Commande Robuste Adaptative Floue des Systèmes d'Ordre Fractionnaire.pdf

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DE MSILA

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE

MEMOIRE DE FIN DETUDES EN VUE DE LOBTENTION DU DIPLME

DE MASTER EN GENIE ELECTRIQUE

SPECIALITE : AUTOMATIQUE

THEME

Commande Robuste Adaptative Floue

des Systmes dOrdre Fractionnaire

Propos et dirig par : Prsent par :

- M. Khatir KHETTAB - BOUDJELLAL Imadeddine

Anne Universitaire : 2012 / 2013

No dordre : 065

A ma mre,

A mon pre,

A la mmoire de mes grands-pres et grandes mres,

A mes chers frres, et surs,

A toute ma famille,

A mes amis,

A tous mes collgues de la promotion 2013.

Remerciements

Je remercie ALLAH () tout puissant pour la volont et la patience qu'il ma

donn tout au long de mes tudes.

Mes remerciements pour mon encadreur Mr. KHETTAB.K pour ses conseils

pertinents, et ses orientations sages, sa patience et vigilance, ainsi pour tous les

enseignants qui ont contribus ma formation.

Mes remerciements vont aussi tous les membres du jury qui ont accept

de juger mon travail.

Enfin, je tiens exprimer ma reconnaissance tous mes amis et collgues pour

le soutien moral et matriel

Table des matires

Table des matires

Introduction gnrale ............................................................................................................... 1

Chapitre I

Thorie de la Drivation non Entire

I.1 Introduction ........................................................................................................................... 5

I.2 Fonctions spcifiques pour la drivation non entire ............................................................ 5

I.3 Oprateur de drivations non-entires, Dfinitions et proprits .......................................... 6

I.3.1 Drive fractionnaire au sens de Grnwald-Letnikov .................................................... 6

I.3.2 Drive fractionnaire au sens de Riemann-Liouville ...................................................... 6

I.3.3 Drive fractionnaire au sens de Caputo ........................................................................ 6

I.3.4 Proprits ........................................................................................................................ 7

I.4 Mthodes oprationnelles fractionnaires ............................................................................... 7

I.4.1 Elments sur la transforme de Laplace ......................................................................... 7

I.4.2 Transforme de Laplace de la drive fractionnaire ..................................................... 8

I.5 Equations diffrentielles fractionnaires et ces applications .................................................. 9

I.5.1 Mthode dAdams-Bashforth-Moulton ........................................................................ 10

I.5.2 Mthode de Grnwald-Letnikov : Evaluation numrique de la drive fractionnaire de

quelques fonctions usuelles . ................................................................................................ 13

I.6 Etude dun exemple de systme chaotique fractionnaire .................................................... 15

I.6.1 Caractrisation du chaos ............................................................................................... 15

I.6.2 Systme chaotique fractionnaire de Duffing-Holmes ................................................... 16

I.7 Conclusion........................................................................................................................... 18

Chapitre II

Commande Adaptative Floue des Systmes Chaotiques dordre Fractionnaire

II.1 Introduction ........................................................................................................................ 19

II.2 Dfinitions ......................................................................................................................... 19

II.2.1 Contrleurs flous ......................................................................................................... 19

II.2.2 Systmes flous de type Takagi -Sugeno (TS) ............................................................ 20

II.3 Problmatique et conception de la commande adaptative floue ................................ 21

II.4 Analyse de la stabilit ........................................................................................................ 24

II.5 Algorithme de la technique propose ................................................................................ 25

II.6 Exemple de simulation....................................................................................................... 26

II.7 Conclusion ......................................................................................................................... 32

Chapitre III

Commande Hybride Adaptative Floue des Systmes Fractionnaires par Mode Glissant

III.1 Introduction ...................................................................................................................... 33

III.2 Problmatique et conception de la commande intelligente hybride par mode glissant .... 34

III.3 Analyse de la stabilit ....................................................................................................... 38

III.5 Exemple de simulation ..................................................................................................... 39

III.5 Conclusion ........................................................................................................................ 47

Chapitre IV

Commande Hybride Adaptative Floue Hdes Systmes Fractionnaires

IV.1 Introduction ...................................................................................................................... 48

IV.2 Problmatique de la conception du schma de commande hybride propose ................. 48

IV.3 Analyse de la stabilit ..................................................................................................... 51

IV.4 Exemple de simulation ..................................................................................................... 53

IV.5 Conclusion ........................................................................................................................ 59

Conclusion gnrale................................................................................................................ 60

Introduction gnrale

Introduction gnrale

1

Introduction gnrale

1. Gnralits

Ces dernires annes, le calcul fractionnaire traite les drives et les intgrations d'ordre

arbitraire [Yuan,11] et a trouv beaucoup d'applications dans beaucoup de domaines de la

physique, des mathmatiques appliques et de la technologie. D'ailleurs, beaucoup de

systmes physiques rels sont bien caractriss par des quations d'ordre fractionnaire, c.--d.,

quations impliquant des drives dordre entier et d'ordre non entier.

Depuis quelques dcennies, le monde industriel a connu un norme dveloppement

technologique, sous l'effet de la concurrence et des besoins de plus en plus exigeants en

qualit et en performances. Les industriels ont t amens s'intresser et s'impliquer dans

la recherche automatique et suivre les dernires nouveauts des techniques de la commande

et de la rgulation qui participent d'une manire essentielle amliorer l'efficacit des

processus de production, la qualit des produits et la rentabilit. [Ladaci,07]

On constate que la description de quelques systmes est plus prcise quand la drive

fractionnaire est employe. Par exemple, des processus lectrochimiques et les structures

flexibles sont models par les modles d'ordre fractionnaire [Tsung,11], le comportement de

quelques systmes biologiques est explor utilisant le calcul fractionnaire et la polarisation

dilectrique, les ondes lectromagntiques sont dcrites par des quations d'ordre

fractionnaire [Yuan,11].

L'une des thories qui connaissent actuellement une grande popularit parmi les chercheurs

aussi bien dans les sciences fondamentales qu'en ingnierie, le Calcul Fractionnaire dont les

premires prmisses datent de plus de trois sicles. Au dbut c'tait presque un jeu de l'esprit

pour certains mathmaticiens de renomme, qui voulaient gnraliser la notion de

diffrentiation d'ordre entier par des oprateurs d'ordre fractionnaire, permettant le calcul de la

drive d'une fonction diffrentiable ()

, o serait un rel non ncessairement entier,

voire un nombre complexe.

De nos jours, beaucoup des systmes diffrentiels dordre fractionnaire se comportent

chaotiquement, comme le systme de Chua [Petras,06a], le systme de Duffing-Holmes , le

systme de L, le systme de Chen, le rseau neurologique cellulaire [Petras,06b].

Introduction gnrale

2

Rcemment, en raison de ses applications potentielles dans la communication protge et

la commande de processus, de l'tude de la synchronisation de chaos dans les systmes

dynamiques d'ordre fractionnaire et des phnomnes relatifs suscite l'attention croissante.

Le problme de synchronisation des systmes chaotiques d'ordre fractionnaire a t tudi

la premire fois par Deng et Li [Deng,05] qui ont effectu la synchronisation dans le cas du

systme fractionnaire de L. Aprs, ils ont tudis la synchronisation de chaos du systme de

Chen avec un ordre fractionnaire d'une faon diffrente. Des contrleurs flous et des rseaux

neurologiques sont gnralement considrs applicables aux systmes qui sont

mathmatiquement mal comprises et o les oprateurs humains expriments sont disponibles

pour fournir un principe de base qualitatif [Wang,92], [Wang,93].

Bas sur le thorme de lapproximation universelle, [Tsung,12] les contrleurs flous sont

assez gnraux pour effectuer toutes les actions de commande, cest un intrt pour des

mthodologies de conception systmatique pour une classe des systmes non linaires

utilisant des schmas de commande adaptative floue. Un systme adaptatif flou est un

systme flou quip d'un algorithme de formation dans lequel un contrleur adaptatif est

synthtis d'une collection de rgles floues IF-THEN et les paramtres des fonctions

dappartenance caractrisant les termes linguistiques dans les rgles IF-THEN changent selon

une certaine loi adaptative afin de commander un systme pour suivre une trajectoire de

rfrence.

Bien que le concept de la commande par mode glissant (SMC) et la thorie de systme

d'ordre fractionnaire soient bien connus, leur intgration, commande par mode glissant

fractionnaire, est un point intressant de la recherche a insist sur ce travail avec quelques

applications [Momani,10], [Kuo,11].

Ce genre de commande souffre de problme du chattering (le broutement) inhrent la

fonction discontinue (i.e. la fonction signe), pour cela en combinant cette commande par une

commande proportionnelle intgrale, pour le but dliminer le phnomne de chattering.

