COMPORTEMENTS ENDOMMAGEANTS DES …MATERIAUX ET DES STRUCTURES EN BETON ARME ... L'analyse des ouvrages de Génie Civil, ... Partant d'une discrétisation sommaire de la structure

M'MOIRE D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES de l'université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Spécialité :

COMPORTEMENTS ENDOMMAGEANTS DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES

EN BETON ARME

Frédéric Ragueneau

Présenté à 1'Ecole Normale Supérieure de Cachan le 13 décembre 2006

devant le jury composé de

Pr. Djimédo Kondo (Président)

Pr. René de Borst (Rapporteur)

Pr. Gilles Pijaudier-Cabot (Rapporteur)

Pr. Victor Saouma (Rapporteur, abs.)

Pr. Hélène Dumontet

Mr. Pierre Sollogoub

Pr. Yves Berthaud

Pr. Rodrigue Desrnorat

Laboratoire de Mécanique et Technologie - LMT-Cachan ENS CACHANICNRSAJniversité Pierre et Marie Curie/UMR 8535 61, avenue du Président Wilson, 94235 CACHAN CEDEX (France)

Le corps principal de ce travail traite de la modélisation numérique du comportement mécanique des structures en béton. Trois principaux aspects sont abordés. Tout d'abord, des pistes de modélisation du comportement du béton sous chargement mécanique basées sur la mécanique de l'endommagement continu sont explorées. L'anisotropie, l'hystérésis et la fatigue du matériau sont décrits. Dans un second temps, la problématique de la présence d'acier est abordée, tant du point de la modélisation que de l'expérimentation (aciers et interfaces), sous des actions aussi bien mécaniques que chimiques liées à la corrosion par exemple. Enfin, le comportement de structures en béton armé sous des chargements sévères tels que des séismes est traité dans une troisième partie. La modélisation, basée sur des analyses simplifiées de type multifibres permet de convenablement décrire le comportement ultime de telles structures. La mise en en place de nouveaux moyens expérimentaux de type pseudo-dynamiques est abordée en fin de document.

Mots clés : endommagement, béton, interface, corrosion, génie parasismique

ABSTRACT

The main objective of this work deals with numerical modelling of the mechanical behaviour of concrete structures. Three principal issues are treated. First of all, different approaches concerning the constitutive modelling of concrete under mechanical loading based on the continuous damage mechanics framework are explored. Anisotropy, hysteresis and fatigue of material are described. In a second step, the problems of the presence of steel are discussed, from the modelling as well as the experimental point of view (steels and interfaces), under mechanical actions as well as chemical such as corrosion. Lastly, the behaviour of reinforced concrete structures under severe loadings such as earthquakes is treated in a third part. The modelling, based on multifibre type simplified analyses makes it suitable to describe the ultimate behaviour of such structures. The development of new experimental means of pseudo-dynamic type is described at the end of the document.

Keywords: damage, concrete, interface, corrosion, earthquake engineering

AVANT-PROPOS

Ce document résume les principaux résultats obtenus durant mes sept années d'activité de recherche suivant mon doctorat au sein du LMT-Cachan de 1'Ecole Normale Supérieure de Cachan. Ce travail est la synthèse de collaborations avec différents chercheurs, industriels, étudiants de doctorat et stagiaires de M2 et DEA. Afin d'être synthétique, se retrouvent ici mentionnées, thèmes par thèmes, les différentes personnes ou institutions avec qui j'ai eu le plaisir de collaborer durant ces années. Les axes principaux développés au cours de ce mémoire sont articulés en trois parties.

La première partie concerne la modélisation sous chargements mécaniques de matériaux hétérogènes fragiles tels que le béton. Faisant suite à une partie de mes travaux de thèse (Collaboration Centre d'Etudes de Gramat), les développements présentés ici concernent la modélisation de l'hystérésis couplée à l'endommagement et font l'objet du travail de thèse actuellement en cours de Ti Huyen Pham, CO-encadré avec Rodrigue Desmorat (PR ENS- Cachan). Le développement d'un modèle robuste anisotrope dédié au béton est le fmit d'un travail mené en commun avec Rodrigue Desmorat et Fabrice Gatuingt (MCF ENS-Cachan) du LMT-Cachan. L'écriture de lois de comportement pour le béton a été soutenue par le biais de deux collaborations avec EDF-AMA, par l'intermédiaire d'un benchmark numérique.

La seconde partie du document traite de la problématique liée à la présence des armatures en acier dans la modélisation des structures en béton armé. Un modèle de comportement de l'acier, prenant en compte la corrosion sur le comportement mécanique, a été développé durant la thèse d'Anna Ouglova, CO-encadrée par Yves Berthaud (PR UPMC). La validation expérimentale de la loi développée a été réalisée lors du stage de M2R de Nanthilde Reviron. L'étude de la fissuration des structures en béton, du fait de la perte d'adhérence entre acier et béton, a été menée de manière expérimentale lors de la thèse d'Anna Ouglova, de la thèse en cours de Tran Bich Hop et du stage de DEA de Karim Bensaid. Le développement de modèles (lois de comportement et éléments finis) d'interface acierhéton a été effectué lors du travail de doctorat de Norberto Dominguez, en CO-encadrement avec Adnan Ibrahimbegovic (PR ENS-Cachan) et du stage de DEA de Christiane Elhage (CO-encadrée par Shahrokh Ghavarnian d'EDF). Tous ces travaux ont été soutenus par EDF Renardières, EDF-AMA et le réseau RGCU pour la validation de la loi de l'acier corrodé (Benchmark des poutres de la Rance). Le travail de thèse en cours de Tran Bich Hop s'effectue au sein de 1'ANR APPLET, démarrée en 2006.

Enfin, les aspects sismiques sont abordés dans la troisième et dernière partie de ce document. Les fils directeurs du travail sur le comportement sismique de structures en béton sont les programmes nationaux CAMUS et CAMUS 2000, soutenus par le RGCU, le CEA et la Fédération Nationale du Bâtiment. Dans ce contexte, les développements de stratégies de calculs simplifiés dans un cadre 3D sont le cœur de la thèse de Géraldine Casaux, CO-encadrée avec Jacky Mazars (PR INPG). Les développements récents concernant la mise en place d'essais Pseudo-dynamiques au LMT sont effectués par Abdulfatah Souid, CO-encadré en doctorat avec Arnaud Delaplace (CR CNRS) et Rodrigue Desmorat. Le thème de ce travail s'inscrit au sein du réseau CASCADE, visant au développement d'essais sur structures en Génie Civil et a été soutenu par une AC1 jeune chercheur (2159, chef de projet : A. Delaplace).

TABLES DES MATIERES

Introduction générale

Partie 1 : Modélisation du béton sous chargement mécanique

.......................................................................................................... 1 Contextes et enjeux 15

........................................................................ 2 Modélisation des mécanismes dissipatifs 17

................................................................................ 2.1 Formulation thermodynamique 18

2.2 Implantation numérique ........................................................................................... 25

.......................................................................... 2.3 Identification, hysteresis et fatigue 26

....................................................................................... 2.4 Application aux structures 29

3 Modèle robuste d'endommagement du béton .................................................................. 33

............................................................................................... 3.1 Loi de comportement 33 . . . . .......................................................................................... 3.2 Applications nurnenques 40

4 Synthèse ........................................................................................................................... 49

Partie 2 : Renforcement. corrosion. interfaces

1 Introduction ..................................................................................................................... 53

2 Corrosion des aciers ......................................................................................................... 54

2.1 Loi de comportement des aciers corrodés ............................................................... 54

2.2 Validation sur structures corrodées en béton armé .................................................. 62

.......................................................................... 2.3 Benchmark des poutres de la rance 66

................................................................................................................... 2.4 Synthèse 71

3 Interface acier-béton ........................................................................................................ 73

3.1 Introduction .............................................................................................................. 73

............................... 3.2 Essais d'interface acier béton pour chargement multiphysique 73

3.3 Modèle d'interfaces acier béton ............................................................................... 83

4 Synthèse .......................................................................................................................... 95

Partie 3 : Prévision du comportement des structures sous séismes

1 Introduction ..................................................................................................................... 99

................................................. 2 Modélisations numériques des structures sous séismes 100

............................................................................................ 2.1 Différentes approches 100

................................................................................................. 2.2 Poutres multifibres 102

................................ 2.3 Modèles de poutres enrichies : prise en compte de la torsion 104

............................................................................... 3 Réponses de bâtiments à un séisme 113

........................................................ 3.1 Rappels des principaux résultats de CAMUS 113

........................................................................................................ 3.2 CAMUS 2000 117

................................................................................................................. 3.3 Synthèse 123

......................................... 4 Prévision du comportement à rupture : Approches hybrides 125

4.1 Contexte des essais sur structures en génie parasismique ...................................... 125

............................................................................. 4.2 Les essais Pseudo-Dynamiques 126

................................. 4.3 Développement d'une plateforne d'essais au LMT-Cachan 131

......................................................................................................................... 5 Synthèse 136

Conclusions et perspectives

Références


INTRODUCTION GENERALE


L'analyse des ouvrages de Génie Civil, tels que les structures en béton armé ou précontraint, doit répondre à deux caractéristiques essentielles de leur comportement : estimer la réponse de la structure en service accumulant des dommages sur des échelles de temps importantes et apprécier le comportement de cette dernière sous une action accidentelle menant à la ruine dans un laps de temps très court. Les méthodes de calculs développées doivent permettre de rendre compte de ces deux types de sollicitations. En effet, dans un domaine de fonctionnement fortement nonlinéaire, un couplage entre les deux phénomènes apparaît dans l'estimation des dégradations subies.

Les sources de nonlinéarités sont nombreuses. Hormis certaines structures élancées (piles de pont, ouvrages de grande hauteur), pour lesquels des effets nonlinéaires géométriques (second ordre) apparaissent (Carol & Murcia 1988), la plupart des structures en béton sont massives. Les nonlinéarités à considérer sont donc davantage de type matériau. Ainsi, différents mécanismes doivent être intégrés à une analyse du comportement d'ensemble de la structure, tels que la fissuration du béton, le comportement plastique des aciers de renforcement, ou encore, les ruptures d'adhérences aux interfaces acier-béton. Si de plus, l'interaction avec l'environnement joue un rôle notable, des couplages de type sol-structures peuvent faire l'objet d'une attention particulière (Wolf 1994).

Deux types de structures peuvent être imaginés. Dans un premier temps, nous distinguerons les structures dites 'classiques' (immeubles d'habitation, .. .) des ouvrages à risque majeur (enceinte de confinement, ...). Dans le premier cas, les analyses doivent nous permettre d'appréhender le comportement d'ensemble de ces structures. Du fait même de leur caractère classique, il existe une méconnaissance importante sur le chargement mécanique à évaluer au cours d'un cycle de vie : quel niveau moyen de charges, quelles amplitudes et quelles fréquences à introduire pour les charges variables ? quel type de sollicitation accidentelle? choc, vent, séisme ? de quelle intensité et avec quelle contenu fréquentiel ? Toutes ces inconnues, conjuguées avec le niveau d'analyse requis, poussent les modélisateurs à opter pour des solutions de type analyses paramétriques. Les méthodes simplifiées, basées sur la théorie des poutres multifibres permettent d'aborder cet aspect. En effet, un compromis est trouvé entre finesse des mécanismes à introduire au niveau des matériaux et taille des structures à considérer. Partant d'une discrétisation sommaire de la structure à l'aide d'éléments poutres, la discrétisation transversale, associée à une cinématique de type Euler- Bernoulli permet d'introduire un comportement uniaxial des matériaux en chaque point d'intégration d'une section droite. Le calcul, prenant en compte tout type de nonlinéarité au niveau local, conserve une souplesse et robustesse importante au niveau de la structure. Le second type d'ouvrages concerne les sites à risques pour lesquels le nombre d'inconnues est plus faible et la variabilité des chargements envisageables réduite. En parallèle, les critères de vérification exigent un niveau d'analyse structurel plus fin. En effet, dans le but d'estimer par exemple le taux de fuite d'une enceinte de confinement ou d'un colis de déchet radioactif, le calcul de structure doit être à même d'estimer le niveau de fissuration, son orientation, l'espacement de chaque fissure prise individuellement ainsi que leur ouverture. Sous chargement multi-physique complexe (mécanique et physico-chimique), les re-analyses ou analyses complètes 3-D sont une étape incontournable. Le développement d'outils numériques d'évaluation du comportement à court et long terme de structures en béton armé doit s'accommoder de cette dichotomie. L'enjeu des modélisations est, dans un même formalisme, d'être capable de décrire le comportement d'un ouvrage en service, accumulant des dégradations par des phénomènes de fatigue tout en étant à même de retranscrire la rupture de l'élément concerné lors d'événements accidentels.


De par la difficulté de compréhension des phénomènes, tant à l'échelle locale que structurelle, différentes campagnes expérimentales sur structures supportant des sollicitations extrêmes de type sismique ont été menées (CASSBA (1994), NUPEC (1996), Pinto et al. 2004). Le programme national expérimental CAMUS visait à démontrer le bon comportement sismique des structures à murs porteurs en béton faiblement armé. Dans un contexte uniquement bidimensionnel, le dialogue entre essais et calcul a permis de faire évoluer de façon notable les modèles de comportement des matériaux ainsi que les méthodes numériques adaptées à l'analyse sismique des structures de génie civil. Des points importants, méritants encore développements et réflexions, ont pu être soulevés, tels que la modélisation physique et prédictive de l'amortissement, le passage à un comportement sous chargement tridimensionnel, la prise en compte de la rupture, la gestion des pertes d'adhérence entre acier-béton et la pertinence de l'identification de modèles sur structures soumises à des chargements complexes. De plus, les essais à rupture sur structures, pratiqués sur des échantillons vierges, ne peuvent prendre en compte l'état initial de fissuration d'une structure engendré par son utilisation en service. Ainsi, les effets d'action à long terme telles que la fatigue ou la corrosion des aciers ne peuvent être que très difficilement intégrés.

Aux vues des ces conclusions et interrogations, le présent travail a pour but d'apporter quelques éléments de réponses et développements suivant cinq objectifs :

améliorer la prédictivité des analyses simplifiées dans un contexte tridimensionnel,

développer de nouveaux moyens d'essais sur structures permettant des identifications de modèles plus pertinentes,

développer des modèles de comportements permettant de traiter des dommages à court et long terme,

modéliser et identifier les phénomènes de perte d'adhérence entre l'acier et le béton,

prendre en compte l'état initial de la structure en intégrant les phénomènes de fatigue du béton et de corrosion des aciers.

La modélisation d'un matériau hétérogène fragile tel que le béton peut être abordée à différentes échelles et faire interagir des difficultés d'ordre aussi bien théoriques que numériques. Ainsi, au regard des diverses approches envisageables dans l'analyse des structures en béton préalablement évoquées, deux pistes ont été suivies. Dans le cadre du développement de modèles de comportement susceptibles d'être utilisés en génie parasismique, une loi de comportement incluant l'endommagement, les déformations anélastiques, les refermetures de fissures sous chargement cyclique et l'hystérésis par frottement est présentée dans la première partie. Dans le souci de connaître l'état de dégradation des matériaux constituant une structure lors de l'occurrence de l'événement accidentel de type sismique, la loi de comportement développée permet de prendre en compte la fatigue accumulée en service. Considérant un couplage entre frottement et endommagement, la prédiction de l'amortissement structural par dissipation hystérétique se trouve être améliorée. Parallèlement au développement de modèles complexes utilisables dans le cadre d'analyses simplifiées de structures de grande taille, des ré-analyses 3D permettent d'accéder à des informations d'importance tels que l'espacement, l'ouverture et la direction de la fissuration. Dans la suite de la partie 1, une nouvelle loi de comportement pour le béton couplant anisotropie de l'endommagement et élasticité a été développée. Utilisant un critère en déformation (Mazars 1984) et une loi d'évolution adéquate, la discrétisation implicite des


équations différentielles est résolue de manière explicite. La robustesse de l'implantation numérique bénéficiant d'une telle propriété s'en trouve fortement améliorée. La résolution des équations d'équilibre dans un cadre nonlocal intégral permet de circonvenir aux classiques effets de dépendance au maillage, du fait de l'utilisation de lois de comportement adoucissantes. La fissuration de structures 'à risque', tels que des enceintes de confinement de réacteurs nucléaires a pu être évaluée sous des chargements accidentels.

La partie 2 traite de l'amélioration des capacités prédictives des codes de calculs dédiés aux structures en béton armé par la prise en compte des renforcements en acier au sein de la matrice fragile. Une pathologie importante des ouvrages en béton armé réside dans l'apparition de rouille au niveau de la surface des aciers. La prévision de la capacité portante résiduelle de structures en béton armé corrodé, lors de chargements mécaniques sévères tels que des séismes, doit intégrer ces mécanismes de corrosion. A ce titre, une loi de comportement de l'acier corrodé prenant en compte les chutes de capacités portantes et de ductilité a été développée. Basée sur un couplage entre endommagement ductile et plasticité, cette loi a été implantée au sein d'un code de calcul aux .éléments finis de manière 3D et unidimensionnel, bénéficiant ainsi du cadre d'analyses multifibres des structures de génie civil. Des essais d'identification sur poutres en béton armé, ayant supporté différents degrés de corrosion, ont été effectués. La validation de l'étude a pu être réalisée lors de la participation au benchmark numérique des poutres de la Rance. Les principaux résultats de comparaison entre essais et calculs sont présentés. Les effets de la rouille ne sont pas effectifs uniquement sur l'acier mais aussi sur l'adhérence entre les matériaux. Des travaux expérimentaux sur l'adhérence acier-béton ont pu être entrepris, intégrant les effets de la rouille et celui de chargements mécaniques multiaxiaux. La géométrie plane de l'éprouvette ainsi que des conditions limites particulières permettent de procéder à des mesures de champs directement le long de l'interface, base indispensable à toute identification de modèles multiphysiques couplés. Les effets de rugosité des matériaux en présence ont pu être mis en évidence expérimentalement, permettant d'identifier notamment la zone de matériaux fragiles affectée lors de la rupture en cisaillement. Sur cette base, un modèle de rupture entre acier et béton (loi de comportement et éléments finis) a été développé. Un cadre thermodynamique permet de décrire les différents mécanismes de rupture à l'interface acier-béton. L'implantation numérique effectuée dans un élément fini de type joint robuste, introduit une relation entre contrainte et déformation et non en sauts de déplacement. Le passage du saut de déplacement aux bords d'un élément sans épaisseur à la définition de la notion de déformation est effectué par l'ajout d'un paramètre géométrique dans les fonctions de forme de l'élément, défini et identifié par les essais décrits précédemment. La loi de comportement est basée sur la mécanique de l'endommagement couplée à la plasticité pour les matériaux fragiles. Elle permet de prendre en compte des mécanismes fins tel que le glissement avec frottement qui devient prépondérant en cas de chargements cycliques ou dynamiques.

