Commande des Machines Travaux Pratiqueseavr.u-strasbg.fr/~laroche/student/MasterIT-ComMach/TP-ComMach.pdf · – On dispose d’un mod`ele physique partiel qui permet de connaˆıtre

Commande des Machines

Travaux Pratiques

Master Ingenierie et Technologie - 1ere annee

Universite Louis Pasteur de Strasbourg

2008-2009

Edouard Laroche

Wael Bachta

Master Ingenierie et Technologie 1ere anneeCommande des Machines, 2007-2008

Generalites

1 Lieu

Les TP ont lieu dans la salle d’automatique de l’ENSPS, situee salle C003 du pole API(sous-sol au batiment C). En entrant par l’acces principal du pole API, dirigez vous vers lagauche afin de rejoindre le batiment C. Apres avoir passe un couloir, vous pouvez atteindre leniveau zero du batiment en empruntant l’ascensseur situe en face du distributeuyr de boissonsou en empruntant l’escalier situe a proximite. L’acces au pole API se fait a partir la ligne Adu tram, direction Illkirch-Luxenbuhl, arret Campus d’Illkirch. Un plan d’acces est disponiblea l’adresse : http ://lsiit/localisation.php ?plan=1

2 Preparation

Il est imperatif de preparer chaque seance de travaux pratiques. On estime entre 2 et 4heures le temps necessaire pour preparer un TP. En preparation au premier TP, il est fortementconseille de s’auto-former sur Matlab-Simulink en utilisant la salle en acces libre de l’IPST.Une feuille de preparation est placee a la fin de chaque enonce et vous permet de rassemblerles elements importants de la preparation. Cette feuille pourra etre jointe au compte-rendu deTP.

2.1 Rotation

Groupes 1 a 3 Groupes 4 a 6 Groupes 7 a 9

s1 Tp1 Tp2 Tp3s2 Tp2 Tp3 Tp1s3 Tp3 Tp1 Tp2

TP1 : Simulation sous Matlab/Simulink

TP2 : Moteur a courant continu

TP3 : Systeme de chauffage

2


3 Presentation des sujets

1. Le TP 1 peut etre considere comme un TD sur machine (simulation sous Matlab etSimulink). Il servira a analyser et a corriger des systemes avec les outils d’assistance parordinateur les plus couramment utilises dans les entreprises. Afin de vous preparer aumieux a ce TP, il est fortement conseille de le preparer. Pour cela, installez-vous dans lasalle d’acces libre de l’IPST et autoformez-vous en utilisant l’aide-memoire disponible enfin de fascicule.

2. Le TP 2 porte sur l’identification frequentielle et l’asservissement en position d’une ma-quette moteur de faible puissance.

3. Le TP 3 porte sur l’identification indicielle et l’asservissement de temperature (maquettepedagogique d’un systeme thermique).

4 Deroulement des TPs

Les TPs seront realises en binomes et il y aura une rotation entre les sujets (se rapporterau planning des rotations qui vous sera remis). En raison du nombre limite de maquettesle respect du planning est OBLIGATOIRE. Si un etudiant doit pour des raisons motiveeschanger de groupe de TP, il doit s’assurer de la disponibilite de materiel en demandant l’avisdu responsable de TP. De plus, le responsable des TP se reserve le droit de refuser l’acces a lasalle de TP a tout etudiant ne faisant pas partie du groupe de TP prevu.

5 Evaluation

L’evaluation des TP inclut :– la preparation,– le travail realise lors de la seance,– la qualite du compte-rendu.

En principe, deux etudiants d’un meme binome ont la meme note. Cependant, si un dese-quilibre important apparaıt dans le travail fourni, des notes differentes pourront etre attribuees.En particulier, les retards importants, les departs anticipes de la salle de TP ou les absencesinjustifiees penaliseront l’etudiant concerne.

La presence aux TP est obligatoire. Un etudiant absent a un TP sans justification seraconsidere comme defaillant. Un etudiant dont le binome est absent effectue le TP seul. L’absencedu binome sera prise en compte lors de l’evaluation.

6 Conseils pour la redaction des comptes-rendus

L’objectif du compte-rendu est de montrer le travail qui a ete realise pendant la seance etde montrer l’analyse et la comprehension des resultats.Par consequent le compte-rendu COMPORTERA :

3


– l’etude theorique eventuellement demandee en preparation– le releve synthetique des resultats obtenus accompagne de legendes– les reponses aux questions posees dans l’enonce– l’analyse des resultats obtenus : est-ce ce qui etait attendu, pourquoi, comment ameliorer

les resultats, etc.– les explications theoriques et pratiques

Mais le compte-rendu NE CONTIENDRA PAS :

– un recopie de l’enonce et des questions posees– des descriptions des commandes matlab tapees– des series de courbes non commentees et non legendees– des resultats non observes durant la seance et obtenus de sources non autorisees (annales,

autres binomes, etc.)

7 Grands principes de l’automatique

Les notions d’automatique abordee lors du cours concernent l’identification, l’analyse et lacorrection des systemes continus. Ces 3 aspects seront etudies durant les seances de TP.

7.1 Identification

L’etape d’identification consiste a obtenir un modele du procede considere. Elle n’est pasabsolument necessaire a la correction des systemes (auto-reglage, reglage a partir de dia-grammes harmoniques) mais elle est souvent utile pour amener une meilleure comprehensiondes problemes pratiques rencontres. Pour simplifier, l’identification consiste a obtenir une fonc-tion de transfert modele a partir de la mesure de son comportement entree - sortie. Pour cela,plusieurs methodes peuvent etre envisagees :

– On dispose d’un modele physique partiel qui permet de connaıtre la forme de la fonction

de transfert. exemple : G(s) =K

s(s + a)transfert approche pour un moteur a courant

continu de petite taille et a faible vitesse entre tension d’induit et position de l’arbre.L’identification vise alors a determiner au mieux la valeur des parametres inconnus. Celapeut etre fait par exemple en relevant le diagramme de Bode du systeme (voir TP2) ousa reponse indicielle.

– On dispose d’un modele physique d’une partie du systeme seulement. Par exemple, on sait

que le systeme contient un retard, mais son ordre est inconnu : G(s) =Ke−τs

∏m

i=1 (s − zi)∏n

i=1 (s − pi).

