commande adaptative floue

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECH ERCHE SCIENTIFIQUE

Université Kasdi Merbah–Ouargla

Faculté des Sciences de Technologies et Sciences de Matières

Département de génie électrique

PROJET DE FIN DE CYCLE

En vue d’obtention du

Diplôme de Master

Filière : Génie électrique Spécialité : Automatique

Présenté par :

Safia GRAIDIA

Thème

Présenté devant le jury composé de :

Nom et PrénomNom et PrénomNom et PrénomNom et Prénom GradeGradeGradeGrade QualitéQualitéQualitéQualité UniversitéUniversitéUniversitéUniversité

B. Benhellal MAA Président UKMO

L. Becheka MAA Examinateur UKMO

A. Benchabanne MAA Examinateur UKMO

F. Kara MAB Promotrice UKMO

F. Chebbara MAB Co-promoteur UKMO

Année universitaire : 2011/2012

COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE TYPE-2 PAR

MODE GLISSANT DES SYSTEMES CHAOTIQUES

i

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE …………………………………………. 1

CHAPITRE I : COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE

I.1. Introduction ……………………………………………………………………... 4

I.2. Concept de la commande adaptative ……………………………………………. 4

I.3. Le principe ……………………………………………………………………… 5

I.4. Commande adaptative floue ……………………………………………………… 5

I.4.1. Commande adaptative floue directe et indirecte ………………………… 6

I.4.1.1. Commande adaptative floue directe (auto-ajustable) ……………….. 6

I.4.1.2. Commande adaptative floue indirecte …………………………… 6

I.4.2. Méthodes d'obtention des lois d'adaptation ……………………………... 7

I.4.2.1. Méthodes de Lyapunov ……………………………………………... 7

I.4.2.1.1. Méthode directe de Lyapunov …………………………………. 7

I.4.2.1.2. Méthode indirecte de Lyapunov ………………………………. 8

I.4.2.2. Méthode de descente du gradient …………………………………… 9

I.5. Conclusion ……………………………………………………………………… 11

CHAPITRE II : SYSTEMES FLOUS TYPE-2

II.1. Introduction …………………………………………………………………….. 12

II.2. Types de régulateurs flous ……………………………………………………… 13

II.3. Concept des ensembles flous de type-2 (EFT-2) ………………………………. 13

II.4. Ensemble flou type-2 …………………………………………………………… 14

II.5. Représentation des ensembles flous type-2 …………………………………….. 16

II.6. Types d’ensembles flous type-2 ………………………………………………… 17

II.7. Opération sur les ensembles floue type-2 ………………………………………. 18

II.7.1. Opérations "join" et "meet" sous le minimum t-norme ………………… 19

II.7.2. Opération "join " sous le produit t-norme ……………………………… 19

II.7.3. Opération "meet " sous le produit t-norme ……………………………... 20

II.8. Les systèmes flous de type-2 …………………………………………………… 21

II.8.1. La structure de système flou type-2…………………………………….. 21

II.8.2. Fuzzification …………………………………………………………… 21

Table des matières

ii

II.8.3. Base de Règle …………………………………………………………... 22

II.8.4. Mécanisme d’inférence ………………………………………………… 22

II.8.4.1. Inférence dans les systèmes flous type-2 intervalle ……………….. 24

II.8.5. Le module de traitement de la sortie …………………………………….. 25

II.8.5.1. Réduction de type …………………………………………………... 25

II.8.6. Défuzzification …………………………………………………………... 26

II.9. Réduction de type pour les systèmes flous type-2 intervalle …………………… 26

II.10. Approximation floue ……………………………………………………………. 28

II.11. Conclusion ……………………………………………………………………… 31

CHAPITRE III : COMMANDE PAR MODE GLISSENT

III.1. Introduction …………………………………………………………………….. 32

III.2. Système à structure variable ……………………………………………………. 32

III.2.1. Structure par commutation d’une contre réaction d’état ……………….. 33

III.2.2. Structure par commutation au niveau de l’organe de commande ……… 34

III.2.3. Structure de régulation au niveau de l’organe de commande, avec ajout

de la commande équivalente ……………………………………………

34

III.3. Définitions ………………………………………………………………………. 35

III.4. Notions de bases ………………………………………………………………... 36

II.4.1. Régime glissant idéal ……………………………………………………. 36

II.4.2. Régime glissant réel ……………………………………………………... 37

III.5. Principe du contrôleur à mode glissant …………………………………………. 37

III.6. Conception de la commande par mode glissant ………………………………… 38

III.6.1. Choix de la surface de glissement ………………………………………. 38

III.6.1.1. Conditions de convergence et d’existence ……………………….. 38

III.6.2. Détermination de la loi de commande ………………………………… 39

III.6.2.1. La commande équivalente ………………………………………. 40

III.6.2.2. Commande de commutation …………………………………….. 41

III.6.2.3. La condition d’attractivité ……………………………………….. 41

III.7. Conclusion ……………………………………………………………………… 42

Table des matières

iii

CHAPITRE IV : APPLICATION DE LA COMMANDE

ADAPTATIVE FLOUE TYPE-2 PAR MODE GLISSANT

IV.1. Introduction ……………………………………………………………………... 43

IV.2. formulation de problème ………………………………………………………... 44

IV.3. Objectif de la commande ……………………………………………………….. 44

IV.4. Système flou type-2 intervalle ………………………………………………….. 45

IV.5. Synthèse du contrôleur adaptatif flou par mode glissant ……………………….. 50

IV.6. Exemple d’application ………………………………………………………….. 56

IV.7. Conclusion ……………………………………………………………………… 63

CONCLUSION GENERALE ……………………………………………. 64

BIBLIOGRAPHIE

LISTE DES FIGURES

Figure (I.1) : Principe des systèmes de commande adaptative …………………… 5

Figure (I.2) : Commande adaptative floue directe ………………………………... 6

Figure (I.3) : Commande adaptative floue indirecte ……………………………… 7

Figure (I.4) : Modèle d’erreur …………………………………………………….. 10

Figure (II.1) a) Représentation d’un ensemble flou type-2 avec une fonction

d’appartenance principale Gaussienne, b) Représentation de la

fonction d’appartenance secondaire de type Gaussienne pour

x=4…………………………………………………………………..

15

Figure (II.2) : Représentation tridimensionnelle d’une fonction d’appartenance d’un

ensemble flou type-2 avec une fonction d’appartenance principale

gaussienne………………………………………………..

16

Figure (II.3) : Fonction d’appartenance d’un ensemble flou type-2……………….. 17

Figure (II.4) : Les opérations "join" et "meet" entre des Gaussiennes……………... 20

Figure (II.5) Structure d’un système flou type-2, avec ses deux sorties ………… 21

Figure (II.6) : Illustrations du produit et du minimum d’inférence dans le cas du

type-2 ………………………………………………………………..

23

Figure (III.1) : Changement de structure par commutation d’une contre-réaction

d’état ………………………………………………………………...

33

Figure (III.2) : Changement de Structure par commutation au niveau de l’organe de

commande …………………………………………………………...

34

Figure (III.3) : Changement de structure avec ajout de la commande équivalente…. 35

Figure (III.4) : (a) Glissement idéal. (b) Glissement réel …………………………... 37

Figure (III.5) : Différents mode de convergence pour la trajectoire d’état ………… 37

Figure (III.6) : Schéma fonctionnelle de la commande équivalente ………………... 40

Figure (III.7) : Grandeur de la commande équivalente equ ………………………... 41

Figure (III.8) : Attractivité de la surface ……………………………………………. 42

Figure (IV.1) : Ensemble flou type-2 Gaussien avec une moyenne incertaine …….. 46

Figure (IV.2) : Structure d’un système flou type-2 …………………………………. 47

Liste des figures

Figure (IV.3) : Structure globale de la commande proposée ……………………….. 56

Figure (IV.4) : Les états du système et le comportement chaotique dans le plan de

phase ………………………………………………………………...

57

Figure (IV.5) : Fonctions d’appartenance floues type-2 des ensembles antécédents.. 59

Figure (IV.6) : Réponses de position 1( )x t et erreurs de poursuite ………………… 59

Figure (IV.7) : Réponses de vitesse 2 ( )x t et erreurs de poursuite ………………….. 60

Figure (IV.8) : Surfaces de glissement ( )s t et plan de phase ………………………. 60

Figure (IV.9) : La commande globale u(t)…………………………………………... 61

Figure (IV.10) : Réponses de position 1( )x t et erreurs de poursuite …………………. 61

Figure (IV.11) : Réponses de vitesse 2 ( )x t et erreurs de poursuite ………………….. 62

Figure (IV.12) : Surfaces de glissement ( )s t et plan de phase ……………………… 62

Figure (IV.13) : La commande globale u(t) ……………………………………………….. 63

ABREVIATIONS ET SYMBOLES

SISO : Mono-entrée Mono-sortie.

IP : Indice de performance.

MRAC : Commande adaptative à modèle de référence.

MRAC : Commande adaptative par mode de référence.

MIAC : Commande adaptative indirecte du modèle.

CMG : La commande par modes glissants.

� : Fonction de Lyapunov.

d(t) : La perturbation du système.

EFT2 : Ensemble flou type-2.

EFT1 : Ensemble flou type-1.

DEDICACE

Je dédie ce modeste travail :

A mes très chers parents qui m’ont couvert d’amour, de soutient

qu’ils trouvent dans ce mémoire le fruit de leur travail :

Mon papa que je ne remercierai jamais assez pour tout ce qu’il a

fait pour moi, que dieu le garde à jamais,

Ma maman qui m’abreuve d’amour et d’affection intarissable,

source de mon bonheur et ma raison d’être,

A mes chers grand- parents que dieu les protège, ainsi que mes

oncles et tantes,

A mon unique frère Abd Alrahmene,

A mes sœurs Hanane, Amina, Naima, Yasmina et Aya,

A tous mes amis de la cité surtout : Kaltoum, Syhema, Nadia,

Sarah, Amina, Assia, Iman, khawla, Mbarka, Chahinez, Sara et

Mariem, a mon amie Abd anour.

A tous les enseignants qui m’ont aidé de proche ou de loin pour

être un jour un Master.

A tous les étudiants du département génie Electrique, surtout

les étudiants de la Master 2 Automatique promotion 2012.

A tous ceux qui m’ont aidé, de près ou de loin, même qu’il

soit un mot d’encouragement et de gentillesse.

Qu’ils m’excusent de ne pas pouvoir les citer au risque d’oublier

quelqu’un.

Safia

RRRREMERCIEMENTSEMERCIEMENTSEMERCIEMENTSEMERCIEMENTS

EEnn pprrééaammbbuullee àà ccee mméémmooiirree,, jjee ssoouuhhaaiittee aaddrreesssseerr iiccii mmeess rreemmeerrcciieemmeennttss àà ::

MMoonn ccrrééaatteeuurr ((DDIIEEUU)) ppoouurr mm’’aavvooiirr ddoonnnnéé ddee llaa ffoorrccee àà

AAccccoommpplliirr ccee ttrraavvaaiill ;;

JJee ttiieennss àà rreemmeerrcciieerr vviivveemmeenntt mmaa PPrroommoottrriiccee MMss KKAARRAA FFoouuzziiaa eett mmoonn

CCoo--pprroommootteeuurr MMrr CCHHEEBBBBAARRAA FFoouuaadd ppoouurr ll’’iimmpplliiccaattiioonn qquu’’iill aa ppuu

aavvooiirr ttoouutt aauu lloonngg ddee ccee ttrraavvaaiill,, ssoonn ssuuiivvii sseess ccoonnsseeiillss eett sseess oorriieennttaattiioonnss.

JJee ttiieennss ééggaalleemmeenntt àà rreemmeerrcciieerr lleess pplluuss vviiffss ss’’aaddrreesssseenntt aauussssii aauuxx

mmeessssiieeuurrss llee pprrééssiiddeenntt eett lleess mmeemmbbrreess ddee jjuurryy dd’’aavvooiirr aacccceeppttéé dd’’eexxaammiinneerr

eett dd’’éévvaalluueerr mmoonn ttrraavvaaiill..

INTRODUCTION GENERALE

~ 1 ~

INTRODUCTION GENERALE

L’objectif principal d’un automaticien est d’élaborer une loi de commande qui confère à

un procédé physique des propriétés désirées. Pour vérifier les performances d’une loi de

commande développée, une première approche consiste tout simplement à tester la validité de

cette dernière sur le procédé lui-même. Cette technique peut s’avérer dangereuse, parfois

même impossible à mettre en œuvre, comme par exemple dans le cas des structures spatiales,

nucléaires, etc. Une alternative consiste alors à concevoir un modèle mathématique du

procédé à commander, exploitable d’une part pour la synthèse du contrôleur et d’autre part

pour la simulation des performances obtenues en boucle fermée. Dans cette optique, le but

d’un automaticien est donc de développer des techniques permettant de :

a) proposer des méthodologies de synthèse de contrôleurs assurant les performances

recherchées (problème de commande ou problème de synthèse).

b) garantir, a priori, le bon fonctionnement d’une loi de commande avant même sa

mise en œuvre sur le procédé (problème d’analyse). [1]

D’une manière générale, les systèmes réels sont essentiellement non linéaires incertains

et sont soumis à des perturbations externes. La modélisation de ces systèmes relève, très

souvent, d'une approximation des phénomènes physiques mis en jeu. Or, c'est à partir de cette

représentation approximative des systèmes que l'on souhaite construire une commande pour le

système réel. Cette commande doit être alors robuste dans le sens où elle devra assurer une

faible sensibilité aux incertitudes sur les paramètres, à leurs variations et aux perturbations.

L’une des méthodes de commande non linéaire les plus connues, utilisant la géométrie

différentielle, est la commande par linéarisation exacte telle que la commande par retour

d’état. Cette dernière, est sensible aux variations paramétriques, donc il est toutefois possible

de la stabiliser en ajoutant un processus adaptatif au contrôleur non linéaire. [2]

La commande adaptative est très utile pour le système de commande lorsque la

dynamique du procédé est inconnue et/ou change au cours du temps. Cependant, ce type de

commande ne permet pas de garantir de bonnes performances de poursuite en présence des

perturbations externes ou des variations structurelles. D’où, la nécessitée de robustifier ces

structures de commande.

