu. On pose, comme dans la preuve de la Proposition 3.94,

RpA1`‚q “ CônetA1`‚ Ñ A0ur´1s.Il su�t de montrer que RpA1`‚q est acyclique. Or, les morphismes s0 : An // An`1, pour n > 0, fournissentune homotopie entre l’identité et l’endomorphisme nul de RpA1`‚q. ⌅Démonstration du Théorème 3.90. — Vu la Proposition 3.92, il reste à voir que les composantes connexesde l’ensemble simplicial U‚ sont contractiles, i.e., que les groupes d’homotopies ⇡ipU, oq sont triviales pourtout o P U0 et i > 1. La Proposition 3.93 garantie le cas i “ 1. Supposons par l’absurde que ⇡ipU, oq est nonnul pour un certain i > 2 et supposons que l’entier i est minimal pour cette propriété. Sous ces conditions,le théorème de Hurewicz (cf. [32, Theorem 3.7]) a�rme que le groupe abélien ⇡ipU, oq est isomorpheau i-ième groupe d’homologie singulière de la composante connexe de U contenant o. Ainsi, ⇡ipU, oq estisomorphe à un facteur direct du groupe HipU bZq, et ce dernier est donc non nul. Ceci est en contradictionavec la Proposition 3.94. ⌅

3.8. Lemme curieux, II. Application. —Dans ce paragraphe, nous donnons une application du Théorème 3.90 (le « lemme curieux »). Comme

dans le §3.7, pC, ⌧q désigne un site admettant su�samment de points. Pour développer notre application,nous devons supposer que notre site satisfait à certaines conditions naturelles et qu’il est muni d’une D-structure. Nous regroupons ces conditions dans l’hypothèse ci-dessous ; la notion de D-structure sera intro-duite un peu plus tard.Hypothèse 3.96. —

(o) Les coproduits finis et les produits fibrés sont représentables dans C.

94 JOSEPH AYOUB

(i) Si H P C est un objet initial, alors toute flèche X // H de C est inversible. (Nous dirons alors que Hest un objet vide.)

(ii) Soit pXiqiPI une famille finie d’objets de C et notons X “ ≤iPI Xi. Si Y // X est un morphisme de C,

alors le morphisme évident ∫

iPI

Y ˆX Xi // Y

est inversible.

(iii) Pour tout X P C, il existe un isomorphisme X » ≤iPI Xi avec pXiqiPI une famille finie d’objets connexes

de C. (Un objet Y P C est dit connexe s’il est non vide et si, pour tout isomorphisme Y » Y 1 ≤Y2,l’un des objets Y 1 ou Y2 est vide.)

(iv) Soit pXiqiPI une famille finie d’objets de C et notons X “ ≤iPI Xi. Alors, la famille des morphismes

évidents tXi // XuiPI est ⌧-couvrante. ⇤

Exemple 3.97. — Le site feuilleté pFttf�{X, fttfq d’un pQ,�q-schéma X satisfait clairement aux conditionsde l’Hypothèse 3.96. Il en est de même du site constructible pCt{S , ctq d’un schéma S . ⇤Lemme 3.98. — Les conditions (o)–(iii) de l’Hypothèse 3.96 entraînent que tout objet de C admet une

décomposition fonctorielle en objets connexes. Autrement dit, il existe un foncteur ⇡0 de C dans la catégoriedes ensembles finis et, pour tout X P C, un isomorphisme X » ≤

↵P⇡0pXq X↵ où les X↵ sont des objetsconnexes. De plus, modulo ces décompositions, tout morphisme f : Y // X s’écrit (d’une manière unique)comme la somme des morphismes f� : Y� // Xf p�q pour � P ⇡0pYq.Démonstration. — Il s’agit d’un exercice amusant qu’on laissera au lecteur. ⌅

Ci-dessous, nous rappelons la notion de scindage et nous introduisons la notion de scindage strict.Définition 3.99. — Supposons que les coproduits finis sont représentables dans la catégorie C et soit X‚

un objet simplicial de C.

(i) Un scindage de X‚ est la donnée, pour tout m P N, d’un sous-objet Nm Ñ Xm, telle que les morphismesévidents

≤n⇣m Nm // Xn sont des isomorphismes pour tous les entiers n P N.

(ii) Un scindage strict est un scindage vérifiant la propriété supplémentaire que, pour tout n > 1 et 0 6i 6 n, le morphisme di : Xn // Xn´1 envoie Nn dans Nn´1.

Lemme 3.100. — Supposons que les conditions (o)–(iii) de l’Hypothèse 3.96 sont satisfaites.

(a) Un objet simplicial de C admet au plus un scindage.

(b) Soit X‚ un objet simplicial scindé. Alors, le scindage de X‚ est strict si et seulement si la conditionsuivante est vérifiée. Pour tout n > 1 et 0 6 i 6 n ´ 1, le carré

Xn´1si//

✏✏

Xn

✏✏

X0s0// X1,

où les flèches verticales sont induites par les uniques applications 0 Ñ n ´ 1 et 1 Ñ n d’imagesrespectives tiu et ti, i ` 1u, est cartésien.

Démonstration. — L’assertion (a) est claire. En e↵et, si un scindage de X‚ existe, alors Nn est l’union descomposantes connexes X↵ Ñ Xn telles que X↵ ˆXn, s˚ Xn´1 “ H pour toute surjection s : n⇣ n ´ 1.

Pour démontrer (b), remarquons que

Xn » Xn´1 \ Y, avec Y “¨

˝∫

r:n⇣m, rpiq,rpi`1qNm

˛

‚.


Si X est strictement scindé, alors le sous objet Y de Xn s’envoie dans N1 Ñ X1 par le morphisme Xn // X1.Ainsi, le carré de (b) s’identifie à

Xn´1//

✏✏

Xn´1≤

Y

✏✏

X0// X0

≤N1

qui est donc bien cartésien.Réciproquement, supposons que les carrés dans (b) sont cartésiens. Pour montrer que dj : Xn // Xn´1

envoie Nn dans Nn´1 pour 0 6 j 6 n, il su�t de montrer que Nn ˆd j, Xn´1, si Xn´2 est vide pour tout 0 6 i 6n ´ 2. (Remarquons que nous pouvons supposer n > 2 : le cas n “ 1 est évident puisque N0 “ X0.) Soienti1 et j1 les entiers tels que dj ˝ si1 “ si ˝ dj1 . Alors, le carré

Xn´1si1//

d j1✏✏

Xn

d j✏✏

Xn´2si// Xn´1

est cartésien. Il s’ensuit que

Nn ˆd j, Xn´1, si Xn´2 “ Nn ˆXn, si1 Xn´1 “ H.Le lemme est démontré. ⌅Notation 3.101. — Sous les conditions de Lemme 3.100 et si l’objet simplicial X admet un scindage, nousnoterons NnpXq Ñ Xn, pour n P N, les sous-objets qui déterminent l’unique scindage de X. ⇤Proposition 3.102. — Supposons que les conditions (o)–(iii) de l’Hypothèse 3.96 sont satisfaites.

(a) Soit X‚ un objet simplicial strictement scindé de C. Alors, N‚pXq est un sous-objet semi-simplicial deX.

(b) Si Y‚ est un objet semi-simplicial de C, il existe, à un unique isomorphisme près, un objet simplicialscindé X‚ “ E‚pYq muni d’un isomorphisme d’objets semi-simpliciaux N‚pXq » Y‚. Ceci définit unfoncteur

E : �1opC // �opC.

(c) Le foncteur E ci-dessus est un adjoint à gauche du foncteur évident �opC // �1opC qui associe à unobjet simplicial X l’objet semi-simplicial X|�1 .

(d) Soient X‚ un objet simplicial de C, Y‚ un objet semi-simplicial de C et Y‚ ãÑ X‚ un monomorphismed’objets semi-simpliciaux. Pour que le morphisme canonique E‚pYq // X‚ soit un monomorphisme ilfaut et il su�t que s´1

0 pY1q “ H. (s´10 pY1q est une notation condensée pour le produit fibré Y1ˆX1, s0 X0.)

Démonstration. — L’assertion (a) est évidente. Lorsque les colimites pertinentes sont représentables dansC, le foncteur évident �opC // �1opC possède un adjoint à gauche qui envoie un objet semi-simplicial Y‚sur l’objet simplicial X‚ donné par

Xn “ colimnÑm P pnz�1q

Ym.

Or, l’inclusion de l’ensemble discret des flèches surjectives n ⇣ m dans pnz�1q est un foncteur cofinal caril admet un adjoint à droite. Il s’ensuit que Xn » ≤

n⇣m Ym. Ceci prouve les assertions (b) et (c). L’assertion(d) est facile et sera laissée au lecteur. ⌅Remarque 3.103. — Le lecteur prendra garde que l’association X‚ N‚pXq n’est pas fonctorielle.

Autrement dit, si f‚ : X‚ // X1‚ est un morphisme d’objets simpliciaux de C et si X et X1 sont strictement

scindés, alors f n’envoie pas en général N‚pXq Ñ X‚ dans N‚pX1q. ⇤Nous introduisons maintenant la notion de D-structure qui modélise la notion d’ouverts denses dans les

sites de natures géométriques.

96 JOSEPH AYOUB

La definition suivante est incorrecte ! ! ! ! Les D f pXq devraient faire partie de la donnée. Sinon, dansle cas des �-schémas, les D f pXq ne seront pas les ouverts denses dans les fibres car les points ne sontpas des �-morphismes !Définition 3.104. — Supposons que l’Hypothèse 3.96 est satisfaite. Une D-structure D sur le site pC, ⌧q

est la donnée, pour tout objet X P C, d’un ensemble DpXq de sous-objets de X, telle que les conditionssuivantes sont satisfaites.

pD1q Pour tout X P C, l’ensemble DpXq est stable par intersections finies et contient X. De plus, si H PDpXq alors X est vide.

pD2q Soit pXiqiPI une famille finie d’objets de C et notons X “ ≤iPI Xi. Nous avons alors une bijection±

iPI DpXiq » DpXq qui associe à une famille pUiqiPI P ±iPI DpXiq le sous-objet

≤iPI Ui de X.

pD3q Pour tout X P C et Y P DpXq, un sous-objet V de Y est dans DpYq si et seulement si il est dans DpXq.

Nous interronpons la liste des conditions pour introduire une notation et quelques points de terminologie.Soit f : Y // X un morphisme de C. Nous notons DXpYq (ou encore D f pYq) l’ensemble des sous-objetsV Ñ Y tels que V ˆX X1 P DpY ˆX X1q pour tout morphisme X1 // X de C. Par ailleurs, nous dirons que fest ⌧-dominant (relativement à D) s’il existe U P DpXq tel que le morphisme f ´1pUq // U est ⌧-couvrant.

pD4q Pour tout morphisme f : Y // X de C et tout V P DpYq, il existe U P DpXq tel que V X f ´1pUq PDUp f ´1pUqq.

pD5q Soit Y // X un morphisme de C, et soient V P DXpYq et Y 1 P DpYq. Alors, Y 1 X V est dans DXpY 1q.

pD6q Si Y // X est un morphisme ⌧-dominant (resp. ⌧-couvrant) de C et si V P DpYq (resp. V P DXpYq),alors V // X est encore ⌧-dominant (resp. ⌧-couvrant).

Exemple 3.105. — Soit X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien. Alors le site pFttf�{X, fttfq possèdeune D-structure naturelle : si Y est un pX,�q-schéma localement de type fini, alors DpYq est l’ensemble desouverts denses de Y . Mis à part pD4q, dont la vérification nécessite le Théorème 1.20, les propriétés pD1q–pD6q sont trivialement satisfaites. (Remarquons que, pour un morphisme de pX,�q-schémas localement detype fini f : Z // Y , DYpZq est l’ensemble de ouverts relativement denses de Z , i.e., ceux qui intersectentles fibres de f en des parties denses.) De même, si S est un schéma noethérien, le site pCt{S , ctq possèdeune D-structure naturelle donnée par les ouverts denses des S -schémas de type fini. ⇤Remarque 3.106. — La propriété pD5q et le cas respé de pD6q entraînent la propriété suivante (cf. le

Lemme 2.71).Soient X // B et Y // B deux morphismes de C, et soient U P DpXq et W P DpX ˆB Yq. Supposonsque le morphisme évident W // Y est ⌧-couvrant et que U P DBpXq. Alors, le morphisme évidentW X pr´1

1 pUq // Y est encore ⌧-couvrant.(En e↵et, il su�t de remarquer que pr´1

1 pUq P DXpX ˆB Yq.) D’autre part, le cas respé de pD6q est aussi uncas particulier de cette propriété. (Il su�t de prendre X “ B.) ⇤

À partir de maintenant et jusqu’à la fin du paragraphe, nous supposerons que le site pC, ⌧q satisfait àl’Hypothèse 3.96 et qu’il est muni d’une D-structure D au sens de la Définition 3.104. Nous introduisonsla terminologie suivante (qui ne servira que dans ce paragraphe).Définition 3.107. — Soit f : Y // X un morphisme de C. Nous dirons que f est D-respectueux (resp.

universellement D-respectueux) si pour tout U P DpXq, f ´1pUq P DpYq (resp. si tout changement de basede f est D-respectueux).Exemple 3.108. — Dans le cas qui nous intéresse, i.e., celui du site feuilleté pFttf�{X, fttfq d’un pQ,�q-

schéma radicalement noethérien X, un morphisme plat est universellement D-respectueux. Ainsi, le Théo-rème 1.20 entraîne que, pour tout morphisme de pX,�q-schémas de type fini f : Z // Y , il existe desouverts denses V Ñ Y et W Ñ f ´1pVq tels que f |V : W // V est universellement D-respectueux (et mêmeplat). ⇤

La proposition suivante est le résultat technique clef de ce paragraphe.


Proposition 3.109. — Soit f : X // S un morphisme ⌧-dominant et universellement D-respectueuxde C. Supposons que la diagonale relative de f est disjointe de Q (i.e., Q ˆXˆS X X “ H) lorsque Q PDpX ˆS Xq est su�samment petit. Donnons nous des sous-objets Qm P DpCmpX{S qq, pour ´1 6 m 6 d(avec d un entier fixé à l’avance). Il existe alors T P DpS q, contenu dans Q´1, et un sous-objet simplicialU‚ Ñ C‚pX ˆS T{T q tel que :

(a) U‚ est strictement scindé, NnpUq P DpCnpX{S qq pour tout n P N et NmpUq Ñ Qm pour tout 0 6 m 6d ;

(b) U‚ satisfait aux conditons pCnq du Théorème 3.90, pour tout n P N, relativement à X ˆS T // T.

En particulier, le morphisme de préfaisceaux U‚ // T est une équivalence ⌧-locale.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que d > 1. (Ceci sera utile pour obtenirle scindage strict de U‚.) Quitte à remplacer les Qm par des sous-objets plus petits, on peut supposer que lestrois propriétés suivantes sont satisfaites.

(i) Pour tout 1 6 m 6 d, le sous-objet Qm Ñ CmpX{S q ne rencontre pas les dégénérescences, i.e.,s´1

i pQmq “ H pour 0 6 i 6 m ´ 1.(ii) Pour tout 0 6 m 6 d et tout 0 6 i 6 m, le morphisme

Qm X d´1i pQm´1q “ Qm ˆdi, Cm´1pX{S q Qm´1 // Qm´1,

induit par di : CmpX{S q // Cm´1pX{S q, est ⌧-couvrant. (En fait, nous aurons besoin de cette propriétéseulement lorsque m “ 0 pour s’assurer que le morphisme X ˆS Q´1 // Q´1 est ⌧-couvrant.)

(iii) Pour tout 0 6 m 6 d et tout 0 6 i 6 m, on a Qm X d´1i pQm´1q P DQm´1pd´1

i pQm´1qq, ce qu’on peutnoter plus explicitement :

Qm ˆdi, Cm´1pX{S q Qm´1 P DQm´1pCmpX{S q ˆdi, Cm´1pX{S q Qm´1q.(En fait, nous aurons besoin de cette dernière propriété uniquement dans le cas i “ m.)

La propriété (i) est facile à assurer : si Q P DpC1pX{S qq ne recontre pas la diagonale relative, alorsìr:1ãÑmpr˚q´1Q est un élément de DpCmpX{S qq qui ne rencontre pas les dégénérescences. (On utilise ici

pD1q et le fait que les r˚ sont universellement D-respectueux.) Pour assurer les propriétés (ii) et (iii) onemploie une récurrence descendante : on suppose que des Ql sont construits pour m 6 l 6 d et on choisitQm´1 su�samment petit pour que (ii) et (iii) soient satisfaits. (Ceci est possible en utilisant pD1q, pD4q,pD6q et le fait que les di sont ⌧-dominants et universellement D-respectueux.)

On pose T “ Q´1 et, pour n > ´1,

NnpUq “£

t : m ãÑ n´16m6d

pt˚q´1Qm. (130)

Par construction, N‚pUq est un sous-objet semi-simplicial de C‚pX ˆS T{T q. De plus, pour tout n P N,NnpUq P DpCnpX{S qq et, pour n > 1, NnpUq ne rencontre pas les dégénérescences.

On pose U´1 “ T et, pour n P N,Un “

∫

s : n⇣rNrpUq. (131)

D’après la Proposition 3.102(b, d), U‚ est naturellement un sous-objet simplicial strictement scindé deC‚pX{S q.

Dans le reste de la preuve, nous allons vérifier les conditions pCnq du Théorème 3.90.Fixons n > 0 et des applications strictement croissantes r↵ : m↵ ãÑ n, avec ↵ variant dans un ensemble

fini I. Notons r1↵ : m↵ ` 1 ãÑ n ` 1 l’extension de r↵ donnée par r1

↵pm↵ ` 1q “ n ` 1. Nous devons vérifierque le morphisme

dn`1 :£

↵PI

pr1˚↵ q´1pUm↵`1q //

£

↵PI

pr˚↵q´1pUm↵q, (132)

98 JOSEPH AYOUB

induit par dn`1 : Cn`1pX ˆS T{T q // CnpX ˆS T{T q, est ⌧-couvrant. Vu les décompositions (131), il estsu�sant de montrer que le morphisme

dn`1 :£

↵PI

pr1˚↵ q´1pNm↵`1pUqq //

£

↵PI

pr˚↵q´1pNm↵pUqq (133)

est ⌧-couvrant. En utilisant (130), nous pouvons réécrire (133) de la manière suivante :

dn`1 :£

↵PI

£

t1 : m ãÑ m↵`1,´16m6d

pt1˚ ˝ r1˚↵ q´1pQmq //

£

↵PI

£

t : m ãÑ m↵,´16m6d

pt˚ ˝ r˚↵q´1pQmq. (134)

Notons Y “ ì↵

ìtpt˚ ˝ r↵q´1pQmq le second membre de (134). Le premier membre de (134) se réécrit alors

plus suggestivement de la manière suivante :

d´1n`1pYq X

¨

˚˝£

↵PI

£

t : m ãÑ m↵,´16m6d´1

pt1˚ ˝ r1˚↵ q´1pQm`1q

˛

‹‹‚

où t1 : m ` 1 ãÑ m↵ ` 1 est l’extension de t donnée par t1pm ` 1q “ m↵ ` 1. Listons les applications r↵ ˝ tpour ↵ P I et t : m ãÑ m↵ avec ´1 6 m 6 d ´ 1 :

u1 : m1 ãÑ n , ¨ ¨ ¨ , ug : mg ãÑ n.Nous allons montrer par récurrence sur 0 6 k 6 g que le morphisme

dn`1 : d´1n`1pYq X

˜k£

l“1

pu1˚l q´1pQml`1q

¸// Y

est ⌧-couvrant. (Ici encore, u1l est l’extension de ul donnée par u1

lpml ` 1q “ n ` 1.) Notons que pour tout1 6 k 6 g, Y est contenu dans pu˚

l q´1pQmlq : c’est tout ce dont nous aurons besoin de savoir sur Y .Lorsque k “ 0, il n’y a rien à montrer puisque Cn`1pX ˆS T{T q // CnpX ˆS T{T q est ⌧-couvrant (ce

qui découle directement de (ii)). Supposons que 1 6 k 6 g et que le résultat est connu pour k ´ 1. Formonsle diagramme commutatif à carrés cartésiens

d´1n`1pYq //

dn`1✏✏

Cn`1pX{S q u1˚k//

dn`1✏✏

Cmk`1pX{S qdmk`1✏✏

Y // CnpX{S q u˚k// CmkpX{S q.

La condition (iii) du début de la preuve nous dit que Qmk`1 X d´1mk`1pQmkq P DQmk

pd´1mk`1pQmkqq. Puisque

Y Ñ pu˚k q´1pQmkq, il s’ensuit que

pu1˚k q´1pQmk`1q X d´1

n`1pYq P DYpd´1n`1pYqq.

On peut alors appliquer la propriété pD5q, le cas respé pD6q et l’hypothèse de récurrence pour conclure. ⌅Notation 3.110. — Pour un objet X P C, nous noterons ⌘X le pro-objet pUqUPDpXq. Ainsi, pour un préfais-

ceau F sur C, Fp⌘Xq désigne la colimite filtrante des FpUq suivant U P DpXq. Un morphisme D-respectueuxf : Y // X dans C induit un morphisme de pro-objets ⌘ f : ⌘Y // ⌘X. ⇤

Soit ⇤ un anneau commutatif unitaire (que nous appellerons, l’anneau des coe�cients). Comme d’ha-bitude, nous notons PShpC,⇤q la catégorie des préfaisceaux de ⇤-modules sur C et Shv⌧pC,⇤q sa sous-catégorie des faisceaux.

La catégorie CplpPShpC,⇤qq, des complexes de préfaisceaux de ⇤-modules sur C, admet une structurede modèles projective. Elle est caractérisée par ses équivalences faibles, qui sont les quasi-isomorphismesde complexes de préfaisceaux, et ses fibrations, qui sont les morphismes surjectifs de complexes de pré-faisceaux. Elle admet une autre structure de modèles appelée la structure projective ⌧-locale. Elle est ob-tenue par une localisation de Bousfield suivant les morphismes de complexes de préfaisceaux induisant


des isomorphismes sur les ⌧-faisceaux associés à leurs préfaisceaux d’homologie. La catégorie homoto-pique Ho⌧pCplpPShpC,⇤qqq, relativement à la structure de modèles projective ⌧-locale, est naturellementéquivalente (via le foncteur a⌧), à la catégorie dérivée DpShv⌧pC,⇤qq.Théorème 3.111. — Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur C. Nous supposons que

F‚ est projectivement ⌧-fibrant et qu’il est borné à gauche, i.e., Fn “ 0 pour n su�samment grand. Soitf : X // S un morphisme ⌧-dominant et universellement D-respectueux de C. Supposons que la diagonalerelative de f est disjointe de Q P DpX ˆS Xq su�samment petit. Alors, le morphisme évident

F‚p⌘S q // Tot±

F‚p⌘C‚pX{S qqest un quasi-isomorphisme.

Ci-dessus, nous avons abusivement utilisé la même notation pour désigner un objet semi-simplicial àvaleur dans une catégorie additive (en l’occurrence Fp⌘CpX{S qq) et son complexe simple associé. Par ailleurs,nous avons été exagéremment soigneux en utilisant Tot

±(au lieu de Tot‘) — le foncteur « complexe

total » associé à un bicomplexe en prenant les produits directs (au lieu des sommes directes) des termes debidegrés p‚, d ´ ‚q, pour d fixé. En e↵et, la distinction entre Tot

±et Tot‘ est futile ici puisque le bicomplexe

F‚p⌘C‚pX{S qq est borné à gauche et en haut.Démonstration. — Notons Q l’ensemble des uplets pd,Q´1, ¨ ¨ ¨ ,Qdq où d P N r t0u et où les Qm sontdes sous-objets de CmpX{S q appartenant à DpCmpX{S qq et vérifiant les conditions (i)–(iii) du début de lapreuve de la Proposition 3.109. L’ensemble Q est naturellement ordonné :

pd,Q´1, ¨ ¨ ¨ ,Qdq 6 pd1,Q1´1, ¨ ¨ ¨ ,Q1

d1qsi d > d1 et si Qm Ñ Q1

m pour tout ´1 6 m 6 d1. De plus, Q est cofiltrant pour cet ordre. La preuve de laProposition 3.109 fournit une application croissante � U�

‚ qui associe à � “ pd,Q´1, ¨ ¨ ¨ ,Qdq P Q lesous-objet simplicial scindé U�

‚ Ñ C‚pX{S q donné par les formules (130) et (131). D’après la Proposition3.109 (et, bien entendu, le Théorème 3.90), le morphisme

U�‚ ãÑ U�

´1

est une équivalence ⌧-locale. Il en découle un quasi-isomorphisme de complexes de ⇤-modules

hom‚pU�´1 b ⇤, F‚q “ F‚pU�

´1q // Tot±pN‚pF‚pU�qqq “ hom‚pN‚pU� b ⇤q, F‚q,

où N‚ désigne le « complexe normalisé associé » à un objet simplicial à valeurs dans une catégorie additive.Puisque l’objet simplicial U�

‚ est strictement scindé, le complexe N‚pFpU�qq s’identifie à FpNpU�qq. Onobtient en fin de compte un quasi-isomorphisme canonique

F‚pU�´1q // Tot

±F‚pNpU�qq. (135)

Puisque le complexe F‚ est borné à gauche, on a l’égalité :

Tot‘ F‚pNpU�qq “ Tot±

F‚pNpU�qq.En passant à la colimite suivant les � P Q dans (135), et puisque le foncteur Tot‘ et les quasi-isomorphismescommutent aux colimites filtrantes, on obtient un quasi-isomorphisme

F‚p⌘S q // Tot‘ F‚p⌘CpX{S qq.On utilise à nouveau l’hypothèse que F‚ est borné à gauche pour remplacer Tot‘ par Tot

±dans le quasi-

isomorphisme ci-dessus. Le théorème est démontré. ⌅Pour terminer le paragraphe, nous spécialisons le théorème précédent au cas des sites feuilletés.

Théorème 3.112. — Soit X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien, et soit F‚ un complexe depréfaisceaux de ⇤-modules sur Fttf�{X, projectivement fttf-fibrant et borné à gauche. Soient K un �-corps de caractéristique nulle et L{K une �-extension, et supposons donné un morphisme de �-schémasSpecpKq // X. Alors, le morphisme canonique

F‚pKq // Tot±

F‚pFracpC‚pL{Kqqq

100 JOSEPH AYOUB

est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Puisque les quasi-isomorphismes commutent aux colimites filtrantes, on peut supposerque les �-extensions L{K et K{pxq, où x P X est l’image de SpecpKq // X, sont de type fini. Il existe alorsun morphisme de pX,�q-schémas de type fini f : Z // Y , avec Y et Z irréductibles, et des isomorphismesK » Op⌘Yq et Z » Op⌘Zq tels que l’extension L{K soit induite de f . En particulier, f est dominant. D’aprèsle Théorème 1.20 et quitte à rétrécire Y et Z, on peut supposer que le morphisme f est plat. Il s’ensuitque le morphisme f est universellement D-respectueux (cf. l’Exemple 3.108). On peut alors appliquer leThéorème 3.111 pour conclure. (Remarquons que si le complémentaire de la diagonale relative de f :Z // Y n’est pas partout dense, alors on peut supposer que f est étale et fini en tant que morphisme deschémas. Dans ce cas, la conclusion du théorème reste valable.) ⌅

3.9. Rappels sur les foncteurs « cosquelette ». —Ce paragraphe rassemble des rappels utiles pour définir et manipuler les hyper-recouvrements génériques

qui seront introduits dans le paragraphe suivant. Nous nous restreignons au cas semi-simplicial car noshyper-recouvrements seront des objets semi-simpliciaux.

Rappelons que �1 désigne la sous-catégorie de � “ tn; n P Nu où l’on ne retient que les applicationsstrictement croissantes entre les ordinaux. Étant donné un entier naturel p, on note �1

6p la sous-catégoriepleine de �1 dont les objets sont les ordinaux n pour n 6 p. Un foncteur contravariant de source �1

6p estappelé un objet semi-simplicial p-tronqué.

Soit C une catégorie et notons �1opC (resp. �1op6pC) la catégorie des objets semi-simpliciaux (resp. semi-

simpliciaux p-tronqués) de C. L’inclusion ◆p : �16p ãÑ �1 induit un foncteur du type « image direct »

p◆pq˚ : �1opC // �1op6pC.

Si C admet les limites finies, ce que nous supposerons, ce foncteur possède un adjoint à droite

◆!p : �1op6pC

// �1opC.

Il est donné par la formule :p◆!pXqn “ lim

rãÑn, r6pXr “ lim

rãÑn P�16p{n

Xr (136)

pour tout objet semi-simplicial p-tronqué X de C. Il découle aussitôt que p◆!pXqprq “ Xprq pour tout r 6 p.(En e↵et, la catégorie �1

6p{r admet alors un objet final, à savoir l’identité de r.)Lemme 3.113. — Soit F : C // C1 un foncteur qui commute aux limites finies. Alors, pour tout p P N, lesfoncteurs ◆!p et F commutent. Plus précisement, on a un carré commutatif à isomorphisme canonique près :

�1op6pC

1

◆!p✏✏

F// �

1op6pC

◆!p✏✏

�1opC1 F// �1opC.

Démonstration. — C’est évident. ⌅Lemme 3.114. — Soit B un objet de C et soit X‚{B un objet semi-simplicial p-tronqué de C{B. Alors, sip > 1, l’objet semi-simplicial ◆!ppX{Bq est canoniquement isomorphe à ◆!ppXq.Démonstration. — Il su�t de montrer que ◆!ppXq est un objet semi-simplicial de C{B et qu’il vérifie lapropriété universelle requise.

Appliquons le foncteur ◆!p au morphisme d’objets semi-simpliciaux p-tronqués X‚ // B. (Comme decoutume, nous utilisons l’abus de notation consistant à désigner par B l’objet de �1

6pC constant de valeur B.)Nous obtenons alors le morphisme d’objets semi-simpliciaux ◆!pX // ◆!pB. Or, puisque p > 1, les catégories�16p{n sont connexes pour tout n P N. Il s’ensuit que ◆!pB est semi-simplicialement constant de valeur B.

Ceci fournit un morphisme d’objets semi-simpliciaux ◆!pX // B, ce qui permet de considérer ◆!pX comme un


objet semi-simplicial de C{B. La vérification que cet objet représente hom�1opC{Bpp◆pq˚p´q, X‚{Bq est facileet sera omise. ⌅

Le résultat suivant donne une description un peu plus concrète de la limite (136).Lemme 3.115. — Soit X un objet semi-simplicial p-tronqué de C. Alors, pour n > p > 1, l’objet p◆!pXqn

s’inscrit dans un carré cartésien

p◆!pXqn//

✏✏

±r:pãÑn Xp

±rpd0,¨¨¨ ,dpq

✏✏±u:p´1ãÑn Xp´1

diag//±

r:pãÑn, �i:p´1ãÑp Xp´1.

Démonstration. — On se ramène aussitôt au cas où X est un ensemble semi-simplicial p-tronqué. Alors,par construction p◆pXqn est l’ensemble des familles pxrqr:pãÑn de Xp telle que pour tout carré commutatif

su✏✏

u1// p

r1✏✏p r// n

(137)

dans �1, la relation u˚pxrq “ u1˚pxr1q est satisfaite. Pour démontrer le lemme, il su�t de voir que ces relationssont satisfaites pour tout s, avec s 6 p ´ 1, si elles sont satisfaites pour p ´ 1. On raisonne par récurrencedescendante sur s 6 p ´ 2 en supposant que ces relations sont satisfaites pour s ` 1.

Supposons donné un carré commutatif (137). Nous pouvons supposer que rppq X r1ppq contient exacte-ment s`1 éléments ; sinon le résultat est clair par induction. En remplaçant un élément de rppqrrppqXr1ppqpar un élément de r1ppq r rppq X r1ppq, nous pouvons trouver e : p ãÑ n tel que rppq X eppq et eppq X r1ppqcontiennent chacun au moins s ` 2 éléments. Nous obtenons alors un diagramme commutatif dans �1 de laforme suivante

s

d✏✏

w

~~

w1

s ` 1

c✏✏

v// p

e✏✏

s ` 1

c1✏✏

v1oo

p r// n pr1oo

avec u “ c ˝ w et u1 “ c1 ˝ w1. D’après l’hypothèse de récurrence, c˚pxrq “ v˚pxeq et c1˚pxr1q “ v1˚pxeq. Ils’ensuit que

u˚pxrq “ w˚c˚pxrq “ w˚v˚pxeq “ d˚pxeq “ w1˚v1˚pxeq “ w1˚c1˚pxr1q “ u1˚pxr1q.Ceci termine la preuve du lemme. ⌅Définition 3.116. — On pose coskp “ ◆!p ˝ p◆pq˚. C’est un endofoncteur de �1opC. Si X est un objet

semi-simplicial de C, coskppXq est appelé le p-ième cosquelette de X.Remarque 3.117. — La counité de l’adjonction pp◆pq˚, ◆!pq donne une transformation naturelle id // coskp.Ainsi, pour tout objet semi-simplicial X de C, on dispose d’un morphisme canonique X // coskppXq. Cemorphisme induit des isomorphismes Xprq » coskppXqprq pour tout r 6 p.

Comme de coutume, nous utiliserons l’abus language consistant à dire qu’un objet semi-simplicial X deC est p-tronqué si le morphisme naturel X // coskppXq est un isomorphisme. ⇤Lemme 3.118. — Pour p, q P N, on a coskp ˝ coskq “ coskminpp,qq.Démonstration. — Si p 6 q, c’est clair. Lorsque p ° q le résultat découle du fait que p◆pq˚◆!q est l’adjoint àdroite du foncteur « image directe » �1op

6pC// �

1op6qC. Les détails sont laissés au lecteur. ⌅

102 JOSEPH AYOUB

Lemme 3.119. — Soit F : C // C1 un foncteur qui commute aux limites finies. Alors, pour tout p P N, lesfoncteurs coskp et F commutent.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Lemme 3.113. ⌅Lemme 3.120. — Soit B un objet de C et soit X‚{B un objet semi-simplicial de C{B. Alors, si p > 1, l’objetsemi-simplicial coskppX{Bq est canoniquement isomorphe à coskppXq.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Lemme 3.114. ⌅Notation 3.121. — Soit B un objet de C et X‚ un objet semi-simplicial de C{B. Alors, le p-ième cosquelettede X calculé dans C{B (au lieu de C) sera noté coskB

ppXq. D’après le Lemme 3.120, ceci n’est pertinent quepour p “ 0. Néanmoins, l’emploi de cette nouvelle notation nous épargnera de distinguer les cas p “ 0 etp > 1. Aussi, il sera pratique dans la suite de convenir que coskB

´1pXq “ B, l’objet semi-simplicial constantde valeur B. ⇤

Les deux résultats suivants sont bien utiles pour travailler avec les foncteurs « cosquelette ».Proposition 3.122. — Soit X‚ un objet semi-simplicial de C. Alors, pour 0 6 p 6 q, nous avons un

isomorphisme canonique

pcoskpXqq »π

r:pãÑq

`Xp ˆpcoskp´1Xqp, r˚ pcoskp´1Xqq{pcoskp´1Xqq

˘.

(Ci-dessus, nous convenons que cosk´1X est semi-simplicialement constant de valeur l’objet final de C, quenous supposons donc l’existence.)Démonstration. — Lorsque p “ 0, le résultat est clair. On peut donc supposer que p > 1. D’après leLemme 3.115 appliqué à p◆pq˚X et p◆pq˚coskp´1X, on a deux carrés cartésiens

pcoskpXqq//

✏✏

±r:pãÑq Xp

±rpd0,¨¨¨ ,dpq

✏✏±u:p´1ãÑq Xp´1

diag//±

r:pãÑq, �i:p´1ãÑp Xp´1,

pcoskp´1Xqq//

✏✏

±r:pãÑqpcoskp´1Xqp

±rpd0,¨¨¨ ,dpq

✏✏±u:p´1ãÑq Xp´1

diag//±

r:pãÑq, �i:p´1ãÑp Xp´1.

Il s’ensuit que le carrépcoskpXqq

//

✏✏

±r:pãÑq Xp

✏✏

pcoskp´1Xqq//±

r:pãÑqpcoskp´1Xqp

est également cartésien. Ceci permet de conclure. ⌅Proposition 3.123. — Soit X‚ un objet semi-simplicial de C. Alors, pour tout 1 6 p 6 q, nous avons un

isomorphisme canonique

pcoskpX‚qq » pcoskp´1X1`‚qq´1 ˆpcoskp´1X‚qq´1 pcoskpX‚qq´1. (138)

En particulier, si q “ p ` 1, nous avons un isomorphisme canonique

pcoskpX‚qp`1 » pcoskp´1X1`‚qp ˆpcoskp´1X‚qp Xp. (139)

Démonstration. — Considérons le diagramme de catégories D indéxé par la catégorie “ 1ˆ1rtp1, 1qu :

�16p´1{q ´ 1

✏✏

�16p´1{q ´ 1.

�16p{q ´ 1


(La flèche verticale est l’inclusion évidente.) Nous avons un isomorphisme canonique de catégoriesª

D » �16p{q

qui envoie :

(1) un objet de la forme pp0, 0q, s : r Ñ q ´ 1q, avec r 6 p ´ 1, sur la flèche composée �0 ˝ s : r Ñ q ;

(2) un objet de la forme pp0, 1q, s : r Ñ q ´ 1q, avec r 6 p, sur la flèche composée �0 ˝ s : r Ñ q ;

(3) un objet de la forme pp1, 0q, s : r Ñ q ´ 1q, avec r 6 p ´ 1, sur la flèche s1 : r ` 1 Ñ q donnée pars1p0q “ 0 et s1paq “ spa ´ 1q ` 1 pour 1 6 a 6 r ` 1.

Il s’ensuit que la limite du système projectif pXrqrãÑq P �16p{q se calcule comme la limite suivant (i.e., un

produit fibré) du diagramme

limrãÑq´1, r6p´1 Xr limrãÑq´1, r6p´1 X1`roo

limrãÑq´1, r6p Xr

OO

Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅Corollaire 3.124. — Soit X‚ un objet semi-simplicial p-tronqué d’une catégorie C. Alors, l’objet semi-

simplicial X1`‚ est également p-tronqué.Démonstration. — L’objet semi-simplicial X‚ est pp ` 1q-tronqué puisqu’il est p-tronqué. La Proposition3.123 fournit alors pour n > p un isomorphisme canonique

X1`n “ pcoskp`1Xqn`1 » pcoskpX1`‚qn ˆpcoskpXqn pcoskp`1Xqn.

Puisque coskpX “ coskp`1X “ X, le produit fibré ci-dessus s’identifie à pcoskpX1`‚qn. Ceci termine lapreuve du corollaire. ⌅Définition 3.125. — Soit Y‚ // X‚ un morphisme d’objets semi-simpliciaux de C et soit p > 1. Nous

dirons que f est p-élémentaire si les conditions suivantes sont satisfaites.

(i) Pour tout 0 6 r 6 p ´ 1, le morphisme Yr // Xr est un isomorphisme.

(ii) Le morphisme d’objets semi-simpliciaux Y // coskpY ˆcoskpX X est un isomorphisme.

Lemme 3.126. —

(a) Soit X‚ un objet semi-simplicial. Alors, le morphisme canonique coskpX // coskp´1X est p-élémentairepour tout p > 1.

(b) Soient Y‚ // X‚ un morphisme p-élémentaire et X1‚

// X‚ un morphisme quelconque d’objets semi-simpliciaux. Alors, le morphisme Y‚ ˆX‚ X1

‚// X1

‚ est p-élémentaire.

Démonstration. — C’est immédiat à partir de la définition. ⌅Proposition 3.127. — Soit f : Y‚ // X‚ un morphisme p-élémentaire d’objets semi-simpliciaux. Alors,

pour tout q > p, on a un isomorphisme canonique

Yq »π

r:pãÑqpYp ˆXp, r˚ Xq{Xqq.

(Le produit ci-dessus est pris dans la catégorie C{Xq.)Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence facile de la Proposition 3.122. ⌅

Dans le reste du paragraphe, nous allons expliquer comment munir certains des objets semi-simpliciauxconsidérés ci-dessus d’une structure cyclique. D’abord, rappelons la définition suivante.

104 JOSEPH AYOUB

Définition 3.128. — Une structure cyclique sur un objet semi-simplicial X‚ est la donnée, pour toutn P N, d’un automorphisme cn : Xn

„// Xn telle que la condition suivante est satisfaite. Pour toute flèche

r : m ãÑ n de �1 avec rpmq 6 n ´ 1 (resp. avec rpmq “ n), le carré suivant est commutatif

Xncn//

r˚`✏✏

Xn

r˚✏✏

Xmid// Xm

(resp. Xncn//

r˚`✏✏

Xn

r˚✏✏

Xmcm// Xm)

si l’on prend pour r` : m ãÑ n l’unique flèche de �1 d’image l’ensemble trpiq ` 1 mod n ` 1, i P mu. Unobjet semi-simplicial cyclique est un objet semi-simplicial muni d’une structure cyclique.Remarque 3.129. — Certains auteurs demandent que l’automorphisme cn soit d’ordre n ` 1. Il s’agit

certainement d’une condition naturelle. Toutefois, elle ne sera pas satisfaite dans les exemples qui nousintéressent. ⇤Proposition 3.130. — Soit X‚ un objet semi-simplicial p-tronqué et supposons donnés, pour 0 6 n 6 p,

des automorphismes cn : Xn„// Xn satisfaisant à la condition de la Définition 3.128. Alors, ces automor-

phismes s’étendent d’une manière canonique en une structure cyclique sur Xd qui satisfait à la conditionuniverselle suivante. Étant donnés un morphisme d’objets semi-simpliciaux f‚ : Y‚ // X‚ et une structurecyclique sur Y‚, si les fn commutent aux cn pour 0 6 n 6 p, alors f‚ est un morphisme d’objets semi-simpliciaux cycliques.Démonstration. — En e↵et, pour n > p, l’objet Xn est donné par l’égalisateur

Xn “ eq

$&

%π

r:pãÑnXp //

π

s:p´1ãÑnXp´1

,.

- .

Pour définir l’automorphisme cn : Xn„// Xn, il su�t de définir un automorphisme c1

n de±

r:pãÑn Xp quipréserve le sous-objet Xn. On prend pour c1

n l’automorphisme donné (sur les foncteurs de points) par

c1nppxrqr:pãÑnq “ pc1

rpxr`qqr:pãÑn

avec c1r “ idXp si rppq 6 n ´ 1 et c1

r “ cp si rppq “ n.Montrons que le sous-objet Xn est préservé. Donnons nous un uplet pxrqr:pãÑn dans X ainsi qu’un carré

commutatif de �1 :

p ´ 1 �i//

� j

✏✏

p

r✏✏p s// n

avec 0 6 i † j 6 p. Ainsi, spp r t juq “ rpp r tiuq. Nous devons montrer que

dipc1rpxr`qq “ djpc1

spxs`qq. (140)

Il y a quatre cas à considérer celon que n appartient ou pas à l’image de r ou s. Lorsque rppq 6 n ´ 1et sppq 6 n ´ 1, nous avons r` ˝ �i “ s` ˝ � j et c1

r “ c1s “ id, ce qui donne (140). Le cas rppq “ n et

sppq 6 n ´ 1 est vide puisque ces conditions entraînent que i “ p contredisant l’hypothèse i † j 6 p.Supposons maintenant que rppq 6 n ´ 1 et sppq “ n. Nous devons alors vérifier que dipxr`q “ djcppxs`q.

Or, l’égalité r ˝�i “ s˝� j entraîne que j “ p. Il s’ensuit que dj ˝cp “ d0. Il reste à voir que r` ˝�i “ s` ˝�0,ce qui est immédiat.

Enfin, supposons que rppq “ sppq “ n. Nous devons vérifier que dicppxr`q “ djcppxs`q. Or, l’égalitér ˝ �i “ s ˝ � j entraîne que i, j 6 p ´ 1. Il s’ensuit que di ˝ cp “ cp´1 ˝ di`1 et dj ˝ cp “ cp´1 ˝ dj`1. Il restedonc à voir que r` ˝ �i`1 “ s` ˝ � j`1, ce qui est immédiat. ⌅


Remarque 3.131. — Gardons les hypothèses et les notations de la Proposition 3.130. Pour que les au-tomorphismes cn : Xn

„// Xn soient d’ordre n ` 1 pour tout n P N, il est su�sant qu’il en soit ainsi pour

0 6 n 6 p. En e↵et, il su�t de vérifier que l’automorphisme c1n de la preuve ci-dessus est d’ordre n ` 1. Or,

l’opérateur r r` est d’ordre n ` 1 et dans l’orbite d’une application r : p ãÑ n il y exactement p ` 1applications dont l’image contient n. Ceci permet de conclure. ⇤

3.10. Hyper-recouvrements génériques d’un �-schéma. —Dans ce paragraphe, nous considérons un analogue générique de la notion d’hyper-recouvrement (intro-

duite par Verdier dans [3, Exposé V, §7.3]) dans le cadre de la topologie feuilleté.Définition 3.132. —

(a) Soit X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien. Un hyper-recouvrement générique de X est unmorphisme de �-schémas semi-simpliciaux f‚ : Y‚ // X (où X est considéré comme un objet semi-simplicial constant) tel que, pour tout p P N, les morphismes fp sont localement de type fini, et lesmorphismes

Yp // pcoskXp´1Yqp

sont plats et dominants.(b) Soit U‚ un pQ,�q-schéma semi-simplicial radicalement noethérien. Un hyper-recouvrement générique

relatif de U‚ est un morphisme de �-schémas semi-simpliciaux h‚ : V‚ // U‚ tel que, pour tout p P N,les morphismes hp sont localement de type fini, et les morphismes

Vp // Up ˆpcoskp´1Uqp pcoskp´1Vqp

sont plats et dominants.

Clairement, un hyper-recouvrement générique d’un �-schéma X est un hyper-recouvrement génériquerelatif du �-schéma semi-simplicial constant associé à X.Lemme 3.133. —

(a) Soient f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique et X1 // X un morphisme plat. Alors, f 1‚ :

Y‚ ˆX X1 // X1 est aussi un hyper-recouvrement générique.(b) Soient h‚ : V‚ // U‚ un hyper-recouvrement générique relatif et U 1

‚// U‚ un morphisme plat en

chaque degré. Alors, h1‚ : V‚ Û‚ U 1

‚// U 1

‚ est aussi un hyper-recouvrement générique relatif.

Démonstration. — C’est évident. ⌅Lemme 3.134. —

(a) Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique. Alors, pour tout q > ´1, coskXq Y // X est aussi

un hyper-recouvrement générique.(b) Soit h‚ : V‚ // U‚ un hyper-recouvrement générique relatif. Alors, pour tout q > ´1, les morphismes

V // coskqV ˆcoskqU U et coskqV ˆcoskqU U // U

sont des hyper-recouvrements génériques relatifs.

Démonstration. — Il su�t bien entendu de traiter la partie (b). Posons W “ coskqV ˆcoskqU U. Il s’agit demontrer que, pour tout p P N, les morphismes

Vp // Wp ˆpcoskp´1Wqp pcoskp´1Vqp (141)

Wp // Up ˆpcoskp´1Uqp pcoskp´1Wqp (142)sont plats et dominants. Puisque les foncteurs « cosquelette » commutent aux limites, nous avons :

coskpW “"

coskpV si p 6 q,coskqV ˆcoskqU coskpU si p > q.

106 JOSEPH AYOUB

Lorsque p 6 q, nous avons Vp “ Wp et coskp´1V “ coskp´1W. Le morphisme (141) s’identifie alorsà l’identité et le morphisme (142) s’identifie à son analogue pour V‚ // U‚. Les deux sont donc plats etdominants.

Lorsque p ° q, nous avons

Wp “ pcoskqVqp ˆpcoskqUqp Up et pcoskp´1Wqp “ pcoskqVqp ˆpcoskqUqp pcoskp´1Uqp.

Il s’ensuit queWp ˆpcoskp´1Wqp pcoskp´1Vqp » Up ˆpcoskp´1Uqp pcoskp´1Vqp.

Le morphisme (141) s’identifie alors à son analogue pour V‚ // U‚ et le morphisme (142) s’identifie àl’identité. Les deux sont donc plats et dominants. ⌅

Le résultat technique suivant est important dans l’étude des hyper-recouvrements génériques.Proposition 3.135. — Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique d’un pQ,�q-schéma radicale-

ment noethérien X et soit g‚ : Y 1‚

// Y‚ un hyper-recouvrement générique relatif. Alors, pour tout p P N,les propriétés suivantes sont satisfaites.

(a) Pour toute application croissante s : q ãÑ r, les morphsimes

s˚ : pcoskXp Yqr // pcoskX

p Yqq et ps˚, f q : pcoskXp Y 1qr // pcoskX

p Y 1qq ˆpcoskXp Yqq, s˚ pcoskX

p Yqr

sont plats et dominants.(b) Pour tout q P N, le morphisme pcoskX

p Y 1qq // pcoskXp Yqq est plat et dominant.

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur p. Le morphisme Y 10

// Y0 est plat est dominant ainsique le morphisme Y0 // X. Il s’ensuit que les morphismes évidents

pY0{Xqr`1 // pY0{Xqq`1, pY 10{Xqr`1 // pY 1

0{Xqq`1 ˆX pY0{Xqr´q et pY 10{Xqq`1 // pY0{Xqq`1

sont aussi plats et dominants. L’énoncé est donc vrai pour p “ 0. Dans le reste de la preuve, on supposeque p > 1 et que l’énoncé est connu pour p ´ 1.

Nous commençons par l’assertion (b). Lorsque q 6 p ´ 1, on a pcoskXp Yqq “ pcoskX

p´1Yqq et de mêmepour Y 1 ; l’hypothèse de récurrence permet de conclure dans ce cas. Supposons que q “ p. Il s’agit alorsde montrer que le morphisme Y 1

p// Yp est plat et dominant. Or, ce morphisme se factorise de la manière

suivante :Y 1

p// Yp ˆpcoskX

p´1YqppcoskX

p´1Y 1qp // Yp. (143)

Puisque g‚ est un hyper-recouvrant générique relatif, le premier morphisme dans (143) est plat et domi-nant. Le fait que f‚ est un hyper-recouvrement générique et l’hypothèse de récurrence entraînent que lesmorphismes

Yp // pcoskXp´1Yqp et pcoskX

p´1Y 1qp // pcoskXp´1Yqp

sont plats et dominants. Il s’ensuit que le second morphisme dans (143) est, lui aussi, plat et dominant. Cecipermet de conclure dans le cas q “ p.

Supposons maintenant que q ° p. D’après la Proposition 3.122 et puisque pcoskp´1Y 1qq // pcoskp´1Yqqest plat et dominant par l’hypothèse de récurrence, il su�t de montrer que les morphismes

Y 1p ˆpcoskp´1Y 1qp, r˚ pcoskp´1Y 1qq //

`Yp ˆpcoskp´1Yqp, r˚ pcoskp´1Yqq

˘ ˆpcoskp´1Yqq pcoskp´1Y 1qq

sont plats et dominants. Or, ces morphismes sont obtenus du morphisme plat et dominant

Y 1p

// Yp ˆpcoskp´1Yqp pcoskp´1Y 1qp

(car g‚ est un hyper-recouvrement générique relatif) par changement de base suivant le morphisme r˚ :pcoskp´1Y 1qq // pcoskp´1Y 1qp qui est également plat et dominant (ce qu’on obtient comme conséquencede la partie (a) de l’hypothèse de récurrence).

Pour terminer la preuve, il reste à établir l’assertion (a) au rang p. Elle découle immédiatement de laProposition 3.122, de l’assertion (a) au rang p ´ 1 et du fait, établi ci-dessus, que Y 1

p// Yp est plat et

dominant. Les détails sont laissés au lecteur. ⌅


Corollaire 3.136. — Soient f‚ : Y‚ // X et f 1‚ : Y 1

‚// X deux hyper-recouvrements génériques d’un

pQ,�q-schéma radicalement noethérien X. Alors, Y‚ ˆX Y 1‚

// X est aussi un hyper-recouvrement géné-rique.Démonstration. — Il s’agit de vérifier que les morphismes

Yp ˆX Y 1p

// pcoskp´1Yqp ˆX pcoskp´1Y 1qp

sont plats et dominants pour tout p P N. Or, il en est ainsi des morphismes

Yp // pcoskp´1Yqp et Yp // pcoskp´1Yqp

et, d’après la Proposition 3.135, les morphismes

pcoskp´1Yqp // X et pcoskp´1Y 1qp // X

sont également plats et dominants. Ceci permet de conclure. ⌅Corollaire 3.137. — Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique d’un pQ,�q-schéma radicale-

ment noethérien X et soit g‚ : Y 1‚

// Y‚ un hyper-recouvrement générique relatif. Alors, f‚ ˝ g‚ : Y 1‚

// Xest un hyper-recouvrement générique de X.Démonstration. — En e↵et, le morphisme Y 1

p// pcoskX

p´1Y 1qp se factorise de la manière suivante :

Y 1p

// Yp ˆpcoskXp´1Yqp

pcoskXp´1Y 1qp // pcoskX

p´1Y 1qp.

Le premier morphisme est plat et dominant par hypothèse. Il est en de même du second morphisme puisquec’est le changement de base du morphisme plat et dominant Yp // pcoskX

p´1Yqp suivant le morphismepcoskX

p´1Y 1qp // pcoskXp´1Yqp qui est également plat et dominant d’après la Proposition 3.135. ⌅

Corollaire 3.138. — Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique d’un pQ,�q-schéma radica-lement noethérien X. Soient g‚ : Y 1

‚// Y‚ et h‚ : Y2

‚// Y 1

‚ des hyper-recouvrements génériques relatifs.Alors, h‚ ˝ g‚ est encore un recouvrement générique relatif.Démonstration. — En e↵et, le morphisme Y2

p// Yp ˆpcoskX

p´1YqppcoskX

p´1Y2qp se factorise de la manièresuivante :

Y2p

// Y 1p ˆpcoskX

p´1Y 1qppcoskX

p´1Y2qp //

Ýp ˆpcoskX

p´1YqppcoskX

p´1Y 1qp

¯ˆpcoskX

p´1Y 1qppcoskX

p´1Y2qp.

Le premier morphisme est plat et dominant par hypothèse. Il est en de même du second morphisme puisquec’est le changement de base du morphisme plat et dominant

Y 1p

// Yp ˆpcoskXp´1Yqp

pcoskXp´1Y 1qp

suivant le morphisme pcoskXp´1Y2qp // pcoskX

p´1Y 1qp qui est également plat et dominant d’après la Propo-sition 3.135 et le Corollaire 3.137. ⌅

On note aussi la variante « infinie » du résultat précédent.Corollaire 3.139. — Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique d’un pQ,�q-schéma radicale-

ment noethérien X. On suppose donnée une tour de pX,�q-schémas semi-simpliciaux

gpiq‚ : Ypi`1q

‚// Ypiq

‚

(iPN

avec Yp0q “ Y. On suppose que les gpiq‚ sont des hyper-recouvrements génériques relatifs et que, à n P

N fixé, les morphismes gpiqn sont des isomorphismes pour i su�samment grand. Alors, gp8q

‚ : Yp8q‚ “

limiPNYpiq‚ // Y est encore un hyper-recouvrement générique relatif.

Démonstration. — C’est évident à partir du Corollaire 3.138. ⌅Remarque 3.140. — Sous les hypothèses du Corollaire 3.139, nous dirons que l’hyper-recouvrement

générique relatif gp8q‚ est la composition infinie des gpiq

‚ . Tout hyper-recouvrement générique relatif h‚ :Z‚ // Y‚ est la composition infinie des hyper-recouvrements génériques relatifs

coskp`1Z ˆcoskp`1Y Y // coskpZ ˆcoskpY Y. (144)

108 JOSEPH AYOUB

(Voir le Lemme 3.134.) En particulier, l’hyper-recouvrement générique f‚ : Y‚ // X est aussi la composi-tion infinie des hyper-recouvrements génériques relatifs coskp`1Y // coskpY . ⇤

Proposition 3.141. — Soit Y‚ un pQ,�q-schéma semi-simplicial radicalement noethérien. Soit q P N unentier fixé, et supposons donné un morphisme localement de type fini Z // Yq qui est plat et dominant.Alors, il existe, à un unique isomorphisme près, un hyper-recouvrement générique relatif g‚ : Y 1

‚// Y‚ tel

que le morphisme g‚ est q-élémentaire et le pYq,�q-schéma Y 1q est isomorphe à Z

Démonstration. — Notons Z‚ le �-schéma semi-simplicial q-tronqué donné par Zq “ Z et Zn “ Yn pourn 6 q ´ 1. Le morphisme évident Z Ñ p◆qq˚Y induit un morphisme de �-schémas semi-simpliciaux◆!qZ // coskqY . On pose alors Y 1 “ ◆!qZ ˆcoskqY Y . Les propriétés (i)–(iii) sont clairement satisfaites. Ilreste à voir que g‚ : Y 1

‚// Y‚ est bien un hyper-recouvrement générique relatif. Or, par construction, le

morphismeY 1

p// Yp ˆpcoskp´1Yqp pcoskp´1Y 1qp

est un isomorphisme pour p , q et, en p “ q, il est donné par Z // Yq. ⌅

Définition 3.142. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 3.141. Le morphisme g‚ :Y 1

‚// Y‚ est appelé l’hyper-recouvrement générique p-élémentaire associé au morphisme plat et dominant

Z // Yp.Lemme 3.143. — Soit f‚ : Y‚ // X un hyper-recouvrement générique d’un pQ,�q-schéma radicalement

noethérien X et soit g‚ : Y 1‚

// Y‚ un hyper-recouvrement générique relatif. Alors, g‚ est la compositioninfinie d’une tour d’hyper-recouvrements génériques élémentaires.Démonstration. — En e↵et, les hyper-recouvrements génériques relatifs (144) sont élémentaires. ⌅

Nous arrivons maintenant au résultat principal de ce paragraphe. Il s’agit de la généralisation suivante duThéorème 3.112.Théorème 3.144. — Soient X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien et f‚ : Y‚ // X un hyper-

recouvrement générique. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Fttf�{X, projectivementfttf-fibrant et borné à gauche. Alors, le morphisme canonique

F‚p⌘Xq // Tot±

F‚p⌘Y‚qest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Nous divisons la preuve en deux étapes. Dans la première étape, nous obtenons uneréduction qui n’est pas strictement nécessaire pour la preuve proprement dite, mais qui nous permettra desimplifier l’exposition. La seconde étape est similaire à la quatrième étape de la preuve de la Proposition3.94 ; toutefois elle utilise d’une manière essentielle le Théorème 3.112.Étape 1 : Ici, nous montrons qu’il su�t de prouver le théorème lorsque F‚ “ Ir0s avec I un faisceaufeuilleté injectif.

En e↵et, puisque F‚ est borné à gauche, il admet une resolution bornée à gauche en faisceaux feuilletésinjectifs, i.e., une équivalence fttf-locale F‚ // I‚ avec I‚ un complexe de faisceaux feuilletés injectifs bornéà gauche. Or, F‚ est projectivement fttf-fibrant et il en est de même de I‚ qui est même injectivement fttf-fibrant. Il s’ensuit que le morphisme F‚ // I‚ est un quasi-isomorphisme de préfaisceaux. Il revient doncau même de démontrer le théorème pour F‚ ou pour I‚.

D’autre part, on peut écrire I‚ comme la limite de ses tronqués bêtes : I‚ “ limnPN nJ‚ avec nJ “ �>ńI.Cette limite est une limite homotopique. Une inspection facile donne alors

I‚p⌘Xq “ limnPN

nJ‚p⌘Xq et Tot±

I‚p⌘Y‚q “ limnPN Tot

±nJ‚p⌘Y‚q,

et ces limites sont aussi des limites homotopiques. Il est donc su�sant de montrer le théorème pour les nJ‚.Autrement dit, on peut supposer que I‚ est borné. Un récurrence sur la longueur de I‚ nous ramène enfin aucas d’un complexe concentré en un seul degré.


Étape 2 : Dans cette étape, nous démontrons le théorème dans le cas où F “ Ir0s avec I un faisceaufeuilleté injectif. Pour une raison technique, nous supposerons seulement que I est projectivement fttf-fibrant (ce qui revient à dire que Hi

fttfpU, Iq “ 0 pour tout U P Fttf�{X et i ° 0). Étant donné un hyper-recouvrement feuilleté f‚ : Y‚ // X, il sera pratique de noter Y` le �-schéma semi-simplicial augmentédonné par Y`

´1 “ X et Yr “ Yr pour r > 0. (Rappelons qu’on objet semi-simplicial augmenté est unfoncteur contravariant défini sur la catégorie �1 “ �1 \ t´1u.)

On procède par l’absurde. On peut donc trouver un hyper-recouvrement générique f‚ : Y‚ // X et unfaisceau feuilleté projectivement fttf-fibrant I sur Fttf�{X tels que le complexe

Ip⌘Y`‚ q : r0 // Ip⌘Xq // Ip⌘Y0q // ¨ ¨ ¨ // Ip⌘Ynq // ¨ ¨ ¨ s,

où Ip⌘Xq est placé en degré cohomologique ´1, n’est pas acyclique. On supposera que f‚ et I sont choisisde sorte que HrpIp⌘Y`

‚ qq “ H´rpIp⌘Y`‚ qq est non nul avec r > ´1 minimal (lorsque f‚ et I varient).

Considérons le bicomplexe D‚,‚ “ Ip⌘C‚pY`1`‚{Y`

‚ qq donné par :

......

...

Ip⌘CmpY0{Xqq //

OO

Ip⌘CmpY1{Y0qq //

OO

¨ ¨ ¨ // Ip⌘CmpY1`n{Ynqq //

OO

¨ ¨ ¨

...

OO

...

OO

...

OO

Ip⌘C1pY0{Xqq //

OO

Ip⌘C1pY1{Y0qq //

OO

¨ ¨ ¨ // Ip⌘C1pY1`n{Ynqq //

OO

¨ ¨ ¨

Ip⌘Y0q //

OO

Ip⌘Y1q //

OO

¨ ¨ ¨ // Ip⌘Y1`nq

OO

// ¨ ¨ ävec Ip⌘Y0q placé en bidegrés cohomologiques p´1, 0q. D’après le Théorème 3.112, les colonnes Dn,‚ dece bicomplexe sont quasi-isomorphes à Ip⌘Ynq (avec Y´1 “ X). Il en découle un quasi-isomorphisme cano-nique :

Ip⌘Y`‚ q q.i.

// Tot±

D‚,‚. (145)

Par ailleurs, d’après le Corollaire 3.146 ci-dessous, les morphismes CmpY1`‚{Y‚q // CmpY0{Xq sont deshyper-recouvrements génériques. De plus, la restriction de I au site feuilleté du �-schéma CmpY0{Xq estencore un faisceau feuilleté projectivement fttf-fibrant. (C’est pour avoir cette propriété de permanenceque nous considérons les faisceaux feuilletés projectivement fttf-fibrants au lieu des faisceaux feuilletésinjectifs.) Puisque r a été choisi minimal, nous déduisons que les lignes D‚,m de notre bicomplexe n’ont pasde cohomologie en degrés strictement inférieurs à r, i.e., HspD‚,mq “ 0 pour s † r. Un argument de suitespectral montre alors que le morphisme canonique

HrpTot±

Dq // HrpIp⌘Y`1`‚

qqest injectif. Vu le quasi-isomorphisme (145), il en découle que le morphisme canonique

HrpIp⌘Y`‚ qq // HrpIp⌘Y`

1`‚qq

est injectif. Or, le morphisme de complexes Ip⌘Y`‚ q // Ip⌘Y`

1`‚q est homotope au morphisme nul ; une ho-

motopie est donnée par les morphismes identiques. Il en découle que HrpIp⌘Y`‚ qq est nul, ce qui contredit

notre hypothèse de départ. ⌅Lemme 3.145. — Soient X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien et Y‚ // X un hyper-recouvrementgénérique. Alors, le morphisme évident

Y1`‚ // Y0 ˆX Y‚

110 JOSEPH AYOUB

est un hyper-recouvrement générique relatif.Démonstration. — Il s’agit de vérifier que le morphisme

Y1`p // pcoskp´1Y1`‚qp ˆpcoskp´1pY0ˆXYqqp Y0 ˆX Yp (146)

est plat et dominant pour tout p P N. Lorsque p “ 0, on trouve le morphisme Y1 // Y0 ˆX Y0 qui est platet dominant car Y‚ // X est un hyper-recouvrement générique. Lorsque p “ 1, on trouve le morphisme

Y2 // pY1 ˆY0 Y1q ˆY0ˆXY0ˆXY0 pY0 ˆX Y1q » pcosk1Yq2

qui est également plat et dominant pour la même raison.Supposons maintenant que p > 2. Il s’ensuit en particulier que coskp´1pY0 ˆX Yq » Y0 ˆX coskp´1Y .

Ceci permet de réécrire le morphisme (146) de la manière suivante :

Y1`p // pcoskp´1Y1`‚qp ˆpcoskp´1Yqp Yp. (147)

D’après la Proposition (3.123), le morphisme (147) s’identifie au morphisme Y1`p // pcoskpYqp`1 qui estplat et dominant car Y‚ // X est un hyper-recouvrement générique. ⌅Corollaire 3.146. — Soient X un pQ,�q-schéma radicalement noethérien et Y‚ // X un hyper-recouvrementgénérique. Alors, pour tout n P N, le morphisme

CnpY1`‚{Y‚q // CnpY0{Xqest un hyper-recouvrement générique.Démonstration. — En e↵et, d’après le Lemme 3.145, le morphisme Y1`‚ // Y0 est un hyper-recouvrementgénérique. (Utiliser le Lemme 3.133 et le Corollaire 3.137.) Le résultat s’obtient maintenant en combinantle Lemme 3.133 et le Corollaire 3.136. ⌅

3.11. Un résultat remarquable. —Le but de ce paragraphe est d’établir le théorème suivant qui est nécessaire pour notre construction du

type d’homotopie feuilleté générique au paragraphe suivant.Théorème 3.147. — Fixons un entier p P N.

pApq Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique nulle et soit X‚ un k-schéma semi-simplicialvérifiant les conditions suivantes.

(i) X est p-tronqué, i.e., X » coskkpX et, pour tout m 6 p, le morphisme Xm // pcoskk

m´1Xqm estplat et dominant.

(ii) Pour tout m 6 p, Xm est le spectre d’une extension algébriquement close de k.

Alors, pour tout n P N, le schéma Xn est intègre.

pBpq Soit l{k une extension de corps algébriquement clos de caractéristiques nulles et soit

Y‚//

f‚✏✏

Specplq✏✏

X‚// Specpkq

un carré commutatif de schémas semi-simpliciaux. Supposons que X‚{k et Y‚{l vérifient les conditions(i) et (ii) ci-dessus, et que le morphisme f‚ vérifie la condition suivante.

(iii) Pour tout m 6 p, le morphisme Ym // Xm ˆpcoskkm´1Xqm

pcosklm´1Yqm est plat et dominant.

Alors, pour tout n P N, le morphisme Yn // Xn est plat, dominant et génériquement géométriquementintègre.


Remarque 3.148. — Aux hypothèses de finitude près, la condition (i) a�rme que X‚ est un hyper-recouvrement générique du schéma Specpkq au sens de la Définition 3.132 (dans le cas particulier � “ H).De même, la condition (iii) a�rme que f‚ : Y‚ // X‚ bk l est un hyper-recouvrement générique relatif(toujours dans le cas � “ H). ⇤

Nous commençons par deux lemmes faciles.Lemme 3.149. — Le Théorème 3.147 est vrai lorsque p “ 0.Démonstration. — En e↵et, le schéma Xn “ pX0{kqn`1 est intègre puisque X0 est géométriquement intègresur k. D’autre part, le morphisme

pY0{lqn`1 // pX0{kqn`1 (148)est plat et dominant puisqu’il en est ainsi du morphisme Y0 // X0 ˆk l. Montrons que le morphisme (148)est génériquement géométriquement intègre. Pour cela, fixons un point x de pX0{kqn`1 à valeur dans uneextension algébriquement close k1{k, i.e., la donnée de n`1 morphismes de k-schémas xi : Specpk1q // X0,pour 0 6 i 6 n. La fibre de (148) en x est donnée par

pY0 ˆX0,x0 k1q ˆl ¨ ¨ ¨ ˆl pY0 ˆX0,xn k1q. (149)

Or, puisque X0 et Y0 sont des spectres de corps algébriquement clos, le morphisme Y0 // X0 est géométri-quement intègre. Il s’ensuit que les k1-schémas Y0 ˆX0, xi k1 sont intègres. Puisque l est algébriquement clos,les l-schémas Y0 ˆX0, xi k1 sont géométriquement intègres, ce qui entraîne que le schéma (149) est intègrecomme souhaité. ⌅Lemme 3.150. — Pour tout p > 1, on a l’implication pBp´1q ñ pApq dans l’énoncé du Théorème 3.147.Démonstration. — Supposons que pBp´1q est connu et montrons que les Xn sont intègres pour récurrencesur n. Lorsque n 6 p, il n’y a rien à montrer. Si n ° p, nous avons d’après la Proposition 3.123 unisomorphisme canonique

Xn » pcoskp´1X1`‚qn´1 ˆpcoskp´1X‚qn´1 Xn´1. (150)Or, les schémas semi-simpliciaux pp ´ 1q-tronqués coskp´1X1`‚ et coskp´1X‚ satisfont aux conditions (i) et(ii) de pAp´1q, et le morphisme

d0 : coskp´1X1`‚ // coskp´1X‚ (151)satisfait à la condition (iii) de pBp´1q. (Les propriétés (i) et (ii) pour coskp´1X‚ sont évidentes. Il en est demême de la propriété (ii) pour coskp´1X1`‚. La propriété (iii) pour le morphisme (151) découle du Lemme3.145 ; ce lemme est clairement valable sans les hypothèses de finitude imposées dans notre définition deshyper-recouvrements génériques. Enfin, la propriété (i) s’obtient de ce qui précède en utilisant le Corollaire3.137 ; là aussi les hypothèses de finitude sont superflues.) D’après la propriété pBp´1q appliquée à (151),le morphisme pcoskp´1X1`‚qn´1 // pcoskp´1X‚qn´1 est plat, dominant et génériquement géométriquementintègre. Vu l’isomorphisme (150), il en est donc de même du morphisme d0 : Xn // Xn´1. La recurrencesur n permet alors de conclure. ⌅Corollaire 3.151. — Pour prouver le Théorème 3.147 il su�t de montrer l’implication pApq ñ pBpq

avec p > 1.Dans la suite du paragraphe, nous supposerons que p > 1 et que l’assertion pApq est connue. Nous allons

montrer comment en déduire pBpq. Pour cela, nous fixons un morphisme de schémas semi-simpliciauxf‚ : Y‚ // X‚ satisfaisant aux conditions (i)–(iii) de l’énoncé du Théorème 3.147. Nous utiliserons laréduction ci-dessous.Lemme 3.152. — Il su�t de prouver pBpq sous la condition supplémentaire suivante. Il existe un entier

relatif q avec ´1 6 q 6 p et un triangle commutatif de schémas semi-simpliciaux

Y‚e‚//

f‚ ''

Q‚

g‚✏✏

X‚

112 JOSEPH AYOUB

tels que les morphismes en sont quasi-entiers (i.e., limites projectives de morphismes quasi-finis) et le mor-phisme g‚ est q-élémentaire associé à la projection de la droite a�ne relative A1

Xq// Xq. (Lorsque q > 0,

ceci entraîne que l’extension l{k est triviale.)Démonstration. — Lorsque f‚ est un isomorphisme, il n’y a rien à montrer. Sinon, soit q P rr´1, pss leplus petit entier tel que fq n’est pas un isomorphisme. (Dans ce cas, fq correspond à une extension dedegré de transcendance non nul.) Notons h‚ : R‚ // X‚ le morphisme de schémas semi-simpliciaux q-élémentaire associé à fq. D’après le Lemme 3.134(b), les morphismes Y‚ // R‚ et R‚ // X‚ sont deshyper-recouvrements génériques relatifs (modulo l’hypothèse de finitude). En particulier, les morphismesYn // Rn sont plats et dominants (cf. la Proposition 3.135(b)). Pour ´1 6 n 6 p, nous notons Zn le nor-malisé de ⌘Rn dans Yn ; c’est le spectre de la clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles de Rndans OpYnq. Nous obtenons ainsi un schéma semi-simplicial p-tronqué que nous étendons en un schémasemi-simplicial Z‚ en appliquant ◆!p. Le schéma semi-simplicial ainsi obtenu vérifie les conditions (i) et(ii) de pApq. Par construction, le morphisme Z‚ // R‚ est quasi-entier en chaque degré. Les morphismesY‚ // Z‚ et Z‚ // X‚ sont donc des hyper-recouvrements génériques relatifs puisqu’il en est ainsi lors-qu’on remplace Z‚ par R‚. Ainsi, pour démontrer pBpq pour f‚ il su�t de la faire pour Y‚ // Z‚ et Z‚ // X‚.Puisque Yn // Zn est un isomorphisme pour 0 6 n 6 q, une récurrence sur le nombre q permet de traiter lecas de ce morphisme. Ceci nous ramène à montrer pBpq lorsque f‚ se factorise par un morphisme quasi-finien chaque degré suivi par un morphisme q-élémentaire.

Fixons un morphisme quasi-entier de Xq-schémas Yq // Pq avec Pq “ Xqrti, i P Is un espace a�ne (pos-siblement de dimension infinie). Considérons le morphisme de schémas semi-simpliciaux q-élémentaireP‚ // X‚ associé à Pq // Xq. Alors, le morphisme Y‚ // P‚ est quasi-entier en chaque degré. Plus géné-ralement, pour un sous-ensemble J Ñ I, notons PJ

q “ Xqrt j, j P Js et PJ‚

// X‚ le morphisme q-élémentaireassocié. Pour ´1 6 n 6 p, notons Y J

n le normalisé de ⌘PJn

dans Yn ; c’est le spectre de la clôture algé-brique du corps des fonctions rationnelles de PJ

n dans OpYnq. En appliquant ◆!p nous obtenons le schémasemi-simplicial Y J

‚ . Comme ci-dessus, les morphismes Y‚ // Y J‚ et f J

‚ : Y J‚

// X‚ satisfont aux conditions(i)–(iii). Par construction, nous avons YI

‚ “ Y‚ et Y‚ est la limite projective des schémas semi-simpliciauxY J

‚ lorsque J parcourt les sous-ensembles finis de I. Ainsi, pour démontrer pBpq pour f‚, il su�t de le fairepour les f J

‚ avec J fini. Une récurrence facile nous ramène enfin au cas où J est un singleton. Ceci terminela preuve du lemme. ⌅Démonstration du Théorème 3.147. — Rappelons que nous devons démontrer pBpq, sachant pApq, pour unmorphisme f‚ : Y‚ // X‚ satisfaisant à la condition supplémentaire du Lemme 3.152.

Si n 6 p, les morphismes Yn // Xn sont géométriquement intègres puisque Xn et Yn sont des spectresde corps algébriquement clos. On peut donc supposer que n > p ` 1. D’après pApq, les schémas Xn et Ynsont intègres. Pour montrer que fn est génériquement géométriquement intègre, il su�t de montrer que si� P OpYnq est algébrique sur le corps des fonctions rationnelles de Xn, alors � P OpXnq. (On utilise ici queYn et Xn sont des schémas a�nes et on identifie OpXnq à une sous-algèbre de OpYnq.) Puisque le schémasemi-simplicial Y‚ est p-tronqué, il existe des fonctions �r P OpYpq, pour r : p ãÑ n, tels que

� “ÿ

r : pãÑn�r ˝ r˚. (152)

On fixe les factorisations suivantes :

Yp//

ep &&

Uu✏✏

Qp

Yn//

en ''

Vv✏✏

Qn

⌘Yn//

fn ''

Ww✏✏

Xn

avec U, V et W des schémas a�nes et intègres, u, v et w des morphismes étales, et tels que :(1) la sous-algèbre OpUq Ñ OpYpq contient les fonctions �r et la sous-algèbre OpVq Ñ OpYnq contient la

fonction � ;(2) pour tout r : p ãÑ n, le morphisme Yn // U ˆQp, r˚ Qn se factorise (uniquement) par V ;


(3) le morphisme V // Xn se factorise (uniquement) par un morphisme h : V // W induisant l’indentitésur le point ⌘Yn et tel que � P OpVq appartient à la sous-algèbre OpWq Ñ OpVq.

Il découle de la propriété (2) ci-dessus que, pour tout r : p ãÑ n, il existe un unique morphisme r˚ : V // Urendant le diagramme suivant

Yn//

r˚✏✏

V v//

r˚✏✏

Qn

r˚✏✏

Yp// U u

// Qp

commutatif.Remarquons à ce stade que Qm est un espace a�ne au-dessus de Xm pour tout m P N. Plus précisément,

nous avons Qm “ S m ˆk Xm avecS m “

π

s:qãÑmpA1

k{kq

(utiliser la Proposition 3.127) et le morphisme gm : Qm // Xm correspond à la projection sur le secondfacteur. Les sections du morphisme gn correspondantes au points rationnels du k-schéma S n sont densesdans Qn. Il existe donc une telle section t : Xn // Qn qui rencontre l’image du morphisme v. De plus, pourchaque r : p ãÑ n, il existe une section tr : Xp // Qp correspondante à un point rationnel du k-schéma S p

tel que r˚ ˝ t “ tr ˝ r˚. En particulier, l’image de tr rencontre celle du morphisme u. Fixons une composanteconnexe V 1 de V ˆQn, t Xn.

D’après ce qui précède, nous avons, pour r : p ãÑ n fixé, un morphisme r˚ ˆ r˚ : V ˆQn, t Xn // U ˆQp, trXp. Or, le schéma Xp est le spectre d’un corps algébriquement clos et u : U // Qp est étale. Il s’ensuit quele but de ce morphisme est une somme disjointe de copies de Xp. Puisque V 1 Ñ V ˆQn, t Xn est connexe, ilexiste alors un unique morphisme t1

r : Xp // U rendant commutatif le diagramme suivant :

V 1 t1//

v1✏✏

r˚

��

V

v✏✏

r˚

!!

Xn

r˚&&

t// Qn r˚

U

u✏✏

Xptr//

t1r

>>

Qp.

(153)

Fixons une clôture algébrique⌦ du corps des fonctions rationnelles de Qn et un plongement OpYnq ãÑ ⌦.Notons ! : Specp⌦q // V le morphisme induit par l’inclusion OpVq ãÑ ⌦. Fixons aussi un morphisme deXn-schémas !1 : Specp⌦q // V 1 tel que le carré suivant

Specp⌦q !1//

!✏✏

V 1 t1// V

h✏✏

V h// W

commute. (Un tel morphisme existe car V 1 // W est étale et h ˝ ! est un point géométrique générique deW.) Puisque � P OpWq, il s’ensuit que �˝! “ �˝ t1 ˝!1 dans ⌦. En utilisant l’égalité (152) et le diagrammecommutatif (153), nous déduisons que

� ˝ ! “ÿ

r : pãÑn�r ˝ r˚ ˝ t1 ˝ !1 “

ÿ

r : pãÑn�r ˝ t1

r ˝ r˚ ˝ v1 ˝ !1.

Or, �r ˝ t1r sont des fonctions régulières sur Xp. Il s’ensuit que le dernier membre dans les égalités ci-dessus

est une fonction régulière sur Xn. C’est ce que nous cherchions à démontrer. ⌅

114 JOSEPH AYOUB

3.12. Hyper-clôture di↵érentielle et type d’homotopie feuilleté générique. —Dans ce paragraphe, nous introduisons le type d’homotopie feuilleté générique d’un �-corps de carac-

téristique nulle que nous devons malheureusement supposer algébriquement clos pour pouvoir utiliser leThéorème 3.147. Il s’agit sans doute d’une variante générique et feuilletée du type d’homotopie étaled’Artin-Mazur [4], mais les détails techniques sont bien di↵érents.

Commençons par rappeler quelques notions d’algèbre di↵érentielle.Définition 3.153. —

(a) Soit K un �-corps. Une pK,�q-algèbre est dite essentiellement simple si elle est l’union filtrante desses sous-pK,�q-algèbres simples et de type fini.

(b) Un �-corps K est dit di↵érentiellement clos si toute pK,�q-algèbre de type fini admet une section. Ilrevient au même de demander que toute pK,�q-algèbre de type fini simple est une extension triviale,i.e., isomorphe à K.

(c) Une clôture di↵érentielle simple d’un �-corps K est une �-extension L{K telle que la pK,�q-algèbreL est essentiellement simple et le �-corps L est di↵érentiellement clos.

On donne trois lemmes utiles qui seront utilisés couramment dans la suite.Lemme 3.154. — Soient A une pK,�q-algèbre et S Ñ A une partie multiplicative avec 0 < S . Si A est

essentiellement simple, il en est de même de S ´1A.Démonstration. — C’est évident. ⌅Lemme 3.155. — Si A est une pK,�q-algèbre simple, alors A est intègre et FracpAq�“0{K�“0 est une

extension algébrique.Démonstration. — C’est évident. ⌅Lemme 3.156. — Tout �-corps admet une clôture di↵érentielle simple. Si K est un �-corps et L{K une

clôture di↵érentielle simple, alors toute pL,�q-algèbre essentiellement simple est contenue, à isomorphismeprès, dans L.Démonstration. — Voir [50, Theorem 12]. ⌅

Nous aurons besoin de la variante suivante.Lemme 3.157. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle muni d’un �-automorphisme u. Alors, il

existe une clôture di↵érentielle L{K telle que l’extension L�“0{K�“0 est algébrique et un �-automorphismev de L qui étend u.Démonstration. — Considérons une suite de �-extensions tKn`1{KnunPN telle que K0 “ K et où lesKn`1{Kn sont des clôtures normales. Alors, par unicité à isomorphisme près de la clôture normale, nouspouvons construire par induction une suite de �-automorphismes tun : Kn

„// KnunPN tels que u0 “ u et

un`1 étend un. Soit K8 “ în Kn et soit u8 le �-automorphisme de K8 induit par les un. Alors, u8 étend u0

et K8 n’admet pas de �-extensions normales non triviales.Soit Lp0q{K8 une clôture di↵érentielle simple de K8 et posons

Kp1q “ Frac

˜â

nPZLp0q bK8, un8 K8{K8

¸

.

Alors, nous avons pKp1qq�“0 “ pK8q�“0 et Kp1q possède un automorphisme up1q qui étend u8.Reprenons les constructions précédentes pour Kp1q et up1q. Nous obtenons alors un �-corps Kp1q

8 munid’un �-automorphisme up1q

8 , une clôture di↵érentielle simple Lp1q{Kp1q8 , et un �-corps Kp2q contenant Lp1q

et admettant un �-automorphisme up2q qui étend up1q. En itérant, nous obtenons une suite de �-extensionsKpn`1q{Kpnq et de �-automorphismes upnq : Kpnq „

// Kpnq. Par construction, pKpnqq�“0{pKpn`1qq�“0 pourn > 1 et la �-extension Kpn`1q{Kpnq contient une clôture di↵érentielle de Kpnq. L’union L “ î

n Kpnq fournitune �-extension de K qui satisfait aux conditions recherchées. ⌅

Nous arrivons à la première notion importante de ce paragraphe.


Définition 3.158. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et supposons qu’il est algébriquementclos. Une hyper-clôture di↵érentielle de K est un pK,�q-schéma semi-simplicial Q‚ qui satisfait aux pro-priétés suivantes.

(i) Pour tout n P N, le pK,�q-schéma Qn est le spectre d’un �-corps di↵érentiellement clos.

(ii) Pour tout p P N, le morphisme Qp // pcoskKp´1Qqp est plat et dominant.

Si de plus, OpQpq est une clôture di↵érentielle simple du �-corps des fonctions rationnels de pcoskKp´1Qqp,

nous parlerons alors d’hyper-clôture di↵érentielle simple de K.Théorème 3.159. — Tout �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos possède une hyper-

clôture di↵érentielle simple.Démonstration. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos. Nous allons obtenirune hyper-clôture di↵érentielle simple de K en prenant la composition infinie d’une tour de pK,�q-schémassemi-simpliciaux

gppq‚ : Qpp`1q

‚// Qppq

‚

(pPN (154)

qui satisfait aux propriétés suivantes.

(1) Pour tout p P N, Qppq‚ est un hyper-recouvrement générique p-tronqué (mais non nécessairement

de type fini) de K. De plus, si 0 6 q 6 p, alors Qpqq “ coskqQppq et, modulo cette identification,Qppq // Qpqq est le morphisme évident.

(2) Pour 0 6 m 6 p, le �-schéma Qppqm est le spectre d’un �-corps di↵érentiellement clos. De plus, Qppq

p

est le spectre d’une clôture di↵érentielle simple du corps des fonctions rationnelles de Qpp´1qp . (Nous

sous-entendons ici que le �-schéma Qpp´1qp est intègre.)

Nous construisons (154) par récurrence. Pour p “ 0, nous choisissons une clôture di↵érentielle simplede K et nous prenons pour Q0 son spectre. Nous posons alors Qp0q

‚ “ C‚pY0{Kq. Supposons que p > 0,que les Qpiq

‚ sont construits, pour 0 6 i 6 p, et que les propriétés (1) et (2) ci-dessus sont satisfaites aurang p. Grâce au Théorème 3.147, nous savons que le �-schéma Qppq

p`1 est intègre. Nous pouvons doncconsidérer Qp`1, le spectre d’une clôture di↵érentielle simple du corps des fonctions rationnelles de Qppq

p`1.Nous définissons le �-schéma semi-simplicial Qpp`1q

‚ comme étant le but du morphisme pp`1q-élémentairegppq

‚ : Qpp`1q‚ // Qppq

‚ associé à Qp`1 // Qppqp`1. Les propriétés (1) et (2) ci-dessus sont maintenant vraies

au rang p ` 1. ⌅Remarque 3.160. — Il est facile de voir que la construction utilisée dans la preuve du Théorème 3.159

fournit toutes les hyper-clôtures di↵érentielles simples d’un �-corps de caractéristique nulle et algébri-quement clos. En relaxant l’hypothèse (2), on obtient également la construction des autres hyper-clôturesdi↵érentielles, i.e., celles qui ne sont pas simples. ⇤

Nous aurons besoin de la variante suivante.Théorème 3.161. — Tout �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos K possède une hyper-

clôture di↵érentielle cyclique Q‚ (i.e., une hyper-clôture di↵érentielle muni d’une structure cyclique) tel quel’extension pQnq�“0{p⌘pcoskn´1Qqnq�“0 est algébrique pour tout n P N.Démonstration. — Il s’agit de reprendre la preuve du Théorème 3.159 en remplaçant le Lemme 3.156 parle Lemme 3.157. ⌅Définition 3.162. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit Q‚ une

hyper-clôture di↵érentielle de K. Un hyper-recouvrement Q-pointé p-tronqué de K est la donnée d’unhyper-recouvrement générique p-tronqué f‚ : Y‚ // SpecpKq et d’un morphisme de pK,�q-schémas semi-simpliciaux Q‚ // Y‚ qui est un hyper-recouvrement générique relatif non nécessairement de type fini. Lacatégorie des hyper-recouvrements Q-pointés p-tronqués sera notée HRQ

p pKq. L’union de ces catégories,lorsque p parcourt N, est notée HRQpKq.

116 JOSEPH AYOUB

Proposition 3.163. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et soit Q‚ une hyper-clôture di↵érentiellede K.

(a) Soit Q‚ // X‚ un morphisme de pK,�q-schémas semi-simpliciaux de source p-tronquée et localementde type fini en chaque degré. Alors, il existe un hyper-recouvrement Q-pointé p-tronqué Y‚ et unmorphisme de pK,�q-schémas semi-simpliciaux Y‚ // X‚ compatible avec les Q-points.

(b) La catégorie HRQp pKq est équivalente à une ensemble ordonné cofiltrant et le morphisme évident

coskpQ // limQÑYÑK P HRQ

p pKqY

est un isomorphisme de pK,�q-schémas semi-simpliciaux.

Démonstration. — La partie (b) de l’énoncé est une conséquence immédiate de (a).Pour montrer (a), on raisonne par récurrence sur p. Lorsque p “ 0, il su�t de prendre Y‚ “ C‚pY0{Kq

avec Y0 l’adhérence de l’image de Q0 // X0. Si p > 1 on peut appliquer le cas p ´ 1 de la récurrencepour se ramener au cas où coskp´1X est un hyper-recouvrement Q-pointé pp ´ 1q-tronqué. (En e↵et, siX1 “ coskp´1X et si Y 1 un hyper-recouvrement Q-pointé pp ´ 1q-tronqué qui domine X1, on remplace X parX ˆX1 Y 1.)

Dans le carré commutatifQp

b//

v✏✏

pcoskp´1Qqp

u✏✏

Xpa// pcoskp´1Xqp.

Les morphismes u et b sont plats et dominants. NotonsU “ ⌘pcoskp´1Xqp , V “ ⌘pcoskp´1Qqp et W “ Xp ˆpcoskp´1Xqp U.

Nous avons un morphisme canonique w : Qp // W Û V et le �-schéma W Û V est radicalement noe-thérien. En particulier, l’adhérence de l’image de w est définie par un nombre fini de fonctions régulières�1, ¨ ¨ ¨ , �n P OpW Û Vq. D’après l’assertion (b) au rang p ´ 1, conséquence de l’assertion (a) au mêmerang, nous avons

pcoskp´1Qqp “ limY 1PHRQ

p´1pKqY 1

p.

Ainsi, quitte à remplacer X par X ˆcoskp´1X Y 1 avec Y 1 P HRQp´1pKq su�samment fin, nous pouvons supposer

que les �i proviennent de fonctions régulières sur W. En se débarrassant des dénominateurs, nous pouvonsmême supposer que les �i proviennent de fonctions régulières �1

1, ¨ ¨ ¨ , �1n P OpXpq.

Quitte à remplacer Xp par le �-fermé défini par l’annulation des �1i, nous pouvons supposer que le mor-

phisme w est dominant. Puisque Qp est le spectre d’un �-corps, il s’ensuit que w est également plat. Quitteà remplacer Xp par un ouvert convenable, nous pouvons aussi supposer que a est plat et dominant. Dans cecas, X‚ est un hyper-recouvrement Q-pointé p-tronqué de K et il n’y a plus rien à montrer. ⌅Corollaire 3.164. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et soit Q‚ une hyper-clôture di↵érentiellede K. La catégorie HRQpKq est équivalente à une ensemble ordonné cofiltrant et le morphisme évident

Q // limQÑYÑK P HRQpKq

Y

est un isomorphisme de pK,�q-schémas semi-simpliciaux.Nous arrivons maintenant à un résultat fondamental dans l’étude cohomologique de la topologie feuille-

tée. Il s’agit d’un analogue feuilleté et générique de [3, Exposé V, Théorème 7.4.1].Théorème 3.165. — Soit u : SpecpKq // X un �-morphisme avec X un pQ,�q-schéma radicalement

noethérien, et K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos. Soit Q‚ une hyper-clôturedi↵érentielle de K. Enfin, soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Fttf�{X borné à gauche.Alors, pour i P Z, nous avons un isomorphisme canonique :

HifttfpK, F‚q » Hi Tot

±F‚pQ‚q. (155)


(Ci-dessus, HifttfpK, F‚q “ colimKÑUPKzpFttf�{Xq Hi

fttfpU, F‚q est la fibre au K-point u du préfaisceau Hifttfp´, F‚q

défini sur Fttf�{X.)Démonstration. — Fixons une équivalence fttf-locale F‚ // I‚ avec I un complexe fttf-fibrant borné àgauche. D’après le Théorème 3.144 et le Corollaire 3.164, le morphisme évident

I‚pKq // Tot±

I‚pQ‚qest un quasi-isomorphisme. Or, par définition, Hi

fttfpK, F‚q est le i-ième groupe de cohomologie du complexeI‚pKq. Pour démontrer le théorème, il reste donc à voir que le morphisme évident

Tot±

F‚pQ‚q // Tot±

I‚pQ‚qest un quasi-isomorphisme. D’après [53, Lemma 2.7.3], il est su�sant de montrer que F‚pQnq // I‚pQnq estun quasi-isomorphisme pour tout n P N. Puisque tout recouvrement feuilleté de Qn est scindé, ceci découleaussitôt du fait que F‚ // I‚ induit un isomorphisme sur les faisceaux feuilletés associés aux préfaisceauxde cohomologie. Le théorème est démontré. ⌅Corollaire 3.166. — Supposons donné un triangle commutatif de pQ,�q-schémas radicalement noethé-

riensSpecpKq v

//

u**

Yf✏✏

Xavec K un �-corps de caractéristique nulle. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Fttf�{Xborné à gauche. Alors, pour tout i P Z, nous avons un isomorphisme canonique :

HifttfpK, F‚q // Hi

fttfpK, f ˚F‚q. (156)

Démonstration. — On se ramène au cas où K est algébriquement clos à l’aide de la suite spectral deHoschschild-Serre. On applique ensuite le Théorème 3.165 pour conclure. ⌅Remarque 3.167. — Même lorsque i “ 0 et F‚ “ Fr0s est concentré en degré zéro, le Corollaire 3.166

n’est pas immédiat. La di�culté réside dans le fait que la topologie feuilletée n’est pas quasi-compacte. ⇤Nous introduisons maintenant la deuxième notion importante de ce paragraphe.

Définition 3.168. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit Q‚ unehyper-clôture di↵érentielle de K. Le K�“0-schéma semi-simplicial pQ‚q�“0 est appelé le type d’homotopiefeuilleté générique de K.

La définition ci-dessus est motivée par le résultat suivant.Corollaire 3.169. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit Q‚ une

hyper-clôture di↵érentielle de K. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Ct�{K�“0 bornéà gauche. Alors, pour i P Z, nous avons un isomorphisme canonique :

HifttfpK, �˚

KF‚q » Hi Tot±

F‚ppQ‚q�“0q. (157)

Démonstration. — Puisque Qn est le spectre d’une �-extension de K, il possède un quotient discret e↵ectifde sorte �˚

KF‚pQnq “ F‚ppQnq�“0q. Le résultat recherché est donc un cas particulier du Théorème 3.165. ⌅

3.13. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, I. Préliminaires. —Dans ce paragraphe nous donnons des préliminaires nécessaires à la construction et à l’étude de la tour

de Postnikov du type d’homotopie feuilleté générique.Il sera utile d’introduire une variante p-tronquée de la Définition 3.158. Ainsi, si K est un �-corps de

caractéristique nulle et algébriquement clos, une hyper-clôture di↵érentielle p-tronquée de K est un hyper-recouvrement générique p-tronqué Q‚ de SpecpKq tel que Qn est le spectre d’un �-corps di↵érentiellement

118 JOSEPH AYOUB

clos pour 0 6 n 6 p. La preuve du Théorème 3.159 montre que toute hyper-clôture di↵érentielle p-tronquéeest obtenue en appliquant le foncteur coskp à une hyper-clôture di↵érentielle.

Nous aurons besoin d’un point de terminologie.Définition 3.170. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle.

(a) Une clôture universelle de K est une �-extension L{K telle que, pour tout sous-pK,�q-corps de typefini K1 Ñ L et toute �-extension de type fini K2{K1, il existe un morphisme de pK1,�q-corps K2 ãÑ L.

(b) Supposons que K est algébriquement clos. Une hyper-clôture universelle (resp. p-tronquée) Q‚ de Kest un hyper-recouvrement générique (resp. p-tronqué) de SpecpKq tel que pour tout n P N (resp.pour tout 0 6 n 6 p) Qn est le spectre d’une clôture universelle du corps des fonctions rationnelles depcoskK

n´1Qqn.

Remarque 3.171. — Une clôture universelle est en particulier une clôture di↵érentielle. Aussi, unehyper-clôture universelle est une hyper-clôture di↵érentielle. De plus, la preuve du Théorème 3.159 montreque toute hyper-clôture di↵érentielle admet un hyper-recouvrement générique relatif de source une hyper-clôture universelle. ⇤Proposition 3.172. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle qui est une clôture universelle d’un

de ses sous-�-corps et soit Q‚ une hyper-clôture universelle p-tronquée de K. Soit A une pK,�q-algèbreintègre et soit P‚ // Q‚ bK A un hyper-recouvrement générique relatif avec P‚ un pA,�q-schéma semi-simplicial p-tronqué et intègre en chaque degré. Alors, pour tout n P N, le noyau totalement décomposablede la �-extension p⌘Pnq{p⌘Qnq est engendré par le sous-corps des constantes de p⌘Pnq.Démonstration. — Nous divisons la preuve en trois étapes. Dans les deux premières nous donnons desréductions. Dans la troisième, nous donnons la preuve proprement dite.Étape 1 : Nous montrons ici qu’il est loisible de supposer que Pn est un pQn,�q-schéma de type fini pourtout n > ´1. (Pour n “ ´1, il s’agit de supposer que A est une pK,�q-algèbre de type fini.)

En e↵et, en adaptant la preuve de la Proposition 3.163, on peut montrer que P‚ est la limite projectivedes R‚ suivant les factorisations

P‚a//

66R‚

b// Q‚ bK A (158)

avec a et b des hyper-recouvrements génériques relatifs et où les Rn sont des pQn bK A,�q-schémas de typefini pour tout n P N. En particulier, le morphisme a est plat et dominant en chaque degré, ce qui entraîne queRn est intègre pour tout n P N et que p⌘Pnq est l’union des p⌘Rnq quand on fait varier la factorisation (158).Il est donc su�sant de montrer que le noyau totalement décomposable de la �-extension p⌘Rnq{p⌘Qnq estengendré par les constantes. Autrement dit, on peut supposer que les Pn sont des pQn bK A,�q-schémas detype fini pour tout n P N.

Puisque P‚ est p-tronqué, il existe une sous-pK,�q-algèbre de type fini A1 Ñ A et un hyper-recouvrementgénérique relatif P1

‚// Q‚ bK A1 qui est de type fini en chaque degré et tel que P‚ » P1

‚ bA1 A. Il s’ensuitque p⌘Pnq est l’union des p⌘P2

n q, avec P2‚ “ P1 bA1 A2, lorsque A2 parcourt les sous-pA1,�q-algèbres de

type fini de A. Ceci permet de conclure.Étape 2 : Ici, nous expliquons comment construire les données suivantes.

(1) Un sous-�-corps K0 Ñ K tel que la �-extension K{K0 est une clôture universelle.(2) Une pK0,�q-algèbre de type fini A0 telle que A “ A0 bK0 K.(3) Un hyper-recouvrement Q‚-pointé de la forme Q‚ // X‚bK0 K // SpecpKq avec X‚ un hyper-recouvrement

générique p-tronqué de SpecpK0q qui est de type fini en chaque degré.(4) Un hyper-recouvrement générique relatif Y‚ // X‚ bK0 A0, avec Y‚ un pA0,�q-schéma semi-simplicial

p-tronqué de type fini en chaque degré et tel que P‚ “ Y‚ ˆX‚ Q‚.D’après l’étape précédente et la Proposition 3.163, il existe X1

‚ P HRQp pKq et un hyper-recouvrement

générique relatif Y 1‚

// X1‚ bK A tel que P‚ “ Y 1

‚ ˆX1‚ Q‚. Soit C Ñ K un sous-�-corps tel que la �-extension


K{C est une clôture universelle. Il existe alors une sous-�-extension de type fini K0{C telle que A, X1‚ et

Y 1‚

// X1 bK A sont obtenus par changement de base suivant K{K0 à partir d’objets similaires définis surK0. Puisque K{K0 est encore une clôture universelle, ceci permet de conclure.Étape 3 : Ici, nous donnons la preuve proprement dite de la proposition. Remarquons tout d’abord que leXn-schéma Yn est génériquement géométriquement intègre pour tout n P N. En e↵et, vu que P‚ “ Y‚ ˆX‚ Q‚,il su�t de vérifier que les Pn sont des Qn-schémas génériquement géométriquement intègres. Considéronsle �-schéma semi-simplical p-tronqué P‚ obtenu en remplaçant les Pn, pour ´1 6 n 6 p, par les spectresde clôtures algébriques convenables des leurs corps des fonctions rationnelles. On dispose d’un morphismeP‚ // P‚ qui est quasi-entier en chaque degré. Or, P‚ est supposé intègre en chaque degré. Il s’ensuitque les morphismes Pn // Pn sont plats et dominants. Or, d’après le Théorème 3.147, on sait que Pn estgénériquement géométriquement intègre sur Qn.

Vu la discussion précédente, nous pouvons remplacer l’hyper-recouvrement générique Y‚ // X‚ bK0 A0

par une n’importe quelle puissance non nulle Ypmq‚ “ pY‚{X‚qm // X‚ bK0 pA0{K0qm. Ainsi, pour n P N fixé,

nous pouvons supposer que la �-extension p⌘Ynq{p⌘Xnq est pseudo-normale, i.e., son noyau totalementdécomposable est une �-extension normale. p4q

Par ailleurs, il est possible de construire un morphisme de pX‚,�q-schéma semi-simpliciaux Q‚ // Y‚ telque Q‚ // Y‚ Â0 K est un hyper-recouvrement générique. (En e↵et, puisque K{K0 est une clôture univer-selle, il existe un morphisme injectif de pK0,�q-algèbres A0 ãÑ K. Suppsons que les morphismes Qi // Yisont construits pour ´1 6 i 6 n ´ 1 avec 0 6 n 6 p. Nous construisons Qn // Yn de la manière suivante.Puisque Qn est le spectre d’une clôture universelle du corps des fractions rationnelles de pcoskn´1Qqn, ilexiste un �-morphisme dominant (et donc plat) Qn // Yn ˆpcoskn´1Yqn pcoskn´1Qqn de ppcoskn´1Qqn,�q-schémas. Le morphisme recherché s’obtient en composant ce morphisme avec la projection sur le premierfacteur.) Le morphisme Qn // Yn est alors nécessairement plat et dominant. Il s’ensuit que la �-extensionp⌘Qnq{p⌘Xnq contient une copie de p⌘Ynq{p⌘Xnq. Ceci montre que p⌘Ynq{p⌘Xnq est totalement décom-posée par p⌘Qnq{p⌘Xnq. Ainsi, le noyau totalement décomposable de l’extension p⌘Pnq{p⌘Qnq est déjàtotalement décomposé, i.e., il est engendré par les constantes. ⌅

Nous utiliserons la Proposition 3.172 pour établir le résultat clef suivant.Théorème 3.173. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et di↵érentiellement clos, et soit Q‚ une

hyper-clôture di↵érentielle p-tronquée de K. Alors, Qn possède un quotient discret e↵ectif pour tout n P Net le K�“0-schéma semi-simplicial pQ‚q�“0 est p-tronqué.Démonstration. — Nous divisons la preuve en trois parties. Dans la première nous établissons une varianterationnelle du théorème lorsque K et Q‚ satisfont aux hypothèses de la Proposition 3.172. Dans la deuxième,nous nous débarasserons de ces hypothèses superflues. Dans la troisième, nous expliquons pourquoi lavariante rationnelle est su�sante.Étape 1 : Nous supposons ici que K est une clôture universelle de l’un de ses sous-�-corps et que Q‚ est unehyper-clôture universelle de K. Nous cherchons à montrer que le le morphisme p⌘Qq�“0 // coskpp⌘Qq�“0est un isomorphisme birationnel en chaque degré.

Nous raisonnons par récurrence sur p. Lorsque p “ ´1, il n’y a rien à montrer puisque le �-schémasemi-simplicial Q‚ est alors constant égal à SpecpKq. Supposons donc que p > 0 et que le résultat est connupour p ´ 1. D’après la Proposition 3.123, nous avons, pour n P N, un isomorphisme canonique :

Qn » pcoskp´1Q1`‚qn´1 ˆpcoskp´1Q‚qn´1 Qn´1. (159)

Or, d’après la Proposition 3.123 appliquée à l’hyper-clôture universelle pp ´ 1q-tronquée coskp´1Q etl’hyper-recouvrement générique relatif coskp´1Q1`‚ // coskp´1QˆK Q0 (cf. le Lemme 3.145), le noyau to-talement décomposable de la�-extension p⌘pcoskp´1Q1`‚qn´1q{p⌘pcoskp´1Q‚qn´1q est engendré par les constantes.

4. Ceci utilise le fait suivant. Soit L{K une �-extension totalement décomposable et de type fini, et supposons que K estalgébriquement clos dans L. Alors, il existe un entier m P N r t0u tel que FracppL{Kqbmq est une extension normale de K. Lapreuve de cette propriété est laissée au soin du lecteur.

120 JOSEPH AYOUB

Par ailleurs, la récurrence sur p fournit des isomorphismes birationnels

p⌘coskp´1Qq�“0bir// coskp´1p⌘Qq�“0 et p⌘coskp´1Q1`‚q�“0

bir// coskp´1p⌘Q1`‚q�“0.

Ceci et la discussion précédente montrent que l’isomorphisme (159) induit un isomorphisme birationnel

p⌘Qnq�“0bir// pcoskp´1p⌘Q1`‚q�“0qn´1 ˆpcoskp´1p⌘Qq�“0qn´1 p⌘Qn´1q�“0. (160)

Par récurrence sur n, nous pouvons supposer que le morphisme p⌘Qn´1q�“0 // pcoskp⌘Qqn´1 est un iso-morphisme birationnel. Nous en déduisons, par une deuxième application de la Proposition 3.123, que lemembre de droite de (160) est birationnellement isomorphe à pcoskp⌘Qqn. Ceci permet de conclure.Étape 2 : Ici, nous démontrons la variante rationnelle du théorème (voir l’étape précédente) sans hypothèsessupplémentaires sur K et Q‚.

Comme dans l’étape précédente, nous raisonnons par récurrence sur p. Ainsi, nous supposerons connule fait que le morphisme de K�“0-schémas semi-simpliciaux

p⌘coskqQq�“0 // coskqp⌘Qq�“0

est un isomorphisme birationnel en chaque degré pour tout ´1 6 q 6 p ´ 1. Notons U‚ “ coskppp⌘Qq�“0qet montrons que le morphisme Q‚ // U‚ bK�“0 K est un hyper-recouvrement générique relatif. Il s’agit devérifier que le morphisme

Qn // Un ˆpcoskn´1pU{K�“0qqn pcoskn´1pQ{Kqqn

est dominant pour 0 6 n 6 p. Vu l’hypothèse de récurrence, il su�t de considérer le morphisme

Qn // Un Ê�“0 E

avec E “ p⌘pcoskn´1Qqnq. La Proposition 1.36 permet alors de conclure.Fixons une clôture universelle L{K et un hyper-recouvrement générique relatif P‚ // Q‚ bK L avec

P‚ une hyper-clôture universelle de L. Notons V‚ “ coskppp⌘Pq�“0q et R‚ “ Q‚ Û‚ V‚. Notons aussiA “ K bK�“0 L�“0. Quitte à bien choisir P‚ // Q‚ bK L, nous pouvons nous assurer que le morphismeP‚ // R‚ bA L est un hyper-recouvrement générique relatif.

Le morphisme R‚ // V‚ bL�“0 A est un hyper-recouvrement générique relatif puisqu’il en est ainsi dumorphisme Q‚ // U‚ bK�“0 K. Or, d’après l’étape précédente, V‚ est un hyper-recouvrement générique deL�“0. Il s’ensuit que R‚ est un hyper-recouvrement générique de SpecpAq. Ceci, et le fait que le morphismeP‚ // R‚ bA L est un hyper-recouvrement générique relatif, assure que les morphismes Pn // Rn bA L sontplats et dominants pour tout n P N. Il s’ensuit que les morphismes

p⌘Pnq�“0 “ ⌘Vn// p⌘Qnq�“0 b⌘Un

⌘Vn

sont aussi plats et dominants pour tout n P N. Ceci n’est possible que si les morphismes p⌘Qnq�“0 // ⌘Un

sont des isomorphismes. C’est ce que nous cherchons à montrer.Étape 3 : Ici nous terminons la preuve du théorème en expliquant comment la variante rationnelle impliquela variante originelle.

Notons comme dans l’étape précédente U‚ “ coskppp⌘Qq�“0q. Nous avons alors un morphisme canoniqueQ‚ // U‚ et, pour tout n P N, le morphisme Qn // Un est fidèlement plat et universellement ouvert. p5q Deplus, d’après l’étape précédente, le morphisme ⌘Qn

// ⌘Un induit un isomorphisme p⌘Qnq�“0 » ⌘Un . Cecientraîne aisément que Un est le quotient discret e↵ectif de Qn. (Utiliser le Lemme 1.46.) ⌅

L’énoncé ci-dessous est une conséquence immédiate du Théorème 3.173. Il a�rme que le type d’homo-topie feuilleté générique d’un �-corps di↵érentiellement clos est trivial.Corollaire 3.174. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et di↵érentiellement clos, et soit Q‚ une

hyper-clôture di↵érentielle de K. Alors, pQ‚q�“0 est un hyper-recouvrement générique de SpecpK�“0q.Nous aurons besoin d’une légère généralisation du Théorème 3.173.