On cherchera alors, a partir de la reponse indicielle ou de la reponse harmonique (dia-gramme de Bode) a trouver un modele aussi simple que possible mais approchant cor-rectement le comportement physique reel (voir TP3).

– On ne dispose d’aucune information sur le systeme qui est considere comme une boıtenoire. On essaie alors d’obtenir des mesures entrees - sortie en balayant toute la dynamiquede fonctionnement du systeme a l’aide de SBPA (sequences binaires pseudo-aleatoires)

4


Pour pouvoir mesurer le comportement entree - sortie temporel (reponse indicielle) oufrequentiel (diagramme de Bode), il faut que la boucle ouverte soit stable. Si ce n’est pasle cas, on peut tenter de stabiliser le systeme en l’asservissant a l’aide d’un correcteur simple(proportionnel). Les mesures seront alors faites en boucle fermee et on en deduira le modele dela boucle ouverte.

7.2 Analyse

L’analyse consiste a etudier les caracteristiques du systeme, soit a partir d’un modele (obtenupar identification), soit directement a partir de mesures (reponse indicielle, diagrammes deBode) et a les confronter aux besoins c’est-a-dire au cahier des charges.

7.3 Correction

En pratique la correction sera generalement decomposee en 3 etapes :– la synthese d’un correcteur a partir du modele obtenu lors de l’etape d’identification ou

directement a partir de mesures entree - sortie. Pour cela on utilisera principalement lelieu d’Evans et les diagrammes de Bode

– la simulation de l’effet du correcteur sur le modele. Pour cela on utilisera Simulinkqui estun outil de simulation. Cette etape est tres importante car elle permet d’estimer l’effetde la correction en prenant en compte des aspects qui peuvent difficilement etre integresdans l’etape de synthese : non-linearite telles que saturation, effet de perturbations et debruits, robustesse (en modifiant legerement le modele), etc. Si la simulation ne donne pasles resultats attendus, il faut retourner a l’etape de synthese.

– l’implementation de la correction. Vous disposerez pour cela de blocs electroniques per-mettant de realiser des fonctions de transfert electroniques sur lesquels vous devrez reglerles parametres choisis.

5

Master Ingenierie et Technologie 1ere anneeCommande des Machines, 2007-2008 TP 1

TP 1 – Utilisation de Matlab pour l’automatique

1 Objectif

En Automatique, on utilise differentes representations des systemes lineaires : on considereparfois leur reponse frequentielle, leur reponse temporelle, ou encore la carte des zeros et despoles.L’objectif de la premiere partie de ce TP est de bien comprendre les correspondances entres cesdifferentes representations. Dans un deuxieme temps, on effectuera une synthese d’asservisse-ment en considerant le lieu des poles en boucle fermee (lieu d’Evans).L’ensemble du TP est effectue en simulation sous Matlab.

2 Preparation

L’ensemble de ce TP peut etre effectue en autonomie dans la salle informatique en acceslibre de l’IPST. L’utilisation des outils Matlab et Simulink est relativement aisee. Vous pouvezutiliser l’aide memoire place a la fin de ce fascicule. Vous pouvez egalement utiliser les fas-cicules disponibles aux adresses http ://eavr.u-strasbg.fr/˜laroche/student/Math/Matlab.pdf ethttp ://eavr.u-strasbg.fr/˜bernard/education/fip 1a/matlab fip1a.pdf.

Chaque etudiant qui ne maıtrise pas l’utilisation de Matlab/Simulinkpour l’au-tomatique doit prendre le temps de s’autoformer avant la seance de TP. Pour l’ensem-ble des etudiants, il vous est fortemnt conseille de travailler l’ensemble du TP avant la seance,ce qui vous permettra, lors de la seance de TP, de completer les points qui seraient demeuresobsurs. Les etudiants qui auront realise l’ensemble du TP seront autorises a quitter la seance.Dans tous les cas, il est imperatif d’effectuer les deux premieres parties avant la seance de TP.

3 Manipulation

3.1 Relation entre valeurs des poles et des zeros, reponse frequentielleet reponse indicielle

Cette partie ne devrait pas vous prendre plus d’une heurePour chacune des fonctions de transfert donnees, le travail consiste a :– simuler sous Matlab/Simulink la reponse a un echelon de differentes fonctions de transfert

lineaires ;– visualiser leurs cartes de poles et zeros (fonction pzmap) leur reponse indicielle (fonctionstep) et leur reponse frequentielle (fonctions nyquist et bode) ;

– repondre aux questions de l’enonce.La boıte a outils Control de Matlab permet de manipuler des objets symboliques representant

des fonctions de transfert lineaires continues ou echantillonnees (notion de LTIMODEL). Lacommande tf permet de creer un systeme continu ou discret en donnant les coefficients des

6


polynomes au numerateur et au denominateur. Utiliser l’aide en ligne (help tf) pour plusd’informations.

Liste des fonctions de transferts continues a simuler avec Simulink :

1.1

1 + s,

1

1 + 0, 1s,

1

s,

1

1 − 10s,

1

1 − s. Quel critere ont les poles d’un systeme stable ? Com-

ment reconnaıt-on un integrateur sur la carte des poles et des zeros ? Quelle est sa reponseindicielle ? Est-il stable ?

2.1

1 + s,

1

1 + 0, 1s,

1

1 + 0, 01s. Comment se situent les poles rapides par rapport aux poles

lents ? Entre deux systemes de bandes passantes differentes, quel est le plus lent ?

3.1

1 + 2ξs

ω0

+s2

ω20

, en prenant d’abord ω0 constant et ξ variable, puis l’inverse. Ou sont les

poles d’un systeme du second ordre sur-amorti (ξ > 1) ? Meme question pour un systemesous amorti (ξ < 1). Quesqu’ont en commun les paires de poles ayant meme ω0 ? Le memeξ ? Quel est l’interet de l’abaque trace par la fonction sgrid ?