Les développements concernant la prévision du comportement des structures sous séisme proprement dit sont traités dans la partie 3. Le passage au comportement 3D, tant d'un point de vue numérique qu'expérimental a pu être effectué dans le cadre du projet national' CAMUS 2000. Deux maquettes ont pu être testées sur la table sismique du CEA-Saclay, sous un chargement bidirectionnel. Considérant le cadre des analyses simplifiées par poutres multifibres, le travail a principalement consisté à prendre en compte, dans un cadre nonlinéaire, les phénomènes de torsion dans ce type d'éléments finis. Le développement de méthodes de calculs robustes, couplant la torsion avec gauchissement et le comportement endommageant des matériaux, a permis par des confrontations à des résultats expérimentaux, de disposer d'outils prédictifs en dynamique nonlinéaire traitant de la réponse de structures de


tailles importantes soumises à des séismes. L'interaction nécessaire entre modélisation et résultats expérimentaux a mis en évidence les difficultés d'exploitation d'essais complexes en dynamique tels qu'envisagés lors des différents programmes CAMUS. A ce titre, bénéficiant des avancées au niveau calcul de structures et lois de comportement endommageantes, une stratégie nouvelle a été empruntée au LMT-Cachan : les essais pseudo-dynamiques. Il s'agit d'essais hybrides pour lesquels, seule une partie de la structure est testée au laboratoire tandis que le reste de la structure ainsi que les termes inertiels font partie d'une analyse numérique en parallèle. Bénéficiant d'un environnement dynamique et sismique au niveau des conditions limites et du chargement, la sous-structure peut être testée de manière quasi-statique, autorisant toutes libertés quant aux mesures physiques et mécaniques pratiquées (mesure de champs par exemple). La compréhension du comportement à rupture d'éléments de structure ainsi que l'identification de comportements locaux ou globaux se trouvent fortement affinées et améliorées. Les développements expérimentaux afférents ainsi que des premiers résultats expérimentaux prenant en compte la sous-structuration nonlinéaire sont présentés.

Partie 1 Modélisation du béton sous chargement mécanique

Partie 1

Modélisation du béton sous chargement mécanique


1 Contextes et enjeux

La modélisation des matériaux hétérogènes fragiles tels que le béton peut s'effectuer à différentes échelles. Selon les mécanismes élémentaires à représenter ainsi que les discussions possibles entre les diverses échelles (Hund & Ramrn 2006) (micro, meso, macro et structures), différentes classes de modélisations peuvent être retenues. Comparée à l'échelle de la structure, une caractéristique importante des matériaux fragiles tels que le béton réside dans la taille de ses hétérogénéités. L'effet le plus important du rapport de tailles entre hétérogénéités et structure est l'effet d'échelle observé lors de la rupture d'échantillons. Il apparaît clairement, lors d'essais de traction ou de compression sur matériaux fragiles hétérogènes, un lien direct entre résistance à rupture et taille de l'échantillon concerné (van Mier & van Vliet 2002). Que l'effet d'échelle soit expliqué par des concepts statistiques (Weibull 1939), énergétiques (Bazant 1976) ou encore en considérant les propriétés fractales du matériau (Carpinteri 1994), il en résulte une conséquence importante pour les modélisations. Afin d'être pertinents et objectifs vis-à-vis du calcul de structures, les modèles doivent rendre compte de l'effet de la taille de la structure analysée au regard de la taille de l'échantillon ayant servis à leur identification. A ce titre, les modèles peuvent être classés en deux catégories, selon que les effets de taille sont naturellement introduits dans la formulation OU non.

La prise en compte directe de la nature hétérogène dans la modélisation d'un matériau tel que le béton permet de naturellement introduire les effets de la taille de l'échantillon sur les caractéristiques de rupture. Les modèles utilisés dans ce cadre peuvent soit prendre en compte directement l'hétérogénéité du matériau au niveau de la géométrie et des différentes phases en présence ou encore introduire les effets de cette hétérogénéité sur les caractéristiques statistiques des éléments introduits (Carmeliet & Hens 1994, Gutiérez & de Borst 1999). L'introduction directe de l'hétérogénéité dans la modélisation peut s'effectuer de manière plus ou moins réaliste au regard du matériau modélisé. Ainsi, les premiers modèles de type réseaux désordonnés (voir van Mier et al. 1995 pour une application sur les bétons) ont permis de mieux appréhender le lien entre rupture, effet d'échelles et comportement des matériaux fragiles. Loin de représenter l'aspect granulaire cohésif du béton, ces modèles ont été améliorés par l'introduction au sein du réseau, de particules rigides interagissantes. Cette classe de modèles, dénommée discrète, prend en compte non seulement l'hétérogénéité du matériau dans ses caractéristiques mécaniques mais aussi dans la représentation géométrique des phases en présence ou des surfaces de rupture crées (Delaplace 2005). Les modèles les plus simples prennent en compte des interactions entre phases sphériques (Bazant et al. 1990, Hentz et al. 2004). Les modélisations les plus avancées introduisent les dimensions et formes plus naturelles des granulats par l'intermédiaire de cellules de Voronoï par exemple (Bolander & Saito 1998, d'Addetta et al. 2002, Delaplace & Ibrahimbegovic 2006). Le matériau est vu ici comme une structure à part entière. Du fait de la difficulté liée à la mise œuvre numérique même de ces approches ainsi que de la taille des calculs engendrés, les applications pour des chargements cycliques de type fatigue ou encore sismique s'en trouvent très limitées.

Une approche intermédiaire consiste à se baser sur les éléments finis afin d'introduire la rupture au sein du matériau. La propagation de la fissuration peut s'effectuer entre éléments finis, par l'intermédiaire d'éléments d'interface. La mécanique de la rupture appliquée à l'élément d'interface rend compte des effets d'échelle au sein du matériau (Carol et al. 2001,Willam et al. 2004). Simple numériquement, le principal défaut de cette approche tient à l'aspect directionnel de la fissuration, qui se trouve être guidée par la discrétisation éléments finis retenue. Une solution consiste à introduire la discontinuité liée à la création de fissure au


sein même de l'élément fini concerné. Ces éléments, nommés éléments finis enrichis permettent d'introduire une discontinuité faible (saut de déformation) ou forte (saut de déplacement) au sein d'un élément fini. Différentes formulations existent permettant un enrichissement propre à la cinématique de l'élément (Belytschko et al. 1988, Larsson & Runesson 1996) ou encore aux nœuds entre éléments assurant le suivi de la progression continue d'une fissure au sein du solide (Oliver 1996, Belytschko & Black 1999, Moes et al. 1999). Ces modèles, à même de prendre en compte une rupture localisée dans une zone circonscrite, peuvent difficilement intégrer une fissuration diffuse dans une zone importante, telle que rencontrée dans le contexte du comportement extrême de structures en béton armé.

La dernière classe de modèles, prenant en compte de manière objective la fissuration, considère le matériau comme homogène avec un certain volume élémentaire représentatif. Le nécessaire lien avec la taille de la structure s'effectue par l'ajout d'une longueur interne, reliant les caractéristiques de rupture du volume élémentaire à la taille de l'hétérogénéité du matériau. Différents schémas permettent d'introduire une longueur interne dans un calcul mécanique, par la viscosité (Needleman 1988) ou encore par des approches nonlocales (Lasri & Belytschko, Pijaudier-Cabot & Bazant 1987). La mesure de cette longueur intrinsèque s'effectue par la comparaison entre l'énergie surfacique dissipée lors de la propagation d'une fissure et la densité d'énergie volumique dissipée en considérant un comportement adoucissant homogène (Bazant & Pijaudier-Cabot 1989). Une loi alors classique de type contrainte-déformation peut être utilisée. Au regard des précédentes approches, la nonlinéarité du matériau et la présence de rupture localisée sont ici prises en compte de manière moins explicites. Toutefois, la mise en œuvre numérique de ces lois au sein de codes de calcul éléments finis ainsi que leur robustesse permettent d'envisager des applications très diverses et des calculs à grande échelle. Différentes familles de lois de comportement peuvent être introduites dans ce contexte. Sans entrer dans une liste exhaustive de ces dernières, nous pouvons citer les modèles basés sur la plasticité (Dragon & Mroz 1979), l'endommagement (Mazars 1984, Simo & Ju 1987), certains de leurs couplages (Yazdani & Schreyer 1990, Jason et al. 2006) ou encore des approches micro-plans (Bazant & Oh 1985).

Dans le cadre de la modélisation homogène des matériaux fragiles, deux pistes de modélisations seront suivies dans la suite de ce chapitre. Dans un premier temps, désireux de prédire le comportement à rupture de structures en béton armé sous séisme, il est important de connaître l'état initial de fissuration des matériaux. L'accumulation de fissurations par fatigue génère des abaissements locaux de raideur et des dissipations cycliques par frottement. Dans ce contexte, un modèle d'endommagement est développé. Ce dernier, par un couplage adéquat entre la plasticité et l'endommagement, permet de prendre en compte une loi d'évolution de l'endommagement couplant faible et grand nombre de cycle (fatigue). Au regard des différents mécanismes pris en compte (plasticité, endommagement, frottement) et de la taille des structures considérées, une implantation au sein d'un élément simplifié de type poutre multicouches est effectuée. La seconde approche envisage la ré-analyse locale 3D de certaines structures ou sous-structures. Ainsi, une implantation 3D complète est requise. La réalisation de calculs 3D complexes nécessite un certain pragmatisme et une certaine modestie dans la modélisation des différents mécanismes locaux. Un couplage entre l'endommagement anisotrope et l'élasticité, ainsi qu'une loi d'évolution du tenseur d'endommagement du second ordre basée sur la trace de ce dernier permet une écriture aisée, une implantation numérique efficace et robuste tout en bénéficiant d'informations primordiales sur la direction de la propagation de la fissuration. Implémentée au sein d'une formulation intégrale des lois nonlocales, l'objectivité vis-à-vis du maillage est conservée. Pour les deux approches de la modélisation du béton, répondant à des nécessités différentes, des applications sur structures sont présentées. Celles-ci permettent de souligner les


caractéristiques essentielles des modèles proposés mais aussi de mettre en évidence les carences encore existantes

2 Modélisation des mécanismes dissipatifs

Afin de simuler le comportement d'une structure en béton subissant un chargement ultime, un modèle décrivant le comportement du matériau doit être capable de représenter la dissymétrie entre la traction et la compression, la refermeture de fissures lors d'un chargement cyclique, la perte de raideur associée à la fissuration ainsi que les déformations anélastiques liées au caractère hétérogène des fissures.

Si de plus, des chargements dynamiques en basse fréquences sont envisagés, il est nécessaire d'être en mesure de retranscrire les effets du frottement entre lèvres de fissures sur la dissipation au niveau du matériau et donc de l'amortissement lié à la structure (Ragueneau et al. 2001). Au regard du type d'ouvrages concernés par la modélisation du béton, il s'avère important de pouvoir décrire l'état initial d'une structure lorsque le chargement dynamique accidentel est considéré. Pour les ouvrages d'art tels que les ponts, la successivité de charge de service pendant des dizaines d'années génère un état d'endommagement susceptible de profondément modifier le comportement dynamique de l'ouvrage lors de l'occurrence de l'évènement accidentel (séisme, choc, impact). Il nous a donc semblé important d'être capable, dans un même formalisme et un même modèle, de pouvoir décrire l'accumulation de dommage dû à des charges de service et de prédire le comportement à rupture lors d'une action ponctuelle.

La plupart des modèles actuels décrivant la fatigue des matériaux et du béton sont écrits de manière à représenter la perte de résistance d'un matériau en fonction du nombre de cycle à rupture et de l'amplitude des cycles. Les courbes de Wohler sont modélisées directement en associant une évolution de l'endommagement fonction du nombre de cyclesdD ldN , à l'état d'endommagement D, à l'amplitude des cycles Aa = a,, -a- et au rapport de charge

R, = a,, 1 a- (Aas-Jackobsen & Lenshow 1973, Hsu 1981, Ramakrishnan et al. 1992, Tepfers & Kutti 1979, Destrebecq 2005). L'extension 3D de ce type de modèles est difficile, en effet, sous un chargement multiaxial, comment définir une contrainte max et une contrainte min ? Qu'est ce qu'un nombre de cycle et qu'est-ce qu'une contrainte moyenne ? Afin de résoudre ce problème, de nombreux travaux sur les matériaux métalliques ont permis de traiter des actions de fatigue aléatoires pour lesquelles toutes les précédentes données ne sont pas clairement définies. Une écriture des lois en vitesse est alors adoptée, associée au mécanisme nonlinéaire prépondérant lors des chargements cycliques (Lemaitre & Chaboche 1990, Paas et al. 1993, Peerlings 1997, Bodin et al. 2002, Lemaitre & Desmorat 2005).

L'objectif de cette partie est de proposer une modélisation du comportement du béton capable d'accumuler de l'endommagement sous de faibles nombres de cycles (chargement de type sismique) et de grands nombres de cycles pour des chargements de type fatigue. L'accumulation d'endommagement doit être une fonction du mécanisme fondamental activé pendant des chargements mécaniques cycliques : le frottement interne entre les surfaces libres créées par la microfissuration.

Dans la suite de ce chapitre, après avoir examiné les différentes approches micro-mécaniques permettant d'établir une énergie interne susceptible de représenter le comportement d'un solide fissuré frottant, une proposition de modélisation macroscopique est présentée. Se basant sur la thermodynamique appliquée aux matériaux solides, ce modèle est capable


d'accumuler de l'endommagement sous faible et grand nombre de cycle. Introduisant la notion de glissement interne, l'hystérésis et la dissipation cyclique sont incluses. Deux applications à des structures typiques en béton nous permettent de mettre en valeur les différentes possibilités de tels modèles ainsi que leurs manques et défauts encore persistants.

2.1 Formulation thermodynamique

2.1.1 Thermodynamique des Processus Irréversibles Le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles permet la formulation de lois de comportements 3D respectant a priori les différents principes de conservation et de dissipation de l'énergie. Plusieurs étapes vont être adoptées dans cet objectif (Lemaitre & Chaboche 1990). Tout d'abord il s'agit de définir un certain nombre de variables d'état représentant l'état du volume élémentaire représentatif (VER) considéré. Ces variables sont une traduction macroscopique de mécanismes physiques survenant à une échelle plus petite, telle que les glissements de dislocation menant à la plasticité et à l'écrouissage des aciers, ou encore, la fissuration induisant de l'endommagement des matériaux fragiles.

La méthode de l'état locale postule que la connaissance thermomécanique d'un VER à un instant t est subordonnée à la valeur de chacune de ces variables d'état. Le lien entre celles-ci est le potentiel thermodynamique dont dérivent les différentes lois d'état du système. Dans le cadre des matériaux solides, l'énergie libre y , fonction de la déformation E et de toutes les autres variables internes Vk permet de jouer ce rôle ( y = w(&,Vk)). De plus, aucune évolution de l'état n'est possible sans le respect absolu du second principe de la thermodynamique (inégalité de Clausius Duhem). Dans un cas isotherme et sous l'hypothèse des petites perturbations (HPP), cette dernière s'exprime par :

a est le tenseur des contraintes de Cauchy, p la masse volumique du matériau. Considérant les différents choix de variables d'état effectués préalablement, la variation de l'énergie libre s'écrit :

En supposant la masse volumique constante et en substituant (1.2) dans (1. 1)' nous obtenons :

De cette dernière forme de l'inégatilité de Clausius-Duhem, toutes les lois d'état peuvent être obtenues indépendamment l'une de l'autre.

Partie 1 Modélisation du béton sous charaement mécaniaue

Al, est la force thermodynamique associée A la variable interne Vk .

Dans le cas d'évolutions irréversibles des variables d'état, le choix d'un potentiel de dissipation convexe, dont les lois d'évolution seront déduites, permet de vérifier a priori la condition d'admissibilité thermodynamique liée à la positivité de la dissipation. La violation d'un critère de charge f, dont l'expression dépend des différents mécanismes de rupture propres à chaque matériau considéré, conditionne l'évolution ou non de ces variables d'état. Dans le cadre des théories associées, ce critère de charge est choisi comme potentiel de dissipation. Dans un cadre plus général, tout potentiel convexe dans l'espace cp des forces thermodynamiques associées permet de jouer ce rôle. Les lois d'évolutions prendront ainsi la forme suivante pour la plasticité par exemple, introduisant le multiplicateur plastique A par les règles de normalité:

Par la suite, ces différentes étapes de la formulation de lois de comportement seront développées, explicitées et appliquées au cas des bétons.

2.1.2 Variables internes et énergie libre

2.1.2.1 Quelques éléments micromécaniques Afin de décrire le comportement macroscopique de matériaux fiagiles comme le béton, différents mécanismes survenant à l'échelle de l'hétérogénéité doivent être introduits :

l'apparition et la propagation de fissures générant des diminutions de module d'Young apparent,

le comportement unilatéral de ces mêmes fissures lors de chargements cycliques,

l'anisotropie induite liée à l'orientation des surfaces de fissuration,

la rugosité des surfaces fissurées générant l'apparition de déformations permanentes,

le frottement de ces fissures dû à cette même rugosité,

l'engrainement des granulats générant de forts effets de dilatance.

Au regard de l'objectif de la présente modélisation : le couplage entre hysteresis, endommagement et fatigue, notre attention va se porter principalement sur la prise en compte de phénomènes dissipatifs par frottement entre deux lèvres de fissures. Différents modèles exprimés au niveau du VER, basés sur la plasticité (Dragon & Mroz 1979, Fardis et al. 1983, Chen & Buyukozturk 1 985) ou l'endommagement (Mazars 1984, Simo & Ju 1 987, Faria et al. 1998, Bade1 2001) prennent en compte ces mécanismes ainsi que certains de leurs couplages. Peu d'entre eux introduisent le lien fort existant entre endommagement et frottement (Halm & Dragon 1998, Ragueneau et al. 2000). En effet, les mécanismes au niveau micro sont de natures complexes dans un cadre 3D et empêchent l'expression de lois de comportement


macro suffisamment fiables et robustes. Dans un tel formalisme, les implantations numériques ainsi que le calcul de structure ne peuvent être abordés sereinement

Les différents choix des variables internes au niveau du VER permettront de rendre compte des mécanismes micro au niveau rnacro. Se basant sur l'étude fine de matériaux microfissurés, les approches micromécaniques apportent un éclairage important sur le choix de ces variables ainsi que la manière la plus adéquate de les faire interagir par l'écriture d'une énergie libre cohérente.

Le comportement de solides fissurés a été abondamment étudié, considérant des fissures stables ou se propageant, et de densité plus ou moins diluée. Des approches tant analytiques (Kachanov 1982- 1993, Horii & Nemat-Nasser 1983, Nemat-Nasser & Obata 1 988) que numériques, utilisant par exemple les éléments frontières (Lauterbach & Gross 1998)' ont été employées. Ces différentes analyses ont mis en évidence la nécessité de prendre en compte le frottement sur les surfaces fissurées des matériaux fragiles, non seulement pour reproduire le comportement hystérétique lors de chargements cycliques, mais aussi pour décrire correctement la propagation en mode mixte de ces mêmes fissures.