[Redjem,12]

On utilise ici, un nouvel critre de stabilit de Lyapunov incorpor par un algorithme

hybride adaptatif flou avec lutilisation de la commande par mode glissant (SMC) par

lintgration de la commande PI fractionnaire.

En gnral, dans ce travail, et par l'incorporation du critre de la technique de conception

de poursuite de [Chen,96] et de stabilit de Lyapunov, On utilise un nouvel algorithme de

commande Hybride (directe/indirecte) intelligente (commandes avances : adaptative, floue,

Introduction gnrale

3

mode glissant, robuste ) de telle sorte que non seulement la stabilit du systme de

commande floue adaptative soit garantie mais galement l'influence de la perturbation externe

et d'erreur d'approximation sur l'erreur de poursuite puisse tre attnue un niveau prescrit

par l'intermdiaire de la technique de conception [Balas,11], [C.Wang,02a].

La mthode de conception utilise essaye de combiner la technique d'attnuation, la

mthode d'approximation floue, et l'algorithme de commande adaptative pour la conception

de commande de poursuite robuste des systmes fractionnaire non linaires avec une

incertitude ou une variation inconnue des paramtres et des structures du systme.

2. Objectif du mmoire

Le travail prsent dans ce mmoire sinscrit dans le cadre de la stabilisation et de la

commande des systmes non linaires chaotiques dordre fractionnaires.

Lobjectif du travail est donc de dterminer des lois de commande hybrides intelligentes

(adaptative, floue, mode glissant et commande robuste de ) pour les systmes chaotiques

dordre fractionnaire (systme de Duffing-Holmes et systme financ conomique), ainsi pour

l'tude de la synchronisation de chaos dans les systmes dynamiques d'ordre fractionnaire et

des phnomnes relatifs suscite l'attention croissante [Balas,11].

Dans le cas des systmes non linaires fractionnaires, les mthodes de stabilisation

utilises sont bases sur une gnralisation du lemme de Grnwald-Letnikov. Pour les

systmes fractionnaires linaires et non linaires, les rsultats utiliss dans ce mmoire ont t

tendus aux cas des systmes chaotiques fractionnaires de Duffing, aussi un autre systme

financier conomique.

L'objectif de ces nouveaux algorithmes de commande intelligente est d'amliorer les

performances des systmes de commande de processus sur lesquelles peu d'informations sont

disponibles.

Il est noter que les processus considrs dans ce travail sont le plus souvent des systmes

SISO, mais les rsultats obtenus peuvent tre facilement gnraliss aux cas MIMO.

Les dveloppements rsums ci-dessus constituent les quatre chapitres de ce mmoire. Nous

allons en dcrire les principaux aspects.

Introduction gnrale

4

3. Structure du mmoire

Dans ce travail, Nous l'avons scinde en quatre chapitres selon le type de commande

intelligente tudie :

Le premier chapitre est une introduction au calcul fractionnaire et aux systmes de

commande d'ordre fractionnaire en gnral. Des concepts de base y sont rpertoris

pour une bonne comprhension de la partie de simulation.

Le chapitre II traite de la commande adaptative floue robuste des systmes chaotiques

dordre fractionnaire.

Dans le chapitre III on combine la technique de commande prcdant par la

commande directe/indirecte par mode de glissement.

La commande hybride par la conception de la technique est utilise dans le

chapitre IV pour la combinaison et la robustification des lois de commande

dveloppes.

Dans toutes les techniques de commande floues utilises dans ce mmoire, les systmes

flous sont utiliss pour approximer les dynamiques inconnus des systmes. Lanalyse de la

stabilit et de la robustesse des structures de commande vis--vis des erreurs dapproximation

floue et des perturbations externes est effectue par lapproche de Lyapunov. De plus, pour

chaque technique utilise des exemples de simulation sont donns pour montrer et mettre en

vidence ses performances.

Enfin, on termine ce mmoire par une conclusion gnrale qui prsente une gense des

principaux rsultats de ce mmoire et les perspectives de ce travail.

Chapitre I

Thorie de la Drivation

Non Entire

Chapitre I Thorie de la Drivation non Entire

5

Chapitre I

Thorie de la Drivation non Entire

I.1 Introduction

Le calcul d'ordre fractionnaire (intgration et diffrentiation d'ordre fractionnaire) est un

concept qui date de l'poque de Cauchy, Riemann Liouville et Leitnikov au 19me sicle. Il a

t utilis en mcanique depuis les annes 1930 et en lectrochimie depuis les annes 1960. Et

plus tard plusieurs mathmaticiens et physiciens ont tudi les oprateurs diffrentiels et les

systmes d'ordre fractionnaire.

Lune des applications importantes du calcul fractionnaire est la thorie du chaos

[Ibrahima,11] . Cette partie est ainsi ddie ltude des systmes chaotiques fractionnaires,

dont les proprits intrinsques peuvent tre utilises dans les schmas de synchronisation.

Une tude sur le chaos dpassant largement le cadre de ce chapitre, nous nous contenterons de

dfinir brivement la notion de chaos et prsenter le concept des systmes chaotiques

fractionnaires partir de lexemple du systme fractionnaire de Duffing-Holmes.

On peut gnraliser les oprateurs dintgration et de diffrentiation dans une seule

opration fondamentale

o a et t sont les limites de lopration [Petras,11b], [Petras,09].

Lopration intgro-diffrentiel continue est dfinie comme suit :

=

> 0

1 = 0

()

< 0

I.2 Fonctions spcifiques pour la drivation non entire

Lune des fonctions de base du calcul fractionnaire est la fonction de Gamma Euler ().

La fonction de Gamma () est dfinie par lintgrale suivante [Ibrahima,11]

()=

. (1.1)

Cette fonction est la gnralisation d'une factorielle sous la forme suivante ()= ( 1)!

Une autre fonction, qui joue un rle trs important dans le calcul fractionnaire, cette fonction

a t introduite par Humbert et Agrawal en 1953. Il s'agit d'une fonction deux paramtres de

type Mittag-Leffler dfini comme [Petras,11a].


6

, ()=

( + ) , > 0, > 0.

(1.2)

Pour = 1, nous obtenons la fonction Mittag-Leffler dans un paramtre

,()=

( + 1)

().

A partir de la relation (1.2) on montre que

,()= , ,()=

1

I.3 Oprateur de drivations non-entires, Dfinitions et proprits

I.3.1 Drive fractionnaire au sens de Grnwald-Letnikov

La dfinition au sens de Grnwald-Letnikov est base sur une approche aux diffrences

finies fractionnaires o toute la diffrence par rapport au cas entier se situe dans lextension

de la factorielle travers la fonction Gamma Euler. La drive fractionnaire au sens de

Grnwald-Letnikov dune fonction () est dfinie par la relation suivante [Ibrahima,11]

()= lim

1

( 1)

( )

(1.3)

O

dsigne la partie entire et

sont des coefficients binomiaux.

I.3.2 Drive fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

Soient avec ()> 0 , n un entier positif et une fonction localement

intgrable dfinie sur [ , ). La drive d'ordre de de borne infrieure est dfinie

par [Ammour,11]:

()=

1

( )

( )()

(1.4)

O ( )< < .

I.3.3 Drive fractionnaire au sens de Caputo

Caputo a introduit une autre formulation de la drive d'ordre fractionnaire comme suit

()=

1

( )

()()

( )

(1.5)

Avec est un entier positifvrifiant l'ingalit ( 1)< < .


7

I.3.4 Proprits

Les principales proprits des drives et intgrales d'ordre fractionnaire sont les suivantes

[Ammour,11] et [Ladaci,07].

Si () est une fonction analytique de , alors sa drive d'ordre fractionnaire ()

est

une fonction analytique de et.

1. Pour = , o est un entier, l'opration ()

donne le mme rsultat que la

diffrentiation classique d'ordre entier .

2. Pour = 0l'opration ()

est l'oprateur identit

()= ()

.

3. La diffrentiation et l'intgration d'ordres fractionnaire sont des oprations linaires

()+

()=

()+ ()

I.4 Mthodes oprationnelles fractionnaires

Le calcul oprationnel est un outil souvent utilis pour la rsolution des problmes

dingnierie. Il savre tre puissant et indispensable notamment dans ltude des systmes

fractionnaires. Cest pourquoi, nous allons rappeler dans ce paragraphe quelques lments de

base de la transforme de Laplace dans le cas entier que nous allons par la suite tendre au cas

fractionnaire.

I.4.1 Elments sur la transforme de Laplace

La fonction () de la variable complexe s dnie par,

()= {();}=

() (1.6)

La fonction originale () peut tre retrouve partir de la transforme de Laplace () avec

la transforme inverse de Laplace

()= {();}=

(), = ()> (1.7)

O se trouve dans le demi-plan droit de la convergence absolue de l'intgrale de Laplace

(1.7).