4.1 + 10s

1 + s + s2,

1 + 0, 9s

1 + s + s2,

1 + 0, 01s

1 + s + s2,

s

1 + s + s2,

1 − s

1 + s + s2. Etudiez l’influence des zeros

en fonction de leur position sur la carte poles - zeros ? A quoi reconnaıt-on la reponseindicielle d’un systeme a phase non minimale (systemes contenant un ou plusieurs zerosa partie reelle positive) ?

5. Expliquer la notion de pole dominant. Dans une paire de poles complexes conjugues,lequel domine ?

3.2 Identification d’un systeme

On considere un systeme dont le diagrammes de Bode est donne sur la figure 1. A partir deces diagrammes de Bode, identifiez une fonction de transfert en supposant que ce systeme n’apas de zero. Vous pourrez suivre le cheminement suivant :

1. Determinez le gain statique du systeme ?

2. Quel l’ordre du systeme ?

3. Ce systeme est-il sous-amorti ou sur-amorti ?

4. Determinez la pulsation de resonance.

5. Determinez le coefficient de surtension (rapport entre l’amplification maximale et le gainstatique (Gmax/G(0)).

6. Deduisez-en les parametres du systeme.

Justifiez vos reponses.Entrez la fonction de transfert que vous avez estimee a l’aide de la fonction tf. Tracez le

diagramme de Bode de cette fonction de transfert a l’aide de la fonction bode et comparez avecle diagramme de Bode fourni.

Avant de passer a la suite, vous ferez valider vos resultats par l’encadrant de TP.

7


10−1

100

101

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

w(rad/s)

Am

pl. (

dB)

10−1

100

101

−200

−150

−100

−50

0

w(rad/s)

phas

e (d

eg)

2

-6

Fig. 1 – Diagramme de Bode

3.3 Commande du courant d’un moteur a courant continu

3.3.1 Modelisation

On considere un moteur a courant continu a aimantspermanents de resistance R = 1 Ω,d’inductance L = 10 mH, de constante de fem et de couple K = 1 Nm/A. L’inertie de l’ensemblemoteur et charge est J = 0, 1 kg.m2. Un couple de frottement, proportionnel a la vitesse et decoefficient f = 0, 1 N m s, s’applique au systeme. L’entree du systeme est la tension u(t) ; lasortie est le courant i(t). On note Ω la vitesse.

1. Donnez les equations du systeme.

2. Donnez la fonction de transfert G(s) entre la tension et le courant.

3. Calculez les poles du systeme.

4. Tracez le diagramme de Bode.

5. Simulez la reponse a un echelon d’amplitude 10 V.

3.3.2 Synthese sur un modele approche

On travaille sur le modele approche valable en haute frequence faisant l’hypothese que lavitesse peut-etre consideree comme une variable tres lente par rapport au courant, ce qui permet

8


de considerer que la force-electromotrice est une perturbation du systeme consideree commevariant lentement. On cherche ensuite a regler un correcteur PI C(s) = Kp

1+τis

τisdont le zero

compense la contante de temps du systeme et dont le gain permet d’imposer un temps dereponse de τ = 30 ms.

1. Donnez la fonction de transfert simplifiee G(s) entre la commande et la mesure.

2. Determinez la constante de temps τi. Dans la suite, on garde cette valeur de τi.

3. Donnez la FTBO simplifiee (obtenue a partir de G(s)).

4. Determinez la pulsation de coupure a 0 dB de la FTBO.

5. Deduisez-en la valeur de Kp permettant de satisfaire le cahier des charge. On choisiraensuite cette valeur pour Kp.

6. Tracez avec Matlab les FTBF obtenues avec d’une part G(s) et d’autre part G(s). Validezou invalidez l’approximation, en terme de bande passante et de marge de phase.

7. Simulez la reponse a un echelon d’amplitude 1 A des systemes asservis obtenus (avecmodele comlet et modele approche).

8. Caracterisez les reponses obtenues en terme de temps de reponse, precision et depassement.Concluez.

3.3.3 Effets de discretisation lies au hacheur

Le moteur est alimente par un hacheur de frequence de hachage Th = 1 ms et dont l’effetprincipal peut-etre assimile a celui d’un bloqueur d’ordre zero de meme periode. Cet effet peutetre pris en compte tres simplement en simulation par l’ajout en entree du systeme d’un blocZero-Order Hold regle a la bonne valeur, qui se trouve dans le menu Discrete de Simulink.

1. Simulez la reponse a un echelon d’amplitude 1 A (modele complet) avec le BOZ.

2. Caracterisez les reponses obtenues en terme de temps de reponse, precision et depassement.Comment evolue le comportement du systeme quand on tient compte de l’effet du hacheur ?

3.3.4 Correcteur echantille

On considere que le systeme est commande par un systeme numerique. La technique retenueconsiste a determiner un correcteur discret equivalent au correcteur continu et a simuler lesysteme en tenant compte des effets de la discretisation. On considere que l’echantilonnage, deperiode Te, se fait de maniere synchrone avec le hachage.

1. Determinez le correcteur discret equivalent par la methode de votre choix. Vous pourrezfaire appel a la fonction c2d de Matlab.

2. Modelisez le systeme asservi en introduisant le retard regle a la bonne valeur (Unit Delay

dans le menu Discrete). Simulez la reponse a un echelon d’amplitude 1 A.

3. Caracterisez la reponse a un echelon en terme de temps de reponse, precision et depassement.Commentez.

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TP 2 – Identification et commande d’un systeme

de positionnement

1 Objectif - Systeme etudie

Dans ce TP on se propose :– D’identifier un modele du systeme.– D’etudier deux lois commande pour l’asservissement de position :

– par un correcteur proportionnel ;– par une correction parallele avec retour tachymetrique, equivalente a une correction

PD.Le systeme etudie est constitue d’un moteur a courant continu, d’un amplificateur de puis-

sance et de capteurs. On suppose qu’il admet le modele de la figure 2, ou :– ω et θ representent respectivement la vitesse et la position de l’arbre moteur,– Ve est la tension de commande,– Vω est la tension delivree par une generatrice tachymetrique montee sur l’arbre moteur,

telle que : Vω = gω,– Vθ est la tension delivree par un potentiometre, proportionnelle a la position de l’arbre

moteur : Vθ = βθ.

g

ββββ

Ve ωωωω θθθθ

Vωωωω

Vθθθθ

k

s

v

( )1++++ ττττ1

s

Fig. 2 – Modele simplifie en boucle ouverte.