5. Strictement parlant, le fait que ce morphisme est fidèlement plat et universellement ouvert n’a pas été prouvé auparavant.Toutefois, les techniques utilisées de la preuve du Théorème 3.147 su�sent largement pour établir ce fait.


Corollaire 3.175. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et di↵érentiellement clos, et soit Q‚une hyper-clôture di↵érentielle pp ´ 1q-tronquée de K. Soit R‚ // Q‚ un morphisme p-élémentaire de �-schémas semi-simpliciaux avec Rp le spectre d’une �-extension du corps des fractions rationnelles de Qp.Alors, le �-schéma Rn possède un quotient discret e↵ectif pour tout n P N et le K�“0-schéma semi-simplicialpR‚q�“0 est p-tronqué.Démonstration. — Comme dans l’étape 3 de la preuve du Théorème 3.173, il est su�sant de montrerla variante rationnelle de l’énoncé. Autrement dit, il su�t de montrer que p⌘Rq�“0 est rationnellement p-tronqué.

Soit Q1‚

// Q‚ un morphisme p-élémentaire associé à la composition de Q1p

// Rp // Qp où Q1p est le

spectre d’une clôture di↵érentielle de OpRpq. Notons R1p le spectre du corps des fonctions rationnelles de

Rp ˆpRpq�“0 pQ1pq�“0. Il s’ensuit un diagramme commutatif

Q1‚

//

//

R1‚

//

''

R‚

✏✏

Q‚

où toutes le flèches vers Q‚ sont p-élémentaires et les deux flèches horizontales sont des hyper-recouvrementsgénériques.

Le morphisme p⌘Q1‚q�“0 // p⌘R1‚q�“0 est un isomorphisme. En e↵et, ce morphisme est un isomorphismeen degrés plus petits que p. Or, d’après le Théorème 3.173, p⌘Q1‚q�“0 est rationnellement p-tronqué. Lemorphisme en question admet alors une rétraction. Puisqu’il est plat et dominant en tout degré, ceci permetde conclure.

D’autre part, par construction, le morphisme p⌘R1‚q�“0 // p⌘R‚q�“0 est rationnellement p-élémentaireassocié à pQ1

pq�“0 // pRpq�“0. D’après ce qui précède, p⌘R1‚q�“0 est rationnellement p-tronqué. Il en est demême de p⌘R‚q�“0. ⌅

3.14. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, II. Construction et étude. —Dans ce paragraphe, nous introduisons et étudions la tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté

générique.Définition 3.176. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit Q‚ une

hyper-clôture di↵érentielle cyclique de K (cf. le Théorème 3.161). La tour de Postnikov du type d’homotopiefeuilleté générique de K est la tour de �-schémas semi-simpliciaux

Ppn`1q

‚ pKq // Ppnq‚ pKq(

nPN

donnée par Ppnq‚ pKq “ p⌘coskn´1Qq�“0. Il sera également utile d’introduire, pour n P N, le �-schéma semi-

simplicial rPpnq‚ pKq défini par ⌘pcosknPpn`1q

‚ pKq ˆcosknPpnq‚ pKq Ppnq

‚ pKqq. On dispose alors de morphismes cano-

niques Ppn`1q‚ pKq // rPpnq

‚ pKq et rPpnq‚ pKq // Ppnq

‚ pKq qui factorisent les morphismes de la tour.Dans tout ce paragraphe, les notations et les hypothèses de la Définition 3.176 seront en vigueur. S’il

n’y a pas de confusion possible, nous noterons Ppnq et rPpnq au lieu de PpnqpKq et rPpnqpKq. Nous employeronségalement les notations suivantes.Notation 3.177. — Pour n P N, on pose Qpnq

‚ “ ⌘coskn´1Q et rQpnq‚ “ ⌘pQpnq

‚ ˆPpnq‚

rPpnq‚ q de sorte que

Ppnq‚ “ pQpnq

‚ q�“0 et rPpnq‚ “ prQpnq

‚ q�“0. ⇤On résume quelques propriétés immédiates dans l’énoncé suivant.

Lemme 3.178. — On a Pp0q‚ “ SpecpK�“0q et rPp0q

‚ “ ⌘pC‚ppQ0q�“0{K�“0qq. De même, on a Qp0q‚ “

SpecpKq et rQp0q‚ “ ⌘pK bK�“0 C‚ppQ0q�“0{K�“0qq. De plus, pour tout n P N, on a les propriétés suivantes.

(a) Le pK,�q-schéma semi-simplicial Qpnq‚ (resp. rQpnq

‚ ) est rationnellement pn´1q-tronqué (resp. n-tronqué).

(b) Les morphismes Qpn`1q‚ // rQpnq

‚ et rQpnq‚ // Qpnq

‚ sont rationnellement n-élémentaires.

122 JOSEPH AYOUB

(c) Le morphisme rPpnq‚ // Ppnq

‚ est rationnellement n-élémentaire.

Le résultat suivant jouera un rôle fondamental dans l’analyse de la tour de Postinikov introduite ci-dessus.Proposition 3.179. — Pour tout n P N, le schéma semi-simplicial Ppnq

1`‚ est un hyper-recouvrement géné-rique de pQ0q�“0. De plus, il est rationnellement pn ´ 1q-tronqué.Démonstration. — Lorsque n “ 0 il n’y a rien à montrer et on supposera dans la suite que n > 1. On aPpnq

1`‚ “ pQpnq1`‚q�“0. Par construction, Qpnq est un hyper-recouvrement rationnellement pn ´ 1q-tronqué de

SpecpKq. D’après le Lemme 3.145 et le Corollaire 3.124, il s’ensuit que Qpnq1`‚ est un hyper-recouvrement

générique rationnellement pn ´ 1q-tronqué de Q0. Or, Q0 est le spectre d’un �-corps di↵érentiellement closet coskn´2Qpnq

1`‚ “ coskn´2Q1`‚ est une hyper-clôture di↵érentielle pn ´ 2q-tronquée de Q0. (En e↵et, lesQpnq

1ì sont des spectres de �-corps di↵érentiellement clos pour 0 6 i 6 n ´ 2.) On peut maintenant appliquerle Corollaire 3.175 pour conclure. ⌅Proposition 3.180. — Pour tout n P N, nous avons des isomorphismes canoniques

⌘pcoskn´1Qpn`1q1`‚ q�“0 » ⌘pcoskn´1 rQpnq

1`‚q�“0 » ⌘pcoskn´1Ppn`1q1`‚ q.

Démonstration. — En e↵et, coskn´1Qpn`1q1`‚ “ coskn´1Q1`‚ est une hyper-clôture di↵érentielle pn ´ 1q-

tronquée de Q0. Puisque Q0 est le spectre d’un �-corps di↵érentiellement clos, le Théorème 3.173 entraîneque ⌘pcoskn´1Qpn`1q

1`‚ q�“0 est rationnellement n ´ 1-tronqué. Il s’ensuit des isomorphismes birationnels

⌘pcoskn´1Qpn`1q1`‚ q�“0 // coskn´1

´⌘pcoskn´1Qpn`1q

1`‚ q�“0

¯“ coskn´1Ppn`1q

1`‚ .

Ceci termine la preuve de la proposition étant donné que le morphisme

⌘pcoskn´1Qpn`1q1`‚ q�“0 // ⌘pcoskn´1 rQpnq

1`‚q�“0

est dominant en chaque degré. ⌅Nous avons supposé que notre hyper-clôture di↵érentielle Q‚ est munie d’une structure cyclique pour les

besoins de la preuve du résultat suivant.Théorème 3.181. — Pour tout n P N et 0 6 i0 6 n ` 1, nous avons un isomorphisme canonique

⌘

˜π

06i6n`1, i,i0

´Qpn`1q

n ˆrQpnqn , di

rQpnqn`1{rQpnq

n`1

¯¸

�“0

»´

rQpnqn`1

¯

�“0“ rPpnq

n`1.

Démonstration. — Le cas i0 “ 0 découle de la Proposition 3.180. En e↵et, considérons les morphismes

⌘pcoskn´1Qpn`1q1`‚ q // ⌘pcoskn´1 rQpnq

1`‚q // ⌘pcoskn´1Qpnq1`‚q “ Qpnq

1`‚. (161)

(La dernière égalité provient du Corollaire 3.124 et du fait que Qpnq‚ est rationnellement pn ´ 1q-tronqué.)

Ces morphismes sont rationnellement pn ´ 1q-élémentaires. En notant U‚ “ ⌘pcoskn´1 rQpnq1`‚q, nous avons

donc, d’après la Proposition 3.127,

⌘´

coskn´1Qpn`1q1`‚

¯

n“ ⌘

˜π

06i6n

´Qpn`1q

n Ûn´1, di Un{Un

¯¸

.

Ainsi, la Proposition 3.180 fournit un isomorphisme canonique :

⌘

˜π

06i6n

´Qpn`1q

n Ûn´1, di Un{Un

¯¸

�“0

» pUnq�“0. (162)

D’autre part, le morphisme rQpnqn`1

// Un correspond à une �-extension engendrée par les constantes. (Ene↵et, il est en ainsi de la �-extension prQpnq

n`1q{pQpnqn`1q et pUnq contient pQpnq

n`1q d’après (161).) Il est


donc loisible de faire un chagement de base suivant rQpnqn`1

// Un dans (162), pour obtenir l’isomorphismerecherché :

⌘

˜π

06i6n

´Qpn`1q

n ˆrQpnqn , d1ì

rQpnqn`1{rQpnq

n`1

¯¸

�“0

»´

rQpnqn`1

¯

�“0.

Ceci termine la preuve dans le cas i0 “ 0.Supposons maintenant que 1 6 i0 6 n ` 1 et expliquons comment se ramener au cas précédent grâce à la

structure cyclique sur Q‚. D’après la Proposition 3.130, cette structure induit une structure de même naturesur Qpmq

‚ et rQpmq‚ pour tout m P N. Ainsi, pour chaque 1 6 j 6 n ` 1, il existe un diagramme commutatif

Qpn`1qn

//

„✏✏

rQpnqn

„✏✏

rQpnqn`1

d jì0oo

pcn`1q˝ i0„✏✏

Qpn`1qn

// rQpnqn rQpnq

n`1

d joo

où les deux flèches verticaux non nommées sont des composées d’un même nombre de cn. (Ci-dessus, nousavons noté djì0 au lieu de djì0 mod n`1.) Nous en déduisons un isomorphisme de �-schémas

π

16 j6n`1

´Qpn`1q

n ˆrQpnqn , d jì0

rQpnqn`1{rQpnq

n`1

¯ „//

π

16 j6n`1

´Qpn`1q

n ˆrQpnqn , d j

rQpnqn`1{rQpnq

n`1

¯

au-dessus du �-automorphisme pcn`1q˝i0 de rQpnqn`1. Ceci permet de conclure. ⌅

Pour aller plus loin, nous aurons besoin de quelques préliminaires généraux. (Ainsi, K n’est pas supposéalgébriquement clos dans l’énoncé qui suit.)Proposition 3.182. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et, pour i P t1, 2, 3u, soit Li{K une�-extension pseudo-normale de type fini avec L�“0

i “ K�“0. On suppose que FracpLi bK Ljq�“0 “ K�“0

pour 1 6 i † j 6 3. Alors, le pK,�q-schéma X “ SpecpL1 bK L2 bK L3q possède un quotient discret e↵ectifX�“0 et l’action rationnelle de

±3i“1 Gal�pLi{Kq sur X induit une action régulière de ce groupe sur X�“0.

De plus, cette action se factorise à travers d’un morphisme de K�“0-groupes algébriques

� “3ÿ

i“1

�i :3π

i“1

Gal�pLi{Kq // A

de sorte que X�“0 devient un A-torseur ; le K�“0-groupe A est commutatif et les �i : Gal�pLi{Kq // A sontsurjectifs.Démonstration. — L’existence du quotient discret e↵ectif est assurée par le Corollaire 3.30. Quitte à rem-placer les Li par leurs noyaux totalement décomposables, nous pouvons supposer que les �-extensionsLi{K sont normales. Soit L1{K une �-extension normale et de type fini qui domine les Li{K et telle queL1�“0{K�“0 est une extension finie. Notons K1 “ K bK�“0 L1�“0 et L1

i “ Li bK�“0 L1�“0.Fixons des plongements de pK,�q-corps Li ãÑ L1. Nous en déduisons des plongements de pK1,�q-corps

L1i ãÑ L1. Il s’ensuit des morphismes surjectifs de K1�“0-groupes

i : Gal�pL1{K1q // // Gal�pL1i{K1q “ Gal�pLi{Kq bK�“0 K1�“0.

Fixons des entiers 1 6 i † j 6 3. L’hypothèse FracpLi bK Ljq�“0 “ K�“0 entraîne que la pK,�q-algèbreLi bK Lj est simple. p6q Ainsi, les sous-�-corps L1

i, L1j Ñ L1 engendrent une copie de FracpL1

i bK1 L1jq dans

L1. Le morphismep i, jq : Gal�pL1{K1q // Gal�pL1

i{K1q ˆK1�“0 Gal�pL1j{K1q

6. Il s’agit d’une conséquence facile de l’unicité de l’image d’un morphisme de �-corps de source une �-extension normale.

124 JOSEPH AYOUB

est donc surjectif. Ceci étant vrai pour tout 1 6 i † j 6 3, nous pouvons appliquer le Lemme 3.183 ci-dessous. Il existe donc un K1�“0-groupe commutatif A1 et des morphismes surjectifs �i : Gal�pL1

i{K1q // // A1tels que la suite

Gal�pL1{K1q p iqi//±3

i“1 Gal�pL1i{K1q

∞i �i// A1 // 0 (163)

est exacte.Rappelons que X “ SpecpL1 bK L2 bK L3q. D’après la Proposition 2.80, X est un torseur rationnel sous

G “ ±3i“1 Gal�pLi{Kq qui est défini sur K. Il s’ensuit que X�“0 est un G-schéma rationnel. Or, le Théorème

2.92 assure que tout point de G à valeur dans une extension finie de K�“0 agit sur X�“0. Ceci montre l’actionde G sur X�“0 est régulière.

Pour simplifier, nous supposerons dans la suite que la �-extension L1{K1 est engendrée par les sous-�-extensions L1

i{K1. (Ceci se traduit par l’injectivité du premier morphisme dans (163).) Le morphismeX // X�“0 est un épimorphisme G-équivariant. Considérons le carré commutatif

SpecpL1q //

✏✏

X

✏✏

SpecpK1�“0q u// X�“0.

(164)

(La flèche horizontale supérieure est donnée par le morphisme b3i“1pLi{Kq // L1.) Le morphisme

SpecpL1q // X ˆX�“0, u SpecpK1�“0qinduit par le carré (164) est un isomorphisme birationnel. (Ceci découle du fait que le corps des fonctionsrationnelles de X ˆX�“0, u SpecpK1�“0q est une �-extension de K1 engendrée par les L1

i{K1.) D’autre part,le carré (164) est Gal�pL1{K1q-équivariant et SpecpL1q est un Gal�pL1{K1q-torseur rationnel défini sur K1. Ils’ensuit que le stabilisateur du K1�“0-point u de X�“0 est donné par Gal�pL1{K1q, identifié à un sous-groupede G1 “ G bK�“0 K1�“0 par p iq16i63. Ce sous-groupe étant normal, nous déduisons que l’action de G1 surX�“0 bK�“0 K1�“0 se factorise par A1 et qu’elle en fait un torseur sous A1. Le quotient A1 de G1 provient alorsdu quotient A de G par le noyau du morphisme G // AutpX�“0q. Toutes les assertions de la propositionsont maintenant démontrées. ⌅

Le lemme suivant a servi dans la preuve de la Proposition 3.182.Lemme 3.183. — Soit k un corps de caractéristique nulle, et soient G1, G2, G3 et H des k-groupes. On

suppose donné un morphisme de k-groupes

“ p 1, 2, 3q : H // G1 ˆk G2 ˆk G3

tel que les morphismes p i, jq : H // Gi ˆk G j sont surjectifs pour 1 6 i † j 6 3. Alors, il existe unk-groupe commutatif A et des morphismes surjectifs de k-groupes �i : Gi // // A tels que

H //±3

i“1 Gi

∞3i“1 �i

// A // 0

est une suite exacte de k-groupes.Démonstration. — Il s’agit de montrer que l’image de est un sous-groupe distingué de

±3i“1 Gi, que le

conoyau de est un k-groupe commutatif A et que les k-morphismes induits Gi // A sont surjectifs. Toutceci se vérifie après passage à la clôture algébrique du corps de base. Ainsi, nous supposerons que k estalgébriquement clos et nous identifierons un k-groupe avec le groupe de ses k-points.

Notons G “ G1 ˆk G2 ˆk G3 et identifions les Gi à des sous-k-groupes de G. Nous ne restreignonspas la généralité en supposant que est l’inclusion d’un sous-groupe H Ñ G. Pour tout i P t1, 2, 3u, leSous-lemme 3.184 ci-dessous entraîne que Hi “ H X Gi est distingué dans Gi. Ainsi, quitte à remplacerGi par Gi{Hi et H par H{H1H2H3, nous pouvons supposer que H X Gi “ 1. Les morphismes p i, jq :H // Gi ˆk G j sont alors des isomorphismes pour tout 1 6 i † j 6 3.


Considérons le morphisme u : G1 ˆk G2 // G3 donné par la composition 3 ˝ p 1, 2q´1. Nous avonsalors

H “ tpg1, g2, upg1, g2qq, g1 P G1 et g2 P G2u.Dire que p 1, 3q : H // G1 ˆk G3 est surjectif, revient à dire que le morphisme up1,´q : G2 // G3 estsurjectif. De même, up´, 1q : G1 // G3 est surjectif. Étant donné que u est un homomorphisme de groupes,tout élément de l’image de up1,´q commute avec tout élément de l’image de up´, 1q. Ceci entraîne que G3est commutatif. Par symétrie, il en est de même de G1 et G2. En particulier, H est distingué dans G et nouspouvons considérer A “ G{H et les morphismes �i : Gi // A tels que la projection canonique � : G // Aest égale à

∞3i“1 �i.

Il reste à voir que les �i sont surjectifs : on traite seulement le cas i “ 1. Si a P A, il existe pg1, g2, g3q P Gtel que a “ ∞3

i“1 �ipgiq. Or, par construction, on a

H “ tph1, h2, h3q P G, �1ph1q ` �2ph2q ` �3ph3q “ 0u.Étant donné que p 2, 3q : H // G2 ˆk G3 est surjectif, il existe un triplet de la forme ph1, g2, g3q dans H.Il s’ensuit que a “ �1pg1 ´ h1q. ⌅Sous-lemme 3.184. — Soit k un corps de caractéristique nulle, et soient G1 et G2 des k-groupes. On pose

G “ G1 ˆk G2, et on identifie G1 et G2 à des sous-k-groupes de G. Soit H Ñ G un sous-k-groupe tel que lemorphisme ppr1q|H : H // G1 est surjectif. Alors, H X G1 est distingué dans G1.Démonstration. — Il est su�sant de traiter le cas où k est algébriquement clos et nous identifierons unk-groupe avec son groupe des k-points. Soient h1 P H X G1 et g1 P G1 et vérifions que g1h1g´1

1 P H X G1.L’application H // G1 étant surjective, nous pouvons trouver g2 P G2 tel que g “ g1g2 P H. Puisque h1commute avec g2, il s’ensuit que g1h1g´1

1 “ gh1g´1. Ceci permet de conclure puisque g1h1g´11 P G1 et

gh1g´1 P H. ⌅Nous aurons besoin d’une généralisation immédiate de la Proposition 3.182 qui s’en déduit par récur-

rence.Corollaire 3.185. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et soit tLi{KuiPI une famille finie de �-

extensions pseudo-normales de type fini avec L�“0i “ K�“0. On suppose que I contient au moins 3 éléments

et que, pour tout i0 P I, FracpbiPIrti0uLi{Kq�“0 “ K�“0. Alors, le pK,�q-schéma X “ SpecpbiPILi{Kqpossède un quotient discret e↵ectif X�“0 et l’action rationnelle de

±iPI Gal�pLi{Kq sur X induit une action

régulière de ce groupe sur X�“0. De plus, cette action se factorise à travers d’un morphisme de K�“0-groupes algébriques

� “ÿ

iPI

�i :3π

i“1

Gal�pLi{Kq // A

de sorte que X�“0 devient un A-torseur ; le K�“0-groupe A est commutatif et les �i : Gal�pLi{Kq // A sontsurjectifs.

Reprenons les notations et les hypothèses du début du paragraphe. Nous allons appliquer le Corollaire3.185 à la situation décrite dans le Théorème 3.181 pour déduire des informations sur la tour de Postnikovdu type d’homotopie feuilleté. Tout d’abord, introduisons quelques notations.Notation 3.186. — Pour n P N, on note Gpn`1q

n “ Gal�ppQpn`1qn q{prQpnq

n qq, un pro-groupe algébrique dé-fini sur prPpnq

n q. On définit alors le pro-schéma semi-simplicial Gpn`1q‚ comme étant la source du morphisme

n-élémentaire Gpn`1q‚ // rPpnq

‚ associé à Gpn`1qn

// rPpnqn . ⇤

Lemme 3.187. — Pour tout m P N, Gpn`1qm est un pro-schéma en groupes défini sur rPpnq

m et Qpn`1qm est un

torseur rationnel sous Gpn`1qm défini sur rQpnq

m .Démonstration. — Lorsque m 6 n, il n’y a rien à montrer. Pour m > n, on a

Gpn`1qm “

π

r : nãÑm

´Gpn`1q

n ˆrPpnqn , r˚ rPpnq

m {rPpnqm

¯et Qpn`1q

m “ ⌘

˜π

r : nãÑm

´Qpn`1q

n ˆrQpnqn , r˚ rQpnq

m {rQpnqm

¯¸

.

126 JOSEPH AYOUB

Or, Qpn`1qn est un torseur rationnel sous Gpn`1q

n défini sur rQpnqn . ⌅

On termine le paragraphe avec le résultat suivant qui sera précisé et amélioré dans le §3.16.

Théorème 3.188. — Pour tout n > 1 et m P N, le pro-rPpnqm -schéma en groupe Gpn`1q

m agit rationnellementsur le rPpnq

m -schéma Ppn`1qm . Cette action se factorise par un quotient commutatif

�pn`1qm : Gpn`1q

m// // Apn`1q

m

de telle sorte que Ppn`1qm devient un torseur rationnel sous Apn`1q

m . De plus, les propriétés suivantes sontsatisfaites.

(a) Les pro-schémas Apn`1qm s’organisent naturellement en un pro-schéma semi-simplicial Apn`1q

‚ fournis-sant ainsi un triangle commutatif de pro-schémas semi-simpliciaux

Gpn`1q‚

�pn`1q//

((

Apn`1q‚

✏✏

rPpnq‚ .

(b) Le rPpnqn -schéma en groupe Apn`1q

n est trivial, i.e., Apn`1qn “ rPpnq

n . Pour tout 0 6 s 6 n`1, la compositionde

Gpn`1qn ˆrPpnq

n , dsrPpnq

n`1 ãÑ˜

π

06i6n`1

´Gpn`1q

n ˆrPpnqn , di

rPpnqn`1{rPpnq

n`1

¯¸

» Gpn`1qn`1

// Apn`1qn`1

est surjective.

(c) Le schéma semi-simplicial ⌘pApn`1q1`‚ q est un hyper-recouvrement générique de pQ0q�“0 qui est ration-

nellement n-tronqué.

Démonstration. — Puisque Qpn`1qm est un torseur rationnel sous Gpn`1q

m qui est défini sur rQpnqm , le groupe

Gpn`1qm agit naturellement sur le rPpnq

m -schéma Ppn`1qm . (On rappelle que Ppn`1q

m “ pQpn`1qm q�“0 et que rPpnq

m “prQpnq

m q�“0.) Puisque Ppn`1qn “ rPpnq

n , cette action est triviale si m “ n et le groupe Apn`1qn est nécessairement

trivial. Lorsque m “ n ` 1, le Théorème 3.181 et le Corollaire 3.185 fournissent l’existence du quotientcommutatif Apn`1q

n`1 par lequel Gpn`1qn`1 agit sur Ppn`1q

n`1 “ pQpn`1qn`1 q�“0. Aussi, la seconde assertion dans (b) est

satisfaite.D’après la Proposition 3.179, Ppn`1q

1`‚ est rationnellement n-tronqué. De même, Ppnq1`‚ est rationnellement

pn ´ 1q-tronqué et puisque rPpnq‚ // Ppnq

‚ et Gpn`1q‚ // Ppnq

‚ sont rationnellement n-élémentaires, il s’ensuitque rPpnq

1`‚ et Gpn`1q1`‚ sont rationnellement n-tronqués. Ainsi, d’après ce qui précède, le morphisme rationnel

Gpn`1q1`‚ ˆrPpnq

1`‚Ppn`1q

1`‚// Ppn`1q

1`‚

se factorise par

◆!nppApn`1q1`‚ q‚6nq ˆrPpnq

1`‚Ppn`1q

1`‚// Ppn`1q

1`‚ .

De plus, en chaque degré, cette action fait de Ppn`1q1`m un torseur sous un schéma en groupe commutatif

puisque c’est ainsi lorsque m “ n. Ceci démontre la première assertion de l’énoncé. La partie (a) est alorsune conséquence immédiate de l’unicité à isomorphisme unique près des épimorphismes �m et du fait queles actions de Gpn`1q

m sur Ppn`1qm sont compatibles aux structures semi-simpliciales. Enfin, la partie (c) découle

aussitôt des propriétés analogues pour Ppn`1q1`‚ (voir la Proposition 3.179). ⌅


3.15. Autour de la descente fidèlement plate. —Dans ce paragraphe, nous regroupons quelques résultats autour de la descente fidèlement plate (au sens

de [28, Exposé VIII]). Ces résultats servirons dans §3.16.Définition 3.189. — Soit X‚ un schéma semi-simplicial. Étant donné un Xn-schéma Y (pour un entier fixén P N), on note Ypiq “ Y ˆXn, di Xn`1 (pour 0 6 i 6 n`1) et Ypi, jq “ Y ˆXn, di, j Xn`2 (pour 0 6 i † j 6 n`2)avec di, j “ di ˝ dj “ dj´1 ˝ di.

Une donnée de descente sur un Xn-schéma Y est une famille purs : Yprq „// Ypsqq06r,s6n`1 d’isomor-

phismes de Xn`1-schémas tels que les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) urr “ idYprq et urs ˝ ust “ urt pour tout 0 6 r, s, t 6 n ` 1 ;

(ii) pour tout 0 6 r † s † t 6 n ` 2, le triangle

Ypr, sq us´1,t´1//

ur, t´1((

Ypr, tqurs

vv

Yps, tq

(165)

est commutatif (conditon de cocycle).

(Si Y est un Xn-schéma en groupe, les isomorphismes urs seront supposés compatibles à l’unité et à lamultiplication.)

Les Xn-schémas munis d’une donnée de descente forment une catégorie d’une manière évidente ; ellesera notée DescnpXq. Si le schéma semi-simplicial X‚ est coaugmenté, on dispose d’un foncteur évidentde la catégorie Sch{X´1 des X´1-schémas dans DescnpXq qui envoie un X´1-schéma B sur le Xn-schémaB ˆX´1 Xn et la famille des isomorphismes canoniques pB ˆX´1 Xnq ˆXn, dr Xn`1 » pB ˆX´1 Xnq ˆXn, ds Xn`1pour tout 0 6 r, s 6 n ` 1.

L’énoncé ci-dessus admet plein d’autres variantes ; nous nous contenterons de ce dont nous aurons besoin.Proposition 3.190. — Soit k un corps et supposons que X‚ est un hyper-recouvrement générique de

Specpkq qui est le spectre d’une extension de k en tout degré. Alors, le foncteur Sch{k // DescnpXq induitune équivalence de catégories entre, d’une part la sous-catégorie pleine des k-schémas quasi-projectifs, etd’autre part la sous-catégorie pleine des Xn-schémas quasi-projectifs munis d’une donnée de descente.Démonstration. — La preuve sera divisée en trois parties. Dans la première on décrit un résultat prélimi-naire. Dans la seconde, on traite le cas n “ 0 ; il s’agit essentiellement d’une reformulation d’un théorèmed’e↵ectivité bien connu en théorie de descente fidèlement plate. Dans la troisième, on traite le cas n > 1par récurrence. Aussi on traitera uniquement l’« essentielle surjectivité » et on laisse la « pleine fidélité »au lecteur.Partie 1 : On se donne un carré commutatif de schémas

Wq//

p✏✏

Vg✏✏

Uf// S

tel que f \ g : U≤

V // S est fidèlement plat, et pp, qq : W // U ˆS V est plat et dominant. SoientT un S -schéma plat et T 1 un S -schéma quelconque. Soient u : T ˆS U // T 1 ˆS U un morphisme deU-schémas et v : T ˆS V // T 1 ˆS V un morphisme de V-schémas. On suppose que les morphismesu Û W, v ˆV W : T ˆS W // T 1 ˆS W coïncident. Alors, il existe un unique morphisme de S -schémasa : T // T 1 tel que u “ a ˆS U et v “ a ˆS V .

En e↵et, puisque T est plat sur S , le morphisme T ˆS W // T ˆS pU ˆS Vq est plat et dominant. Ils’ensuit que les morphismes

u : T ˆS U ˆS V // T 1 ˆS U ˆS V et v : T ˆS V ˆS U // T 1 ˆS V ˆS U

128 JOSEPH AYOUB

coïncident modulo les identifications canoniques. Le résultat découle maintenant du fait que le préfaisceaud’ensembles hom´pT ˆS ´,T 1 ˆS ´q est un faisceau pour la topologie fpqc (voir par exemple [51]).Partie 2 : On traite ici le cas n “ 0. Pour cela, on considère le carré commutatif

X2pd0,d2q

//

d1✏✏

X1 ˆd1, X0, d0 X1

d0ˆd1✏✏

X1pd0,d1q

// X0 ˆk X0.

On note S “ X0 ˆk X0, U “ X1, V “ X1 ˆd1, X0, d0 X1 et W “ X2. Avec ces notations, le morphisme V // Sest fidèlement plat et le morphisme W // U ˆS V est plat et dominant. Ceci découle du fait que X‚ est unhyper-recouvrement générique de Specpkq.

Soit Y un X0-schéma quasi-projectif muni d’une donnée de descente pursq06r,s61. On pose T “ Y ˆk X0 etT 1 “ X0 ˆk Y . Clairement T ˆS U “ Yp0q et T 1 ˆS U “ Yp1q, ce qui fournit un isomorphisme u “ u01 :T ˆS U „

// T 1 ˆS U. De même, on a

T ˆS V “ Y ˆX0, d0 X1 ˆd1, X0, d0 X1 et T 1 ˆS V “ X1 ˆd1, X0, d0 X1 ˆd1, X0 Y.

On définit l’isomorphisme v : T ˆS V „// T 1 ˆS V par la composition de

Y ˆX0, d0 X1 ˆd1, X0, d0 X1u01// Y ˆX0, d1 X1 ˆd1, X0, d0 X1 “ Y ˆX0 pX1 ˆd1, X0, d0 X1q

» pX1 ˆd1, X0, d0 X1q ˆX0 Y “ X1 ˆd1, X0, d0 X1 ˆd0, X0 Yu01// X1 ˆd1, X0, d0 X1 ˆd1, X0 Y.

La commutation du triangle (165) dans le cas n “ 0 et pr, s, tq “ p0, 1, 2q équivaut à l’égalité : u Û W “v ˆV W. D’après la première partie de la preuve, il existe alors un isomorphisme de X0 ˆk X0-schémasa : Y ˆk X0

„// X0 ˆk Y tel que a ˆS U “ u et a ˆS V “ v. En particulier, u01 se déduit de a ce qui entraîne

que a vérifie la condition de cocycle usuelle. Le critère d’e↵ectivité pour la descente fidèlement plate [28,Exposé VIII, Corollaire 7.7] permet de conclure. p7q

Partie 3 : On suppose ici que n > 1 et que le résultat est connu pour n ´ 1. Soit Y un Xn-schémaquasi-projectif muni d’une donnée de descente pursq16r,s6n`1. On considère le diagramme de schémas semi-simpliciaux

X2`‚d1//

d0

// X1`‚d0// X‚.

Puisque X‚ est un hyper-recouvrement générique de Specpkq, X1`‚ et X2`‚ sont des hyper-recouvrementsgénériques de X0 et X1.

On note Z pour le X1`n´1-schéma Y de sorte que Zpiq “ Ypi ` 1q et Zpi, jq “ Ypi ` 1, j ` 1q pour0 6 i † j 6 n ` 1. On note aussi vst au lieu de us`1,t`1. La famille pvstq06s, t6n est alors une donnée dedescente sur le X1`n´1-schéma Z.

De même, on note Z1 “ Yp0q et Z2 “ Yp1q. Les X2`n´1-schémas Z1 et Z2 sont munis de données dedescentes pv1

stq06s, t6n´1 et pv2stq06s, t6n´1 définies respectivement par

v1st : Z1psq “ Yp0, 2` sq u1`s,1`r

// Yp0, 2`rq “ Z1prq et v2st : Z2psq “ Yp1, 2` sq u1`s,1`r

// Yp1, 2`rq “ Z2prq.Il découle des triangles commutatifs (165) que le morphisme w “ u01 : Z1 // Z2 est compatible à cesdonnées de descente. Autrement dit, il définit un morphisme de la catégorie Descn´1pX2`‚q.

En appliquant l’hypothèse de récurrence à Z, on trouve un X0-schéma quasi-projectif D. En appliquantl’hypothèse de récurrence à Z1, Z2 et le morphisme w, on trouve des X1-schémas quasi-projectifs D1, D2

7. Ce critère ne s’applique pas tel quel à notre situation et un petit standard est nécessaire ; expliquons le. Puisque Y estquasi-projectif (et donc de présentation finie), on peut remplacer X0 par un k-schéma de type fini. Il est toujours possible dedescendre Y en un faisceau fpqc sur les k-schémas et pour vérifer que ce dernier est représentable, nous pouvons remplacer X0par n’importe quel sous-schéma non vide. Ainsi, nous pouvons supposer que X0 est le spectre d’une extension finie de k et lecritère [28, Exposé VIII, Corollaire 7.7] est maintenant applicable.


et un morphisme de X1-schémas e : D1 // D2. De plus, on a des isomorphismes canoniques D1 » Dp0qet D2 » Dp1q, et l’isomorphisme e : Dp0q „

// Dp1q satisfait la condition de cocyle usuelle. On peut doncappliquer la deuxième partie de la preuve pour descendre D en un k-schéma quasi-projectif B. Il est alorsclair que le foncteur Sch{k // DescnpXq envoie, à isomorphisme près, le k-schéma B sur le Xn-schéma Ymuni de sa donnée de descente pursq06r,s6n`1. ⌅

L’énoncé suivant, qui est en fait un corollaire de la preuve de la Proposition 3.190, est mieux adapté àl’application que nous avons en vue.Corollaire 3.191. — Soit k un corps et X‚ un k-schéma semi-simplicial qui est le spectre d’une exten-

sion de k en tout degré. On suppose que cette extension est triviale en degré zéro, i.e., X0 “ Specpkq, etque X1`‚ est un hyper-recouvrement générique de Specpkq. Alors, pour tout n > 0, il existe un foncteurDesc0pXq // DescnpXq induisant une équivalence de catégories entre, d’une part la sous-catégorie pleinedes X0-schémas quasi-projectifs munis d’une donnée de descente, et d’autre part la sous-catégorie pleinedes Xn-schémas quasi-projectifs munis d’une donnée de descente.Démonstration. — Décrivons d’abord le foncteur Desc0pXq // DescnpXq (qui d’ailleurs existe sans hy-pothèses sur X‚ et se généralise à d’autre degrés que 0 et n). Soit Y un X0-schéma muni d’une donnée dedescente u01 : Yp0q „

// Yp1q. On pose Z “ Y ˆX0, p Xn où le morphisme p : Xn // X0 correspond à l’ap-plication 0 Ñ n d’image t0u Ñ n. Nous allons munir Z d’une donnée de descente. Pour cela, remarquonsque si 1 6 r 6 n ` 1, Zprq s’identifie canoniquement à Y ˆX0, q Xn`1 où q : Xn`1 // X0 correspond à l’ap-plication 0 Ñ n ` 1 d’image t0u Ñ n ` 1. Ceci permet de définir les isomorphismes urs : Zprq „

// Zpsqpour 1 6 r, s 6 n ` 1 : ils doivent correspondre à l’identité de Y ˆX0, q Xn`1 modulo ces identificationscanoniques. Il reste à définir les isomorphismes Zp0q „

// Zpiq, pour 1 6 i 6 n ` 1 : nous prendrons, modulol’identification canonique, la composition de

Zp0q “ Yp0q ˆX1, q1 Xn`1u01// Yp1q ˆX1, q1 Xn`1 “ Y ˆX0, q Xn`1,

où q1 : Xn`1 // X1 correspond à l’application 1 ãÑ n ` 1 d’image t0, 1u Ñ n ` 1. La vérification de lacondition de cocycle est facile et sera laissée au lecteur.

Réciproquement, soit Y un Xn-schéma quasi-projectif muni d’une donnée de descente pursq06r,s6n`1.Comme dans la troisième partie de la preuve de la Proposition 3.190, nous pouvons associer à Y un X0-schéma quasi-projectif D muni d’une donnée de descente, i.e., d’un isomorphisme u01 : Dp0q „

// Dp1q quisatisfait à la condition de cocycle. Ceci termine la preuve du corollaire. ⌅

À un groupe G on associe son classifiant G‚, un objet simplicial. En degré n P N, on a Gn “ G ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ G(n fois) et la flèche di : Gn // Gn´1 est donnée par

dipx1, ¨ ¨ ¨ , xnq “ px1, ¨ ¨ ¨ , xi´1, xi`1xi, xi`2, ¨ ¨ ¨ , xnq, si 1 6 i 6 n ´ 1,

et par les projections parallèlement aux premier et dernier facteurs pour i “ 0 et i “ n respectivement.Lemme 3.192. — Soient k un corps et G un k-schéma en groupe. Alors, il y a une équivalence de catégoriesentre Desc0pGq et la catégorie des k-schémas munis d’une action à droite de G. À un G0-schéma X munid’une donnée de descente u01 : Xp0q // Xp1q, cette équivalence associe le k-schéma X muni de l’action àdroite donnée par la composition de

X ˆk G “ Xp0q u01// Xp1q “ X ˆk G

pr1// X.

Démonstration. — Il s’agit d’une tautologie. ⌅Proposition 3.193. — Soient k un corps, X‚ un k-schéma semi-simplicial et G un k-schéma en groupe. Onsuppose que les conditions suivantes sont satisfaites.

(i) En tout degré, X‚ est le spectre d’une extension de k qui est triviale en degré zéro, i.e., X0 “ Specpkq.De plus, X1`‚ est un hyper-recouvrement générique de X0.

130 JOSEPH AYOUB

(ii) Il existe un morphisme de k-schémas semi-simpliciaux X‚ // ⌘pG‚q tel que le morphisme

X2 // cosk1X ˆcosk1G G2

est plat et dominant.

Alors, pour n > 0, il existe une équivalence de catégorie entre, d’une part la catégorie des Xn-schémasquasi-projectifs munis d’une donnée de descente et, d’autre part, la catégorie des k-schémas quasi-projectifsmunis d’une action à droite de G.Démonstration. — Soit Y un Xn-schéma quasi-projectif muni d’une donnée de descente pursq06r,s6n`1. LeCorollaire 3.191 permet d’associer à Y un X0-schéma quasi-projectif D muni d’une donnée de descente,i.e., d’un isomorphisme u01 : Dp0q „

// Dp1q qui satisfait à la condition de cocycle. Considérons le carrécommutatif

X2pd0,d2q

//

d1✏✏

X1 ˆk X1

✏✏

X1// G

où la flèche verticale de droite est la composition de

X1 ˆk X1 // G ˆk G “ G2d1// G1 “ G.

La condition (ii) de l’énoncé se traduit ainsi : le morphisme X2 // X1 ˆG pX1 ˆk X1q, déduit du carréci-dessus, est plat et dominant.

Utilisons les notations S “ G, U “ X1, V “ X1 ˆk X1, W “ X2 et T “ T 1 “ D ˆk G. D’unepart, nous avons T ˆS U “ Dp0q et T 1 ˆS U “ Dp1q, et la donnée de descente fournit un isomorphismeu : T ˆS U // T 1 ˆS U. D’autre part, nous avons

T ˆS V “ T 1 ˆS V “ D ˆk X1 ˆk X1.

Nous définissons alors l’isomorphisme v : T ˆS V „// T 1 ˆS V par la composition de

D ˆk X1 ˆk X1 » X1 ˆk pD ˆk X1q idû01// X1 ˆk D ˆk X1 » pD ˆk X1q ˆk X1

u01bid// D ˆk X1 ˆk X1.

La condition de cocycle pour u01 entraîne l’égalité u Û W “ v ˆV W. La première étape de la preuve dela Proposition 3.190 permet de descendre le morphisme u01 en un morphisme u1

01 : D ˆk ⌘G // D ˆk ⌘G.Il est immédiat que u1

01 satisfait aussi à la condition de cocycle. Une variante du Lemme 3.192 montre alorsque G agit rationnellement à droite sur D. D’après le théorème de régularisation de Weil (cf. [20, ExposéXVIII, §1]) cette action est définie partout, ce qui permet de conclure. ⌅

3.16. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, III. Préscindage. —L’objectif de ce paragraphe est de ra�ner le Théorème 3.188. Cela résultera en un théorème de structure

très précis pour la tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté. (Toutefois, ce ne serait pas la fin del’histoire : des simplifications importantes seront apportées dans la section suivante !) Dans le but d’allégerles notations, nous étudierons une situation générale, décrite dans l’Hypothèse 3.194 ci-dessous, et modeléesur des propriétés établies dans le §3.14 et notamment le Théorème 3.188.Hypothèse 3.194. — Soit k un corps et soit X‚ un k-schéma semi-simplicial, qui est le spectre d’une

extension de k en tout degré. Supposons que X0 “ Specpkq.Fixons un entier n > 1. Supposons donné un Xn-schéma en groupe Gn et formons le morphisme n-

élémentaire G‚ // X‚ associé à la projection Gn // Xn. Pour 0 6 i 6 n ` 1, notons Gnpiq “ Gn ˆXn, di Xn`1

de sorte que Gn`1 “ ±n`1i“0 Gnpiq{Xn`1.

Supposons donnée une factorisation :

G‚�‚// A‚ // X‚


où les Am sont des Xm-schémas en groupe commutatifs et les �m sont des morphismes surjectifs de Xm-schémas en groupe. Nous supposons que les conditions suivantes sont réunies.

(a) Le Xn-schéma en groupe An est trivial, i.e., An “ Xn.(b) Pour tout 0 6 s 6 n ` 1, le morphisme �n`1psq : Gnpsq // An`1, donné par la composition de

Gnpsq ãÑ Gn`1�n`1// An`1,

est surjectif.(c) Le schéma semi-simplicial X1`‚ est un hyper-recouvrement générique de Specpkq et le morphisme

A1`‚ // X1`‚ est n-élémentaire.

Étant donnée une suite d’entiers 0 6 i1 † i2 † ¨ ¨ ¨ † ir 6 n ` r, on pose Gnpi1, ¨ ¨ ¨ , irq “ Gn ˆXn Xn`roù le morphisme Xn`r // Xn utilisé correspond à l’application n ãÑ n ` r qui évite le sous-ensembleti1, ¨ ¨ ¨ , iru Ñ n ` r. De même, étant donnée une suite d’entiers 0 6 j1 † j2 † ¨ ¨ ¨ † jr 6 n`r `1, on poseAn`1p j1, ¨ ¨ ¨ , jrq “ An`1 ˆXn`1 Xn`r`1 où le morphisme Xn`r`1 // Xn`1 utilisé correspond à l’applicationn ` 1 ãÑ n ` r ` 1 qui évite le sous-ensemble t j1, ¨ ¨ ¨ , jru Ñ n ` r ` 1. ⇤

Dans ce paragraphe et sauf mention explicite du contraire, les notations et les conditions de l’Hypothèse3.194 seront en vigueur. On utilisera le signe

Àpour désigner le produit fibré de schémas en groupe. (Ceci

n’est pas très standard lorsque le groupe n’est pas commutatif.) Ainsi, on a les décompositions

Gn`r “ à

06i1†i2†¨¨¨†ir6n`rGnpi1, ¨ ¨ ¨ , irq et An`r`1 “ à

16i1†i2†¨¨¨†ir6n`r`1An`1pi1, ¨ ¨ ¨ , irq (166)

qui découlent du fait que les morphismes G‚ // X‚ et A1`‚ // X1`‚ sont n-élémentaires.Lemme 3.195. — Pour 0 6 i † j 6 n ` 2, on dispose de deux morphismes

�n`1piq : Gnpi, jq // An`1p jq et �n`1p j ´ 1q : Gnpi, jq // An`1piqdéduits des morphismes de l’Hypothèse 3.194(b). De plus, pour 0 6 l 6 n ` 2, la composition de

Gnpi, jq ãÑ Gn`2 // An`2 // An`1plqest nulle si l < ti, ju ; elle vaut �n`1piq si l “ j et �n`1p j ´ 1q si l “ i.Démonstration. — Le premier morphisme est en vérité �n`1piq ˆXn`1, d j Xn`2. Le second morphisme est envérité �n`1p j ´ 1q ˆXn`1, di Xn`2. Pour la dernière assertion, on utilise le diagramme commutatif

Gn`2//

dl✏✏

An`2//

dl✏✏

An`1plqvv

Gn`1// An`1

et le fait que la restriction de dl : Gn`2 // Gn`1 à Gnpi, jq se factorise par le sous-groupe trivial de Gn`1 àmoins que l P ti, ju. De plus, si l “ j, cette restriction se déduit de Gpiq ãÑ Gn`1 et, si l “ i, elle se déduitde Gp j ´ 1q ãÑ Gn`1. ⌅Proposition 3.196. — Pour tout entier 0 6 i0 6 n ` 2, le morphisme canonique

An`2 //à

06i6n`2, i,i0

An`1piq

est un isomorphisme.Démonstration. — On raisonne par récurrence sur i0. Lorsque i “ 0, on l’a déjà dit, ceci est une consé-quence de l’Hypothèse 3.194(b). On suppose donc que 1 6 i0 6 n ` 2 et que la proposition est connuepour i0 ´ 1, i.e., qu’on a un isomorphisme An`2 » À

06i6n`2, i,i0´1 An`1piq. On considère le morphismeu : An`1pi0q // An`1pi0 ´ 1q donné par la composition de

An`1pi0q ãÑ à

06i6n`2, i,i0´1An`1piq » An`2 // An`1pi0 ´ 1q.

132 JOSEPH AYOUB

La matrice de la compositon deà

06i6n`2, i,i0´1An`1piq » An`2 //

à

06 j6n`2, j,i0

An`1p jq

contient une sous-matrice identitée de taille pn ` 1q ˆ pn ` 1q qui correspond aux indices p j, iq avec i , i0 etj , i0 ´ 1. Ainsi, pour démontrer la proposition au rang i0, il su�t de montrer que u est un isomorphisme.

En utilisant le Lemme 3.195 et la construction du morphisme u, il est aisé de voir que le triangle

Gnpi0 ´ 1, i0q�n`1pi0´1q ++

�n`1pi0´1q// An`1pi0q

u✏✏

An`1pi0 ´ 1qest commutatif. L’Hypothèse 3.194(b) entraîne alors que le morphisme u est surjectif et de noyau fini. Deplus, pour montrer que u est un isomorphisme, il su�t de montrer que les groupes algébriques

kert�n`1pi0 ´ 1q : Gnpi0 ´ 1, i0q Ñ An`1pi0 ´ 1qu et kert�n`1pi0 ´ 1q : Gnpi0 ´ 1, i0q Ñ An`1pi0quont même nombre de composantes connexes. Or, ces groupes s’identifient à

kert�n`1pi0´1q : Gnpi0´1q Ñ An`1uˆXn`1, di0´1 Xn`2 et kert�n`1pi0´1q : Gnpi0´1q Ñ An`1uˆXn`1, di0Xn`2.

Ceci permet de conclure. ⌅Construction 3.197. — Pour 0 6 r, s 6 n ` 2 avec r , s, la Proposition 3.196 permet de définir un

morphisme u1rs : An`1prq // An`1psq par la composition de

An`1prq ãÑ à

06i6n`2, i,sAn`1piq » An`2 // An`1psq. (167)

Pour 0 6 r † s 6 n ` 2, le Lemme 3.195 entraîne que les triangles

Gnpr, sq

�n`1prq **

�n`1ps´1q// An`1prq

u1rs✏✏

An`1psq

et Gnpr, sq

�n`1ps´1q **

�n`1prq// An`1psq

u1sr✏✏

An`1prqsont commutatifs. Vu l’Hypothèse 3.194(b), il découle que u1

rs et u1sr sont des isomorphismes inverses l’un

de l’autre. ⇤Proposition 3.198. — Pour 0 6 r † s † t 6 n ` 2, on a la relation u1

rs ˝ u1st “ ú1

rt.Démonstration. — Utilisons la Proposition 3.196 pour identifier An`2 avec

À06 j6n`2, j,t An`1p jq. La pro-

jection An`2 // An`1ptq est alors donnée par la matrice ligne pu1jtq06 j6n`2, j,t. Il s’ensuit que l’isomorphisme

An`2 » À06i6n`2, i,s An`1piq est donné par la matrice carrée

pmi jq :à

06 j6n`2, j,tAn`1p jq //

à

06i6n`2, i,sAn`1piq où mi j “

$&

%

0 si i < t j, tu,id si i “ j,u1

jt si i “ t.

En revenant à la Construction 3.197, nous obtenons que l’isomorphisme u1rs est donné par la composition

de

An`1prq ãÑ À06i6n`2, i,s An`1piq pmi jq´1

//À

06 j6n`2, j,t An`1p jq // // An`1psq.Autrement dit, u1

rs est le ps, rq-ième coe�cient de la matrice pnjiq “ pmi jq´1.Or, pour les numérotations suivantes des ensembles d’indices :

t0, n ` 2u r ttu “ ts, 1, ¨ ¨ ¨ , s ´ 1, s ` 1, ¨ ¨ ¨ , t ´ 1, t ` 1, ¨ ¨ ¨ , n ` 2u,t0, n ` 2u r tsu “ tt, 1, ¨ ¨ ¨ , s ´ 1, s ` 1, ¨ ¨ ¨ , t ´ 1, t ` 1, ¨ ¨ ¨ , n ` 2u,


la matrice pmi jq est triangulaire supérieure. Sur la diagonale, elle est donnée par l’identité sauf en pt, sq oùelle vaut u1

st. Ailleurs, elle est nulle sauf sur la ligne correspondante à i “ t où elle est donnée par les u1jt. La

matrice pnjiq “ pmi jq´1 est alors donnée par

nji “

$’’&

’’%

0 si i < t j, tu,id si i “ j,

u1´1st si pi, jq “ pt, sq,

ú1itu

1´1st si i , t et j “ s.

Ceci fournit la relation recherchée. ⌅

Proposition 3.199. — Pour tout 0 6 r † s † t 6 n ` 3, le triangle

An`1pr, sq u1s´1,t´1

//

u1r, t´1 ))

An`1pr, tqu1

rsvv

An`1ps, tqest commutatif.Démonstration. — On raisonne comme dans la preuve de la Proposition 3.198. On utilise le Lemme 3.200ci-dessous pour identifier An`3 à

À06i† j6n`3, t<ti, ju An`1pi, jq. Pour 0 6 a † t, la projection An`3 // An`1pa, tq

est alors donnée par u1i,t´1 : An`1pi, aq // An`1pa, tq si 0 6 i † a, par u1

i´1,t´1 : An`1pa, iq // An`1pa, tqsi a † i 6 n ` 3 et elle est nulle sur les autres facteurs. De même, pour t † b 6 n ` 3, la projectionAn`3 // An`1pt, bq est donnée par u1

it : An`1pi, bq // An`1pt, bq si 0 6 i † b, par u1i´1,t : An`1pb, iq // An`1pt, bq

si b † i † n`3 et elle est nulle sur les autres facteurs. Ainsi, le morphisme An`3 //À

06i1† j16n`3, s<ti1, j1u An`1pi1, j1qest donné par la matrice

M “ pMpi1, j1q,pi, jqq :à

06i† j6n`3, t<ti, juAn`1pi, jq //

à

06i1† j16n`3, s<ti1, j1uAn`1pi1, j1q

avec Mpi,tq,pi, jq “ u1j´1,t´1, Mpt, jq,pi, jq “ u1

it, Mpi, jq,pi, jq “ id et Mpi1, j1q,pi, jq “ 0 sinon.Le morphisme u1

rs : An`1pr, tq // An`1ps, tq est la composition de

An`1pr, tq //À

06i1† j16n`3, s<ti1, j1u An`1pi1, j1q M´1//À

06i† j6n`3, t<ti, ju An`1pi, jq // An`1ps, tq. (168)

Notons I “ tpi, jq; 0 6 i † j 6 n ` 3, t < ti, juu et I1 “ tpi1, j1q; 0 6 i1 † j1 6 n ` 3, s < ti1, j1uu.Notons J Ñ I et J1 Ñ I1 les sous-ensembles J “ tpi, jq; s P ti, juu et J1 “ tpi1, j1q; t P ti1, j1uu. Clairement,nous avons I r J “ I1 r J1 ; notons E cet ensemble. La sous-matrice pM↵,�q�, �PE est la matrice identité.Aussi, M↵1,�“0 si ↵1 P E et � P J. Il s’ensuit que M est une matrice triangulaire en bloc. Sa matrice inverseN “ pNpi, jq,pi1, j1qq est donc donnée par

N “¨

˝rpM↵1,↵q↵1PJ1,↵PJs´1 ´rpM↵1,↵q↵1PJ1,↵PJs´1 ˝ pM↵1, �q↵1PJ1, �PE

0 rpidq�PE, �1PEs

˛

‚.

Numérotons les éléments de J et J1 de la manière suivante

J “ tp0, sq, ¨ ¨ ¨ , ps ´ 1, sq, ps, s ` 1q, ¨ ¨ ¨ , ps, t ´ 1q, ps, t ` 1q, ¨ ¨ ¨ , ps, n ` 3qu,J1 “ tp0, tq, ¨ ¨ ¨ , ps ´ 1, tq, ps ` 1, tq, ¨ ¨ ¨ , pt ´ 1, tq, pt, t ` 1q, ¨ ¨ ¨ , pt, n ` 3qu.

Il s’ensuit une bijection J » J1 ; elle envoie pi, jq P J sur l’unique couple pi1, j1q P J1 tel que ti, ju X ti1, j1u ,H. Pour ces numérotations, la matrice pM↵1,↵q↵1PJ1,↵PJ est diagonale. Sa matrice inverse pN↵,↵1q↵PJ,↵1PJ1 estdonc donnée par Npi,sq,pi,tq “ u1

t´1,s´1, Nps,iq,pi,tq “ u1t´1,s, Nps,iq,pt,iq “ u1

ts et 0 sinon.

134 JOSEPH AYOUB

Enfin, rappelons que nous cherchons à calculer u1rs : An`1pr, tq // An`1ps, tq à l’aide de la composition

de (168). D’après ce qui précède, nous obtenons :

u1rs “

ÿ

06i†s

u1i,t´1 ˝ Npi,sq,pr,tq `

ÿ

s† j6n`3

u1j´1,t´1 ˝ Nps, jq,pr,tq “ u1

r,t´1 ˝ u1t´1,s´1.

Il s’ensuit que u1r,t´1 “ u1

rs ˝ u1s´1,t´1. C’est ce que nous cherchions à montrer. ⌅

Lemme 3.200. — Pour tout 0 6 i0 6 n ` 3, le morphisme An`3 //À

06i† j6n`3, i0<ti, ju An`1pi, jq est unisomorphisme.Démonstration. — Une façon économe d’obtenir le lemme est la suivante. Le cas i0 “ 0 est connu ; il s’agitd’une conséquence de l’Hypothèse 3.194(c). Ainsi, la construction dans la preuve de la Proposition 3.199est disponible pour ps, tq “ pi0, 0q quelque soit 1 6 i0 6 n ` 3. Or, la description de la matrice M montreclairement qu’elle est inversible. ⌅Corollaire 3.201. — Pour 0 6 r 6 n ` 2, posons urr “ idAn`1prq et, pour 0 6 r, s 6 n ` 2 avec r , s,

posons urs “ p´1qr`s`1u1rs. Alors, la famille d’isomorphismes turs : An`1prq „

// An`1psqu06r,s6n`2 est unedonnée de descente sur le Xn`1-schéma en groupe An`1.Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate des Propositions 3.198 et 3.199. ⌅Corollaire 3.202. — Il existe un X0-schéma en groupe commutatif D muni d’une donnée de descente

v : D ˆk X1„// D ˆk X1 et un isomorphisme de Xn`1-schémas a : An`1

„// D ˆk Xn`1 tels les diagrammes

suivants sont commutatifs :

An`1 ˆXn`1, d0 Xn`2aîd//

u01✏✏

pD ˆk Xn`1q ˆXn`1, d0 Xn`2 D ˆk Xn`2

v✏✏

et

An`1 ˆXn`1, d1 Xn`2aîd// pD ˆk Xn`1q ˆXn`1, d1 Xn`2 D ˆk Xn`2

An`1 ˆXn`1, di Xn`2aîd//

ui j

✏✏

pD ˆk Xn`1q ˆXn`1, di Xn`2

D ˆk Xn`2 pour 1 6 i, j 6 n ` 2.

An`1 ˆXn`1, d j Xn`2aîd// pD ˆk Xn`1q ˆXn`1, d j Xn`2

(Dans le premier diagramme ci-dessus et dans la suite du paragraphe, nous notons, pour m > 1, v :D ˆk Xm

„// D ˆk Xm l’isomorphisme donné par v : pD ˆk X1q ˆX1,p Xm

„// pD ˆk X1q ˆX1,p Xm modulo

l’isomorphisme évident avec p : Xn`2 // X1 le morphisme correspondant à l’application 1 ãÑ m d’imaget0, 1u.) De plus, le triplet pD, v, aq est unique à un unique isomorphisme près.Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate des Corollaires 3.191 et 3.201. ⌅Proposition 3.203. — Il existe un unique morphisme de Xn-schémas en groupe �n : Gn // D ˆk Xn tel

que les carrés suivants

Gn ˆXn, di Xn`1

�n`1piq✏✏

p´1qi�n// pD ˆk Xnq ˆXn, di Xn`1

An`1 „a

// D ˆk Xn`1

sont commutatifs pour tout 1 6 i 6 n ` 1. De plus, ce morphisme rend commutatif le diagramme suivant

Gn ˆXn, d0 Xn`1

�n`1p0q✏✏

�n// pD ˆk Xnq ˆXn, d0 Xn`1 D ˆk Xn`1

v„✏✏

An`1 „a

// D ˆk Xn`1.


Démonstration. — Supposons d’abord que i > 1 et considérons le digramme

Xn`2

di`1//

di

// Xn`1di// Xn. (169)

Nous disposons de deux Xn-schémas en groupe Gn et D ˆk Xn, et d’un morphisme de Xn`1-schémas engroupe

�n`1piq : Gn ˆXn, di Xn`1 // pD ˆk Xnq ˆXn, di Xn`1 (170)

donné par �n`1piq : Gnpiq // An`1 modulo les isomorphismes An`1 » D ˆk Xn`1 » pD ˆk Xnq ˆXn, di Xn`1.Montrons que le morphisme �n`1piq se descend en un morphisme de Xn-schémas. Puisque X1`‚ est un hyper-recouvrement générique de X0, il s’ensuit que pdi, di`1q : Xn`2 // Xn`1 ˆXn Xn`1 est plat et dominant. Il estdonc su�sant de montrer que les morphismes

Gn ˆXn, di Xn`1 ˆXn`1, di Xn`2�n`1piq

// pD ˆk Xnq ˆXn, di Xn`1 ˆXn`1, di Xn`2

Gn ˆXn, di Xn`1 ˆXn`1, di`1 Xn`2�n`1piq

// pD ˆk Xnq ˆXn, di Xn`1 ˆXn`1, di`1 Xn`2

coïncident modulo les isomorphismes canoniques. Autrement dit, il s’agit de comparer les compositions de

Gnpi, i ` 1q �n`1piq// An`1piq a

// D ˆk Xn`2 et de Gnpi, i ` 1q �n`1piq// An`1pi ` 1q a

// D ˆk Xn`2.

Or, d’après les triangles commutatifs de la Construction 3.197 et le Corollaire 3.202, nous disposons d’undiagramme commutatif

Gnpi, i ` 1q //

))

An`1piqui,i`1

✏✏ ""

An`1pi ` 1q // D ˆk Xn`2.

(Remarquer que ui,i`1 “ u1i,i`1.) Ceci permet de conclure : le morphisme �n`1piq se descend suivant (169)

en un morphisme de Xn-schémas en groupe �npiq : Gn // D ˆk Xn.Montrons maintenant que le morphisme p´1qi�npiq est indépendant de 1 6 i 6 n ` 1. Pour cela, fixons

des entiers 1 6 i † j 6 n ` 1 et montrons que p´1qi�npiq ˆXn,di, j`1 Xn`2 “ p´1q j�np jq ˆXn,di, j`1 Xn`2 ;ceci su�ra clairement. Or, par construction, ces morphismes sont égaux à p´1qi�n`1piq ˆXn`1, d j`1 Xn`2 etp´1q j�n`1p jq ˆXn`1, di Xn`2. Nous sommes donc ramenés à comparer les compositions de

Gnpi, j ` 1q �n`1piq// An`1p j ` 1q a

// D ˆk Xn`2 et de Gnpi, j ` 1q �n`1p jq// An`1piq a

// D ˆk Xn`2

Vu que les triangles

Gnpi, j ` 1q �n`1p jq//

�n`1piq ))

An`1piqu1

i, j`1✏✏

An`1p j ` 1q

et An`1piq a//

ui, j`1

✏✏

D ˆk Xn`2

An`1p j ` 1qa

;;

sont commutatifs, le résultat recherché découle de l’égalité ui, j`1 “ p´1qi´ ju1i, j`1.

Notons �n la valeur commune des p´1qi�npiq. Clairement, les carrés de l’énoncé sont commutatifs pour1 6 i 6 n ` 1. Pour terminer la preuve, il reste à considérer le cas i “ 0, i.e., vérifier que le seconddiagramme de l’énoncé commute. Il su�t de le faire après application de ´ ˆXn`1, d1 Xn`2. Autrement dit, il

136 JOSEPH AYOUB

su�t de montrer que le diagramme

Gn`1p0, 2q �n//

�n`1p0q✏✏

pD ˆk Xnq ˆXn, d0,2 Xn`2 D ˆk Xn`2

v✏✏

An`1p2q a// D ˆk Xn`2

est commutatif. Or, d’après la Construction 3.197 et le Corollaire 3.202, nous avons les diagrammes com-mutatifs

Gn`1p0, 2q �n`1p1q//

�n`1p0q ))

An`1p0qu1

02✏✏

An`1p2q

et An`1p0q a//

u02✏✏

D ˆk Xn`2

v✏✏


Vu que u102 “ ú02, ceci nous ramène à montrer que le carré

Gn`1p0, 2q´�n`1p1q✏✏

�n// pD ˆk Xnq ˆXn, d0,2 Xn`2


commute, ce qui est une conséquence de la construction du morphisme �n. ⌅

Proposition 3.204. — L’automorphisme v : D ˆk X1„// D ˆk X1 (cf. le Corollaire 3.202) est l’identité.

Démonstration. — On note G1‚ la source du morphisme n-élémentaire G1

‚// X‚ associé à la projection

pr2 : D ˆk Xn // Xn. On dispose d’un morphisme surjectif �‚ : G‚ // // G1‚ induit par le morphisme �n :

Gn // D ˆk Xn de la Proposition 3.203. De plus, le morphisme �‚ : G‚ // A‚ admet une factorisation�‚ “ �1

‚ ˝ �‚ pour un unique morphisme �1‚ : G1

‚// A‚. En e↵et, pour r > 0, le morphisme �n`r`1 :

Gn`r`1 // An`r`1 est la somme, sur les suites d’entiers 0 6 i1 † ¨ ¨ ¨ † ir`1 6 n ` r ` 1, de morphismesr`1ÿ

s“1

�n`1pisq : Gnpi1, ¨ ¨ ¨ , ir`1q //

r`1à

s“1Anpi1, ¨ ¨ ¨ , is´1, is`1, ¨ ¨ ¨ , ir`1q

où le membre de droite est identifié à un sous-groupe de An`r`1. Or, chacun des morphismes �n`1pisqse factorise par G1

npi1, ¨ ¨ ¨ , ir`1q d’après la Proposition 3.203. (Voir l’Hypothèse 3.194 pour les notationsemployées ci-dessus.)

Par ailleurs, notons H‚ la source du morphisme pn ` 1q-élémentaire H‚ // X‚ associé à la projectionpr2 : D ˆk Xn`1 // Xn`1. Considérons le morphisme de schémas semi-simpliciaux A‚ // H‚, induit parl’identification a : An`1 » D ˆk Xn`1 du Corollaire 3.202, et notons hd : G1

‚// H‚ sa composition avec

�1‚. Par construction et grâce à la Proposition 3.203, le morphisme hn`1 : G1

n`1// Hn`1 est donné par la

matrice lignepv,íd, id, ¨ ¨ ¨ , p´1qn`1idq :

à

06i6n`1D ˆk Xn`1 // D ˆk Xn`1. (171)

D’après l’Hypothèse 3.194(c), la composition de

An`2 // Hn`2 //à

16i6n`2Hn`1piq “ à

16i6n`2D ˆk Xn`2

est un isomorphisme. (Ci-dessus et dans la suite de la preuve, nous notons Hn`1piq pour Hn`1 ˆXn`1, di Xn`2 “D ˆk Xn`2.) Ainsi, il existe un morphisme surjectif de Xn`2-schémas en groupe

l “ pl0, ¨ ¨ ¨ , ln`2q : Hn`2 “ à

06i6n`2D ˆk Xn`2 // // D ˆk Xn`2


tel que l0 “ id et l ˝ �1n`2 “ 0. Nous pouvons déterminer l de la manière suivante. Pour 0 6 r † s 6 n ` 2,

l’image de la composition de

G1npr, sq phn`1ps´1q,hn`1prqq

// Hn`1prq ‘ Hn`1psq ãÑ Hn`2

est dans le noyau de l, i.e., lr ˝hn`1ps´1q`ls ˝hn`1prq “ 0. Identifions les Xn`2-schémas en groupe G1npr, sq,

Hn`1prq et Hn`1psq à D ˆk Xn`2. Puisque hn`1 est donné par la matrice (171), on déduit que hn`1p0q “ v etque hn`1ptq “ p´1qtid pour 1 6 t 6 n ` 1. Ainsi, en prenant r “ 0 et s “ 1, nous obtenons l0 ˝ v “ ´l1 ˝ v.Puisque l0 “ id et que v est inversible, il s’ensuit que l1 “ íd. Ensuite, en prenant 1 6 r † s 6 n ` 2, nousobtenons la relation p´1qrlr “ p´1qsls ce qui entraîne que p´1qsls “ id pour tout 0 6 s 6 n ` 2. Enfin, enprenant r “ 0 et s ° 2, nous obtenons la relation p´1qsls ˝ v “ l0 “ id. Ceci montre bien que v “ id. ⌅Construction 3.205. — Soit B un objet d’une catégorie additive C et soit r P N un entier naturel. Le

r-ième objet d’Eilenberg-Mac Lane K‚pB, rq est l’objet simplicial de C défini comme suit. Pour p P N, onpose

KppB, rq “ à

s:p⇣rB

où la somme porte sur les applications surjectives s : p ⇣ r. (Ainsi, si p † r on a KppB, rq “ 0 etKrpB, rq “ B.) Étant donnée une application croissante t : q Ñ p, le morphisme t˚ : KppB, rq // KqpB, rqest caractérisé par les deux propriétés suivantes :

(1) si l’application s ˝ t n’est pas surjective (avec s : p ⇣ r), alors le morphisme t˚ est nul sur le s-ièmefacteur direct de KppB, rq ;

(2) si l’application s ˝ t est surjective (avec s : p ⇣ r), alors le morphisme t˚ envoie le s-ième facteurdirect de KppB, rq identiquement sur le s ˝ t-ième facteur direct de KqpB, rq.

Aussi, il sera pratique de noter E‚pB, rq l’objet simplicial pr ´ 1q-tronqué de C tel que EppB, rq “ 0 si0 6 p 6 r ´ 2 et Er´1pB, rq “ B. ⇤

On résume quelques propriétés utiles des objets d’Eilenberg-Mac Lane dans le lemme suivant.Lemme 3.206. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 3.205.

(a) Il existe un unique morphisme d’objets simpliciaux �‚ : E‚pB, rq // K‚pB, rq qui soit donné en degrér par la matrice ligne

pid,íd, ¨ ¨ ¨ , p´1qridq :à

06i6rB // B. (172)

De plus, le morphisme �‚ est un épimorphisme scindé en tout degré.

(b) Il existe un unique morphisme d’objets simpliciaux ‚ : K‚pB, rq // E‚pB, r ` 1q qui soit donné endegré r par l’identité de B. De plus, le morphisme ‚ est un monomorphisme scindé en tout degré.

(c) L’objet simplicial K‚pB, rq est l’image de l’unique morphisme E‚pB, rq // E‚pB, r`1q donné en degrér par la matrice (172). (Ce morphisme n’est autre que ‚ ˝ �‚.)

(d) L’objet simplicial K1`‚pB, rq est pr ´ 1q-tronqué, i.e., K1`‚pB, rq » coskr´1K1`‚pB, rq “ E‚pB, rq.

Démonstration. — La manière la plus économe de démontrer ce lemme est d’utiliser la correspondance deDold-Kan (cf. [32, Chapter III, §2] par exemple). On rappelle que cette correspondance est une équivalencede catégories, notée N, entre la catégorie �opC des objets simpliciaux à valeurs dans C et la catégorieCpl>0pCq des complexes de chaînes dans C concentrés en degrés homologiques positifs. (La catégorie Csera supposée karoubienne, ce qui n’est pas une restriction sérieuse.) La plupart des assertions du lemme sedémontrent après application du foncteur N.

Si J‚ est un objet simplicial de C, le complexe N‚pJq admet deux descritions équivalentes :

NppJq “ kert[idi : Jp // ‘16i6p Jp´1u ou NppJq “ cokert\ j s j : ‘06 j6p´1Jp´1 Ñ Jpu. (173)

138 JOSEPH AYOUB

En utilisant la première description, on voit immédiatement que N‚pEpB, rqq “ N‚pEpB, 1qqrr ´ 1s et que

N‚pEpB, 1qq “”

¨ ¨ ¨ // 0 // 0 // B Bı.

En utilisant la seconde description, on voit immédiatement que N‚pKpB, rqq “ N‚pKpB, 0qqrrs et que

N‚pKpB, 0qq “ Br0s “”

¨ ¨ ¨ // 0 // 0 // Bı.

Les morphismes �‚ : N‚pEpB, rqq // N‚pKpB, rqq et ‚ : N‚pKpB, rqq // N‚pEpB, r ` 1qq sont donnés par

¨ ¨ ¨ // 0 //

✏✏

B B //

✏✏

0 //

✏✏

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ // 0 // B // 0 // 0 // ¨ ¨ ët

¨ ¨ ¨ // 0 //

✏✏

0 //

✏✏

B // 0 //

✏✏

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ // 0 // B B // 0 // ¨ ¨ ¨respectivement. Les assertions (a)–(d) sont alors immédiates mis à part deux points qui méritent qu’on s’yattarde :

(1) le calcul du morphisme �r : ErpB, rq // KrpB, rq ;(2) le fait que K1`‚pB, rq est pr ´ 1q-tronqué.Pour répondre à (1), on revient aux définitions et on trouve que �r est la composition de

ErpB, rq “ à

06i6r`1B

p‹q» B ‘˜

à

06 j6rB

¸pr1// B. (174)

(Ci-dessus, les indices 0 6 i 6 r ` 1 paramétrisent les injections �i : r ãÑ r ` 1 et les indices 0 6 j 6 rparamétrisent les surjection � j : r ` 1 ⇣ r.) On connait l’inverse de l’isomorphisme p‹q ci-dessus : ll estinduit par les projections

di : B ‘˜

à

06 j6rB

¸// B.

Clairement, on a d0pb, b0, ¨ ¨ ¨ , brq “ b ` b0. Pour 1 6 i 6 r, on a di “ pb, b0, ¨ ¨ ¨ , brq “ bi´1 ` bi. Enfin, ona dr`1pb, b0, ¨ ¨ ¨ , brq “ br. Ainsi, l’isomorphisme p‹q envoie pb0, ¨ ¨ ¨ , br`1q sur

pb0 ´ b1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qr`1br`1, b1 ´ b2 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qrbr`1, ¨ ¨ ¨ , br`1q.En particulier, la composition de (174) est bien donnée par la matrice ligne (172).

Pour répondre à (2), on calcule NpK1`‚pB, rqq en utilisant la seconde formule dans (173). On trouve alorsaussitôt le complexe de chaine r¨ ¨ ¨ 0 Ñ B ““ B Ñ 0 ¨ ¨ ¨ s où la première copie de B est placée en r ´ 1.Étant donné que N est une équivalence de catégories et que NpEpB, rqq est donné par le même complexe,on obtient un isomorphisme d’objets simpliciaux K1`‚pB, rq » E‚pB, rq. Ceci permet de conclure puisqueE‚pB, rq est pr ´ 1q-tronqué. ⌅Théorème 3.207. — Il existe un isomorphisme canonique de schémas semi-simpliciaux

A‚ » X‚ ˆk K‚pD, n ` 1q. (175)

Démonstration. — Avec les notations de la preuve de la Proposition 3.204, nous avons clairement G1‚ “

X‚ ˆk E‚pD, n ` 1q et H‚ “ X‚ ˆk E‚pD, n ` 2q. Ainsi, cette preuve fournit une suite de morphismes :

X‚ ˆk E‚pD, n ` 1q �‚// // A‚

‚// X‚ ˆk E‚pD, n ` 2q. (176)

Puisque l’automorphisme v de D ˆk X1 est l’identité (d’après la Proposition 3.204), la composition de (176)est l’unique morphisme donné en degré n ` 1 par la matrice ligne pid,íd, ¨ ¨ ¨ , p´1qn`1idq. D’après leLemme 3.206(d), l’image de ‚ ˝ �‚ est canoniquement isomorphe à X‚ ˆk K‚pD, n ` 1q. Il s’ensuit unmorphisme surjectif A‚ // // X‚ ˆk K‚pD, n ` 1q qui est un isomorphisme en degré n ` 1. Étant donné queA1`‚ // X1`‚ est n-élémentaire et que K1`‚pD, n ` 1q est n-tronqué, ce morphisme est un isomorphisme entout degré. ⌅


On termine ce paragraphe en appliquant les résultats obtenus ci-dessus à la situation qui nous intéresse.Théorème 3.208. — Reprenons les hypothèses et les notations du §3.14 et notamment celles du Théo-

rème 3.188. Il existe, à un unique isomorphisme près, un pro-K�“0-schéma en groupe commutatif ⇧�n`1 “⇧�n`1pKq et un isomorphisme de rPpnq

‚ -schémas en groupe :

Apn`1q‚ » rPpnq

‚ ˆK�“0 K‚p⇧�n`1, n ` 1q. (177)

Définition 3.209. — Soit K un �-corps de caractéristique nulle et algébriquement clos. Pour n > 2, lepro-schéma en groupe ⇧�n pKq est le n-ième groupe fondamental di↵érentiel du �-corps K. On étend cecià n “ 1 en posant ⇧�1 pKq “ Gal�p pK{Kq avec pK “ OpQ0q. (Bien entendu, les groupes fondamentauxdi↵érentiels dépendent du choix d’une hyper-clôture di↵érentielle de K. p8q)

4. Calculs de groupes de cohomologie et de type d’homotopie feuilletés

Dans la Section 3, nous avons developpé la théorie de Galois di↵érentielle supérieure d’un �-corps decaractéristique nulle supposé algébriquement clos. Nous avons aussi défini le type d’homotopie feuilletéd’un tel �-corps et décrit sa tour de Postnikov. Le but de la présente section et de poursuivre l’étude dutype d’homotopie feuilleté et de le calculer complètement en terme d’objets plus classiques. Ensuite, nouscalculerons la cohomologie feuilleté de certains faisceaux particuliers qui jouerons un rôle important dansles applications motiviques.

4.1. Quelques outils techniques, I. —Dans cette sous-section, on regroupe quelques outils techniques qui serviront tout au long de cette section.

On fixe un corps k qu’on suppose de caractéristique nulle.Proposition 4.1. — Soit f‚ : Y‚ // X‚ un morphisme de k-schémas semi-simpliciaux de type fini. On sup-pose que f‚ est un hyper-recouvrement générique relatif, et que X1`‚ et Y1`‚ sont des hyper-recouvrementsgénériques de X0 et Y0 respectivement. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k bornéà gauche et projectivement ét-fibrant. Alors, le morphisme

Tot±

F‚p⌘X‚q // Tot±

F‚p⌘Y‚q,induit par f‚, est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Nous suiverons les grandes lignes de la preuve du Théorème 3.144. En raisonnantcomme dans l’étape 1 de cette preuve, nous pouvons supposer que F‚ “ Ir0s avec I un faisceau étaleinjectif sur Sm{k.

On procède par l’absurde en supposant que le complexe J‚ “ CônetIp⌘X‚q Ñ Ip⌘Y‚qu n’est pas acyclique.Soit r le plus petit entier tel que HrpJq , 0. Clairement r > ´1. On supposera que le morphisme f‚ est choiside sorte que r est minimal.

Formons le k-schéma semi-bisimplicial C‚pX1`‚{X‚q et notons, pour m P N, Xpmq‚ “ CmpX1`‚{X‚q. Il

découle du Corollaire 3.136 et du Lemme 3.145 que Xpmq1`‚ est un hyper-recouvrement générique de Xpmq

0 .Posons Ypmq

‚ “ Y‚ ˆX‚ Xpmq‚ . Alors, Ypmq

1`‚ est un hyper-recouvrement générique de Ypmq0 . De plus, le Lemme

3.133(b) entraîne que Ypmq‚ // Xpmq

‚ est un hyper-recouvrement générique relatif. D’après le choix de r, lecomplexe pmqJ‚ “ CônetIp⌘Xpmq

‚q Ñ Ip⌘Ypmq

‚qu est acyclique en degrés cohomologiques strictement inférieurs

à r, i.e., HippmqJ‚q “ 0 si i † r. De plus, le cas m “ 0 est spécial puisque Xp0q‚ et Yp0q

‚ sont tous les deux deshyper-recouvrements génériques de X0 et le Théorème 3.144 entraîne que p0qJ‚ est acyclique.

Pour terminer, considérons le double complexe J‚,‚ donné par Jm,n “ pmqJn. Pour tout n P Z, le morphismeJn // J‚,n est un quasi-isomorphisme : ceci est une conséquence directe du Théorème 3.112. Il s’ensuit unquasi-isomorphisme J‚ » Tot

±J‚,‚. En inspéctant la suite spectral convergente vers la cohomologie de

8. Toutefois, on s’attend à ce que cette dépendance soit seulement à un isomorphisme non unique près.

140 JOSEPH AYOUB

Tot±

J‚,‚ et en utilisant que HipJm,‚q “ 0 si i † r ou si m “ 0, nous obtenons que HrpJq “ 0. Ceci contreditnotre hypothèse de départ. ⌅

Étant donné un objet bisimplicial A‚,‚ dans une catégorie abélienne, le théorème d’Eilenberg-Zilber af-firme que les complexes Tot A‚,‚ et diag‚pAq sont canoniquement quasi-isomorphes (voir par exemple [53,Theorem 8.5.1]). Ceci est faux en général pour les objets semi-bisimpliciaux. Néanmoins, on a le résultatsuivant.Proposition 4.2. — Soient X‚ et Y‚ deux k-schémas semi-simpliciaux de type fini. On suppose que X1`‚

et Y1`‚ sont des hyper-recouvrements génériques de X0 et Y0. On considère le k-schéma semi-bisimplicialZ‚,‚ “ X‚ ˆk Y‚. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et ét-fibrant.Alors, le morphisme d’Alexander-Whitney

Tot±

F‚p⌘Z‚,‚q // Tot±

F‚p⌘diag‚pZqqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — En raisonnant comme dans l’étape 1 de la preuve du Théorème 3.144, on se ramène aucas où F‚ “ Ir0s avec I un faisceau étale injectif sur Sm{k.

Supposons d’abord que X‚ est un hyper-recouvrement générique d’un k-schéma X´1. Il s’ensuit queZ‚,n // X´1 ˆk Yn est un hyper-recouvrement générique pour tout n P N. Le Théorème 3.144 entraîne doncque le morphisme Ip⌘X´1ˆkYnq // Ip⌘Z‚,nq est un quasi-isomorphisme. Nous en déduisons que le morphisme

Ip⌘X´1ˆkY‚q // Tot±

Ip⌘Z‚,‚qest aussi un quasi-isomorphisme. D’autre part, par le Lemme 3.133(b), le morphisme diag‚pZq // X´1ˆkY‚est un hyper-recouvrement générique relatif. D’après la Proposition 4.1, le morphisme

Ip⌘X´1ˆkY‚q // Ip⌘diag‚pZqqest un quasi-isomorphisme. Ceci permet de conclure dans ce cas.

Pour le cas général, on va encore une fois adapter la seconde partie de la preuve du Théorème 3.144. Plusprécisément, on procède par l’absurde en supposant que le complexe J‚ “ CônetTot

±Ip⌘Z‚,‚q // Ip⌘diag‚pZqqu

n’est pas acyclique. Soit r le plus petit entier tel que HrpJq , 0. Clairement r > ´1. On supposera que X‚est choisi de sorte que r est minimal.

Formons le k-schéma semi-bisimplicial C‚pX1`‚{X‚q et notons, pour m P N, Xpmq‚ “ CmpX1`‚{X‚q.

D’après le Corollaire 3.136 et le Lemme 3.145, Xpmq1`‚ est un hyper-recouvrement générique de Xpmq

0 . Po-sons Zpmq

‚,‚ “ Xpmq‚ ˆk Y‚. D’après le choix de r, le complexe pmqJ‚ “ CônetTot

±Ip⌘Zpmq

‚,‚q // Ip⌘diag‚pZpmqqqu

est acyclique en degrés cohomologiques strictement inférieurs à r, i.e., HippmqJ‚q “ 0 si i † r. De plus, lecas m “ 0 est spécial puisque Xp0q

‚ est un hyper-recouvrement génériques de X0 : le cas particulier traitéauparavant montre que p0qJ‚ est acyclique. Le reste est pareil que la fin de la preuve de la Proposition 4.1.⌅

On passe maintenant à un résultat un peu plus spécifique.Théorème 4.3. — Soient G un k-schéma en groupe de type fini et G‚ le k-schéma simplicial associé (i.e.,

son classifiant). Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et ét-fibrant.Alors, le morphisme canonique

Tot±

F‚pG‚q // Tot±

F‚p⌘G‚qest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — L’énoncé ci-dessus sera obtenu comme un cas particulier du Théorème 3.111 appliquéà un site convenable S. On divise la preuve en deux parties. Dans la première on introduit le site S et dansla seconde on applique le Théorème 3.111.Étape 1 : On définit le site S de la manière suivante. Les objets de S sont les k-schémas lisses X munisd’une action à gauche de G et les morphismes sont les k-morphismes G-équivariants. La topologie de Sest engendrée par la prétopologie des familles de k-morphismes G-équivariants t fi : Xi Ñ XuiPI qui sontcouvrantes pour la topologie étale (condition vérifiable après oubli de l’action de G).


On note : Sm{k // S le foncteur qui envoie un k-schéma lisse U sur G ˆk U, où G agit sur le premierfacteur par multiplication à gauche et trivialement (i.e., par l’identité) sur le second facteur. Ce foncteurest un adjoint à gauche du foncteur « oubli de l’action de G ». De plus, pour tout X P S, le morphisme decounité G ˆk X // X, égal au morphisme définissant l’action de G sur X, est couvrant pour la topologieétale.

On obtient su�samment de points du site S grâce à la construction suivante. Soient X un k-schéma lisseet x // X un point géométrique. On note Xhs

x le hensélisé strict de X en x, qu’on considère aussi comme unpro-k-schéma lisse. Alors, G ˆk Xhs

x , vu comme pro-objet de S, est un point du site S. (Pour s’en convaincre,soit f : Y // G ˆk Xhs

x un morphisme G-équivariant de k-schémas, couvrant pour la topologie étale. Alors,Y // Xhs

x est aussi couvrant pour la topologie étale et, par conséquence, admet une section s : Xhsx

// Y . Ils’ensuit alors un morphisme G-equivariant s : G ˆk Xhs

x// Y et la composition de

G ˆk Xhsx

s// Y

f// G ˆk Xhs

x

est un isomorphisme G-équivariant de Xhsx -schémas.) De ceci, on déduit la première moitiée de l’assertion

suivante.

(a) Le foncteur ˚ : CplpPShpS,⇤qq // CplpPShpSm{k,⇤qq préserve les équivalences ét-locales et lesobjets projectivement ét-fibrants.

La seconde moitiée, i.e., la préservation des objets projectivement ét-fibrants, découle du fait plus précisque ˚ est un foncteur de Quillen à gauche. Il s’agit là d’un cas particulier de [6, Théorème 4.4.60].

On note � : Sm{k // S le foncteur qui envoie un k-schéma lisse U sur lui-même muni de l’actiontriviale de G. Si E est un préfaisceau sur Sm{k et X un k-schéma lisse, on a un isomorphisme canoniquep�˚EqpG ˆk Xq » EpXq. En e↵et, par définition, p�˚EqpG ˆk Uq est la colimite, suivant les morphismesG-équivariantes G ˆk X // U où U est muni de l’action triviale, des EpUq. Or, il existe un tel morphismeuniversel, à savoir, la projection G ˆk X // X. On obtient ainsi une deuxième assertion qui servira dans laseconde partie de la preuve.

(b) Il existe un isomorphisme canonique de foncteurs id » ˚ ˝ �˚.

Étape 2 : Le site S possède une D-structure (au sens de la Définition 3.104) donnée par les ouverts densesG-équivariants.

Le morphisme f : G // Specpkq, où G agit sur lui-même par translation à gauche, est un recouvrementpour la topologie étale sur S. On peut donc lui appliquer le Théorème 3.111. (Lorsque le groupe G estdiscret, i.e., de dimension nulle, il n’y a rien à montrer ; on peut donc supposer que dimpGq > 1, ce quientraine que l’ouvert G-équivariant GˆkGrdiagpGq est dense.) Ainsi, si L‚ est un complexe de préfaisceauxde ⇤-modules sur S supposé projectivement ét-fibrant et borné à gauche, le morphisme évident

L‚pSpecpkqq // Tot±

L‚p⌘SC‚pG{kqq (178)

est un quasi-isomorphisme. (Ici, on a noté ⌘SX le pro-objet des ouverts denses G-équivariants d’un k-schémaX muni d’une action de G.)

On dispose d’un morphisme G-équivariant de k-schémas semi-simpliciaux q‚ : C‚pG{kq // G‚, où Gagit trivialement sur G‚. En degré n P N, il est donné par qnpx0, ¨ ¨ ¨ , xnq “ px1x´1

0 , ¨ ¨ ¨ , xnx´1n´1q. Moins

canoniquement, on a en chaque degré une identification G-équivariante CnpG{kq » G ˆk Gn qui dépend duchoix d’un entier 0 6 i 6 n. Elle est donnée par px0, ¨ ¨ ¨ , xnq pxi, x1x´1

0 , ¨ ¨ ¨ , xnx´1n´1q. Ces identifications

ne sont pas compatibles avec les structures simpliciaux. Néanmoins, ils su�sent pour obtenir un isomor-phisme canonique (de pro-objets) : ⌘S

C‚pG{kq » C‚pG{kq ˆq,G‚ ⌘G‚ . Du quasi-isomorphisme (178) on déduitalors que le morphisme évident

Tot±

L‚pC‚pG{kqq // Tot±

L‚pC‚pG{kq ˆq,G‚ ⌘G‚q (179)

est un quasi-isomorphisme.

142 JOSEPH AYOUB

Supposons maintenant que L‚ est un remplacement projectivement ét-fibrant du complexe �˚F‚ (avec F‚comme dans l’énoncé). L’équivalence ét-locale �˚F‚ // L‚ induit des quasi-isomorphismes

F‚pGnq // L‚pCnpG{kqq et F‚p⌘Gnq // L‚pCnpG{kq ˆGn ⌘Gnq. (180)

Pour vérifier cela, on peut utiliser l’un des isomorphismes G-équivariants CnpG{kq » G ˆk Gn décritsci-dessus. Grâce à la propriété (b) de l’étape précédente, les morphismes en question s’écrivent alors

F‚pGnq » ˚�˚F‚pGnq // ˚L‚pGnq et F‚p⌘Gnq » ˚�˚F‚p⌘Gnq // ˚L‚p⌘Gnq. (181)

Or, d’après la propriété (a), le morphisme F‚ // ˚L‚ est une équivalence ét-locale entre des complexesprojectivement ét-fibrants. Ce morphisme est donc un quasi-isomorphisme de complexes de préfaisceaux.Ceci entraîne que les morphismes (181) sont des quasi-isomorphismes. Il en est donc de même des mor-phismes (180).

Il est maintenant aisé de conclure. En e↵et, d’après ce qui précède, on a des quasi-isomorphismes cano-niques

Tot±

F‚pG‚q // Tot±

L‚pC‚pG{kqq et Tot±

F‚p⌘G‚q // Tot±

L‚pC‚pG{kq ˆq,G‚ ⌘G‚q.Le résultat recherché découle alors du fait que (179) est un quasi-isomorphisme. ⌅Corollaire 4.4. — Soit B un k-schéma en groupe commutatif de type fini et, pour r > 1 fixé, soit K‚pB, rqson r-ième objet d’Eilenberg-Mac Lane. Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de⇤-modules sur Sm{k bornéà gauche et ét-fibrant. Alors, le morphisme canonique

Tot±

F‚pK‚pB, rqq // Tot±

F‚p⌘K‚pB,rqqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Lorsque r “ 1, il s’agit du cas particulier « G commutatif » du Théorème 4.3. Noussupposerons que r > 2 et nous raisonnons pas récurrence en supposant le résultat connu pour r ´ 1.

Notons X‚ “ K‚pB, rq et Y‚ “ E‚pB, rq. D’après le Lemme 3.206(a), nous disposons d’un morphismecanonique de k-schémas en groupe commutatifs simpliciaux Y‚ // X‚. Il correspond, via Dold-Kan, aumorphisme de complexes

rB Bs // rB // 0s (182)où les « B » sont placés en degrés homologiques r et r ´ 1 dans le premier complexe, et en degré r dans lesecond ; le morphisme en quesion est donné par l’identité en degré r.

Comme d’habitude, on considère le k-schéma semi-bisimplicial C‚pY‚{X‚q. Pour m P N, le k-schéma engroupe commutatif semi-simplicial CmpY‚{X‚q correspond, par Dold-Kan, au produit fibré

m foishkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkjrB Bs ˆrBÑ0s ¨ ¨ ¨ ˆrBÑ0s rB Bs » rB Bs ‘ r0 // Bs‘m´1. (183)

Il s’ensuit un isomorphisme de k-schémas simpliciaux

CmpY‚{X‚q » diag‚pY ˆk KpB‘m´1, r ´ 1qq. (184)

Revenons maintenant à notre problème. Puisque le morphisme Y‚ // X‚ est couvrant pour la topolo-gie étale en chaque degré, nous avons un quasi-isomorphisme Tot

±F‚pX‚q » Tot

±F‚pC‚pY‚{X‚qq. De

même, le Théorème 3.112 fournit un quasi-isomorphisme Tot±

F‚p⌘X‚q » Tot±

F‚p⌘C‚pY‚{X‚qq. Ainsi, pourconclure, il est su�sant de montrer que le morphisme

Tot±

F‚pCmpY‚{X‚qq // Tot±

F‚p⌘CmpY‚{X‚qq (185)

est un quasi-isomorphisme. Notons Z‚ “ K‚pBbm´1, r ´ 1q. D’après (184), le morphisme (185) se réécrit

Tot±

F‚pdiagpY‚ ˆk Z‚qq // Tot±

F‚p⌘diagpY‚ˆkZ‚qq. (186)

Or, Y‚ est un hyper-recouvrement de Specpkq et, par conséquence, le morphisme diagpY‚ ˆk Z‚q // Z‚ est unhyper-recouvrement générique relatif. Ainsi, d’après le théorème d’Eilenberg-Zilber, le premier membre de


(186) est quasi-isomorphe à Tot±

F‚pZ‚q. De même, la Proposition 4.1 entraîne que le second membre de(186) est quasi-isomorphe à Tot

±F‚p⌘Z‚q. Nous nous sommes donc ramenés à montrer que le morphisme

Tot±

F‚pZ‚q // Tot±

F‚p⌘Z‚q (187)est un quasi-isomorphisme. Ceci est vrai par l’hypothèse de récurrence. ⌅

4.2. Torseurs sur des schémas semi-simpliciaux et cohomologie. —Dans toute la sous-section, on fixe un corps k qu’on supposera de caractéristique nulle. On commence

par préciser la notion de torseur, dans le contexte des k-schémas semi-simpliciaux.Définition 4.5. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial et soit A‚ un k-schéma en groupe semi-simplicial.Un A‚-torseur sur X‚ est un k-schéma semi-simplicial E‚ muni de deux morphismes de k-schémas semi-simpliciaux E‚ // X‚ et diag‚pA ˆk Eq // E‚ qui font de En un An-torseur sur Xn pour tout n P N.

Nous noterons TorspX‚; A‚q l’ensemble des classes d’isomorphisme de A‚-torseurs sur X‚. Le cas quinous intéressera le plus est celui où A‚ “ K‚pB, rq avec r > 1 et B un k-schéma en groupe commutatif ;nous noterons alors TorspX‚; B, rq cet ensemble.Lemme 4.6. — L’ensemble TorspX‚; A‚q est contravariant en X‚ et covariant en A‚. Si A‚ est commutatif,

cet ensemble est naturellement un groupe commutatif.Démonstration. — La contravariance en X‚ est donnée par changement de base. Si a‚ : A‚ // A1

‚ est unmorphisme de k-schémas en groupe semi-simpliciaux, l’application TorspX‚; A‚q // TorspX‚; A1

‚q envoie laclasse d’isomorphisme d’un A‚-torseur E‚ sur la classe d’isomorphisme du A1

‚-torseur A1‚ Â‚

k E‚, appeléle poussé en avant de E‚ suivant a‚. (Rappelons que A1

n Ânk En est le quotient du k-schéma A1

n ˆk En parl’action diagonale de An ; ce dernier agit sur A1

n par translation à droite via le morphisme an.)Supposons que A‚ est commutatif. Nous disposons alors d’un morphisme de k-schémas en groupe semi-

simpliciaux diag‚pAˆk Aq // A‚ donné par la loi de composition de A‚. Ceci permet de définir la somme dedeux A‚-torseurs E‚ et F‚ : c’est l’image du diagpA‚ˆkA‚q-torseur E‚ˆX‚ F‚ par l’application TorspX‚; diagpA‚ˆkA‚qq // TorspX‚; A‚q. Il s’ensuit une structure de groupe abélien sur TorspX‚; A‚q. Son élément neutre estdonné par la classe du A‚-torseur trivial diagpA‚ ˆk X‚q. ⌅Remarque 4.7. — Soit a‚ : A‚ // A1

‚ un morphisme de k-schémas en groupe semi-simpliciaux.Si E‚ est un A‚-torseur sur X‚ et E1

‚ “ A1‚ Â‚

k E‚ est le A1‚-torseur obtenu en poussant en avant suivant a‚,

on a un morphisme canonique E‚ // E1‚ de k-schémas semi-simpliciaux au-dessus de X‚. Il est donné par

la composition deE‚ » A‚ Â‚

k E‚ // A1‚ Â‚

k E‚ “ E1‚

Ce morphisme E‚ // E1‚ est A‚-équivariant.

Réciproquement, si E‚ et E1‚ sont des torseurs sous A‚ et A1

‚ définis sur X‚, un morphisme A‚-équivariantE‚ // E1

‚ compatible aux projections sur X‚ induit un isomorphisme A1‚ Â‚

k E‚ » E1‚ de A1

‚-torseurs. Il estsimplement donné par la composition de

A1‚ Â‚

k E‚ // A1‚ Â‚

k E1‚ » E1

‚.

(C’est nécessairement un isomorphisme puisqu’il en est ainsi de tout morphisme de A1‚-torseurs sur X‚.) ⇤

Le but de cette sous-section est de lier les ensembles TorspX‚; A‚q à des groupes de cohomologie étale.Nous ne prétendons pas à une généralité maximale : nous sommes seulement intéressés par le cas où A‚est un objet d’Eilenberg-Mac Lane. Le résultat suivant donne une description en termes plus classiques dugroupoïde des torseurs sur un k-schéma semi-simplicial.Proposition 4.8. — Soient X‚ un k-schéma semi-simplicial, B un k-schéma en groupe commutatif et

r P N r t0u. Considérons le groupoïde QpX‚; B, rq formé des couples pT,↵q où T est un B-torseur sur Xr et

↵ :π

06i6r`1

pT ˆXr , di Xr`1{Xr`1q // B (188)

un k-morphisme Br`2-équivariant : le groupe Br`2 “ Àr`1i“0 B agissant sur B par translation via le mor-

phisme pid,íd, ¨ ¨ ¨ , p´1qr`1idq :Àr`1

i“0 B // B.

144 JOSEPH AYOUB

Il existe alors un foncteur pleinement fidèle TpX‚; B, rq // QpX‚; B, rq où TpX‚; B, rq est le groupoïdedes K‚pB, rq-torseurs sur X‚. L’image essentielle de ce foncteur est formée des couples pT,↵q tels que lacomposition de

π

06i† j6r`2

pT ˆXr , di j Xr`2{Xr`2q //

π

06s6r`2

π

06e6r`1

pT ˆXr , de˝ds Xr`2{Xr`2q±r`2

s“0 ↵//

à

06s6r`2B

pid,íd,¨¨¨ q// B (189)

est constante, d’image l’élément neutre de B.Démonstration. — Considérons la suite exacte de k-schémas en groupe commutatifs semi-simpliciaux :

0 // K‚pB, rq // E‚pB, r ` 1q // E‚pB, r ` 2q // E‚pB, r ` 3q. (190)

Étant donné un K‚pB, rq-torseur F‚ sur X‚, on déduit, en poussant en avant suivant les morphismes ci-dessus,des morphismes canoniques de k-schémas semi-simpliciaux au-dessus de X‚ :

F‚ // H‚ // diag‚pEpB, r ` 2q ˆk Xq // diag‚pEpB, r ` 3q ˆk Xq. (191)

(Le point est que le poussé en avant d’un torseur par un morphisme nul est canoniquement isomorphe autorseur trivial.) Notons u‚ : H‚ // E‚pB, r ` 2q le morphisme déduit de la seconde flèche de (191) encomposant avec la projection sur le premier facteur.

Puisque KrpB, rq “ ErpB, r ` 1q, nous avons une identification Fr “ Hr. Puisque E‚pB, r ` 1q est r-tronqué, le morphisme H‚ // X‚ est r-élémentaire. Il s’ensuit alors une identification

Hr`1 “π

06i6r`1

pFr ˆXr , di Xr`1{Xr`1q.

Modulo cette identification, le foncteur TpX‚; B, rq // QpX‚; B, rq envoie F‚ sur le couple pFr, ur`1q. Ils’agit bien d’un objet de QpX‚; B, rq : en e↵et, le morphisme ↵ est Er`1pB, r ` 1q “ Br`2-équivariant et lemorphisme Er`1pB, r`1q “ Br`2 // Er`1pB, r`2q “ B est donné par la matrice ligne pid,íd, ¨ ¨ ¨ , p´1qr`1idq(cf. le Lemme 3.206). De plus, la dernière condition de l’énoncé est satisfaite : en e↵et, pour le couplepFr, ur`1q, la composition de (189) est égale à la composition des morphismes

Hr`2ur`2// Er`2pB, r ` 2q // Er`2pB, r ` 3q “ B.

L’assertion recherchée découle donc de l’exactitude de la suite (190), et plus précisément, du fait que lacomposition des deux dernières flèches est nulle.

Réciproquement, soit pT,↵q un objet de QpX‚; B, rq satisfaisant à la dernière condition de l’énoncé. No-tons Y‚ la source du morphisme r-élémentaire Y‚ // X‚ tel que Yr “ T . Alors, Y‚ est un E‚pB, r ` 1q-torseur. Puisque E‚pB, r ` 2q est pr ` 1q-tronqué, le morphisme ↵ : Yr`1 // B induit un morphisme dek-schémas semi-simpliciaux v‚ : Y‚ // E‚pB, r ` 2q. Ce morphisme est E‚pB, r ` 1q-équivariant puisque ↵est Er`1pB, r ` 1q-équivariant. (D’après la Remarque 4.7, il permet donc d’identifier le torseur trivial avecle poussé en avant de Y‚ par E‚pB, r ` 1q // E‚pB, r ` 2q.) La condition sur la composition de (189) setraduit par la nullité de la composition de

Y‚ // E‚pB, r ` 2q // E‚pB, r ` 3q (192)

en degré r ` 2. Étant donné que E‚pB, r ` 3q est pr ` 2q-tronqué, cette composition est en fait nulle entout degré. L’exactitude de la suite (190) montre alors que l’image de Y‚ dans E‚pB, r ` 2q est exactementK‚pB, r ` 1q. En particulier, cette image contient la section nulle. Il s’ensuit que

F‚ “ Y‚ ˆK‚pB,r`1q, 0 Specpkq “ Y‚ Ê‚pB,r`1q, 0 Specpkqest non vide en tout degré : c’est alors un K‚pB, rq-torseur. C’est l’image du couple pT,↵q par l’équivalenceinverse au foncteur construit ci-dessus. ⌅Remarque 4.9. — Gardons les notations de la Proposition 4.8. Soit T un B-torseur sur Xr. Alors, l’exis-

tence d’un morphisme Br`2-équivariant (188) équivaut à la trivialité du B-torseur sur Xr`1 obtenu en prenantla somme alternée des B-torseurs T ˆXr , di Xr`1. De plus, la donnée du morphisme ↵ équivaut à la donnéed’une trivialisation de ce torseur. ⇤


Définition 4.10. — Reprenons les notations de la Définition 4.5. Nous dirons qu’un A‚-torseur E‚ sur X‚est essentiellement simplicial si, pour tout n P N, le An-torseur En est trivial, i.e., isomorphe à An ˆk Xn.

Nous noterons TorsespX‚; A‚q Ñ TorspX‚; A‚q le sous-ensemble des classes d’isomorphismes de A‚-torseurs essentiellement simpliciaux. Lorsque A‚ “ K‚pB, rq, nous noterons aussi TorsespX‚; B, rq ce sous-groupe.Lemme 4.11. — Le sous-ensemble TorsespX‚, A‚q Ñ TorspX‚; A‚q est contravariant en X‚ et covariant en

A‚. Si A‚ est commutatif, ce sous-ensemble est un sous-groupe.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la preuve du Lemme 4.6. ⌅

Lemme 4.12. — Reprenons les notations de la Proposition 4.8. Soit F‚ un K‚pB, rq-torseur sur X‚. Lesconditions suivantes sont équivalentes :

(a) F‚ est essentiellement simplicial,

(b) le B-torseur Fr sur Xr est trivial,

(c) l’image de F‚ par TpX‚; B, rq // QpX‚; B, rq est isomorphe à un couple de la forme pB ˆk Xr, �q.

Démonstration. — L’implication (a)ñ(b) et l’équivalence (b)ô(c) sont évidentes. L’implication (b)ñ(a)découle du fait que K1`‚pB, rq est pr´1q-tronqué (voir le Lemme 3.206(d)) ce qui entraîne que le morphismeF1`‚ // X1`‚ est pr ´ 1q-élémentaire. ⌅

Construction 4.13. — Soient X‚ un k-schéma semi-simplicial, B un k-schéma en groupe commutatif etr P N r t0u. Nous allons construire une application « classe caractéristique »

c` : TorsespX‚; B, rq // Hr`1pBpX‚qq. (193)

Pour cela, considérons un K‚pB, rq-torseur E‚ essentiellement simplicial sur X‚ et notons pT,↵q son imagepar le foncteur TpX‚; B, rq // QpX‚; B, rq de la Proposition 4.8. Grâce au Lemme 4.12, nous fixons unisomorphisme pT,↵q » pB ˆk Xr, �q.

Le morphisme � : Br`2 ˆk Xr`1 Ñ B étant Br`2-équivariant, il est déterminé par l’image de la sectionnulle que nous noterons f P BpXr`1q. Ainsi, nous avons

�pb0, ¨ ¨ ¨ , br`1, xq “ b0 ´ b1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qr`1br`1 ` f pxq. (194)

Il s’ensuit aussitôt que la dernière condition de l’énoncé de la Proposition 4.8 est satisfaite pour le couplepB ˆk Xr, �q si et seulement si f P BpXr`1q est un cocycle, i.e., si

∞r`2i“0 p´1qi f ˝ di “ 0 dans BpXr`2q.

Enfin, choisissons un autre isomorphisme pT,↵q » pB ˆk Xr, �1q. Il existe alors g P BpXrq tel que latranslation par g sur B ˆk Xr échange � et �1, i.e., �1pb0, ¨ ¨ ¨ , br`1, xq “ �pb0 ` g, ¨ ¨ ¨ , br`1 ` g, xq. Ainsi, sif 1 P BpXr`1q est l’image de la section nulle par �1, nous obtenons f 1 “ f ` ∞r`1

i“0 p´1qig ˝ di. Ceci montreque la classe de f dans Hr`1pBpX‚qq est indépendante du choix de l’isomorphisme pT,↵q » pB ˆk Xr, �q.Elle ne dépend que de E‚ et elle sera notée c`pEq. ⇤

Proposition 4.14. — L’application (193) est un isomorphisme de groupes naturel en X‚ et B.Démonstration. — La bijectivité découle de la Proposition 4.8. En e↵et, si l’on part d’un cocyle f PBpXr`1q, on peut définir un couple pB ˆk Xr, �q par la formule (194). Il lui correspond un K‚pB, rq-torseurE‚. Il est alors immédiat que c`pEq est représentée par f .

De même, soient E‚ et E1‚ deux K‚pB, rq-torseurs sur X‚ correspondant aux couples pB ˆk Xr, �q et pB ˆk

Xr, �1q. Notons f , f 1 P BpXr`1q les images des sections nulles par � et �1. Si c`pEq “ c`pE1q, il existeg P BpXrq tel que f 1 “ f `∞r`1

i“0 p´1qig˝di. La translation par g induit alors un isomorphisme pBˆk Xr, �q »pB ˆk Xr, �1q. Les torseurs E‚ et E1

‚ sont donc aussi isomorphes.La naturalité est facile et sera laissée au lecteur : elle entraîne aussitôt la compatibilité avec les lois de

groupe. ⌅

Nous voudrions étendre la « classe caractéristique » aux torseurs qui ne sont pas nécessairement supposésessentiellement simpliciaux. Pour cela, nous utiliserons le lemme simple suivant.

146 JOSEPH AYOUB

Lemme 4.15. — Soient X‚ un k-schéma semi-simplicial, B un k-schéma en groupe commutatif et r PNrt0u. Pour tout K‚pB, rq-torseur E‚ sur X‚, il existe un hyper-recouvrement étale X1

‚// X‚ r-élémentaire

tel que E1‚ “ E‚ ˆX‚ X1

‚ est un K‚pB, rq-torseur essentiellement simplicial sur X1‚.