Le produit de convolution des fonctions et est donn par

()()= ( )()

= ()( )

(1.8)


8

des deux fonctions () et (), qui sont nulles pour < 0 , est gale au produit de

latransforme de Laplace des deux fonctions

{()();}= ()() (1.9)

Sous l'hypothse que () et () existent. On utilisera la proprit (1.9) pour l'valuation de

la transforme de Laplace de l'intgrale d'ordre fractionnaire de Riemann-Liouville.

Une autre proprit trs utile dont nous aurons besoin est la formule de la transforme de

Laplace de la drive d'un ordre entier de la fonction ()

Dans la partie suivante nous considrons la limite infrieure = 0. [Petras,11a],[Ladaci,07].

{();}= ()

()(0) (1.10)

I.4.2 Transforme de Laplace de la drive fractionnaire [Ibrahima,11],[Petras,11a]

Lintgrale fractionnaire de Riemann-Liouville peut notamment scrire comme le produit

de convolution de la fonction ()= et ()

()=

( )

()

() =

()() (1.11)

La transforme de Laplace de la fonction ()= est donne par

()= {}= () (1.12)

Ainsi, en utilisant la formule de la transforme de Laplace de convolution, on obtient la

transforme de Laplace de lintgration fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

{ ()

}= { ()

}= () (1.13)

Pour obtenir la transforme de Laplace de la drive fractionnaire au sens de Riemann-

Liouville de la fonction (), posons

= ()() (1.14)

Ce qui entrane

()= ()()1

( ) ( )

(), 1 < < (1.15)

Lutilisation de la transforme de Laplace de la drivation dordre entier conduit

{

()}= ()

()(0) (1.16)

O


9

()= ()() (1.17)

A partir de la dfinition de la drivation fractionnaire de Riemann-Liouville, il vient

()()=

()

()=

() (1.18)

En substituant (1.17) et (1.18) dans (1.16), nous obtenons lexpression finale de la

transforme de Laplace de la drive fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

{

()}= ()

()

, 1 < < (1.19)

En rsum, soit ()= {()}, la transforme de Laplace de (). On a les relations

suivantes

transforme de Laplace de lintgrale fractionnaire de Grnwald-Letnikov

{

()}= (), 1 < < (1.20)

transforme de Laplace de la drive fractionnaire de Riemann-Liouville

{

()}= ()

()

, 1 < < (1.21)

transforme de Laplace de la drive fractionnaire de Caputo

()= ()

()

, 1 < < (1.22)

I.5 Equations diffrentielles fractionnaires et ces applications

Dans la littrature du chaos fractionnaire, deux mthodes dapproximations ont t

proposes pour rsoudre numriquement les quations diffrentielles dordre fractionnaire.

La premire mthode, connue comme approximation de domaine frquentiel, est base sur

lapproximation du comportement du systme dordre fractionnaire dans le domaine

frquentiel. Dans un algorithme a t propos de calculer les approximations de transfert

linaires de la fonction

(Oustaloup et Charef ).

La deuxime mthode est une version amliore de lalgorithme (Grnwald-Letnikov et

Adams-Bashforth-Moulton) est propose et base sur les dfinition de Grnwald-Letnikov et

Caputo [Tidjani,09].


10

I.5.1 Mthode dAdams-Bashforth-Moulton

Soit un rel positif vrifiant 1 < < ,

dsigne loprateur de drivation au

sens de Caputo.

On se donne le problme aux conditions initiales suivant

()= (,)

(0)= , = 0,1, , 1

(1.23)

La solution de l'quation (1.23) est quivalent lquation intgrale non linaire de

Volterra [Diethelm,02a] comme,

()=

!+

1

() ( ),()

(1.24)

Le principe de cette mthode est de remplacer lquation originale (1.23) par lquation

intgrale de Volterra (1.24) et on utilise la formule (produit de quadrature des trapzes) pour

remplacer lintgrale par les nuds ,= 0,1, , + 1 qui sont prises respectivement la

fonction ( .) [Diethelm,02b] cest--dire

( )

() ( )

() =

( + 1) ,

()

Avec

, =

( )( + 1) = 0

( + 2) + ( ) 2( + 1)

1 = + 1

1

Cela nous donne la formule de correction [Diethelm,02b]:

()= ()

[]

!+

( + 2) ,

()+

( + 2) ,

( ,)

Pour dterminer la formule de prdiction qui donne

() , on procde de la mme

manire comme prcdemment mais cette fois lintgrale sera remplace en utilisant la

mthode des rectangles

( )

() ,(

)

O

, =

(( + 1) ( ))


11

O la valeur prdicateur de () est dtermine par la mthode AdamsBashforth

[Diethelm,04]

()=

()

[]

!+

1

() ,

,

Lerreur destimation de cette approximation est dcrite comme suit

,, ()= () Avec = m in (2,1 + )

Un systme ayant trois quations diffrentielles fractionnaire de la forme

()= (,,)

()= (,,)

()= (,,)

Avec 0 < 1 (= 1,2,3), et la condition initial (,,).

= +

( + 2)(

, ,

)+ ,,

( + 2)

,,,

= +

( + 2)(

, ,

)+ ,,

( + 2)

,,,

= +

( + 2)(

, ,

)+ ,,

( + 2)

,,

(1.25)

O

=

+ ,,

(),,,

=

+ ,,

(),,,

=

+ ,,

(),,,

,, =

( )( + 1), = 0

( + 2) + ( ) 2( + 1) , 1 1 , = + 1

,, =

(( + 1) ( ))


12

Exemple dapplication (systme de Chen)

Nous allons dmontrer la solution numrique propose sur l'ensemble de trois quations

diffrentielles non linaires fractionnaires, qui sont utilise pour dcrire le systme de Chen.

Le systme de Chen dordre fractionnaire est dcrit comme [Petras,09]:

()

= () ()

()

= ( )() ()()+ ()

()

= ()() ()

Solution numrique de ce systme de Chen donne par la forme suivante :

= +

( + 1)

+ ,,( )

= +

( + 1)( )

+

+ ,,

( ) +

= +

( + 1)

+ ,,

= +1

() ,,( )

= +1

() ,,

( ) +

= +1

() ,,

,, =

(( + 1) ( )), 0

,, = ( )( + 1)

= 0

( + 2) + ( ) 2( + 1) 0

Le rsultat de simulation de la rponse du systme de Chen dans lespace dtat pour les

paramtres = 35, = 3, = 28, l'ordres = 0.9, = 0,9 , = 0.9 , et les conditions


13

initiales ( (0), (0), (0)) = ( 9, 5,14). le temps de calcul de 30s , et le pas =

0,005.

Fig. I.1. Rsultat de la simulation du systme Chen.

I.5.2 Mthode de Grnwald-Letnikov : Evaluation numrique de la drive fractionnaire

de quelques fonctions usuelles

Nous dcrivons dans cette partie une mthode simple et efficace pour lvaluation des

drives fractionnaires. Pour le calcul numrique des drives d'ordre fractionnaire nous

pouvons utiliser la relation (1.26 ) dcoule de la dfinition Grnwald-Letnikov. Cette

approche est base sur une approximation de la drive fractionnaire au sens de Grnwald-

Letnikov. Nous pouvons ainsi utiliser cette approximation pour lvaluation numrique des

fonctions usuelles et des quations diffrentielles fractionnaires. La relation l'approximation

numrique explicite de drive au point ,( = 1,2, ) a la forme suivante

[Petras,11b], [Ibrahima,11]

() ( 1)

(1.26)

O est la "longueur de la mmoire", = , le pas de temps de calcul et ( 1)

sont les coefficients binomiaux ()(= 0,1, ). Le calcul des coefficients se fait par formule

de rcurrence suivante :

()

= 1,

= (1 1 +

)

(1.27)

La solution numrique gnrale de l'quation diffrentielle fractionnaire

-20

-10

0

10

20

-20-15

-10-5

05

1015

20

5

10

15

20

25

30

35

y(t)x(t)

z(t)


14

()= ((),),

Peut tre exprim comme

()= ((),)

()

(1.28)

Pour le terme de mmoire exprime par la somme, un principe de "mmoire courte" peut tre

utilis. Ensuite, l'index infrieur des sommes dans les relations (1.28) sera = 1 pour

< ( /) et = ( /) pour > ( /), ou sans utiliser le principe de la "mmoire

courte", nous mettons = 1 pour tous [Petras,11b].

Cette mthode numrique est appele dveloppement en srie entire dune fonction

gnratrice. Cette approximation de la drive fractionnaire au sens de Grnwald-Letnikov est

dune part quivalente la dfinition de Riemman-Liouville pour une large classe de fonctions

[Ibrahima,11], dautre part, elle est bien adapte la dfinition de Caputo car elle ne ncessite

que les conditions initiales et a clairement un sens physique.