2 Preparation

2.1 Identification du systeme

Les gains get β etant connus, il nous faut identifier le transfert entre Ve et Vω, suppose etreun premier ordre.

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2.1.1 Identification temporelle

1. Donnez la reponse a un echelon d’amplitude U du transfert entre Ve et Vω.

2. Quelle est l’amplitude de la sortie ?

3. Quelle est la valeur de la sortie apres une duree τ ?

4. Deduisez-en une methode d’identification du transfert entre Ve et Vω sachant que le gaing du capteur est connu.

5. Pour une mesure de vitesse Vω constante, deduisez-en l’allure et la pente de Vθ. Donnezle rapport entre la pente de Vθ et la valeur de Vω.

2.1.2 Identification frequentielle

1. Donnez le diagramme de Bode du transfert entre Ve et Vω.

2. A quelle pulsation ω1 la systeme a-t-il une phase de -45o ?

3. Quel est le gain G1 du systeme a cette pulsation ?

4. Deduisez-en une methode d’identification du systeme du premier ordre a partir des valeursde ω1 et de G1.

2.1.3 Influence des non-linearites

En pratique, le systeme n’est pas lineaire pour tous les points de fonctionnement. On chercheici a trouver les conditions que doit respecter la tension d’entree pour que les non linearitesprincipales n’interviennent pas lors de l’identification en boucle ouverte. En premier lieu, lamaquette presente, en plus des frottements visqueux (partie lineaire des frottements dont ona tenu compte pour etablir le modele de la figure 2), des frottements secs, dont l’influencen’est pas forcement negligeable. Ces frottements peuvent approximativement se representer parune fonction signe : lorsque la vitesse est nulle, le systeme est “colle”. Il le reste tant que lecouple moteur est inferieur a une certaine limite. Enfin, lorsque le couple moteur depasse lesfrottements secs, le systeme “decolle”, et les frottements secs restent constants, de meme signeque la vitesse (cf. figure 3).

En tenant compte des frottements secs, prevoir (sans calculs) l’allure de Vω lorsque Ve est unsignal sinusoıdal. On considerera differentes amplitudes (y compris des “tres petits” signaux)et differentes valeurs moyennes. En particulier, comment choisir la valeur moyenne du signald’entree pour effectuer une identification de la partie lineaire du systeme ?

Une autre non linearite presente dans la quasi-totalite des systemes physiques est la satura-tion. Prevoir (sans calcul) l’influence des saturations sur l’allure de Vω lorsque Ve est d’amplitude“grande”.

En conclusion, quelles sont les conditions sur Ve (en regime sinusoıdal) pour que le com-portement du systeme soit le plus lineaire possible ?

2.2 Comportement en boucle fermee

2.2.1 Asservissement proportionnel

On effectue un asservissement proportionnel, comme indique sur la figure 4.

11


ωωωω

γγγγf Frottement total =

Frottement sec +

Frottement visqueux

Fig. 3 – Modele non lineaire des frottements.

ββββVe

ωωωω θθθθ Vθθθθk

s

v

( )1++++ ττττ1

sK

-

+Vref

Vp

-

+

Fig. 4 – Bouclage de la mesure de position.

12


K represente un gain reglable. Vp est une perturbation externe sur la tension de commandedu moteur, modelisant les actions exterieures comme un couple de charge.

1. Calculer les fonctions de transfertVθ

Vref

etVθ

Vp

en boucle fermee sous la forme canonique

K0

s2

ω2

0

+ 2ξ sω0

+ 1. Donnez les expressions de K0, ω0 et ξ en fonction des parametres du

modele.

2. Donner l’erreur statique du systeme vis-a-vis de la consigne.

3. Donner l’erreur statique vis-a-vis de la perturbation.

4. Quelle est l’influence de K sur le comportement en boucle fermee ?

5. Determinez l’expression de K permettant d’imposer l’amortissement a une valeur donnee.

2.2.2 Utilisation d’un retour tachymetrique

Pour pouvoir regler independamment marge de phase et bande passante en boucle fermee,on utilise un retour tachymetrique. On a alors le systeme represente sur la figure 5.

g

ββββ

Ve ωωωω θθθθ

Vωωωω

Vθθθθ

K2

K1

Vθθθθd

)s(

kv

ττττ+1

Boucle

interne

++

- -

s

1

Fig. 5 – Correction parallele a action tachymetrique.

1. Expliquez pourquoi la commande de position proposee est equivalente a une correctionPD sur la position ou le terme derive n’est pas applique sur la consigne.

2. Determinez l’equation differentielle liant les signaux Vref et VΘ.

3. Determinez la fonction de transfert entre Vref et VΘ. Mettez la sous forme canoniqueK0

s2

ω2

0

+ 2ξ sω0

+ 1. Donnez les expressions de K0, ω0 et ξ en fonction des parametres du

modele et du correcteur.

4. Determinez les expressions des parametres du correcteur permettant d’imposer la pulsa-tion propre et l’amortissent a des valeurs donnees.

13


3 Manipulation

La maquette utilisee dans ce TP est un banc experimental H.M.C. compose d’un moteura courant continu de capteurs de position et de vitesse. Les correcteurs seront realises sur unsimulateur analogique de fonctions de transfert Opale I.

3.1 Identification du modele dynamique

3.1.1 Identification temporelle

1. Alimentez le systeme par un echelon et affichez a l’oscilloscope l’entree et la mesure devitesse. Reglez l’offset de l’entree de sorte que la vitesse du systeme ne change pas designe, cela permettra de limiter les effets desfrottements secs.

2. Relevez les signaux et deduisez en le modele grace a la methode developpee en preparation.

3. Observez egalement la mesure de la position. Relevez les pentes obtenues en regime per-manent. Deduisez en une valeur numerique de β

g. Comparez avec les donnees de l’enonce.

Concluez.

3.1.2 Identification frequentielle

Alimentez le systeme avec un signal sinusoıdal. Observez a l’oscilloscope l’entree et la mesurede vitesse.

