C O M P L ~ M E N T A U N E ] ~ T U D E D E S S O U R C E S P O N C T U E L L E S

] ~ L E C T R O M A G I ~ T I ~ U E S

C O N D I T I O N D E C O R R E S P O N D A N C E E N T R E U N CH~IP F O N D A M E N T A L

E T U N E S O U R C E P O N C T U E L L E

P a r Maur ice B O U I X * Docteur 6s Sciences Physiques

SOMMAIBE. - ' - - Ce compldment gt l%rticle pr&&lemment publid par l'auteur sur cette dtude dtablit qu'il n'y a que deu~ champs/ondamentaux (dont traitent respecti~ement les paragraphes V I et V I I I de l'article prdcitd) auxquels on puissc laird correspondre e]~ectfi,ement une source ponctuelle, atttrement dit une distribution concentr& el l'origine.

Dans un article intituld (( l~tude des sources ponctuelles dlectromagngtiques , (Ann. T616communic. [mai-]uin t959], 14, n os 5-6, pp. 1.43-150) l'auteur annonfait (note au bas de la page 149) un remaniement de la partie de l'article (~ I X ) intituld c( l~tude des autres champs/onda- mentaux ~. Tel est l'obiet da prdsent compliment, dont le texte est d substituer au paragraphe concerns Les nota- tions sont les mdmes et la numdrotation des dquations est en concordance avec celle de l'article primit i / (l'dlimina- tion des nttm~ros 40 gt 42 ~i t e toute discordance **).

I~tant donn6s les c h a m p s f o n d a m e n t a u x du t y p e 61ectrique des formules (5), si l 'on cherche les distr i -

bu t ions de couran t s J e t M app l iqu6s sur une sphere de r a y o n z qui engendre ra i en t ces c h a m p s , les

cou ran t s J e t M sont donn6s pa r les fo rmules (21).

Les vec t eu r s 0 et ? sont donn6s en fonc t ion des --> -> -->

vec t eu r s un i t a i res des axes i , / , k pa r

(3!I) 0 -- i e a s O c o s ? + / cos Osin ? - - k sin 0,

- - - i s i n ? + / cos%

On vo l t done que si on int~gre sur la sph6re S don t l '616ment de surface est sin 0 dO d2 de fagon

ehereher la l imi te de la % s u h a n t e g6n6rale des ___>

eou ran t s J , on t r o u v e r a z6ro s i m est un en t ie r dif- cos cos f6rent de 0 ou de 1 h cause d e s t e r m e s en ~ m m ? ~in %

I1 en sera de m 6 m e pour ro t 31 dans les m 6 m e s condi t ions .

S i m = 0 ou m = l , on a beso in des d6veloppe- m e n t s des fone t ions sph6r iques

d l~.J~ (l~.,-) ,;~ 7,. ['r ( / ' ' ' '

Or on sait q u ' o n peu t 6erire

in+l I) =~'~+ 1

(43) t,~) (p) = e-i~ E e-vi(~,r • p ~9=o

n(, ,~- ~) . . . I n 2 - - ( p _ ~,~] (n + p)/'_'~ p~p~,

e t on t r o u v e

(44) ~ /~ =n- l . - 1

-- i -+1 e-I~ E e-l(v-'~*l~n(n2--1)... I n , - - ( p - - % 2 ] ( n + p - - l ) In2 + p2 + n - - p]/L~ p~ p,

Le t e r m e p r 6 p o n d 6 r a n t co r respond h p = n + t p o u r hl,] I (p) et ~ p = n + 2 p o u r la d6rlv6e. Done d~s que n > 1, on t r o u v e r a des t e r m e s infinis pou r

§ le v e c t e u r I h moins que les in t6gra t ions en 0 ou q~ les annu len t , ma i s ces in t6gra t ions sont ind6pen- dan tes de z ; d o n c si elles annu l en t un t e rme , elles a n n u l e r o n t t o u s l e s t e rmes .