Remarque : Comme il est indiqu dans [petras,11a], tous les deux mthodes numriques

dans le domaine temporel mentionn ( Grnwald-Letnikov et Adams-Bashforth-Moulton )

ont approximativement le mme ordre de prcision et bonnes solutions numriques.

Exemples dapplication

Systme conomique

Dans cette section, nous allons dmontrer la solution numrique propose sur l'ensemble

de trois quations diffrentielles non linaires fractionnaires, qui sont utilises pour dcrire un

systme conomique. Le systme financier de l'ordre fractionnaire est dcrit comme suit

[Petras,11b]

()= ()+ (() )()

()= 1 () ()

()= () ()

(1.29)

O l'ordre total du systme est reprsent par = (,,), a reprsente le montant

d'conomie, est le cot par investissement, et est l'lasticit de la demande du march

commercial. Les variables d'tat sont les suivantes () est le taux d'intrt, () est la

demande d'investissement, et () est l'indice des prix.

La solution numrique du systme financier de l'ordre fractionnaire (1.29) a la forme suivante


15

()= () (() )()

()

,

()= 1 () ()

()

,

()= () ()

()

,

La figure (I.2). sont reprsente les rsultats de simulation du systme financier (1.29) pour

les paramtres suivants = 1, = 0,1 et = 1, les ordres = 1.1, = 0,9 et =

0,8, le temps de calcul de 200 jours, et pour pas de temps = 0,04166 et les conditions

initiales ( (0), (0), (0)) = (1, 1,1).

Fig. I.2. Rsultat de la simulation du systme financier d'ordre fractionnaire pour les

conditions initiales ( (0), (0), (0)) = (1, 1,1).

I.6 Etude dun exemple de systme chaotique fractionnaire

Lune des applications importantes du calcul fractionnaire est la thorie du chaos. Cette

partie est ainsi ddie ltude des systmes chaotiques fractionnaires

I.6.1 Caractrisation du chaos

Il est trs dlicat de dfinir ce quest un systme chaotique, tant donn quil nexiste pas

une dfinition prcise. En pratique, on peut dire quun systme chaotique a un comportement

born en rgime permanent qui ne correspond pas un point dquilibre, quil nest ni

priodique, ni quasi-priodique. Parmi les caractristiques principales permettant dvoquer

un comportement chaotique, on peut retenir les trois suivantes [Ibrahima,11] :

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x(t)

y(t)


16

1. un systme chaotique est un systme dterministe.

2. il exhibe une extrme sensibilit aux conditions initiales.

3. il prsente un comportement asymptotique apriodique.

En gnral, les trajectoires dun systme dynamique chaotique sont attires vers un attracteur

trange. Ce dernier est caractris par

i. un volume nul.

ii. une sparation exponentiellement rapide de trajectoires initialement proches.

iii. une dimension souvent fractale (non entire) caractrisant le concept de systme

chaotique fractionnaire.

La naissance dun attracteur trange est lie lexistence de deux processus, savoir

ltirement, responsable de linstabilit et de la sensibilit aux conditions initiales, et le

repliement, responsable du ct trange, fractal de lattracteur.

En pratique, la vrification de quelques proprits dun systme dynamique suffit pour

pouvoir le considrer comme chaotique :

- vrifier la sensibilit aux conditions initiales.

- tracer les trajectoires des tats et leur spectre de puissance.

- tracer diffrents attracteurs.

- tracer un diagramme de bifurcations.

I.6.2 Systme chaotique dordre fractionnaire de Duffing-Holmes

L'oscillateur de Duffing, introduit en 1918 par G. Duffing, avec une rigidit linaire

ngative, d'amortissement et d'excitation priodique est souvent crit sous la forme

[Petras,11a]

"() ()+ ()+ ()= cos() (1.30)

Pour obtenir le systme de Duffing d'ordre fractionnaire, l'quation (1.30) peut tre rcrite

sous la forme d'un systme de premier ordre des quations diffrentielles autonomes sous la

forme

()

= ()

()

= () () ()+ cos ()

(1.31)

Ici, les drives conventionnelles dans les quations (1.31) sont remplacs par des drives

fractionnaires des drives de la manire suivante


17

()= ()

()= () () ()+ cos ()

(1.32)

O , sont de deux ordres fractionnaires et ,, sont des paramtres du systme.

Une solution numrique du systme de Duffing d'ordre fractionnaire (1.32), obtenu par

l'aide des relations (1.26) et (1.27), a la forme suivante

()= ()

()

()= () () ()+ cos ()

()

(1.33)

O est le temps de simulation, = 1,2,3, , , pour = [ /], et ((0),(0)) est

le point de dpart (conditions initiales). [Petras,11a]

Dans la figure (I.3) est reprsent attracteur chaotique du systme Duffing d'ordre entier

(1.31) pour les paramtres suivants = 0,15, = 0.3, = 1 avec les conditions

initiales ( (0), (0)) = (0.21,0.13) pour la simulation temps = 200 et pas de

temps = 0.005.

Fig. I.3. Trajectoire de phase dans le plan du systme Duffing d'ordre entier.

Dans la figure (I.4) est reprsent double attracteur dfilement du systme Duffing

d'ordre fractionnaire (1.32) pour les paramtres suivants = 0,15, = 0.3, = 1,

ordres drivs = 0.9 , = 1.0, avec les conditions initiales ( (0), (0)) =

(0.21,0.13), pour le temps de simulation = 200 et pas de temps = 0.005.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x(t)

y(t

)


18

Fig. I.4. Trajectoire de phase (attractrice) dans le plan du systme de Duffing ordre

fractionnaire.

Discussion

On remarque partir des rsultats de simulation que le chaos est assez rduit dans le cas

fractionnaire (fig. I.4) par rapport au cas entier (fig. I.3).

Aussi, on constate concernant la stabilit, que le systme dordre entier est instable, par

contre le systme dordre non entier ou fractionnaire est stable. Ceci montre en gnral que

les systmes fractionnaires possdent des caractristiques diffrentes de celles des systmes

dordre entier.

I.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons prsent ltat de lart sur les systmes drive dordre

fractionnaire, cette thorie de la drivation non entire a t introduite partir de quelques

rappels sur les fonctions de Gamma Euler et Mittag-Leffler et sur les diffrentes dfinitions et

proprits de la drive fractionnaire. Nous avons prsent une mthode numrique

sappuyant sur lapproximation de la dfinition de Grnwald-Letnikov afin dvaluer

numriquement la drive fractionnaire des fonctions et de rsoudre les quations drive

fractionnaire (telles que les quations doscillation de Duffing-Holmes et un systme

dquation conomique). Nous avons aussi dcrit, les systmes chaotiques fractionnaires de

Duffing comme un exemple dapplication.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

y(t)

Chapitre II

Commande Adaptative Floue

des Systmes Chaotiques

dordre Fractionnaire

Chapitre II Commande Adaptative Floue des Systmes Chaotiques dOrdre Fractionnaire

19

Chapitre II

Commande Adaptative Floue des Systmes Chaotiques dOrdre Fractionnaire

II.1 Introduction

Dans ce chapitre, en incorporant le critre de la technique de H et la thorie de Lyapunov

[Chen,96], on utilise un nouvel algorithme de commande adaptative floue de telle sorte que

non seulement la stabilit du systme est garantie, mais galement l'influence de la

perturbation et l'erreur d'approximation sur l'erreur de poursuite peut tre attnue un niveau

prescrit par l'intermdiaire de la technique propose de H.

La mthode de conception utilise essaye de combiner la technique d'attnuation, la

mthode d'approximation floue, et l'algorithme de la commande adaptative pour la conception

dune commande de poursuite robuste des systmes non linaires dordre fractionnaire avec

une incertitude ou une variation inconnue des paramtres et des structures du systme.

II.2 Dfinitions

II.2.1 Contrleurs flous

Les grandeurs de sortie dun processus commander et ventuellement dautres mesures

dterminantes pour saisir lvolution dynamique du processus ainsi que les consignes

dfinissent les variables dentre du contrleur flou. Les variables de sortie de ce contrleur

sont les commandes appliquer au processus. [Ougli,09]

Le contrleur flou est constitu de quatre blocs principaux : la base de connaissance, le

systme dinfrence, linterface de fuzzification et linterface de dfuzzification.

La base de connaissance est compose d'une base des donnes et d'une base de rgles. La

base des donnes contient des faits de la forme : x est A pour les variables linguistiques

dentre et de sortie du contrleur flou. La base des rgles contient des propositions de la

forme . Elle caractrise la stratgie de commande

mise par lexpert sous forme de rgles linguistiques. Le systme dinfrence est capable de

raisonner partir des informations contenues dans la base de connaissance et de faire des

dductions. Si B (la conclusion) est une valeur linguistique, le contrleur est dit de type


20

Mamdani. Si B est une valeur numrique ou une quation mathmatique, alors le contrleur

est dit de type Takagi-Sugeno.

