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Klein

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CONQUÊTE ALGÉBRIQUE DES IDÉAUX

• Le mode d’objectivation des éléments «à l’infini» n’a pas d’équivalent en «géométrie analytique»

• «[Projective] geometry is a part of descriptive geometry, and projective geometry is all geometry»

Arthur Cayley.

• La géométrie cartésienne se devait d'apprivoiser ce domaine d'idéalité.

• Comment pouvait-elle s'y prendre?

«The last vestiges of dependence on ordinary geometry were removed in 1871, when Felix Klein provided an algebraic foundation for projective geometry in terms of "homogeneous coordinates“ » Coxeter.-

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Une alliée: le modèle héliocentrique  L’assaut vers l’infini.

(x, y, z) (x', y', z')

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Classe des points

= = (Z33/)*

(x, y, z) (x', y', z')

Classe des lignes

.

(x, y, z) (x', y', z')

5

L'incidence. Pythagore donne, pour un

représentant (x1, x2, x3) du rayon x et un représentant (X1, X2, X3) de la normale X : (x1

2 + x22 + x3

2)+ (X12 + X2

2 + X32)

= (X1 - x1)2 + (X2 - x2)2 + (X3 -x3)2

c'est-à-direx1X1 + x2X2 + x3X3 = 0

ou en terme de produit scalairex X = 0.

Droite par 2 points le produit vectoriel a b.

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Diffusion des «coordonnées» Conquête algébrique des idéaux

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Brainstorming

• Translation: x x+k

• Dilatation: x kx

• Transformation linéaire f : x M x• (M: matrice de rang 3)

• Chercher la matrice de la courbe de Peano….

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Monge

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Le coup de la transposition formelle!

• La géométrie projective cartésienne est définie sur

= = (Z33/)* par la relation d'incidence x X = 0

On opère la substitution

Z3= { 0, 1, 2 } K={ 0, 1, 2, i, 1+i, 2+i, 2i, 1+2i, 2+2i }

On est propulsé dans un nouvel univers: = = (K3/ )* « To Steiner, imaginary quantities in geometry were ghosts, which made their effect felt in some way from a higher world without our being able to gain a clear notion of their existence ». F. Klein

Vengeance des cartésiens … !

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Le réflexe de la représentation

Le «plan» de Gauss est abaissé au rôle d’axe

Représentation incomplète! Il faudrait imaginer une "bordure extra territoriale» pour représenter les 10 points à l’infini.

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Sous géométrie réelle

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Comment les droites anciennes se prolongent-elles dans le domaine imaginaire?

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Formes imprévisibles

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Les droites "imaginaires" ne percent la sous

géométrie réelle qu'en un seul point

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La minorisation des anciens!

• Les éléments euclidiens sont 13 réels moyés dans une mer de 91 éléments dont 78 « imaginaires».

• Une droite porte désormais 10 points• Un point porte 10 droites• Une droite imaginaire porte 9 points imaginaires

mais ne concède de place qu’à un seul réel• Un point imaginaire porte 9 droites imaginaires

et une seule réelle.• Une droite réelle est envahie par 6 imaginaires.• Un point réel est traversé par 6 droites

imaginaires.• Etc etc.

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• Les géométries d’ordre 2 et 3 avaient pu être représentées par des polyèdres (tétraèdre et cube).

• Peut-on imaginer une représentation polyédrique pour la géométrie de Monge? Les précédentes comportaient 7 et 13 points respectivement.

• La géométrie de Monge en a 91

•C’est-à-dire 713 = 91 !

Nostalgie des représentations polyédriques

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Modèle polyédrique

• Voici une espèce de «produit direct» des deux géométries antérieures:

C’est une représentation «euclidienne», à la grecque ! pas de «produit scalaire»

D’où le défi de créer implicitement la structure projective.

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Exploitation du polyèdre? Dividendes à l’horizon?

• Opérer sur ce polyèdre par

• symétrie, réflexion équatoriale, rotations, …

• ne s'avère pas très productif

• Considérons plutôt le développement du polyèdre

Est-il possible, d'extraire une collection de quatre-vingt-onze faisceaux constitués chacun de 10 points satisfaisant l'axiome principal de la charte projective c'est-à-dire de s'intercepter mutuellement une seule fois?

