Compacts e�açables de C :

Caractérisation analytique,

Critères géométriques d'e�açabilité

Sébastien Gontard

30 décembre 2013

Table des matières

1 Caractérisation de l'e�açabilité à l'aide de la capacité analytique . . . . . . . . . 21.1 Dé�nition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Caractérisation analytique des compacts e�açables . . . . . . . . . . . . . 4

2 Vers des conditions géométriques : les mesures de Hausdor� . . . . . . . . . . . . 62.1 Mesures de Hausdor� sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Conditions d'e�açabilité à l'aide des mesures de Hausdor� . . . . . . . . . 102.3 La condition H(E) = 0 n'est pas su�sante : l'exemple du "Cantor quatre

coins" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Autres conditions géométriques d'e�açabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Le cas des compacts enfermés dans des courbes recti�ables : la conjecturede Denjoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Cas des compacts de 1-mesure de Hausdor� �nie : la conjecture de Vitushkin 184 Quelques résultats utiles pour la lecture de ce document . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Résumé

Souvenons-nous de la caractérisation de Riemann des singularités isolées :

"Étant donné un point a appartenant à un ouvert U de C, une fonction holomorphef : U \ {a} −→ C a un prolongement holomorphe sur U si et seulement si elle est bornée dans

un certain voisinage épointé de a."Autrement dit, la condition "être borné dans un voisinage de a" équivaut à "avoir un

prolongement holomorphe sur un ouvert contenant a".Le problème qui va nous intéresser est le suivant : quels sont, parmi les compacts, les ensembles

E qui satisfont encore cette équivalence pour toute fonction holomorphe U \ E −→ C ?Dans un premier temps, on dé�nira la notion d'e�açabilité au sens des fonctions analytiques

bornées, on étudiera quelques propriétés topologiques des ensembles e�açables, pour aboutir en�n de première partie à une caractérisation analytique de l'e�açabilité.

La seconde partie sera motivée par la recherche de conditions géométriques utilisant lesmesures de Hausdor� portant sur les compacts pour qu'ils soient e�açables ou pas. On dé�nirarapidement les mesures de Hausdor� et on en donnera quelques propriétés utiles par la suite.

Elle se terminera avec l'étude de l'ensemble de Cantor "à quatre coins".La troisième partie donnera d'autres critères géométriques de certains compacts pour qu'ils

soient e�açables ou pas.En�n, on trouvera en dernière partie plusieurs résultats d'analyse complexe utiles (et utilisés)

dans ce document.Puisqu'on fera de l'analyse complexe, on utilisera souvent des intégrales le long de chemins. Onfera souvent appel à des cycles dans C, qui ne sont, formellement, que des sommes de chemins

fermés. Une dé�nition plus précise est disponible dans [Rud ] et dans [Lang ]Tout au long de ce document, on identi�era abusivement une courbe (respectivement, un

cycle) et son image.

NotationsB(a, r) : boule ouverte de centre a et de rayon r

S(a, r) : cercle de centre a, de rayon rSi Va est un voisinage de a, V ∗a = Va \ {a} est un voisinage épointé de a

Ld : mesure de Lebesgue sur Rdl(Γ) : longueur de la courbe Γ

A(E,M) = {f : C \ E −→ C analytique | ‖f‖∞ ≤M}

f ′(∞) = limz→∞ z(f(z)− f(∞)) = limz→0f(1

z )− f(∞)

zC : compacti�é d'Alexandro� de C, que l'on identi�e à la sphère de Riemann

1 Caractérisation de l'e�açabilité à l'aide de la capacité analy-

tique

1.1 Dé�nition et premières propriétés

Dé�nition, premiers exemples

Dé�nition 1.1.1. Ensemble e�açableSoit E un compact de C. On dira de cet ensemble qu'il est e�açable s'il véri�e la conditionsuivante :

"Pour tout ouvert U de C contenant E, toute fonction analytique bornéef : U \ E −→ C admet un prolongement analytique à U ."

Remarque 1.1.2.Il su�t qu'il existe un tel ouvert U pour que ce soit vrai pour tout ouvert contenant le compactE.Si E est e�açable, et si E′ est un compact contenu dans E, alors E′ est e�açable.

Exemple 1.1.3.Les singularités isolées sont e�açables d'après le théorème de prolongement de Riemann.Compte tenu du caractère local de l'holomorphie, si E est un ensemble �ni, il est encore e�açable.Plus généralement, on peut se convaincre que si E est un compact localement �ni, alors il este�açable : si U est un ouvert contenant E, et f : U \ E −→ C est analytique bornée, alors fest analytique bornée dans un voisinage épointé de chaque point a de E, qui ne contient qu'unnombre �ni de points de E, de sorte que f admette un prolongement au voisinage de a, et cepour tout élément a du compact en question.

Quelques propriétés topologiques des ensembles e�açables

Le résultat suivant annonce d'emblée que les compacts e�açables, en accord avec notre in-tuition, ne sont pas très "gros" topologiquement parlant.

Proposition 1.1.4.Un disque fermé n'est pas e�açable.

Preuve.

∃a ∈ C, ∃r > 0 | B(a, r) = E.

On considère

f : C \ E −→ Cz 7−→ 1

z−a

.

Cette fonction est bien dé�nie, analytique bornée sur son ensemble de dé�nition. Elle possèdeun prolongement analytique à C \ {a}, qui est la fonction

C \ {a} −→ Cz 7−→ 1

z−a

.

Celle-ci n'admet pas de prolongement analytique en a. Par unicité du prolongement analytique(C est connexe), on en déduit que E n'est pas e�açable.

2

Corollaire 1.1.5.Un ensemble e�açable est d'intérieur vide.

Démonstration.Si E possède un point intérieur, B(a, r) ⊂ E pour un certain a ∈ E et r > 0. D'après laproposition précédente, on ne peut pas e�acer ce disque. Il en découle que l'on ne peut e�acerE.

Corollaire 1.1.6.Soit E un compact e�açable, U un ouvert de C contenant E, et f : U \E −→ holomorphe bornée.Alors f possède un unique prolongement holomorphe sur U .

Démonstration.En e�et, le prolongement est en particulier un prolongement par continuité de la fonction f , quiest unique puisque U \ E est dense dans U .