Cependant, cette loi de commande représente quelques inconvénients qui peuvent être

résumés en deux points, Le premier réside dans la nécessité d’avoir des informations précise

Introduction générale

~ 2 ~

sur l’évolution du système dans l’espace d’état et les bornes supérieures des incertitudes et

des perturbations. Ceci donne lieu au phénomène de broutement qui consiste en des variations

brusques et rapides du signal de commande, ce qui peut exciter les hautes fréquences du

processus et l’endommager. Le second réside dans l’utilisation de la fonction signe dans la

loi de commande pour assurer le passage de la phase d’approche à celle du glissement. [3]

Dans le but de réduire ou d’éliminer le phénomène de réticence, de nombreuses

solutions ont été proposées [4], [5], [6], comme la solution de couche limite, connue aussi par

le nom “boundary layer solution” [5], qui permet d’atténuer fortement le phénomène de

broutement, en trouvant un compromis entre l’importance du broutement et les performances

attendues du système comme la précision et la robustesse. Une nouvelle solution basée sur la

théorie du mode glissant d’ordre supérieur conduit à des lois de commande toujours

relativement simples et permet de réduire le phénomène de réticence, tout en conservant les

performances du système [7].

Pour le deuxième inconvénient, où la nature incertaine des systèmes non linéaires rend

difficile, si ce n’est impossible, de disposer d’une description analytique de la dynamique du

système, une solution à ce problème peut être envisagée à partir d’une représentation du

comportement du procédé non linéaire ou de la loi de commande par un modèle flou où les

relations entre les entrées, les sorties et les états sont exprimées par des règles floues [8].

La commande floue génère des régulateurs non linéaires qui sont en concordance avec

le fait qu’ils sont des approximateurs universels. Il devient alors possible de construire un

régulateur flou pour n’importe quel système non linéaire. Le plus souvent, les régulateurs

flous sont utilisés dans des systèmes qui possèdent des variations inconnues intrinsèques.

L’objectif est donc de conserver de bonnes performances du système complet en adaptant le

régulateur en fonction des variations du système. [9]

Donc, une nouvelle classe des systèmes flous appelée système flou type-2 dans

laquelle les valeurs d’appartenance des prémisses ou des conséquences sont elles-mêmes des

ensembles flous type-1. Les ensembles flous type-2 sont très efficaces dans les circonstances

où il est difficile de déterminer exactement les fonctions d’appartenance pour les ensembles

flous; par conséquent, ils sont très efficaces pour l’incorporation des incertitudes.

La commande par mode glissant (CMG), en raison de sa robustesse vis-à-vis des

incertitudes et des perturbations externes, peut être appliquée aux systèmes non linéaires

incertains et perturbés [4], [5]. Il s’agit de définir une surface dite de glissement en fonction

Introduction générale

~ 3 ~

des états du système de façon qu’elle soit attractive. La commande globale synthétisée se

compose de deux termes : le premier permet de faire approcher le système jusqu’à cette

surface, le second permet de le maintenir et le faire glisser le long de celle-ci.

Plusieurs approches ont été focalisées sur la combinaison des modes glissants avec la

commande adaptative où la dynamique du système incertain est approximée à l’aide d’un

système flou [10], [11]. L'idée principale est basée sur l’approximation de la dynamique du

système par des systèmes flous, et l’utilisation de la théorie des systèmes à structure variable

(CMG) pour la synthèse de la commande. La stabilité du système en boucle fermée et les lois

d’adaptation sont également déduites de l’étude de stabilité au sens de Lyapunov. Afin

d’éliminer le phénomène de broutement, l'introduction d'une bande de transition autour de la

surface de glissement qui permet de transformer la fonction signe en saturation, peut être une

alternative. [10]

Pour remédier à ces problèmes, plusieurs approches ont été présentées dans la

littérature. En effet, pour le premier inconvénient plusieurs travaux ont été focalisés sur la

combinaison des modes glissants avec la commande adaptative où la dynamique du système

incertain est approximée à l’aide d’un système flou.

Ce mémoire est organisé en quatre chapitres :

Dans le premier, nous présentons la commande adaptative floue avec ses différentes

structures, ainsi que les méthodologies de construction des lois d’adaptation. Cette commande

est utilisée pour commander une classe de systèmes non linéaires en utilisant la technique de

linéarisation entrée-sortie puis la méthode d’inversion du modèle.

Dans le second, nous définissons le formalisme de la logique floue et le raisonnement

associé. Nous présentons, aussi, la structure générale d’un contrôleur flou avec les différents

modèles utilisés dans sa conception ainsi que le théorème de l’approximation floue.

Dans le troisième, nous présentons le concept des techniques de commande par mode

glissant.

Dans le dernier, nous développons une loi de commande adaptative floue par mode

glissant des systèmes chaotique. Nous utiliserons un système flou de type-2 afin d’approximer

la loi de commande linéarisante. La stabilité du système et les lois d’adaptation sont déduites

à l’aide de la théorie de Lyapunov. Les résultats obtenus par simulations, sous

l’environnement Matlab, montrent l’efficacité de cette structure de commande.

CHAPITRE I : Commande Adaptative floue

Chapitre I Commande Adaptative Floue

~ 4 ~

I.1. Introduction

La commande adaptative est un ensemble de techniques utilisées pour l’ajustement

automatique en temps réel des régulateurs des boucles de commande afin de réaliser ou

maintenir un certain niveau de performances quand les paramètres du procédé à commander

sont soit inconnus soit variantes dans le temps. [12]

L’objectif de ce chapitre est de présenter les concepts de base liés à la commande

adaptative floue où une loi de commande adaptative floue linéarisante pour une classe de

systèmes non linéaires continus SISO capable d’assurer la stabilité est proposé pour le

problème de suivie de trajectoire. On abordera la technique de Linéarisation entrée-sotie et

son application pour déterminer un modèle inverse du processus. Par la suite, l’exemple du

pendule inversé est mis en ouvre montrer les avantages et limites de cette commande

adaptative floue.

I.2. Concept de la commande adaptative

En général, le système à contrôler possède des paramètres incertains au début de

l’opération de commande. Malgré que l’effet de cette incertitude paramétrique puisse

disparaitre en temps fini par un certain mécanisme d’ajustement, elle peut causer une

instabilité du système.

Dans d’autre cas, un phénomène inverse se produit, on démarre avec des paramètres

connus et certains, mais au cours de fonctionnement, ces paramètres perdent leurs valeurs

initiales et deviennent incertains, donc sans une mise à jour continuelle du régulateur, le

régulateur initial s’avère inefficace.

Dans de nombreuses situations, les systèmes de commande classique sont basés sur les

modèles à paramètres fixes, car ils ne peuvent prendre en charge les variations lentes ou

rapides de la dynamique des systèmes, d’où la nécessité d'introduire la notion de systèmes de

commande adaptative afin d'assurer les performances désirées. Pour cela, les paramètres du

régulateur (contrôleur) sont ajustés automatiquement sur la base des informations recueillies

du système.

L'adaptation est souhaitable pour deux raisons principales:


~ 5 ~

- L'affinement au cours du temps du réglage initial du système de commande

- La prise en compte des variations des paramètres du système à commander.

I.3. Le principe

En principe, un système de commande adaptative mesure un certain indice de

performance (IP) du système à commander à partir de l’écart entre l’indice de performance

désiré et l’indice de performance mesuré. Le mécanisme d’adaptation commande certains

paramètres du système ajustable ou introduit un signal supplémentaire de commande d’après

une certaine stratégie afin de minimiser l’IP, la figure (I.1) représente le principe général d’un

système dans une plage donnée de commande adaptative. [12]

Figure (I.1) : principe des systèmes de commande adaptative.

Trois approche ont été essentiellement considérées pour le développement des stratégies

de commande adaptative destinées aux procédés à paramètres inconnus et/ou variables dans le

temps, la commande adaptative peut être structurée selon les catégories suivantes :

- approximation des stratégies de commande optimale stochastique (Duale).

- système de commande auto-ajustable (self- tunning control).

- commande adaptative à modèle de référence (MRAC). [12]

I.4. Commande adaptative floue

Le plus souvent, les régulateurs flous sont utilisés dans des systèmes qui possèdent des

variations inconnues intrinsèques. L'objectif est donc de conserver de bonnes performances du

système complet en adaptant le régulateur en fonction des variations du système.


~ 6 ~

La commande adaptative floue se compose donc d'un régulateur flou adaptatif (soit

unique, soit choisi parmi un groupe de régulateur en fonction de ses performances). La chose

la plus importante qui différencie un régulateur adaptatif flou d’un régulateur adaptatif

conventionnel est que le premier peut prendre en compte des informations linguistiques. Ceci

qui est très important lorsque le système possède des incertitudes que l'opérateur humain a

appris à anticiper.

I.4.1. Commande adaptative floue directe et indirecte

Les régulateurs adaptatifs flous sont classés en deux catégories [13] :

I.4.1.1. Commande adaptative floue directe (auto-ajustable)

La loi de commande est directement approximée par un ou plusieurs systèmes adaptatifs

flous. La structure de cette commande est montrée sur la figure (I.2).

I.4.1.2. Commande adaptative floue indirecte (par modèle de référence MRAC)

Dans cette méthode on approxime d’abord le modèle du processus par des systèmes

adaptatifs flous puis on synthétise la loi de commande à partir du modèle approximé. La

figure (I.3) montre la structure de la commande adaptative floue indirecte.

Figure (I.2) : Commande adaptative floue directe.

Contrôleur adaptatif flou

Mécanisme d'adaptation

Processus

θ

)/( θxu

y+ry

−


~ 7 ~

Figure (I.3) : Commande adaptative floue indirecte.

I.4.2. Méthodes d'obtention des lois d'adaptation

Parmi les méthodes utilisées pour la détermination des lois d’adaptation, on cite la

méthode de Lyapunov et l’approche de descente du gradient.

I.4.2.1. Méthodes de Lyapunov

La méthode de Lyapunov [14] permet d'étudier la stabilité des systèmes complexes qui

sont décrits par des systèmes différentiels. La stabilité d'un système est la capacité de ce

dernier a revenir a sa position d'équilibre lorsqu il en est ponctuellement écarte. Il existe deux

méthodes pour démontrer la stabilité du système, directe et indirecte

I.4.2.1.1. Méthode directe de Lyapunov

L'étude de la stabilité des systèmes différentiels ),( txfx =& est énoncée par le théorème

suivant.

Théorème [14] :

Soit ),( txV une fonction candidate de lyapunov qui satisfait les conditions suivantes:

a) 0)(,0 >≠∀ xVx , 0),0( =tV et )(xV est de classe1C .

b) quand ∞→x , alors ∞→)(xV , fonctions indéfiniment croissante.

On définit la dérivée de la fonction de Lyapunov par :

Loi d'adaptation

Processus Contrôleur adaptatif flou

Systèmes flous

y

θ

),(ˆ θxf ),(ˆ θxg

)/( θxu

ry

−

+


~ 8 ~

),(),(),(),( txftxx

Vtx

t

VtxV

T

∂∂+

∂∂=&

(I.1)

où

∂∂

),( txx

V est le gradient de xtxV /),(

∂∂

∂∂

=),(

),(1

txx

V

txx

V

n

M .

Si 0)( <xV& , alors le système est asymptotiquement stable.

I.4.2.1.2. Méthode indirecte de Lyapunov

- Application à l'automatique dans le cas d'un système libre

Soit le système décrit par la représentation d'état suivante:

)(tAxx =& (I.2)

Il s'agit d'un système libre (pas de commande sur ce système la matrice B est nulle), on

considère une fonction de Lyapunov quadratique PxxxV T=)( , alors

xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxV TTTTTTT )()( +=+=+= &&& (I.3)

Théorème [14] :

Une condition nécessaire et satisfaisante pour que un système )(tAxx =& soit

asymptotiquement stable (ou les valeurs propres de Asont à parties réelles négatives) est que

0>=∀ TQQ , il existe une matrice symétrique et définie positive P, solution unique de

l'équation de Lyapunov :

0=++ QPAPAT (I.4)

- Application à l'automatique dans le cas général

Soit le système décrit par la représentation d'état suivante:

)()( tButAxx +=& (I.5)

On considère une fonction candidate de Lyapunov quadratique PxxXV T=)( , alors


~ 9 ~

PBuxPxBuxPAPAx

BuAxPxPxBuAxxPxPxxxVTTTTT

TTTTTTT

+++=

+++=+=

)(

)()()( &&& (I.6)

Soi la loi )()( 1 tPxBRtu T−−= qui stabilise le système par retour d'état et minimise le critère

dtuRuQxxJ TT∫

∞+=

0, par le Hamiltonien, alors

xPBPBRBRPPAPAx

PxBPBRxPxBBRPxxPAPAxxVTTTT

TTTTTTT

))((

)()(11

11

−−

−−

+−+=−−+=&

(I.7)

PPT = alors xPBPBRPAPAxxV TTT )2()( 1−−+=& (I.8)

Théorème [14]

Une condition nécessaire et satisfaisante pour que un système )()( tButAxx +=& soit

asymptotiquement stable est que 0>=∀ TQQ et 0>R , il existe solution uniquePde

l'équation de Riccati, symétrique et définie positive

02 1 =+−+ − QPBPBRPAPA TT (I.9)

Remarque :

Une autre forme de l’équation de Riccati est comme suit :

0)2

11(2

2=+−−+ QPB

rPBPAPA TT

ρ (I.10)

avec 0>= TQQ et 012

2≥−

ρr , où r est une constante positive et ρ représente un niveau

d'atténuation donné. Cette équation est utilisé généralement dans la robustification par∞H .

I.4.2.2. Méthode de descente du gradient [14]

La méthode de descente de gradient a été utilisée pour la première fois par Whitaker

dans son travail original, L'application de cette approche pour l'adaptation revient à utiliser la

règle de MIT.


~ 10 ~

Règle de MIT

Soit « e » l’erreur entre ym et y ( yye m −= ) et « θ » le vecteur des paramètres à

ajuster. Un critère à minimiser est proposé comme suit :

eJ 2

2

1)( =θ (I.11)

Par conséquent, pour que J soit petit il est raisonnable de changer les paramètres dans le sens

négatif du gradient de J.

∂∂−=

∂∂−=

θγθ

θγθ

ee

dt

d

J

dt

d

..

(I.12)

θ∂∂e

représente la sensibilité du système, γ détermine la vitesse d’adaptation des paramètres.

Le schéma de la figure suivante représente le modèle d’erreur.

