Commande Vectorielle des machines asynchrones

8/7/2019 Commande Vectorielle des machines asynchrones

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Introduction la

commande vectorielledes machinesasynchrones

Patrick BRUNET

LTEG Henri BRISSON25 Avenue Henri BRISSON

18108 VIERZON(( 02 48 52 74 00

ml : [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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SOMMAIRE

A. La commande vectorielle, ouimais pourquoi faire ?

B. Les modlisationsde la machineasynchrone

C. Principe dune commande flux

orient

D. Annexes


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3

A

La commandevectorielle, oui mais

pourquoi faire ?


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A1 . INTRODUCTION

Tous les fabricants de variateurs de

vitesse, quils soient industriels ou bien

distributeurs de matriel usage pdagogique

proposent des variateurs pour machine

asynchrone. Historiquement, sont apparus sur le

march des variateurs dits U/f = constante

et plus rcemment les variateurs contrle

vectoriel de flux avec ou sans capteur.

Aujourdhui contrle vectoriel fait mode

et il faut tre prudent car sous largument

commercial se cache peut-tre un convertisseur

U/f = constante amlior

Au-del de cet aspect purementcommercial, on peut se poser la question de ce

que lon peut prsenter des tudiants BAC+2

en Electrotechnique pour quau moins ils aient

une ide des performances compares des

diffrents types de variateurs, ceci pour leur

permettre de faire un choix judicieux de matriel

en fonction de lapplication mettre en uvre.

Ainsi, sil sagit de dmarrer tous les matins un

moteur asynchrone sans faire varier sa vitesse, le

recours au contrle vectoriel serait stupide !

La prsentation thorique du variateur en

U/f ne pose pas de problme partir de la

modlisation classique de la M.A.S. pour les

tudiants. Par contre, dtailler la thorie du

contrle vectoriel de flux nest pas la porte

dtudiants BAC+2 en Electrotechnique. Mais, il

est possible de mettre en vidence de faon

exprimentale les performances compares de

plusieurs variateurs.

Les rsultats exprimentaux prsents ci-

dessous ont t obtenus partir du schma de

principe suivant :

Capteur decourant

Variateur M.A.S. Frein

Capteur de couple

On dispose dun rseau triphas 220V/50 Hz.

Le moteur (CEGELEC) a une puissance nominale de 1.5 kW, un courant nominal de 6.4 A et une

tension nominale de 220 V.

Le couple dvelopp par le moteur est mesur par un couplemtre dynamique de marque Vibro-meter. Son tendue de mesure est de +/- 100 N.m. Il dispose de 2 sorties analogiques permettant

dobtenir :

- une image de la vitesse de rotation avec un facteur dchelle de 10 V pour 10000 tr/min,

- une image du couple instantan avec un facteur dchelle de 5 V pour 100 N.m.

Il est install entre le moteur et un frein courant de Foucault utilis ici uniquement en charge

inertielle.

Enfin un capteur de courant permet de visualiser le courant fourni par le variateur avec un

facteur dchelle de 1 V pour 10 A.


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A2. DEMARRAGE DIRECT DU MOTEUR

Il est obtenu en fermant le disjoncteur de tte et en supprimant le variateur. On a limit par un

autotransformateur la tension rseau 190 V pour ne pas saturer le moteur.

Loscillogramme ci-contre reprsente

lvolution du courant moteur (voie RA)

et de la vitesse (voie RB).

On note le classique appel de courant

lors de la mise sous tension du moteur

(valeur instantane maximale de 40 A

environ). Il serait videmment encore

plus grand sous la tension nominale de

220V.

La monte en vitesse est quasi linaire

au dbut du dmarrage. La dure de miseen vitesse (environ 2 s) est dtermine

par linertie totale autour de larbre de

rotation, le moteur ntant pas charg. La

vitesse atteinte est proche de 1500 tr/mn

(vitesse de synchronisme), le moteur

tant vide.


lvolution du couple instantan(voie A)

et de la vitesse(voie B).

On note les oscillations du couple

instantan lors de la mise sous tension

pendant une dure de 0.6 s. Ainsi le

couple instantan monte 40 N.m alors

que le couple nominal du moteur est de

lordre de 10 N.m. Bien sr, ces

oscillations seraient encore plus

importantes sous tension nominale.

Il est important de bien noter ces

oscillations car le choix du couplemtre

dynamique devra tre fait partir de

celles-ci et non du couple nominal sous

peine de destruction lors dun tel

dmarrage.

A la fin de la phase de dmarrage, le

couple sannule puisque le moteur nest

pas charg.


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A3. DEMARRAGE AVEC UN VARIATEUR A U/f = constante

On utilise directement le rseau 220 V. Le variateur utilis est un Varial VNTA de CEGELEC. La

limitation de courant a t rgle 150% du courant nominal de 6 A du variateur. Aucune rampe

dacclration na t impose. La consigne de vitesse a t rgle 1500 tr/mn.


lvolution du courant moteur(voie A) et

de la vitesse (voie B).

Lappel de courant au dmarrage est

bien matris par le rglage de lalimitation en courant du variateur. La

monte en vitesse est un peu plus rapide

que lors du dmarrage direct car on

fonctionne ici tension nominale.


lvolution du couple instantan(voie A)

et de la vitesse (voie B).

On note que les oscillations du couple

instantan nont pas disparues bien au

contraire. Le variateur U/f = constante

de par son principe (contrle dit scalaire)

nest pas apte matriser le coupleinstantan. Il faut que les rgimes

transitoires lectriques aient disparu pour

quil puisse convenablement travailler.

Le signal issu du couplemtre est

parasit sur la dernire partie de

loscillogramme. Nous pensons que ceci

est d au dcoupage MLI de la tension

fournie par le variateur qui rayonne sur

le cble du couplemtre (problme de

CEM).


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A4. DEMARRAGE AVEC UN VARIATEUR A CONTROLE

VECTORIEL DE FLUX

On utilise directement le rseau 220 V. Le variateur utilis est un Varial VNTV de CEGELEC. La

limitation de courant a t rgle 150% du courant nominal de 6 A du variateur. Aucune rampe

dacclration na t impose. La consigne de vitesse a t rgle 1500 tr/mn. Le codeur incrmentalinstall en bout darbre du moteur doit tre raccord sur le variateur.


lvolution du courant moteur(voie A) et

de la vitesse (voie B).

Lappel de courant au dmarrage est

matris et lon peut noter lvolution

progressive de la frquence dlivre par

londuleur du variateur au cours du

dmarrage.


lvolution du couple instantan (voie

RA) et de la vitesse (voie RB).

On note que les oscillations du couple

instantan ont cette fois disparu lors

du dmarrage.

Le contrle vectoriel de flux permetdonc de traiter les rgimes transitoires

ce que ne permettait pas de faire le

variateur prcdent.

Le variateur contrle vectoriel de flux

est apte matriser le coupleinstantan. Bien sr cela se paie

puisque le codeur permettant de reprer

la position du rotor du moteur doit tre

raccord.


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8

A5. CONCLUSION

Les dmarreurs de moteurs (non tudis ci-dessus) sont utiliss pour limiter lappel de courant lors

de la mise sous tension, et en aucun cas faits pour contrler le couple instantan.

Les relevs prcdents mettent en vidence les spcificits de chaque famillede variateur de vitesse et les performances que lon peut en attendre. Ils doiventpermettre de dcrypter les catalogues const ruct eur .

Prenons lexemple de lALTIVAR 66 propos par SCHNEIDER : il sagit dun variateur de

vitesse pour moteur asynchrone prsent avec 2 options.

Dans la version de base, le constructeur indique une gamme de vitesse de 1 20. Cela signifie

que si la vitesse de synchronisme est de 1500 tr/min, le constructeur garantit les performances de

min/75

20

1500tr= jusquau synchronisme.

Il sagit alors dun variateur U/f = constante qui possde plusieurs lois de commande en U/f

suivant les applications souhaites (couple constant ou variable). Y figurent galement quelques

amliorations possibles comme la compensation RI qui permet de ne pas ngliger linfluence de la

rsistance statorique (*) et la compensation de glissement (**). On parle alors de variateur E/f =

constante. Mais, il ne faudra pas lui demander de performances au-dessous de 75 tr/min.

Toutefois, il existe une option dite SFVC : sensorless flux vectoriel control en Anglais ou

contrle de flux sans capteuren franais, qui permet de faire passer la gamme de vitesse de 1 100.

On pourra donc descendre jusqu 15 tr/min. Lalgorithme de commande de londuleur est plus

complexe que dans le cas dune commande en U/f classique, mais il nest toujours pas question dedemander du couple larrt cest dire vitesse nulle.

Si lapplication lexige, on passera alors lALTIVAR 66 contrle vectoriel avec capteur (il

sagit dun capteur de position du rotor : codeur incrmental). La carte de commande doit alors tre

adapte pour recevoir et traiter les informations du codeur. Dans ce cas la gamme de vitesse passe de 1

1000 .

Avec un tel produit, il est alors possible dexiger du couple larrt, mais ilaura fallu en payer le prix en rajoutant le codeur la facture !

VS

RSIS

LS

R'R/gI'R

L'R

VE

ISo

(*) : La commande en U/f se justifie partir du schma quivalent classique de la machine asynchrone en

ngligeant la rsistance statorique. Si lapproximation est bien justifie grande vitesse (RSIS ngligeable devant la

tension VS), elle ne lest plus petite vitesse puisque RSIS garde peu prs la mme valeur alors que VS est

beaucoup plus faible (U/f = cste)

(**) : La compensation de glissement permet de mieux maintenir la vitesse constante du moteur entre un

fonctionnement vide et un fonctionnement en charge. La frquence de londuleur est alors suprieure en charge

pour tenir compte du glissement.


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B1 . INTRODUCTION

Tout problme de motorisation avec une machine lectrique peut tre schmatis de la sorte :

MOTORISATION

+

SYSTEME entraner

Grandeurs de commande :tension, courant, frquence

Grandeur rgle :vitesse, couple, position

Le choix de la motorisation se fera en fonction de diffrents critres :

- cot de la fabrication

- facilit du rglage

- problmes de maintenance

La machine courant continu a rgn en matre jusqu ces dernires annes car bien que le cot

de fabrication soit assez lev, les possibilits de rglage (dcouplage naturel entre le courant dans

linduit et le flux) sont simples mettre en uvre et faisaient la diffrence mme si la maintenance pose

problme ( balais, collecteur).