Corollaire 1.1.7.Soit E un compact e�açable, U un ouvert de C contenant E, et f : U \E −→ holomorphe bornéepar M .Alors le prolongement à U est encore bornée par M .En particulier, si U = C, on a la formulation suivante :

"Toute fonction holomorphe bornée C \ E −→ C est constante."

Autrement dit, les compacts e�açables sont des parties compactes de C que l'on peut retirertout en ayant encore le droit d'appliquer le théorème de Liouville !On va bientôt voir que ce sont les seules.

Démonstration.La première partie découle du fait que le prolongement est un prolongement par passage à lalimite.Le cas particulier U = C est une conséquence du théorème de Liouville.

Proposition 1.1.8.Le complémentaire C \ E d'un ensemble e�açable E est connexe.

Démonstration.Si C \E n'est pas connexe, soient C1 et C2 deux composantes connexes de C \E, distinctes, etconsidérons la fonction valant 1 sur C1 et 2 sur C2. Elle est holomorphe bornée sur C \ E, etpourtant n'a pas de prolongement holomorphe à C tout entier (prolongement analytique).

Proposition 1.1.9.Soit E un compact e�açable. Ses composantes connexes sont des singletons (on dit que E esttotalement discontinu).

Démonstration.Il su�t de montrer qu'un compact connexe non réduit à un singleton n'est pas e�açable. Sup-posons donc que E est compact, connexe, mais n'est pas un singleton (ni le vide). On appelle

O le complémentaire de E dans C, qui est ouvert, et connexe. Soient e ∈ E et g : z 7−→ 1

z − e.

g est un biholomorphisme de C. g(O) est ouvert connexe puisque O l'est dans C donc dans C.C\g(O) = g(E)∪{∞} est connexe puisque E est connexe et que g(E) est non borné. Donc g(O)est simplement connexe, ce qui entraine grâce au théorème de l'application conforme l'existence

3

d'un biholomorphisme f l'envoyant sur B(0, 1).Mais alors f ◦g|C\E est une application holomorphe partant de C\E, et bornée. Elle est constanted'après le corollaire 1.1.7 puisqu'on a supposé E e�açable. Mais, dans ce cas, en composant parf−1, g serait constante sur C \ E, ce qui est absurde puisque g est injective.

1.2 Caractérisation analytique des compacts e�açables

Avant d'aborder la caractérisation analytique des compacts e�açables, on remarque que :

Lemme 1.2.1.Une fonction f holomorphe bornée en dehors d'une partie bornée admet un prolongement holo-morphe à l'in�ni.

Démonstration.La fonction z 7−→ f(1

z ) est bien dé�nie, holomorphe et bornée sur un voisinage épointé de 0,donc admet un prolongement holomorphe d'après le théorème de prolongement de Riemann.

Dé�nition 1.2.2. (Capacité analytique)Soit E un compact de C.On pose

A(E, 1) = {f : C \ E −→ C holomorphe | ‖f‖∞ ≤ 1}.

On appelle capacité analytique de E le nombre

γ(E) = supf∈A(E,1)

{|f ′(∞)|}

(f ′(∞) a un sens en vertu du lemme précédent).

Remarque 1.2.3.Si f ∈ A(E, 1), alors

g : C \ E −→ C

z 7−→ f(z)− f(∞)

1− f(z)f(∞)

est aussi dans A(E, 1) et véri�e g(∞) = 0 et |g′(∞)| ≤ |f ′(∞)|, ce qui entraine que

γ(E) = sup{|f ′(∞)| | f ∈ A(E, 1), f(∞) = 0}

On remarquera, grâce au théorème de Riemann que tous les compacts cités en 1.1.3 sontde capacité analytique nulle. Ce phénomène, loin d'être un cas particulier, vient du fait quecapacité analytique et e�açabilité sont très liées, comme on va le voir dans le théorème suivant.Mais d'abord :

Lemme 1.2.4.Si A(E, 1) ne contient que des fonctions constantes, alors

γ(E) = 0.

Démonstration.On a

∀f ∈ A(E, 1), f ′(∞) = 0,

ce qui donne le résultat par dé�nition de γ(E).

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Avant de donner des caractérisations analytiques de l'e�açabilité, voici un résultat qui serautile dans la suite de ce document.

Proposition 1.2.5.Soit E un compact de C, et ϕ : z 7−→ az + b une similitude directe de C (a 6= 0, b ∈ C).Alors

γ(ϕ(E)) = |a|γ(E).

Démonstration.On a

f ◦ ϕ ∈ A(E, 1)⇔ f ∈ A(ϕ(E), 1),

en particulier, si f(∞) = 0, on peut écrire

zf(ϕ(z)) =ϕ(z)f(ϕ(z))

a− bf(ϕ(z))

a−→z→∞

f ′(∞)

a.

D'autre part, par dé�nition, zf(ϕ(z)) −→z→∞

(f ◦ ϕ)′(∞). On a donc bien l'égalité annoncée.

Terminons cette partie avec la caractérisation analytique des compacts e�açables.

Théorème 1.2.6. Compacts e�açables et capacité analytiqueSoit E un compact de C. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. γ(E) = 0.

2. A(E, 1) = {z 7−→ c | c ∈ B(0, 1)} : toute fonction holomorphe bornée C \ E −→ C estconstante.

3. E est e�açable.

Preuve.L'implication 2. ⇒ 1. a fait l'objet du lemme précédent, et l'implication 3. ⇒ 2. est une partiedu corollaire 1.1.7. On va montrer 1.⇒ 2.⇒ 3.

� Si 2. n'est pas réalisé, il existe une fonction analytique bornée f : C\E −→ C non constante.Quitte à translater en abscisses et en ordonnées, on peut supposer 0 /∈ E, f(∞) 6= 0 etf(0) = 0. Quitte à composer à gauche par une homothétie, on peut également supposerf ∈ A(E, 1). On considère alors

g : C \ E −→ Cz 7−→ f(z)

z si z 6= 0 ,f ′(0) sinon.