Démonstration. — En e↵et, on peut trouver un hyper-recouvrement étale X1‚

// X‚ r-élémentaire tel queX1

r// Xr trivialise le B-torseur Er. Le Lemme 4.12 entraîne alors que E1

‚ est essentiellement simplicial. ⌅Construction 4.16. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X1`‚ est un hyper-recouvrement

générique de X0. Soient B un k-schéma en groupe commutatifs et r P N r t0u. Nous allons construire uneapplication « classe caractéristique »

c`ét : Torsp⌘X‚; B, rq // Hr`1ét p⌘X‚ , Bq. (195)

Pour cela, fixons un remplacement projectivement ét-fibrant B // F‚ avec F‚ un complexe de préfaisceauxsur Sm{k borné à gauche.

Soit E‚ un K‚pB, rq-torseur sur ⌘X‚ et X1‚

// X‚ un hyper-recouvrement relatif générique tel que E1‚ “

E‚ ˆX‚ X1‚ est essentiellement simplicial. (Ceci existe d’après le Lemme 4.15.) On définit alors c`étpEq

comme étant l’image de c`pE1q par la composition de

Hr`1pBp⌘X1‚qq // Hr`1pTot±

F‚p⌘X1‚qq » Hr`1pTot±

F‚p⌘X‚qq “ Hr`1ét p⌘X‚ , Bq.

(Pour justifier l’isomorphisme du milieu, on a besoin de la Proposition 4.1 ; d’où la nécessité de supposerque X1`‚ est un hyper-recouvrement générique de X0.) On voit immédiatement que c`étpEq ne dépend pasdu choix de l’hyper-recouvrement générique. ⇤

Contrairement à (193), le morphisme (195) n’est pas injectif en général. (Considérer l’exemple du pousséen avant d’un E‚pB, rq-torseur par le morphisme E‚pB, rq // K‚pB, rq.) Nous pensons aussi qu’il n’est pastoujours surjectif, mais nous ne disposons pas d’exemples. Néanmoins, nous avons un résultat partiel.Proposition 4.17. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 4.16.

(a) Soit E‚ un K‚pB, rq-torseur sur X‚. Alors, la classe c`étpEq est nulle dans Hr`1ét p⌘X‚ , Bq si et seulement

si il existe un hyper-recouvrement générique X1‚

// X‚ tel que le torseur E1‚ “ E‚ ˆ⌘X‚ ⌘X1‚ est trivial.

De plus, on peut trouver un tel X1‚

// X‚ qui soit étale en tout degré.(b) Soit ↵ P Hr`1

ét p⌘X‚ , Bq une classe de cohomologie. Il existe alors un hyper-recouvrement génériqueX1

‚// X‚ et un K‚pB, rq-torseur E1 sur X1

‚ tel que c`étpE1q soit égale à l’image de ↵ par l’isomorphismeHr`1

ét p⌘X‚ , Bq » Hr`1ét p⌘X1‚ , Bq. De plus, on peut trouver un tel X1

‚// X‚ qui soit étale en tout degré.

Démonstration. — On traite uniquement la partie (a) : la méthode s’adapte sans di�culté pour établir lapartie (b).

La condition est évidemment su�sante. Montrons qu’elle est nécessaire. Pour ce faire, nous pouvonssupposer que E‚ est essentiellement simplicial. Notons Y‚ le k-schéma simplicial obtenu de X‚ en rajoutantles dégénérescences,i.e., Yn “ ≤

n⇣m Xm pour tout n P N. Nous disposons d’une inclusion évidente X‚ ãÑ Y‚qui induit des isomorphismes

Hr`1pBp⌘Y‚qq » Hr`1pBp⌘X‚qq et Hr`1ét p⌘Y‚ , Bq » Hr`1

ét p⌘X‚ , Bq.Notons c`1pEq P Hr`1pBp⌘Y‚qq l’image inverse de c`pEq P Hr`1pBp⌘X‚qq. Étant donné que c`étpEq “ 0,l’image de c`1pEq dans Hr`1

ét p⌘Y‚ , Bq est nulle. Or, pour le schéma simplicial ⌘Y‚ , le groupe Hr`1ét p⌘Y‚ , Bq est

la colimite filtrante, suivant les hyper-recouvrements étales Z‚ // ⌘Y‚ , des groupes Hr`1pBpZ‚qq. Il existealors un hyper-recouvrement générique relatif Y 1

‚// Y‚ tel que l’image de c`1pEq dans Hr`1pBp⌘Y 1‚qq est

nulle. En posant X1‚ “ Y 1

‚ ˆY‚ X‚, nous obtenons un hyper-recouvrement générique X1‚

// X‚ tel que l’imagede c`pEq dans Hr`1pBp⌘X1‚qq est nulle. La Proposition 4.14 entraîne alors que le torseur E1

‚ “ E‚ ˆ⌘X‚ ⌘X1‚est trivial. ⌅Corollaire 4.18. — Supposons que k est algébriquement clos et que X‚ est un hyper-recouvrement

générique de Specpkq. Si E‚ est un K‚pB, rq-torseur sur X‚, il existe un hyper-recouvrement génériquerelatif X1

‚// X‚ tel que E1

‚ “ E‚ ˆX‚ X1‚ est trivial. De plus, on peut trouver un tel X1

‚// X‚ qui soit étale

en tout degré.


Démonstration. — Puisque Hr`1ét pX‚; Bq » Hr`1

ét pk; Bq “ 0, la Proposition 4.17(a) permet de conclure. ⌅On termine la sous-section avec le résultat simple mais utile suivant.

Proposition 4.19. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X1`‚ est un hyper-recouvrement géné-rique de X0. Soient B un k-schéma en groupe commutatif et r P N r t0u. Soit E‚ un K‚pB, rq-torseur sur⌘X‚ . Alors, c`étpEq est dans le noyau du morphisme Hr`1

ét p⌘X‚ , Bq // Hr`1ét p⌘E‚ , Bq.

Démonstration. — En e↵et, l’image de c`étpEq est la classe du torseur E‚ ˆ⌘X‚ ⌘E‚ sur ⌘E‚ . Ce torseur esttrivial puisqu’il admet une section, à savoir l’immersion diagonale. ⌅

4.3. Quelques outils techniques, II. —Dans cette sous-section, nous terminons la liste des outils techniques que nous avons commencé à dresser

dans la §4.1. Notons d’abord le résultat suivant qui généralise le Corollaire 4.4.Proposition 4.20. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X1`‚ est un hyper-recouvrement géné-

rique de X0. Soient B un k-schéma en groupe commutatifs et r P Nrt0u. Soit Y‚ // X‚ un K‚pB, rq-torseur.Enfin, soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et ét-fibrant. Alors, lemorphisme canonique

Tot±

F‚pY‚ ˆX‚ ⌘X‚q // Tot±

F‚p⌘Y‚qest un isomorphisme.Démonstration. — La preuve de ce résultat nécessite des généralisations fondamentales dans le traitementdes hyper-recouvrements génériques et le lemme curieux. La preuve sera donnée dans la version finale. ⌅Proposition 4.21. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X1`‚ est un hyper-recouvrement géné-

rique de X0. Soient B un k-schéma en groupe commutatifs et r P Nrt0u. Soit Y‚ // X‚ un K‚pB, rq-torseur.Enfin, soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et ét-fibrant.

Si le k-schéma en groupe B est fini et que ⇤ est une Q-algèbre, alors le morphisme canonique

Tot±

F‚p⌘X‚q // Tot±

F‚p⌘Y‚qest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — En raisonnant comme dans l’étape 1 de la preuve du Théorème 3.144, on se ramène aucas où F‚ “ Ir0s avec I un faisceau étale injectif sur Sm{k.

On suppose d’abord que le torseur Y‚ est trivial. Puisque B est fini, on a ⌘Y‚ » diag‚pKpB, rq ˆk ⌘Xq. LaProposition 4.2 fournit alors un quasi-isomorphisme

Tot±

J‚p⌘X‚q “ Tot±

IpK‚pB, rq ˆk ⌘X‚q // Ip⌘Y‚qoù J‚ “ hompK‚pB, rq, Iq. Ainsi, il est su�sant de montrer que I // hompK‚pB, rq, Iq est une équivalenceét-locale. La question étant locale pour la topologie étale, on peut supposer que k est algébriquement clos.En particulier, B est alors groupe discret fini et le résultat recherché découle du Lemme 4.22 ci-dessous.

Passons maintenant au cas général. Formons le k-schéma semi-bisimplicial P‚,‚ “ C‚pY‚{X‚q et notonsQ‚,‚ “ Y‚ ˆX‚ P‚,‚. Ainsi, pour m P N, Pm,‚ “ CmpY‚{X‚q est un k-schéma semi-simplicial tel que Pm,1`‚ estun hyper-recouvrement générique de Pm,0. De plus, Qm,‚ est un K‚pB, rq-torseur sur Pm,‚ ; il en fait trivialpuisqu’il admet une section donnée par une immersion diagonale partielle. D’après ce qui précède, noussavons que les morphismes Ip⌘Pm,‚q // Ip⌘Qm,‚q sont des quasi-isomorphismes. Il en est donc de même dumorphisme

Tot±

Ip⌘P‚,‚q // Tot±

Ip⌘Q‚,‚q.D’autre part, pour tout n P N, les augmentations Ip⌘Xnq // Ip⌘P‚,nq et Ip⌘Ynq // Ip⌘Q‚,nq sont des quasi-isomorphismes. Il en est donc de même des morphismes

Ip⌘X‚q // Tot±

Ip⌘P‚,‚q et Ip⌘Y‚q // Tot±

Ip⌘Q‚,‚q.Ceci permet de conclure. ⌅

Le résultat suivant est bien connu.

148 JOSEPH AYOUB

Lemme 4.22. — Soient A un groupe commutatif de torsion et r P Nrt0u. Alors, la cohomologie rationnellede l’espace d’Eilenberg-Mac Lane K‚pA, rq est donnée par

HipK‚pA, rq;Qq “"Q si i “ 0,0 si i , 0.

Démonstration. — Lorsque r “ 1, les HipA‚;Qq sont les groupes de cohomologie rationnelle du groupe A.Ils sont bien donnés comme dans l’énoncé. Le cas général s’en déduit par récurrence en utilisant la méthodede la preuve du Corollaire 4.4. ⌅

Nous allons introduire deux catégories abstraites construites à partir de la catégorie de k-schémas semi-simpliciaux. La deuxième de ces catégories nous permettra de simplifier les énonés relatifs au calcul dutype d’homotopie feuilleté d’un �-corps algébriquement clos et de caractéristique nulle.Définition 4.23. — Soit k un corps de caractéristique nulle. Nous introduisons successivement les caté-

gories suivantes :

(i) La catégorie des types d’homotopie génériques sur k, notée Thg{k, est obtenue en inversant formel-lement les hyper-recouvrements génériques relatifs dans la sous-catégorie pleine de �opSch{k forméedes k-schémas semi-simpliciaux de type fini X‚ tels que X1`‚ est un hyper-recouvrement générique deX0.

(ii) La catégorie des types d’homotopie rationnelle génériques sur k, notée ThgQ{k, est obtenue en in-versant formellement dans Thg{k les projections Y‚ // X‚ de K‚pB, rq-torseurs sur X‚ avec B unk-schéma en groupe fini et r > 1.

(iii) La catégorie des pro-types d’homotopie (resp. rationnelle) génériques sur k, notée pro-Thg{k (resp.pro-ThgQ{k) est la sous-catégorie pleine de la catégorie pro-pThg{kq (resp. pro-pThgQ{kq) formé despro-objets dans la catégorie des k-schémas semi-simpliciaux de type fini.

Exemple 4.24. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X‚ est un hyper-recouvrement générique deX0. Soit B // B1 une isogénie de k-schémas en groupe commutatifs (i.e., un morphisme surjectif à noyaufini). Soit r P N r t0u et soit Y‚ un K‚pB, rq-torseur sur X‚. Notons Y 1

‚ le poussé en avant de Y‚ suivantle morphisme K‚pB, rq // K‚pB1, rq. Alors, le morphisme évident Y‚ // Y 1

‚ induit un isomorphisme de lacatégorie ThgQ{k. ⇤Théorème 4.25. — Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche. Alors,

l’association :X‚ Hi

étp⌘X‚; F‚qdéfinit un foncteur contravariant sur la catégorie pro-Thg{k, et en particulier sur Thg{k. Si ⇤ est uneQ-algèbre, ce foncteur est définit sur pro-ThgQ{k, et en particulier sur ThgQ{k.Démonstration. — La première assertion est une conséquence de la Proposition 4.1. La seconde découlede la Proposition 4.21. ⌅

On termine la sous-section avec le résultat suivant.Proposition 4.26. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial tel que X1`‚ est un hyper-recouvrement géné-

rique de X0. Supposons donnés des entiers r1, ¨ ¨ ¨ , rs P N r t0u et des k-schémas en groupe B1, ¨ ¨ ¨ , Bs telsque Bi est commutatif si ri > 2. Considérons le k-schéma semi-multisimplicial

Z‚,¨¨¨ ,‚ “ K‚pBs, rsq ˆk ¨ ¨ ¨ ˆk K‚pB1, r1q ˆk X‚.

Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et ét-fibrant. Alors, le cano-nique canonique (composé d’un morphisme d’Alexandre-Whitney et d’un morphisme de restriction)

Tot±

F‚pK‚pBs, rsq ˆk ¨ ¨ ¨ ˆk K‚pB1, r1q ˆk ⌘X‚q // Tot±

F‚p⌘diag‚Zqest un quasi-isomorphisme.


Démonstration. — On raisonne par récurrence sur l’entier s : lorsque s “ 0, il n’y a rien à montrer. Sin > 1, on pose

Y‚,¨¨¨ ,‚ “ K‚pBs´1, rs´1q ˆk ¨ ¨ ¨ ˆk K‚pB1, r1q ˆk X‚.

D’après la Proposition 4.2, le morphisme d’Alexander-Whitney

Tot±

F‚p⌘pK‚pBs, rsq ˆk diag‚Yqq // Tot±

F‚p⌘pdiag‚Zqq (196)

est un quasi-isomorphisme. D’après le Corollaire 4.4, pour tout m P N, le morphisme

Tot±

F 1‚p⌘pdiagmYqq “ Tot

±F‚pK‚pBs, rsq ˆk ⌘pdiagmYqq // Tot

±F‚p⌘pK‚pBs, rsq ˆk diagmYqq

est un quasi-isomorphisme. (Ci-dessus, on a posé F 1‚ “ Tot

±hompK‚pBs, rsq, F‚q.) Il s’ensuit que le mor-

phisme canonique

Tot±

F 1‚p⌘pdiag‚Yqq “ Tot

±F‚pK‚pBs, rsq ˆk ⌘pdiag‚Yqq // Tot

±F‚p⌘pK‚pBs, rsq ˆk diag‚Yqq (197)

est un quasi-isomorphisme. En composant les deux quasi-isomorphismes (196) et (197), on déduit un quasi-isomorphisme canonique :

Tot±

F 1‚p⌘pdiag‚Yqq // Tot

±F‚p⌘pdiag‚Zqq.

On conclut en appliquant l’hypothèse de récurrence au k-schéma semi-multisimplicial Y‚,¨¨¨ ,‚. ⌅

4.4. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, I. —Soit k un corps de caractéristique nulle. Le but de cette sous-section et de celle qui suivra est de calculer,

à torsion près, les groupes HiétpK‚pB, rq; Aq pour A et B des k-schémas en groupe commutatifs, r P N r t0u

et i P Z. À ma connaissance, ce calcul n’a pas été e↵ectué auparavant.Dans cette sous-section, on mènera à bien ce calcul lorsque A une variété semi-abélienne. Le calcul pour

A un k-vectoriel sera achevé à la sous-section suivante.Notation 4.27. — Soient A et B des k-schémas en groupe, et i P Z et r P N r t0u des entiers. On supposeque A est commutatif. Si r > 2, on suppose aussi que B est commutatif. On pose alors

HipB, r; Aq “ HiétpK‚pB, rq; Aq et Hi

QpB, r; Aq “ HiétpK‚pB, rq; A b Qq

où AbQ désigne le préfaisceau U P Sm{k ApUqbQ (qui est en fait un faisceau pour la topologie étale).On voit immédiatement que Hi

QpB, r; Aq » HipB, r; Aq b Q.Plus généralement, nous notons HipB, r; Aq et Hi

QpB, r; Aq les faisceaux étales sur Sm{k associés auxpréfaisceaux

U P Sm{k HiétpK‚pB, rq ˆk U; Aq et U P Sm{k Hi

étpK‚pB, rq ˆk U; A b Qq.Comme avant, on a l’identification des faisceaux Hi

QpB, r; Aq » HipB, r; Aq b Q.Il existe une suite spectrale de Hochschild-Serre reliant H˚pB, r; Aq et les groupes de cohomologies galoi-

siennes H˚pk,H˚pB, r; Aqq. À coe�cients rationnels, cette suite spectrale dégénère en identifiant HiQpB, r; Aq

avec �pk,HiQpB, r; Aqq, le Q-vectoriel des sections globales du faisceau Hi

QpB, r; Aq. ⇤On regroupe quelques sorites dans le lemme suivant.

Lemme 4.28. —(a) Les faisceaux HipB, r; Aq, ainsi que leurs variantes rationnelles, sont covariants en A et contravariants

en B.(b) Étant donnée une suite exacte de k-schémas en groupe commutatifs 0 // A1 // A // A2 // 0, on a

une suite exacte longue

¨ ¨ ¨ // HipB, r; A1q // HipB, r; Aq // HipB, r; A2q // Hi`1pB, r; A1q // ¨ ¨ ët de même pour la variante rationnelle.

(c) Si A // A1 est un morphisme de schémas en groupe commutatifs à noyau et conoyau finis, le mor-phisme Hi

QpB, r; Aq // HiQpB, r; A1q est un isomorphisme.

150 JOSEPH AYOUB

(d) Si B // B1 est un morphisme de schémas en groupe commutatifs à noyau et conoyau finis, le mor-phisme Hi

QpB1, r; Aq // HiQpB, r; Aq est un isomorphisme.

Démonstration. — Les propriétés (a)–(c) sont évidentes. Seule la propriété (d) nécessite une preuve. On sedonne donc un morphisme f : B // B1 à noyau et conoyau finis. D’après le Sous-lemme 4.29 ci-dessous,il existe un k-schéma en groupe fini C et un monomorphisme i : C ãÑ B1 tel que le k-schéma en groupeB1{C est géométriquement connexe. Il s’ensuit que p f , iq : B ˆk C // B1 est surjectif et à noyau fini. Ainsi,en considérant les cas des morphismes p f , iq et pr1 : B ˆk C // B, on voit qu’il est su�sant de traiter le casoù le morphisme f est supposé surjectif. Or, le morphisme de k-schémas simpliciaux K‚pB, rq // K‚pB1, rqest un torseur sous le k-schéma en groupe fini kerp f q. La Proposition 4.21 et le Corollaire 4.4, appliquésaux complexes F‚ “ RhompU, A b Qq pour U P Sm{k, permettent de conclure. ⌅

Le résultat suivant est bien connu.Sous-lemme 4.29. — Soit A un k-schéma en groupe commutatif. Il existe alors un sous-k-schéma en

groupe fini C Ñ A tel que A{C est géométriquement connexe.Démonstration. — On peut chercher C de la forme kert´ ˆ n : A Ñ Au, avec n P N r t0u su�sammentdivisible, ce qui permet de supposer que k est algébriquement clos. On note A˝ la composante connexe deA et ⇡0pAq “ A{A˝ le groupe des composantes connexes. Il est alors su�sant de montrer que tout élémentx P ⇡0pAq se relève en un élément de torsion de Apkq. Soit x un relèvement quelconque de x. Il existe n P Ntel que xn P A˝pkq. Puisque la multiplication par n est surjective sur A˝pkq, on peut trouver y P A˝pkq tel queyn “ xn. Le relèvement xy´1 convient alors. ⌅Notation 4.30. — Si X est un k-schéma lisse, nous noterons AlbpXq son schéma d’Albanese, NS1pXq sonréseau de Néron-Sévéri (i.e., dont les sections sur une clôture algébrique de k sont les classes de diviseurspour l’équivalence algébrique p9q) et T1pXq le tore ayant pour réseau de caractères NS1pXq (i.e., T1pXq “HompNS1pXq,G

m

q). Nous noterons aussi AlbQpXq, NS1QpXq et T1

QpXq les faisceaux sur Sm{k obtenus entensorisant par Q les faisceaux de groupes abéliens représentés par AlbpXq, NS1pXq et T1pXq. ⇤

Pour traiter le cas où A est semi-abélien, nous aurons besoin de quelques résultats tirés de [9].Notons DMe↵pk;Qq la catégorie des motifs e↵ectifs de Voevodsky à coe�cients rationnels [41] et, pour

X P Sm{k, notons MpXq son motif, i.e., le complexe de faisceaux avec transferts QtrpXqr0s vu comme objetde cette catégorie. La catégorie DMe↵pk;Qq est monoïdale symétrique fermée ; nous notons Home↵ sonbifoncteur « homomorphismes internes ».

Le cœur de la t-structure homotopique sur DMe↵pk;Qq s’identifie canoniquement à la catégorie HIpk;Qqdes faisceaux Nisnevich (ou étales) avec transferts, invariants par homotopie. Il s’ensuit un foncteur homo-logique

hi : DMe↵pk,Qq // HIpk;Qq(iPZ

qui transforme triangles distingués de motifs en suites exactes longues de faisceaux avec transferts invariantspar homotopie. Pour X P Sm{k, les faisceaux hipMpXqq seront simplement notés hipXq.

Nous notons HI61pk;Qq Ä HIpk;Qq la plus petite sous-catégorie abélienne stable par colimites et conte-nant les objets de la forme Qtrpl{kq, où l{k est une extension finie, et A b Q, où A est une variété semi-abélienne ; les faisceaux dans HI61pk;Qq sont dits 1-motiviques. Le foncteur évident

R◆ : DpHI61pk;Qqq // DMe↵pk;Qq (198)

est t-exacte (pour la t-structure homotopique), pleinement fidèle et son image essentielle est la plus petitesous-catégorie triangulée stable par sommes infinies et contenant les motifs des courbes lisses. Le foncteur(198) possède un adjoint à gauche

LAlb : DMe↵pk;Qq // DpHI61pk;Qqq. (199)

Ceci est contenu dans [9, Theorem 2.4.1].

9. Vérifie s’il n’y a pas de problemes de torsion avec cette définition !


Lemme 4.31. — Soit X un k-schéma lisse. Alors, nous avons :

hi`LAlbpMpXqq˘ “

$&

%

AlbQpXq si i “ 0,T1QpXq si i “ 1,0 si i < t0, 1u.

Démonstration. — Il y a su�samment de matériel dans [9] pour e↵ectuer ce calcul. Lorsque X est a�ne etNS1-local, i.e., tel que NS1pXq “ 0, il s’agit de la conjonction de [9, Proposition 2.4.4] et de la constructiondu foncteur dérivé à gauche du foncteur Alb (voir [9, Proposition 2.1.6]). Pour le cas général, on fixeU Ñ X un ouvert a�ne, dense et NS1-local. Alors, QtrpX{Uq est divisible par Qp1q “ G

m

b Qr´1s dansDMe↵pk;Qq. Il s’ensuit que LAlbpQtrpX{Uqq » L b G

m

r´1s avec

L “ L⇡0`Home↵pQp1q,QtrpX{Uqq˘ “

nà

i“1Qtrp⇡0pDiqq

où D1, ¨ ¨ ¨ ,Dn sont les diviseurs irréductibles supportés dans X rU et ⇡0pDiq et le k-schéma étale qui para-métrise les composantes géométriquement irréductibles de Di. Le résultat recherché découle en appliquantLAlb au triangle distingué QtrpUq // QtrpXq // QtrpX{Uq // .

Alternativement, nous pouvons tout simplement invoquer [12, Theorem 10.2.2]. ⌅Le résultat suivant sera un outil précieux dans le calcul de HipB, r; Aq lorsque A est une variété semi-

abélienne.Proposition 4.32. — Soit X‚ un k-schéma semi-simplicial lisse en tout degré. Si F‚ P CplpHI61pk;Qqq estun complexe de faisceaux 1-motiviques (par exemple F “ A bQr0s avec A une variété semi-abélienne), ona un triangle distingué

Home↵pAlbQpX‚q, F‚q // Home↵pMpX‚q, F‚q // Home↵pT1QpX‚q, F‚r´1sq // .

(Ci-dessus, AlbQpX‚q et T1QpX‚q sont considérés comme des complexes de faisceaux avec transferts, i.e., des

objets de la catégorie des motifs DMe↵pk;Qq.)De plus, pour tout i P Z, hipHome↵pMpX‚q, F‚qq “ Hí

ét pX‚, F‚q où le second membre est le faisceau étaleassocié au préfaisceau U P Sm{k Hí

ét pX‚ ˆk U, F‚q.Démonstration. — Nous avons des isomorphismes canoniques

H1étpX‚ ˆk U, F‚risq » homDMe↵pk;QqpQtrpX‚ ˆk Uq, F‚risq » homDMe↵pk;QqpQtrpX‚q LbQtrpUq, F‚risq; (200)

le premier découle d’une généralisation du [41, Lemma 6.23] et le second de la définition même du produittensoriel sur DMe↵pk;Qq. Ceci fournit l’identification Hí

ét pX‚, F‚q “ hipHome↵pMpX‚q, F‚qq.Grâce à l’adjonction pLAlb,R◆q, le dernier membre dans (200) s’écrit :

homDpHI61pk;Qqq`LAlbpMpX‚q b MpUqq, F‚ris˘. (201)

Or, pour tout M, N P DMe↵pk;Qq, le morphisme canonique LAlbpM b Nq // LAlbpLAlbpMq b Nq estinversible. (Une façon rapide de s’en convaincre est d’invoquer la réalisation de Hodge p10q.) Le groupe(201) s’identifie donc à :

homDMe↵pk;QqpLAlbpMpX‚qq b MpUq, F‚risq. (202)Il s’ensuit que le morphisme canonique

Home↵pLAlbpMpX‚qq, F‚q // Home↵pMpX‚q, F‚q (203)

est un isomorphisme dans DMe↵pk;Qq. Grâce au Lemme 4.31, nous disposons d’un triangle distingué dansDMe↵pk;Qq :

T1QpX‚qr1s // LAlbpMpX‚qq // AlbQpX‚q // .


10. La propriété à démontrer n’est pas tout à fait formelle. Elle dépend du théorème de Lefschetz sur l’algébricité des cyclesde Hodge de bidegré p1, 1q.

152 JOSEPH AYOUB

Notation 4.33. — Si X est un k-schéma lisse, on note Alb˝pXq la composante connexe de l’élément neutrede AlbpXq. C’est une variété semi-abélienne qui s’identifie au noyau du morphisme AlbpXq // Ztrp⇡0pXqq(avec ⇡0pXq le k-schéma étale paramétrisant les composantes géométriquement connexes de X). On poseAlb˝

QpXq “ Alb˝pXq b Q qu’on considère comme un objet de HI61pk;Qq. ⇤

Lemme 4.34. — Soit B un k-schéma en groupe géométriquement connexe. Le morphisme B // Alb˝pBq,envoyant l’élément neutre de B sur le zéro de Alb˝pBq, est un morphisme de k-schémas en groupe surjectif.Son noyau est un k-schéma en groupe a�ne, extension d’un groupe semi-simple par un groupe unipotent.

Démonstration. — La première partie de l’énoncé est une conséquence immédiate des propriétés univer-selles des schémas d’Albanese (voir [47]). Le fait que le noyau de B // Alb0pBq est a�ne résulte im-médiatement du théorème de Chevalley (voir par exemple [19] pour une preuve écrite dans un languagemoderne). Puisque ce noyau ne possède aucun quotient isomorphe à un tore, il est une extension d’ungroupe semi-simple par un groupe unipotent. p11q ⌅

Notation 4.35. — Si A et B sont des k-schémas en groupe, on note hompB, Aq le faisceau étale qui àU P Sm{k associe l’ensemble des homomorphismes de U-schémas en groupe entre B ˆk U et A ˆk U.Lorsque A est commutatif, hompB, Aq est un faisceau de groupes commutatifs et on pose homQpB, Aq “hompB, Aq bQ. Lorsque A est une variété semi-abélienne et B est connexe, hompB, Aq “ hompAlb˝pBq, Aqest un réseau, i.e., il est localement constant et sa fibre en un point générique est un Z-module libre de rangfini. ⇤

Notation 4.36. — Si E est une variété abélienne sur k, on note E_ sa variété abélienne duale. Le faisceaude Q-vectoriels homQpE, E_q est muni de l’involution de Rosati f f _. (Le morphisme f _ est vraimentle composé de f _ : pE_q_ // E_ et de l’identification E » pE_q_.) Il s’ensuit une décomposition pourles valeurs propres ´1 et `1 :

homQpE, E_q “ hom´QpE, E_q ‘ hom`

QpE, E_q.Il est bien connu que le faisceau hom`

QpE, E_q s’identifie canoniquement à NS1QpEq. (Ce résultat sera redé-

montré dans la preuve du Théorème 4.38 ci-dessous.) ⇤

Notation 4.37. — Le bifoncteur Hom : HIpk;Qqop ˆ HIpk;Qq // HIpk;Qq préserve les sous-catégoriesdes 1-faisceaux motiviques. (Ceci se vérifie facilement par dévissage aux cas des réseaux et des variétéssemi-abéliennes.) Ainsi, pour tout F P HI61pk;Qq, on a un foncteur exact à droite

Hom61pF,´q : HI61pk;Qq // HI61pk;Qq.Il se dérive en un foncteur

RHom61pF,´q : DpHI61pk;Qqq // DpHI61pk;Qqq.Il est facile de voir que

R◆ ˝ RHom61p´,´q “ Home↵pR◆p´q,R◆p´qq.Il découle de [9, Proposition 2.4.10] (cas des coe�cients rationnels) que RiHom61p´,´q “ 0 pour i <t0, 1u. Pour i “ 0 et i “ 1, ces foncteurs seront notés homQp´,´q et ext1

Qp´,´q. Le premier généralise lebifoncteur introduit dans la Notation 4.35. Par construction, ext1pF, F 1qpkq “ ext1pF ˆk k, F 1 ˆk kq pour toutF, F 1 P HI61pk;Qq et toute clôture algébrique k{k. (Bien entendu, le groupe « ext » est calculé ici dans lacatégorie abélienne HI61pk;Qq.) ⇤

Avec les notations précédentes, on peut énoncer le résultat principal de cette sous-section.

11. Nous utilisons ici implicitement le fait qu’un schéma en groupe T qui s’insère dans une extension 0 Ñ T Ñ E Ñ A Ñ 0,avec T un tore et A une variété abélienne, est nécessairement commutatif. Nous nous connaissons pas de référence pour ce fait !


Théorème 4.38. — Supposons que A est une k-variété semi-abélienne et que B est un k-schéma en groupeconnexe. Alors, nous avons

HiQpB, r; Aq “

$’’’’’’’’’’’’’’&

’’’’’’’’’’’’’’%

A b Q si i “ 0,

homQpB, Aq “ homQpAlb˝pBq, Aq si i “ r,

ext1QpAlb˝pBq, Aq “

ext1QpAlb˝pBq,G

m

q b homQpGm

, Aq si i “ r ` 1,

homp´1qr

Q pAlb˝pBq,Alb

˝pBq_q b homQpGm

, Aq si i “ 2r ` 1,

0 si i < t0, r, r ` 1, 2r ` 1u.(Ci-dessus, Alb

˝pBq désigne le plus grand quotient de Alb˝pBq qui est une variété abélienne.)De plus, si B1 est un quotient de B par un sous-groupe normal qui est une extension d’un groupe semi-

simple par un groupe unipotent, le morphisme HiQpB1, r; Aq // Hi

QpB, r; Aq est inversible. (Lorsque r > 2,la partie semi-simple est triviale.)Démonstration. — Nous obtiendrons le théorème en calculant les motifs AlbQpK‚pB, rqq et TQpK‚pB, rqq,et en appliquant ensuite la Proposition 4.32. Le plus dur sera de calculer TQpK‚pB, rqq, ou d’une manièreéquivalente NS1

QpK‚pB, rqq, et ceci fera l’objet de la Proposition 4.39 ci-dessous.En chaque degré n P N, l’élément neutre du groupe KnpB, rq fournit une décomposition de k-schémas

en groupe AlbpKnpB, rqq “ Z‘ Alb˝pKnpB, rqq. Cette décomposition est compatible aux structures simpli-ciales. Il s’ensuit une décomposition AlbpK‚pB, rqq “ Z‘ Alb˝pK‚pB, rqq de k-schémas en groupe commu-tatifs simpliciaux. Par ailleurs, pour tout m P N, on a Alb˝pBmq “ Alb˝pBq‘m. En fin de compte, on obtientun isomorphisme canonique de complexes de faisceaux avec transferts

AlbpK‚pB, rqq » Zr0s ‘ K‚pAlb˝pBq, rq.Or, le complexe K‚pAlb˝pBq, rq est quasi-isomorphe à Alb˝pBqrrs. Il en découle les identifications sui-vantes :

Home↵pAlbQpK‚pB, rqq, A b Qq » Home↵pQr0s ‘ Alb˝QpBqrrs, A b Qq

“ A b Qr0s ‘ RHom61pAlbQpBq, A b Qqr´rs. p12q

D’autre part, d’après la Proposition 4.39 ci-dessous, on sait que NS1QpK‚pB, rqq » Lr´2rs avec L “

homp´1qr

Q pAlb˝pBq,Alb

˝pBq_q. Il s’ensuit que T1QpK‚pB, rqq » HompL,G

m

qr2rs » L_ b Gm

r2rs où L_ estle réseau dual. Il en découle les identifications suivantes :

Home↵pT1QpK‚pB, rqq, A b Qq » Home↵pL_ b G

m

r2rs, A b Qq “ L b homQpGm

, Aqr´2rs.Vu les identifications précédentes, la Proposition 4.32 fournit donc un triangle distingué

A b Qr0s ‘ RHom61pAlb˝QpBq, A b Qqr´rs //

Home↵pMpK‚pB, rqq, A b Qq // L b homQpGm

, Aqr´2r ´ 1s // .

Il reste à appliquer le foncteur homologique thiuiPZ pour obtenir le résultat recherché. ⌅Proposition 4.39. — Soit B un k-schéma en groupe connexe. Alors, on a :

HipNS1QpK‚pB, rqqq “

"homp´1qr

Q pAlb˝pBq,Alb

˝pBq_q si i “ 2r,0 si i , 2r.

12. Il faut expliquer pourquoi on peut utiliser Hom61 au lieu de Hom ici !

154 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Si Q “ Alb˝pBq, le morphisme canonique NS1

QpQnq // NS1QpBnq est inversible pour

tout n P N. p13q On ne restreint donc pas la généralité en supposant que B est une variété abélienne.Soit A une variété abélienne. (On sera intéressé par le cas où A est un produit de copies de B.) On

dispose d’un morphisme évident MpAq // A b Q, du motif de A vers le faisceau avec transferts A b Q(vu comme un objet de DMe↵pk;Qq). Notons LS2

QpAq l’image du projecteur id`⌧2 P Qr⌃2s agissant sur

pA Lb Aq b Q P DMe↵pk;Qq. (Bien entendu ⌃2 “ t1, ⌧u est le groupe symétrique d’ordre 2.) Il existe alorsun morphisme canonique �A : MpAq // LS2

QpAq qui rend le diagramme

MpAq �A//

diag✏✏

LS2QpAq

✏✏

MpA ˆk Aq „// MpAq b MpAq // pA b Qq Lb pA b Qq

commutatif. Il est bien connu que la composition de

Home↵pLS2QpAq,G

m

r1sq // Home↵pMpAq,Gm

r1sq» Home↵pLAlbpMpAqq,G

m

r1sq // Home↵ph1pLAlbpMpAqqq,Gm

q » NS1QpAq

est un isomorphisme. p14q De plus, cet isomorphisme est naturel en les morphismes de variétés abéliennes.Il s’ensuit donc un isomorphisme de complexes

Home↵pLS2pK‚pB, rqq,Gm

r1sq » NS1QpK‚pB, rqq.

Considérons plutôt le motif simplicial D‚ “ diag‚pKpB, rq Lb KpB, rqq muni de l’involution ⌧ consistantà permuter les facteurs. Clairement, l’isomorphisme ci-dessus se réécrit :

Home↵pD⌧“id‚ ,G

m

r1sq » NS1QpK‚pB, rqq.

Il nous faut donc calculer le complexe D‚ et son involution ⌧. Or, nous disposons du quasi-isomorphismed’Eilenberg-Zilber (morphisme de « mélange ») :

K‚pB, rq Lb K‚pB, rq // D‚, (204)

où K‚pB, rq est considéré comme un complexe de faisceaux avec transferts, i.e., un objet de DMe↵pk;Qq. Deplus, modulo le quasi-isomorphisme (204), ⌧ correspond à la contrainte de commutativité dans la catégoriedes complexes. Or, nous avons un quasi-isomorphisme canonique K‚pB, rq » Brrs. Nous en déduisons lachaîne d’isomorphismes naturels

NS1QpK‚pB, rqq » Home↵ppBrrs Lb Brrsq⌧“id,G

m

r1sq “ Home↵ppB Lb Bq⌧“p´1qridr2rs,Gm

r1sq“ Home↵ppB Lb Bq⌧“p´1qrid,G

m

r1sqr´2rs “ Home↵pB, B_q⌧“p´1qridr´2rs “ homp´1qr

Q pB, B_qr´2rs.Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

Le Théorème 4.38 motive le résultat suivant.Proposition 4.40. — Soit B un k-schéma en groupe connexe et soit r P N r t0u. On fixe un sous-réseau

L Ñ hompAlb˝pBq,Alb

˝pBq_qsur lequel l’involution de Rosati est la multiplication par p´1qr et qui est de rang maximal pour cettepropriété. Soit T “ hompL,G

m

q le tore ayant L pour réseau de caractères. Alors, on a un isomorphismecanonique

H2r`1ét pK‚pB, rq,T q b Q » endpLq b Q. (205)

De plus, il existe un K‚pT, 2rq-torseur pK‚pB, rq sur K‚pB, rq dont la classe caractéristique est un multiplenon nul de l’identité de L modulo l’identification (205).

13. Trouver un référence pour ce fait !14. N’oublie pas de donner une référence ici !


Démonstration. — D’après le Théorème 4.38, on a

H2r`1ét pK‚pB, rq,T b Qq » homp´1qr

Q pAlb˝pBq,Alb

˝pBq_q b homQpL,Zq » pL b L_q b Q “ endQpLq.L’isomorphisme (205) s’en déduit par passage aux sections globales.

Il reste à construire le K‚pT, 2rq-torseur pK‚pB, rq. Pour cela, on ne restreint pas la généralité en supposantque B est une variété abélienne. (En e↵et, si l’on dispose d’un tel torseur pour Alb

˝pBq, on en déduit unpour B par changement de base.) En fait, pour tout � P H2r`1

ét pK‚pB, rq,T q b Q, il existe un K‚pT, 2rq-torseur K�

‚pB, rq sur K‚pB, rq dont la classe caractéristique est un multiple non nul de �. On le construit dela manière suivante.

D’après la preuve du Théorème 4.38, on a :

H2r`1ét pK‚pB, rq,T q b Q » H2rpNS1pK‚pB, rqqq b homQpG

m

,T q.Par ailleurs, si K‚pB, rq_ désigne la k-variété abélienne cosimpliciale duale de la k-variété abélienne sim-pliciale K‚pB, rq, on a un quasi-isomorphisme K‚pB, rq_ » B_r´rs. Il s’ensuit que HipKpB, rq_q “ 0 pouri , r, et en particulier pour i P t2r, 2r ` 1u. Étant donnée la suite exacte courte de complexes de faisceauxétales avec transferts

0 // K‚pB, rq_ // H1étpK‚pB, rq,G

m

q // NS1pK‚pB, rqq // 0

on déduit un isomorphisme canonique

H2rpNS1pK‚pB, rqqq » H2rpH1étpK‚pB, rq,G

m

qq.On obtient en fin de compte des isomorphismes canoniques :

H2r`1ét pK‚pB, rq,T q b Q » H2rpH1

étpK‚pB, rq,Gm

qq b homQpGm

,T q » H2rpH1étpK‚pB, rq,T qq b Q.

L’image par la composition de ces isomorphismes d’un multiple non nul de � est une classe de cohomo-logie ⇠ P Hét

1 pK2rpB, rq,T q qui est un cocylce dans le complexe Hét1 pK‚pB, rq,T q. (Pour les besoins de la

preuve du Lemme 4.42 ci-dessous, on supposera aussi que ⇠ est dans l’intersection des noyaux des dégé-nérescences.) On considère un T -torseur P2r // K2rpB, rq de classe caractéristique ⇠ et on forme le mor-phisme p2rq-élémentaire P‚ // K‚pB, rq qui lui est associé. Puisque l’image de ⇠ par le morphisme cobordHét

1 pK2rpB, rq,T q // Hét1 pK2r`1pB, rq,T q est nulle, il existe un morphisme T 2r`2-équivariant t : P2r`1 // T .

(Ici, une section pt0, ¨ ¨ ¨ , t2r`1q de T 2r`2 agit sur T par translation suivant la section∞2r`1

i“0 p´1qiti.) Le tor-seur K�

‚pB, rq recherché est alors la fibre en zéro du morphisme P‚ // E‚pT, 2r ` 2q uniquement déterminépar t. La vérification que ce torseur convient utilise des arguments similaires à ceux utilisés de la preuve dela Proposition 4.8. Elle sera omise. ⌅Définition 4.41. — Un torseur pK‚pB, rq, comme celui construit dans la preuve de la Proposition 4.40, seraappelé un torseur universel de type multiplicatif sur K‚pB, rq. On fera attention qu’un tel torseur n’est pasunique !Lemme 4.42. — Gardons les hypothèses et les notations de la Proposition 4.40. Alors, le complexe de

faisceaux étales avec tranferts T1QppK‚pB, rqq est contractile et s’insère dans une suite exacte courte

0 // T1QppK‚pB, rqq // T1

QpK‚pB, rqq // K‚pT, 2rq b Q // 0. (206)

De plus, le morphisme évident AlbQppK‚pB, rqq // AlbQpK‚pB, rqq est un isomorphisme.Démonstration. — Nous allons d’abord construire la suite exacte courte (206). Par dualité entre tores etréseaux, il est su�sant de construire une suite exacte courte de réseaux

0 // K‚pL_, 2rq_ b Q // NS1QpK‚pB, rqq // NS1

QppK‚pB, rqq // 0. (207)

(Ci-dessus, K‚pL_, 2rq_ est le réseau cosimplicial dual du réseau simplicial K‚pL_, 2rq ; c’est aussi l’image,par la correspondance d’Eilenberg-Maclane, du complexe Lr2rs dans la catégorie additive opposée à la caté-gorie des réseaux.) Par construction, pK2rpB, rq est un T -torseur sur K2rpB, rq. Ainsi, le noyau du morphisme

NS1QpK2rpB, rqq // NS1

QppK2rpB, rqq

156 JOSEPH AYOUB

est engendré par les classes caractéristiques de Gm

-torseurs obtenus en poussant en avant le T -torseurpK2rpB, rq suivant des morphismes T // G

m

. Autrement dit, ce noyau est l’image de la composition de

⇣ : L b Q “ homQpT,Gm

q ⇠bid// H1

étpK2rpB, rq,T q b hompT,Gm

q // NS1QpK2rpB, rqq.

(La classe de cohomologie ⇠ P H1étpK2rpB, rq,T q est construite dans la preuve de la Proposition 4.40 ; bien

entendu, on prendra alors � P H2r`1ét pK‚pB, rq,T q bQ “ endpLq bQ un multiple non nul de l’identité de L.)

Par construction, le morphisme ⇣ induit un isomorphisme entre LbQ et H2rpNS1QpK‚pB, rqqq. En particulier,

⇣ est injectif.Dans la preuve de la Proposition 4.40, nous avons pris soin de supposer que ⇠ est dans l’intersection

des noyaux des dégénérescences. Il en est donc de même pour toute section dans l’image du morphisme⇣ : L b Q // NS1

QpK2rpB, rqq. Par la correspondance d’Eilenberg-Mac Lane, le morphisme ⇣ s’étend alorsd’une manière unique en un morphisme de réseaux cosimpliciaux

⇣‚ : K‚pL_, 2rq_ b Q // NS1QpK‚pB, rqq.

Ce morphisme est injectif puisqu’il en est ainsi du morphisme induit sur les complexes normalisés associés ;il constitue la deuxième flèche de (207). La composition des deuxième et troisième flèches est nulle : ene↵et, il su�t de vérifier cela en degré 2r.

Par ailleurs, puisque pKnpB, rq est un KnpT, 2rq-torseur sur KnpB, rq, on a une surjection de réseaux :

NS1QpKnpB, rqq // // NS1

QppKnpB, rqqet une estimation de leur rangs :

rangpNS1QppKnpB, rqqq > rangpNS1

QpKnpB, rqqq ´ dimpKnpT, 2rqq.Ceci montre que (207) est une suite exacte courte. Le complexe NS1

QppK‚pB, rqq est alors contractile puisqueT1QpK‚pB, rqq // K‚pT, 2rq b Q induit un isomorphisme en degré 2r et que les deux complexes n’ont pas

de cohomologie en d’autres degrés (voir la Proposition 4.39). Il s’ensuit que le complexe T1QppK‚pB, rqq est

aussi contractile.Pour la dernière assertion on peut supposer k algébriquement clos. Il su�t alors de montrer que la classe

caractéristique dans NS1QpKnpB, rqq d’un G

m

-torseur sur KnpB, rq obtenu en poussant en avant pKnpB, rq parun morphisme a : KnpT, 2rq // G

m

est nulle si et seulement si le morphisme a est nul. Notons ⇠n l’imagede la classe caractéristique du KnpT, 2rq-torseur pKnpB, rq par la composition de

H1étpKnpB, rq,KnpT, 2rqq „

// H1étpKnpB, rq,G

m

q b homQpGm

,KnpT, 2rqq✏✏

NS1QpKnpB, rqq b homQpG

m

,KnpT, 2rqq.La condition précédente équivaut alors à l’injectivité de la composition de

homQpKnpT, 2rq,Gm

q ⇠n// NS1

QpKnpB, rqqbhomQpGm

,KnpT, 2rqqbhomQpKnpT, 2rq,Gm

q // NS1QpKnpB, rqq.

Or, modulo les identifications évidentes, cette composition coïncide avec le morphisme

KnpL_, 2rq_ b Q // NS1QpKnpB, rqq

qui figure dans la suite exacte (207). Elle est donc bien injective. p15q ⌅

Corollaire 4.43. — Soit B un k-schéma en groupe connexe et soit pK‚pB, rq un torseur universel de typemultiplicatif sur K‚pB, rq. Alors, le morphisme naturel

LAlbpMppK‚pB, rqqq // AlbQpK‚pB, rqq15. Verifier que cette preuve est correcte ! ! !


est un isomorphisme dans DMe↵pk;Qq.Démonstration. — En e↵et, d’après le Lemme 4.31, on a un triangle distingué dans DMe↵pk;Qq :

TQppK‚pB, rqqr1s // LAlbpMppK‚pB, rqqq // AlbQppK‚pB, rqq //

Le Lemme 4.42 permet de conclure. ⌅Théorème 4.44. — Supposons que A est une k-variété semi-abélienne et que B est un k-schéma en groupeconnexe. Soit pK‚pB, rq un torseur universel de type multiplicatif sur K‚pB, rq. Alors, nous avons

HiétppK‚pB, rq; A b Qq “

$’’’’’’’’’’&

’’’’’’’’’’%

A b Q si i “ 0,

homQpB, Aq “ homQpAlb˝pBq, Aq si i “ r,

ext1QpAlb˝pBq, Aq “

ext1QpAlb˝pBq,G

m

q b homQpGm

, Aq si i “ r ` 1,

0 si i < t0, r, r ` 1u.(Ci-dessus, Alb

˝pBq désigne le plus grand quotient de Alb˝pBq qui est une variété abélienne.)Démonstration. — C’est une conséquence facile du Corollaire 4.43. (Utiliser le calcul de AlbQpK‚pB, rqqe↵ectué dans la preuve du Théorème 4.38.) ⌅

4.5. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, II. —On termine ici le calcul commencé dans la §4.4 en traitant le cas où A un k-vectoriel V , i.e., isomorphe

à une somme de copies de Ga

. (Dans la suite, nous désignons par le même symbole un k-vectoriel, le k-schéma en groupe associé ainsi que le faisceau étale représenté par ce dernier.) Les faisceaux HipB, r; Vqsont naturellement des faisceaux de k-vectoriels et, en particulier, HipB, r; Vq “ Hi

QpB, r; Vq. (On verra plustard que ces faisceaux sont représentés par des k-schémas en k-vectoriels de sorte qu’on peut les désignerpar HipB, r; Vq d’après la convention qu’on vient juste d’adopter.)Lemme 4.45. — Supposons que le k-schéma en groupe B est a�ne et que V est un k-vectoriel. Alors, le

morphisme évidentHipOpK‚pB, rqqq bk V // Hi

étpK‚pB, rq; Vq “ HipB, r; Vq (208)est un isomorphisme pour tout i P Z.Démonstration. — En e↵et, pour un k-schéma a�ne X on a

HiétpX,Vq “

"OpXq bk V si i “ 0,

0 si i , 0.

Le résultat recherché en découle aussitôt. ⌅Proposition 4.46. — Soient U un k-vectoriel. Alors, il existe un quasi-isomorphisme canonique de com-

plexes de k-vectoriels :OpK‚pU, rqq » à

jPNS jpU_r´rsq. (209)

Démonstration. — En e↵et, on a :

OpK‚pU, rqq “ à

jPNS jpK‚pU, rq_q

où K‚pU, rq_ est le k-vectoriel cosimplicial dual du k-vectoriel simplicial K‚pU, rq. En utilisant le théorèmed’Eilenberg-Zilber, on obtient des quasi-isomorphismes canoniques

diag‚pj foishkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkj

KpU, rq_ bk ¨ ¨ ¨ bk KpU, rq_q »j foishkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkj

K‚pU, rq_ bk ¨ ¨ ¨ bk K‚pU, rq_ »j foishkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkj

U_r´rs bk ¨ ¨ ¨ bk U_r´rs(210)

158 JOSEPH AYOUB

(Ci-dessus, dans le premier membre KpU, rq_ est considéré comme un k-vectoriel cosimplicial et le produittensoriel est « cosimplicialement extérieur » alors que dans le second membre K‚pU, rq_ est considérécomme un complexe de k-vectoriels et le produit tensoriel est pris dans la catégorie des complexes.) Lesquasi-isomorphismes (210) sont ⌃ j-équivariants pour l’action du groupe symétrique par permutation desfacteurs. Il s’ensuit que S jpK‚pU, rq_q est quasi-isomorphe à S jpU_r´rsq. ⌅

Corollaire 4.47. — Soient U et V des k-vectoriels. Les faisceaux HipU, r; Vq sont nuls si r ne divise pasi. De plus, on a :

Hr jpU, r; Vq “"

S jpU_q bk V si r est pair,ô jpU_q bk V si r est impair.

Démonstration. — Compte tenu de la contrainte de commutativité pour le produit tensoriel des complexes,il s’agit d’une conséquence immédiate de la Proposition 4.46. ⌅

Proposition 4.48. — Soit T un tore (i.e., une forme tordue d’un produit de Gm

). Alors, on a :

HipT, r; Vq “"

V si i “ 0,0 si i , 0.

Démonstration. — On divise la preuve en deux parties.Étape 1 : On traite d’abord le cas r “ 1. Le problème est local pour la topologie étale sur Sm{k. On nerestreint donc pas la généralité en supposant que T est déployé, i.e., isomorphe à un produit de G

m

. D’aprèsle Lemme 4.45, il su�t de montrer que le complexe de k-vectoriels OpK‚pT, 1qq est quasi-isomorphe à kr0s.Étant donnée une décomposition T “ T1 ˆk T2, on a K‚pT, 1q “ diag‚pKpT1, 1q ˆk KpT2, 1qq. Le théorèmed’Eilenberg-Zilber fournit alors un quasi-isomorphisme

OpK‚pT, 1qq » OpK‚pT1, 1qq bk OpK‚pT2, 1qq.Il est donc su�sant de traiter le cas de T1 et T2 séparément. Puisque T a été supposé déployé, on se ra-mène par récurrence au cas T “ G

m

. L’algèbre cosimplicial OpK‚pGm

, 1qq est isomorphe à la k-algèbrecosimplicial L‚ du Lemme 4.49 qui permet alors de conclure.Étape 2 : On traite maintenant le cas général. Vu le Lemme 4.45, il faut montrer que le complexe de k-vectoriels OpK‚pT, rqq est quasi-isomorphe à kr0s. Par récurrence et vu l’étape précédente, on peut supposerque r > 2 et que cette propriété est établie au rang r ´ 1.

Nous reprenons la méthode utilisée dans la preuve du Corollaire 4.4. Notons X‚ “ K‚pT, rq et Y‚ “E‚pT, rq. D’après le Lemme 3.206(a), nous disposons d’un morphisme canonique de k-schémas simpliciauxY‚ // X‚. Considérons le k-schéma bisimplicial C‚pY‚{X‚q. Nous avons un isomorphisme de k-schémassimpliciaux

CmpY‚{X‚q » diag‚pY ˆk KpT ‘m´1, r ´ 1qq(voir la preuve du Corollaire 4.4). Grâce au théorème d’Eilenberg-Zilber et à l’hypothèse de récurrence,nous obtenons des quasi-isomorphismes canoniques

OpCmpY‚{X‚qq » Opdiag‚pY ˆk KpT ‘m´1, r ´ 1qqq » OpY‚q bk OpKpT ‘m´1, r ´ 1qq » kr0s.D’autre part, le morphisme Y‚ // X‚ est couvrant pour la topologie étale en chaque degré. Nous en dédui-sons un quasi-isomorphisme OpX‚q » Tot

±OpC‚pY{Xqq. D’après la discussion précédente, Tot

±OpC‚pY{Xqq

est quasi-isomorphe au complexe H0pOpC‚pY{Xqqq donné par une copie de k en chaque degré positif. Eninspéctant la di↵érentielle de ce complexe, on voit aussitôt qu’il est quasi-isomorphe à kr0s. Ceci terminela preuve de la proposition. ⌅

Lemme 4.49. — Soit L‚ la k-algèbre semi-cosimplicial définie de la manière suivante. Pour n P N,

Ln “ krT ˘1 , ¨ ¨ ¨ ,T ˘

n s


est la k-algèbre des polynômes de Laurent à n variables. Les morphismes �0, �n`1 : Ln // Ln`1 sont donnéspar �0pT jq “ T j`1 et �n`1pT jq “ T j. Pour 1 6 i 6 n, le morphisme �i : Ln // Ln`1 est donné par

�ipT jq “$&

%

T j si 0 6 j 6 i ´ 1,TiTi`1 si j “ i,T j`1 si i ` 1 6 j 6 n ` 1.

Alors, H0pLq “ k et HnpLq “ 0 pour n , 0.Démonstration. — Les morphismes �0, �1 : k // krT ˘

1 s sont égaux ; ils sont donnés par l’inclusion desconstantes dans la k-algèbre krT ˘

1 s. Ceci montre que H0pLq “ k.Pour n > 1, soit PpT1, ¨ ¨ ¨ ,Tnq P Ln un polynôme de Laurent et supposons qu’il est un cocycle, i.e., qu’il

est dans le noyau de la di↵érentielle du complexe L‚. Soit d le degré maximal et ´d1 le degré minimal d’unevariable dans P. Si d “ d1 “ 0, le polynôme P est constant et il est facile de voir qu’il est un cobord. Quitteà remplacer P par PpT ´1

1 , ¨ ¨ ¨ ,T ´1n q, on peut supposer que d ° 0. Nous allons expliquer comment modifier

P par un cobord afin de diminuer d sans changer d1. Ceci permettra de conclure par récurrence.On appellera sous-polynôme de P un polynôme de Laurent Q obtenu à partir de P en gardant inchangés

les coe�cients de certains monômes et en remplaçant les coe�cients des autres monômes par 0. Soit

M “ T dj ¨ ¨ ¨ T d

j`r ¨ QpT1, ¨ ¨ ¨ ,T j´1,T j`r`1, ¨ ¨ ¨ ,Tnq (211)

un sous-polynome non nul de P avec r maximal. En inspectant les di↵érents types de monômes contenusdans l’expression

∞n`1i“0 p´1qi�ipPq, on trouve que

j`rÿ

i“ j

p´1qi�ipMq “ 0.

Il s’ensuit que∞ j`r

i“ j Q “ 0, ce qui équivaut à la condition que r est pair. Ainsi, en modifiant P par le cobordassocié à

N “ T dj ¨ ¨ ¨ T d

j`r´1 ¨ QpT1, ¨ ¨ ¨ ,T j´1,T j`r, ¨ ¨ ¨ ,Tn´1q,on obtient un polynôme de Laurent ayant strictement moins de sous-polynomes de la forme (211).

En itérant la construction précédente et en raisonnant par récurrence sur r on arrive en fin de compte àdiminuer le degré maixmal d’une variable dans P. ⌅

Nous aurons besoin de la généralisation suivante de la Proposition 4.48.Corollaire 4.50. — Soit T un k-tore. Soient X‚ un k-schéma simplicial et Y‚ // X‚ un K‚pT, rq-torseur.

Enfin, soit V un k-vectoriel. Alors, le morphsime canonique HiétpX‚,Vq // Hi

étpY‚,Vq est un isomorphisme.Démonstration. — Lorsque le torseur Y‚ est trivial, le résultat recherché est une conséquence immédiatede la Proposition 4.48 et du théorème d’Eilenberg-Zilber. Pour le cas général, on reprend la méthode de lapreuve de la Proposition 4.21.

Il su�t de montrer que OpX‚q // OpY‚q est un quasi-isomorphisme. Considérons le k-schéma bisimpli-cial P‚,‚ “ C‚pY‚{X‚q et notons Q‚,‚ “ Y‚ ˆX‚ P‚,‚. Pour m P N, Qm,‚ est un K‚pT, rq-torseur sur Pm,‚ qui esttrivial puisqu’il admet une section donnée par une immersion diagonale partielle. D’après ce qui précède,nous savons que les morphismes OpPm,‚q // OpQm,‚q sont des quasi-isomorphismes. Il en découle que lemorphisme Tot

±OpP‚,‚q // Tot

±OpQ‚,‚q est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, il est facile de voir que

OpX‚q et OpY‚q sont canoniquement quasi-isomorphes à Tot±OpP‚,‚q et Tot

±OpQ‚,‚q. ⌅

Définition 4.51. — Suivant [14], on dit qu’un k-schéma en groupe connexes B est anti-a�ne si toutefonction régulière sur B est constante, i.e., OpBq » k.Remarque 4.52. — Un k-schéma en groupe anti-a�ne B est automatiquement commutatif. (Ceci découlepar exemple de [14, Lemma 1.1(iv)] appliqué à l’action par conjugaison de B sur lui-même.) p16q Dans [14]on trouvera une classification des k-schémas en groupe anti-a�nes : ce sont des extensions d’une k-variété

16. Check the reference in the published version ! !

160 JOSEPH AYOUB

abélienne B par un k-groupe a�ne U ˆk T produit d’un k-vectoriel U par un k-tore T . La propriété d’êtreanti-a�ne est alors équivalente à une condition de « non trivialité totale » de cette extension. ⇤

Nous aurons besoin du résultat suivant.Proposition 4.53. — Soit B un k-schéma en groupe anti-a�ne. Il existe alors un isomorphisme canoniquedans la catégorie dérivée des k-vectoriels :

à

iPN

ôiH1pB,Oqrís „// R�pB,Oq. (212)

On suppose que B est une extension d’une k-variété abélienne B par un k-groupe commutatif U ˆk T avecU un k-vectoriel et T un k-tore. Alors, on a un isomorphisme canonique H1pB{T,Oq » H1pB,Oq et unesuite exacte courte

0 // U_ // H1pB,Oq // H1pB,Oq // 0.En particulier, le k-vectoriel H1pB,Oq est de dimension finie et les termes de la somme directe dans (212)sont nuls pour i strictement plus grand que cette dimension.Démonstration. — Tout ceci se trouve dans [15, §4]. ⌅Théorème 4.54. — Soit B une k-schéma anti-a�ne. Alors, on a un quasi-isomorphisme canonique

R�étpK‚pB, rq; Ga

q » à

jPNS jpH1pB,Oqr´r ´ 1sq.

Démonstration. — Considérons la catégorie abélienne des faisceaux de O-modules sur le site Zariski du k-schéma simplicial K‚pB, rq qui sont quasi-cohérents en chaque degré. Il existe une extension « universelle »dans cette catégorie abélienne :

0 // O // E // H1pK‚pB, rq,Oq // 0 (213)

qui est donnée par l’extension universelle habituelle en chaque degré. Nous pouvons la construire de lamanière suivante. Considérons l’extension universelle par un k-vectoriel

0 // H1pB,Oq_ // B7 // B // 0

du k-schéma en groupe anti-a�ne B. Notons p : K‚pB7, rq // K‚pB, rq le morphisme évident. Alors, le mo-dule quasi-cohérent p˚pOq{O admet H1pK‚pB, rq,Oq pour complexe de sections globales. L’image inversede H1pK‚pB, rq,Oq Ä p˚pOq{O par la projection p˚pOq // // p˚pOq{O fournit l’extension recherchée.

La suite exacte (213) fournit un morphisme dans la catégorie dérivée des k-vectoriels

H1pK‚pB, rq,Oqr´1s // R�étpK‚pB, rq,Ga

q.Le second membre étant une algèbre commutative, il s’ensuit un morphisme

à

iPN

ôiH1pK‚pB, rq,Oqrís // R�étpK‚pB, rq,Ga

q. (214)

La première assertion de la Proposition 4.53 entraîne alors que (214) est un quasi-isomorphisme.Notons H1pB,Oq le dual de H1pB,Oq. Si B1 et B2 sont deux k-schémas en groupe anti-a�nes, alors

H1pB1 ˆk B2,Oq “ H1pB1,Oq ‘ H1pB2,Oq. Il en découle aussitôt que

H1pK‚pB, rq,Oq “ K‚pH1pB,Oq, rq.Posons V “ H1pB,Oq. Le quasi-isomorphisme (214) se réécrit alors

à

iPNpôiK‚pV, rq_qrís „

// R�étpK‚pB, rq,Ga

q. (215)

Comme nous l’avons déjà remarqué à plusieurs reprises, il découle du théorème d’Eilenberg-Zilber que le lecomplexe associé au k-vectoriel cosimplicial

ôipK‚pV, rq_q est quasi-isomorphe au complexeôipV_r´rsq.

Il en découle en fin de compte que R�étpK‚pB, rq,Ga

q est quasi-isomorphe àà

iPN

ôipV_r´rsqrís “ à

iPNSipV_r´r ´ 1sq.


Ceci termine la preuve du théorème. ⌅Corollaire 4.55. — Soit B un k-schéma anti-a�ne et soit V un k-vectoriel. Alors, les faisceaux HipB, r; Vqsont nuls si pr ` 1q ne divise par i. De plus, on a

Hr j` jpB, r; Vq “"

S jpH1pB,Oqq bk V si r est impair,ô jpH1pB,Oqq bk V si r est pair.

Démonstration. — Compte tenu de la contrainte de commutativité pour le produit tensoriel des complexes,il s’agit d’une conséquence immédiate du Théorème 4.54. ⌅

Pour une future utilisation, on note le résultat suivant.Lemme 4.56. — Soit B un k-schéma anti-a�ne et soit V un k-vectoriel. Le morphisme canonique

HipB, r; Vq “ HiétpK‚pB, rq,Vq // Hi

étppK‚pB, rq,Vqest un isomorphisme. En particulier, les faisceaux Hi

étppK‚pB, rq,Vq sont nuls si i ne divise par pr ` 1q et sontdonnés comme dans le Corollaire 4.55 pour i “ r j ` j.Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate du Corollaire 4.50. ⌅

4.6. Lemme de Poincaré feuilleté et applications. —Dans cette sous-section, nous démontrons un lemme de Poincaré pour la topologie feuilleté. Ceci nous

permettra de réaliser la cohomologie de de Rham d’un �-schéma comme la cohomologie feuilletée d’unfaisceau discret (au sens de la Définition 3.76). Ensuite, nous rappellerons un résultat du à Beilinson quinous permettra, dans certains cas particuliers, de lier directement la cohomologie de de Rham d’un �-corpsà la cohomologie de son groupe de Galois di↵érentiel linéaire absolu (voir la Définition 2.118).

Tout au long de la sous-section, on fixe un �-corps K de caractéristique nulle.Définition 4.57. — Nous dirons qu’un pK,�q-module M est holonome si le K-vectoriel sous-jacent à M

est de dimension finie. Nous dirons que M est ind-holonome si M est l’union (filtrante) des ses sous-pK,�q-modules holonomes.Construction 4.58. — Étant donné un pK,�q-module M, on note Op´; Mq le préfaisceau sur Fttf�{K

qui à un pK,�q-schéma localement de type fini X associe OpXq bK M. Le préfaisceau Op´; Mq est na-turellement un pO,�q-module. En particulier, on dispose de morphismes K�“0-linéaires de préfaisceauxB : Op´; Mq // Op´; Mq pour tout B P �. Ceci permet de former le complexe de de Rham ⌦‚p´; Mqdonné en degré i par

⌦ip´; Mq “ Op´; Mq b ôipZ�qoù Z� est le Z-module libre des applications de l’ensemble � dans Z. La di↵érentielle de ce complexeest donnée par dpm b !q “ ∞

BP� Bpmq b pB_ ^ !q avec m une section de Op´; Mq, ! P ôipZ�q et B_l’application de � dans Z qui vaut 1 en B et 0 sur � r tBu. (Lorsque M “ K, on note simplement ⌦‚p´q lecomplexe de de Rham ainsi obtenu.) ⇤

Le résultat qui suit est le lemme de Poincaré feuilleté dont il est question dans le titre de la sous-section.Théorème 4.59. — Supposons que le pK,�q-module M est ind-holonome. Alors,

(a) le faisceau feuilleté associé à H0dRp´; Mq est canoniquement isomorphe au faisceau localement discret

M� “ afttfpM�q de la Proposition 3.88(a),

(b) pour i , 0, le faisceau feuilleté associé au préfaisceau HidRp´; Mq est nul.

Autrement dit, l’inclusion canonique M�r0s ãÑ ⌦‚p´; Mq est une équivalence fttf-locale.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que M est holonome. La question étantlocale pour la topologie feuilletée, on peut remplacer K par une une �-extension L{K et M par le pL,�q-module L bK M. D’après la Proposition 2.120, il est donc su�sant de traiter le cas òu M “ K. Dans ce cas,M� est le préfaisceaux des constantes qu’on notera O�“0.

162 JOSEPH AYOUB

D’après le Théorème 3.46, il est su�sant de montrer que le morphisme O�“0 // ⌦‚ induit un quasi-isomorphisme après application d’un foncteur �c. Ce dernier est associé à un morphisme de schémasc : SpecpCq // SpecpKq (i.e., une extension C{K) avec C un corps algébriquement clos, de degré detranscendance indénombrable sur Q. (On ne suppose pas que C est un �-corps.) Le foncteur � est simple-ment l’évaluation en SpecpCrrtssq vu comme pK,�q-schéma grâce à la Proposition 3.39. Or, en appliquant�c au morphisme O�“0 // ⌦‚, on obtient simplement l’inclusion C // ⌦‚pCrrtssq. Le résultat recherchéest alors une conséquence du lemme de Poincaré formel (voir le Lemme 4.60 ci-dessous). ⌅

Le résultat suivant est bien connu.Lemme 4.60. — Soit k un corps de caractéristique nulle. Alors, la cohomologie de de Rham formelle de

la k-algèbre An “ krrt1, ¨ ¨ ¨ , tnss est donnée par

Hip⌦pAnqq “"

k si i “ 0,0 si i , 0.

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur n. Lorsque n “ 0, il n’y a rien à montrer. On supposedonc que n > 1. Alors, le complexe de de Rham ⌦‚pAnq s’identifie canoniquement à

Cône tBn : ⌦‚pAn{krrtnssq // ⌦‚pAn{krrtnssq ¨ dtnu r´1s (216)

où ⌦rpAn{krrtnssq “ À16i1†¨¨¨†ir6n´1 An ¨ dti1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ dtir est le module des r-formes di↵érentielles relatives

de la krrtnss-algèbre formelle An. Or, il est clair que le morphisme Bn : An // An est surjectif de noyauAn´1 “ krrt1, ¨ ¨ ¨ , tn´1ss. Il en découle que le complexe (216) est quasi-isomorphe à ⌦‚pAn´1q ce qui permetde conclure grâce à l’hypothèse de récurrence. ⌅Notation 4.61. — Soit M un pK,�q-module. Pour i P Z, on pose Hi

dRp´; Mq “ Hip⌦‚p´; Mqq. Plusgénéralement, soit M‚ un complexe de pK,�q-modules. On pose Hi

dRp´; Mq “ HipTot±⌦‚p´; M‚qq. p17q ⇤

Corollaire 4.62. — Soit M‚ un complexe de pK,�q-modules ind-holonomes borné à gauche. Pour touti P Z, il existe un isomorphisme canonique

HidRpK; Mq » Hi

fttfpK; M�q.

Démonstration. — On dispose d’un morphisme de complexes de préfaisceaux

pM‚q� // Tot±⌦‚p´; M‚q (217)

qui est une équivalence fttf-locale d’après le Théorème 4.59. Il en découle un morphisme canonique

HidRpK; Mq // Hi

fttfpK; Tot±⌦‚p´; M‚qq » Hi

fttfpK; M�q. (218)

Pour montrer que (218) est un isomorphisme, il est su�sant de montrer que

HifttfpK,Op´; Mqq “

"M si i “ 00 si i , 0.

Ceci est une conséquence immédiate du Lemme 4.63 ci-dessous. ⌅Pour des utilisations futures, nous avons énoncé le résultat ci-dessous dans une généralité bien plus grande

que celle nécessaire pour la preuve du Corollaire 4.62.Lemme 4.63. — Soit F‚ un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sch{K (la catégorie des K-

schémas non nécessairement de type fini). Supposons que F‚ est borné à gauche et qu’il est continu ausens suivant : si pXiqiPI est un pro-K-schéma a�ne, alors F‚plimiPIXiq » colimiPIF‚pXiq. Considérons lefoncteur o� : Fttf�{K // Sch{K qui consiste à oublier la structure di↵érentielle. Alors, pour tout i P Z, lemorphisme évident

HiétpK, Fq // Hi

fttfpK, po�q˚Fqest un isomorphisme.

17. Peut-être, vaut-il mieux se restreindre au cas des complexes bornés à gauche ?


Démonstration. — La question est locale pour la topologie étale sur K. On ne restreint donc pas la généra-lité en supposant que K est algébriquement clos.

Soit Q‚ une hyper-clôture di↵érentielle de K. Grâce au Théorème 3.165, on sait que HifttfpK, po�q˚Fq est

canoniquement isomorphe à HipTot±

FpQqq. Puisque le K-schéma semi-simplcial Q‚ est le spectre d’uncorps algébriquement clos en chaque degré, ce dernier groupe coïncide avec Hi

étpQ‚, Fq. Or, la Proposition4.1 fournit un isomorphisme canonique Hi

étpF,Kq » HiétpQ‚,Kq. Le lemme est démontré. ⌅

Notation 4.64. — On note Mod�pKq la catégorie abélienne des pK,�q-modules et Mod�holpKq sa sous-catégorie pleine formée des pK,�q-modules ind-holonomes. On note aussi D`

holpMod�pKqq la sous-catégorietriangulée de la catégorie dérivée D`pMod�pKqq formée des complexes à cohomologie ind-holonome. Ondispose d’un foncteur évident

D`pMod�holpKqq // D`holpMod�pKqq. (219)

Ce foncteur n’est pas une équivalence de catégories en général. (Voir cependant le Théorème 4.72.) ⇤Lemme 4.65. — Soit M un complexe de pK,�q-modules borné à gauche. Alors, on a un isomorphisme

canoniquehomD`pMod�pKqqpK,Mrísq » Hi

dRpK; Mq. (220)

Démonstration. — Rappelons que l’algèbre de Weyl WpKq du �-corps K est donnée, en tant que K-vectoriel, par WpKq “ À

rPNm K ¨ Br. La multiplication dans WpKq est uniquement déterminée par lesformules : rB, B1s “ 0 (pour tout B, B1 P �) et rB, f s “ Bp f q (pour tout B P � et f P K). Se donner unpK,�q-module équivaut à se donner un module à gauche sur WpKq. (En particulier, WpKq est elle-mêmeun pK,�q-module.) Il s’ensuit que la catégorie abélienne Mod�pKq, équivalente à la catégorie ModpWpKqq,possède su�samment de projectifs, à savoir les sommes directes de copies de WpKq. On peut donc calculerles groupes homD`pMod�pKqqpK,Mrísq à l’aide d’une résolution projective du pK,�q-module K.

On dispose d’une résolution minimale de K en tant que WpKq-module. C’est la résolution de Koszulobtenue en identifiant K au quotient de WpKq par l’idéal engendré par les B P �. Cette résolution est donnéepar le complexe WpKq b ô‚pZ b �q où Z b � désigne le Z-module librement engendré par les élémentsde �. (On laissera au lecteur le soin de préciser la di↵érentielle.) D’après ce qui précède, on obtient unisomorphisme canonique

homD`pMod�pKqqpK,Mrísq » HipTot±

homMod�pKqpWpKq b ô‚pZb �q,M‚qq.Or le bicomplexe dans le second membre de cet isomorphisme s’identifie canoniquement au double com-plexe ⌦‚pK; M‚q. Ceci termine la preuve du lemme. ⌅Proposition 4.66. — Supposons que K est algébriquement clos et fixons une hyper-clôture di↵érentielle

Q‚ de K. Soit M‚ un complexe de pK,�q-modules ind-holonomes borné à gauche. Pour tout i P Z, nousavons un isomorphisme canonique

homD`pMod�pKqqpK,Mrísq » HipTot M�pQqq. (221)

Si M‚ // I‚ est une résolution injective de M dans Mod�pKq, cet isomorphisme est induit par la composi-tion des quasi-isomorphismes

hompK, I‚q “ pI‚q�“0 “ prI‚pKqq�“0 q.i.// Tot prI‚pQ‚qq�“0 q.i.

oo Tot p rM‚pQ‚qq�“0 “ Tot M�pQq.

Démonstration. — On a une chaîne d’isomorphismes naturels

homD`pMod�pKqqpK,Mrísq » HidRpK; Mq » Hi

fttfpK; M�q » HipTot M�pQqqdonnés respectivement par le Lemme 4.65, le Corollaire 4.62 et le Théorème 3.165. Par construction, lacomposition des deux derniers isomorphismes est induite par les quasi-isomorphismes

Tot⌦pK; Mq q.i.// Tot⌦pQ‚; Mq q.i.

oo Tot M�pQq.

164 JOSEPH AYOUB

Or, pour I‚ comme dans l’énoncé, on a un diagramme commutatif de quasi-isomorphismes

Tot⌦pK; Mq //

✏✏

Tot⌦pQ; Mq✏✏

TotOpQ; Mq�“0

✏✏

oo

Tot⌦pK; Iq // Tot⌦pQ; Iq TotOpQ; Iq�“0oo

OpK; Iq�“0 //

OO

Tot OpQ; Iq�“0

OO

et les deux quasi-isomorphismes verticaux à gauche induisent l’identification

homD`pMod�pKqqpK,Mrísq » HidRpK; Mq.


Lemme 4.67. — Supposons que K�“0 est algébriquement clos et soit rK une clôture de Picard-Vessiot deK. Soit M‚ un complexe de pK,�q-modules ind-holonomes borné à gauche et notons V‚ le complexe dereprésentations ind-algébriques de Gal�p rK{Kq associé à M‚ par la Construction 2.121. Alors, il existe unisomorphisme canonique

homD`holpMod�pKqqpK,Mrísq » HipGal�p rK{Kq; Vq. (222)

Démonstration. — En e↵et, d’après le Théorème 2.122, il existe une équivalence entre, d’une part, lacatégorie abélienne des pK,�q-modules ind-holonomes et, d’autre part, la catégorie abélienne des représen-tations linéaires ind-algébriques du pro-groupe algébrique Gal�p rK{Kq. Cette équivalence envoie le pK,�q-module K sur les K�“0-vectoriel K�“0 muni de l’action triviale. Le résultat s’ensuit. ⌅

Nous aurons besoin de préciser l’isomorphisme du Lemme 4.67.Proposition 4.68. — Gardons les hypothèses et les notations du Lemme 4.67. Alors, il existe un isomor-

phisme canoniqueHipGal�p rK{Kq; Vq » HipTot M�pC‚p rK{Kqqq

modulo lequel, l’isomorphisme (222) admet la description suivante. Soit M // J‚ une résolution injectivede M dans Mod�holpKq. Alors, l’isomorphisme (222) est induit par la composition des quasi-isomorphismes

hompK, J‚q “ pJ‚q�“0 “ OpK; J‚q�“0 q.i.// TotOpC‚p rK{Kq; J‚q�“0 q.i.

oo Tot M�pCp rK{Kqq.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Construction 2.121. ⌅Théorème 4.69. — Supposons que K est algébriquement clos et fixons une hyper-clôture di↵érentielle

Q‚ de K. Notons rK la clôture de Picard-Vessiot de K contenue dans OpQ0q ; il s’ensuit un morphismecanonique de K�“0-schémas semi-simpliciaux pQ‚q�“0 // Gal�‚ p rK{Kq. Il existe alors un carré commutatif

homD`holpMod�pKqqpK,Krísq //

„✏✏

homD`pMod�pKqqpK,Krísq„✏✏

HipOpGal�‚ p rK{Kqqq // HipOpQ‚q�“0qoù les flèches verticales sont des isomorphismes.Démonstration. — Soit K // J‚ une résolution injective dans Mod�holpKq et J‚ // I‚ une résolution injec-tive dans Mod�pKq. La flèche horizontal supérieure du carré de l’énoncé est induite par pJ‚q�“0 // pI‚q�“0.Le résultat recherché découle des Propositions 4.66 et 4.68. ⌅Définition 4.70. —


(i) On dira que le�-corps K est géométrique si l’ensemble� forme une base du K-vectoriel DerpK{K�“0qdes dérivations K�-linéaires de K, i.e., si l’application évidente

K b � “ à

BP�K ¨ B // DerpK{K�“0q

est bijective. (Ci c’est le cas, l’extension K{K�“0 est de degré de transcendance fini égal au cardinalde l’ensemble �.)

(ii) On dira que le �-corps K est cohomologiquement basique si pour toute extension algébrique L{K ettout entier i P Z, le morphisme

homD`pMod�holpLqqpL, Lrísq // homD`pMod�pLqqpL, Lrísqest un isomorphisme. Autrement dit, les « ext » entre le pL,�q-module L et lui-même, calculés dansles catégories abéliennes Mod�holpLq et Mod�pLq, sont les mêmes. (Bien entendu, il su�t que cela soitvérifié pour une clôture algébrique de K.)

Corollaire 4.71. — Supposons que K est algébriquement clos et soit Q‚ une hyper-clôture di↵érentiellede K. Notons rK la clôture de Picard-Vessiot de K contenue dans OpQ0q. Si le �-corps K est cohomologique-ment basique, alors le morphisme canonique OpGal�‚ prL{Lqq // OppQ‚q�“0q est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — C’est une conséquence directe de la Définition 4.70(ii) et du Théorème 4.69. ⌅

L’énoncé suivant est un reformulation d’un résultat bien connu de Beilinson.Théorème 4.72. — Si le �-corps K est géométrique, alors le foncteur (219) est une équivalence de

catégories. En particulier, K est cohomologiquement basique.Démonstration. — C’est essentiellement [13, Lemma 2.1.1]. Nous laisserons au lecteur le soin de faire lestraductions nécessaires. ⌅

4.7. Complexe de de Rham associé à un schéma en groupe commutatif et connexe. —Tout au long de la sous-section, K désignera un �-corps de caractéristique nulle de corps de constantes

C. On commence par quelques constructions.Construction 4.73. — Notons comme dans le Lemme 4.63, o� le foncteur d’oubli de la structure di↵é-

rentielle. On dispose d’un morphisme canonique de complexes de préfaisceaux sur Fttf�{K :

po�q˚⌦‚Cp´q // ⌦‚p´q (223)

avec ⌦‚Cp´q le complexe de de Rham formé des di↵érentielles de Kähler algébriques relatives à C. Ce

morphisme envoie d f P ⌦1Cpo�pXqq, pour X P Fttf�{K et f P OpXq, sur

∞ni“1 Bip f q ¨ B_

i P ⌦1pXq. ⇤Construction 4.74. — Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe. On dispose d’un morphismede préfaisceaux sur Fttf�{K :

po�q˚A // homCpLiepAq_,⌦1p´qq “ ⌦1p´q bC LiepAq. (224)

Il est défini de la manière suivante. Soit X un pK,�q-schéma localement de type fini et soit f : X // A unmorphisme de C-schémas. On associe à f le morphisme de C-vectoriels qui envoie une forme di↵érentielleinvariante ! P LiepAq_ sur l’image de f ˚! P ppo�q˚⌦1

CqpXq par le morphisme (223). p18qLe complexe de de Rham ⌦‚p´; Aq associé à A est donné en degré i par :

⌦ip´; Aq “" po�q˚A si i “ 0,⌦ip´q bC LiepAq si i , 0.

18. On utilise la connexité de A pour identifier LiepAq_ avec le sous-vectoriel de ⌦1CpAq formé des formes di↵érentielles

invariantes. Ainsi, si ! P LiepAq_ Ñ ⌦1pAq, alors p`q˚! “ ! b 1 ` 1 b ! avec ` : A ˆC A Ñ A la loi de groupe de A notéeadditivement. (Ceci est nécessaire pour obtenir l’additivité de (224).) Check this !

166 JOSEPH AYOUB

La di↵érentielle dA : ⌦0p´; Aq // ⌦1p´; Aq est donnée par (224) et dA : ⌦ip´; Aq // ⌦i`1p´; Aq, pouri > 1, est simplement d b idLiepAq où d est la di↵érentielle de de Rham du complexe ⌦‚p´q. (Ceci est bienun complexe, i.e., la composition

ppo�q˚AqpXq // ⌦1pXq bC LiepAq // ⌦2pXq bC LiepAqest nulle pour X P Fttf�{K, du fait que toute di↵érentielle invariante ! P LiepAq_ est fermée.)

Enfin, on pose HidRp´; Aq “ Hip⌦p´; Aqq. Ce sont les groupes de cohomologie de de Rham à valeurs

dans le C-schéma en groupes A. ⇤Lemme 4.75. — On garde les notations de la Construction 4.74.

(a) On a une identification canonique ⌦‚p´; Ga

q » ⌦‚p´q.(b) On a une identification canonique Hi

dRp´; Aq » HidRp´q bC LiepAq pour tout i > 2.

(c) On a un isomorphisme canonique H0dRp´, Aq » A� où A� est le préfaisceau discret sur Fttf�{K repré-

senté par A bC K.

Démonstration. — Seule la dernière assertion demande une preuve. On a bien une injection A� ãÑ po�q˚A :un morphisme de pC,�q-schémas X // A est en particulier un morphisme de C-schémas. Réciproquement,soit f : X // A un morphisme de C-schémas de source un pK,�q-schéma localement de type fini et suppo-sons que f est dans le noyau de la di↵érentielle du complexe ⌦‚pX; Aq. Montrons que f est un morphismede pC,�q-schémas (� agissant trivialement sur OA).

Soient U Ñ A un ouvert et u P OpUq. Il s’agit de montrer que Bipu ˝ f q “ 0 pour tout 1 6 i 6 n. Ladérivation Bi induit un morphisme de préfaisceaux Bi : po�q˚⌦1

C// O. Ceci permet d’écrire Bipu ˝ f q “

Bip f ˚pduqq. Or, le C-vectoriel LiepAq_ engendre le OA-module libre ⌦1A{C. On peut donc écrire du “ ∞

↵ v↵ ¨!↵ avec v↵ P OpUq et !↵ P LiepAq_. Il s’ensuit que f ˚pduq “ ∞

↵pv↵ ˝ f q ¨ f ˚!↵. La condition que f estdans le noyau de la di↵érentielle de ⌦‚pX; Aq entraîne que la classe de f ˚!↵ dans ⌦1pXq est nulle. PuisqueBi : po�q˚⌦1

C// O se factorise par (223), on obtient l’annulation recherchée. ⌅

Lemme 4.76. — Un morphisme de C-schémas en groupes commutatifs et connexes A // B induit unmorphisme de complexes ⌦‚p´; Aq // ⌦‚p´; Bq.Démonstration. — C’est une conséquence directe de la construction. ⌅

On a pour les complexes ⌦‚p´; Aq la version suivante du lemme de Poincaré feuilleté.Théorème 4.77. — Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe. L’inclusion évidente A�r0s ãÑ⌦‚p´; Aq est une équivalence fttf-locale.Démonstration. — Vu le Lemme 4.75(c), il su�t de montrer que le faisceau feuilleté associé à Hi

dRp´; Aqest nul pour i > 1. Vu le Théorème 4.59(b) et le Lemme 4.75(b), il su�t de considérer le cas i “ 1.

Comme dans la preuve du Théorème 4.59, on se ramène à évaluer en SpecpC1rrtssq où C1 est une extensionalgébriquement close de K de degré de transcendance indénombrable sur Q. On doit montrer que la suite

ApC1rrtssq dA// ⌦1pC1rrtssq bC LiepAq dA

// ⌦2pC1rrtssq bC LiepAqest exacte. On pose :

ApC1rrtssq˝ “ kertApC1rrtssq Ñ ApC1qu et LiepAqpC1rrtssq˝ “ kertLiepAqpC1rrtssq Ñ LiepAqpC1qu.Il est clair que dApApC1rrtssq˝q “ dApApC1rrtssqq et de même pour A remplacé par le C-schéma vectorielLiepAq. Ainsi, vu le Théorème 4.59, il su�t de montrer que dApApC1rrtssq˝q “ dLiepAqpLiepAqpC1rrtssq˝q.

Notons Ae et LiepAq0 les complétions formelles de A et LiepAq en leurs éléments neutres e et 0. Ce sontdes groupes formels et nous disposons d’un isomorphisme canonique (cf. [ ? ?])

expA : LiepAq0„// Ae

caractérisé par les deux propriétés suivantes : il est compatible aux lois de groupe formelles et induit l’iden-tité sur les espaces tangents en 0 et e. La composition avec expA induit un isomorphisme de groupes

´ ˝ expA : LiepAqpC1rrtssq˝ „// ApC1rrtssq˝.


De plus, l’identité dLiepAqp f q “ dApexpAp f qq est vérifiée pour tout f P LiepAqpC1rrtssq˝. Ceci permet deconclure. ⌅Corollaire 4.78. — Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe, et supposons que K est

algébriquement clos. Il existe alors des isomorphismes canoniques

HifttfpK; A�q » Hi

dRpK; Aq. (225)

En particulier, on a H0fttfpK; A�q » ApCq et les groupes Hi

fttfpK; A�q sont uniquement divisibles pour i > 1.En fait, on a même Hi

fttfpK; A�q » HidRpKq bC LiepAq pour i > 2.

Démonstration. — La preuve est la même que celle du Corollaire 4.62 : on utilise l’annulation des groupesde cohomologie étale Hi

étpK, Aq, pour i > 1, conséquence du fait que K est algébriquement clos. Le groupeH1

dRpK; Aq est uniquement divisible : c’est le quotient d’un C-vectoriel par le groupe divisible ApKq. ⌅Remarque 4.79. — Lorsque K n’est plus supposé algébriquement clos, les isomorphismes (225) sont

encore valables après tensorisation par Q. (En e↵et, on dispose encore de l’annulation des groupes decohomologie étale Hi

étpK, A b Qq, pour i > 1.) ⇤Corollaire 4.80. — Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe. Notons V “ LiepAq considérécomme C-schéma vectoriel. Alors, il existe un isomorphisme canonique de faisceaux feuilletés

afttfpA{A�q » afttfpV{V�q “ afttfpGa

{Ga

�q bC LiepAq.

Démonstration. — En e↵et, vu le Théorème 4.77, les préfaisceaux A{A� et V{V� sont naturellement fttf-équivalents au préfaisceau kertd : ⌦1p´q Ñ ⌦2p´qu bC LiepAq. ⌅

Le lemme remarquable ci-dessous sera utile plus tard.Lemme 4.81. — Soit K un �-corps algébriquement clos de corps de constantes C. On suppose donnée

une suite exacte courte de C-schémas en groupes commutatifs et connexes

0 // A1 // A // A2 // 0.

Alors, pour tout n P N, on a des suites exactes courtes

0 // HnfttfpK; A1q // Hn

fttfpK; Aq // HnfttfpK; A2q // 0.

Démonstration. — Pour n “ 0, il s’agit de

0 // A1pCq // ApCq // A2pCq // 0

qui est bien une suite exacte courte car C est algébriquement clos. Pour n > 2, il s’agit de

0 // HndRpKq bC LiepA1q // Hn

dRpKq bC LiepAq // HndRpKq bC LiepA2q // 0

qui est clairement une suite exacte courte. Le cas réstant, i.e., le cas n “ 1, découle maintenant de la suiteexacte longue de cohomologie déduite de la suite exacte de préfaisceaux

0 // A1� // A� // A2� // 0.

Le lemme est démontré. ⌅

4.8. Quelques constructions universelles sur les variétés abéliennes. —Dans toute cette sous-section, on fixe un corps k algébriquement clos et de caractéristique nulle.

Notation 4.82. — Si A est un k-schéma en groupe commutatif, on dispose d’un pro-schéma en groupeTpAq indexé par l’ensemble Nˆ “ N r t0u ordonné par l’opposée de la relation de divisibilité. En tout n PNˆ, il est donné par une copie de A et, si n | m, l’endomorphisme correspondant de A est la multiplicationpar m{n. ⇤Construction 4.83. — Soit A une variété abélienne sur un corps k de caractéristique nulle. On définit

une catégorie EA de la manière suivante. Les objets de EA sont des couples pG, �q où G est un k-schéma en

168 JOSEPH AYOUB

groupe commutatif et connexe, et � P hompA,Alb˝pGqqbQ une classe d’isogénie de morphismes de variétés

abéliennes. Une flèche u : pG, �q // pG1, �1q est un morphisme de k-schémas en groupes u : G // G1 telque � “ �1 ˝ Alb

˝puq. (Autrement dit, EA est simplement la catégorie Az´ associée au foncteur Alb˝

de lacatégorie des k-schémas en groupes commutatifs et connexes dans celle des variétés abéliennes à isogénieprès.) ⇤Proposition 4.84. — La catégorie EA est cofiltrante. Ainsi, le foncteur qui à pG, �q P EA associe le k-

schéma en groupe G, définit un pro-schéma en groupe commutatif que l’on notera UpAq. La pro-variétéabélienne Alb

˝pUpAqq est alors canoniquement isomorphe à TpAq.Démonstration. — Notons E1

A la sous-catégorie pleine de EA formée des couples pG, �q tels que G est anti-a�ne et � est un isomorphisme. Nous allons montrer que l’inclusion E1

A Ä EA est cofinale et que l’ensembleE1

A est cofiltrant. (Ceci entraînera aussi la dernière assortion puisque les couples pA, n ˆ ´ : A Ñ Aq sontclairement dans E1

A.)Soient pG, �q et pG1, �1q deux objets de E1

A. Montrons qu’il y a au plus une flèche u : pG, �q // pG1, �1q.Si v est une autre flèche, alors ✏ “ v ´ u est un morphisme de G dans G1 tel que Alb

˝p✏q “ 0. (En e↵et, unmorphisme de variétés abéliennes qui est de torsion est nécessairement nul.) L’image du morphisme ✏ estdonc contenue dans le sous-groupe N 1 “ kertG1 Ñ Alb

˝pG1qu. Puisque N 1 est a�ne et que G est anti-a�ne,le morphisme G // // N 1 est nécessairement nul, ce qui prouve que ✏ “ 0.

Montrons à présent que l’inclusion E1A ãÑ EA possède un adjoint à gauche. Soit pG, �q un objet de EA.

Notons B Ñ A ˆk Alb˝pGq le graphe de �. (Ceci est bien défini : il su�t de prendre l’image du morphisme

pm ¨ id,m ¨ �q : A // A ˆk Alb˝pGq pour n’importe quel m P Nˆ su�samment divisible.) Par construction,

on dispose d’un morphisme à isogénie près �1 : A // B ; c’est même un isomorphisme dans la catégoriedes variétés abéliennes à isogénie près. On pose G1 “ G Âlb

˝pGq B : c’est un schéma en groupe tel que

Alb˝pG1q “ B. On dispose donc d’un objet pG1, �1q P EA. La projection sur le premier facteur fournit un

morphisme pG1, �1q // pG, �q ; il est universel parmi les morphismes de source des objets pH, q P EA avec inversible. Notons Q1 “ SpecpOpG1qq : c’est le quotient maximal de G1 qui soit a�ne. Le k-schéma engroupe G2 “ kertG1 Ñ Q1u est un sous-groupe de G1 anti-a�ne et tel que Alb

˝pG2q “ Alb˝pG1q “ B. Le

couple pG2, �1q est donc un objet de E1A et le morphisme évident pG2, �1q // pG, �q est universel parmi les

morphismes de source dans E1A.

L’existence de l’adjoint à gauche établie ci-dessus entraîne que l’inclusion E1A ãÑ EA est cofinale. Il reste

à voir que E1A est cofiltrant. Mais si pG, �q et pG1, �1q sont deux objets de E1

A, l’image de pG ˆk G1, p�, �1qqpar l’adjoint à gauche de l’inclusion E1

A ãÑ EA fournit un objet de E1A qui s’envoie vers pG, �q et pG1, �1q. La

proposition est démontrée. ⌅Définition 4.85. — Soit A une k-variété abélienne. Le pro-schéma en groupe UpAq est appelé l’extension

anti-a�ne universelle de A. Par construction, on dispose d’un morphisme canonique �A : UpAq // A.Remarque 4.86. — Par construction, le pro-schéma en groupe UpAq coreprésente le foncteur covariant

hompA,Alb˝p´qq b Q. Ceci caractérise UpAq à un unique isomorphisme près et montre que A UpAq

est un foncteur additif de la catégorie des variétés abéliennes à isogénie près dans celle des pro-schémas engroupe commutatifs. ⇤Lemme 4.87. — Soient A une k-variété abélienne et U un pro-k-schéma en groupe commutatif muni d’unmorphisme p : U // A. Considérons les assertions suivantes.

(i) Le couple pU, pq est isomorphe à pUpAq,�Aq.

(ii) U est anti-a�ne (i.e., H0pU,Oq “ k), Alb˝ppq est un isomorphisme à isogénie près, et les groupes

ext1pU,Gm

q et H1pU,Oq sont nuls.

Alors, on a l’implication (i)ñ(ii). Si k est algébriquement clos, l’implication réciproque (ii)ñ(i) est égale-ment vraie.Démonstration. — Pour montrer l’implication (i)ñ(ii) il faut montrer que le couple pUpAq,�Aq satisfaitaux propriétés dans (ii).


L’identification à isogénie près de Alb˝pUpAqq et A est contenue dans la Proposition 4.84. De même,

le fait que UpAq est anti-a�ne découle de la preuve de la Proposition 4.84. En e↵et, UpAq est la limitedes G pour pG, �q P E1

A et ces G sont anti-a�nes. Il reste donc à voir que les groupes ext1pUpAq,Gm

q etH1pUpAq,Oq sont nuls. Supposons donnée une extension

0 // N // V // UpAq // 0 (226)

avec N un k-schéma en groupe commutatif et connexe. Alors, on a Alb˝pVq “ Alb

˝pUpAqq. Il s’ensuit quepV,�Aq est naturellement un pro-objet de EA. Il existe donc un unique morphisme de pro-schémas en groupeUpAq // V induisant l’identité après application de Alb

˝. Ceci montre que la suite exacte (226) est scindée.

Il s’ensuit que ext1pUpAq,Nq “ 0. En prenant N “ Gm

et N “ Ga

on obtient les annulations recherchées.(En e↵et, on a ext1pUpAq,G

a

q » H1pUpAq,Oq puisque tout Ga

-torseur sur UpAq possède une loi de groupequi en fait une extension de G

a

par UpAq.) p19qRéciproquement, supposons que pU, pq satisfait aux propriétés dans (ii). Alors, pU, pq est un pro-objet de

EA et on dispose d’un morphisme canonique u : UpAq // U. On doit montrer que u est inversible.Notons Q le conoyau de u. Alors, Alb

˝pQq “ 0 ce qui entraîne que le pro-schéma en groupe Q est a�ne.Puisque U est anti-a�ne, le morphisme U // // Q est nécessairement constant ce qui montre que Q est nul.Autrement dit, u est surjectif. D’autre part, appelons N le noyau de u. Alors, N est un pro-schéma en groupecommutatif et a�ne. Supposons par l’absurde qu’il est non nul. Puisque k est supposé algébriquement clos,il existe un morphisme surjectif e : N // // E avec E “ Z{` (avec ` un nombre premier), E “ G

m

ouE “ G

a

. Si N0 désigne le noyau de e, alors UpAq{N0 est une extension de E par U. Cette extension n’estpas triviale puisque E est a�ne alors que UpAq{N0 est anti-a�ne. Il s’ensuit que ext1pU, Eq , 0. D’après(ii) les groupes ext1pU,G

m

q et ext1pU,Ga

q sont nuls. Il en est de même de ext1pU,Z{`q puisque ce derniers’identifie, grâce à la suite exacte courte

0 // Z{` // Gm

p´q`// G

m

// 0, (227)

au sous-groupe de `-torsion de ext1pU,Gm

q. Ceci est en contradition avec la dernière condition de (ii). ⌅Corollaire 4.88. — Soit A une k-variété abélienne avec k algébriquement clos. Alors, on a des isomor-

phismes canoniquesPicpUpAqq » NS1pUpAqq » NS1pAq b Q.

Démonstration. — On a une suite exacte courte

0 // ext1pUpAqq // PicpUpAqq // NS1pUpAqq // 0.

Le Lemme 4.87 entraîne que ext1pUpAqq “ 0 ce qui fournit le premier isomorphisme.Pour le second isomorphisme, on utilise que NS1pUpAqq » NS1pAlb

˝pUpAqqq “ NS1pTpAqq. Or, ilest clair que NS1pTpAqq “ colimnPNˆNS1pAq où le morphisme de transition dans la colimite associé à larelation de divisibilité n | m est la multiplication par pm{nq2. (En e↵et, la multiplication par d sur A induitla multiplication par d2 sur NS1pAq.) Il s’ensuit que NS1pTpAqq » NS1pAq b Q. ⌅Construction 4.89. — Soit k un corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit A une k-

variété abélienne. Pour L Ñ NS1pAq b Q un sous-Z-module de type fini, on choisit un L_ b Gm

-torseurVLpAq sur UpAq, muni d’une trivialisation VLpAq ÛpAq e » L b G

m

au-dessus de l’élément neutre e P UpAqet de classe caractéristique l’inclusion L ãÑ NS1pAq b Q modulo les identifications canoniques :

H1pUpAq; L_ b Gm

q » L_ b PicpUpAqq » L_ b NS1pAq b Q » hompL,NS1pAq b Qq.Étant donnée une inclusion L Ñ L1 de sous-Z-modules de type fini de NS1pAq b Q, il existe un uniquemorphisme de UpAq-schémas VL1pAq // VLpAq qui soit L_ b G

m

-équivariant et qui soit compatible aux

19. N’oublie pas de donner une référence !

170 JOSEPH AYOUB

trivialisations, i.e., tel que le carré

VL1pAq ÛpAq e „//

✏✏

L1_ b Gm

✏✏

VLpAq ÛpAq e „// L_ b G

m

est commutatif. (Utiliser pour cela que OˆpUpAqq “ kˆ.) On obtient ainsi un pro-UpAq-schéma VpAq “tVLpAquLÄNS1pAqbQ qui est en fait un torseur sous le pro-tore tL_ bG

m

uLÄNS1pAqbQ. On dispose de plus d’unetrivialisation de VpAq au-dessus de e.

L’association A VpAq s’étend naturellement en un foncteur de la catégorie des k-variétés abéliennesdans celles des pro-k-schémas. Étant donné un morphisme de variétés abéliennes A // B, le morphismeVpAq // VpBq est caractérisé par les propriétés suivantes. Il rend commutatif les carrés suivants

VpAq //

✏✏

VpBq✏✏

UpAq // UpBq

VpAq ÛpAq e //

✏✏

tL_ b Gm

uLÄNS1pAqbQ

✏✏

VpBq ÛpBq e // tL1_ b Gm

uL1ÄNS1pBqbQ,

et il est tL_ b Gm

uLÄNS1pAqbQ-équivariant. (Encore une fois, l’unicité découle du fait que OˆpUpBqq “ kˆ.)⇤Proposition 4.90. — Soit k un corps de caractéristique nulle et algébriquement clos, et soit A une k-

variété abélienne. Alors, les groupes HiétpVpAq; G

m

q sont nuls pour i > 1.Démonstration. — Lorsque i “ 1, il s’agit d’une conséquence de la Construction 4.89. En e↵et, il est clairque PicpVLpAqq » pNS1pAq b Qq{L, pour tout L Ä NS1pAq b Q, et il su�t de passer à limite pour obtenirl’annulation recherchée.

Si i > 2, on sait que H1étpVpAq; G

m

q est de torsion. (En e↵et, VpAq est pro-lisse.) Il su�t donc de montrerque H1

étpVpAq;Z{`q “ 0 pour tout entier ` , 0. (Utiliser la suite exacte longue de cohomologie associéeà la suite exacte courte (227).) Notons p : VpAq // UpAq, q : UpAq // TpAq et r : TpAq // Specpkqles morphismes canoniques. Il su�ra de montrer que Rp˚Z{` » Z{`, Rq˚Z{` » Z{` et Rr˚Z{` » Z{`.Or, p et q sont des torseurs sur des pro-tores : il vérifient donc le théorème de chagement de base et ilsu�t de montrer que les deux premières identifications sont vraies fibres par fibres. On se ramène ainsi àmontrer les annulations Hi

étpTpGm

q,Z{`q “ 0 et HiétpTpAq,Z{`q “ 0 pour i > 1. Ceci est immédiat puisque

la multiplication par d sur Gm

et A induit la multiplication par di sur HiétpG

m

,Z{`q et HiétpA,Z{`q. ⌅

Le foncteur A VpAq ne commute pas au produit direct dans la catégorie des k-schémas. Toutefois, ona un morphisme binaturel

VpA ˆk Bq // VpAq ˆk VpBq (228)qui dans certain cas est inversible.Lemme 4.91. — Soient A et B des k-variétés abéliennes sans facteur simple commun à isogénie près.

(D’une manière équivalente, on demande que hompA, Bq “ 0.) Alors, le morphisme (228) est un isomor-phisme.Démonstration. — Il su�t de montrer que le morphisme canonique

PicpUpAqq ‘ PicpUpBqq // PicpUpAq ˆk UpBqq “ PicpUpA ˆk Bqqest inversible. Vu le Corollaire 4.88, on se ramène à montrer que le morphisme

NS1QpAq ‘ NS1

QpBq // NS1QpA ‘ Bq

est un isomorphisme. Vu que NS1QpAq “ hom`

QpA, A_q et de même pour B, il est su�sant de montrer que

homQpA, A_q ‘ homQpB, B_q // homQpA ‘ B, A_ ‘ B_qest inversible. Ceci est clair puisque la condition hompA, Bq “ 0 entraîne que les groupes hompA, B_q,hompA_, Bq et hompA_, B_q sont aussi nuls. ⌅


Théorème 4.92. — Soit A‚ une variété abélienne simpliciale et considérons le pro-k-schéma simplicialVpA‚q obtenu en appliquant la Construction 4.89 terme à terme à A‚. Alors, on a les propriétés suivantes.

(a) H0étpVpA‚q; G

m

q “ kˆ et HiétpVpA‚q; G

m

q “ 0 si i , 0.(b) H0

étpVpA‚q; Ga

q “ Ga

et HiétpVpA‚q; G

a

q “ 0 si i , 0.(c) Si B est une k-variété abélienne, alors R�étpVpA‚q; Bq » hompA‚, Bq ‘ Br0s.

Démonstration. — L’assertion (a) découle immédiatement de la Proposition 4.90. L’assertion (c) s’obtienten adaptant une partie de la preuve du Théorème 4.38. On se concentre donc sur la partie (b) de l’énoncé.Le Corollaire 4.50, convenablement généralisé, montre que les morphismes

HiétpUpA‚q; G

a

q // HiétpVpA‚q; G

a

qsont inversibles. Le résultat recherché découle alors de la Proposition 4.53. p20q ⌅

On termine en introduisant une notation qui sera bien utile dans la suite.Notation 4.93. — Soit A une variété semi-abélienne sur un corps k et soit R Ñ endpAq un sous-anneau.

Soit M un R-module à gauche qu’on supposera de type fini. On note homRpM, Aq le k-schéma en groupecommutatif qui représente le préfaisceau qui à une k-algèbre E associe le groupe homRpM, ApEqq des mor-phismes R-linéaires de M dans ApEq. Ce préfaisceau est bien représentable puisqu’il s’écrit comme l’égali-sateur d’une double flèche hompM, Aq //

// hompR b M, Aq bien choisie.Lorsque M n’est plus supposé de type fini, on entendra par homRpM, Aq le pro-schéma en groupe, limite

projective des homRpL, Aq suivant les sous-R-modules de type fini L Ñ M. ⇤Lemme 4.94. — Gardons les notations ci-dessus et supposons que A est une k-variété abélienne ou un

k-tore. Si R est de rang maximal (i.e., R b Q » endpAq b Q), alors le morphisme canonique

M // homphomRpM, Aq, Aq (229)est inversible à torsion près. En particulier, (229) est inversible si M est uniquement divisible en tant quegroupe abélien.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas où M est de type fini. Donnons-nous une présentation

Rm // Rn // M // 0du R-module M. Nous en déduisons alors une suite exacte de k-schémas en groupes commutatifs :

0 // homRpM, Aq // homRpRn, Aq // homRpRm, Aq.(Il su�t de vérifier ceci sur les k-points !) Il s’ensuit que la suite

homphomRpRm, Aq, Aq // homphomRpRn, Aq, Aq // homphomRpM, Aq, Aq // 0est exacte à torsion près. (Utiliser que la catégorie des variétés abéliennes à isogénie près est semi-simpleainsi que celle des tores à isogénie près.) Il est donc su�sant de traiter le cas de M “ Rs, avec s P N. Lerésultat recherché est clair dans ce cas puisque homRpRs, Aq » A‘s. ⌅

4.9. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, IV. Scindage. —Dans toute la sous-section, on fixe un �-corps K de caractéristique nulle et de corps de constantes C.

(Tous les schémas seront des C-schémas.) Notre but est de décrire le type d’homotopie feuilleté de K. Ilfaut d’abord traiter le cas des �-extension primitivement close de K.Définition 4.95. — Un �-anneau R est dit primitivement clos si pour tout élément a P R, tout entier

1 6 i 6 n et tout sous-ensemble J Ñ rr1, nss r tiu avec B jpaq “ 0, @ j P J, il existe b P R tel que Bipbq “ a etB jpbq “ 0 pour tout j P J.Proposition 4.96. — Soit R un �-anneau primitivement clos. Alors, on a Hi

dRpRq “ 0 pour tout i > 1.Démonstration. — On raisonne par récurrence sur le nombre n de dérivations. Lorsque n “ 0, il n’y a rienà montrer. On suppose donc que n > 1 et que le résultat est démontré pour les p� r tBnuq-anneaux.