I1 f a u t 6 tud ie r les in t6gra t ions en 0 p o u r les d iverses va leu r s de n. _~

P o u r 6 tudier le v e c t e u r I , on dol t f o r m e r

~{~ 1 .co ~ ~P~ (cos 0) (45) /,iS t lsi n m~ ~ ]1~ 1 (kS) X

m �9 -+in ~ (cos O) h~) (kz) x + 1 cos m ~ sin O p~

+ + I ( - - i s i n ~ + ] c o s ? ) z 2s in0d0dq~

m 6 t an t 6gal h z&o ou a un. S i m = 0, les s ignes inf6r ieurs d o n n e n t z6ro. Le

deux i6me t e r m e d i spa ra t t de t o u t e fa~on. L ' in t6 - g ra t i on en 9 annule les in t6grales en cos ~ et sin et il res te

§ / ' ~ " 2dP" (cos - 2=1,- . !o ~ ~ O)~,~ (k< si,,2 0 dO,

+1 d P . (z) = + 2~I,-i~2 ~,c~ (k~) j /_~ 7 i (l - =2),1~.

O r 019. a

/ + ~ (1 - - z 2) dz = [P. (z) (1 -- z2)]+ 1 dP,,

( ~ 6 ) 1 d - - - -~

/2' + 2 P,~ (z) z dz.

* Professeur h la Facult6 des Sciences d'Alger. (**) I1 y avail:, du rest% une erreur typographique (p. 149) sur Pun de ces num6ros (iI fallait life 61 au lieu de 21).

105

2/3

Le crochet est 6videmment nul. On salt d 'autre part que Ji71

( 4 7 ) ~mp~f~)dt x = 0 , pour 0 ~ < m < n.

Done l'int6grale 6tudi6e est nulle pour n > 1. Pour n = I on est dans le cas des paragraphes VI et VIII. Pour n----0, Po(z)-----1, l 'int6grale est nulle.

l~tudions de m6me la limite de l 'autre int6grale, -._>

relative h rot M 6tendue h la sphere. Le ds 2 s 'y exprime par

(48) ds ~ = dr 2 + r 2 dO 2 + r 2 sin 2 0 dq02,

en coordonn6es sph6riques. Ces coordonn6es sont un cas particulier des coordonn6es curvilignes rec- tangulaires, avec lesquelles le ds est donn6 par

(49) as 2 = e~ du~ + e~ du e + e] du].

La formule g6ngrale du rotat ionnel en coordonnges curvilignes rectangulaires est (en sommant par per- mutat ions eireulaires des indices)

(50) r o t V = ~ (eaVa) - - (e2V2) U 1. 1,2,3, e2 e3 ~ - 3

On aura donc

rot M =

I ~} ~ [ ~ sin mqo ~-0 ~[rn'n'tt~r)j ]

5 [ rm --sin 3 ]]J § +~-~ krs~n0eos mq~ P~n (e~ 0 ) ~ [rh(~l (kr) r

t [ 5 3 [r sin 0 cos m~ 5P~,cos O) + r sin-0 ,~-~ (0) --~-~ / ~r sin 30 x

1[ b [ rm --sin ]]-->I + r --~" D~r sin--Ocos mq) hn m (cos O)~r[rh(~) (kr)] q~

OU e n c o r c

(51) r o t 211=

I I I [ I 3 [ 3 P : ( c o s 0 ] ~kr ; [rh(~l (kr)]r sTno~0 sin0 50

/gt 2 "] COS "->" - ~ (cos 0)] mq) r

- - sin 2 0 Pn sin

1 cos 3P~ (cos O/ 32 _ _ - - ' __ [ r h 12) krsin mqo 30 3r2k . (kr~] 0

m--sin P~ (cos O) 32 "~I kr cos mq0 s in 0 ~ r ~ [ r h (2) kr~] " /

Utilisons eette expression pour calculer l 'int6grale

(52) rot M r sin 0 dO dq~,

6tendue h la sphere S de rayon r en joignant aux relations (39) la relation

-->. .-->. .->. -> (53) r = i s i n 0 c o s ~ 0 + ] s i n 0 s i n q ~ + k c o s 0 .

M. B OUIX [ANNALE$ DES TI~L~COMMUNICATION

On voit que si m est diff6rent de z6ro ou de un les int6grations en q0 donneront toujours z6ro.

On remarque encore, qu'h cause de l '6quation diff6rentielle h laquelle satisfont les fonctions

P~ (cos 0), le coefficient du vecteur r dans (51) s'6crit

[, ] s~nn 0 ~-0 Si,lO 30 - - s i ~ P~ (c~ O)

= -- n(n + l) P~ (cos 0).