On voit en utilisant le développement en série entière de f centré en 0 que g est analytiqueen 0, et donc analytique sur C \ E. Soit α = d(0, E) > 0. Puisque g est holomorphe surC \ E, elle est continue sur B(0, α2 ), donc atteint sa borne supérieure, et

∀z ∈ C \(E ∪B

(0,α

2

)), |g(z)| < 2

α,

ce qui entraine que g est bornée sur son domaine de dé�nition. De plus, g′(∞) = f(∞).En conséquence, γ(E) > 0 : 1. n'est pas réalisé.

� Supposons que 2. est véri�é, soit U un ouvert de C contenant E, et soit f : U \ E −→ Canalytique bornée. La proposition 4.1.3 nous a�rme l'existence (et l'unicité) de deuxfonctions g, h bornées telles que

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1. g : U −→ C est analytique sur U .

2. h : C \ E −→ C est analytique sur C \ E.3. h(z) −→

z→∞0

4. f = g + h sur U \ E.Compte tenu de l'hypothèse, h est constante, donc nulle puisque h(z) −→

z→∞0, donc f admet

un prolongement à U (c'est g). Donc 3. est véri�é, ce qui termine la preuve.

2 Vers des conditions géométriques : les mesures de Hausdor�

2.1 Mesures de Hausdor� sur Rd

On expose ici une construction des mesures de Hausdor� sur Rd, où d ∈ N∗. Soit E unborélien de Rd. Si δ > 0, on appellera δ-recouvrement de E une suite (Bn)n∈N∗ de parties de Rdvéri�ant :

1.

E ⊂∞⋃n=1

Bn,

2.∀n ∈ N∗, 0 < diam(Bn) ≤ δ.

On notera R(E, δ) l'ensemble des δ-recouvrements de E.De plus, si 0 ≤ s <∞, on pose

Hsδ(E) = inf

{ ∞∑n=1

diam(Bn)s | (Bn)n∈N∗ ∈ R(E, δ)

}.

On a (et on admet) les propriétés suivantes :

Proposition 2.1.1.

1. Hsδ est une mesure sur (Rd, B(Rd)).2. Si E ⊂ Rd alors l'application δ 7−→ Hsδ(E) est décroissante sur R∗+.

Compte tenu de la décroissance de δ 7−→ Hsδ(E), on peut dé�nir

Dé�nition 2.1.2. Mesure de Hausdor� s-dimensionnelleSoit E ⊂ Rd. On appelle mesure de Hausdor� s-dimensionnelle de E l'élement de R+

Hs(E) := limδ→0Hsδ(E).

Hs est une mesure sur l'ensemble des boréliens de Rd.

Remarque 2.1.3.On obtient la même mesure de Hausdor� d'un ensemble E en se limitant à des recouvrementsd'ouverts ou de fermés (voir par exemple [Vil ]). Puisque tout ouvert est réunion dénombrablede boules ouvertes, on peut donc se limiter aux recouvrements par des boules ouvertes (ou bienpar toute base de topologie de l'espace considéré). Dans la suite, sauf mention du contraire, onse limitera aux recouvrements par des boules ouvertes.

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On admettra le fait suivant (dont on trouvera une démonstration dans [Vil ]) :

Proposition 2.1.4.La d-mesure de Hausdor� du cube dyadique unité [0; 1[d est �nie, non nulle.

On donne maintenant quelques propriétés géométriques des mesures de Hausdor�.

Proposition 2.1.5.Soient d ∈ N∗, et 0 ≤ s < ∞. Soit B une bijection a�ne de Rd, que l'on décompose commeB(x) = λAx+ b avec λ > 0, A une isométrie de Rd et b ∈ Rd. Alors

∀E ⊂ Rd, Hs(B(E)) = λsHs(E).

Preuve.R est un δ-recouvrement de B(E) si et seulement si B−1(R) est un λ−1δ-recouvrement de E,donc

Hsδ(B(E)) = inf

{ ∞∑n=1

diam(Bn)s | (Bn)n∈N∗ ∈ R(B(E), δ)

}

= inf

{ ∞∑n=1

diam(B(B′n))s | (B′n)n∈N∗ ∈ R(E, λ−1δ)

}

= inf

{ ∞∑n=1

diam(λB′n)s | (B′n)n∈N∗ ∈ R(E, λ−1δ)

}

= inf

{λs∞∑n=1

diam(B′n)s | (B′n)n∈N∗ ∈ R(E, λ−1δ)

}

= λsHsλ−1δ(E),

d'où le résultat en passant à la limite.

Proposition 2.1.6.La d-mesure de Hausdor� est �nie sur les parties bornées de Rd.

Démonstration.Si P est une partie bornée de Rd, alors P est contenue dans un cube dyadique, qui possède uned-mesure de Hausdor� �nie d'après les deux propositions précédentes. Par croissance de Hd, onobtient Hd(P ) <∞.

Corollaire 2.1.7.∀d ∈ N∗, ∃Cd > 0 | Ld = CdHd.

Démonstration.La d-mesure de Hausdor� sur Rd est invariante par translation et �nie sur les compacts (cesrésultats découlent des deux propositions précédentes). On conclut en invoquant le théorèmed'unicité de la mesure de Lebesgue sur Rd.

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Remarque 2.1.8.C1 = 1. Pour le voir, il su�t de montrer que H1([0; 1]) = 1. On pose C = [0; 1]. Comme on a∀n ∈ N, C =

⋃2n

i=1[ i−12n ; i

2n ],

∀n ∈ N, H12−n(C) ≤

2n∑i=1

1

2n= 1,

donc H1(C) ≤ 1 par passage à la limite. Réciproquement, si (Bj)j ∈ R(C, ε) est un recouvrementde C par des intervalles ouverts, le lemme de Borel (voir [Dem ]) nous donne

1 = L1(C) ≤∑j

L1(Bj) =∑j

Diam(Bj),

d'où∀ε > 0, 1 ≤ H1

ε (C),

ce qui nous donne l'inégalité manquante par passage à la limite.

Le lemme suivant précise le comportement des mesures de Hausdor� sur des images lipschit-ziennes d'ensembles. Il reste vrai sur des ensembles non compacts.

Lemme 2.1.9.Soit K un compact de Rn et f : K −→ Rk une application L-lipschitzienne (n, k sont des entiersnaturels non nuls). Alors

∀α ∈ R+, Hα(f(K)) ≤ LαHα(K).