Le choix du critère est arbitraire, si on pose

eJ = alors )(esigneJ

θγ

θ ∂∂−=

∂∂

(I.13)

La règle de MIT est performante si le gain d’adaptation γ est petit, mais sa valeur peut

dépendre de l’amplitude du signal de référence. Par conséquent, il n’est pas possible de

donner à γ des bornes fixes qui assurent la stabilité globale du système. Ceci montre que la

règle de MIT alors peut déstabiliser le système en boucle fermée. Il est possible d’obtenir des

procédures modifiées du gradient dans lesquelles le taux d’ajustement ne dépend pas de

Figure (II.4) : Modèle d’erreur

θs

γ -

θ∂∂ e

e


~ 11 ~

l’amplitude du signal de commande, une possibilité est de faire une normalisation est de

remplacer la règle de MIT par :

∂∂

∂∂+

∂∂

−=

θα

θγθ

e

θ

e

ee

dt

dT

.

(I.14)

Le paramètre 0>α a été introduit pour éviter une division possible par zéro. On peut aussi

introduire une saturation pour garantir que le taux d’ajustement des paramètres soit toujours

au dessous de la limite donnée, donc la règle d’ajustement (II.14) est devenir comme suit:

T

.,

ee

dSat

dt e e

θ θ

θ θγ β

α

∂ ∂= −

∂ ∂ + ∂ ∂

(I.15)

( )où ,

x

Sat x x x

x

β ββ β

β β

− < −= ≤ >

(I.16)

La méthode du gradient est basée sur la supposition que les paramètres θ changent plus

lentement que les autres variables dans le système. Cette supposition, est essentielle pour le

calcul des dérivées de la sensibilité qui sont nécessaires pour le mécanisme d’ajustement.

En fait, l’approche du gradient ne donne pas nécessairement un système stable en boucle

fermée, ce qui nous incite d’appliquer la théorie de la stabilité pour modifier le mécanisme

d’ajustement.

I.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les concepts de la commande adaptative floue, et

nous avons également donné le principe de la commande adaptative floue directe (auto-

ajustable) et indirecte (par mode référence).

Dans le chapitre suivant, la propriété d’approximation universelle des systèmes flous

sera exploitée pour détailler les systèmes flous type-2, ainsi l’approximation floue.

CHAPITRE II : Systèmes flous type-2

Chapitre II Systèmes flous type-2

~ 12 ~

II.1. Introduction

La logique floue a été introduite en 1965 par L. Zadeh comme une description

mathématique; bien que, le principe de cette idée a été connu plus tôt chez les philosophes et

les logiciens. Cette approche fait partie des méthodologies intelligentes, elle est inspirée de la

capacité de l’homme à prendre des discisions et agir de façon convenable malgré le flou

(l’incertitude) des connaissances disponibles. Elle a été introduite dans le but d’approcher le

raisonnement humain à l’aide d’une représentation adéquate des connaissances telles que la

base des règles et les fonctions d’appartenance, qui sont construites par l’introduction des

informations linguistiques et numériques fournies par l’expert humain. Mais généralement ces

informations sont entachées d’incertitudes qui peuvent parvenir de trois principales sources :

� Le sens des mots utilisés dans la construction des règles peut être incertain (un mot

veut dire différentes choses pour différentes personnes).

� Les mesures qui activent les systèmes flous type-1 peuvent être bruitées, ce qui

introduit une incertitude.

� Les données utilisées pour ajuster les paramètres des systèmes flous type-1 peuvent

être aussi bruitées.

Toutes ces incertitudes apparaissent au niveau des fonctions d’appartenance ce qui rend

les systèmes flous type-1 incapables de prendre en charge ces incertitudes. Par conséquent,

des systèmes flous type-2 (proposés toujours par L. Zadeh comme une extension des systèmes

flous type-1) sont introduits, dans ces nouveaux systèmes le degré d’appartenance des

antécédent et /ou des conséquents est représenté lui-même par un ensemble flou type-1.

Cependant; les ensembles flous type-2 sont très efficaces pour modéliser les incertitudes,

minimiser leurs effets dans la base de règles, et trouver une fonction d’appartenance

convenable quand la forme de cette dernière ou l’un de ces paramètres sont incertains.

Malheureusement, ces ensembles flous type-2 sont plus difficiles à définir et à utiliser que les

ensembles flous type-1. Mais, leur bonne manipulation d’incertitudes, non prises en charge

par les ensembles flous type-1, justifié leur utilisation. Actuellement, les SFT-2 ont été

utilisés dans diverses applications, on cite : la prise de décision, la résolution des relations

floues, la surveillance des processus, l’approximation des fonctions, le contrôle des robots

mobiles et le traitement de donnés.


~ 13 ~

Dans ce chapitre nous allons présenter les notions de base pour un système flou :

propriétés, opérations et relations des ensembles flous, où nous comparons entre les systèmes

flous type-1 est les systèmes flous type-2 par la description détaillée de leur structure, et

finalement on présente une certaine classe des systèmes flous (FBF) qui sont des

approximateurs universels.

II.2. Types de régulateurs flous

o Type 1: régulateur flou de type Mamdani : Dans ce type, les conclusions

sont symboliques ou linguistiques et le calcul de la sortie nécessite l’utilisation d’une

méthode de défuzzification.

o Type 2 : régulateur flou de type Sugeno: Ici, il n’y a pas de défuzzification.

En effet la conclusion de chaque règle est égale à une constante ou à une forme

polynomiale plus générale. La sortie finale est égale à la moyenne pondérée de la sortie

de chaque règle floue.

o Type 3: régulateur flou de type Tsukamoto : Dans ce cas, les sorties sont

des fonctions mono-toniques des variables d’entrées. La sortie totale est une moyenne

pondérée des degrés de confiances de chaque règle floue et des valeurs des fonctions

des variables de sortie. [15]

II. 3. Concept des ensembles flous de type-2 (EFT-2)

Le concept des ensembles flous type-2 a été introduit par Zadeh comme extension du

concept de l’ensemble flou ordinaire appelé ensemble flou type-1. Un ensemble flou type-2

est caractérisé par une fonction d’appartenance floue, c'est-à-dire, la valeur d’appartenance

(degré d’appartenance) de chaque ensemble flou dans [0 1]. De tels ensembles, peuvent être

utilisés dans les situations ou nous avons de l’incertitude dans les valeurs d’appartenance elle-

même. L’incertitude peut être soit dans la forme de la fonction d’appartenance ou dans l’un de

ses paramètres. Donc, les ensembles flous type-1 peuvent être considérés comme une

approximation du premier ordre de l’incertitude, alors que les ensembles flous type-2 seront

considérés comme approximation du deuxième ordre. Dans ce chapitre nous allons présenter

les principes de base et le fondement théorique de la logique floue type-2. [16]


~ 14 ~

II.4. Ensemble flou type-2

On se basera sur les définitions des ensembles flous type-1, afin de définir les

ensembles flous type-2 où le degré d’appartenance de chaque élément de ces ensembles est un

ensemble flou type-1. Dans ce qui vient on va présenter des définitions des ensembles flous

type-2 et quelques importants concepts associés. [16]

Définition 1 : Un ensemble flou type-2 dans X notéA~ , est caractérisé par une fonction

d’appartenance tridimensionnelle( )uxA

,~µ , où Xx∈ et [ ]1,0⊆∈ xJu :

( ) [ ]{ }1,0,),(),,(~

~ ⊆∈∀∈∀= xAJuXxuxuxA µ

(II.1)

Avec 0< ( )uxA

,~µ <1,

Définition 2 : Pour chaque valeur de x, noté xx ′= , le plan bidimensionnel dont ses axes sont

u et ( )uxA

,~ ′µ est appelé une tranche verticale (vertical slice) de ( )uxA

,~ ′µ , et la fonction

d’appartenance secondaire est une tranche verticale de ( )uxA

,~µ . Pour Xx∈ et

[ ]1,0' ⊆∈∀ xJu on a :

( ) [ ]∫ ∈⊆=′≡′=

''~~ .1,0)()(,

xJu xxAAJuufxuxx µµ

(II.2)

où 10 ' ≤≤ xf . Puisque Xx ∈∀ ' , alors la fonction d’appartenance secondaire noté par ( )xA~µ

est un ensemble flou type-1 (fig.II.1.b). Basé sur le concept des ensembles secondaires, on

peut réinterpréter un ensemble flou type-2 comme l’union de tous les ensembles secondaires :

[ ].1,0

)()(~

~

⊆

== ∫ ∫ ∫∈ ∈ ∈

x

Xx Xx xJu xA

J

xuufxxA µ

(II.3)

Pour un univers de discours discontinu on remplace l’intégral (∫) par la somme (∑).

Définition 3 : Le domaine de la fonction d’appartenance secondaire est appelé l’appartenance

primaire de x. Dans (II.3), Jx est l’appartenance primaire de x, où [ ]1,0⊆xJ Xx∈∀ .


~ 15 ~

Figure (II.1) : (a) Représentation d’un ensemble flou type-2 avec une fonction

d’appartenance principale Gaussienne, (b) Représentation de la fonction d’appartenance

secondaire de type Gaussienne pour x=4.

Définition 4 : L’amplitude de la fonction d’appartenance secondaire est appelée le degré

d’appartenance secondaire. Dans (II.3), )(uf x est le degré d’appartenance secondaire (figure

(II.1.b)).

Définition 5 : L’incertitude dans la fonction d’appartenance de l’ensemble flou type-2,A~

consiste en une région bornée appelée l’empreinte d’incertitude (Footprint Of Uncertainty :

FOU). C’est l’union de toutes les fonctions d’appartenance primaires (la surface sombre dans

figure (II.1.a) :

U

XxxJAFOU

∈

=)~

(

(II.4)

Définition 6 : Les fonctions d’appartenance supérieure et inférieure de A~ sont deux fonctions

d’appartenance type-1 qui représentent les frontières du FOU (figure (II.1.a)). La fonction

d’appartenance supérieure correspond à la borne supérieure du )~

(AFOU , et est notée )(~ xA

µ ,

,Xx ∈∀ et la fonction d’appartenance inférieure correspond à la borne inférieure de )~

(AFOU

, et est notée )(~ xA

µ , Xx∈∀ :

XxAFOUxA

∈∀= )~

()(~µ

(II.5)

XxAFOUxA

∈∀= )~

()(~µ

(II.6)


~ 16 ~

Définition 7 : Pour chaque entrée, seulement un degré d’appartenance secondaire est égal à 1.

On appelle l’ensemble de toutes les appartenances primaires qui ont une appartenance

secondaire égale à 1, une fonction d’appartenance principale [9]. Dans la figure (II.1.a) la

fonction d’appartenance principale est tracée par une ligne foncée. Le concept de la fonction

d’appartenance principale illustre le fait que les ensembles flous type-1 sont un cas particulier

des ensembles flous type-2, ayant une appartenance secondaire égale à l’unité pour une seule

appartenance primaire, et zéro pour toutes les autres.

Définition 8 : Un ensemble flou type-2 intervalle est un ensemble flou type-2 dont toutes les

fonctions d’appartenance secondaires sont des ensembles type-1 de forme intervalle, ce qui

fait que toutes les appartenances secondaires sont égales à 1 :

[ ] .,1,0,1)( XxJuuf xx ∈∀⊆∈∀= (II.7)

Les ensembles flous type-2 intervalle reflètent l’uniformité de l’incertitude au niveau de

la fonction d’appartenance primaire, ce type de fonctions d’appartenance est le plus souvent

utilisé dans les systèmes flous type-2. Notons que ce type de fonctions d’appartenance est

représenté seulement par ses domaines (intervalles) qui peuvent être exprimés en fonction des

bornes gauche et droite [l, r] ou par leurs centre et largeur [c-s, c+s] où c=(l+r)/2 et s=(r-l)/2.

II.5. Représentation des ensembles flous type-2

Figure (II.2) : Représentation tridimensionnelle d’une fonction d’appartenance d’un

ensemble flou type-2 avec une fonction d’appartenance principale gaussienne.


~ 17 ~

Les ensembles flous type-2 les plus utilisés sont de forme intervalle, Gaussienne, et

triangulaire. Le nom du type est pris de la forme du degré d’appartenance primaire. Notons

qu’il n’est pas nécessaire que la fonction d’appartenance principale soit de la même forme de

type d’ensemble utilisé.

II.6. Types d’ensembles flous type-2

Il existe différents types d’ensembles flous type-2 :

Ensemble flou type-2 gaussien : Le degré d’appartenance de chaque point est un

ensemble flou type-1 gaussien dont le domaine de définition est inclus dans

l’intervalle[ 1 , 0].

Ensemble flou type-2 triangulaire : Le degré d’appartenance de chaque point est un

ensemble flou type-1 triangulaire dont le domaine de définition est inclus dans

l’intervalle[1 , 0].

Ensemble flou type-2 intervalle : Le degré d’appartenance de chaque point est un

ensemble ordinaire dont le domaine de définition est inclus dans l’intervalle [1, 0].

Dans ce cas, les appartenances secondaires sont égales à 1. La figure (II.3) schématise

une fonction d’appartenance floue type-2 avec une zone d’incertitude. [17]

Figure (II.3) : Fonction d’appartenance d’un ensemble flou type-2


~ 18 ~

II.7. Opération sur les ensembles floue type-2

On a vu que le degré d’appartenance d’un ensemble flou type-2 est un ensemble flou

type-1; par conséquent, pour accomplir les opérations telles que l’union et l’intersection sur

les ensembles flous type-2 on a besoin d’être capable d’effectuer la t-conorme et la t-norme

entre deux ensembles flous type-1. Cela est fait en utilisant le principe d’extension de Zadeh.

[18]

Tableau (II.1) : Principales t-normes et t-conormes.

t-normes t-conormes

Zadeh (1973) min(x, y) max(x, y)

Bendler Kahout (1980) x.y x+y-x.y

Lukasiewicz, Giles (1976) max(x+y-1,0) max(x+y, 1)

Weber (1983)

==

ailleurs

xsiy

ysix

0

1

1

==

ailleurs

xsiy

ysix

0

0

0

Hamacher (1978) 0>γ ( )( )yxyx

yx

.1

.

−+−+ γγ

( )( ) yx

yxyx

.11

.2

γγ

−−−−+

Dubois et Parade (1986) [ ]1,0∈α ),,max(

.