Un contrleur flou passe gnralement par les tapes suivantes :

Choix de la stratgie de fuzzification.

Etablissement de la base de rgles.

Choix de la mthode dinfrence.

Choix de la stratgie de dfuzzification.

II.2.2 Systmes flous de type Takagi -Sugeno (TS)

Les systmes de logique floue adressent l'imprcision des variables d'entre et de sortie

directement en les dfinissant avec des nombres flous (et des ensembles flous) qui peuvent

tre exprims en termes linguistiques (par exemple, petit, moyen et grand). [C.Wang,02a]

La configuration de base du systme de Takagi-Sugeno (T-S) contient une base de rgles

floues, qui se compose d'une collection de rgles floues IF-THEN sous la forme suivante :

():, ,

= ()

= +

+ + =

[1 ]

O (, ,

, ,) sont les entrs des ensembles flous et

= [,

, ,] est un

vecteur des paramtres dajustement. Ainsi y est une variable linguistique, et un moteur

d'infrence flou pour combiner les rgles IF-THEN dans la base de rgles floues dans une

cartographie d'un vecteur linguistique = [, , ,]

une variable de sortie y

R. [C.Wang,02b]

En gnral, () est une fonction polynomiale en fonction des variables dentres, mais

peut tre aussi une fonction arbitraire tantquelle puisse dcrire convenablement le

comportement du systme tudi.

Si () est une fonction linaire : ()= +

+ + , alors on a un systme

flou de Takagi-Sugeno dordre un, par contre, si la fonction () est un polynme dordre

zro: ()= , on a donc un systme flou de Takagi-Sugeno dordre zro.

Soit M le nombre de rgles floues IF-THEN. La sortie des systmes flous avec le dfuzzifier

de centre moyenne, linfrence de produit et le fuzzifier singleton peut tre exprime comme :

= .

=

.[1]

(2.1)

O =

() est la valeur relle de lme implication et

() est la fonction

d'appartenance de la variable floue xi. [Tsung,04]


21

Alors, lquation (14) peut tre rcrite comme :

= (2.2)

O

= 1

2

le vecteur de paramtres ajustables et = [,, , ]

est la fonction de base floue donne comme :

=1

Quand les entres sont introduites dans le T-S, la valeur relle de lme implication est

calcule. Appliquant la stratgie commune de dfuzzification, la sortie exprime comme dans

lquation (2.1).

En se basant sur le thorme d'approximation universel [Wang,92], le systme flou ci-

dessus est capable de rapprocher uniformment n'importe quelle fonction non linaire bien

dfinie au-dessus d'un ensemble compact n'importe quel degr de prcision.

En outre, il est clair de prouver qu'un systme multi-sorties peut toujours tre approxim

par un groupe de systmes d'approximation une sortie unique.

II.3 Problmatique et conception de la commande adaptative floue

Considrons le systme SISO non linaires dordre fractionnaire comme suit

() =

( ) =

( ) = ,+ , + ()

=

Si = = = = , le systme ci-dessus est appel un systme d'ordre

proportionnelle. La forme quivalente du systme ci-dessus est dcrite comme

() = ,+ , + () =

(2.3)

O = [,, ,] = ,(),(), ,(())

est le vecteur dtat de ce systme,

, et , sont non linaires et inconnues, () est la perturbation externe donne

borne, () est l'entre de commande.

Lobjectif de la commande est de forcer la sortie suivre un signal de rfrence born

, sous la contrainte que tous les signaux impliqus doivent tre borns [Tsung,11].

Comme dans [Wang,96], [Redjem,12], les hypothses suivantes sont considres.


22

Hypothse II.1 : Le gain de commande de g(x,t) est diffrent de zro pour tout x et de

signe connu. Sans perte de gnralit, il est suppos que gx,t> 0.

Hypothse II.2 : Le vecteur dtat x est mesurable.

Hypothse II.3 : La trajectoire dsire et ses drives jusqu lordre n sont connues,

continues et bornes.

Hypothse II.4 : la limite suprieure de la perturbation () est , c'est--dire |()|

avec est une constante positive inconnue.

Lobjectif consiste dterminer une loi de commande assurant la bornitude de tous les

signaux du systme et la poursuite pour la sortie dune trajectoire de rfrence en prsence des

perturbations externes.

Pour commencer, le signal de rfrence de vecteur et le vecteur derreur est dfinie

comme

= ,()

, ,(())

,

= = ,(), ,(())

, () =

() ().

Soit = [,, ,] tre choisi de telle sorte que l'tat stable | ( ()) |>

/ 2 est remplie, o 0 < < 1 et () reprsente les valeurs propres de la matrice

donne par la suite en (2.9).

Si les fonctions , et , sont connues avec de perturbation externe () nulle,

alors la loi de commande a la forme suivante [Tsung,11], [C.Wang,02b]:

=1

(,) ,+

()+

(2.4)

En appliquant (2.4) (2.3) on trouve [C.Wang,02a]:

() + () + + = 0

qui implique que lim ()= 0 qui est lun des objectifs de la commande.

Cependant, , et , sont inconnues et la perturbation externe () 0, l'effort de

commande idal (2.4) ne peuvent pas tre mis en uvre (non ralisable) . On remplace ,

et , par les systmes flous et spcifis comme :

= =

() (2.5)


23

Avec () est un vecteur de fonctions floues de base suppos convenablement fix en avance

par lutilisateur, et sont les vecteurs de paramtres ajusts par des lois d'adaptation sur

la base d'un critre de stabilit de Lyapunov.

Par consquent, l'effort de contrle qui en rsulte peut tre obtenu comme [Tsung,12],

[Tsung,11]

=1

+

()+

(2.6)

O le compensateur robuste (terme ) est utilis pour attnuer la perturbation externe et

les erreurs d'approximation floue. En appliquant (2.6) (2.3) on trouve :

() = ,+ , + ()+

= , + ()

+

+ , + ().

(2.7)

Alors

() + , + + ()+ , = 0 (2.8)

Lquation (2.8) peut tre rcrite comme reprsentation d'tat

() = + ,+ + , () (2.9)

O

=

000

100

010

000

000

()

001

=

0001

Tant que (| |= () + () + + est stable (A stable).

Le vecteur des paramtres optimaux et

est dfini par :

=

[

,] (2.10)

=

[

,] (2.11)

O , et sont des ensembles de contraintes pour , et respectivement et elles

sont dfinies comme

= , = et = {||| }

O , et sont des constantes positives.

En utilisant (2.10) - (2.11), lquation de lerreur dynamique (2.9) peut tre exprime comme


24

() = + + +

()+ (2.12)

O lerreur d'approximation minimale est dfinie comme suit

= ,+

, (). (2.13)

Si = et =

, (2.12) peut tre rcrite comme

() = + () + () + + (2.14)

Aprs la considration prcdente, le thorme (2.1) peut tre obtenu [Tsung,11][Chen,96].

II.4 Analyse de la stabilit

Thorme II.1 : Considrons le systme SISO non linaire dordre fractionnaire (2.3) et la

loi de commande (2.6) si le compensateur robuste et les bass flous sur les lois

dadaptation sont choisis comme suit :

= 1

(2.15)

()

= () (2.16)

()

= () (2.17)

O > 0, > 0,= 1~2, et = > 0 est la solution de lquation de Riccati suivante :

+ + 2

1

= 0

(2.18)

Avec = > 0 est une matrice symtrique arbitraire dfinie positive de dimensions (

), est le coefficient dattnuation et est un paramtre positif vrifiant 2 et toutes

les variables du systme en boucle ferme sont bornes [Tsung,12].

Afin d'analyser la stabilit en boucle ferme, la fonction de Lyapunov est choisie comme

=

()()+

+

. (2.19)

La drive de (2.19) par rapport au temps, nous obtenons [Tsung,11]

()()=1

2()()

()+1

2()()+

1

()

+1

()

=1

2 +

+

+ +

+1

2() +

+

+ +

+1

()

+1

()

=1

2( + ) + +

+ +

1

()

(2.20)

(2.21)


25

+ +

() (2.22)

Le terme de robustesse et les lois dadaptation (2.15)-(2.17), ()() dans (2.22) peut

tre rcrite comme

()()= 1

2

1

2 +

= 1

2

1

2

1

1

+

1

2

+

.

Lintgration (2.23) partir de = 0 = ,

() (0) 1

2 +

1

2

(2.23)

Puisque () 0, (2.23) peut tre rcrite comme suit

(0)(0)+ (0)(0)+ .

(2.24)

Donc, lapproche peut tre obtenue. Et la preuve est termine.