L'analyse micromécanique d'une cellule élémentaire fissurée, prenant en compte le frottement, permet dans certains cas d'études d'établir la forme de l'énergie libre ainsi que de choisir de manière argumentée les différentes variables d'état à considérer (Hild et al. 1996, Andrieux et al. 1986). Dans ces études, l'énergie libre est séparée en deux parties bien distinctes représentant :

le comportement de la matrice fissurée,

la densité d'énergie bloquée par écrouissage ou frottement le long des surfaces fissurées.

Utilisant des techniques d'homogénéisation, ces approches, permettant d'exprimer des énergies libres, ont été poussées plus avant dans un cadre 3D cette fois-ci (Pensée & Kondo 2002) prenant en compte le frottement, l'anisotropie induite du milieu liée à l'apparition de fissures sous des conditions de fissures ouvertes ou fermées. Dans un même objectif mais à une échelle méso, se basant sur la décomposition spectrale de la densité de fissuration, l'anisotropie induite ainsi que le frottement de microfissures fermées peut être retrouvés (Halm & Dragon 1998). Un choix judicieux des invariants des tenseurs de déformation et d'endommagement ainsi que leurs couplages permet de représenter la présence de boucles d'hystérésis sous des chargements mécaniques alternés. Dans les deux cas, il s'est avéré nécessaire d'introduire un tenseur du 4"e ordre afin d'assurer la continuité de la réponse en contrainte lors d'ouvertures et de refermetures de fissures.

Afin de décrire dans le cadre de calculs de structures, la propagation de l'endommagement sous des chargements de fatigue ou accidentel, un choix pragmatique d'une variable scalaire d'endommagement est effectué. Afin de décrire le comportement de la matrice fissurée, une loi d'endommagement simple sera utilisée. Pour la seconde partie de l'énergie libre, un couplage entre l'endommagement et la plasticité sera retenue, permettant une cohérence avec la forme d'énergie libre uniaxiale proposée par Hild (1996) s'appliquant aux composites à matrice céramique. Cette forme de couplage a démontré son efficacité dans la description du comportement des bétons (Ragueneau et al 2000) et des élastomères (Cantomet 2002).


2.1.2.2 Forme générale de l'énergie libre, lois d'état La forme générale retenue permettant de décrire le comportement d'un solide fissuré prenant en compte à une échelle macroscopique le frottement entre lèvres de fissures peut s'exprimer comme suit dans un cas unidimensionnel :

Wl est la part purement élastique de l'énergie libre, W2 est la contribution anélastique et Ws est la densité d'énergie bloquée. Dans un cas unidimensionnel E est la déformation

macroscopique totale et est la déformation de glissement interne. Il est important de noter à ce stade que la déformation de glissement n'est pas la déformation résiduelle à contrainte nulle. Cette forme de potentiel n'étant pas basée sur la classique additivité des déformations, les forces thermodynamiques qui en résultent sont donc différentes.

Classiquement, le couplage entre élasticité et endommagement prend l'expression suivante :

El est le module d'élasticité considéré, pouvant éventuellement être égal au module d'Young macroscopique initial du matériau E. D est la variable d'endommagement comprise entre O pour un matériau vierge et un endommagement critique Dc , définissant l'apparition d'une macrofissure.

La seconde partie de l'énergie libre W2, correspondant au couplage entre endommagement et frottement, peut prendre plusieurs formes. Dans un premier cas, W2 peut être directement

1 relié au niveau d'endommagement par W2 = - DEl (E - (Ragueneau et al 2000, Halm & 2

Dragon 1998). Cette expression introduit un couplage entre l'énergie dissipée par le glissement avec frottement et le niveau d'endommagement. Un seul module d'élasticité est alors introduit en posant El = E . La contrainte de Cauchy est alors obtenue par simple dérivation du potentiel par rapport à la déformation :

Pour un état d'endommagement approchant de 1 ( Dc w 1 ), ce type de formulation conduit à

un modèle convergeant vers un modèle de plasticité classique de glissement : a = on. Cette approche peut être justifiée dans le cadre de modèle décrivant la rupture en cisaillement d'une interface, par exemple, pour des applications de rupture de liaison acier-béton (voir partie 2 de ce document) pour lesquelles le comportement asymptotique de l'interface est du glissement. Par contre, pour le béton pur en compression ou en traction, le comportement ultime est la rupture de l'élément de volume. Ainsi, pour Dc = 1, la contrainte totale de Cauchy doit s'annuler. La contrainte de frottement prendra donc l'expression suivante:


on = (1 - D)E2 - E X ) . Les modules El et E2 ne sont pas obligatoirement identiques, en

effet aucun argument ne justifie que l'élasticité résiduelle sur Wl et W2 doit être la même, a fortiori pour un matériau multiphasique tel que le béton pour lequel deux phases bien distinctes peuvent être sériées : les granulats (plutôt raides) et la matrice de ciment (plutôt molle). Afin de conserver l'élasticité initiale, un seul impératif est introduit dans le choix des différents modules : El + E2 = E .

Afin de décrire le béton sous chargement mécanique, la forme suivante de l'énergie libre est donc retenue (Pham 2005, Desmorat et al. 2006) :

g ( ~ ) pouvant prendre toutes les expressions entre D et (1-D). Dans la suite, nous retiendrons la dernière possibilité nous permettant de décrire le comportement du matériau jusqu'à rupture comme le montre l'équation 1.10 pour laquelle a = O lorsque D w 1 .

La partie Ws correspondant à l'énergie bloquée peut être construite par introduction de manière assez classique d'une consolidation cinématique (usuelle en glissement) et isotrope (permettant d'introduire une forme d'érosion cyclique de la rugosité de la fissure). Dans un cadre générale 3D, ce type de modèle peut s'écrire donc :

El et E2 Sont les opérateurs d'élasticité tels que El + E2 = E . Les lois d'état, au nombre de 5 , peuvent être obtenue par dérivation :

Nous pouvons noter qu'une formulation rigoureusement duale peut être écrite en contrainte (Desmorat et al. 2006), permettant d'introduire de manière naturelle le comportement unilatéral de l'endommagement lors de chargement alterné. Le potentiel thermodynamique est

alors l'enthalpie libre de Gibbs Y* :

Partie 1 Modélisation du béton sous charnement mécanique

* (O - 0.): E;I : (O - O") O" : Eil : on pY = +

2(1- 0) 2(1- D)

Afin de modéliser un comportement différent en traction et en compression, plusieurs pistes possibles peuvent être empruntées. Deux variables d'endommagement (Mazars 1984, Laborderie 1991) permettent aisément d'identifier deux lois d'évolution différenciées en traction et en compression. Cette approche soulève une question d'un point de vue thermodynamique : comment justifier l'emploi de deux variables d'état pour décrire un même mécanisme de microfissuration. En effet, sans évolution de l'état, la valeur d'une variable ne peut dépendre de l'intensité ou du signe du chargement. Une autre piste naturelle consiste à modéliser l'anisotropie induite créée par la fissuration (Halm & Dragon 1998, Bazant & Prat 1988, Papa & Talierco 1996, Fichant et al. 1999). Cette approche sera utilisée dans le chapitre suivant concernant la formulation d'un modèle robuste d'endommagement. En vue des applications envisagées sur structures et souhaitant conserver une relative simplicité à la modélisation, l'anisotropie n'a pas été retenue. Enfin, la prise en compte de refermeture partielle de micro-fissures ou micro-défauts permet de générer une dissymétrie de comportement (Voyiadjis & Abu-Lebdeh 1994, Laborderie et al. 1990, Herrmann & Kestin 1988, Ramtani 1990, Chaboche 1993, Geers et al. 2000). Cet effet de comportement unilatéral engendre une reprise de raideur partielle ou totale en compression lors de la fermeture des fissures. Afin de conserver une seule variable d'endommagement, nous allons introduire un paramètre h (compris entre O et 1) de refermeture de microfissures, comme employé dans les matériaux ductiles (Lemaitre & Desmorat 2005). Ainsi, en fonction du signe des contraintes, soit la variable D agit (en traction) soit hD influe sur l'élasticité (en compression). En ne considérant dans la suite qu'une seule loi d'évolution de l'endommagement, la vitesse d'endommagement en compression et en traction sera affectée de façon identique:

Appliquée au modèle précédent, en considérant le signe des contraintes elasto-

endommageable (O - on) et de la contrainte de frottement O", l'enthalpie libre prendra la forme suivante pour un état de contrainte uniaxiale de traction ou de compression:

L'expression des diverses lois d'évolution peut être obtenue comme précédemment.

2.1.3 Fonctions seuils et lois d'évolution Une fonction seuil f est nécessaire pour définir un critère de charge ou de décharge. De même que pour la plasticité sans viscosité, une évolution irréversible des variables internes correspond à la condition de consistance : f = O et f = O . Un seul critère, basé sur le principe de contrainte effective (Chaboche 1979), est nécessaire malgré les deux mécanismes considérés (frottement et endommagement). La contrainte effective de frottement s'écrit :


Le critère de charge prendra ainsi la forme générale suivante :

O, est la limite d'élasticité, 11.11 est une norme à préciser pour chaque matériau. Dans la suite

de ce travail, seul le comportement uniaxial sera considéré dans les applications, il n'est donc pas nécessaire de la préciser à ce stade. Toutefois, une analyse présentée dans la suite de ce chapitre permet de discriminer différentes surfaces seuils appliqués au béton.

Les lois d'évolution, par le biais des règles de normalité découlent d'un potentiel de dissipation, exprimée ici par :

FD est le potentiel de Lemaitre (simplifié en considérant dans la suite s = 1) qui permet, par une même loi d'évolution d'accumuler de l'endommagement sous faible et grand nombre de cycle :

En introduisant le multiplicateur de glissement interne A :

La loi d'évolution de l'endommagement permet de définir la notion de déformation de glissement interne cumulée :

Ainsi la loi D = (Y / s)7) est guidée par le mécanisme majeur considéré lors des chargements cycliques : le glissement interne et le frottement. La présence du taux de restitution de densité d'énergie Y dans la loi d'évolution assure la description du comportement à rupture sous chargement monotone.

Une telle écriture des lois d'évolution assure automatiquement la positivité de la dissipation, pour peu que ce soit un convexe dans l'espace des forces thermodynamiques associées.


Dans la suite de ce chapitre, de montrer les différentes potentialités de cette approche, un comportement uniaxial est considéré. L'implantation numérique correspondante ne sera donc exprimée que de manière uniaxiale.

2.2 Implantation numérique

L'intégration numérique des lois d'évolution précédentes peut être réalisée de différentes manières. Dépendant du type d'applications envisagées (chargement monotone, dynamique lente à basse fréquence, dynamique rapide, fatigue), deux voies principales peuvent être empruntées. Une implantation implicite assure le respect de la condition de consistance à convergence mais implique obligatoirement des itérations. Une implantation explicite quant à elle se base principalement sur un prédicteur-correcteur sans itération. Dans ce dernier cas, la précision de la solution obtenue dépendra fortement du pas de temps choisi (incrément de déformation totale). Dans une code de calcul basé sur une approximation des déplacements, cet incrément de déformation est imposé par le schéma numérique global employé afin d'assurer l'équilibre de la structure dans la phase de comportement nonlinéaire.

Dans notre cas, une hypothèse réaliste sur la vitesse de progression de l'endommagement nous permet d'assurer une intégration exacte et explicite des équations différentielles précédentes. En effet, pour des applications en fatigue et en sismique, il semble raisonnable de considérer l'endommagement constant sur un incrément de temps. Les différentes capacités du modèle seront examinées par la suite au niveau du matériau et de la structure. Les calculs à l'échelle de la structure sont traités à l'aide d'une analyse simplifiée basée sur une discrétisation des éléments structuraux par des éléments finis de poutres multifibres. Ainsi, seul un comportement uniaxial est nécessaire. L'implantation implicite de ce modèle a été effectuée en utilisant un schéma de type 'return-mapping' (Ragueneau et al. 2005)

Classiquement, une prédiction élastique est effectuée en considérant comme seule donnée la déformation axial au pas t,+, : E,+, = sn + A c . Les contraintes estimées sont donc égales à

Si f = 3" - X, - Rn - os 5 O alors l'incrément est élastique et les variables internes (D, r, II II a et E ~ ) restent inchangées pendant le pas de temps considéré. Par contre, après violation du critère d'écoulement, il y a lieu de corriger ces variables internes afin de respecter la condition de consistance :

Utilisant une discrétisation implicite de type Euler, l'incrément de déformation plastique cumulée A n peut être calculé. Dans le cas uniaxial considéré, cette dernière condition peut s'écrire :


f n + i =

Avec

Sachant que Ar = Ail , et considérant que sur un cycle l'endommagement évolue peu (Dn+l D,), l'incrément de déformation plastique cumulée est obtenu en imposant :

fn+i = O

Connaissant celui-ci, les variables suivantes peuvent ensuite être corrigées :

a La déformation interne de glissement : E:+, = &IC + ~ n . s i ~ n ( E " - X )

1 2 1 Letauxderestitutiond'énergie: = - E ~ E ~ + ~ + 5 à 2 k n + I - e n + , 2 P

a L'endommagement : D,, = D, +(%)An

La consolidation isotrope : rn+l = r, + (1 - D , + ~ ) A ~

La consolidation cinématique : X,+I = X, + ~ ( 1 - Dn+l )A&"

La contrainte de frottement : = E~ + - S.+ l )

IC La contrainte totale : on + = ( 1 - Dn + ) E , q + + g + , Sous l'hypothèse de stationnarité de l'endommagement, nous obtenons donc une solution explicite à une discrétisation implicite des équations d'évolution. Une telle propriété assure une meilleure robustesse et efficacité lors de l'utilisation en calculs de structures.

2.3 Identification, hysteresis et fatigue

Au niveau de l'élément de volume, le but de cette partie est de présenter une première identification de ce modèle pour les bétons, en ayant pour objectif la description du comportement hystérétique et en fatigue. L'identification des paramètres ne peut être directe du fait des nombreux couplages intervenants. Le fait que la déformation de glissement interne ne corresponde pas à la déformation anélastique et que le modèle soit construit autour de deux modules d'Young ne peut faciliter la tâche.

Partie 1 Modélisation du béton sous chargement mécaniaue

Le lien entre le comportement monotone et la résistance à la fatigue s'effectue sur la limite d'irréversibilité as . Par les lois d'élasticité, en admettant qu'il existe une contrainte limite de

fatigue dénommée 07, la contrainte seuil d'irréversibilité dans le domaine de la contrainte

effective de frottement Ex s'exprime par :

2.3.1 Comportement hystérétique en compression Deux identifications ont été effectuées permettant d'apprécier la capacité du modèle à reproduire le comportement hystérétique du béton en compression. La première identification rend compte du modèle le plus simple : sans consolidation isotrope ou cinématique. La seconde permet de mieux retrouver la taille des boucles d'hystéréris en introduisant ces deux mécanismes. Les paramètres identifiés sont donnés ci-après.

(2):El= 16000MPa, E2= 19000MPa, os =6MPa,S=476MPa,K=130MPa, C = 110 MPa.

La figure 1.1 montre la réponse du modèle ainsi qu'une comparaison avec des essais expérimentaux sur béton.

Figure 1.1. Zdentijkation de la loi d'endommagement-hystérésis sur le comportement du béton en compression. (a) Sans consolidation. (b) avec consolidation isotrope et cinématique.

Le modèle représente convenablement la réponse du matériau en contrainte-déformation ainsi que l'hystérésis de déchargement fortement marquée. L'introduction de consolidations linéaires permet de mieux retrouver la taille des boucles d'hystérésis durant la fissuration. Seule la première montée en charge est incorrectement simulée du fait du faible niveau de la contrainte seuil d'irréversibilité. Sans être parfait, une représentation du comportement


hystérétique du béton sous chargement cyclique nous permet d'envisager le calcul des courbes de fatigue.

2.3.2 Calcul des courbes de fatigue Le calcul des courbes de fatigue peut s'effectuer de deux manières différentes. En cyclant entre une contrainte minimum O,, et une contrainte maximum O,, nous obtenons les courbes de Wohler du matériau, donnant la contrainte appliquée en fonction du nombre de cycle à rupture NR. Celui-ci est défini comme le nombre de cycle effectué pour obenir un endommagement D égale à l'endommagement critique D, La seconde possibilité est de cycler à déformation imposée (entre E,, et E,, ), beaucoup plus adaptée pour les matériaux fragiles adoucissants tels que le béton. Cette dernière solution a été employée pour juger de la capacité des deux précédentes identifications à reproduire le comportement en fatigue du matériau. Dans un premier temps, considérant un matériau modèle ayant un comportement fragile mais symétrique en traction et en compression, deux calculs en fatigue ont été effectués. Le premier considère un chargement dissymétrique avec E,, = O et le second un chargement symétrique : E,, = -cm,. Ceci permet de mettre en évidence la prise en compte de l'effet d'une déformation moyenne sur la réponse en fatigue. Deux valeurs pour l'endommagement critique ont été testées : D, = 0.5 ou D, = 0.9.

La figure 1.2 montre la réponse en fatigue des deux identifications avec et sans consolidation linéaire isotrope et cinématique permettant de juger qualitativement des diverses propriétés du modèle.

Figure 1.2. Calcul des courbes de fatigue pour les deux identifications. Sans consolidation (gauche) et avec consolidation isotrope et cinématique (droite).

La valeur de l'endommagement critique n'a pas une grande influence sur le comportement asymptotique du modèle en fatigue. Les différences observées rentrent aisément dans le faisceau de dispersion de la réponse en fatigue des matériaux fragiles. La prise en compte de consolidations isotrope et cinématique permettent une meilleure simulation des boucles d'hystérésis, néanmoins elle fournit une limite asymptotique bien plus haute que le modèle initiale avec K = C = O MPa. La modélisation en fatigue sera donc plus judicieusement envisagée sans aucune consolidation. L'effet de la contrainte (ou déformation moyenne) est ici bien reproduit par une augmentation de la limite en fatigue concomitante à une hausse de cette contrainte moyenne. Afin d'obtenir de première comparaisons avec des résultats expérimentaux. Les courbes de la figure 1.3 ont été retranscrites pour Dc = 0.9 en terme de contrainte normalisée O,, 1 f, en fonction du nombre de cycle, obtenant ainsi les courbes de


Wohler du matériau. Dans ce cas, la contrainte maximum reportée sur le graphe de Wohler correspond à la valeur maximum de la contrainte atteinte lors du premier cycle. Les réponses des courbes de fatigue ont été comparées aux résultats expérimentaux en compression de (Grzybowski & Meyer 1993 et Paskova & Meyer 1997). La formule empirique de Aas- Jakobsen a de même été reportée sur le graphe, donnant le nombre de cycle à rupture N R en fonction de la contrainte max appliquée a,, et du rapport de charge R, :

Le paramètre matériau p = 0.1 permet de retrouver les courbes de fatigue expérimentales pour les deux rapports de charge : R, = O pour le cas symétrique et R, = -1 pour le cas dissymétrique. La figure 1.3 présente les différents résultats obtenus.