αyx

yx

( )( )αα

α,1,1max

1,,min.

y

yxyxyx

−−−−++

Considérons deux ensembles flous type-2, A~ etB

~ , dans l’univers X. Soit A~µ et

B~µ les

degrés d’appartenance (ensembles flous dans[ ]1,0∈xJ ) de ces deux ensembles, représenté

pour chaque x, par ( )∫=u xA

uufx)(~µ et ( )∫=w xB

wwfx)(~µ , respectivement, où u, w∈Jx

indique les degrés d’appartenance primaire de x, et fx(u), gx(w)∈ ]1,0[ indique les degrés

d’appartenance secondaire de x. Le degré d’appartenance de l’union, l’intersection et le

complément des ensembles flous type-2, A~ et B

~ , sont définis comme suit [19] :

Union : ( ) ( )∫ ∫ ∨∗=∪=⇔∪ ∪ u w xxBABAwuwgufxBA )()()(

~~~~~~ µµµ

(II.8)


~ 19 ~

Intersection : ( ) ( )∫ ∫ ∗∗=∩=⇔∩ ∩ u w xxBABAwuwgufxBA )()()(

~~~~~~ µµµ

(II.9)

Complément :

( )∫ −=¬=⇔u xAA

uufxxA 1)()()(~

~~ µµ

(II.10)

où ∨ représente le maximum t-conorme et ∗ représente la t-norme. Les intégrales

représentent l’union logique. Dans qui va suivre, nous appellerons les opérations, ¬∩∪ , ,

l’opération ''join'', ''meet '', et négation, respectivement. Les mêmes notations seront adoptées

pour le cas discret en remplaçant les intégrales par des sommations. Notre but est d’obtenir

des algorithmes qui nous permettrons de réaliser les opérations ''join'', ''meet '' et la

complémentation.

II.7.1. Opérations "join" et "meet" sous le minimum t-norme

Supposons que nous avons n ensembles flous type-1 réels, normales et convexes

nFFF ,,, 21 K caractérisés par les fonctions d'appartenance nfff ,,, 21 K , respectivement.

Soient nvvv ,,, 21 K des nombres réels tels que nvvv ≤≤≤ K21 et

1)()()( 2211 ==== nn vfvfvf K . En utilisant le maximum t-conorme et le minimum

t-norme, l’opération "join" peut être exprimée par :

,

,),(V

11,),(

,),(

)(

1

11

11

1

≥

−≤≤<≤Λ

<Λ

=∪=

++=

=

=

nini

kkin

ki

ini

Fni

vf

nkvvf

vf

i

θθθθ

θθθµ

(II.11)

et l’opération "meet" peut être exprimée par :

,

,),(

11,),(

,),(V

)(

1

11

11

1

≥Λ

−≤≤<≤Λ

<

=∩=

+=

=

=

nini

kkiki

ini

Fni

vf

nkvvf

vf

i

θθθθ

θθθµ

(II.12)

II.7.2. Opération "join " sous le produit t-norme

Supposons que nous avons n ensembles flous type-1 réels, normales et convexes

nFFF ,,, 21 K caractérisés par les fonctions d'appartenance nfff ,,, 21 K , respectivement.

Soient nvvv ,,, 21 K des nombres réels tels que nvvv ≤≤≤ K21 et


~ 20 ~

1)()()( 2211 ==== nn vfvfvf K . Alors, l’opération "Join" peut être exprimée par :

,

,),(V

11,,)(

,,)(

)(

1

11

11

1

≥

−≤≤<≤

<

=∪=

+=

=

=∏∏

nini

kk

n

i i

n

i i

Fni

vf

nkvvf

vf

i

θθ

θθ

θθ

θµ

(II.13)

II.7.3. Opération "meet " sous le produit t-norme

L'opération "meet" sous le produit T-norme entre deux EFT-1 F et G caractérisées par

des fonctions d’appartenance f et g respectivement, peut être exprimée par:

( )∫ ∫=∩v w

vwwgvfGF )()( (II.14)

Figure (II.4) : Les opérations "join" et "meet" entre des Gaussiennes. (a) Les 4 Gaussiennes

utilisées, (b) L’opération "join" avec le minimum t-norme, (c) L’opération "meet" avec le

minimum t-norme et (d) L’opération "join" avec le produit t-norme.

Chapitre II

II.8. Les systèmes flous de type

II.8.1. La structure de système flou type

Un contrôleur flou classique est composé d'une interface de fuzzification, une base de

règles, un système d'inférence et une interface de défuzzification. La structure du

contrôleur flou type-2 est similaire à celui classique avec la particularité de l

d’un réducteur de type pour convertir les ensembles flous type

d’inférence en ensembles flous type

opérations sont illustrées sur la figure suivante :

Figure (II.5)

(a) l’ensemble de type réduit (b) la valeur

II.8.2. Fuzzification

L’interface de fuzzification fait correspondre à l'entrée déterministe un ensemble flou

qui peut être généralement un EFT

Système

~ 21 ~

II.8. Les systèmes flous de type-2

a structure de système flou type-2



2 est similaire à celui classique avec la particularité de l

un réducteur de type pour convertir les ensembles flous type-2 à la sortie du système

inférence en ensembles flous type-1 avant la phase de défuzzification [1

opérations sont illustrées sur la figure suivante :

: Structure d’un système flou type-2, avec ses deux sorties

(a) l’ensemble de type réduit (b) la valeur défuzzifiée


qui peut être généralement un EFT-2. Cependant, dans ce qui suit, nous utilisons seulement

Systèmes flous type-2



2 est similaire à celui classique avec la particularité de l’utilisation

2 à la sortie du système

17]. Ses différentes

2, avec ses deux sorties :

défuzzifiée. [14]


2. Cependant, dans ce qui suit, nous utilisons seulement


~ 22 ~

une fuzzification par singleton pour laquelle l'ensemble flou d'entrée possède uniquement un

seul degré d'appartenance non nul.

II.8.3. Base de Règle :

Dans le cas de type-1, nous avons généralement des règles de la forme ‘IF-THEN’, ou

la Iième règle possède la forme suivante :

",:" 2211l

ppl GisyTHENFisxandandFisxandFisxIFR K (II.15)

où pp XxXxXx ∈∈∈ ,,, 2211 KK sont des entrées, liF sont des ensembles des prémisses tel

que (i = 1, . . ., p), yЄ Y la sortie, et lG sont les ensembles des conséquences.

La différence entre le type-1 et le type-2 réside seulement dans la nature des fonctions

d’appartenance, donc, la structure des règles dans le cas du type-2 va reste exactement la

même, la seule différence étant que quelques (ou toutes) les fonctions d’appartenance seront

de type-2 ; alors, la Iième règle d’un système flou type-2 aura la forme

"~

,~~~

:" 2211l

ppl GisyTHENFisxandandFisxandFisxIFR K

(II.16)

Il n’est pas nécessaire que toutes les fonctions d’appartenance des prémisses et des

conséquences soient de type-2. Il suffit qu’une seule fonction d’appartenance dans une

prémisse ou dans une conséquence soit de type-2 pour que tout le système soit de type-2.

[14]

Pour un système multi-entrées multi-sorties (MIMO) la base de règles peut être

considérée comme un groupe de base de règles multi-entrées une seule sortie (MISO); donc,

il est suffisant de se concentrer sur la base de règles (MISO) seulement.

II.8.4. Mécanisme d’inférence

Considérons un système flou type-2 ayant p entrées pp XxXxXx ∈∈∈ ,,, 2211 KK et

une sortie Yy ∈ . Supposons qu'on a M règles où la lème règle a la forme (II.15). Cette règle

représente une relation floue de type-2. Nous dénotons la fonction d’appartenance de cette


~ 23 ~

relation floue type-2 par ),(~~~1

yxllp

l GFF →××Kµ où { }pxxxx ,,, 21 K= , et l

pl FF

~~1 ××K dénote le

produit cartésien de lp

ll FFF~

,,~

,~

21 K .

Figure (II.6) : Illustrations du produit et du minimum d’inférence dans le cas du type-2

(a) ensemble antécédent Gaussien de type-2 pour un système à une entrée, (b) ensemble

conséquent correspond à l’ensemble antécédent montré dans (a), (c) ensemble de sortie pour

x=4 utilisant le produit d’inférence, (d) ensemble de sortie pour x=4 utilisant le minimum

d’inférence.

Quand une entrée x' est appliquée, la composition de l'ensemble flou'~X , à qui x'

appartient, et la règle Rl est formée en utilisant une version étendue de la composition "sup-

star" :

)],()([)( ~~1

~'~'~'~~~

1~ yxxy lGl

pFlFXXXxlGlpFlF →××∈→××

∩∪=KoK

µµµ

(II.17)

Nous utilisons une fuzzification par singleton, c’est à dire que l'ensemble flou '~X a un

degré d'appartenance égal à 1 pour x = x' et égal a zéro pour toutes les autres entrées (x ≠x'),

µ

x x

x

x x

µ µ

µ


~ 24 ~

(chacune des entrées est considérée comme une mesure parfaite), alors la relation (II.16) se

réduit à :