II.5 Algorithme de la technique propose

Etape 1

dfinir les ensembles flous dont les fonctions dappartenances sont

()

, o

i=1,2,,n.

Spcifiquement les rgles floues de base de et sont constitues de rgles de

la forme :

()

: , ,

()

: , ,

= 1,2, , , et sont des ensembles flous dans [Wang,96].

Construction des fonctions floues de base comme dans (2.3).

Etape 2

Spcifier une matrice Q symtrique dfinie positive.

Rsoudre lquation de Lyapunov, pour obtenir la matrice symtrique > 0.

Etape 3

Spcifier les , telles que les racines de () +

() + + = 0 soient dans le demi-

plan gauche.


26

Etape 4

Rsoudre lquation de Riccati comme suit [Chen,96] :

+ +

= 0.

Etape 5

Enfin obtenir la loi commande globale (2.6) comme :

=1

() () +

()+

avec : =

,

()= ()

, ()

= ()

II.6 Exemple de simulation

Dans cette partie, on applique la stratgie de commande adaptative floue pour la

synchronisation des deux diffrents systmes chaotiques d'ordre fractionnaire de Duffing.

On considre deux systmes chaotiques d'ordre fractionnaire de Duffing comme suit,

Le premier est un systme de rfrence

=

= 0.25 + 0.3cos()

Le second est le systme rponse (de commande)

=

= 0.3 + 0.35cos()+ ()+ ()

O la perturbation externe donne comme ()= 0.1sin ().

L'objectif principal est de commander notre systme de rponse pour suivre le systme de

rfrence. Avec les fonctions (,) et (,)sont totalement inconnues.

Les conditions initiales sont choisies comme suit (0)= [0,0] et (0)=

[0.2, 0.2]respectivement. On considre dans ce cas deux valeurs diffrentes de = 0.95 et

= 0.98 pour tester la robustesse.

Pour les autres constantes de conception sont fixes comme suit = = 1 , =

100 , = 40 , = 0.005 , = 0.05 , le pas = 0.001.

Les figures (II.1 et II.3) illustrent respectivement les rsultats de simulation sans la

commande propose.


27

1. Pour = . nous avons les rsultats suivants :

Fig II.1. Plan de phase des systmes sans commande.

Chacune des fonctions (,) et (,) est reprsente par un systme flou, et

chaque systme flou a comme entre et .le systme flou est utilis avec les entres et

car la forme de la fonction est inconnue. Pour chaque variable dentre, on dfinit sept

fonctions d'appartenance de type gaussienne comme suit :

()= 0.5

.

, = 1,2 et = 1, ,7 avec choisi dans lintervalle [ 1,2].

On applique la loi de commande globale (2.6) comme suit

=1

() () +

()+

Les figures (II.2 et II.4) illustrent respectivement les rsultats de simulation avec la

commande propose.

(a). Performance de synchronisation du signal de rfrence et de rponse.

-0.50

0.51

1.5

-1

-0.5

0

0.5

10

10

20

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse

0

0.5

1

1.5

-0.5

0

0.5

10

10

20

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

rfrence

rponse


28

(b). Trajectoires des tats et

(c). Trajectoires des tats et

(d). Signal de commande

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps(sec)

y1 x

1

y1

X1

0 5 10 15 20 25 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

temps(sec)

y2 x

2

y2

X2

0 5 10 15 20 25 30-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

tempd(sec)


29

(e). erreur

(f). erreur

Fig II.2. Rsultats de simulation avec commande pour q=0.95.

2. Pour = . nous avons les rsultats suivants :

Fig II.3. Plan de phase des systmes sans commande.

0 5 10 15 20 25 30-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

temps(sec)

-2-1

01

2

-1-0.5

00.5

10

5

10

15

20

25

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse


30

Aprs lapplication de notre loi de commande on a les rsultats suivants




-1.5 -1-0.5 0

0.51 1.5

-1-0.5

00.5

10

5

10

15

20

25

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps(sec)

y1 x

1

y1

x1

0 5 10 15 20 25 30-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps(sec)

y2 x

2

y2

x2


31

(d). Signal de commande

(e). erreur

(f). erreur

Fig II.4. Rsultats de simulation avec commande pour q=0.98.

0 5 10 15 20 25 30-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

temps(sec)


32

Discussion des rsultats

La signification de la commande propose pour diffrentes valeurs de est exprime.

Ralisation dune rapide synchronisation des systmes de rfrence et de rponse.

pour est rduit on voit que le chaos est rduit, c.--d., l'erreur de synchronisation est

rduite, en consquence.

II.7 Conclusion

Dans ce chapitre une commande adaptative floue H est utilise pour traiter la

synchronisation de chaos entre deux systmes chaotiques d'ordre fractionnaire incertain. En se

basant sur l'approche de la synthse de Lyapunov, des paramtres libres du contrleur

adaptatif flou peuvent tre accords en ligne par la loi de commande de feedback et les lois

dadaptations.

Un exemple de simulation de la synchronisation de chaos de deux systmes d'ordre

fractionnaire de Duffing est donn pour dmontrer l'efficacit de la mthodologie utilise.

La signification du schma de commande utilis dans la simulation pour diffrentes valeurs

de est manifeste pour tester la robustesse.

Les rsultats de simulation prouvent qu'une synchronisation rapide entre le systme de

commande et la rponse peut tre ralise, et pendant la valeur de est rduite on voit que le

chaos est rduit, c.--d., l'erreur de synchronisation est rduite, en consquence.

Chapitre III

Commande Hybride Adaptative

Floue des Systmes Fractionnaires

par Mode Glissant

Chapitre III Commande Hybride Adaptative Floue des Systmes Fractionnaires par Mode Glissant

33

Chapitre III

Commande Hybride Adaptative Floue des Systmes Fractionnaires

par Mode Glissant

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, une nouvelle stratgie de commande hybride (directe/indirecte)

adaptative floue par la technique de commande glissante a t utilise pour assurer la stabilit

et des performances constantes des systmes non linaires incertains chaotiques dordre

fractionnaire.

Puis, une commande proportionnelle intgrale PI-fractionnaire est considre en combinant

avec la commande adaptative floue par mode de glissement pour une classe des systmes

chaotiques dordre fractionnaire non linaires inconnus, afin dviter le phnomne de

chattering et doffrir une bonne performance de l'tat en rgime transitoire et permanent ; en

outre, on applique la thorie de la synthse de Lyapunov pour assure que tous les signaux sont

borns, ainsi que la poursuite de la sortie du systme et de rfrence avec les incertitudes des

perturbations soit ralise [Wong,09], [Kuo,11].

Un facteur de pondration, qui peut tre ajust par le compromis entre la connaissance du

systme et la connaissance de commande, est adopt pour combiner lensemble des efforts de

la commande adaptative floue indirecte et la commande adaptative floue directe.

Pour confirmer l'efficacit du schma de commande utilise, un systme de rponse chaotique

d'ordre fractionnaire est entirement illustr pour suivre une trajectoire de sortie dun systme

de rfrence chaotique d'ordre fractionnaire [C.Wang,02a].

Les rsultats montrent que l'erreur de poursuite et l'effort de commande peuvent tre

rendus plus petits, et la structure de la commande intelligente hybride utilise est plus flexible

pendant le processus de conception.


34

III.2 Problmatique et conception de la commande intelligente hybride par

mode glissant

Dans cette section et avant lapplication de la commande par mode glissant, nous tudions

la commande hybride adaptative floue des systmes chaotiques d'ordre fractionnaire

incertains, c.--d., pour forcer la trajectoire de sortie qui est obtenue par l'algorithme propos

du systme de rponse suivre la trajectoire du systme de rfrence. [Kuo,11]

On considre le systme chaotique dordre fractionnaire comme suit

() = ,+ , + ()

=

(3.1)

O = [,, ,] = ,(),(), ,(())


, et , sont des fonctions non linaires et inconnues, () est la perturbation

externe donne borne, |()| , et ()est l'entre de commande.

L'objectif de la commande est de forcer la sortie du systme suivre un signal de

rfrence born , sous la contrainte que tous les signaux impliqus doivent tre borns.

Pour commencer, le signal de rfrence et le vecteur derreur sont dfinis comme,

= ,()

, ,(())

,

= = ,(), ,(())

, () =

() ().

En gnral, dans l'espace d'tat de l'erreur la surface de glissement est dfinie par

, = = + () + +

() + () (3.2)

O = [,, ,,1] o les sont toutes des relles et sont choisies de telle

sorte que ()=

(), = 1 est un polynme Hurwitz o est loprateur de

Laplace.