....... 0.4 \ - . - - - - ---i A Paskova and Meyer ( 1 997) j i Grzybowski and Meyer (1993) i Aas-Jako'

Figure 1.3. Comparaisons des courbes de fatigue calculées (sans consolidation) avec des résultats expérimentaux et la fonction de Aas-Jakobsen.

Pour le chargement symétrique, le modèle reproduit convenablement la tendance des résultats expérimentaux. De même pour apprécier les effets de contrainte moyenne, la comparaison avec la formule de Aas-Jakobsen confirme cette tendance.

2.4 Application aux structures

L'objet de cette partie est de montrer à partir de deux exemples les potentialités et intérêts de ce type de modélisation fine du comportement du béton. La version uniaxiale du modèle a été implantée au sein du code élément finis CAST3M par le biais d'éléments poutres multifibres permettant de traiter du cas de structures de génie civil (Guedes et al. 1994). La description de ces éléments finis dédiés à l'analyse simplifiée des structures est traitée dans la partie 3 de ce document. Le premier exemple montre la capacité de la modélisation, à l'échelle de la structure, de traiter de la rupture, de la fatigue et de la dissipation hystérétique. Le second exemple, une poutre en béton armé permet de se rendre compte des défauts encore existants dans la représentation de la dissipation à l'échelle de la structure.


2.4.1 Rupture, fatigue et amortissement d'une structure en béton La structure considérée est un poteau de 10 m de hauteur pour lm2 de surface, encastrée à la base. Deux types d'analyses ont été menés : la première considère un chargement en tête quasi-statique permettant d'apprécier la capacité du modèle à traiter de la fatigue à l'échelle de la structure. La seconde analyse, en dynamique, met en exergue le lien entre hystérésis et endommagement dans la représentation des caractéristiques dynamique d'une structure vis-à- vis de l'amortissement et de l'évolution des fréquences propres.

Concernant la mise en évidence de la fatigue, plusieurs calculs cycliques ont été effectués à différents niveaux de déplacement imposé u,, et sont comparés à la réponse monotone de la structure. On s'aperçoit en figure 1.4 que l'hystérésis est retrouvée à l'échelle de la structure et que celle-ci est d'autant plus importante que le niveau d'endommagement de la structure (niveau de u,,) est grand. De même sur la figure 1.4, la flèche maximum appliquée de manière cyclique normée par la valeur maximum du déplacement au pic sous chargement cyclique upeak est tracée en fonction du nombre de cycle à rupture. Il s'agit de la courbe de

fatigue de la structure. La limite de fatigue est ici estimée à u,, = 0.6upeak

1 2 106 1

---+--- u = 0 63 F-k

I 106 . -E- monotonie

O 005 O1 O15 0 2

fleche (m)

Figure 1.4. Cas d'étude d'un poteau sous chargement cyclique. Courbes de réponse en efort- déplacement et courbe de fatigue calculée.

Sous un chargement dynamique entraînant un comportement nonlinéaire des matériaux, le comportement de la structure est gouverné par deux phénomènes prépondérants :

La baisse des fréquences propres apparentes due à la fissuration

L'augmentation de l'amortissement lié à l'accroissement du frottement entre surfaces fissurées.

Afin de mettre en exergue les capacités de ce type de modèles à retranscrire ces deux propriétés fondamentales de la réponse d'une structure en béton sous un chargement dynamique, le poteau précédent a été endommagé à différents niveaux (6 niveaux différents de fissuration) et soumis à des vibrations libres. La force permettant de pré-endommager la structure, notée F, est appliquée en 0.1 s et annulée soudainement permettant de générer des vibrations libres. F est appliquée à différents niveaux, rapportée à la valeur de l'effort au pic : Fpeak sous chargement monotone ( Fpeat = 1.16 106 N ) . A titre d'exemples, deux analyses

sont données en figure 1.5 pour F = 0.78 Fpk et F = 0.17 Fpeak.


..................................................... A . . . . . . .

l , , , , l ~ , , , l , , , , l , , , , l , , , t l ? 8 8

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 temps (s)

...........................................................

temps (s)

Figure 1.5. Réponse en tête du poteau en béton pré-endommagé. (a) F = 0.17 Fpeak .(b) F = 0.78 Fpeak

Pour les différents niveaux de sollicitation, l'évolution de la fréquence de vibration apparente et de l'amortissement est tracée (figure 1.6) en fonction de l'effort de pré-endommagement. Celui-ci est normé par la valeur maximum de l'effort atteint sous chargement monotone. L'amortissement est estimé en calculant le décrément logarithmique Ç pendant m périodes d'amplitude décroissante entre un et un+, : 5 = ln(un / un+,)l(2mn).

Figure 1.6. Evolution des caractéristiques dynamiques de la structure en béton (a) Chute des fréquences rapportée à la valeur initiale de la fréquence propre de la structure vierge. (b)

Amortissement relatif.

Dans les deux cas, le modèle parvient à reproduire de manière satisfaisante les caractéristiques essentielles à la simulation d'une structure en béton sous chargement dynamique : la chute de fréquence propre concomitante à l'augmentation de la dissipation par frottement. D'un point de vue quantitatif, un amortissement relatif de 5 % proche de la rupture, pour une structure en béton, est couramment admis dans la littérature (Carneiro et al. 2006).

2.4.2 Application à une structure en béton armé A titre de dernier exemple, une structure réelle en béton armé est traitée. Il s'agit d'une poutre en béton renforcée par des aciers (voir figure 1.7)' soumise à une flexion 3 points avec chargement cyclique (Deusan 1997, Ragueneau 1999). Les essais ont été réalisés à force imposée, pour différents niveaux de sollicitation (10, 20, 50 et 70 kN). 10 cycles de charges-


décharges ont été effectués à chaque niveau de chargement (représentant un niveau de fissuration).

l chargement

Figure 1.7. Poutre en béton armé en flexion 3 points cycliques.

Les aciers sont modélisés par des éléments 1D à plasticité parfaite ayant pour limite d'élasticité 400 MPa. La figure 1.8 présente la réponse expérimentale de la structure ainsi que les simulations effectuées avec la présente modélisation.

'0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 fleche (10d3m) fleche (loa3m)

Figure 1.8. Réponse egori-déplacement d'une poutre en flexion cyclique. (a) essais. (b) simulation

Le modèle retranscrit correctement le comportement à rupture d'une poutre en béton. Les trois phases du comportement sont autant qualitativement que quantitativement bien représentées : l'élasticité - la fissuration du béton en traction - la plastification des aciers en traction. Toutefois, une hystérésis présente dans la réponse expérimentale n'est pas reproduite à l'échelle de la structure par le modèle. En effet, pour ce type de structure, le béton en compression demeure assez peu sollicité. La seule hystérésis présente dans la modélisation est dans la réponse en traction du modèle, très vite négligeable du fait de la rupture. Il s'avère donc, qu'à ce stade de chargement, les phénomènes dissipatifs cycliques liés au glissement entre aciers et bétons sont prépondérants. Dans une analyse de type poutre, la cinématique propre de Timoshenko nous empêche d'introduire naturellement un glissement différentiel entre les matériaux. C'est pourtant cette caractéristique particulière liée au 'matériau' béton armé qu'il est important de modéliser. La prise en compte de glissement relatif et de frottement à l'interface acier béton fera l'objet de la modélisation de la partie 2 de ce document.


3 Modèle robuste d'endommagement du béton

Le précédent chapitre concernait la modélisation des mécanismes fins générant de la dissipation dans les matériaux fiagiles, se matérialisant à l'échelle macroscopique par des déformations anélastiques et des boucles d'hystérésis. De telles modélisations, utilisées en calcul de structures pâtissent souvent cruellement d'un manque de robustesse dans un contexte tridimensionnelle, impliquant l'utilisation de méthodes simplifiées basées sur la théorie des poutres multifibres.

Il existe de nombreux cas d'études pour lesquelles une représentation 1D poutre ne peut suffire à caractériser le comportement à rupture d'une structure. En effet, de forts effets 3D présents par exemple dans les structures précontraintes doivent pouvoir être intégrés. De même, pour certaines structures ou sites à risque, il est nécessaire de pouvoir calculer ou estimer l'espacement, l'ouverture ainsi que la direction de la fissuration (~ha$amian & Delaplace 2003). Des couplages avec des analyses Thermo-Hygro-Mécanique tendant à prédire le taux de fuite d'agents aggressifs sont bien souvent à l'origine de cette nécessité ( B q et al. 2000, maquettes Sandia et Maeva). Ainsi, l'anisotropie induite par l'endommagement doit pouvoir être prise en compte dans un contexte 3D, sans nuire à l'efficacité et à la robustesse des calculs eu égard à la taille des structures considérées.

L'objectif de cette partie, sans prendre en compte les différents mécanismes fins tels que précédemment (hysteresis, frottement), est d'apporter une contribution à la modélisation du comportement des matériaux fragiles, prenant en compte l'anisotropie induite par l'endommagement. La modélisation, se situant dans le cadre de la thermodynamique, tente de rester la plus pragmatique possible, permettant ainsi une implémentation aisée de la loi de comportement. Utilisant la notion de déformation équivalente, une intégration explicite et exacte est rendue possible malgré une discrétisation implicite des lois d'évolution. Des calculs et analyses 3D nous permettront enfin de juger de la pertinence des différents éléments de modélisation retenus.

3.1 Loi de comportement

3.1.1 Couplage élasticité-endommagement Afin de représenter l'endommagement dans un matériau fragile, un choix sur la forme même de la variable d'endommagement doit être effectué. La vision la plus simple et la plus pratique consiste à choisir l'endommagement comme un scalaire, représentant un état de dégradation uniforme quelque soit les directions de l'espace considéré (Mazars 1984). Ce choix permet d'élaborer des modèles fiables et robustes sans toutefois permettre d'intégrer la notion de direction dans la fissuration. Si l'orientation de la fissuration est importante, plusieurs options peuvent encore être choisies. L'endommagement affectant directement la loi d'élasticité, il peut apparaître comme naturel de prendre comme variable d'endommagement un tenseur d'ordre 4. Ce procédé peut tout aussi bien introduire une nouvelle variable d'endommagement ou utiliser directement le tenseur d'élasticité comme variable pouvant évoluer et se dégrader (Chaboche 1979, Leckie & Onat 1981, Krajcinovic 1985, Simo & Ju 1987, Ju 1989, Govindjee et al. 1995, Meschke et al. 1998). La dificulté d'intégration numérique ainsi que le nombre important de paramètres matériaux nuisant à une identification simple des comportements limitent l'utilisation de ce genre de modèles. Pour des raisons pratiques de simplicité et d'efficacité, un tenseur symétrique d'ordre 2 est le plus généralement utilisé (Murakami & Ohno 1978, Cordebois & Sidoroff 1982, Chaw & Wang 1987, Murakami 1988). Dans ce cas, des difficultés nouvelles apparaissent concernant la


symétrie de l'opérateur d'élasticité résultant, fonction du type d'équivalence effectuée (en contrainte, déformation ou énergie) (Cordebois & Sidoroff 1982), concernant la définition d'une contrainte effective indépendante des paramètres matériaux (Lemaitre et al. 2000, Lemaitre & Desmorat 2005) ou encore la prise en compte d'une différence de comportement en traction et compression (Ladevèze 1983).

Comme précédemment, une seule variable d'endommagement est retenue pour modéliser la fissuration, quelque soit le niveau ou le signe du chargement. Dans un souci de simplicité d'écriture et d'implémentation numérique dans un cadre 3D, seule, dans un premier temps, sera présentée la version du modèle sans refermeture complète des micro-fissures. La prise en compte des effets unilatéraux sera présentée dans un second temps. Un tenseur d'ordre 2 symétrique est introduit, assurant la continuité de la réponse en contrainte-déformation

(Ladevèze 1983). Le potentiel thermodynamique p& , duquel découleront les lois d'élasticité s'écrit :

E et v sont les paramètres d'élasticité, p masse volumique du matériau, 77 le paramètre de sensibilité aux effets hydrostatiques (égal à 3 pour la plupart des matériaux), a la contrainte

de Cauchy et D le tenseur d'endommagement. (.)D désigne la partie déviatorique d'un tenseur et DH est défini comme l'endommagement hydrostatique :

Seule la refermeture partielle des micro-fissures sur la partie hydrostatique du comportement est prise en compte pour le moment. La prise en compte de refermeture complète de microfissures sera présentée en partie 3 (Ragueneau et al. 2006). Ainsi le potentiel prendra la forme suivante en introduisant la partie positive et négative de la trace du tenseur des contraintes :

La loi d'élasticité résultante prend la forme suivante :

I est le tenseur identité du second ordre. Le potentiel thermodynamique nous permet aussi de définir la variable associée à l'endommagement D , le taux de restitution d'énergie Y :

La loi d'élasticité résultante s'écrit tout simplement en fonction de la contrainte effective :


Définissant ainsi une contrainte effective indépendante des paramètres matériaux de la loi d'élasticité :

L'implantation numérique ultérieure nécessitera d'inverser cette relation permettant le calcul du tenseur des contraintes à partir des contraintes effectives. Cette opération peut être effectuée de manière analytique, ainsi les contraintes de Cauchy s'exprimeront par :

1 a = (1 - D ) " ~ Z(1- - ( l - D ) : (1 - D ) + - [(l - TrD)(Tri?)+ - (- Tri?)+ (1 .36)

3 - TrD 3

Seule l'élasticité est affectée par l'endommagement, les déformations anélastiques résiduelles ne sont pas ici intégrées. Un couplage avec la plasticité permettrait dans un second temps de tenir compte de ce phénomène. Du fait de la séparation dans le potentiel entre les parties hydrostatiques et déviatoriques du comportement, le module de compressibilité K demeure inchangé lors de chargements induisant une trace négative du tenseur des contraintes. Aucune variation du changement de volume n'est donc associée à l'endommagement (comme dans les modèles à endommagement scalaire), ne permettant pas de prendre en compte, par exemple, les effets de dilatance rencontrés dans les géomatériaux. Ces derniers, liés à l'engrainement des granulats lors de faibles compression-cisaillement, sont souvent modélisés par une plasticité supplémentaire (Warnke 1975, Voyiadjis & Abu-Lebdeh 1994) ou considérés comme dus à l'endommagement (Ramtani 1990, Laborderie 1991). Les effets de fort confinement impliquant des effondrements de porosité ne peuvent être pris en compte par une telle approche, pour lesquels de nouveau, le cadre de la plasticité est plus approprié (Gatuingt & Pijaudier-Cabot 2003).

3.1.2 Surface seuils et lois d'évolution L'évolution de l'endommagement est conditionnée par le franchissement ou non d'une limite indiquant le seuil d'irréversibilité. De nombreux critères peuvent être utilisés, basés sur les contraintes de manière analogue à la plasticité (Ortiz 1985, Warnke 1975, Voyiadjis & Abu- Lebdeh 1994), sur les déformations (Mazars 1984, Herrmann & Kestin 1988, Ramtani 1990, de Vree et al. 1995, Geers et al. 2000) ou encore sur le taux de restitution d'énergie (Marigo 1981, Laborderie et al. 1994). Dans un souci d'efficacité de résolution numérique, un critère en déformation est ici retenu (Mazars 1984). Différents critères ont été testés (voir dans les paragraphes suivants). Nous présentons ici l'écriture avec le critère initial introduisant une déformation équivalente Ê, construite à partir des valeurs positives des déformations principales d'extension EI :

Le seuil d'élasticité s'écrira donc ainsi :


~ ( t r ~ ) est la fonction de consolidation, fonction de la trace du tenseur d'endommagement, à

identifier en traction et compression. Le seuil initial est obtenu par KO = ~ ( 0 ) .

L'avantage d'un tel choix réside aussi dans la résolution immédiate des problèmes de régularisation des calculs lorsque des lois adoucissantes sont utilisées. En effet, le problème mécanique de référence devient mal posé et de fortes dépendances au maillage sont rencontrées (Bazant 1976, Bazant 1988). Il existe de nombreuses possibilités permettant de régulariser le problème : en adaptant la loi de comportement à la taille des éléments finis, permettant de toujours dissiper la même énergie (Hillerborg et al. 1976) ou en introduisant une longueur interne par la viscosité pour les problèmes de dynamique (Needleman 1988, Sluys & de Borst 1992, Dubé 1994, Deü 1997, Boussa 1996), par une extension nonlocale des lois utilisées par des schémas différentiels tels que les approches par seconds gradients (Triantafyllidis & Aifantis 1986, Lasri & Belytschko 1988, de Borst & Mülhaus 1992) ou des schémas intégraux (Pijaudier-Cabot & Bazant 1987). Une formulation en déformation telle qu'évoquée précédemment permet de s'intégrer naturellement à un environnement nonlocal intégral dans tout code de calcul, c'est donc la solution retenue ici. Les modèles local et nonlocal s'écrivent de façon identiques, excepté dans le calcul de la fonction seuil utilisant maintenant des données nonlocales :

La déformation équivalente nonlocale se calcul sur un voisinage autour du point considéré, introduisant la longueur caractéristique (interne) 1, :

V, = f a ( s - x)dv est le volume représentatif au point x et a(s - x) est une fonction poids de v

type gaussienne :

L'endommagement est représenté par une seule variable interne, indicatrice de l'état de fissuration dans une certaine direction. Grâce à l'anisotropie induite, l'endommagement agit différemment en traction et en compression. L'évolution de celui-ci dans une direction donnée doit être subordonnée à l'état d'extension dans cette même direction. Ainsi, le taux d'endommagement devra être une fonction de la partie positive du tenseur des déformations de sorte que D oc (s)+ .

Le choix thermodynamique le plus simple consiste à choisir un potentiel non associé de la

forme : F = Y : (E) : .

La loi d'évolution de l'endommagement s'obtient par dérivation par rapport à ce potentiel suivant le principe de normalité :


Le multiplicateur d'endommagement est déterminé par la condition de consistance : f = O et

f = O . Le paramètre a posé égal à 2 permet de retrouver la déformation équivalente de Mazars, en prenant la trace de D , dans l'expression de la loi d'évolution de l'endommagement. Pour le modèle nous aboutissons à l'expression suivante :

Dans le cas de traction ou de compression, une telle formulation nous amène naturellement à générer des faciès de rupture conformes à la réalité physique : une fissuration perpendiculaire à la direction d'extension. Ainsi, une traction dans la direction 1 nous permet de construire les tenseurs suivants :

Et en compression

Enfin, la définition de la fonction ~ ( t r ~ ) nous permet d'identifier les comportements propres à chaque matériau. Le choix le plus simple serait de prendre K comme une fonction linéaire de la trace de D , n'introduisant qu'un seul paramètre matériau A à identifier. Ce choix, adapté à ce modèle ne permet pas de correctement représenter la dissymétrie entre la traction et la compression et introduit un snapback important en compression, signe d'un endommagement excessif pour ce mode de sollicitation. Une solution permettant de ralentir la progression de l'endommagement en compression consiste à ajouter un second paramètre, a, dans la loi d'évolution, de l'ordre de grandeur des déformations en compression, permettant de ralentir celle-ci :

La fonction K correspondante est introduite par intégration :

TrD dTrD) = a. tan[- + arctan(:)]

UA

Cette modélisation, tout en conservant le même jeu de paramètre, permet de rendre compte du comportement dissymétrique en traction et en compression. Du fait du découplage


déviatoriquelsphérique, la déformation volumique n'est pas affectée par l'endommagement (voir figure 1.9).