)],'()( ~~1

~~~1

~'

~ yxy lGlpFlFlGl

pFlFX →××→××=

KKoµµ

(II.18)

Nous désignons la relation llp

l GFFX~

'~

1 →××Ko par lB~ , qui correspond à l’ensemble

de sortie. Le second membre de (II.17) est calculé en utilisant l’implication minimum ou

produit [21] (qui correspondra à l’opération meet sous le minimum ou le produit t-norme dans

le cas du type-2), donc (II.17) peut être écrite comme :

)]()'()( ~~1

~~ yxy lGlpFlFlB

µµµ ∩=××K

(II.19)

La fonction d’appartenance du produit cartésien est obtenue en calculant le ‘‘meet’’

entre les ensembles individuels [18], et l’expression (II.18) peut être réécrite comme suit :

∩=

∩∩∩∩=

∏ =)()(

)()()()()(

1 ~~

~~22

~11

~~

i

p

i liFlG

lGplpFlFlFlB

xy

yxxxy

µµ

µµµµµ K

(II.20)

La figure (II.6) montre un exemple du produit et du minimum d’inférence pour un

système flou type-2.

II.8.4.1. Inférence dans les systèmes flous type-2 intervalle

Le système d'inférence dans un système flou type-2 utilise la base de Une règle d’un

système flou type-2, pour effectuer une relation entre un vecteur d'entrée

Tnxxxx ),,,( 21 KK= et la sortie scalaire y.

La première étape dans l’opération d’inférence floue est le calcul de l’intervalle

d’activation associé à lième ensemble flou de sortie :

)()(1

~'

i

n

iliF

xxF ∏=

= µ (II.21)

En suite, si on note par LB~ l’ensemble flou de sortie correspondant à la composition de

la Iiéme règle Rl et l’ensemble flou d’entrée '~X , l’ensemble Fl (x’) est combiné avec l’ensemble


~ 25 ~

flou conséquent LG~

de la Iiéme règle à l’aide de l’opérateur t-norme choisie ∩ pour obtenir

l’ensemble flou de sortie correspondant à la Iiéme règle :

)()()( '~~~ xyy lFlGlB

µµµ ∩= (II.22)

En utilisant une fuzzification singleton, c'est-à-dire le degré d’appartenance pour

l’ensemble flou '~X n’a une valeur qui est unitaire que lorsque x=x’ alors :

)(~ ylBµ = )(~ ylG

µ ∩ )(1

~ i

n

iliF

x∏=

µ (II.23)

Comme seulement les ensembles flous type-2 intervalle sont utilisés et l’opération t-

norme produit est mise en œuvre, alors l’intervalle d’activation associé au Iiéme ensemble flou

de sortie est l’ensemble flou type-1 intervalle défini par :

)](),([)(' xfxfxF ll= (II.24)

Ou )(*....)(*)()( 22

11

nlnFlFlF

l xxxxf µµµ ∗= et )(*....)(*)()( ~22

~11

~nl

nFlFlFl xxxxf µµµ ∗= .s

Les termes )(~ iliF

xµ et )(~il

iF xµ sont respectivement des degrés d’appartenance

inférieur et supérieur relatifs à )(~ iliF

xµ . [14]

II.8.5. Le module de traitement de la sortie

Le module de traitement de la sortie se compose de deux blocs , le réducteur de

type et l’interface de défuzzification. Les méthodes de réduction de type donnent un EFT-1 à

partir de l’EFT-2 obtenu à la sortie du mécanisme d'inférence. L'ensemble résultant obtenu

par la réduction de type sera par la suite défuzzifié pour obtenir une sortie numérique

(déterministe).

II.8.5.1. Réduction de type :

Dans un système flou type-1, où les ensembles de sortie sont des ensembles flous type-

1, nous effectuons la défuzzification dans le but d’obtenir une valeur numérique (ensemble

type-0) représentant la combinaison des ensembles de sortie.


~ 26 ~

Dans le cas du type-2, les ensembles de sortie sont des ensembles de type-2; donc nous

devons utiliser des versions étendues des méthodes de déffuzification de type-1 appelées la

réduction de type [12]. Cette opération va transformer l’ensemble flou type-2 résultant en un

ensemble flou type-1 appelé ensemble type réduit, qui sera défuzzifié par la suite. Cet

ensemble type réduit résultant prend en considération plus d’information au sujet des

incertitudes des règles que la valeur défuzzifiée (un nombre).

Parmi les méthodes de réduction de type utilisées on cite :

La réduction de type par le centre de gravité.

La réduction de type par la hauteur.

La réduction de type par le centre des ensembles.

II.8.6. Défuzzification

A la fin de l’étape de la réduction de type, on obtient un EFT-1, type réduit, et puisque

les entrées du système à commander sont des valeurs précises, alors il est nécessaire de

transformer l’ensemble type réduit en une valeur numérique bien déterminée [14]. Parmi les

méthodes utilisées pour la défuzzification, on cite la défuzzification par le centre de gravité.

La façon la plus naturelle de faire ceci est de trouver le centre de gravité de l’ensemble

type réduit. Le calcul du centre de gravité est équivalent à trouver une moyenne pondérée des

sorties de tous les ensemble flou type-1 imbriqués dans le système flou type-2, où les poids

correspondent aux appartenances dans l’ensemble type réduit.

Si l'ensemble type réduit Y, pour une entrée x, est discrétisé en N points, l'expression de

son centre de gravité est :

∑

∑

=

==N

kkY

N

kkYk

Y

y

yyxC

1

1

)(

)()(

µ

µ

(II.25)

II.9. Réduction de type pour les systèmes flous type-2 intervalle

Pour un système flou type-2 intervalle, le degré d’activation ainsi que l'ensemble de

sortie, correspondant à chaque règle, sont des ensembles flous type-1 intervalles.


~ 27 ~

Tableau (II.3) : Significations de , , , et iii i

l ry y f f M

Méthode de

réduction de

type

Définition de et i il ry y

Définition de

et iif f

M

L’utilisation de la

l’algorithme de

Karnik et Mendel

Centre des

ensembles

les points limites

gauche et droite de

l’ensemble conséquent

du iéme règle

Le degré

d’activation

supérieur et

inférieur de la

iéme règle

Nombre des

règles

( ) 2cl

cll RLc +=

( ) 2cl

cll RLs −= .

2)( iii RLh +=

( ) 2iii LR −=∆ .

Centre de

gravité

(controide)

i i il ry y y= = le i ième

point dans l’univers de

discours discrétisé

Le degré

d’appartenance

supérieur et

inférieur du iéme

point du

domaine de la

sortie, discrétisé

Le nombre

des points de

discrétisation

, 0i l ly c s≡ = ,

2)( iii RLh +=

et

( ) 2iii LR −=∆

Hauteur

i i il ry y y= = un point

dans le domaine de

l’ensemble conséquent

de la iéme règle,

généralement choisit

comme le point ayant

le plus haut degré

d’appartenance

primaire dans fonction

d’appartenance

principale de la sortie

Le degré

d’activation

supérieur et

inférieur de la

iéme règle

Nombre des

règles

, 0i l ly c s≡ = ,

2)( iii RLh +=

et

( ) 2iii LR −=∆

Nous avons vu que la formule de réduction de type pour un système flou type-2 intervalle

et donné par :


~ 28 ~

[ ]11 1 1 1 11, , , ,

1

( ) 1 ( ), ( )

Mi i

iTR l rMM M M M MMy y y y y y f f f f f fl r l r i

i

f yY x y x y x

f

= ∈ ∈ ∈ ∈

=

= ∫ ∫ ∫ ∫ =∑

∑K K

(II.26)

Le Tableau (II.3) donne les définitions de , , , et iii i

l ry y f f M de (I.72), ainsi que la

manière d’utiliser l’algorithme de Karnik-Mendel pour chaque méthode de réduction de type.

Notant que l’intervalle [ ],i iL R présente le domaine de l’ensemble de sortie ( )iByµ % . Dans le

cas de réduction de type par la méthode des centre des ensembles, la procédure itérative sera

appliqué deux fois, une fois pour calculer le centre de gravité Cl = ,c cl lL R de chaque

ensemble conséquent de type-2 , et une autre pour calculer le degré d’activation de chaque

règle.

II.10. Approximation floue

Le choix de la méthode de fuzzification, la stratégie d’inférence et de la méthode de

défuzzification permet d’établir différentes classes de systèmes flous. Parmi ces classes, celle

utilisant une fuzzification par singleton, une défuzzification par le centre de gravité, et le

produit d’inférence, représentent toutes les fonctions RRUf n →⊂:: de la forme

suivante : [21]

( )( )

( )

11

11

lk ny xii lFl iy xk n xii lFi i

µ

µ

∑ ∏ = = = ∑ ∏ = =

(II.27)

où 1

( ,..., ) ,T l

nx x x U y= ∈ est le point auquel

( )( )

lGyµ prend sa valeur maximale (en

général, on prendra( )

( ) 1l

lGyµ = ), et l l

iF et G sont les ensembles flous. Si on fixe ( )

l iFi

xµ et

on considère ly comme des paramètres ajustables, alors (II.27) peut être réécrite comme :

( ) ( )Ty x xθ ξ= (II.28)


~ 29 ~

où 1( , ... , )M Ty yθ = est un vecteur de paramètres et 1( ) ( ( ), ... , ( ))M Tx x xξ ξ ξ= est un

vecteur (des fonctions floues du base) régressif avec le régresseur ( )l xξ défini comme :

1

11

( )( )

( )

n

i l iFl iM

n

i l iFil

xx

x

µξ

µ

=

==

Π=

Π

∑ (II.29)

Les contrôleurs adaptatifs flous basés sur la relation précédente seront relativement

faciles à concevoir et à analyser, mais l’inconvénient d’utiliser cette forme réside dans le fait

de ne pas pouvoir ajuster les fonctions d’appartenance )(xliF

µ durant la procédure

d’adaptation. Pour cela on introduit une deuxième classe de systèmes flous définis par une

fuzzification par singleton, défuzzification par centre de gravité et en utilisant le produit

d’inférence et des fonctions d’appartenance gaussiennes.

Ce nouveau système est représenté par l’ensemble de toutes les fonctions

: RRUf n →⊂ de la forme :

∑ ∏

∑ ∏

= =

= =

−−

−−

=M

1i 1

2

M

1i 1

2

2

1exp

2

1exp

n

i li

lii

n

i li

liil

xx

xxy

y(x)

δ

δ

(II.30)

où les paramètresly ,l

ix , liδ >0 sont des paramètres réglables.

Il a été prouvé par Wang dans [22] que ces systèmes (II.30) sont des approximateurs

universels, capables d’approximer toute fonction réelle continue sur un ensemble compact U

avec une précision arbitraire donnée.

Pour le cas des systèmes flous type-2, la propriété de l’approximation universelle est

conservée et (II.29) reste valable avec une phase supplémentaire de réduction de type. Dans

notre thèse on utilisera les systèmes flous type-2 intervalle avec une réduction de type par le

centre des ensembles représentée par (II.27).


~ 30 ~

On observe que chaque ensemble de (II.27) est un intervalle type-1 qui implique que

YTR est un intervalle type-1 qui peut être déterminé par ses deux points limites. Le maximum

de y est yr, et son minimum est yl ; TRy y∀ ∈ , y peut être écrit comme :

1

1

Mi i

iM

i

i

f yy

f

=

=

=∑

∑ (II.31)

Le point yr est associé seulement avec iry , de même yl est associé seulement avec i

ly .

D’après l’algorithme Karnik et Mendel [24], les points yr et yl dépendent seulement d’une

mixture des valeurs i

f ou if , quand ,iii if F f f ∈ =

, dans ce cas, chaque point yr et yl

peut être représenté par un développement en FBF [9] :

1

1

1

Mi i

l f Mi ii

l l lMi i

li

f yy y

fξ=

=

=

= =∑

∑∑

(II.32)

où ilf représente le degré d’activation (soit ou

iif f ) contribuant au point limite gauche ly ,

et ilξ exprime la FBF, donner par :

1

ii ll M

il

i

f

fξ

=

=∑

(II.33)

Similairement

1

1

1

Mi i

r f Mi ii

r r rMi i

ri

f yy y

fξ=

=

=

= =∑

∑∑

(II.34)

où irf représente le degré d’activation (soit ou

iif f ) contribuant au point limite droite ry , et

irξ exprime la FBF, donner par :

1

ii rr M

ir

i

f

fξ

=

=∑

(II.35)


~ 31 ~

On conclu qu’un système flou type-1 est caractérisé par un seul développement en FBF,

alors qu’un système flou type-2 intervalle est caractérisé par deux développements en FBF. Il

est à noté qu’un système flou type-2 de forme générale est caractérisé par un nombre énorme

des développements en FBF [23], ce la signifie que les calculs sont largement réduits par

l’utilisation des systèmes flous type-2 intervalle.

II.11. Conclusion

Dans ce chapitre, plusieurs notions de base de la théorie de la logique floue type-1 sont

présentées ainsi leur extension à la logique floue type-2 telle que, les propriétés des ensembles

flous, les opérations sur ces ensembles, les relations floues et leur composition.

La structure des systèmes flous type-1 et type-2 ainsi le fonctionnement de leurs

différents blocs constituant sont détaillés. Le bloc de défuzzification dans le cas des systèmes

flous type-2 contient un module supplémentaire qui consiste en une réduction de type.

Différentes méthodes de réalisation de cette réduction de type sont exposées.

Dans le chapitre suivant, la propriété d’approximation universelle des systèmes flous

sera exploitée pour détailler la commande adaptative par mode glissant pour des systèmes non

linéaires incertains SISO.

CHAPITRE III : Commande par mode glissant

Chapitre III Commande par mode glissant

~ 32 ~

III.1. Introduction

Les processus physiques sont le plus souvent non linéaires, mal définis et à paramètres

variables ce qui les rend très difficiles à commander avec précision. Donc une commande

classique (PID par exemple) ne peut être satisfaisante pour de nombreux systèmes, car de

telles commandes ne donnent de bons résultats que dans le cas des systèmes linéaires à

paramètres constants. La solution réside donc, dans l’application de nouvelles techniques de

commande assez insensibles aux perturbations et aux variations des paramètres du système à

commander.

La technique de commande considérée ici est une classe particulière des systèmes à

structure variable basée sur la théorie des systèmes à structure variable. La théorie de réglage

par mode de glissement est apparue depuis le début des années 60, et a été étudiée et

développée exclusivement en union soviétique. Par la suite, de nombreuses recherches ont été

menées partout ailleurs, soit pour compléter l’étude théorique, soit pour l’appliquer aux

systèmes physiques [25].

Ce type de commande présente plusieurs avantages tels que robustesse, précision

importante, stabilité et simplicité. Ceci lui permet d’être particulièrement adaptée pour traiter

les systèmes qui ont des modèles mal connus, soit à cause de problèmes d’identifications des

paramètres, soit à cause de simplification sur le modèle du système.

Dans ce qui suit, nous présenterons quelques aspects théoriques des commandes par

mode glissant ; nous commencerons par les éléments théoriques de base de la commande par

mode glissant, les conditions de son existence. Ensuite nous allons détailler la démarche de

synthèse d’une commande par mode glissant et indiquer son domaine d’application. Enfin,

nous mettrons le point sur les problèmes majeurs induits par les commandes par mode

glissant.

III.2. Système à structure variable

La commande à structure variable (CSV), par sa nature, est une commande non linéaire

[26]. Elle est basée sur la commutation de fonctions de variables d'état, utilisées pour créer

une variété ou hypersurface de glissement, dont le but est de forcer la dynamique du système

à correspondre à celle définie par cette dernière. Lorsque les trajectoires d’état sont

maintenues sur cette hypersurface, le système se trouve en régime glissant. Sa dynamique est


~ 33 ~

alors insensible aux perturbations extérieures et paramétriques tant que les conditions du

régime glissant sont assurées. Aujourd'hui, la commande par mode glissant est appliquée avec

succès à une grande variété de systèmes technologiques, tels que la robotique, l’avionique, les

systèmes d'alimentation, etc….