20. Le traitement de ces points n’est pas satisfaisant. Il faut réorganiser ça !

172 JOSEPH AYOUB

On note R1 le p� r tBnuq-anneau R où l’on oublie l’action de Bn. Alors, le complexe de de Rham ⌦‚pRqs’identifie à

CônetBn : ⌦‚pR1q // ⌦‚pR1qur´1s. (230)Puisque R est primitivement clos, l’application Bn : R1 // R1 est surjective. Il s’ensuit que (230) est naturel-lement quasi-isomorphe à son sous-complexe kertBn : ⌦‚pR1q Ñ ⌦‚pR1qu qui n’est autre que le complexede de Rham ⌦‚pRBn“0q du p�r tBnuq-anneau RBn“0. Ce dernier étant encore primitivement clos, l’hypothèsede récurrence permet de conclure. ⌅Notation 4.97. — Étant donné un �-schéma X, on pose Zi

dRpXq “ kert⌦ipXq // ⌦i`1pXqu pour tout i PN. Si A est un C-schéma en groupe commutatif et connexe, on pose Zi

dRpX; Aq “ kert⌦ipX; Aq // ⌦i`1pX; Aqu.Bien entendu, si i > 1, on a Zi

dRpX; Aq “ ZidRpXq bC LiepAq. ⇤

Construction 4.98. — Soit L{K une �-extension. On forme la pL,�q-algèbre

Lxe!, e´1! ;! P Z1

dRpLqype´1

! ¨ Bpe!q ´ xB,!y; B P �, ! P Z1dRpLqq� ` pe! ¨ e!1 ´ e!`!1 ;!, !1 P Z1

dRpLqq� . (231)

(Ci-dessus, nous avons noté xB,!y la contraction de la forme di↵érentielle ! suivant la dérivation B. Au-trement dit si ! “ ∞n

j“1 f j ¨ B_j , alors xBi,!y “ fi.) Le L-schéma JpLq “ Specp(231)q est un torseur sous

le pro-C-tore hompZ1dRpLq,G

m

q. (En e↵et, le groupe des caractères de ce pro-tore s’identifie à Z1dRpLq.) De

plus, ce pro-tore agit sur JpLq par des automorphismes de pL,�q-schémas. ⇤Notation 4.99. — Soit C une catégorie additive karoubienne. La correspondance de Dold-Kan (cf. [32,

Chapter III, §2] par exemple) est réalisée par le foncteur « complexe normalisé » :

N : �opC // Cpl>0pCqqui est une équivalence de catégories. Son quasi-inverse sera noté K‚. Étant donné un complexe A‚ concentréen degrés positifs ou nuls, l’objet simplicial K‚pAq est appelé l’objet d’Eilenberg-Mac Lane généraliséassocié à A. En e↵et, avec les notations de la Construction 3.205, on a K‚pBrrsq “ K‚pB, rq pour tout B P Cet r > 0. ⇤Proposition 4.100. — On garde les notations et les hypothèses de la Construction 4.98. Le L�“0-

schéma simplicial C‚pJpLq{Lq�“0 est un torseur sous le pro-C-tore simplicial K‚`homprLˆ{pL�“0qˆ Ñ

Z1dRpLqs,G

m

q˘dont le poussé en avant suivant le morphisme

K‚`homprLˆ{pL�“0qˆ Ñ Z1

dRpLqs,Gm

q˘// K‚

`homprLˆ Ñ Z1

dRpLqs,Gm

q˘

admet une trivialisation canonique. Plus précisément, il existe un carré cartésien de C-schémas simpliciaux

C‚pJpLq{Lq�“0//

✏✏

K‚phomprLˆ Ñ Z1dRpLqs,G

m

qq

✏✏

SpecpL�“0q // homppL�“0qˆ,Gm

qoù la flèche horizontale inférieure correspond au L�“0-point idpL�“0qˆ P homppL�“0qˆ, pL�“0qˆq.Démonstration. — En e↵et, le L-schéma simplicial C‚pJpLq{Lq est un torseur sous le C-schéma en groupesimplicial C‚phompZ1

dRpLq,Gm

q{Cq. L’action de ce pro-C-tore simplicial étant compatible à la structurede pL,�q-schémas, il s’ensuit que le L�“0-schéma semi-simplicial C‚pJpLq{Lq�“0 est naturellement munid’une action de C‚phompZ1

dRpLq,Gm

q{Cq. Le sous-pro-tore simplicial constant hompH1dRpLq,G

m

q, plongédiagonalement dans C‚phompZ1

dRpLq,Gm

q{Cq, agit trivialement sur C‚pJpLq{Lq�“0. p21q Ainsi, ce dernier estun torseur sous le pro-tore simplicial

C‚phompZ1dRpLq,G

m

q{CqhompH1

dRpLq,Gm

q21. Il faudrait vérifier ce point. Je ne vois pas pourquoi c’est vrai, en même temps ça ne peut être que vrai !


qui est canoniquement isomorphe à K‚`homprLˆ{pL�“0qˆ Ñ Z1

dRpLqs,Gm

q˘.

Pour la seconde partie de l’énoncé, il su�t de construire un début de morphisme d’objets simpliciaux

JpLq�“0

✏✏

// pJpLq ˆK JpLqq�“0oooo

✏✏

hompLˆ,Gm

q // hompLˆ ‘ Z1dRpLq,G

m

q.oooo

Le groupe des caractères de hompLˆ,Gm

q est Lˆ et celui de hompLˆ ‘ Z1dRpLq,G

m

q est Lˆ ‘ Z1dRpLq. La

flèche verticale de gauche envoie f P Lˆ sur la section f ¨ e´1d logp f q de O�“0pJpLqq. La flèche verticale de

droite envoie f P Lˆ sur p f ¨ e´1d logp f qq b 1 et ! P Z1

dRpLq sur e! b e´1! . p22q ⌅

Théorème 4.101. — Supposons que la �-extension L est primitivement close. Soit Q‚ // C‚pJpLq{Lqun hyper-recouvrement générique relatif avec Q‚ une hyper-clôture di↵érentielle de L. Alors, le morphismeOˆpC‚pJpLq{Lq�“0q // OˆppQ‚q�“0q est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le morphisme canonique

HipOˆpC‚pJpLq{Lq�“0qq // HifttfpL; G

m

�q (232)est inversible pour tout i P N.Démonstration. — Puisque le �-corps L est primitivement clos, on sait que

HifttfpL; G

m

�q “$&

%

pL�“0qˆ si i “ 0,cokertLˆ Ñ Z1

dRpLqu si i “ 1,0 si i > 2.

La Proposition 4.100 fournit une formule similaire pour les HipOˆpC‚pJpLq{Lq�“0qq. La vérification que,modulo ces identifications, les morphismes (232) sont des indentités est omise pour le moment. ⌅Définition 4.102. — Soit X un pK,�q-schéma. On note Pic�pXq le groupe des classes d’isomorphismes

des pOX,�q-modules inversibles.Proposition 4.103. — Soit X un pK,�q-schéma. Il existe un isomorphisme canonique :

Pic�pXq » H1ZarpX;⌦‚p´; G

m

qq.

Démonstration. — Un élément de H1ZarpX;⌦‚p´; G

m

qq est représenté par les données suivantes :– un recouvrement Zariski pUiqPI de X,– des sections ui j P OˆpUi X U jq telles que pui j|UiXU jXUkq ¨ pujk|UiXU jXUkq “ ui jk|UiXU jXUk pour tout

i, j, k P I,– des formes di↵érentielles fermées !i P Z1

dRpUiq telles que d logpui jq “ ! j|UiXU j ´ !i|UiXU j pour touti, j P I. p23q

À un tel élément, on associe un pOX,�q-module inversible L de la manière suivante. Pour chaque i P I, onnote Li le OUi-module OUi muni des di↵érentielles BLi : f B f ` xB,!y ¨ f . Pour i, j P I, la multiplicationpar ui j induit alors un isomorphisme de pOUiXU j ,�q-modules Li|UiXU j

„// L j|UiXU j . Ces isomorphismes

permettent de recoller les pLiqiPI pour obtenir le pOX,�q-module L recherché. ⌅Proposition 4.104. — Soit X un pK,�q-schéma. On dispose d’une suite exacte canonique :

0 // OˆpXq�“0 // OˆpXq d log// Z1

dRpXq // Pic�pXq // PicpXq // H1ZarpX; Z1

dRq. (233)De plus, le morphisme canonique H1

ZarpX; Z1dRq // H2

ZarpX;�>1⌦‚q, où �>´ est la troncation bête des com-plexes, est injectif.Démonstration. — Le morphisme ⌧>1⌦‚p´; G

m

q // ⌦‚p´; Gm

q induit un isomorphisme

H1ZarpX; ⌧>1⌦‚p´; G

m

qq „// H1

ZarpX;⌦‚p´; Gm

qq.22. Ceci n’a pas été pleinement vérifié, et notamment la compatibilité avec les conventions, etc.23. Check the order, i ´ j ou j ´ i !

174 JOSEPH AYOUB

Par ailleurs, on a un triangle distingué de faisceaux Zariski

Z1dRr´1s // ⌧>1⌦‚p´; G

m

q // Gm

r0s // Z1dRr0s. (234)

Le début de la suite exacte longue en cohomologie Zariski associé à (234) s’identifie canoniquement à(233). La dernière assertion est claire. ⌅Corollaire 4.105. — Supposons que L{K est une �-extension primitivement close et soit X un pL,�q-

schéma. On suppose que OpXq » L et que H1ZarpX;Oq “ 0. Alors, le morphisme Pic�pXq // PicpXq est

surjectif et il existe un morphisme canonique

PicpXq // Pic�pJpLq ˆL Xqqui factorise le morphisme évident Pic�pXq // Pic�pJpLq ˆL Xq. Autrement dit, on a les assertions sui-vantes :

(a) Tout OX-module inversible L admet une structure de pOX,�q-module.(b) Soient L1 et L2 deux pOX,�q-modules inversibles et supposons qu’ils sont isomorphes en tant que

OX-modules. Alors, leurs pull-back à JpLq bL X sont isomorphes en tant que pOJpLqˆLX,�q-modules.

Démonstration. — Montrons d’abord que Pic�pXq // PicpXq est bien surjectif. D’après la Proposition4.104, il est su�sant de montrer que H2

ZarpX;�>1⌦‚q est nul. Étant donné que H1ZarpX;⌦iq “ 0 pour tout

i P N, la suite spectrale d’hyper-cohomologie associée à la filtration bête de�>1⌦‚ montre que le morphisme

H2p�>1⌦‚pXqq // H2ZarpX;�>1⌦‚q

est un isomorphisme. Par ailleurs, on a ⌦ipXq » ⌦ipLq puisque OpXq “ L. On obtient donc un isomor-phisme

H2dRpLq „

// H2ZarpX;�>1⌦‚q.

Puisque L est primitivement clos, ceci permet de conclure.Pour continuer, notons que l’hypothèse OpXq “ L entraîne aussi que OˆpXq “ Lˆ et Z1

dRpLq “ Z1dRpLq.

D’après la Proposition 4.104, on a alors une suite exacte courte

0 // H1dRpL; G

m

q // Pic�pXq // PicpXq // 0.

Il nous faut donc vérifier que la composition de

H1dRpL; G

m

q // Pic�pXq // Pic�pJpLq ˆL Xqest nulle. Or, cette composition se factorise par le morphisme H1

dRpL; Gm

q // H1dRpJpLq; G

m

q qui est nulpar la construction même de JpLq. ⌅Notation 4.106. — Soit X un C-schéma. On note f�pXq le pC,�q-schéma qui représente le foncteur

homCp´, Xq sur la catégorie des pC,�q-schémas. ⇤Construction 4.107. — Nous aurons besoin d’une généralisation de la Construction 4.98 où G

m

seraremplacé par un C-schéma en groupe commutatif et connexe A. On dispose d’un morphisme de pC,�q-schémas en groupes

dA : f�pAq // ⌦1 bC LiepAq “ ⌦1p´; Aq.(Ci-dessus, ⌦1 est considéré comme un pC,�q-schéma vectoriel ; il est alors isomorphe à

Àni“1 f�pG

a

q.)Soit L{K une �-extension. Étant donnée une forme di↵érentielle ! P ⌦1pL; Aq, on peut former le carré

cartésienf�pAq! //

✏✏

f�pAqdA✏✏

SpecpLq !// ⌦1p´; Aq.

Alors, f�pAq! est un pL,�q-schéma. Il est non vide si et seulement si ! P Z1dRpL; Aq, et c’est alors un

A-torseur défini sur L.


Nous aurons besoin de la version universelle de la construction ci-dessus. Nous noterons JApLq le pL,�q-schéma qui rend cartésien le carré suivant :

JApLq

✏✏

// homendpAqpZ1dRpL; Aq, f�pAqq

✏✏

SpecpLq // homendpAqpZ1dRpL; Aq,⌦1p´; Aqq.

Alors, le pL,�q-schéma JApLq est un torseur sous le C-schéma homendpAqpZ1dRpL; Aq, Aq. Le lecteur vérifiera

facilement que JGm

pLq est bien le pL,�q-schéma JpLq introduit dans la Construction 4.98. ⇤Lemme 4.108. — Le poussé en avant du torseur JApLq suivant le morphisme

homendpAqpZ1dRpL; Aq, Aq // homendpAqpApLq, Aq

est canoniquement isomorphe à L bC homendpAqpApLq; Aq. (En particulier, il admet une trivialisation cano-nique.) De plus, on a un carré commutatif

JApLq //

✏✏

homendpAqpApLq; Aq

✏✏

SpecpL�“0q // homendpAqpApL�“0q, Aq,où la flèche horizontale inférieure est donnée par le L�“0-point idApL�“0q P hompApL�“0q, ApL�“0qq.Démonstration. — En e↵et, ce poussé en avant est la limite du diagramme

homendpAqpApLq, f�pAqq✏✏

SpecpLq // homendpAqpApLq,⌦1p´; Aqqoù la flèche horizontale correspond au L-point dA P hompApLq,⌦1pL; Aqq. Le morphisme

SpecpLq // homendpAqpApLq, f�pAqqcorrespondant au L-point idApLq P hompApLq, ApLqq fournit la trivialisation recherchée. ⌅Proposition 4.109. — On garde les notations de la Construction 4.107 et on suppose que A est une

C-variété abélienne simple. Alors, le L�“0-schéma simplicial C‚pJApLq{Lq�“0 est naturellement un torseursous K‚phomendpAqprApLq{ApL�“0q Ñ Z1

dRpL; Aqs, Aqq. De plus, le poussé en avant de ce torseur suivant

K‚phomendpAqprApLq{ApL�“0q Ñ Z1dRpL; Aqs, Aqq // K‚phomendpAqprApLq Ñ Z1

dRpL; Aqs, Aqqadmet une trivialisation canonique. Plus précisément, il existe un carré cartésien de C-schémas simpliciaux

C‚pJApLq{Lq�“0//

✏✏

K‚phomendpAqprApLq Ñ Z1dRpL; Aqs, Aqq

✏✏

SpecpL�“0q // homendpAqpApL�“0q, Aqoù la flèche horizontale inférieure correspond au L�“0-point idApL�“0q P hompApL�“0q, ApL�“0qq.

Démonstration. — Le L-schéma simplicial C‚pJApLq{Lq est un torseur sous le C-schéma en groupe simpli-cial C‚phomendpAqpZ1

dRpL; Aq, Aq{Kq. Soit S Ñ Z1dRpL; Aq un sous-endpAq-module supplémentaire à l’image

de ApLq. Puisque A est simple, le poussé en avant de CppJApLq{Lq suivant

C‚phomendpAqpZ1dRpL; Aq, Aq{Cq // homendpAqpS , Aq

176 JOSEPH AYOUB

est un pL,�q-schéma sans nouvelles constantes. Il s’ensuit que homendpAqpH1dRpL; Aq, Aq, immérgé diagona-

lement dans C‚phomendpAqpZ1dRpL; Aq, Aq{Cq, agit trivialement sur C‚pJApLq{Lq�“0. On termine comme dans

la preuve de la Proposition 4.100. ⌅Théorème 4.110. — Supposons que la �-extension L{K est primitivement close et que A est une C-

variété abélienne simple. Soit Q‚ // C‚pJApLq{Lq un hyper-recouvrement générique relatif avec Q‚ unehyper-clôture di↵érentielle de L. Alors, le morphisme ApC‚pJApLq{Lq�“0q // AppQ‚q�“0q est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le morphisme canonique

HipApC‚pJApLq{Lq�“0qq // HifttfpL; A�q (235)

est inversible pour tout i P N.Démonstration. — Puisque le �-corps L est primitivement clos, on sait que

HifttfpL; A�q “

$&

%

ApL�“0q si i “ 0,cokertApLq Ñ Z1

dRpL; Aqu si i “ 1,0 si i > 2.

La Proposition ? ? fournit une formule similaire pour les HipApC‚pJApLq{Lq�“0qq. La vérification que, mo-dulo ces identifications, les morphismes (235) sont les indentités est omise pour le moment. ⌅

Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe. Le C-schéma o�pf�pAqq est naturellement unpro-C-schéma en groupe commutatif et connexe qui contient A. De plus, le quotient o�pf�pAqq{A est unpro-C-schéma en vectoriel. Si A est une C-variété semi-abélienne, la composition de

A // o�pf�pAqq // Alb˝po�pf�pAqqqest donc un isomorphisme. Autrement dit, il existe une décomposition canonique de pro-C-schémas engroupe commutatifs

o�pf�pAqq » A ‘ po�pf�pAqq{Aq.Si A est une C-variété abélienne, on dispose des torseurs Upo�pf�pAqqq et Vpo�pf�pAqqq sous les pro-tores

hompPic˝pAq,Gm

q et hompPicpAq,Gm

q. p24q Le premier est encore un pro-schéma en groupe commutatif.On dispose également de l’extension vectorielle universelle po�pf�pAqqq7 de o�pf�pAqq.Construction 4.111. — Soit A une C-variété abélienne qu’on supposera simple. Soit L{K une�-extension.On note `J7

ApLq le L-schéma qui rend cartésien le carré suivant :

`J7ApLq

✏✏

//

´homendpAqpZ1

dRpL; Aq, o�pf�pAqqq¯7

✏✏

SpecpLq // homendpAqpZ1dRpL; Aq, o�p⌦1p´; Aqqq.

(Ci-dessus G7 désigne l’extension vectorielle universelle d’une variété semi-abélienne G.) Le L-schéma`J7

ApKq ne possède pas à priori de structure de pL,�q-schéma. Il existe un morphisme canonique que L-schémas `J7

ApLq // JApLq qui fait de `J7ApLq un torseur sous le pro-C-schéma en vectoriel

Ì7ApLq “ homendpAqpZ1

dRpL; Aq,H1ZarpA;Oq_q.

(Cette description explicite de Ì7ApLq importera peu dans la suite.) En fait, `J7

ApLq est aussi un torseur soushomendpAqpZ1

dRpL; Aq, A7q défini sur L. ⇤

Lemme 4.112. — Le pL,�q-schéma `J7ApLq possède une structure de pL,�q-schéma compatible à l’action

de I7ApLq et telle que la projection J7

ApLq // JApLq est un morphisme de pL,�q-schémas. L’ensemble SApLqde ces structures est un torseur sous

pÌ7ApLqqpLq{pÌ7

ApLqqpL�“0q “ homendpAqpZ1dRpL; Aq,H1

ZarpA;Oq_ bC pL{L�“0qq24. Should we write Pic or Pic for the picard group ? How do you denote the Picard variety then ? ? ?


considéré comme un groupe discret.

Démonstration. — Il s’agit de montrer que pour tout! P Z1dRpL; Aq, il existe une structure de pL,�q-schéma

sur le produit fibré po�pf�pAqqq7! “ po�pf�pAqqq7 ˆ⌦1p´;Aq,! L. Pour ce faire, il est su�sant de remarquer

qu’il existe !1 P Z1dRpL; A7q qui s’envoie sur ! par la surjection canonique. ⌅

Construction 4.113. — On note

J7ApLq Ñ hompSApLq, `J7

ApLqq

le sous-L-schéma des applications de SApLq dans `J7ApLq qui préservent les parallélogrammes et qui de-

viennent constantes lorsqu’on compose avec la projection `J7ApLq // JApLq. (Rappelons qu’un parallélo-

gramme dans un torseur est un quadruplet ps, s1, t, t1q de points tel que s1 et t1 sont des translatés de s et t parun même vecteur.)

Le L-schéma hompSApLq, `J7ApLqq est naturellement un pL,�q-schéma. Il est facile de voir que J7

ApLq estun sous-pL,�q-schéma fermé et que la projection canonique J7

ApLq // JApLq est un morphisme de pL,�q-schémas. De plus, J7

ApLq admet une action du pro-C-schéma en vectoriel

I7ApLq “ a↵pSApLq, Ì7

ApLqq

des morphismes a�nes, i.e., ceux qui préservent les parallélogrammes, de SApLq dans Ì7ApLq.

En fait, J7ApLq est aussi un torseur sous a↵pSApLq, hompZ1

dRpL; Aq, A7qq défini sur L. ⇤

On dispose d’une injection Ì7ApLq ãÑ I7

ApLq qui associe à v P Ì7ApLq l’application constante de valeur v

sur SApLq.

Lemme 4.114. — Il existe un morphisme de suites exactes courtes de pro-schémas en groupes

0 // Ì7ApLq //

✏✏

I7ApLq “ a↵pSApLq, Ì7

ApLqq //

✏✏

I7ApLq{Ì7

ApLq // 0

0 // hompZ1dRpL; Aq, A7q // a↵pSApLq, hompZ1

dRpL; Aq, A7qq // I7ApLq{Ì7

ApLq // 0.

Lemme 4.115. — Supposons que la �-extension L{K est primitivement close. Alors, le poussé en avant deJ7

ApLq suivant I7ApLq // // I7

ApLq{Ì7ApLq est isomorphe, non canoniquement, à JApLq ˆC pI7

ApLq{Ì7ApLqq.

Démonstration. — En e↵et, ce poussé en avant est un torseur T sous I7ApLq{Ì7

ApLq qui est trivial en tantque torseur dans la catégorie des schémas. Puisque JApLq est un torseur sous une pro-variété abélienne, letorseur T provient par pull-back d’un torseur T0 défini sur L. Puisque L est primitivement clos, le torseurT0 est nécessairement trivial. ⌅

Proposition 4.116. — Supposons que la �-extension L{K est primitivement close. Alors, le L�“0-schémaJ7

ApLq�“0 est un torseur sous le pro-schéma en groupe commutatif :

a↵pSApLq, hompZ1dRpL; Aq, A7qq

hompH1dRpL; Aq, A7q .

Proposition 4.117. — Le morphisme C‚pJ7ApLq{Lq�“0 // C‚pJ7

ApLq�“0{L�“0q est naturellement un tor-seur sous le pro-C-schéma en groupe commutatif hompH1

dRpL; Aq, A7q. Ce torseur admet une trivialisation(non canonique).

178 JOSEPH AYOUB

Construction 4.118. — Soit A une C-variété abélienne qu’on supposera simple. Soit L{K une�-extension.On note `HA,‚pLq le L-schéma semi-simplicial qui rend cartésien le carré suivant :

`HA,‚pLq

✏✏

// V´

homendpAq`Z1

dRpL; Aq, o�pC‚pf�pAq{⌦1p´; Aqqq˘¯

✏✏

SpecpLq // homendpAqpZ1dRpL; Aq, o�p⌦1p´; Aqqq.

Le L-schéma simplicial `HA,‚pLq ne possède pas à priori de structure de pL,�q-schéma. Il existe un mor-phisme canonique que L-schémas simpliciaux

`HA,‚pLq // C‚pJApLq{Lqqui fait de `HA,‚pLq un torseur sous le pro-C-tore simplicial

`PA,‚pLq “ hom´

Pic´

homendpAqpZ1dRpL; Aq, C‚pA{Cqq

¯,G

m

¯.

Notons `P˝A,‚pLq le quotient de `PA,‚pLq donné par

`P˝A,‚pLq “ hom

´Pic˝

´homendpAqpZ1

dRpL; Aq, C‚pA{Cqq¯,G

m

¯.

Notons aussi `H˝A,‚pLq le poussé en avant de `HA,‚pLq suivant la surjection `PA,‚pLq // // `P˝

A,‚pLq. Alors, ona identification canonique :

`H˝A,‚pLq “ C‚p`H˝

A,0pLq{Lqet `H˝

A,0pLq est un torseur sous le pro-C-schéma en groupe commutatif homendpAqpZ1dRpL; Aq,UpAqq. ⇤

Lemme 4.119. — Supposons que le �-corps L est primitivement clos. Alors, pour tout p P N, le L-schéma

CppJApLq7{Lq ˆCppJApLq{Lq `HA,ppLqpossède une structure de pL,�q-schéma compatible à l’action de `PA,ppLq et telle que la projection surCppJApLq7{Lq est un morphisme de pL,�q-schémas. L’ensemble T p

A pLq de ces structures est naturellementun torseur sous le groupe discret

hom´

Pic´

homendpAqpZ1dRpL; Aq, CppA{Cqq

¯,Z1

dRpLq¯.

Ces torseurs forment naturellement un torseur cosimplicial T ‚A pLq.

Construction 4.120. — Pour p P N, on note

H7A,ppLq Ñ hom

´T p

A pLq, CppJApLq7{Lq ˆCppJApLq{Lq `HA,ppLq¯

le sous-L-schéma des applications qui préservent les parallélogrammes et qui deviennent constantes lor-qu’on projette sur CppJApKq7{Lq. On obtient ainsi un pL,�q-schéma simplicial H7

A,‚pLq. C’est un torseursous le pro-C-tore simplicial diagpa↵pT ‚

A pLq; `PA,‚pLqqq. ⇤Notation 4.121. — On fixe une famille représentative tA↵u↵ de l’ensemble des classes d’isogénie des

C-variétés abéliennes simples. Pour L{K une �-extension primitivement close, on pose

Y‚pLq “ diag

˜

C‚pJpLq{Lq ˆL

π

↵

´H7

A↵,‚pLq{L¯¸

.

C’est un hyper-recouvrement de L. ⇤Proposition 4.122. — Soit L{K une�-extension primitivement close. Il existe alors des hyper-recouvrementsrelatifs

Y‚pLq // Y˝‚pLq // B‚pLq,

naturels en L, tels que les conditions suivantes sont satisfaites.(a) B‚pLq est un hyper-recouvrement de L tel que B‚pLq » L bL�“0 pB‚pLqq�“0.


(b) Y‚pLq�“0 // B‚pLq�“0 est un torseur trivial sous le pro-C-schéma en groupe simplicial

K‚

˜

hompH1dRpLq; G

m

q ˆC

π

↵

homendpA↵qpH1dRpL; A↵q;UpA7

↵qq, 1¸

(c) Y‚pLq�“0 // Y‚pLq�“0 est un torseur sous le pro-C-tore simplicial

hompNS1pK‚phomendpA↵qpH1dRpL; A↵q; A↵q, 1qq; G

m

q.Théorème 4.123. — Supposons que la �-extension L{K est primitivement close. Soit Q‚ // Y‚pLq un

hyper-recouvrement générique relatif avec Q‚ une hyper-clôture di↵érentielle de L. Soit B un C-schéma engroupe commtatif et connexe. Alors, le morphisme BppY‚pLqq�“0q // BppQ‚q�“0q est un quasi-isomorphisme.Autrement dit, les morphismes canoniques

HipBppY‚pLqq�“0qq // HifttfpL; B�q (236)

sont inversibles pour tout i P N.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas où B est G

a

, Gm

ou une variété abélienne simple A. ⌅

4.10. Tour de Postnikov du type d’homotopie feuilleté, V. Scindage (suite). —Comme dans la §4.9, nous fixons un �-corps K de caractéristique nulle et de corps de constantes C. Notre

but est de décrire le type d’homotopie feuilleté de K. Pour le résultat précis, nous renvoyons le lecteur auThéorème 4.137. Nous commençons avec une construction.Construction 4.124. — Soit L{K une �-extension. On considère l’ensemble TL des triplets pa, i, Jq où

a P L, i P rr1, nss et J Ñ rr1, nss r tiu vérifiant B jpaq “ 0 pour tout j P J. On forme la pL,�q-algèbre

Lxya,i,J; pa, i, Jq P TLypBipya,i,Jq ´ a, B jpya,i,Jq; pa, i, Jq P TK et j P Jq� (237)

librement engendrée par les variables ya,i,J, avec pa, i, Jq P TL, ne satisfaisant qu’aux relations Bipya,i,Jq “ aet B jpya,i,Jq “ 0 pour j P J. Il est immédiat de voir que (237), en tant que L-algèbre, est une algèbrede polynômes à une infinité de variables. En particulier, elle est intègre et on peut former la �-extensionIp1qpLq “ Fracp(237)q de L.

Plus généralement, on définit la suite IprqpLq en posant Ip0qpLq “ L et IprqpLq “ Ip1qpIpr´1qpLqq. Il s’agitd’une suite de �-corps emboîtés. On pose IpLq “ î

rPN IprqpLq. ⇤Lemme 4.125. — Soit L1{L une �-extension. Il existe alors une inclusion canonique IpLq ãÑ IpL1q. De plus,le morphisme évident L1 bL IpLq // IpL1q est injectif.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Construction 4.124. ⌅

Lemme 4.126. — Le �-corps IpLq est primitivement clos.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Construction 4.124. ⌅

Construction 4.127. — On définit une tour d’hyper-recouvrements génériques tUpr`1q‚ // Uprq

‚ urPN deK par récurrence de la manière suivante. On pose Up0q

‚ “ C‚pIpKq{Kq. Pour r > 1, Uprq‚ est la source de

l’hyper-recouvrement générique relatif r-élémentaire associé au �-morphisme Ip⌘pUpr´1qr qq // Upr´1q

r .On note U‚ la composition infinie de la tour tUpr`1q

‚ // Uprq‚ urPN. Par construction, U‚ est un hyper-

recouvrement générique de K qui est le spectre d’un �-corps primitivement clos en chaque degré.Lorsqu’il y a besoin de spécifier la dépendance de U‚ en K, on écrira UK

‚ . L’association K UK‚ s’étend

en un foncteur contravariant de la catégorie des �-corps dans celle des �-schémas semi-simpliciaux. ⇤Corollaire 4.128. — Il existe un isomorphsime canonique dans la catégorie dérivée des C-vectoriels⌦‚pKq » O�“0pU‚q. Il est donné par un zigzag de quasi-isomorphismes naturel en K.Démonstration. — En e↵et, on a des inclusions canoniques

⌦‚pKq // Tot±⌦‚pU‚q oo O�“0pU‚q

180 JOSEPH AYOUB

qui sont des quasi-isomorphismes grâce au Lemme 4.63 et à la Proposition 4.96. ⌅Corollaire 4.129. — Soit A un C-schéma en groupe commutatif et connexe. Il existe un isomorphsime

canonique dans la catégorie dérivée des Q-vectoriels

⌦‚pK; Aq b Q » Tot±⌧61⌦‚pU; Aq b Q.

Il est donné par un zigzag de quasi-isomorphismes naturel en K.Démonstration. — En e↵et, on a des inclusions canoniques

⌦‚pK; Aq // Tot±⌦‚pU; Aq oo Tot

±⌧61⌦‚pU; Aq.

La première inclusion est un quasi-isomorphisme à torsion près d’après le Lemme 4.63. La seconde inclu-sion est également un quasi-isomorphisme puisqu’il en est ainsi des inclusions ⌧61⌦‚pUp; Aq ãÑ ⌦‚pUp; Aqpour tout p P N. En e↵et, Up est le spectre d’un �-corps primitivement clos ce qui entraîne, grâce à laPropositon 4.96, que Hi

dRpUp; Aq “ 0, pour i > 2, car ces groupes s’identifient aux HidRpUpq bC LiepAq par

le Lemme 4.75(b). ⌅Proposition 4.130. — Le C-schéma semi-simplicial pU‚q�“0 est une limite projective d’une tour de C-

schémas semi-simpliciaux dont les morphismes de transition sont des hyper-recouvrements génériques oudes torseurs sous K‚pG, rq avec r > 1 et G un pro-schéma en groupe unipotent (commutatif si r > 2). p25q

Démonstration. — La preuve est omise. Elle sera fournie ultérieurement. ⌅Corollaire 4.131. — Soit A une C-variété semi-abélienne. Alors, le morphisme canonique

A�pKq b Q // A�pU‚q b Qest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Ceci est une conséquence immédiate de la Proposition 4.130 et du Théorème 4.38 (casB “ G

a

). ⌅Proposition 4.132. — Soit A une C-variété semi-abélienne. Il existe un isomorphisme canonique dans la

catégorie dérivée des Q-vectoriels :

⌧>1⌦‚pK; Aq » H1dRpU‚; Aqr´1s.

Il est donné par un zigzag de quasi-isomorphismes naturel en K.Démonstration. — On a un morphisme de triangles distingués

A�pKq //

✏✏

⌦‚pK; Aq //

✏✏

⌧>1⌦‚pK; Aq //

✏✏

A�pU‚q // Tot±⌧61⌦‚pU; Aq // Tot

±⌧>1⌧61⌦‚pU; Aq // .

La première flèche verticale est inversible à torsion près d’après le Corollaire 4.131. La seconde flècheverticale est inversible à torsion près d’après le Corollaire 4.129. Il s’ensuit que la troisième flèche verticaleest inversible à torsion près. Or, la source et le but de cette flèche sont des complexes de Q-vectoriels. Cecitermine la preuve de la proposition. ⌅Construction 4.133. — Soient K un �-corps de caractéristique nulle et U‚ “ UK

‚ son hyper-recouvrementgénérique de la Construction 4.127. On pose

V‚ “ diag‚pB‚pU‚qq, W˝‚ “ diag‚pY˝

‚pU‚qq et W‚ “ diag‚pY‚pU‚qq.Les morphismes

W‚ // W˝‚

// V‚ // U‚

sont alors des hyper-recouvrements génériques relatifs et les pK,�q-schémas semi-simpliciaux V‚, W‚ etW‚ sont des hyper-recouvrements génériques de K. Lorsqu’il y a besoin de spécifier la dépendance en K,

25. Cet énoncé sera précisé ultérieurement.


on écrira VK‚ , WK, ˝

‚ et WK‚ . Les associations K VK

‚ , WK, ˝‚ , WK

‚ s’étendent en des foncteurs contravariantsde la catégorie des �-corps dans celle des �-schémas semi-simpliciaux. ⇤Proposition 4.134. — Notons

H‚ “ H1dRpU‚; G

m

qr´1s et H‚↵ “ H1

dRpU‚; A↵qr´1s.Alors, on a les propriété suivantes.

(a) Le morphisme pV‚q�“0 // pU‚q�“0 est un hyper-recouvrement générique.

(b) Le morphisme pW‚ q�“0 // pV‚q�“0 est un torseur sous le pro-C-schéma en groupe simplicial

diag

˜

K‚phompH‚,Gm

qq ˆπ

↵

K‚phomendpA↵qpH‚↵,UpA↵qqq

¸

.

(c) Le morphisme pW‚q�“0 // pW‚ q�“0 est un torseur sous le pro-C-tore simplicial

diag

˜π

↵

hom´

NS1´

K‚phomendpA↵qpH‚↵, A↵qq

¯,G

m

¯¸

.

(d) Il existe des isomorphismes équivariants non canoniques

pW˝‚ q�“0 » pV‚q�“0 ˆ diag

˜

K‚phompH‚,Gm

qq ˆπ

↵

K‚phomendpA↵qpH‚↵,UpA↵qqq

¸

,

pW‚q�“0 » pV‚q�“0 ˆ diag

˜

K‚phompH‚,Gm

qq ˆπ

↵

V´

K‚phomendpA↵qpH‚↵, A↵qq

¯¸

.

(Tous les produits ci-dessus sont fibrés au-dessus de C.)Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate des constructions. ⌅Théorème 4.135. — Soit Q‚ // W‚ un hyper-recouvrement générique relatif avec Q‚ une hyper-clôture

di↵érentielle de K. Alors, pour tout C-schéma en groupe commutatif et connexe B, le morphisme évidentBppW‚q�“0q // BppQ‚q�“0q est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le morphisme canonique

HipBppW‚q�“0qq // HifttfpK; B�q

est un isomorphisme pour tout i P N.Démonstration. — On dispose d’un carré commutatif

BppW‚q�“0q q.i.//

✏✏

Tot±

BpY‚pU‚q�“0q✏✏

Tot±

R�fttfpW‚; B�q q.i.// Tot

±R�fttfpY‚pU‚q; B�q

où les flèches horizontales sont des quasi-isomorphismes. Il est donc su�sant de montrer que la flècheverticale de droite est un quasi-isomorphisme. Il est alors su�sant de montrer que les morphismes

BpY‚pUrq�“0q // Tot±

R�fttfpY‚pUrq; B�q (238)

sont des quasi-isomorphismes pour tout r P N. Ceci est vrai par le Théorème 4.123. ⌅Avant d’énoncer le résultat principal de cette sous-section, nous donnons une définition.

Définition 4.136. —

(a) Soit G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe. On note Gµ le quotient maximal de G qui soit unpro-tore. Si L{K est une �-extension de Picard-Vessiot, on notera Lµ sa sous-�-extension maximalede groupe de Galois di↵érentiel un pro-tore. Ainsi Gal�pLµ{Kq “ Gal�pL{Kqµ.

182 JOSEPH AYOUB

(b) Soit G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe. On note Gun le quotient pro-unipotent maximalde G. Si L{K est une �-extension de Picard-Vessiot, on notera Lun sa sous-�-extension maximale degroupe de Galois di↵érentiel pro-unipotent. Ainsi Gal�pLun{Kq “ Gal�pL{Kqun.

(c) Soit G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe. On note Gµún le quotient maximal de G quisoit un produit direct d’un pro-tore et d’un groupe pro-unipotent. Autrement dit, on a Gµún » Gµ ˆGun. Si L{K est une �-extension de Picard-Vessiot, on notera Lµún sa sous-�-extension maximalede groupe de Galois di↵érentiel un produit direct d’un pro-tore et d’un groupe pro-unipotent. AinsiGal�pLµún{Kq “ Gal�pL{Kqµún.

Nous sommes en mesure d’énoncer le résultat principal de cette sous-section.Théorème 4.137. — Supposons que K est algébriquement clos. Choisissons un hyper-recouvrement gé-

nérique relatif Q‚ // W‚ avec Q‚ une hyper-clôture di↵érentielle de K. Choisissons une clôture de Picard-Vessiot rK{K. Enfin, choisissons des plongements rKµún ãÑ OpW0q et rK ãÑ OpQ0q tels que le carré

rKµún //

✏✏

OpW0q

✏✏

rK // OpQ0qcommute. Ces choix e↵ectués, nous déduisons un morphisme Q‚ // W‚ ˆC‚p rKµún{Kq C‚p rK{Kq qui induit unmorphisme de schémas semi-simpliciaux :

pQ‚q�“0 // pW‚q�“0 ˆGal�‚p rKµún{Kq Gal�‚ p rK{Kq.Ce morphisme est un hyper-recouvrement générique. C’est donc un isomorphisme dans pro-ThgQ{C.Corollaire 4.138. — Gardons les notations et les hypothèses du Théorème 4.137. Supposons en plus

que K est cohomolgiquement basique. Il existe alors un isomorphisme dans pro-ThgQ{C entre pQ‚q�“0 et

Gal�‚ p rK{Kq ˆGal�‚p rKµ{Kq K‚`hom

`⌧>1⌦‚pK; G

m

q,Gm

˘˘ ˆπ

↵

V´

K‚

´homendpA↵q

`⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵

˘¯¯.

» Gal�‚ p rK{Kq ˆ K‚`hom

`⌧>2⌦‚pK; G

m

q,Gm

˘˘ ˆπ

↵

V´

K‚

´homendpA↵q

`⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵

˘¯¯.

(Les produits directs ci-dessus sont pris dans la catégorie des C-schémas semi-simpliciaux.) Cet isomor-phisme est non canonique, mais les isomorphismes qu’il induit sur les groupes d’homotopie sont cano-niques. p26q

Démonstration. — La preuve est basée sur le fait suivant. Soit A une C-variété abélienne simple. Alors,tout morphisme Gal�p pK{Kq // A se relève en un morphisme

Gal�p pK{Kq // UpA7q.En e↵et, ceci équivaut à dire que le morphisme H1

fttfpK;UpA7q�q // H1fttfpK; A�q est surjectif ce qui est un

cas particulier du Lemme 4.81. p27q ⌅

4.11. Cohomologie des espaces d’Eilenberg-Mac Lane algébriques, III. —Dans cette sous-section, nous nous intéressons à la cohomologie de certains espaces d’Eilenberg-Mac

Lane algébriques à coe�cients dans des faisceaux de formes di↵érentielles. Nous fixons un corps k decaractéristique nulle et nous notons ⌦d

{k le faisceau étale sur Sm{k des formes di↵érentielles de degré drelatives à k. Étant donné un k-schéma lisse, nous noterons alors ⌦d

X{k la restriction de ⌦d{k au petit site étale

Et{X de X.

26. Ceci n’est pas correct ! ! ! Le quotient abélien semble bien canonique mais pas le quotient du type UA7, etc.27. This is not very correct as one should not consider the pro-group scheme UpA7q as a sheaf on the foliated site !


Le lemme suivant ramène le calcul de R�étp´;⌦d{kq à celui des R�étp´;⌦i

{kq pour 0 6 i 6 d.

Lemme 4.139. —

(a) Soit X‚ un k-schéma simplicial. Il existe alors un quasi-isomorphisme canoniquedà

i“0R�étpX‚;⌦i

{kq bk ⌦dí{k

q.i.// R�étpX‚;⌦d

{kq.

(b) Soit Y‚ un deuxième k-schéma simplicial et notons Z‚ “ diag‚pX ˆk Yq. Il existe alors un quasi-isomorphisme canonique

dà

i“0R�étpX‚;⌦i

{kq bk R�étpY‚;⌦dí{k q q.i.

// R�étpZ‚;⌦d{kq.

Démonstration. — La propriété (b) découle facilement de (a). La propriété (a) découle de la décomposition⌦d

{kpU ˆk Vq » Àdi“0⌦

i{kpUq bk ⌦

dí{k pVq vraie pour tous k-schémas lisses U et V . ⌅

Proposition 4.140. — Soit A‚ un complexe de k-variétés semi-abéliennes tel que Ai “ 0 pour i 6 1. Alors,les inclusions évidentes

ôdLiepK‚pA7‚qq_ ãÑ ⌦d

{kpK‚pA7‚qq ãÑ R�étpK‚pA7

‚q;⌦d{kq (239)

sont des quasi-isomorphismes. De plus, on dispose d’un quasi-isomorphisme canonique

ôdLiepK‚pA7‚qq_ q.i.

//ôdLiepA7

‚q_. (240)

Démonstration. — Pour un k-schéma en groupe G, la restriction de ⌦d{k au petit site étale Et{G est le OG-

module libre OG bkôd LiepGq_. Par ailleurs, pour G l’extension vectorielle universelle d’une k-variété

semi-abélienne, on a HiétpG;Oq “ 0 pour i > 1. Appliquant ces deux propriétés à G “ KppA7

‚q, on obtientque Hi

étpKppA7‚q;⌦d

{kq “ 0 pour d > 1 et p P N. Un argument de suite spectrale entraîne alors que la secondeinclusion dans (239) est bien un quasi-isomorphisme.

La première propriété discutée ci-dessus, fournit une identification canonique

diagpOpK‚pA7‚qq bk

ôdLiepK‚pA7‚qq_q » ⌦d

{kpK‚pA7‚qq.

Or, l’inclusion kr0s ãÑ OpK‚pA7‚qq est un quasi-isomorphisme d’après la Proposition 4.48 et le Corollaire

4.55. p28q (C’est ici que nous avons besoin de supposer que A0 “ 0.) Il s’ensuit que la première inclusion de(239) est aussi un quasi-isomorphisme.

Enfin, puisque le foncteur Liep´q est additif sur la catégorie des k-schémas en groupe commutatifs,on a l’identification LiepK‚pA7

‚qq “ K‚pLiepA7‚qq. Or, le complexe normalisé associé à l’espace vectoriel

simplicial K‚pLiepA7‚qq est simplement LiepA7

‚q. Le quasi-isomorphisme (240) est donné par le dual dumorphisme d’Alexander-Whitney. p29q ⌅Corollaire 4.141. — Soit A une k-variété semi-abélienne et r > 1. Alors, les groupes Hi

étpK‚pA7, rq;⌦d{kq

sont nuls pour i , rd et

Hrdét pK‚pA7, rq;⌦d

{kq “$&

%

ôdpLiepA7q_q si r est pair,

SdpLiepA7q_q si r est impair.

Démonstration. — C’est immédiat à partir de la Proposition 4.140. ⌅

28. Ces références doivent être généralisées pour couvrir les besoins.29. Celui qui définit une structure pseudo-monoïdale symétrique.

184 JOSEPH AYOUB

Corollaire 4.142. — Soit A‚ un complexe de k-variétés semi-abéliennes tel que Ai “ 0 pour i 6 1.Alors, il existe un isomorphisme canonique dans la catégorie dérivée des faisceaux étales de k-vectorielssur Sm{k :

R�étpK‚pA7‚, rq,⌦d

{kq »dà

i“0

i© `LiepA7

‚q_˘ bk ⌦dí{k . (241)

Démonstration. — C’est une conséquence directe du Lemme 4.139(a) et de la Proposition 4.140. ⌅Pour aller plus loin, nous aurons besoin d’une courte digression.

Lemme 4.143. — Soient B un k-schéma en groupe commutatif et connexe, X un k-schéma, et f : Y // Xun B-torseur. Il existe alors un isomorphisme canonique

⌦1Y{X » OY bk LiepBq_. (242)

Étant donnée une trivialisation locale (pour la topologie étale) u : U ˆk B » U ˆX Y avec U un X-schémaétale, l’isomorphisme (242) au-dessus de U est donné par la composition de

⌦1UˆXY{U

„// u˚⌦1

Uˆk B{U “ u˚pOUˆk B bk LiepBq_q » u˚pOUˆk Bqbk LiepBq_ „oo OUˆXY bk LiepBq_. (243)

De plus, modulo l’identification (242), le sous-vectoriel OpXq bk LiepBq_ Ñ ⌦1Y{XpYq est le sous-vectoriel

des formes di↵érentielles B-équivariantes.Démonstration. — Il s’agit de montrer que la composition de (243) est indépendante du choix de la trivia-lisation. (En e↵et, les isomorphismes (243) se recollent alors pour fournir (242).)

Pour démontrer que (243) ne dépend pas de u, on peut supposer que le torseur f est trivial (et que X “ U).Autrement dit, on se donne un automorphisme B-équivariant u du X-schéma X ˆk B et on cherche à montrerque le diagramme suivant

OXˆk B bk LiepBq_ „//

„✏✏

⌦1Xˆk B{X

„// u˚⌦1

Xˆk B{X

pu˚OXˆk Bq bk LiepBq_ „// u˚pOXˆk B bk LiepBq_q

„OO

est commutatif. Étant donné que le diagramme ci-dessus est un diagramme de OXˆk B-modules libres, ilsu�t de montrer qu’il commute après passage aux sections globales. Si ! P LiepBq_, il faut donc montrerque ! “ ! ˝ u dans ⌦1

Xˆk B{XpX ˆk Bq. Ceci est bien vrai puisque ! est invariante sous l’action de B. ⌅

Proposition 4.144. — Soient B un k-schéma en groupe commutatif et connexe, X un k-schéma, et f :Y // X un B-torseur. Il existe alors un sous-OX-module quasi-cohérent ⌦1

X{kp´; f q Ñ f˚⌦1Y{k vérifiant

la propriété suivante qui le caractérise. Étant donnée une trivialisation locale (pour la topologie étale)u : U ˆk B » U ˆX Y avec U un X-schéma étale, alors

⌦1X{kp´; f q|U “ ⌦1

U{k ` u˚pOU bk LiepBq_q dans pU ˆX f q˚⌦1UˆXY{k. (244)

De plus, on a une suite exacte courte de OX-modules quasi-cohérents :

0 // ⌦1X{k

// ⌦1X{kp´; f q // OX bk LiepBq_ // 0. (245)

Démonstration. — Montrons d’abord l’existance de ⌦1X{kp´; f q. Il s’agit de montrer que dans (244), le

sous-OU-module ⌦1U{k ` u˚pOU bk LiepBq_q ne dépend pas du choix de la trivialisation. (En e↵et, ces sous-

modules se recollent alors pour fournir ⌦1X{kp´; f q.) Pour ce faire, on peut supposer que X “ U et que

Y “ X ˆk B est le B-torseur trivial. Alors, u est un automorphisme B-équivariant du X-schéma X ˆk B ;il est donc donné par upx, tq “ px, t ` apxqq avec a : X // B un X-point de B. Ainsi, pour ! P LiepBq_,on a ! ˝ u “ ! ` ! ˝ a. Puisque ! ˝ a P ⌦1

X{kpXq, ceci montre que ⌦1X{k ` u˚pOX bk LiepBq_q est égal à

⌦1X{k ` OX bk LiepBq_ et qu’il est indépendant de u.


Il reste à expliquer la suite exacte. On considère la composition de

⌦1X{kp´; f q // f˚⌦1

Y{k// f˚⌦1

Y{X » f˚OY bk LiepBq_

où le dernier isomorphisme provient du Lemme 4.143. Il est immédiat de voir que l’image de cette com-position est OX bk LiepBq_. On obtient ainsi une surjection ⌦1

X{kp´; f q // // OX bk LiepBq_ dont le noyaucontient ⌦1

X{k. Ceci permet de conclure. ⌅

Notation 4.145. — On garde les hypothèses et notations de la Proposition 4.144. Pour d P N, on pose⌦d

X{kp´; f q “ ôdOX⌦1

X{kp´; f q. Les OX-modules ⌦dX{kp´; f q seront aussi notés ⌦d

X{kp´; Yq. Ils forment unsous-complexe ⌦‚

X{kp´; f q du complexe de de Rham f˚⌦‚Y{k. La suite exacte (245) induit une filtration

croissante F‚ sur ⌦dX{kp´; f q telle que Fi{Fi´1 “ ôi LiepBq_ bk ⌦

díX{k . ⇤

Lemme 4.146. — Soient B un k-schéma en groupe commutatif et connexe, X un k-schéma, et f : Y // Xun B-torseur. Le morphisme canonique

f ‹p⌦dX{kp´; f qq “ OY b f ˚OX f ˚p⌦d

X{kp´; f qq // ⌦dY{k,

déduit par adjonction à partir de l’inclusion ⌦dX{kp´; f q ãÑ f˚⌦d

Y{k, est un isomorphisme.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas d “ 1 qui découle de la suite exacte courte (245). ⌅Proposition 4.147. — Soit B‚ une k-variété semi-abélienne simpliciale telle que B0 est nulle. Soient X‚

un k-schéma simplicial et f‚ : Y‚ // X‚ un B7‚-torseur. Alors, le morphisme canonique

Tot R�étpX‚;⌦dX‚{kp´; f‚qq // Tot

±R�étpY‚;⌦d

{kqest un isomorphisme (dans la catégorie dérivée des k-vectoriels).Démonstration. — Supposons d’abord que le B7

‚-torseur f‚ est trivial, i.e., que Y‚ “ diagpX‚ ˆk B7‚q. Vu que

HiZarpB7

p,Oq “ 0 pour p P N et i > 1, il s’ensuit que le morphisme canonique

Tot R�étpX‚; p f‚q˚⌦dY‚{kq // Tot R�étpY‚;⌦d

{kqest inversible. Or, le Lemme 4.146 et la trivialisation du torseur f‚ fournissent des isomorphismes cano-niques

p f‚q˚⌦dY‚{k » pp f‚q˚OY‚q bOX‚ ⌦

dX‚{kp´; f‚q » diagpOpB7

‚q bk ⌦dX‚{kp´; f‚qq.

Utilisant ces deux informations, nous obtenons un isomorphisme canonique

Tot OpB7‚q bk R�étpX‚;⌦d

X‚{kp´; f‚qq „// Tot R�étpY‚;⌦d

{kqdans la catégorie dérivée des k-vectoriels. Or, d’après la Proposition 4.48 et le Corollaire 4.55, l’inclusionkr0s ãÑ OpB7

‚q est un quasi-isomorphisme. (C’est ici qu’on utilise que la k-variété semi-abélienne B0 estnulle.)

On traite maintenant le cas général en le ramenant à celui du B7‚-torseur trivial. Pour cela, considérons le

k-schéma bisimplicial P‚,‚ “ C‚pY‚{X‚q et notons Q‚,‚ “ Y‚ ˆX‚ P‚,‚. Pour m P N, Qm,‚ est un B7‚-torseur

sur Pm,‚ qui est trivial puisqu’il admet une section donnée par une immersion diagonale partielle. D’aprèsce qui précède, nous savons que les morphismes

Tot R�étpPm,‚;⌦dPm,‚{kp´; Qm,‚qq // Tot R�étpQm,‚;⌦d

{kqsont des isomorphismes dans la catégorie dérivée des k-vectoriels (cf. la Notation 4.145). Il en découle quele morphisme

Tot R�étpP‚,‚;⌦dP‚,‚{kp´; Q‚,‚qq // Tot R�étpQ‚,‚;⌦d

{kqest aussi un isomorphisme dans la catégorie dérivée des k-vectoriels. Par ailleurs, on a des isomorphismes

Tot R�étpX‚;⌦dX‚{kp´; f‚qq „

// Tot R�étpP‚,‚;⌦dP‚,‚{kp´; Q‚,‚qq

et Tot R�étpY‚;⌦d{kq „

// Tot R�étpQ‚,‚;⌦d{kq.

Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅

186 JOSEPH AYOUB

Nous utiliserons la Proposition 4.147 avec B‚ un k-tore simplicial et X‚ un certain k-schéma en groupesimplicial. Cette situation sera favorable grâce au résultat suivant.Lemme 4.148. — Soient A une k-variété semi-abélienne, T un k-tore et f : Y // A7 un T-torseur.

(a) Il existe une suite exacte canonique

0 // LiepA7q_ // ⌦1A7{kpA7; f q // LiepT q_ // 0.

(b) Pour d P N, le morphisme canoniqueôd

⌦1A7{kpA7; f q // ⌦d

A7{kpA7; f q est inversible.

(c) Pour d P N, le morphisme canonique⌦dA7{kpA7; f q // R�étpA7;⌦d

A7{kp´; f qq est un isomorphisme dansla catégorie dérivée des k-vectoriels.

(d) La di↵érentielle de de Rham d : ⌦1A7{kpA7; f q // ⌦2

A7{kpA7; f q est la composition de

⌦1A7{kpA7; f q // // LiepT q_ p‹q

// ⌦2{kpA7q ãÑ ⌦2

A7{kpA7; f qoù la flèche p‹q du milieu admet la description suivante. Soit � : T // G

m

un caractère de T et Y� lepoussé en avant de Y suivant �. Alors, la composition de

k » LiepGm

q_ p‹q// LiepT q_ // ⌦2

{kpA7q » H2dRpA7q

envoie 1 P k sur la première classe de Chern du Gm

-torseur Y�. En particulier, le morphisme p‹q estinjectif si et seulement si le morphisme canonique hompT,G

m

q // NS1pA7q est injectif.

Démonstration. — Puisque H1ZarpA7;Oq “ 0, on obtient la suite exacte courte de (a) en passant aux sections

globales dans la suite exacte (245). Cette annulation montre également que la suite exacte (245) est scindéedans notre cas. En particulier, ⌦1

A7{kp´; f q est un OA7-module libre et le morphisme évident

OA7 bk ⌦1A7{kpA7; f q // ⌦1

A7{kp´; f qest un isomorphisme de OA7-modules. Les assertions (b) et (c) s’en déduisent aussitôt. (Pour (c), on a besoinde l’annulation Hi

ZarpA7;Oq “ 0 pour tous les i > 1.)Il reste à prouver (d). La condition sur le morphisme p‹q le détermine complètement. Il est donc su�sant

de traiter le cas où T “ Gm

. La di↵érentielle de de Rham d : ⌦1A7{kpA7; f q // ⌦2

A7{kpA7; f q s’annule surLiepA7q_ “ ⌦1

{kpA7q puisque les di↵érentielles A7-invariantes sur A7 sont fermées. Cette di↵érentielle sefactorise donc par un morphisme

k » LiepGm

q_ // ⌦2A7{kpA7; f q.

Nous allons calculer l’image de 1 P k par ce morphisme.Fixons un recouvrement ouvert pUiqiPI de X “ A7 et des trivialisations ui : Ui ˆk G

m

» Ui ˆX Y . Pourpi, jq P I2, soit ai j P OˆpUi X U jq la fonction inversible telle que uj “ ui ˝ ai j. (Ici, on note encore ai jl’automorphisme du pUi X U jq-schéma pUi X U jq ˆk G

m

donné par la multiplication par ai j sur le secondfacteur.) Enfin, choisissons un relèvement ! P ⌦2

X{kpX; f q de dt{t P LiepGm

q_. On peut alors écrire

! ˝ ui “ ⌫i ` dtt

avec ⌫i P ⌦1{kpUiq. De plus, sur pUi X U jq ˆk G

m

, on a

v j ` dtt

“ˆ

vi ` dtt

˙˝ ai j “ vi ` dt

t` dai j

ai j.

Autrement dit, on a v j ´ vi “ d logpai jq. Il s’ensuit que dvi “ dv j sur Ui X U j. Ainsi, les 2-formes di↵éren-tielles se recollent pour donner la forme la 2-forme di↵érentielle d! P ⌦2

{kpXq. Il est bien clair que la classede d! dans H2

dRpXq est la première classe de Chern du cocycle pai jqpi, jqPI2 à valeur dans le faisceau OˆX .


La dernière assertion dans (d) utilise le fait classique que le morphisme « première classe de Chern »PicpXq // H2

dRpXq se factorise par NS1pXq et que le morphisme NS1pXq // H2dRpXq est injectif. p30q p31q ⌅

Proposition 4.149. — Soit A‚ un complexe de k-variétés abéliennes tel que Ai “ 0 pour i 6 1. Notonsf‚ : VpK‚pA7

‚qq // UpK‚pA7‚qq le torseur universel sous le tore simplicial hompNS1

QpK‚pA‚qq,Gm

q.

(a) Le morphisme canonique

⌦dUpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q // R�étpVpK‚pA7‚qq;⌦d

{kq (246)

est un isomorphisme dans la catégorie dérivée des k-vectoriels.(b) Il existe un quasi-isomorphisme canonique

ôd⌦1

UpK‚pA7‚qq{k

pUpK‚pA7‚qq; f‚q q.i.

// ⌦dUpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q. (247)

(c) Il existe un isomorphisme canonique de complexes

⌦1UpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q » ⌦1{kpUpK‚pA7

‚qqq ÀNS1pK‚pA‚qq bZ k. (248)

Démonstration. — Seule l’assertion (c) nécessite une preuve. Bien entendu, nous avons une suite exactecourte

0 // ⌦1{kpUpK‚pA7

‚qqq // ⌦1UpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q // NS1pK‚pA‚qq bZ k // 0

et il s’agit de montrer qu’elle admet un scindage canonique. Il s’agit alors de montrer que si A est unek-variété abélienne et si f : Y // UpA7q est un torseur canonique sous le k-tore hompNS1pAq,G

m

q, on aune décomposition

⌦1{kpUpA7; f q » ⌦1

{kpUpA7qq ‘ k bZ NS1pAqnaturelle en les morphismes de k-variétés abéliennes. Or, pour n P N, la multiplication par n sur UpA7qinduit un morphisme de k-schéma vn : VpA7q // VpA7q et il est immédiat de voir que l’endomorphismevn de ⌦1

{kpVpA7qq préserve le sous-k-vectorie ⌦1{kpUpA7q; f q et que nous obtenons alors une morphisme de

suites exactes courtes :


‚qqq //

nˆ´✏✏

⌦1UpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q //

vn✏✏

NS1pK‚pA‚qq bZ k

n2ˆ´✏✏

// 0


‚qqq // ⌦1UpK‚pA7

‚qq{kpUpK‚pA7

‚qq; f‚q // NS1pK‚pA‚qq bZ k // 0

Puisque les vn , pour n P N, commutent entre eux, la décomposition en espaces propres pour les valeurspropres n et n2 de ces endomorphismes fournit la décomposition recherchée. ⌅Notation 4.150. — Il sera pratique de noter LiepVpAqq au lieu de⌦1

UpA7q{kpUpA7q; f q avec f : VpA7q // UpA7qle torseur canonique. ⇤

4.12. Un ind-schéma en groupe commutatif et connexe universel. —Dans ce paragraphe, k sera un corps algébriquement clos et de caractéristique nulle. p32q Étant donné un k-

vectoriel V , on notera V “ Ga

bk V le k-schéma en vectoriel associé à V , i.e., donné par Specp‘dPNSdV_q.De même, si G est un k-schéma en groupe, on notera LiepGq son algèbre de Lie considérée comme k-vecoriel et LiepGq le k-schéma en vectoriel G

a

bk LiepGq.L’objectif de cette sous-section est de déterminer le faisceau LiepAq_ bendpAq A pour certains k-schémas

en groupe commutatifs et connexes A. Cette détermination sera utilisée dans la sous-section 4.13.

30. Ici H2dRpXq est la cohomologie de de Rham algébrique faisceautisée !

31. N’oublie pas de donner une référence !32. Les résultats du paragraphe s’étendent à un corps de base arbitraire moyennant les modifications évidentes. Par exemple,

il faudrait remplacer les anneaux endpAq par le faisceau étale locale localement constant des endomorphismes de A, etc.

188 JOSEPH AYOUB

Proposition 4.151. — Soit A un k-schéma en groupe commutatif et connexe. Supposons que A est a�ne,et qu’il contient une copie de G

a

et de Gm

. Alors, il existe un isomorphisme canonique

LiepAq_ bendpAq A » Ga

‘ pk bZ Gm

q.

Démonstration. — On peut écrire A “ V ‘ T avec V un k-vectoriel et T un k-tore. Par hypothèse, V et Tsont non nuls. Cette décomposition étant canonique, on a endpAq “ endpVq ˆ endpT q. Il s’ensuit que

LiepAq_ bendpAq A » `V_ bendpVq V

˘ À `LiepT q_ bendpTq T

˘.

Nous allons calculer les deux facteurs indépendemment.Le cas de V : On peut écrire V “ V bk G

a

de sorte que

V_ bendpVq V “ `V_ bendpVq V

˘ bk Ga

.

Le résultat recherché découle alors du Lemme 4.152 ci-dessous.Le cas de T : Soit L “ hompG

m

,T q le Z-module libre des cocaractères de T . On peut alors écrire T “L bZ G

m

de sorte que LiepT q “ L bZ k. Il s’ensuit que

LiepT q_ bendpTq T “ k bZ L_ bendpTq L bZ Gm

.

Puisque endpT q “ endpLq, le résultat recherché découle encore une fois du Lemme 4.152 ci-dessous. ⌅Le résultat ci-dessous a servi dans la preuve de la Proposition 4.151 ; il est certainement bien connu.

Lemme 4.152. — Soient R un anneau commutatif, et M un R-module libre, de rang fini et non nul. Alors,le morphisme d’évaluation M_ bR M // R induit un isomorphisme

M_ bendRpMq M „// R.

Démonstration. — Le groupe abélien M_ bendRpMq M est le quotient de M_ bR M par le sous-groupeengendré par les éléments

pl ˝ f q b v ´ l b p f pvqqoù f P endRpMq, v P M et l P M_. Ceci montre que le morphisme d’évalution se factorise bien à traversM_ bendRpMq M.

On dispose d’un isomorphisme canonique M_ bR M » endpMq donné par l b v lp´q ¨ v. Modulo cetisomorphisme, l’opération l b v l ˝ f b v correspond à la multiplication à droite par f dans endRpMq. Demême, l’opération lbv lb f pvq correspond à la multiplication à gauche par f dans endRpMq. Finalement,le morphisme d’évaluation correspond à la trace sur endRpMq.

Le résultat recherché découle maintenant du fait bien connu que la trace tr : endRpMq // R est une basedu R-module des formes linéaires � sur endRpMq qui satisfont à la relation �p f ˝ gq “ �pg ˝ f q. ⌅

Comme d’habitude, on fixe une famille pA↵q↵ représentative des classes d’isogénie de k-variétés abé-liennes simples.Théorème 4.153. — Soit B un pro-k-schéma en groupe commutatif, connexe et vérifiant la condition

suivante : B est une somme directe finie de copies de Ga

, de Gm

et de UA7↵, et cette somme comporte

au moins une copie de Ga

et de Gm

. Notons IB l’ensembles des indices ↵ tels que UA7↵ est isomorphe à

un facteur direct de B. (Ceci revient à dire que A↵ est un quotient de B.) Il existe alors une suite exactecanonique

0 // Ga

‘ pk bZ Gm

q // LiepBq_ bendpBq B //À

↵PIBLiepUA7

↵q_ bendpA↵q A↵// 0.

De plus, LiepBq_ bendpBq B ne dépend que de IB à un unique isomorphsime près.Démonstration. — On peut décomposer B de la manière suivante

B “ V ‘ T ‘ `À↵PIB

UB7↵

˘


où V est un k-vectoriel, T un k-tore et B↵ une variété abélienne isomorphe à une somme de copies de A↵.Les hypothèses sur B entraînent que V , T et B↵ sont non nuls. L’anneau (non nécessairement commutatif)endpBq admet la description suivante :

endpBq “¨

˝endpV ‘ T q 0

hompV ‘ T,‘↵PIBUB7↵q endp‘↵PIB B↵q

˛

‚.

En particulier, on dispose d’un idempotent e1 P endpBq donné par la matriceˆ

idV‘T 00 0

˙.

Il est immédiat de vérifier que les hypothèses du Lemme 4.154 ci-dessous sont vérifiées. Notons endpBqi “eiendpBqei pour i P t1, 2u. Alors, endpBq1 “ endpV ‘ T q et endpBq2 “ endp‘↵PIB B↵q. Pour un k-schémaS , notons M “ BpS q et N “ LiepBq_. p33q On vérifie facilement que M2 “ e2BpS q “ ‘↵PIBUB7

↵pS q et queN1 “ LiepBq_e1 “ V_ ‘ LiepT q_.

En appliquant le Lemme 4.154(d) on trouve alors la suite exacte de faisceaux

pV_‘LiepT q_qbendpV‘TqpV‘T q // LiepBq_bendpBqB // Liep‘↵PIBUB7↵q_bendp‘↵PIB B↵qB{endpBqpV‘T q // 0.

Or, il est immédiat que endpBqpV ‘ T q est le plus grand sous-groupe de B qui soit a�ne et connexe. Ils’ensuit que

B{endpBqpV ‘ T q “ À↵PIB

B↵.

Ceci et la Proposition 4.151, donne la suite exacte

Ga

‘ pk bZ Gm

q // LiepBq_ bendpBq B //À

↵PIBLiepUB7

↵q_ bendpB↵q B↵// 0.

Le reste de la preuve sera divisé en trois parties. Dans la première, nous identifions le troisième termede la suite exacte ci-dessus. Dans le seconde, nous montrons que la première flèche est injective. Dans latroisième, nous montrons que la suite exacte ainsi obtenue est canonique.Partie A : Il existe un Z-module libre L tel que B↵ “ LbZA↵ à isogénie près. On en déduit les identificationsLiepUB7

↵q “ L bZ LiepUA7↵q et endpB↵q “ endpLq b endpA↵q. Il s’ensuit que

LiepUB7↵q_ bendpB↵q B↵ » pLiepUA7

↵q_ b L_q bendpLqbendpA↵q L b A↵

» pLiepUA7↵q_ bendpA↵q A↵q b pL_ bendpLq Lq

» LiepUA7↵q_ bendpA↵q A↵.

(Pour le dernier isomorphisme, nous avons utilisé le Lemme 4.152.)Partie B : Ici, nous montrons que le morphisme

Ga

‘ pk bZ Gm

q // LiepBq_ bendpBq B

est injectif. On remarque pour cela que les deux termes sont des ind-pro-schémas en groupes commutatifs,connexes et sans torsion. Il est donc su�sant de montrer que tout sous-schéma en groupe connexe contenudans le noyau de ce morphisme est trivial. Pour cela, on compose avec le morphisme canonique

LiepBq_ bendpBq B // ⌦1{k.

(Ce morphisme sera défini dans la sous-section 4.13.) On trouve bien entendu le morphisme canonique

Ga

‘ pk bZ Gm

q // ⌦1{k.

Le noyau de ce morphisme est le faisceau constant k ‘ pk b kˆq. Ceci permet de conclure.

33. Il faut certainement voir LiepBq_ comme un pro-k-vectoriel ?

190 JOSEPH AYOUB

Partie C : On montre mainetant l’unicité. Soit B1 un autre pro-k-schéma en groupe commutatif, connexe etvérifiant la condition de l’énoncé. On suppose que IB “ IB1 . Les inclusions B ãÑ B ‘ B1 et LiepBq_ ãÑLiepB ‘ B1q_ induisent un morphsime

LiepBq_ bendpBq B // LiepB ‘ B1q_ bendpB‘B1q pB ‘ B1qqui est compatible aux suites exactes construites ci-dessus. Ceci permet de conclure. ⌅Lemme 4.154. — Soient R un anneau (non nécessairement commutatif), e1 P R un idempotent et e2 “ 1é1l’idempotent complémentaire. On suppose que pour tout r P R, on a e1re1 “ e1r et e2re2 “ re2. (Ces deuxidentités sont en fait équivalentes.) Pour i P t1, 2u, on pose Ri “ eiRei.

(a) Pour i P t1, 2u, Ri est naturellement un anneau et ei est son unité. Le morphisme évident R1 ˆR2 // Rest un monomorphisme d’anneaux.

(b) L’application e1 ¨´ : R // R1 est un morphisme d’anneaux et son noyau est égale à e2R. L’application´ ¨ e2 : R // R2 est un morphisme d’anneaux et son noyau est égale à Re1.

Soient M un R-module à gauche et N un R-module à droite. On pose M2 “ e2M et N1 “ Ne1 ; ce sontnaturellement des R-modules.

(c) Les R-modules M{M2 et N1 sont naturellement des R1-modules, et les R-modules M2 et N{N1 sontnaturellement des R2-modules.

(d) Il existe une suite exacte de groupes abéliens

N1 bR1 M{M2 // N bR M // N{N1 bR2 M{Re1M // 0.

Démonstration. — Tout est essentiellement trivial. Le fait que R // R1 est un morphisme d’anneaux dé-coule du calcul pe1re1qpe1r1e1q “ pe1rqpe1r1q “ pe1re1qr1 “ e1rr1 “ e1rr1e1 (avec r, r1 P R). Le noyau dece morphisme est l’ensemble des r P R tels que e1r “ 0. Ceci équivaut à r P e2R. La même discussions’applique au morphisme R // R2.

Le fait que N1 est un R1-module découle de l’identité pne1qr “ pne1qpe1re1q pour n P N et r P R. Le casde M2 se traite de la même manière. Le fait que M{M2 est un R1-module découle du fait que l’idéal e2Renvoie M dans le sous-module M2. Le cas de N{N1 se traite de la même manière.

Il reste à expliquer la suite exacte de (d). La suite exacte courte de R-modules à droite

0 // N1 // N // N{N1 // 0

fournit le suite exacte de groupes abéliens

N1 bR M // N bR M // N{N1 bR M // 0.

Puisque N{N1 est un R2-module, on a des isomorphismes

N{N1 bR M » N{N1 bR2 pR2 bR Mq “ N{N1 bR2 pM{Re1Mq.Par ailleurs, la suite exacte courte de R-modules à gauche

0 // M2 // M // M{M2 // 0

fournit la suite exacte de groupes abéliens

N1 bR M2 // N1 bR M // N1 bR M{M2 // 0

Ainsi, pour conclure, il su�t de montrer que N1 bR M2 est nul. Or, ce groupe est egendré par les tenseursne1 b e2m avec n P N et m P M. Le calcul

pne1q b pe2mq “ pne1qe1 b pe2mq “ pne1q b e1pe2mq “ 0

montre que ces tenseurs sont tous nuls. ⌅Définition 4.155. — Soit I un sous-ensemble fini de l’ensemble des indices paramétrisant la famille pA↵q↵.On note AI le ind-schéma en groupe LiepBq_ bendpBq B avec B un pro-k-schéma en groupe comme dans le


Théorème 4.153 avec IB “ I. On pose aussi Ak “ colimI AI . D’après le Théorème 4.153 nous avons unesuite exacte canonique :

0 // Ga

‘ k bZ Gm

// Ak //À

↵ LiepUA7↵q bendpA↵q A↵

// 0.

4.13. Cohomologie des espaces d’Eilenber-Mac Lane algébriques, IV. —Ici encore, k est un corps algébriquement clos et de caractéristique nulle. On commence par une construc-

tion.Construction 4.156. — Soit A un k-schéma en groupe commutatif et connexe. On définit un morphisme

de préfaisceaux sur la catégorie des k-schémas

LiepAq_ bZ A // ⌦{k (249)

de la manière suivante. Si X est un k-schéma, f P ApXq et! P LiepAq_, le morphisme (249) envoie la section!b f sur f ˚! P ⌦{kpXq. Le morphisme (249) est clairement k-linéaire. Il se factorise par LiepAq_ bendpAq Ainduisant ainsi un morphisme

LiepAq_ bendpAq A // ⌦{k. (250)Vu que LiepAq_ est un k-endpAq-bimodule, le morphisme (250) est encore k-linéaire.

Étant donné que ⌦{k est un O-module, les morphismes (249) et (250) induisent des morphismes de pré-faisceaux

LiepAq_ bZ A // // LiepAq_ bendpAq A // ⌦{k. (251)Ces morphismes sont O-linéaires. ⇤Proposition 4.157. — Il existe un morphisme canonique de faisceaux étales sur la catégorie des k-

schémasAk // ⌦1

{k. (252)Il est universel dans le sens suivant. Pour tout k-schéma en groupe commutatif et connexe B, l’image dumorphsime LiepBq bZ B // ⌦1

{k est contenue dans l’image de (252).Démonstration. — Soit B un k-schéma en groupe commutatif et connexe. Choisissons une décomposition

B “ V ‘ T ‘ pÀ↵PI B↵q

où V est un k-vectoriel, T un k-tore, I un ensemble fini et B↵ un k-schéma en groupe anti-a�ne tel queAlbpB↵q est isogène à un produit fini de copies de A↵. On peut trouver un morphisme surjectif � : B1 // // Btel que B1 est un k-schéma en groupe commutatif et connexe, et possédant une décomposition similaire

B1 “ V 1 ‘ T 1 ‘ `À↵PIB

B1↵

˘

compatible au morphisme � et telle que V 1 , 0, T 1 , 0, B1↵ , 0 et les morphismes

endpB1↵q b Q // endpAlbpB1

↵qq b Qsont des isomorphismes pour tout ↵ P IB. Le carré commutatif

LiepBq_ bZ B1

✏✏

// // LiepBq_ bZ B

✏✏

LiepB1q_ bZ B1 // ⌦1{k

montre que l’image du morphisme vertical de droite est contenue dans celle du morphisme horizontalinférieur. Ainsi, il su�t de traiter le cas de B1. Or, d’après le Théorème 4.153, on a LiepB1q_ bendpB1q B1 » AI

k.Ceci permet de conclure. ⌅

Proposition 4.158. — Soit B un k-schéma en groupe commutatif et connexe. Le morphisme (252) induitun homomorphisme bijectif

hompB,Akq » LiepBq_. (253)

192 JOSEPH AYOUB

Il associe à un morphisme de faisceaux étales B // Ak la composition de B // Ak // ⌦{k vue commeune forme di↵érentielle invariante sur B.Démonstration. — On divise la preuve en plusieures parties. On traite d’abord le cas où B est a�ne.Étape A : Pour démontrer la proposition lorsque B a�ne, il su�t de traiter le cas de G

a

et Gm

. Or, nousavons des isomorphismes canoniques

hompGa

,Akq » hompGa

,Ga

q » k et hompGm

,Akq » hompGm

, k bZ Gm

q » k.

Ceci permet de conclure.Étape B : On traite ici le cas de B “ UpA7q avec A une variété abélienne simple. On a des isomorphismescanoniques

hompUpA7q,Akq » homÚpA7q,À↵LiepUpA7

↵qq_ bendpA↵q UpA7↵q

¯» LiepUpA7qq_. (254)

Il su�t donc de montrer que la composition des ces isomorphismes coïncide avec le morphisme de l’énoncé.Soit ! une forme di↵érentielle invariante sur UpA7q. En identifiant A à l’une des A↵, on peut former lacomposition de

UpA7q !bid// LiepUpA7qq_ b UpA7q //

à

↵

LiepUpA7↵qq_ bendpA↵q UpA7

↵q (255)

que l’on note w. Alors, ! est l’image de w par la seconde identification dans (254). De plus, grâce à la pre-mière identification dans (254), le morphisme w induit un morphisme w1 : UpA7q // Ak. Par construction,! est l’image de w1 par la composition de (254). Pour conclure, il reste à voir que ! est également l’imagede w1 par le morphisme (253) de l’énoncé. Or, on dispose d’un diagramme commutatif

UpA7q w//

w1,,

À↵ LiepUpA7

↵qq_ bendpA↵q UpA7↵q //

✏✏

⌦1{k.

Ak

77

Ceci montre que l’image de w1 par le morphisme (253) est la forme di↵érentielle invariante correspondantà la composition des morphismes de faisceaux

UpA7q !bid// LiepUpA7qq_ bZ UpA7q // ⌦1

{k

qui n’est autre que le morphisme ! : UpA7q // ⌦1{k. Ceci achève la preuve dans ce cas.

Étape C : On traite ici le cas général. On peut trouver une suite exacte courte

0 // U // E // B // 0

avec U et E des pro-k-schémas en groupe commutatifs et connexes, et vérifiant les conditions suivantes :(1) U est a�ne ;(2) E est un somme directe de pro-groupes anti-a�nes de la forme UpA7q avec A une k-variété abélienne

simple.En particulier, la conclusion de la proposition est vraie pour U et E d’après les deux étapes précédentes.Ainsi, dans le diagramme commutatif

0 // hompB,Akq //

✏✏

hompE,Akq //

„✏✏

hompU,Akq„✏✏

0 // LiepBq_ // LiepEq_ // LiepUq_ // 0

les lignes sont exactes, et la deuxième et la troisième flèche verticale sont des isomorphismes. Le lemmedes cinq permet de conclure. ⌅


Notation 4.159. — On note Ak le faisceau étale sur les k-schéma donné par Ak{Akpkqcst où Akpkqcst est lefaisceau constant associé au groupe Akpkq. Le morphisme (252) induit un morphisme

Ak // ⌦1{k. (256)

(En e↵et, puisque ⌦1{kpkq “ 0, le morphisme (252) est nul sur le sous-faisceau Akpkqcst.) ⇤

Proposition 4.160. — Soit G un pro-schéma en groupe a�ne. Il existe des quasi-isomorphismes cano-niques

R�étpB‚pGq; Akq » OpB‚pGqq{k ‘ LiepB‚pGµqq_, R�étpB‚pGq;⌦1{kq » ⌦1

{kpB‚pGqq (257)

et LiepB‚pGµqq_ » k bZ hompG,Gm

qr´1s.Modulo les identifications (257), le morphisme R�étpB‚pGq; Akq // R�étpB‚pGq;⌦1

{kq, induit par (256),correspond à

pd, ◆q : OpB‚pGqq{k ‘ LiepK‚pGµ, 1qq_ // ⌦1{kpB‚pGqq

où d est la di↵érentielle de de Rham et ◆ est la composition des inclusions

LiepB‚pGµqq_ ãÑ ⌦1{kpB‚pGµqq ãÑ ⌦1

{kpB‚pGqq.

Démonstration. — En e↵et, puisque G est a�ne, il est facile de voir que le morphisme canonique

R�étpB‚pGq; Ga

‘ k bZ Gm

qk ‘ k bZ kˆ

//R�étpB‚pGq;Akq

Akpkqest un isomorphisme dans la catégorie dérivée des k-vectoriels. Pour la même raison, on a des quasi-isomorphismes canoniques

R�étpB‚pGq; Ga

q » OpB‚pGqq et R�étpB‚pGq; Gm

q » hompB‚pGµq,Gm

q ‘ kˆ.

Ceci fournit les deux premiers quasi-isomorphismes de (257). Le troisième est évident.Pour la dernière assertion, il s’agit de déterminer la composition de

LiepB‚pGµqq_ » k bZ hompB‚pGµq,Gm

q // k bZ OˆpB‚pGµqq // ⌦1{kpB‚pGµqq // ⌦1

{kpB‚pGqq.Il s’agit donc de voir que la composition des trois premières flèches ci-dessus est l’inclusion canonique.Or, toute forme di↵érentielle invariante sur Gµ est une combinaison k-linéaire de formes di↵érentielles�˚pt´1dtq avec � : Gµ // G

m

un caractère. Or, l’image de �˚pt´1dtq par le premier isomorphisme est letenseur 1 b �. L’image de ce tenseur par la seconde flèche est le tenseur 1 b �˚ptq. L’image de ce derniertenseur par la troisième flèche est la forme di↵érentielle �˚pt´1dtq. Ceci permet de conclure. ⌅Proposition 4.161. — Soit A‚ un complexe de k-variétés semi-abéliennes. On suppose que A‚ est 0-

connexe, i.e., que Ai “ 0 pour i 6 0. Alors, il existe des quasi-isomorphismes canoniques

R�étpVK‚pA7q; Akq » LiepK‚pUA7qq_ et R�étpVK‚pA7q;⌦1{kq » ⌦1

K‚pUA7q{kpK‚pUA7q; f‚q. (258)

De plus, modulo les identifications (258), le morphisme R�étpVK‚pAq; Akq // R�étpVK‚pAq;⌦1{kq, induit

par (256), correspond à la composition des inclusions

LiepK‚pUA7qq_ ãÑ ⌦1{kpK‚pUA7qq ãÑ ⌦1

K‚pUA7q{kpK‚pUA7q; f‚q.

Démonstration. — D’après le Théorème 258 et la Proposition 4.158, on a une chaîne de quasi-isomorphismescanoniques

R�étpVK‚pA7q; Akq » hompK‚pUA7q, Akq » LiepK‚pUA7qq_.La seconde assertion découle aussitôt de la Proposition 4.158. ⌅

194 JOSEPH AYOUB

Lemme 4.162. — Soient G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe, et A‚ un complexe de pro-k-schémas en groupe commutatif et connexes. On suppose que A‚ est 0-connexe, i.e., que Ai “ 0 pour i 6 0.On note X‚ “ B‚pGq ˆk VK‚pAq. p34q Alors, il existe un quasi-isomorphisme canonique

R�étpX‚; Akq “ R�étpB‚pGq; Akq ‘ R�étpVK‚pAq; Akq. (259)

Démonstration. — Clairement, on aR�étpX‚;Akq » R�étpVK‚pAq; R�étpB‚pGq;Akqq. (260)

Comme dans la preuve de la Proposition 4.160, on a aussi :R�étpB‚pGq;Akq

Ak» R�étpB‚pGq; G

a

qG

a

‘ R�étpB‚pGq; k bZ Gm

qk bZ G

m

» OpB‚pGqq bk Ga

‘ k bZ hompB‚pGq,Gm

q» OpB‚pGqq bk G

a

‘ LiepB‚pGµqq_cst.

Il s’ensuit un isomorphisme canoniqueR�étpB‚pGq;Akq » Ak ‘ OpB‚pGqq bk G

a

‘ LiepB‚pGµqq_cst.

En injectant dans (260), on trouve alorsR�étpX‚;Akq » R�étpVK‚pAq;Akq ‘ OpB‚pGqq bk R�étpVK‚pAq; G

a

q ‘ R�étpVK‚pAq; LiepB‚pGµqq_cstq

» R�étpVK‚pAq;Akq ‘ OpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_.Ceci permet de conclure. ⌅

Dorénavant, on note O le faisceau O{két sur les k-schémas lisses.Proposition 4.163. — Soient G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe, et A‚ un complexe de pro-k-schémas en groupe commutatifs et connexes. On suppose que A‚ est 0-connexe, i.e., que Ai “ 0 pour i 6 0.On note X‚ “ B‚pGq ˆk VK‚pAq. Alors, il existe des quasi-isomorphismes canoniques p35q :

R�étpX‚; Akq » OpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_ ‘ LiepUK‚pAqq_, (261)

R�étpX‚;⌦1{kq » ⌦1

{kpB‚pGqq ‘ OpB‚pGqq bk LiepVK‚pAqq_. (262)

De plus, modulo les identifications (261) et (262), le morphisme R�étpX‚; Akq // R�étpX‚;⌦1{kq, induit par

(256), est donné par la matrice ˆd ◆ 00 0 1 b ◆1

˙

où d : OpB‚pGqq // ⌦1{kpB‚pGqq est la di↵érentielle de de Rham, et ◆ : LiepB‚pGµqq_ ãÑ ⌦1

{kpB‚pGqq et◆1 : LiepUK‚pAqq ãÑ LiepVK‚pAqq sont les inclusions évidentes.Démonstration. — C’est une application immédiate du Lemme 4.162. ⌅Théorème 4.164. — Soient G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe, et A‚ un complexe de pro-k-

schémas en groupe commutatifs et connexes. On suppose que A‚ est 0-connexe, i.e., que Ai “ 0 pour i 6 0.On note X‚ “ B‚pGq ˆk VK‚pAq. Il existe un carré homotopiquement cocartésien

OpB‚pGqq bkÒpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_˘

//

✏✏

⌦1{kpB‚pGqq

✏✏

OpB‚pGqq bk`R�étpX‚; Akq ‘ k bZ NS1pK‚pAqq˘

// R�étpX‚;⌦1{kq.

34. À partir d’ici, j’enlève le « 7 » quand il y a « U » ou « V ».35. Changement de notation : LiepVK‚pAqq_ au lieu de ⌦X{kp´ f‚q, etc.


Il s’agit même d’un carré homotopiquement cocartésien dans la catégorie des OpB‚pGqq-modules.Lemme 4.165. — On garde les notations et les hypothèses du Théorème 4.164. On a un isomorphisme

canonique ôdOpB‚pGqqR�étpX‚;⌦1

{kq » R�étpX‚;⌦d{kq.

Démonstration. — Ceci est clair. ⌅Notation 4.166. — Pour n P N, on pose

Cn “ tpu, vq P N2 | u ` v 6 nuordonné par l’ordre partiel évident. ⇤Construction 4.167. — On définit un diagramme de complexes de k-vectoriels ⌥n

{kpXq indexé par lacatégorie Cn en posant

⌥n{kpXqpu, vq “ ⌦u

{kpB‚pGqqbkônú´v `

OpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_˘bkôv `

R�étpX‚; Akq ‘ k bZ NS1pK‚pAqq˘.

Les morphismes ⌥n{kpXqpu1, v1q // ⌥n

{kpXqpu, vq pour u1 6 u et v1 6 v sont ceux que l’on pense. ⇤

Théorème 4.168. — Pour n P N, on a un quasi-isomorphisme canonique

R�étpX‚;⌦n{kq » hocolimCn⌥

n{kpX‚q.

La réunion des images de tous les morphismes A // Ak, pour A une variété abélienne, est un sous-faisceau de k-vectoriels Bk Ä Ak qui est une somme directe de variétés abéliennes. En fait, il est bien facilede voir que

Bk “ à

↵

LiepA↵q_ bendpA↵q A↵.

Choisissons une fois pour toute un complémentaire Ck Ä Ak à Bk. (Ce choix correspond à choisir pour tout↵ une rétraction k-linéaire à l’inclusion évidente LiepA↵q_ ãÑ LiepUA↵q_.) Ainsi, on a la décompositionsuivante

Ak » Bk ‘ Ck.

Clairement, le sous-faisceau Ga

‘ k bZ Gm

Ñ Ak est contenu dans Ck.Construction 4.169. — On définit le complexe ⌥1

{kpXq comme étant la colimite homotopique du dia-gramme

OpB‚pGqq bkÒpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_˘

//

✏✏

⌦1{kpB‚pGqq

OpB‚pGqq bk R�étpX‚; Ckq.D’après le Théorème 4.164, on a un quasi-isomorphisme canonique

⌥1{kpXq ‘ OpB‚pGqq bk pLiepKpAqq_ ‘ k bZ NS1pKpAqqq » R�étpX‚;⌦1

{kq.Plus généralement, considérons le diagramme de complexes D ⌥

n{kpXq, indexé par la catégorie Cn, défini

parD ⌥

n{kpXqpu, vq “ ⌦u

{kpB‚pGqq bkônú´v `

OpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_˘ bkôv `

R�étpX‚; Ckq˘.

Les morphismes D ⌥n{kpXqpu1, v1q // D ⌥

n{kpXqpu, vq pour u1 6 u et v1 6 v sont ceux que l’on pense. Notons

⌥nkpXq la colimite homotopique de ce diagramme. Alors, on a un quasi-isomorphisme canonique

R�étpX‚;⌦n{kq “ à

i` j“n⌥i

{kpXq bkô jpLiepKpAqq_ ‘ k bZ NS1pKpAqqq.

⇤

196 JOSEPH AYOUB

Proposition 4.170. — La dg-algèbre cosimpliciale R�étpX‚;⌦‚{kq est canoniquement quasi-isomorphe à la

dg-algèbre cosimpliciale

⌥‚{kpXq b ô‚pLiepKpAqq_ ‘ k bZ NS1pKpAqqq.

De plus, ⌥‚{kpXq est l’extension libre de la dg-algèbre ⌦‚

{kpB‚pGqq associée à

CônetOpB‚pGqq ‘ LiepB‚pGµqq_ Ñ R�étpX‚; Ckqur´2s // ⌦‚pB‚pGqq.La di↵érentielle de

ô‚pLiepKpAqq_ ‘ k bZ NS1pKpAqqq est caractérisée par la propriété d’être induite parla classe de cycle k bZ NS1pK‚pAqq //

ô2 LiepK‚pAqq en degré 1.

5. Étude cohomologique de certains faisceaux de formes di↵érentielles

Fixons un �-corps de caractéristique nulle K et notons C son corps des constantes. Dans cette section,nous introduisons deux complexes de faisceaux de formes di↵érentielles sur le site Fttf�{K. Pour chacun deces complexes, nous décrivons la cohomologie feuilleté de K à valeurs dans chacune de ses composantes.

Pour d P Z, on note ⌦d{C le préfaisceau des formes di↵érentielles relatives à C ; c’est un préfaisceau sur

la catégorie des C-schémas. Par abus de notation, on note encore ⌦d{C (au lieu de po�q˚⌦d

{C) sa restriction àla catégorie de pK,�q-schémas. Ainsi, si X est un pK,�q-schéma, ⌦d

{CpXq est le OpXq-module des formesdi↵érentielles de degré d sur le C-schéma sous-jacent au pK,�q-schéma X. (On attire l’attention du lecteurau fait que, contrairement à ce que nos notations laissent suggérer, les préfaisceaux ⌦d

{C sont très di↵érentsdes préfaisceaux ⌦d introduits dans la Construction 4.58.)

5.1. Les faisceaux ⌦�, d et leur cohomologie. —L’objetif de cette sous-section est l’étude cohomologique des faisceaux feuilletés sur Fttf�{K introduits

dans la définition suivante. On rappelle que le foncteur � : Ct{C // Fttf�{K associe à un C-schéma de typefini T le pK,�q-schéma de type fini K bC T .Définition 5.1. — Pour d P Z, on pose ⌦�, d

{C “ �˚⌦d{C. C’est un préfaisceau sur Fttf�{K vérifiant

⌦�, d{C pXq “ ⌦d

{CpX�“0qlorsque X admet un quotient discret catégorique X�“0 qui soit un C-schéma de type fini. On note ⌦�, d

{C lefaisceau feuilleté sur Fttf�{K associé à ⌦�, d

{C . Par construction, il s’agit d’un faisceau feuilleté discret.On regroupe quelques propriétés faciles dans le lemme suivant.

Lemme 5.2. —

(a) Le faisceau feuilleté ⌦�, d{C est naturellement un sous-O�-module du faisceau feuilleté afttf⌦

d{C.

(b) Le produit extérieur des formes di↵érientielles algébriques induit un produit extérieur

´ ^´ : ⌦�, d{C bO� ⌦

�, e{C

// ⌦�, dè{C . (263)

(c) Si L{K est une �-extension, alors ⌦�, d{C pLq “ ⌦d

{CpL�“0q. Si D{C est une extension contenant K, alors⌦�, d

{C pDrrtssq “ ⌦d{CpDq. (Ici, t “ pt1, ¨ ¨ ¨ , tmq et l’anneau Drrtss est considéré comme une pK,�q-

algèbre de la manière usuelle.)

Démonstration. — Clairement,⌦�, d{C “ �˚⌦d

{C est un �˚O-module. De plus, on a un morphisme �˚O-linéaire⌦�, d

{C// ⌦d

{C. Ce morphisme est injectif lorsqu’il est évalué sur un pK,�q-schéma X admettant un quo-tient discret pseudo-e↵ectif. En passant aux faisceaux feuilletés associés, on trouve donc une injectionO�-linéaire ⌦�, d

{C ãÑ afttf⌦d{C. Ceci démontre la propriété (a). Les propriétés (b) et (c) sont immédiates. ⌅


Rappelons que nous cherchons à comprendre la cohomologie feuilleté des faisceaux ⌦�, d{C . Pour simpli-

fier l’exposition et puisque c’est su�sant pour nos besoins, nous supposerons dans le reste du paragrapheque K est algébriquement clos et cohomologiquement basique. Cette hypothèse sera rappellée dans lesénoncés importants mais pas dans les constructions intermédiaires ; elle nous permettra d’invoquer le Co-rollaire 4.138. Ainsi, dans la suite de la sous-section, nous fixons une fois pour toute un isomorphisme danspro-ThgQ{C :

pQ‚q�“0 » Gal�‚ p rK{Kq ˆ K‚phomp⌧>2⌦‚pK; Gm

q,Gm

qq ˆπ

↵

VpK‚phomendpA↵qp⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵qqq

comme dans ledit corollaire. (Ci-dessus, Q‚ est une hyper-clôture di↵érentielle de K, rK{K la clôture dePicard-Vessiot de K contenue dans OpQ0q et pA↵q↵ est une famille représentative des classes d’isomor-phisme de C-variétés abéliennes simples.) Introduisons les notations suivantes.Notation 5.3. — Pour d P N, on pose :

(1) Ed, ‚ “ ⌦d{CpGal�‚ p rK{Kqq ;

(2) Fd, ‚ “ ôd LiepK‚phomp⌧>2⌦‚pK; Gm

q,Gm

qqq_ ;

(3) Gd, ‚↵ “ ôd LiepVK‚phomendpA↵qp⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵qqq_.

Lorsque nous aurons besoin de spécifier la dépendence de ces complexes en K, nous les noterons Ed, ‚pKq,Fd, ‚pKq et Gd, ‚

↵ pKq respectivement. ⇤Proposition 5.4. — Supposons que le �-corps K est algébriquement clos et cohomologiquement basique.Il existe alors un isomorphisme dans la catégorie dérivée des C-vectoriels :

R�fttfpK;⌦�, d{C q » à

r`s`⌃↵t↵“dpEr, ‚ b Fs, ‚ b pÂ

↵Gt↵, ‚↵ qq .

(Les produits tensoriels ci-dessus sont pris dans la catégorie des complexes de C-vectoriels.)Démonstration. — On dispose d’un isomorphise canonique

R�fttfpK,⌦�, d{C q » ⌦�, d

{C pQ‚q “ ⌦d{CppQ‚q�“0q

dans la catégorie dérivée des C-vectoriels. Grâce au Corollaire 4.138, le complexe ⌦d{CppQ‚q�“0q s’identifie

à

R�ét

˜

Gal�‚ p rK{Kq ˆ K‚`hom

`⌧>2⌦‚pK; G

m

q,Gm

˘˘ ˆπ

↵

V´

K‚

´homendpA↵q

`⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵

˘¯¯;⌦d

{C

¸

.

En utilisant le Lemme 4.139(b), on obtient un quasi-isomorphisme entre R�fttfpK,⌦�, d{C q et la somme directe,

suivant pr, s, pt↵qq avec r ` s ` ∞↵ t↵ “ d, de produits tensoriels

E1r, ‚ b F 1s, ‚ b pÂ↵G

1t↵, ‚↵ q

avec

E1r, ‚ “ R�étpGal�‚ p rK{Kq;⌦r{Cq, F 1s, ‚ “ R�ét

´K‚

`hom

`⌧>2⌦‚pK; G

m

q,Gm

˘˘;⌦s

{C

¯,

G1t↵, ‚↵ “ R�ét

´V

´K‚

´homendpA↵q

`⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵

˘¯¯;⌦t↵

{C

¯.

D’après la Proposition 4.149, les complexes Gt↵, ‚↵ et G1t↵, ‚

↵ sont canoniquement quasi-isomorphes. D’après laProposition 4.140, les complexes Fs, ‚ et F 1s, ‚ sont canoniquement quasi-isomorphes. Enfin, puisque le pro-schéma en groupe Gal�p rK{Kq est a�ne, les complexes Er, ‚ et E1r, ‚ sont quasi-isomorphes. La propositionest démontrée. ⌅

On regroupe quelques propriétés utiles des complexes introduits dans la Notation 5.3.Lemme 5.5. —

198 JOSEPH AYOUB

(a) Il existe des quasi-isomorphismes canoniques

Fd, ‚ » ôdC bZ ⌧>2⌦‚pK; Gm

q.(b) Il existe des quasi-isomorphismes canoniques

Gd↵ » ôd pLiepUA↵q_ bZ ⌧>1⌦‚pK; A↵q ‘ C bZ N‚

↵qoù N‚

↵ “ NS1pK‚phomendpA↵qp⌧>1⌦‚pK; A↵q, A↵qqq.

Pour la comodité du lecteur on explicite le cas d “ 1 dans l’énoncé suivant.Corollaire 5.6. — Supposons que K est algébriquement clos et cohomologiquement basique. Il existe

alors un isomorphisme canonique dans la catégorie dérivée des C-vectoriels :

R�fttfpK;⌦�, 1{C q » E1, ‚ À

E0, ‚ b `F1, ‚ ‘ À

↵G1, ‚↵

˘.

De plus, il existe un quasi-isomorphisme canonique E0, ‚ » ⌦‚pKq.Le morphisme (263) induit un accouplement dans la catégorie dérivée des C-vectoriels

R�fttfpK;⌦�, d{C q bC R�fttfpK;⌦�, e

{C q // R�fttfpK;⌦�, dè{C q (264)

qui admet la description suivante.Lemme 5.7. — Modulo le quasi-isomorphisme de la Proposition 5.4, l’accouplement (264) est donné par

le produit tensoriel des accouplements évidents sur les complexes E?, ‚, F?, ‚ et G?, ‚↵ .

La description explicite de la cohomologie feuilletée des faisceaux ⌦�, d donnée dans la Proposition 5.4ne sera pas très utile dans la suite. Ce qui sera utile est le résultat suivant.Proposition 5.8. — Fixons une hyper-clôture di↵érentielle Q‚ de K et notons rK{K la clôture de Picard-

Vessiot de K contenue dans OpQ‚q. Alors, on dispose d’un carré homotopiquement cocartésien

O�pC‚p rK{Kqq bC

Ó�pC‚p rK{Kqq ‘ C bZ O�,ˆpC‚p rKµ{Kqq

¯//

✏✏

⌦�, 1{C pC‚p rK{Kqq

✏✏

O�pC‚p rK{Kqq bCÀ�

CpQ‚q ‘ C bZ À↵ N‚

↵

˘// ⌦�, 1

{C pQ‚q.

Pour énoncer un résultat plus général, nous aurons besoin d’introduire un diagramme de complexes.Construction 5.9. — On note D⌥

dpKq le diagramme (d’objets cosimpliciales dans la catégorie des com-plexes de C-vectoriels) indéxé par la catégorie Cd et donné par

D⌥dpKqpu, vq “ ⌦�, u

{C pC‚p rK{Kqq bCôdú´v


¯

bCôv `

A�CpQ‚q ‘ C bZ À

↵N‚↵

˘.

Les morphismes de transition sont ceux que l’on pense. On pose ⌥dpKq “ hocolimCdD⌥

dpKq. ⇤Théorème 5.10. — Il existe un quasi-isomorphisme canonique ⌥dpKq » ⌦�, dpQ‚q.

Le lemme ci-dessus et son corollaire seront déplacés plus haut dans la nouvelle version.Lemme 5.11. — Soit R un anneau commutatif, et soient A et B des préfaisceaux de R-modules plats sur

Fttf�{K. Supposons que K est algébriquement clos. Alors, le morphisme évident

R�étpK; Aq bR R�étpK; Bq // R�étpK; A bR Bqest un isomorphisme dans la catégorie dérivée des R-modules. p36q

Démonstration. — Soit Q‚ une hyper-clôture di↵érentielle de K. Le point important à remarquer est que

R�fttfpK; A bR Bq “ pA bR BqpQ‚q “ diagpApQ‚q bR BpQ‚qq.36. Faut-il peut-être se restreindre aux Q-algèbres, i.e., écarter la torsion ? ? ?


Il reste alors à voir queTot

≤ApQ‚q bR BpQ‚q // diagpApQ‚q bR BpQ‚qq

est un quasi-isomorphisme. Ceci aurait été immédiat si Q‚ était un schéma simplicial. (On montrera dans lanouvelle version, que Q‚ se comporte su�samment bien vis à vis de cette propriété.) ⌅Corollaire 5.12. — Supposons que K est algébriquement clos. Soit A un C-schéma en groupe commutatifet connexe. Alors, nous disposons des isomorphismes canoniques suivant :

(i) R�fttfpK; LiepAq_ bZ A�q » LiepAq_ bZ R�fttfpK; A�q » LiepAq_ bZ ⌦‚pK; Aq ;

(i1) R�fttfpK; LiepAq_ bendpAq A�q » LiepAq_ bendpAq R�fttfpK; A�q » LiepAq_ bendpAq ⌦‚pK; Aq ;

(ii) R�fttfpK; pLiepAq_q� bZ A�q » R�fttfpK; LiepAq_q bZ R�fttfpK; A�q » ⌦‚pK; LiepAq_q bZ ⌦‚pK; Aq ;

(ii1) R�fttfpK; pLiepAq_q� bendpAq A�q » R�fttfpK; LiepAq_q bendpAq R�fttfpK; A�q » ⌦‚pK; LiepAq_q bendpAq⌦‚pK; Aq.

Démonstration. — Les propriétés (ii) et (ii1) se déduisent des propriétés (i) et (i1) grâce au Lemme 5.11.La propriété (i) est évidente. La propriété (ii) demande un peu plus de travail. L’argument sera fournitultérieurement. ⌅

5.2. Les faisceaux A~ et leur cohomologie. —Rappelons que ⌦1 “ À

BP�O ¨ B_ et que Z1dR Ä ⌦1 est le noyau de la di↵érentielle de de Rham. Nous

commençons par quelques constructions de faisceaux feuilletés sur Fttf�{K.Construction 5.13. — La composition de A{C // ⌦1

{C// ⌦1 se factorise à travers Z1

dR induisant unmorphisme surjectif de faisceaux feuilletés A{C // // Z1

dR. On note A~C le noyau de ce morphisme. Étantdonné l’isomorphisme canonique G

a

{Ga

� » Z1dR, on obtient de la sorte une suite exacte courte de faisceaux

feuilletés sur Fttf�{K :0 // A~C // AC // G

a

{Ga

� // 0.Clairement, A�

C est un sous-faisceau de A~C. On pose aussi A~C “ A~C{ACpCqcst. ⇤Dans cette sous-section, nous étudions la cohomologique du faisceau feuilleté A~C que nous venons d’in-

troduire. Pour énoncer notre premier résultat, nous avons besoin d’introduire la définition suivante.Définition 5.14. — On pose H1

dRpKq le conoyau du morphisme canonique ACpKq // Z1dRpKq. Autrement

dit, H1dRpKq est le quotient de Z1

dRpKq par le C-vectoriel engendré par les formes di↵érentielles obtenuespar pullbacks suivant des K-points de formes di↵érentielles invariantes sur des C-schémas en groupe com-mutatifs et connexes.Proposition 5.15. — On a :

HifttfpK;A~Cq “

$&

%

H1dRpKq si i “ 1,

HidRpKq si i > 2.

Démonstration. — On considère le morphisme de suites exactes courtes de faisceaux feuilletés

0 // Ga

� //

✏✏

Ga

//

✏✏

Ga

{Ga

� // 0

0 // A~C// AC

// Ga

{Ga

� // 0.

Puisque HifttfpK; G

a

q “ 0 et HifttfpK;ACq “ 0 pour i > 1, on déduit un isomorphisme Hi

fttfpK; Ga

�q „// Hi

fttfpK;K~Cq,pour i > 2, ainsi qu’une suite exacte courte

ACpKq // pGa

{Ga

�qpKq // H1fttfpK;K~Cq // 0.

200 JOSEPH AYOUB

Or, d’après le Corollaire 4.62, on a HifttfpK; G

a

�q “ HidRpKq, pour i > 1, et pG

a

{Ga

�qpKq “ Z1dRpKq. Ceci

permet de conclure. ⌅Corollaire 5.16. — Le morphisme canonique

HifttfpK; G

a

�q // HifttfpK;K~Cq

est un isomorphisme pour i > 2 et il est surjectif pour i “ 1.Remarque 5.17. — Dans les situations qui nous intéressent (par exemple, si K est géométrique), le groupeH1

dRpKq sera nul. ⇤Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la preuve de la Proposition 5.15. ⌅Lemme 5.18. — Il existe un morphisme de triangles distingués

A�C

//

✏✏

AC// AC{A�

C

✏✏

// A�r1s✏✏

A~C// AC

// Ga

{Ga

� // A~r1s.De plus, il existe un isomorphisme non canonique p37q

AC{A�C » `

C ‘ pC bZ Cq ‘ `À↵ LiepUA7

↵q_ bendpA↵q LiepA↵q˘˘ bC Ga

{Ga

�

et la troisième flèche verticale est celle que l’on pense.Théorème 5.19. — Les morphismes

HifttfpK;A�

Cq // HifttfpK;A~Cq

admettent les descriptions suivantes.(a) Pour i “ 1, c’est la sommes des morphismes évidents

H1dRpKq // H

1dRpKq, C bZ H1

dRpK; Gm

q // H1dRpKq et LiepUA7

↵q_ bendpA↵q H1dRpK; A↵q // H

1dRpKq.

(Ici, H1dRpKq est le plus grand quotient de H1

dRpKq pour lequel les morphismes ci-dessous existent.)(b) Pour i > 2, c’est la sommes des morphismes évidents

id : HidRpKq // Hi

dRpKq, C bZ HidRpK; G

m

q » C bZ HidRpKq // Hi

dRpKqet LiepUA7

↵q_ bendpA↵q HidRpK; A↵q » LiepUA7

↵q_ bendpA↵q LiepA↵q bC HidRpKq // Hi

dRpKq.

5.3. Les faisceaux ⌦~, d et leur cohomologie. —Dans cette sous-section, nous introduisons les faisceaux ⌦~, d{C .

Construction 5.20. — On définit le faisceau feuilleté ⌦~, 1{C sur Fttf�{K en formant le carré cocartésien

O� bC A�C

//

✏✏

⌦�, 1C

✏✏

O� bC A~C // ⌦~, 1{C .

Le faisceau feuilleté ⌦~, 1{C est un O�-module. Pour d P N, on pose ⌦~, d{C “ ôdO� ⌦

~, 1{C . ⇤

Lemme 5.21. — Pour d P N, ⌦~, d{C est naturellement un sous-faisceau de afttf⌦d{C contenant ⌦�, d

{C . Ces sous-faisceaux sont préservés par la di↵érentielle de de Rham et le produit exterieur des formes di↵érentielles.Démonstration. — Il s’agit d’une reformulation du théorème d’Ax-Lindemann. (Nous inclurons la preuveplus tard.) ⌅

37. qui dépend du choix d’un scindage cohérent des algèbres de Lie des schémas en groupes commutatifs et connexes.


Lemme 5.22. — On dispose d’une filtration croissante exhaustive F sur le faisceau feuilleté ⌦~, d{C vérifiantles propriétés suivantes :

(a) F´1⌦~, d{C “ 0, F0⌦~, d{C “ ⌦�, d{C , et Fd⌦~, d{C “ ⌦~, d{C ;

(b) la di↵érentielle de de Rham préserve Fd et le produit extérieur envoie Fd b Fe dans Fdè ;

(c) Pour 0 6 i 6 d, on a Fi⌦~, d{C {Fi´1⌦~, d{C » ⌦�, dí{C bC

ôiC A~C{A�

C.

Démonstration. — C’est immédiat d’après la construction. ⌅Proposition 5.23. — Fixons une hyper-clôture di↵érentielle Q‚ de K et notons rK{K la clôture de Picard-Vessiot de K contenue dans OpQ‚q. Alors, on dispose d’un carré homotopiquement cocartésien

O�pC‚p rK{Kqq bC


¯//

✏✏

⌦�, 1{C pC‚p rK{Kqq

✏✏

O�pC‚p rK{Kqq bCÀ~CpQ‚q ‘ C bZ À

↵ N‚↵

˘// ⌦~, 1{C pQ‚q.

Pour énoncer un résultat plus général, nous aurons besoin d’introduire un diagramme de complexes.Construction 5.24. — On note D⌥

~, dpKq le diagramme (d’objets cosimpliciaux dans la catégorie descomplexes de C-vectoriels) indéxé par la catégorie Cd et donné par

D⌥dpKqpu, vq “ ⌦�, u

{C pC‚p rK{Kqq bC Sdú´vÓ�pC‚p rK{Kqq ‘ C bZ O�,ˆpC‚p rKµ{Kqq

¯

bCôv `

A~CpQ‚q ‘ C bZ À↵N‚

↵

˘.