Démonstration.La dé�nition du diamètre d'un ensemble ainsi que le caractère lipschitzien de f donnent direc-tement que

∀B ⊂ K, diam(f(B)) ≤ Ldiam(B),

dont on déduit∀B ⊂ K, diam(f(B))α ≤ Lαdiam(B)α.

Soient ε > 0 et (Bj)j=1···n ∈ R(K, ε) (on peut supposer par compacité que l'ensemble des indicesest �ni). Alors (f(Bj))j=1···n ∈ R(f(K), ε). On obtient alors

Hαε (f(K)) ≤n∑j=1

diam(f(Bj))α ≤ Lα

n∑j=1

diam(Bj)α.

Ceci étant vrai pour tous les ε-recouvrements de K, on peut passer à la borne inférieure etobtenir

∀ε > 0, Hαε (f(K)) ≤ LαHαε (K),

et on obtient le résultat en faisant tendre ε vers 0.

Proposition 2.1.10. (Cas particulier des courbes recti�ables)

Si γ : [0; 1] −→ C est une courbe recti�able injective de C, d'image Γ, alors H(Γ) = l(Γ) :longueur et 1-mesure de Hausdor� coïncident pour les courbes recti�ables injectives.

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On rappelle au passage que la longueur l(Γ) est donnée par

l(Γ) = sup

{n−1∑i=1

|γ(ti+1)− γ(ti)|

},

la borne supérieure étant prise sur toutes les subdivisons �nies (ti)1≤i≤n de l'intervalle[0; 1].

Preuve.

Si 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, en considérant la projection orthogonale de γ([a; b]) sur la droite passantpar γ(a) et γ(b), et en utilisant le lemme 2.1.9 ainsi que L1 = H1, on obtient

|γ(b)− γ(a)| = H1([γ(a); γ(b)]) ≤ H1(γ([a; b])),

alors si (ti)1≤i≤n est une subdivision de [0; 1], on obtient

n−1∑i=1

|γ(ti+1)− γ(ti)| ≤n−1∑i=1

H1(γ([ti; ti+1])

dont on déduit, par dé�nition de la longueur, et du fait que H1 ne charge pas les points

l(Γ) ≤ H1(Γ).

Réciproquement, on commence par paramétrer γ par longueur d'arc : on considère l'applicationα : [0; l(Γ)] −→ [0; 1] qui associe à u ∈ [0; l(Γ)] l'unique point t tel que l(γ([0; t])) = u. Il en existebien un puisque φ : t 7−→ l(γ([0; t]) est une application continue (car γ est continue, recti�able)qui véri�e φ(0) = 0, φ(1) = l(Γ), et un seul puisque φ est strictement croissante (le caractèrestrict vient de l'injectivité de γ).

∀0 ≤ u′ < u ≤ l(Γ), |γ(α(u))− γ(α(u′))| = l([γ(α(u′)); γ(α(u))])≤ l(γ([α(u′);α(u)])= l(γ([α(0);α(u)])− l(γ([α(0);α(u′)])= u− u′.

γ ◦ α est donc une application 1-lipschitzienne. Le lemme 2.1.9 nous donne cette fois-ci

H1(Γ) = H1(γ ◦ α([0; l(Γ)])) ≤ H1([0; l(Γ)]) = l(Γ),

ce qui conclut.

Proposition 2.1.11. Comparaison des mesures de Hausdor� pour un ensemble �xéSoit E ⊂ Rd, et 0 ≤ s < t <∞. On a les propriétés suivantes :

1.Hs(E) <∞⇒ Ht(E) = 0

2.Ht(E) > 0⇒ Hs(E) =∞

9

Preuve.Soit ε > 0. Il existe (Bn)n∈N∗ ∈ R(E, ε) tel que

Hsε(E) ≤∞∑n=1

diam(Bn)s ≤ 2Hsε(E) ≤ 2Hs(E).

Par dé�nition de Htε, on a

Htε(E) ≤∞∑n=1

diam(Bn)s diam(Bn)t−s︸ ︷︷ ︸≤εt−s

≤ 2Hs(E)εt−s,

ce qui permet d'obtenir le résultat en faisant tendre ε vers 0.

Ces deux propriétés permettent de dé�nir la dimension de Hausdor� d'une partie de Rd

Dé�nition 2.1.12 (Dimension de Hausdor� et s-ensemble).Soit E ⊂ Rd. On appelle dimension de Hausdor� de E

dimH(E) = inf{s ∈ R+ | Hs(E) = 0} = sup{s ∈ R+ | Hs(E) = +∞}.

Ce nombre est bien dé�ni grâce à la proposition précédente.Un ensemble de dimension de Hausdor� s ∈ [0;∞[ est appelé un s-ensemble.

Remarque 2.1.13.Puisque Ld(Rd) = ∞, on a dimH(Rd) ≥ d. Si s > d, comme on peut recouvrir Rd par unnombre dénombrable de pavés dyadiques, et que ceux-ci ont une d-mesure de Hausdor� �nie,leur s-mesure de Hausdor� est nulle, donc Hs(Rd) = 0 par sous-additivité de Hs. On a ainsimontré que

dimH(Rd) = d.

Exemple 2.1.14.

� Une courbe recti�able est un 1-ensemble. C'est le cas des segments de Rd, ∀d.� Tout disque, toute enveloppe convexe d'un polygone de R2 est un 2-ensemble.� Une sphère de Rd est un (d− 1)-ensemble.� Plus généralement, une sous-variété de Rd de dimension r est un r-ensemble.

Mentionnons en�n, sans démonstration, le lemme de Frostman, dont on aura besoin plus loin.

Théorème 2.1.15. ("Lemme de Frostman")Soit B un borélien de Rd, s > 0. Alors Hs(B) > 0 si et seulement si il existe une mesure positiveet �nie µ, non triviale, à support compact contenu dans B, et qui véri�e

∀x ∈ Rd, ∀r > 0, µ(B(x, r)) ≤ rs.

2.2 Conditions d'e�açabilité à l'aide des mesures de Hausdor�

Les notions de mesure et dimension de Hausdor� permettent d'énoncer des conditions né-cessaires ou su�santes à l'e�açabilité d'un compact. Comme on va le voir, tout tourne autourde la 1-mesure de Hausdor� que l'on notera pour simpli�er H.Notons que, dans notre contexte, les ensembles qui apparaitront ont une dimension de Hausdor�majorée par 2.