La technique de mode glissant consiste à amener la trajectoire d’état d’un système vers

la surface de glissement et de l’y maintenir à l’aide d’une logique de commutation appropriée

autour de celle-ci jusqu’au point d équilibre, d’où le phénomène de glissement.

Dans les systèmes à structure variable utilisant la commande par mode de glissement,

on peut trouver trois configurations de base pour la synthèse des différentes commandes de ce

type.

III.2.1. Structure par commutation d’une contre réaction d’état

La configuration de la structure par commutation d’une réaction d’état est représentée à

la figure (III.1).

Selon la position du commutateur, le vecteur d’état x est mis en contre-réaction d’état

soit par –k1 soit par –k2 ceci se fait à l’aide de la loi de commutation s(x).

�� )(1 xkT− si s�x 0� � )(2 xkT− si s�x 0� (III.1)

Le comportement dynamique du système ∑ est déterminé par s(x)=0.

Figure (III.1) : Changement de structure par commutation d’une contre-réaction d’état


~ 34 ~

III.2.2. Structure par commutation au niveau de l’organe de commande

Figure (III.2) : Changement de Structure par commutation au niveau de l’organe de

commande

Dans ce cas de configuration, la loi de commutation est donnée par :

( ) 0( )

( ) 0

u S xf x

u S x

+

−

>= <

(III.2)

Cette structure correspond au fonctionnement tout ou rien des interrupteurs de

puissance associés dans une grande majorité d’application aux variateurs de vitesse.

En mode de glissement (ou régime glissant), la dynamique du système ∑ est donnée par

s(x)=0.

Cette configuration s’adapte bien pour la commande de convertisseurs électriques dont

l’organe de commande est un interrupteur.

III.2.3. Structure de régulation au niveau de l’organe de commande, avec ajout de la

commande équivalente

Le schéma d’une telle structure est représenté à la figure (III.3). Cette structure de

commande est simple à réaliser et à été utilisée dans beaucoup d’applications, L’ajout de la

commande équivalente permet de prépositionner le système dans un état désiré stable et en

plus de réduire le phénomène de chattering.


~ 35 ~

Figure (III.3) : Changement de structure avec ajout de la commande équivalente

Le terme de commutation ud assure principalement la convergence des trajectoires du

système vers l’état désiré et assure son maintien. La loi de commutation est donnée par : [27]

� deq uu + si s�x � 0deg uu − si s�x 0� (III.3)

Une telle structure dont le principe est montré sur la figure (III.3), présente un réel

avantage. Elle permet de prépositionner l’état futur du système grâce à la commande

équivalente qui n’est rien d’autre que la valeur désirée du système en régime permanent.

L’organe de commande est beaucoup moins sollicité, mais on est plus dépendant des

variations paramétriques du fait de l’expression de cette commande équivalente. [28]

III.3. Définitions

On vue que l’approche par mode glissant présente un vocabulaire particulier, nous

commençons par exposer quelques définitions utiles. Les définitions concernent : la fonction

de commutation, l’hyperplan de commutation, le régime glissant et la surface de glissement

� Définition 1

Fonction de commutation La structure de commande est caractérisée par le signe d’une

fonction vectorielle S(x) appelée fonction de commutation. Dans le cas de modèles linéaires,

la fonction de commutation est choisie comme une fonction linéaire de l’état:


~ 36 ~

mxnT

m

T

n

RC

CxxxxxS

cccsss

∈=

==

]...[

)]()...()([)(

21

21

(III.4)

Avec ci est une vectrice ligne.

Chaque fonction scalaire de commutation Sj (x) décrit une surface linéaire Sj (x)=0.

� Définition 2 : hyperplan de commutation

La surface de commutation est associée au système de commande à structure variable

défini précédemment :

m1,

..

..

..

,

j 0

},(x

)s:R{x j

n ==∈=jS (III.5)

� Définition 3: régime glissant

Si, pour tout vecteur d’état initial x(t0) ∈ S , la trajectoire d’état reste dans l’hyper

surface S, x(t) ∈S ∀ t>t0 alors x(t) est un régime glissant pour le système.

� Définition 4: surface de glissement

Si tout point de S est définit tel qu’il existe des trajectoires d’état hors de S, alors le

contenant de la surface de commutation S est appelé surface de glissement.

III.4. Notions de bases

Avant d’appliquer les méthodes utilisées dans la synthèse de la commande de système

par mode de glissement, nous introduisons quelques notions de bases concernant ce dernier.

II.4.1. Régime glissant idéal

En théorie, l’organe de commutation est supposé insensible aux bruits, et la trajectoire

en régime glissant est décrite parfaitement par l’équation ( ) 0S x = . Le régime glissant idéal

correspond à une oscillation de fréquence infinie et d’amplitude nulle du point représentatif

de l’évolution du système qui glisse parfaitement sur la surface de commutationS . La figure

(III.4.a)


~ 37 ~

II.4.2. Régime glissant réel

En pratique l’organe de commutation est réalisé à partir de relais qui présentent des

imperfections comme les retards de commutations, dans ce cas la trajectoire d’état du régime

glissant reste au voisinage de la surface de commutation donnant naissance à des oscillations

indésirables qui réduisent la précision du système et non la stabilité. Figure (III.4.b)

Figure (III.4) : (a) : Glissement idéal (b) : Glissement réel

III.5. Principe du contrôleur à mode glissant

Le principe de la commande par mode glissant est de forcer le système à atteindre une

surface donnée appelée surface de glissement en fonction des objectifs de commande, fixant

la dynamique en boucle fermée : c’est le mode de convergence, puis par la synthèse d’une

commande discontinue qui permet aux trajectoires du système à atteindre et, ensuite, à rester

sur cette surface : c’est le mode de glissement. [27]

Figure (III.5) : Différents mode de convergence pour la trajectoire d’état.


~ 38 ~

La conception du contrôleur à mode glissant passe par deux étapes essentielles:

Déterminer le choix et le nombre des surfaces représenter par un vecteur S(x)=0.

Déterminer la loi de commande par une nouvelle entrée discontinue un (x), pour

attirer la trajectoire d'état vers la surface. [29]

III.6. Conception de la commande par mode glissant

La conception de la commande peut être effectuée en trois étapes principales très

dépendantes l’une de l’autre.

• Choix de la surface

• L’établissement des conditions d’existence.

• Détermination de la loi de commande.

III.6.1. Choix de la surface de glissement

Une forme assez générale à est proposée par Slotine pour déterminer la surface de

glissement qui assure une convergence de la grandeur à régler vers sa valeur de référence, elle

est donnée par (III.6).

1

( , ) ( )r

dS x t e t

dtλ

− = +

(III.6)

Avec :

( )e t : Écart entre la variable à régler et sa référence.

λ : Constante positive choisie par le concepteur.

r : Degré relatif, (nombre de fois qu’il faut dériver la surface pour faire apparaître la

commande).

L’objectif de la commande est de maintenir les trajectoires sur la surface de glissement

afin d’éliminer l’erreur et d’imposer la dynamique choisie.

III.6.1.1. Conditions de convergence et d’existence :

Les conditions d’existence et de convergence sont les critères qui permettent aux

différentes dynamiques du système de converger vers la surface de glissement et d’y


~ 39 ~

demeurer, indépendamment de la perturbation. Il existe deux considérations pour assurer le

mode de convergence : une fonction discrète de commutation. [30]

• La fonction discrète de commutation

Cette approche est la plus ancienne. Elle est proposée et étudiée par EMELYANOV et

UTKIN. Il s’agit de donner à la surface une dynamique converge vers zéro. Elle est donnée

par:

�� 0 �� 0�� 0 �� 0� (III.7)

Cette condition peut être formulée comme suit:

��. �� 0 (III.8)

Elle est globale mais ne garantit pas en revanche un temps d’accès fini.

Cette condition est toutefois difficile à utiliser pour faire la synthèse de la loi de

commande, particulièrement dans le cas d’un système multi-entrées. [30]

• La fonction de Lyapounov : [31]

Soit V une fonction de Lyapounov candidate :

21( )

2V S x= (III.9)

La dérivée de cette fonction est :

( ) ( )V S x S x= && (III.10)

Pour que la fonction ( )V x puisse décroître, il suffit d’assurer que sa dérivée soit

négative. Ceci n’est vérifiée que si la condition (III.11) est vérifiée.

( ) ( ) 0S x S x <& (III.11)

III.6.2. Détermination de la loi de commande


~ 40 ~

La loi de commande par mode glissant comprend en général deux termes, la commande

équivalente et la commande discontinue de commutation.

III.6.2.1. La commande équivalente

La commande équivalente est augmentée par un terme appelé action de la commande

discontinue un, pour satisfaire les conditions d'atteinte de la surface S(x).

Dans notre cas, la méthode choisie est celle de la commande équivalente, schématisée

sur la figure.III.6 [31]

Figure (III.6) : Schéma fonctionnelle de la commande équivalente

La commande équivalente correspond à la commande du système nominal

( ( , ) 0)w x t = permettant de satisfaire la condition : ( , ) 0S x t =&

on a en effet :

( , ) ( , ) ( ) 0eq

S Sf x t g x t u t

x t

∂ ∂ + + = ∂ ∂

(III.12)

1

( ) ( , ) ( , )eq

S S Su t g x t f x t

x x t

−∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (III.13)

avec la condition d’existence :


~ 41 ~

1

( , ) 0S

g x tx

−∂ ≠ ∂ (III.14)

Elle peut être interprétée autrement comme étant une valeur moyenne que prend la

commande lors de la commutation rapide entre les valeurs �� et �� , Figure (III.7), [35]

Figure (III.7) : Grandeur de la commande équivalente ueq.

III.6.2.2. Commande de commutation

La commande discontinue où de commutation permettant de garantir la condition

d’attractivité et responsable du glissement, la forme la plus simple qu’elle peut prendre est

celle d’un relais.

( ) ( ( ))cu S x ksign S x= = −& (III.15)

k : est une constante positive qui représente le gain de la commande discontinue.

La structure d’un contrôleur par mode de glissement est constituée de deux parties, une

concernant la linéarisation exacte equ et l’autre stabilisantecu .

eq cu u u= + (III.16)

III.6.2.3. La condition d’attractivité

La surface de glissement doit être localement attractive, ce qui peut se traduire

mathématiquement par :

Lim s→0+ �� (f +gu+) < 0 et Lim s→0-

�� (f +gu-) > 0 (III.17)


~ 42 ~

Géométriquement, ces conditions expriment le fait que, localement autour de la surface,

les projections des champs de vecteurs (f +gu+) et (f +gu-) sur le gradient de s sont de signes

opposé (Figure III.8). De plus, les champs de vecteurs de commande sont localement orientés

vers la surface s. Ainsi, une fois la surface interceptée, les trajectoires restent dans un ε -

voisinage de s, et on dit que le régime glissant est idéal si on a exactement s(t, x)=0. La

condition (III.15) est plus souvent rencontrée sous la forme :

��s < 0, (III.18)

est appelée condition d’attractivité.

Toutefois, cette dernière condition n’implique pas que la surface est atteinte en temps

fini.

Une condition plus forte :

��s ≤ −η| s|, (III.19)

appelée condition de η attractivité, est plus souvent utilisée. [36]

Figure (III.8) : Attractivité de la surface.

III.7. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons donné les notions de base de la théorie de la commande

par mode glissant, le principe du contrôleur à mode glissant et la conception de la commande

par mode glissant.

Dans le chapitre suivant, la propriété d’approximation des systèmes flous et la

robustesse de la commande par mode glissant, seront exploitées pour développer une structure

de commande adaptative floue par mode glissant pour prendre en charge des systèmes non

linéaires incertains mono variable SISO.

CHAPITRE IV : Application de la commande adaptative floue par mode glissant

Chapitre IV Application de la commande adaptative floue par mode glissant

~ 43 ~

IV.1. Introduction

Le développement d’une loi de commande pour un système donné suppose la

disponibilité de modèle mathématique. Cependant l’obtention de ce modèle est

généralement une opération qui n’est pas facile. Pour contourner ce problème,

l’approximation du modèle ou de la loi de commande peut être une alternative. Dans

ce contexte, plusieurs travaux se sont focalisés sur la combinaison de la commande

adaptative classique et l’approximation par les systèmes flous [8], [31] où les lois

d’adaptation sont déduites de l’étude de stabilité au sens de Lyapunov. Cependant, ce

type de commande ne permet pas de garantir de bonnes performances de poursuite en

présence des perturbations externes ou des variations structurelles. D’où, la nécessitée

de robustifier ces structures de commande.

La commande par mode glissant peut être une alternative à ce problème, en

raison de sa robustesse vis-à-vis des incertitudes et des perturbations externes. [4]

Ainsi, plusieurs travaux de robustification de la commande adaptative floue par

mode glissant ont été élaborés [10], [11]. Ces travaux s’appuient sur l’utilisation de

deux systèmes adaptatifs flous pour approximer la dynamique de système, et

concevoir ainsi la commande équivalente. Les lois d’adaptation des paramètres

ajustables sont déduites de la synthèse de Lyapunov.

Cependant, la présence de la fonction signe, dans l’expression de la commande

par mode glissant, provoque le phénomène de broutement qui est indésirable.

Plusieurs solutions à ce problème ont été présentées dans la littérature, où l’une des

solutions consiste à l’introduction d’une bande de transition autour de la surface de

glissement [4], néanmoins la commande permettant la phase d’approche (terme

discontinue) reste difficile à calculer, car les bornes des incertitudes et des

perturbations sont généralement inconnues. Les auteurs de [11], [31] ont proposé

d’ajuster le gain de glissement à l’aide d’un système flou.

Dans ce chapitre, nous allons présenter une nouvelle loi de commande

adaptative floue par mode glissant, utilisant un système flou de type-2 intervalle. De

plus, pour remédier au phénomène de broutement nous allons remplacer la fonction

signe dans le terme de robustification par la fonction saturation. La stabilité de


~ 44 ~

système en boucle fermée et les lois d’adaptation sont déduites à l’aide de la théorie

de Lyapunov. Des simulations sur l’environnement Matlab, les résultats obtenus sont

présentées pour illustrer l’apport de cette structure de commande.

IV.2. formulation de problème

On considère la dynamique d’un système non linéaire incertain et perturbé

d’ordre n suivant ;

[ ]

∈=

+++=−≤≤= +

nn

on

ii

R,(t)(t)...x(t)xxX

u(t),tXgd(t)∆f(X,t)(X,t)fx

ni,xx

21

1

),(

11

&

&

(IV.1)

où ( 1)1 2X ( , , , ) ( , , , )T n T n