Depuis quelques annes, grce la mise au point de calculateurs temps rel rapides, on

exploite de plus en plus les machines asynchrones. Les machines cage sont de fabrication simple et ne

posent pas de problmes de maintenance. Par contre, on ne savait pas raliser le dcouplage courant-flux

car on ne peut jouer que sur les caractristiques de la tension du moteur : il ny a pas dexcitation ! Cest

maintenant chose faite.

Par ailleurs, pour tudier une machine lectrique, le but de llectrotechnicien est dlaborer un

modle aussi fin que possible qui puisse rendre compte de la ralit. On sait que le dimensionnement

dune motorisation se fait en prenant en compte les rgimes transitoires ( mise en vitesse ) qui sont plus

contraignants que les rgimes tablis. Il importe donc que les modles soient utilisables aussi bien en

rgime statique que dynamique. Cest facile faire pour le moteur courant continu, a lest beaucoup

moins pour le moteur asynchrone.

De nombreuses applications industrielles ncessitent un contrle de vitesse ou de position. La

relation fondamentale de la dynamique permet dcrire :

re CCdtdJ =.

o Ce reprsente la somme des couples moteurs appliqus, Cr la somme des couples rsistants et J le

moment d'inertie de l'ensemble des parties tournantes. On obtient ainsi la vitesse par :

+=t

reo dtCCJ

0

)(1

, ce qui montre que le contrle de la vitesse (ou de la position qui est la

primitive de la vitesse) passe par le contrle du couple.

La machine courant continu excitation spare est bien adapte un contrledu couple car il suffit de contrler son courant induit. Le but atteindre est de faire la

mme chose avec la machine asynchrone.


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B2. MODELISATION EN REGIME PERMANENT

Bibliographie :

1. Cours dElectrotechnique : T1 Machines tournantes courants alternatifs par JL

DALMASSO (Collection DIA/BELIN)

2. Cours dElectrotechnique : T3 Machines courant alternatif par Cl TOUSSAINT et M

LAVABRE (Collection DUNOD)

3. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER(Editions TECHNIP)


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B2. 1 . PRINCIPE DU FONCTIONNEMENT

1.1. Description sommaire de la machine (schma avec p =1)

Figure 1

xS1

xS2

xS3

xR3

xR2

xR1

ROTOR

STATOR

O

= (OxS1, OxR1)

s

entrefer

Le stator dune machine asynchrone est

identique celui dune machine synchrone : 3

enroulements coupls en toile ou en triangle sont

aliments par un systme de tensions quilibres. Il

va en rsulter (Thorme de FERRARIS) lacration dun champ magntique glissant dans

lentrefer de la machine. La vitesse de glissement de

ce champ par rapport au stator est:

S = S/p

o S dsigne la pulsation du rseau dalimentation

triphas statorique et p le nombre de bobines dechaque bobinage. p dsigne galement le nombre depaires de ples du champ (une paire tant constitue

dun ple Nord et dun ple Sud).

Remarque : le stator tant soumis un champ

variable doit tre feuillet pour limiter les pertes par

courant de Foucault.

Le rotorde la machine supporte un bobinagesemblable celui du stator : bobinage triphas

mme nombre de ples que celui du stator. Ces 3

bobinages sont coupls en toile et court-circuits sur

eux-mmes. Ce type de rotor est dit bobin mais onpeut envisager un rotor plus sommaire constitu de

barres conductrices court-circuites par un anneau

conducteur chaque extrmit. On peut alors montrer

que ce rotor cage dcureuil se comporte comme un

rotor bobin. Le rotor tourne une vitesse angulaire

ne pas confondre avec S.

En rgime permanent et S sont des constantes

mais a nest pas le cas en rgime variable.

Remarque : Sur la Figure 1, les axes 1, 2, 3correspondent aux axes des phases statoriques et

rotoriques.

Posons :

= (OxS, OxR)

langle fait par une phase rotorique par rapport la

phase statorique correspondante (c'est pourquoi on a

omis l'indice). Lorsque la machine tourne, cet angle

est une fonction du temps. En rgime permanent,

cest la drive de qui est une constante.


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1.2. Analogie avec un transformateur

Supposons les bobinages rotoriques en

circuit ouvert et le rotor fixe. Lorsque le stator

est aliment, un flux variable engendr par les

courants statoriques va traverser chacun des

bobinages rotoriques : il y a couplagemagntique entre les enroulements. On peut

donc dfinir un coefficient dinductance

mutuelle entre le bobinage 1 du stator et chaque

bobinage du rotor.

Ainsi, on aura m1 = m.cos() si p=1 o mreprsente la valeur maximum de m1 obtenue

quand les bobinages 1 stator et rotor sont en

regard ( = 0).De la mme faon, on aura m2 =

m.cos(+2/3) et m3 = m.cos(+4/3). On

rcuprera donc aux bornes de chaqueenroulement secondaire une tension variable de

pulsation S lorsque le rotor est fixe et dont lavaleur efficace dpend du dcalage entre les

bobinages. La machine asynchrone peut tre

appeletransformateur champ tournant.

1.3. Principe du fonctionnement de la machine asynchrone

1.3.1. Cas d'un fonctionnement

hyposynchrone

Les 3 bobinages du secondaire sont court-

circuits et le rotor tourne une vitesse Savec

< S.Le rotor peroit donc un champ glissant la

vitesse relativeR = S - .Il en rsulte donc la cration dune fem induite

dans les bobinages rotoriques. Cette fem est la

pulsation R = p.R= p.(S- ) = p..S - p..

R = S p.. ou S = p.. + R

La frquence rotorique est : fR = p.nR =

p.(nS - n) en dsignant par n la frquence de rotation

du rotor et nS celle du champ glissant.

La valeur efficace de la fem est ER =

(/2)KBR.NR.fR.Pavec KBR : facteur de bobinage dun enroulementrotorique

NR : nombre de brins de chaque enroulementrotorique

P : le flux sous un ple du champ glissantCette fem court-circuite sur lenroulement

va donner naissance un courant (dont lintensit est

limite par limpdance de ce dernier). Linteraction

entre ce courant et le champ glissant va donner

naissance des forces sexerant sur les brins du

rotor dont le moment par rapport laxe de rotation

constituera le couplede la machine. On notera que ce

couple nexiste que si la fem est non nulle cest dire

si fR est non nulle : le rotor ne doit pas tourner au

synchronisme pour quil y ait couple do le nom demachine asynchrone.

Dfinition: on appelle glissement la grandeur :g =

(nS - n)/nS = (S - )/SCette grandeur sans dimension sexprime en % . On a

fR = g.fS ou R = g.S.

La fem ER = (/2)KBR.NR.g.fS.P est doncdirectement proportionnelle au glissement.

1.3.2. Cas d'un fonctionnementhypersynchrone

Dans ce cas, on a > S .

R = p.R= p.( - S) = p.. -p.S

R = p.. - S ou S = p.. - R

En rsum quel que soit le fonctionnement :

S = p.. R+ : pour un fonctionnement moteur hyposynchrone- : pour un fonctionnement gnrateur

hypersynchrone

Dans un fonctionnement classique sur rseau

industriel, la pulsation S est bien-sr impose, mais

si on alimente la machine avec un onduleur, il est

possible de faire varier S pour mieux contrler la

machine.

Remarque : finalement cest lunique source

dnergie (alimentation du stator) qui cre le champ

glissant et le courant induit. il ny a pas de

dcouplage comme avec une machine courant

continu ou une machine synchrone avec les 2

sources dnergie dont une spcifique au champ :

lexcitation.


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B2. 2. SCHEMA EQUIVALENT une phase de la machine EN REGIMEPERMANENT

Ce schma est tabli partir de lanalogie avec le transformateur

2.1. Notations

On suppose les enroulements statoriques

primaires coupls en toile. La machine est

alimente par un systme triphas de tensions

quilibres.

Au primaire (stator) les grandeurs

caractristiques sont :

-VS : valeur efficace de la tension applique sur

un enroulement de phase

-S : pulsation de cette tension- RS: rsistance dun enroulement

-lS : inductance de fuite dun enroulement

- ES : fem dveloppe aux bornes du bobinage

ES = (/2)KBS.NS.fS.P

Au secondaire (rotor) les grandeurs

caractristiques sont :

-R = g.S : pulsation des fem et courantsrotoriques

- RR : rsistance dun enroulement

-lR : inductance de fuite dun enroulement- ER : fem dveloppe aux bornes du bobinage

ER = (/2)KBR.NR.fS.g.P

2.2. Schma quivalent une phase du moteur rotor ouvert

Dans ce cas, le rotor nest pas entran : = 0 ou g = 1. La frquence rotorique est donc aussi f.On peut donc dessiner un schma quivalent de type transformateur comme suit :

Figure 2

VS

RS lS

ES mSR ERo

lRRRIS IR = 0

mme frquence au primaire et au secondaire

Le rapport de transformation m(nombre sans dimension) est dfini par

SBS

RBRRS

NK

NKm =

Pour prendre en compte lexistence de lentrefer et des pertes fer du moteur, le modle peut tre

affin en rajoutant lensembleRf // Lf comme indiqu sur la Figure 3.

Figure 3

VS ES mSR ERo

lRRRRS lSIS IR = 0


Rf Lf


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2.3. Schma quivalent rotor ferm

Dans ce cas 0 et g 1. Si le secondaire est court-circuit, on peut crire :

ER = (RR + jgSlR) IR

o les amplitudes complexes sont la frquence gSet oERa une valeur efficace proportionnelle g.

En divisant par g, on obtient :ER/g = (RR /g+ jSlR) IR = ERo

On constate alors que le rapport ER/g ne dpend plus de g et a la mme valeur que dans un

fonctionnement rotor ouvert :ERo. Par ailleurs, la pulsation apparat comme tant la mme que celle duprimaire. On peut donc adopter le schma du transformateur modifi comme suit :

Figure 4

VS ES mSR ERo

lRRR/gRS lSIS


Rf Lf

IR

En ralit, ce schma nest justifi que pour les tensions. Or, les 2 ronds imbriqus reprsentent un

transformateur parfait pour les tensions et les courants.