10

Proposition 2.2.1 (Condition su�sante).Soit E un compact de C de 1-mesure de Hausdor� nulle. Alors E est e�açable. Autrement dit,

H(E) = 0⇒ γ(E) = 0.

Preuve.On va démontrer que E véri�e le point 2 du théorème 1.2.6. Soit f ∈ A(E, 1), nulle à l'in�ni.

Soit z ∈ C \ E, et ε ∈]0, d(z,E)

2

[. Par hypothèse, E possède un recouvrement (Bj)j∈N∗ tel que

∞∑j=1

diam(Bj) < ε.

On peut supposer sans restriction que ce recouvrement est composé uniquement de boules ou-vertes, de sorte que la compacité de E nous permette de nous limiter à un nombre �ni de tellesboules, (Bl)1≤l≤n pour un certain entier naturel n > 0.Considérons le cycle Γ = ∂ (

⋃nl=1Bl) (on admet que cela dé�nit bien un cycle, un dessin convain-

cra le lecteur sceptique).Si R > 0 est tel que E∪{z} ⊂ B(0, R), on obtient, grâce au théorème de Cauchy global appliquéeau cycle S(0, R)− Γ,

f(z) =1

2iπ

∫S(0,R)

f(u)

u− zdu− 1

2iπ

∫Γ

f(u)

u− zdu.

L'intégrale le long du cercle tend vers 0 à mesure que R tend vers l'in�ni. Quant à la deuxièmeintégrale, ∣∣∣∣ 1

2iπ

∫Γ

f(u)

u− zdu

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫Γ

|f(u)||u− z|

du ≤ 1

πd(z, E)

n∑l=1

diam(Bl) ≤ε

πd(z, E),

elle tend donc vers 0 avec ε. Par passage à la limite, on obtient que f ≡ 0. Si f n'est pas nulleà l'in�ni, puisque f ∈ A(E, 1), on applique le raisonnement ci-dessus à f − f(∞) pour obtenirque f ≡ f(∞). Ce qui conclut.

Proposition 2.2.2 (Condition nécessaire).Si E est un compact de C qui véri�e dimH(E) > 1, alors E n'est pas e�açable ; autrement dit,

dimH(E) > 1⇒ γ(E) > 0.

Preuve.Fixons un s ∈]1, dimH(E)[. Alors Hs(E) = +∞. Le théorème 2.1.15 nous garantit l'existenced'une mesure positive de masse �nie µ (et non triviale), à support compact contenu dans Evéri�ant

∀z ∈ C, ∀r > 0, µ(B(z, r)) ≤ rs.

Notons f : (u, z) 7−→ 1u−z (dé�nie sur E × C \ E).

1. ∀z ∈ C \ E, f(., z) est µ-intégrable car dominée par la fonction µ-intégrable 1d(z,E) .

2. ∀u ∈ E, f(u, .) est continument di�érentiable, et

∀u ∈ E, ∀z = x+ iy ∈ C \ E,

∂f(u, .)

∂x(z) =

1

(u− z)2,

∂f(u, .)

∂y(z) =

i

(u− z)2.

11

3. Soit K un compact de C, inclus dans C \ E. |f|E×K | est continue, donc atteint sa bornesupérieure, que l'on note M . Ainsi,

∀u ∈ E, ∀z ∈ K, |f(u, z)| ≤M,

ceci entraine que les dérivées partielles sont bornées sur les compacts, compte tenu de larelation

∀u ∈ E, ∀z ∈ C \ E,∣∣∣∣∂f(u, .)

∂x(z)

∣∣∣∣ = |f(u, z)|2, de même en y.

Puisque µ(E) <∞, les dérivées partielles de f satisfont donc une hypothèse de dominationlocale. Par théorème de dérivation sous l'intégrale et par un calcul simple, on en déduitque

µ : C \ E −→ C

z 7−→∫E

dµ(u)

u− zest bien dé�nie holomorphe sur son domaine de dé�nition. Une évaluation du taux d'ac-croissement en l'in�ni donne µ′(∞) = −µ(C) 6= 0. On montre maintenant que µ est bornée.Soit z ∈ C \ E. On a

|µ(z)| ≤∫

1≤|u−z|dµ(u) +

∞∑n=0

∫2−n−1≤|u−z|≤2−n

2n+1dµ(u)

≤ µ(E) +

∞∑n=0

2n+1µ(B(z, 2−n))

≤ µ(E) + 2∞∑n=0

2n(1−s)

≤ µ(E) + 21−21−s <∞,

cette borne étant uniforme en z, on en déduit que µ est bornée. Comme elle n'est pasconstante, on en déduit d'après le théorème 1.2.6 que γ(E) > 0, ce qu'on voulait montrer.

Ainsi, tout compact de 1-mesure de Hausdor� nulle est e�açable, et tout compact de di-mension de Hausdor� strictement supérieure à 1 ne l'est pas. La dimension cruciale est donc ladimension 1, et on pourrait penser que la condition su�sante H(E) = 0 serait aussi nécessaire,ce qui donnerait une caractérisation géométrique des compacts e�açables, seulement ce n'est pasle cas, comme on va le voir avec l'ensemble de Cantor à quatre coins.

2.3 La condition H(E) = 0 n'est pas su�sante : l'exemple du "Cantor quatre

coins"

Rappel : Construction d'ensembles de Cantor unidimensionnels

Soit λ ∈[0, 1

2

].

On se place dans R et on considère le segment I = [0, 1]. On construit l'ensemble de Cantorassocié à λ, que l'on note C(λ), comme suit :

12

1. n = 1On découpe I en trois parties : E1,1 = [0, λ1], ]λ1, 1 − λ1[ et E1,2 = [1 − λ1, 1], et on neconserve que les deux parties E1,1 et E1,2. On pose E1 =

⊔2k=1E1,k.

2. Passage de En à En+1

Soit n ∈ N∗, et supposons que En soit réunion disjointe de 2n intervalles fermés (En,j)j∈{1,···2n}de longueur λn.Pour j ∈ {1, · · · 2n}, on appelle ϕn,j l'unique transformation a�ne qui envoie En,j sur I,et on pose An,j = ϕ−1

n,j(E1). An,j est donc constitué de 2 intervalles de longueur λn+1, et

En+1 =⊔2n

j=1An,j est la réunion disjointe de 2n+1 intervalles de longueur λn+1, que l'ondésignera dorénavant par En+1,1, · · ·En+1,2n+1 .On peut �nalement dé�nir l'ensemble de Cantor associé à λ par

C(λ) =⋂n∈N∗

En.