Les morphismes de transition sont ceux que l’on pense. On pose ⌥~, dpKq “ hocolimCdD⌥~, dpKq. ⇤

Théorème 5.25. — Il existe un quasi-isomorphisme canonique ⌥~, dpKq » ⌦~, dpQ‚q.Nous devons maintenant introduire une notation.

Notation 5.26. — Soit G un pro-k-schéma en groupe a�ne et connexe. On note Gsc le noyau du morphismeG // // Gµ. Ainsi, tout quotient de type fini de Gsc admet un revêtement universel étale fini et Gsc est le plusgrand sous-groupe de G possédant cette propriété. p38q ⇤

Lorsque le groupe H1dRpKq est nul, on a un description beaucoup plus sympatique de la cohomologie

feuilleté des faisceaux ⌦~, d{C . C’est ce que nous allons tenter d’expliquer.

Proposition 5.27. — Fixons une hyper-clôture di↵érentielle Q‚ de K et notons rK{K la clôture de Picard-Vessiot de K contenue dans OpQ‚q. Supposons de plus que K est cohomologiquement basique et queH1

dRpKq “ 0. Alors, on dispose d’un carré homotopiquement cocartésien

O�pC‚p rK{Kqq bC H1dRpKq //

0✏✏

⌦�, 1{C pC‚p rK{ rKµqqGalp rKµ{Kq

✏✏

O�pC‚p rK{Kqq bCÀ~CpKq ‘ C bZ À

↵ N‚↵

˘// ⌦~, 1{C pQ‚q.

Démonstration. — ⌅Construction 5.28. — On note D ⌥

~, dpKq le diagramme (d’objets cosimpliciaux dans la catégorie descomplexes de C-vectoriels) indéxé par la catégorie Cd et donné par

D ⌥dpKqpu, vq “ ⌦�, u

{C pC‚p rK{KµqqGalpKµ{Kq bC Sdú´vH1dRpKq bC

ôv À~CpKq ‘ C bZ À

↵N‚↵

˘.

Les morphismes de transition sont ceux que l’on pense. On pose ⌥~, dpKq “ hocolimCdD ⌥~, dpKq. ⇤

38. L’exposant « sc » devrait rappeler la propriété « simplement connexe ».

202 JOSEPH AYOUB

Théorème 5.29. — Il existe un quasi-isomorphisme canonique ⌥~, dpKq » ⌦~, dpQ‚q.

6. Au delà des �-corps

Dans cette section, on fixe un corps de base k de caractéristique nulle.

6.1. Feuilletages schématiques. —Dans cette sous-section et celle qui suivra, nous introduisons les feuilletages schématiques au-dessus de k

(appelés aussi k-feuilletages schématiques ou encore k-feuilletages) et nous établissons quelques propriétésélémentaires d’iceux. La notion de k-feuilletage schématique n’est pas vraiment nouvelle. D’une part, elleest l’analogue direct pour les k-schémas de la notion classique de feuilletage (possiblement singulier) engéométrie di↵érentielle. D’autre part, plusieurs auteurs ont introduit et étudié des objets similaires sous desdénominations di↵érentes. Sans vouloir être exhaustive, notons que :

– la donnée d’un k-feuilletage schématique a�ne équivaut à celle d’un anneau di↵érentiel généralisé ausens de [1, §2.1.2] d’un type particulier ;

– la donnée d’un k-feuilletage di↵érentiellement lisse (cf. la Définition 6.33) équivaut à celle d’un schémadi↵érentiel au sens de [35, Definition 3.2.1] d’un type particulier.

Définition 6.1. — Soit X un k-schéma. Une structure de feuilletage sur X est la donnée d’un couplep⌦X{F, dFq formé d’un OX-module quasi-cohérent ⌦X{F et d’une dérivation k-linéaire dF : OX // ⌦X{Ftelle que le morphisme OX-linéaire ⇢F : ⌦X{k // ⌦X{F, déduit de dF, satisfait aux conditions suivantes :

(a) il est surjectif ;

(b) son noyau est contenu dans le noyau de la composition de

⌦X{kd//ô2

OX⌦X{k

^2⇢F//ô2

OX⌦X{F.

Un k-feuilletage (appelé aussi k-feuilletage schématique si plus de précision est souhaitable) est un tripletpX,⌦X{F, dFq où X est un k-schéma et p⌦X{F, dFq est une structure de feuilletage sur X.

Un k-feuilletage pX,⌦X{F, dFq sera souvent désigné par X{F.Remarque 6.2. — Gardons les notations de la Définition 6.1. Sous (a), la condition (b) équivaut à

l’existence d’un morphisme k-linéaire dF : ⌦X{F //ô2

OX⌦X{F rendant commutatif le carré

⌦X{k

⇢F✏✏✏✏

d//ô2

OX⌦X{k

^2⇢F✏✏✏✏

⌦X{FdF//ô2

OX⌦X{F.

(Toujours sous (a), un tel morphisme est unique lorsqu’il existe.) ⇤

Exemple 6.3. — Tout k-schéma X peut être muni de deux structures de feuilletages : la grossière etla discrète. La première est donnée par le couple p⌦X{k, dq et la seconde est donnée par le couple p0, 0qformé du OX-module nul et la dérivation nulle. Les k-feuilletages ainsi obtenus sont notés X{k et X{Xrespectivement.

Plus généralement, étant donné un morphisme de k-schémas f : X // S , on dispose d’une structure defeuilletage sur X donnée par le couple p⌦ f , d f q. Le k-feuilletage ainsi obtenu est noté X{S . ⇤

Notation 6.4. — Soit X{F un k-feuilletage. Comme de coutûme, on pose ⌦dX{F “ ôd

OX⌦X{F pour d P Z>0

et on convient que ⌦dX{F “ 0 pour d P Z†0. ⇤

Le résultat suivant généralise la carré commutatif de la Remarque 6.2.


Lemme 6.5. — Soit X{F un k-feuilletage. Il existe alors une unique famille de morphismes k-linéairesdF : ⌦d

X{F // ⌦d`1X{F rendant commutatifs les carrés

⌦dX{k

^d⇢F✏✏✏✏

d// ⌦d`1

X{k

^d`1⇢F✏✏✏✏

⌦dX{F

dF// ⌦d`1

X{F .

On obtient ainsi un complexe de faisceaux ⌦‚X{F sur le k-schéma X, qu’on appellera bien sûr le complexe

de de Rham du k-feuilletage X{F.Par construction, on dispose d’un morphisme surjectif de complexes de faisceaux

ô‚⇢F : ⌦‚X{k

// // ⌦‚X{F.

Démonstration. — L’unicité est immédiate puisque les morphismesôd⇢F sont surjectifs. Pour démontrer

l’existence, il su�t de vérifier l’inclusion

ker!ôd⇢F : ⌦d

X{k Ñ ⌦dX{F

)Ä ker

!ôd`1⇢F ˝ d : ⌦dX{k Ñ ⌦d`1

X{F).

Une section du membre de gauche est une combinaison linéaire de sections de la forme

! ^ dp f2q ^ . . .^ dp fdq, (265)

avec ! une section de kerp⇢Fq, et f2, . . . , fd des sections de OX. L’image de (265) parôd`1⇢F ˝ d est égale à

ôd`1⇢Fpd! ^ dp f2q ^ . . .^ dp fdqq “ pô2⇢Fpd!qq ^ dFp f2q ^ . . .^ dFp fdq.Elle est nulle par la Remarque 6.2. ⌅Définition 6.6. — Étant donnés deux k-feuilletages X{F et Y{G, un morphisme de k-feuilletages

f : Y{G // X{Fest un morphisme de k-schémas f : Y // X tel que le noyau de ⇢F : ⌦X{k // ⌦X{F est contenu dans lenoyau de la composition de

⌦X{k´˝ f// f˚⌦Y{k

f˚p⇢Gq// f˚⌦Y{G.

Remarque 6.7. — La condition sur le morphisme f : Y // X dans la Définition 6.6 est équivalente àl’existence d’un morphisme OX-linéaire ´ ˝ f : ⌦X{F // f˚⌦Y{G rendant commutatif le carré

⌦X{k´˝ f//

⇢F✏✏

f˚⌦Y{k

f˚p⇢Gq✏✏

⌦X{F´˝ f// f˚⌦Y{G

ou, d’une manière équivalente, le carré

OX´˝ f

//

dF✏✏

f˚OY

f˚pdGq✏✏

⌦X{F´˝ f// f˚⌦Y{G.

Puisque ⇢F est surjectif, un tel morphisme est unique lorsqu’il existe. ⇤Exemple 6.8. — Étant donné un k-feuilletage X{F, on dispose de deux morphismes évidents

idX : X{X // X{F et idX : X{F // X{k.

Ils définissent respectivement la counité de l’adjoint à gauche X X{X et l’unité de l’adjoint à droiteX X{k du foncteur d’oubli X{F X de la catégorie des k-feuilletages dans celle des k-schémas. ⇤

204 JOSEPH AYOUB

Lemme 6.9. — Un morphisme de k-feuilletages f : Y{G // X{F induit un morphisme de complexes defaisceaux ´ ˝ f : ⌦‚

X{F // f˚⌦‚Y{G rendant commutatif le carré

⌦‚X{k

´˝ f//

^‚⇢F✏✏

f˚⌦‚Y{k

f˚p^‚⇢Gq✏✏

⌦‚X{F

´˝ f// f˚⌦‚

Y{G.

Démonstration. — Les morphismes ⌦dX{F // f˚⌦d

Y{G sont donnés par la composition de

⌦dX{F

^dp´˝ f q//ôd

OXf˚⌦d

Y{G// f˚⌦1

Y{G.

La commutation du carré est alors claire : en e↵et, une section a0 ¨ da1 ^ . . .^ dad de ⌦dX{k s’envoie sur

pa0 ˝ f q ¨ dGpa1 ˝ f q ^ . . .^ dGpad ˝ f qpar les deux compositions possibles. ⌅Lemme 6.10. — Soient X{F un k-feuilletage et f : Y // X un morphisme de k-schémas. Il existe alors

une structure de feuilletage p⌦Y{F, dFq sur le k-schéma Y, unique à un unique isomorphisme près p39q, telleque les propriétés suivantes sont satisfaites avec Y{F “ pY,⌦Y{F, dFq.

(i) Le morphisme f définit un morphisme de k-feuilletages f : Y{F // X{F.(ii) Pour tout morphisme de k-feuilletages Z{G // X{F, le foncteur « oubli de la structure de feuilletage »

induit une bijectionhomX{FpZ{G,Y{Fq » homXpZ,Yq.

On dit que la structure de feuilletage p⌦Y{F, dFq est induite de la structure de feuilletage p⌦X{F, dFq via lemorphisme de k-schémas f : Y // X.Démonstration. — On pose ⌦Y{F “ ⌦Y{k

≤f ‹⌦X{k

f ‹⌦X{F, la somme amalgamée étant prise dans la caté-gorie des OY-modules quasi-cohérents. (On rappelle que f ‹ désigne le foncteur « image inverse » sur lesfaisceaux quasi-cohérents donné par OY b f ˚OX f ˚p´q.) On note ⇢F : ⌦Y{k // ⌦Y{F le morphisme évident.On dispose alors d’un carré cocartésien de OY-modules quasi-cohérents

f ‹⌦X{k

f ‹⇢F✏✏

´˝ f// ⌦Y{k

⇢F✏✏

f ‹⌦X{F´˝ f// ⌦Y{F.

(266)

Posons dF “ ⇢F ˝ d : OY // ⌦Y{F ; c’est une dérivation k-linéaire sur OY . Nous allons montrer quepY,⌦Y{F, dFq est un k-feuilletage et que les proriétés (i) et (ii) de l’énoncé sont satisfaites. On divise la tâcheen deux parties.Partie A : On montre ici que p⌦Y{F, dFq est une structure de feuilletage sur le k-schéma Y . Puisque lemorphisme ⇢F : ⌦X{k // ⌦X{F est surjectif et que le carré (266) est cocartésien, le morphisme ⇢F :⌦Y{k // ⌦Y{F est surjectif. Il reste à vérifier que

ô2⇢Fpd!q “ 0 pour toute section ! de kert⇢F : ⌦Y{k Ñ⌦Y{Fu.

Puisque le foncteur f ‹ est exact à droite, il transforme la suite exacte courte0 // kert⌦X{k Ñ ⌦X{Fu // ⌦X{k // ⌦X{F // 0

en une suite exactef ‹kert⌦X{k Ñ ⌦X{Fu // f ‹⌦X{k // f ‹⌦X{F // 0.

39. Un isomorphisme entre deux structures de feuilletage sur un k-schéma S est un isomorphisme entre les deux quotientsassociés du faisceau ⌦S {k.


Le carré (266) étant cocartésien, il s’ensuit une suite exacte

f ‹kert⌦X{k Ñ ⌦X{Fu // ⌦Y{k // ⌦Y{F // 0. (267)

Ainsi, toute section de ker ⇢F : ⌦Y{k Ñ ⌦Y{F

(est localement une combinaison linéaire de formes di↵é-

rentielles a ¨ p⌫ ˝ f q avec a une section de OY et ⌫ une section de kert⇢F : ⌦X{k Ñ ⌦X{Fu. Il su�t donc demontrer que

ô2⇢F ˝ dpa ¨ p⌫ ˝ f qq “ 0 pour de telles sections a et ⌫.Or, la condition ⇢Fpvq “ 0 entraîne que

ô2⇢Fpdvq “ 0 puisque p⌦X{F, dFq est une structure de feuilletagesur X. On a donc :

ô2⇢F ˝ dpa ¨ p⌫ ˝ f qq “ ô2⇢Fpda ^ p⌫ ˝ f q ` a ¨ d⌫ ˝ f q“ ⇢Fpdaq ^ ⇢Fp⌫ ˝ f q ` a ¨ ô2⇢Fpd⌫ ˝ f q“ ⇢Fpdaq ^ ⇢Fp⌫q ˝ f ` a ¨ ô2⇢Fpd⌫q ˝ f“ 0.

(L’égalité entre les deuxième et troisième lignes découle du carré commutatif (266).)Partie B : On vérifie ici les propriétés (i) et (ii) de l’énoncé. La propriété (i) découle du carré commutatif

⌦X{k´˝ f//

⇢F✏✏

f˚⌦Y{k

f˚p⇢Fq✏✏

⌦X{F´˝ f// f˚⌦Y{F

qui s’obtient par adjonction du carré commutatif (266). (Voir la Remarque 6.7.)Pour vérifier (ii), il su�t de montrer que tout X-morphisme g : Z // Y définit un morphisme de k-

feuilletages g : Z{G // Y{F. Par définition, il s’agit de montrer que le noyau de ⇢F : ⌦Y{k // ⌦Y{F estcontenu dans le noyau de la composition de

⌦Y{k´˝g// g˚⌦Z{k

⇢G// g˚⌦Z{G.

Or, d’après la suite exacte (267), toute section de ker ⇢F : ⌦Y{k Ñ ⌦Y{F

(est localement une combinaison

linéaire de formes di↵érentielles a ¨ p⌫ ˝ f q avec a une section de OY et ⌫ une section de kert⇢F : ⌦X{k Ñ⌦X{Fu. Il su�t donc de montrer que ⇢Gppa ¨ p⌫ ˝ f qq ˝ gq “ 0 pour de telles sections a et ⌫. Or, on a

⇢Gppa ¨ p⌫ ˝ f qq ˝ gq “ ⇢Gppa ˝ gq ¨ pp⌫ ˝ f q ˝ gqq “ pa ˝ gq ¨ ⇢Gp⌫ ˝ p f ˝ gqq.Par ailleurs, puisque f ˝ g définit un morphisme de k-feuilletages f ˝ g : Z{G // X{F, on a

⇢Gp⌫ ˝ p f ˝ gqq “ ⇢Fp⌫q ˝ p f ˝ gq.Étant donné que ⇢Fp⌫q “ 0, on a bien l’annulation recherchée. ⌅Définition 6.11. — Un morphisme de k-feuilletages f : Y{G // X{F est dit basique si le morphisme

évident idY : Y{G // Y{F, déduit de la propriété (ii) du Lemme 6.10, est un isomorphisme. Autrement dit,le morphisme f est basique si et seulement si l’application

homX{FpZ{H,Y{Gq // homXpZ,Yqest bijective pour tout k-feuilletage Z{H au-dessus de X{F.Proposition 6.12. — Les limites finies sont représentables dans la catégorie des k-feuilletages. De plus,

le foncteur « oubli de la structure de feuilletage » commute aux limites finies.Démonstration. — Montrons d’abord que les produits directs sont représentables. Soient Y{G et Z{H deuxk-feuilletages. On pose

⌦YˆkZ{GˆH “ `⌦Y{G ⇥k OZ

˘ ‘ pOY ⇥⌦Z{Hqet on prend pour dGˆH l’unique dérivation sur OY ⇥k OZ telle que

dGˆHpa ⇥ bq “ dGpaq ⇥ b ` a ⇥ dHpbq

206 JOSEPH AYOUB

pour a et b des sections de OY et OZ respectivement. Il est immédiat que le triplet pY ˆk Z,⌦YˆkZ{GˆH, dGˆHqest un k-feuilletage Y ˆk Z{G ˆ H qui représente le produit direct de Y{G et Z{H.

Il reste à montrer que les produits fibrés sont représentables. Supposons donc donnés des morphismes dek-feuilletages f : Y{G // X{F et g : Z{H // X{F. Le produit fibré pY{Gq ˆX{F pZ{Hq est représenté parle k-feuilletage pY ˆX Zq{GˆH obtenu en appliquant le lemme 6.10 au k-feuilletage pY ˆk Zq{GˆH et aumorphisme de k-schémas Y ˆX Z ãÑ Y ˆk Z. ⌅

Remarque 6.13. — Soient X{F un k-feuilletage et f : Y // X un morphisme de k-schémas. Alors, on aun carré cartésien de k-feuilletages

Y{F //

✏✏

Y{k

✏✏

X{F // X{k.

Autrement dit, le k-feuilletage Y{F du lemme 6.10 est le produit fibré pY{kq ˆX{k pX{Fq. Il s’ensuit aussitôtque la classe des morphismes basiques de k-feuilletages est stable par changement de base. ⇤

Remarque 6.14. — Soient f : Y{G // X{F et g : Z{H // X{F deux morphismes de k-feuilletages.Alors, on a un isomorphisme canonique

pY{Gq ˆX{F pZ{Hq „// pY{Gq ˆX{k pZ{Hq.

Ceci découle aussitôt du fait que le morphisme X{F // X{k est un monomorphisme de la catégorie desk-feuilletages. ⇤

Notation 6.15. — Un produit fibré de k-feuilletages pY{Gq ˆX{F pZ{Gq sera souvent noté Y ˆX Z{G ˆ H.Ceci est justifié par la Remarque 6.14. ⇤

Proposition 6.16. — Considérons un carré cartésien de k-feuilletages

Y 1{G1 u1//

f 1✏✏

Y{Gf✏✏

X1{F1 u// X{F

et notons g : Y 1{G1 // X{F le morphisme composé f ˝ u1 “ u ˝ f 1. Alors, le carré de OY 1-modules quasi-cohérents

⌦Y 1{G1 u1‹⌦Y{G´˝u1oo

f 1‹⌦X1{F1

´˝ f 1OO

g‹⌦X{F

´˝ f

OO

´˝uoo

est cocartésien.Démonstration. — On divise la preuve en deux parties. Dans la première, on traite le cas où tous les k-feuilletages sont grossiers.Partie A : Ici, on montre que le carré

⌦Y 1{k u1‹⌦Y{k´˝u1oo

f 1‹⌦X1{k

´˝ f 1OO

g‹⌦X{k

´˝ f

OO

´˝uoo

est cocartésien. La question étant locale sur Y 1, on peut supposer que tous les schémas en question sonta�nes : X “ SpecpAq, X1 “ SpecpA1q, Y “ SpecpBq et Y 1 “ SpecpB1q. En utilisant la propriété universelle


du module des di↵érentielles de Kähler et la propriété universelle de la somme amalgamée, on se ramène àmontrer que pour tout B1-module M1, l’application évidente

derkpB1,M1q // derkpA1,M1q ˆderkpA,M1q derkpB,M1q (268)

est bijective. L’injectivité est claire. Pour la surjectivité, on se donne deux dérivations D1 : A1 // M1 etE : B // M1 qui coïncident après restriction à A. On définit une dérivation F : A1 bk B // M1 en posantFpa1 b bq “ b ¨ D1pa1q ` a1 ¨ Epbq pour a1 P A1 et b P B. Alors, pour a P A, on trouve aussitôt queFpaa1 b bq “ Fpa1 b abq. Il s’ensuit que la dérivation F induit une dérivation E1 : B1 » A1 bA B // M1 quiest l’antécédent du couple pD1, Eq par l’application (268).Partie B : Rappelons que Y 1{G1 est canoniquement isomorphe au k-feuilletage obtenu à partir du k-feuilletageproduit X1 ˆk Y{F1 ˆ G “ pX1{F1q ˆk pY{Gq et du morphisme de k-schémas Y 1 // X1 ˆk Y en appliquant leLemme 6.10. Le carré cocartésien (266) utilisé dans la preuve du Lemme 6.10 s’écrit dans notre cas :

f 1‹⌦X1{k ‘ u1‹⌦Y{k// //

✏✏

⌦Y 1{k

✏✏

f 1‹⌦X1{F1 ‘ u1‹⌦Y{G // // ⌦Y 1{G1 .

Par ailleurs, le carré cocartésien de la Partie A fournit la suite exacte

g‹⌦X{k // f 1‹⌦X1{k ‘ u1‹⌦Y{k // ⌦Y 1{k // 0.

Il s’ensuit une suite exacte

g‹⌦X{k // f 1‹⌦X1{F1 ‘ u1‹⌦Y{G // ⌦Y 1{G1 // 0. (269)

Étant donné que le morphisme ⌦X{k // ⌦X{F est surjectif, on peut remplacer g‹⌦X{k par g‹⌦X{F dans (269)sans perdre l’exactitude de la suite. Ceci permet de conclure. ⌅Corollaire 6.17. — Soit X{F un k-feuilletage et soit s : Z ãÑ X l’inclusion d’un sous-schéma fermé

défini par un idéal I Ä OX. Alors, on dispose d’une suite exacte de OZ-modules quasi-cohérents

I{I2 // s‹⌦X{F // ⌦Z{F // 0.

Démonstration. — On dispose de la suite exacte de OZ-modules quasi-cohérents bien connue

I{I2 // s‹⌦X{k // ⌦Z{k // 0.

Le résultat recherché découle de la construction du k-feuilletage Z{F, et plus précisément du carré cocarté-sien (266). ⌅

6.2. Feuilletages schématiques (suite). —Nous continuons dans cette sous-section notre étude des propriétés élémentaires des k-feuilletages. Nous

commençons avec quelques points de terminologie.Définition 6.18. —

(a) Soit X{F un k-feuilletage. On dit que X{F est a�ne (resp. quasi-a�ne, quasi-compact, réduit, intègre)s’il en est ainsi du k-schéma sous-jacent X.

(b) Soit f : Y{G // X{F un morphisme de k-feuilletages. On dit que f : Y{G // X{F est a�ne (resp.quasi-compact, fini, quasi-fini) s’il en est ainsi du morphisme de k-schémas sous-jacent f : Y // X.De même, on dit que f : Y{G // X{F est une immersion fermée (resp. localement fermée) s’il en estainsi du morphisme de k-schémas sous-jacent f : Y // X.

(c) On dit que f : Y{G // X{F est une immersion ouverte s’il est basique (au sens de la Définition 6.11)et si le morphisme de k-schémas sous-jacent f : Y // X est une immersion ouverte.

208 JOSEPH AYOUB

Les �-schémas considérés auparavant dans cet article constituent une source importante d’exemples dek-feuilletages. Ceci sera expliqué dans l’énoncé suivant.Proposition 6.19. — Soit � un ensemble fini de dérivations agissant trivialement sur k.

(i) Soit X un pk,�q-schéma. Alors X détermine un k-feuilletage

X{AX,� “ pX,⌦X,�, d�q.Son k-schéma sous-jacent est le k-schéma sous-jacent au pk,�q-schéma X ; il sera encore noté X. LeOX-module ⌦X,� (aka., ⌦X{AX,�) est le sous-OX-module de

ÀBP�OX ¨ B_ engendré par l’image de la

dérivation d� (aka., dAX,�) qui est donnée par la formule d�p´q “ ∞BP� Bp´q ¨ B_.

(ii) Soit f : Y // X un morphisme de pk,�q-schémas. Alors, f est un morphisme de k-feuilletagesf : Y{AY,� // X{AX,�. Ainsi, l’association X X{AX,� est un foncteur de la catégorie des pk,�q-schémas dans celle des k-feuilletages.

Démonstration. — On démontre seulement la première partie de l’énoncé ; la seconde est laissée en exer-cice. Par construction, la dérivation d� : OX // ⌦X,� satisfait à la condition (a) de la Définition 6.1. Il resteà vérifier la condition (b). On montrera plus précisément que le carré

⌦1X{k

d//

⇢✏✏

⌦2X{k

^2⇢✏✏À

16i6m OX ¨ B_i

d//À

16i† j6m OX ¨ B_i ^ B_

j

commute. (Ci-dessus, on a noté ⇢ le morphisme déduit de d� et on a fixé un ordre sur l’ensemble desdérivations : � “ tB1, ¨ ¨ ¨ , Bmu.)

Soit ! une section de⌦1X{k. Nous allons vérifier que d˝⇢p!q “ ô2⇢˝d!. On ne restreint pas la généralité

en supposant que ! “ a ¨ db avec a et b deux sections de OX. Dans ce cas, on a

d˝⇢p!q “ d

˜

a ¨mÿ

i“1

Bipbq ¨ B_i

¸

“˜

mÿ

i“1

Bipaq ¨ B_i

¸

^˜

mÿ

i“1

Bipbq ¨ B_i

¸

“ ⇢pdaq^⇢pdbq “ ô2⇢pdpa¨dbqq.

Ceci termine la preuve. ⌅Définition 6.20. — Gardons les notations de la Proposition 6.19. Nous dirons que X{AX,� est le k-

feuilletage associé au pk,�q-schéma X. Dans le but d’alléger les notations et lorsqu’il n’y a pas de confusionpossible, nous noterons parfois X{A, voire simplement X, le k-feuilletage X{AX,�.Remarque 6.21. — Gardons les notations de la Proposition 6.19. Alors, le complexe de de Rham ⌦‚

X,� duk-feuilletage X{AX,� s’identifie à un sous-complexe de la restriction au petit site Zariski de X du complexe⌦‚ de la Construction 4.58. Plus précisément, ⌦‚

X,� est l’image de ⌦‚X{k par le morphisme naturel. ⇤

Exemple 6.22. — Soient I un ensemble quelconque et � un ensemble fini de dérivations. On considèrele pk,�q-schéma

AI|�k “ SpecpkrBuyi; i P I, u P N�sq,

dont le k-schéma sous-jacent est donné par le spectre de la k-algèbre de polynômes en les variables (algé-briquement) indépendantes Buyi avec i P I et u : � Ñ N une fonction. L’action de B P � sur les fonctionsrégulières sur AI|�

k est caractérisée par la formule BBuyi “ Bu`B_yi avec B_ : � Ñ N la fonction qui vaut 1en B et 0 ailleurs. En appliquant la Proposition 6.19, on obtient un k-feuilletage qu’on note encore AI|�

k . ⇤On utilise l’Exemple 6.22 pour introduire la notion suivante.

Définition 6.23. —(a) Soit X{F un k-feuilletage. Nous dirons que X{F est localement de type dénombrable si tout point de X

possède un voisinage ouvert a�ne U tel que U{F admet une immersion fermée dans un k-feuilletagede la forme AI|�

k avec � un ensemble fini de dérivations et I un ensemble dénombrable. Nous dironsque X{F est de type dénombrable si de plus le k-schéma X est quasi-compact.


(b) Soit f : Y{G // X{F un morphisme de k-feuilletages. Nous dirons que f est localement de typedénombrable si tout point de Y possède un voisinage ouvert a�ne V au-dessus d’un ouvert a�ne Ude X tel que le morphisme de k-feuilletage f |V : V{G // U{F se factorise par une immersion ferméesuivie de la projection pr2 : AI|�

k ˆk U{F // U{F avec � un ensemble fini de dérivations et I unensemble dénombrable. Nous dirons que f est de type dénombrable si de plus f est quasi-compact.

Remarque 6.24. — En remplaçant « I dénombrable » par « I fini » dans la définition 6.23, on obtient desnotions équivalentes. En e↵et, si � est une dérivation n’appartenant pas à �, il existe une immersion ferméede k-feuilletages

j : AN|�k ãÑ At0u|�\t�u

k .

Elle est donnée sur les anneaux de fonctions régulières par l’association Bu�ny0 Buyn. (Remarquer que lemorphisme de k-schémas sous-jacent à j est un isomorphisme.) ⇤Lemme 6.25. — Les morphismes (localement) de type dénombrable entre k-feuilletages sont stables par

composition et changement de base.Démonstration. — La stabilité par changement de base est claire. La stabilité par composition découle dela stabilité par changement de base et de l’existence d’une immersion fermée de k-feuilletages

AI|�k ˆk A

I1|�1

k ãÑ AI\I1|�\�1

k .

Les détails sont laissés au lecteur. ⌅La terminologie suivante sera utile.

Définition 6.26. — Soit � un ensemble fini de dérivations agissant trivialement sur k. Un pk,�q-schémaX est dit essentiel si le OX-module libre

ÀBP�OX ¨ B_ est engendré par l’image de la di↵érentielle d�, i.e.,

si ⌦X,� “ ÀBP�OX ¨ B_.

On fera attention que le pk,�q-schéma AI|�k n’est pas essentiel à moins que � ne soit vide. L’énoncé

suivant est clair.Lemme 6.27. — Soit � un ensemble fini de dérivations agissant trivialement sur k. Soit f : Y // X un

morphisme de pk,�q-schémas. Si X est essentiel, il en est de même de Y.La Proposition 6.19 admet une réciproque lorsqu’on se restreint aux pk,�q-schémas essentiels.

Proposition 6.28. — Soit X{F un k-feuilletage. Supposons que le OX-module⌦X{F est librement engendrépar pdFp fiqqiPI P ⌦X{FpXqI avec p fiqiPI P OXpXqI une famille finie de fonctions régulières sur X. Alors, X estnaturellement un pk,�q-schéma avec � “ tBi; i P Iu. L’action de la dérivation Bi0 , pour i0 P I, est donnéepar la composition de

OXdF// ⌦X{F » À

iPIOX ¨ dFp fiqpri0// OX ¨ dFp fi0q » OX.

De plus, le k-feuilletage X{F s’identifie canoniquement au k-feuilletage associé au pk,�q-schéma X.Démonstration. — On montrera seulement que l’action des dérivations Bi décrite dans l’énoncé fait de X unpk,�q-schéma. Ceci revient à vérifier que les Bi commutent entre elles. Par construction, pour g une sectionde OX, on a

dFpgq “ÿ

iPI

Bipgq ¨ dFp fiq.Il s’ensuit que la forme di↵érentielle

! “ dpgq ´ÿ

iPI

Bipgq ¨ dp fiq

est une section du noyau du morphisme ⇢F : ⌦X{k // ⌦X{F. Puisque p⌦X{F, dFq est une structure de feuille-tage sur X, l’image de

d! “ ´ÿ

iPI

dpBipgqq ^ dp fiq

210 JOSEPH AYOUB

dans ⌦2X{F est nulle. Ceci fournit l’égalité

0 “ÿ

iPI

dFpBipgqq ^ dFp fiq “ÿ

iPI

ÿ

jPI

B jBipgq ¨ dFp f jq ^ dFp fiq.

Ceci entraîne les égalités BiB jpgq “ B jBipgq pour tout i, j P I. ⌅La notion de morphisme di↵érentiellement étale entre k-feuilletages sera très importante pour la suite.

Définition 6.29. — Soit f : Y{G // X{F un morphisme de k-feuilletages. On dit que f est di↵éren-tiellement étale (resp. di↵érentiellement lisse) si le morphisme canonique ´ ˝ f : f ‹⌦X{F // ⌦Y{G est unisomomorphisme (resp. est un monomorphisme et son conoyau est localement libre de rang fini).

Si y P Y, on dit que f est di↵érentiellement étale (resp. di↵érentiellement lisse) en y si la restriction de fà un voisinage ouvert de y est di↵érentiellement étale (resp. di↵érentiellement lisse).Remarque 6.30. — Contrairement à ce que notre terminologie peut suggérer, la notion de « morphisme

di↵érentiellement lisse de k-feuilletages » introduite dans la Définition 6.29 n’étend pas la notion de « mor-phisme di↵érentiellement lisse de schémas » introduite dans [27, Chapitre IV, Définition 16.10.1] maiscorrespond plutôt à la notion classique de « morphisme lisse de schémas » de [27, Chapitre IV, Définition17.3.1] débarassée de certaines conditions de finitude. En e↵et, étant donné un morphisme de k-schémas detype fini f : Y // X, la condition que f est di↵érentiellement lisse au sens de [27] n’entraîne pas que lemorphisme de k-feuilletages grossiers f : Y{k // X{k est di↵érentiellement lisse. (En e↵et, les immersionsfermées sont des morphismes di↵érentiellement lisses au sens de [27].) En revanche, si on suppose que Xest réduit, alors f : Y // X est lisse si et seulement si f : Y{k // X{k est di↵érentiellement lisse (voirla Proposition 6.38). Dans la suite, on ne fera aucun usage de la notion de « morphisme di↵érentiellementlisse de schémas » au sens de [27] ; notre terminologie ne devrait donc pas entraîner de confusion. ⇤Lemme 6.31. — Les morphismes di↵érentiellement étales (resp. di↵érentiellement lisses) sont stables parcomposition et par changement de base.Démonstration. — La stabilité par composition est évidente. Montrons la stabilité par changement de base.Donnons-nous un carré cartésien de k-feuilletages

Y 1{G1 u1//

f 1✏✏

Y{Gf✏✏

X1{F1 u// X{F

avec f di↵érentiellement étale (resp. di↵érentiellement lisse). La Proposition 6.16 montre que le morphisme´ ˝ f 1 : f 1‹⌦X1{F1 // ⌦Y 1{G1 est un push-out du morphisme ´ ˝ f : f ‹⌦X{F // ⌦Y{G auquel on appliqueu1‹. Ceci montre que f 1‹⌦X1{F1 // ⌦Y 1{G1 est un isomorphisme (resp. un monomorphisme de conoyau loca-lement libre de rang fini). ⌅Proposition 6.32. — Soit � un ensemble fini de dérivations agissant trivialement sur k et soit X un

pk,�q-schéma essentiel. Alors le foncteur « k-feuilletage associé » définit une équivalence de catégoriesentre, d’une part, la catégorie des pX,�q-schémas et, d’autre part, la catégorie des X{AX,�-feuilletagesdi↵érentiellement étales (i.e., des morphismes di↵érentiellement étales de k-feuilletages de but X{AX,�).Démonstration. — Nous allons construire un quasi-inverse au foncteur « k-feuilletage associé ».

Soit f : Y{G // X{AX,� un morphisme di↵érentiellement étale de k-feuilletages. Puisque le pk,�q-schéma X est essentiel, on a ⌦X,� “ À

BP�OX ¨ B_. Notons encore B_ P ⌦Y{GpYq l’image de B_ P ⌦X,�pXqpar le morphisme naturel. Puisque f est di↵érentiellement étale, il s’ensuit une décomposition

⌦Y{G “ à

BP�OY ¨ B_.

Ceci permet alors d’étendre les dérivations B P � à OY pour obtenir l’égalité

dG “ÿ

BP�Bp´q ¨ B_.


Supposons un instant que les dérivations de OY ainsi obtenues commutent deux à deux. On peut alors munirY d’une structure de pX,�q-schéma. Cette construction fournit alors un foncteur de la catégorie des X{AX,�-feuilletages di↵érentiellement étales dans celle des pX,�q-schémas qui est clairement un quasi-inverse aufoncteur de l’énoncé.

Ordonnons l’ensemble des dérivations : � “ tB1, . . . , Bmu. Pour terminer la preuve, il nous reste à montrerque Bi ˝ B j “ B j ˝ Bi sur OY pour tout 1 6 i, j 6 m. La preuve de la Proposition 6.28, permet de montrerceci sous l’hypothèse qu’il existe des fonctions régulières globales fi P OXpXq, pour 1 6 i 6 m, telles queB jp fiq “ �i j, pour tout 1 6 i, j 6 m. (Bien entendu, �i j est le symbole de Kronecker.) On peut se ramener àce cas en remplaçant X et Y{G par X1 “ Xrt1, ¨ ¨ ¨ , tms, avec B jptiq “ �i j, et Y 1{G1 “ pY{GqˆX{AX,� pX1{AX1,�q.(Noter que la Proposition 6.16 assure que le morphisme Y 1{G1 // X1{F1 est encore di↵érentiellement étale.)Puisque l’ensemble des sections de OY est contenu dans celui de OY 1 , il est bien su�sant de montrer queBi ˝ B j “ B j ˝ Bi sur OY 1 . Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅Définition 6.33. — Nous dirons qu’un k-feuilletage X{F est di↵érentiellement lisse si le morphisme

évident X{F // k{k est di↵érentiellement lisse. Ceci équivaut à dire que ⌦X{F est localement libre de rangfini.

Si x P X, on dit que le k-feuilletage X{F est di↵érentiellement lisse en x, si un voisinage ouvert de x estdi↵érentiellement lisse.

On donne maintenant un théorème de structure locale pour les k-feuilletages di↵érentiellement lisses. Lapartie (b) de ce théorème est l’analogue direct d’un fait bien connu en géométrie algébrique.Théorème 6.34. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. Alors, les deux propriétés locales

suivantes sont satisfaites.(a) Tout point de X admet un voisinage ouvert U tel que U{F est isomorphe au k-feuilletage associé à un

pk,�q-schéma essentiel. (Ici � est un ensemble fini de dérivations de cardinal la rang de⌦U{F supposéconstant sur U.)

(b) Tout point de X admet un voisinage ouvert U muni d’un morphisme di↵érentiellement étale e :U{F // Am

k {k pour un certain m P N.

Démonstration. — Vu la proposition 6.32, la propriété (b) entraîne la propriété (a). Il su�t donc de dé-montrer (b). Rappelons que le OX-module ⌦X{F est localement libre et engendré par l’image de dF. Étantdonné que la question est locale, on peut supposer que ⌦X{F est libre et qu’il admet une base de la formedFp f1q, ¨ ¨ ¨ , dFp fmq, avec f1, ¨ ¨ ¨ , fm P OXpXq. Considérons alors le morphisme de k-schémas

e : X // Amk “ Specpkrt1, ¨ ¨ ¨ , tmsq

déterminé par la condition fi “ ti ˝ e pour 1 6 i 6 m. Clairement, e définit un morphisme di↵érentiellementétale de k-feuilletages e : X{F // Am

k {k. ⌅Définition 6.35. —

(a) Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. On dit que X{F est localement de type fini si toutpoint de X admet un voisinage ouvert U tel que U{F est isomorphe au k-feuilletage associé à unpk,�q-schéma essentiel de type fini. Si de plus, X{F est quasi-compact, on dira qu’il est de type fini.

(b) Soit f : Y{G // X{F un morphisme di↵érentiellement étale de k-feuilletages di↵érentiellement lisses.On dit que f est localement de type fini si tout point de X admet un voisinage ouvert U tel que f :f ´1pUq{G // U{F est associé à un morphisme localement de type fini de pk,�q-schémas essentiels.Si de plus f est quasi-compact, on dira qu’il est de type fini.

Remarque 6.36. — Contrairement à la classe des morphismes de type dénombrable, la classe des mor-phismes di↵érentiellement étales de type fini n’est pas stable par changement de base. ⇤

On termine avec un résultat fort utile.Proposition 6.37. — Soit X{F un k-feuilletage a�ne et di↵érentiellement lisse et soit Z Ä X un sous-

schéma fermé défini par un idéal I Ä OpXq. Notons Zn “ SpecpOpXq{Inq, pour n P N, et pXI “ SpecpOpXq{{Iq.

212 JOSEPH AYOUB

Alors, le k-schéma pXI possède une structure de feuilletage naturelle p⌦pXI{F, dFq telle que

⌦pXI{FppXIq “ limnPN ⌦Zn{FpZnq.De plus, le morphisme évident pXI // X définit un morphisme di↵érentiellement étale de k-feuilletagespXI{F // X{F. En particulier, pXI{F est un k-feuilletage di↵érentiellement lisse.Démonstration. — En e↵et, pour tout n P N, on dispose d’une dérivation k-linéaire

dF : OpZnq // ⌦Zn{FpZnq.En passant à la limite, on déduit une dérivation k-linéaire

dF : OppXIq // limnPN ⌦Zn{FpZnq.Appelons⌦pXI{F le OpXI

-module quasi-cohérent associé au OppXIq-module limnPN ⌦Zn{FpZnq. Par construction,on a un carré commutatif

OpXq dF//

✏✏

⌦X{FpXq✏✏

OppXIq dF// ⌦pXI{FppXIq

Pour conclure, il reste à montrer que le morphisme canonique

⌦X{FpXq bOpXq OppXIq // ⌦pXI{FppXIqest un isomorphisme. (En e↵et, cette propriété entraîne que le OpXI

-module ⌦pXIest engendré par l’image de

dF ce qui assure que ppXI ,⌦pXI{F, dFq est un k-feuilletage.) Pour ce faire, rappelons qu’on a une suite exacte

In{I2n // ⌦X{FpXq bOpXq OpZnq // ⌦Zn{FpZnq // 0.

Si I “ pa1, . . . , anq, il s’ensuit aussitôt que

⌦Zn{FnpZnq » ⌦X{FpXqIn ¨⌦X{FpXq ` ∞n

i“1 In´1 ¨ dai.

En particulier, on a des surjections

⌦X{FpXqIn ¨⌦X{FpXq

// // ⌦Zn{FpZnq // //⌦X{FpXq

In´1 ¨⌦X{FpXq// // ⌦Zn´1{FpZn´1q

ce qui donne, par passage à la limite, un isomorphisme canonique

limnPN⌦X{FpXq

In ¨⌦X{FpXq„// ⌦pXI{FppXIq.

Vu que ⌦X{FpXq est un OpXq-module projectif, on a un isomorphisme canonique

⌦X{FpXq bOpXq OppXIq » limnPN⌦X{FpXq

In ¨⌦X{FpXq .Ceci permet de conclure. ⌅

Appendice au §6.2 : Sur les morphismes étales et lisses entre schémas de type fini sur un corps. —Le résultat principal de cet appendice ne servira pas dans la suite ; notre but est de motiver la définition des

morphismes di↵érentiellement étales et lisses entre k-feuilletages (voir la Définition 6.29). Plus précisément,nous allons démontrer le résultat suivant.Proposition 6.38. — Soit k un corps et soit f : Y // X un morphisme de k-schémas localement de type

fini. Supposons que k est de caractéristique nulle et que X est réduit. Alors, f est étale (resp. lisse) si et


seulement si le morphisme canonique ´ ˝ f : f ‹⌦X{k // ⌦Y{k est un isomorphisme (resp. un monomor-phisme et son conoyau est localement libre). p40q

Remarque 6.39. — L’hypothèse que k est de caractéristique nulle est nécessaire pour la validité de laProposition 6.38. En e↵et, si k est de caractéristique p ° 0, l’immersion fermée

s : Y “ Specpkrts{ptp ´ aqq ãÑ X “ Specpkrtsqinduit un isomorphisme s‹⌦X{k » ⌦Y{k pour tout a P k. ⇤Remarque 6.40. — Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées et P P krts un polynôme tel que

Pp0q “ BPBt1

p0q “ ¨ ¨ ¨ “ BPBtn

p0q “ 0.

Notons I Ä krts l’idéal engendré par les dérivées partielles de P :

I “ˆBP

Bt1, . . . ,

BPBtn

˙.

Notons aussi A “ krts{I et a P A la classe de P dans A. Alors, par construction, da “ 0 avec d : A // ⌦A{kla dérivation k-linéaire universelle. Il s’ensuit aussitôt que l’immersion fermée

s : SpecpA{aq “ Z ãÑ SpecpAq “ X

vérifie s‹⌦X{k » ⌦Z{k. Or, pour P bien choisi, on peut assurer les propriétés suivantes p41q :– la k-algèbre A est artinienne ;– si Ao désigne la localisation de A au point o “ pt1, . . . , tnq, l’image de a dans Ao est non nulle.

Sous ces conditions, l’immersion s n’est pas étale on o. Ceci montre que l’hypothèse que X est réduit estessentielle pour la validité de la Proposition 6.38. ⇤Remarque 6.41. — Mis à part le cas particulier où X et Y sont supposés lisses qui est traité dans [27,

Chapitre IV, Théorème 17.11.1 et Corollaire 17.11.2], l’énoncé ci-dessus ne semble pas figurer dans lesréférences standards sur les morphismes étales et lisses. ⇤

Le fait que le morphisme f ‹⌦X{k // ⌦Y{k soit inversible (resp. injectif et de conoyau localement libre)lorsque f est étale (resp. lisse) est classique (voir par exemple [28, Exposé II, Lemme 4.1 et Théorème4.3]). On s’intéresse donc seulement à la réciproque. On démontre d’abord quelques réductions.Lemme 6.42. — Pour démontrer la Proposition 6.38 il su�t de traiter la cas non respé.

Démonstration. — En e↵et, soit f : Y // X un morphisme de k-schémas de type fini tel que le mor-phisme f ‹⌦X{k // ⌦Y{k est injectif et de conoyau localement libre. On cherche à montrer que f est lisseen supposant que k est caractéristique nulle et que X est réduit. La question étant locale sur X et Y , on peutsupposer qu’il existe un sous-OY-module libre M Ä ⌦Y{k admettant une base de la forme da1, . . . , dan, avecai P OpYq pour 1 6 i 6 n, et qui soit un supplémentaire de l’image de f ‹⌦X{k // ⌦Y{k. On considère alorsle morphisme de X-schémas g : Y // Xrt1, . . . , tns tel que ai “ ti ˝ g. Alors, par construction, le morphismeg‹⌦Xrt1,...,tns{k // ⌦Y{k est un isomorphisme. Le cas non respé de la Proposition 6.38 entraîne que g est étalece qui permet de conclure. ⌅Lemme 6.43. — Pour démontrer le cas non respé de la Proposition 6.38 il su�t de le faire en supposant

que f est une immersion fermée.Démonstration. — En e↵et, soit f : Y // X un morphisme de k-schémas de type fini induisant un iso-morphisme f ‹⌦X{k // ⌦Y{k. Clairement, ⌦Y{X “ 0 et f est un morphisme non ramifié (voir [27, ChapitreIV, Proposition 17.3.6]). D’après [27, Chapitre IV, Corollaire 18.4.7] et puisque la proporiété à démontrerest locale (pour la topologie de Zariski sur X et Y), on peut supposer que f “ e ˝ s avec s : Y ãÑ X1 uneimmersion fermée et e : X1 // X un morphisme étale. Puisque e induit un isomorphisme e‹⌦X{k » ⌦X{k, ils’enduit que s induit un isomorphisme s‹⌦X1{k » ⌦Y{k. Ceci permet de conclure. ⌅

40. Autrement dit, f est étale (resp. lisse) au sens usuel si et seulement si le morphisme de k-feuilletages (grossiers) f :Y{k // X{k est di↵érentiellement étale (resp. di↵érentiellement lisse) au sens de la Définition 6.29.

41. Un exemple, que j’ai appris de A. Kresch, est donné par le polynôme à deux variables : Ppx, yq “ x5 ´ x2y2 ` y4.

214 JOSEPH AYOUB

Vu les Lemmes 6.42 et 6.43, la Proposition 6.38 découle maintenant du résultat suivant.Proposition 6.44. — Soit A une k-algèbre noethérienne, réduite et connexe. Soit I ( A un idéal strict tel

que dpIq Ä I ¨⌦A{k. Alors, I “ p0q.Démonstration. — On procède par l’absurde en considérant un contre-exemple à la proposition, i.e., unidéal 0 ( I ( A vérifiant dpIq Ä I ¨⌦A{k.

Notons m1, . . . ,mr (avec r P N) les idéaux premiers minimaux de A qui contiennent I. Notons n1, . . . , ns(avec s P N) les autres idéaux premiers minimaux de A. Autrement dit, Zpmiq, pour 1 6 i 6 r, sont lescomposantes irréductibles de SpecpAq contenues dans ZpIq et Zpn jq, pour 1 6 j 6 s, sont les composantesirréductibles de SpecpAq qui ne sont pas contenues dans ZpIq. Puisque I , p0q, ZpIq est un fermé strict.Il s’ensuit que s > 1. Si r “ 0 (i.e., si ZpIq ne contient aucune composante irréductible de SpecpAq),on choisit un idéal premier minimal n parmi les n j tel que ZpIq X Zpnq , H. (Ceci est possible puisqueZpIq , H et SpecpAq “ îs

j“1 Zpn jq.) Si r > 1, on choisit un idéal premier minimal n parmi les n j telque Zpnq X îr

i“1 Zpmiq , H. (Ceci est possible car SpecpAq est connexe et que les fermésîs

j“1 Zpn jq etîri“1 Zpmiq recouvrent SpecpAq.) Dans les deux cas, on a ZpIq X Zpnq , H et Zpnq 1 ZpIq. On a donc

trouvé un idéal premier minimal n tel que n ( I ` n ( A. Puisque la condition dpIq Ä I ¨ ⌦A{k entraînetrivialement la condition dpI1q Ä I1 ¨ ⌦A1{k pour toute A-algèbre A1 en prenant I1 “ A1 ¨ I, on continue àavoir un contre-exemple à la proposition en remplaçant A et I par A{n et pI ` nq{n. Autrement dit, on peutsupposer que A est intègre dans la suite de l’argument.

Puisque A est intègre et que I , p0q, le fermé ZpIq est de codimension non nulle dans SpecpAq. On peutdonc trouver des idéaux premiers q ( p tels que :

– I Ä p et p est minimal pour cette propriété ;– Zppq est de codimension 1 dans Zpqq.

Ainsi, comme avant, on a q ( I ` q ( A et on peut remplacer A et I par A{q et pI ` qq{q. On ne restrientdonc pas la généralité en supposant que ZpIq contient un point de codimension 1 dans SpecpAq, qu’on noteencore p.

On arrive à la dernière étape de la preuve. Soit R Ä FracpAq un anneau de valuation discrète contenant Aet centré en p. Autrement dit, R “ Ap où A est la normalisation de A dans FracpAq et p Ä A un idéal premierde codimension 1 tel que pX A “ p. Alors, on a encore 0 ( I ¨ R ( R. De plus, si ⇡ est une uniformisante deR, on a I ¨ R “ p⇡eq pour un certain entier e P N r t0u. Quitte à remplacer A par le complété formel R{{p⇡qon peut donc supposer que A est un anneau de valuation discrète, complet, d’idéal maximal m “ p⇡q et queI “ p⇡eq avec e P N r t0u.

D’après le théorème de structure de Cohen (voir par exemple [25, Chapitre 0IV, Théorème 19.8.8]), onpeut supposer que A “ Krr⇡ss pour une extension K{k. L’hypothèse dpIq Ä I ¨ ⌦A{k, pour la dérivation k-linéaire universelle, entraîne alors que BpIq Ä I pour la dérivation K-linéaire évidente B⇡ : Krr⇡ss // Krr⇡ss.Il s’ensuit une contradiction puisque B⇡p⇡eq “ e ¨ ⇡e´1 n’appartient pas à I “ p⇡eq. (C’est ici qu’on utiliseque k est de caractéristique nulle.) ⌅

6.3. Le grand site feuilleté d’un corps. —Dans cette sous-section, nous allons introduire l’analogue feuilleté du site étale Sm{k utilisé par Voevod-

sky et Morel–Voevodsky dans leurs constructions des catégories motiviques. L’idée est simple : il s’agit deremplacer la catégorie des k-schémas lisses par celle des k-feuilletages di↵érentiellement lisses. Toutefois,la recherche d’une définition raisonnable pour la topologie feuilletée s’est avérée être une tâche bien ardue.Le résultat (voir la Définition 6.52 ci-dessous) risque de paraître obscur à première vue.

On commence par quelques rappels autour de la notion de constructibilité d’après [24, Chapitre 0III,§9.1]. Notre convention voulant que tous nos schémas soient séparés, et à fortiori quasi-séparés, est envigeur ici.Définition 6.45. — Soit X un schéma. L’ensemble des parties constructibles de X est le plus petit ensemblede parties de X contenant les ouverts quasi-compacts de X et stable par intersection finie et complémenta-tion. D’après [24, Chapitre 0III, Proposition 9.1.3], une partie de X est constructible si et seulement si elle


peut s’écrire comme une réunion finie de parties de la forme U rV avec U et V des ouverts quasi-compactsde X.Lemme 6.46. — Soit X un schéma et soit T une partie constructible de X.

(i) Si pUiqiPI est une famille d’ouverts de X tels que T Ä îiPI Ui, il existe un sous-ensemble fini I0 Ä I tel

que T Ä îiPI0

Ui.(ii) Si la partie T est localement fermée, il existe deux ouverts quasi-compacts U et V tels que T “ U rV.

(iii) Supposons que X est quasi-compact. Si la partie T est ouverte (resp. fermée) alors l’ouvert T (resp.X r T) est quasi-compact.

Démonstration. — Pour démontrer (i), on peut supposer que T “ U r V avec U et V des ouverts quasi-compacts de X. Puisque U r V Ä î

iPI Ui, on a U Ä V Y îiPI Ui. Puisque U est un ouvert quasi-compact,

il existe un sous-ensemble fini I0 Ä I tel que U Ä V Y îiPI0

Ui. Il s’ensuit que U r V Ä îiPI0

Ui.Démontrons maintenant (iii). Puisque X est quasi-compact, T est constructible si et seulement si X r T

est constructible. Ainsi, il su�t de traiter le cas où la partie T est ouverte. C’est alors une conséquenceimmédiate de (i).

Démontrons enfin (ii). Étant donné que la partie T est localement fermée, il existe deux ouverts U et V ,à priori quelconques, tels que T “ U r V . On peut écrire U “ î

iPI Ui, avec pUiqiPI une famille d’ouvertsquasi-compacts de X. D’après (i), il existe un ouvert quasi-compcat U 1 Ä U tel que T Ä U 1. Il s’ensuit queT “ U 1 r V . Quitte à remplacer U par U 1, on peut donc supposer que U est quasi-compact. Puisque T estfermé et constructible dans U, U r T est un ouvert quasi-compact d’après (iii). Or T “ U r pU r T q, ce quipermet de conclure. ⌅

Le Lemme 6.46(ii) justifie la définition suivante.Définition 6.47. — Soient X un schéma et Z Ä X un sous-schéma localement fermé. On dit que Z est

constructible s’il existe deux ouverts quasi-compacts U et V dans X tels que Zred “ pU r Vqred.Le résultat suivant est un cas particulier de [22, Corollaire 7.2.7]. Pour la commodité du lecteur, nous

donnerons une preuve complète.Lemme 6.48. — Soit X un schéma quasi-compact et soit tZju jPJ une famille de parties constructibles.

Supposons que X “ îjPJ Z j. Alors, il existe un sous-ensemble fini J0 Ä J tel que X “ î

jPJ0Zj.

Démonstration. — On se ramène immédiatement au cas où les parties Zj sont localement fermées et onmunit Zj de sa structure de sous-schéma réduit.

On note U l’ensemble des ouverts quasi-compacts U Ä X tels que la famille tZj X Uu jPJ vérifie laconclusion du lemme. Autrement dit, un ouvert quasi-compact U Ä X est un élément de U si et seulementsi il existe un sous-ensemble fini JU Ä J avec U Ä î

jPJUZ j. L’ensemble U est non vide puisqu’il contient

l’ouvert vide. On poseQ “

§

UPUU.

Alors, U est aussi l’ensemble des ouverts quasi-compacts de X contenus dans Q. En e↵et, si U 1 est un ouvertquasi-compact de X contenu dans Q, il existe une partie finie tU1, . . . ,Uru Ä U telle que U 1 Ä U1Y¨ ¨ ŸUr.On a alors U 1 Ä î

jPJU1 Zj avec JU1 “ JU1 Y ¨ ¨ ¨ Y JUr .Puisque X est supposé quasi-compact, pour montrer le lemme, il faut et il su�t de montrer que X P U.

D’après la discussion précédente, ceci revient à montrer que Q “ X. On procède par l’absurde, i.e., onsuppose que le fermé T “ XrQ est non vide. On fixe un indice j0 P J tel que Zj0 contient un point génériquede T . (Un tel point existe puisque T est non vide.) D’après le sous-lemme 6.49 ci-dessous appliqué au sous-schéma localement fermé T X Zj0 de T , il existe un ouvert non vide V Ä T tel que V Ä Zj0 .

Puisque Zj0 est constructible, on peut le réaliser comme un ouvert quasi-compact d’un sous-schémafermé quasi-compact Z1

j0 (i.e., de complémentaire un ouvert quasi-compact de X). Introduisons l’ouvertW “ Q Y V et le fermé F “ Z1

j0 r Zj0 . Clairement, V Ä W est un fermé quasi-compact qui est disjoint dufermé W X F Ä W. Il existe donc un ouvert quasi-compact W0 Ä X, contenu dans W, et tel que T Ä W0 etW0 X F “ H.

216 JOSEPH AYOUB

Par construction, on a W0 X Z1j0 “ W0 X Zj0 . Puisque Z1

j0 est constructible, l’ouvert W0 r Zj0 est encorequasi-compact. Par ailleurs, puisque V Ä Zj0 , on a W0 r Zj0 Ä Q. Il vérifie donc la conclusion du lemme,i.e., il existe un sous-ensemble fini K Ä J tel que W0 r Zj0 Ä î

jPK Zj. Il s’ensuit que W0 Ä îjPKYt j0u Zj.

Puisque W0 1 Q, nous avons abouti à une contradiction. ⌅Sous-lemme 6.49. — Soient X un k-schéma quasi-compact, et Z un sous-schéma localement fermé et

constructible de X. Supposons que Z contient un point générique ⌘ de X. Alors, Z contient un voisinageouvert de ⌘ dans X.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que X “ SpecpAq et Z “ SpecpBq avec Aune k-algèbre réduite et B une A-algèbre de présentation finie. Le point générique ⌘ correspond alors à unidéal minimal q Ä A et le schéma ⌘ est donné par le spectre de S ´1A avec S “ A r q. L’inclusion ⌘ ãÑ Zcorrespond à un morphisme de A-algèbres ✓ : B // S ´1A. Puisque la A-algèbre B est de présentation finieet que la A-algèbre S ´1A est la colimite filtrante des A-algèbres Ara´1s avec a P S (S étant ordonné par larelation de divisibilité), le morphisme ✓ admet une factorisation :

B✓0// Ara´1

0 s // S ´1A

pour un certain élément a0 P S . Ceci montre que Z contient l’ouvert standard Dpa0q de X. ⌅On introduit maintenant une notion de finitude pour les morphismes de schémas qui sera utilisée dans la

définition de la topologie feuilletée.Définition 6.50. — Soit S un schéma. Un S -schéma T est dit de présentation finie-dénombrable s’il existeun isomorphisme

T » T0 ˆS AIS (270)

avec T0 un S -schéma de présentation finie et I un ensemble au plus dénombrable. Un S -schéma de présen-tation finie-dénombrable est dit pro-lisse lorsqu’on peut choisir l’isomorphisme (270) avec T0 un S -schémalisse.

Un morphisme de schémas sera dit de présentation finie-dénombrable (resp. et pro-lisse) s’il en est ainsidu schéma relatif qu’il définit.

Le lemme ci-dessous regroupe quelques propriétés immédiates qui seront utilisées couramment dans lasuite.Lemme 6.51. —

(i) Les morphismes de présentation finie-dénombrable (resp. et pro-lisses) sont stables par compositionet changement de base.

(ii) Soit f : T // S un morphisme de présentation finie-dénombrable et plat. Alors f est universellementouvert et le morphisme T0 // S est plat pour tout isomorphisme (270).

(iii) Soit f : T // S un morphisme de présentation finie dénombrable et C Ä T une partie constructiblede T . Alors f pCq est une partie constructible de S .

Démonstration. — Les assertions (i) et (ii) sont immédiates. L’assertion (iii) est une extension immédiatedu Théorème de Chevalley [24, Théorème 1.8.4]. ⌅

On arrive enfin à la définition principale de cette sous-section. Cette définition jouera un rôle fondamentaldans la suite de l’article.Définition 6.52. —

(a) On note SmFol{k la catégorie des k-feuilletages di↵érentiellement lisses.

(b) Une famille t fi : Yi{Gi // X{FuiPI de morphismes dans SmFol{k est appelée un recouvrement feuilletési les propriétés suivantes sont satisfaites :

(i) les morphismes fi : Yi{Gi // X{F sont di↵érentiellement étales ;


(ii) pour tout point x P X, il existe un sous-schéma localement fermé et constructible S Ä X conte-nant x, un indice i0 P I et un ouvert V Ä Yi0 ˆX S tel que le morphisme évident V // S soitsurjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.

Lemme 6.53. — La classe des recouvrements feuilletés est une prétopologie sur SmFol{k.Démonstration. — La seule propriété qui nécessite une vérification est la stabilité par composition. Pour cefaire, donnons-nous un recouvrement feuilleté t fi : Yi{Gi // X{FuiPI et, pour chaque i P I, un recouvrementfeuilleté tgi j : Zi j{Hi j // Yi{Giu jPJi . Nous devons montrer que la famille composée

t fi ˝ gi j : Zi j{Hi j // X{Fupi, jqP\iPI Ji

est encore un recouvrement feuilleté.Fixons un point x P X. Par définition, il existe un sous-schéma localement fermé et constructible S Ä X

contenant x, un indice i0 P I et un ouvert V Ä Yi0 ˆX S tel que V // S est surjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. Quitte à remplacer S par S red, on peut supposer que S est réduit. Il s’ensuit queV est aussi réduit. Quitte à rétrécir S et V , on peut supposer que f ´1

i0 pxq X V est irréductible. (Pour cela, ilsu�t de remplacer V par un voisinage su�samment petit d’un point générique de f ´1

i0 pxq et S par l’imagede ce voisinage par V // S .) Notons y le point générique de f ´1

i0 pxq X V .De nouveau, on peut trouver un sous-schéma localement fermé et constructible T Ä Yi0 contenant y, un

indice j0 P Ji0 et un ouvert W Ä Zi0 j0 ˆYi0T tel que W // T est surjectif, de présentation finie-dénombrable

et pro-lisse. Comme avant, on peut supposer que T et W sont réduits. Quitte à remplacer T par T X V , onpeut supposer que T Ä V . Quitte à rétrécir à nouveau V et S , on peut même supposer que T est fermédans V . Puisque T contient le point générique de f ´1

i0 pxq X V , il s’ensuit que f ´1i0 pxq X V Ä T ce qui donne

l’égalité f ´1i0 pxq X T “ f ´1

i0 pxq X V .Notons S 1 le lieu des points s P S tel que f ´1

i0 psq X T “ f ´1i0 psq X V . D’après ce qui précède, x P S 1. Or,

S r S 1 est l’image de l’ouvert V rT par le morphisme V // S . D’après le Lemme 6.51(iii), l’ouvert S r S 1est quasi-compact. Il s’ensuit que S 1 est un fermé constructible de S et donc un sous-schéma localementfermé constructible de X. On le munit de sa structure de sous-schéma réduit.

On pose V 1 “ V ˆS S 1, T 1 “ T ˆS S 1 et W 1 “ W ˆS S 1 “ W ˆT T 1. Par construction, on a T 1 “ V 1 (utiliserque V 1 est réduit) et en particulier, T 1 est ouvert dans Yi0 ˆX S 1. Puisque W 1 est un ouvert de Zi0 j0 ˆYi0

T 1, ils’ensuit que W 1 est aussi un ouvert de Zi0 j0 ˆX S 1 “ Zi0 j0 ˆYi0

pYi0 ˆX S 1q. Enfin, le projection W 1 // S 1 estla composition de

W 1 // T 1 “ V 1 // S 1.Elle est donc surjective, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. Ceci termine la preuve. ⌅Définition 6.54. — D’après le lemme 6.53, les recouvrements feuilletés forment une prétoplogie sur

SmFol{k ; la topologie qu’ils engendrent est appelée la topologie feuilletée et sera désignée par « ft ». Lesite pSmFol{k, ftq est appelé le grand site feuilleté du corps k.Remarque 6.55. — La catégorie SmFol{k n’est pas essentiellement petite ce qui peut, à priori, causer desproblèmes d’ordre ensembliste lorsqu’on considère la catégorie des faisceaux sur le grand site feuilleté de k.Pour surmonter ces problèmes, on peut utiliser la méthode des univers de Grothendieck. On fixe un cardinalinaccessible et on convient que tous nos k-feuilletages sont de cardinal strictement plus petit que . (Onconvient que le cardinal d’un k-feuilletage est le cardinal de son schéma sous-jacent et que le cardinal d’unschéma S est le cardinal de l’ensemble

≤UÄS OS pUq de toutes les sections de OS .) ⇤

Le résultat de quasi-compacité ci-dessous sera couramment utilisé dans la suite.Proposition 6.56. — Soit t fi : Yi{Gi // X{FuiPI un recouvrement feuilleté avec X{F quasi-compact.

Alors, il existe un sous-ensemble fini I0 Ä I tel que t fi : Yi{Gi // X{FuiPI0 est encore un recouvrementfeuilleté.Démonstration. — Pour chaque point x P X, choisissons un sous-schéma localement fermé et constructibleS pxq Ä X, et un indice ipxq P I tel que Yipxq ˆX S pxq contient un ouvert V avec V // S pxq surjectif, deprésentation finie-dénombrable et pro-lisse.

218 JOSEPH AYOUB

La famille tS pxquxPX recouvre X. D’après le lemme 6.48, il existe un sous-ensemble fini tx1, . . . , xru Ä Xtel que X “ îr

e“1 S pxeq. Ainsi, en posant ie “ ipxeq, la sous-famille t fipeq : Yipeq{Gipeq // X{Fu16e6r estencore un recouvrement feuilleté de X{F. ⌅

Le résultat simple ci-dessous sera utilisé à plusieurs reprises.Proposition 6.57. — Soit t fi : Yi{Gi // X{FuiPI un recouvrement feuilleté et soit ⌘ P X un point géné-

rique. Il existe alors un ouvert quasi-compact U Ä X contenant ⌘, un indice i0 P I et un ouvert V Ä Yi0 ˆX Utel que le morphisme V // U est surjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la définition 6.52 et du sous-lemme 6.49. ⌅

Proposition 6.58. — Étant donné un recouvrement feuilleté t fi : Yi{Gi // X{FuiPI , on peut, quitte à lera�ner, supposer que la propriété suivante est satisfaite. Il existe une stratification S de X par des sous-schémas localement fermés et constructibles, et une fonction i : S // I telle que, pour tout S P S, lemorphisme YipS q ˆX S // S est surjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. Lorsqu’elle existe,une stratification comme ci-dessus sera dite adaptée au recouvrement feuilleté considéré.Démonstration. — En raisonnant comme dans la preuve de la proposition 6.56, on peut trouver une stra-tification S et une fonction i : S // I telle que, pour tout S P S, YipS q ˆX S contient un ouvert VpS q avecVpS q // S surjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. On pose alors

Y 1ipS q “ YipS q r p f ´1

ipS qpS q r VpS qq.(Remarquer que VpS q est un ouvert de f ´1

ipS qpS q ; il s’ensuit que f ´1ipS qpS q r VpS q est un fermé de YipS q.) Par

construction, Y 1ipS q est un voisinage ouvert de VpS q dans YipS q tel que Y 1

ipS q ˆX S » VpS q. De plus, il est clairque la famille tY 1

ipS q{GipS q // X{FuS PS est un recouvrement feuilleté qui ra�ne le recouvrement feuilletédont on est parti. La proposition est démontrée. ⌅

6.4. Le petit site feuilleté d’un feuilletage di↵érentiellement lisse. —Dans cette sous-section, on continue l’étude élémentaire de la topologie feuilletée. Le but ici est de

développer le formalisme des petits sites versus le grand site pour la topologie feuilletée.Définition 6.59. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. On note FtF{X la catégorie des

X{F-feuilletages di↵érentiellement étales, i.e., des morphismes di↵érentiellement étales de k-feuilletagesde but X{F. La prétopologie des recouvrements feuilletés se restreint en une prétopologie sur FtF{X. Latopologie qu’elle engendre est encore appelée la topologie feuilletée et sera désignée par « ft ». Le sitepFtF{X, ftq est appelé de petit site feuilleté de X{F.Remarque 6.60. — Contrairement à SmFol{k, la catégorie FtF{X possède les limites finies. En e↵et, elle

possède les produits fibrés (d’après le Lemme 6.31) et admet un objet final. C’est là un avantage importantdu petit site feuilleté sur sa version grande. ⇤Notation 6.61. — Soit � un ensemble fini de dérivarions agissant trivialement sur k et soit X un pk,�q-

schéma. On note Ft�{X la catégorie des pX,�q-schémas. Lorsque X est essentiel, la catégorie Ft�{X estéquivalente à FtAX,�{X d’après la Proposition 6.32. ⇤Remarque 6.62. — Soit � un ensemble fini de dérivarions agissant trivialement sur k. Disons qu’une

famille de morphismes de pk,�q-schémas t fi : Yi // XuiPI est un recouvrement feuilleté si la condition(b, ii) de la Définition 6.52 est satisfaite. La preuve du Lemme 6.53 montre que la classe des recouvrementsfeuilletés est une prétopologie sur Ft�{k. La topologie associée est appelée la topologie feuilletée et seradésignée par « ft ».

Plus généralement, étant donné un pk,�q-schéma X, la topologie feuilletée sur Ft�{k induit une topologiefeuilletée sur la catégorie Ft�{X “ pFt�{kq{X. Lorsque X est essentiel, l’équivalence de catégories Ft�{X »FtAX,�{X est compatible aux topologies feuilletées comme définies ci-dessus et dans la Définition 6.59.Autrement dit, on a une équivalence de sites pFtAX,�{X, ftq » pFt�{X, ftq. ⇤

Pour la notion de P-structure, nous renvoyons le lecteur à [6, Définition 4.4.57].


Proposition 6.63. — La donnée, pour tout X{F P SmFol{k, du petit site feuilleté pFtF{X, ftq définit uneP-structure sur le grand site feuilleté pSmFol{k, ftq.Démonstration. — Il y a trois conditions dans [6, Définition 4.4.57] à vérifier. La première, à savoir quel’identité de X{F est dans FtF{X, est évidente. Vérifions la seconde condition. Il s’agit de montrer que lefoncteur évident eX{F : FtF{X // SmFol{k, qui à un morphisme di↵érentiellement étale associe sa source,induit un pseudo-morphisme de sites au sens de [6, Définition 4.4.49]. Or, le foncteur eX{F est clairementcontinu au sens de [6, Définition 4.4.46]. Il reste donc à vérifier que le foncteur « image inverse » sur lesfaisceaux feuilletés

e˚X{F : ShvftpFtF{Xq // ShvftpSmFol{kq (271)

commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Sur les faisceaux feuilletés, le foncteur e˚X{F est le foncteur

composé aft ˝ e˚X{F ˝ ◆ où

◆ : ShvftpFtF{Xq ãÑ PShpFtF{Xq et aft : PShpSmFol{kq // ShvftpSmFol{kqsont respectivement l’inclusion évidente et le foncteur « faisceau feuilleté associé », et

e˚X{F : PShpFtF{Xq // PShpSmFol{kq (272)

est le foncteur « image inverse » sur les préfaisceaux. Les foncteurs aft et ◆ étant exacts à gauche, il estsu�sant de montrer que le foncteur (272) commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Or, si F est unpréfaisceaux d’ensembles sur FtF{X et si Y{G est un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, on a d’après lapreuve de [2, Exposé I, Proposition 5.1] :

pe˚X{F FqpY{Gq “ colim

e:X1{F1ÑX{F P FtF{X et f 1:Y{GÑX1{F1FpX1{F1q

“∫

f :Y{GÑX{F

¨

˚˚ colim

e:X1{F1ÑX{F P FtF{X et f 1:Y{GÑX1{F1

tel que f “e˝ f 1

FpX1{F1q

˛

‹‹‹‚.

Puisque la catégorie FtF{X possède les limites finies et que l’inclusion FtF{X ãÑ pSmFol{kq{pX{Fq estexacte à gauche, la catégorie d’indices qui apparaît dans la deuxième colimite ci-dessus est cofiltrante.Le résultat recherché découle maintenant du fait que les produits fibrés et les égalisateurs commutent auxcoproduits et aux colimites filtrantes.

Pour terminer, il reste à vérifier la troisième condition de [6, Définition 4.4.57]. Il s’agit de voir quele foncteur peX{Fq˚ commute aux foncteurs « faisceau feuilleté associé ». D’après [2, Exposé II, §3], lefoncteur aft peut être construit comme le carré d’un endofoncteur Lft. Soit G un préfaisceau d’ensembles surSmFol{k. Si Y{G est un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, alors LftGpY{Gq est la colimite filtrante desensembles

eq

$&

%π

jPJ

GpZj{H jq ////

π

p j,lqPJ2

GpZj ˆY Zl{H j ˆ Hlq,.

-

suivant les recouvrements feuilletés tZj{H j // Y{Gu jPJ. (L’égalisateur ci-dessus ne dépend que du cribledéfini par la famille couvrante, ce qui assure le caractère filtrant de la colimite.) Si Y{G est un X{F-feuilletage di↵érentiellement étale, une recette analogue permet de calculer LftppeX{Fq˚GqpY{Gq. Il s’ensuitaussitôt que Lft ˝ peX{Fq˚ “ peX{Fq˚ ˝ Lft. Puisque aft “ Lft ˝ Lft, ceci permet de conclure. ⌅Notation 6.64. — Comme dans la preuve de la proposition 6.63 nous continuerons de désigner par

eX{F : FtF{X // SmFol{k

le foncteur évident qui à un morphisme di↵érentiellement étale associe sa source. ⇤Corollaire 6.65. — Les foncteurs

peX{Fq˚ : ShvftpSmFol{kq // ShvftpFtF{Xq,

220 JOSEPH AYOUB

où X{F parcourt les k-feuilletages di↵érentiellement lisses, sont exacts et forment un famille qui détecte lesinjections, les surjections et les isomorphismes.Démonstration. — L’exactitude du foncteur peX{Fq˚ sur les faisceaux découle de l’exactitude de son ana-logue sur les préfaisceaux et de la commutation aft ˝ peX{Fq˚ “ peX{Fq˚ ˝ aft (établie dans la preuve de laProposition 6.63).

Soit f : F // G un morphisme de faisceaux feuilletés sur SmFol{k. Si peX{Fq˚p f q est injectif, il en est demême en particulier de l’application FpX{Fq // GpX{Fq. Il s’ensuit que la famille des foncteurs peX{Fq˚détecte les injections. En utilisant les les foncteurs peX{Fq˚ sont exacts, le cas des surjections se ramène àcelui des injections puisque f : F // G est surjectif si et seulement si G

≤F ‹ // ‹ est injectif. (Ici, ‹

désigne l’objet final du topos ShvftpSmFol{kq.) ⌅On retient maintenant quelques conséquences « cohomologiques » de la Proposition 6.63. Ainsi, dans le

reste de la sous-section, il sera question de complexes de préfaisceaux de ⇤-modules (par opposition auxpréfaisceaux d’ensembles).Corollaire 6.66. —

(a) Soit f : K // L un morphisme de complexes de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur SmFol{k. Alors, fest une équivalence ft-locale si et seulement si, pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse X{F, lemorphisme peX{Fq˚p f q : peX{Fq˚pKq // peX{Fq˚pLq est une équivalence ft-locale.

(b) Soit K un complexe de préfaisceaux (de⇤-modules) sur SmFol{k. Alors K est projectivement ft-fibrantsi et seulement si, pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse X{F, le complexe de préfaisceauxpeX{Fq˚pKq est projectivement ft-fibrant.

(c) Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. L’adjonction

ppeX{Fq˚, peX{Fq˚q : CplpPShpFtF{X;⇤qq //oo CplpPShpSmFol{k;⇤qq

est une adjonction de Quillen relativement aux structures de modèles projectives ft-locales. De plus,le foncteur peX{Fq˚ préserve les équivalences ft-locales.

Démonstration. — La première assertion est une conséquence immédiate de la commutation des foncteurspeX{Fq˚ et aft. La troisième assertion est un cas particulier de [6, Théorème 4.4.50].

La second assertion se démontre en suivant la méthode de [10, Lemme 2.1]. La condition est nécessairecar les foncteurs peX{Fq˚ sont de Quillen à droite. Pour montrer qu’elle est su�sante, donnons-nous uncomplexe de préfaisceaux K tel que les peX{Fq˚K sont projectivement ft-fibrants. Soit f : K // L une équi-valence ft-locale avec L projectivement ft-fibrant. Puisque les peX{Fq˚ préservent les équivalences ft-locales,on trouve que les morphismes peX{Fq˚p f q sont des équivalences ft-locales entre préfaisceaux projectivementft-fibrants. Il s’ensuit que f est un quasi-isomorphisme de complexes de préfaisceaux. Ceci montre que Kest ft-fibrant. ⌅Notation 6.67. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse et soit F un complexe de préfaisceaux(de ⇤-modules) sur FtF{X. On pose

HnftpX{F; Fq “ HnpR�pX{F; Fqq

où le foncteur « sections globales » �pX{F; ´q est dérivé à droite relativement à la structure de modèlesft-locale projective sur CplpPShpFtF{X;⇤qq. ⇤Notation 6.68. — La catégorie homotopique associée à la structure de modèles projective ft-locale sur la

catégorie CplpPShpSmFol{k,⇤qq sera simplement notée DftpSmFol{k,⇤q. ⇤Corollaire 6.69. — Soit L un complexe de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur SmFol{k. Alors, pour tout

k-feuilletage di↵érentiellement lisse X{F, il existe un isomorphisme canonique

homDftpSmFol{k,⇤qppX{Fq b ⇤, Lrnsq » HnftpX{F; peX{Fq˚Lq.

Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate du corollaire 6.66(c). En e↵et, le préfaisceaupX{Fq b ⇤ s’identifie à l’image du préfaisceau constant ⇤cst par le foncteur peX{Fq˚. ⌅


Notation 6.70. — Soit L un complexe de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur SmFol{k. Lorsque ceci n’en-traîne pas confusion, nous noterons simplement Hn

ftpX{F; Lq au lieu de HnftpX{F; peX{Fq˚Lq. D’après le Co-

rollaire 6.69, l’association X{F HnftpX{F; Lq s’étend naturellement en un préfaisceau de ⇤-modules sur

SmFol{k que nous noterons Hnftp´; Lq. ⇤

6.5. Cohérence toposique et quelques points des topos feuilletés. —Rappelons qu’un topos E est dit cohérent (au sens de [3, Exposé VI, Définition 2.3]), s’il est équivalent

à la catégorie des faisceaux d’ensembles sur un site pC, ⌧q tel que C admet les limites finies et tel que toutefamille ⌧-couvrante dans C peut être ra�née par une famille ⌧-couvrante finie.Proposition 6.71. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. Le topos ShvftpFtF{Xq est cohérent.Démonstration. — C’est immédiat à partir de la Proposition 6.56. ⌅Corollaire 6.72. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. Le topos ShvftpFtF{Xq possède

su�samment de points.Démonstration. — En e↵et, d’après un théorème de Deligne [3, Exposé VI, Proposition 9.0], tout toposcohérent admet su�samment de points. ⌅Proposition 6.73. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse et soit P : ShvftpFtF{Xq // Ens unpoint du topos ShvftpFtF{Xq. Alors, le foncteur composé P ˝ peX{Fq˚ est un point du topos ShvftpSmFol{kq.En variant X{F et P, on obtient ainsi su�samment de points du topos ShvftpSmFol{kq.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate des Corollaires 6.65 et 6.72. ⌅

Malheureusement, il semble di�cile d’expliciter su�samment de points du topos ShvftpFtF{Xq. Ainsi,nous allons nous contenter d’en construire quelques-uns. Cette construction est basée sur la notion suivante.Définition 6.74. —

(a) Un pro-objet pQi{LiqiPI dans SmFol{k est dit génériquement ft-universel s’il vérifie les conditionssuivantes :

(i) Pour tout i P I, le k-schéma Qi est intègre.(ii) Pour tout j 6 i dans I, le morphisme Qj{L j // Qi{Li est di↵érentiellement étale et le mor-

phisme Qj // Qi est de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.(iii) Pour tout i P I et tout morphisme di↵érentiellement étale f : Z{H // Qi{Li avec Z intègre,

et f : Z // Qi de présentation finie-dénombrable et pro-lisse, il existe j 6 i dans I et unmorphisme de Qi{Li-feuilletages Qj{L j // Z{H.

(b) Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse et intègre. Une ft-clôture générique de X{F est unpro-objet pQi{LiqiPI dans FtF{X qui est génériquement ft-universel et tel que, pour tout i P I, lemorphisme Qi // X est de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.

Remarque 6.75. — Étant donné un pro-objet génériquement ft-universel pQi{LiqiPI , pour tout i0 P I, lepro-objet pQi{LiqiPI{i0 est une ft-clôture générique de Qi0{Li0 . ⇤

Soit pPiqiPI un pro-objet. Une extension pPjq jPJ de pPiqiPI est la donnée d’un ensemble ordonné cofiltrantJ contenant I (l’ordre sur I coïncide avec l’ordre induit par l’ordre sur J) et d’une extension à J du foncteuri P I Pi.Lemme 6.76. — Un pro-objet pQi{LiqiPI de SmFol{k vérifiant les conditions (i) et (ii) de la Définition

6.74(a) admet une extension pQj{L jq jPJ génériquement ft-universelle.Démonstration. — La preuve que nous allons présenter est une simple adaptation de celle de [3, ExposéVI, Proposition 9.0]. On la divise en trois parties.Partie A : Soit pQi{LiqiPI un pro-objet de SmFol{k vérifiant les conditions (i) et (ii). Étant donné i0 P I etun morphisme f : Z{H // Qi0{Li0 avec Z intègre et f : Z // Qi0 de présentation finie-dénombrable etpro-lisse, il existe une extension pQj{L jq jPJ vérifiant encore les conditions (i) et (ii) et un indice j0 6 i0dans J tel que Qj0{L j0 “ Z{H en tant que Qi0{Li0-feuilletage.

222 JOSEPH AYOUB

En e↵et, fixons une clôture algébrique K du corps K “ kpQi0q des fonctions rationnelles sur Qi0 . NotonsMi, pour i 6 i0, la clôture algébrique de K dans l’extension kpQiq et M “ colimi6i0 Mi. Notons N la clôturealgébrique de K dans kpZq. Enfin, choisissons des K-plongements M ãÑ K et N ãÑ K.

Ces choix fixés, on peut construire l’extension pQj{L jq jPJ de la manière suivante. On prendra J “ pI{i0qˆt´1u \ I ordonné de sorte que :

(1) les injections I{i0 ãÑ J et I ãÑ J sont croissantes et identifient les ordres sur I{i0 et I avec les ordresinduits de l’ordre de J ;

(2) pour i, i1 P I avec i1 6 i0, les éléments pi1,´1q et i sont comparables si et seulement si i1 6 i ; dans cecas, on a pi1,´1q † i dans J.

Pour i1 6 i0, les composantes connexes de Qi1 ˆQi0Z sont en bijection naturelle avec les points du schéma

totalement discontinu SpecpMi1 bK Nq, i.e., les idéaux premiers (nécessairement maximaux) de Mi1 bK N.On note alors Qpi1,´1q la composante connexe de Qi1 ˆQi0

Z qui correspond au noyau du morphisme Mi1 bK

N // K induit par les plongements Mi1 Ä M ãÑ K et N ãÑ K fixés ci-dessus. On munit le k-schéma Qpi1,´1qde la structure de feuilletage induite de celle de pQi1{Li1q ˆpQi0 {Li0 q pZ{Hq. Le k-feuilletage ainsi obtenu seranoté Qpi1,´1q{Lpi1,´1q. Il est immédiat que le pro-objet pQj{L jq jPJ satisfait aux propriétés recquises. (Bienentendu, on prendra j0 “ pi0,´1q.)Partie B : Soit pQi{LiqiPI un pro-objet de SmFol{k vérifiant les conditions (i) et (ii). Il existe une extensionpQj{L jq jPJ vérifiant (i) et (ii) ainsi que la condition :

(iii)I,J Pour tout i P I et tout morphisme di↵érentiellement étale f : Z{H // Qi{Li avec Z intègre, etf : Z // Qi de présentation finie-dénombrable et pro-lisse, il existe j 6 i dans J et un morphisme deQi{Li-feuilletages Qj{L j // Z{H.

(La condition (iii)I,J est une version faible de (iii) : on part d’un i P I et on demande l’existance d’un j P J.)Soit E l’ensemble des couples pi, r f sq où i P I et f : Z{H // Qi{Li est un morphisme dans FtF{X avec

Z intègre et f : Z // Qi de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. (Ici, nous avons noté r f s la classed’isomorphisme de f .) On choisit un bon ordre sur E. Nous allons construire par induction transfinie sur e PE des pro-objets pQj{L jq jPJe qui sont des extensions successives de pQi{LiqiPI . Le pro-objet pQj{L jq jPJ8 ,avec J8 “ î

ePE Je, sera l’extension recherchée, i.e., il satisfera aux conditions (i), (ii) et (iii)I,J8 .Soit e “ pi, r f sq un élément de E. Si e est le plus petit élément, on pose J1

e “ I. Si e est successeur,on pose J1

e “ Je´1. Si e est limite, on pose Je “ îe1†e Je1 . On définit alors le pro-objet pQj{L jq jPJe en

appliquant la Partie A au pro-objet pQj{L jq jPJ1e et au morphisme f : Z{H // Qi{Li.

Avec cette construction, il est immédiat que pQj{L jq jPJ8 satisfait aux conditions (i), (ii) et (iii)I,J8 .Partie C : Il est maintenant aisé de conclure. En e↵et, considérons la suite de pro-objets pQj{L jq jPJpnq telleque Jp0q “ I et, pour n > 1, pQj{L jq jPJpnq est le pro-objet obtenu en appliquant la Partie B au pro-objetpQj{L jq jPJpn´1q . Le pro-objet pQj{L jq jPJ, avec J “ î

nPN Jpnq, satisfait clairement aux conditions (i), (ii) et(iii). ⌅Corollaire 6.77. — Tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse et intègre admet une ft-clôture générique.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Lemme 6.76. ⌅Proposition 6.78. — Soit pQi{LiqiPI un pro-objet de SmFol{k (resp. de FtF{X, pour un certain un k-

feuilletage di↵érentiellement lisse X{F). Supposons que pQi{LiqiPI est génériquement ft-universel. Alors,l’association F colimiPI FpQi{Liq définit un point du topos ShvftpSmFol{kq (resp. ShvftpFtF{Xq).Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence immédiate de la Définition 6.74(a), de la Proposition 6.57et du Lemme 6.79 ci-dessous. ⌅Lemme 6.79. — Soit pC, ⌧q un site et soit P “ pPiqiPI un pro-objet de C. Alors, l’association F FpPq “colimiPI FpPiq est un point du topos Shv⌧pCq si et seulement si la condition suivante est satisfaite. Pourtout i P I et toute famille ⌧-couvrante tQ↵

// Piu↵PL de flèches de C, il existe j 6 i dans I, � P L et unPi-morphisme Pj // Q�.Démonstration. — Il s’agit de [2, Exposé IV, §6.8.7, page 399]. ⌅


Dans le reste de la sous-section, nous allons établir une amplification de la Proposition 6.78 qui permetd’obtenir beaucoup, mais certainement pas assez, de points du grand site feuilleté de k. Nous aurons besoinde quelques préliminaires.Construction 6.80. — Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées. Soit X{F un k-feuilletage a�ne etdi↵érentiellement lisse. Alors, le k-schéma Xrrtss admet une structure naturelle de feuilletage p⌦Xrrtss{F, dFqdéfinie comme suit. Le OXrrtss-module ⌦Xrrtss{F est donné par

⌦Xrrtss{F “ ⌦Xrrtss ‘ `À16i6nOXrrtss ¨ dti

˘.

La dérivation dF est donnée sur les fonctions régulières sur Xrrtss par

dFpFq “ÿ

rPNn

tr ¨ dFp frq `nÿ

i“1

BFBti

¨ dti (273)

pour F “ ∞rPNn fr ¨ tr P OXpXqrrtss. ⇤

Remarque 6.81. — La notation Xrrtss{F employée dans la Construction 6.80 est en conflit avec la notationutilisée dans le Lemme 6.10. En e↵et, à moins que n ne soit nul, le morphisme Xrrtss{F // X{F n’est pasbasique. Autrement dit, la structure de feuilletage sur Xrrtss décrite dans la Construction 6.80 est di↵érentecelle induite de la structure de feuilletage sur X via le morphisme de k-schémas Xrrtss // X. Toutefois,seule la structure de feuilletage la Construction 6.80 est raisonnable ; l’autre admet un OXrrtss-module desdi↵érentielles de rang indénombrable ! Ainsi, dans la suite, la notation Xrrtss{F désignera exclusivement lek-feuilletage obtenu dans la Construction 6.80. ⇤Lemme 6.82. — Gardons les notations de la Construction 6.80. Le morphisme évident Xrrtss // Xrts

définit un morphisme di↵érentiellement étale de k-feuilletages Xrrtss{F // Xrts{F. (Le k-feuilletage Xrts{Fest celui obtenu à l’aide du Lemme 6.10.)Démonstration. — En e↵et, on a Xrts{F “ X{F ˆk pSpecpkrtsq{kq ce qui fournit une décomposition⌦Xrts{F “ ⌦X{Frts ‘ `À

16i6nOXrts ¨ dti˘. De plus, la dérivation dF : OXrts // ⌦Xrts{F est donnée par la

formule (273) avec la di↵érence que F est un polynôme (au lieu d’être une série formelle). Ceci permet deconclure. ⌅Proposition 6.83. — Soient X{F et Y{G deux k-feuilletages a�nes et di↵érentiellement lisses. Soit

t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées et soit Y{G // Xrts{F un morphisme di↵érentiellement étale.Formons le produit fibré

Y0{G0 “ pY{Gq ˆXrts{F pX{Fq,où le morphisme X{F // Xrts{F utilisé est la section nulle. Alors, il existe un unique morphisme de Xrts{F-feuilletages di↵érentiellement étales Y0rrtss{G0 // Y{G rendant commutatif le triangle

Y0{G0//

))

Y0rrtss{G0

✏✏

Y{G.

Démonstration. — Notons � “ tB1, . . . , Bnu et munissons Xrts de sa structure évidente de �-schéma (où �agit trivialement sur OX). Il est immédiat que l’identité de X induit un morphisme de k-feuilletages

Xrts{AXrts,� // Xrts{F.D’après le Lemme 6.31, la projection sur le second facteur

pY{Gq ˆXrts{F pXrts{AXrts,�q // pXrts{AXrts,�q (274)

est di↵érentiellement étale. D’après la Proposition 6.32, il s’ensuit que la source de (274) est le k-feuilletageassocié à une structure de pk,�q-schéma sur Y . Autrement dit, on dispose d’une structure naturelle de

224 JOSEPH AYOUB

pXrts,�q-schéma sur Y et d’un carré cartésien

Y{AY,�//

✏✏

Y{G✏✏

Xrts{AXrts,� // Xrts{Foù les flèches horizontales sont données par les identités de Y et de Xrts.

D’après la Proposition 3.39 p42q appliquée au �-schéma a�ne Y et son sous-schéma fermé Y0, il existe ununique morphisme de �-schémas : Y0rrtss // Y induisant l’identité sur Y0. Il est donné sur les fonctionsrégulières par l’association

f P OYpYq f ˝ “ÿ

rPNn

pBr f q|Y0

r!¨ tr. (275)

Il est clair que est un morphisme de pXrts,�q-schémas.Pour terminer, il reste à montrer que définit un morphisme de k-feuilletages : Y0rrtss{G0 // Y{G.

Cette question est locale. D’après le Théorème 6.34, on peut donc supposer que le k-feuilletage X{F pro-vient d’une structure de pk,�1q-schéma sur X avec �1 “ t�1, . . . , �mu est un certain ensemble de dérivations.Il s’ensuit que Y est naturellement un � \ �1-schéma et que Y0 est naturellement un �1-schéma. On se ra-mène ainsi à montrer que : Y0rrtss // Y est un morphisme de �1-schémas. Ceci se vérifie immédiatementsur la forme explicite (275) de f ˝ , pour f P OYpYq. En e↵et, les opérateurs di↵érentiels �i commutentaux B j et à la restriction p´q|Y0 . ⌅Remarque 6.84. — Gardons les notations de la Proposition 6.83. Supposons donné un morphisme

de Xrts{F-feuilletages Y{G // Xrrtss{F. Alors, le morphisme Y0rrtss{G0 // Y{G est un morphisme deXrrtss{F-feuilletages. Ceci découle aussitôt de (275). ⇤Notation 6.85. — On note pSmFol{kqaf la sous-catégorie pleine de SmFol{k dont les objets sont les k-

feuilletages a�nes et di↵érentiellement lisses. De même, étant donné un k-feuilletage di↵érentiellementlisse X{F, on note pFtF{Xqaf la sous-catégorie pleine de FtF{X dont les objets sont les morphismes di↵éren-tiellement étales de but X{F et de source a�ne. ⇤

On arrive enfin à l’amplification annocée de la Proposition 6.78.Proposition 6.86. — Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées. Soit pQi{LiqiPI un pro-objet de

pSmFol{kqaf (resp. de pFtF{Xqaf, pour un certain un k-feuilletage a�ne et di↵érentiellement lisse X{F).Supposons que pQi{LiqiPI est génériquement ft-universel. Alors, l’association F colimiPI FpQirrtss{Liqdéfinit un point du topos ShvftpSmFol{kq (resp. ShvftpFtF{Xrrtssq).Démonstration. — D’après le Lemme 6.79, il faut montrer que pour tout i P I et tout recouvrement feuilletétZ↵{H↵

// Qirrtss{Liu↵PL, il existe j 6 i dans I, � P L et un morphisme de Qirrtss{Li-feuilletages di↵éren-tiellement étales Qjrrtss{L j // Z�{H�.

On ne restreint pas la généralité en supposant que les Z↵ sont a�nes. Pour ↵ P L, posons Z↵,0{H↵,0 “pZ↵{H↵q ˆQirrtss{Li pQi{Liq. On obtient ainsi un recouvrement feuilleté tZ↵,0{H↵,0 // Qi{Liu↵PL de Qi{Li.Puisque Qi est intègre, il existe, d’après la Proposition 6.57, un indice � P L et un ouvert V0 Ä Z�,0 tel que lemorphisme V0 // Qi est dominant, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. Quitte à rétrécire V0, onpeut le supposer intègre. Puisque le pro-objet pQj{L jq jPI est génériquement ft-universel, il existe j 6 i dansI et un morphisme de Qi{Li-feuilletages Qj{L j // V0{H�,0. En composant avec l’inclusion V0 ãÑ Z�,0, onobtient de surcoît un morphisme de Qi{Li-feuilletages Qj{L j // Z�,0{H�,0.

La Proposition 6.83 (jointe à la Remarque 6.84), fournit un morphisme de Qirrtss{Li-feuilletages

Z�,0rrtss{H�,0 // Z�{H�.

En composant avec le morphisme Qjrrtss{L j // Z�,0rrtss{H�,0, déduit du morphisme Qj{L j // Z�,0{H�,0ci-dessus, on obtient un morphisme Qjrrtss{L j // Z�{H� comme souhaité. ⌅

42. Faire attention que la référence donnée ici n’est pas d’une généralité su�sante.


6.6. Cohomologie feuilletée au point générique. —Dans cette sous-section, nous étudions la cohomologie feuilleté d’un k-feuilletage di↵érentiellement lisse

au voisinage d’un point générique. Un résultat notable est le Théorème 6.100 ; il ramène, pour une grandeclasse de préfaisceaux, le problème de calculer la cohomologie feuilletée au point générique au problèmeanalogue pour la topologie feuilletée de type fini (la topologie fttf) auquel on a apporté une réponse satis-faisante dans la Section 4. On commence avec le résultat suivant.Proposition 6.87. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse et soit f : Y{G // X{F un mor-

phisme di↵érentiellement étale de k-feuilletages. Supposons que X possède un nombre fini de composantesirréductibles et que le morphisme f : Y // X est dominant, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.

Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Ft�{X, et supposons que F est borné à gauche etqu’il est ft-fibrant. Alors, le morphisme canonique

colimUÄX

FpU{Fq // colimQ‚ÄC‚pY{Xq

Tot FpQ‚{G‚`1q,

où U parcourt les ouverts denses de X et Q‚ les sous-schémas semi-simpliciaux ouverts et denses deC‚pY{Xq, est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — C’est un cas particulier du Théorème 3.111 (le lemme curieux). En e↵et, on disposed’une D-structure sur FtF{X donnée par les ouverts relativement denses. p43q ⌅

Introduisons la définition suivante.Définition 6.88. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse. Un hyper-recouvrement générique

de X{F (dans FtF{X) est un morphsime di↵érentiellement étale de k-feuilletages semi-simpliciaux f‚ :Y‚{G‚ // X{F (où X{F est considéré comme un objet semi-simplicial constant) tel que, pour tout p P N,les morphismes

Yp // pcoskXp´1Yqp

sont dominants, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.On a la variante suivante du Théorème 3.144.

Théorème 6.89. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse ayant un nombre fini de composantesirréductibles et soit f : Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique de X{F dans FtF{X.

Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur FtF{X et supposons que F est borné à gauche etprojectivement ft-fibrant. Alors, le morphisme canonique

colimUÄX

FpU{Fq “ colimQ‚ÄY‚

Tot FpQ‚{G‚q,où U parcourt les ouverts denses de X et Q‚ les sous-schémas semi-simpliciaux ouverts et denses de Y‚, estun quasi-isomorphisme.Démonstration. — Le résultat est obtenu à partir de la Proposition 6.87 en adaptant la preuve du Théorème3.144. ⌅

Le résultat suivant montre le site pFtF{X, ftq possède su�samment d’hyper-recouvrements génériques.Proposition 6.90. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse ayant un nombre fini de com-

posantes irréductibles et soit Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement feuilleté dans FtF{X. Il existe alorsun hyper-recouvrement générique Q‚{L‚ // X{F dans FtF{X et un morphisme de X{F-feuilletages semi-simpliciaux Q‚{L‚ // Y‚{G‚.Démonstration. — Le problème est local au voisinage des points génériques de X. On peut donc supposerque X{F provient d’un pk,�q-schéma essentiel. Il est donc su�sant de prouver la variante pour les pk,�q-schémas.

43. N’oublie pas de réviser la définition de D-structure !

226 JOSEPH AYOUB

Soient donc X un �-schéma ayant un nombre fini de composantes irréductibles et Y‚ // X un hyper-recouvrement feuillété dans Ft�{X. Nous allons construire le pX,�q-schéma semi-simplicial Q‚ comme lalimite projective d’une tour d’hyper-recouvrements génériques élémentaires

¨ ¨ ¨ // Qpp`1q‚

// Qppq‚

// ¨ ¨ ¨ // Qp0q‚

// Qp´1q‚ “ X.

Pour p P N, le pX,�q-schéma semi-simplicial Qppq‚ sera p-tronqué et sera muni d’un morphisme de pX,�q-

schémas semi-simpliciaux p-tronqués Qppq // coskpY . Nous montrerons au passage que Qppqn admet un

nombre fini de composantes irréductibles pour tout p, n P N.Supposons que Qppq

‚ est construit et que Qppqn admet un nombre fini de composantes irréductibles pour

tout n P N. Considérons le morphisme

Yp`1 ˆpcoskpYqp`1 Qppqp`1

// Qppqp`1.

Étant donné que Y‚ est un hyper-recouvrement feuilleté, le morphisme ci-dessus est couvrant pour la topo-logie feuilletée. La proposition 6.57 (appliquée à chaque point générique de Qppq

p`1) montre alors qu’il existeun triangle commutatif de pX,�q-schémas

Qpp`1qp`1

//

**

Yp`1 ˆpcoskpYqp`1 Qppqp`1

✏✏

Qppqp`1

tel que le morphisme Qpp`1qp`1

// Qppqp`1 est dominant, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. On

prendra alors pour Qpp`1q‚ la source de l’hyper-recouvrement générique relatif pp`1q-élémentaire Qpp`1q

‚ // Qppq‚

associé au morphisme Qpp`1qp`1

// Qppqp`1. La Proposition 3.127 montre que Qpp`1q

n est de présentation finie-dénombrable et pro-lisse au-dessus de Qppq

n ; il admet donc un nombre fini de composantes irréductibles.Ceci termine la preuve de la proposition. ⌅Définition 6.91. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse. Une ft-hyper-clôture géné-rique de X{F est un pro-objet dans la catégorie des objets semi-simpliciaux augmentés de X{F-feuilletagesdi↵érentiellement étales tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI vérifiant les conditions suivantes.

(i) Pour tout n P N et i P I, le k-schéma Qi,n est intègre, et le morphisme Qi,n // X est de présentationfinie-dénombrable et pro-lisse.

(ii) Pour tout n P N et j 6 i dans I, le morphisme Qj,n // Qi,n est de présentation finie-dénombrable etpro-lisse.

(iii) Pour tout n P N et i P I, et tout morphisme di↵érentiellement étale f : Z{H // Qi,n{Li,n avec Zintègre, et f : Z // Qi,n de présentation finie-dénombrable et pro-lisse, il existe j 6 i dans I et unmorphisme de Qi,n{Li,n-feuilletages Qj,n{L j,n // Z{H.

(iv) Pour tout i P I, le X-schéma Xi est étale (et en particulier de présentation finie) et le morphismeQi,‚{Li,‚ // Xi{Fi est un hyper-recouvrement générique tronqué (i.e., p-tronqué pour un certain p PN).

(v) Le pro-schéma pXiqiPI est isomorphe à un pro-schéma a�ne et colimiPIOpXiq est un corps algébrique-ment clos.

Remarque 6.92. — Gardons les notations de la Définition 6.91. Les conditions (i)–(iii) peuvent êtrerésumées en disant que, pour tout n P N, le pro-objet pQi,n{Li,nqiPI est une ft-clôture générique de X{F (ausens de la Définition 6.74(b)).

La condition que le morphisme Xi // X est étale (voir (iv)) entraîne que le morphisme Xi{Fi // X{Fest basique. (En e↵et, idXi : Xi{Fi // Xi{F est alors nécessairement di↵érentiellement étale.) Ainsi, on peutécrire Xi{F au lieu de Xi{Fi. ⇤


Proposition 6.93. — Un pro-objet tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI dans la catégorie des objets semi-simpliciauxaugmentés de X{F-feuilletages di↵érentiellement lisses vérifiant les conditions (i), (ii) et (iv) de la Définition6.91 admet une extension tQj,‚{L j,‚ // Xj{F ju jPJ qui est une ft-hyper-clôture générique de X{F.Démonstration. — La preuve que nous allons présenter suit la structure de la preuve du Lemme 6.76 (elle-même largement inspirée de [3, Exposé VI, Proposition 9.0]). Toutefois, il sera nécessaire ici d’invoquer uningrédient géométrique non trivial (dans la Partie A de la preuve).

Afin d’alléger les notations, on convient que Qi,´1{Li,´1 “ Xi{Fi et on désigne par tQi,‚{Li,‚uiPI le pro-objet tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI . On fera de même pour les autres (pro-)objets semi-simpliciaux augmentésqu’on aura à introduire dans la preuve.Partie A : Soit tQi,‚{Li,‚uiPI comme dans l’énoncé. Il existe une extension tQj,‚{L j,‚u jPJ vérifiant encoreles conditions (i), (ii) et (iv) et telle que, pour tout n P N \ t´1u, le pro-schéma pQj,nq jPJ est isomorpheà un pro-schéma a�ne et l’anneau colim jPJOpQjq est un corps algébriquement clos. (En particulier, cetteextension vérifie (v).)

En e↵et, considérons le schéma semi-simplicial augmenté Q8,‚ // X8 obtenu en prenant la limite sui-vant suivant i P I de ⌘pQi,‚q // ⌘pXiq. Par construction, les Q8,n, pour n P N \ t´1u, sont des spectres decorps et le morphisme Q8,‚ // X8 est un hyper-recouvrement générique. D’après le Lemme 6.94, il existeun carré commutatif de schémas semi-simpliciaux

Q8,‚ //

✏✏

X8

✏✏

Q8,‚ // X8

tel que Q8,‚ // X8 est un hyper-recouvrement générique et OpQ8,nq, pour n P N\t´1u, sont des clôturesalgébriques des OpQ8,nq respectivement.

Soit J0 l’ensemble des couples pi, A Ñ B‚q où i P I et A // B‚ est une sous-anneau cosimplicial coaug-menté de OpX8q // OpQ8,‚q vérifiant les conditions suivantes :

1. SpecpB‚q // SpecpAq est un hyper-recouvrement générique tronqué ;

2. le morphisme Q8,‚ // SpecpB‚q ˆSpecpAq X8 est un hyper-recouvrement générique relatif ;

3. les morphismes Q8,n // Q8,n, pour n P N\ t´1u, se factorisent par des morphismes étales (et doncde présentation finie) SpecpBnq // Qi,n.

L’ensemble J0 sera ordonné par la relation suivante : pi1, A1 Ñ B1‚q 6 pi, A Ñ B‚q si i1 6 i et si Bn Ä B1

npour tout n P N\ t´1u. La Proposition 3.163 p44q assure que l’ensemble J0 est cofiltrant et que le limite dupro-objet tSpecpB‚q // SpecpAqupi,AÑB‚qPJ0 est canoniquement isomorphe à Q8,‚ // X8.

On prend J “ I \ J0 qu’on ordonne de sorte que :– les ordres sur I et sur J0 coïncident avec les ordres induits de l’ordre de J ;– si i P I et p j, A Ñ B‚q sont comparables, alors j 6 i et p j, A Ñ B‚q † i.

Enfin, on définit l’extension tQj,‚{L j,‚u jPJ par

Qpi,AÑBq,‚{Lpi,AÑBq,‚ “ SpecpB‚q{Li,‚ et Xpi,AÑBq{Fpi,AÑBq “ SpecpAq{Fi.

Partie B : Soit tQi,‚{Li,‚uiPI comme dans l’énoncé. Étant donné m P N, i0 P I et un morphisme f :Z{H // Qi0,m{Li0,m avec Z intègre et f : Z // Qi0,m de présentation finie-dénombrable et pro-lisse, ilexiste une extension tQj,‚{L j,‚u jPJ vérifiant les conditions (i), (ii), (iv) et (v) et un indice j0 6 i0 dans J telqu’il existe un morphisme de Qi0,m{Li0,m-feuilletages Qj0,m{L j0,m

// Z{H.En e↵et, d’après la Partie A, on peut supposer que, pour n P N \ t´1u, le pro-schéma pQi,nqiPI est

isomorphe à un pro-schéma a�ne et que colimiPI OpQi,nq est un corps algébriquement clos. En particulier,la condition pvq est satisfaite et, quitte à remplacer Z{H par une composante connexe de pZ{Hq ˆQi0 ,m

44. En fait, une généralisation de cette proposition.

228 JOSEPH AYOUB

pQi10,m{Li10,mq avec i10 6 i0 su�samment petit, on peut supposer que le morphisme Z // Qi0,m est générique-

ment géométriquement intègre.Il est facile maintenant de construire l’extension tQj,‚{L j,‚u jPJ. On prendra J “ pI{i0qˆt´1u\ I ordonné

de sorte que :– les ordres sur I et sur I{i0 coïncident avec les ordres induits de l’ordre de J ;– pour i, i1 P I avec i1 6 i0, si i et pi1,´1q sont comparables, alors j 6 i et p j, A Ñ B‚q † i.

Pour i1 6 i0, on pose Xpi1,´1q{Fpi1,´1q “ Xi1{Fi1 et on prend pour Qpi1,´1q,‚{Lpi1,´1q,‚ la source du morphismem-élémentaire Qpi1,´1q,‚{Lpi1,´1q,‚ // Qi1,‚{Li1,‚ associé à la projection sur le premier facteur

pQi1,m{Li1,mq ˆpQi0 ,m{Li0 ,mq pZ{Hq // pQi1,m{Li1,mq;

par la discussion précédente, les Qpi1,´1q,n, pour n P N, sont des schémas intègres. Il est immédiat quel’extension tQj,‚{L j,‚u jPJ satisfait aux propriétés recquises. (Bien entendu, on prendra j0 “ pi0,´1q.)

