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Comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique Situation du problème

• Situation du problème :– Variable qualitative dichotomique– Conformité d’un pourcentage observé à

un pourcentage théorique• On exprime la question sous une

forme compréhensible mais qui ne correspond pas à la réalité. Strictement, le pourcentage observé (Pobs) diffère du pourcentage théorique (Pth) (par exemple Pobs = 0,07 et Pth = 0,025). Ce qui est intéressant c’est de savoir si cette différence peut être attribuée au hasard ou encore si le pourcentage de la population dont est tiré l’échantillon observé peut être considéré comme valant Pth.

– Problème fréquent– Exemple : taux de décès au cours d ’un

intervention par rapport à une référence nationale.

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Comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique.

H0/H1• Hypothèses

– Hypothèse nulle H0 :• L’échantillon peut être considéré

comme issu d ’une population ayant comme pourcentage PH0

– PH0 = Pth– Hypothèses alternatives :

• Test bilatéral– PH0 # Pth

• Test unilatéral– PH0 > pth ou (exclusif) PH0< Pth

– Statistiques utilisables• Khi 2• Epsilon ou u (Loi normale)• Remarque : ces deux tests sont

équivalents et ont les mêmes conditions d ’application :

– N * Pth > 5– N * (1-Pth) >5

On approche une loi binomiale par une loi normale

• Si les conditions ne sont pas remplies on prend une autre méthode

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Comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique : Khi 2

• Utilisation du KHI2. Test Bilatéral (unilatéral possible mais moins habituel)– Tableau des valeurs :

Décès Non Décès Total

Effectifs Observés O1 O2 N

Effectifs ThéoriquesC1 =

Pth*N

C2 =

(1-Pth)*NN

– Statistique :

Khi 2 = (O1-C1)

2

C1

(O2-C2)2

C2+

DDL = 1

– Décision :

– Valeur critique : table du Khi 2•Pour alpha = 0,05 Khi2 à 1 DLL = 3,84

alpha

Khi 2< Khi2 alpha

On rejette H0, on accepte H1

Il existe une différence statistiquement significative au seuil de risque alpha. On lit dans la table le seuil de significativité p

Khi 2 > Khi2 alpha

On accepte H0. Attention au risque Bêta

Conditions : C1 > 5 et C2 >5

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Khi2 : exemple

• Exemple :– Dans un échantillon de 200 malades, on a

observé un taux de décès dus à une maladie cardio-vasculaire de 30% alors que la référence nationale est de 40%. Peux -t- on considérer que le taux observé est statistiquement différent du taux national au seuil de risque 5% ?

– H0 PH0 = 0.4– H1 Test bilatéral : PH0 # 0.4

Décès Non Décès Total

Effectifs Observés 60 140 200

Effectifs Théoriques 80 120

Note : 60 = 0,3 *20080 = 0,4 *200

Khi 2 = (60-80)

2

80+

(140-120)2

120= 8,33

DDL =1

Khi 5% = 3,84 => Rejet de H0DDL =1 Le pourcentage de décès observés

diffère de manière significative de 40% au seuil de risque 5%

Lecture dans la table de p : 0,001 < p < 0,01 (Khi2 = 10,83 Khi 2 = 6,63)

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Comparaison d’un pourcentage observé à un pourcentage théorique : u

• Utilisation d ’une variable normale centrée réduite u– Test Bilatéral ou Unilatéral

• Tableau des valeurs

Posb = N+

N

N+ = Nombre de sujets présentant le caractèreN = Effectif de l ’échantillon

Pth Pourcentage théorique

• Statistique

u = Posb - Pth

Pth * (1-Pth) N

Conditions : N * Pth > 5 N * (1-Pth) >5

•Valeur critique : Table de l ’epsilon•Pour alpha bilatéral 5% C =1,96•Pour alpha unilatéral 5% C = 1,645

• Décision :•u >ualpha on rejette H0 : il existe une différence statistique significative

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Exemple u

• Exemple :– Dans un échantillon de 200 malades, on a

observé un taux de décès dus à une maladie cardio-vasculaire de 30% alors que la référence nationale est de 40%. Peux -t- on considérer que le taux observé est statistiquement différent du taux national au seuil de risque 5% ?

– H0 PH0 = 0.4– H1 Test bilatéral : PH0 # 0.4

u = = 2,886 0,30 - 0,4

0,4 * 0,6 200

N * PH0 = 80, N * (1-PH0) = 120 => Conditions d ’application correctes

ualpha = 1,96 (= racine carré du khi2 à 1DDL)

u > ualpha On rejette H0 : Il existe une différence significative au seuil de risque 5%. On lit p dans la table : p : 0,001 < p < 0,01

Ualpha 3,29 ualpha 2,57

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Remarques

• Remarques :– On démontre la parfaite similitude des

deux statistiques proposées– Le u est la racine carrée du Khi 2– Le Khi2 permet également d’envisager

un test unilatéral, mais son utilisation dans ce cadre est moins usuelle. Pour alpha unilatéral on compare à 2,70

– Attention :– Différence significative ne signifie pas

différence importante sur le plan qualitatif ni quantitatif. Une même différence peut devenir significative ou non en fonction de la taille de l ’échantillon N. La signification est liée à l’existence d’un phénomène Pth = PH0 ou Non. La différence qualitative ou quantitative renvoie à des considérations médicales.

– Le jugement porte ici sur la signification et non sur la causalité des phénomènes. Dans l’exemple, l’interprétation est des plus délicate. On meurt moins que la référence mais quelle est la cause de cette différence ? Rien ne permet de conclure.