Construction du "Quatre coins"

Plaçons-nous dans l'espace a�ne C = R2 muni de son repère orthonormé usuel et considéronsle carré de longueur de coté 1 centré en l'origine, que l'on nommera C0. On découpe par lapensée ce carré en 16 carrés de longueur de coté 1

4 , on note C1,1, · · ·C1,4 les quatre carrés quisont adjacents à deux cotés de C0 (il y en a bien 4), et on pose C1 =

⊔4k=1C1,k. On va répéter

ce procédé a�n d'obtenir le "Cantor quatre coins".Soit n ∈ N∗, et notons Cn,1, · · ·Cn,4n les 4n carrés composants Cn. Pour k ∈ {1, · · · 4n}, on appelleϕn,k l'unique similitude de rapport 4n qui envoie Cn,k sur C0, et on pose An,k = ϕ−1

n,k(C1). An,kest donc constitué de 4 carrés de coté 4−n−1, et Cn+1 =

⊔4n

k=1An,k est la réunion disjointe de4n+1 carrés de coté 4−n−1, que l'on désignera dorénavant par Cn+1,1, · · ·Cn+1,4n+1 .On peut �nalement dé�nir l'ensemble de Cantor "quatre coins", que l'on notera K, par

K =⋂n∈N

Cn.

On peut montrer que cet ensemble est en fait un translaté du produit cartésien C(14)2, mais ce

point de vue "unidimensionnel" n'est pas intéressant pour la suite.

Longueur et e�açabilité du "quatre coins"

Proposition 2.3.1. Longueur du quatre coins

1 ≤ H(K) ≤√

2.

Preuve.Pour n ∈ N, (Cn,j)j∈{1,···4n} ∈ R(Cn, 4

−n), donc, par croissance de la mesureH4−n et décroissancede δ 7−→ Hδ(E) (à E �xé), on obtient

H4−n(K) ≤ H4−n(Cn) =√

2,

on obtient alors l'inégalité de droite en faisant tendre n vers l'in�ni.Pour la deuxième inégalité, on invoque le lemme 2.1.9 appliqué à la projection orthogonale (quiest 1-lipschitzienne) p sur la droite d'équation y = 2x− 3

2 nous donne

1 = H(p(K)) ≤ H(K),

d'où le résultat.

13

Remarque 2.3.2.

1. On peut montrer que H(K) =√

2, mais ce résultat compliqué à obtenir n'est pas utile dansle cadre de ce document. On retiendra surtout que l'ensemble qui nous intéresse possèdeune longueur strictement positive et �nie.

2. Pour comprendre comment trouver la projection, il su�t de tracer l'unique droite qui reliele coin supérieur droit de C1,1 avec le coin inférieur gauche de C1,4.

Proposition 2.3.3. E�açabilité du "quatre coins"Bien que possédant une 1-mesure de Hausdor� non nulle, l'ensemble de Cantor à "quatre coins"est e�açable :

γ(K) = 0.

La preuve de cette assertion est disponible dans l'ouvrage [Gar ], néanmoins, une preuveplus détaillée est disponible dans [Dud ]. On va en exposer les grandes lignes.

Nous aurons besoin de plusieurs résultats intermédiaires, que l'on admettra. Le premier estun résultat général sur les fonctions holomorphes à l'in�ni, les autres sont propres à ce que l'onveut démontrer. On pourra remarquer que dans la preuve du théorème, seuls sont utilisés lesrésultats 2.3.5 et 2.3.8. Les autres lemmes sont utilisés pour démontrer ces résultats.

Lemme 2.3.4.Soit E un compact de C et f une fonction holomorphe sur C \E. Soit Γ un cycle dans C \E telque

∀w ∈ K, IndΓ(w) = 1.

Soit z un point de C \ (K ∪ Γ). Alors

f(∞)− 1

2iπ

∫Γ

f(u)

u− z=

{f(z)si IndΓ(z) = 0

0si IndΓ(z) = 1

Dans la suite, on noteraC =

⋃n∈N{Cn,i, | i = 1, · · ·n}.

Si Q ∈ C est un carré apparaissant lors de la construction du "quatre coins", on posera

KQ = K ∩Q

qui est la trace de K sur Q,

∀n ∈ N, Cn(Q) = {Cn,j , | Cn,j ⊂ Q, j = 1 · · ·n},

l'ensemble des carrés apparaissant dans la n-ème génération et inclus dans Q, et

C(Q) = {R ∈ C | R ⊂ Q} =⋃n∈N

Cn(Q)

l'ensemble des carrés apparaissant dans la génération, et inclus dans Q.Remarquons que KQ est directement semblable à K, le rapport de similitude étant la longueurd'un coté de Q, l(Q).En�n, si R ∈ C(Q), z ∈ C \KR, ΓQ,R un cycle de C \ (KQ ∪ {z}) véri�ant

14

1.∀w ∈ KR, IndΓQ,R(w) = 1,

2.∀w ∈ (KQ \KR) ∪ {z}, IndΓQ,R(w) = 0,

et f une fonction analytique bornée sur C \KQ, nulle à l'in�ni, on dé�nira

fQ,R(z) =−1

2iπ

∫ΓQ,R

f(u)

u− z.

Lemme 2.3.5.

1.fQ,R est bien dé�ni sur C \KR, et holomorphe bornée sur son domaine de dé�nition. Elles'annule à l'in�ni.

2.

‖fQ,R‖∞ ≤M ‖f‖∞ où M = 1 +π

6,

3.Si Q ∈ Cm et si n ≥ m,

∀z ∈ C \KQ, f(z) =∑

R∈Cn(Q)

fQ,R(z),

4.Si ϕ(z) = αz + β, avec α > 0, β ∈ C et si Q∗ est l'image réciproque de Q par ϕ, R∗ cellede R, alors

fQ,R ◦ ϕ = (f ◦ ϕ)Q∗,R∗ ,

5.Si S ∈ C(R), alors (fQ,R)R,S = fQ,S.