Pour justifier ce schma pour les courants, on peut remarquer que si la chute de tension dans

limpdanceRS + jSlSau primaire est faible, on a pratiquement VS ES = (/2)KBS.NS.fS.P. Cette

expression montre que P est impos par la tension dalimentation VS. La machine asynchronefonctionne flux forc sous rserve que lapproximation nonce plus haut soit correcte.

Ceci complte lanalogie avec le transformateur. On en dduit un schma simplifi par cette

approximation :

Figure 5

VSES

mSR ERo

lRRR/gIS


Rf Lf

IR

2.4. Conclusion

Le schma quivalent tabli ci-dessus rsulte de la modlisation du transformateur. On dfinit un

schma quivalent pour une phase du moteur, mais ce schma na de sens que si le moteur est triphas,sinon le thorme de Ferraris ne sapplique plus.


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Signification physique de la rsistance RR /g:

On constate que le schma est purement lectrique et quil ne comporte pas la traduction de la

transformation de lnergie lectrique en nergie mcanique. On peut toutefois crire :

)1

(g

gRRR

g

RR

g

RRRR

RR

R +=+=

Le 1er terme RR de la dernire galit reprsente la rsistance relle de lenroulement alors que le

2me )1

(g

gRR

est une rsistance fictive qui traduit la transformation de lnergie. Cest pourquoi on

lappelle parfoisrsistance motionnelle.

On pourrait dfinir galement un schma quivalent en faisant disparatre le transformateur par

la technique habituelle en divisant limpdance du secondaire par le carr du rapport de transformation.

B2. 3. SCHEMA EQUIVALENT une phase de la machine EN REGIME

PERMANENT

Ce schma est tabli partir des coefficients dinductance

Bibliographie :

1. Confrence de JP HAUTIER ET JP CARON aux journes 3EI de 1993

2. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER

(Editions TECHNIP)

3.1. Hypothses simplificatrices

Le circuit magntique de la machine nest

pas satur et lon nglige les pertes fer.

De ce fait, tous les coefficients

dinductance propre sont constants et les

coefficients dinductance mutuellene dpendent

que de la position des enroulements.

3.2. Loi des mailles matricielle

Figure 6

La machine possde 6 enroulements (3 au

stator et 3 au rotor) coupls magntiquement.

Pour chacun deux on peut crire une

quation tire de la Figure 6 du type :

dt

dRieRiv

==

o reprsente le flux total traverslenroulement.

R

v e

i


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17

Pour lensemble des enroulements

statoriques, on crira en notation matricielle:

+

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

.

00

00

00

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

dt

d

i

i

i

R

R

R

v

v

v

Pour lensemble des enroulements

rotoriques, on crira en notation matricielle :

+

=

3

2

1

3

2

1

.

00

00

00

0

0

0

R

R

R

R

R

R

R

R

R

dt

d

i

i

i

R

R

R

3.3. Equations des flux

Figure 7

xS1

xS2

xS3xR3

xR2

xR1

ROTOR

STATOR

O

= (OxS1, OxR1)

s

On dsigne par :

- lS : le coefficient dinductance propre dun enroulement statorique (on ne confondra pas avec la

prsentation donne dans le paragraphe prcdent qui na rien voir puisquil sagissait dune

inductance de fuite)

- mS : le coefficient dinductance mutuelle avec chacun des 2 autres bobinages statoriques (on ne

confondra pas non plus avec un rapport de transformation : nombre sans dimension)

- m1, m2, m3 : les coefficients dinductance mutuelle avec les 3 bobinages rotoriques.

Compte tenu du schma ci-dessus, on crira :

m1 = mSR.cos(OxS1,OxR1) = mSR.cos()m2 = mSR.cos(OxS1,OxR2) = mSR.cos(+2/3) = mSR.cos(4/3)m3 = mSR.cos(OxS1,OxR3) = mSR.cos(+4/3) = mSR.cos(2/3)

o mSRreprsente la valeur maximale des coefficients dinductance mutuelle stator-rotor obtenue lorsqueles bobinages en question sont en regard lun de lautre.


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18

Lexpression du flux total travers le bobinage statorique 1 sera la suivante :

3322113211 ...)(. RRRSSSSSS imimimiimil +++++= (3.1)

Lcriture matricielle ci-dessous rsume les 3 quations de flux statoriques :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

.

cos.3/2cos.3/4cos.

3/4cos.cos.3/2cos.

3/2cos.3/4cos.cos.

.

R

R

R

SRSRSR

SRSRSR

SRSRSR

S

S

S

SSS

SSS

SsS

S

S

S

i

i

i

mmm

mmm

mmm

i

i

i

lmm

mlm

mml

[LS] [MSR]

[LS] : matrice [3,3] est appele matrice inductance du stator et [MSR] : matrice [3,3] galement, est la

matrice inductance mutuelle entre le stator et le rotor. [MSR] est une matrice circulante en ce sens que la2

meligne est obtenue partir de la 1

reen dcalant dun cran vers la droite chaque terme.

De faon similaire, on aura au rotor :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

.

cos.3/4cos.3/2cos.

3/2cos.cos.3/4cos.

3/4cos.3/2cos.cos.

.

S

S

S

SRSRSR

SRSRSR

SRSRSR

R

R

R

RRR

RRR

RRR

R

R

R

i

i

i

mmm

mmm

mmm

i

i

i

lmm

mlm

mml

[LR] [MRS]

[LS] : matrice [3,3] est appele matrice inductance du rotor et [MRS] : matrice [3,3] galement, est lamatrice inductance mutuelle entre le rotor et le stator.

On notera que la matrice des mutuelles du rotor est obtenue en transposant celle du stator.

3.4. Etude enrgime permanent

Dans ce cas, et S sont des constantes.

Les tensions statoriques forment un systme quilibr la pulsation S :

( )

( )

( )3/4cos.

3/2cos.

cos.

3

2

1

==

=

tVv

tVv

tVv

SSS

SSS

SSS

Les courants statoriques forment un systme triphas dphas :

( )

( )

( )SSSS

SSSS

SSSS

tIi

tIi

tIi

==

=

3/4cos.

3/2cos.

cos.

3

2

1

avec ),( 11 SSS vi=

Les courants rotoriques forment un systme triphas la pulsationR:

( )

( )( )RRRR

RRRR

RRRR

tIitIi

tIi

= =

=

3/4cos.3/2cos.

cos.

3

2

1


19/64

19

Dans lquation des flux, langle qui donne la position du rotor par rapport au stator est une

fonction du temps puisquil y a glissement. On crira = ten supposant qu t = 0 les axes du stator et

du rotor soient concidants. = p. prend en compte le nombre de ples de la machine. Les lments dela matrice des mutuelles sont donc aussi fonction du temps. En reprenant lquation (3.1) ci-dessus, ilvient :

332211111 ..... RRRSSSSS imimimimil +++= car 132 SSS iii =+

On pose :

lS-mS = LS : inductance cyclique statorique

Le mot cyclique signifie ici que lon prend en compte la contribution des 3 phases statoriques

mme si le flux correspondant LS .iS1 semble ne provenir que du courant iS1.

)...(. 33221111 RRRSSS imimimiL +++=

Calculons )...( 332211 RRR imimimA ++= avec = .t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3/4cos.3/2cos3/2cos.3/4coscos.cos. ++= RRRRRRRSR ttttttImA

( )( ) ( )RSRSRRRRSR tImtImA =+= cos..2

3cos..

2

3

o lon constate que A est la mme pulsation que le 1er terme de 1S .

On pose :

MSR = 3/2mSR : inductance mutuelle cyclique

Finalement, lexpression du flux devient :

)cos(.)cos(.1 RSRSRSSSSS tIMtIL +=

En utilisant la notation complexe habituelle aux grandeurs sinusodales la pulsation S, on a enomettant lindice :

S = LSIs + MSRIR (3.2)

De mme, la loi des mailles devient :

VS = RSIS + jSs (3.3)

Au rotor, on pourra crire pour les flux :

R = LR.IR + MSR.IS (3.4)

Ainsi que la loi des mailles :

0 = RR.IR+jSg..R (3.5)


20/64

20

3.5. Schma quivalent en rgime permanent : modle inductances couples

En reprenant les quations (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) prcdentes on peut crire :

VS = RSIS+jSLSIS + jSMSR.IR

0 = RR/gIR+jSLR.IR + jSMSR.IS

On en dduit un schma aux inductances couples :

Figure 8

Tel quel, ce schma fait penser un transformateur sans que lon puisse reconnatre le schma de

la Figure 5. On ne confondra surtout pas MSR avec le rapport de transformation m.

EXERCICE : montrer que le rapport de transformation mSR est gal MSR/LS

3.6. Schma quivalent en rgime permanent: modle inductances rparties

Les quations grises ci-dessus peuvent tre rcrites comme suit :

VS = RSIS+jS(LS-MSR)IS + jSMSR(IR+IS)

0 = (RR/g)IR+jS(LR-MSR)IR + jSMSR(IS+IR)

Ces quations permettent de dessiner le schma Figure 9 ci-dessous :

Figure 9

VS

RS L1 =LS-MSRIS

MSR

RR/gIR

L2 =LR-MSR

L1 est appele inductance cyclique de fuite du stator et L2 inductance cyclique de fuite durotor. Dans un moteur sans fuites de flux ces valeurs seraient nulles !

RS

VS LS

IS

RR/g

IRMSR

LR


21/64

21

3.7. Schma quivalent en rgime permanent: modle fuites totalises au rotor

Figure 10

VS

RSIS

LS

R'R/gI'R

L'R

VE

ISo

Si la machine tourne au synchronisme (g = 0), les 2 schmas de la Figure 9 et de la Figure 10

doivent tre quivalents, ce qui donne la valeur de linductance verticale : LS. Compte tenu de lquation

(3.3): VS = RSIS + jSs le terme jSs sidentifie VE.

Il est alors possible dcrire : S = LS.ISo o ISo est le courant absorb vide (g = 0) sur la Figure10.

Les nouvelles grandeursIR, LR et RRsont, elles, dfinir.

