ComportementComportementà l’infinià l’infini

d’une fonctiond’une fonction

Le symbole Le symbole aurait été crée au XVII aurait été crée au XVIIee siècle par le siècle par lemathématicien britannique John Wallis à partir d ’unemathématicien britannique John Wallis à partir d ’uneversion cursive du M latin, c’est à dire 1000. Peut-êtreversion cursive du M latin, c’est à dire 1000. Peut-êtrea-t-il aussi pensé à la courbe de la même formea-t-il aussi pensé à la courbe de la même forme(la lemniscate) qui se parcourt sans fin ...(la lemniscate) qui se parcourt sans fin ...

Activité 1. Activité 1.

Soit une fonction Soit une fonction ff définie sur définie sur . . On présente ses variations dans le tableau suivant :On présente ses variations dans le tableau suivant :

xx

ff

ff ( (xx))

++

22

22

11++

11

++

A l'aide de ce tableau, donner toutes les informations connues.A l'aide de ce tableau, donner toutes les informations connues.

On propose ici quatre représentations graphiques. Ces courbes peuvent–elles représenter On propose ici quatre représentations graphiques. Ces courbes peuvent–elles représenter ff ? ?

On note On note ff11 la fonction associée à la courbe la fonction associée à la courbe CC11

et on procède de la même manière pour les autres courbes. et on procède de la même manière pour les autres courbes.

Quand Quand xx se rapproche de + se rapproche de + , , alors alors ff11 ( (xx) se rapproche de) se rapproche de

Quand Quand xx se rapproche de - se rapproche de - , , alors alors ff11 ( (xx) se rapproche de) se rapproche de

On note :On note :

)(lim 1 xfx

On note :On note :

)(lim 1 xfx

+

+ +

+ x

- -

x- -

- -

Quel est le Quel est le comportement à l'infinicomportement à l'infini pour la fonction pour la fonction ff3 3 ??

2)(lim 3

xfx

0)(lim 3

xfx

On dit alors que :On dit alors que : la droite d’équation la droite d’équation yy = 2 est = 2 est asymptote horizontaleasymptote horizontale à la courbe de la fonction à la courbe de la fonction ff3 3 en + en + l’axe des abscisses est l’axe des abscisses est asymptote horizontaleasymptote horizontale à la courbe de la fonction à la courbe de la fonction ff3 3 en - en - ..

Peut–on "distinguer" les fonctions Peut–on "distinguer" les fonctions ff11 et et ff44 à l'aide de ces nouveaux renseignements ? à l'aide de ces nouveaux renseignements ?

NON !!!!!!NON !!!!!!

Activité 2. Activité 2.

On considère la fonction On considère la fonction ff définie sur définie sur par : par : 12)( 2 xxxf

Compléter le tableau de valeurs suivant :Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

f (x ) 4 211 5051 20101 500501 2001001 50005001

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

f (x )

A l'aide du tableau, on a :A l'aide du tableau, on a :ff ( (xx) > 1 000 si ) > 1 000 si xx > …. > …. ff ( (xx) > 10 000 si ) > 10 000 si xx > …. > ….

A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier NN tel que : tel que : si si xx > > NN , alors , alors ff ( (xx) > 10) > 101515 . .

On peut émettre la On peut émettre la conjectureconjecture : :

)(lim xfx

On considère la fonction On considère la fonction gg définie sur définie sur par : par :

Compléter le tableau de valeurs suivant :Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

g (x ) 2 0,30693 0,06038 0,0301 0,006 0,003 0,0006

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

g (x )

A l'aide du tableau, on a :A l'aide du tableau, on a :0 < 0 < gg ( (xx) < 0,01 si ) < 0,01 si xx > …. > …. 0< 0< gg ( (xx) < 0,0001 si ) < 0,0001 si xx > …. > ….

A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier A l'aide de la calculatrice, déterminer un entier NN tel que : tel que : si si xx > > NN , alors 0 < , alors 0 < g g ((xx) < 10) < 10-9-9 . .

On peut émettre la On peut émettre la conjectureconjecture : : 0)(lim

xgx

1

13)(

2

x

xxg

On considère la fonction On considère la fonction hh définie sur définie sur par : par :

Compléter le tableau de valeurs suivant :Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

h (x ) 2 2,9802 2,9992 2,9998 2,99999 2,999998 2,99999992

x 1 10 50 100 500 1 000 5 000

h (x )

hh ( (xx) peut-il être égal à 3 ?) peut-il être égal à 3 ? hh ( (xx) peut-il être supérieur à 3 ?) peut-il être supérieur à 3 ?

3)(lim

xhx

1

13)(

2

2

x

xxh

On peut émettre la On peut émettre la conjectureconjecture : :

Soit Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme [ une fonction définie sur un intervalle de la forme [ aa ; +  ; + [ où [ où aa est un réel . est un réel .SiSi “  f “  f ( ( x x )) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand ” est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand ”  ,  , alors on dit que alors on dit que ff a pour limite + a pour limite + en + en + . .

On note :On note :

)(lim xfx

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande ,la courbe C finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .

On définit de la même façon :On définit de la même façon :

)(lim xfx

)(lim xfx

)(lim xfx

Les nombres f ( x ) deviennent négatifsnégatifs et de plus en plus grandgrand en valeur absolue

Soit Soit ff une fonction définie sur un intervalle de la forme [ une fonction définie sur un intervalle de la forme [ aa ; +  ; + [ et [ et ll un réel . un réel .SiSi “  f “  f ( ( x x )) est aussi proche que l’on veut de l dès que x est assez grand ” est aussi proche que l’on veut de l dès que x est assez grand ”  ,  , alors on dit que alors on dit que ff a pour limite a pour limite ll en + en + . .

On note :On note : lxfx

)(limOn parle aussi

de voisinage de l.

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande ,la courbe C finit par se rapprocher de la droited’équation y = -2.

La droite d’équation y = -2 est appelée :

asymptote horizontaleasymptote horizontale de la courbe de f en + + .

A vous de A vous de jouer ... jouer ...

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx

?)(lim

xfx