Encore deux notations : le coin inférieur gauche de Q sera appelé zQ, le centre de Q seranoté cQ.

Lemme 2.3.6.Si Q ∈ Cm pour un certain m ∈ N, alors :

1.

∀n ≥ m, An(Q) :=∑

R∈Cn(Q)

l(R)2

|cR − zQ|≤ 3,

2.La suite (Bn(Q))n≥m dé�nie par

∀n ≥ m, Bn(Q) =∑

R∈Cn(Q)

l(R)<(cR − zQ)

|cR − zQ|2

n'est pas bornée.

15

Encore deux notations : on pose, pour z 6= cR

gQ,R(z) =(fQ,R)′(∞)

cR − z,

et, toujours si Q ∈ Cm, et n ≥ m,

gQ,n(z) =∑

R∈Cn(Q)

gQ,R(z).

Lemme 2.3.7.(gQ,n(zQ))n≥m est une suite bornée.

Lemme 2.3.8.Soient M et a deux réels > 0. Il existe δ > 0 tel que :Si f est holomorphe sur C \KQ et véri�e :

1.

‖f‖∞ ≤M,

2.

f(∞) = 0,

3.

|f ′(∞)|l(Q)

≥ a,

alors il existe R ∈ C(Q) tel que

|(fQ,R)′(∞)|l(R)

≥ (1 + δ)|f ′(∞)|l(Q)

.

On peut en�n prouver le théorème.

Démonstration.Supposons par l'absurde qu'il existe une fonction f ∈ A(K, 1) nulle à l'in�ni et telle quef ′(∞) 6= 0. Soit δ > 0. Une application directe du lemme précédent à f et Q = Q0 := C0 avec

M = 1 +π

6,

a = |f ′(∞)|,

(remarque : l(Q0) = 1)) nous donne l'existence d'un carré Q1 ∈ C(Q0) tel que

|(fQ0,Q1)′(∞)|l(Q1)

≥ (1 + δ)|f ′(∞)|.

Compte tenu des deux premiers points du lemme 2.2.5, une application du lemme précédent àfQ0,Q1 et Q = Q1 avec

M = 1 +π

6,

a =|(fQ0,Q1)′(∞)|

l(Q1),

16

nous donne l'existence d'un carré Q2 ∈ C(Q1) tel que

|(fQ0,Q2)′(∞)|l(Q2)

=|((fQ0,Q1)Q1,Q2)′(∞)|

l(Q2)≥ (1 + δ)

|(fQ0,Q1)′(∞)|l(Q1)

≥ (1 + δ)2|f ′(∞)|,

la première égalité provenant du dernier point du lemme 2.2.5. Continuant ainsi par récurrence,on construit une suite de carrés emboités

Q0 ⊃ Q1 ⊃ · · ·Qn ⊃ · · ·

tels que

∀n ∈ N, (1 + δ)n|f ′(∞)| ≤|(fQ0,Qn)′(∞)|

l(Qn).

De plus, puisquefQ0,Qn

‖fQ0,Qn‖∞∈ A(KQn , 1) (premier point du lemme 2.2.5),

|(fQ0,Qn)′(∞)| ≤ γ(KQn) ‖fQ0,Qn‖∞ ,

et, étant donné que K et Qn sont directement semblables avec un rapport de similitude valantl(Qn), on a aussi, grâce à la proposition 1.2.5,

γ(KQn) = l(Qn)γ(K).

Mais alors, ces inégalités mises bout à bout donnent

∀n ∈ N, (1 + δ)n|f ′(∞)|l(Q0)

≤Mγ(K),

ce qui est évidement absurde pourvu que n soit assez grand. Ce qui conclut.

3 Autres conditions géométriques d'e�açabilité

Dans cette section, on s'intéressera brièvement à d'autres conditions géométriques traduisantl'e�açabilité ou non de notre compact E.

3.1 Le cas des compacts enfermés dans des courbes recti�ables : la conjecture

de Denjoy

Proposition 3.1.1.Soit Γ une courbe recti�able de C (i.e. de longueur �nie) et E un compact de C inclus dans Γ.Alors

γ(E) = 0⇔ H(E) = 0.

Bien entendu, on a montré que le sens nécessaire était vrai dans le cas général. Historique-ment, Denjoy a prouvé la partie su�sante dans le cas particulier où Γ était un intervalle bornéde la droite réelle, et pensait que ce cas particulier permettait d'en déduire le cas général, ce quin'est pas vrai. C'est pour cela que, bien que complètement démontré, ce résultat porte encore lenom de "conjecture".

17

"Preuve" de Denjoy.On considère la fonction

g : C \ E −→ C

z 7−→∫E

dL1(x)

x− zCette fonction est analytique sur son domaine de dé�nition, et est à valeur dans le domaine{|=(z)| < 1}, qui est un simple connexe de C. D'après le théorème de l'application conforme,il existe un biholomorphisme h : {|=(z)| < 1} −→ B(0, 1). Alors l'application f = h ◦ g estanalytique comme composée de telles fonctions, bornée (grâce à h) et non constante sur C \ E,donc γ(E) > 0.

Une preuve générale, qui découle d'un résultat du à Calderon, se trouve dans [Chr ].

3.2 Cas des compacts de 1-mesure de Hausdor� �nie : la conjecture de Vi-

tushkin

Dé�nition 3.2.1.Une partie A de C est dite 1-recti�able s'il existe une famille dénombrable (fi)i∈N ∈ C(R,C)N

d'applications lipschitziennes telles que :

H

(A \

⋃i∈N

fi(R)

)= 0.

A est purement 1-non recti�able si

H (A ∩ f(R)) = 0

pour toute application lipschitzienne f : R −→ C.

Autrement dit, un ensemble 1-recti�able admet une décomposition de la forme

A =⋃i∈N

fi(R) ∪N,

avec N un ensemble H-négligeable de C.

Dé�nition 3.2.2. Longueur de FavardSoit E ⊂ C. La longueur de Favard de E est le nombre

Fav(E) =2

π

∫ π

0L1(Πθ(E)) dθ,

où Πθ : C −→ R désigne la projection orthogonale sur la droite de C passant par l'origine etformant un angle orienté θ avec l'axe des abscisses.