Si m = 0, seul le signe sup6rieur peut donner un

rot M non nul. On aura alors

rot M $2 sin 0 dO dq~

I 1 ~, n(n + 1)~" = 2 n ~ -- ,[rh(n 2)(kr)]k=* r

/ ~ P ~ (cos O) cos sin 0 0 dO

I 32 ~ / ~ d P , ~ ( c o s O ) 1 + ~ - r r ~ [rh (2~ (k,') k sin 20 dO �9 dO

Si on pose cos 0 = z, les deux int6grales devien- nent respeetivement

/ + 1 / + l dpn (z) (l _ z2) dz" P,(z) zdz et -- 1 1 dz

On a vu que ces deux int6grales se r6duisent h la premiere, h u n coefficient pr6s. Elles sont nulles si n > 1. Pour n = l, on est dans le cas des para- graphes VI et VIII. Pour n = 0, les int6grales sont nulles.

/~tudions maintenant le cas o d m = 1. Spit dans l'int6grale (45), spit dans l'int6grale (52),

les termes coefficients du vecteur k s 'annulent h cause de l ' int6gration en %

I1 reste pour l'int6grale (45)

fo =co 0 ./cos ] sin2q) 30 sin Od 0 d~o

+ / 2 : ~ i S'112r / r

-- -~ P, (cos 0) dO d% i cos2~

Les int6grales en 9 ne sont pas nulles. Mais les int6grales en 0 se ram~nent spit h

~ = ~ 0 ~ [ c~176 s inO+P~]dO,

spit h

7' P~, (cos O) s in 2 0 dO.

La seconde se ram~ne imm6dia tement h (46) et est donc nulle. Pour la premi6re, on remarque que

= _ - 2'112 dP. ( i x ) P~ (cos O) sin 0 dP~d(cos(COSo)O) (1 -- [x ) ~-~

= s i n 0 d P ' ~ ( i x ) . d~

t. 16, n ~ 3-4, 19611

Donc

dP~ d [sin 0 dP,~ (bt)] dO = d-O " ~ J "

On a donc p o u r la p remi6re pa r t i e ~i de ~ :

// r~ dP~ (cos O) O( 1 = ~ COS 0 sin 0 dO dO

= j~0 = d~ [sin 0 ~ ] cos 0 sin 0 dO.

Si on int~gre pa r par t ies , il v ien t h la place

dP~ (~z)

~ o ~ dP,~ (~t) - - sin 0 ~ - (cos 2 0 -- sin 2 O) dO.

Le p r e m i e r c rochet est nul. Or on a aussi pou r la deux i~me pa r t i e ~2 de ~r

/o = sin 0 (cos ~ 0 + sin 2 O) dO.

E T U D E DES S OURCES P O N C T U E L L E S I ~ L E C T R O M A G N E T I Q U E S 3/3

Done

cq + ~2 = 9 ~o = dPn ([*) sin3 0 dO - ~ dg. -s

= _ ,~ - - f o ~ dP~ (~z) (1 - - p.~) dbt , - db ~

quan t i t 6 nulle d ' ap r6s (47) E n r6sum6 les seuls c h a m p s f o n d a m e n t a u x qui

c o r r e s p o n d e n t h des d i s t r ibu t ions concent r6es h l 'o r ig ine sont les deux t y p e s re la t i fs a n = 1, m = 0, p r 6 c 6 d e m m e n t 6tudi6s (w167 VI et V I I I ) . Les au t r e s ne c o r r e s p o n d e n t donc pas h des sources pone tue l l e s effect ives. Mais ils p e u v e n t servi r h d6compose r un c h a m p complexe auque l on fixe des cond i t ions aux l imi tes sur une sphere centr6e, h l 'or igine , de rayon fini. C'es t ainsi que nous les u t i l i serons dans un p rocha in art icle. (*)

Manuscr i t re~u le 14 fancier 1960.

(*) En r6alit6 il semble, h la suite de travaux plus r6cents, qu'on puisse associer hces champs des sources qui sont une g6n6ralisation des pr6c6dents, mais cette question n'est pas encore compl6tement 61ucid6e.

COMPTES RENDUS DE LIVRES

Les t616eommunnieat ions (~ Industries et travaux d 'outre -mer ~ : num6ro sp6eial *.