La réponse du modèle en traction et en compression est donnée sur la figure 1.9. Les paramètres matériaux permettant de simuler la réponse en traction et en compression du modèle sont les suivants : E = 42 GPa, v = 0.2, KF 5 1 O-', A=5 1 03, ~ 2 . 9 3 1 04).

déformation déformation

Figure 1.9. Réponse en contrainte et défomtion du modèle anisotrope. Dissymétrie traction- compression (gauche). Comportement volumique en compression (droit).

Un modèle simple prenant en compte l'anisotropie induite par l'endommagement a été présenté. L'implantation numérique dédié à ce type de modèle ainsi que des premiers cas tests sont donnés dans la suite de ce chapitre. De plus amples détails concernant l'analyse de la dissipation pour ce modèle anisotrope, en cas de rotation des directions principales d'endommagement, peuvent être trouvées dans (Desmorat et al. 2006).

3.1.3 Implantation numérique Sans évoquer tous les détails nécessaires à la bonne mise en oeuvre d'une loi de comportement dans un code éléments finis, ce paragraphe tente de souligner les principales caractéristiques et avantages de la formulation préalable pour une implantation robuste et efficace dans un contexte 3D et anisotrope.

3.1.3.1 Intégration de la loi de comportement Connaissant l'état des variables internes et contraintes à l'étape n, il nous faut déterminer ces mêmes quantités à l'étape n+l connaissant uniquement le tenseur des déformations E , + ~ . Subordonnant l'évolution de la fonction de consolidation à la trace de l'endommagement, une discrétisation implicite des lois d'évolution est possible, assurant la stabilité et la précision de l'intégration numérique, tout permettant un calcul explicite de toutes les quantités. Pour ce faire, le calcul s'effectue selon les étapes suivantes :

1. test sur la fonction seuil : f = Ên+l - ~ ( t r ~ , ) avec = , / ( E ~ + ~ ) + : ( E n c l ) +


Si le seuil n'est pas franchi, une évolution élastique et réversible des contraintes est calculée selon la loi d'élasticité. Dans le cas contraire, les variables internes sont corrigées :

2 2. discrétisation de l'évolution de l'endommagement : = - Da = M(E,+~)+

3. calcul du multiplicateur d'endommagement en prenant la trace de l'expression précédente :

TrD,+, -TrDn M = , avec Tr Dn+* = K-' (A %+l )

2 4. correction de l'endommagement : = Dn + ~ ( ( s , + ~ ) +

5. calcul des contraintes effectives : Sn+, = E : sn+,

6. calcul des contraintes de Cauchy explicite utilisant la relation 1.36.

Le schéma ainsi proposé permet une discrétisation implicite des lois d'évolution tout en garantissant un calcul explicite du tenseur d'endommagement et des contraintes résultantes. Une formulation en déformation, utilisant la notion de déformation équivalente (Mazars ou autre) permet de bénéficier des avantages des formulations non-locales évitant toutes dépendances au maillage lors de calculs de structures utilisant des lois adoucissantes telles que présentées ici.

3.1.3.2 Limitation de l'évolution de l'endommagement Etant donné le caractère anisotrope de l'endommagement, des limitations doivent être apportées à l'évolution des différentes quantités du tenseur d'endommagement permettant d'assurer la positivité de l'opérateur d'élasticité jusqu'à la rupture. Dans un cas isotrope, ce critère est vérifié en bornant l'endommagement à 1 (ou presque 1. ... nuance définissant la frontière entre un modèle et sa mise en œuvre numérique . ..). Dans un cas anisotrope, l'endommagement intervenant tant par ses valeurs tensorielles sur la partie déviatorique du comportement que par sa trace sur le comportement hydrostatique, deux traitements particuliers doivent être adoptés. De même que précédemment, un endommagement critique, noté De, est introduit de manière à signifier la transition entre un endommagement d i f i s et homogène dans le V.E.R. et l'apparition d'une macro-fissure localisée.

Concernant la partie hydrostatique, le problème apparaît clairement en écrivant la loi d'élasticité :

Il suffit de limiter la trace de D à l'endommagement critique, définissant ainsi un module de compressibilité endommagé limite : = (1 - DC)K .

Pour la partie déviatorique, une solution consiste à assurer que les valeurs propres du tenseur d'endommagement restent bornées par 1 ou Dc (Bade1 2001). Ainsi, une procédure


particulière doit être mise en place dès qu'une valeur propre de D atteint l'endommagement critique. Prenons par exemple la direction propre nI pour laquelle l'endommagement DI atteint en premier la valeur critique Dc, la croissance de l'endommagement dans cette

direction doit être stoppée et la direction bloquée, fixant un plan unique (nlI, nm ) , sur lequel l'endommagement peut continuer à progresser. La loi d'évolution de l'endommagement reste inchangée en ne considérant que les termes dans le plan (nII,nm) du tenseur des déformations, tout en conservant la valeur DI = Dc sur nI .

Il,, est l'opérateur de projection. L'opération se poursuit de la même manière après détection

de la deuxième direction principale d'endommagement pour laquelle l'endommagement critique est atteint, fixant définitivement la base propre de D . Les détails de cette procédure ainsi que son implantation numérique sont disponibles dans (Gatuingt et al. 2006).

3.2 Applications numériques

L'objectif de cette dernière partie concernant la modélisation 'robuste' de l'endommagement du béton est de montrer, par le biais de quelques applications, les différentes possibilités et capacités de ce type de modélisation. Dans un premier temps, le comportement multiaxial ainsi que la robustesse du modèle sont traités au niveau d'un élément finis 3D dont les conditions limites et de chargement définissent des champs de quantités homogènes. Dans un second temps, des exemples de calculs de structures réelles sont discutés.

3.2.1 Comportement multiaxial Deux exemples sont ici traités permettant de mettre en avant la robustesse du schéma numérique utilisé ainsi que le caractère modulaire de la loi de comportement par la prise en compte de différentes surfaces seuils sur le comportement multiaxial.

3.2.1.1 Robustesse du schéma numérique Afin de tester la robustesse de la loi de comportement ainsi que son implantation numérique, un exemple classique est donné, démontrant la continuité de la réponse du modèle en contrainte lorsque ce dernier subit un trajet de chargement complexe 3D (Souid et al. 2005). Pour ce faire, un élément cubique à 8 nœuds est utilisé. Le chargement appliqué est en déformation comme montré sur la figure 1.10. Le rayon de chacun des cercles augmentent linéairement entre O et une déformation maximale.

Un exemple de réponse du modèle est présenté sur la figure 1.11, en terme de contrainte- déformation dans la direction i , illustrant la continuité de la réponse du modèle due à la différentiabilité du potentiel thermodynamique.

3.2.1.2 Comportement biaxial et surfaces seuils La réponse multiaxiale d'un matériau fiagile comme le béton est à appréhender de manière prudente du fait de la complexité des modes de fissuration agissants (Kupfer et al. 1973). Ainsi, la bonne représentation des modes de ruine en compression biaxiale demande de posséder une surface de rupture (ou d'élasticité) adéquate ainsi que des lois d'évolution susceptibles de correctement rendre compte des différents effets de confinement (Mazars 1984, Ramtani 1990). Dans ce paragraphe, nous nous proposons d'évaluer la réponse biaxiale


du précédent modèle utilisant différentes surfaces seuils proposées par différents auteurs. Bien qu'étant dans un contexte de fissuration anisotrope, une telle analyse peut s'effectuer très simplement du fait de la modularité apportée par l'écriture en terme de déformation équivalente.

Figure 1.1 O. Surface de chargement dans l'espace des déformations autour d'un élément cubique à 8 nœuds.

Figure 1.11. Continuité de la réponse du modèle en contrainte-déformation

Les modèles d'endommagement, isotrope ou anisotrope, basés sur la déformation équivalente de Mazars présente une trop grande fragilité en compression biaxiale. Si l'on trace dans le plan (cri ', C T ~ ~ ) , l'état de contrainte à rupture, il s'avère que l'on observe une diminution de la capacité portante par rapport à la réponse uniaxiale en compression (orup,) alors que

différents essais expérimentaux montrent en général une augmentation de l'ordre de 20% (Kupfer & Gerstle 1973, van Mier 1 984). Sur la figure 1.12 nous présentons pour le modèle isotrope de Mazars et le modèle anisotrope utilisant la surface seuil de Mazars la juxtaposition entre les surfaces seuils d'élasticité et les surfaces de rupture.


0.5 eiq-iiz-.- - - . .

0 ; Kupfer 4 ~ e r s t l e 3 7 3 )

Figure 1.12. Su~aces d'élasticité et de rupture pour le modèle de Mazars (gauche) et le modèle anisotrope (droite).

La chute de capacité portante est ici plus marquée dans le cas du modèle anisotrope. Le manque de dissymétrie de la surface d'élasticité initiale est la cause principale de ce défaut pour le modèle anisotrope qui concentre la fissuration dans le plan perpendiculaire à 033.

Pour y remédier, il faut augmenter cette dissymétrie par l'ajout d'autres invariants dans l'expression de la déformation équivalente. Ainsi plusieurs autres types de déformation équivalente peuvent être utilisées (Desmorat et al. 2006) :

Mazars-Drücker-Prager : ajout de la trace du tenseur des déformations. Un paramètre supplémentaire k est à identifier. Le défaut de cette surface bien qu'améliorant fortement la surface d'élasticité en bi-compression (voir figure 1.13) est de modifier également le comportement en traction, demandant ainsi une identification complète de la loi.

Mazars-Drücker-Prager modifié: ajout de la partie négative de la trace du tenseur des déformations, ne modifiant pas la réponse en traction. Cette surface non-convexe peut entraîner, selon le choix des paramètres, des instabilités sur la réponse.

Mazars-Mises-Drücker-Prager modifié: ajout de la trace du tenseur des déformations et du second invariant du déviateur des déformations. Ce type de surface parfaitement convexe apporte plus de souplesse pour l'identification.

Partie 1 Modélisation du béton sous chargement mécaniaue

De Vree: critère de Mises décentré en déformation (de Vree et al. 1995). Une surface ellipsoïdale en déformation, de forme éloignée des autres types de critère mais permettant de contrôler au mieux la dissymétrie.

1 2 1 Avec I l =Tr& et J 2 = - I l - - E : E 6 2

Toutes ces surfaces d'élasticité sont tracées et comparées sur la figure 1.13. La loi de comportement anisotrope a été re-identifiée pour chacune de ces surfaces. Les comparaisons présentées correspondent à la surface permettant de générer la même réponse en traction et en compression.

Mazars * Mazars-Drucker-Prager - modified Mazars-Dmcker-Prager ( k l . 1 O*') - modified Mazars-Dmcker-Prager (k=5.10a)

+ de Vree (k = 4.) - Mazars-Mises-Dmcker-Prager (k = 1.7 1 0 ~ )

Figure 1.13. Comparaisons des digérentes sugaces seuils d'élasticité pour le modèle anisotrope.

A titre d'exemples, deux comparaisons sont présentées sur la figure 1.14 en terme de surface d'élasticité et surface de rupture biaxiale : pour le critère de Mazars-Mises-Drücker-Prager et la surface de de Vree.

Pour ces deux derniers cas, la modification de la déformation équivalente permet de mieux gérer le comportement sous contrainte biaxiale de compression du béton. La surface de de Vree semble la plus adaptée, sans, de plus, trop accentuer la dissymétrie sur l'élasticité.


, - élasticité : 'a:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. : . '_

Figure 1.14. Sutfaces d'élasticité et de rupture pour le modèle anisotrope utilisant la sutface de Mazars modifié (gauche) et la sutface de de Vree (droite)

Une comparaison supplémentaire de ces différentes surfaces seuils peut s'effectuer sur la réponse en cisaillement, pour laquelle le béton doit présenter un caractère beaucoup plus ductile qu'en traction (après identification sur des tests d'arrachement par exemple en partie 2). Là encore, comme le montre la figure 1.15; la surface de de Vree correspond davantage aux résultats expérimentaux.

Mazars-Mises-Dmker-Prager ( k 0 . 4 )

Mazars-Mises-Dmker-Prager ( k 0 . 5 8 )

surface initiale (Mazars)

Mazars mode1

de Vree

Figure 1.15. Réponses en cisaillement des modèles isotrope et anisotropes utilisant les difiérentes sutfaces seuils d'élasticité.


3.2.2 Cas tests sur structures Afin de montrer les diverses applications envisagées pour ce type de modélisation du béton, trois structures différentes ont été choisies : en béton armé (la poutre issue du benchmark international MECA, en béton plein (cisaillement d'une interface) et en béton précontraint (tranche circulaire d'une enceinte nucléaire).

3.2.2.1 Structure en béton : Cisaillement d'une interface Afin de montrer les capacités d'un tel modèle dans la représentation des modes de rupture d'une structure en béton, l'essai de cisaillement d'une interface présenté dans la partie 2.2 de ce document a été simulé. Il s'agit d'un nouvel essai d'adhérence acier-béton (Ouglova 2004, Ragueneau et al. 2005), permettant par une géométrie plane de procéder à des mesures de champs de types déplacements et déformations le long de l'interface et par des conditions aux limites et de chargement adaptées (triple rotule), de prévenir toute occurrence de contrainte latérale parasite. L'essai, les dimensions et les conditions limites sont décrits en partie 2. Une cellule élémentaire de l'essai sur barres nervurées a été modélisée, mettant en avant deux modes compétitifs de fissuration : une ouverture en mode 1 le long de l'interface horizontale et une propagation à 45O à partir des nervures. Deux types de calculs ont été effectués, utilisant la méthode des éléments finis avec le modèle anisotrope et la méthode des éléments discrets (Delaplace 2005). Les dimensions, les conditions limites ainsi que les différents maillages continus et discrets de la cellule élémentaire sont représentés en figure 1.16.

concrete

steel

Figure 1 .l6. Essai de cisaillement d'une intelSuce plane. Modèles élémentfinis et discrets d'une cellule élémentaire.

L'essai a été simulé en déplacement imposé de la partie inférieure de la barre d'acier. La figure 1.17 montre les cartes d'endommagement obtenues à rupture de l'échantillon en terme d'endommagement principaux DII et DZ2. Une comparaison avec la figure 1.18 de la partie 2 permet d'observer que l'anisotropie de l'endommagement rend compte des différents modes de ruine expérimentaux observés le long de ce type d'interfaces, couramment rencontrées dans les aciers de construction en génie civil (fissuration à 45" et décohésion en mode 1 dans ..

la direction 2).


Figure 1.1 7. Cartes d'endommagement au pic d 'eflort.

Cette analyse a pu être confortée par un calcul aux éléments discrets. Le solide en béton est discrétisé à l'aide de cellule de Voronoï dont les liens mécaniques sont modélisés par des liaisons élastiques-fragiles. La figure 1.18 montre les fissurations observées, tout à fait conformes aux analyses anisotropes précédemment obtenues.

Figure 1.18. Maillage par éléments discrets et conditions périodiques.

Concernant le béton seul, une étude plus approfondie simulant la réponse d'une structure en cisaillement (test de Nooru-Mohamed, 1992) est disponible dans (Desmorat et al. 2006) permettant de mettre en lumière les capacités de régularisation et d'indépendance au maillage de la procédure d'endommagement nonlocal appliquée au cas anisotrope.

3.2.2.2 Poutre MECA benchmark L'objectif de ce cas-test est d'évaluer la capacité du modèle anisotrope de traiter d'une structure classique en génie civil : le comportement jusqu'à rupture d'une poutre en béton armé (Ghavamian & Delaplace 2003). Durant le chargement, différents mécanismes sont activés simultanément tels que : la fissuration du béton en zone tendue, l'écrasement du béton en zone comprimée, la propagation de fissures d'efforts tranchants près des appuis et les décohésions entre matériaux dans les zones de forts gradients. La compétition de ces différents mécanismes rend difficile la convergence de ce type de calcul en 3D. Les caractéristiques géométriques du béton et du renforcement, ainsi que le maillage éléments finis utilisé sont présentés en figure 1.19. Les paramètres béton pour le modèle anisotrope sont ceux du paragraphe 3.1.2. Concernant les aciers, un modèle élastique-plastique-parfait a


été utilisé, utilisant des paramètres fournis dans les données du benchmark : E = 200000 MPa, v= 0.3, et a; = 480 MPa. Les aciers transversaux ont été également pris en compte comme le montre le maillage de la figure 1.19 à l'aide d'éléments filaires. Seul ?4 de la poutre a été modélisé du fait des conditions de symétrie, avec 2 éléments dans la profondeur.

Figure 1.1 9. Poutre en béton armé du MECA benchmark.

Deux analyses différentes ont été effectuées pour deux longueurs caractéritisques différentes 1, = 150 mm (3 à 4 fois la taille de la plus grande hétérogénéité) et 1, = 250 mm. Les courbes de réponse sont présentées en figure 1.20 et comparées à l'expérimentation.

105 I , I I

Ic = 250 mm - lc= 15omm 10' - + essai

O 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

déplacement (m)

Figure 1.20. Comparaisons essais-calculs pour les deux analyses de la poutre MECA.

Pour les deux longueurs caractéristiques, l'allure générale du comportement est bien représentée, avec une dissipation d'énergie plus grande comme attendue lorsque la plus grande des longueurs internes est utilisée. L'influence de la longueur caractéristique est mise en évidence en observant les cartes d'endommagement vis-à-vis de la représentation de l'espacement de la fissuration (figure 1.21).


0.0

Figure 1.21. Comparaisons des cartes d'endommagement pour 1, = 150 mm (gauche) et 1, =

250 mm (droite).

3.2.2.3 Anneau de centrale nuclaire Afin de tester la robustesse de l'implantation numérique, nous avons simulé la montée en pression interne d'une enceinte de confinement d'une centrale nucléaire (Hansen & Saourna 2003). Pour cela, considérons une tranche circulaire de diamètre 46,8 m, d'épaisseur 0,9 m et de hauteur 0,4 m. Une contrainte de compression verticale de 8.5 MPa est prise en compte afin de représenter la partie supérieure de l'enceinte non modélisée. L'anneau comporte deux parties symétriques servant d'ancrage aux deux câbles de précontrainte, les armatures passives sont constituées de 88 cadres (non modélisés ici) ainsi que de quatre anneaux circulaires en acier. La figure 1.22 représente le maillage utilisé (3D) avec les aciers passifs modélisés par des éléments barres à deux nœuds et le béton par des éléments cubiques à 8 noeuds. Les aciers passifs et actifs sont modélisés par un modèle de comportement parfaitement plastique, tandis que le béton est modélisé par le modèle présenté précédemment. Les paramètres utilisés sont les suivants :

E = 190000 MPa, v = 0,3, et o, = 500 MPa pour les aciers passifs.