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Première prescription de la charte projective: Intersection en 1 seul point

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Souvenir des mini-géométries antérieures

• Les dimensions, 7 et 13, du tore rappellent les «sélecteurs» des deux géométries antérieures, déterminés par les schémas {0, 1, 3} et {0, 1, 3, 9 }.

• Ce qui nous entraîne dans la prospection singulière suivante …

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Exploitation de {0, 1, 3, 9}

Évocation de {0, 1, 3}

Horizontalement

Obliquement

Seulement 6 points ! …

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Symétrisation

Nous n’en sommes encore qu’à 8 il en faut 10!

On conçoit qu'une symétrie dans le plan équatorial du polyèdre pourrait être une colinéation

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Prolongeons la série oblique de {0, 1, 3} à {0, 1, 3, 9}

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… captation de ces 10 points à l’écran

Miracle ???

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Incrédule! Test …

• La finitude fait qu'une vérification directe est possible et suffit

• Ce schéma peut être translaté en 91 positions

• Les 91 faisceaux, dérivés du schéma, ne se recouperont qu’une et une seule fois.

•

• La charte est réalisée!

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Peano

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Tir à l’arc.

Translations dans le champ:

Portée verticale: 7

Portée horizontale: 13

L’arc d’Ulysse: traverse tous les 91 points!

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Schéma de génération: ordre d’occurrence

• = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81}

Transition vers une «géométrie du disque»

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Géométrie de la table ronde Hommage à Peano

Relation d’incidence dans ==[0,91]

x + X

où est le schéma de sélection: = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81}

90

737475

7677

7879

80

8182

83 84 85 86 87 89

88

5556

57

5859606162636465666768

69

707172

3536373839404142434445

46

47

48

49

50

51

5253

54

1718

192021222324252627282930

3132

3334

0 1 2 3 4 5 67 8

910

11

1213141516

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La géométrie du disque est-elle équivalente à (K3/)* ?

• Comment savoir?

• En jumelant le disque avec une

• courbe de Peano dans (K3/)*

Prochain défi:

Obtenir une orbite universelle dans (K3/)*

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• N.B. Porter la dernière diapo dans S12

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Orbite universelle dans (K3/)*

Orbite de [1 0 0] sous l'action de

010

01

100

if

Isomorphisme de Z91 sur (K3/)* = { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 }

0 10 00 00 23 12 02 10 46 21 01 10 69 11 11 10 1 00 10 00 24 01 01 10 47 02 21 10 70 21 02 10 2 00 00 10 25 02 20 10 48 11 00 10 71 01 12 10 3 02 10 00 26 20 00 10 49 22 10 00 72 22 21 10 4 00 02 10 27 11 10 00 50 00 22 10 73 11 22 10 5 01 20 10 28 00 11 10 51 12 11 10 74 12 01 10 6 20 01 10 29 21 22 10 52 21 21 10 75 02 02 10 7 02 11 10 30 12 10 10 53 11 01 10 76 01 00 10 8 21 00 10 31 10 10 10 54 02 22 10 77 01 10 00 9 12 10 00 32 10 11 10 55 12 00 10 78 00 01 10 10 00 12 10 33 21 10 10 56 10 10 00 79 02 10 10 11 22 12 10 34 10 22 10 57 00 10 10 80 10 00 10 12 22 11 10 35 12 20 10 58 10 01 10 81 21 10 00 13 21 12 10 36 20 20 10 59 02 12 10 82 00 21 10 14 22 02 10 37 20 12 10 60 22 00 10 83 11 21 10 15 01 02 10 38 22 20 10 61 20 10 00 84 11 20 10 16 01 10 10 39 20 10 10 62 00 20 10 85 20 21 10 17 10 02 10 40 10 21 10 63 20 02 10 86 11 10 10 18 01 21 10 41 11 02 10 64 01 22 10 87 10 12 10 19 11 12 10 42 01 11 10 65 12 22 10 88 22 01 10 20 22 10 10 43 21 11 10 66 12 12 10 89 02 01 10 21 10 20 10 44 21 20 10 67 22 22 10 90 02 00 10 22 20 22 10 45 20 11 10 68 12 21 10

On découvre que les droites de (K3/)* suivent le même schéma générateur