Partie C : Soit tQi,‚{Li,‚uiPI comme dans l’énoncé. Il existe une extension tQj,‚{L j,‚u jPJ vérifiant (i), (ii),(iv) et (v) ainsi que la condition :

(iii)I,J Pour tout n P N, i P I et tout morphisme di↵érentiellement étale f : Z{H // Qi,n{Li,n avec Z intègre,et f : Z // Qi,n de présentation finie-dénombrable et pro-lisse, il existe j 6 i dans J et un morphismede Qi,n{Li,n-feuilletages Qj,n{L j,n // Z{H.

(La condition (iii)I,J est une version faible de (iii) : on part d’un i P I et on demande l’existance d’un j P J.)Soit E l’ensemble des triplets pi, n, r f sq où n P N, i P I et f : Z{H // Qi,n{Li,n est un morphisme dans

FtF{X avec Z intègre et f : Z // Qi,n de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. (Ici, nous avons notér f s la classe d’isomorphisme de f .) On choisit un bon ordre sur E. Nous allons construire par inductiontransfinie sur e P E des extensions successives tQj,‚{L j,‚u jPJe de tQi,‚{Li,‚uiPI . Le pro-objet tQj,‚{L j,‚u jPJ8 ,avec J8 “ î

ePE Je, sera l’extension recherchée, i.e., il satisfera aux conditions (i), (ii), (iii)I,J8 et (iv).Soit e “ pi, n, r f sq un élément de E. Si e est le plus petit élément, on pose J1

e “ I. Si e est successeur,on pose J1

e “ Je´1. Si e est limite, on pose Je “ îe1†e Je1 . On définit alors le pro-objet tQj,‚{L j,‚u jPJe en

appliquant la Partie B au pro-objet tQj,‚{L j,‚u jPJ1e et au morphisme f : Z{H // Qi,n{Li,n.

Avec cette construction, il est immédiat que tQj,‚{L j,‚u jPJ8 satisfait aux conditions (i), (ii), (iii)I,J8 , (iv)et (v).

Partie D : Il est maintenant aisé de conclure. En e↵et, considérons la suite tQj,‚{L j,‚u jPJpnq telle que Jp0q “ Iet, pour n > 1, tQj,‚{L j,‚u jPJpnq est le pro-objet obtenu en appliquant la Partie C au pro-objet tQj,‚{L j,‚u jPJpn´1q .Le pro-objet tQj,‚{L j,‚u jPJ, avec J “ î

nPN Jpnq satisfait clairement aux conditions (i)–(v). ⌅

Lemme 6.94. — Soit Y‚ // X un hyper-recouvrement générique de k-schémas. On suppose que X et lesYn, pour n P N, sont intègres. Il existe alors un carré commutatif de schémas semi-simpliciaux

Y‚//

✏✏

X

✏✏

Y‚// X

tel que les conditions suivantes sont satisfaites :

(1) les schémas X et Yn, pour n P N, sont des spectres de corps algébriquement clos ;

(2) les morphismes X // X et Yn // Yn, pour n P N, sont pro-étales ;

(3) le morphisme Y‚ // X est un hyper-recouvrement générique.

Démonstration. — Fixons une clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur X et appelons Xson spectre. Nous allons construire Y‚ comme une limite projective d’une suite pYppq

‚ qpPN où Yppq‚ est un

hyper-recouvrement p-tronqué de X et le morphisme Yppq‚ // Ypp´1q

‚ est p-élémentaire. Au rang p, on aura


un carré commutatifYppq

‚ //

✏✏

X

✏✏

coskpY // X.

De plus, pour 0 6 n 6 p, OpYnq sera une clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur Yn. Cecientraînera que les flèches verticales dans le carré ci-dessus sont pro-étales.

Appelons Yp´1q‚ le schéma semi-simplicial constant donné en chaque degré par X. Supposons que p > 0

et que Ypp´1q‚ est construit. D’après le Théorème 3.147, Ypp´1q

p est un schéma intègre. De plus, il est pro-étale et dominant au-dessus de pcoskp´1Yqp. p45q (Noter que pcoskp´1Yqp est necessairement intègre carle morphisme Yp // pcoskp´1Yqp est dominant et pro-lisse.) Fixons un clôture algébrique du corps desfonctions rationnelles de Yp et notons Y p sont spectre. Il existe alors un morphisme Y p // Ypp´1q

p rendantcommutatif le carré

Y p//

✏✏

Ypp´1qp

✏✏

Yp// pcoskp´1Yqp

On prend alors pour Yppq‚ la source du morphisme p-élémentaire Yppq

‚ // Ypp´1q‚ associé au morphisme

Y p // Ypp´1qp . Les propriétés recherchées au rang p sont clairement satisfaites. ⌅

Théorème 6.95. — Soit X{F un k-feuilletage intègre di↵érentiellement lisse et soit tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPIune ft-hyper-clôture générique de X{F. Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur FtF{X bornéà gauche. Alors, il existe un isomorphisme canonique (dans la catégorie dérivée des ⇤-modules)

colimiPI

R�ftpXi{Fi; Fq » colimiPI

Tot FpQi,‚{Li,‚q.

Démonstration. — En e↵et, soit F // G une équivalence ft-locale avec G un complexe de préfaisceauxprojectivement ft-fibrant. D’après le Théorème 6.89, on a, pour i0 P I, un quasi-isomorphisme

colimUÄXi0

GpU{Fi0q // colimP‚ÄQi0 ,‚

Tot GpP‚{Li0,‚qoù U parcourt l’ensembles des ouverts non vides de Xi0 et P‚ l’ensemble des sous-schémas semi-simpliciauxde Qi0,‚ qui sont ouverts et non vides en tout degré. On peut supposer de plus que les P‚ sont tronqués.Il s’ensuit alors que pour tout couple pU, P‚q comme avant, il existe j 6 i0 dans I tel que Xj // Xi0 etQj,‚ // Qi0,‚ se factorisent respectivement par U et P‚. Il s’ensuit aussitôt que le morphisme canonique

colimiPI

GpXi{Fiq // colimiPI

Tot GpQi,‚{Li,‚qest un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, d’après la Proposition 6.78, le morphisme

colimiPI

Tot FpQi,‚{Li,‚q // colimiPI

Tot GpQi,‚{Li,‚qest un quasi-isomorphisme. Puisque R�ftpXi{Fi; Fq “ GpXi{Fiq, ceci termine la preuve. ⌅

La définition ci-dessous généralise aux k-feuilletages di↵érentiellement lisses la topologie feuilletée detype fini introduite auparavant dans le contexte des �-schémas.Définition 6.96. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse.

(a) On note FttfF{X la catégorie des X{F-feuilletages di↵érentiellement étales et de type fini ; c’est unesous-catégorie pleine de FtF{X.

45. On convient ici que cosk´1Y est le schéma semi-simplicial constant X. Est-ce qu’on a déjà utilisé une telle conventionauparavant ? ?

230 JOSEPH AYOUB

(b) Une famille tgj : Zj{H j // Y{Gu jPJ de morphismes dans FttfF{X est appelée un recouvrementfeuilleté de type fini, ou simplement un recouvrement fttf, si Y “ î

jPJ g jpZjq.

(c) Les recouvrements fttf forment une prétoplogie sur FttfF{X ; la topologie qu’ils engendrent est appeléela topologie feuilletée de type fini et sera désignée par « fttf ».

Notation 6.97. — On note ◆X{F : FttfF{X ãÑ FtF{X, ou simplement ◆ s’il n’y a pas de confusion possible,l’inclusion canonique. Sur les préfaisceaux, le foncteur p◆X{Fq˚ est exact (d’après [2, Exposé I, Proposition5.2]). Par contre, on fera attention que le foncteur ◆X{F n’est pas continu, i.e., si F est un faisceau feuilletésur FtF{X, le préfaisceau p◆X{Fq˚F n’est pas nécessairement un faisceau fttf sur FttfF{X. ⇤Définition 6.98. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse.

(a) Soit F un préfaisceau sur FtF{X. Nous dirons que F est génériquement continu si, pour tout pro-X{F-feuilletage a�ne pYi{GiqiPI vérifiant les conditions suivantes :

(i) pour tout i P I, Yi est intègre et le morphisme Yi // X est de présentation finie-dénombrable etpro-lisse,

(ii) pour tout j 6 i dans I, le morphisme Yj // Yi est de présentation finie-dénombrable et pro-lisse,(iii) colimiPI OpYiq est un corps,

le morphisme canonique colimiPI FpYi{Giq // FplimiPI Yi{Giq est un isomorphisme.(b) Soit F un complexe de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur FtF{X. Nous dirons que F est homotopique-

ment génériquement continu si les préfaisceaux d’homologie de F sont génériquement continus.

Définition 6.99. — Soit F un préfaisceau (resp. un complexe de préfaisceaux) de⇤-modules sur SmFol{k.On dit que F est génériquement continu (resp. homotopiquement génériquement continu) s’il en est ainside la restriction peX{Fq˚F de F à FtF{X pout tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse X{F.Théorème 6.100. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse. Soit F un complexe

de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur FtF{X borné à gauche et homotopiquement génériquement continu. Ilexiste alors un isomorphisme canonique (dans la catégorie dérivée des ⇤-modules)

colimH,UÄX

R�fttfpU{F; p◆X{Fq˚Fq » colimH,UÄX

R�ftpU{F; Fq.

Démonstration. — Introduisons la topologie fttf 1 sur FttfF{X associée à la prétopologie des familles tgj :Zj{H j // Y{Gu jPJ telles que Y “ î

jPJ g jpZjq et les gj : Zj // Y sont de présentation finie-dénombrableet pro-lisses. On a alors des morphismes de sites

pFttfF{X, fttfq // pFttfF{X, fttf 1q oo pFtF{X, ftq.Il s’ensuit des morphismes canoniques

colimH,UÄX

R�fttfpU{F; ◆˚Fq oo colimH,UÄX

R�fttf 1pU{F; ◆˚Fq // colimH,UÄX

R�ftpU{F; Fqet nous allons montrer que ces morphismes sont des quasi-isomorphismes.

Fixons une ft-hyper-clôture générique tQi,‚{Fi,‚ // Xi{FiuiPI . Notons G le groupe de Galois de la clôturealgébrique colimiPIOpXiq du corps des fonctions rationnelles de X. On a alors un isomorphisme naturel

colimH,UÄX

R�?pU{F; ´q » R�pG, colimiPI

R�?pXi{Fi; ´qqpour ? P tfttf 1, fttf, ftu. Il est donc su�sant de montrer que les morphismes dans

colimiPI

R�fttfpXi{Fi; ◆˚Fq oo colimiPI

R�fttf 1pXi{Fi; ◆˚Fq // colimiPI

R�ftpXi{Fi; Fqsont des quasi-isomorphismes.

Le problème étant local, on ne restreint pas la généralité en supposant que X{F provient d’un pk,�q-schéma essentiel et a�ne. (Bien entendu, � est un certain ensemble fini de dérivations.) On peut aussisupposer que les schémas Qi,n sont a�nes pour tout i P I et n P N \ t´1u. On définit un pro-objet


semi-simplicial augmenté tQ1j,‚{L1

j,‚// X1

j,‚{F1ju jPJ dans FttfF{X de la manière suivante. L’ensemble J est

donné par des couples pi, A Ñ B‚q où i P I et A // B‚ est une sous-pOpXq,�q-algèbre semi-simplicialecoaugmentée de OpXiq Ñ OpQi,‚q telle que, pour tout n P N \ t´1u, SpecpBnq // X est un k-morphismede présentation finie-dénombrable et pro-lisse, et un pk,�q-morphisme de type fini. Pour j “ pi, A Ñ B‚q,on pose Q1

j,‚ “ SpecpB‚q et X1j “ SpecpAq. Par construction, on dispose d’un morphisme de pro-objets

tQi,‚uiPI // tQ1j,‚u jPJ induisant un isomorphisme limiPI Qi,‚ » lim jPJ Q1

j,‚.Il découle du Théorème 3.165 (et de sa variante pour la topologie fttf 1) qu’on a des isomorphismes

canoniques

colimiPI

R�fttf 1pXi{Fi; ◆˚Fq » colimiPI

R�fttfpXi{Fi; ◆˚Fq » colimjPJ

Tot FpQ1j{L1

jq.Par ailleurs, le Théorème 6.95 fournit un isomorphisme canonique

colimiPI

R�ftpXi{Fi; Fq » colimiPI

Tot FpQi{Liq.Le résultat découle maintenant du fait que F est homotopiquement génériquement continu ce qui assumeque le morphisme évident colim jPJ FpQ1

j{L1jq // colimiPI FpQi{Liq est un quasi-isomorphisme. ⌅

Corollaire 6.101. — Soit X un k-feuilletage di↵érentiellement lisse ayant un nombre fini de compo-santes irréductibles et soit Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique faible. Soit F un complexe depréfaisceaux (de ⇤-modules) sur FtF{X borné à gauche et homotopiquement génériquement continu. SoitG un remplacement projectivement ft-fibrant de F. Alors, le morphisme canonique

colimUÄX

GpU{Fq // colimQ‚ÄY‚

Tot GpQ‚{G‚q,où U parcourt les ouverts denses de X et Q‚ les sous-schémas semi-simpliciaux ouverts et denses de Y‚, estun quasi-isomorphisme.Démonstration. — En e↵et, soit G1 est un remplacement projectivement fttf 1-fibrant de p◆X{Fq˚pFq. D’aprèsle Théorème 6.100, le morphisme de l’énoncé est quasi-isomorphe au morphisme

colimUÄX

G1pU{Fq // colimQ‚ÄY‚

Tot G1pQ‚{G‚q.Le résultat recherché découle alors du Théorème 3.165. ⌅Corollaire 6.102. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit F un préfaisceaude ⇤-modules sur FtF{X. Si F est génériquement continu, il en est de même du faisceau feuilleté aftpFq. p46q

6.7. Carrés distingués en topologie feuilletée. —Dans cette sous-section on étend à la topologie feuilletée quelques résultats bien connus en topologie

étale autour de la notion de carrés distingués. Tous les résultats contenus dans cette sous-section sont descas particuliers des résultats généraux de [52] sur les topologies complètement décomposables. Toutefois,nous avons choisi d’inclure les détails pour la commodité du lecteur.

La définition ci-dessus est la variante feuilletée de [42, §3.1, Definition 1.3].Définition 6.103. — Un carré distingué (en topologie feuilletée) est un carré cartésien de k-feuilletages

lisses quasi-compacts

V{G j//

g✏✏

Y{Gf✏✏

U{F i// X{F

(276)

vérifiant les conditions suivantes :(i) le morphisme i est une immersion ouverte ;

46. La conclusion de corollaire est valable pour tout préfaisceau d’ensembles. On laissera au lecteur l’exercice d’établir ceténoncé dans sa généralité naturelle.

232 JOSEPH AYOUB

(ii) le morphisme f est di↵érentiellement étale et induit un isomorphisme pY r Vqred„// pX r Uqred.

Le k-feuilletage X{F est appelé la base du carré distingué (276).Le résultat suivant est l’analogue d’un résultat bien connu en cohomologie étale. On renvoie le lecteur

à [42, §3.1, Proposition 1.4] où le cas étale est traité et où la réciproque est également établie pour latopologie Nisnevich. On renvoie aussi le lecteur à [52, Proposition 2.15] où la preuve est formalisée dans lecadre abstrait des topologies complètement décomposables.Proposition 6.104. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse et quasi-compact, et soit F un

faisceau feuilleté sur FtF{X. Alors, pour tout carré distingué (276) de base X{F, le carré d’ensembles

FpX{Fq f ˚//

i˚✏✏

FpY{Gqg˚✏✏

FpU{Fq j˚// FpV{Gq

(277)

est cartésien.Démonstration. — La famille ti : U{F ãÑ X{F, f : Y{G // X{Fu est un recouvrement feuilleté de X{F.Puisque le préfaisceau F est séparé, il s’ensuit que l’application

pi˚, f ˚q : FpX{Fq // FpU{Fq ˆFpV{Gq FpY{Gq (278)

est injective. Il reste à montrer que cette application est surjective. Pour ce faire, fixons un élément dans lemembre de droite de (278), i.e., un couple pa, bq P FpU{Fq ˆ FpY{Gq tel que a|V{G “ b|V{G.Étape 1 : Notons

pri : pY{Gq ˆX{F pY{Gq // Y{Gles projections canoniques. Dans cette étape, on montre que pr˚

1 pbq “ pr˚2 pbq.

Dans ce but, nous allons d’abord vérifier que la famille

tp j, jq : pV{Gq Û{F pV{Gq // pY{Gq ˆX{F pY{Gq, � : Y{G ãÑ pY{Gq ˆX{F pY{Gqu (279)

est un recouvrement feuilleté de pY{Gq ˆX{F pY{Gq. Considérons pour cela la stratification S “ tU, Zu deX avec Z “ X r U. (Puisque U et X sont quasi-compacts, Z est constructible.) L’image inverse de la stra-tification S par le morphisme f : Y // X fournit la stratification S1 “ tV,Zu de Y (modulo l’identificationf ´1pZq » Z). Enfin, l’image inverse de la stratification S par le morphisme Y ˆX Y // X donne la stratifi-cation S2 “ tV Û V, Zu (modulo l’identification f ´1pZq ˆZ f ´1pZq » Z). Il est clair que la stratificationtV Û V, Zu est adaptée à la famille (279) qui est donc bien un recouvrement feuilleté.

Revenons à notre problème. Puisque F est séparé, il est maintenant su�sant de montrer que

p j, jq˚pr˚1 pbq “ p j, jq˚pr˚

2 pbq et �˚pr˚1 pbq “ �˚pr˚

2 pbq.La seconde égalité est claire puisque pr1 ˝ � “ pr2 ˝ � “ id. Pour la première égalité, nous utilisons lescarrés commutatifs

pV{Gq Û{F pV{Gq pri//

p j, jq✏✏

V{Gj✏✏

pY{Gq ˆX{F pY{Gq pri// Y{G.

Il est donc équivalent de montrer l’égalité pr˚1 j˚pbq “ pr˚

2 j˚pbq. Or, par hypothèse, nous avons j˚pbq “g˚paq. Ceci permet de conclure puisque g ˝ pr1 “ g ˝ pr2.Étape 2 : Nous montrerons ici que le couple pa, bq définit un élément dans l’égalisateur de la double flèche

FpU{Fq ˆ FpY{Gq “ FpU{F≤Y{Gq //

// FppU{F≤Y{Gq ˆX{F pU{F≤

Y{Gqq. (280)

Ceci permettra de conclure. En e↵et, puisque le singleton ti \ f : U{F≤Y{G // X{Fu est un recouvre-

ment feuilleté et que F est un faisceau feuilleté, les sections a et b se recollent en une section c P FpX{Fqtelle que a “ c|U{F et b “ c|Y{G. Il s’ensuit que pa, bq est l’image de c par l’application (278).


Pour montrer que pa, bq est dans l’égalisateur de la double flèche (280), on utilise la décomposition

pU{F≤Y{Gq ˆX{F pU{F≤

Y{Gq “ U{F≤V{G≤V{G≤pY{Gq ˆX{F pY{Gq.

Notre double flèche s’écrit alors

FpU{Fq ˆ FpY{Gq //// FpU{Fq ˆ FpV{Gq ˆ FpV{Gq ˆ FppY{Gq ˆX{F pY{Gqq.

En ordonnant convenablement les facteurs, les deux flèches ci-dessus envoient pa, bq sur les quadruplets

pa, a|V{G, b|V{G, pr˚1 pbqq et pa, b|V{G, a|V{G, pr˚

2 pbqq.La première étape de la preuve permet donc de conclure. ⌅

Le résultat suivant est une conséquence formelle de la proposition 6.104 (voir [42, §3.1, Lemma 1.6]pour la variante Nisnevich et [52, Corollaire 2.16] pour la variante abstraite).Corollaire 6.105. — Le foncteur évident

SmFol{k // ShvftpSmFol{kq (281)

transforme un carré distingué de k-feuilletages di↵érentiellement lisses en un carré cartésien et cocartésiende faisceaux feuilletés.Démonstration. — Le foncteur (281) commute aux limites finies. Étant donné qu’un carré distingué estcartésien, son image dans ShvftpSmFol{kq est aussi un carré cartésien de faisceaux feuilletés.

Montrons la partie « cocartésien » de l’énoncé. Supposons donné un carré distingué de k-feuilletagesdi↵érentiellement lisses (276). Pour montrer que son image dans ShvftpSmFol{kq, à savoir

aftpV{Gq j//

g✏✏

aftpY{Gqf✏✏

aftpU{Fq i// aftpX{Fq,

(282)

est un carré cocartésien, il su�t de montrer que, pour tout faisceau feuilleté F, le foncteur homp´, Fqtransforme (282) en un carré cartésien d’ensembles. (C’est la définition même d’un carré cocartésien !) Or,cette propriété est exactement le contenu de la proposition 6.104. ⌅Corollaire 6.106. — Supposons donné un carré distingué (276) de k-feuilletages di↵érentiellement

lisses.

(a) Le morphisme de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k (resp. sur FtF{X)

pY{Gq b ⇤pV{Gq b ⇤

//pX{Fq b ⇤pU{Fq b ⇤ ,

déduit de (276), est une équivalence ft-locale.

(b) Le morphisme de complexes de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k (resp. sur FtF{X)

pg, f q : rpV{Gq b ⇤ jÑ pY{Gq b ⇤s // rpU{Fq b ⇤ iÑ pX{Fq b ⇤s,où pX{Fq b ⇤ et pY{Gq b ⇤ sont placés en degré zéro, est une équivalence ft-locale.

(c) Soit F un complexe de préfaisceaux (de ⇤-modules) projectivement ft-fibrant sur SmFol{k (resp. surFtF{X). Alors, le carré

FpX{Fq f ˚//

i˚✏✏

FpY{Gqg˚✏✏

FpU{Fq j˚// FpV{Gq

(283)

est homotopiquement cartésien et cocartésien (dans Cplp⇤q).

234 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Les propriétés (a) et (b) sont équivalentes. Elles découlent du corollaire 6.105, quifournit un carré cocartésien de faisceaux de ⇤-modules

aftpV{G b ⇤q j//

g✏✏

aftpY{G b ⇤qf✏✏

aftpU{F b ⇤q i// aftpX{F b ⇤q.

La propriété (c) est également une conséquence du fait que le carré ci-dessus est cocartésien. ⌅On termine avec un énoncé calculatoir.

Corollaire 6.107. — Supposons donné un carré distingué (276) de k-feuilletages di↵érentiellement lisses.Soit F un complexe de préfaisceaux (de ⇤-modules) sur FtF{X. On a alors une suite exacte longue (dite deMayer-Vietoris) de groupes de cohomologie feuilletée

¨ ¨ ¨ // HnftpX{F; Fq // Hn

ftpU{F; Fq ‘ HnftpY{G; Fq // Hn

ftpV{G; Fq // Hn`1ft pX{F; Fq // ¨ ¨ ¨ .

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du corollaire 6.106(c). ⌅

6.8. Une construction d’hyper-recouvrements génériques faibles. —Dans cette sous-section, nous démontrons un résultat technique qui jouera un rôle important dans l’étude

locale de la cohomologie feuilletée (à valeurs dans les préfaisceaux spéciaux). Nous aurons besoin dequelques préliminaires. Nous commençons avec quelques notations.Notation 6.108. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma. On suppose que, pour i P I, Xi est réduit et possède

un nombre fini de points génériques et que, pour j 6 i dans I, le morphisme Xj // Xi envoie un pointgénérique de Xj sur un point générique de Xi.

(a) On note ⌘pXq le pro-schéma des ouverts a�nes denses dans X. Plus précisément, ⌘pXq est indexé parl’ensemble des couples pi,Uq où i P I et U Ä Xi est un ouvert a�ne et dense de Xi ; le foncteur ⌘pXqest alors simplement donné par l’association pi,Uq U.

(b) Étant donné un système d’indéterminées t “ pt1, . . . , tnq, on note Xpptss “ Xppt1, . . . , tnss le pro-schémaa�ne ⌘pXqrrtss qui, à un couple pi,Uq comme dans (a), associe le schéma a�ne Urrtss.

(c) On suppose donnés, pour 1 6 s 6 r, des systèmes d’indéterminées ts “ pts,1, . . . , ts,nsq. On définit alorsle pro-schéma a�ne Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss par récurrence sur r en posant

Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss “ Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | tr´1sspptrss.Le pro-schéma Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss est alors indexé par des pr ` 1q-uplets pi,U0, . . . ,Ur´1q où i P I, U0 estun ouvert a�ne et dense de Xi et, pour 1 6 s 6 r ´ 1, Us est un ouvert a�ne et dense de Us´1rrtsss. Àun tel r-uplet, le foncteur Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss associe le schéma a�ne Ur´1rrtrss.

(d) Pour alléger les notations, on posera souvent t “ pt1, . . . , trq et on écrira Xpp t ss au lieu de Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss.Remarquer que XppHss “ ⌘pXq et, plus généralement, si tr “ H, alors Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss “ ⌘pXppt1 | ¨ ¨ ¨ | tr´1ssq.⇤Remarque 6.109. — Nous sommes surtout intéressés dans le cas où I est un singleton, i.e., où le pro-

schéma X est en fait un schéma. Toutefois, pour définir Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | trss par récurrence, il est nécessaire deconsidérer des pro-schémas plus généraux. ⇤Remarque 6.110. — Soit X un schéma réduit et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Dansla suite, pour alléger les notations, il nous arrivera d’écrire Xpp t ss au lieu de lim Xpp t ss. Nous le signaleronsau lecteur chaque fois que cet abus de notation est employé. ⇤Lemme 6.111. — Soit X un schéma a�ne. Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indétermniées et appelons� : Xrrtss // X le morphisme évident.


Soit V Ä Xrrtss un ouvert. Appelons l’image spéciale de V par � l’ensemble �spépVq des points x P X telsque le produit fibré V ˆXrrtss xrrtss est non vide. Alors, �spépVq est un ouvert de X contenu dans �pVq. Si deplus X est intègre et V est non vide, alors �spépVq est non vide.Démonstration. — Il su�t de montrer la conclusion du lemme pour V “ Dp f q avec f P OpXqrrtss. (Bienentendu, Dp f q est l’ouvert standard, complémentaire de l’ensemble des zéros de f .) Écrivons f “ ∞

⌫PNn a⌫ ¨t⌫. Pour x P X, le produit fibré Dp f q ˆXrrtss xrrtss est l’ouvert Dp f pxqq de xrrtss avec f pxq “ ∞

⌫PNn a⌫pxq ¨ t⌫.Il s’ensuit que �spépDp f qq est l’ensemble des points x P X tel que f pxq , 0. C’est donc le complémentairedu fermé de X défini par l’idéal engendré par les coe�cients de f .

Si X est intègre et f , 0, il existe au moins un x P X tel que f pxq , 0. Ceci montre que �spépDp f qq estnon vide. ⌅Définition 6.112. — Gardons les notations du Lemme 6.111. On dit que le morphisme V // X, égal à lacomposition de V ãÑ Xrrtss // X, est fortement surjectif si X “ �spépVq.Lemme 6.113. — Gardons les notations du Lemme 6.111. Soit : Z // X un morphisme tel que pZq Ä�spépVq et supposons que Z est a�ne. Posons W “ VˆXrrtssZrrtss. Alors, le morphisme W // Z est fortementsurjectif.Démonstration. — En e↵et, soit z P Z et notons x “ pzq. On doit montrer que le schéma W ˆZrrtss zrrtssest non vide. Or, on a des isomorphismes canoniques

W ˆZrrtss zrrtss » V ˆXrrtss zrrtss » `V ˆXrrtss xrrtss˘ ˆxrrtss zrrtss.

Le résultat s’ensuit puisque le morphisme zrrtss // xrrtss est dominant et que V ˆXrrtss xrrtss est un ouvertnon vide de xrrtss. ⌅Proposition 6.114. — Soit X un schéma réduit ayant un nombre fini de composantes irréductibles et

soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterminées. Soit pU0, . . . ,Ur´1q un élément de l’ensembled’indices du pro-schéma Xpp t ss, i.e., U0 Ä X est un ouvert a�ne et dense de X et, pour 1 6 s 6 r ´ 1, Usest un ouvert a�ne et dense de Us´1rrtsss. Il existe alors un ra�nement pU 1

0, . . . ,U1r´1q tel que, pour tout

1 6 s 6 r ´ 1, le morphisme U 1s// U 1

s´1 est fortement surjectif.Démonstration. — La question est locale au voisinage des points génériques de X. On ne restreint donc pasla généralité en supposant que X est intègre.

On pose Vr´1 “ Ur´1, et on choisit par récurrence descendante sur r´1 > s > 1 un ouvert a�ne non videVs´1 Ä Us´1 contenu dans l’image spéciale de Vs par le morphisme Us´1rrtsss // Us´1. On définit alors lera�nement recherché par récurrence en posant U 1

0 “ V0 et, pour 1 6 s 6 r ´1, U 1s “ Vs Ûs´1rrtsss U 1

s´1rrtsss.Le Lemme 6.113 assure que les morphismes U 1

s// U 1

s´1 sont bien fortement surjectives. ⌅Notation 6.115. — Soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterminées.

(a) Soit X un schéma réduit ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Soient ↵ “ pU0, . . . ,Ur´1qet � “ pV0, . . . ,Vr´1q deux indices du pro-schéma Xpp t ss. On note alors ↵X � l’indice pW0, . . . ,Wr´1qdéfini par récurrence par W0 “ U0 X V0 et, pour 1 6 s 6 r ´ 1,

Ws “ pUs Ûs´1rrtsss Ws´1rrtsssq X pVs ˆVs´1rrtsss Ws´1rrtsssq.Clairement, ↵ X � est la borne supérieure de l’ensemble t↵, �u.

(b) Soit f : Y // X un morphisme entre deux schémas réduits ayant un nombre fini de composantesirréductibles et tel que f envoie un point générique de Y sur un point générique de X. Soit ↵ “pU0, . . . ,Ur´1q un indice du pro-schéma Xpp t ss. On note alors f ´1p↵q l’indice pV0, . . . ,Vr´1q du pro-schéma Ypp t ss défini par récurrence par V0 “ f ´1pU0q et, pour 1 6 s 6 r ´ 1,

Vs “ Us Ûs´1rrtsss Vs´1rrtsss.(c) Soit X un schéma intègre, et soit Z Ä X un sous-schéma fermé. Soit ↵ “ pU0, . . . ,Ur´1q un indice du

pro-schéma Xpp t ss. On définit par récurrence des sous-schémas fermés W0 Ä U0, . . . ,Wr´1 Ä Ur´1,en posant W0 “ Z X U0 et, pour 1 6 s 6 r ´ 1, Ws “ Us X pWs´1rrtsssq. On écrit alors ↵ X Z , H si

236 JOSEPH AYOUB

Wr´1 est non vide (ce qui revient à demander que les Ws soient non vides pour tout 0 6 s 6 r ´ 1).Dans ce cas, pW0, . . .Wr´1q est un indice du pro-schéma Zpp t ss.

⇤Lemme 6.116. — Soient X et Z comme dans Notation 6.115(c). On note XZpp t ss le pro-schéma

↵ “ pU0, . . . ,Ur´1q, avec ↵ X Z ,H Ur´1.

On dispose alors d’un morphisme canonique de pro-schémas Zpp t ss // XZpp t ss induisant une immersionfermée lim Zpp t ss ãÑ lim XZpp t ss.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate des constructions. ⌅Lemme 6.117. — Soient X et Z comme dans Notation 6.115(c). Soit ↵ “ pU0, . . . ,Ur´1q un indice du pro-schéma Xpp t ss. On suppose que, pour 1 6 s 6 r ´ 1, les morphismes Us // Us´1 sont fortement surjectifs.Alors ↵ X Z ,H si et seulement si Z X U0 ,H.Démonstration. — La condition est nécessaire. Réciproquement, supposons que W0 “ Z X U0 est non videet montrons par récurrence que les Ws sont tous non vides.

Soit 1 6 s 6 r ´ 1. Puisque Ws “ Us Ûs´1rrtss Ws´1rrtss, le Lemme 6.113 entraîne que Ws // Ws´1 estfortement surjectif. En particulier, si Ws´1 est non vide, il en est de même de Ws. ⌅

On arrive maintenant au résultat principal de cette sous-section.Théorème 6.118. — Soit X un schéma réduit ayant un nombre fini de composantes irréductibles et soit

Y // X un morphisme dominant, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse. Supposons donné un r-uplet de systèmes d’indéterminées t “ pt1, . . . , trq. Alors, le morphisme de schémas semi-simpliciaux

lim C‚pY{Xqpp t ss // lim Xpp t ssest un hyper-recouvrement générique faible.

On démontre d’abord la réduction suivante.Lemme 6.119. — Il su�t de démontrer le Théorème 6.118 lorsque Y est un espace a�ne relatif sur X de

dimension au plus dénombrable.Démonstration. — Quitte à remplacer Y par un ouvert dense, on peut supposer qu’il existe un trianglecommutatif de schémas

Y e//

f ''

A

✏✏

Xavec A un espace a�ne de dimension au plus dénombrable, et e un morphisme étale et dominant. Le mor-phisme e étant fini au-dessus d’un ouvert dense de A, le carré

lim C‚pY{Xqpp t ss //

✏✏

lim C‚pA{Xqpp t ss✏✏

lim ⌘pC‚pY{Xqq // lim ⌘pC‚pA{Xqqest cartésien à flèches horizontales étales et finies. Or, la flèche horizontale inférieure est 0-élémentaireassociée au morphisme fini, étale et surjectif lim ⌘pYq // lim ⌘pAq. Il s’ensuit que la flèche horizontale su-périeure est également 0-élémentaire associée à un morphisme fini, étale et surjectif. En particulier, la flèchehorizontale supérieure est un hyper-recouvrement générique relatif. Ainsi, d’après le Corollaire 3.137, si lemorphisme lim C‚pA{Xqpp t ss // lim Xpp t ss est un hyper-recouvrement générique faible, il en est de mêmedu morphisme lim C‚pY{Xqpp t ss // lim Xpp t ss. ⌅

Sans plus tarder, nous donnons la démonstration du résultat principal de cette sous-section.Démonstration du Théorème 6.118. — Le problème est local au voisinage des points génériques de X. Onpeut donc supposer que X est intègre. La conclusion du théorème ne dépend que du pro-schéma semi-simplicial ⌘pC‚pY{Xqpp t ssq. Ainsi, quitte à rajouter l’ensemble vide d’indéterminées, on peut supposer que


tr “ H. Ceci contribuera à alléger quelques notations plus tard. Remarquer pour le moment que cecientraîne que, pour p P N\ t´1u, l’anneau OpCppY{Xqpp t ssq est un corps.

Toujours dans le soucis d’alléger les notations, nous emploierons, tout au long de la preuve, l’abus denotation consistant à écrire Zpp t ss au lieu de lim Zpp t ss (voir la Remarque 6.110).

D’après le lemme 6.119, il reste à traiter la cas où f : Y // X est la projection d’un espace a�ne relatifde dimension au plus dénombrable. On doit montrer dans ce cas que le morphisme

Cp`1pY{Xqpp t ss //

ćoskXpp t ss

p CpY{Xqpp t ss¯

p`1(284)

est dominant et génériquement plat. On raisonne par récurrence sur p. Lorsque p “ ´1, il n’y a rien àmontrer. Dans la suite, on suppose que p > 0 et que le résultat est connu pour p ´ 1. On divise la preuve enquatre parties.Partie A : Munissons Y d’une structure de pX,�q-schéma, avec � un ensemble fini de dérivations agis-sant trivialement sur X, de sorte que X soit le quotient discret e↵ectif de Y . (Plus précisément, si Y “Xrx1, . . . , xi, . . .s est de dimension dénombrable sur X, on prendra � “ tBu qu’on fait agir par Bpxiq “ xi`1 ;si Y “ Xrx1, . . . , xds est de dimension finie sur X, on prendra � “ tB1, . . . , Bdu agissant, de la manièreusuelle, par Bipx jq “ �i, j.) L’isomorphisme de schémas semi-simpliciaux

C1`‚pY{Xq » Y ˆX C‚pY{Xqpermet de munir C1`‚pY{Xq d’une structure de pX,�q-schéma semi-simplicial, avec � agissant triviale-ment sur le facteur C‚pY{Xq. Ainsi, C‚pY{Xq s’identifie au quotient discret e↵ectif du pX,�q-schéma semi-simplicial C1`‚pY{Xq.

Pour p P N \ t´1u, le schéma Cp`1pY{Xqpp t ss est la limite projective de schémas a�nes Vr´1 sui-vant les r-uplets pV0, . . . ,Vr´1q où V0 est un ouvert a�ne et dense de Cp`1pY{Xq et, pour 1 6 s 6 r ´ 1,Vs est ouvert a�ne et dense de Vs´1rrtsss. Par récurrence, et en faisant agir � sur les coe�cients des sé-ries formelles, on déduit une structure de �-schémas sur Vr´1 et, par passage à la limite, une structurede �-schéma sur Cp`1pY{Xqpp t ss. On ainsi un �-schéma semi-simplicial augmenté C1`‚pY{Xqpp t ss. Parconstruction, C1`‚pY{Xqpp t ss // C‚pY{Xqpp t ss est un morphisme �-schémas si l’on fait agir � trivialementsur C‚pY{Xqpp t ss. D’après la Proposition 6.120, ceci identifie C‚pY{Xqpp t ss au quotient discret e↵ectif deC1`‚pY{Xqpp t ss.Partie B : Pour alléger les notations, étant donné un objet semi-simplicial augmenté T‚ // S , on écriracoskpT au lieu de coskS

pT ; ceci n’a↵ecte que le cas p “ 0 (voir le Lemme 3.120). D’après la Proposition3.123, on a p47q

`coskpCpY{Xqpp t ss˘p`1 “ `

coskp´1C1`‚pY{Xqpp t ss˘p ˆpcoskp´1CpY{Xqpp t ssqpCppY{Xqpp t ss.

Modulo cet isomorphisme, le morphisme (284) est le morphisme déduit, grâce à la propriété universelle desproduits fibrés, du carré commutatif

Cp`1pY{Xqpp t ss //

✏✏

`coskp´1C1`‚pY{Xqpp t ss˘p

✏✏

CppY{Xqpp t ss //`coskp´1CpY{Xqpp t ss˘p .

D’après l’hypothèse de récurrence, les flèches horizontales sont dominantes et génériquement plates. Ainsi,

O´`

coskp´1CpY{Xqpp t ss˘p

¯Ä O

`CppY{Xqpp t ss˘

47. L’énoncé de la Proposition 3.123 est faux pour p “ 1. En e↵et, il faut mettre coskX0p´1X1`‚ au lieu de coskp´1X1`‚. En

tout cas, il y a un problème dans la preuve : il y a bien un foncteur≥

D Ñ �16p{q mais qui n’est pas un isomorphisme. Cette

application n’est pas surjective. En e↵et, l’application 0 Ñ q qui pointe 0 n’est pas dans l’image. Il faut remplacer la catégoriede droite par �1

`,6p´1{q ´ 1 pour, au moins obtenir une application surjective. Hopefully, les fibres sont connexes...

238 JOSEPH AYOUB

s’identifie au sous-anneau engendré par les images des morphismes

d˚i : O

`Cp´1pY{Xqpp t ss˘ // O

`CppY{Xqpp t ss˘

pour 0 6 i 6 p. De même,

O´`

coskp´1C1`‚pY{Xqpp t ss˘p

¯Ä O

`Cp`1pY{Xqpp t ss˘

s’identifie au sous-anneau engendré par les images des morphismes

d˚i : O

`CppY{Xqpp t ss˘ // O

`Cp`1pY{Xqpp t ss˘

pour 1 6 i 6 p ` 1.Partie C : Ici, nous allons montrer que le quotient discret e↵ectif du �-schéma ⌘pcoskp´1C1`‚pY{Xqpp t ssqp

est donné par ⌘pcoskp´1C‚pY{Xqpp t ssqp. (Noter que les schémas en question sont en fait des spectres decorps.) Pour alléger les notations, nous écrivons dans cette partie C‚ au lieu de C‚pY{Xq. Nous cherchonsdonc à montrer que

´FracO

´`coskp´1C1`‚pp t ss˘p

¯¯�“0 “ FracO´`

coskp´1C‚pp t ss˘p

¯. (285)

Par la Partie A, on a l’égalité de corps

OpCppp t ssq “ pOpCp`1pp t ssqq�“0.

Vue la Partie B, il s’ensuit que´

FracO´`

coskp´1C1`‚pp t ss˘p

¯¯�“0 “ FracO´`

coskp´1C1`‚pp t ss˘p

¯X OpCppp t ssq,

l’intersection étant prise dans OpCp`1pp t ssq. Or, un élément F de cette intersection peut être représenté dedeux manières.

(i) Il existe un élément � “ pV0, . . . ,Vr´1q dans l’ensemble d’indices du pro-schéma Cppp t ss et unefonction régulière f P OpVr´1q telle que F est l’image de la classe du couple p�, f q par d˚

0 , ce que l’onrésume en écrivant F “ f ˝ d0.

(ii) Il existe un élément �1 “ pV 10, . . . ,V

1r´1q dans l’ensemble d’indices du pro-schéma Cppp t ss et des

fonctions régulières gi,µ, hi,⌫ P OpV 1rq, pour 1 6 i 6 p ` 1, µ P I et ⌫ P J avec I et J des ensembles

finis, telles que

F “∞µPI

±16i6p`1 gi,µ ˝ di∞

⌫PJ±

16i6p`1 hi,⌫ ˝ di. (286)

Quitte à ra�ner � et �1 on peut supposer que � “ �1. Soit � “ pW0, . . . ,Wr´1q un indice du pro-schémaC1`ppp t ss qui est plus petit que d´1

i p�q pour 0 6 i 6 p`1 et tel que Ws // Ws´1 est fortement surjectif pourtout 1 6 s 6 r ´1. (L’existance de � est assurée par la Proposition 6.114.) En particulier, les éléments f ˝d0,gi,µ ˝ di et hi,⌫ ˝ di sont dans OpWr´1q. Quitte à ra�ner Wr´1 on peut aussi supposer que le dénominateur dela fraction (286) est dans OpWr´1qˆ. (On rappelle ici que tr “ H.)

Puisque le morphisme Y // X est la projection d’un espace a�ne, on peut lui trouver une section s :X ãÑ Y telle que le morphisme

s “ ps, idq : Cp “ X ˆX Cp ãÑ Cp`1 “ Y ˆX Cp,

(qui est une section à d0) vérifie spCpqXW0 ,H. Considérons le pro-schéma pCp`1qspCpqpp t ss. Par construc-tion, f ˝ d0 et les gi,µ ˝ di et hi,⌫ ˝ di sont naturellement des éléments de OppCp`1qspCpqpp t ssq. D’autre part, ondispose d’un morphisme de schémas

� : Cppp t ss ãÑ pCp`1qspCpqpp t ss.


En appliquant ´˝� aux deux expressions de F et en utilisant les identités d0 ˝� “ id et, pour 1 6 i 6 p`1,di ˝ � “ di´1 ˝ � (où le second � désigne le morphisme Cp´1pp t ss ãÑ pCpqspCp´1qpp t ss déduit de la sections “ ps, idq : Cp´1 ãÑ Cp), on trouve l’égalité suivante

f “∞µPI

±16i6p gi`1,⌫ ˝ � ˝ di∞

⌫PJ±

16i6p hi`1,⌫ ˝ � ˝ di.

Ceci montre que F est dans FracO`pcoskp´1C‚pp t ssqp

˘montrant ainsi l’égalité (285).

Partie D : Il est maintenant aisé de conclure. En e↵et, d’après la Partie C et la Proposition 1.36, appliquéeau morphisme de �-schémas

Cp`1pY{Xqpp t ss // ⌘`coskp´1C1`‚pY{Xqpp t ss˘p

le morphisme

Cp`1pY{Xqpp t ss // ⌘`coskp´1C1`‚pY{Xqpp t ss˘p ˆ⌘pcoskp´1CpY{Xqpp t ssqp

CppY{Xqpp t ssest dominant est génériquement plat. C’est ce qu’on cherchait à démontrer. ⌅

La proposition ci-dessous a servi dans la preuve du Théorème 6.118.Proposition 6.120. — Soit X un schéma intègre et soit Y // X la projection d’un espace a�ne de

dimension au plus dénombrable. On suppose que Y est muni d’une structure de pQ,�q-schéma, avec � unensemble fini de dérivations, et que X est le quotient discret e↵ectif de Y. Soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet desystèmes d’indéterminées et faisons agir � sur les coe�cients des séries formelles. Alors, on a

FracpOpXpp t ssqq “ FracpOpYpp t ssqq�“0.

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur r ; lorsque r “ 0, il n’y a rien à montrer. Dans la suite,on suppose que r > 1 et que le résultat est connu pour r ´ 1.

L’inclusion « Ä » est triviale. Montrons l’inclusion inverse. Un élément de FracpOpYpp t ssqq�“0 est re-présenté par un couple p�, f {gq où � “ pV0, . . . ,Vr´1q est un indice du pro-schéma Ypp t ss, et où f , g POpVr´1qrrtrss avec g , 0 et f {g P OpDpgqq�“0. On pose Vr “ Dpgq et on considère le pr ` 1q-upletpV0, . . . ,Vrq comme un indice du pro-schéma Yppt1 | ¨ ¨ ¨ | tr | Hss. D’après la Proposition 6.114 appliquée àpV0, . . . ,Vrq on peut supposer que les morphismes Vs // Vs´1 sont fortement surjectifs pour 1 6 s 6 r. (Lelecteur prudent vérifiera que la preuve de la Proposition 6.114 fournit aussi des ra�nements par des ouvertsdistingués.)

Notons t1 “ pt1, . . . , tr´1,Hq. On peut voir OpVrq comme un sous-�-anneau de FracpOpYpp t1 ssqrrtrssq.Ceci dit, le Lemme 6.121 ci-dessous (pour la seconde égalité) et l’hypothèse de récurrence (pour la troisièmeégalité), montrent que

OpVrq�“0 “ OpVrq X FracpOpYpp t1 ssqrrtrssq�“0

“ OpVrq X FracpOpYpp t1 ssq�“0rrtrssq“ OpVrq X FracpOpXpp t1 ssqrrtrssq.

On peut donc écrire f {g “ f 1{g1 avec f 1, g1 P OpXpp t1 ssqrrtrss.Puisque le morphisme Y // X est la projection d’un espace a�ne, on peut lui trouver une section s :

X // Y telle que spXq X V0 , H. D’après le Lemme 6.117, il s’ensuit que � X spXq , H avec � “pV0, . . . ,Vrq.

Considérons les pro-schémas YspXqpp t ss et YspXqpp t1 ss. On dispose de morphismes naturels

� : Xpp t ss // YspXqpp t ss et �1 : Xpp t1 ss // YspXqpp t1 ss.Les séries formelles f , g, f 1 et g1 sont des éléments de OpYspXqpp t1 ssqrrtrss. De plus, la composition de g avecle morphisme

� “ plim�1qrrtrss :`lim YspXqpp t1 ss˘ rrtrss // plim Xpp t1 ssq rrtrss

240 JOSEPH AYOUB

n’est pas nulle. Pour s’en convaincre, on utilise le carré commutatif`lim YspXqpp t1 ss˘ rrtrss �

//

✏✏

plim Xpp t1 ssq rrtrss

✏✏

lim YspXqpp t ss �// lim Xpp t ss,

où la flèche verticale de droite est dominante et le fait que la fonction rationnelle composée g ˝ � est nonnulle (puisque � X spXq ,H).

Ceci dit, il est maintenant facile de conclure. En e↵et, l’égalité f ¨ g1 “ f 1 ¨ g est valide dans l’anneauOpYspXqpp t1 ssqrrtrss. En lui appliquant le morphisme ´ ˝ � et en utilisant les identités

f ˝ � “ f ˝ �, g ˝ � “ g ˝ �, f 1 ˝ � “ f 1 et g1 ˝ � “ g1,

on se retrouve avec l’identité p f ˝ �q ¨ g1 “ f 1 ¨ pg ˝ �q dans OpXpp t1 ssqrrtrss. Puisque g ˝ � , 0 et g1 , 0, ils’ensuit que f {g “ p f ˝�q{pg ˝�q. Puisque f ˝� et g ˝� sont dans OpXpp t ssq, ceci permet de conclure. ⌅Lemme 6.121. — Soit � un ensemble fini de dérivations et soit K un pQ,�q-corps. Soit t “ pt1, . . . , tnq un

système d’indéterminées et faisons agir � sur les coe�cients des séries formelles en t. Alors, on a

FracpKrrtssq�“0 “ FracpK�“0rrtssq.

Démonstration. — Par récurrence sur le cardinal de �, il su�t de traiter le cas où � “ tBu est un singleton.Soit F un élément de FracpKrrtssqB“0 et écrivons F “ f {g avec f et g dans Krrtss. Puisque Krrtss estfactoriel, on peut supposer que les séries formelles f et g sont premières entre elles.

L’hypothèse BpFq “ 0 équivaut à l’égalité f ¨ Bpgq “ g ¨ Bp f q. Par le lemme de Gauss, on trouve que fdivise Bp f q et que g divise Bpgq. Plus précisément, il existe une série formelle u P Krrtss telle que Bp f q “ u¨ fet Bpgq “ u ¨ g.

Soit u0 “ u ´ c, avec c “ up0, . . . , 0q, la série formelle sans terme constant et ayant les mêmes monômesde degré non nul que u. Posons

e “ exppu0q “ÿ

nPN

1n!

pu0qn.

C’est une série formelle inversible dans Krrtss. Clairement, les séries formelles e´1 ¨ f et e´1 ¨ g vérifientl’équation di↵érentielle Bpyq “ c ¨ y.

L’ensemble ta P K; Bpaq “ cäu, des solutions dans K de cette équation di↵érentielle, est un KB“0-espacevectoriel de dimension au plus 1 ; on en fixe un générateur ✏. Il s’ensuit aussitôt que si h P Krrtss vérifieBphq “ c ¨ h, alors les coe�cients de h sont dans KB“0 ¨ ✏. Autrement dit, l’ensemble th P Krrtss; Bphq “c ¨ hu, des solutions dans Krrtss de notre équation di↵érentielle, est un KB“0rrtss-module engendré par ✏.(Remarquons au passage que ceci montre que ✏ , 0 puisque l’équation di↵érentielle Bpyq “ c ¨ y possèdedes solutions non nulles dans Krrtss, à savoir e´1 ¨ f et e´1 ¨ g.)

La discussion précédente montre que f et g sont dans le sous-KB“0rrtss-module de Krrtss engendré pare ¨ ✏. Ceci montre bien que f {g est dans FracpKB“0rrtssq. ⌅

On termine la sous-section avec une application importante ; c’est cette application qui servira en pra-tique. Nous introduisons d’abord une notation.Notation 6.122. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, réduit et admettant un nombre fini

de composantes irréductibles. Soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterminées. Si pU0, . . . ,Ur´1qest un indice du pro-schéma Xpp t ss, alors les Us possèdent des structures naturelles de feuilletage construitespar récurrence de la manière suivante.

(1) La structure de feuilletage sur U0 est celle induite de la structure de feuilletage de X via l’inclusionU0 ãÑ X.


(2) Pour 1 6 s 6 r ´ 1, la structure de feuilletage sur Us est induite, via l’inclusion Us ãÑ Us´1rrtsss,de la structure de feuilletage sur Us´1rrtsss qui est obtenue de la structure de feuilletage sur Us´1 enappliquant la Construction 6.80.

On note Ur{F le k-feuilletage ainsi obtenu. L’association pU0, . . . ,Urq Ur{F définit alors un pro-k-feuilletage Xpp t ss{F qui est di↵érentiellement étale au-dessus de Xrt1, . . . , trs{F. ⇤Théorème 6.123. — Soit X un schéma réduit ayant un nombre fini de composantes irréductibles et soit

Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique dans FtF{X. Supposons donné un r-uplet de systèmesd’indéterminées t “ pt1, . . . , trq.

Soit F un complexe de préfaisceaux sur FtF{Xpp t ss borné à gauche et homotopiquement pré-continu.Soit G un remplacement projectivement ft-fibrant de F. Si tr “ H, alors le morphisme évident

GpXpp t ss{Fq // Tot GpY‚pp t ss{G‚qest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Lorsque Y est un hyper-recouvrement de Cech, le résultat en question est une consé-quence immédiate du Théorème 6.118 joint au Corollaire 6.101. Le cas général s’en déduit en adaptant laméthode de la preuve du Théorème 3.144. Les détails seront fournis dans la version finale. ⌅

6.9. Étude locale de la cohomologie feuilletée, I. Préliminaires. —Dans cette sous-section et celle qui suivra on établit quelques résultats généraux qui serviront dans l’étude

locale de la cohomologie feuilletée qui sera menée dans les Sous-sections 6.11, 6.12 et 6.16. On commencepar le résultat suivant.Proposition 6.124. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma. On suppose que, pour i P I, Xi est intègre et

que, pour j 6 i dans I, le morphisme Xj // Xi est dominant. Alors, pour un système d’indéterminéest “ pt1, . . . , tnq, le schéma lim Xpptss est local, noethérien et de dimension de Krull n.Démonstration. — Étant donné un corps k, il est bien connu que l’anneau krrtss est local, noethérien et dedimension de Krull n. La proposition à démontrer est une généralisation de ce fait classique. À vrai dire, lapreuve de cette généralisation est essentiellement la même que la preuve du cas classique ; nous l’incluonstoutefois pour la commodité du lecteur.

Le Lemme 6.125(a) ci-dessous montre que OpXpptssq est local d’idéal maximal le noyau du morphismed’évaluation f f p0, . . . , 0q. Il reste donc à montrer que OpXpptssq est noethérien de dimension de Krulln. La stratégie consiste à démontrer le fait suivant :

pFq si f P OpXppt1, . . . , tnssq r t0u n’est pas inversible, alors, quitte à faire un changement de variableslinéaire inversible, le morphisme

lim Xppt1, . . . , tnss{p f q // lim Xppt1, . . . , tn´1ssest fini et surjectif.

Le résultat s’ensuit alors par récurrence sur n (le cas n “ 0 étant trivial). En fait, pour que pFq soit litté-ralement vrai, il faut supposer que le corps FracpOpXqq est infini. Or, on peut bien supposer cela dans lasuite car si OpXq était fini, le pro-objet X serait isomorphe (dans le catégorie des pro-objets) au spectre d’uncorps fini, et on peut alors invoquer le cas classique de la proposition pour conclure.

Dans le reste de la preuve, on suppose que le corps FracpOpXqq est infini et on cherche à montrer pFq.D’après le Lemme 6.125(b) ci-dessous, quitte à faire un changement de variables linéaire inversible, onpeut supposer qu’il existe un entier N P N tel que le coe�cient de tN

n dans f soit non nul dans FracpOpXqq.Prenons N minimal. Puisque f n’est pas inversible dans OpXpptssq, le Lemme 6.125(a) ci-dessous montreque nécessairement N > 1. D’après le Lemme 6.126 ci-dessous, on peut écrire d’une manière unique

f “ u ¨˜

tNn `

Nÿ

i“1

gi ¨ tNín

¸

242 JOSEPH AYOUB

avec u P OpXppt1, . . . , tnssqˆ et g1, . . . , gN P OpXppt1, . . . , tn´1ssq sans terme constant (i.e., gip0, . . . , 0q “ 0pour 1 6 i 6 N).

Appelons P “ tNn ` ∞N

i“1 gi ¨ tN´1n considéré comme polynôme en tn à coe�ent dans OpXppt1, . . . , tn´1ssq.

Pour s P N, appelons Rpsq le reste de la division euclidienne de tsn par P.

Soient ↵ P I et U Ä X↵ un ouvert a�ne non vide tel que u et les gi, pour 1 6 i 6 N, soient à coe�cientsdans OpUq. Notons J Ä OpUqrrt1, . . . , tn´1ss l’idéal engendré par les ti, pour 1 6 i 6 n ´ 1. Nous allonsmontrer que Rpsq P Jts{Nurtns. En e↵et, écrivons s “ q ¨ N ` r avec q “ ts{Nu. Alors, Rpsq est aussi le restede la division euclidienne de E “

´´∞N

i“1 gi ¨ tNín

¯q ¨ trn par P. Or, puisque les gi sont sans terme constant,

on a E P Jqrtns. L’algorithme de la division euclidienne de E par P montre par récurrence que le reste decette division, à savoir Rpsq, est à coe�cients dans Jq.

Ceci dit, on voit aussitôt que pour

h “8ÿ

s“0

hipt1, . . . , tn´1q ¨ tsn P OpUqrrt1, . . . , tnss,

l’expression Rphq “ ∞8s“0 hi ¨ Rpsq définit un polynôme à coe�cients dans OpUqrrt1, . . . , tn´1ss (i.e., un

élément de OpUqrrt1, . . . , tn´1ssrtns) de degré au plus N ´ 1. De plus, par construction, la série formelleh ´ Rphq est divisible par P. En e↵et, si Qpsq est le quotient de la division euclidienne de ts

n par P, alors, pourm > 0 , on a Qps`mq ´ tm

n ¨ Qpsq P Jts{Nurtns ce qui découle aussitôt du fait que Rpsq P Jts{Nurtns. Ceci montreque l’expression Qphq “ ∞8

s“0 hi ¨ Qpsq définit un élément de OpUqrrt1, . . . , tnss tel que h “ Qphq ¨ P ` Rphq.Il est maintenant aisé de conclure. En e↵et, en faisant varier ↵ et U, l’association h Rphq définit un

isomorphisme OpXppt1, . . . , tn´1ssq-linéaire

OpXppt1, . . . , tnssq{p f q »N´1à

i“0OpXppt1, . . . , tn´1ssq ¨ ti

n

montrant bien que lim Xppt1, . . . , tnss{p f q est fini et surjectif au-dessus de lim Xppt1, . . . , tn´1ss. ⌅Lemme 6.125. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 6.124 et supposons donnée

une série formelle f P OpXppt1, . . . , tnssq. Alors, on a les propriétés suivantes.(a) La série formelle f est inversible dans l’anneau OpXppt1, . . . , tnssq si et seulement si son terme constant

f p0, . . . , 0q P FracpOpXqq est non nul.(b) Fixons un sous-corps infini K Ä FracpOpXqq. Alors, si f est non nulle, il existe une matrice inversible

pAi, jq16i, j6n P GLnpKq telle que

gpt1, . . . , tnq “ f p∞nj“1A1, j ¨ t j, . . . ,

∞nj“1An, j ¨ t jq

vérifie la propriété suivante : il existe un entier N P N tel que le coe�cient de tNn dans g est non nul.

De plus, l’ensemble des matrices de GLnpKq qui conviennent est l’ensemble des K-points d’un ouvertZariski dense du schéma GLn bZ K.

Démonstration. — En e↵et, par construction, il existe ↵ P I et un ouvert a�ne non vide U Ä X↵ telque f P OpUqrrtss. Supposons d’abord que le terme constant de f est non nul. Pour démontrer que f estinversible, on remarque que quitte à rétrécir U, on peut supposer que f p0, . . . , 0q appartient à OpUqˆ. Ils’ensuit alors que f est inversible dans OpUqrrtss et donc à fortiori dans OpXpptssq.

Supposons maintenant que f “ ∞⌫PNn a⌫ ¨ t⌫ est non nulle. Il existe alors un entier N P N tel que la partie

homogène de degré N, à savoir∞

|⌫|“N a⌫ ¨ t⌫, est non nulle. La partie homogène de degré n de g est alorsdonnée par ÿ

|⌫|“N

a⌫ ¨ p∞nj“1A1, j ¨ t jq⌫1 ¨ ¨ ¨ p∞n

j“1An, j ¨ t jq⌫n .

La condition que le coe�cient de tNn soit non nulle équivaut alors à la condition

∞|⌫|“N a⌫ ¨ A⌫1

1,n ¨ ¨ ¨ A⌫nn,n , 0

qui définit un ouvert Zariski non vide du schéma GLn bZ FracpOpXqq. Puisque le corps K est infini, lespoints K-rationnels de GLn bZ FracpOpXqq forment une partie Zariski dense. L’ouvert en question possède


donc des points K-rationnels. La dernière assertion de (b) découle du fait que le morphisme de schémasGLn bZ FracpOpXqq // GLn bZ K est ouvert. ⌅

Pour un anneau de séries formelles à coe�cients dans un corps, le résultat suivant est classique ; c’est lethéorème de préparation de Weiestrass.Lemme 6.126. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 6.124 et supposons donnée

une série formelle f P OpXppt1, . . . , tnssq. Supposons que la série formelle f p0, . . . , 0, tnq est non nulle etappelons N sa valuation tn-adique. Autrement dit, N est le plus petit entier naturel tel que le coe�cient detNn dans f soit non nul. Alors, il existe un unique pN ` 1q-uplet pu, b1, . . . , bNq, avec u P OpXppt1, . . . , tnssq et,

pour 1 6 i 6 N, bi P OpXppt1, . . . , tn´1ssq, tel que f “ u¨´

tNn ` ∞N

i“1 bi ¨ tNín

¯. De plus, u est nécessairement

inversible et bip0, . . . , 0q “ 0 pour tout 1 6 i 6 N.Démonstration. — La preuve est la même que celle du cas classique (i.e., celui où X est le spectre d’uncorps). Pour la commodité du lecteur, nous fournissons les détails. On divise l’argument en deux parties.Dans la première partie on établit une variante amplifiée de l’unicité qui sera utilisée dans la seconde partieoù l’on démontre l’existence.

Dans cette preuve, étant données des séries formelles h, h1 P OpXppt1, . . . , tnssq, on écrit « h “ h1 ` optsnq »

pour signifier que h ´ h1 est un multiple de tsn.

Partie A : Ici, nous montrons la propriété pPq qui entraîne l’unicité dans l’énoncé. (Appliquer pPq avecw “ u´1 ´ u1´1 pour un choix de deux pN ` 1q-uplets pu, b1, . . . , bNq et pu1, b1

1, . . . , b1Nq.)

pPq Soit w P OpXpptssq une série formelle telle que w ¨ f “ P ` optN`s`1n q avec P P OpXppt1, . . . , tn´1ssqrtns

un polynône de degré au plus N ´ 1 en tn. Alors, on a w “ opts`1n q.

On ne restreint pas la généralité en supposant que FracpOpXqq est infini. On utilisera cette hypothèsepour se ramener au cas n “ 2. En e↵et, si w est un contre-exemple à pPq, il existe une matrice lignepl1, . . . , ln´1q P FracpOpXqqn telle que wpl1 ¨ t1, . . . , ln´1 ¨ tn´1, tnq , opts`1

n q ce qui fournit aussi un contre-exemple à la propriété recherchée dans le cas de deux variables.

Supposons dans la suite de cette partie que t “ pt1, t2q et n “ 2. Étant donnée une série formelle h, onécrira ci, jphq le coe�cient de ti

1t j2 dans h. Nous allons montrer par récurrence sur d P N que cd,ipwq “ 0 pour

0 6 i 6 s.Fixons donc un entier d P N et supposons que ce,ipwq “ 0 pout 0 6 e 6 d ´ 1 et 0 6 i 6 s. Employons

une nouvelle récurrence, sur i maintenant, pour montrer que cd,ipwq “ 0, i.e., fixons 0 6 i 6 s et supposonsque cd, jpwq “ 0 pour 0 6 j 6 i ´ 1. L’inspection du coe�cient cd,Nìpw ¨ f q, les hypothèses de récurrenceet les annulations c0,lp f q “ 0 pour 0 6 l 6 N ´ 1 fournissent :

0 “ cd,Nìpw ¨ f q “ÿ

06e6d

ÿ

06l6Nì

ce,Nì´lpwq ¨ cdé,lp f q “ÿ

N6l6Nì

cd,Nì´lpwq ¨ c0,lp f q “ cd,ipwq ¨ c0,Np f q.

Puisque c0,Np f q est inversible, on obtient l’annulation cd,ipwq “ 0 recherchée.Partie B : Par construction, il existe un indice ↵ P I et un ouvert a�ne U Ä X↵ tels que f P Orrtss.Quitte à rétrécir U, on peut supposer que la coe�cient de tN

n dans f est inversible dans OpUq. Ainsi, enécrivant f “ ∞8

s“0 aspt1, . . . , tn´1q ¨ tsn, on trouve que aN est inversible dans OpUqrrt1, . . . , tn´1ss. Nous allons

construire u et les bi comme des séries formelles à coe�cients dans OpUq.Plus précisément, nous allons construire par récurrence sur s P N des séries formelles inversibles vpsq P

pOpUqrrt1, . . . , tnssqˆ telles que, si l’on pose f psq “ vp0q ¨ ¨ ¨ vpsq ¨ f , alors on a

f psq “˜

tNn `

Nÿ

i“1

bpsqi ¨ tNí

n

¸

` optN`s`1n q

avec, pour 1 6 i 6 N, bpsqi le coe�cient de tNí

n de f psq vu comme polynôme en tn.Pour commencer, on prendra vp0q “ a´1

N ; on a alors bp0qi “ a´1

N ¨ aNí. Supposons maintenant que vpiq estconstruite pour 0 6 i 6 s ´ 1 et expliquons comment construire vpsq. Par l’hypothèse de récurrence, il existe

244 JOSEPH AYOUB

une série formelle h P OpUqrrt1, . . . , tn´1ss telle que

f ps´1q “˜

tNn `

Nÿ

i“1

bps´1qi ¨ tNí

n

¸

` h ¨ tN`sn ` optN`s`1

n q.

La division euclidienne de tN`sn par le polynôme unitaire tN

n ` ∞Ni“1 bps´1q

i tNín fournit deux polynômes

Q, R P OpUqrrt1, . . . , tn´1ssrtns, avec R de degré au plus N ´ 1, tels que

tN`sn “ Q ¨

˜

tNn `

Nÿ

i“1

bps´1qi ¨ tNí

n

¸

` R.

Remarquons que Q est unitaire de degré s et que ses autres coe�cients sont sans terme constant. De même,tous les coe�cients de R sont sans terme constant. Ceci dit, on a

Q ¨ f ps´1q “ ´R ` p1 ` Q ¨ hq ¨ tN`sn ` optN`s`1

n q,“ ´R ` p1 ` q0 ¨ hq ¨ tN`s

n ` optN`s`1n q,

où q0 “ Q|tn“0 est le coe�cient de t0n dans Q. Il s’ensuit que

ˆ1 ´ Q ¨ h

1 ` q0 ¨ h

˙¨ f ps´1q “

˜

tNn `

Nÿ

i“1

bps´1qi ¨ tNí

n

¸

` R ¨ h1 ` q0 ¨ h

` optN`s`1n q.

Il su�t donc de prendre vpsq “ 1 ´ p1 ` q0 ¨ hq´1 ¨ Q ¨ h “ 1 ´ Q ¨ h ¨ ∞8i“0p´q0 ¨ hq´1.

À présent, il est facile de conclure. En e↵et, d’après la partie A, la suite wpsq “ vp0q ¨ ¨ ¨ vpsq vérifie wps`1q “wpsqòpts`1

n q. Elle converge donc vers une série formelle w “ limsÑ8wpsq. Cette dernière est nécessairementinversible puisque son terme constant est donné par aNp0, . . . , 0q´1. ⌅Remarque 6.127. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 6.124 et supposons donnéun schéma de type fini Y au-dessus de lim Xpptss. Puisque lim Xpptss est noethérien, il existe d’après [26,Théorème 8.8.2] un triplet pi,U,Yiq avec i P I, U Ä Xi un ouvert a�ne non vide et Yi un schéma de typefini au-dessus de Urrtss tel que

Y “ limj6i,VÄpX jÑXiq´1pUq

Vrrtss Ûrrtss Yi. (287)

De plus, le triplet pi,U,Yiq est essentiellement unique au sens suivant. Si pi1,U 1,Yi1q est un autre tripletvérifiant la même propriété, il existe j 6 i, i1 dans I, un ouvert a�ne non vide V Ä Xj contenu dansles images inverses de U et U 1, et un isomorphisme de Vrrtss-schémas Vrrtss Ûrrtss Yi » Vrrtss Û1rrtss Y 1

i1compatible aux isomorphismes du type (287). ⇤

Pour une utilisation future, on note le résultat suivant.Corollaire 6.128. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 6.124. Fixons un sous-

corps infini K Ä FracpOpXqq. Supposons donné un sous-schéma fermé irréductible Z Ä lim Xppt1, . . . , tnssde codimension c. Alors, quitte à faire un changement de variables par une matrice dans GLnpKq, on peutsupposer que la composition de

Z ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tnćssest un morphisme fini et surjectif. De plus, l’ensemble des matrices de GLnpKq qui conviennent est l’en-semble des K-points d’un ouvert Zariski dense du schéma GLn bZ K.Démonstration. — On raisonne par récurrence sur c. Si c “ 0, il n’y a rien à montrer. Supposons donc quec > 1 et que le résultat est connu pour les fermés de codimension c ´ 1. Soit f P OpXppt1, . . . , tnssq r t0uune fonction qui s’annule partout sur Z. D’après pFq (voir la preuve de la Proposition 6.124), quitte à faireun changement de variables linéaire inversible, le morphisme

� : lim Xppt1, . . . , tnss{p f q // lim Xppt1, . . . , tn´1ssest fini et surjectif. (Ce changement de variables linéaire étant fournit par le le Lemme 6.125(b), on peutbien supposer qu’il est donné par une matrice à coe�cients dans K.) Or, Z est de codimension c ´ 1


dans lim Xppt1, . . . , tnss{p f q (ce dernier étant partout de codimension 1 dans lim Xppt1, . . . , tnss). Il s’ensuitque �pZq est de codimension c ´ 1 dans lim Xppt1, . . . , tn´1ss. De plus, le morphisme Z // �pZq est fini etsurjectif. L’hypothèse de récurrence appliquée à �pZq permet donc de conclure. ⌅Corollaire 6.129. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 6.124. Alors l’anneau

local OpXpptssq est régulier et hensélien. De plus, si le corps FracpOpXqq est de caractéristique nulle, alorsl’anneau OpXpptssq et excellent.Démonstration. — D’après la Proposition 6.124, on sait que l’anneau OpXpptssq est local, noethérien et dedimension de Krull n. Or, son idéal maximal est engendré par la suite régulière t1, . . . , tn. Ceci montre quecet anneau est régulier. Pour montrer qu’il est hensélien, on se donne une OpXpptssq-algèbre étale E telle quele morphisme évident FracpOpXqq // E{pt1, . . . , tnq soit inversible. On peut alors trouver un indice i P I,un ouvert a�ne non vide U Ä Xi et une OpUqrrtss-algèbre étale F telle que E » F bOpUqrrtss OpXpptssq.Quitte à ra�ner le couple pi,Uq dans l’ensemble des indices du pro-schéma Xpptss, on peut supposer que lemorphisme évident OpUq // F{pt1, . . . , tnq est inversible. Il s’ensuit que le morphisme canonique

OpUqrrt1, . . . , tnss // F{{pt1, . . . , tnq,où « p´q{{pt1, . . . , tnq » désigne la complétion formelle relativement à l’idéal pt1, . . . , tnq, est un isomor-phisme. Ceci fournit une décomposition F » OpUqrrtss ˆ F 1 de la OpUqrrtss-algèbre étale F. Il s’ensuit unedécomposition E » OpXpptssq ˆ E1 de la OpXpptssq-algèbre étale E.

Enfin, supposons que FracpOpXqq est de caractéristique nulle. Le fait que l’anneau OpXpptssq est excellentdécoule immédiatement de [40, Theorem 102] en prenant l’ensemble des dérivations � “ pB1, . . . , Bnqagissant trivialement sur les coe�cients des séries formelles et par Bipt jq “ �i j sur les indéterminées. ⌅

6.10. Étude locale de la cohomologie feuilletée, II. Préliminaires (suite). —On continue dans cette section la liste des résultats généraux qui serviront dans l’étude locale de la

cohomologie feuilletée qui sera menée dans les Sous-sections 6.11, 6.12 et 6.16.Notation 6.130. — Soient X “ pXiqiPI et Y “ pYjq jPJ deux pro-schémas et soit Y // X un morphisme depro-schémas. On suppose les conditions suivantes satisfaites.

(i) Pour i P I, Xi est intègre et, pour i1 6 i dans I, Xi1 Ñ Xi est dominant. De même, pour j P J, Yj estintègre et, pour j1 6 j dans J, Yj1 Ñ Yj est dominant.

(ii) Notons � : I // J l’application croissante sous-jacente au morphisme Y // X. Alors, pour i P I, lemorphisme Y�piq // Xi est a�ne et dominant.

Étant donné un système d’indéterminées t “ pt1, . . . , tnq, on dispose d’un morphisme canonique de pro-schémas Ypptss // Xpptss. On note

� : lim Ypptss // lim Xpptssle morphisme obtenu en passant à la limite. Clairement, � est dominant. ⇤Proposition 6.131. — Adoptons les Notations 6.130. Soit Z Ä lim Xpptss un fermé et supposons que la

composition deZ ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tnćss

est un morphisme fini pour un certain entier 0 6 c 6 n. Notons T “ �´1pZq. Alors, la composition de

T ãÑ lim Yppt1, . . . , tnss // lim Yppt1, . . . , tnćssest aussi un morphisme fini. De plus, le carré

T //

✏✏

lim Yppt1, . . . , tnćss✏✏

Z // lim Xppt1, . . . , tnćssest cartésien.

246 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Il est su�t de montrer que le carré de l’énoncé est cartésien. On divise la preuve endeux parties.Partie A : Remarquons d’abord qu’il su�t de traiter le cas c “ 1. En e↵et, si ce cas est connu, on déduit lecas général par récurrence de la manière suivante. L’hypothèse sur Z au rang c entraîne l’hypothèse sur Zau rang c ´ 1. En particulier, par l’hypothèse de récurrence, on peut supposer que le carré

T //

✏✏

lim Yppt1, . . . , tnć`1ss�nć`1✏✏

Z // lim Xppt1, . . . , tnć`1ssest cartésien. Notons Z0 et T0 les images des flèches horizontales. Alors, nécessairement T0 “ p�nć`1q´1pZ0qet le carré

T //

✏✏

T0

✏✏

Z // Z0

est cartésien. Par ailleurs, puisque la composition de

Z0 ãÑ lim Xppt1, . . . , tnć`1ss // lim Xppt1, . . . , tnćssest encore un morphisme fini, il s’ensuit (par le cas c “ 1 de l’énoncé) que le carré

T0//

✏✏

lim Yppt1, . . . , tnć`1ss�nć✏✏

Z0// lim Xppt1, . . . , tnćss

est cartésien. Ceci permet de conclure.Partie B : On traite ici le cas c “ 1. Notons J l’idéal des fonctions régulières sur lim Xpptss qui s’annulentsur Z. Puisque la composition de

Z ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tn´1ssest un morphisme fini, on déduit que Z{pt1, . . . , tn´1q est un fermé strict de lim Xpptnss. Autrement dit, ilexiste f P J tel que f p0, . . . , 0, tnq , 0. Soit N la valuation tn-adique de f p0, . . . , 0, tnq.

D’après le Lemme 6.126, on peut supposer que f “ P avec P P OpXppt1, . . . , tn´1ssqrtns un polynômeunitaire de degré N en tn vérifiant de plus Pp0, . . . , 0, tnq “ tN

n . La preuve de la Proposition 6.124 (et plusprécisément celle du fait pFq) montre que le morphisme évident

lim Xppt1, . . . , tnss{pPq // lim Xppt1, . . . , tn´1ssrtns{pPqest un isomorphisme, et de même pour X remplacé par Y . En particlulier, on peut supposer que Z et T sontdes fermés de lim Xppt1, . . . , tn´1ssrtns{pPq et lim Yppt1, . . . , tn´1ssrtns{pPq respectivement. Les deux carrés dudiagramme commutatif

T //

✏✏

lim Yppt1, . . . , tn´1ssrtns{pPq //

✏✏

lim Yppt1, . . . , tn´1ss✏✏

Z // lim Xppt1, . . . , tn´1ssrtns{pPq // lim Xppt1, . . . , tn´1sssont cartésiens. Ceci permet donc de conclure. ⌅

On enchaîne avec le résultat suivant.Proposition 6.132. — Adoptons les Notations 6.130. Si Z Ä lim Ypptss est un fermé irréductible de

codimension c, alors �pZq Ä lim Xpptss est un fermé irréductible de codimension plus petite ou égale à c :

codimp�pZqq 6 codimpZq.


Démonstration. — Seule la dernière assertion mérite une preuve. Pour simplifier, on supposera que le corpsFracpOpXqq est infini. Notons d la codimension de �pZq.

D’après le Corollaire 6.128, on peut supposer que les compositions deZ ãÑ lim Yppt1, . . . , tnss // lim Yppt1, . . . , tnćss

et �pZq ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tn´dsssont finies et surjectives. Puisque lim Yppt1, . . . , tnćss // lim Xppt1, . . . , tnćss est dominant, il s’ensuit quela composition de

�pZq ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tnćssest dominante. Ainsi, si d ° c, on a un triangle commutatif de schémas

�pZq //

))

lim Xppt1, . . . , tnćss

✏✏

lim Xppt1, . . . , tn´dssoù la flèche oblique est finie et surjective et la flèche horizontale est dominante. Il s’ensuit que la flècheverticale est finie et surjective, ce qui est absurde puique tnć n’est pas algébrique sur OpXppt1, . . . , tn´dssq.⌅Corollaire 6.133. — Soient X, Y et Z trois pro-schémas satisfaisant à la condition (i) de la Notation

6.130 et soient Y // X et Z // Y deux morphismes de pro-schémas satisfaisant à la condition (ii) de laNotation 6.130. Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées et considérons les morphismes canoniques

� : lim Ypptss // lim Xpptss et : lim Zpptss // lim YpptssSoit T Ä lim Zpptss un fermé irréductible. Si codimpT q “ codimp� ˝ pT qq, alors on a aussi codimpT q “codimp pT qq.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Proposition 6.132. ⌅Proposition 6.134. — Adoptons les Notations 6.130. Supposons de plus que FracpOpXqq est de caractéris-tique nulle et qu’il est algébriquement clos dans FracpOpYqq. Alors, le morphisme � est géométriquementirréductible.Démonstration. — On divise la preuve en deux parties.Partie A : Ici, on démontre que � est génériquement géométriquement irréductible. Autrement dit, nousallons montrer que le corps FracpOpXpptssqq est algébriquement clos dans son extension FracpOpYpptssqq.

Remarquons d’abord que OpYpptssq est une OpXpptssq-algèbre régulière. En e↵et, d’après le Corollaire6.129, les anneaux OpXpptssq et OpYpptssq sont excellents. En particulier, FracpOpXqqrrtss est régulier au-dessus de OpXpptssq, et de même avec X remplacé par Y . Il est donc su�sant de montrer que FracpOpYqqrrtssest régulier au-dessus de FracpOpXqqrrtss. Ceci découle du fait que les morphismes

FracpOpXqqrrtss //`FracpOpYqq bFracpOpXqq FracpOpXqqrrtss˘

m// FracpOpYqqrrtss,

avecm “ pt1, . . . , tnq, sont réguliers. Pour le second morphisme, on utilise [40, Theorem 102] pour s’assurerque l’anneau du milieu est excellent.

Ceci dit, le théorème de Popescu [43, 44] permet d’écrire OpYpptssq comme une colimite filtrante deOpXpptssq-algèbres lisses et connexes. Il est alors su�sant de démontrer le fait suivant. Étant donnée uneOpXpptssq-algèbre lisse et connexe E munie d’un morphisme de OpXpptssq-algèbres E // FracpOpYqq, lecorps FracpOpXpptssqq est algébriquement clos dans son extension FracpEq.

Notons Ealg Ä E le sous-ensemble des éléments algébriques sur FracpOpXpptssqq. Clairement, FracpEalgqest la clôture algébrique de FracpOpXpptssqq dans FracpEq. Il est donc su�sant de montrer que Ealg »OpXpptssq. Or, d’après [10, Lemme 2.103], Ealg est une OpXpptssq-algèbre étale. De plus, elle est égale-ment munie d’un morphisme de OpXpptssq-algèbres Ealg // FracpOpYqq. L’image de ce morphisme est

248 JOSEPH AYOUB

une sous-extension algébrique de FracpOpYqq{FracpOpXqq. Puisque FracpOpXqq est supposé algébrique-ment clos dans FracpOpYqq, cette sous-extension est nécessairement triviale. Ceci fournit un morphisme deOpXpptssq-algèbres Ealg // FracpOpXqq.

Maintenant, le Corollaire 6.129 a�rme que l’anneau OpXpptssq est hensélien. Il s’ensuit que Ealg admetun facteur direct isomorphe à OpXpptssq. Puisque Ealg est connexe, on a nécessairement Ealg » OpXpptssqcomme souhaité.Partie B : Ici, on termine la preuve de la proposition. On raisonne par récurrence sur n. Lorsque n “ 0, lerésultat est donné par hypothèse. Supposons donc que n > 1 et que le résultat est connu pour n ´ 1.

Soit x un point de lim Xppt1, . . . , tnss. Si x est le point générique, la partie A permet de conclure. Dans lecas contraire, il existe f P OpXppt1, . . . , tnssq r t0u qui s’annule en x. Il est donc su�sant de montrer que lemorphisme

lim Yppt1, . . . , tnss{p f q // lim Xppt1, . . . , tnss{p f qest géométriquement irréductible.

Or, d’après le Corollaire 6.128, quitte à faire un changement de variables linéaire inversible, on peutsupposer que la composition de

lim Xppt1, . . . , tnss{p f q ãÑ lim Xppt1, . . . , tnss // lim Xppt1, . . . , tn´1ssest finie. D’après la Proposition 6.131, le carré

lim Yppt1, . . . , tnss{p f q //

✏✏

lim Yppt1, . . . , tn´1ss✏✏

lim Xppt1, . . . , tnss{p f q // lim Xppt1, . . . , tn´1ssest alors cartésien. L’hypothèse de récurrence permet donc de conclure. ⌅Corollaire 6.135. — Adoptons les Notations 6.130. Supposons de plus que FracpOpXqq est de caracté-

ristique nulle et qu’il est algébriquement clos dans FracpOpYqq. On a les propriétés suivantes.(a) Si Z Ä lim Xpptss est un fermé irréductible, alors�´1pZq est irréductible et codimpZq “ codimp�´1pZqq.(b) Si T Ä lim Ypptss est un fermé irréductible tel que codimpT q “ codimp�pT qq, alors T “ �´1p�pT qq.

Démonstration. — La première assertion découle aussitôt du fait que � est géométriquement irréductible.La seconde assertion découle de la première. ⌅

On arrive maintenant à un résultat clef pour la suite.Proposition 6.136. — Supposons donné un carré commutatif de schémas

Y 1 1//

�1✏✏

Y�✏✏

X1 // X

vérifiant les conditions suivantes.(i) Les schémas X, Y, X1 et Y 1 sont tous réduits et ont un nombre fini de composantes irréductibles.

(ii) Le morphisme � est de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.(iii) Le morphisme envoie un point générique de X1 sur un point générique de X.(iv) Le morphisme p�1, 1q : Y 1 // X1 ˆX Y envoie un point générique de Y 1 sur un point générique de

X1 ˆX Y.Soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterminées. Considérons le carré commutatif de schémas

lim Y 1pp t ss 1//

�1✏✏

lim Ypp t ss�✏✏

lim X1pp t ss // lim Xpp t ss.


Enfin, soit W 1 Ä lim Y 1pp t ss un fermé irréductible, et notons Z1 “ �1pW 1q, W “ 1pW 1q et Z “ pZ1q “�pWq. Alors, si codimpW 1q “ codimpZ1q “ codimpWq, on a aussi codimpW 1q “ codimpZq.Démonstration. — On divise la preuve en trois étapes. Dans la première on donne quelques dévissages.Dans la seconde on se ramène au cas de la codimension 1 qui sera traité dans la troisième étape.Étape 1 : Ici, on montre qu’il su�t de prouver la proposition sous les hypothèses plus restrictives suivantes.

(i1) Les schémas X, Y , X1 et Y 1 sont intègres.(ii1) Le X-schéma Y est un espace a�ne relatif de dimension au plus dénombrable.

(iii1) Le morphisme est dominant.(iv1) Le carré est cartésien, i.e., Y 1 “ X1 ˆX Y .

Le fait que l’on puisse remplacer (i) par (i1) est clair. En e↵et, quitte à remplacer les schémas X, Y , X1 etY 1 par des ouverts denses, on peut supposer que ce sont des coproduits finis de schémas intègres. Il su�talors de remplacer chacun de ces schémas par sa composante connexe qui contient l’image de W 1 par lemorphisme canonique.

Sous (i1), la condition (iii1) est alors une reformulation de (iii). Montrons maintenant comment remplacerY afin que la condition (ii1) soit aussi satisfaite. Quitte à remplacer Y par un ouvert non vide, on peut suppo-ser qu’il existe un morphisme étale de X-schémas Y // A avec A un espace a�ne relatif de dimension auplus dénombrable. Le morphisme canonique lim Ypp t ss // lim App t ss est alors un revêtement étale. Il s’en-suit que la codimension d’un fermé de lim Ypp t ss est égale à la codimension de son image dans lim App t ss.On peut donc remplacer Y par A dans le carré de l’énoncé sans altérer le contenu de la proposition.

Enfin, supposons que les conditions (i1)–(iii1) sont satisfaites et montrons comment remplacer Y 1 afin que(iv1) soit aussi satisfaite. Puisque le X-schéma Y est un espace a�ne relatif et que X1 est intègre, le schémaY 1

0 “ X1 ˆX Y est aussi intègre. D’après (iv), le morphisme Y 1 // Y 10 est dominant. On peut donc considérer

le morphisme induit ⌥ : lim Y 1pp t ss // lim Y 10pp t ss. Notons W 1

0 “ ⌥pW 1q. D’après le Corollaire 6.133, ona codimpW 1

0q “ codimpW 1q. On peut donc remplacer Y 1 et W 1 par Y 10 et W 1

0 sans changer le contenu de laproposition. Ceci termine le dévissage recherché.Étape 2 : À partir de maintenant, on travaille sous les hypothèses (i1)–(iv1) ci-dessus. Dans cette étape onsuppose que le résultat est connu lorsque codimpW 1q “ 1 et on explique comment en déduire le cas général.

On raisonne par l’absurde. Supposons donc donné un fermé W 1 Ä lim Y 1pp t ss vérifiant

codimpZq † codimpW 1q “ codimpWq “ codimpZ1q.Nous allons expliquer comment en déduire un contre exemple en codimension 1 ce qui permettra deconclure.

Appelons d “ codimpZq et c “ codimpW 1q. Si tr “ ptr,1, . . . , tr,nr q, on pose, pour 0 6 e 6 nr, tpéq “pt1, . . . , tr´1, ptr,1, . . . , tr,nréqq. Considérons les compositions suivantes :

�1e : W 1 ãÑ lim Y 1pp t ss // lim Y 1pp tpéq ss, �e : W ãÑ lim Ypp t ss // lim Ypp tpéq ss,↵1

e : Z1 ãÑ lim X1pp t ss // lim X1pp tpéq ss, ↵e : Z ãÑ lim Xpp t ss // lim Ypp tpéq ss,D’après le Corollaire 6.128, quitte à faire un changement de variable linéaire inversible, on peut supposerque les morphismes �1

c, �c, ↵1c et ↵d sont finis et surjectifs. Il s’ensuit que les morphismes �1

c`1, �c`1 et ↵1c`1

sont finis et les images �1c`1pW 1q, �c`1pWq et ↵1

c`1pZ1q sont de codimension 1. Par ailleurs, puisque d > c`1,le morphisme ↵c`1 est surjectif.

Ceci montre que le fermé �1c`1pW 1q Ä lim Y 1pp tpć ´ 1q ss fournit un contre-exemple en codimension 1.

Étape 3 : Ici on termine la preuve de la proposition. D’après l’étape précédente, on peut supposer quecodimpW 1q “ codimpWq “ codimpZ1q “ 1 et on doit montrer que Z est un fermé strict de lim Xpp t ss.D’après le Corollaire 6.135, �1´1pZ1q est irréductible et W 1 “ �1´1pZ1q.

D’après le Corollaire 6.129, l’anneau OpY 1pp t ssq est factoriel. Il existe donc une série formelle g1 POpY 1pp t ssq telle que W 1 “ Zpg1q. De même, on peut trouver des séries formelles g et f 1 telles que W “ Zpgqet Z1 “ Zp f 1q. D’après ce qui précède, on peut supposer que f 1 “ g1 quitte à multiplier g1 par une unité

250 JOSEPH AYOUB

de OpY 1pp t ssq. Par ailleurs, puisque W 1 Ä 1´1pWq, il existe une série formelle h P OpY 1pp t ssq telle queg “ g1 ¨ h.

Pour résumer, on dispose de trois séries formelles

g P OpYpp t ssq, f 1 P OpX1pp t ssq et h P OpY 1pp t ssqtelles que f 1 ¨ h “ g. Pour conclure, nous devons montrer que f 1 divise un élément non nul de OpXpp t ssq.

Soit maintenant �1 “ pV 10, . . . ,V

1r´1q un indice du pro-schéma Y 1pp t ss tel que h, f 1 g P OpV 1

r´1qrrtrss.D’après la Proposition 6.114, quitte à ra�ner �1, on peut supposer que le morphisme Dpgq // V 1

r´1 (avecDpgq l’ouvert standard de V 1

r´1rrtrss défini par g) ainsi que les morphismes V 1s// V 1

s´1, pour 1 6 s 6 r ´ 1,sont fortement surjectifs. (La surjectivité forte de Dpgq // V 1

r´1 sera utile pour assurer la non nullité deg ˝ � ci-dessous.) Soit s : X // Y une section à � telle que la section s1 : X1 // Y 1 à �1 déduite de srencontre l’ouvert V 1

0. Une telle section existe car le X-schéma Y est un espace a�ne relatif. Notons

�1 : X1pp t ss // Y 1s1pX1qpp t ss et � : Xpp t ss // YspXqpp t ss

les morphismes déduits de s1 et s. Par construction, on a

g P OpYspXqpp t ssq, f 1 P OpX1pp t ssq et h P OpY 1s1pX1qpp t ssq,

et g ˝ � , 0 (car l’image de Dpgq dans Y rencontre spXq). En appliquant ´ ˝ �1 à l’égalité f 1 ¨ h “ g, ontrouve l’égalité

f 1 ¨ ph ˝ �1q “ g ˝ �valable dans OpX1pp t ssq. Ceci montre que f 1 divise la série formelle non nulle g ˝ � P OpXrrtrssq commesouhaité. ⌅

6.11. Étude locale de la cohomologie feuilletée, III. Préfaisceaux malléables. —Dans cette sous-section, on introduit et on étudie la classe des préfaisceaux malléables et presque mal-

léables. Avant de donner les définitions, on explique quelques abus de notation qui seront en vigueur danstoute cette sous-section et les deux qui suivront.Notation 6.137. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, réduit et ayant un nombre fini de

composantes irréductibles, et soit t “ pt1, . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterminées. Dans la suite,nous écrirons Xpp t ss{F, tantôt pour désigner le pro-k-feuilletage de la Notation 6.122, tantôt pour désignerla limite projective dudit pro-k-feuilletage. Sauf mention explicite du contraire, on observera les règlessuivantes.

(a) Soit U un schéma. Par « morphisme de schémas f : U // Xpp t ss » on entendra toujours un mor-phisme de U vers la limite projective du pro-schéma Xpp t ss. Vu la Remarque 6.127, si le morphismef est de type fini, on peut canoniquement lui associer un pro-schéma de limite projective U. Ce pro-schéma sera abusivement noté U. De plus, il existe un morphisme canonique de pro-schémas, notéabusivement f : U // Xpp t ss, qui est donné par une collection de morphismes de présentation finie,et qui redonne le morphisme dont on est parti par passage à la limite projective.

Si f est lisse, étale, quasi-fini, etc, on peut choisir le morphisme de pro-schémas f : U // Xpp t ssde sorte qu’il soit donné par des morphismes du même genre.

(b) Soit f : U // Xpp t ss un morphisme de type fini. Considérons U comme un pro-schéma et f commeun morphisme de pro-schémas comme dans (a). Alors, la structure de feuilletage sur le pro-schémaXpp t ss induit une structure de feuilletage sur le pro-schéma U. Le pro-k-feuilletage obtenu sera notéU{F. Sa limite coïncide avec le schéma U muni du k-feuilletage induit par le morphisme f , qui estégalement noté U{F.

Le cas qui nous intéressera est celui où le morphisme de schémas f : U // Xpp t ss est étale. Onpeut alors s’arranger pour que le morphisme de pro-k-feuilletages f : U{F // Xpp t ss{F soit donnépar des morphismes étales sur les k-schémas sous-jacents et donc, à fortiori, par des morphismesdi↵érentiellement étales de k-feuilletages. Il s’ensuit en particulier que le pro-k-feuilletage U{F estconstitué de k-feuilletages di↵érentiellement lisses.


(c) Soit F un préfaisceau sur SmFol{k à valeurs dans une catégorie possédant les colimites filtrantes. Onécrira FpXpp t ssq pour désigner la colimite des FppXpp t ssq↵q lorsque ↵ parcourt les indices du pro-k-feuilletage Xpp t ss. De même, étant donné un morphisme étale f : U // Xpp t ss, on écrira FpU{Fqpour désigner la colimite des FpU�q lorsque � parcourt les indices du pro-k-feuilletage U. ⇤

On est maintenant en mesure d’introduire les notions qui vont nous occuper dans le reste de cette sous-section. p48q

Définition 6.138. — Soit n P N un entier naturel. Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules surSmFol{k borné à gauche.

(a) Nous dirons que F est n-malléable s’il possède un remplacement projectivement ft-fibrant G véri-fiant la propriété ci-dessous. (Si cette propriété est satisfaite pour un remplacement projectivementft-fibrant, elle l’est aussi pour tous les autres.)

Quelles que soient les données suivantes :(1) un hyper-recouvrement générique Y‚{G // X{F avec X{F un k-feuilletage di↵érentielle-

ment lisse et intègre,(2) un r-uplet de systèmes d’indéterminées t “ pt1, . . . , trq tel que cardptrq 6 n,(3) un carré commutatif de morphismes de schémas semi-simpliciaux

V‚//

✏✏

U

✏✏

Y‚pp t ss // Xpp t sstel que les flèches verticales sont étales et le morphisme V‚ // U ˆXpp t ss Y‚pp t ss est unhyper-recouvrement étale relatif,

le morphismeGpU{Fq // Tot GpV‚{G‚q (288)

est un quasi-isomorphisme.(b) Nous dirons que F est presque n-malléable si le morphisme (288) est un quasi-isomorphisme quelles

que soient les données (1)–(3) vérifiant la condition supplémentaire que le morphisme U // Xpp t ssn’est pas surjectif si cardptrq “ n.

(c) Nous dirons que F est malléable s’il est n-malléable pour tout n P N. Il revient au même de demanderque F est presque n-malléable pour tout n P N.

Lemme 6.139. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche. AlorsF est presque 0-malléable. De plus, si G est un remplacement projectivement ft-fibrant de F, les deuxconditions suivantes sont équivalentes :

(a) F est n-malléable ;(b) F est presque n-malléable et satisfait la propriété ci-dessous.

Quelles que soient les données suivantes :

(1) un hyper-recouvrement générique Y‚{G // X{F avec X{F un k-feuilletage di↵érentielle-ment lisse et intègre,

(21) un r-uplet de systèmes d’indéterminées t1 “ pt1, . . . , tr´1,Hq et un système d’indéterminéestr tel que cardptrq “ n,

48. Pour la version finale, il va falloir réviser la notion de préfaisceaux malléables. En e↵et, il semble possible qu’en imposantl’acyclicité par rapport à une classe un peu plus grande de pro-k-feuilletages semi-cosimpliciaux coaugmentés, on arrive à une no-tion qui a des propriétés de stabilité bien meilleures. Notamment, cette nouvelle notion sera stable par l’opération RhompX{k,´qavec X un k-schéma lisse.

252 JOSEPH AYOUB

(31) un carré commutatif de morphismes de schémas semi-simpliciaux

V 1‚

//

✏✏

U 1

✏✏

Y‚pp t1 ss // Xpp t1 ss,tel que les flèches verticales sont étales, et le morphisme V 1

‚// U 1 ˆXpp t1 ss Y‚pp t1 ss est un

hyper-recouvrement étale relatif,

le morphisme GpU 1pptrss{Fq // Tot GpV 1‚pptrss{G‚q est un quasi-isomorphisme. (Le pro-schéma

U 1pptrss est celui de la Notation 6.108(b) appliquée à U 1 vu comme pro-schéma ; ceci s’appliqueégalement aux V 1

dpptrss.)Démonstration. — La condition de presque 0-malléabilité est vide puisque, si cardptrq “ 0, un morphismeU // Xpp t ss est surjectif à moins que le schéma U ne soit vide.

L’implication (a) ñ (b) est triviale. Réciproquement, supposons que la propriété (b) est satisfaite et mon-trons que F est n-malléable. Fixons des données (1)–(3) comme dans la Définition 6.138(a). Si cardptrq 6n´1, le morphisme (288) est un quasi-isomorphisme car F est presque n-malléable. On peut donc supposerque cardptrq “ n.

Dans la suite, on pose Y´1 “ X, V´1 “ U, etc. D’après le Corollaire 6.129, pour d P N\t´1u, le schémaYdpp t ss est une somme disjointe de schémas locaux henséliens. De plus, le morphisme évident

Ydpp t1 ss ãÑ Ydpp t ss,donné sur les fonctions régulières en envoyant les indéterminées de tr sur zéro, identifie Ydpp t1 ss au sous-schéma des points fermés de Ydpp t ss.

Pour d P N \ t´1u, notons V`d l’ouvert-fermé de Vd égal à l’union des composantes connexes de Vd

qui se surjectent sur une composante connexe de Ydpp t ss. D’après ce que l’on vient de dire, le morphismeV`

d// Ydpp t ss est fini et étale. De plus, en posant

V 1d “ Vd ˆYdpp t ss Ydpp t1 ss “ V`

d ˆYdpp t ss Ydpp t1 ss,on a un isomorphisme canonique de schéma semi-simpliciaux augmentés V‚ “ V 1

‚pptrss. La condition(b) de l’énoncé entraîne donc que le morphisme canonique GpU`{Fq // Tot GpV‚ {G‚q est un quasi-isomorphisme.

Désignons par p´q˝ le changement de base suivant l’immersion ouverte Xpp t ss r Xpp t1 ss ãÑ Xpp t ss.Puisque F est presque n-malléable, les morphismes

GpU˝{Fq // Tot GpV˝‚ {G‚q et GpU`˝{Fq // Tot GpV`˝

‚ {G‚qsont des quasi-isomorphismes. Vu les carrés distingués de schémas semi-simpliciaux augmentés

V`˝‚

//

✏✏

V‚

✏✏

V‚// V‚,

le résultat recherché s’ensuit. (Utiliser par exemple le Corollaire 6.106(c).) ⌅Proposition 6.140. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche. SiF est homotopiquement génériquement continu, alors F est 0-malléable.Démonstration. — Il s’agit d’une reformulation du Théorème 6.123. p49q ⌅

Le résultat principal de la présente sous-section est le suivant.Théorème 6.141. — Soit n > 1 un entier naturel. Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur

SmFol{k borné à gauche. Si F est pn ´ 1q-malléable, alors il est presque n-malléable.

49. À vrai dire, il y a besoin de généraliser un peu le Théorème 6.123 pour que ceci soit exact.


Le reste de la sous-section est consacré à la preuve du Théorème 6.141. Dans la suite, F sera un com-plexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche. On supposera que F est un complexe defaisceaux feuilletés injectifs (ce qui ne restreint pas la généralité) et qu’il est pn ´ 1q-malléable.

Nous fixons des données (1)–(3) comme dans la Définition 6.138(a) et nous supposerons que le mor-phisme étale U // Xpp t ss n’est pas surjectif. Notre but est de prouver que FpU{Fq // Tot FpV‚{G‚q est unquasi-isomorphisme. Si cardptrq 6 n ´ 1, il n’y a rien à montrer. Ainsi, nous supposerons que cardptrq “ n.

Dans la suite, il sera plus naturel de considérer V‚{G‚ comme un pro-k-feuilletage semi-simplicial aug-menté en posant V´1{G´1 “ U{F. On montrera alors que le complexe

Tot` FpV‚{G‚q “ CônetFpU{Fq // Tot FpV‚{G‚qur´1sest contractile. (Ici, nous avons noté Tot` le complexe total associé à un complexe semi-cosimplicial coaug-menté.) Lorsque U est vide, il n’y a rien à montrer. On supposera dans la suite que U est non vide. Puisquele morphisme étale U // Xpp t ss n’est pas surjectif, la dimension de Krull du schéma U est exactementn ´ 1. Plus généralement, pour tout d P N\ t´1u, le schéma Vd est régulier de dimension de Krull n ´ 1.Notation 6.142. — Soit P un pro-schéma de limite projective un schéma noethérien. Pour c P N, on

note Ppcq le « pro-schéma des ouverts quasi-compacts de P dont le complémentaire est de codimension plusgrande ou égale à c ». Plus explicitement, les indices de Ppcq sont des couples p↵,Qq où ↵ est un indice dupro-schéma P et où Q Ä P↵ est un ouvert quasi-compact tel que lim P r pQ ˆP↵ lim Pq est un fermé decodimension plus grande ou égale à c dans lim P. À un tel couple p↵,Qq, le foncteur Ppcq associe Q.

Nous sommes surtout intéressés par le cas où P est l’un des Vd, pour d P N \ t´1u. Dans ce cas, nousavons Vp0q

d “ H, Vp1qd “ ⌘pVdq et Vpcq

d “ V pour c > n. En faisant varier d, nous obtenons des pro-schémassemi-simpliciaux augmentés Vpcq

‚ . ⇤Le Théorème 6.141 est une conséquence immédiate du résultat suivant.

Proposition 6.143. — Pour tout 0 6 c 6 n ´ 1, le morphisme

Tot` FpVpc`1q‚ {G‚q // Tot` FpVpcq

‚ {G‚qest un quasi-isomorphisme.

Étant donné un k-feuilletage di↵érentiellement lisse Z{H et un ouvert W Ä Z, on pose

FpWzZ{Hq “ kertFpZ{Hq // FpW{Hqu.Étant donné que F est un complexe de faisceaux feuilletés injectifs, le morphisme FpZ{Hq // FpW{Hqest surjectif. On a donc une suite exacte courte de complexes de ⇤-modules

0 // FpWzZ{Hq // FpZ{Hq // FpW{Hq // 0.

Ceci s’étend de la manière évidente au pro-k-feuilletages.Avec ces notations, la Proposition 6.143 est équivalente à l’énoncé suivant.

Proposition 6.144. — Pour tout 0 6 c 6 n ´ 1, le complexe de ⇤-modules Tot` FpVpcq‚ zVpc`1q

‚ {G‚q estacyclique.Notation 6.145. — Soit P un pro-schéma de limite projective un schéma noethérien. Pour x P lim P, on

note Px le « pro-schéma des voisinages ouverts de x dans P ». Plus explicitement, les indices de Px sont descouples p↵,Qq où ↵ est un indice du pro-schéma P et où Q Ä P↵ est un ouvert quasi-compact contenantl’image de x dans P↵. À un tel couple p↵,Qq, le foncteur Ppcq associe Q.

De plus, on note Px le « pro-schéma des voisinages ouverts épointés de x dans P ». Les indices de Px sontles triplets p↵,Q,Zq où ↵ est un indice du pro-schéma P, où Q Ä P↵ est un ouvert quasi-compact contenantl’image de x dans P↵ et où Z Ä Q est un fermé tel que Z ˆP↵ lim P est contenu dans txu. À un tel tripletp↵,Q,Zq, le foncteur Px associe Q r Z. ⇤Lemme 6.146. — Pour d P N\ t´1u et 0 6 c 6 n ´ 1, on a un isomorphisme canonique

FpVpcqd zVpc`1q

d {Gdq „//

à

xPVd , codimpxq“c

FppVdq˝xzpVdqx{Gdq.

254 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Il s’agit d’une propriété bien connue des faisceaux Zariski. Pour la commodité du lec-teur, on rappelle l’argument.

Soit S un sous-ensemble fini de Vd constitué de points de codimension c. Considérons le pro-schémapVd r S qpc`1q. Ensemblistement, lim pVd r S qpc`1q est le complémentaire de S dans lim Vpc`1q

d . Pour cetteraison, on notera simplement Vpc`1q

d r S le pro-schéma pVd r S qpc`1q. Clairement, on a

FpVpcqd zVpc`1q

d {Gdq » colimS FppVpc`1qd r S qzVpc`1q

d {Gdqoù S parcourt les sous-ensembles finis de Vd constitués de points de codimension c. Ainsi, il est su�santde construire des isomorphismes canoniques

FppVpc`1qd r S qzVpc`1q

d {Gdq „//

à

xPSFppVdq˝

xzpVdqx{Gdq.

Or, on dispose d’un pro-carré distingué (en topologie de Zariski)≤

xPS pVdqx//

✏✏

≤xPS pVdqx

✏✏

Vpc`1qd r S // Vpc`1q

d .

Puisque F est un complexe de faisceaux Zariski, on déduit un carré cartésienÀ

xPS FppVdqx{Gdq ÀxPS FppVdqx{Gdqoo

FpVpc`1qd r S {Gdq

OO

FpVpc`1qd {Gdq.oo

OO

En particulier, les noyaux des flèches horizontales sont canoniquement isomorphes. ⌅Corollaire 6.147. — Pour 0 6 c 6 n ´ 1, on dispose, par transport de structures, d’un complexe de⇤-modules semi-cosimplicial coaugmenté

à

xPV‚, codimpxq“c

FppV‚q˝xzpV‚qx{G‚q (289)

Pour 0 6 i 6 d, la matrice p�iqy,x de la di↵érentielle

�i :à

xPVd´1, codimpxq“c

FppVd´1q˝xzpVd´1qx{Gd´1q //

à

yPVd , codimpyq“c

FppVdq˝yzpVdqy{Gdq

admet la description suivante.

(a) Si x , dipyq, alors p�iqy,x “ 0.

(b) Si x “ dipyq, alors p�iqy,x est caractérisé par la commutation du carré

FppVd´1qxzpVd´1qx{Gd´1qp�iqy,x✏✏

// FppVd´1qx{Gd´1q

✏✏

FppVdqyzpVdqy{Gdq // FppVdqy{Gdq.Enfin, pour démontrer la Proposition 6.144, il su�t de prouver que les complexes totaux associés auxcomplexes semi-cosimpliciaux coaugmentés (289) sont acycliques.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la construction des isomorphismes du Lemme6.146. ⌅Remarque 6.148. — Pour mieux comprendre la suite de l’argument, nous attirons l’attention du lecteur

au fait que, pour un point y P Vd (de codimension c) tel que codimpdipyqq † codimpyq, les coe�cientsmatriciels p�iqy,x sont nuls pour tout x P Vd´1 (de codimension c). ⇤


Définition 6.149. — Un couple pd, xq, formé d’un entier d P N\t´1u et d’un point x P Vd, est dit primitifsi, pour tout 0 6 i 6 d, on a codimpdipxqq † codimpxq.Notation 6.150. — Soit Epcq l’ensemble des couples pd, xq avec d P N \ t´1u et x P Vd de codimen-

sion c. Étant donnés deux couples pd, xq, pd1, x1q P Epcq, une flèche pd, xq Ñ pd1, x1q est la donnée d’uneapplication strictement croissante s : d1 ãÑ d telle que s˚pxq “ x1. Muni de ces flèches, l’ensemble Epcq estnaturellement une catégorie. ⇤Proposition 6.151. — Soit C une composante connexe de Epcq. Alors, C contient un unique couple primitif.De plus, ce couple primitif est l’objet final de C vue comme sous-catégorie pleine de Epcq. En termes plusconcrets, on a les propriétés suivantes.

(a) Pour pd, xq P Epcq, il existe une unique application strictement croissante u : d0 ãÑ d telle que lecouple pd0, u˚pxqq est un élément primitif de Epcq.

(b) Deux couples pd, xq, pd1, x1q P Epcq appartiennent à la même composante connexe de Epcq si et seule-ment si d0 “ d1

0 et u˚pxq “ u1˚px1q avec u : d0 ãÑ d et u1 : d10 ãÑ d1 les applications strictement

croissantes associées à pd, xq et pd1, x1q par (a).