1. Observez l’effet des frottements secs en faisant varier l’offset sur le signal d’entree. Ex-pliquez. Dans la suite, on regle l’offset de maniere a limiter cet effet.

2. Faite varier la frequence. Comment evolue le dephasage entre l’entree et la sortie ? Est-cecoherent par rapport au diagramme de Bode donne en preparation ?

3. Reglez la frequence de sorte que le dephasage soit de 45o. Relevez la frequence et lesamplitudes des signaux. Deduisez en le gain du systeme a cette frequence.

4. A partir des resultats developpes en preparation, determinez le modele du systeme.

5. Comparez avec le modele obtenu par la methode precedente.

3.2 Correction proportionnelle (cf. figure 4)

1. A partir du modele identifie et de la preparation, determinez la valeur du gain permettantd’obtenir un amortissement de 0,7.

2. Implantez le correcteur grace au simulateur Opale I. Observez les signaux de reference etde mesure de la position.

3. Observez et caracterisez la reponse a un echelon du systeme (depassement, temps dereponse, erreur statique).

4. Comparez avec les resultats prevus en simulation. Commentez.

5. Faites varier le gain et observez les variations des signaux. Commentez.

6. Relevez le signal de commande. Comment varie-t-il en fonction du gain ?

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3.3 Correction tachymetrique

3.3.1 Reglage de la commande

1. A partir du modele identifie et de la preparation, determinez la valeur du gain permettantd’obtenir un amortissement de 0,7 et une pulsation de 4 rad/s.

2. Implantez le correcteur grace au simulateur Opale I. Observez les signaux de reference etde mesure de la position.

3. Observez et caracterisez la reponse a un echelon du systeme (depassement, temps dereponse, erreur statique).

4. Comparez avec les resultats prevus en simulation. Commentez.

5. Faites varier le gain et observez les variations des signaux. Commentez.

6. Relevez le signal de commande. Comment varie-t-il en fonction du gain ?

7. Comparez le comportement du systeme par rapport au comportement releve avec lacorrection proportionnelle.

3.3.2 Erreurs d’ordre 1

1. Appliquer une consigne en position constituee par un signal triangulaire, de composantecontinue nulle, et d’amplitude ±5 V. Relever l’erreur permanente d’ordre 1 (erreur detraınage pendant les phases “montantes” et les phases “descendantes”) en faisant varierla frequence du signal pour faire varier la pente.

2. Tracer la courbe donnant l’erreur permanente d’ordre 1 en fonction de la pente de laconsigne (positive et negative). Comparer aux previsions theoriques. Commentez.

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TP 3 – Identification et commande d’un systeme

thermique

1 Objectif - Systeme etudie

On se propose d’etudier un regulateur PI en temperature apres avoir determine la fonctionde transfert en boucle ouverte du processus a commander. L’etude experimentale est realisee al’aide d’une maquette “Feedback” PT326Mk2 qui comporte un systeme dont on desire reglerla temperature ainsi qu’une chaıne de mesure.

1.1 Systeme a commander

Le systeme est constitue par un ventilateur qui souffle de l’air froid sur une resistancechauffante avec une vitesse reglable entre 1 et 10 ; l’air est ensuite rejete a l’exterieur parl’intermediaire d’un tube en plastique, long d’une trentaine de centimetres environ. Celui-ciest perce de trois trous dans lesquels on peut inserer une thermistance en vue de mesurer latemperature θ de l’air, a une distance l de l’element chauffant egale a 28, 154 ou 280 mm. Dansce TP, nous nous limiterons au cas d’un retard minimal egal, correspondant a une mesure detemperature localisee au plus pres de la sonde. La commande du systemes est la puissance dechauffe P .

1.2 Chaıne de mesure

La mesure de temperature est effectuee par une sonde pyrometrique et un pont de Wheat-stone, alimente en continu. Pour des variations moderees de la temperature, on peut considererque la tension Vr delivree par le capteur est proportionnelle a la temperature θ.

Tube de

plastique

Echangeurde chaleur

Etage depuissance

Correcteur

Pont deWheatstone

sonde

Vc εεεε P θθθθ1

ππππ

Vr

+

-+

+ θθθθ

5,6V

80W

-5,6V

15W

V

P

V

Fig. 6 – Schema fonctionnel.

16


1.3 Regulateur

On utilisera differents types de correcteur. La maquette didactique comporte un regulateurproportionnel dont nous donnons ici une description. Il regler la puissance P fournie a laresistance chauffante, proportionnellement a l’ecart ε (ε = Vc − Vr). Le signal d’erreur ε estapplique a l’entree d’un amplificateur dont le gain Ka peut etre ajuste de 0, 5 a 20, a l’aide dupotentiometre marque “proportional band”. La tension resultante Kaε, apres limitation a unevaleur comprise entre −5, 6 et +5, 6 V , pilote un etage qui commande la puissance P dissipeepar effet Joule, suivant une loi lineaire :

P = KtKaε + 47, 5

avec Kt = 5, 8W/V et |Kaε| ≤ 5, 6V .Le schema fonctionnel simplifie est reproduit sur la figure 6. L’entree secondaire π represente

une perturbation provoquee par la modification de la vitesse du ventilateur.Dans l’hypothese de petites varaitions autour d’un regime d’equilibre, le systeme se comporte

de maniere lineaire et on peut representer le comportement dynamique du systeme pour une

fonction de transfert. Nous noterons G(s) =∆Vr(s)

∆P (s)la fonction de transfert du systeme. Dans

ce TP, on suppose que le transfert en boucle ouverte incluant l’amplificateur, l’echangeur, letube et le transducteur s’ecrit sous la forme :

G(s) =K

(s + a)(s + b)(1)

avec a < b.

2 Preparation

Lors du TP, on cherchera a etablir le modele du systeme en boucle ouverte en analysantla reponse indicielle. Le but de la preparation est de prevoir l’allure des signaux et des dia-grammes en supposant connue la structure du modele. De plus, on presente ici une methoded’identification pratique (la methode de Strejc) qui sera utilisee dans le TP. Enfin, un exercicesimple permet de revoir comparativement les correcteurs P, PI et PID.

2.1 Identification

On envisage deux methode d’identification destinees a obtenir un modele de synthese quisera utilise par la suite pour la synthese du correcteur.