Le problme de poursuite sera considr comme le vecteur d'tat d'erreur qui reste sur la

surface de glissement , = 0 pour tout 0. Le processus de commande en mode

glissant peut tre class en deux phases, la phase approchante avec , 0 et la phase de

glissement avec , = 0 pour lerreur initiale (0)= 0. Afin de garantir que la trajectoire

du vecteur d'tat d'erreur se traduira partir de la phase approchante de la phase de

glissement, la condition suffisante [Ming,11], [Yuan,11]


35

,, ,o > 0 (3.3)

doit tre satisfaite.

Deux types de lois de commande doit tre tirs sparment pour ces deux phases dcrites

ci-dessus. Dans la phase de glissement, elle implique ,= 0 et , = 0.

[Momani,10]

Afin de forcer la dynamique du systme rester sur la surface de glissement, la commande

quivalente peut tre calcule comme suit

Si , et , sont connues avec la perturbation externe nulle, c..d. ()= 0, en

prenant la drive de la surface de glissement par rapport au temps, nous obtenons

() = ()

+ () = ()

+ ()

()

= ()

, , ()

= ()

+ ,+ , ()

= 0

(3.4)

Par consquent, la commande quivalente peut tre obtenue comme

=1

,

()

,+ ()

(3.5)

Au contraire, dans la phase approchante, , 0 un type s'approche de contrle doit

tre ajout afin de satisfaire la condition suffisante (3.3) et la commande par mode de

glissement complte sera exprime comme

= , = () (3.6)

O > 0.

De plus, la commande PI adaptatif fractionnaire a t utilise pour viter le problme de

phnomne de chattering. L'entre et la sortie du rgulateur PI est sous la forme suivante

[Wong,09] et [Redjem,12]:

= |= + (3.7)

O = = (), sont les gains de commande concevoir.

Lquation (3.7) peut tre rcrite comme :

|= () (3.8)

O ()= [,()] et = [,] est un vecteur des paramtres rglables.


36

La loi de commande indirecte rsultante, qui comprenne un systme flou pour approximer

les fonctions inconnues ( )f x , ( )g x et un rgulateur PI adaptatif fractionnaire qui permet

d'attnuer le chattering et amliorer les performances, est le suivant [Kuo,11], [Wong,09]

()=1

()

+ ()

(3.9)

La commande de commutation est remplace par laction du contrleur PI pour viter

le problme chattering o ltat est lintrieur dune couche limite ,< ; l'action

de commande est maintenu la valeur sature lorsque l'tat est en dehors de la couche limite.

Par consquent, = + + lorsque , se situe en dehors de la couche

limite c.--d. , ,o est l'paisseur de cette couche.

Pour obtenir la commande de mode de glissement (3.6), les fonctions ,,, du

systme et le paramtre de commutation doivent connues l'avance.

Cependant, , et , sont inconnues et la perturbation externe () 0, l'effort

de la commande idale (3.5) ne peuvent pas tre mise en uvre (nest pas ralisable). Nous

remplaons ,,, et par les systmes flous , et sous

les formes spcifis comme, [Yuan,11]

= , =

, |= () (3.10)

On a = + + lorsque , se situe en dehors de la couche limite c.--

d. , ,o est l'paisseur de cette couche. [Kuo,11]

Ici, les fonctions floues de base () et () dpendent des fonctions d'appartenance

floues et est cens tre fixes, tandis que , et sont rgls par les lois dadaptations qui

sont bases sur le critre de stabilit de Lyapunov.[Tsung,11]

Par consquent, selon la connaissance du systme et la connaissance de la commande, une

commande hybride adaptative floue peut tre construite en incorporant la fois la description

floue et les rgles de commande floue l'aide d'un facteur de pondration pour combiner la

commande adaptative floue indirecte et la commande adaptative floue directe. En se basant

sur le compromis entre la connaissance du systme et celle de la commande, le facteur de

pondration [0,1] peut tre ajust. Par consquent, la loi de commande hybride globale

est exprime comme, [C.Wang,02a][Kuo,11],


37

= + (1 ) (3.11)

O la commande adaptatif indirect est donn par (3.9) et a commande adaptatif direct

donn comme suit :

=

, (3.12)

O est obtenue par un systme flou spcifi comme

= () (3.13)

Les vecteurs des paramtres optimaux ,

, et

sont dfinis par

=

[

,]

=

[

,]

=

[

]

= arg min

sup

O , , , et sont des ensembles de contraintes pour , , , et

respectivement et elles sont dfinies comme = , = ,

= , = et = {||| }, o , , , et

sont des constantes positives.

En utilisant (3.12), (3.13), lquation de la surface de glissement (3.4) peut tre rcrite

comme

() = + +

(1 ) (1 )()

+

+ (1 ) (1 )

+ () (3.14)

O les erreurs d'approximation minimale sont dfinies comme

= , + ,

+ (1 )

(3.15)

Si = , =

, = et =

, nous avons


38

() = (1 )+

()

+ (1 )

(1 )()+ ()

(3.16)

Aprs la considration de dmarche, le thorme (3.1) peut tre obtenu.

III.3 Analyse de la stabilit

Thorme III.1 - Considrons le systme SISO chaotique non linaire d'ordre fractionnaire

(3.1) avec une entre de commande (3.11), si les lois dadaptation floues sont choisies comme

()

= ,()

= ,()

= ,()

= () (3.17)

O > 0,= 1, ,4. Ensuite, le schma d'adaptation global garantit la stabilit globale du

systme en boucle ferme rsultant dans le sens o tous les signaux impliqus sont

uniformment bornes et l'erreur de poursuite convergera vers zro asymptotiquement.

[Kuo,11],[C.Wang,02a]

Preuve - Afin d'analyser la stabilit en boucle ferme, la fonction de Lyapunov est choisie

comme

=1

2 +

2

+

2

+

2

+

(1 )

2

+

(1 )

2

(3.18)

En prenant la drive (3.18) par rapport au temps, nous obtenons

() = () +

()

+

()

+

()

+(1 )

()

+(1 )

()

= (1 )+

()

+ (1 )

(1 )()+ ()

+

()

+

()

+

()

+(1 )

()

+(1 )

()

()

+

()

+

()

() ( + )()+ ()+

+(1 )

()

+ () (1 )( + )()

(3.19)

Avec le compensateur robuste et les lois dadaptations floues sont donnes (3.17), et

aprs une simple manipulation, nous avons


39

() ()= || (3.20)

Par lutilisation du corollaire du lemme de Barbalat [Kuo,11],[Tsung,04], nous avons

lim (,)= 0. alors lim |()|= 0. La preuve est complte.

III.5 Exemple de simulation

Dans cette partie, on applique la stratgie de la commande hybride adaptative floue par

mode glissant pour la commande et la synchronisation des deux diffrents systmes

chaotiques d'ordre fractionnaire de Duffing.

On considre deux systmes chaotiques d'ordre fractionnaire de Duffing comme suit,

Lun est un systme de rfrence donn comme

=

= 1.2 + 0.5cos()

Et lautre est un systme de rponse (de commande) donne comme

=

= 1.8 + 0.9cos()+ ()+ ()

O la perturbation externe donne comme ()= 0.1sin ().

Les conditions initiales sont choisies comme suit (0)= [0,0] et (0)= [1, 1]

respectivement. On considre dans ce cas lordre fractionnaire = 0.98, Pour les autres

constantes de conception sont fixes comme suit = = 1 , = 200 , = 40

, = 100 , = 10 , = 0.005 , = 1, le pas = 0.001, et = 0.7 est le facteur de

pondration.

Fig III.1. Plan de phase des systmes sans commande.

00.5

11.5

2

-1-0.5

0

0.510

10

20

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse


40

1. Le cas de la commande par mode glissant et lexistence de Chattering (broutement)


(b). Trajectoires des tats x et y

(c). Trajectoires des tats x et y

00.5

11.5

2

-1-0.5

0

0.5

10

10

20

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

temps(sec)

y1 x

1

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

temps(sec)

y2 x

2


41

(d). Surface S

(e). Signal de commande u

(f). Erreur e

0 5 10 15 20 25 30-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

temps(sec)


42

(g). Erreur e

Fig III.2. Rsultats de simulation par le mode glissant.

2. Le cas dlimination de chattering par lutilisation de la commande indirecte avec

le rgulateur PI-fractionnaire.



0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps(sec)

00.5

11.5

2

-1

-0.5

0

0.5

10

5

10

15

20

25

30

y1 x1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

temps(sec)

x1 y

1

y1

x1


43


(d). Surface s

(e). Signal de commande

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

temps(sec)

y2 x

2

y2

x2

0 5 10 15 20 25 30-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

temps(sec)


44

(f). Erreur

(g). Erreur

Fig III.3. Rsultats de simulation par la commande indirect avec le PI-fractionnaire.