On a VE = jS.S etS =LS.IS +MSR.IR : quation(3.2)

Il vient :

RSoR

S

SR

S

SS III

L

M

LI '=

=

ce qui permet didentifier IR:

R

S

SRR I

L

MI ='

Essayons maintenant didentifier les lments : LR et RR en repartant de la loi des mailles

rotorique : 0 = (RR/g)IR+jSLRIR + jSMSRIS

+= RS

R

SR

RSS Lj

g

R

M

IIj , soit en reportant ISdans lexpression de VE

RSRSRSR

SR

RSRSRSSSSSE IMjLj

g

R

M

ILIMILjjV +

+=+== )( ce qui permet dexprimer VE

uniquement partir de IR:

+= )( SR

SR

RSS

R

SR

SRE M

MLLj

gR

MLIV Exprimons IRen fonction de IR:

+

=

+= SR

SR

RS

SR

SS

R

SR

SRSR

SR

RSS

R

SR

S

SR

SRE M

M

LL

M

Lj

g

R

M

LIM

M

LLj

g

R

M

L

M

LIV

2

')('

+

=

+

=

RS

SRR

SR

SS

R

SR

SR

S

SRR

SR

SS

R

SR

SRE

LL

ML

M

Lj

g

R

M

LI

L

ML

M

Lj

g

R

M

LIV

222222

1''

Compte tenu de la Figure 10, on peut aussi crire :

+

= RSR

RE Ljg

R

IV '

'

'


22/64

22

ce qui permet de trouver : RSR

SR R

M

LR .'

2

= et R

SR

SR

RS

SR

SR

SR L

M

LL

LL

M

M

LL

222

1'

=

= en

posant :RS

SR

LL

M2

1=

o

est appel coefficient de dispersion de BLONDEL

Interprtation physique du modle :

Interprtation de :

Le termeS

SR

L

Mreprsentele rapport de transformation de la machine dans le sens statorrotor :

mSR. De mme,

SR

R

M

Lreprsentele rapport de transformation de la machine dans le sens rotor stator :

mR S.

Si la machine na pas de fuites de flux, ces 2 rapports de transformation doivent tre inverses (il

suffit de se souvenir que dans un transformateur classique, cela reprsente le rapport des nombres de

spires des bobinages).

Dans ce cas :SR

R

S

SR

M

L

L

M= , ce qui conduit = 0.

Le coefficient de dispersion de Blondel permet destimer les fuites de flux de la machine.

Typiquement, on a : 10%.

Interprtation de RSR

SR R

M

LR .'

2

= et R

SR

SR L

M

LL

2

'

=

( )2'

RS

RR

m

RR

= et2

)('

RS

RR

m

LL

=

On peut donc dire que le modle est quivalent celui de la Figure 11 :

Figure 11

ISoVS VE mSR

lR = NRRR/gIS


LS

IR

RS

Ca nest autre que le modle de la Figure 5, aux pertes fer prs puisquelles nont pas t prises en compte et

avec une convention oppose pour le courantI

R. Mais cela donne une signification claire aux diffrents lments,alors que ceux introduits par lanalogie transformateur taient issus dune approximation.


23/64

23

3.8. Schma quivalent en rgime permanent: modle fuites totalises au stator

En procdant comme prcdemment, il est possible de donner un schma o lon ramne les fuites

au niveau du stator. Le schma est alors le suivant :

Figure 12

VS

RSIS

L"S

R''R/g I''RNS

VE

ISo

V'E

Comme dans le paragraphe prcdent, jSSsidentifie VE .

Pour exprimer NS, on reprend les quations des flux (3.2) S = LSIs + MSRIRet(3.4) R = LR.IR +MSR.IS en exprimant IRen fonction de IS.

( )SSRRR

R IML

I = 1 soit ( ) RR

SRS

R

SRSSSRR

R

SRSSS

L

MI

L

MLIM

L

MIL

+

=+=

2

R

R

SRSSR

R

SRS

SR

SRSS

L

MIL

L

MI

LL

ML

+=

+

=

2

1

Le terme SN peut alors tre identifi SL et RR

SRSE

L

MjV

= '

Pour quil y ait quivalence entre les schmas, notamment vide (g = 0), on doit avoir

( )R

SRSS

LMLL

2

1'' ==

Il est alors possible den dduire la valeur du courant ISo :

SR

R

R

SR

R

R

SR

ss

ESo

M

L

M

L

M

Lj

VI

=

==

2''

'

Or (3.4) R = LR.IR + MSR.IS. Do RSoRSR

R

SR

RS III

M

L

MI ''=

= daprs la Figure 12.

On en dduit RSR

RR I

MLI =''

De la Figure 12, on tire la loi des mailles : RR

E Ig

RV ''

''' = ou R

SR

RRR

R

SRS I

M

L

g

R

L

Mj .

''=

De(3.5) 0 = RR.IR+jSg..R,on tire : RR

RS Ig

Rj = , soit en rcrivant la ligne du dessus :

R

SR

RRR

R

SRR IM

L

g

RI

L

M

g

R.

''=

, do :

R

R

SRR R

LMR

2

''

=


24/64

24

Soit finalement les 2 expressions : RR

SRR R

L

MR

2

''

= et R

R

SR

R

SRS L

L

M

L

ML

22

''

==

Interprtation physique du modle :

Le coefficientR

SR

LM reprsente 1/ mR S.

Lintrt du schma de la Figure 12 est de faire apparatre 2 lments : LS et RR qui auront des

courants en quadrature. Celui qui circule dans LS est gnrateur de flux et celui qui circule dans RR

gnrateur de couple comme on le verra dans la suite.

Le fait quils soient en quadrature est une premire approche de la commande vectorielle en

rgime permanent. On y retrouve la quadrature entre le champ magntique dexcitation et le courant

induit de la machine courant continu. Il est toutefois important de noter quil ny a ce stade aucun

moyen de rgler de faon indpendante chacun de ces 2 courants, ce qui constitue rellement la

commande vectorielle.

B2. 4. COUPLE ELECTROMAGNETIQUE EN REGIME PERMANENT(alimentation du moteur avec un rseau frquence fixe)

Pour exprimer le couple lectromagntique, on va utiliser le modle tabli la Figure 11.

Figure 11

ISoVS VE mSR

NRRR/gIS


LS

IR

RS

mSR sera not plus simplement m.

Le couple se calcule partir de la puissance lectromagntique par SEE TP =

4.1. Expression du couple TE

La puissance lectrique transmise au rotor de la machine est consomme dans les rsistancesg

RR :

SERe TIg

RP == 23

Le schma montre que :

( )

( ) 22

2

2

/

*

SRR

E

R

NgR

VmI

+=


25/64

25

On obtient donc :

( )

( ) ( )22

2

/

/3

SRR

RE

ENgR

gR

s

mVT

+

=

La tension EV nest pas directement accessible. On peut la remplacer par SV si la chute de tension

dans la rsistance SR est ngligeable, ce qui nest pas toujours le cas.

4.2. TE = f(g)

La reprsentation de cette fonction est faite EV = constante. On peut constater que toutes choses

gales par ailleurs, le couple est proportionnel au carr de la tension dalimentation. Le point g = 1

correspond un dmarrage de moteur.

La partie 0>

=S

S

n

nng correspond un fonctionnement moteur hyposynchrone et la partie

0TE sans que lquilibre puisse se rtablir. Le moteur dcrochera .

Le seul point de fonctionnement stable sera donc le point M1.


27/64

27

4.4. TE = f(R)

Nous allons donner une autre expression du couple en utilisant la variable R, pulsation descourants au niveau rotorique. Le glissement a t dfini au paragraphe 1.3. pour un fonctionnement

moteur parS

S

n

nng

= . Dans ce cas g est positif, mais il devient ngatif pour un fonctionnement

gnrateur. On crira :S

Rg

= , le signe + correspondant un fonctionnement moteur et le signe un

fonctionnement gnrateur. Lexpression du couple devient :

( ) ( ) ( ) ( )222

22

22

22

/

/3

/

/3

RRR

RR

S

E

SRRSR

RSR

S

E

E

NR

RVpm

NR

RVpmT

+=

+=

(4.1.)

Figure 15

R

TE

RR/N

TEMAX

La Figure 15 a la mme allure que celle de la Figure 13, mais la variable est maintenant R. Le

couple passe par une valeur maximale2

22

2

3

SR

E

EMAX

N

VpmT

= pour une valeur de

R

R

RN

R= . On na pas

reprsent ici la partie correspondant au fonctionnement gnrateur car elle est symtrique par rapport

laxe R.Lquation (4.1.) montre que le couple en rgime permanent ne dpend que de la pulsation Rpour un moteur aliment sur un rseau industriel frquence et tension fixes.


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28

B2. 5. SOLUTIONS CLASSIQUES POUR LA VARIATION DE VITESSE

5.1. Dmarrage des moteurs sur un rseau industriel frquence fixe

On ne peut pas parler dans ce cas de variation de vitesse puisquil sagit simplement de passer de la

vitesse nulle la vitesse de fonctionnement. On souhaite simplement limiter lappel de courant au

dmarrage sans trop limiter le couple. Les solutions classiques sont :

- dmarrage toile triangle

- insertion de rsistances ou dinductances en srie avec le stator

- dmarrage par autotransformateur

- utilisation de produits spcifiques (Altistart de Tlmcanique par exemple)

Toutes les solutions prcdentes sont utilisables sur des moteurs cage. Dans le cas o le moteur

est rotor bobin, il est possible de faire varier la vitesse en utilisant un rhostat rotorique (classique ou

lectronique).

5.2. Variateurs scalaires U/f = constante

Figure 11

ISoVS VE mSR

NRRR/gIS


LS

IR

RS

Ona montr dans ce cas (B2. 4. 4.4.)que le couple lectromagntique en rgime permanent est

donn par :

( ) ( )222

22

/

/3

RRR

RR

S

E

E

NR

RVpmT

+=

La valeur maximale du couple est donne par2

22

2

3

SR

E

EMAX

N

VpmT

= pour

R

R

RN

R= .

Alimentons la machine partir dun onduleur pour lequel on a accs aux rglages de la frquencede travail et la valeur efficace de la tension VE.