2.1.1 Identification par la methode de Strejc

Identifiez, par la methode de Strejc, la fonction de transfert du modele donne sur la figureen fin de document. Donnez les valeurs des parametres du modele (1) equivalent.

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2.2 Seconde methode

On cherche a identifier un modele approche qui soit pertient sur la plage de frequence autourde la frequence ou la phase du systeme est de -135?. En effet, lors de la synthese, la bandepassante du systeme asservi sera forche de cette frequence. Pour que le systeme experimentalasservi presente les proprietes attendues, il faut donc que le modele soit precis dans cette zonede frequence.

On considere le modele donne en equation (1). On considere egalement un second modele,plus simple, de la forme :

G(s) =K

s(s + b)(2)

qui est equivalent a G(s) pour ω ≫ a.

1. Donnez l’allure du diagramme de Bode des systemes G(s) et G.

2. Determinez la pulsation ω1 pour laquelle la phase de G est de -135?.

3. Donnez le gain de G(s) pour la pulsation ω1.

4. Deduisez-en une methode d’identification permettant d’estimer les parametres K et b apartir d’un essai harmonique a la pulsation ω1.

5. Donnez l’expression du gain statique de G(s).

6. Deduisez-en une methode permettant d’estimer a a partir du gain statique de G(s),sachant que b et K sont deja connus.

2.3 Correction P, PI, PID

On s’interesse a l’asservissement du systeme G(s) en supposant qu’il s’ecrit sous la formede l’equation (1).

2.3.1 Correction proportionnelle

On considere le correcteur proportionnel C(s) = K. La fonction de transfert du systemes’ecrit avec un denominateur sous la forme s2 + 2ξω0s + ω2

0.

1. Determinez la fonction de transfert en boucle fermee du systeme ; donnez les expressionsde ω0 et de ξ en fonction des parametres de G(s).

2. Determinez la valeur de Kp permettant d’obtenir un amortissement de 0, 7.

3. Deduisez-en la valeur de la pulsation propre du systeme asservi.

4. Quelle est le temps de reponse du systeme asservi.

5. Quel est le gain statique du systeme asservi (ou son erreur statique) ?

2.3.2 Correction PI : compensation de pole

On choisit un correcteur PI dont le zero compense le pole basse frequence du systeme :

C(s) = Kp

s + a

s.

18


1. Determinez la fonction de transfert en boucle fermee du systeme ; donnez les valeurs deω0 et de ξ.

2. Determinez la valeur de Kp permettant d’obtenir un amortissement de 0, 7.




2.3.3 Correction PI : optimum symetrique

A partir du modele approche G(s), on synthetise un correcteur PI C(s) = Kp

1 + τis

τispar la

methode de l’optimum symetrique en choisissant a = 6 (voir poly du cours).

1. Donnez les valeurs de Kp et de τi.

2. Donnez la bande-passante du systeme asservi.

3. Evaluez le temps de reponse du systeme asservi.


2.3.4 Correction PID

On considere un correcteur sous la forme C(s) = Kp

(s + a)(s + b)

s(1 + τfs).

1. Determinez la fonction de transfert en boucle fermee du systeme ; donnez les expressionsde ω0 et de ξ.

2. Determinez les valeurs Kp et de τf permettant d’imposer un amortissement ξ et unepulsation propre ω0 arbitraires. On choisira ξ = 0, 7 et ω0 = 2b.




6. Mettez le correcteur sous la forme C(s) = Kp(1 + 1τis

+ τds

1+τf s). Determinez les valeurs de

Kp, τi, τd et de τf .

2.3.5 Comparaison

Comparez les temps de reponse du systeme asservi avec les differents correcteurs.

3 Manipulation

3.1 Identification

3.1.1 Conditions

– La mesure est effectuee en boucle ouverte : on deconnecte les bornes X et Y et on observe,en Y , la reponse ∆Vr a une variation ∆Vc de la consigne.

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– La sonde est placee au plus pres de l’element chauffant (l = 28 mm).– La vitesse du ventilateur est reglee sur v = 4.– Le gain variable de la maquette est regle sur 1 (potentiometre “Prop. Band” Bp a 100%).

Rappel : Bp(%) =100

Kp

.

– La temperature de consigne moyenne, autour de laquelle est appliquee l’echelon, est regleea 30oC. Cette valeur est indiquee par le galvanometre “set value”.

3.1.2 Regime statique

On commande le systeme avec une entree constante. Relevez la valeur de la mesure en regimepermanent. Renouvelez cette action pour differentes valeurs de l’entree (6 a 8 points devraientsuffire). Presentez les valeurs dans un tableau et representez graphiquement la caracteristiquestatique (mesure en fonction de l’entree).

3.1.3 Identification par la methode de Strejc

– L’echelon, applique en D, est un signal ∆Vc rectangulaire de valeur moyenne nulle. L’am-plitude est choisie telle que la temperature de consigne (galva. “set value”), varie entre 25o

et 35o. La frequence est choisie suffisamment petite pour que la reponse ∆Vr ait le tempsde se stabiliser entre deux commutations de l’entree (regler la frequence en observant lareponse).

– Reglage de l’oscilloscope : afin d’effectuer une identification correcte a partir de l’oscillo-gramme, il est imperatif d’avoir des signaux qui couvrent l’ensemble de l’ecran. Choisirconvenablement la base de temps et l’echelle verticale. Pour centrer les signaux, on utilis-era la fonctionnalite “vertical offset”. Les signaux etant bruites, on pourra utiliser le filtremoyenneur de l’oscilloscope (attention a regler correctement le declenchement).

– Imprimez les courbes de la mesure et de l’entree. Effectuez l’identification par la methodede Strejc.

– Faites varier la vitesse du ventilateur. Obervez quelles sont les variations du gain statiqueet du temps de reponse du systeme. Proposez une explication physique a ces variations.

3.1.4 Methode 2

1. Alimentez le systeme avec une entree sinusoıdale. Observez que le dephasage entre n’entreeet la sortie varie en fonction de la frequence.