Apr6s un 6ditorial de pr6face, ce recueil contient deux expos6s d ' introduction g6n&ale, respect ivement de J. Meyer (directeur de l'Office central des Postes et Tdl6communications d 'outre-mer) sur la nouvelle orga- nisation des tdl6communications dans les l~tats d 'outre- mer de ta Comnmnaut6 d'expression fran~aise et dans les territoires fran~ais d 'out re-mer et de H. Pontillon (Directeur g6n6ral de la radiodiffusion outre-mer) sur l 'exp6rience technique de la SORArOM dans les pays de la Communaut6 pour l '6quipementradiophonique.

Vient ensuite un expos6, du signataire de ces lignes, sur les conditions sp6cifiques du probl6me des liaisons t616phoniques mult iplex outre-mer et sur les diverses solutions que l%volution technique met 'a la disposition des ing6nieurs pour ces probl~mes (liaisons par courants porteurs sur lignes a6riennes, liaisons radio61ectriques en ondes d6cam6triques, liaisons par c~bles souterrains, faisceaux hertziens classiques et faisceaux hertziens transhorizon).

L'6volution des t616communications dans les divers pays est ensuite pr6sent6e respect ivement par M. Cheik Fal pour les deux pays qui const i tuaient ~ l '6poque la F6d6ration du Mall, G. Mor6re pour la Mauritanie, R. M6tayer pour le Niger, B. Journe t pour la c6te d ' Ivoi re , R. Grosset pour la R@ublique Volta~que, M. Reygrobellet pour le Dahomey, M. Laranco pour le Cameroun. J. Dobremez pour les quatre R6publiques d 'Afrique 6quatoriale, E. Lechat pour Madagascar, G. Derety pour les Somalis, G. Kling pour la Nouvelle Cal6donie, M. Bonnet pour la Polyndsie.

Ce recueil permet de se faire une bonne id6e d 'ensemble de la situation, au point de rue des t616communications, clans les pays d'expression franCaise. Pe rme t t an t non seulement de faire le point quant au d6veloppement actuel de ces pays, mais de discerner les probl~mes d '6quipement qui se posent et de d6gager le sens g6n6ral

de l '6volution technique, il offre ainsi une documenta- tion int6ressant non seulement les sp6cialistes des t616- communicat ions mais encore tous ceux que concerne l 'avenir des pays d 'outre-mer.

F. DU CASTEL.

* l~d. R. Moreux & C i e , Paris (juillet t960), 8 e ann6e, n ~ 80, pp. ~30-511, i fasc. 2'r • 31 (avec 12 p. suppl. : <( informations d'outre-mer ,,). - - Prix : 12,50 NF. (t3,50 NF franco recommand6 pour la France et la zone franc, 15 NF pour l'6tranger). Requ par le C. N. E. T. en service de presse.

Manuel de physique m a t h 6 m a t i q u e *

de P. I. R I C H A R D S

Ce livre est partag6 en une premiere pat t ie consacr6e la physique et une deuxi6me patt ie consacr6e aux math6mat iques utiles aux physiciens.

I. - - P h y s i q u e : Elle cornprend six chapitres, t) M6- canique : M6canique classique, 6quations de LAGnAr~Gr, m6canique des milieux contenus, tension superficielle. 2) Thermodynamique : g~n6ralitds, 6quilibre interne, irr6versibilit6. 3) Th6orie 61ectromagn6tique: unit&, 6quations de MAXWELL; milieux homog6nes, anise- tropes, th6orie des circuits. 4 )Re l a t i v i t 6 : sp6ciale, g6n6ralis6e. 5)M6canique quantique : postulats, m6- thodes, probl6mes sur une particule 2 particules, atomes, mol6cules, m6canique quantique des hautes 6nergies. 6) Physique stat ist ique : th6orie cin6tique, 6quilibre thermodynamique , fluctuations, gaz, plasmas, semi- eonducteurs, liquides. Cette premi6re pat t ie traite de tous les r6sultats bien connus de la physique moderne ; et pour bien faire, l 'analyse devrait en gtre faite par plusieurs sp~cialistes. Les formules utiles paraissent avoir 6t6 bien raises en 6vidence ; mais l 'ensemble est assez condens6 et ne peut ~tre consid6r6e comme un cours ; c 'est un formulaire d6velopp6.

II. - - Mathdmatiques : La seconde part ie est consacr6e aux math6matiques . L 'au teur commence par un rappel d'alg6bre : fractions rationnelles, polyngmes, exemptes

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