2

22

2

3

SR

E

EMAX

N

VpmT

= ou

22

2

3

=

S

E

R

EMAX

V

N

pmT

Si lon peut travailler avec un rapport =S

EV

constante, cette valeur maximale du couple sera

constante quelque soit la frquence de travail.

De faon plus fine, si lon souhaite matriser le couple en rgime permanent de la machine, il

faudra imposer =S

EV

constante mais aussi la pulsation rotoriqueR.


29/64

29

Le schma ci-dessous propose une structure de principe permettant le contrle du couple en

rgime tabli.

Figure 16

VS =K.S +

VS

S

p

R

+

Rseau EDF

Onduleur

M.L.I. MAS

Capteur devitesse

p

S = p R

K

Calculateur

La source dnergie est le rseau EDF mono ou triphas.

Le moteur est pilot par un onduleur de tension modulation de largueur dimpulsion.

Un capteur de vitesse permet daccder la grandeur . Un calculateur permet dlaborer laconsigne de pulsation de londuleur : RS p = . Rsera choisie en fonction du niveau de couplesouhait et lon prendra un signe + dans le cas dun fonctionnement moteur et le signe pour un

fonctionnement en freinage. S permet de fournir une consigne de tension VS pour londuleur : VS = K.S.

Ce type de commande correspond un fonctionnement autopilot au sens o la frquence qui est

gnre par londuleur est fonction de la vitesse relle de la machine. Il existe bien-sr des commandes

plus simples qui ne ncessitent pas de capteur de vitesse.

Critique de la conception :

On ne peut laborer que VS, alors que cest VE qui serait ncessaire ! Mais VE nest pas une

grandeur accessible. Ces 2 grandeurs diffrent toutefois assez peu dans le cas o lon peut ngliger lachute de tension dans la rsistance RS. Ceci est le cas vitesse assez proche de la vitesse nominale mais a

nest plus vrai aux faibles vitesses car on peut montrer que RSIS ne dpend pas de la vitesse couple

constant.

Voil pourquoi, le couple en rgime permanent tabli ne sera pas bien matris basse vitesse

avec ce type de variateur.

Les constructeurs proposent des profils de lois de commande VS/S non constants pour sadapteraux diffrents types de charges rencontres dans lindustrie (pompes, ventilateurs, etc), de la

compensation RI pour essayer de tenir compte de la chute de tension statorique, de la compensation de

glissement dans le cas o il ny a pas de capteur de vitesse.


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30

5.3. Variateurs contrle de courant

Reprenons le schma propos la Figure 12.

Figure 12

VS

RSIS

L"S

R''R/gI''R

NS

VE

ISo

V'E

On va exprimer ici le couple en rgime tabli partir du modle fuites totalises au stator.

La puissance lectromagntique est donne par :

SER

R

e TIg

RP == 2''

''3

La relation du diviseur de courant permet dcrire :

( )

( )2

2

2

2

22

2

22

''''

''

''

1

/''

1

/''

1

''

+

=

+

=

g

RL

LI

LgR

gRII

R

SS

SS

S

SSR

R

SR

( )

( )2

2

2

22

''''

''''

+

=

R

R

S

S

SR

RL

LII

carS

Rg

=

Ce qui permet de donner une expression autre de TE:

( )

( )

( )

( )2

2

22

2

2

2

22

''''

''

.''.3''

''

''.

''.3''.

''.

3

+

=

+

=

=

R

R

S

R

R

SS

R

R

S

S

S

R

R

R

R

S

E

RL

R

ILpR

L

LI

RpI

g

RT

Cette expression montre que le couple sera impos par une valeur de Ret une valeur de IS. Il estdonc possible dimaginer une structure identique celle donne la Figure 16. La seule diffrence rsidedans le fait que londuleur de tension sera remplac par un commutateur de courant dont on contrlera le

courant.

Cette solution a notamment t retenue par la SNCF (Z20500). La constante de

temps dun train au dmarrage tant longue, il est facile de comprendre que lon se

rapprochera dun fonctionnement en rgime tabli tout instant. Il en irait videmment

autrement de la motorisation dune machine outil avec des temps de raction trs

courts !


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31

B3. MODELISATION EN REGIME QUELCONQUE

Bibliographie :

1. Machines lectriques : T1 par J CHATELAIN (Collection DUNOD)

2. Introduction llectrotechnique approfondie par J LESSENNE, F NOTELET, G

SEGUIER (Collection Technique et Documentation)

3. Modlisation et commande de la machine asynchrone par JP CARON et JP HAUTIER

(Editions TECHNIP)

La comprhension de cette partie ncessite un minimum de connaissances sur le

calcul matriciel. On trouvera enannexeun rsum des proprits les plus importantes(on pourra consulter un ouvrage de maths appliques : AZOULAY/AVIGNANT T2 BTS

et IUT Collection Edisciences).

En lectrotechnique, il nest pas rare dtre confront des changements de base. Ainsi, dans

ltude des rseaux dsquilibrs, on utilise un changement de base permettant dexprimer tout rseau (v1,

v2, v3) partir de 3 grandeurs appeles :

- composante directe : vd

- composante inverse : vi- composante homopolaire : vo

=

o

i

d

v

v

v

aa

aa

v

v

v

1

1

111

2

2

3

2

1

avec )3/2.exp( = ja : oprateur rotation de 3/2

La matrice

=

1

1

111

2

2

aa

aaP est appele matrice de changement de base.

On a dj rencontr des matrices dans la 1re partie :

- B2.3. 3.2. matrice rsistance - B2.3. 3.3. matrice inductance au stator et au rotor et matrice inductance mutuelle

La matrice rsistance est simple : elle est diagonale car elle na de composantes non nulles que

sur sa premire diagonale. Par contre, les matrices inductance et inductance mutuelle sont plus

complexes.

Le but dun changement de base est de rendre leur criture plus simple dans la nouvelle base.

Cela consiste en pratique les rendre diagonales.


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32

B3.1. DIAGONALISATIONDUNE MATRICE INDUCTANCE

Considrons une matrice inductance statorique ou rotorique en omettant lindice.

[ ]

=

lmm

mlm

mml

L

Cette matrice est symtrique par rapport sa premire diagonale. Elle est alors diagonalisable. On

va donc essayer de la diagonaliser et de dterminer le changement de base permettant de le faire.

La dmarche consiste trouver lesvaleurs propresde cette matrice :

1. On calcule pour cela le polynme caractristique de cette matrice soit :

[ ] [ ] 0)det( = IL o la notation det dsigne le dterminant, [I] reprsente la matrice

unit 3 sur 3, cest dire : [ ]

=

100

010

001

I et une valeur propre.

2. On cherche ensuite les racines de ce polynme qui sont les valeurs propres.

3. La matrice diagonale est alors obtenue en rangeant les diffrentes valeurs propres sur la

1re

diagonale et la matrice de changement de base est donne par un ensemble de 3

vecteurs propres rangs dans le mme ordre que les valeurs propres.

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

+=

= lmmmmlmmmlllmm

mlm

mml

IL 2222

)det(

o lon a dvelopple dterminant suivant la premire ligne de la matrice.

[ ] [ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( )( ) 22 2.2..)det( mmllmlmlmmlmllIL +=+=

[ ] [ ] 0)det( = IL si lun ou lautre des 2 facteurs sannule soit de faon vidente 1 = l-m pour lepremier, 2 = l-m et 3 = l+2m qui sont les racines de lquation du 2

medgr en m du 2

mefacteur.

La matrice diagonale peut donc scrire :

[ ]

+

=

ml

ml

ml

Ldiag

200

00

00

Reste maintenant dterminer la matrice de changement de basequi pourra scrire :

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]321 VVVP = o les 3 vecteurs (V)reprsentent un vecteur propre associ chacune des valeurs propres.


33/64

33

Pour 1 on aura :

( )

=

c

b

a

ml

c

b

a

lmm

mlm

mml

o a, b, c sont les coordonnes du vecteur propre.

puisquun vecteur propre vrifie la proprit : [ ]( ) ( ) VVL =

En effectuant le produit de matrices, on obtient pour la premire ligne :

malamcmbla =++ soit 0=++ cba

On vrifiera que pour les 2 autres lignes on obtient le mme rsultat.

Par consquent tout vecteur dont les composantes forment un systme triphas quilibr est un

vecteur propre. On peut donc choisir avec quelconque :

( )

=

3/4cos

3/2cos

cos

1

V

La 2me

valeur propre tant identique la premire, on doit choisir un vecteur propre qui soit

indpendant. Un choix possible est :

( )

=

3/4sin

3/2sin

sin

2

V

On montrera facilement que pour 3, la solution est un vecteur dont les 3 composantes sontgales :

( )

=

1

1

1

3V

Une matrice de changement de base possible (elle nest pas unique) est :

[ ]

=13/4sin3/4cos13/2sin3/2cos

1sincos

P

Lintrt de ce changement de base est quil rend la matrice inductance de dpart (seulement

symtrique) diagonale :

[ ]

+

=

ml

ml

ml

Ldiag

200

00

00

On se propose de montrer dans la suite que moyennant quelques amnagements pour la matrice depassage, toutes les matrices et notamment la matrice inductance mutuelle peuvent tre diagonalises.


34/64

34

B3. 2. CHANGEMENT DE BASEDE PARK

La transformation de PARK est ancienne (1929), si elle redevient lordre du jour, cest toutsimplement parce que les progrs de la technologie des composants permettent maintenant de la raliser

en temps rel.

Soit (VS) le vecteur tension appliqu aux 3 phases statoriques de la machine :

( )

=

3

2

1

S

S

S

S

v

v

v

V

Ce vecteur constitu des 3 tensions est priori quelconque car on ne se limite pas dans cette

partie un rgime sinusodal.

La transforme de PARK correspond tout simplement au changement de base prcdemmentexpos qui permet de diagonaliser une matrice inductance .

La matrice de changement de base est [P(S )] dfinie par :

( )[ ]

=

1)3/4sin()3/4cos(

1)3/2sin()3/2cos(

1sincos

SS

SS

SS

SP

lindice S tant ici rajout pour signifier que lon est au stator.

Le paramtre S est au choix de lutilisateur. Il doit donc tre choisi judicieusement et peut

dpendre du temps.