Démonstration. — Soit C Ä Epcq une classe d’équivalence et soit pd0, x0q P C avec d0 minimal. Alors,nécessairement pd0, x0q est primitif. En e↵et, si pour un certain 0 6 i 6 d0, on a codimpdipx0qq “ codimpx0q,alors pd0 ´ 1, dipx0qq appartiendrait à C ce qui est impossible vu notre choix de pd0, x0q.

Montrons maintenent que pd0, x0q est l’objet final de C. Il su�t de montrer que pour tout diagramme

pd, xq //

✏✏

pd0, x0q

pd1, x1q

(290)

dans Epcq, il existe une flèche pd1, x1q Ñ pd0, x0q faisant commuter le triangle que l’on pense. En e↵et, parrécurrence sur le nombre de flèches reliant pd0, x0q à un couple de C, ceci entraîne que tout couple de Cest la source d’une flèche de but pd0, x0q. D’autre part, en prenant pd1, x1q “ pd0, x0q, on obtient égalementl’unicité d’une telle flèche.

Notons u : d0 ãÑ d et s : d1 ãÑ d les applications strictement croissantes définissant les flèches dudiagramme (290). Ainsi, on a u˚pxq “ x0 et s˚pxq “ x1. Formons le carré cartésien

d10

u1//

s0✏✏

d1

s✏✏

d0u// d.

Alors, puisque Y‚ // X est un hyper-recouvrement générique, le carré

Ydu˚//

s˚✏✏

Yd0

s˚0✏✏

Yd1u1˚// Yd1

0

vérifie les conditions (i)–(iv) de la Proposition 6.136. Ladite proposition s’applique alors pour montrer quecodimps˚

0 px0qq “ codimpx0q. Puisque pd0, x0q est primitif, ceci ne peut arriver que lorsque d0 “ d10. Ceci

permet de conclure. ⌅On note Ppcq Ä Epcq le sous-ensemble des couples primitifs.

Corollaire 6.152. — Pour 0 6 c 6 n ´ 1, on a la décomposition suivante du complexe de ⇤-modulessemi-cosimplicial coaugmenté (289) :

à

pd0,x0qPPpcq

˜à

p‚,xqÑpd0,x0qFppV‚q˝

xzpV‚qx{G‚q¸

. (291)

256 JOSEPH AYOUB

Pour énoncer le résultat qui suivra, nous aurons besoin d’une construction.Construction 6.153. — Soit d0 P N\ t´1u. Considérons la catégorie d0z�1 . Étant donné un foncteur co-variant G de d0z�1 dans une catégorie admettant les coproduits finis, on notera

≥G l’objet semi-cosimplicial

coaugmenté donné parp≥Gqd “

∫

d0ãÑdGpd0 ãÑ dq.

Par construction, p≥Gqd est l’objet initial si d † d0. Le lecteur vérifiera facilement que le foncteur G ≥

Gest un adjoint à gauche du foncteur « composition avec d0z�1 // �1 ». ⇤Proposition 6.154. — Soit pd0, x0q un couple primitif. Pour une application strictement croissante s :

d0 ãÑ d, on poseGV, d0, x0psq “ à

pd,xqPEpcq, s˚pxq“x0

FppVdq˝xzpVdqx{Gdq.

Alors, GV, d0, x0 est naturellement un foncteur covariant de d0z�1 dans la catégorie des complexes de ⇤-modules. De plus, on a une identification de complexes de ⇤-modules semi-cosimpliciaux coaugmentés

≥GV, d0, x0 “ à

p‚,xqÑpd0,x0qFppV‚q˝

xzpV‚qx{G‚q.

(Voir le Corollaire 6.152.)Notation 6.155. — Pour d0 > 1, on définit deux foncteurs

p : d0z�1` // d0z�1

` et q : d0 ´ 1z�1` // d0z�1

`

de la manière suivante. Étant donnée une application strictement croissante s : d0 ãÑ d, ppsq “ �0 ˝ s avec�0 : d ãÑ d ` 1 l’unique application strictement croissante dont l’image ne contient pas 0. Étant donnéeune application strictement croissante s : d0 ´ 1 ãÑ d, qpsq “ 1` s est l’application définie par qpsqp0q “ 0et qpsqpiq “ spi ´ 1q ` 1 pour 1 6 i 6 d0. ⇤Lemme 6.156. — Soit d0 > 1 un entier et soit G un foncteur covariant de d0z�1 dans la catégorie des

complexes de ⇤-modules. Alors, on a une suite exacte de complexes de ⇤-modules

0 // pTot` ≥G ˝ pqr´1s // Tot` ≥

G // pTot` ≥G ˝ qqr´1s // 0.

Démonstration. — En e↵et, pour tout d P N, on dispose d’une suite exacte courte évidente de complexesde ⇤-modules

0 //à

s:d0ãÑd, sp0q>1

Gpsq //à

s:d0ãÑdGpsq //

à

s:d0ãÑd, sp0q“0

Gpsq // 0

que l’on peut aussi écrire

0 // p≥G ˝ pqd´1 // p≥Gqd // p≥G ˝ qqd´1 // 0.

Il est immédiat de voir qu’en variant d, on obtient une suite exacte de bicomplexes de ⇤-modules. ⌅Proposition 6.157. — Pour démontrer la Proposition 6.144 avec F fixé et V‚ variable (et donc aussi

le Théorème 6.141) il su�t de montrer que les complexes Tot` GV,´1, x0 sont acycliques pour tous les V‚comme avant et tous les x0 P U.Démonstration. — D’après le Lemme 6.146, les Corollaires 6.147 et 6.152, et la Proposition 6.154, pourdémontrer la Proposition 6.144 (avec F fixé et V‚ variable) il reste à montrer que les complexes Tot` ≥

GV, d0, x0

sont acycliques pour tous les V‚ comme avant et les couples primitifs pd0, x0q.Nous allons supposer que ces complexes sont acycliques lorsque d0 “ ´1 et nous allons montrer com-

ment en déduire le cas général par récurrence sur d0. Ainsi, dans la suite nous supposons que d0 > 1 etque les complexes Tot` ≥

GV, d0´1, x0 sont acycliques pour tous les V‚ comme avant et les couples primitifspd0 ´ 1, x0q avec x0 P Vd0´1.


Fixons un couple primitif pd0, x0q avec x0 P Vd0 . On a alors les identifications suivantes

GV, d0, x0 ˝ p “ à

yPVd0`1, d0pyq“x0 etcodimpyq“codimpx0q

GV1`‚, d0, y et GV, d0, x0 ˝ q “ GV1`‚, d0´1, x0 .

En particulier, l’hypothèse de récurrence (avec V1`‚ au lieu de V‚) et le Lemme 6.156 fournissent un quasi-isomorphisme à

�0:pd0`1,x1qÑpd0,x0qpTot` ≥

GV1`‚, d0, x1qr´1s // Tot` ≥GV, d0, x0 .

(Ici, nous utilisons le fait que Y1`‚{G1`‚ // Y0{G0 est un hyper-recouvrement générique et le fait que lemorphisme V1`‚ // Y1`‚pp t ss ˆY0pp t ss V0 est un hyper-recouvrement étale relatif.)

En appliquant successivement l’argument précédent avec Vs`‚, pour s “ 1, . . . , e´1, et di↵érents couplesprimitifs, on obtient un quasi-isomorphisme

à

p�0q˝ e:pd0è,yqÑpd0,x0qpTot` ≥

GVe`‚, d0, yqrés // Tot` ≥GV, d0, x0 . (292)

Soit N P N tel que Fi “ 0 pour i † Ń. (Un tel entier existe car F est supposé borné à gauche.) Le complexeà gauche dans (292) est alors nul en degrés cohomologiques i † Ń è. Il s’ensuit que HipTot` ≥

GV, d0, x0q “0 pour i † Ń ` e. Ceci étant vrai pour tout e P N, le complexe Tot` ≥

GV, d0, x0 est donc acyclique. ⌅Pour terminer la preuve de la Proposition 6.144 (et celle du Théorème 6.141), il reste à établir l’énoncé

suivant.Proposition 6.158. — Pour tout u P V´1, le complexe

à

p‚,vqÑp´1,uqFppV‚q˝

vzpV‚qv{G‚q

est contractile.Démonstration. — Notons c “ codimpuq. Rappelons que V´1 est de dimension n ´ 1 car le morphismeétale V´1 // Y´1pp t ss est supposé non surjectif. Il s’ensuit que c 6 n ´ 1. Nous divisons la preuve en deuxparties.Partie A : Notons Z´1 Ä Y´1pp t ss l’adhérence Zariski de l’image de u par le morphisme V´1 // Y´1pp t ss.Plus généralement, pour d P N \ t´1u, notons Zd Ä Ydpp t ss l’image inverse de Z´1 par le morphismecanonique Ydpp t ss // Y´1pp t ss. On obtient ainsi un pro-schéma semi-simplicial caugmenté Z‚ qu’on peutégalement définir par Z‚ “ Y‚pp t ss ˆY´1pp t ss Z´1.

D’après le Corollaire 6.128, quitte à faire un changement de variables Q-linéaire inversible, on peutsupposer que la composition de

Z´1 ãÑ Y´1pp t ss // Y´1pp tpćq ssest finie et surjective. (Ici, comme dans la deuxième étape de la preuve de la Proposition 6.136, on notetpćq “ pt1, . . . , tr´1, ptr,1, . . . , tr,nćqq.) D’après la Proposition 6.131, on a alors un isomorphisme de sché-mas semi-simpliciaux coaugmentés

Z‚ » Y‚pp tpćq ss ˆY´1pp tpćq ss Z´1. (293)

Considérons maintenant T´1 “ tuu l’adhérence Zariski de u dans V´1. Plus généralement, pour d PN\ t´1u, notons Td l’image inverse de T´1 par le morphisme Vd // V´1. Quitte à rétrécire V´1 autour deu, on peut supposer que T´1 “ Z´1 ˆY´1pp t ss V´1. Il s’ensuit alors que

T‚ “ Z‚ ˆY‚pp t ss V‚. (294)

Quitte à rétrécire V´1 d’avantage, on peut supposer que la composition de T´1 // Z´1 // Y´1pp tpćq ssest étale. Il s’ensuit que la composition de

T‚ // Z‚ // Y‚pp tpćq ss (295)

258 JOSEPH AYOUB

est étale en chaque degré. (En e↵et, cette composition est égale à celle de T‚ // Z‚ˆZ´1T´1 // Y‚pp tpćq ss.Le premier morphisme est clairement étale. Il en est de même du second. Pour voir cela, on remarque quel’isomorphisme (293) fournit l’identification Z‚ ˆZ´1 T´1 “ Y‚pp tpćq ss ˆY´1pp tpćq ss T´1. Modulo cetteidentification, le morphisme qui nous intéresse est le changement de base de T´1 // Y´1pp tpćq ss par lemorphisme Y‚pp tpćq ss // Y´1pp tpćq ss.)

Considérons maintenant le morphisme canonique T‚ // Z‚ ˆZ´1 T´1. Modulo l’identification (294),ce morphisme s’écrit Z‚ ˆY‚pp t ss V‚ // Z‚ ˆY´1pp t ss V´1. C’est donc le changement de base de l’hyper-recouvrement étale relatif V‚ // Y‚pp t ss ˆY´1pp t ss V´1 suivant l’inclusion Z‚ ãÑ Y‚pp t ss. Ceci montre que lemorphisme T‚ // Z‚ ˆZ´1 T´1 est lui-même un hyper-recouvrement étale relatif. p50q En utilisant l’isomor-phisme (293), on déduit en fin de compte que le morphisme

T‚ // Y‚pp tpćq ss ˆY´1pp tpćq ss T´1,

déduit de la composition de (295), est un hyper-recouvrement étale relatif.Partie B : Notons �r “ tBr,1, . . . , Br,nu un ensemble de dérivations agissant trivialement sur les coe�cientsdes séries formelles en tr “ ptr,1, . . . , tr,nq et de la manière usuelle sur les indéterminées tr,1, . . . , tr,n. Consi-dérons pour le moment Y‚pp t ss comme un pro-�r-schéma semi-simplicial augmenté.

Notons �rpćq “ tBr,1, . . . , Br,nću. Le morphisme étale T‚ // Y‚pp tpćq ss permet de considérer T‚comme un pro-�rpćq-schéma semi-simplicial augmenté. De plus on a un diagramme commutatif dans lacatégorie des pro-k-feuilletages semi-simpliciaux augmentés

T‚{A�rpćq //

,,

V‚{A�r// Y‚pp t ss{A�r

✏✏

Y‚pp tpćq ss{A�rpćq.

Quitte à rétrécire V´1, on peut supposer trouver des fonctions régulières fnć`1, . . . , fn P OpUq telles queT´1 “ Zp fnć`1, . . . , fnq et telles que drp fnć`1q, . . . , drp fnq engendrent un facteur direct libre de rang c dans⌦V´1,�r “ Àn

i“1 OV´1 ¨ B_r,i. (Ici, on note dr au lieu de d�r (cf. la Proposition 6.19).) Quitte à rétrécire V´1

d’avantage, on peut même supposer que

⌦V´1,�r “˜

nćà

i“1OV´1 ¨ B_

r,i

¸

‘˜

nà

j“nć`1OV´1 ¨ drp f jq

¸

.

Il s’ensuit une décomposition similaire pour V´1 remplacé par Vd, pour tout d P N\ t´1u.Soit �1 “ tB1

1, . . . , B1nu un nouvel ensemble de dérivations et faisons agir B1

s, pour 1 6 s 6 n, sur OVd , pourd P N\ t´1u, par la composition de

OVd

dr// ⌦Vd ,�r » `Ànć

i“1 OVd ¨ B_r,i

˘ ‘´Àn

j“nć`1 OVd ¨ drp f jq¯

// OVd ¨ B_r,s » OVd

ou de

OVd

dr// ⌦Vd ,�r » `Ànć

i“1 OVd ¨ B_r,i

˘ ‘´Àn

j“nć`1 OVd ¨ drp f jq¯

// OVd ¨ dp fsq » OVd

selon que 1 6 s 6 n ´ c ou n ´ c ` 1 6 s 6 n. On peut ainsi voir V‚ comme un pro-�1-schéma semi-simplicial augmenté. Par construction, l’identité de V‚ fournit un isomorphisme de pro-k-feuilletages semi-simpliciaux augmentés idV‚ : V‚{A�r » V‚{A�1 . En particulier, en ne retenant que l’action du sous-ensemble�1pćq “ tB1

1, . . . , B1nću, on dispose d’une inclusion idV‚ : V‚{A�1pćq // V‚{A�r .

Le morphisme de pro-k-feuilletages semi-simpliciaux augmentés T‚{A�rpćq // V‚{A�r se factorise parl’inclusion idV‚ : V‚{A�1pćq // V‚{A�r . De plus, le morphisme

T‚{A�rpćq // V‚{A�1pćq

50. Il faudrait introduire la notion d’hyper-recouvrements relatifs entre objets semi-simpliciaux augmentés.


est di↵érentiellement étale et permet de voir T‚ comme un pro-�1pćq-schéma semi-simplicial augmenté.En fait, les actions de �rpćq et �1pcq sur OpT‚q se déduisent l’une de l’autre via la bijection Br,i B1

i , pour1 6 i 6 n ´ c.

À présent, supposons que X{F provient d’un �0-schéma essentiel pour un certain ensemble �0 de dé-rivation. (Ceci ne restreint pas la généralité puisqu’on travaille au voisinage du point générique de X.)Aussi, pour 1 6 s 6 r ´ 1, donnons-nous des ensembles de dérivations �s “ tBs,1, . . . , Bs,nsu agissanttrivialement sur les coe�cients des séries formelles en ts “ pts,1, . . . , tn,sq et de la manière usuelle sur lesindéterminées ts,1, . . . , ts,ns . Alors, �0 \ . . . \ �r´1 agit naturellement sur OpT‚q et OpV‚q et cette actioncommute aux actions de �1 et �1pćq. Il s’ensuit que l’inclusion T‚ ãÑ V‚ est naturellement un morphismede pro-p�0 \ . . . \ �r´1 \ �1pćqq-schémas semi-simpliciaux augmentés. D’après la Proposition ? ?, cetteinclusion se factorise d’une manière unique en un morphisme de de pro-p�0 \ . . . \ �r´1 \ �1q-schémassemi-simpliciaux augmentés

T‚ppt1nć`1, . . . , t

1nss // V‚ (296)

avec t1nć`1, . . . , t

1n des indéteminées telles que B1

ipt1jq “ �i j pour 1 6 i 6 n et n ´ c ` 1 6 j 6 n. D’après ce

qui précède, (296) est un morphisme de k-feuilletages.Notons t1

r “ ptr,1, . . . , tr,nćq, t1r`1 “ pt1

nć`1, . . . , t1nq et t1 “ pt1, . . . , tr´1, t1

r, t1r`1q. Grâce à (296), on dispose

d’un pro-carré distingué (pour la topologie feuilletée)

pT‚ppt1r`1ss r T‚q{G‚

//

✏✏

T‚ppt1r`1ss{G‚

✏✏≤pv,‚qÑpu,´1qpV‚qv{G‚

//≤

pv,‚qÑpu,´1qpV‚qv{G‚.

(Remarquer que l’ensemble des flèches pv, dq Ñ pu,´1q est en bijection, via l’application pv, dq v,avec l’ensemble des points génériques du sous-schéma Td Ä Vd.) D’après le Corollaire 6.106, il est doncsu�sant de prouver que le complexe

FppT‚ppt1r`1ss r T‚qzT‚ppt1

r`1ss{G‚qest contractile, ce qui revient au même de prouver que le morphisme

FpT‚ppt1r`1ss{G‚q // FppT‚ppt1

r`1ss r T‚q{G‚q (297)

est un quasi-isomorphisme. Or, puisque F est pn´1q-malléable, la source et le but de (297) sont contractiles.En e↵et, d’après la Partie A, on dispose d’un hyper-recouvrement étale relatif T‚ppt1

r`1ss // Y‚ppt1 ss avec t1un pr ` 1q-uplet de systèmes d’indéterminées vérifiant cardpt1

r`1q “ c 6 n ´ 1. ⌅

6.12. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VI. Un complément. —Nous commençons par un addendum à la liste des abus linguistiques de la Notation 6.137.

Notation 6.159. — Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, réduit et ayant un nombre fini decomposantes irréductibles, et soit t “ pt1. . . . , trq un r-uplet de systèmes d’indéterimées.

Soit f : U // Xpp t ss un morphisme de schémas. Lorsque f est de type fini, nous avons expliqué dans laNotation 6.137 comment considérer U comme un pro-schéma. Si f n’est plus de type fini mais quand mêmea�ne, on peut encore considérer U comme un pro-schéma. C’est simplement la limite projective, dans lacatégorie des pro-schémas, des pro-schémas associés aux morphismes SpecpAq // Xpp t ss avec A Ä OpUqparcourant les sous-algèbres de type fini au-dessus de OpXpp t ssq. Si f est pro-lisse (resp. pro-étale), on peutse restreindre aux sous-algèbres lisses (resp. étales).

Lorsque f est pro-étale, alors le pro-schéma U admet une structure naturelle de feuilletage déduite decelle de Xpp t ss. Si F est un préfaisceau sur SmFol{k, FpU{Fq désignera toujours colim�FpU�q où � parcourtles indices du pro-k-feuilletage U. ⇤

Le but de cette sous-section est d’établir le résultat suivant (cf. le Lemme 6.139) qui fournit une reformu-lation minimale de la propriété de n-malléabilité. Le Théorème 6.141 jouera un rôle crucial dans la preuvedudit résultat.

260 JOSEPH AYOUB

Théorème 6.160. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche etsoit G est un remplacement projectivement ft-fibrant de F. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(a) F est n-malléable ;(b) Quelles que soient les données suivantes :

(1) un hyper-recouvrement générique Y‚{G // X{F avec X{F un k-feuilletage di↵érentiellementlisse et intègre,

(22) un r-uplet de systèmes d’indéterminées t1 “ pt1, . . . , tr´1,Hq et un système d’indéterminées trtel que cardptrq 6 n,

(32) un carré commutatif de morphismes de schémas semi-simpliciaux

V‚//

✏✏

U

✏✏

Y‚pp t1 ss // Xpp t1 ss,tel que les flèches verticales sont pro-étales et les anneaux OpUq et OpVdq, pour d P N, sont descorps algébriquement clos,

le morphisme GpUrrtrss{Fq // Tot GpV‚rrtrss{G‚q est un quasi-isomorphisme.

Démonstration. — Nous raisonnons par récurrence sur n. On suppose que n > 0 et que le résultat est connupour n ´ 1. (On conviendra ici que tout préfaisceau est p´1q-malléable.) D’après le Théorème 6.141 (etla première assertion du Lemme 6.139 lorsque n “ 0), le préfaisceau F est presque n-malléable. D’aprèsle Lemme 6.139, il reste donc à voir que le morphisme GpU 1pptrss{Fq // Tot GpV 1

‚pptrss{G‚q est un quasi-isomorphisme quelles que soient les données (1), (21) et (31) sachant qu’il en est ainsi pour toutes les données(1), (21) et (32).

Donnons-nous donc un carré commutatif

V 1‚

//

✏✏

U 1

✏✏

Y‚pp t1 ss // Xpp t1 ss,comme dans (31). Nous allons ramener, par approximations successives, la propriété que le morphisme ca-nonique GpU 1pptrss{Fq // Tot GpV 1

‚pptrss{G‚q est un quasi-isomorphisme à la propriété que le morphismecanonique GpUrrtrss{Fq // Tot GpV‚rrtrss{G‚q est un quasi-isomorphisme pour une donnée (32) bien choi-sie. On divise la tâche en deux étapes. p51q

Étape 1 : On montre ici qu’il su�t de traiter le cas où Y‚{G‚ // X{F est un hyper-recouvrement de Cechassocié à un morphisme di↵érentiellement étale f : Y{G // X{F avec X intègre, et f : Y // X de présen-tation finie-dénombrable, pro-lisse et génériquement géométriquement intègre.

Le fait qu’on puisse supposer que Y‚{G‚ // X{F est un recouvrement de Cech découle de l’argumentutilisé dans la preuve du Théorème 6.123. Ainsi, on expliquera seulement pourquoi on peut supposer quef : Y // X est génériquement géométriquement intègre.

Si X1 // X est un revêtement étale galoisien, on a par descente galoisienne des quasi-isomorphismesnaturels

GpX{Fq // R�pGalpX1{Xq,GpX1{Fqqet

Tot GpY‚{G‚q // R�pGalpX1{Xq,Tot GpY‚ ˆX X1{G‚qq.Ainsi, on peut remplacer X par X1 et Y par Y ˆX X1, et supposer que les composantes irréductibles de Y sontdes X-schémas génériquement géométriquement intègres.

51. Il faut réecrire la preuve qui suit...


Nous allons d’abord se ramener au cas où Y{G est le coproduit d’un nombre fini de copies d’un mêmeX{F-feuilletage Z{G, i.e., Y{G “ I ˆ pZ{Gq avec I un ensemble fini.

Pour cela, notons Z1{H le produit fibré (au-dessus de X) de toutes les composantes connexes de Y{G.(On supposera que les composantes connexes de Y sont irréductibles, ce qui ne restreint pas la généra-lité.) Notons Z{H “ ⇡0pYq ˆ Z1{H où ⇡0pYq est l’ensemble des composantes connexes de Y . On a alorsun morphisme di↵érentiellement étale Z{H // Y{G qui est de plus génériquement géométriquement in-tègre. On considère alors le k-feuilletage bi-semi-simplicial C‚ppZ‚{H‚q{Y‚q avec, bien entendu, Z‚{H‚ “CppZ{Hq{Xq et Y‚{G‚ “ CppY{Gq{Xq. Or, nous avons supposé que les morphismes GpYd{Gdq // Tot GpC‚ppZd{Hdq{Ydqqsont des quasi-isomorphismes. (En e↵et, Zd // Yd est génériquement géométriquement intègre.) De même,nous avons supposé que GpX{Fq // Tot GpZ‚{H‚q est un quasi-isomorphisme. (En e↵et, le X{F-feuilletageZ{H est le coproduit d’un nombre fini de copies d’un même X{F-feuilletage génériquement géométrique-ment intègre.) On conclut maintenant en raisonnant comme dans la preuve du Théorème 6.123.

Enfin, il reste à traiter le cas de Y{G “ I ˆ Y 1{G avec Y 1 un X-schéma génériquement géométriquementintègre. Dans ce cas, on trouve que GpY‚{G‚q “ GpY 1

‚{G‚q b ZC‚pIq. On conclut à l’aide de ? ?.Étape 2 : D’après l’étape précédente, on peut supposer que, pour tout d P N, OpYdpp t1 ssq est un corpsdans lequel le sous-corps OpXpp t1 ssq est algébriquement clos. Nous allons construire une suite de pro-k-feuilletages semi-simpliciaux augmentés

¨ ¨ ¨ // Vppq‚

// Vpp´1q‚

// ¨ ¨ ¨ // Vp´1q‚

par récurrence sur p P N\t´1u. Lorque p “ ´1, on prendra pour Vp´1q´1 le spectre d’une clôture algébrique

de OpXpp t1 ssq. On posera alors Vp´1q‚ “ Y‚pp t1 ss ˆXpp t1 ss Vp´1q

´1 .Supposons que Vpp´1q

‚ est construit et que OpVpp´1qd q est un corps pour tout d P N \ t´1u et que ce

corps est algébriquement clos pour ´1 6 d 6 p ´ 1. On prendra alors pour Vppqp le spectre d’une clôture

algébrique de OpVpp´1qp q. On prendra ensuite Vppq

‚ la source du morphisme p-élémentaire Vppq‚ // Vpp´1q

‚

associé à Vppqp

// Vpp´1qp . D’après ? ?, p52q OpVppq

d q est un corps pour tout d P N \ t´1u et ce corps estalgébriquement clos pour ´1 6 d 6 p.

On pose maintenant V‚ “ limpVppq‚ et U “ V´1. On a trouvé ainsi des données comme dans (32).

On pose U 1peq “ U ˆXpp t1 ss . . . ˆXpp t1 ss U ˆXpp t1 ss U 1 et V 1peq “ V ˆY‚pp t1 ss . . . ˆY‚pp t1 ss V ˆY‚pp t1 ss V 1 avece le nombre de copies de U et V‚ utilisées. Alors, V 1

‚peq // V‚ est un hyper-recouvrement relatif discret.D’après nos hypothèses, on sait donc que le morphisme GpU 1peqpptrss{Fq // Tot GpV 1

‚peqpptrss{G‚q est unquasi-isomorphisme. Puisque V 1

dp‚q // V 1d est un hyper-recouvrement étale, on peut descendre l’informa-

tion à U 1 et V 1‚. ⌅

6.13. Étude locale de la cohomologie feuilletée, V. Préfaisceaux pré-discrets. —Dans cette sous-section, nous donnons une première classe d’exemples de préfaisceaux malléables. On

commence avec une définition.Définition 6.161. — Soit F un préfaisceaux sur SmFol{k. On dit que F est pré-discret si, pour tout

k-feuilletage di↵érentiellement lisse et a�ne X{F, le morphisme

FpSpecpCpX{Fqqq // FpX{Fqest un isomorphisme. (Ici, CpX{Fq “ kertdF : OpXq // ⌦X{FpXqu et le k-schéma SpecpCpX{Fqq est munide la structure de feuilletage discrète.)

Si F est un complexe de préfaisceaux à valeurs dans une catégorie abélienne, on dit que F est homoto-piquement pré-discret si ses les préfaisceaux d’homologie sont pré-discrets.

52. Tout se passe ici ! Il va falloir démontrer que si Q‚ est une hyper-clôture algébrique, alors une extension galoisienne deFracpQprrtssq, tirée sur FracpQp`1rrtssq par d0 n’est pas contenue dans la composition d’extensions provenant de FracpQprrtssqvia d1, . . . , dp`1. Ca semble faisable, mais il va falloir travailler un peu. On peut d’abord traiter le cas de p “ 1 à la main. Ensuite,pour le cas p > 2, il su�rait probablement de considerer le cas des extensions Galoisiennes abéliennes...

262 JOSEPH AYOUB

Le résultat suivant fournit une classe très importante de complexes de préfaisceaux malléables. Sa preuverepose d’un manière essentielle sur le Théorème 6.141.Théorème 6.162. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche. Onsuppose que F est homotopiquement génériquement pré-continu et pré-discret. Alors F est malléable.Démonstration. — Il s’agit de démontrer que F est n-malléable pour tout entier n P N. Nous démontreronscela par récurrence sur n. Lorsque n “ 0, la 0-malléabilité de F est assurée par le Théorème 6.123. Dans lasuite on suppose que n > 1 et que F est pn ´ 1q-malléable.

D’après le Théorème 6.141, 1˚F est presque n-malléable. Fixons un remplacement projectivement ft-fibrant G de 1˚F. On procède en plusieurs étapes.Étape 1 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique. On se donne un système d’indéterminées t “ pt1, . . . , tnq. Dans cette étape, nousallons montrer que le morphisme GpXpptss{Fq // Tot GpY‚pptss{G‚q est un quasi-isomorphisme.

Or, puisque F est presque n-malléable, le morphisme

GppXpptss r ⌘pXqq{Fq // Tot GppY‚pptss r ⌘pY‚qq{G‚qest un quasi-isomorphisme. Vu le carré distingué (pour la topologie feuilletée)

pXpptss r ⌘pXqq{F✏✏

// Xpptss{F✏✏

ppAnk r t0uq{kq ˆk p⌘pXq{Fq // pAn

k{kq ˆk p⌘pXq{Fqet ceux où X{F est remplacé par l’un des Yd{Gd, pour d P N, il su�t, grâce au Corollaire 6.106, de montrerque le morphisme

GppZ{Hq ˆk p⌘pXq{Fqq // GppZ{Hq ˆk p⌘pY‚q{G‚qqest un quasi-isomorphisme pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse Z{H. Ceci est une conséquencedu Théorème 6.89 appliqué au complexe de préfaisceaux GppZ{Hq ˆk ´q “ homppZ{Hq,Gq qui est pro-jectivement ft-fibrant puisqu’il en est ainsi de G.Étape 2 : On utilise ici l’Étape 1 pour démontrer une propriété de rigidité. Plus précisément, nous allonsmontrer que pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse X{F ayant un nombre fini de composantes irré-ductibles, le morphisme canonique

GpXpptss{Fq // Gp⌘pXq{Fqest un quasi-isomorphisme.

Pour démontrer cela, donnons-nous une ft-hyper-clôture générique tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI au sens de laDéfinition 6.91. (Voir la Proposition 6.93 pour l’existence d’un tel monstre.) Par descente galoisienne, ilsu�t de montrer que le morphisme

colimiPI GpXirrtss{Fiq // colimiPI GpXi{Fiqest un quasi-isomorphisme. (Ici, on utilise implicitement que que les pro-k-feuilletages ⌘ppXi{FiqiPIq etpXi{FiqiPI sont canoniquement isomorphes ; juste aprés, on utilisera la même propriété pour les pQi,d{Li,dqiPI ,pour d P N, à la place de pXi{FiqiPI .) D’après le Théorème 6.89 et l’Étape 1, les morphismes canoniques

colimiPI GpXi{Fiq // colimiPI Tot GpQi,‚{Li,‚q et

colimiPI GpXirrtss{Fiq // colimiPI Tot GpQi,‚rrtss{Li,‚qsont des quasi-isomorphismes. Il su�t donc de montrer que les morphismes

colimiPI Tot GpQi,drrtss{Li,dq // colimiPI Tot GpQi,d{Li,dq (298)

sont des quasi-isomorphismes pour tout d P N.


Or, d’après la Proposition 6.86, les évaluations sur les pro-k-feuilletages pQi,d{Li,dqiPI et pQi,drrtss{Li,dqiPI

définissent des points du site pSmFol{k, ftq. Étant donnée que le morphisme F // G est une équivalenceft-locale, le morphisme (298) s’identifie à quasi-isomorphisme près au morphisme

colimiPI FpQi,drrtss{Li,dq // colimiPI FpQi,d{Li,dq. (299)

Puisque F est homotopiquement pré-discret et que CpQi,d{Li,dq “ CpQi,drrtss{Li,dq pour tout i P I, le mor-phisme (299) est un quasi-isomorphisme comme souhaité.Étape 3 : Ici, on termine la preuve du théorème. Puisque F est presque n-malléable il su�t, d’après leLemme 6.139, de montrer que le morphisme GpU 1pptrssq // Tot GpV 1

‚pptrssq est un quasi-isomorphismequelles que soient les données (1), (21) et (31).

Or, puisque cardptrq “ n, les morphismes canoniques

GpU 1pptrssq // GpU 1q et GpV 1dpptrssq // GpV 1

dq, pour d P N,sont des quasi-isomorphismes d’après l’Étape 2. Ainsi, le morphisme qui nous intéresse s’identifie, à quasi-isomorphisme près, au morphisme GpU 1q // Tot GpV 1

‚q. Or, puisque F est homotopiquement pré-continu,le Théorème 6.123 a�rme que le morphisme GpU 1q // Tot GpV 1

‚q est un quasi-isomorphisme. Ceci terminela preuve du théorème. ⌅

Le résultat suivant est un « théorème de rigidité » pour la cohomologie feuilletée.Corollaire 6.163. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k borné à gauche.

Soit X{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, réduit et ayant un nombre fini de composantes irréduc-tibles. Enfin, soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées.

On suppose que F est homotopiquement pré-discret et pré-continu. Alors, le morphisme canonique

HiftpXpptss{F; Fq // Hi

ftp⌘pXq{F; Fq,induit par la section nulle, est un isomorphisme pour tout i P Z.Démonstration. — Ceci a été établi dans la deuxième étape de la preuve du Théorème 6.162. ⌅

6.14. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VI. Préfaisceaux pré-grossiers. —Dans cette sous-section, nous donnons une deuxième classe d’exemples de préfaisceaux malléables. On

introduit d’abord la notation suivante.Notation 6.164. — Soit F un préfaisceau sur Sm{k à valeur dans une catégorie cocomplète. Soit X un k-

schéma a�ne et régulier, et soit U Ä X un ouvert. D’après le théorème de Popescu [43, 44], U est la limiteprojective d’un pro-k-schéma lisse pUiqiPI bien défini à un unique isomorphisme près. (On peut construireun tel pro-schéma de la manière suivante : les indices sont donnés par les couples pX Ñ E,Dq où E estun k-schéma a�ne et lisse, et D Ä E est un ouvert tel que U Ä X Ê D ; le foncteur qui associe à un telcouple le k-schéma D est le pro-k-schéma recherché.) On posera alors FpUq “ colimiPI FpUiq, ce qui estindépendant du choix du pro-k-schéma lisse pUiqiPI à un unique isomorphisme près. ⇤Définition 6.165. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k et soit F 1 un remplace-ment projectivement ét-fibrant de F. On dit que F vérifie la propriété de Mayer–Vietoris formelle si, pourtout k-schéma local, excellent et régulier X de point fermé x, le carré

F 1pXq //

✏✏

F 1pX r txuq✏✏

F 1pXq // F 1pX r txuq,avec X le spectre de la complétion formelle de OpXq en son idéal maximal, est homotopiquement cartésien.

L’inclusion 1 : Sm{k ãÑ SmFol{k, qui à un k-schéma lisse X associe le k-feuilletage grossier X{k, définitun pré-morphisme de sites

1 : pSmFol{k, ftq // pSm{k, étq (300)

264 JOSEPH AYOUB

au sens de [6, Définition 4.4.46]. (En e↵et, il est clair que le foncteur 1˚ envoie un faisceau feuilleté sur unfaisceau étale.) Le résultat suivant sera utilisé couramment dans la suite.Lemme 6.166. — Soit pXi{Fiq un pro-k-feuilletage a�ne et di↵érentiellement lisse tel que le k-schéma

X “ limiPI Xi est noethérien et régulier. Soit Ui0 Ä Xi0 un ouvert quasi-compact, pour un certain i0 P I, etnotons Ui “ Ui ˆXi0

Ui0 , pour i 6 i0, et U “ Ui0 ˆXi0X. Soit F un préfaisceau sur Sm{k à valeurs dans une

catégorie possédant les colimites filtrantes. Il existe alors un isomorphisme naturel

FpUq „// colimi6i0 1

˚FpUi{Fiq.

Démonstration. — En e↵et, on a les identifications suivantes

colimi6i0 1˚FpUi{Fiq “ colimi6i0 colimUi{FiÑY{k FpYq » colimUÑY FpYq » FpUq.

Ci-dessus, Y parcourt les k-schémas lisses. La seconde identification découle de [26, Théorème 8.8.2] et dufait que U est la limite projective des Ui. La troisième identification découle aussi de [26, Théorème 8.8.2]appliqué à un système projectif de k-schémas lisses de limite U comme dans la Notation 6.164. ⌅

À l’instar du Théorème 6.162, le résultat ci-dessous fournit une deuxième classe importante de complexesde préfaisceaux malléables. Sa preuve repose également sur le Théorème 6.141.Théorème 6.167. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche. On

suppose que F vérifie la propriété de Mayer–Vietoris formelle. Alors 1˚F est malléable.Démonstration. — Il s’agit de démontrer que 1˚F est n-malléable pour tout entier n P N. Nous démontre-rons cela par récurrence sur n. Lorsque n “ 0, la 0-malléabilité de 1˚F est assurée par le Théorème 6.123 etle fait que 1˚F est homotopiquement génériquement pré-continu (ce qui découle du Lemme 6.166). Dansla suite on suppose que n > 1 et que F est pn ´ 1q-malléable.

D’après le Théorème 6.141, 1˚F est presque n-malléable. Fixons un remplacement projectivement ft-fibrant G de 1˚F. On procède en plusieurs étapes. (La première étape est littéralement la même que lapremière étape de la preuve du Théorème 6.162.)Étape 1 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique. On se donne un système d’indéterminées t avec cardptq 6 n. Dans cette étape,nous allons montrer que le morphisme GpXpptss{Fq // Tot GpY‚pptss{G‚q est un quasi-isomorphisme.

Puisque 1˚F est presque n-malléable, le morphisme

GppXpptss r ⌘pXqq{Fq // Tot GppY‚pptss r ⌘pY‚qq{G‚qest un quasi-isomorphisme. Vu le pro-carré distingué (pour la topologie feuilletée)


// Xpptss{F✏✏



GppZ{Hq ˆk p⌘pXq{Fqq // GppZ{Hq ˆk p⌘pY‚q{G‚qqest un quasi-isomorphisme pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse Z{H. Ceci est une conséquencedu Théorème 6.89 appliqué au complexe de préfaisceaux GppZ{Hq ˆk ´q “ homppZ{Hq,Gq qui est pro-jectivement ft-fibrant puisqu’il en est ainsi de G.

Étape 2 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit t un système d’indéterminéesavec cardptq 6 n. Soit X une clôture algébrique de X, i.e., un pro-objet dans Et{X tel que OpXq est uneclôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur X. Alors, le morphisme canonique

FpXrrtssq » 1˚FpXrrtss{Fq // GpXrrtss{Fq


est un quasi-isomorphisme. (L’identification ci-dessus provient du Lemme 6.166.)Pour démontrer cela, donnons-nous une ft-hyper-clôture générique tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI au sens de la

Définition 6.91. (Voir la Proposition 6.93 pour l’existence d’un tel monstre.) Puisque les pro-X-schémasétales X et pXiqiPI sont isomorphes, il su�t de montrer que le morphisme

colimiPI FpXirrtssq » colimiPI 1˚FpXirrtss{Fiq // colimiPI GpXirrtss{Fiq

est un quasi-isomorphisme. Considérons le carré commutatif

colimiPI 1˚FpXirrtss{Fiq //

✏✏

colimiPI Tot 1˚FpQi,‚rrtss{Li,‚q✏✏

colimiPI GpXirrtss{Fiq // colimiPI Tot GpQi,‚rrtss{Li,‚q.D’après l’Étape 1, la flèche horizontale inférieure est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, la Proposition6.86, a�rme que les évaluations sur les pro-k-feuilletages pQi,drrtss{Li,dqiPI , pour d P N, définissent despoints du site pSmFol{k, ftq. Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est aussi un quasi-isomorphisme.Ainsi, il est su�sant de montrer que le morphisme

colimiPI 1˚FpXirrtss{Fiq // colimiPI Tot 1˚FpQi,‚rrtss{Li,‚q (301)

est un quasi-isomorphisme.Pour ce faire, on remarque que le pro-k-feuilletage discret semi-simplicial augmenté tQi,‚{Qi,‚ // Xi{XiuiPI

est aussi une ft-hyper-clôture générique du k-feuilletage discret X{X. La partie A montre alors que le mor-phisme canonique

colimiPI GpXirrtss{Xiq // colimiPI Tot GpQi,‚rrtss{Qi,‚q (302)est un quasi-isomorphisme. Comme avant, les évaluations sur les pro-k-feuilletages pQi,drrtss{Qi,dqiPI , pourd P N, définissent des points du site pSmFol{k, ftq. En revanche, ce qui particulier à la situation présente estle fait que l’évaluation sur le pro-k-feuilletage pXirrtss{XiqiPI définit également un point du site pSmFol{k, ftq.Il s’ensuit que le morphisme (302) s’identifie, à quasi-isomorphisme près, au morphisme

colimiPI 1˚FpXirrtss{Xiq // colimiPI Tot 1˚FpQi,‚rrtss{Qi,‚q (303)

qui est donc, lui aussi, un quasi-isomorphisme. Or, grâce au Lemme 6.166, les morphismes (301) et (303)s’identifient tous les deux à

colimiPI FpXirrtssq // colimiPI Tot FpQi,‚rrtssq.Ceci permet de conclure.Étape 3 : Ici, on utilise l’Étape 2 pour démontrer que si F // F 1 est une équivalence ét-locale, alors il su�tde traiter le cas de F 1. (Remarquer que cet énoncé est non trivial car le foncteur 1˚ n’envoie pas à priori uneéquivalence ét-locale sur une équivalence ft-locale.)

On peut trouver un remplacement projectivement ft-fibrant G1 de 1˚F 1 et un carré commutatif

1˚F //

✏✏

G

✏✏

1˚F 1 // G1.

Rappelons que, grâce à l’hypothèse de récurrence et au Théorème 6.123, nous savons que 1˚F et 1˚F 1 sontpresque n-malléables. D’après le Lemme 6.139, afin de démontrer que F est n-malléable sachant que F 1 estn-malléable, il est su�sant de prouver que le morphisme

GpXpp t ss{Fq // G1pXpp t ss{Fqest un quasi-isomorphisme pour tout k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse X{F, et tout r-uplet desystèmes d’indéterminées t “ pt1, . . . , trq avec cardptrq “ n.

266 JOSEPH AYOUB

Soit U une clôture algébrique de Xppt1 | ¨ ¨ ¨ | tr´1ss. Par descente galoisienne, il est su�sant de montrerque

GpUrrtrss{Fq // G1pUrrtrss{Fqest un quasi-isomorphisme. D’après l’Étape 2, ce morphisme s’identifie, à quasi-isomorphisme près, aumorphisme

FpUrrtrssq // F 1pUrrtrssqPuisque F // F 1 est une équivalence ét-locale et que Urrtrss est strictement hensélien, le résultat recherchés’ensuit.

À partir de maintenant et jusqu’à la fin de la preuve, on supposera que F est projectivement ét-fibrant (cequi est loisible d’après la discussion précédente). Par descente galoisienne, l’Étape 2 montre alors que lemorphisme canonique

FpXpptssq » 1˚FpXpptss{Fq // GpXpptss{Fqest un quasi-isomorphisme pour tout k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse X{F et tout systèmed’indéterminées t avec cardptq 6 n.Étape 4 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse. Soit t un système d’indéterminées etsoit W un Xpptss-schéma lisse qu’on voit aussi comme un pro-k-feuilletage de la manière usuelle. Dans cetteétape, nous allons montrer que le morphisme canonique

FpWq » 1˚FpW{Fq // GpW{Fqest un quasi-isomorphisme en supposant que la dimension de Krull de W est plus petite ou égale à n.(Remarquons que si W est non vide, ceci entraîne que cardptq 6 n ` 1.) Nous raisonnons par récurrence surdimpWq ; lorsque dimpWq “ 0, le résultat découle directement de l’Étape 2.

Pour ce faire, nous introduisons quelques notations. Pour c P N, notons Wpcq le pro-schéma des ouvertsquasi-compacts de W dont le complémentaire est de codimension plus grande ou égale à c. (Pour plus depécision, voir la Notation 6.142.) Ainsi, Wp0q “ H, Wp1q “ ⌘pWq et Wpsq “ W pour s > n ` 1.

On ne restreint pas la généralité en supposant que F est un complexe de faisceaux étales injectifs et queG est un complexe de faisceaux feuilletés injectifs. Avec ces hypothèses, nous considérons les complexesde ⇤-modules

FpWpsqzWps`1qq “ ker

FpWps`1qq // FpWpsqq(et

GpWpsqzWps`1q{Fq “ ker

GpWps`1q{Fq // GpWpsq{Fq(.

Il est alors su�sant de montrer que le morphisme

FpWpsqzWps`1qq // GpWpsqzWps`1q{Fqest un quasi-isomorphisme pour tout 0 6 s 6 n. Or, comme dans le Lemme 6.146, on a des décompositionscanoniques

FpWpsqzWps`1qq » à

xPW, codimpxq“s

FpW˝x zWxq et GpWpsqzWps`1q{Fq » à

xPW, codimpxq“s

GpW˝x zWx{Fq

avec Wx le pro-schéma des voisinages ouverts de x dans W et Wx “ Wx r txu. Il su�t donc de montrer quele morphisme

FpW˝x zWxq // GpW˝

x zWx{Fqest un quasi-isomorphisme pour tout x P W.

Soit T un sous-schéma localement fermé et intègre de W ayant x comme point générique. Quitte à rétré-cire T et faire un changement de variables linéaire inversible, on peut supposer que T est lisse au-dessusd’un sous-schéma localement fermé et intègre Z Ä Xpptss qui est étale au-dessus de Xpptp´dqss avec d lacodimension de Z. Ainsi, la structure de feuilletage sur T déduite de celle de Xpptss fait de T un k-feuilletagelisse basique au-dessus de Xpptp´dqss. Quitte à rétrécire W et Z autour de x, on peut supposer qu’il existeune suite régulière f1, . . . , fc P OpWq telle que Z “ Zp f1, . . . , fcq. (Rappelons que c est la codimension de


x dans W.) Comme dans la preuve de la Proposition 6.158, on peut alors construire un pro-carré distingué(pour la topologie feuilletée) :

pZppt1ss r ⌘pZqq{F //

✏✏

Zppt1ss{F✏✏

Wx {F // Wx{Favec t1 “ pt1

1, . . . , t1cq. D’après le Corollaire 6.106(c), le morphisme canonique

GpW˝x zWx{Fq // GppZppt1ss r ⌘pZqqzZppt1ss{Fq

est un quasi-isomorphisme. D’autre part, puisque F vérifie la propriété de Mayer–Vietoris formelle, lemorphisme

FpW˝x zWxq // FppZppt1ss r ⌘pZqqzZppt1ssq

est aussi un quasi-isomorphisme. Il est donc su�sant de montrer que le morphisme

FppZppt1ss r ⌘pZqqzZppt1ssq // GppZppt1ss r ⌘pZqqzZppt1ss{Fqest un quasi-isomorphisme. Or, d’après l’Étape 2, nous savons que le morphisme

FpZppt1ssq // GpZppt1ss{Fqest un quasi-isomorphisme. (Ici, on utilise que c 6 n.) Il est donc su�sant de montrer que le morphisme

FpZppt1ss r ⌘pZqq // GppZppt1ss r ⌘pZqq{Fqest un quasi-isomorphisme. Ceci s’obtient via l’hypothèse de récurrence appliquée à Z↵ppt1ss r ⌘pZ↵q avec↵ parcourant les indices du pro-schéma Z.Étape 5 : Il est maintenant aisé de conclure. Rappelons que l’on cherche à montrer que 1˚F est n-malléablesachant qu’il est presque n-malléable. Pour ce faire, on applique le Lemme 6.139. Il su�t alors de montrerque le morphisme GpU 1pptrss{Fq // Tot GpV 1

‚pptrss{G‚q est un quasi-isomorphisme quelles que soient lesdonnées (1), (21) et (31).

Puisque G est presque n-malléable, on sait que le morphisme

GppU 1pptrss r U 1q{Fq // Tot GppV 1‚pptrss r V 1

‚q{G‚qest un quasi-isomorphisme. Grâce au Corollaire 6.106 et au pro-carré distingué que l’on pense, il est alorssu�sant de montrer que le morphisme

GppH{kq ˆk pU 1{Fqq // Tot GppH{kq ˆk pV 1‚{G‚qq

est un quasi-isomorphisme pour H “ Ank et H “ An

k r t0u. D’après l’Étape 4, ce morphisme s’identifie, àquasi-isomorphisme près, au morphisme canonique

FpH ˆk U 1q // Tot FpH ˆk V 1‚q.

On pose F “ hompH, Fq. Soit G un remplacement projectivement ft-fibrant de 1˚F. D’après l’Étape 2, lemorphisme précédent s’identifie à quasi-isomorphisme près au morphisme canonique

GpU 1{Fq // Tot GpV 1‚{G‚q

qui est un quasi-isomorphisme d’après le Théorème 6.123. Ceci termine la preuve du théorème. ⌅Dans le reste de la sous-section, on établit un corollaire de la preuve du Théorème 6.167.

Corollaire 6.168. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse. Soit t un système d’in-déterminées et soit W un Xpptss-schéma lisse que l’on considère comme un pro-k-feuilletage de la manièreusuelle. Soit F un complexe de préfaisceaux de⇤-modules sur Sm{k borné à gauche et vérifiant la propriétéde Mayer–Vietoris formelle. Alors, pour tout i P Z, il existe un isomorphisme canonique

HiétpW; Fq „

// HiftpW{F; 1˚Fq.

268 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — Lorsque F est projectivement ét-fibrant, ceci a été démontré dans la quatrième étape dela preuve du Théorème 6.167. Pour en déduire le cas général, il su�t de montrer que le morphisme

HiftpW{F; 1˚Fq » Hi

ftpW{F; 1˚F 1q, (304)

induit par une équivalence ét-locale F // F 1, est un isomorphisme.L’argument utilisé dans la troisième étape de la preuve du Théorème 6.167 montre que (304) est un

isomorphisme lorsque W “ Xpp t ss. Pour le cas général, on procède par récurrence sur la dimension deKrull de W en adaptant l’argument de la quatrième étape de la preuve du Théorème 6.167. Les détails sontlaissés au lecteur. ⌅

6.15. Objets semi-simpliciaux robustes. —Le but de cette sous-section est d’étendre à certains objets semi-bicosimpliciaux le théorème d’Eilenberg–

Zilber. Il est facile de voir que l’extension naïve de ce théorème est totalement fausse. Une partie de notretâche consistera donc à identifier la bonne classe d’objets semi-bicosimpliciaux qui satisfont au théorèmed’Eilenberg–Zilber.

Dans toute cette sous-section, A désigne une catégorie abélienne. Nous seront intéressés par des objetssemi-cosimpliciaux, semi-bicosimpliciaux, etc, à valeurs dans CplpAq. De tels objets seront simplementappellés complexes semi-cosimpliciaux, semi-bicosimpliciaux, etc. Ils seront dits uniformément bornés àgauche s’ils prennent leurs valeurs dans Cpl6NpAq pour un certain entier N P N su�samment grand.Notation 6.169. — Rappelons qu’on dispose d’une structure monoïdale associative (mais non commuta-

tive) et unitaire sur �1 donnée parm ` n “ m ` n ` 1.

Étant donné un objet semi-cosimplicial (resp. semi-cosimplicial coaugmenté) A‚, on note, pour a, b P N,Aa`‚`b l’objet semi-cosimplicial (resp. semi-cosimplicial coaugmenté) obtenu en composant le foncteur Aavec l’endofoncteur a ´ 1 ` p´q ` b ´ 1 de �1 (resp. �1 ).

Si A‚ est un objet semi-cosimplicial et si pa, bq , p0, 0q, alors l’objet semi-cosimplicial Aa`‚`b est natu-rellement coaugmenté. En e↵et, on peut composer A avec l’inclusion a ´ 1 ` p´q ` b ´ 1 : �1 ãÑ �1 pourobtenir un objet semi-cosimplicial coaugmenté. ⇤Définition 6.170. — Un complexe semi-cosimplicial coaugmenté A‚ uniformément borné à gauche est ditpermanemment acyclique si, pour tout a, b P N, le complexe Tot` pAa`‚`bq P CplpAq est acyclique.Lemme 6.171. — Soit A‚ un complexe semi-cosimplicial coaugmenté uniformément borné à gauche.

Supposons que A‚ est permanemment acyclique. Soit r P Z un entier tel que HipAmq “ 0 pour tout i † r etm P N \ t´1u. Alors pour toute flèche s : m ãÑ n dans �1 , le morphisme Apsq : HrpAmq // HrpAnq estinjectif.Démonstration. — Il su�t de montrer ceci pour �i : m ãÑ m ` 1 avec 0 6 i 6 m ` 1. Or, �i : Am // Am`1

est la coaugmentation du complexe semi-cosimplicial Ai`‚`mí`1. Par hypothèse, cette coaugmentationinduit un quasi-isomorphisme

Am // Tot pAi`‚`mí`1q.Par ailleurs, vu les annulations de l’énoncé, la suite spectrale associée à un bicomplexe montre que lemorphisme canonique HrpTot pAi`‚`mí`1qq // HrpAm`1q est injectif. Ceci permet de conclure. ⌅Lemme 6.172. — Soient h‚ : A‚ // B‚ un morphisme de complexes semi-cosimpliciaux coaugmentés

uniformément bornés à gauche. Si A‚ et B‚ sont permanemment acycliques, il en est de même de Côneph‚q.Démonstration. — C’est clair. ⌅

La clé de tous les résultats de cette sous-section est la proposition suivante.Proposition 6.173. — Soit A‚,‚ un complexe semi-bicosimplicial bicoaugmenté uniformément borné à

gauche. Supposons que pour tout m, n P N \ t´1u les complexes semi-cosimpliciaux coaugmentés Am,‚

et A‚,n sont permanemment acycliques. Alors, le complexe semi-cosimplicial coaugmenté diagpAq est aussipermanemment acyclique.


Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que HipAm,nq “ 0 pour tout i † 0 etm, n P N\ t´1u.

Il su�t de montrer que le complexe Tot` diagpAq est acyclique. On raisonne par l’absurde en supposantqu’il existe un complexe semi-bicosimplicial bicoaugmenté A‚,‚ tel que HrpTot` diagpAqq , 0 pour uncertain r P Z. On supposera que A‚,‚ et r sont choisis de sorte que r soit le plus petit possible. Les annulationsHipAm,nq “ 0 pour tout i † 0 garantissent que r > 0.

On pose B “ Cônet�0,0 : Am,n // A1`m,1`nu. On a donc un triangle distingué

A‚,‚ // A1`‚,1`‚ // B‚,‚ // .

Clairement, A1`‚,1`‚ est permanemment acyclique et vérifie les annulations HipA1`m,1`nq “ 0 pour i † 0.D’autre part, le Lemme 6.172 montre que B‚,‚ est permanemment acyclique et le Lemme 6.171 fournit lesannulations HipBm,nq “ 0 pour i † 0.

Par le choix de r, on peut donc a�rmer que HspTot` diagpA1`‚,1`‚qq “ 0 et HspTot` diagpBqq “ 0 pourtout s 6 r ´ 1. Or, le morphisme

Tot` diagpAq // Tot` diagpA1`‚,1`‚qest homotope au morphisme nul ; une homotopie étant donnée par les morphismes identiques. La suitelongue de cohomologie fournit alors un isomorphisme Hr´1pTot` diagpBqq » HrpTot` diagpAqq entre unobjet nul et un autre non nul. C’est la contradiction recherchée. ⌅Définition 6.174. — Un complexe semi-cosimplicial A‚ uniformément borné à gauche est dit robuste si

les complexes semi-cosimpliciaux coaugmentés A1`‚ et A‚`1 sont permanemment acycliques. Il revient aumême de dire que, pour tout pa, bq P N2 r tp0, 0qu, le complexe Tot` pAa`‚`bq est acyclique.Remarque 6.175. — Soit A‚ est un complexe cosimplicial uniformément borné à gauche. Alors, l’objet

semi-cosimplicial A‚ est robuste. En e↵et, l’identité du complexe Tot`pA1`‚q est homotope au morphismenul ; une homotopie est donnée par les morphismes Ap�1q : An`1 // An où �1 : n ` 1 ⇣ n est l’uniquesurjection croissante telle que �1p0q “ �1p1q “ 0. On montre de même que les identités des complexesTot` pAa`‚`bq sont homotopes aux morphismes nuls pour pa, bq P N2 r tp0, 0qu. ⇤

Pour fixer les idées, rappelons la définition du morphisme d’Alexander–Whitney.Définition 6.176. — Soit A‚,‚ un objet semi-bicosimplicial à valeurs dans une catégorie additive. Le

morphisme d’Alexander–WhitneyTot A‚,‚ // diag‚A

est le morphisme de complexes qui, en degré cohomologique n P N, est la somme des morphismes

Ai,ní // An,n,

pour 0 6 i 6 n, induits par les inclusions strictement croissantes i ãÑ n et n ´ i ãÑ n d’images respectivest0, . . . , iu et ti, . . . , nu.Proposition 6.177. — Soit A‚,‚ un complexe semi-bicosimplicial uniformément borné à gauche. On sup-

pose que les complexes semi-cosimpliciaux Am,‚ et A‚,n sont robustes pour tout m, n P N. Alors, le mor-phisme d’Alexandre–Whitney Tot pA‚,‚q // Tot pdiag‚Aq est un quasi-isomorphisme.Démonstration. — À partir du complexe semi-bicosimplicial A‚,‚, on peut définir un foncteur covariant

A : �1` ˆ �1

` ˆ �1 ˆ �1 // CplpAqen posant

Apm,n, a,bq “ Apm ` a,n ` bq “ Am`1à,n`1`b.

En fixant m, n P N \ t´1u et en appliquant tantôt le foncteur Tot p´q, tantôt le foncteur Tot pdiagp´qq, onobtient deux complexes

Rm,n “ Tot pAm`1`‚,n`1`‚q et Pm,n “ Tot pdiagpAm`1`‚,n`1`‚qq,ainsi qu’un morphisme d’Alexander–Whitney Rm,n // Pm,n. En faisant varier m et n dans N\ t´1u, on ob-tient deux complexes semi-bicosimpliciaux bicoaugmentés R‚,‚ et P‚,‚ ainsi qu’un morphisme R‚,‚ // P‚,‚.

270 JOSEPH AYOUB

Les propriétés suivantes découlent immédiatement de la construction, des hypothèses de l’énoncé et de laProposition 6.173.

(1) R´1,´1 “ Tot pA‚,‚q, P´1,´1 “ Tot pdiag‚pAqq et R´1,´1 // P´1,´1 est le morphisme d’Alexander-Whitney qui nous intéresse.

(2) Pour m > 0, on a des quasi-isomorphismes Am,m // Rm,m et Am,m // Pm,m induits par le morphismeAp�0, �0q : Am,m // A1`m,1`m. En particulier, Rm,m // Pm,m est un quasi-isomorphisme.

(3) Les complexes semi-cosimpliciaux coaugmentés Rm,‚, R‚,n, Pm,‚ et P‚,n sont permanemment acycliquespour tout m, n P N\ t´1u.

La Proposition 6.173 et la propriété (3) ci-dessus montrent que les complexes Tot` pdiag‚pRqq et Tot` pdiag‚pPqqsont acycliques. Les coaugmentations de diagpRq et diagpPq induisent donc des quasi-isomorphismes

R´1,´1 // Totpdiag‚pRqq et P´1,´1 // Totpdiag‚pPqq.Pour conclure, il est donc su�sant de montrer que le morphisme Totpdiag‚pRqq // Totpdiag‚pPqq est unquasi-isomorphisme, ce qui découle de la propriété (2) ci-dessus. ⌅

6.16. Étude locale de la cohomologie feuilletée, VII. Préfaisceaux spéciaux. —Dans cette sous-section, nous démontrerons le résultat suivant qui sera la source de tous les préfaisceaux

malléables que nous aurons à considérer dans la suite.Théorème 6.178. — Soient F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k et G un complexe

de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k. Supposons que F et G sont bornés à gauche, que F vérifie lapropriété de Mayer–Vietoris formelle et que G est malléable. Supposons aussi que F est plat sur ⇤. Alors,le complexe de préfaisceaux 1˚F b⇤ G est malléable.Démonstration. — Nous allons montrer par récurrence sur n P N que 1˚F b⇤ G est n-malléable (la p´1q-malléabilité p53q étant une condition vide). D’après le Théorème 6.141, ceci nous permet de supposer que1˚F b⇤ G est presque n-malléable.

On ne restreint pas la généralité en supposant que G est projectivement ft-fibrant. On fixe un remplace-ment projectivement ft-fibrant H de 1˚F b⇤ G. On divise la preuve en plusieurs étapes. (La première étapeest littéralement la même que la première étape de la preuve du Théorème 6.162.)Étape 1 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique. On se donne un système d’indéterminées t avec cardptq 6 n. Dans cette étape,nous allons montrer que le morphisme HpXpptss{Fq // Tot HpY‚pptss{G‚q est un quasi-isomorphisme.

Puisque 1˚F b⇤ G est presque n-malléable, le morphisme

HppXpptss r ⌘pXqq{Fq // Tot HppY‚pptss r ⌘pY‚qq{G‚qest un quasi-isomorphisme. Vu le pro-carré distingué (pour la topologie feuilletée)


// Xpptss{F✏✏



HppZ{Hq ˆk p⌘pXq{Fqq // HppZ{Hq ˆk p⌘pY‚q{G‚qqest un quasi-isomorphisme pour tout k-feuilletage di↵érentiellement lisse Z{H. Ceci est une conséquencedu Théorème 6.89 appliqué au complexe de préfaisceaux HppZ{Hq ˆk ´q “ homppZ{Hq,Hq qui est pro-jectivement ft-fibrant puisqu’il en est ainsi de H.

53. N’oublie pas d’inclure ça !


Étape 2 : Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit t un système d’indéterminéesavec cardptq 6 n. Soit X une clôture algébrique de X, i.e., un pro-objet dans Et{X tel que OpXq est uneclôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur X. Alors, le morphisme canonique

FpXrrtssq b⇤ GpXrrtss{Fq “ p1˚F b⇤ GqpXrrtss{Fq // HpXrrtss{Fqest un quasi-isomorphisme.

Pour démontrer cela, donnons-nous une ft-hyper-clôture générique tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI au sens de laDéfinition 6.91. (Voir la Proposition 6.93 pour l’existence d’un tel monstre.) Puisque les pro-X-schémasétales X et pXiqiPI sont isomorphes, il su�t de montrer que le morphisme canonique

colimiPI p1˚F b⇤ GqpXirrtss{Fiq // colimiPI HpXirrtss{Fiqest un quasi-isomorphisme. Considérons le carré commutatif

colimiPI p1˚F b⇤ GqpXirrtss{Fiq //

✏✏

colimiPI HpXirrtss{Fiq✏✏

colimiPI Tot p1˚F b⇤ GqpQi,‚rrtss{Li,‚q // colimiPI Tot HpQi,‚rrtss{Li,‚q.D’après l’Étape 1, la flèche verticale à droite est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, la Proposition 6.86,a�rme que les évaluations sur les pro-k-feuilletages pQi,drrtss{Li,dqiPI , pour d P N, définissent des points dusite pSmFol{k, ftq. Il s’ensuit que la flèche horizontale inférieure est aussi un quasi-isomorphisme. Ainsi, ilest su�sant de montrer que le morphisme

colimiPI p1˚F b⇤ GqpXirrtss{Fiq // colimiPI Tot p1˚F b⇤ GqpQi,‚rrtss{Li,‚q (305)

est un quasi-isomorphisme.Remarquons à présent que le but du morphisme (305) n’est autre que le complexe total associé à la

diagonale du complexe semi-bicosimplicial

colimiPI FpQi,‚rrtssq b⇤ GpQi,‚rrtss{Li,‚q.Puisque tQi,a`‚`b{Li,a`‚`b // Qi,a`b´1{Li,a`b´1uiPI est encore un pro-hyper-recouvrement générique pourtout pa, bq P N2 r tp0, 0qu, et que 1˚F et G sont malléables, on déduit aussitôt que ce complexe semi-bicosimplicial vérifie les conditions d’application de la Proposition 6.177. Ainsi, le morphisme (305) s’iden-tifie à quasi-isomorphisme près avec le produit tensoriel des deux morphismes

colimiPI FpXirrtssq // colimiPI Tot FpQi,‚rrtssq et

colimiPI GpXirrtss{Fiq // colimiPI Tot GpQi,‚rrtss{Li,‚q.En utilisant une deuxième fois que 1˚F et G sont malléables, on déduit que ces morphismes sont des quasi-isomorphismes. Ceci permet de conclure.Étape 3 : Il est maintenant facile de conclure. D’après le Théorème 6.160 p54q et puisque 1˚F b⇤ G estpresque n-malléable, il su�t de montrer que quelles que soient les données (1), (21) et (32), le morphisme

HpUrrtrss{Fq // Tot HpV‚rrtrss{G‚qest un quasi-isomorphisme. Or, d’après l’Étape 2, ce morphisme s’identifie à

p1˚F b⇤ GqpUrrtrss{Fq // Tot p1˚F b⇤ GqpV‚rrtrss{G‚q. (306)

Remarquons à présent que le but du morphisme (306) est le complexe total associé à la diagonale ducomplexe semi-bicosimplicial

FpV‚rrtrssq b⇤ GpV‚rrtrss{G‚q.Puisque Ya`‚`b{Ga`‚`b est un hyper-recouvrement générique de Ya`b´1, pour tout pa, bq P N2 r tp0, 0qu, etque 1˚F et G sont malléables, on déduit aussitôt que ce complexe semi-bicosimplicial vérifie les conditions

54. Il ne faut pas utiliser ce théorème ici. Il faut plutôt faire une variante du lemme 6.139 avec (1), (21) et (32).

272 JOSEPH AYOUB

d’application de la Proposition 6.177. Ainsi, le morphisme (306) s’identifie au produit tensoriel des deuxmorphismes

FpUrrtrssq // Tot FpV‚rrtrssq et

GpUrrtrss{Fq // Tot GpV‚rrtrss{G‚q.Ceci permet conclure en utilisant une deuxième fois que 1˚F et G sont malléables. ⌅

Corollaire 6.179. — Gardons les hypothèses du Théorème 6.178. Soit X{F un k-feuilletage intègre etdi↵érentiellement lisse. Soit X une clôture algébrique de X, i.e., un pro-objet de Et{X tel que OpXq est uneclôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur X. Soit t un système d’indéterminées. Alors, ona un isomorphisme canonique dans Dp⇤q :

F´

Xrrtss¯

b⇤ R�ft

´Xrrtss{F; G

¯ „// R�ft

´Xrrtss{F; 1˚F b⇤ G

¯.

Démonstration. — Ceci a été démontré dans la deuxième étape de la preuve du Théorème 6.178. ⌅

Définition 6.180. — Rappelons que la catégorie homotopique de CplpPShpSmFol{k;⇤qq relativement àla structure projective ft-locale est notée DftpSmFol{k;⇤q. Nous noterons Dsp

ft pSmFol{k;⇤q la plus petitesous-catégorie triangulée de DftpSmFol{k;⇤q vérifiant les propriétés suivantes.

(1) Elle contient les complexes de préfaisceaux bornés à gauche, homotopiquement génériquement pré-continues et pré-discrets.

(2) Elle est stable par l’endofoncteur 1˚F b⇤ ´ pour tout complexe de préfaisceaux F sur Sm{k, borné àgauche, plat sur ⇤ et vérifiant la propriété de Mayer–Vietoris formelle.

(3) Elle est stable par coproduits de familles de complexes uniformément bornées à gauche.

Un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SmFol{k est dit spécial s’il appartient à Dspft pSmFol{k;⇤q.

Corollaire 6.181. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤ sur SmFol{k borné à gauche. On supposeque F est spécial. Alors, F est malléable.

Démonstration. — C’est la conjonction des Théorèmes 6.162 et 6.178. ⌅

6.17. Sur la propriété de Mayer–Vietoris formelle. —Le but de cette sous-section est de fournir quelques exemples de complexes de préfaisceaux sur Sm{k vé-

rifiant la propriété de Mayer–Vietoris formelle. La source de notre motivation est bien entendu le Théorème6.178.

Soient X un schéma et Z Ä X un sous-schéma fermé. Étant donné un OX-module quasi-cohérent M, onpose

R�ZpX;Mq “ CônetR�pX;Mq // R�pX r Z;Mqur´1s.(Les foncteurs dérivés R� ci-dessus sont calculés relativement à la topologie de Zariski.) Le résultat suivantest bien connu. Pour la commodité du lecteur, nous incluons une preuve rapide.

Lemme 6.182. — Soient A un anneau et I Ä A un idéal engendré par une suite régulière f1, . . . , fn. Onpose X “ SpecpAq et Z “ SpecpA{Iq. On a alors un isomorphisme canonique dans DpAq :

R�ZpX;Oq » pAf1{Aq bA ¨ ¨ ¨ bA pAfn{Aqrńs.

Démonstration. — Lorsque n “ 1, le résultat est clair. Dans la suite, on suppose que n > 2 et que le résultatest connu pour n ´ 1. Notons Y “ Zp f1, . . . , fn´1q et X1 “ Dp fnq. On a alors un morphisme de triangles


distinguésR�pX;Oq //

✏✏

R�pX;Oq ‘ R�pX1;Oq //

✏✏

R�pX1;Oq //

✏✏

R�pX r Z;Oq // R�pX r Y;Oq ‘ R�pX1;Oq // R�pX1 r Y 1;Oq // .

En prenant les fibres homotopiques des flèches verticales, on trouve alors le triangle distingué

R�ZpX;Oq // R�YpX;Oq // R�Y 1pX1;Oq // .

Par récurrence, la seconde flèche de ce triangle s’identifie à

pAf1{Aq bA ¨ ¨ ¨ bA pAfn´1{Aqrń ` 1s //`pAf1{Aq bA ¨ ¨ ¨ bA pAfn´1{Aq˘ bA Afnrń ` 1s.

Ceci permet de conclure. ⌅Proposition 6.183. — Le préfaisceau O sur Sm{k, représenté par le schéma en groupe G

a

, vérifie lapropriété de Mayer–Vietoris formelle.Démonstration. — Soit X “ SpecpAq un schéma local, régulier de point fermé x. Soit f1, . . . , fn une suiterégulière dans OpXq. Alors, f1, . . . , fn est encore une suite régulière dans A, la complétion formelle de A enson idéal maximal. Posons X “ SpecpAq. Nous devons vérifier que le morphisme

R�xpX;Oq // R�xpX;Oqest un quasi-isomorphisme. D’après le Lemme 6.182, ceci revient à montrer que

pAf1{Aq bA ¨ ¨ ¨ bA pAfn{Aq // pA f1{Aq bA ¨ ¨ ¨ bA pA fn{Aqest un isomorphisme. Il s’agit d’un exercice facile qu’on laisse au lecteur. ⌅Corollaire 6.184. — Soit X un k-schéma lisse. Alors, il existe un isomorphisme canonique

H‚dRpXq „

// H‚ftpX{k;O�q.

Démonstration. — Notons simplement pFt{X, ftq la petit site feuilleté du k-feuilletage grossier X{k. D’aprèsle Théorème 4.59, p55q on dispose d’une équivalence ft-locale dans CplpPShpFt{X;Qqq

O� // ⌦‚

avec⌦‚ le préfaisceau qui à un k-feuilletage Y{G associe le complexe �pY;⌦‚Y{Gq. Le morphisme de l’énoncé

est induit par la composition de

R�étpX;⌦‚X{kq // R�ftpX{k;⌦‚q » R�ftpX{k;O�q.

Pour conclure, il su�t donc de montrer que le morphisme canonique

R�étpX;⌦dX{kq // R�ftpX;⌦dq

est un isomorphisme pour tout d P N. La question étant locale, on peut supposer que les OX-modules ⌦dX{k

sont libres. Il s’ensuit alors que ⌦d, vu comme préfaisceau sur Ft{X, est isomorphe à une somme directefinie de copies de O. Ainsi, il est su�sant de montrer que le morphisme canonique

R�étpX;Oq // R�ftpX;Oqest un isomorphisme. Or, à présent, on peut considérer O comme un préfaisceau sur SmFol{k grâce auCorollaire 6.69 (voir aussi la Notation 6.70). Vu la Proposition 6.183, on peut invoquer le Corollaire 6.168pour conclure. ⌅

On passe à un autre type d’exemples avec le résultat suivant. Rappelons d’abord la notion de A1-localité(cf. [42, §3.2, Definition 2.1]).

55. Cette référence, n’est pas exactement ce qu’il nous faut...

274 JOSEPH AYOUB

Définition 6.185. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k. On dit que F estA1-local relativement à la topologie étale si, pour tout X P Sm{k et tout i P Z, le morphisme

HiétpX; Fq // Hi

étpA1X; Fq

est un isomorphisme.Remarque 6.186. — Dire que F est A1-local relativement à la toplogie étale revient à dire que si G est unremplacement projectivement ét-fibrant de F, alors G est projectivement pA1, étq-fibrant, i.e., fibrant pour lastructure de modèles projective pA1, étq-locale sur CplpPShpSm{k;⇤qq dont la catégorie homotopique estla catégorie DAe↵, étpk;⇤q des motifs e↵ectifs (sans transfers) sur k. (Voir [11, §3] pour plus de détails.) ⇤Proposition 6.187. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sm{k borné à gauche. On

suppose que F estA1-local relativement à la topologie étale. Alors, F vérifie la propriété de Mayer–Vietorisformelle.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que F est ét-fibrant. Puisque F est A1-local relativement à la topologie étale, il s’ensuit que F est pA1, étq-fibrant. Nous divisons la preuve en deuxparties.Partie A : Soit X un k-schéma nothérien, a�ne et régulier, et soit Y un X-schéma lisse. Dans cette partie,nous allons montrer que

FpYq » R homDAe↵, étpX;⇤qpY b ⇤,L⇡˚XFq

avec ⇡X : X // Specpkq le morphisme structural.D’après le théorème de Popescu, pour tout X-schéma lisse Y , la catégorie YzpSm{kq est cofiltante. Il

s’ensuit aussitôt que le foncteur

⇡˚X : CplpPShpSm{k;⇤qq // CplpPShpSm{X;⇤qq

est exact. Il préserve donc les équivalences ét-locales ainsi que les équivalences pA1, étq-locales. En parti-culier, on a L⇡˚

XF » ⇡˚XF.

Notons que ⇡˚XFpYq “ FpYq où le second membre de l’égalité désigne l’évaluation de F sur un pro-objet

pYjq jPJ dans Sm{k de limite projective Y . Ainsi, [3, Exposé VII, Théorème 5.7], joint au fait que F estborné à gauche, montre que ⇡˚

XF est encore projectivement ét-fibrant. Or, puisque F est pA1, étq-fibrant, lemorphisme

⇡˚XpFqpYq “ FpYq // ⇡˚

XpFqpA1Yq “ FpA1

Yqest un quasi-isomorphisme pour tout Y P Sm{X. Ceci montre que ⇡˚

XF est projectivement pA1, étq-fibrant.Il s’ensuit que R homDAe↵, étpX;⇤qpY b ⇤, ⇡˚

XFq » FpYq. C’est ce que nous cherchions à démontrer.Partie B : Revenons à notre problème. Soit X un k-schéma local, excellent et régulier de point fermé x.Soit X le spectre de la complétion formelle de OpXq en son idéal maximal. On forme le carré commutatif àcarrés cartésiens

X r txu j//

g✏✏

Xf✏✏

xioo

X r txu j// X x.ioo

On cherche à montrer que le carréFpXq //

✏✏

FpX r txuq✏✏

FpXq // FpX r txuq

(307)

est homotopiquement cartésien. On ne restreint pas la généralité en supposant que X est hensélien. Pardescente galoisienne, on se ramène au cas où X est strictement hensélien (i.e., x est le spectre d’un corpsalgébriquement clos). Dans ce cas, les p-dimensions cohomologiques ponctuelles (cf. [11, Définition 3.12])des schémas X et X sont uniformément bornés. Il en est de même des p-dimensions cohomologiques ponc-tuelles des X-schémas de type fini.


D’après la Partie A, le carré (307) s’identifie au carré suivant :

R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q,L⇡˚XpFqq //

✏✏

R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q,R j˚L j˚L⇡˚XpFqq

✏✏

R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q,L⇡˚XpFqq // R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q,R j˚L j˚L⇡˚

XpFqq.

Vu les triangles distingués de localisation [5, Proposition 1.4.9], p56q on se ramène à montrer que le mor-phisme

R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q; Ri˚Ri!L⇡˚XFq // R homDAe↵, étpX;⇤qp⇤Xp0q; Ri˚Ri!L⇡˚

XFqest un isomorphisme. Par adjonction, ce morphisme s’identifie à

R homDAe↵, étpx;⇤qp⇤xp0q; Ri!L⇡˚XFq // R homDAe↵, étpx;⇤qp⇤xp0q; Ri!L⇡˚

XFq.Il est donc su�sant de démontrer que le morphisme d’échange id˚

x ˝ Ri! // Ri! ˝ L f ˚ est inversible. Enutilisant à nouveau les 2-triangles distingués [5, Proposition 1.4.9], on se ramène à montrer que le mor-phisme d’échange L f ˚ ˝ R j˚ // R j˚ ˝ Lg˚ est inversible. Ceci a été démontré dans [8, Corollaire 1.A.4]pour DAe↵p´;⇤q. La preuve pour DAe↵, étp´;⇤q est la même ; il su�t d’utiliser [11, Proposition 3.20 etCorollaire 3.22] à la place de [8, Proposition 1.A.1 et Corollaire 1.A.3]. ⌅Corollaire 6.188. — Soit A un k-schéma en groupe commutatif et connexe. Alors, A, vu comme préfais-

ceau sur Sm{k, vérifie la propriété de Mayer–Vietoris formelle.Démonstration. — Il su�t de traiter le cas où A est G

a

ou une variété semi-abélienne. Le cas de Ga

aété traité dans la Proposition 6.183. Lorsque A est une variété semi-abélienne, le préfaisceau A est stricte-ment invariant par homotopie, i.e., les préfaisceaux Hi

étp´; Aq sont invariants par homotopie. On peut doncappliquer la Proposition 6.187 pour conclure. ⌅

7. La topologie h-feuilletée

Dans cette section nous introduisons la catégorie SgFol{k des k-feuilletages singuliers qui sera munie dela topologie h-feuilletée inspirée de la h-topologie de Voevodsky. Nous étendrons quelques résultats établisauparavant pour la topologie feuilletée au cas de la topologie h-feuilletée. Le résultat le plus important ob-tenu dans cette section est sans doute le calcul de la cohomologie h-feuilletée, à valeurs dans un préfaisceaupré-discret, d’un anneau de valuation (non nécessairement discrète ni de hauteur 1) muni d’une structure defeuilletage.

7.1. Feuilletages singuliers et topologie h-feuilletée. —On commence par la définition suivante.

Définition 7.1. — Un k-feuilletage singulier est un k-feuilletage X{F tel que ⌦X{F est cohérent, i.e.,localement de présentation finie. On note SgFol{k la catégorie des k-feuilletages singuliers.

On liste quelques propriétés simples des k-feuilletages singuliers.Lemme 7.2. — Un produit fibré de k-feuilletages singuliers est un k-feuilletage singulier. En particulier, lacatégorie SgFol{k possède les limites finies.Démonstration. — Il s’agit d’une conséquence directe de la Proposition 6.16. ⌅Proposition 7.3. — Soit X{F un k-feuilletage singulier et soit f : Y // X un morphisme localement de

présentation finie de k-schémas. Alors, le k-feuilletage Y{F (muni de la structure de feuilletage induite duLemme 6.10) est aussi un k-feuilletage singulier.Démonstration. — La question étant locale sur Y et X, on peut supposer que f est la composition d’uneimmersion fermée (localement de présentation finie) suivie de la projection An

X// X d’un espace a�ne

56. Le lecteur vérifiera facilement que dans [5, Proposition 1.4.9] seuls les axiomes 1–4 de [5, §1.4.1] sont utilisés. Ainsi, cetteproposition s’applique aux 2-foncteurs homotopiques « instables » comme DAe↵, étp´;⇤q.

276 JOSEPH AYOUB

relatif. Vu la formule ⌦AnX{F » `

⌦X{F ‘ O‘nX

˘ bOX OAnX, le k-feuilletage An

X{F est singulier. Il est doncsu�sant de traiter le cas d’une immersion fermée.

Soit s : Z ãÑ X l’inclusion d’un sous-schéma fermé défini par un idéal I Ä OX. D’après le Corollaire6.17, on dispose d’une suite exacte de OZ-modules quasi-cohérents

I{I2 // s‹⌦X{F // ⌦Z{F // 0.

Puisque le faisceau d’idéaux I est localement de type fini, le OZ-modules I{I2 est localement de type fini.Ceci permet de conclure. ⌅

On a le résultat de lissité générique suivant.Proposition 7.4. — Soit X{F un k-feuilletage singulier. Si X est réduit, alors il existe un ouvert dense

U Ä X tel que U{F est di↵érentiellement lisse.Démonstration. — En e↵et, puisque X est réduit et que le OX-module ⌦X{F est localement de présentationfinie, tout point générique de X possède un voisinage ouvert au-dessus duquel ⌦X{F est libre. L’union de cesvoisinages est un ouvert dense U Ä X tel que la restriction de ⌦X{F à U est localement libre de rang fini. Ils’ensuit que U{F est di↵érentiellement lisse. ⌅Définition 7.5. — Un recouvrement propre d’un k-feuilletage singulier X{F est une famille de morphismesbasiques t fi : Yi{F // X{FuiPI vérifiant les conditions suivantes :

(i) les morphismes de schémas fi : Yi // X sont propres (et, en particulier, localement de présentationfinie) ;

(ii) X “ îiPI fipYiq.

Le recouvrements propres définissent une prétopologie sur SgFol{k.Définition 7.6. — La topologie h-feuilletée sur SgFol{k est la topologie engendrée par l’union de la pré-topologie des recouvrements feuilletés et de la prétopologie des recouvrements propres. Elle sera désignéepar hft. Le site pSgFol{k, hftq est appelé le grand site h-feuilleté du corps k.Remarque 7.7. — La topologie h-feuilletée peut se définir également à l’aide de la prétopologie, qu’on

appellera la prétopologie h-feuilletée. Elle est constituée des familles qui peuvent s’écrire comme une com-position finie de familles appartenant à l’union de la prétopologie des recouvrements feuilletés avec laprétopologie des recouvrements propres. ⇤Proposition 7.8. — Soit t fi : Yi{Gi // X{FuiPI un recouvrement h-feuilleté et soit ⌘ P X un point

générique. Il existe alors un ouvert quasi-compact U Ä X contenant ⌘, un indice i0 P I et un ouvertV Ä Yi0 ˆX U tel que le morphisme V // U est surjectif, de présentation finie-dénombrable et pro-lisse.Démonstration. — L’énoncé en question est clairement satisfait pour la prétopologie des recouvrementspropres. (Dans ce cas, V // U sera même de présentation finie.) L’énoncé est également satisfait pour laprétopologie des recouvrement feuilletés par la Proposition 6.57. Étant donné un recouvrement h-feuilleté,on peut l’écrire comme une composition finie de recouvrements propres et feuilletés. Une recourrence facilepermet de conclure. ⌅

7.2. Résolution de certaines singularités de feuilletages. —En général, on ne peut pas espérer résoudre les singularités d’un k-feuilletage singulier par éclatement.

Toutefois, pour certains type de pro-k-feuilletages, la résolution des singularités de Hironaka [33] s’appliquepour fournir un pro-k-feuilletage di↵érentiellement lisse. C’est ce que nous expliquerons dans cette sous-section au but très modeste. On introduit d’abord quelques notations.Notation 7.9. — Soit X{F “ pXi{FiqiPI un pro-k-feuilletage. On suppose que, pour i P I, Xi{Fi est

intègre et di↵érentiellement lisse et que, pour j 6 i dans I, le morphisme Xj{F j // Xi{Fi est dominant etdi↵érentiellement étale. Soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées et considérons le pro-k-feuilletagedi↵érentiellement lisse Xpptss{F. Comme d’habitude, nous noterons aussi Xpptss{F la limite projective de cepro-k-feuilletage. ⇤


Proposition 7.10. — Soit f : Y // Xpptss un morphisme de type fini et soit y P Y un point. Alors, lek-feuilletage Y{F est di↵érentiellement lisse en y si et seulement si le schéma Y est régulier en y.Démonstration. — On divise la preuve en plusieurs étape. Dans les deux premières étapes on se ramène aucas où f est une immersion fermée et y le point fermé de Y .Étape A : Quitte à remplacer f par une compactification partielle d’un voisinage de y, on peut trouver untriangle commutatif

Y s//

f ''

Xpptssrt1sp✏✏

Xpptssavec t1 “ pt1

1, . . . , t1n1q un système d’indéterminées, p la projection évidente et s une immersion fermée telle

que sptyuqXp´1p⌘pXqq ,H. (On rappelle que ⌘pXq est le point fermé du schéma local Xpptss.) Quitte à faireun changement de variables, on peut supposer que l’origne de l’espace a�ne An1

⌘pXq “ ⌘pXqrt1s appartient à

sptyuq. Il s’ensuit que spyq P Xpptssrt1s appartient à l’image du morphisme évident ⌘pXqrrt2ss // Xpptssrt1s,avec t2 “ pt1, . . . , tn, t1

1, . . . , t1n1q. Formons un carré cartésien de k-feuilletages

rY{F //

✏✏

⌘pXqrrt2ss{F✏✏

Y{F // Xpptssrt1s{F.La flèche verticale de droite est di↵érentiellement étale et le morphisme de schémas sous-jacent est régulierpuisque Xpptssrt1s est excellent (d’après le Corollaire 6.129). Il s’ensuit que le morphisme de k-feuilletagesrY{F // Y{F est di↵érentiellement étale et que le morphisme de schémas rY // Y est régulier. De plus,par construction, le point Y appartient à l’image de rY // Y ; soit y P rY un antécédent à y. D’après ce quiprécède, Y{F est di↵érentiellement lisse en y si et seulement si rY{F est di↵érentiellement lisse en y. (Ene↵et, puisque ⌦Y{F est de présentation fini, ⌦Y{F est libre au voisinage de y si et seulement si p⌦Y{Fqy est unOY,y-module plat. Puisque OrY ,y est une OY,y-algèbre fidèlement plate, cette dernière condition équivaut à lacondition que p⌦rY{Fqy est un OrY ,y-module plat qui est satisfaite si et seulement si ⌦rY{F est libre au voisinagede y.) De même, Y est régulier en y si et seulement si rY est régulier en y. Ceci montre qu’il su�t de prouverla prorposition pour l’immersion fermée rY ãÑ ⌘pXqrrtss.Étape B : Vu l’étape précédente, on peut supposer que X{F “ SpecpKq{A� avec K{k une �-extensionessentielle avec � “ tB1, . . . , Bmu en ensemble de dérivations agissant trivialement sur k. Pour éviter desnotations conflictuelles, nous écrirons dans la suite SpecpKq{F au lieu de SpecpKq{A�.

Toujours par l’étape précédente, on peut supposer que s : Y ãÑ Q “ SpecpKrrtssq est l’inclusion d’unsous-schéma fermé. Notons Z “ tyu l’adhérence Zariski dans Q du point y. D’après le Corollaire 6.128, onpeut supposer que la composition de

Z ãÑ Qp// R “ SpecpKrrtpćqssq

est finie et surjective (avec c la codimension de Z dans Q) ; en particulier, elle est génériquement étale. Pour1 6 i 6 n, on note �i la dérivation partielle par rapport à ti. La composition ci-dessus fournit alors unestructure de �1-corps sur pyq avec �1 “ �\ t�1, . . . , �nću. Le choix d’une suite régulière a1, . . . , ac P OQ,yqui engendre l’idéal maximal de OQ,y fournit une base dpa1q, . . . , dpacq d’un supplémentaire dans p⌦Q{Fqyde pp‹⌦R{Fqy. Ceci permet de construire un morphisme di↵érentiellement étale de k-feuilletages

e : Specppyqrr⌧1, . . . , ⌧cssq{F1 // SpecpKrrtssq{Favec ⌧ “ ai ˝ e. (Ci-dessus, nous avons noté Specppyqq{F1 au lieu de Specppyqq{A�1 pour éviter desnotations conflictuelles.) Appelons s1 : Y 1 ãÑ Specppyqrr⌧1, . . . , ⌧cssq{A�1 le changement de base de s par

278 JOSEPH AYOUB

e. Comme dans l’Étape A, le morphisme Y 1{F1 // Y{F est di↵érentiellement étale et le morphisme sous-jacent Y 1 // Y est régulier. De plus, y P Y est l’image du point fermé de Y 1. En raisonnant comme dansl’Étape A, on arrive à la conclusion qu’il est su�sant de traiter la cas de Y 1 et de son point fermé.Étape C : On termine ici la preuve de la proposition en traitant le cas où s : Y ãÑ Q “ SpecpKrrtssq estl’inclusion d’une sous-schéma fermé et y P Y son point fermé.

Supposons d’abord que Y est régulier en y. Alors, quitte à faire un changement de variables, on peutsupposer que Y est défini par l’annulation des indéterminées t1, . . . , tnć avec c la codimension de Y . Ils’ensuit aussitôt que Y{F est isomorphe à SpecpKrrtnć`1, . . . tnssq{F ; il est donc di↵érentiellement lisse.

Réciproquement, supposons que Y{F est di↵érentiellement lisse. Soit I Ä Krrtss l’idéal définissant lesous-schéma fermé Y . On raisonne par récurrence sur n ; si n “ 0, il n’y a rien à montrer. Supposons quen > 1. On note m “ pt1, . . . , tnq l’idéal maximal de Krrtss. Si I 1 m2, on peut, quitte à faire un changementde variables, supposer que tn P I. Ainsi, Y est naturellement un sous-schéma fermé Krrtp´1qss et on peututiliser l’hypothèse de récurrence pour conclure.

Dans la suite, nous supposons que I Ä m2 ; nous allons montrer que I “ 0 ce qui permet clairement deconclure. D’après le Corollaire 6.17, on dispose d’une suite exacte de OY-modules cohérents

I{I2 // s‹⌦Q{F // ⌦Y{F // 0

avec I “ I ¨ OQ le faisceaux d’idéaux associé à I. Vu que I Ä m2, l’image de I par dF : OQ // ⌦Q{F estcontenue dans m ¨ ⌦Q{F. La suite exacte ci-dessus montre donc que ⌦Q{F bOQ pyq » ⌦Y{F bOY pyq. LeOY-module libre ⌦Y{F a donc le même rang que le OQ-module libre ⌦Q{F (égal à m ` n). Il s’ensuit que lemorphisme s‹⌦Q{F // ⌦Y{F est un isomorphisme. Ceci entraîne en particulier que

dpIq Ä I ¨⌦Krrtss{K “nà

i“1Krrtss ¨ dti.

Il s’ensuit que I est stable par les dérivations partielles par rapport aux variables ti. Puisque I Ä m, on anécessairement I “ 0 comme souhaité. ⌅Notation 7.11. — Dans la suite de la sous-section, on supposera que Xi est a�ne pour tout i P I et que

limiPI Xi est le spectre d’un corps. Ceci n’est pas indispensable mais simplifiera les notations. En particulier,sous ces conditions, on a un isomorphisme de pro-k-feuilletages Xpptss{F » Xrrtss{F.

Soient o P I un indice et fo : Yo // Xorrtss un morphisme de présentation finie. Pour i > o dans I, onpose Yi “ Xirrtss ˆXorrtss Y et fi : Yi // Xirrtss la projection sur le premier facteur. Le pro-k-schéma pYiqiPIainsi que sa limite seront notés Y . On a un morphisme de présentation finie f : Y // Xrrtss. ⇤Lemme 7.12. — Supposons que le k-feuilletage Y{F est di↵érentiellement lisse. Il existe alors un indice

i0 > o tel que, pour tout i > i0, le k-feuilletage Yi{Fi est di↵érentiellement lisse.Démonstration. — D’après le Lemme 6.31, les morphismes de k-feuilletages

ui>o : Yi{Fi // Yo{Fo et u8>o : Y{F // Yo{Fo

sont di↵érentiellement étales. Il s’ensuite des isomorphismes canoniques

⌦Yi{Fi » pui>oq‹⌦Yo{Fo et ⌦Y{F » pu8>oq‹⌦Yo{Fo .

Par hypothèse, le OY-modules ⌦Y{F est localement libre. Puisque ⌦Yo{Fo est de présentation finie d’après laProposition 7.3, on peut appliquer [26, Chapitre IV, Proposition 8.5.5] pour conclure. ⌅Proposition 7.13. — Avec les Notations 7.11, il existe un indice i0 > o et un morphisme propre et surjectifY 1

i0// Yi0 tel que Y 1

i0{Fi0 est di↵érentiellement lisse.Démonstration. — D’après le Corollaire 6.129, le k-schéma Y est excellent. La résolution des singularitéspour les schémas excellents en caractéristique nulle [49] fournit un morphisme projectif e : Y 1 // Y desource un schéma régulier. D’après [26, Chapitre IV, Théorèmes 8.8.2 et 8.10.5] et quitte à ra�ner l’indiceo, on peut supposer que le morphisme e provient d’un morphisme projectif et de présentation finie eo :Y 1

o// Yo. Puisque Y 1 est régulier, il découle de la Proposition 7.10 que Y 1{F est di↵érentiellement lisse. On


peut donc utiliser le Lemme 7.12 pour trouver un indice i0 > o tel que Y 1i0{Fi0 soit di↵érentiellement lisse.

La proposition est démontrée. ⌅

7.3. Rappels sur les groupes ordonnés. —Pour nous, un groupe ordonné sera un groupe commutatif noté additiviement et muni d’un ordre partiel

compatible à l’addition. Étant donné un groupe ordonné �, nous noterons �˝ son sous-monoïde des élémentspositifs, i.e., �˝ “ t⌫ P �; ⌫ > 0u. (On ne demande pas que le groupe � soit engendré par �˝.)Exemple 7.14. — L’ordre naturel sur Zm est l’ordre pour lequel pZmq˝ “ Nm. La base évidente pe1, ¨ ¨ ¨ , emqde Zm est donnée par les vecteurs ei “ p0, . . . , 1, . . . , 0q où le « 1 » est placé à la i-ième place. ⇤

Rappelons le fait bien connu suivant. p57q

Lemme 7.15. — Soit L Ä Zm une partie vérifiant les deux propriétés suiavntes :(a) il existe ⌫ P Zm vérifiant ⌫ 6 � pour tout � P L, i.e., L est minorée ;(b) deux éléments distincts de L ne sont pas comparables.

Alors, L est finie.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que L Ä Nm. Lorsque m “ 1, L contientau plus un élément et il n’y a rien à démontrer.

On raisonne par récurrence en supposant que m > 2 et que le résultat est connu pour les parties de Zm´1.Pour ⌫ P Zm, notons pp⌫q P Z sa projection sur le premier facteur et qp⌫q P Zm´1 sa projection les autresfacteurs. Par l’hypothèse de récurrence, l’ensemble des éléments minimaux de qpLq est fini. Autrement dit,il existe ⌫1, . . . , ⌫r P L tel que pour tout ⌫ P L, qp⌫q est supérieur à l’un des qp⌫iq pour 1 6 i 6 r. On posea “ maxtpp⌫iq | 1 6 i 6 ru. Alors, pour tout ⌫ P L, on a nécessairement 0 6 pp⌫q 6 a. Il s’ensuit que

cardpLq “aÿ

b“0

cardpp´1pbq X Lq.

Or, par une seconde application de l’hypothèse de récurrence, les parties p´1pbq X L sont finies. ⌅Corollaire 7.16. — Soit L Ä Zm une partie minorée. Alors, l’ensemble des éléments minimaux de L est

fini.Corollaire 7.17. — Soit � : Zm // � un morphisme strictement croissant vers un groupe ordonné �.

Alors, pour tout ⌫ P �˝, l’ensemble �´1p⌫q X Nm est fini.Démonstration. — En e↵et, la condition que � est strictement croissant entraîne que deux éléments distinctsde �´1p⌫q X Nm ne sont pas comparables. On peut donc appliquer le Lemme 7.15. ⌅

La notion suivante est tirée de [17, Chapitre 6, §4.2].Définition 7.18. — Soient � un groupe ordonné et H Ñ � un sous-groupe. Nous dirons que H est isolé

dans � si, pour tout x P � et y P H, la relation 0 6 x 6 y entraîne que x P H.Lemme 7.19. —(a) Soient � et �1 deux groupes ordonnés et soit � : � // �1 un morphisme croissant. Alors, kerp�q est un

sous-groupe isolé de �.(b) Réciproquement, soit � un groupe ordonné et soit H Ñ � un sous-groupe isolé de �. Alors, le groupe

�{H possède une unique relation d’ordre compatible à l’addition et telle que p�{Hq˝ est l’image de�˝ par la projection � // // �{H. Cette projection est alors croissante de noyau H.

Démonstration. — Il s’agit de [17, Chapitre 6, Proposition 3 de §4.2]. ⌅Rappelons qu’un groupe ordonné � est dit totalement ordonné si l’ordre sous-jacent est total, ce qui

équivaut à la condition � “ �˝ Y p´�˝q. Si � est totalement ordonné et si H Ä � est un sous-groupe, alorsK est aussi totalement ordonné pour l’ordre induit.

57. Remplacer la preuve par une référence.

280 JOSEPH AYOUB

Lemme 7.20. — Soit � un groupe totalement ordonné. Alors, l’ensemble des sous-groupes isolés de � esttotalement ordonné par l’inclusion.Démonstration. — C’est évident. ⌅

Ceci motive la définition suivante (voir [17, Chapitre 6, §4.4]).Définition 7.21. — Soit � un groupe totalement ordonné. La hauteur de �, notée htp�q et appartenant àN\ t`8u, est le nombre de sous-groupes isolés stricts de �. (Par définition, la hauteur de � est nulle si etseulement si � “ t0u.)

Le rang d’un groupe abélien � est la dimension duQ-vectoriel �bZQ ; il est noté rkp�q. Le lemme suivantdonne une estimation évidente de la hauteur.Lemme 7.22. — Si � est un groupe totalement ordonné, alors htp�q 6 rkp�q.Proposition 7.23. — Soit � un groupe totalement ordonné.

(a) La hauteur de � vaut 1 si et seulement si il existe un monorphisme croissant � ãÑ R.(b) Si � est un Z-module de rang fini, il existe des groupes totalement ordonnés �1, . . . ,�h, tous de hauteur

1, et un isomorphisme croissant� » �1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ �h

où le membre de droite est muni de l’ordre lexicographique : px1, ¨ ¨ ¨ , xhq † py1, ¨ ¨ ¨ , yhq s’il existee P rr1, hss tel que xi “ yi pour 1 6 i 6 e ´ 1 et xe † ye. De plus, l’entier h est égal à la hauteur de �.

(c) La conclusion de (b) est aussi vraie si � est un Q-vectoriel de dimension finie.

Démonstration. — La partie (a) est contenue dans [17, Chapitre 6, Proposition 8 de §4.5]. Les parties (b)et (c) s’obtiennent par application successive de [17, Chapitre 6, Lemme 2 de §10.2]. ⌅

Le résultat est bien connu.Proposition 7.24. — Soit � un groupe totalement ordonné et soit M Ñ �˝ un sous-monoïde de type fini.

Il existe alors des éléments �1, . . . , �r P �˝, linéairement indépendants (dans le Z-module �) et tels queM Ñ ∞r

i“1N ¨ �i.Démonstration. — Quitte à remplacer � par le sous-groupe engendré par M, on peut supposer que � est unZ-module de type fini et, en particulier, de hauteur finie.

On raisonne par récurrence sur la hauteur de �. Lorsque htp�q “ 1, il existe un plongement croissant� ãÑ R et le résultat recherché s’obtient par récurrence sur le nombre de générateurs de M à partir d’unrésultat classique de Zariski [54, §B, Theorem 1].

Lorsque htp�q > 2, on peut supposer que � “ �1 ˆ�2, muni de l’ordre lexicographique, avec �1 et �2 desgroupes totalement ordonnés de hauteurs strictement plus petites que celle de �. (Ici, on se sert du fait que� a été supposé de type fini.) Choisissons des générateurs z1, ¨ ¨ ¨ , zm P �˝ r t0u du monoïde M et écrivonszi “ pxi, yiq avec xi P �1 et yi P �2. Quitte permuter ces générateurs, on peut supposer qu’il existe s P rr0,msstel que :

– xi ° 0 pour 1 6 i 6 s ;– x j “ 0 et y j ° 0 pour s ` 1 6 j 6 m.

D’après l’hypothèse de récurrence, il existe �1,1, . . . , �1,r1 P �˝1, linéairement indépendants, tels que le sous-

monoïde∞r1

e“1N¨�1,e contient les éléments xi pour i P rr1, sss. Appelons u “ maxt0,ý1, ¨ ¨ ¨ ,ýsu. D’aprèsl’hypothèse de récurrence, il existe �2,1, . . . , �2,r2 P �˝

2, linéairement indépendants, tels que le sous-monoïde∞r2e“1N ¨ �2,e contient– les éléments y j pour j P rrs ` 1,mss ;– les éléments u ` yi pour i P rr1, sss ;– l’élément u.

Il est alors immédiat de voir que les éléments

p�1,1,úq, . . . , p�1,r1 ,úq, p0, �2,1q, . . . , p0, �2,r2q P �˝

sont linéairement indépendants et engendrent un sous-monoïde de �˝ contenant M. ⌅


7.4. Quelques anneaux de séries formelles. —Dans cette sous-section nous introduisons quelques anneaux de séries formelles généralisés.

Notation 7.25. — Soit � un groupe ordonné. Pour un anneau A, on note Arr�˝ss le A-module des sériesformelles

f “ÿ

⌫P�˝a⌫ ¨ t⌫, avec pa⌫q⌫P�˝ P A�

˝,

telles que l’ensemble suppp f q “ t⌫ P �˝; a⌫ , 0u, appelé le support de f , soit contenu dans un sous-monoïde de type fini de �˝ (i.e., telles qu’il existe x1, . . . , xm P �˝ de sorte que a⌫ “ 0 si ⌫ <

∞mi“1N ¨ xi).

⇤Lemme 7.26. — Soit � : � // �1 un morphisme strictement croissant de groupes ordonnés. Alors, il existeun morphisme canonique de A-modules

�p´q : Arr�˝ss // Arr�1˝ss.Il envoie une série formelle f “ ∞

⌫P�˝ a⌫ ¨ t⌫ sur

� f “ÿ

⌫1P�1˝

¨

˝ÿ

⌫P�˝, �p⌫q“⌫1a⌫

˛

‚¨ t⌫1.

Démonstration. — Il s’agit de montrer que la somme∞

vP�˝, �p⌫q“⌫1 a⌫ est bien définie. Autrement dit, il fautmontrer que l’ensemble tv P suppp f q | �pvq “ v1u est fini.

Soient x1, . . . , xm P �˝ r t0u des éléments tels que suppp f q Ñ ∞mi“1N ¨ xi. Considérons le morphisme

: Zm // �1 donné par peiq “ �pxiq. L’ensemble qui nous intéresse est un sous-quotient de ´1p⌫1q XNm

qui est fini d’après le Corollaire 7.17. (En e↵et, puisque � est strictement croissant, les peiq sont tousstrictement positifs dans �1.) ⌅Proposition 7.27. —

(a) Soit � un groupe ordonné. Le A-module Arr�˝ss est naturellement une A-algèbre. Le groupe de seséléments inversibles est donné par

pArr�˝ssqˆ “ t∞⌫P�˝ a⌫ ¨ t⌫ P Arr�˝ss | a0 P Aû .(b) Étant donné un morphisme strictement croissant � : � // �1, le morphisme de A-modules �p´q :

Arr�˝ss // Arr�1˝ss est un morphisme de A-algèbres.

Démonstration. — Soient f “ ∞⌫P�˝ a⌫ ¨ t⌫ et g “ ∞

⌫P�˝ b⌫ ¨ t⌫ deux éléments dans Arr�˝ss. Leur produitest donné par

f ¨ g “ÿ

⌫P�˝

˜ÿ

µ`⇢“⌫aµ ¨ b⇢

¸

¨ t⌫. (308)

Montrons que cette expression a bien un sens, i.e., que la somme∞µ`⇢“⌫ aµ ¨ b⇢ est une somme finie et

qu’elle est nulle pour ⌫ en dehors d’un sous-monoïde de type fini de �˝. Pour ce faire, nous allons utiliser lelemme 7.26. On peut trouver un morphisme croissant � : Zm // � et des séries formelles f , g P ArrNmss “Arrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss telles que f “ � f et g “ �g. Il est alors immédiat de voir que �p f ¨ gq est donnée parl’expression (308). Les autres assertions sont immédiates. ⌅Proposition 7.28. — Soit � un groupe totalement ordonné. Alors, la A-algèbre Arr�˝ss est une union

filtrante de sous-A-algèbres qui sont isomorphes à Arrt1, ¨ ¨ ¨ , tmss.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la proposition 7.24. ⌅Lemme 7.29. — Soit � un groupe ordonné et soient � P �˝ un élément et S Ä �˝ une partie. Les conditionssuivantes sont équivalentes.

(i) S est contenue dans un sous-monoïde de type fini de �˝.(ii) � ` S est contenue dans un sous-monoïde de type fini de �˝.

282 JOSEPH AYOUB

Démonstration. — L’implication piq ñ piiq étant évidente, on suppose que � ` S est contenue dans unsous-monoïde de type fini de �˝ et on démontre qu’il en est de même de S .

Soit � : Zm // � un morphisme strictement croissant tel que �` S Ä �pNmq. D’après le Corollaire 7.16,la partie �´1t⌫ > �u XNm possède un nombre fini d’éléments minimaux ; notons les w1, . . . ,wr. On a�rmeque la partie S est contenue dans le sous-monoïde de �˝ engendré par les éléments

�pe1q, . . . , �pemq, �pw1q ´ �, . . . , �pwrq ´ �.

En e↵et, soit � P S . On peut trouver w P Nm tel que �` � “ �pwq. Il existe alors un entier 1 6 s 6 r tel quews 6 w. Il s’ensuit que � “ �pwsq ´ � ` �pw ´ wsq avec w ´ ws P Nm. Ceci permet de conclure. ⌅Proposition 7.30. — Soient � un groupe ordonné et � P �˝. Les conditions suivantes sont équivalentes

pour f P Arr�˝ss :(i) � 6 ⌫ pour tout ⌫ P suppp f q.

(ii) t� divise f .

Démonstration. — En e↵et, si f “ ∞⌫P�˝ a⌫ ¨ t⌫ vérifie (i), on peut poser g “ ∞

⌫Psuppp f q a⌫ ¨ t⌫´�. D’après leLemme 7.29, g est un élément de Arr�˝ss et on a t� ¨ g “ f . ⌅Proposition 7.31. — Soient � un groupe totalement ordonné et H Ä � un sous-groupe isolé. Alors, la

A-algèbre Arr�˝ssrt� | � P Hs, obtenue en localisant par rapport à la partie multiplicative tt� | � P H˝u, estl’ensemble des séries formelles

f “ÿ

⌫P�a⌫ ¨ t⌫

vérifiant les propriétés suivantes :(a) suppp f q est vide ou possède un plus petit élément µ qui appartient à H Y �˝ ;(b) (si suppp f q est non vide) suppp f q ´ µ est contenu dans un sous-monoïde de type fini de �˝.

De plus, une série formelle comme ci-dessus est inversible si et seulement si (suppp f q est non vide et) lecoe�cient aµ est inversible.Démonstration. — Un élément non nul f de Arr�˝ssrt� | � P Hs est un produit t´� ¨ g avec g P Arr�˝sset � P H˝. D’après la Proposition 7.30, on peut supposer que � “ 0 ou que 0 P supppgq. Il s’ensuit quesuppp f q Ä �˝ ou minpsuppp f qq “ ´�. Dans les deux cas, suppp f q ` µ est contenu dans un sous-monoïdede type fini de �˝. (Dans le premier cas, il faut utiliser le Lemme 7.29.) Réciproquement, une série formellevérifiant (a) et (b) fournit bien un élément de Arr�˝ssrt� | � P Hs. La dernière assertion est claire. ⌅Notation 7.32. — Soit � un groupe ordonné.