nx x x x x x −= = ∈ ℜ&K K est le vecteur d’état du système qui est

supposé disponible pour la mesure, 0 ( , ) ( , )f X t et f X t∆ sont la partie nominale et

incertaine, respectivement du système. Pour que (IV.1) soit contrôlable il faut que

( , ) 0g X t ≠ pour x appartenant à une certaine région de contrôlabilité ncU ∈ℜ ;

Puisque ( , )g X t est continue, nous allons supposer que 0 ( , )g X t< < ∞ pour tous

X cU∈ . ( )u t ∈ℜ est l’entrée du système (la commande) et ( )d t est la perturbation

externe. Généralement le terme incertain ( , )f X t∆ et ( )d t sont supposées bornées

c'est à dire ;

( , ) ( )f X t F et d t D∆ ≤ ≤ (IV.2)

où F et D sont des valeurs positives.

IV.3. Objectif de la commande

On considère un vecteur de signaux de référence de dimension n

( 1)1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , , , ) ( , , , )T n T n

d d dnt t t t t t td d d dX x x x x x x −= = ∈ ℜ&K K , lesquels appartiennent à

une classe de fonctions continues sur 0[ , ]t ∞ . En considérant l’erreur de poursuite

comme ;


~ 45 ~

( 1) ( 1)

( 1)1 2

( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]

d

n n Td d d

n Tn

E t X t X t

x t x t x t x t x t x t

e t e t e t e t e t e t

− −

−

= −

= − − −

= =

& & K

& K K

(IV.3)

L’objectif de notre commande est de forcer la sortie de système ( )y x t= à

suivre un signal de référence, où le vecteur de l'erreur de poursuite satisfait la

condition suivante, pour tout signal désiré donné Xd(t) ;

lim ( ) lim ( ) ( ) 0,dt t

E t X t X t→∞ →∞

= − →

(IV.4)

IV.4. Système flou type-2 intervalle

Un ensemble flou type-2 dans l’univers de discours X notéA~

, est caractérisé par

une fonction d’appartenance tridimensionnelle ( )Axµ % , où le degré d’appartenance de

chaque élément de ces ensembles est un ensemble flou type-1 appartenant à

l’intervalle [0 1] .dans (IV.5) ( )xf u est le degré secondaire, qui est l’amplitude de la

fonction d’appartenance secondaire ; 0 ( ) 1xf u≤ ≤ , Le domaine de la fonction

d’appartenance secondaire est appelé l’appartenance primaire de x. Dans (IV.5), Jx est

l’appartenance primaire de x, où [ ]0,1xu J∈ ⊆ Xx ∈∀ , u est l’ensemble flou dans

[0,1].

( )[ ]

( ) /

( ) / 0 , 1

Ax X

x xx X u Jx

A x x

f u u x J

µ∈

∈ ∈

=

= ⊆

∫

∫ ∫

%%

(IV.5)

Si [ ] .,1,0,1)( XxJuuf xx ∈∀⊆∈∀= alors les fonctions d’appartenance secondaires

sont des ensembles type-1 de forme intervalle, et ( )Axµ % dans (IV.5) peut nommée un

ensemble flou type-2 intervalle [32]. Qui est décrit comme ;

( )

[ ]'

( ) /

1 / 0 , 1

Ax X

xx X u Jx

A x x

u x J

µ∈

∈ ∈

=

= ⊆

∫

∫ ∫

%%

(IV.6)


~ 46 ~

Toujours, la fonction d’appartenance primaire Gaussienne avec un écart type

fixe σ et une moyenne incertaine qui varie dans l’intervalle [ ]1 2,m m (Figure (IV.1))

peut être écrit comme ;

( ) [ ]2

1 2

1exp , ,

2A

x mx m m mµ

σ − = − ∈

% (IV.7)

L’incertitude dans la fonction d’appartenance de l’ensemble flou type-2, A%

consiste en une région bornée appelée l’empreinte d’incertitude (Footprint Of

Uncertainty, FOU). C’est l’union de toutes les fonctions d’appartenance primaires.

Les fonctions d’appartenance supérieure et inférieure de A% sont deux fonctions

d’appartenance type-1 qui représentent les frontières du FOU . La fonction

d’appartenance supérieure correspond à la borne supérieure du ( )FOU A% , et il est

notée ( )A

xµ % , ,x X∀ ∈ et la fonction d’appartenance inférieure correspond à la borne

inférieure de ( )FOU A% , et est notée ( )A

xµ%

, x X∀ ∈ [32], donc (IV.6) peut être écrit

comme ;

1 /x X u Jx

A u x∈ ∈

= ∫ ∫% (IV.8)

Figure (IV.1) : Ensemble flou type-2 Gaussien avec une moyenne incertaine.

La structure de base d’un système flou type-2 représentée par la figure (IV.2)

[32], est semblable à celle d’un système flou type-1. Elle est composée de cinq blocs :

l’interface de fuzzification, la base de règles, le mécanisme d’inférence, le réducteur

de type et le defuzzificateur. Dans ce qui suit chaque bloc sera présenté en détails.

( )A xµ %

( )A

xµ %

σ


~ 47 ~

Figure (IV.2) : Structure d’un système flou type-2.

Considérons un système flou type-2 ayant p entrées pp XxXxXx ∈∈∈ ,,, 2211 KK

et une sortie Yy∈ . Supposons qu'on a M règles où la ième règle à la forme (IV.9).

Cette règle représente une relation floue de type-2. Notant que la fonction

d’appartenance de cette relation floue type-2 par 1

( , )l l lpF F G

x yµ× × → %% %K

où

{ }pxxxx ,,, 21 K= , et lp

l FF~~

1 ××K dénote le produit cartésien de lp

ll FFF~

,,~

,~

21 K .

1 1 2 2: , ,i ip pR si x est F et x est F et et x est F A lors y est G%% % %K

(IV.9)

où les ix sont les entrées, liF

~ sont les ensembles antécédents (i = 1, . . ., p), y est la

sortie, et lG~

est l’ensemble conséquent.

Un mécanisme d’inférence qui combine les règles, afin d’obtenir un ensemble

flou de type-2 conséquent, cette étape exige le calcule de l’union et l’intersection des

ensembles flou type-2; donc nous devons utiliser des versions étendues des méthodes

de déffuzification de type-1 appelées la réduction de type [12]. Cette opération va

transformer l’ensemble flou type-2 résultant en un ensemble flou type-1 appelé

ensemble type réduit, qui sera défuzzifié par la suite. Nous utilisons la fuzzification

par singleton, comme l’inférence des systèmes flou type-1, l’ensemble résultant peut

être obtenue par ;

1

( ) ,ik

pi

kFkx X

F xµ=∈

=

∏ %C (IV.10)

Ensembles flous de sorties

Fuzzification Défuzzification

Base de Règles

Mécanisme d’Inférence

Ensemble type réduit

Ensembles flous d’entrées

Réduction de Type

Entrée non

flou

Processus de traitement de sortie

Sortie non flou

y= f (x)∈Y


~ 48 ~

où ∏, C est représente l’opération '' join '', ''meet '', respectivement [32].

L’opération '' join '' permis de faire l’union des résultats de l’opération '' meet

'' avec l’utilisation du valeur maximum, L’ensemble conséquent est un ensemble type-

1 intervalle [32] donnée par ;

],[lll ffF ≡ (IV.11)

où 1

1

11

( ) ( )

( ) ( )

ll l pF Fp

ll lF F pp

f x x

f x x

µ µ

µ µ

= ∗ ∗

= ∗ ∗

% %

% %

K

K

(IV.12)

Il existe plusieurs méthodes de réduction de type comme :

• La réduction de type par le centre de gravité.

• La réduction de type par la hauteur.

• La réduction de type par le centre des ensembles.

La réduction de type par le centre des ensembles qui sera utiliser dans ce travail,

qui peut exprimée par ;

∫∑∑

∫∫∫ ∈=

=

∈∈∈×=

=

],[

1

1

],1[1],[],[

cos

1......

],[)(

1111 MMMMr

Ml

Mrl fff M

i

i

M

i

ii

fffyyyyyy

rl

f

yf

yyxY

(IV.13)

où ( )TRY x est déterminé par et i il ry y qui sont les points limites gauche et droite de

l’ensemble conséquent du iéme règle, et et iif f ; le degré d’activation inférieur et

supérieur de la iéme règle. L’ensemble intervalle [ ]( ), ( )l ry x y x doit être calculer

avant ( )TRY x , , ( )TRy y Y x∀ ∈ , y peut être exprimée comme ;

1

1

Mi i

iM

i

i

f yy

f

=

=

=∑

∑ (IV.14)


~ 49 ~

où yr est le maximum associé seulement par iry , de même yl est le minimum associé

seulement parily . et les points yr et yl dépendent seulement à mixture des valeurs i

f

ou if , quand ,iii if F f f ∈ =

, dans ce cas, chaque point yr et yl peut être représenté

par [32]:

1 1

1 1

M Mi i i i

l l r ri i

l rM Mi i

l ri i

f y f yy et y

f f

= =

= =

= =∑ ∑

∑ ∑ (IV.15)

Maintenant, nous allons présenter une procédure itérative qui calcule la

moyenne pondérée y, on suppose que les iry sont arrangée progressivement c'est-à-

dire, 1 2 .Mr r ry y y≤ ≤K

1. Calculer ry dans (IV.15), on prend initialement ( ) / 2ii irf f f= + , pour

i=1,…,M, et n suppose que r ry y′ = .

2. Trouver (1 )R R M≤ ≤ tel que 1R Rr r ry y y +′≤ ≤ .

3. Calculer ry dans (IV.15), avec iirf f pour i R= ≤ , i i

rf f pour i R= > ,

et prendre .r ry y′′ =

4. Si r ry y′′ ′≠ , alors passer à l’étape 5, si r ry y′′ ′= , finir et laisser r ry y′′ = .

5. Prendre r ry y′ ′′= , et revenir à l’étape 2.

Cet algorithme permet de déterminer le point séparant entre les deux cotées par

le nombre R, en utilisant les dégrées d’activation inferieur et supérieure et iif f , ry

peut être réécrit comme ;

11 1

1 1

1 1

( , , , , , , , , )R MR M

r r r r

R M ii i ir r

i i RR M ii

i i R

y y f f f f y y

f y f y

f f

+

= = +

= = +

=

+=

+

∑ ∑

∑ ∑

K K K

(IV.16)


~ 50 ~

La procédure de calcule ly est similaire à tel de calcule ry ,donc ly peut être

réécrit comme ;

1 1 1

1 1

1 1

( , , , , , , , , )

.

L L M Ml l l l

L Mi ii il l

i i LL Mi i

i i L

y y f f f f y y

f y f y

f f

+

= = +

= = +

=

+=

+

∑ ∑

∑ ∑

K K K

(IV.17)

L’ensemble résultant par la défuzzification c’est la moyenne de ;

( )2

l ry yy x

+= (IV.18)

IV.5. Synthèse du contrôleur adaptatif flou par mode glissant

Comme présenté précédemment, dans la commande par mode glissant, il s’agit

de définir une surface dite de glissement qui représente la dynamique désirée, puis

synthétiser une loi de commande qui doit agir sur le système en deux phases. Dans la

première, on force le système à rejoindre cette surface « phase d’attractivité » (basé

sur la commande de commutation), et dans la seconde phase on doit assurer le

maintien et le glissement le long de cette surface pour atteindre l’origine du plan de

phase « phase de glissement » (basé sur la commande équivalente). Donc la surface

de glissement peut être définie par :

1

1

n

n i ii

s e eλ−

=

= +∑ (IV.19)

où λ est une constante positive qui représente « la pente de glissement ». Si la

trajectoire d’état du système (IV.1) est maintenue sur cette surface, c'est à dire 0s =& ,

alors la dynamique de système est gouvernée par :

1

11

0n

n i ii

e eλ−

+=

+ =∑& (IV.20)

Considérons que la dynamique du système est bien connue, l’incertitude et la

perturbation externe sont mesurables, et à partir de (IV.1), (IV.19) et 0s =& , la loi de

commande linéarisante par réaction (feed-back linearization, FL) est obtenue par :


~ 51 ~

11 ( )

0 11

( , ) ( , ) ( , ) ( )n

ni i d

i

u g X t f X t f X t d t e xλ−

∗ −+

=

= − − ∆ − − +

∑ (IV.21)

La substitution de l’équation (IV.21) dans (IV.19) donne (IV.20) c'est-à-dire

1

11

0n

n i ii

e eλ−

+=

+ =∑&

(IV.22)

Il est claire que l’erreur de poursuite converge vers zéro exponentiellement c’est

à direlim ( ) 0t

e t→∞

= , qui est l’objectif principal du contrôleur. Si les paramètres iλ sont

choisis d’une manière que toutes les racines du polynôme (IV.19) ont une partie réelle

strictement négative, le système en boucle fermée sera globalement,

asymptotiquement stable.

Néanmoins, la loi de commande *u (IV.21) ne peut pas être implémentée dans le

cas où la dynamique du système est partiellement ou totalement inconnue, ou bien les

bornes supérieures des incertitudes et des perturbations externes sont inconnues. Pour

remédier ce problème, on peut approximer la loi de commande *u par un système

adaptatif flou noté ufz2.

• Conception de système flou utilisé

Dans la conception de notre contrôleur on va approximer *u , par le système flou

type-2 intervalle, respectivement. La structure de la commande proposée reste la

même dans les deux cas, la seule différence réside dans la construction du

terme ��, �.

En définissant la surface de glissement comme l’antécédente floue, et la

commande comme la sortie floue, donc la ième règle peut être écrite comme ;

: i isRègle i Si s est F Alors u estα% % (IV.23)

où iα% est la commande définie par singleton et les isF% sont les centres des ensembles

flous de la variable de glissement s. Les systèmes flous type-1 sont caractérisés par un

seul vecteur des FBF qui nous permet d’obtenir l’estimé ��, � de la forme

suivante :

��, � � � (IV.24)


~ 52 ~

où les FBF sont données par :

1

( )

( )

is

is

FiM

Fi

s

s

µξ

µ=

=∑

(IV.25)

Ces FBF sont rassemblées dans un vecteur (x)ξ de dimension m pour

i=1,2,…,m, avec m le nombre des ensembles flous ayant iFsµ comme fonction

d’appartenance.

Dans le cas d’un système flou type-2 intervalle la propriété d’approximation

universelle reste valable, avec une phase supplémentaire celle de la réduction de type

pour le calcul de l’estimée 2 ( , )fzu s α% . Des fonctions d’appartenance primaires

gaussiennes avec une moyenne incertaine et des singletons de type-2 sont utilisés pour

déterminer les fonctions d’appartenance des prémisses et des conséquents,

respectivement. La réduction de type est réalisée par la méthode des centres des

ensembles. L’ensemble de sortie (ensemble type réduit) est donné par la relation

similaire comme suit :

[ ]11 1 1 1 11, , , ,

1

( ) 1 ( ), ( )

Mi i

iTR l rMM M M M MMy y y y y y f f f f f fl r l r i

i

f yY x y x y x

f

= ∈ ∈ ∈ ∈

=

= ∫ ∫ ∫ ∫ =∑

∑K K (IV.26)

où if est l’intervalle d’activation (degré d’appartenance) correspondant à la ième règle,

et i il rα α sont les points limites gauche et droite de l’ensemble conséquent de la iéme

règle, qui représentent aussi les paramètres ajustables de notre commande.

Pour calculer les sorties du système flou type-2 2 ( , )fzu s α% , on doit passer par

l’étape de défuzzification qui détermine la sortie numérique correspondante aux

ensembles type réduits ( )TRu s . Puisque le système utilisé est de type intervalle, la

défuzzification revient à calculer la moyenne de ( ) ( )l ry s et y s comme :

��

� (IV.27)

l ry et y sont obtenus par (II.32) et (II.34) respectivement comme suit :


~ 53 ~

1

1

1

Mi i

l Mi ii

l l lMi i

li

fy

f

αα ξ=

=

=

= =∑

∑∑

(IV.28)

1

1

1

Mi i

r Mi ii

r r rMi i

ri

fy

f

αα ξ=

=

=

= =∑

∑∑

(IV.29)

où et i il rξ ξ sont données (II.33) et (II.35) respectivement comme suit :

1

ii ll M

il

i

f

fξ

=

=∑

(IV.30)

1

ii rr M

ir

i

f

fξ

=

=∑

(IV.31)

En substituant (IV.28) et (IV.19) dans (IV.27), on obtient,

( )21 1

1 1( , )

2 2

M Mi i i i T T T

fz l l r r l l r ri i

u sα α ξ α ξ α ξ α ξ α ξ= =

= + = + = ∑ ∑% % (IV.32)

où 1 1

2 2

TT Tl rξ ξ ξ =

est le vecteur moyen des FBF de 2 ( , )fzu s α% , et [ ]T T Tl rα α α=% est

le vecteur des paramètres ajustables de notre commande.

L’algorithme itératif de Karnik et Mendel [9] présenté dans le chapitre II

(paragraphe II.10) est utilisé pour calculeri il rf et f , puis construire les FBF i i

l retξ ξ

comme ;

1 1

ii ll L Mi i

s si i L

h

f fξ

= = +

=+∑ ∑

(IV.33)

1 1

ii rr R M ii

ssi i R

h

f fξ

= = +

=+∑ ∑

(IV. 34)

où , 1, , ,

, 1, ,

i

sil i

s

f i Lh

f i L M

== = +

K

K ,

, 1, , ,

, 1, ,

i

sir i

s

f i Rh

f i R M

== = +

K

K

Donc (IV.32) peut être réécrite comme ;


~ 54 ~

1 1 1 12

1 1 1 1

1( )

2

L M R Mi ii ii i i il l r rs ss s

i i L i i Rfz L M R Mi ii i

s ss si i L i i R

f f f fu s

f f f f

α α α α= = + = = +

= = + = = +

+ + = + + +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (IV.35)

• Stabilité et lois d’adaptation