E = 190000 MPa, v = 0,3, et O, = 18 14 MPa pour les cables actifs.

E = 42000 MPa, v = 0,2, Q= 5.10-', A= 5.1 03, a= 2,93.l o4 pour le béton.

Figure 1.22. Anneau en BA avec les aciers passifs et les câbles de précontraintes

Le calcul est effectué en deux étapes : une mise en tension des câbles induisant un état de compression du béton puis une montée en pression interne. La précontrainte est apppliquée par un chargement équivalent permettant de générer l'état de traction dans les aciers actifs. Après mise en précontrainte des câbles (770 MPa), une pression interne P(t) est alors appliquée jusqu'à 2 MPa, correspondant à la ruine de la structure par ouverture excessive des fissures. La figure 1.23 montre les déformées obtenues après mise en précontrainte puis après l'application de la pression interne.


Les valeurs principales d'endommagement dans les directions 1 et 2 sont représentées sur la figure 1.24. Hormis dans les zones d'ancrage où de forts effets 3D ont été observés, la fissuration est principalement radiale le long de l'anneau.

Figure 1.23. Défomtion de l'anneau apès mise en précontrainte (gauche) et mise en pression interne (droite).

Figure 1.24. Champs d'endommagement pour Pmax = 2MPa

Ce test montre qu'il est possible d'utiliser un modèle d'endommagement anisotrope pour réaliser des simulations numériques de structures en béton précontraint, jusqu'à un niveau élevé d'endommagement et de plastification des armatures. Il illustre également le fait que des microfissures existent initialement dans de telles structures dues à la mise en précontrainte. Dans la simulation numérique effectuée avec le modèle local, la présence d'acier associée à un mode de fissuration principalement en traction ainsi que la taille importante du maillage éléments finis utilisé (0.3 m en zone courante) prévient le phénomène de localisation des déformations. Ainsi, les calculs effectués en non-local sur le présent maillage donnent des résultats identiques. Si l'on souhaite représenter une mésofissuration plus localisée, il est nécessaire de réaliser des calculs non-locaux utilisant des éléments de plus petites tailles.

4 Synthèse

Deux approches différentes correspondant à des besoins de modélisation du matériau béton ont été suivies dans cette partie. La première piste, par une modélisation au niveau macroscopique d'un maximum de phénomènes nonlinéaires et dissipatifs, a pour but d'être en mesure dans un même modèle, de rendre compte d'endommagement sous faible et grand nombres de cycle, se produisant sur des échelles de temps totalement différentes. Par une accumulation de l'endommagement sous fatigue cyclique, le comportement dynamique de la structure en terme de raideur et d'amortissement se trouve mieux représenté. La prédiction de la rupture sous chargement accidentel s'effectue en prenant en compte un état initial réaliste, et compatible avec le modèle utilisé. Etre capable de suivre la vie et la rupture d'une structure de génie civil, souvent de taille importante, nécessite l'emploi de techniques adaptées au calcul de structure. Pour ce faire, par le biais des analyses simplifiées multifibres, seul le


comportement uniaxial de la loi de comportement doit être implanté. Ceci nous permet de prendre en compte le maximum de mécanismes nécessaires. Le deuxième type de modélisation abordé dans cette partie concerne l'analyse 3D. Dans un but de ré-analyses locales de structures ou partie de structures, la prise en compte du comportement multiaxial est parfois nécessaire. Dans ce but, un modèle recherchant un maximum de robustesse, a été mis en place et implanté au sein d'un code de calcul. Pour y parvenir, certains compromis sur les mécanismes ont dû être adoptés : seule la micro-fissuration et son caractère anisotrope ont été pris en compte.

Pour ces deux approches, des avancées supplémentaires doivent voir le jour. Dans la modélisation des dissipations à court et long termes, il s'avère important d'être à même de modéliser avec le même formalisme le fluage du matériau et de la structure concomitamment. Pour ce faire, un couplage du frottement interne avec la viscosité est inéluctable, de premiers travaux dans ce sens sont en cours de développements (Pham et al. 2006). Vis-à-vis de la modélisation du comportement 3D, la refermeture des microsfissures, dans un cadre plus général que le cas uniaxial doit être mis en place. Dans l'objectif de couplage avec des analyses Thermo-Hydro-Mécanique, un lien clair entre l'endommagement, l'endommagement critique et l'ouverture moyenne de fissures doit être trouvé (Comi et al. 2006). Des études expérimentales et numériques basées sur les éléments discrets devraient nous permettre d'avancer de manière plus confiante dans ce domaine.

Partie 2 Renforcement, corrosion, integaces

Partie 2

Renforcement, corrosion, interfaces

Partie 2 Renforcement, corrosion, interfclces

1 Introduction

Cette partie s'attache à décrire et modéliser les phénomènes induits par la présence des aciers de renforcement sur le comportement à rupture des structures en béton armé et précontraint. Deux thèmes principaux sont développés : la corrosion des aciers et l'adhérence entre les matériaux en présence. Dans un premier temps, nous nous intéresserons à la modélisation des effets de la corrosion des aciers sur leur résistance intrinsèque ainsi qu'à leurs prises en compte dans l'estimation de la capacité résiduelle mécanique d'une structure en béton. Dans un second temps, les phénomènes d'adhérence entre acier et béton seront traités, tant du point de vue expérimental que de la modélisation.

Afin de pouvoir estimer les capacités ultimes d'une structure ou d'un élément de structure lors d'une sollicitation mécanique, il est important de connaître l'état de dégradation réel des matériaux constitutifs. Dans ce but, une loi de comportement du béton, couplant frottement et endommagement, a été développée au chapitre précédent permettant de prendre en compte les phénomènes de fatigue dans la progression de l'endommagement du béton. Dans cette seconde partie, suivant le même objectif, nous nous sommes intéressés à l'apparition de la corrosion en surface des aciers générant diverses pathologies sur les structures en béton. Dans un premier temps, une loi de comportement de l'acier corrodée est mise en place. Elle permet de prendre en compte les effets de la corrosion sur la capacité portante maximale d'un acier ainsi que sur sa perte de ductilité. Basée sur la mécanique de l'endommagement, cette loi a été intégrée dans une version tridimensionnelle et uniaxiale au sein d'éléments poutres multifibres. Divers cas d'études sur structure en béton armé et précontraint permettent de valider l'approche retenue dans la modélisation.

Le second point important dans cette partie concerne les phénomènes de perte d'adhérence entre acier et béton. Comme dans tous matériaux composites, l'adhérence entre les matériaux assurent la bonne tenue d'éléments structuraux. La rupture de l'interface entre l'acier et béton conduit inévitablement un élément de structures à sa ruine, ou tout du moins à des ouvertures de fissures excessives. Les actions provoquant la perte d'adhérence peuvent être de plusieurs ordres : mécaniques, chimiques (corrosion) ou un couplage des deux. Du fait de la difficulté de modélisation de phénomènes multiphysiques se déroulant à différentes échelles de temps et d'espace, il est important de pouvoir disposer d'outils expérimentaux nous permettant de sérier les causes de baisse de capacité portante au niveau de l'interface entre acier et béton. Dans cet objectif, un nouvel essai d'arrachement entre acier et béton a été développé. Les classiques essais d'identification du comportement d'interface ne permettent pas de générer un état de contrainte homogène le long de l'éprouvette. De plus, du fait même de leur géométrie, la zone d'étude n'est pas accessible à la mesure directe et des analyses inverses sont nécessairement requises lors de l'identification de modèles. La nécessité de prendre en compte des sources diverses de dommage tant mécanique que chimique implique une nouvelle géométrie, de nouvelles conditions limites et de nouveaux moyens de mesures. Un essai original sur plaques a été développé, permettant de gérer les niveaux de contrainte le long de l'interface tout en autorisant des dégradations chimiques par la corrosion notamment. De plus, la géométrie permet de procéder à des mesures de champs par corrélation d'images numériques, permettant de sérier plus facilement les différents mécanismes de rupture et de procéder à des mesures locales. En parallèle, une loi de comportement ainsi qu'un élément joint d'interface ont été développés pour le béton armé. Basé sur la thermodynamique des processus irréversibles, ce modèle permet de prendre en compte un état biaxiale de contrainte le long de l'interface. Utilisant les résultats expérimentaux préalablement obtenus, les

Partie 2 Renforcement, corrosion, interfaces

paramètres du modèle ont pu être identifiés au niveau local et validés sur différents cas tests de la littérature.

2 Corrosion des aciers

Parmi les diverses pathologies rencontrées dans une structure en béton, la corrosion des aciers présente une caractéristique particulière : uniquement dû à la présence des aciers, le développement de produits de corrosion entraîne des désordres dans la structure à tous les stades (Huang & Yang 1997, Uomoto et al. 1988). La perte de matière et l'inhomogénéité de la corrosion lors d'une attaque par des ions Chlorure (Cl-) engendrent une baisse de capacité portante des aciers (Castel et al. 2000). Le gonflement de ces produits de corrosion désolidarise l'acier du béton environnant dégradant de fait la liaison acier-béton (Sulaimani et al. 1990). Enfin, dues aux pressions de gonflement, des fissures peuvent se développer dans le béton et provoquer des écaillages en surface de la structure.

Les désordres sont donc de deux ordres : mécanique etlou esthétique. Dans ce chapitre, nous nous attarderons à décrire et modéliser les effets de la corrosion sur les chutes de résistance mécanique des aciers de renforcement. Une loi de comportement basée sur la mécanique de l'endommagement couplée à la plasticité est proposée. Des essais sur structures en béton armé corrodées supportant des chargements de type flexion-3 points sont menés afin de valider la modélisation et l'identification de la loi de comportement. Enfin, les résultats des simulations portant sur 10 poutres en béton armé et précontraint du benchmark des poutres de la Rance sont présentés.

2.1 Loi de comportement des aciers corrodés

2.1.1 Effet de la corrosion sur le comportement mécanique des aciers Deux types de corrosion sont généralement distingués : la corrosion généralisée et la corrosion localisée (Raharinaivo et al. 1998).

Du point de vue chimique la réaction d'un métal avec l'oxygène est une réaction d'oxydo- réduction : le métal s'oxyde tandis que l'oxygène se réduit. Ceci signifie qu'à l'interface entre le métal et son environnement des électrons de valence du fer sont transférés à l'oxygène. En corrosion uniforme les sites d'oxydation et de réduction à la surface métallique sont indiscernables. Cette corrosion résulte le plus souvent de la carbonatation du béton d'enrobage qui abaisse le pH à une valeur (inférieure à 9) pour laquelle le film passif n'est plus thermodynamiquement stable. Ce type de corrosion n'affecte pas les propriétés mécaniques de l'acier car il ne diminue que la section du métal.

En corrosion localisée, les électrons libérés aux sites d'oxydation passent par le métal vers les sites de réduction. La corrosion localisée se produisant par piqûres est généralement associée à une rupture locale du film passif en présence de chlorures. Il apparaît de petites cuvettes ou piqûres de corrosion sur la surface de l'acier.

Le processus de corrosion des armatures peut s'amorcer dès que des ions chlore atteignent l'armature en teneur suffisante pour dépassiver l'acier. Cette teneur en ions Cl- est d'autant plus importante que le pH de la solution interstitielle est lui-même élevé. La valeur du pH est . conditionnée directement par la concentration en ions OH-. Ainsi, plus que la teneur propre en ions chlore, il est préférable de considérer le rapport Cl-/OHm, c'est-à-dire le rapport des ions activants par rapport aux ions passivants. La progression de la piqûre' s'effectue à partir de la

Partie 2 Renforcement. corrosion. interfaces

rupture locale du film de passivité : une faible plage de métal actif est exposée à l'agressivité du milieu. Cette plage constitue une micro-anode où se concentre le courant de corrosion, tandis que la couche protectrice joue le rôle de la cathode.

Figure 2.1. Mécanisme de corrosion par piqûre (Foct & Vigne 2003)

Les effets mécaniques de la présence de piqûres sont multiples : en ce qui concerne le comportement mécanique du renforcement soumis à la corrosion par piqûre, Castel a réalisé des essais de traction pure sur des échantillons d'armatures entaillées afin d'évaluer l'effet de la corrosion par piqûres sur la ductilité des armatures. Il a conduit ces essais sur quatre échantillons : l'élément témoin non entaillé et trois éléments comportant respectivement des entailles de 1'2'3 et 4 mm de profondeur. Il a mis en évidence que la ductilité des éprouvettes testées est fortement diminuée puisque les échantillons comportant une réduction de section d'acier de 6 %, 11 % et 20 % perdent respectivement 50 %, 70 % et 75 % de potentiel de déformation à rupture par rapport au témoin. Ces valeurs sont cohérentes avec la perte de ductilité obtenue sur une poutre corrodée pendant 40 ans. Castel explique ce phénomène par le fait qu'une concentration de contraintes existe en fond d'entaille. La surface d'acier plastifiée croit avec l'augmentation de l'effort appliqué et, par conséquent, la raideur de l'armature diminue progressivement. Lorsque l'on atteint le palier plastique, i.e. la section d'acier est totalement plastifiée, localement en fond de fissure la réserve de déformation plastique de l'acier est déjà largement consommée. Par conséquent, la rupture de l'armature survient nettement avant l'élément témoin (Castel et al. 2000). Des analyses similaires peuvent être trouvées dans la littérature (Almusallam et al. 1995).

2.1.2 Modèle de plasticité couplée à l'endommagement Afin de considérer les effets de la corrosion sur le comportement mécanique d'un acier, il est nécessaire de prendre en compte deux effets importants. Connaissant le taux de corrosion (perte de masse d'acier transformé en oxyde), les effets mécaniques de celle-ci sont d'une part, la perte de section, et d'autre part, la présence de piqûres susceptibles de générer des pertes de capacité portante et de ductilité. Dans un calcul de structure, la perte de section est intégrée à la description de la géométrie de l'acier corrodé et ne sera donc pas intégrée à ce niveau de la modélisation. Pour la partie proprement 'matériaux', l'apparition de piqûre engendre un changement du comportement proche de la rupture passant d'endommagement ductile à fragile. Ainsi, un couplage doit être introduit entre la plasticité et l'endommagement,

Partie 2 Renforcement, corrosion. interfaces

permettant de prendre en compte la relation entre la chute de ductilité et le niveau de corrosion.

2.1.2.1 Potentiel thermodynamique et lois d'état L'approche thermodynamique, au niveau du volume élémentaire représentatif permet de décrire l'état d'un système et son évolution (Lemaitre & Chaboche 1990). Se basant sur un modèle classique d'endommagement ductile des aciers (Lemaitre 1992), le choix des variables thermodynamiques, nous permettant l'écriture d'un potentiel, est assez aisé dans notre cas. Nous n'introduirons pour la modélisation mécanique que le tenseur des

déformations s , le tenseur des déformations plastiques sP , l'endommagement isotrope D et la variable d'écrouissage isotrope introduisant l'énergie stockée r . En application du principe d'équivalence en déformation introduisant la contrainte effective agissant réellement sur le matériau 6 = a/(l - D), la forme classique du potentiel thermodynamique sous la forme de l'énergie libre de Helmholtz est introduite :

p est la densité, iy l'énergie libre de Helmholtz; E , le tenseur d'ordre 4 modélisant l'élasticité initiale, R(r) la loi d'écrouissage isotrope (linéaire ou de type puissance R = ~ r " " ) , l'écrouissage R étant la variable associée à r. Les lois d'état sont obtenues du précédent potentiel par dérivation par rapport aux variables d'état respectant de fait l'inégalité de Clausius-Duhem

2.1.2.2 Fonction seuil et lois d'évolution Afm de permettre un couplage entre la plasticité et l'endommagement, la contrainte effective est introduite dans la surface seuil de plasticité. Pour un endommagement isotrope, le critère de Mises prend la forme suivante:

ay est la limite d'élasticité initiale en traction simple. qq la contrainte équivalente de Mises

définie par : geq - - <r : a avec a la partie déviatorique du tenseur de contraintes <r . -8 L'écriture des lois d'évolution requiert un potentiel de dissipation convexe permettant d'assurer la positivité de la dissipation d'énergie. Afin de décrire l'accumulation d'endommagement sous chargements monotone et cyclique, une loi unifiée


d'endommagement est utilisée (Lemaitre 1992)' exprimée par le biais d'un potentiel non associé F :

Le potentiel d'endommagement F est choisi en loi puissance de sa variable associée -Y :

Où s et S sont des paramètres matériaux A identifier. Les règles de normalité s'appliquent permettant de définir l'évolution des variables internes ;

il est le multiplicateur plastique dont le calcul numérique sera donnée dans le paragraphe

suivant. p est la vitesse de déformation plastique cumulée définie par : p =

L'endommagement ductile est initié par une fonction seuil basée sur le niveau de déformation plastique cumulée introduisant de fait un couplage entre l'endommagement et la plasticité, permettant de décrire la rupture des métaux. Sous l'hypothèse d'un chargement radial, le taux de triaxialité O&, est constant. De plus, si on considère que proche de la rupture, l'écrouissage est saturé, la loi d'évolution de l'endommagement est intégrée analytiquement et permet d'introduire une dépendance linéaire entre l'endommagement et la déformation plastique cumulée. L'endommagement D est ainsi calculé explicitement:

où P D , est la limite initiale (seuil d'activation de l'endommagement), Dc est l'endommagement critique définissant la transition entre un état micro-fissuré et l'apparition d'une macro-fissure, correspondant à la déformation plastique à rupture p, .

Pour un chargement monotone uniaxial, les déformations plastiques sP , cg , sR correspondent aux déformations plastiques cumulées p , p,, p, . L'étude de nombreux résultats expérimentaux sur les aciers montre que le ratio est souvent constant et peut être pris


égal à cg= 0 . 8 ~ ~ . La figure 2.2 illustre l'évolution de l'endommagement en fonction de la déformation plastique dans un cas de traction simple.