On crira alors :

=

So

Sq

Sd

SS

SS

SS

S

S

S

v

v

v

v

v

v

.

1)3/4sin()3/4cos(

1)3/2sin()3/2cos(

1sincos

3

2

1

ce qui reprsente le changement de coordonnes :

- vSdest appele composante directe de PARK

- vSqest appele composante en quadrature (ou encore transversale)- vSo sapparente la composante homopolaire.

On notera que le changement de base scrit : ( ) ( )[ ]( )NBSAB VPV .= qui correspond la notationhabituelle des mathmaticiens, avec AB signifiant Ancienne Base ou base de dpart et NB Nouvelle

Base ou base de PARK.

Lechangement de basepour une matrice [M] donne alors (voir annexe) :

[ ] [ ] [ ] [ ])()( 1 SABSNB PMPM = o la notation [ ] 1)( SP dsigne la matrice inverse de [ ])( SP

(voir annexe).


35/64

35

Le vecteur

So

Sq

Sd

v

v

v

reprsente les coordonnes de PARK du vecteur initial

3

2

1

S

S

S

v

v

v

lors du

changement de base.

2.1. Transformation de PARKorthonorme

Le carr de la norme du vecteur est obtenu en faisant le produit scalairedu vecteur par lui mme

(voir annexe).

Il est alors facile de remarquer que les 3 vecteurs qui constituent la matrice de changement de base

[P(S )] ne sont pas norms. Par contre, on constate quils sontorthogonaux2 2 (produit scalaire nul).

On prfre dfinir un changement de base qui soit orthonorm en dfinissant la matrice de passage

[P1(S)]:

( )[ ]

=

3/12/3

)3/4sin(

2/3

)3/4cos(

3/12/3

)3/2sin(

2/3

)3/2cos(

3/12/3

sin

2/3

cos

1

SS

SS

SS

SP

( )[ ]

=

2

1)3/4sin()3/4cos(

2

1)3/2sin()3/2cos(

2

1sincos

3/21

SS

SS

SS

SP

La matrice de changement de base [P1(S )] tant orthonorme, le calcul de sa matrice inverse esttrs simple (voir annexe) :

[P1(S )]-1 = transpose [P1(S )] = [P1(S )]

t

On aura alors [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]ABt

SABSNB VPVPV .. 11

1 ==

2.2. Transformation de PARK en rgime sinuso dal tabli

Nous allons appliquer la transformation de PARK au cas trs particulier dun rgime permanent

sinusodal de tension :

+

++

=

)3/4cos(

)3/2cos(

)cos(

3

2

1

tV

tV

tV

v

v

v

S

S

S

S

S

S

en prenant tSS =


36/64

36

++

+

=

)3/4cos(

)3/2cos(

)cos(

2

1

2

1

2

1

)3/4sin()3/2sin(sin

)3/4cos()3/2cos(cos

3

2

tV

tV

tV

v

v

v

S

S

S

SSS

SSS

So

Sq

Sd

do lon peut tirer pour la premire ligne de la multiplication de matrice :

[ ])3/4cos().3/4cos()3/2cos().3/2cos()cos().cos(3

2 +++++= ttttttVv SSSSSSSd

cos2

3cos

2

3

3

2VVvSd =

=

en utilisant la relation [ ])cos()cos(2

1cos.cos bababa ++= et en remarquant que

( ) ( ) +=+ 3/22cos3/82cos tt SS et qualors les 3 termes en ( )...2cos tS se dtruisent

puisquil sagit dun systme triphas quilibr.

De la mme faon, on trouvera : sin2

3VvSq = et 0=Sov

Conclusion :Les composantes de PARK sont des constantes en rgime sinuso dal forc lorsque lon prend

pour S langle de synchronisme St .

On peut dailleurs se servir de cette remarque pour mmoriser les coordonnes de la matrice de

PARK :

Figure 17

vS1

-vSq.sinS

vSq

vSd.cosS

S = St

vSd

vS2

vS3

En projetant les vecteurs VSdet VSqsur la direction de VS1comme indiqu ci-dessus, on retrouve

les 2 premiers coefficients de la matrice de PARK, le terme en VSo ne figure bien-sr pas puisque VSo est

nul. Les coefficients numriques rsultent eux de lopration de normalisation.


37/64

37

2.3. Conservation de la puissance lors duchangement de base

Appliquons la transformation de PARK au systme de tensions et courants statoriques :

Par dfinition la puissance lectrique instantane scrit : ( ) ( ) 332211 .... SSSSSSST

S ivivivIVp ++==

( ) ( )[ ]( )SPSS VPV .1 = et ( ) ( )[ ]( )SPSS IPI .1 = o lindice P indique dans la base de PARK

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 111 ..== S

T

SP

T

S

T

SP

T

S PVPVV (voir annexe)

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )SPT

SPSPSS

T

SP IVIPPVp ... 11

1 ==

Le dernier terme de lgalit reprsente la puissance lectrique instantane dans la base de

PARK .

Il y a conservation de la puissance lors du changement de base orthonorm de PARK.

B3. 3. MISE EN EQUATION MATRICIELLE DE LA MACHINE

3.1. Loi des mailles

En reprenant les rsultats du paragraphe B2.3.3.2. (loi des mailles), il vient avec des notationsvidentes :

( ) [ ]( ) ( )SSSsdt

dIRV += . et [ ]( ) ( )RRR

dt

dIR += .0

avec [ ]

=

S

S

S

S

R

R

R

R

00

00

00

et [ ]

=

R

R

R

R

R

R

R

R

00

00

00

On constate que ce sont des matrices diagonales


En reprenant les rsultats du paragraphe B2.3. 3.3. (quations des flux), il vient avec desnotations videntes :

( ) [ ]( ) [ ]( )RSRSSS IMIL .. += et ( ) [ ]( ) [ ] ( )ST

SRRRR IMIL .. +=

[ ]

=

SSS

SSS

SSS

S

lmm

mlm

mml

L et [ ]

=

cos)3/2cos()3/4cos(

)3/4cos(cos)3/2cos(

)3/2cos()3/4cos(cos

.SRSR mM

La matrice [ ]SL est symtrique et lon a une notation analogue pour [ ]RL . La matrice [ ]

T

SRM est latransposede [ ]Msr .


38/64


39/64

39

en posant SS

dt

d

= , ce qui ne signifie pas que cest une constante !

( )[ ] ( )[ ]

==

SqSSdS

SqSSdS

SqSdS

SSS

SSS

S

So

Sq

Sd

ss

s

Pdt

dP

).3/4cos().3/4sin(

).3/2cos().3/2sin(

.cos.sin

21

21

21

)3/4sin()3/2sin(sin

)3/4cos()3/2cos(cos

3

2.1

1

1

Il est alors facile de montrer en effectuant la multiplication des matrices que :

( )[ ] ( )[ ]( )

+

=

0

... 11

1 Sd

Sq

SSPss Pdt

dP

Do le rsultat final :

( ) [ ]( ) ( )

+

++=0

.. Sq

Sd

SSPSPSsP dt

d

IRV

ou encore en dveloppant les composantes de PARK pour le stator :

SqSSdSdSSddt

dIRV += ..

SdSSqSqSSqdt

dIRV ++= ..

SoSoSSodt

dIRV += .

On notera le couplage de VSdavec Sq et VSq avec Sd

On aura les mmes quations au niveau du rotor en changeant partout lindice S en R et en

annulant les tensions puisque le rotor est en court-circuit.


On procde de la mme faon :

[ ]( ) [ ][ ]( ) [ ][ ]( )RPRSRSPSSSPS IPMIPLP .)(..)(..)( 111 +=

On remarquera ici langle S pour le stator et langle R pour le rotor.

En multipliant gauche par ( )[ ] 11

SP , il vient :

( ) [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ][ ]( )RPRSRSSPSSSSP IPMPIPLP .)(..)(.)(..)( 1

1

11

1

1

+=


40/64

40

La matrice [ ] [ ][ ])(..)( 11

1 SSS PLP

ne pose pas de problme, compte tenu de la formule de

changement de base pour les matrices : [ ] [ ] [ ] [ ])()( 1 SABSNB PMPM = , il ne peut sagir que de la

matrice diagonale obtenue en B3.1. soit :

+

SS

SS

SS

ml

ml

ml

200

00

00

[ ] [ ][ ])(..)( 11

1 RSRS PMP

est moins simple obtenir cause des 2 angles S pour le stator et

langle R pour le rotor qui interviennent.

En faisant co ncider les axes directs rotor et stator, le calcul se simplifie

Figure 19STATOR

ROTOR

axe direct

STATOR et ROTOR

S R

On a alors : S == R + +

[ ][ ]

=

2

1)3/4sin()3/4cos(

2

1)3/2sin()3/2cos(

2

1sincos

3

2.

cos)3/2cos()3/4cos(

)3/4cos(cos)3/2cos(

)3/2cos()3/4cos(cos

)(. 1

RR

RR

RR

SRRSR mPM

[ ][ ]

=

0)3/4sin()3/4cos(

0)3/2sin()3/2cos(0sincos

2

3)(. 1

SS

SS

SS

SRRSR mPM

[ ] [ ][ ]

=

000

010

001

2

3)(..)( 1

1

1 SRRSRR mPMP

o lon constate que lon a ici aussi une matrice diagonale, ce qui justifie lintrt de la transforme dePARK.


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41

En reprenant les notations de B2.3. 3.4. LS = lS - mSet MSR = 3/2 mSR, et en dveloppant chaqueligne, on obtient les composantes de PARK du flux statorique :

RdSRSdSSd IMIL .. +=

RqSRSqSSq IMIL .. +=

SoSSSo Iml ).2( =

Il est remarquable de constater que ce sont les mmes quations que celles qui ontt tablies en rgime sinuso dal permanent, mais ici elles sont applicables quelque soit

le rgime.

On notera cette fois, labsence de couplage entre les axes d et qde la transformation. Cest cela

qui est le plus intressant.

Figure 20

MSR

d

q

Ro

St

Ro StMSR

Au rotor, on aura les mmes quations en substituant lindice S lindice R .

4.3. Equations dfinitives de la machine

Introduisons les quations de flux dans les lois de mailles prcdentes.