À partir du théorème d’approximation des systèmes flous, il existe une loi de

commande optimale * *2 ( , )fzu s α% de la forme (IV.32) telle que ;

* *2( , ) T

fzu u sα ε α ξ ε∗ ∗= + = +% % (IV.36)

où ε est l’erreur d’approximation qui est supposée bornée par cEε < . L’estimation

de la commande *u par un système flou type-2 intervalle 2ˆˆ ( , )fzu s α% est donnée par ;

2ˆ ˆˆ ( , ) T

fzu sα α ξ=% % (IV.37)

où α̂% est le vecteur estimée de *α% , et la loi de commande globale du contrôleur

(adaptatif flou type-2 intervalle par mode glissant) est donnée par ;

2ˆˆ ( , ) ( )fz nu u s u sα= +% (IV.38)

où la commande nu est conçue pour compenser la différence entre la commande

linéarisante par réaction (IV.21) et le système flou type-2 intervalle (IV.37).

Par l’application de (IV.28) au système (IV.1), on obtient ;

0 2ˆˆ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )n fz nx f X t f X t d t u s u sα= + ∆ + + +%& (IV.39)

À partir de (IV.19), (IV.21), (IV.39), et d’après quelques manipulations, on

obtient l’équation de l’erreur de poursuite suivante :

1

1 21

ˆˆ ( , ) ( )n

n i i fz ni

e e u s u s u sλ α−

∗+

=

+ = + − =∑ %& & (IV.40)

On définit 2fzu par ;

* *2 2 2 2ˆ ˆfz fz fz fzu u u u u ε= − = − − (IV.41)

Si on considère l’erreur d’estimation des paramètres ajustables *ˆα α α= −% % % ,

alors (IV.41) est réécrite à partir de (IV.36) et (IV.37) par ;

2T

fzu α ξ ε= −% (IV.42)

De plus, la commande de commutation nu (en anglais, hitting controller) est

conçue comme ;


~ 55 ~

ˆ sgn( )n cu E s= − (IV.43)

où sgn(.) est le signe du fonction contrainte s, et ˆcE est l’estimée de la borne

supérieure de l’erreur d’approximation. Donc on peut définir l’erreur d’estimation cE

par ;

ˆc c cE E E= − (IV.44)

Afin d’étudier la stabilité du système en boucle fermée, et déduire les lois

d’adaptation des paramètres ajustables, nous considérons la fonction de Lyapunov

suivante :

2 2

1 2

1 1 1( , , )

2 2 2T

c cV s E s Eα α αη η

= + +% % % (IV.45)

où 1 2,η η sont des constantes positives. La dérivée de V (IV.45) par rapport au temps

est donnée par :

21 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1ˆ( , , ) ( )

1 1 ˆ ˆ( ) [ ]

1 1 ˆ ˆ( ) [ ]

T Tc c c fz n c c

T Tn c c c

Tn c c c

V s E ss E E s u u u E E

s u E E E

s s u E E E

α α α α αη η η η

α ξ ε α αη η

α ξ α εη η

∗= + + = + − + +

= + − + + −

= + + − + −

& && && % % % % %&

&&% % %

&&% %

(IV.46)

Pour que 0V ≤& , les lois d’adaptation sont conçues comme suit ;

1ˆ sα α η ξ= = −&&% % (IV.47)

2ˆ

cE sη=& (IV.48)

Donc (IV.46) peut être réécrite par ;

ˆ ˆ( , , ) ( sgn( ) ) [ ]

( ) 0

c c c c

c c

c

V s E s E s E E s

s E s s E s

E s

α εε ε

ε

= − − + −

= − − ≤ −

= − − ≤

& %

(IV.49)

En utilisant le lemme de Barbalat [4], on obtient lim ( ) 0t

s t→∞

= . Malgré les

propriétés prouvées du contrôleur, le terme discontinu nu dans la loi de commande

globale introduit le phénomène de broutement « chattering ». Donc, pour éliminer les

effets indésirables de ce phénomène, la fonction du signe est remplacée par la

fonction saturation ( / )f s ρ [5], qui peut être : / , tanh( / ),s

s ss

ρ ρρ+

…etc.


~ 56 ~

sgn( ), / 1( / )

( / ), / 1

s si ssat s

f s si s

ρρ

ρ ρ ≥=

< (IV.50)

où ρ est une constante strictement positive. Alors, nu dans (IV.43) est définie par ;

ˆ ( / )n cu E sat s ρ= − (IV.51)

La structure de la commande adaptative floue par mode glissant est donnée

selon la figure II.1 suivante.

Figure (IV.3) : Structure globale de la commande proposée

IV.6. Exemple d’application

Dans cette partie, il s’agit d’appliquer notre commande (adaptative floue par

mode glissant, CAFMG) à la poursuite de trajectoire de système non linéaire incertain

mono-entrée mono-sortie (SISO) est un système chaotique d’ordre deux [24], [32],

[33].

La dynamique des systèmes chaotiques présentent caractéristiquement un

comportement erratique, apparemment apériodique. Ils sont extrêmement sensibles

aux conditions initiales, où n'importe quel changement à l'état initial d'un système

chaotique mènera aux différences très grandes dans le comportement du système.

Donc, le but principal du contrôle chaotique est l’élimination du comportement

chaotique (duffing oscillation) et la stabilisation du système en un point d’équilibre

[10], [11].

Loi d’adaptation

Contrôleur flou type-1 ou type-2

Contrôleur robuste

Estimation bornée

Système Surface de glissement

XdX

+

+

+nu

α̂%

s

ˆ fzu

u

ˆcE

E−


~ 57 ~

Considérons l’équation dynamique d’un système chaotique non linéaire donnée par ;

+−+−=

=

)cos(31312212

21

tqxpxpxpx

xx

ω&

& (IV.52)

avec 1 2[ ] [ ]T TX x x x x= = & , est le vecteur d’états, 1 2 3, , ,p p p et q sont des constantes

positives, t et w sont le temps et la fréquence, respectivement. Le comportement

chaotique du système incontrôlé dans le plan de phase et les réponses du système

1 2( ) ( )x t et x t sont représentés sur la figure (II.4), pour les conditions initiales

(0) [1 0]TX = , avec 1 2 30.4, 1.1, 1, 2.1 1.8p p p q et w= = = = = .

Figure (IV.4) : Les états du système et le comportement chaotique dans le plan de

phase pour (0) [1,0]TX = ,

Si on considère les incertitudes de la dynamique du système ��, ��, les

perturbations externes d(t) et la loi de commande u(t), alors l’équation dynamique du

système (IV.52) devient ;

1 2

32 1 2 2 1 3 1 cos( ) ( , ) ( ) ( )

x x

x p x p x p x q wt f X t d t u t

=

= − + − + + ∆ + +

&

& (IV.53)

où 1 2( , ) sin (2 )sin (3 ) ( ) sin (2 )f X t x x et d t tπ π∆ = = .

L’objectif de notre commande est de forcer la sortie 1( )y x t= du système

chaotique (IV.53) à suivre un signal de référence �� bien déterminé.

0 10 20 30-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x(1)

Temps (sec)0 10 20 30

-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (sec)

x(2)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

x(1)

plan de phase

x(2)


~ 58 ~

La commande sera synthétisée selon le type de système flou utilisé en suivant le

raisonnement suivant :

• On définit d’abord la surface de glissement par 2 1( ) ( )s e t e tλ= + , pour les

deux contrôleurs.

• On définit les paramètres de conception ; 3λ = afin que s soit stable, la valeur

initiale de la borne supérieure de l’erreur d’approximation 5cE = , et le

paramètre de la fonction de saturation 0.2ρ = .

• On choisit m = 3 ensembles flous (de type-2 intervalle), sur l’univers de

discours ��0.2 0.2�, les paramètres de leurs fonctions d’appartenance

caractérisant la surface de glissement s sont définis dans le tableau (IV.1), et la

figure (IV.5).

• On construit les FBF iξ (IV.25) et on obtient ufz2 (IV.24) pour un système flou

type-1. Dans le cas d’un système flou type-2 intervalle, on construit les FBF

ilξ (IV.33) et i

rξ (IV.34), et on obtient 2fzu (IV.35).

• On calcule la commande u (IV.38) (en remplaçant 2fzu par fzu dans le cas

d’un système flou type-1), et on l’applique au système (IV.53).

• On choisit 1 210, 0.6η η= = et on calcule les lois d’adaptation (IV.47) et

(IV.48) pour ajuster le vecteur de paramètresα% , qui contient initialement les

centres des ensembles des conséquentsˆ [ 1 0 1]Tα = −% , pour le cas d’un système

flou de type-2.

Tableau (IV .1) : Les paramètres des fonctions d’appartenance

1( )sµ 2( )sµ 3( )sµ

1m 2m 1σ 1m 2m 2σ 1m 2m 3σ

Contrôleur flou type-2 -1,3 -1,1 0,3 -0,1 0,1 0,2 1,1 1,3 0,3


~ 59 ~

Figure (IV.5) : Fonctions d’appartenance floues type-2 des ensembles antécédents

Les résultats de simulation de la commande adaptative floue de type-2 intervalle

par mode glissant notée (CAFT-2I MG), sont obtenus pour deux cas. Le premier, en

l’absence d’incertitudes et de perturbations externes (c'est-à-dire �� 0

et ∆��, �� 0). Le deuxième cas en présence d’incertitudes et de perturbations

externes ( ( ) ( )1 2( , ) sin 2 sin 3f X t x xπ π∆ = et ( ) sin(2 )d t t= ), avec les conditions

initiales (0) [1,0]TX = et un signal de référence ym(t)=2*sin(t).

Cas 1 : Absence de perturbations et d’incertitudes

Figure (IV.6) : Réponses de position 1( )x t et erreurs de poursuite 1( )e t .

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S

Négative PositiveZéro

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

Temps (sec)

x(1)

et y

m

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

e(1)


~ 60 ~

Figure (IV.7) : Réponses de vitesse 2( )x t et erreurs de poursuite 2( )e t .

Figure (IV.8) : Surfaces de glissement ( )s t et plan de phase.

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (sec)

x(2)

et

ypm

0 5 10 15 20 25 30-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Temps (sec)

e(2)

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x(1)

x(2)

Plan de phase

0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4

6

Temps (sec)

La s

urfa

ce d

e gl

isse

men

t


~ 61 ~

Figure (IV.9) : La commande globale u(t).

Cas 2 : Présence de perturbations et d’incertitudes

Figure (IV.10) : Réponses de position 1( )x t et erreurs de poursuite 1( )e t .

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

10

Temps (sec)

La c

omm

ande

U

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x(1)

et y

m

Temps (sec)

0 0.5 10

1

2

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

e(1)


~ 62 ~

Figure (IV.11) : Réponses de vitesse 2( )x t et erreurs de poursuite 2( )e t .

Figure (IV.12) : Surfaces de glissement ( )s t et plan de phase.

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (sec)

x(2)

et

ypm

0 5 10 15 20 25 30-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Temps (sec)

e(2)

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x (1)

x (2

)

Plan de phase

0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (sec)

La su

rfac

e d

e gl

isse

men

t


~ 63 ~

Figure (IV.13) : La commande globale u(t).

On peut conclure, d’après les figures (IV.6) et (IV.10) que la sortie du système y(t)

suit sa référence ym(t), en présence et en l’absence d’incertitudes et perturbations, où

les erreurs de poursuite convergent vers zéro en temps fini. Les figures (IV.8) et

(IV.12) montrent que la surface de glissement converge vers zéro, et le signal de la

commande globale à une forme lisse malgré la présence de perturbations externes.

IV.7. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons développé la structure de commande adaptative

floue par mode glissant. Cette structure de commande est une combinaison de la

commande floue dont les performances sont incontestables et la commande par mode

glissant qui présente des propriétés de simplicité et d’invariance par rapport aux

incertitudes et perturbations externes. Pour cette structure, l’utilisation d’un système

flou de type-2 intervalle a permis d’améliorer les performances de poursuite, ainsi la

réduction importante de broutement.

Pour mettre en évidence ces performances de la structure de commande

adaptative floue par mode glissant développé, un exemple de simulation est présenté,

les résultats de simulation obtenus a permit de valider cette structure de commande,

en outre, l’étude des performances du contrôleur CAFT-2I MG a mis en évidence

l’efficacité des systèmes flous type-2 intervalle.

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

10

Temps (sec)

La c

omm

ande

U

CONCLUSION GENERALE

~ 64 ~

CONCLUSION GENERALE

D’une manière générale, l’analyse et la commande non linéaires sont des problèmes

difficiles et la majorité des approches de la commande non linéaire exigent la disponibilité

d’un modèle mathématique. Cette commande doit être robuste dans le sens où elle devra

assurer une faible sensibilité aux incertitudes sur les paramètres, à leurs variations et aux

perturbations.

Le but principal de ce mémoire est de développer des lois de commande adaptatives

floues type-2 par mode glissant stables et robustes pour réaliser la poursuite des systèmes non

linéaires incertains et perturbés (systèmes chaotiques), avec l’élimination ou la diminution du

phénomène de broutement.

Après avoir donné un bref aperçu sur la commande par mode glissant, et quelques

notions de base sur la logique flou de type-2, avec leurs propriétés d’approximation. Nous

avons développé une structure de commande adaptative floue type-2 par mode glissant, où

nous avons utilisé un système flou type-2 pour approximer la commande linéarisante

(commande équivalente) et remplacé la fonction signe, dans le terme discontinu, par la

fonction saturation pour éliminer le phénomène de broutement. Afin de mettre en évidence les

performances obtenues par cette approche.

Les résultats de simulation, sous l’environnement Matlab, montrent de bonnes

performances de poursuite en termes de rapidité de convergence, d’élimination du phénomène

de broutement et de robustesse.

Comme perspective immédiate à ce travail, il serait intéressant de généraliser la

structure de commande présentée dans le 4éme chapitre, par l’utilisation de différents

algorithmes du mode glissant d’ordre supérieur comme l’algorithme du Twisting, le mode

glissant d'ordre-r arbitraire, la technique Drift et l’algorithme sous-optimal (Sub-optimal

algorithm).

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Résumé

Dans ce travail, nous présentons le développement de structures de commande

adaptatives floues type-2 basées sur le mode glissant prendre en charge des systèmes

chaotiques. La structure de commande ont été synthétisées est une commande adaptative floue

type-2 par mode glissant caractérisée par une précision dans le cas d’une poursuite et une

réduction importante du phénomène de broutement. La stabilité du système en boucle fermée

et les lois d’adaptation sont déduitesde la synthèse de Lyapunov. Les résultats de simulation

obtenus sous l’environnement Matlab, ont montré l’efficacité et les performances des

structures de commande développées.

Mots clés : Commande adaptative floue par mode glissant, Système flou type-2, Mode

glissant, Synthèse de Lyapunov, Systèmes chaotiques.

Abstract

In this work, we present the development of a structures of adaptive type-2 fuzzy

control based on sliding mode control of chaotic systems. Tow structures of control have been

synthesized is an adaptive type-2 fuzzy sliding mode control characterized by the precision in

the case of the tracking, and the important reduction of the chattering phenomena. The closed-

loop system stability and the adaptation lawsare equally generated by the Lyapunov synthesis.

The obtained simulation results, under the Matlab environment, showed the effectiveness and

the performances of the proposed control techniques.

Key words: Adaptive fuzzy sliding mode control, Type-2 fuzzy system, Sliding mode, Lyapunov syntheses, Chaotic systems.

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