(a) Si X est un schéma a�ne, on note Xrr�˝ss le spectre de l’anneau OpXqrr�˝ss. En fait, dans la suite, nousallons surtout considérer Xrr�˝ss comme un pro-schéma ; c’est le pro-schéma donné par pXrrMssqMÄ�˝

où M parcourt l’ensemble filtrant des sous-monoïdes de type fini de �˝.(b) Si X est un schéma intègre (ou ayant un nombre fini de points génériques), on note Xpp�˝ss le pro-

schéma pUrr�˝ssqUÄX où U parcourt l’ensemble des ouverts a�nes denses de X. En fait, dans la suite,nous considérons plutôt le pro-schéma pUrrMssqMÄ�˝,UÄX.

(c) On étend ces notations aux pro-schémas X “ pXiqiPI a�nes (resp. intègres aux morphismes de transi-tion dominants).

⇤Corollaire 7.33. — Soit � un groupe totalement ordonné et soit X un schéma intègre. Alors, OpXpp�˝ssq

est un anneau de valuation de groupe de valuation �. De plus, le corps des fractions de OpXpp�˝ssq estdonné par OpXpp�˝ssqrt� | � P �˝s.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la Proposition 7.31. ⌅Construction 7.34. — Soit � un groupe ordonné et soit X “ SpecpAq un k-schéma a�ne. Alors, le pro-

k-schéma Xrr�˝ss “ SpecpArr�˝ssq possède une structure naturelle de feuilletage que l’on note abusivement


p⌦Xrr�˝ss{k, dq car le faisceau des k-di↵érentielles de Kähler sur ce k-schéma ne sera jamais considéré dans lasuite. Le OXrr�˝ss-module ⌦Xrr�˝ss{k est celui associé au Arr�˝ss-module I�{I2

� avec I� le noyau du morphisme

pA bk Aqrrp�ˆ �q˝ss // Arr�˝ss.La di↵érentielle associe à f P Arr�˝ss la classe de 1 b f ´ f b 1.

Lorsque le k-schéma X est sous-jacent à un k-feuilletage X{F, on peut former le produit fibré

pXrr�˝ss{kq ˆX{k X{Fqu’on notera abusivement Xrr�˝ss{F. Il s’agit en réalité d’un pro-k-feuilletage. ⇤Lemme 7.35. — Soit � un groupe totalement ordonné. Soit X{F un k-feuilletage a�ne et di↵érentiellementlisse. Alors, le pro-k-feuilletage Xrr�˝ss{F est isomorphe à un pro-k-feuilletage où tous les constituants sontdes k-feuilletages di↵érentiellement lisses.Démonstration. — Vu la Proposition 7.28, il su�t de prouver que XrrNmss{F “ Xrrt1, . . . , tmss{F est di↵é-rentiellement lisse ce qui est clair. ⌅

On note le résultat utile suivant.Proposition 7.36. — Soit � un groupe totalement ordonné et uniquement divisible. Soit pQi{LiqiPI un

pro-k-feuilletage génériquement ft-universel au sens de la Définition 6.74. Alors, l’association

F colimiPI FpQipp�˝ss{Liqdéfinit un point du topos ShvhftpSgFol{kq.Démonstration. — D’après le Lemme 6.79, il faut prouver que tout recouvrement h-feuilleté du pro-k-feuilletage pQipp�˝ss{LiqiPI est scindé. Il su�t de traiter séparément le cas d’un recouvrement feuilleté etcelui d’un recouvrement propre. Le cas d’un recouvrement feuilleté a été traité dans la preuve de la Pro-position 6.86. Celui d’un recouvrement propre découle du critère valuatif de propreté [23, Chapitre II,Théorème 7.3.8] et du fait que colimiPI FracpOpQipp�˝ssqq est un corps algébriquement clos puisque � estun Q-vectoriel. ⌅

7.5. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, I. Le cas formel et sans défaut. —On adoptera la terminologie suivante.

Définition 7.37. — Un polytrait V est un schéma a�ne (ou plus généralement un pro-schéma a�ne) telque OpVq est un anneau de valuation. La longueur d’un polytrait V, notée lgpVq P N\ t8u, est la hauteurdu groupe totalement ordonné FracpOpVqqˆ{OpVqˆ.

Un k-polytrait feuilleté est un k-feuilletage (ou plus généralement un pro-k-feuilletage) ayant un polytraitcomme k-schéma sous-jacent.

Dans cette section on commence l’étude de la cohomologie h-feuilletée des k-polytraits feuilletés ; cetteétude culminera avec le Théorème ? ? qui sera démontré dans § ? ?. Ici, nous nous concentrons sur les casdes k-polytraits feuilletés les plus simples et nous commençons par le cas de la hauteur nulle. (Étant donnéun k-feuilletage singulier X{F, on note SgFolF{X la catégorie des flèches de SgFol{k de but X{F.)Théorème 7.38. — Soit X{F un k-feuilletage singulier ayant un nombre fini de composantes irréductibleset soit f : Y‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique de X{F dans FtF{X.

Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFolF{X et supposons que F est borné à gaucheet projectivement hft-fibrant. Alors, le morphisme canonique

colimUÄX

FpU{Fq “ colimQ‚ÄY‚

Tot FpQ‚{G‚q,où U parcourt les ouverts denses de X et Q‚ les sous-schémas semi-simpliciaux ouverts et denses de Y‚, estun quasi-isomorphisme.Démonstration. — C’est une conséquence du Théorème 6.89 appliqué à la restriction de F à FtF{X qui estbien projectivement ft-fibrante. (On utilise que l’inclusion évidente FtF{X ãÑ SgFolF{X est un morphismede sites.) ⌅

284 JOSEPH AYOUB

Corollaire 7.39. — Soit X{F un k-feuilletage singulier ayant un nombre fini de composantes irréduc-tibles. Soit F un complexe de préfaisceaux de⇤-modules sur SgFolF{X borné à gauche. Alors le morphismecanonique

R�ftp⌘pXq{F; Fq // R�hftp⌘pXq{F; Fqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Soit tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI une ft-hyper-clôture générique de X{F (voir la Définition6.91). Soit F // F 1 un remplacement ft-fibrant (i.e., une équivalence ft-locale avec F 1 un complexe depréfaisceaux ft-fibrant) et soit F 1 // F2 un remplacement hft-fibrant (i.e., une équivalence hft-locale avecF 1 un complexe de préfaisceaux hft-fibrant). Par la suite spectrale de Hochschild–Serre il est su�sant deprouver que le morphisme

colimiPI F 1pXi{Fiq // colimiPI F2pXi{Fiqest un quasi-isomorphisme. D’après les Théorèmes 6.89 et 7.38, il su�t de montrer que le morphisme

colimiPI Tot F 1pQi,‚{Li,‚q // colimiPI Tot F2pQi,‚{Li,‚qest un quasi-isomorphisme. Puisque F 1 et F2 sont bornés à gauche, il est su�sant de montrer que pour toutn P N, le morphisme

colimiPI F 1pQi,n{Li,nq // colimiPI F2pQi,n{Li,nqest un quasi-isomorphisme. Or, le pro-k-feuilletage pQi,n{Fi,nqiPI définit un point du site pSgFolF{X, hftq.Puisque F 1 // F2 est une équivalence hft-locale, ceci permet de conclure. ⌅

Notre prochaine tâche est d’étendre le Corollaire 7.39 à des polytraits feuilletés plus généraux. Pour cela,il sera nécessaire de restreindre la classe des préfaisceaux. En e↵et, on a le résultat suivant. (On renvoie lelecteur à la Définition 6.138 pour la notion de malléabilité.)Théorème 7.40. — On se donne un groupe totalement ordonné et uniquement divisible �. Soit X{F un

k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse, et soit U Ä Xpp�˝ss un ouvert.Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k borné à gauche. On suppose que F est

malléable. Alors, le morphisme canonique

R�ftpU{F; Fq // R�hftpU{F; Fqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Il su�t de traiter la cas où � est un Q-vectoriel de dimension finie. En particulier, lahauteur htp�q de � est finie.

On raisonne par récurrence sur htp�q. Lorsque � est de hauteur nulle, i.e., � “ t0u, le théorème est uncas particulier du Corollaire 7.39 puisque Xpp�˝ss coïncide alors avec le pro-schéma ⌘pXq. Dans la suite, onsuppose que htp�q > 1 et que le résultat est connu pour les groupes ordonnés de hauteur strictement pluspetite que htp�q.

Rappelons que Xpp�˝ss est un polytrait de dimension égale à la hauteur de �. Tout ouvert non vide U ÄXpp�˝ss est a�ne et il est de la forme

U “ Xpp�˝ssrt� | � P Hspour un certain sous-groupe isolé H Ä �. De plus, OpUq “ OpXpp�˝ssrt�sq est un anneau de valuation degroupe de valuation �{H. Le point fermé de U est le pro-schéma S “ XppH˝ssrt� | � P Hs. Le choix d’unedécomposition croissante

� » �{H ˆ H(le second membre étant muni de l’ordre lexicographique) fournit un morphisme de pro-k-feuilletages

S ppp�{Hq˝ss{F // U{Finduisant un isomorphisme sur les points fermés. En fait, ce morphisme est di↵érentiellement pro-étale. Ondivise le reste de la preuve en trois étapes.Étape A : Ici, on traite le cas où l’ouvert (supposé non vide) U est strict (ce qui revient à dire que H , t0u).On raisonne par récurrence sur krdimpUq “ htp�{Hq. Lorsque htp�{Hq “ 0, i.e., si H “ �, alors OpUq est


un corps et le résultat recherché découle du Corollaire 7.39. Dans la suite, on suppose que 0 † htp�{Hq †htp�q et que le résultat est connu pour un ouvert de Xpp�˝ss de dimension strictement plus petite que htp�{Hq.

Notons V “ S ppp�{Hq˝ss. On dispose d’un carré distingué de pro-k-feuilletages

pV r S q{F //

✏✏

V{F✏✏

pU r S q{F // U{F.Or, les morphismes R�ftp:{F; Fq // R�hftp:{F; Fq sont des quasi-isomorphismes pour : P tU r S , V rS , Vu. En e↵et, pour : “ U r S , il s’agit de l’hypothèse de récurrence sur la dimension de U. Pour: P tV r S , Vu, il s’agit de la récurrence sur htp�q. On conclut maintenant à l’aide du Corollaire 6.106(c).Étape B : On fixe un remplacement ft-fibrant F // F 1 et un remplacement hft-fibrant F 1 // F2. SoitY‚{G‚ // X{F un hyper-recouvrement générique. Le but de cette étape est de montrer que le morphisme

F2pXpp�˝ss{Fq // Tot F2pY‚pp�˝ss{G‚qest un quasi-isomorphisme. Pour cela, posons U “ Xpp�˝ss r ⌘pXq et, pour n P N, Vn “ Ynpp�˝ss r⌘pYnq. Puisque F est malléable, il s’ensuit que le morphisme F 1pU{Fq // Tot F 1pV‚{G‚q est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, d’après l’étape précédente, on sait que les morphismes F 1pVn{Fq // F2pVn{Fqsont des quasi-isomorphismes pour tous les n P N \ t´1u (avec la convention habituelle que U “ V´1). Ils’ensuit donc que le morphisme

F2pU{Fq // Tot F2pV‚{G‚qest un quasi-isomorphisme. Il est donc su�sant de montrer que le morphisme

CônetF2pXpp�˝ss{Fq Ñ F2pU{Fqu // Tot CônetF2pY‚pp�˝ss{G‚q Ñ F2pV‚{G‚quest un quasi-isomorphisme. Or, pour tout n P N r t´1u, on dispose d’un carré distingué de k-feuilletages

Vn{Gn//

✏✏

Ynpp�˝ss{Gn

✏✏

p⌘pYnqr�˝s r ⌘pYnqq{F // ⌘pYnqr�˝s{Gn.

D’après le Corollaire 6.106(c), il est donc su�sant de prouver que le morphisme

Gp⌘pXq{Fq // Tot Gp⌘pYnq{Gnqest un quasi-isomorphisme lorsque G “ hompP{k, F2q avec P “ Specpkr�˝sq ou P “ Specpkr�˝sq r o.(Bien entendu, o P Specpkr�˝sq est l’idéal engendré par t� avec � P �˝ r t0u.) Puisque G est projectivementhft-fibrant, le Théorème 7.38 permet de conclure.Étape C : Pour terminer la preuve, donnons-nous une ft-hyper-clôture générique tQi,‚{Li,‚ // Xi{FiuiPI deX{F. Soient F 1 et F2 comme dans l’étape précédente. Notre but est de montrer que

F 1pXpp�˝ss{Fq // F2pXpp�˝ss{Fqest un quasi-isomorphisme. Par la suite spectrale de Hochschild–Serre, il est su�sant de montrer que lemorphisme

colimiPI F 1pXipp�˝ss{Fiq // colimiPI F2pXipp�˝ss{Fiqest un quasi-isomorphisme. Puisque F est malléable, on dispose d’un quasi-isomorphisme canonique

colimiPI F 1pXipp�˝ss{Fiq // colimiPI Tot F 1pQi,‚pp�˝ss{Li,‚q.D’après l’étape précédente, on dispose d’un quasi-isomorphisme similaire avec F 1 remplacé par F2. Il estdonc su�sant de montrer que le morphisme

colimiPI F 1pQi,npp�˝ss{Li,nq // colimiPI F2pQi,npp�˝ss{Li,nqest un quasi-isomorphisme pour tout n P N. Ceci découle de la Proposition 7.36 et du fait que le morphismeF 1 // F2 est une équivalence hft-locale. ⌅

286 JOSEPH AYOUB

On donne deux conséquences pratiques du Théorèmes 7.40.Corollaire 7.41. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k borné à gauche. SoitX{F un k-feuilletage di↵érentiellement lisse, réduit et ayant un nombre fini de composantes irréductibles.Enfin, soit � un groupe totalement ordonné.

On suppose que F est homotopiquement pré-discret et pré-continu. Si � est un Q-vectoriel ou si ⇤ estune Q-algèbre, le morphisme canonique

HihftpXpp�˝ss{F; Fq // Hi

hftp⌘pXq{F; Fq,induit par la section nulle, est un isomorphisme pour tout i P Z.Démonstration. — Lorsque � est un Q-vectoriel, il s’agit d’une conséquence immédiate du Théorème 7.40et du Corollaire 6.163. Si ⇤ est une Q-algèbre, on peut ramener le cas de � à celui de � b Q à l’aide de lasuite spectrale de Hochschild–Serre. ⌅Corollaire 7.42. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules plats sur Sch{k (la catégorie desk-schémas de type fini). Soit G un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k. Supposons que Fet G sont bornés à gauche, que F vérifie la propriété de Mayer–Vietoris formelle et que G est malléable.(D’après le Théorème 6.178, 1˚F b⇤ G est alors malléable.)

Soit X{F un k-feuilletage intègre et di↵érentiellement lisse. Soit X une clôture algébrique de X, i.e., unpro-objet de Et{X tel que OpXq est une clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles sur X. Soit �un Q-vectoriel totalement ordonné. Alors, le morphisme canonique

F´

Xpp�˝ss¯

b⇤ R�hft

´Xpp�˝ss{F; G

¯ „// R�hft

´Xpp�˝ss{F; 1˚F b⇤ G

¯

est un isomorphisme dans Dp⇤q.Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du Théorème 7.40 et du Corollaire 6.179. ⌅

7.6. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, II. Préliminaires. —Dans cette sous-section, nous regroupons quelques préliminaires qui serviront dans les §7.7 et §7.8.

Rappelons la définition suivante.Définition 7.43. — Un espace topologique X est dit spectral s’il est quasi-compact, si ses ouverts quasi-

compacts sont stables par intersection finie et forment une base de la topologie, et si tout fermé irréductiblede X possède un unique point générique.Remarque 7.44. — Clairement, si A est un anneau, l’espace topologique SpecpAq est spectral. Un résultatde Hochster [30] a�rme que la réciproque est vraie. ⇤Lemme 7.45. — Une limite projective d’espaces topologiques spectraux est un espace topologique spec-

tral.Démonstration. — C’est contenu dans [30, Theorem 7]. Malheureusement, l’auteur n’a pas jugé nécessaired’inclure une preuve. (En fait, dans loc. cit. on suppose que les morphismes de transition du système pro-jectif sont quasi-compacts, mais il s’agit là d’une condition superflue puisque le cas général découle du casdes produits directs.) ⌅Lemme 7.46. — Soit X “ pXiqiPI un pro-espace topologique. On suppose que Xi est spectral pour tout

i P I et que le morphisme Xj // Xi est quasi-compact pour tout j > i dans I. Notons X8 “ limiPI Xi.Étant donnée une partie fermée Zo Ä Xo, pour un certain o P I, on note Zj “ tXj Ñ Xou´1pZoq pour

j > o ou j “ 8. Alors, Z8 est vide si et seulement si Z j est vide pour j su�samment fin.Démonstration. — Pour i P I, on note Xct

i l’ensemble Xi muni de la topologie constructible, i.e., celleengendrée par les ouverts quasi-compacts et leurs complémentaires. D’après [30], Xct

i est un espace topo-logique compact. De plus, les morphismes de transition Xct

j// Xct

j sont continus pour j > i. Le résultatdécoule alors du fait qu’une limite projective d’espaces compacts est vide si et seulement si l’un de cesespaces est vide. p58q ⌅

58. Donner une référence.


Définition 7.47. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma quasi-compact (i.e., où les Xi sont quasi-compactspour tout i P I). p59q Un X-schéma de présentation finie est un couple Y “ pi,Yiq où i P I et Yi est un Xi-schéma de présentation finie. Étant donnés deux X-schémas de présentation finie Y “ pi,Yiq et Z “ p j,Zjq,on pose

homSch{XpY,Zq “ coliml> i, j

homSch{XlpYi ˆXi Xl,Zj ˆX j Xlq.On obtient ainsi la catégorie Sch{X des X-schémas de présentation finie.Remarque 7.48. — Lorsque les morphismes de transition du pro-schéma X sont a�nes de sorte que

X8 “ limiPI Xi existe dans la catégorie des schémas, la catégorie Sch{X de la Définition 7.47 est équivalenteà la catégorie Sch{X8 des X8-schémas de présentation finie d’après [26, Chapitre IV, Théorème 8.8.2]. ⇤Notation 7.49. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma quasi-compact. Étant donné un X-schéma de présenta-

tion finie Y “ pi,Yiq, on pose Yl “ Yi ˆXi Xl. Ceci permet de considérer Y comme un pro-schéma Y “ pYlql>i.Il est clair que les objets pl,Ylq de Sch{X sont tous canoniquement isomorphes entre eux. De même, étantdonné un morphisme f : Y // Z dans Sch{X, on notera fl : Yl // Zl, pour l P I su�samment fin, lesmorphismes qui définissent f . On fera attention que la famille p flql n’est pas unique en général ; toutefois,deux telles familles coïncident pour l su�samment fin. ⇤Définition 7.50. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma quasi-compact. Un morphisme f : Y // Z dans

Sch{X est une immersion ouverte (resp. fermée, localement fermée) s’il en est ainsi de fl : Yl // Zl pourl su�samment fin. De même, on dit que f est étale (resp. lisse, propre, surjectif, etc) s’il en est ainsi defl : Yl // Zl pour l su�samment fin.Notation 7.51. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma quasi-compact. On note OuvpXq la sous-catégorie de

Sch{X dont les objets sont les immersions ouvertes. La catégorie OuvpXq sera munie de la topologie de Za-riski. Pour éviter toute confusion, précisons qu’une famille d’immersion ouvertes tu↵ : U↵

// Uu↵PA est unrecouvrement Zariski s’il existe l P I su�samment fin tel que la famille provienne d’une famille couvranted’immersions ouvertes tu↵,l : U↵,l // Ulu↵PA. En particulier, la famille tu↵u↵PA admet un ra�nement fini.La topologie de Zariski sera désignée par Zar.

Notons X8 “ limiPI Xi la limite projective du pro-schéma X “ pXiqiPI prise dans la catégorie des espacestopologiques. Par abus de langage, un point de X est un point de X8. Étant donné un point x P X, on notexi son image dans Xi de sorte que x est donné par la famille pxiqiPI . Le pro-X-schéma VXpxq des voisinagesde x est le pro-objet de Sch{X défini de la manière suivante. La catégorie d’indices de VXpxq est celle descouples pi,Uiq où i P I et Ui est un voisinage ouvert quasi-compact de xi dans Xi, et le pro-schéma VXpxqest alors le foncteur d’inclusion dans Sch{X. ⇤Lemme 7.52. — Soit X “ pXiqiPI un pro-schéma quasi-compact. Un point x P X définit un point x˚ du

topos ShvNispOuvpXqq ; il est donné par l’association F FpVXpxqq. De plus, cette construction fournitsu�samment de points, i.e., la famille px˚qxPX est conservative.Démonstration. — Il su�t de montrer que la famille px˚qxPX détecte les injections. Soit f : F // G unmorphisme de faisceaux Zariski sur OuvpXq tel que l’application x˚p f q : x˚pFq // x˚pGq est injectivepour tout x P X. Montrons que f est injectif.

Soit U P OuvpXq et soient a, b P FpUq des sections telles que f paq “ f pbq. Quitte à remplacer X par U,on peut supposer que a, b P FpXq. Comme de coutume, on peut trouver une famille pV↵ “ pl↵,V↵,l↵qq↵PAd’objets de OuvpXq telle que :

(1) a|V↵ “ b|V↵ , pour tout ↵ P A ;(2) quelque soit x P X, il existe ↵ P A tel que x P V↵.

Il s’ensuit que pV↵,8 “ liml V↵,lq↵PA est un recouvrement ouvert de l’espace topologique X8 “ limiPI Xi quiest quasi-compact par le Lemme 7.45. Il existe donc une partie finie A0 Ä A telle que X8 “ î

↵PA0V↵,8.

Pour l P I su�samment fin, on a des ouverts quasi-compacts V↵,l Ä Xl, pour ↵ P A0, tel que Vl “ î↵PA0

V↵,lest un ouvert de Xl contenant l’image de X8 // Xl. D’après le Lemme 7.46 et quitte à ra�ner l, on peut

59. Rappelons que, par convention, tous nos schémas sont séparés.

288 JOSEPH AYOUB

supposer que Vl “ Xl. Il s’ensuit que tV↵ ãÑ Xu↵PA0 est une famille couvrante pour le site pOuvpXq,Zarq.Puisque F est un faisceau Zariski, on a nécessairement a “ b. ⌅

Nous aurons aussi besoin du résultat suivant.Lemme 7.53. — Soit B un schéma de base quasi-compact et X “ pXiqiPI un pro-B-schéma avec Xi de

présentation finie pour tout i P I. Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur Sch{B, borné àgauche et projectivement Zar-fibrant. Alors, la restriction de F à OuvpXq est encore projectivement Zar-fibrante.Démonstration. — En utilisant le Lemme 7.52, il est facile de voir que le foncteur de restriction à OuvpXqpréserve les équivalences Zar-locales. On ne restreint donc pas la généralité en supposant que F est unfaisceau Zariski injectivement Zar-fibrant. Les composantes Fn du complexe F sont donc des faisceauxZariski injectifs. Pour conclure, il est donc su�sant de montrer que la restriction à OuvpXq d’un faisceauZariski injectif sur Sch{B est un faisceau acyclique sur OuvpXq. Ceci découle par exemple de [29, ExposéVII, Théorème 5.7]. ⌅Notation 7.54. — Soit X un schéma quasi-compact et ayant un nombre fini de composantes irréductibles.On note MdfpXq le pro-schéma des modifications de X. Plus précisément, MdfpXq est le foncteur d’inclusionde la sous-catégorie pleine (et cofiltrante) des X-schémas propres et de présentation finie X1 tels que lemorphisme structural X1 // X induit un isomorphisme pX1 ˆX Uqred » Ured au-dessus d’un ouvert denseU Ä X. ⇤Proposition 7.55. — Soit X “ SpecpAq un schéma a�ne et intègre. Alors, l’association

� P MdfpXq OpVMdfpXqp�qq (309)définit une bijection entre l’ensemble des points de MdfpXq et l’ensemble des anneaux de valuation deFracpAq contenant A.Démonstration. — Il s’agit là d’un résultat bien connu. Pour la commodité du lecteur, nous incluons unepreuve.

Soit X1 // X un morphisme propre, de présentation finie et induisant un isomorphisme X1 ˆX U » Uau-dessus d’un ouvert dense U Ä X. Notons X1 l’adhérence Zariski de l’ouvert X1 ˆX U dans X1. Alors,X1 est intègre, le morphisme X1 // X est propre et induit un isomorphisme X1 ˆX U » X. Cependant, cemorphisme n’est pas nécessairement de présentation finie. Néanmoins, on peut écrire X1 comme une limiteprojective de sous-schémas fermés de X1 qui sont de présentation finie au-dessus de X. On considérant X1comme un pro-X-schéma de cette manière, on obtient un morphsime de pro-X-schémas de présentationfinie MdfpXq // X1.

Soit � P MdfpXq et notons �X1 son image dans X1. Alors, �X1 au sous-schéma X1 et définit donc un pointdu pro-schéma X1 qui sera encore noté �X1 . On a alors un isomorphisme canonique

OpVMdfpXqp�qq » colimX1ÑX OpVX1p�X1qqce qui montre que R� “ OpVMdfpXqp�qq est un sous-anneau de FracpAq.

Il est clair que R� contient A et que FracpR�q “ FracpAq. Donnons-nous a, b P A r t0u. Nous allonsmontrer que l’un des éléments a ¨ b´1 et a´1 ¨ b appartient à R�. (Ceci montrera que R� est un anneau devaluation de FracpAq.) On dispose d’un morphisme X // A2 “ SpecpZrs, tsq donné par s a et t b.Considérons le X-schéma X1 “ X Â2 Blps,tqA2 avec Blps,tqA2 l’éclatement de l’idéal ps, tq dans A2. Alors X1est un X-schéma propre de présentation finie et induisant un isomorphisme X1 ˆX U » U avec U “ Dpa ¨ bq(qui est non vide puisque a ¨ b , 0). Quitte à permuter a et b, on peut supposer que le point �X1 appartientà l’ouvert X1

1 » SpecpArus{a ¨ u ´ bq. L’image de u P OpX11q dans R� est égale à a´1 ¨ b, ce qui permet de

conclure.À ce stade, nous avons construit l’application (309). Pour montrer qu’elle est bijective, nous expliquons

brièvement comment construire l’application inverse. Étant donné un anneau de valuation R Ä FracpAqcontenant A, le critère valuatif de propreté [23, Chapitre 2, Théorème 7.3.8] fournit un morphisme de X-schémas SpecpRq // X1 pour tout X1 // X propre, de présentation finie et induisant un isomorphismegénériquement. L’image du point fermé de SpecpRq fournit un point �X1 P X1. Ces points fournissent un


point � “ p�X1qX1 du pro-schéma MdfpXq. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que l’applicationainsi construite est un inverse à gauche et à droite de (309). ⌅Construction 7.56. — Soit X un schéma intègre et soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées. On

suppose donnés un polytrait V et un morphisme de schémas V // Xpptss vérifiant les conditions suivantes.(1) Le morphisme V // Xpptss est dominant et l’extension p⌘Vq{p⌘Xpptssq est algébrique.(2) Appelons �V P V et �Xpptss P Xpptss les points fermés. (Remarquer que �Xpptss » ⌘X.) Alors, le mor-

phisme V // Xpptss envoie �V sur �Xpptss et l’extension p�Vq{p�Xpptssq est algébrique.

Dans cette situation, nous allons construire un pro-schéma pV . En fait pV sera construit comme un pro-objetdans la catégorie des pro-schémas. Sa catégorie d’indices est celle des factorisations

V // Y // Xpptss (310)

où Y est un schéma a�ne, V // Y un morphisme dominant et Y // Xpptss un morphisme de présentationfinie. Notons �Y P Y l’image de �V dans Y par le morphisme V // Y . À une factorisation (310), le foncteurpV associe le pro-schéma pY�Y . Il est obtenu de le manière suivante. Soit U un ouvert a�ne non vide de X,YU un Urrtss-schéma a�ne de présentation finie tel que Y “ YU Ûrrtss Xpptss et S U Ä YU un fermé quasi-compact tel que S U Ûrrtss Xpptss “ �Y . Quitte à ra�ner U, on peut supposer que S U // Urrtss{ptq » U estfini et étale. Alors, pY�Y est le pro-schéma p ypYVqS V

qVÄX avec V parcourant les ouverts a�nes non vides de X,YV “ YU Ûrrtss Vrrtss et S V “ S U Ûrrtss Vrrtss. ⇤

Définition 7.57. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 7.56. Étant donné unefactorisation (310) et une fonction régulière non nulle f P OppVq r t0u, nous dirons que f admet une bonnedécomposition si, quitte à ra�ner (310), on peut écrire f “ ∞

ePN fe avec p feqePN une suite dans OpYUq,pour H , U Ä X su�samment petit, vérifiant :

(1) la suite p feqePN tend vers zéro relativement à la topologie IpS Uq-adique (avec IpS Uq Ä OpYUq l’idéaldes fonctions nulles sur S U) ;

(2) pour tout e ° 0, on a ⌫p f0q † ⌫p feq avec ⌫ : OpVq // �V \ t8u la valuation du polytrait V.

Proposition 7.58. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 7.56. Supposons donnéeune valuation w : FracpOppVqq // � \ t8u centrée sur pV. Alors, pour toute fonction régulière non nullef P OppVq admettant une bonne décomposition f “ ∞

ePN fe, on a wp f q “ wp f0q.

Démonstration. — Pour toute factorisation (310), l’anneau OppY�Y q est local et noethérien d’après la Pro-position 6.124. Il s’ensuit que OppY�Y q{{Ip�Yq » OY,�Y {{Ip�Yq est une OppY�Y q-algèbre fidèlement plate.Il en est de même de la OppVq-algèbre colimY OY,�Y {{Ip�Yq. D’après le Lemme 7.59 ci-dessous, il existeune valuation w1 : colimY OY,�Y {{Ip�Yq // �1 \ t8u qui étend la valuation sur OppVq et il est su�sant deprouver que w1p f q “ w1p f0q. Ainsi, on ne restreint pas la généralité en remplaçant pV par le pro-schémapSpecpOY,�Y {{Ip�YqqqY , ce qui revient au même de remplacer le schéma X par son point générique ⌘pXq.Dans la suite de l’argument, nous supposerons donc que X est le spectre d’un corps. (Cette réduction nouspermet de travailler directement avec les anneaux complétés OpYq{{Ip�Yq qui ont l’avantage d’être noethé-rien contrairement aux anneaux OpYVq{{IpS Vq.)

On fixe une factorisation (310) telle que les fe appartiennent à OpYq et tendent vers zéro pour la topologieIp�Yq-adique. En particulier, la série f “ ∞

ePN fe appartient à OpYq{{Ip�Yq. Nous allons montrer que lafonction rationnelle f ¨ f ´1

0 P FracpOppVqq appartient à OppVqˆ, ce qui permettra de conclure.L’anneau OpYq étant noethérien, l’idéal J “ p f0, f1, . . . , fe, . . .q est de type fini. Considérons l’éclatement

BlJY // Y et notons Y 1 Ä BlJY l’ouvert a�ne tel que OpY 1q “ OpYqr f1{ f0, . . . , fe{ f0, . . .s. Vu que ⌫p f0q 6⌫p feq pour tout e P N, le morphisme V // Y se factorise par un morphisme V // Y 1. On a�rme que lasuite p fe{ f0qePN tend vers zéro pour la topologique Ip�Y 1q-adique dans OpY 1q. En e↵et, d’après le Lemmed’Artin–Rees [16, Chapitre III, §3, Corollaire 1], il existe n0 P N tel que

J X Ip�Yqn Ä J ¨ Ip�Yqnń0

290 JOSEPH AYOUB

pour tout n > n0. Ainsi, pour fe P Ip�Yqn avec n > n0 (ce que l’on peut supposer pour e su�sammentgrand), on peut écrire fe “ ∞m

i“0 fm ¨ gm avec gm P Ip�Yqnń0 . Il s’ensuit que fe ¨ f ´10 “ ∞m

i“0p fm ¨ f0q´1 ¨ gm

appartient à l’idéal Ip�Y 1qnń0 . On a donc bien limeÑ8 fe ¨ f ´10 “ 0 pour la topologie Ip�Y 1q-adique et la

série∞

ePN fe ¨ f ´10 fournit une fonction régulière de Op pY 1

�Y1 q telle que f0 ¨ p∞ePN fe ¨ f ´10 q “ f . De plus, pour

e > 1, on a fe ¨ f ´10 P Ip�Y 1q car ⌫p fe ¨ f ´1

0 q ° 0 ce qui entraîne que la série 1 ` ∞e>1 fe ¨ f ´1

0 est inversibledans Op pY 1

�Y1 q. ⌅Lemme 7.59. — Soient ✓ : A // B un morphisme d’anneaux fidèlement plat. On suppose que A et B sontintègres. Alors, pour toute valuation ⌫ : FracpAq // � \ t8u centrée sur A, il existe une valuation w :FracpBq // �1 \ t8u centrée sur B et un morphisme strictement croissant ✏ : � ãÑ �1 tel que ✏ ˝ ⌫ “ w ˝ ✓.Démonstration. — Il s’agit d’un résultat bien connu. Notons A1 Ä FracpAq l’anneau de la valuation ⌫.Puisque B est une A-algèbre plate, le morphisme évident B bA A1 // BbA FracpAq est injectif. Ceci montreque l’anneau B1 “ B bA A1 est intègre. De plus, la A1-algèbre B1 est fidèlement plate. Ainsi, on ne restreintpas la généralité en supposant que A “ A1, i.e., que A est un anneau de valuation.

Notons x P X “ SpecpAq le point fermé et fixons un point y P Y “ SpecpBq au-dessus de x. (Ceciest possible puisque le X-schéma Y est fidèlement plat.) Il est bien connu (ce qui découle par exemplede la Proposition 7.55) qu’il existe une valuation w : FracpBq // �1 \ t8u centrée en y (i.e., tel quemy “ ta P OY,y | wpyq ° 0u). Notons Q Ä FracpBq l’anneau de valuation de w. On obtient alors unmorphisme local d’anneaux de valuation A // Q. Ceci permet de conclure. ⌅

On donne quelques corollaires de la Proposition 7.58.Corollaire 7.60. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 7.56. Supposons que

toute fonction régulière non nulle de OppVq admet une bonne décomposition. Alors, OppVq est un anneau devaluation de groupe de valuation canoniquement isomorphe à �V. On note ⌫ : FracpOppVqq // �V \ t8ul’unique valuation qui étend ⌫ : FracpOpVqq // �V \ t8u et dont l’anneau de valuation est OppVq.

Démonstration. — Remarquons que OppVq est une OpVq-algèbre fidèlement plate. D’après le Lemme 7.59,il existe donc une valuation ⌫ : FracpOppVqq // � \ t8u centrée sur OppVq et qui étend la valuation ⌫induisant une injection �V ãÑ �. D’après la Proposition 7.58, cette injection est nécessairement un isomor-phisme, ce qui permet d’identifier � à �V . De plus, cette même proposition entraîne que toute valuation deFracpOppVqq centrée sur OppVq se déduit de ⌫ par composition avec une surjection �V // // �V{H avec H Ä �V

un sous-groupe isolé. Or, l’anneau OppVq est une colimite de OpVq-algèbres régulières. En particulier, il estnormal. Ainsi, d’après [17, Chapitre VI, §1, Théorème 3], OppVq est l’intersection des anneaux de valuationsde FracpOppVqq centrés sur pV . Ceci montre que OppVq est l’anneau de valuation de ⌫. ⌅Corollaire 7.61. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 7.56. Supposons donnée

une valuation w : FracpOppVqq // � \ t8u centrée sur pV et induisant une injection �V ãÑ � (qu’onutilise pour identifier �V à un sous-groupe de �). Soit f P OppVq une fonction régulière admettant unedécomposition (non nécessairement bonne) f “ ∞

ePN fe avec p feqePN une suite dans OpYUq (pour Y et Usu�samment fins) convergente vers zéro pour la topologie IpS Uq-adique. Alors, si un multiple non nul dewp f q appartient à �V, on a wp f q > infePN ⌫p feq. p60q

Démonstration. — Il su�t de montrer l’implication

⌧ † r ¨ infe⌫p feq ñ ⌧ 6 r ¨ wp f q

pour tout ⌧ P �V et tout r P N r t0u. Pour ce faire, on se donne g P OpVq avec ⌫pgq “ ⌧. Alors, il estimmédiat de voir que g ` f r admet une bonne décomposition

g ` f r “ g ` f r0 ` f1 f r´1

0 ` ¨ ¨ ¨ .La Proposition 7.58 donne alors wpg ` f rq “ wpgq. Il s’ensuit que wpgq 6 wp f rq comme souhaité. ⌅

60. La condition qu’un multiple de wp f q appatienne à �V est probablement superflue ; voir la preuve du Corollaire 7.84.


Corollaire 7.62. — Gardons les hypothèses et les notations de la Construction 7.56 et supposons que Vest un Q-schéma. Soit V 1 // V un morphisme entier et surjectif de polytraits. Alors, une fonction régulièrenon nulle de OppVq admet une bonne décomposition si et seulement si il en est ainsi de son image dansOp pV 1q.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que V 1 // V est fini et galoisien degroupe G. Le groupe G laisse invariant la valuation de FracpOpV 1qq, i.e., pour � P G et f P FracpOpV 1qq, ona ⌫V 1p f ˝�q “ ⌫V 1p f q. Il s’ensuit que ⌫Vptrpg1qq > ⌫V 1pg1q pour g1 P OpV 1q. (Bien entendu, tr “ ∞

�PG ´ ˝�.)On fixe f P OppVq r t0u. Une bonne décomposition f “ ∞

ePN fe de f P OppVq r t0u est également unebonne décomposition de f P Op pV 1q r t0u. Réciproquement, supposons donnée une bonne décompositionf “ ∞

ePN f 1e de f P Op pV 1q r t0u. En appliquant le morphisme trace tr “ ∞

�PG ´ ˝ � : Op pV 1q // OppVq, ontrouve la décomposition

f “ 1cardpGq

ÿ

ePNtrp f 1

eq. (311)

En appliquant le Corollaire 7.61, on obtient

⌫V 1p f 10q “ wp f q > inf

ePN ⌫Vptrp f 1eqq > inf

ePN ⌫V 1p f 1eq “ ⌫V 1p f 1

0q.Il s’ensuit que ⌫Vptrp f 1

0qq “ ⌫V 1p f 10q alors que, pour e > 1, ⌫Vptrp f 1

eqq > ⌫V 1p f 1eq ° ⌫V 1p f 1

0q. Ceci montre que(311) est une bonne décomposition de f . ⌅Définition 7.63. — Un polytrait formellement présaturé de dimension formelle n est un pro-objet W “

pWiqiPI dans la catégorie des pro-schémas a�nes vérifiant les conditions suivantes.(i) L’anneau OpWq est un anneau de valuation. On note ⌫W : FracpOpWqq // �W \ t8u la valuation

correspondante et �W P W le point fermé de W.(ii) Pour chaque i P I, le pro-schéma Wi est local, noethérien et de dimension de Krull n. Le morphisme

W // Wi est dominant (ce qui entraine que OpWiq Ä OpWq) et local (i.e., l’image de �W et le pointfermé �Wi de Wi). De plus, l’extension p�Wq{p�Wiq est algébrique.

(iii) Pour chaque i P I, il existe une immersion fermée Wi ãÑ Xpptss avec X un schéma intègre et t unsystème d’indéterminées. De plus, la structure de pro-schéma sur Wi est, à isomorphisme près, celleinduite par la structure de pro-schéma sur Xpptss. (Ceci entraîne en particulier que �Wi, en tant quepro-schéma, est isomorphe au pro-schéma ⌘pXq.)

(iv) Pour chaque i P I et pour toute factorisation W // Y // Wi avec Y un schéma a�ne, W // Yun morphisme dominant et Y // Wi un morphisme de présentation finie et génériquement fini (i.e.,p⌘Yq{p⌘Wiq est une extension finie), il existe j > i dans I et un morphisme de pro-Wi-schémasWj // pY�Y , avec �Y l’image de �W dans Y.

On dit que W est formellement saturé si de plus �W est uniquement divisible et p�Wq est algébriquementclos.Exemple 7.64. — Reprenons les notations et les hypothèses de la Construction 7.56. Supposons que

toute fonction régulière non nulle de OppVq admet une bonne décomposition. Alors, le pro-schéma pV est unpolytrait formellement présaturé. En e↵et, le Corollaire 7.60 assure que la condition (i) est satisfaite. Lesconditions (ii) et (iii) sont conséquences de la construction de pV . La condition (iv) pour pV s’énonce commesuit : étant donnée des factorisations V // Y // Xpptss et pV // Z // pY�Y en un morphisme dominantsuivi d’un morphisme de présentation finie, il existe une factorisation du même type V // Y 1 // Y telleque le pY�Y -schéma pY 1

�Y1 domine pZ�Z . Or, étant donné que pV est un polytrait (d’après le Corollaire 7.60),on peut trouver une factorisation V // Y 1 // Y telle que pY 1

�Y1 domine Z. Par continuité, le morphismepY 1�Y1

// Z se factorise par un morphisme pY 1�Y1

// pZ�Z comme souhaité.Le Théorème 7.66 ci-dessous fournit une réciproque à cet exemple. Plus précisément, il a�rme que tout

polytrait formellement présaturé est une limite projectives de polytraits formellement présaturés pV commeci-dessus. ⇤

292 JOSEPH AYOUB

Notation 7.65. — Soit W “ pWiqiPI un polytrait formellement présaturé. Pour i P I, on note FracpOpViqqla clôture algébrique de FracpOpWiqq dans FracpOpWqq et OpViq Ä FracpOpViqq l’anneau de valuationcorrespondant à la restriction de ⌫W à FracpOpViqq. On note Vi “ SpecpOpViqq. Comme dans la Construction7.56, on peut associer au morphisme Vi // Wi un pro-objet pVi dans la catégorie des pro-schémas. On aalors un morphisme canonique de pro-objets W // pVi induisant un isomorphisme évident de pro-objetsW “ limiPI pVi. Cela dit, à i P I fixé, on a la notion de bonne décomposition pour les fonctions régulières nonnulles de Op pViq. ⇤Théorème 7.66. — Soit W “ pWiqiPI un polytrait formellement présaturé. Alors, pour i P I su�samment

fin, toute fonction régulière non nulle de OppViq admet une bonne décomposition.Démonstration. — Supposons que le polytrait formellement présaturé W est de dimension formelle n. Sin “ 0, il n’y a rien à montrer. Nous supposerons donc que n > 1. D’après l’inégalité de Zariski–Abhyankar[46, Appendix 2, Corollary, p. 334], on a 1 6 dimp�W b Qq 6 n. Il s’ensuit que 1 6 htp�Wq 6 n. On divisela preuve en plusieurs étapes. Dans la première on traite le cas où htp�Wq “ 1 et dans les autres on traite lecas général par récurrence sur htp�Wq.

Avant de commencer la preuve proprement dite, on établit une réduction au cas où FracpOpWqq est algé-briquement clos. Soit W 1 le spectre de la normalisation de OpWq dans une clôture algébrique de FracpOpWqq.Puisque OpWq est hensélien, le morphisme W 1 // W est entier et surjectif. De même, pour tout i P I,OpViq est hensélien car FracpOpViqq est algébriquement clos dans FracpOpWqq. Il s’ensuit que le morphismeV 1

i// Vi est aussi entier et surjectif. On peut alors appliquer le Corollaire 7.62 pour conclure. p61q

Dans la suite, nous travaillerons sous l’hypothèse supplémentaire que FracpOpWqq est algébriquementclos. Cela ne servira qu’à partir de la seconde étape.Étape A : Ici, on suppose que htp�Wq “ 1. Fixons i P I et W // Y // Wi une factorisation avec Yun schéma a�ne, W // Y un morphisme dominant et Y // Wi un morphisme de présentation finie etgénériquement fini. Soit f P OppY�Y q une fonction régulière non nulle. On cherche à montrer que f admetune bonne décomposition.

Écrivons f “ ∞ePN ge avec pgeqePN une suite dans OpYq convergente vers zéro pour la topologie Ip�Yq-

adique et sommable dans OppY�Y q. On ne restreint pas la généralité en supposant que ge P meY,�Y

avecmY,�Y ÄOY,�Y l’idéal maximal. Cet idéal étant de type fini, il existe ✏ ° 0 dans � tel que ⌫Wpaq > ✏ pour touta P mY,�Y . Il s’ensuit que ⌫Wpaq > e ¨ ✏ pour a P me

Y,�Y. Ainsi, la suite p⌫WpgeqqePN est minorée par la suite

pe ¨ ✏qePN.Supposons un instant que la suite p⌫Wpg0 ` . . .` geqqePN est bornée (i.e., majorée par un élément de �W).

D’après ce qui précède et puisque �W est de hauteur 1, il existe un entier s tel que⌫Wpg0 ` . . .` gsq † ⌫Wpgeq

pour tout e > s ` 1. On pose alors f0 “ g0 ` . . .` gs et fe “ gsè pour e > 1. Clairement, f “ ∞ePN fe est

une bonne décomposition de f .Pour terminer, il reste à montrer que la suite p⌫Wpg0 ` . . .` geqqePN est bornée. On procède par l’absurde.

Quitte à prendre une sous-suite de p⌫Wpg0 ` . . .` geqqePN et en remplaçant les termes de la suite pgeqePN pardes sommes partielles finies d’iceux, on peut supposer que la suite p⌫Wpg0 ` . . . ` geqqePN est strictementcroissante. Il s’ensuit alors que ⌫Wpg0 ` . . . ` ge´1q “ ⌫Wpgeq pour tout e > 1. Ceci montre que la suitep⌫Wpgeqqe>1 est strictement croissante. Ainsi, pour s > 1, f ´ pg0 ` . . .` gs´1q admet une bonne décompo-sition, à savoir

∞e>s ge (et plus précisément

∞ePN g1

e avec g1e “ ge`s). La Proposition 7.58 montre alors que

⌫Wp f ´ pg0 ` . . . ` gs´1qq “ ⌫Wpgsq. L’inégalité triangulaire montre alors que ⌫Wp f q > ⌫Wpgsq pour touts > 1. Puisque f est non nulle, nous avons obtenu une borne supérieure pour la suite p⌫WpgeqqePN ce qui estabsurde.Étape B : À partir de maintenant, on raisonne par récurrence sur la hauteur de �W . Le cas htp�Wq “ 1 étanttraité dans l’Étape A, on supposera que htp�Wq > 2. Soit H Ä �W le sous-groupe isolé de cohauteur 1, i.e.,tel que htpHq “ htp�Wq ´ 1. Pour i P I, on note Ti Ä Wi le sous-schéma fermé d’idéal IpTiq “ t f P OpWiq |

61. Cette réduction semble inutile pour la suite.


⌫Wp f q < H˝u. Alors, T “ pTiqiPI est un polytrait formellement présaturé de groupe de valuation �T “ H.Par l’hypothèse de récurrence, la conclusion du théorème vaut pour T .

Soit i P I. Quitte à ra�ner i, on peut supposer qu’il existe une rétraction ✓ : Wi // Ti et que la restrictionde la valuation ⌫T à FracpOpTiqq est de rang maximal. Notons S i // Ti l’analogue du morphisme Vi // Wi.Quitte à ra�ner d’avantage i P I on peut supposer que toute fonction régulière non nulle dans OppS iq admetune bonne décomposition.

Soit W // Y // Wi une factorisation comme dans la première étape. Notons Z Ä Y l’adhérence Zariskide l’image du morphisme composé T ãÑ W // Y . On dispose d’un diagramme commutatif

T //

✏✏

Z //

✏✏

Ti

✏✏

W // Y // Wi.

Le morphisme Z // Ti est génériquement fini. Puisque FracpOpWqq est supposé algébriquement clos, lemorphisme W // Ti se factorise par un morphisme W // Z. p62q Quitte à remplacer Y par l’adhérenceZariski de l’image de W // Y ˆTi Z, on peut supposer que l’inclusion Z ãÑ Y admet aussi une rétraction✓ : Y // Z rendant commutatif le diagramme

Z ◆//

✏✏

Y ✓//

✏✏

Z

✏✏

Ti◆// Wi

✓// Ti.

On dispose donc d’un morphisme d’anneaux ´ ˝ ✓ : OppZ�Z q // OppY�Y q et, pour h P OppZ�Z q r t0u, on a⌫T phq “ ⌫Wph ˝ ✓q.Étape C : Soit f P OppY�Y q une fonction régulière non nulle. On cherche à montrer que f possède une bonnedécomposition. Dans cette étape, on traite le cas particulier où f admet une décomposition finie

f “mÿ

i“0

ai ¨ gi ˝ ✓

avec ai P OpYq et gi P OppZ�Z q r t0u. Nous montrerons que f possède une bonne décomposition parrécurrence sur m et en se servant de l’hypothèse que toute fonction régulière non nulle de OppZ�Z q admet unebonne décomposition.

Lorsque m “ 0 et f “ a0 ¨ g0 ˝ ✓, une bonne décomposition de g0 induit une bonne décomposition def . Supposons maintenant que m > 1. On peut supposer que les ai sont tous non nuls. Quitte à réindexer,on peut supposer que ⌫Wpa0q 6 . . . 6 ⌫Wpamq. Soit Y 1 “ Yra1{a0, . . . , am{a0s. Quitte à remplacer Y par Y 1,on se ramène au cas où a0 “ 1. Soit s le plus petit entier tel que ⌫pas`1q < �˝

T . Pour 1 6 i 6 s, notonsbi “ ai ˝ ◆ P OpZq. Alors, nécessairemenent, ⌫pai ´ bi ˝ ✓q < �˝

T . On peut alors écrire

f “ pg0 `sÿ

i“1

bi ¨ giq ˝ ✓ `sÿ

i“1

pai ´ bi ˝ ✓q ¨ gi ˝ ✓ `mÿ

i“s`1

ai ¨ gi ˝ ✓.

Il y a deux cas de figures. Si g “ g0 ` ∞si“1 bi ¨ gi P OppZ�Z q est nulle, alors la récurrence sur m permet de

conclure. Si g n’est pas nulle, le choix d’une bonne décomposition de g et des décompositions arbitrairesdes gi, pour 1 6 i 6 m, fournit une bonne décomposition de f .Étape D : Dans cette étape on termine la preuve du théorème. L’idéal Ip�Yq est engendré par Ip�Zq ˝ ✓ et unnombre fini d’éléments x1, . . . , xr avec ⌫Wpxiq < �T . Notons ✏ “ minr

i“1p⌫Wpxiqq ; on a encore ✏ P �W r �T .

62. En e↵et, soit Z ãÑ Z une compactification du Ti-schéma Z. Le critère valuatif de propreté et l’hypothèse que FracpOpWqqest algébriquement clos fournit un morphisme de Ti-schémas W // Z. La restriction de ce morphisme à T Ä W coïncide avecla composition de T // Z ãÑ Z. Ceci montre que le morphisme W // Z se factorise par un morphisme W // Z commesouhaité.

294 JOSEPH AYOUB

Soit f P OppY�Y q une fonction régulière non nulle. Elle admet donc une décomposition

f “ÿ

sPNas ¨ gs ˝ ✓

avec gs des fonctions régulières dans OppZ�Z q et as des monômes en les xi de degré s. En particulier, on a⌫Wpasq > s ¨ ✏ pour tout s P N. On raisonne maintenant comme dans l’Étape A.

Supposons un instant que la suite p⌫Wpa0 ¨ g0 ˝ ✓ ` . . . ` ae ¨ ge ˝ ✓qqePN est majorée. Alors, pour ssu�samment fin, on a

⌫Wpa0 ¨ g0 ˝ ✓ ` . . .` as ¨ gs ˝ ✓q † ⌫Wpaeqpour tout e > s ` 1. On obtient alors un bonne décomposition en appliquant l’Étape B à la fonctiona0 ¨ g0 ˝ ✓ ` . . .` as ¨ gs ˝ ✓ et en choisissant des décompositions arbitraires pour les ge lorsque e > s ` 1.

Il reste à voir que la suite p⌫Wpa0 ¨ g0 ˝ ✓ ` . . . ` ae ¨ ge ˝ ✓qqePN est majorée. En e↵et, dans le cascontraire, on peut trouver une fonction strictement croissante ⌧ : N // N, avec ⌧p0q “ 0, telle que la suitep⌫Wp∞⌧peq

s“0 as ¨ gs ˝ ✓qqePN est strictement croissante. Il s’ensuit alors que

⌫W

˜⌧peqÿ

s“0

as ¨ gs ˝ ✓¸

“ ⌫W

¨

˝⌧pe`1qÿ

s“⌧peq`1

as ¨ gs ˝ ✓˛

‚.

En appliquant l’Étape B à∞⌧pe`1q

s“⌧peq`1 as ¨ gs ˝ ✓, on trouve que∞

s>⌧peq`1 as ¨ gs ˝ ✓ admet une bonne décom-position. Il s’ensuit que

⌫W

¨

˝⌧pe`1qÿ

s“⌧peq`1

as ¨ gs ˝ ✓˛

‚“ ⌫W

¨

˝ÿ

s>⌧peq`1

as ¨ gs ˝ ✓˛

‚.

On arrive ainsi à la conclusion que ⌫Wp f q > ⌫Wp∞⌧peqs“0 as ¨ gs ˝ ✓q, pour tout s P N, ce qui est absurde. ⌅

Dans le reste de la sous-section, on développe une application du Théorème 7.66. On note d’abord lerésultat suivant.Proposition 7.67. — Soit V un polytrait de point fermé �V et soit Q un V-schéma de présentation finie

dénombrable et pro-lisse. On suppose que Q ˆV �V est intègre et on note q son point générique. Alors,l’anneau local OQ,q est un anneau de valuation ayant le même groupe de valuation que OpVq.Démonstration. — Il s’agit d’un résultat bien connu. Pour la comodité du lecteur nous incluons une preuve.

On traite d’abord le cas où Q “ Vrts. Étant donné un polynôme P “ a0 ` a1t ` . . . ` antn à coe�cientsdans FracpOpVqq, on pose ⌫pPq “ infn

i“0 ⌫paiq. Clairement, pour P P OpVqrts, ⌫pPq “ 0 si et seulementsi l’image de P par OpVqrts // p�Vqrts est non nulle. Il s’ensuit que ⌫ : FracpOpVqqrts // � \ t8u estmultiplicative. Elle s’étend donc en une valuation ⌫ : FracpOpVqrtsq // � \ t8u. (C’est le Lemme deGauss !) De plus, l’anneau de cette valuation est l’ensemble des fractions rationnelles P ¨ Q´1 telles queP, Q P OpVqrts avec ⌫pPq > ⌫pQq et Q , 0. Quitte à diviser P et Q par un élément de OpVq de valuationégale celle de Q, on peut supposer de plus que ⌫pQq “ 0, i.e., que son image dans p�Vqrts est non nulle.Ceci montre que l’anneau de cette valuation est exactement OQ,q.

Par récurrence et puis passage à la limite, on déduit de ce qui précède le cas de Q “ Vrti | i P Ns. Il restedonc à traiter le cas où Q est un V-schéma étale. Il s’agit alors d’une conséquence de [17, Chapitre VI, §8,Proposition 6]. ⌅

On donne ensuite une version amplifiée du Théorème 7.66. Pour cela, on introduit quelques notations.Notation 7.68. — Soit W “ pWiqiPI un polytrait formellement présaturé et supposons donné un mor-

phisme de pro-objets W // ⌘pBq avec B un schéma intègre. On suppose de plus, que dans la condition (iii)de la Définition 7.63, le schéma X peut être choisi de présentation finie-dénombrable et pro-lisse sur B.

On suppose donné un OB-module libre M (non nécessairement de rang fini). Pour i P I, on pose

MpWiq “ �pWi; tWi Ñ Bu‹Mq et MpViq “ �pVi; tVi Ñ Bu‹Mq.


On pose de même MpWq “ colimiPIMpWiq ; c’est un OpWq-module libre qu’on munit de l’extension natu-relle de ⌫W . (Plus précisément, étant donnée une base pe↵q↵ de MpWq, on pose ⌫Wp∞↵ f↵ ë↵q “ inf↵ ⌫Wp f↵q ;ceci est indépendant du choix de la base.)

Soit i P I et fixons une factorisation Vi // Y // Wi en un morphisme dominant suivi d’un morphismede présentation finie. La pair pY,�Yq admet une structure naturelle de pro-schéma a�ne pYu, S uqu au-dessusde ⌘pXq. On note alors MppY�Y q la colimite des �pYu; tYu Ñ Bu‹Mq{{IpS uq. De même, on note MppViq lacolimite des MppY�Y q suivant les factorisations Vi // Y // Wi.

Comme avant, on dispose de la notion de bonne décomposition pour les éléments non nuls de MppViq. Onlaisse au lecteur le soin de dégager cette notion. ⇤Proposition 7.69. — On garde les Notations 7.68. Alors, pour i su�samment fin, tout élément non nul deMppViq admet une bonne décomposition.Démonstration. — Comme dans la preuve du Théorème 7.66, on raisonne par récurrence sur htp�Wq. Onfixe une base pb↵q↵ de M. On divise la preuve en deux étapes.Étape A : On traite ici le cas où htp�Wq “ 1. Soit p “ ∞

↵ f↵ ¨ b↵ P MppViq un élément non nul. Fixonsun indice ↵0 tel que le coe�cient f↵0 est non nul. Écrivons le p “ ∞

ePN qe avec pqeqePN une suite deMpYq “ �pY; tY Ñ Wiu‹Mq convergente vers zéro pour la topologie IpY�q-adique et sommable dansMppViq. Écrivons aussi qe “ ∞

↵ ge,↵ ¨ b↵. Les familles pge,↵q↵ sont à support fini. On peut supposer quege,↵ P me

Y,�Ypour tout e P N et ↵. Il existe alors ✏ P �˝ r t0u tel que ⌫Wpqeq > e ¨ ✏ pour tout e P N. En

particulier, il existe e0 > 1 tel que ⌫Wpqeq ° ⌫Wp f↵0q pour tout e > e0. On pose alors p0 “ q0 ` . . . ` qe0´1et pe “ qe0è pour e > 1. En inspectant le coe�cient de b↵0 dans p, on déduit que ⌫Wpq0q 6 ⌫p f↵0q. Cecimontre que p “ ∞

ePN pe est une bonne décomposition de p.Étape B : On traite ici le cas général par récurrence sur htp�Vq. Vu l’étape précédente, on peut supposer quehtp�Vq > 2. On reprend alors les constructions et les notations de l’Étape B de la preuve du Théorème 7.66.

En raisonnant comme dans l’Étape C de la preuve du Théorème 7.66, on démontre que la conclusion dela proposition vaut pour p P MppViq qui admet une décomposition finie

p “mÿ

i“0

ai ¨ qi ˝ ✓

avec ai P OpYq et pi P MppZ�Zq.Traitons le cas général. L’idéal Ip�Yq est engendré par Ip�Zq ˝ ✓ et un nombre fini d’éléments x1, . . . , xr

avec vWpxiq < �T . Notons ✏ “ minri“1pvWpxiqq ; on a encore ✏ P �W r �T . L’élément p admet une décompo-

sitionp “

ÿ

sPNas ¨ qs ˝ ✓

avec qs P MppZ�Z q et as des monômes en les xi de degré s. En particulier, vWpasq > s ¨ ✏ pour tout s P N.Écrivons maintenant p “ ∞

↵ f↵ ¨ b↵. Soit ↵0 un indice tel que la fonction régulière f↵0 est non nulle.D’après ce qui précède, il existe e0 > 1 tel que ⌫Wpaeq ° ⌫Wp f↵0q pour tout e > e0. Choisissons une bonnedécomposition

e0´1ÿ

s“0

as ¨ qs ˝ ✓ “ÿ

ePNp1

e

Choisissons des décompositions arbitraires des qs “ ∞ePN qs,e. Il est alors facile de voir (en inspectant le

coe�cient de b↵0) quep “ p1

0 `ÿ

e>1

p1e `

ÿ

e>e0

ÿ

sPNae ¨ qs,e

est une bonne décomposition de p. ⌅On est maintenant en mesure de donner l’application promise du Théorème 7.66 ; c’est seulement cette

application qui servira plus tard. On introduit d’abord quelques notations.

296 JOSEPH AYOUB

Notation 7.70. — Soit W “ pWiqiPI un polytrait formellement présaturé et supposons donné un mor-phisme de pro-objets W // ⌘pBq avec B un schéma intègre. On suppose de plus, que dans la condition (iii)de la Définition 7.63, le schéma X peut être choisi de présentation finie-dénombrable et pro-lisse sur B.

On suppose donné un B-schéma E de présentation finie-dénombrable, pro-lisse et tel que �W ˆB E estintègre. Par la Proposition 7.67, ceci entraîne que le localisé de W ˆB E au point générique de �W ˆB E estun polytrait qu’on notera WpEq ; son point fermé sera noté �WpEq et il est isomorphe à ⌘pEq.

Soit i P I et fixons une factorisation Vi // Y // Wi en un morphisme dominant suivi d’un morphismede présentation finie. Il s’ensuit une factorisation VipEq // Yi ˆB E // Wi ˆB E avec VipEq le polytraitobtenu en localisant Vi ˆB E au point générique de �Vi ˆB E. On note alors pY�Y tEu la complétion (au sensfaible, comme d’habitude) de Y ˆB E au point générique de �Y ˆB E. Ceci fournit le pro-schéma pVitEu. Enfaisant varier i, on obtient enfin de compte le pro-schéma WtEu. ⇤Théorème 7.71. — On garde les Notations 7.70. Le pro-schéma WtEu est un polytrait formellement

présaturé.Démonstration. — Nous allons montrer que, pour i su�samment fin, tout élément de OppVitEuq admet unebonne décomposition. D’après le Corollaire 7.60, ceci entraîne que OppVitEuq est un anneau de valuation.Par passage à la limite, il s’ensuit que OpWtEuq est un anneau de valuation ce qui fournit la propriété (i) dela Définition 7.63. Les propriétés (ii)–(iv) de cette définition sont trivialement satisfaites pour WtEu.

Pour démontrer que tout élément de OppVitEuq admet une bonne décomposition, on remarque que

OppVitEuq “ colim f POpEqrt0upOEr1{ f sqppViqoù OEr1{ f s est considéré comme un OB-module quasi-cohérent auquel on applique les Notations 7.68. Deplus, à f P OpEq r t0u fixée et quitte à remplacer B par un ouvert non vide, on peut supposer que OEr1{ f sest un OB-module libre. p63q On peut donc appliquer la Proposition 7.69 pour conclure. ⌅

7.7. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, III. Un théorème de comparaison. —Afin d’énoncer un résultat important sur la cohomologie h-feuilletée, il sera commode d’introduire

quelques topologies supplémentaires sur la catégorie SgFol{k.Définition 7.72. — Une famille t fi : Yi{Gi // X{FuiPI de morphismes dans SgFol{k est appelée un

recouvrement f-Nisnevich (resp. f-étale) si les propriétés suivantes sont satisfaites :

(i) les morphismes fi : Yi{Gi // X{F sont di↵érentiellement étales ;(ii) pour tout point x P X, il existe un sous-schéma localement fermé et constructible S Ä X contenant x,

un indice i0 P I et un ouvert V Ä Yi0 ˆX S tel que le morphisme évident V // S soit un isomorphisme(resp. un revêtement étale).

Lemme 7.73. — La classe des recouvrements f-Nisnevich (resp. f-étales) est une prétopologie sur SgFol{k.Démonstration. — On traite seulement le cas non réspé ; l’autre cas étant similaire. D’ailleurs, dans lesdeux cas, il s’agit de répéter la preuve du Lemme 6.53.

La seule propriété qui nécessite une vérification est la stabilité par composition. Pour ce faire, donnons-nous un recouvrement f-Nisnevich t fi : Yi{Gi // X{FuiPI et, pour chaque i P I, un recouvrement f-Nisnevich tgi j : Zi j{Hi j // Yi{Giu jPJi . Nous devons montrer que la famille composée

t fi ˝ gi j : Zi j{Hi j // X{Fupi, jqP\iPI Ji

est encore un recouvrement f-Nisnevich.

63. En e↵et, soient A et B deux anneaux intègres et soit A // B un morphisme lisse (et en particulier de type fini). Il existealors des éléments g P B r t0u et f P A r t0u tels que le Ar1{ f s-module Br1{ f gs est libre. Pour démontrer cela, on se ramènepar récurrence au cas où la dimension relative de la A-algèbre B est égale à 1. Le cas de la dimension relative nulle, i.e., celui oùB est étale sur A, étant clair, on se ramène en fin de compte à traiter le cas où B » Art, 1{Ps avec P P Arts r t0u. Or, quitte àinverser le coe�cient dominant de P dans A, on peut supposer que P “ td ` ad´1 ¨ td´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 est unitaire de degré d. Unebase du A-module Art, 1{Ps est alors donnée par les tn, pour n P N, ainsi que les fractions rationnelles ts ¨ P´m, pour m > 1 et0 6 s 6 d ´ 1.


Fixons un point x P X. Par définition, il existe un sous-schéma localement fermé et constructible S Ä Xcontenant x, un indice i0 P I et un ouvert V Ä Yi0 ˆX S tel que V // S est un isomorphisme. Quitte àremplacer S par S red, on peut supposer que S et V sont réduits. Notons y P Yi0 l’image inverse de x parl’isomorphisme V » S .

De nouveau, on peut trouver un sous-schéma localement fermé et constructible T Ä Yi0 contenant y, unindice j0 P Ji0 et un ouvert W Ä Zi0 j0 ˆYi0

T tel que W // T est un isomorphisme. Comme avant, on peutsupposer que T et W sont réduits. Quitte à remplacer T par T X V , on peut supposer que T Ä V . Quitteà remplacer S par l’image de T par l’isomorphisme V » S , on peut supposer que V “ T . Il s’ensuit quefi0 ˝ gi0 j0 induit un isomorphisme W » S et que W est un ouvert de Zi0 j0 ˆX S . Ceci termine la preuve. ⌅Définition 7.74. — D’après le Lemme 7.73, les recouvrements f-Nisnevich (resp. f-étales) forment une

prétoplogie sur SgFol{k ; la topologie qu’ils engendrent est appelée la topologie f-Nisnevich (resp. f-étale)et sera désignée par « f-Nis » (resp. « f-ét »). Le site pSgFol{k, f-Nisq (resp. pSgFol{k, f-étq) est appelé legrand site f-Nisnevich (resp. f-étale) du corps k.Proposition 7.75. — Soit X{F un k-feuilletage intègre et soit t “ pt1, . . . , tnq un système d’indéterminées.Alors, l’association F FpXpptss{Fq définit un point du topos Shvf-NispSgFol{kq. De même, soit pXiqiPIune clôture algébrique de X (i.e., un pro-objet de Et{X tel que colimiPI OpXiq est un corps algébriquementclos). Alors, l’association F colimiPI FpXipptss{Fq définit un point du topos Shvf-étpSgFol{kq.Démonstration. — La preuve est identique à celle de la Proposition 6.86. ⌅

En fait, nous serons sourtout intéressés par la topologie suivante.Définition 7.76. — La topologie f-édh sur SgFol{k est la topologie engendrée par l’union de la préto-

pologie des recouvrements f-Nisnevich (ou, ce qui reviendra au même, f-étales) et de la prétopologie desrecouvrements propres. Le site pSgFol{k, f-édhq est appelé le grand site f-édh du corps k.Définition 7.77. — Un k-polytrait feuilleté présaturé de dimension formelle n est un pro-objet W{R “

pWi{RiqiPI de la catégorie des pro-k-feuilletages vérifiant les conditions suivantes.

(i) L’anneau OpWq est un anneau de valuation. On note ⌫W : FracpOpWqq // �W \ t8u la valuationcorrespondante et �W P W le point fermé de W.

(ii) Pour chaque i P I, le pro-schéma Wi est local, noethérien et de dimension de Krull n. Le morphismeW // Wi est dominant (ce qui entraine que OpWiq Ä OpWq) et local (i.e., l’image de �W et le pointfermé �Wi de Wi). De plus, l’extension p�Wq{p�Wiq est algébrique.

(iii) Pour chaque i P I, il existe une immersion fermée basique Wi{Ri ãÑ Xpptss{F avec X{F un k-feuilletage singulier intègre et t un système d’indéterminées. De plus, la structure de pro-objet surWi{Ri est, à isomorphisme près, celle induite par la structure de pro-objet sur Xpptss{F. (Ceci en-traîne en particulier que �Wi{Ri, en tant que pro-k-feuilletage, est isomorphe au pro-k-feuilletage⌘pXq{F.)

(iv) Pour chaque i P I et pour toute factorisation W // Y // Wi avec Y un schéma a�ne, W // Yun morphisme dominant et Y // Wi un morphisme de présentation finie et génériquement fini (i.e.,p⌘Yq{p⌘Wiq est une extension finie), il existe j > i dans I et un morphisme de pro-Wi{Ri-feuilletagesWj{R j // pY�Y {Ri, avec �Y l’image de �W dans Y. p64q

On dit que W est un k-polytrait feuilleté saturé si de plus �W est uniquement divisible et p�Wq est algébri-quement clos.Remarque 7.78. — Clairement, si W{R est un k-polytrait feuilleté présaturé (resp. saturé), alors le pro-

schéma sous-jacent W est un polytrait formellement présaturé (resp. saturé). ⇤Proposition 7.79. — Soit W{R “ pWi{Riq un k-polytrait feuilleté saturé. Alors, l’association

F colimiPI FpWi{Riq (312)

64. Je pense que cette condition est superflue, mais il faut le vérifier. De même pour la condition (iv) de la Définition 7.63.

298 JOSEPH AYOUB

définit un point du topos Shvf-édhpSgFol{kq. De plus, si le point fermé �W{R est génériquement ft-universelau sens de la Définition 6.74, alors l’association (312) définit même un point du topos ShvhftpSgFol{kq.

Démonstration. — On traite uniquement le cas de la topologie f-édh. (L’argument est le même pour le casde la topologie h-feuilletée ; il su�t d’utiliser la Proposition 6.86 au lieu de la Proposition 7.75.)

D’après le Lemme 6.79, il s’agit de montrer que tout recouvrement f-édh du pro-k-feuilletage W{R estscindé. Il su�t de traiter le cas d’un recouvrement f-Nis et celui d’un recouvrement propre. Le cas d’unrecouvrement f-Nis découle de la Proposition 7.75. Le cas d’un recouvrement propre découle du critèrevaluatif de propreté [23, Chapitre II, Théorème 7.3.8] et du fait que FracpOpWqq est algébriquement clospuisque le k-polytrait feuilleté W est saturé (et non seulement présaturé). ⌅

La Proposition 7.79 ne fournit pas su�samment de points pour le topos Shvf-édhpSgFol{kq. Néanmoins,on a le résultat suivant.

Proposition 7.80. — Soit F // G un morphisme de complexes de préfaisceaux de⇤-modules sur SgFol{kbornés à gauche. On suppose que le morphisme FpW{Rq // GpW{Rq est un quasi-isomorphisme pour toutk-polytrait feuilleté saturé (de dimension formelle 6 n) W{R “ pWi{RiqiPI . Alors, pour tout k-feuilletagesingulier intègre X{F, tout système d’indéterminées t et tout Xpptss{F-schéma essentiellement de présenta-tion finie (et de dimension de Krull 6 n) Y, le morphisme

R�f-édhpY{F; Fq // R�f-édhpY{F; Gqest un quasi-isomorphisme.

Démonstration. — En considérant le complexe CônetF Ñ Gu, on se ramène à traiter le cas où G “ 0.On ne restreint pas la généralité en supposant que F est projectivement f-édh-local. Sous cette condition ondoit donc montrer que FpY{Fq est acyclique (pour krdimpYq 6 n) si les FpW{Rq sont acycliques (pour lesk-polytraits feuilletés saturés de dimension formelle 6 n).

On raisonne par récurrence sur la dimension de Krull de Y . Supposons d’abord que krdimpYq “ 0.Soit pYiqiPI une clôture algébrique de Y , i.e., un pro-objet de Et{Y tel que K “ î

iPI OpYiq est une clôturealgébrique de K “ OpYq. On a alors un quasi-isomorphisme FpY{Fq » R�pGalpK{Kq; colimi FpYi{Fqq.Or, pYi{FqiPI est un k-polytrait feuilleté saturé de dimension formelle nulle. Le complexe colimi FpYi{Fq estdonc acyclique et le résultat s’ensuit.

À partir de maintenant, nous fixons un entier n > 1 et nous supposons que FpY{Fq est acyclique sikrdimpYq 6 n ´ 1. Nous allons montrer qu’il en est de même si krdimpYq “ n. Pour cela, nous raisonnonspar l’absurde en supposant qu’il existe un Y comme dans l’énoncé, de dimension de Krull n, et une classede cohomologie non nulle ↵ P HnpFpY{Fqq r t0u. Nous supposerons que le triplet pY, n,↵q est choisi desorte que n est minimal (ce qui est possible puisque F est borné à gauche). On ne restreint pas la généralitéen supposant que n “ 0 de sorte que HipFpY{Fqq “ 0 si i † 0, ainsi que pour Y remplacé par n’importequel Xpptss-schéma de type fini et de dimension de Krull n (avec X{F variable). Notre but est de construireun morphisme de pro-k-feuilletages W{R // Y{F, de source un k-polytrait feuilleté saturé de dimensionformelle 6 n, tel que ↵|W , 0, ce qui contredira nos suppositions. On divise cette construction en plusieursétapes.

Étape A : Nous regroupons ici quelques faits qui servirons à plusieurs reprises dans la construction de W.Nous aurons besoin de généraliser la situation dans laquelle nous nous trouvons. Ainsi, nous supposerons

donné un pro-objet Y{G “ pYi{GiqiPI dans la catégorie des pro-k-feuilletages vérifiant la condition suivante.

(‹) Pour chaque i P I, Yi{Gi est de dimension de Krull n et admet un morphisme basique de présentationfinie vers un pro-k-feuilletage de la forme Xpptss{F avec X{F un k-feuilletage intègre et t un systèmed’indéterminées.

On a alors les faits suivants.

(F1) Soit Y 1 // Y une modification, i.e., un morphisme propre de présentation finie induisant un isomor-phisme Y 1 r Z1 » Y r Z pour un certain fermé constructible Z Ä Y de dimension de Krull 6 n ´ 1. Le


carré distingué (pour la topologie f-édh)

Z1{G //

✏✏

Y 1{G✏✏

Z{G // Y{G,et l’acyclicité des complexes FpZ{Gq et FpZ1{Gq entraînent que le morphisme

FpY{Gq // FpY 1{Gqest un quasi-isomorphisme.

(F2) Soit y P Y un point. Le carré distingué (pour la topologie f-Nis)

ppYy r tyuq{G //

✏✏

pYy{G✏✏

pYy r tyuq{G // Yy{G,et l’acyclicité des complexes FppYy r tyuq{Gq et FpppYy r tyuq{Gq entraînent que le morphisme

FpYy{Gq // FppYy{Gqest un quasi-isomorphisme.

(F3) Le préfaisceau U P OuvpYq H0pFpU{Gqq est un faisceau pour la topologie de Zariski. En e↵et, onse ramène à vérifier la propriété de recollement pour les recouvrements tU, V ãÑ U Y Vu. La suiteexacte de Mayer–Vietoris

H´1pFpU X V{Fqq // H0pFpU Y V{Fqq // H0pFpU{Fqq ‘ H0pFpV{Fqq // H0pFpU X V{Fqqet le fait que H´1pFpU X V{Fqq “ 0 permettent de conclure.

Étape B : Soit Y{G “ pYi{GiqiPI un pro-objet de la catégorie des pro-k-feuilletages vérifiant la condition(‹) ci-dessus et soit ↵ P colimiPI H0pFpYi{Giqq une section non nulle. On supposera aussi que Y possède unnombre fini de points génériques.

Étant donné un morphisme V // Y vérifiant les conditions suivantes :(1) V est un polytrait et FracpOpVqq est algébriquement clos, et(2) V // Y est local, domine une composante irréductible Y˝, et l’extension p⌘Vq{p⌘Y˝q est algébrique,

on peut former le pro-schéma pV comme dans la Construction 7.56. Ce pro-schéma est naturellement unpro-objet pV{G dans la catégorie des pro-k-feuilletages. De plus, il vérifie encore la condition (‹) ci-dessus.

Dans cette étape nous allons montrer qu’il existe V // Y comme ci-dessus tel que ↵|pV{G , 0. D’après(F2) ci-dessus, il revient au même de demander que ↵|V{G , 0.

Appelons N // Y la normalisation de Y dans le produit direct des clôtures algébriques des corps rési-duels des points génériques de Y . Nous munissons N de la structure de pro-schéma induite de celle de Y .Nous considérons également le pro-schéma MdfpNq des modifications de N. Enfin, nous munissons N etMdfpNq des structures de feuilletage induites de celle de Y .

Notons � le groupe des automorphismes de la FracpOpYqq-algèbre FracpOpNqq (un produit direct d’ex-tensions). Puisque F est f-édh-local, on a un quasi-isomorphisme p65q FpY`{Gq » FpN{Gq� avec Y` lenormalisé de Y (dans ⌘pYq). Par ailleurs, d’après (F1), on a un quasi-isomorphisme FpY{Gq » FpY`{Gq.Ceci montre que ↵|N{G , 0.

Toujours, d’après (F1), on a un quasi-isomorphisme FpN{Gq » FpMdfpNq{Gq montrant que ↵|MdfpNq{G ,0. Or, d’après (F3), l’association U P OuvpMdfpNqq FpU{Gq est un faisceau Zariski. Il existe donc unpoint � P MdfpYq en lequel le germe de ↵|MdfpNq{G est non nul. Le point � correspond à un morphismeV // Y vérifiant les conditions (1) et (2) ci-dessus et l’on a bien ↵|V{G , 0.

65. Ici, nous avons supposer que ⇤ est une Q-algèbre.

300 JOSEPH AYOUB

Étape C : On est maintenant en mesure de construire le polytrait feuilleté saturé W{R vérifiant ↵|W{R , 0.Rappelons (voir la discussion qui précède l’Étape A) qu’on dispose d’un Xpptss-schéma de présentation

finie Y , de dimension de Krull n, et d’une section non nulle ↵ P FpY{Fq. Notons Yp0q{Fp0q et ↵p0q au lieu deY{F et ↵.

Supposons construit, pour s P N, un pro-objet Ypsq{Fpsq dans la catégorie des pro-k-feuilletages et ↵psq PH0pFpYpsq{Fpsqqqr t0u. On suppose aussi que Ypsq{Fpsq vérifie la condition (‹). (On peut aussi supposer queYpsq est a�ne et intègre pour s > 1.) D’après l’Étape B, on peut trouver un morphisme Vpsq // Ypsq vérifiantles conditions (1) et (2) ci-dessus et tel que ↵psq| yVpsq{Fpsq , 0. On pose alors Yps`1q{Fps`1q “ yVpsq{Fpsq et↵ps`1q “ ↵psq|Yps`1q{Fps`1q .

On obtient ainsi une tour pYpsq{FpsqqsPN de pro-objets dans la catégorie des pro-k-feuilletages. On noteW{R la limite de cette tour (dans la catégorie des pro-objets). Il est immédiat que W{R satisfait les proprié-tés souhaitées. ⌅

On arrive à présent au résultat principal de cette sous-section.Théorème 7.81. — Soit n un entier naturel. Soient X{F un k-feuilletage singulier intègre et Y un Xpptss-

schéma essentiellement de présentation finie de dimension de Krull 6 n. (Comme d’habitude, t est unsystème d’indéterminées.)

Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k, borné à gauche et n-malléable. Suppo-sons aussi que F est projectivement ft-fibrant. Alors, le morphisme canonique

R�f-édhpY{F; Fq // R�hftpY{F; Fqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Supposons d’abord que n “ 0, i.e., que Y » ⌘pYq. D’une part, on dispose de quasi-isomorphismes évidents

FpY{Fq » R�f-étpY{F; Fq » R�f-édhpY{F; Fq.(Le premier provient du fait que F est f-ét-fibrant car il est supposé ft-fibrant et car la topologie feuilletéeest plus fine que la topologie f-étale ; le second provient du fait que tout recouvrement f-édh d’un Y-schémaétale se ra�ne par un recouvrement f-ét.) D’autre part, le Corollaire 7.39 fournit les quasi-isomorphismes

FpY{Fq » R�ftpY{F; Fq » R�hftpY{F; Fq.Ceci permet de conclure dans ce cas.

Dans la suite, on suppose que n > 1 et on raisonne par récurrence sur n. On divise l’argument en deuxétapes.Étape A : Soit F // G un remplacement projectivement hft-fibrant, i.e., une équivalence hft-locale avecG un complexe de préfaisceaux projectivement hft-fibrant. Puisque la topologie hft est plus fine que latopologie f-édh, il revient au même de montrer que le morphisme

R�f-édhpY{F; Fq // R�f-édhpY{F; Gqest un quasi-isomorphisme. D’après la Proposition 7.80, il su�t de montrer que le morphisme

FpW{Rq // GpW{Rqest un quasi-isomorphisme pour tout k-polytrait feuilleté saturé de dimension formelle 6 n.

On ne restreint pas la généralité en supposant que l’inclusion du point fermé �W{R ãÑ W{R admetune rétraction W{R // �W{R que l’on fixe tout au long de la preuve. (Utiliser par exemple le Théorème7.66 joint à l’Exemple 7.64.) On se donne une ft-hyper-clôture générique � qW‚{qR‚ // �W{R (au sens dela Définition 6.91 étendue de la manière évidente aux pro-k-feuilletages) et on pose qW‚{qR‚ “ Wt�W‚u{qR‚(avec les Notations 7.70). Grâce au Théorème 7.71, on obtient de la sorte un objet semi-simplicial en k-polytraits feuilletés saturés qW‚{qR‚ muni d’une augmentation qW‚{qR‚ // W{R telle que �W‚{qR‚ // �W{Rest une ft-hyper-clôture générique de �W{R.


Puisque F est n-malléable, le morphisme

FpW{Rq // Tot Fp qW‚{qR‚qest un quasi-isomorphisme. Puisque, pour n P N, les � qWn

{qRn sont génériquement ft-universels, le mor-phisme Fp qWn{qRnq // Gp qWn{qRnq est un quasi-isomorphisme grâce à la Proposition 7.79. Il s’ensuit que lemorphisme

Tot Fp qW‚{qR‚q // Tot Gp qW‚{qR‚qest un quasi-isomorphisme. Il reste donc à montrer que le morphisme

GpW{Rq // Tot Gp qW‚{qR‚qest un quasi-isomorphisme. Ceci fera l’objet de la prochaine étape.Étape B : Le morphisme

GppW r �Wq{Rq // Tot Gpp qW‚ r � qW‚q{qR‚qest un quasi-isomorphisme. (En e↵et, par l’hypothèse de récurrence sur la dimension de Krull, il revient aumême de dire que le morphisme analogue, où G est remplacé par F, est un quasi-isomorphisme. Or ceci estvrai puisque F est n-malléable.) Il reste donc à montrer que le morphisme

Cône

GpW{Rq Ñ GppW r �Wq{Rq(// Tot Cône

!Gp qW‚{qR‚q Ñ Gpp qW‚ r � qW‚q{qR‚q

)(313)

est un quasi-isomorphisme. Or, pour n P N, on dispose d’un carré distingué (pour la topologie feuilletée) :

p qWn r � qWnq{qRn

//

✏✏

qWn{qRn

✏✏

ppW r �Wq{Rq ˆ�W p� qWn{qRnq // pW{Rq ˆ�W p� qWn

{qRnq.Ainsi, le morphisme (313) s’identifie à quasi-isomorphisme près (au niveau des buts) au morphisme

Hp�W{Rq // Tot Hp� qW‚{qR‚qavec H le faisceau sur SgFolR{�W donné par

Hp´q “ Cône

GppW{Rq ˆ�W p´qq Ñ GpppW r �Wq{Rq ˆ�W p´qq(.

Or, on peut montrer que H est projectivement hft-fibrant. (Il s’agit d’une conséquence bien connue dela cohérence toposique et du fait que nos complexes sont bornés à gauche.) On peut donc appliquer leThéorème 7.38 pour conclure. ⌅

On profite du Théorème 7.81 pour établir l’analogue h-feuilleté de la Proposition 7.80.Corollaire 7.82. — Soit F // G un morphisme de complexes de préfaisceaux de⇤-modules sur SgFol{kbornés à gauche et malléables (resp. n-malléables). On suppose que le morphisme FpW{Rq // GpW{Rqest un quasi-isomorphisme pour tout k-polytrait feuilleté saturé (resp. de dimension formelle 6 n) W{R “pWi{RiqiPI et de point fermé �W{R génériquement ft-universel. Alors, pour tout k-feuilletage singulier in-tègre X{F, tout système d’indéterminées t et tout Xpptss{F-schéma essentiellement de présentation finie(resp. de dimension de Krull 6 n) Y, le morphisme

R�hftpY{F; Fq // R�hftpY{F; Gqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — On ne restreint pas la généralité en supposant que F et G sont projectivement ft-fibrants.D’après le Théorème 7.81, il su�t de prouver que

R�f-édhpY{F; Fq // R�f-édhpY{F; Gqest un quasi-isomorphisme. D’après la Proposition 7.80, il su�t de vérifier que FpW{Rq // GpW{Rq est unquasi-isomorphisme pour tout k-polytrait feuilleté saturé W{R de dimension formelle n. Avec les notations

302 JOSEPH AYOUB

de l’Étape A de la preuve du Théorème 7.81, on dispose d’un quasi-isomorphisme FpW{Rq // Tot Fp qW‚{qR‚qet de même pour G au lieu de F. Par ailleurs, d’après les hypothèses de l’énoncé, Fp qWn{qRnq // Gp qWn{qRnqest un quasi-isomorphisme pour tout n P N. Ceci permet de conclure. ⌅

7.8. Cohomologie h-feuilletée des polytraits, IV. Rigidité forte. —On commence par deux résultats supplémentaires sur les polytraits.

Proposition 7.83. — Soient X un schéma intègre et t un système d’indéterminées. Soient V un polytraitet V // Xpptss un morphisme dominant induisant une extension p⌘Vq{p⌘Xpptssq de degré de transcendancefini. On suppose que OpVq est de hauteur 1. Alors, la valuation ⌫ : OpVq // �˝\t8u s’étend naturellementen une pseudo-valuation ⌫ : OppVq // �˝ \ t8u. p66q De plus, le sous-schéma fermé rV “ pV{⌫´1p8q est unpolytrait formellement présaturé.Démonstration. — On explique d’abord comment étendre la valuation ⌫. Soit V // Y // Xpptss une fac-torisation par un morphisme dominant suivi par un morphisme de présentation finie.

Étant donnée une suite p feqePN de OpYq qui tend vers zéro pour topologie Ip�Yq-adique, la suite p⌫p feqqePNtend vers 8. Plus précisément, pour tout x P �˝

V , il existe e0 P N tel que ⌫p feq > x pour e > e0. (L’hypothèsehtp�Vq “ 1 est essentielle pour la validité de cette propriété.) Ainsi, l’une des deux alternatives suivantesest satisfaite :

(1) la suite p⌫p f0 ` . . .` feqqePN est stationnaire pour e su�samment grand ;(2) la suite p⌫p f0 ` . . .` feqqePN tend vers 8.

On peut donc définir ⌫pp feqePNq P �˝ \ t8u en posant ⌫pp feqePNq “ limePN ⌫p f0 ` . . .` feq. Étant donnée uneautre suite p f 1

eqePN comme ci-dessus, on a l’inégalité ⌫pp fe ` f 1eqePNq > infp⌫pp feqePNq`⌫pp f 1

eqePNqq. Il s’ensuitque, si p feqePN est sommable dans OppY�Y q, l’élément ⌫pp feqePNq ne dépend que de la somme f “ ∞

ePN fe ;on le notera donc ⌫p f q. Ceci fournit la pseudo-norme ⌫ : OppVq // �˝ \ t8u promise.

Supposons données deux fonctions régulières f , g P OppVq telles que ⌫p f q 6 ⌫pgq et ⌫p f q , 8. Nousallons montrer que f ´1 ¨ g P OppVq. Ceci entraînera que OprVq est un anneau de valuation. Fixons unefactorisation V // Y // Xpptss comme avant de sorte que f , g P OppY�q. Puisque ⌫p f q † 8, l’alternative(1) ci-dessus est satisfaite et, en raisonnant comme dans l’Étape A de la preuve du Théorème 7.66, onmontre que f admet une bonne décomposition f “ ∞

ePN fe. Ainsi, on a ⌫p f0q “ ⌫p f q et ⌫p feq ° ⌫p f q poure > 1. En raisonnant comme dans la preuve de la Proposition 7.58, on peut supposer que f “ f0 ¨ u avecu P OppY�qˆ. De même, si ⌫pgq , 8, on peut supposer que g “ g0 ¨ w avec ⌫pg0q “ ⌫pgq et w P OppY�qˆ.Ceci montre que la fonction rationnelle f ´1 ¨ g appartient à OppVq. Enfin, si ⌫pgq “ 8, l’alternative (2) estsatisfaite pour g et on peut écrire g “ ∞

ePN ge avec ⌫pgeq > ⌫p f0q pour tout e P N. En raisonnant commedans la preuve de la Proposition 7.58, on montre que la suite p f ´1

0 ¨ geqePN est sommable dans OppVq ce quipermet encore de conclure.

Pour terminer, il reste à vérifier que le polytrait rV est formellement saturé. Or, on vient de montrerque toute fonction régulière f P OppVq r ⌫´1p8q admet une bonne décomposition qui induit une bonnedécomposition de f |rV . Vu l’Exemple 7.64, ceci permet de conclure. ⌅Corollaire 7.84. — Gardons les notations et les hypothèses de la Proposition 7.83. Soit T un polytrait

et soit t : T // pV un morphisme local tel que tp⌘T q P pV r rV. Alors, on a rV Ä tpT q, ce qui revient à direque t´1prV r �Vq ,H.

Démonstration. — Supposons donnée une factorisation T ãÑ T 1 t1// pV , avec T ãÑ T 1 une immersion

fermée, et supposons que la conclusion du corollaire est connue pour T 1. Ainsi, on a t1pS 1q “ rV avecS 1 “ t1´1prVq, un fermé de T 1. La condition rV 1 t1pT q entraîne que S 1 1 T ce qui revient à dire que T estun fermé strict de S 1, nécessairement contenu dans S 1 ˆrV �V . Or, ceci est en contradiction avec l’hypothèseque tp⌘Vq P pV r rV . On a donc montré que l’inclusion rV Ä t1pT 1q entraîne l’inclusion rV Ä tpT q.

66. Faut-il définir les pseudo-valuations ?


D’après la discussion précédente, et quitte à remplacer le polytrait T par un autre qui le contient, onpeut supposer que le morphisme t : T // pV est dominant. p67q Ceci n’est pas nécessaire mais faciliteral’argument.

Considérons le morphisme l : T // V , obtenu en composant t avec le morphisme pV // V . Le mor-phisme l est dominant et local ; il induit donc un morphisme strictement croissant ✏ : �V ãÑ �T tel que⌫T p´ ˝ lq “ ✏ ˝ ⌫Vp´q.

Soit f P IprVq r t0u. Nous allons montrer que ⌫T p f ˝ tq ° ✏pxq pour tout x P �V . Pour cela, fixons x P �˝V

et donnons-nous un élément g P OpVqr t0u tel que x † ⌫Vpgq. Écrivons f “ ∞ePN fe, avec p feqePN une suite

de OpVq sommable dans OppVq. Puisque f |rV “ 0, la seconde alternative dans la preuve de la Proposition7.83 est satisfaite. Ainsi, quitte à modifier la suite p feqePN, on peut supposer que ⌫Vp feq ° ⌫Vpgq pour toute P N. Il s’ensuit que g ` f admet une bonne décomposition à savoir g ` ∞

e>1 fe´1. D’après la Proposition7.58, on trouve que ⌫T pg ˝ l ` f ˝ tq “ ✏p⌫Vpgqq. Ceci montre que ⌫T p f ˝ tq > ✏p⌫Vpgqq ° ✏pxq.

Notons H Ä �T le plus petit sous-groupe isolé contenant ✏p�Vq. On a H˝ “ ty P �˝T | Dx P �˝

V , y 6 ✏pxqu.Notons q Ä OpT q l’idéal premier associé à H, i.e., donné par q “ th P OpT q | ⌫T phq < Hu. D’après ce quiprécède, f ˝t P q pour toute fonction régulière f P IprVq. Par ailleurs, une fonction régulière f P OppVqrIprVqadmet une bonne décomposition et ⌫T p f ˝ tq P ✏p�Vq Ä H. On obtient en fin de compte l’égalité

IprVq “ t f P OppVq | f ˝ t P quce qui montre que tpqq est le point générique de rV , à savoir ⌘rV “ rV r �V . ⌅

Le lemme suivant est bien connu.Lemme 7.85. — Soit f : W // V un morphisme dominant et local de polytraits. Alors f est surjectif.

Démonstration. — Notons �V et �W les groupes de valuation attachés à V et W. Puisque f est dominant, ilexiste un morphisme croissant ✏ : �V // �W rendant commutatif le carré

FracpOpVqq´˝ f✏✏

⌫V// �V \ t8u

✏✏✏

FracpOpWqq ⌫W// �W \ t8u.

Le fait que f est local entraîne que le morphisme ✏ est injectif. (En e↵et, dans le cas contraire, le morphismef se factoriserait par un ouvert strict de V ce qui est impossible puisque f p�Wq “ �V .)

Étant donné un sous-groupe isolé HV Ä �V , on note HW Ä �W le plus petit sous-groupe isolé contenant✏pHVq. En fait, HW est l’unique sous-groupe de �W tel que

H˝W “ ty P �˝

W | Dx P H˝V , y 6 ✏pxqu.

Ceci montre que ✏´1pHWq “ HV . Il s’ensuit que l’idéal premier p “ ta P OpVq | ⌫Vpaq < HVu est l’imagepar f : W // V de l’idéal premier q “ tb P OpWq | ⌫Wpbq < HWu. Ceci montre que f est surjectif. ⌅

On introduit maintenant une classe importante de complexes de préfaisceaux.Définition 7.86. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k. On dit que F est

fortement rigide s’il vérifie les conditions suivantes pour tout k-polytrait feuilleté saturé W{R.

(i) Le morphisme FpW{Rq // Fp�W{Rq est un quasi-isomorphisme.

(ii) Notons U Ä W l’ouvert de longueur 1. Le morphisme R�étp⌘pUq{R; Fq // R�étp⌘p rUq{R; Fq est unquasi-isomorphisme.

(Ci-dessus, rU est le polytrait formellement saturé associé au polytrait U de longueur 1 par la Proposition7.83.)

Le résultat principal de cette sous-section est le suivant.

67. Ceci demande un argument.

304 JOSEPH AYOUB

Théorème 7.87. — Soit F un complexe de préfaisceaux de ⇤-modules sur SgFol{k borné à gauche etfortement rigide. Soient W{R un k-polytrait feuilleté saturé. Alors, pour tout ouvert non vide U Ä W, lemorphisme

R�f-édhpU{R; Fq // R�f-édhp�U{R; Fqest un quasi-isomorphisme.Démonstration. — Si la dimension formelle de W est nulle, il en est de même de sa longueur. Dans ce cas,on a nécessairement U “ W et �U “ U ; il n’y a donc rien à démontrer.

Si la dimension formelle de W vaut 1, la longueur de W est 6 1. Ainsi, on a U “ ⌘W ou U “ W. Dansle premier cas, �U “ U et il n’y a rien à démontrer. Dans le second cas, on invoque la Proposition 7.79pour se ramener à montrer que FpW{Rq // Fp�W{Rq est un quasi-isomorphisme ce qui est garanti par lapropriété de rigidité forte.

Dans la suite, on raisonne par récurrence sur la dimension formelle de W que l’on notera n. Vu la discus-sion précédente, on peut supposer que n > 2. Grâce à la Proposition 7.79, il est facile de voir que la propriétéde rigidité forte ne dépend que de la classe d’isomorphie dans Hof-édhpCplpPShpSgFol{k;⇤qqq. Ainsi, on nerestreint pas la généralité en supposant que F est projectivement f-édh-local. On divise l’argument en deuxétapes.Étape A : On traite ici le cas où la longueur de U est 1. Si U “ W, le résultat est garanti par la propriétéde rigidité forte (voir la Définition 7.86(i)). On peut donc supposer que U est un ouvert strict (ou, ce quirevient au même, que W est de longueur > 2).

On dispose d’un carré distingué (pour la topologie f-ét)

p pU r �Uq{R //

✏✏

pU{R✏✏

pU r �Uq{R // U{Rqui fournit un quasi-isomorphisme

CônetFpU{Rq Ñ FppU r �Uq{Rqu // CônetFp pU{Rq Ñ Fpp pU r �Uq{Rqu. (314)

Supposons un instant que le morphisme

CônetFp pU{Rq Ñ Fpp pU r �Uq{Rqu // CônetFp rU{Rq Ñ Fpp rU r �Uq{Rqu (315)

est un quasi-isomorphisme et montrons comment conclure. En composant (314) et (315) on obtient un carréhomotopiquement cocartésien

Fpp rU r �Uq{Rq Fp rU{Rqoo

FppU r �Uq{Rq

OO

FpU{Rq.

OO

oo

Or, puisque F est fortement rigide, la flèche verticale de gauche dans ce carré est un quasi-isomorphisme(voir la Définition 7.86(ii)). Il en est donc de même de la flèche verticale de droite. Par ailleurs, d’aprèsla Proposition 7.83, rU{R est un k-polytrait feuilleté saturé. Puisque F est fortement rigide, on a un quasi-isomorphisme Fp rU{Rq » Fp�U{Rq (voir la Définition 7.86(i)). En le composant avec la flèche verticale dedroite dans le carré ci-dessus, on obtient le quasi-isomorphisme FpU{Rq » Fp�U{Rq comme souhaité.

Il reste à montrer que (315) est un quasi-isomorphisme. Pour ce faire, on se place dans la catégorie descomplexes de préfaisceaux sur SgFolR{ pU (on laisse au lecteur le soin de définir cette catégorie). On consi-dère les deux complexes de préfaisceaux pH et rH qui, à un pU{R-feuilletage Q{L, associent respectivementles complexes

CônetFpQ{Lq Ñ FppQ ˆ pU p pU r �Uqq{Lqu et CônetFppQ ˆ pUrUq{Lq Ñ FppQ ˆ pU p rU r �Uqq{Lqu.


Ces préfaisceaux sont projectivement f-édh-fibrants (on utilise ici que nos complexes sont bornés à gaucheet que la topologie f-édh est quasi-compacte). De plus, on dispose d’un morphisme évident pH // rH et direque (315) est un quasi-isomorphisme revient à dire que pHp pU{Rq // rHp pU{Rq est un quasi-isomorphisme.

Pour montrer que pHp pU{Rq // rHp pU{Rq est un quasi-isomorphisme, nous appliquons la Proposition 7.80convenablement étendue aux préfaisceaux sur SgFolR{ pU. Étant donné que pU est une limite projective (dansla catégorie des pro-k-feuilletages) de pro-k-feuilletages de dimension de Krull 6 n´1 (car l’ouvert U Ä West supposé strict) et isomorphes à des fermés basiques de Xpptss{F (avec X{F un k-feuilletage et t unsystème d’indéterminées), on se ramène grâce à la Proposition 7.80 à vérifier que pHpT{Pq // rHpT{Pq estun quasi-isomorphisme pour T{P un k-polytrait feuilleté saturé de dimension formelle 6 n ´ 1 et munid’un morphisme de pro-k-feuilletages T{P // pU{R. En démelant les constructions, on est donc ramené àmontrer que le carré

FpQ{Pq FpT{Pqoo

FpQ{Pq

OO

FpT{Pq

OO

oo

est homotopiquement cocartésien avec Q “ T ˆ pU p pU r�Uq, T “ T ˆ pUrU et Q “ T X Q “ T ˆ pU p rU r�Uq.

La stratégie est alors d’appliquer la récurrence sur la dimension formelle aux k-polytraits saturés T{P etT{P. On doit tout de même distingués deux cas de figure.

(1) Lorsque le morphisme T // pU n’est pas local, i.e., son image ne contient pas �U . Dans ce cas, on aQ “ T et Q “ T , et il n’y a donc rien à démontrer.

(2) Lorsque le morphisme T // pU est local. D’après le Corollaire 7.84, le fermé rU est contenu dansl’image de T // pU. Dans ce cas, T{P et T{P sont des k-polytraits feuilletés (car non vides !) saturéset possèdent le même point fermé. D’après la condition (i) de la Définition 7.86, la flèche verticalede droite dans le carré ci-dessus est un quasi-isomorphisme. Il reste donc à montrer que la flècheverticale de gauche dans ce carré est un quasi-isomorphisme. Or, les polytraits Q et Q sont des ouvertsnon vides des k-polytraits formellement saturés T et T , et admettent le même point fermé. Puisqueles dimensions formelles de T et T sont 6 n ´ 1, on peut appliquer l’hypothèse de récurrence pourconclure.

Étape B : On suppose maintenant que la longueur de U est au moins 2. Soit Z Ä U le fermé de colongueur1 et D Ä U l’ouvert de longueur 1. Ainsi, on a D X Z » �D » ⌘Z. Nous allons prouver que le carré

FpZ X D{Rq FpZ{Rqoo

FpD{Rq

OO

FpU{Rqoo

OO

est homotopiquement cocartésien. Ceci permettra de conclure. En e↵et, vu l’Étape précédente, la flècheverticale de gauche est un quasi-isomorphisme. Il en est donc de même de la flèche verticale de droite. Or,Z est un ouvert de l’adhérence Zariski de Z dans W qui est un polytrait formellement saturé de dimensionformelle 6 n ´ 1. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence pour obtenir le quasi-isomorphismeFpZ{Rq » Fp�Z{Rq. Puisque, �Z “ �U , on peut composer ce quasi-isomorphisme avec la flèche verticalede droite dans le carré ci-dessus, on obtient le quasi-isomorphisme FpU{Rq » Fp�U{Rq souhaité.

Pour démontrer que le carré ci-dessus est homotopiquement cocartésien, on raisonne comme dans l’étapeprécédente en se plaçant dans la catégorie des complexes de préfaisceaux sur SgFolR{U. On considèreles deux complexes de préfaisceaux H et K qui, à un U{R-feuilletage Q{L, associent respectivement lescomplexes

CônetFpQ{Lq Ñ FppQ Û Dq{Lqu et CônetFppQ Û Zq{Lq Ñ FppQ Û pZ X Dqq{Lqu.Ces préfaisceaux sont projectivement f-édh-fibrants (on utilise ici que nos complexes sont bornés à gaucheet que la topologie f-édh est quasi-compacte). De plus, on dispose d’un morphisme évident H // K et notre

306 JOSEPH AYOUB

but est de prouver que HpU{Rq // KpU{Rq est un quasi-isomorphisme. Pour ce faire, nous appliquons laProposition 7.80 convenablement étendue aux préfaisceaux sur SgFolR{U. On se ramène ainsi à vérifier queHpT{Pq // HpT{Pq est un quasi-isomorphisme pour T{P un k-polytrait feuilleté saturé de dimension for-melle 6 n ´ 1 et muni d’un morphisme de pro-k-feuilletages T{P // U{R. En démelant les constructions,on est donc ramené à montrer que le carré

FpZT X DT {Rq FpZT {Rqoo

FpDT {Rq

OO

FpT{Rqoo

OO

est homotopiquement cocartésien avec DT “ D Û T et ZT “ Z Û T . D’après le Lemme 7.85, on aDT X ZT ,H.

D’après la condition (i) de la Définition 7.86, la flèche verticale de droite dans le carré ci-dessus est unquasi-isomorphisme. Il reste donc à montrer que la flèche verticale de gauche dans ce carré est un quasi-isomorphisme. Or, les polytraits DT et ZT X DT sont des ouverts non vides des k-polytraits formellementsaturés T et ZT , et admettent le même point fermé. Puisque les dimensions formelles de T et ZT sont 6 n´1,on peut appliquer l’hypothèse de récurrence pour conclure. ⌅

Dans la reste de la sous-section, nous démontrerons les deux résultats essentiels dont la conjonctionpermet de calculer la cohomologie f-édh des polytraits feuilletés à valeurs dans un complexe de préfaisceaufortement rigide.

Théorème 7.88. — Soient X un schéma intègre et t un système d’indéterminées. Soient V un polytrait etV // Xpptss un morphisme dominant induisant une extension p⌘Vq{p⌘Xpptssq de degré de transcendancefini. On suppose donné un complexe de préfaisceau F sur SgFol{k borné à gauche et fortement rigide.

(a) Supposons que V est de longueur 1. Alors, le carré

FpprV r �Vq{Fq FprV{Fqoo

FppV r �Vq{Fq

OO

FpV{Fqoo

OO

est homotopiquement cocartésien.

(b) Soit D Ä V un ouvert et Z Ä V un fermé. Supposons que D X Z ,H. Alors, le carré

FppD X Zq{Fq FpZ{Fqoo

FpD{Fq

OO

FpV{Fqoo

OO

est homotopiquement cocartésien.

Démonstration. — Nous allons répéter les Étapes A et B de la preuve du Théorème 7.87. Toutefois, au lieud’utiliser l’hypothèse récurrence, on se servira de la validité dudit théorème.

Étape A : Ici on démontre la partie (a) de l’énoncé. Comme dans l’Étape A de la preuve du Théorème 7.87,il su�t de prouver que le carré

FpprV r �Vq{Fq FprV{Fqoo

FpppV r �Vq{Fq

OO

FppV{Fqoo

OO


est homotopiquement cocartésien. Pour ce faire, on considère le carré de complexes de préfaisceaux surSgFolF{pV :

Fpp´q ˆpV pprV r �Vq{Fqq Fpp´q ˆpV prV{Fqqoo

Fpp´q ˆpV pppV r �Vq{Fqq

OO

Fpp´q ˆpV ppV{Fqq.oo

OO

On doit montrer que ce carré induit un carré homotopiquement cocartésien après passage aux sectionsglobales (i.e., après évalution sur pV{F). Grâce à la Proposition 7.80, il su�t de montrer qu’on obtient uncarré homotopiquement cocartésien en évaluant sur W{R, avec W{R un k-polytrait feuilleté saturé munid’un morphisme de pro-k-feuilletages W{R // pV{F. On se ramène ainsi à montrer que le carré

FpD{Rq FpZ{Rqoo

FppD X Zq{Rq

OO

FpW{Rq

OO

oo

est homotopiquement cocartésien avec D “ W ˆpV ppV r �Vq et Z “ W ˆpVrV . Si W // pV n’est pas local,

alors D “ W et il n’y a rien à démontrer. Si W // pV est local, alors rV est dans l’image de ce morphisme.Il s’ensuit que D X Z , H. Le résultat recherché est alors un cas particulier de (b). (On peut aussi utiliserle Théorème 7.87 pour conclure.)Étape B : Ici on démontre la partie (b) de l’énoncé. Pour ce faire, on considère le carré de complexes depréfaisceaux sur SgFolF{V :

Fpp´q ˆV ppD X Zq{Fqq Fpp´q ˆV pZ{Fqqoo

Fpp´q ˆV pD{Fqq

OO

Fpp´q ˆV pV{Fqq.oo

OO

En appliquant la Proposition 7.80, il su�t de montrer qu’on obtient un carré homotopiquement cocartésienen évaluant sur un k-polytrait feuilleté saturé. Ainsi, il su�t de prouver la partie (b) de l’énoncé pour un k-polytrait feuilleté saturé W{R (au lieu du k-polytrait feuilleté V{F) muni d’un ouvert D Ä W et d’un ferméZ Ä W tels que D X Z , H. Dans ce cas, le morphisme FpW{Rq // FpZ{Rq est un quasi-isomorphismepuisque les k-polytraits feuilletés W{R et Z{R sont saturés et admettent le même point fermé. De même, leThéorème 7.87 entraîne que le morphisme FpD{Rq // FppZ X Dq{Rq est un quasi-isomorphisme car D etZ X D sont des ouverts des polytraits W et Z, et qu’il admettent le même point fermé. ⌅

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Joseph Ayoub,Institut für Mathematik, Universität Zürich, Winterthurerstr. 190, CH-8057 Zürich, SwitzerlandCNRS, LAGA, Université Paris 13, 99 avenue J.B. Clément, 93430 Villetaneuse, France‚ E-mail : [email protected]

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