On ne sintresse quaux 2 premires quations, la dernire tant inutile car on sarrange pour que

les composantes homopolaires soient nulles.

( )RqSRSqSSRdSRSdSSdSSd IMILI

dt

dMI

dt

dLIRV +++= ..

( )RdSRSdSSRqSRSqSSqSSq IMILIdt

dMI

dt

dLIRV ++++= ..

On dfinit une transformation un axe en posant pour les tensions par exemple : VS =VSd+ j VSq.

On obtient alors en faisant la somme de la premire ligne et de la seconde multiplie par j :

( )RSRSSSRSRSSSSS IMILjIdt

d

MIdt

d

LIRV ++++= ..


42/64

42

avec une quation semblable au rotor :

( )SSRRRSSSRRRRR IMILjIdt

dMI

dt

dLIR ++++= ).(.0

o lon a posdtd =

4.4. Cas particulier du rgime permanent

On a montr au B3.2. 2.2.que si le rgime est sinusodal permanent, les composantes de PARK

sont alors constantes. Les drives

dt

dsont alors nulles.

Les quations se simplifient de la faon suivante :

( )RSRSSSSSS IMILjIRV ++= ..

( ) ( )SSRRRSRRSSRRRSRR IMILgjIRIMILjIR ++=++= ...).(.0

( )SSRRRSRR IMILjI

g

R++= ...0

On retrouve formellement les mmes quations que celles du paragraphe B2.3. 3.5.mais cettefois pour les composantes de PARK. Cest mgic !

En rgime permanent les schmas quivalents prsents en B2. 3. sont donc valables pourles composantes de PARK.

B4. EXPRESSION DU COUPLE INSTANTANE EN REGIME

QUELCONQUE

B4. 1 . PUISSANCE INSTANTANEE

On a montr en B3.2. 2.3.que la transformation de PARK conservait la puissance instantane.

( ) ( )SqSqSdSdSSSSSSS

T

SE IVIVivivivIVp ...... 332211 +=++== en tenant compte du fait que le terme homopolaire sera nul.

Faisons intervenir les lois des mailles du paragraphe B3.4. 4.3. :


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43

SqSdSSqSqSSdSqSSdSdSE Idt

dIRI

dt

dIRp ......

+++

+=

{ } { })..(.... 22 SdSqSqSdSSqSq

Sd

Sd

SqSSdS IIIdt

dI

dt

dIRIRp +

+

++=

Le premier terme entre accolades est facilement identifiable aux pertes joules. Le second termecorrespond de la puissance lectromagntique stocke dans le champ comme le montre le calcul ci-

dessous :

Figure 21Exprimons la puissance lectrique instantane mise en jeu dans le circuit parfait

ci-contre (pertes joule nulles) :

idt

dieiupE ...

+===

Cette puissance correspond de la puissance lectromagntique stocke dans le champ (ou le

flux). Il ne sagit pas de puissance dissipe par effet Joule puisque le circuit est parfait, par ailleurs le

circuit ci-dessus ne met pas vidence de transformation dnergie.

Reste donc le 3me terme entre accolades : ce terme ne peut donc reprsenter que la puissance

lectrique transforme en puissance mcanique puisque notre modlisation nglige les pertes fer.

B4. 2. COUPLE INSTANTANE

Cette puissance peut se mettre sous la forme :

)SdSqSqSdSSEE IItp ... ==

( )SdSqSqSd

S

S

E IIt ... =

SdSqSqSdE IIpt ... =

On a utilis la lettre tE pour dsigner le couple dans cette expression pour la diffrencier de la

notation TE utilise en B2.4. car il sagissait du couple en rgime permanent ; p dsigne ici le nombrede paires de ples de la machine.

B4. 3. AUTRES EXPRESSIONS DU COUPLE INSTANTANE

Il est possible dobtenir dautres expressions du couple instantan en utilisant les expressions des

flux statoriques :

( ) ) )SdRqSRSqSSqRdSRSdSE IIMILIIMILpt ... ++=

)SdRqSqRdSRE IIIIMpt = .

i

e

u


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45/64

45

B5. SIMULATION du fonctionnement de la machine asynchrone

dans la base de PARK

B5. 1 . RESUME DES EQUATIONS DISPONIBLES

On dispose des quations de tensions stator :

SqSSdSdSSddt

dIRV += ..

SdSSqSqSSqdt

dIRV ++= ..

avec des relations symtriques du ct rotor :

RqRRdRdRdt

d

IR += ..0

RdRRqRqRdt

dIR ++= ..0

On dispose des quations de flux stator :

RdSRSdSSd IMIL .. +=


avec des relations symtriques du ct rotor :

SdSRRdRRd IMIL .. +=

SqSRRqRRq IMIL .. +=

Rajoutons une quation de couple :

( )SdRqSqRdR

SR

E IIL

Mpt = .

et la relation entre les frquences vue au dbut :

RS p += .

ainsi que la relation fondamentale de la dynamique :

RE ttdt

dJ =

.

En utilisant la notation de Laplace, il est possible de dessiner un schma fonctionnel de la MAS,

tout comme on le fait pour une Mcc. Le schma est un peu plus compliqu, c'est tout !


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46

B5. 2. DIAGRAMME FONCTIONNEL

La copie dcran ci-dessus reprsente un cran de travail obtenu sous MATLAB. On reconnatra(peut-tre ?) ci-dessus la mise en quation qui rsulte des quations rappeles.

La machine asynchrone prsente des entres :

- VSd(1 ) , VSq (2 ) ,S(3) : composantes de PARK et pulsation de la tension dalimentation

- le couple rsistant Cr(4) , caractristique de la charge

Les sorties suivantes sont accessibles : ISd(4 ) , ISq (5 ) composantes de PARK du courant moteur, tE(2 ) :couple moteur (Ce) et (1 ) vitesse de rotation (W).


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47

B5. 3. DEMARRAGE DIRECT DU MOTEUR

Il faut encore raliser la transforme de PARK du rseau d'alimentation pour

l'appliquer au schma fonctionnel du moteur et calculer l'angle S par intgration de S.

C'est ce qui ralise le schma MATLAB qui suit :

Le bloc MAS correspond la modlisation faite plus haut. source_tri est une source

triphase quilibre de tension de valeur efficace 230 V et de frquence 50 Hz. PARK DIRECT permet de calculer les composantes de PARK du rseau de tension et PARK INVERSE permet de

reconstituer les courants absorbs par le moteur partir de ses composantes de PARK. Lintgrateur

permet dobtenir S partir de lintgration de S.

Bien sr pour que le modle tourne , il faut pouvoir disposer des coefficients de la machine, ce

qui suppose que lon puisse faire des mesures pour les dterminer.

Les valeurs numriques utilises dans le bloc M.A.S. ont t mesures sur un moteur de 3 kW.

Moment dinertie J= 50.10-3 kg.m2 Nombre de paires de ples p = 2 Inductance mutuelle cyclique MSR= 52 mH Inductance rotorique cyclique LR = 15.9mH Inductance statorique cyclique LS = 191mH Rsistance rotoriqueRR= 93 m Rsistance statoriqueRS= 1

On a suppos le couple rsistant nul lors de ce dmarrage.


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48

B5. 4. RESULTATS DE LA MODELISATION

Les 3 courbes suivantes dtaillent sparment l'volution du courant statorique, du couple et de la

vitesse .

Evolution du courant moteur

On reconnat le classique appel de

courant au dmarrage gal 5 fois environ le

courant nominal (le courant est mesur en A).

Aprs sa disparition, le rgime permanent est

atteint et il reste le courant correspondant au

comportement inductif du moteur vide.

Evolution du couple instantan

Loscillation de couple est llment

marquant de cet oscillogramme, puisque le

couple (mesur en N.m) monte jusqu plus

de 70 N.m. Il faudra donc prendre garde au

dimensionnement du couplemtre utilis si onne veut pas le dtruire. Aprs disparition du

rgime transitoire, le couple tend vers zro

puisque lon a annul le couple rsistant.

Evolution de la vitesse

Les oscillations de couple se fontvidemment ressentir sur lvolution de la

vitesse qui en rgime permanent se stabilise

157 rad/s puisque le moteur possde 2 paires

de ples.

Il est intressant de comparer ces rsultats de simulation avec les oscillogrammes prsents dans le

paragraphe A2. Les diffrences entre simulation et rsultats exprimentaux peuvent sexpliquer par lefait que le moteur peut tre satur et que bien sr les frottements ne sont pas ngligeables.


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49

C

Principe dunecommande flux

orient


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50

C1 . Orientation du flux rotorique

Plusieurs stratgies sont envisageables. On va dcrire ici une commande flux rotorique orient.

Reprenons lexpression du couple lectromagntique faisant intervenir les flux rotoriques :

( )SdRqSqRd

R

SR

E IIL

Mpt = .

Avoir comme objectif dorienter le flux signifie quon souhaite quil nait quune composante sur

laxe d par exemple.

On aura donc comme objectifdannuler Rq . Cest bien sr le rle de la commande concevoir.

Le couple se rduira alors :

( )SqRd

R

SRE I

L

Mpt = . .

La stratgie consistera donc contrler de faon indpendante le terme de flux et le terme de

courant pour imposer un couple.

Figure 22

axe d

axe q

axe stator relS

axe rotor rel

R

R

La Figure 22 montre le flux rotorique orient sur laxe d.

Cela suppose donc de matriser galement langle S. Langle sera lui, donn par un capteur deposition (codeur incrmental ).


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51

Rappelons les quations utilisables pour la commande :

Orientation du flux rotorique :

SdSRRdRRd IMIL .. +=

SqSRRqR IMIL ..0 +=

Loi des mailles au rotor :

RdRdRRqRRdRdRdt

dIR

dt

dIR +=+= ...0

RdRRqRRdRRqRqR IRdt

dIR +=++= ....0

car 0=Rq

C2. Estimation de Rd

Seules les grandeurs statoriques sont accessibles, les grandeurs rotoriques, elles, ne le sont pas, il

faut donc pouvoir les estimer partir des grandeurs statoriques.