Figure 2.2. Evolution de l'endommagement en fonction de la déformation plastique

2.1.2.3 Prise en compte de la corrosion La corrosion est prise en compte dans le comportement de l'acier par une réduction de section efficace et par une diminution de la déformation plastique à rupture induisant une fragilisation de l'acier. La diminution de section sera intégrée au niveau de la description géométrique des éléments de l'acier. Par contre, la fragilisation est directement introduite en liant la déformation plastique à rupture au taux de corrosion Tc (Ouglova 2004, Nguyen et al. 2006). Pour des barres rondes, le taux de corrosion est défini de la manière suivante :

Tc =[ dnun corrodé - dcorro&

dnon corrodé

Avec ~ i - r ~ d é et ,, corrodé le diamètre des barres d'acier corrodées et non corrodées. La

déformation plastique à rupture dépend du taux de corrosion. Cette évolution est présentée sur la figure 2.3. Concernant les essais de traction, on déduit de données issues de la littérature (Almusallam et al., 1995) et d'essais réalisés au LMT-Cachan (Ouglova 2004), la variation de la déformation plastique à rupture en fonction du taux de corrosion. Une description empirique des essais expérimentaux (pour 4 diamètres différents de barre : 6 mm, 13 mm, 20 mm et 25 mm), confirmée par des analyses éléments finis, permet d'obtenir la loi bilinéaire suivante (de même que Castel et al. 2000) : si Tc est le taux de corrosion 5 15 %, la déformation plastique à rupture s'exprime comme suit :

ER = -0'0 1 1 1Tc + 0,2345 sinon ER = -0,0006Tc + 0,05 1 (2.1 1)

La figure 2.3 montre les résultats expérimentaux et la loi identifée. Les paramètres d'écrouissage isotrope non-linéaire de la loi de comportement ont été identifiés utilisant les résultats expérimentaux disponibles pour ces aciers. Les paramètres d'élasticité sont obtenus par de simples essais en traction simple. Les paramètres de la loi d'écrouissage sont déterminés par fittage de résultats expérimentaux sur acier en traction menés jusqu'à

Partie 2 Renforcement. corrosion, interfaces

saturation de l'écrouissage. Si l'on note O,, la limite d'élasticité initiale, la fonction R(p)

caractérisant l'écrouissage isotrope s'exprime comme une loi puissance introduisant deux nouveaux paramètres K et m :

1 I I I I I I O 10 20 30 40 50 60 70

corrosion Tc (%) O 10 20 30 40 50 60 70

corrosion Tc (%)

Figure 2.3 (a) Résultats expérimentaux : evolution de la deformation plastique à rupture en fonction du taux de corrosion. (b) Identification de la loi

Dans chaque situation, les paramètres de plasticité sont identifiés sur une barre présentant 0% de corrosion. Considérant les résultats expérimentaux de Almusallam (1995) obtenus sur des barres de 6 mm de diamètre supportant différents niveaux de corrosion, les paramètres suivants sont utilisés : E = 200.0 GPa, v = 0.3, Dc = 0.2, o, = 500 MPa , K = 500 MPa et

m = 2.78.

flmpith (W l Elongation (mm.)

Figure 2.4: Identification des paramètres de la loi de comportement pour aciers corrodés. Comparaisons essais calculs sur barres de 6 mm de diamètre (Almusallam et al. 95)


La figure 2.4 présente une comparaison des résultats expérimentaux avec ceux résultants de la simulation en terme d'effort/déplacement. Cette dernière illustre la capacité du modèle à reproduire les différents stades du comportement d'un acier corrodé jusqu'à rupture et ce, pour différents niveaux de corrosion.

Afin de valider la modélisation proposée, différents cas tests sur structure en béton armé et précontraint sont présentés dans les paragraphes suivants. Pour cela, le modèle a été implanté dans un code de calculs aux éléments finis Cast3M dans une version 3D et uniaxiale permettant d'utiliser les méthodes de calculs simplifiés de type poutre multifibres décrites dans la partie 3 de ce document.

2.1.2.4 Implantation numérique Par opposition aux matériaux fragiles dont les principaux mécanismes nonlinéaires sont dirigés par la fissuration et les déformations, le comportement des matériaux ductiles est lui plutôt assujetti à la plasticité et aux contraintes. Dans le but d'effectuer des calculs sur structures de grandes tailles, le schéma numérique de calcul des contraintes doit prendre en compte une telle différence. Même si dans les deux cas (cf partie 1) des modèles couplant plasticité et endommagement sont utilisés, le schéma numérique doit introduire cette différence. Dans cette partie, seule l'implantation numérique générale o3 D est donnée, la réduction uniaxiale utilisée dans un contexte multifibre reprend les mêmes principes.

Dans un code éléments finis classique basé sur une approximation des déplacements, les données d'entrée sont les variables internes, les contraintes au pas n ainsi que l'incrément de déformation. Les sorties attendues sont les variables internes ainsi que le tenseur des contraintes au pas n+I. Prenant en compte le caractère ductile du matériau, dans un premier temps, seule l'intégration de la plasticité à endommagement constant est pratiquée par une discrétisation appropriée des équations différentielles (Ortiz & Simo 85, Simo & Taylor 86). Ensuite, l'intégration de l'endommagement à plasticité constante est effectuée. Enfin, le processus final de convergence est réalisé par des itérations entre les 2 processus. Les différentes étapes du calcul sont résumées dans l'algorithme ci-dessous :

i. Prédiction élastique

déformation totale : E"+' = E~ + AE

contraintes : an+' = an + E : AE -

variables internes: = Ap = Ar = AD = O

on+l n+l - ~q - Vérification du seuil : f - p + l - oy 2 O ? si non, on va directement au pas

1 - D"+' suivant. Si oui on continue sur ii.

ii. Correction plastique (algorithme return mapping)

Considérons un état non admissible du tenseur des contraintes obtenu après la prédiction élastique, l'état de contrainte doit être projeté sur la surface seuil. Cette étape s'effectue à

endommagement constant : D"+' = Dn . Dans un premier, nous linéarisons la surface seuil au voisinage des valeurs actuelles des variables associées, à chaque itération i+l :


Les variables internes ainsi que les contraintes sont corrigées utilisant la forme discrétisée des équations de relaxation :

Le multiplicateur plastique est obtenu à chaque itération i en imposant une valeur nulle du critère de plasticité lors du retour sur la surface de charge :

r i

Le processus itératif stoppe lorsqu'un critère de convergence est atteint, souvent une valeur

normalisée du seuil par rapport à celui calculé lors de l'étape de prédiction élastique ( f O ) :

\fi:\\ 5 OZ. +"\.

iii. Intégration de l'endommagement

Une fois le calcul de la plasticité effectué, la valeur de l'endommagement à plasticité

constante peut être déterminée. Lorsque le seuil fDntl = $+' - pD est respecté, un saut est effectué au pas suivant en posant n = n + l . Dans le cas contraire, l'endommagement s'écrit simplement !

Si D~+' # Do alors on retourne en ii pour prendre en compte un accroissement de la plasticité due à l'évolution de l'endommagement. Le processus itératif stoppe en respectant un critère du même type que précédemment : IfD::; 1 5 tol. x IfD:' 1.


2.2 Validation sur structures corrodées en béton armé

Etant donné l'importance de connaître précisément le degré de corrosion ainsi que sa localisation géographique, une simple utilisation des données expérimentales de la littérature pour lesquelles ces informations font généralement défaut permettrait difficilement de valider la modélisation précédente. En effet, le manque d'information sur les paramètres matériaux et structurels ainsi que la difficulté de contrôler de manière expérimentale le niveau de corrosion introduit au niveau des aciers, nuiraient à la qualité des simulations numériques et aux éventuelles comparaisons avec les essais. Ainsi, afin d'éliminer le maximum d'incertitude sur les données d'entrée, il a été décidé de procéder à une campagne expérimentale sur poutre en béton armé sous différents niveaux et modes de corrosion. Le protocole expérimental de corrosion accélérée par courant électrique (Ouglova 2004) a été employé.

2.2.1 Campagne expérimentale Afin de tester l'influence de la corrosion sur la résistance résiduelle de structures en béton armé, différents essais de flexion quatre points sur poutres ont été réalisés. Les corps d'épreuve sont des poutres de 0.9 m de longueur pour une section transversale de 0.1 m x 0.2 m. Les renforcements d'acier sont constitués de 2 barres supérieures HA12 et 2 barres inférieures H M . Un tel dimensionnement favorise la rupture des aciers inférieurs en traction permettant de mieux apprécier l'influence de la corrosion sur la tenue de telles structures (Reviron 2005, Thanh et al. 2006).

Les aciers inférieurs ont été pré-corrodés avant le coulage à différents niveaux suivant la loi de Faraday, puis décapés afin d'éliminer la rouille susceptible de perturber l'adhérence acier- béton. Les aciers ainsi pré-corrodés ont été utilisés pour réaliser les poutres à divers degrés de corrosion, conservant une bonne adhérence et permettant ainsi de mettre en évidence les effets de la corrosion seule. Une dernière structure a été testée avec corrosion in situ permettant de souligner les effets de la corrosion sur la perte d'adhérence entre l'acier et le béton. Le béton utilisé présentait un module d'Young de 30 GPa et une résistance moyenne à la compression de 43 MPa. Les essais sont du type flexion 4 points, présentant une distance de 0.3 m entre centre d'appuis des efforts, définissant ainsi une zone de moment constant (figure 2.5).

Figure 2.5: Dispositif expérimental de poutres en flexion 4 points.

Le schéma de ferraillage de ces poutres est présenté en figure 2.6. Des aciers transversaux ont été mis en place aux extrémités prévenant tout risque prématuré de rupture par effort tranchant. Afin de favoriser une rupture des aciers en traction, des aciers supérieurs de compression ont été disposés, leur flambement par instabilité élastique a été empêché par la disposition de demi-cadre comme montré sur la figure 2.6.

Partie 2 Renforcement, corrosion, inteifaces

Figure 2.6: Ferraillage de principe des poutres en flexion 3 points.

Les différentes poutres testées peuvent être regroupées en 3 catégories. Les poutres de type A sont les poutres de référence. Les poutres de types B ont été fabriquées avec des aciers pré- corrodés à deux niveaux différents (BI et B2 à 12 %, B3 et B4 à 24%). Enfin, les poutres de type C ont été réalisées avec des aciers ayant subi une pré-corrosion puis une corrosion in-situ (20 %) permettant de mettre en évidence les effets de la corrosion sur la perte d'adhérence au niveau de la structure. La figure 2.7 montre les réponses expérimentales en terme effort-flèche pour les 8 poutres testées. En parallèle, des photos illustrant les faciès de fissuration à rupture pour les 3 types de poutres sont présentées. Les poutres de références présentent une multifissuration classiquement rencontrée dans les structures en béton armé. Les poutres de type B, du fait de la localisation de la rupture dans les zones de piqûres montrent un schéma de fissuration beaucoup plus espacé. Enfin, les poutres de type C, ayant subi une corrosion in situ présentent un schéma de fissuration bien différent. De larges fissures horizontales sont présentes au niveau des aciers inférieurs, démontrant l'apparition d'un écaillage engendré par la pression de gonflement. Cette dernière est générée par la production d'oxyde à l'interface entre l'acier et le béton lors de la phase de corrosion au sein même de la poutre en béton. Ce gonflement a aussi pour effet de fortement dégrader les caractéristiques mécaniques de l'interface entre l'acier et le béton. Ainsi, lors de l'application du chargement de flexion, il en résulte un espacement des fissures verticales plus important que dans les cas précédents, du fait du glissement immédiat à l'interface entre matériaux.

O 5 10 15 20 25 Deflection (mm)

- -e- Beam A l

-+ Beam A2 U Ueax ki 1

*Hean~ R2

-@-Beam B3

-4- Beam B4

+ Beam C l

+ Beam C i

Figure 2.7: Courbes de réponse expérimentales des diflérentes poutres corrodées testées. Observation des modes de rupture par la fissuration du béton.

La figure 2.7 montre la répétabilité des essais assurée par un contrôle du niveau de corrosion appliqué par la loi de Faraday (Ouglova 2004).

2.2.2 Comparaisons essais 1 calculs Cette section présente des comparaisons entre les résultats expérimentaux précédemment évoqués et des analyses numériques menées avec le modèle présenté dans les paragraphes


précédents. Deux types d'analyses utilisant le modèle d'acier corrodé sont présentés. Dans un premier temps, des analyses tridimensionnelles permettant de simuler la croissance de rouille sont menés sur les poutres de type C. Dans un second temps, dans un souci de pragmatisme, toutes les poutres seront simulées en utilisant le cadre de la théorie des poutres multifibres.

2.2.2.1 Analyses tridimensionnelles Du fait de la lourdeur des calculs, seules les poutres de type C sont analysées dans cette section. Les calculs seront menés en deux étapes. Dans un premier la croissance de rouille est simulée sans chargement mécanique extérieur, permettant de préfissurer le béton. Puis le chargement de flexion quatre points est appliqué à la structure pré-endommagée.

Le modèle isotrope de Mazars est utilisé pour simuler le comportement du béton. L'acier est modélisé de manière tridimensionnelle, utilisant la loi de comportement 3D précédemment implantée. La croissance de rouille est introduite par l'intermédiaire d'un élément de joint (Nguyen et al 2006). Les pressions de rouille sont simulées par l'intermédiaire d'un calcul thermique équivalent oh l'incrément de température AT est relié à l'accroissement du diamètre de rouille par A T =Aa . a est le coefficient de dilatation thermique. L'augmentation du rayon de produit de corrosion est obtenue par âa = hr.(~oqdelFe - 1) , oh voqdel, est le coefficient d'expansion de la rouille égal à 4 et âx, la réduction du

diamètre de la barre obtenue par la loi de Faraday :

M F ~ est la masse atomique du Fer, est la densité du fer Fe, n la valence (n =2 ou 3)' et F est la constante de Faraday, I,, la densité de courant de corrosion. Cette procédure de simulation de la croissance de rouille a pu être validée sur des essais de plaques en béton armé (Nguyen et al. 2006).

La figure 2.8 montre le processus de fissuration simulé lors de la croissance de rouille avant l'application de toute charge extérieure.

Figure 2.8: Modélisation de ZaJissuration du béton lors de la croissance de rouille : carte d'endommagement.

L'apparition d'une écaille parallèle à l'armature inférieure, comme observée lors des essais, est présente dans la simulation. Suite à ce premier calcul, le chargement mécanique peut être mené jusqu'à rupture. Les analyses numériques sont menées en 3D local, 3D nonlocal et multifibre. La figure 2.9 montre la carte de fissuration à rupture obtenue ainsi que les comparaisons essais/calculs. Les résultats nonlocaux, du fait de la fmesse du maillage nécessaire à modéliser la croissance de la rouille proche de l'armature, n'ont pu être menés à terme.


-t Poutre C2 - calcul mullmre 4- Poure C2 - caiwl3D nonlocal + Pouire avec la redllction de la m o n - &ui 3D locai

O

Figure 2.9: Comparaisons de dzflérentes analyses 3 0 et multiJibres lors du chargement mécanique de Flexion. Cartes d'endommagement enfin de calcul.

Les calculs nonlocaux permettent de simuler correctement les différents phases du comportement : une fissuration longitudinale lors de la phase de croissance de rouille affectant la raideur de la structure puis une fissuration verticale due au chargement de flexion. Des calculs menés sur cette poutre avec une analyse multifibre sont aussi présentés. Incapable de simuler la croissance de rouille in situ, ils ne peuvent prendre en compte que de manière très globale la présence de corrosion sur l'acier. Néanmoins, même si les faciès de rupture ne peuvent être simulés, du fait même de la cinématique poutre employée, il s'avère que le comportement global de la structure est bien retrouvé. Les temps de calculs entre les deux types d'analyse sont incomparables, passant de quelques minutes en multifibres à plusieurs jours en 3D. Dans la suite des simulations permettant de valider le modèle de comportement de l'acier corrodé, seules les analyses par éléments de poutres multifibres sont présentées.

2.2.2.2 Analyses multifibres La figure suivante présente une comparaison entre les essais et un calcul simplifié éléments finis de type multifibres, dans un diagramme force-flèche au centre. Le béton est modélisé par l'intermédiaire d'un modèle d'endommagement isotrope prenant en compte la dissymétrie du comportement entre la traction et la compression (Laborderie 1991). L' analyse de ces différentes courbes montre la pertinence de l'approche couplant une loi de l'acier corrodé au niveau local et une approche pragmatique du calcul de structure au niveau global. Le comportement d'éléments de structure, ayant subi divers types et niveaux de corrosion, est correctement modélisé ici. La loi de comportement précédemment développée prouve son efficacité. Alliée à l'approche multifibres de la discrétisation de la structure, cet outil simule de manière pertinente le comportement global d'une structure.

Dans un but d'inter-comparaisons, le chapitre suivant expose les résultats obtenus à l'aide de cette modélisation lors de la participation à un benchmark international : la simulation de 10 poutres en béton armé et précontrainte ayant supporté 40 ans de corrosion dans un environnement salin.


60 4- Poutre Al essai (refl) - -0- Poutre A l calcul (refl)

$. 50 d- Poutre BI1 essai (Tc= 11.6%)

8 t- Poutre BI I calcul (Tc = 1 1.6%) ô 40 IL +i - Poutre 822 essai (Tc = 28.4%)

30 + Poutre 822 calcul (Tc =28.4%)

13- Poutre C2 essai (Tc = 18.3%)

20 I + Poutre C2 calcul (Tc = 18.3%)

10

O O 5 10 15 20 25 30 35 40

Flbche (mm)

Figure 2.10: Essais de flexion 4 points : comparaisons essais-calculs

2.3 Benchmark des poutres de la rance

2.3.1 Description des essais Dix poutres en béton armé et précontraint ont fait l'objet d'un benchmark ayant pour objectif de tester leur résistance mécanique résiduelle après 40 années d'exposition en milieu salin agressif: l'estuaire de la Rance, zone à très fort marnage (Petre-Lazar et al. 2006). Les différentes poutres ainsi que leurs caractéristiques sont décrites dans le tableau 2.1. Les câbles de précontrainte de diamètre 47 sont centrés ou excentrés, des aciers passifs de diamètre 46 sont également présents. Différentes compositions de béton ont été utilisées. Des essais sur éprouvettes après carottage ont permis d'identifier les lois de comportement nécessaires.

Section Nombre de Force de Poutre transversale cables de précontrainte

précontrainte résuduelle

Section Nombre de Force de Poutre transversale cables de précontrainte

précontrainte résuduelle

Tableau 2.1: Poutre de la Rance : description des ferraillages longitudinam

66


La section de béton est carrée, de 20 cm de coté. 3 types de tests ont été exécutés : des essais de flexion 4 points de type béton armé (câbles de précontrainte en position supérieure), des essais de flexion 4 points de type béton précontraint (câbles de précontrainte en position inférieure) et des essais de traction directe.

2.3.2 Identification des matériaux Le modèle à deux variables scalaires d'endommagement (Laborderie 1991) a été utilisé afin de modéliser le comportement du béton. La figure 2.1 1 montre la réponse en traction et en compression du modèle pour les différentes fo&ulations de béton utilisées.

Figure 2.1 1: Identification du modèle d'endomm Rance

:agement du béton pour les poutres de la

Concernant les aciers, les paramètres d'écrouissage isotrope nonlinéaire de la loi de comportement ont été identifiés utilisant les résultats expérimentaux disponibles. La figure 2.12 présente la réponse du modèle identifié pour 3 taux de corrosion différents.

1.4 109 I I I I I

O 0.05 0.1 0.15 O.: O 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0

déformation déformation

Figure 2.12. (a) Loi de comportement de l'acier identiJiée pour les aciers de poutres de la Rance soumises à 3 niveaux de corrosion digérents. (b) Acier de précontrainte.


Concernant les aciers de précontrainte, le même modèle a été utilisé, identifié pour cette nuance d'acier prenant en compte un état vierge de toute corrosion. La réponse du modèle est présentée en figure 2.12.