2. Faite varier la frequence jusqu’a obtenir un dephasage de la mesure de -135? par rapport ala commande. Relevez la frequence et les amplitudes des signaux. Deduisez-en la frequenceet le gain du systeme a cette frequence.

3. A partir de la methode proposee en preparation, determinez les parametres K et b dusysteme.

4. Diminuez la frequence jusqu’a obtenir un fonctionnement quasi-statique. Relevez les am-plitudes des signaux. Deduisez-en le gain statique et la valeur numerique du parametrea.

20


3.2 Asservissement

Pour chacun des correcteur envasages dans la preparation, on appliquera la meme methode.

3.2.1 Correction proportionnelle

1. A partir de la methode etudiee dans la preparation, determinez la valeur numerique deKp.

2. Implantez la commande de la commande de la maquette pedegogique (correcteur a bandeproportionnelle) ou a partir du boitier PID.

3. Etudiez la reponse a un echelon du systeme asservi : relevez les allures de la reponse etde la commande.

4. Determinez le temps de reponse, le depassement et l’erreur statique. Comparez avec lesresultats attendus. Commentez.

5. Faite varier a la main le gain Kp pour observer les variations de comportement du systeme.Donnez vos observations et expliquez les.

6. Faites varier la vitesse de rotation du ventilateur. Observez les variations de comportementdu systeme.

3.2.2 Correction PI : compensation de pole

On appliquera la meme methode que pour le correcteur proportionnel. On pourra ensuitefaire varier les deux parametres du correcteur pour observer l’evolution du comportement.

3.2.3 Correction PI : optimum symetrique

Meme methode.

3.2.4 Correction PID

Meme methode.

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Feuille de preparation

Reponse indicielle.

Exercice : pour identifier la fonction de transfert d’un systeme lineaire, on applique un echelonunitaire a l’entree a l’instant t = 0. La reponse indicielle mesuree est representee ci-dessous.En utilisant la methode de Strejc, proposer un modele pour la fonction de transfert G(s) de cesysteme.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

temps en secondes

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Master Ingenierie et Technologie 1ere anneeCommande des Machines, 2007-2008 Aide memoire

Aide memoire pour l’utilisation de Matlab et

Simulink

1 Utilisation generale de matlab

Il existe deux versions de Matlab en salle de TPs d’automatique que vous serez amenesa utiliser. Matlab 6.5 sur les machines sous environnement Windows et Matlab 5.2 pour lesmachines sous environnement Linux. Les fonctions disponibles sont sensiblement les memes,mais l’utilisation du logiciel differe.

1.1 Lancement

Sous windows : double cliquez sur l’icone Matlab6.5 sur le bureau. Matlab ouvre alorsplusieurs fenetres (ou une fenetre contenant plusieurs sous-fenetres). Les deux plus importantessont la fenetre de commande (“Command Window”) et la fenetre de l’editeur de script.

Sous linux : Ouvrez un terminal en cliquant sur l’icone de la barre d’outil representant deuxordinateurs connectes. Tapez nedit & dans le terminal. Une nouvelle fenetre apparaıt : ce seravotre editeur de texte. Tapez matlab5 dans le terminal. Matlab demarre et le terminal devientla fenetre de commande reperable au prompt >>.

2 Generalites

Matlab est un logiciel de calcul matriciel. Il peut etre utilise simplement comme une cal-culatrice pour tous les calculs scalaires et dispose de nombreuses fonctions de calcul matriciel(determinant, inverse, etc.). En automatique, en plus des fonctions de base de calcul, vousutiliserez des fonctions appartenant a la boıte a outils “Control Toolbox” et a la boıte a outil“Simulink”.

Il existe 2 principales facon d’utiliser Matlab :– en ligne de commande : l’utilisateur tape des commandes dans la fenetre de commande

(command Window pour matlab 6.5 sous Windows). Celles-ci sont directement executeespar matlab. Une commande se termine par un retour chariot (entree). Il est possibled’executer plusieurs commandes successivement en les ecrivant sur la meme ligne et enles separant par le caractere ‘;. Lorsqu’une commande se termine par le caractere ; elleest muette : le resultat n’est pas affiche a l’ecran. Le caractere % indique des commentaires.Tout ce qui se trouve apres ce caractere sur la meme ligne n’est pas interprete par Matlab.Exemples :

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>> a = 2 % Affectation de 2 a la variable a

a =

2

>> b=1; % Affectation de 1 a la variable b sans affichage

>> a+b

ans =

3

>> c = a + b; d = c + 1;

>> d % permet d’afficher le contenu de la variable d

d =

4

Les variables creees sont stockees dans l’espace de travail (workspace) et peuvent etrereutilisees a tout moment.En ligne de commande, les commandes tapees precedemment peuvent etre rappelees enutilisant les fleches vers le haut et vers le bas.

– par l’intermediaire de scripts ou de fonctions. Les commandes sont ecrites dans un fichiertexte de la meme facon qu’en ligne de commande. Le fichier doit etre sauvegarde avecune extension .m pour signifier qu’il s’agit d’un script Matlab. Pour executer ce script ilsuffit de taper son nom (sans l’extension .m) dans la fenetre de commande. Toutes lescommandes du script sont alors executees successivement.Exemples :Fichier exemple.m *****************************************a = 2 % Affectation de 2 a la variable a

b=1; % Affectation de 1 a la variable b sans affichage

a+b

c = a + b; d = c + 1;

d % permet d’afficher le contenu de la variable d

******************************************>> exemple

a =

2

ans =

3

d =

4

Les variables creees dans un script sont stockees dans le workspace lors de l’execution duscript. Elles peuvent donc ensuite etre utilisees en ligne de commande.Afin de garder simplement une trace de vos travaux, il est conseille de travailler a l’aidede scripts.

Matlab dispose d’une aide en ligne permettant d’obtenir les details d’utilisation d’une com-mande : parametres d’entree, arguments de sortie, etc. Par exemple pour obtenir des informa-

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tions sur la commande d’inversion de matrice inv, il suffit de taper

>> help inv

2.1 Quelques fonctions mathematiques utiles

– cos, sin, tan– acos, atan, asin– exponentielle : exp– abs : module d’un complexe ou valeur absolue d’un reel ; arg : argument d’un complexe– logarithme : Attention ! ! logarithme neperien : log, logarithme decimal : log10

3 La boite a outils “Control toolbox”

La Control Toolbox contient des fonctions dediees a l’analyse et la commande des systemesdynamiques. Voici la plupart des fonctions qui vous seront utiles en TP.