A partir de SdSRRdRRd IMIL .. += et de RdRdRdt

dIR += .0 , on obtient

SdSRRd

R

R

Rd IMdt

d

R

L.. +=

soit SdSRRdR

R

Rd IMdt

d

R

L.. =+ qui peut tre rcrit en utilisant la notation de Laplace : s =

dt

d

SdSR

R

R

Rd IMsR

L.1 =

+ ou encore en posant R

R

R

R

L= , ( ) SdSRRRd IMs .1 =+

Sd

R

SR

estRd I

s

M.

1

_

+

=

Le flux Rd peut tre estim ( estRd_ ) partir du courant SdI grandeur statorique

accessible partir de la mesure des courants rels statoriques sous rserve de la

ralisation de la transformation de PARK.

R reprsente la constante de temps rotorique de la machine. Avec les valeurs numriques utilisesdans la modlisation, on a R =171 ms. Pour faire varier le flux Rd de la machine, il faut faire varier

SdI , mais cette variation prendra une dure non ngligeable (quelques R ) du fait du premier ordreprsent dans lexpression de Rd . On se souviendra qutablir un flux suppose lapport dune nergie et


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52

que cela ne peut se faire de faon instantane. On prendra donc le temps de laisser le flux sinstaller dans

la machine avant de faire varier SqI pour obtenir le couple souhait : ( )SqRdR

SRE I

L

Mpt = . .

C3. Estimation de S et de S

Lestimation du flux sera ralisable sous rserve que lon puisse faire la transformation de PARK,

ce qui suppose la connaissance de langle S.

A partir de RdRRqR IR += ..0 et de SqSRRqR IMIL ..0 += on tire

Rd

RqR

R

IR

=

.

Sq

R

R

estRd

SR

estR IL

RM..

_

_ = , 0

_

_ .. RSqR

R

estRd

SR

estR dtIL

RM +

= et += estRestS __

S sera donc estim ( estS _ ) partir de la mesure de (codeur incrmental), et

du courant SqI grandeur statorique accessible partir de la mesure des courants rels

statoriques.

C4. Loi des mailles pour VSd et VSq

C4. 1 . loi des mailles pour VSd

Reprenons la loi des mailles statorique :

SqSSdSdSSddt

dIRV += ..

Nous allons exprimer cette tension en fonction des 2 grandeurs utiles la matrise du couple :

Rd et SqI .

Rd

SR

R

SdM

sI

+= .

.1 et RdSRSdSSd IMIL .. +=

A partir de SdSRRdRRd IMIL .. += on tire ( )SdSRRdR

Rd IM

L

I .1

=

soit ( ) RdR

SR

Sd

R

SR

SSdSRRd

R

SR

SdSSdL

MI

L

MLIM

L

MIL +

=+=

2

..

Rd

R

SR

Sd

SR

SR

SSdL

MI

LL

ML +

=

.1

2

Rd

R

SR

SdSSdL

MIL += .

o est le coefficient de dispersion de BLONDEL.


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53

De la mme faon, il faut exprimer Sq :


0.. =+= SqSRRqRRq IMIL avec lorientation du flux ce qui donne SqR

SR

Rq IL

MI .=

SqSSq

R

SR

SqSSq ILIL

MIL ...

2

==

Il est donc possible maintenant dcrire :

SqSSRd

R

SR

SdSSdSSd ILL

MIL

dt

dIRV ..

++=

SqSSRd

R

SR

SdSSdSSd ILsL

MIsLIRV ...... ++=

( ) ( )SqSSRd

R

SR

Rd

SR

R

SSSqSSRd

R

SR

SdSSSd ILsL

M

M

s

sLRILsL

M

IsLRV

...)1(

..... ++

+=++=

o la variable s reprsente loprateur de Laplace.

( )SqSSRd

R

SR

SR

R

SSSd ILsL

M

M

ssLRV

..

)1(.

+

++=

Cette relation exprime la loi des mailles interne la machine sur laxe den fonction

des 2 grandeurs que nous avons choisies pour exprimer le couple. On y remarque le

couplage entre laxe det laxe q.

C4. 2. loi des mailles pour VSq

Reprenons la loi des mailles statorique :

SdSSqSqSSqdt

dIRV ++= ..

que lon peut exprimer comme suit compte tenu des expressions du paragraphe prcdent :

( )SdSSqSSqSSq IL

dt

dIRV ++= ..

avec RdR

SR

SR

R

SRd

R

SR

SdSSdL

M

M

sL

L

MIL

+

+=+=

.1.


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54

( ) RdR

SR

SR

R

SSSqSSSqL

M

M

sLIsLRV

+

+++=

.1..

Cette relation exprime la loi des mailles sur laxe q en fonction des 2 grandeurs que

nous avons choisies pour exprimer le couple. On y remarque le couplage entre laxe detlaxe q.

C4. 3. Reprsentation des lois de mailles

La machine reoit une alimentation en tension ( VSdet VSq) et donne en sortie les grandeurs RdetIsq choisies pour la rgulation du couple

MACHINEASYNCHRONEdans la base de PARK

Rd

ISq

VSd

VSq

En rcrivant les lois des mailles pour VSd et VSq, on peut tablir un schma fonctionnel interne

la machine.

Pour VSdon a:

( ) SqSSRdR

SR

SR

R

SSSd ILsL

MM

ssLRV ..)1(.

+++= ce quidonne :

( ) ( )( )SqSSSd

R

SR

SR

R

SS

R

SR

SR

R

SS

SqSSSd

Rd ILV

sL

M

M

ssLRs

L

M

M

ssLR

ILV

.

.)1(

.

1

.)1(

.

.+

+

++

=

+

++

+=

SqSdRd IBVA .. +=

avec

( )

+

++

=

sL

M

M

ssLR

A

R

SR

SR

R

SS .)1(

.

1

et SS LB .=

Pour VSq on a:

( ) RdR

SR

SR

R

SSSqSSSq

L

M

M

sLIsLRV

+

+++=

.1..

ce qui donne :


55/64

55

( ) ( )

+

+

+=

+

+

+

= RdR

SR

SR

R

SSSq

SSSS

Rd

R

SR

SR

R

SSSq

SqL

M

M

sLV

sLRsLR

L

M

M

sLV

I.1

..

1

.

.1

RdSqSq DVCI = ..avec

( )sLRC

SS .

1

+= et

+

+=

R

SR

SR

R

SSL

M

M

sLD

.1

Le schma ci-dessous rsume les 2 quations prcdentes donnant Rdet Isq :

MACHINEASYNCHRONEDans la base de PARK

A

C

Rd

ISq

B

D

VSd

VSq

C5. Elaboration des lois de commande pour VSd et VSq

ISq_est

D.Rd_est

USd

B.ISq_est

Rd_est

MACHINEASYNCHRONEDans la base de PARK

A

C

Rd

ISq

B

D

Rd_con P.I.

USqP.I.ISq_con

Le schma ci-dessus reprsente la commande des grandeurs de rglage du couple.

Les mesures de Rd et Isd (appeles Rd_estet ISd_est) sont compares aux consignes. Un correcteur


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56

P.I. (Proportionnel et Intgral) sur chaque entre permet la correction de lerreur.

On aura donc :

SdSqestSqSdRd UAIBIBUA .)...( _ =+= et SqRdestRdSqSq UCDDUCI .)...( _ =+= si lestimation desgrandeurs de contrle est convenable.

C6. Schma fonctionnel dune commande flux rotorique orient

MAS

estimateurs

ISd_est

ISq_est IS2

IS1

Onduleur

MLI

VS2

VS1

VS3

Rseau EDF

Filtrage

VSq

VSd

ISq_est

USd

B.ISq_est

Rd_est

Rd_con P.I.

D.Rd_est

USqP.I.ISq_con

[P(S)]

Redresseur

TransformesDe

PARK

[P(S)]-1

Mesure de

S_est = R_est + 1

Rd = -------ISd1+R.s

On a rajout sur le schma fonctionnel de la commande la partie puissance permettant

dalimenter la MAS.

Ainsi, les commandes VSdet VSqdoivent tre ramenes dans la base de dpart pour servir de loi de

commande un onduleur MLI.

On remarque les 2 capteurs de courants IS1 et IS2 (le troisime ntant pas ncessaire puisque la

somme des 3 courants statoriques est nulle). Ces courants sont ramens dans la base de PARK grce

lestimation de langle S. La mesure de est ralise partir dun codeur incrmental. On peut imagineraussi lutiliser comme capteur de vitesse dans le cas dun asservissement de vitesse.

ISq_estet Rd_estsont compars avec leur consigne.


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ANNEXES

1 . rgime permanent

2. rgime quelconque

3. inductance propre

4. inductance mutuelle

5. calcul matriciel


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ANNEXE 1 : REGIME PERMANENT

Soit par exemple le circuit ci-dessus avec tVv m sin.=

On a tVdt

diLRiv m sin.=+=

La solution pour i de cette quation diffrentielle donne :

forclibre iii +=

o librei est de la forme )exp(.

tIo avec =L/R

et )sin(. = tIi mforc

Pour ltude en rgime permanent, on suppose que le rgime libre sest teint (soit au bout de 5 1%prs). Il ne reste alors plus que le rgime forc par la source de tension de pulsation . Le courant a doncla mme allure que la tension : sinusodale la pulsation et dphas de par rapport cette tension.

R

v L

i


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ANNEXE 2 : REGIME

QUELCONQUE

Lexpression rgime quelconque soppose ici celle de rgime permanent o lon ne se

proccupe pas des rgimes transitoires qui sparent les rgimes tablis sinusodaux.

La modlisation dcrite dans ce paragraphe est donc plus gnrale que celle prsente en B2.


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ANNEXE 3 : INDUCTANCE PROPRE

Le coefficient dinductance propre dun circuit traduit le fait que le flux

propre du champ magntique cr par le propre courant circulant dans le circuit i estproportionnel ce courant.

On crit :

iLpropre ..=

Ca ne pose pas de problme pour un bobinage ralis sur un milieu non magntique. Mais dans le

cas o lon utilise un milieu ferromagntique, lephnomne de saturation doit tre nglig pour que ce

coefficient puisse tre considr comme constant.

i


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ANNEXE 4 : INDUCTANCE

MUTUELLEOn parle de coefficient dinductance mutuelle quand on a

plusieurs

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Commande Vectorielle des machines asynchrones