3. Le cas dutilisation de la commande hybride avec le rgulateur PI-fractionnaire.


0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps(sec)

00.5

11.5

2

-1-0.5

0

0.510

10

20

30

x1 y1y2 x2

tem

ps(s

ec)

Rfrence

Rponse


45



(d). Surface

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

temps(sec)

x1 y

1

y1

x1

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

temps(sec)

y2 x

2

y2

x2

0 5 10 15 20 25 30-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

temps(sec)


46

(e). Signal de commande

(f). Erreur

(g). Erreur

Fig III.4. Rsultats de simulation par la commande hybride avec le PI fractionnaire.

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

temps(sec)

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps(sec)


47

Commentaires sur les rsultats

On note que la poursuite de la trajectoire dsire soit assure avec une prcision bien

dfinie (figures (III.2.a,b,c - III.3.a,b,c - III.4.a,b,c)),

Le phnomne de Chattering (figure (III.2.e)) est limin par la commande utilise

(figure (III.3.e)).

Daprs les figures (III.2.e - III.3.e - III.4.e), en prsence des perturbations externes,

la commande reste efficace o les trajectoires relles convergent vers les trajectoires

dsires.

On remarque daprs les figures (III.3 et III.4), les rsultats dans ce cas de commande

hybride sont amliors par rapport dans le cas de commande indirecte.

La mthode utilise est efficace pour les systmes chaotiques dordre fractionnaires.

III.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons utilis une commande hybride intelligente par mode glissant

pour raliser la performance de la poursuite des systmes chaotiques d'ordre fractionnaire.

C'est une mthodologie de conception flexible par le compromis entre la connaissance du

systme et la connaissance de la commande, on utilise un facteur de pondration adopt pour

additionner un ensemble d'effort de commande adaptative floue indirecte avec un ensemble de

commande adaptative floue directe.

En ce qui concerne le phnomne de chattering, nous avons utilis le rgulateur PI

adaptatif fractionnaire pour liminer ce broutement.

En se basant sur l'approche de la synthse de Lyapunov, les paramtres libres du contrleur

adaptatif flou peuvent tre rgls en ligne par une loi de commande de feedback et par des

lois dadaptations.

Les rsultats de simulation ont montrs que la commande utilise peut atteindre les

performances souhaits, ainsi confirme l'efficacit de la mthodologie utilise.

Chapitre IV

Commande Hybride Adaptative

Floue des Systmes

Fractionnaires

Chapitre IV Commande Hybride Adaptative Floue des Systmes Fractionnaires

48

Chapitre IV

Commande Hybride Adaptative Floue des Systmes Fractionnaires

IV.1 Introduction

Dans ce chapitre, on utilise une commande hybride adaptative floue pour raliser la

performance de la poursuite des systmes chaotiques d'ordre fractionnaire.

En se basant sur le compromis entre la connaissance du systme et la connaissance de

commande, un facteur de pondration peut tre ajust pour combiner l'effort de la commande

adaptative floue indirecte et l'effort de la commande adaptative floue directe.

Un systme de commande qui est un systme non linaire chaotique d'ordre fractionnaire est

entirement illustr pour poursuivre une trajectoire du systme de rfrence chaotique d'ordre

fractionnaire.

On utilise un nouveau critre de stabilit de Lyapunov pour l'algorithme de commande

de telle sorte que non seulement la stabilit du systme pour cette commande adaptative floue

soit garantie, mais galement linfluence de lerreur dapproximation et de la perturbation

externe sur lerreur de poursuite puisse tre attnue arbitrairement un niveau bien dfini.

Des rsultats de simulation montrent que lerreur de poursuite et leffort de commande

peuvent tre rendus plus petits ainsi le schma de commande intelligente hybride utilis est

plus flexible pendant le processus de conception.

IV.2 Problmatique de la conception du schma de commande hybride

propose

Considrons le systme chaotique dordre fractionnaire comme suit [Balas,11]

() = ,+ , + ()

= (4.1)

O = [,, ,] = ,(),(), ,(())


, et , sont non linaires et inconnues, () est la perturbation externe donne

borne, () est l'entre de commande. Lobjectif de la commande est de forcer la sortie


49

suivre un signal de rfrence donn born , sous la contrainte que tous les signaux

impliqus doivent tre borns.

Pour commencer, le signal de rfrence de vecteur et le vecteur derreur est dfinie

comme [C.Wang,02b],

= ,()

, ,(())

,

= = ,(), ,(())

, () =

() ().

Soit = [,, ,] telles que toutes les racines du polynme caractristique

()= + () + + soient dans le demi-plan gauche (systme stable).

Si les fonctions , et , sont connues et le systme avec une perturbation externe

()= 0, alors la loi de commande a la forme suivante [Huang,11] [C.Wang,02a]

=1

(,) ,+

()+ (4.2)

En appliquant (4.2) (4.1) lquation de lerreur est obtenue comme, [Tsung,04]

() + () + + = 0

qui implique que lim ()= 0 qui est lun des objectifs de la commande.

Cependant, lorsque , et , sont inconnues et la perturbation externe () 0,

l'effort de commande idal (4.2) ne peuvent pas tre mis en uvre (non ralisable). On

remplace , et , par les systmes flous et spcifis comme,

= =

() (4.3)

Avec () est un vecteur de fonctions floues de base suppos convenablement fix en avance

par lutilisateur, et sont les vecteurs de paramtres ajusts par des lois d'adaptation sur

la base d'un critre de stabilit de Lyapunov. [Balas,11]

Toutefois, en fonction de la connaissance du systme et la connaissances de commande, un

contrleur hybride adaptatif peut tre construit en intgrant la fois la description floue et des

rgles de commande floue l'aide d'un facteur de pondration pour combiner la commande

adaptative indirecte et celle adaptative directe. Bas sur le compromis entre la connaissance

des systmes et les connaissances de la commande, le facteur de pondration [0,1] peut

tre ajust. Par consquent, l'effort de la commande totale peut tre exprim comme

[Balas,11], [Chen,96]

= + (1 ) (4.4)


50

O le rgulateur adaptatif direct et le rgulateur adaptatif indirect sont donns comme

suit

=

(,)

=1

+

()+

(4.5)

(4.6)

O est un compensateur robuste utilis pour attnuer la perturbation externe et les erreurs

d'approximation floues, et est obtenue par un systme flou spcifi comme

= () (4.7)

En substituant (4.4) dans (4.1), l'quation dynamique d'erreur peut tre obtenue dans la

reprsentation de l'espace d'tat comme

() = + { ,+ (,)

(1 ), + ()}

(4.8)

O

=

000

100

010

000

000

()

001

=

0001

Les vecteurs des paramtres optimaux ,

et sont dfinis par :

=

[

,] (4.9)

=

[

,] (4.10)

=

[

] (4.11)

O , , et sont des ensembles de contraintes pour , , et respectivement et

elles sont dfinies comme

= , = , = et = {||| }

O , , et sont des constantes positives.

en utilisant (4.9) - (4.11), lquation dynamique de l'erreur (4.10) peut tre rcrite comme

() = + { +

(4.12)


51

(1 ), + + }

O les erreurs minimales d'approximation sont dfinies comme

= +

(1 ), ()

(4.13)

Si = , =

et = ,

() = + () + ()+ ()

+ + (4.14)

Aprs les considrations prcdentes, le thorme (4.1) peut tre obtenu

IV.3 Analyse de la stabilit

Thorme IV.1: Considrons le systme chaotique non linaire d'ordre fractionnaire SISO

(4.1) avec une entre de commande (4.4), si le compensateur robuste et les lois

adaptatives floues sont choisis comme

= 1

(4.15)

()

= () (4.16)

()

= () (4.17)

()

= ()(,) (4.18)

O > 0, > 0,= 1~2, et = > 0 est la solution de lquation de Riccati suivante

+ + 2

1

= 0 (4.19)

O = > 0 est une matrice de pondration prescrite. Par consquent, la performance de

poursuite peut tre obtenue pour un niveau dattnuation prescrit et toutes les variables

du systme en boucle ferme sont bornes.[Chen,96] ,[Balas,11],[C.Wang,02a]

Afin d'analyser la stabilit en boucle ferme, la fonction de Lyapunov est choisie comme

[Balas,11],

=1

2 +

2

+

2

+

(1 )

2

(4.20)

La drive de (4.20) par rapport au temps, nous obtenons


52

()()=1

2()()

()+1

2()()()

+

+

+(1 )

() =1

2 + +

(1 )(,) + +

+1

2 + +

(1 )(,) + +

+

()

+

()

+(1 )

()

(4.21)

=1

2 +

2

+ +

()

+ +

() ((1 )

(,)

(1 )

())

+1

2( + ) (4.22)

Avec le compensateur robuste et les lois adaptatives fl

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Commande Robuste Adaptative Floue des Systèmes d'Ordre Fractionnaire.pdf