– Creer une fonction de transfert, par exemple G(s) = s+2s2+3s

:>> G = tf([1 2], [1 3 0])

– Creer une fonction de transfert par les poles, zeros et gain : ex : G(s) = 5(s+2)s2+3s

= 5(s+2)(s+3)s

>> G = zpk([-2], [0 -3], 5)

– Mettre une fonction de transfert G(s) sous forme de poles et zeros :>> zpk(G)

– Determiner les poles de G(s) :>> pole(G)

– Tracer la reponse indicielle d’un systeme donne par sa fonction de transfert G(s) :>> step(G)

– Obtenir la carte des poles et des zeros d’un systeme :>> pzmap(G)

– Diagramme de bode :>> bode(G) %trace les diagrammes de Bode de G

>> bode(G, w_min, w_max) % trace les diagrammes entre les pulsations

%w_min et w_max

>> bode(G, 0.1, 100) % trace les diagrammes de Bode entre 0.1 et

% 100 rad/s

>> [gain, phase, w] = bode(G) % Ne trace pas les courbes,

% mais rend trois tableaux : le gain (pas en decibels), la phase

% (en degres) et le tableau des pulsations w

% Les nouvelles version de Matlab travaillent sur des systemes multivariables;

% les variables gain et phase sont des tableaux a trois dimension ou la frequence

% est donnee en troisieme dimension. On retire les deux premieres dimensions avec

>> gain = squeeze(gain) % et

>> phase = squeeze(phase)

– Diagramme de Nyquist :>> nyquist(G)

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Trace le diagramme de Nyquist. Attention, les eventuels cercles a l’infini ne sont pasrepresentes. Il faut donc analyser la fonction de transfert pour pouvoir determiner aveccertitude la stabilite d’une boucle fermee.

– Lieu des racines :>> rltool(G)

Trace le lieu des racines de G(s), avec retour unitaire. Les poles et zeros du systemeG(s) sont representes par des croix et o bleus. La position des poles de la boucle fermeeest representee par des carres rouges. En cliquant sur ces carres, il est possible de lesdeplacer le long du lieu d’Evans. Le gain affiche en haut de la fenetre est alors modifiesimultanement.rltool est un utilitaire permettant de regler un correcteur par la methode du lieu desracines. Une fois le lieu des racines de G(s) trace, l’utilisateur a de nombreux outils.Il est ainsi possible d’ajouter des poles et des zeros sur la carte des poles et zeros. Ces zeroset poles sont affectes au correcteur. Ils peuvent etre deplaces par des “clique - glisse”.Pour editer le correcteur, cliquer sur le bloc C (ou K selon la version) rouge dans le schemabloc represente en haut a droite.On peut afficher les abaques d’iso-amortissement et d’iso-pulsation sur la carte des polessoit en cliquant “grid on” (version Linux), soit en cliquant avec le bouton droit de lasouris et en choisissant afficher la grille.– file → import : permet d’affecter des fonctions de transfert aux differents elements

du modele. Ces fonctions de transfert doivent avoir ete definies dans le workspace.Attention, les blocs de gain doivent etre entres sous la forme de fonction de transfert(par exemple, pour H = 5, il faut entrer :>> H = tf(5, 1))

– file → export : permet d’exporter un bloc vers le workspace (par exemple le cor-recteur)

– Analysis → response to step command : trace la reponse indicielle du systeme enboucle fermee pour le gain donne.

– Clic droit dans la fenetre rltool : permet de definir des contraintes pour le systemeboucle : depassement, temps d’etablissement, etc. Attention : ces contraintes ne sontvalables que si le systeme en BF est equivalent a un systeme du 2eme ordre.

– Marges de phase :>> margin(G)

4 Utilisation de Simulink

Simulink est une interface graphique permettant de representer les systemes sous forme deschemas bloc. Pour lancer simulink, tapez :

>> simulink

dans la fenetre de commande.L’utilisation de Simulink est assez intuitive. Elle consiste a selectionner des blocs representant

des fonctions de transfert, des gains, etc. et a les glisser sur le schema de simulation. Les blocssont relies entre eux par des traits orientes traces a l’aide de la souris.

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– file → new → model : cree un nouveau modele simulink– Les fonctions de transfert se trouvent dans le menu Continuous

– Les gains sont dans le menu math operations

– Les comparateurs sont dans le menu math operations

– Les outils de mesure (scope) sont dans le menu sink

– Les sources (echelons (step), rampes, etc.) sont dans le menu source

– Les retards a utiliser sont appeles transport delay et se trouvent (et c’est une erreur !)dans le menu non linear

– Les saturations sont dans le menu non linear

Une fois les blocs places sur le schema, vous pouvez les modifier en double cliquant dessus.Par exemple, en cliquant sur un bloc fonction de transfert vous pouvez ajouter des poles et deszeros, modifier les gains, etc.

Il est possible d’utiliser dans ces blocs des variables definies dans l’espace de travail deMatlab (workspace). Par exemple, si vous avez defini :

>> K = 5

alors, en mettant K dans un bloc simulink, sa valeur sera de 5.La simulation est ensuite lancee en cliquant sur simulation → start. Les resultats de la

simulation peuvent etre obtenus en double cliquant sur les oscilloscopes (scopes). Une fenetres’ouvre alors avec les traces des signaux mesures. Il est egalement possible de rapatrier vosdonnees dans l’espace de travail grace aux blocs To Workspace et d’utiliser un script d’affichage.Pour sortir vos donnees sous forme de tableaux (array), precisez le dans les options a partird’un clic droit sur le bloc.

Les parametres de la simulation peuvent etre modifies en faisant simulation→ parameters.On peut notamment modifier la duree de la simulation.

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Documents

Commande des Machines Travaux Pratiqueseavr.u-strasbg.fr/~laroche/student/MasterIT-ComMach/TP-ComMach.pdf · – On dispose d’un mod`ele physique partiel qui permet de connaˆıtre