Dé�nition 3.2.3. Ensemble invisibleUne partie A de C est dite invisible si et seulement si

Fav(A) = 0.

Autrement dit, un ensemble invisible est un ensemble dont la projection sur presque toutesles droites Dθ est de mesure de Lebesgue nulle.

18

Exemple 3.2.4.[0; 1] n'est pas invisible : la seule projection qui est de mesure nulle est celle sur la droite Dπ

2.

K est invisible : la seule projection qui est de mesure non nulle est celle sur la droite Darctan( 12

).

Conjecture de VitushkinSoit E un compact de C tel que H(E) <∞. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. E est e�açable

2. E est invisible

3. E est purement 1-non recti�able

Remarque 3.2.5.L'équivalence entre les deux premiers points prend actuellement une centaine de page pour êtredémontrée.

4 Quelques résultats utiles pour la lecture de ce document

4.1 Analyse complexe

Théorème 4.1.1. (Cauchy Global)Soit U un ouvert de C, f une fonction holomorphe sur U , et Γ un cycle dans U tel que

∀w /∈ U, IndΓ(w) = 0

(on dit que Γ est homologue à 0 dans U). Alors

1.

∀z ∈ U \ Γ, f(z)IndΓ(z) =1

2iπ

∫Γ

f(w)

w − zdw.

2. ∫Γf(w) dw = 0.

3.Si Γ1 et Γ2 sont deux cycles dans U tels que

∀w /∈ U, IndΓ1(w) = IndΓ2(w)

(on dit qu'ils sont homologues dans U), alors∫Γ1

f(w) dw =

∫Γ2

f(w) dw.

On pourra se référer à [Rud ] pour une preuve de ce théorème.

Proposition 4.1.2.Soit K un compact de C, U un ouvert de C contenant K. Il existe un cycle Γ dans U \K tel que

1.

∀w ∈ K, IndΓ(w) = 1,

2.

∀w /∈ U, IndΓ(w) = 0.

19

On pourra se référer à [Rud ] pour une preuve de cette assertion.

Proposition 4.1.3.Soit K un compact de C et U un ouvert de C le contenant. Soit f : U \K −→ C une fonctionanalytique sur U \K. Alors il existe un unique couple (g, h) de fonctions telles que :

1. g : U −→ C est analytique sur U .

2. h : C \K −→ C est analytique sur C \K.

3. h(z) −→z→∞

0

4. f = g + h sur U \K.

De plus, si f est bornée, g et h le sont aussi.

Démonstration.

� Construction de gSoit z ∈ U , et Γ1(z) un cycle dans U \ (K ∪ {z}) tel que1.

∀w ∈ K ∪ {z}, IndΓ1(z)(w) = 1.

2.∀w /∈ U, IndΓ1(z)(w) = 0.

Le théorème de Cauchy global entraine alors que

z 7−→ g(z) =1

2iπ

∫Γ1(z)

f(u)

u− zdu

est bien dé�nie sur U (i.e. ne dépend pas de Γ1(z) véri�ant les deux conditions ci-dessus),et, si l'on note Cz la composante connexe de U \ Γz contenant z,

∀w ∈ Cz, g(w) =

∫Γ1(z)

f(u)

u− zdu.

On peut former le taux de variation de g en z, pour tout h ∈ B(0, r) pour un certainr > 0 tel que B(z, r) ⊂ Cz (il y a bien une telle boule dans Cz), et en particulier évaluerla quantité suivante

∆(h) :=1

h(g(z + h)− g(z))− 1

2iπ

∫Γ1(z)

f(u)

(u− z)2du

=1

2iπ

∫Γ1(z)

f(u)

h

(1

u− z − h− 1

u− z− h

(u− z)2

)du

=1

2iπ

∫Γ1(z)

f(u)

h

(∫ 1

0

2h2(1− t)(u− z − th)3

dt

)du.

En prenant le module de l'expression ci-dessus, et en utilisant l'inégalité de la moyenne,on obtient

|∆(h)| ≤ |h|∥∥f|Γ1(z)

∥∥∞ longueur(Γ1(z))

πd(B(z, r),Γ1(z))3,

ce qui prouve par passage à la limite que g est holomorphe en z, ce pour tout z ∈ U , doncg est holomorphe sur U .

20

� Construction de hSoit z ∈ C \K, et Γ2(z) un cycle dans U \ (K ∪ {z}) tel que1.

∀w ∈ K, IndΓ2(z)(w) = 1.

2.∀w ∈ (C \ U) ∪ {z}, IndΓ2(z)(w) = 0.

Le théorème de Cauchy global entraine alors que

z 7−→ h(z) = − 1

2iπ

∫Γ2(z)

f(u)

u− zdu

est bien dé�nie et analytique sur C \K (mêmes idées que pour g).Si Γ est un cycle d'indice 1 autour de K et 0 autour de C \ U , alors

h(z) = − 1

2iπ

∫Γ

f(u)

u− zdu

pour tout z appartenant à la composante connexe non bornée de C \ Γ. En faisant tendrez vers l'in�ni on obtient bien que

h(z) −→z→∞

0.

� Véri�cation de f = g + hPour z ∈ U \K cycle Γ(z) = Γ1(z)− Γ2(z) véri�e

1.∀w ∈ C \ (U \K), IndΓ(z)(w) = 0.

2.IndΓ(z)(z) = 1.

On en déduit, grâce au théorème de Cauchy,

f(z) =1

2iπ

∫Γ(z)

f(u)

u− zdu = g(z) + h(z).

� UnicitéSi f = g1 + h1 = g2 + h2 sur U \K, alors g1 − g2 = h2 − h1 sur U \K. Mais alors g1 − g2

a un prolongement holomorphe sur C, ce qui, en vertu de

h2(z)− h1(z) −→z→∞

0

et du théorème de Liouville donne que g1 − g2 = 0, et donne l'unicité� Cas f bornéeSi f est bornée sur U \K, considérons un ouvert O de C borné tel que

K ⊂ O ⊂ O ⊂ U.

h est bornée sur C\O, donc g = f−h l'est sur U \O. Or g est bornée sur O (car continue).D'où g est bornée sur U , et donc h = f − g est bornée sur C \K. Ce qui conclut.

21

Bibliographie

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