2.3.3 Discrétisation des structures Seule la zone de la poutre entre nus des appuis a été modélisée, soit une longueur de 2 m. Les poutres ont été discrétisées à l'aide d'éléments poutres de Timoshenko de 10 cm de longueur, soit 20 éléments par poutre. Du fait de la non-symétrie de la répartition de la corrosion le long des poutres, le calcul complet a dû être effectué, ne bénéficiant pas des conditions de symétrie liées au chargement et aux conditions limites. Les sections transversales de béton et d'acier ont été maillées à l'aide d'éléments quadrangulaires : 4 pour chaque barre d'acier et 18 pour le béton (6 x 3). La figure 2.13 montre à titre d'exemple, un maillage sain et un maillage corrodé, de la zone centrale de la poutre 122.

poutre corrodée

- --

poutre saine ,

Figure 2.13 : Maillage transversal de la zone centrale de la poutre 122.

Les conditions limites sont un appui simple et une rotule permettant de générer un état de flexion simple. Les calculs ont été menés en deux étapes. La première étape consiste à appliquer la pré-tension résiduelle au moment de l'essai. Pour ce faire, le torseur équivalent au chargement de précontrainte a été déterminé et appliqué aux extrémités des poutres. Celui- ci est appliqué de manière incrémentale permettant de calculer l'état de déformation, de contrainte et d'endommagement sous ce chargement unique. Les résultats de ce pré-calcul permettent de considérer un état initial avant l'application de la flexion 4 points ou de la traction.

2.3.4 Résultats des simulations

2.3.4.1 Essais de traction directe La figure 2.14 montre les réponses globales effort-déplacement concernant la poutre 122 sous effort normal uniquement. De même, cette figure indique les résultats de l'ensemble des poutres en traction directe ainsi que la comparaison avec les résultats expérimentaux.

Si le comportement global de la structure est bien reproduit (charge maxi et ductilité), la réponse cyclique n'est pas ici correctement retrouvée, tant du point de vue de l'hystérésis que des raideurs en décharge. Du fait du mode d'application des efforts (traction directe),


l'adhérence acier béton joue un rôle fondamental dans ce comportement hystérétique. La cinématique poutre retenue ne permet pas de prendre en compte de manière simple et 'naturelle' une rupture d'interface entre l'acier et le béton, empêchant ainsi la bonne simulation du comportement cyclique.

Poutre 121 122 211 212

Fmpt (kN) calcul 155.6 147 146

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

déplacement (mm)

Figure 2.14 : Essais de traction directe. Comparaisons Essais / Calculs. Comportement global de la poutre 122 sous chargement de traction directe.

2.3.4.2 Essais flexion 4 points - type BA Les essais de flexion 4 points concernent 2 types de poutres. Les résultats des simulations numériques de type Béton Armé sont présentés en figure 2.15. A titre d'exemple, les courbes globales efforts-déplacements de la poutre 6 1 1 sont présentées sur la figure 2.1 5.

Poutre 412 61 1 62 1

Frupt (kN) essai 32.26 30.2 32.47

Fmpt (kN) calcul 38.5 30.6

déplacement (mm)

Figure 2.15: Essais de flexion type BA. Comparaisons Essais / Calculs. Comportement global de la poutre 61 1 sous chargement de Flexion. Essai de type Béton Armé

Les raideurs en décharge ainsi que le comportement hystérétique sont mieux représentés dans une configuration de type béton armé du fait du moindre rôle joué ici par une rupture d'adhérence entre l'acier et le béton.

Partie 2 Renforcement, corrosion, inter$aces

Une étude paramétrique a été réalisée sur cette poutre permettant d'apprécier l'influence du maillage ainsi que de certains paramètres du modèle. Sur la figure suivante, nous présentons les résultats sur la poutre saine pour 4 nombres différents d'éléments dans la longueur : 10, 20, 40 et 50. Nous observons une indépendance des résultats à la taille des éléments finis de poutre. Les effets de la réduction de section sont très nets sur la figure 2.16, de plus, le taux de corrosion a pour effet d'engendrer une fragilisation de la structure.

déplaœment (mm) O 20 40 60 80 100 120

déplaœment (mm)

Figure 2.16: Comportement global de la poutre 61 1. Etude paramétrique : influence de la taille des éléments et des paramètres de corrosion

2.3.4.3 Essais flexion 4 points - type BP Les comparaisons essais calculs sont données dans le tableau 2.2. Deux exemples de comportement global avec et sans corrosion sont présentés sur la figure 2.17 (poutre 91 1 sous chargement monotone et poutre 622 sous chargement cyclique).

Poutre Poutre Poutre 42 1 622 61 1

Frupt essai (kN) 52.78 68.54 121.95

Frupt calcul (W

78.8 78.7 112

Tableau 2.2. Essais de flexion type BP. Comparaisons Essais / Calculs

Les analyses montrent une faible influence de l'état de corrosion sur le comportement global. Dans les configurations béton-précontraint, les câbles demeurés sains sont responsables, avec le béton comprimé, de la majeure partie du comportement nonlinéaire. Il est donc logique que le taux de corrosion des aciers passifs n'ait ici qu'une influence très limitée.

Partie 2 Renforcement, corrosion. interfaces

déplacement (mm) dkplacement (mm)

Figure 2.1 7. Comportement global des poutres 91 1 et 622 sous chargement de Flexion. Essai de type Béton Précontraint

2.4 Synthèse

Une loi de comportement pour aciers corrodés a été développée. Basée sur la mécanique de l'endommagement, elle permet de prendre en compte la présence de piqûre de corrosion sur la perte de ductilité et de capacité portante des aciers. L'implantation numérique a été réalisée en 3D ainsi que dans des éléments de poutres multifibres. Afin de valider la loi, une campagne expérimentale sur poutres en béton armé a été entreprise. Ayant subi diverses agressions par la corrosion, la capacité mécanique résiduelle des poutres a été estimée par le biais d'essais en flexion 4 points. Des comparaisons avec des calculs numériques ont permis de valider la loi. Enfin, la participation à un benchmark portant sur dix poutres précontraintes a permis de valider la démarche de calcul prédictif de réévaluation de structures corrodées en béton.

Dans la description qualitative et quantitative de la fissuration des structures en béton, le point capital de la liaison entre l'acier et le béton n'a pas été abordé. En effet, cette dernière, susceptible de se dégrader sous des actions combinées mécanique-chimique (corrosion), est responsable de l'espacement entre les fissures ainsi que de leur ouverture. Ce point est traité de manière expérimentale et numérique dans la suite de ce chapitre. Enfin, ce travail a été mené en parallèle du développement des modèles d'endommagement du premier chapitre. Le choix d'utiliser des modèles d'endommagement existants (Mazars, Laborderie) a été dicté par le souci d'efficacité. Des études similaires avec le modèle d'endommagement anisotrope sont à mener.

Partie 2 Renforcement, corrosion, intelSuces

3 Interface acier-béton

3.1 Introduction

Considérant les modes de rupture probables d'une structure en béton armé, la perte d'adhérence constitue le mécanisme le moins bien modélisé et identifié. Dans la description de la dégradation et de la rupture des zones d'interface, différents types de modèles peuvent être introduits dans l'analyse : l'approche volumique 2 ou 3 D, les éléments de contact, de joints ou d'interfaces (Tvergaard 1990, Allix et al. 1996, Cox & Hermann 1998). Du besoin de coupler les effets mécaniques et chimiques de perte d'adhérence par oxydation des aciers par exemple, la modélisation des matériaux d'interface réclame de plus en plus de raffinement. L'identification des modèles d'interface, souvent réalisée sur des essais 'structures' de type pull-out (arrachement de barres), ne peut s'effectuer que par analyse inverse. Ainsi, les différents effets des contraintes de cisaillement, des contraintes latérales de serrage (non maîtrisées) et des effets chimiques de corrosion ne peuvent être aisément discriminés. Il existe dans la littérature de nombreux essais permettant d'appréhender le comportement de l'interface sous chargement mécaniques etlou chimiques (Eligehausen et al. 1983, Bamonte et al. 2002). Dans cet optique, un nouveau dispositif d'identification directe de ruptures d'interface a été développé (Ouglova 2004). Cet essai, par des conditions limites adéquates permet un contrôle du rapport entre contrainte de cisaillement et contrainte normale à la surface de rupture. Sa géométrie particulière permet aussi des mesures de champs par corrélation d'images numériques. Certaines informations nécessaires à la modélisation telle que l'épaisseur de la couche d'interface dégradée peuvent ainsi être directement mesurées selon le type d'interface et de rugosité.

Des essais permettant de mettre en évidence les effets découplés de la rugosité, des contraintes latérales, et de la dégradation chimique sont présentés dans la suite. Un modèle mécanique d'interface couplant pour partie ces différents mécanismes sources de rupture a ainsi pu être identifié et validé à l'échelle locale de l'éprouvette (Ragueneau et al. 2006).

3.2 Essais d'interface acier béton pour chargement multiphysique

3.2.1 Dispositif expérimental Les classiques essais d'adhérence acier béton ne permettent pas une identification directe des propriétés mécaniques de l'interface du fait même du caractère structurel de ces essais, comme les essais pull-out, tirant, ou par flexion 3 points (Eligehausen et al. 1983, Malvar 1992, Bamonte et al. 2002). Des analyses numériques de ces essais montrent une forte inhomogénéité des contraintes le long de l'interface. De plus, des mesures physiques sont rendues impossibles de par la présence du béton de couverture entourant la zone d'étude. La volonté d'accéder directement à des quantités cinématiques entre les matériaux en présence rend impossible la configuration de type axisyrnétrique. D'autre part, du fait de conditions limites inadaptées et mal maîtrisées, un confinement latéral inhomogène apparaît le long de l'interface engendrant un état de contrainte lui-même inhomogène et supportant une étreinte latérale parasite empêchant toute mesure objective de la résistance au cisaillement de ces zones d'interface.

Partant de ces considérations, un nouvel essai d'adhérence acier-béton a été imaginé, permettant par une géométrie plane de procéder à des mesures de champs de type


déplacement et déformation le long de l'interface et par des conditions limites et de chargement adaptés (triple rotule) de prévenir toute occurrence de contrainte latérale parasite. Un dispositif de chargement orthogonal permet de plus de les imposer. La figure 2.18 montre la géométrie de l'éprouvette, Trois barres en acier sont fixées en rotation libre à la machine de traction. 2 barres assurent le maintien général de l'éprouvette et la troisième est celle sur laquelle le test d'adhérence est effectivement réalisé. La géométrie de l'éprouvette permet un positionnement aisé d'une caméra CCD permettant la prise d'images numériques, utilisées ultérieurement lors d'analyses par intercorrélation.

A - A -

Figure 2.1 8. Eprouvette en contrainte plane d'essais d'adhérence acier-béton

3.2.2 Modes de chargement

3.2.2.1 Chargements mécaniques Afin de vérifier, dans un cas d'essais d'adhérence simple, le gain apporté par ce nouveau dispositif de chargement et de conditions limites, un calcul a été mené sur un essai de pull-out classique (configuration axisymétrique) et sur le nouvel essai LMT. Les maillages utilisés sont présentés en figure 2.19. Le modèle de Mazars est utilisé pour le béton, l'adhérence est considérée parfaite et les aciers restent dans le domaine élastique.

Elément de béton Elément en acier - noeuds libres

Figure 2.19. Maillage des difiérentes éprouvettes


La figure 2.20 présente une comparaison des résultats en terme de contrainte moyenne sur l'interface fonction du déplacement de l'extrémité de la barre. Des cartes d'endommagement au pic et au maximum de déplacement sont également tracées.

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

déplacement/déplacement maxi

Figure 2.20. Comparaison des deux types d'essai d'inteqace

Une nette différence de comportement est observée. En effet, la valeur de la contrainte au pic entre les deux essais est foncièrement différente. La présence de contrainte latérale parasite dans l'essai classique pull-out accroît de manière importante et artificielle la résistance au cisaillement. Pour s'en convaincre, il nous suffit de tracer en figure 2.21 la valeur de la contrainte latérale de serrage calculée tout le long de l'interface dans les deux types d'essai. La géométrie plane associée à des conditions de type rotule permet d'éliminer toute étreinte parasite et nous laisse espérer un essai d'identification de cisaillement pure ou sous étreinte contrôlée. Concernant ce dernier point, il est important de pouvoir générer des contraintes de serrage permettant d'identifier l'accroissement de résistance sous des efforts combinés de cisaillement et d'étreintes latérales. Ce dispositif expérimental a récemment été amélioré (Bich Hop 2005) afin de permettre un serrage contrôlé de la zone d'intérêt. Comme présenté en figure 2.22, deux plaques d'acier ont été positionnées le long de l'éprouvette et reliées par l'intermédiaire de quatre tiges métalliques. Des jauges de déformations sur chaque tige assurent un serrage homogène entre les plaques. La déformation des tiges permet de contrôler le niveau de contrainte appliqué sur les deux faces opposées de l'éprouvette. Des calculs éléments finis ont permis de vérifier la bonne transmission des efforts à travers le béton et l'homogénéité de l'état de contrainte le long de l'interface d'étude.


--.--....-

essai LMT

abscisse (m)

Figure 2.21. Contraintes latérales le long de la barre

Figure 2.22. Modijkation du montage pemzettant d'introduire une contrainte latérale contrôlée

3.2.2.2 Corrosion de l'interface Les désordres générés par la croissance de rouille sur la liaison acier-béton se manifestent des années après le coulage. Afin de mesurer les effets de cette dernière, il est nécessaire de procéder à des essais par corrosion accélérée. Il existe plusieurs méthodes permettant cela (brouillard salin (Li 2001)' accélération de la pénétration des chlorures (Beddiar 2003), cycles d'immersion-séchage (Castel 2000)). La méthode utilisant les champs électriques permet une accélération plus importante du processus, en dégradant néanmoins la qualité des produits de corrosion formée.

Une intensité de courant électrique est imposée entre l'armature à corroder (anode (+)) et une contre électrode (cathode (-)). On accélére ainsi la réaction anodique et, par conséquent, la dissociation du matériau constituant l'armature (corrosion). Cette méthode est rapide mais les produits de corrosion formés sont souvent différents de ceux rencontrés dans la nature (Cabrera 1996, Mangat & Elgarf 1999).

Cependant, cette méthode permet d'exprimer la vitesse de corrosion comme une perte d'épaisseur d'acier (loi de Faraday). Le courant lm, correspond à la réaction chimique :


Fe => ~e" ' + ne- (2.18)

La masse de matière perdue est :

où M est la masse moléculaire d'oxyde, Zco, est le courant électrique, F = 96500 mol-' la constante de Faraday, n est le nombre d'électrons, t est le temps. Si l'on considère que la réduction de la section est négligeable par rapport à l'épaisseur, la perte d'épaisseur emrr (pm) est obtenue en considérant la densité de fer p =7,8 g/cm3.

D'autres méthodes telles que la mesure de la perte de masse peuvent être utilisées afin de déterminer le taux de corrosion. Ouglova (2004) a montré que ces deux méthodes donnaient des résultats identiques.

3.2.3 Résultats expérimentaux Des premiers résultats selon toutes les configurations ont été obtenus. Les effets de la rugosité de l'interface, de la présence ou non de corrosion et d'une étreinte latérale sont examinés successivement dans la suite.

3.2.3.1 Influence de la rugosité Différentes rugosités entre l'acier et le béton ont pu être testées : lisses, corrodées et nervurées. La figure 2.23 montre les réponses en terme d'effort-déplacement.

25

Trois rugosités différentes 20

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Déplacement (mm)

Figure 2.23. Effort-déplacement en tête pour trois rugosités différentes

Une caméra numérique (1000 x 1000 pixels) a été utilisée pour pratiquer des mesures de champs dans la zone d'intérêt de l'interface. Les images ont été analysées à l'aide du logiciel C O R R E L I ~ ~ ~ (Hild 2002), basé sur une approche multi-échelle des zones d'études, il permet de déterminer les déplacement et champs de déformations le long de l'interface. Pour les deux types extrêmes de rugosité, les figures 2.24 et 2.25 montrent un champ de déformation

Partie 2 Renforcement, corrosion, intefaces

interpolé dans la direction (X) et (Y). Par analyse d'images, des discontinuités de déplacement sont apparues aux interfaces avant le pic dans le diagramme effort-déplacement. Dans l'optique de l'identification d'une loi de comportement d'interface, il est important de pouvoir faire la distinction entre comportement global de l'éprouvette et comportement localisé en différents points de l'interface. Un tel essai avec mesure de champs possible nous permet cela.

Déformation axiale normale pour F m d 2 Déformation axiale normale pour Fmax

Figure 2.24. Déformations par corrélation d'images numériques le long de l'inteface : inteface lisse

Déformation axiale normale pour Fmax Déformation latérale normale pour Fmax

Figure 2.25. Déformations par corrélation d'images numériques le long de l'integace : inter$ace newurée

Il apparaît de l'analyse par corrélation d'images numériques une zone de béton affectée par la rupture d'adhérence dépendant de la rugosité de l'interface. Cette longueur dénotée h dans la suite est approximativement égale à h = 3 mm pour le cas des barres nervurées. Des analyses numériques basées sur une approche éléments finis (voir partie 1 de ce document) et éléments discrets de l'interface ont conduit à cette même valeur de zone affectée dans le cas de nervures (Ragueneau et al. 2005).

3.2.3.2 Influence de la corrosion De même, les influences sur la résistance à l'arrachement d'une compsion accélérée in-situ ont pu être mesurées pour cet essai. La figure suivante présente les résultats expérimentaux obtenus sur cette éprouvette concernant ces deux modes de dégradation de l'interface. Différents taux de corrosion ont été appliqués permettant de tester leur capacité mécanique résiduelle (0% ; 0.2%' 0.36%, 0.4% et 0.76%). La figure 2.26 présente les différents résultats expérimentaux afférents.


Figure 2.26. Influence de la corrosion sur la résistance au cisaillement

On constate, pour les très faibles valeurs de corrosion, une augmentation sensible de la résistance au cisaillement. Ce phénomène, déjà observé dans d'autres études (Marshall 1995, Cabrera 1996), peut être attribué à l'augmentation de la pression d'interface de par la production d'oxydes ainsi qu'au remplissage de la porosité du matériau d'interface, améliorant de fait ses caractéristiques mécaniques intrinsèques.

3.2.3.3 Influence d'une étreinte latérale Des barres lisses ont été testées, soumises à différents niveaux de contrainte latérale (O MPa, 1 MPa, 2.5 MPa et 5 MPa) utilisant le dispositif de serrage présenté précédemment. La figure 2.27 présente les résultats obtenus en cisaillement simple pour ces différentes configurations.

O 10 20 30 40 50 60

déplacement (1 (T6 m) confinement latéral (MPa)

Figure 2.27. Influence d'un effort latéral sur le comportement en:cisaillement de l'interface. Identification de la 'droite de Coulomb'


Afin de tester les capacités d'identification objective du comportement mécanique de l'interface. Ces derniers essais ont été simulés, utilisant le modèle mécanique le plus simple représentant le comportement d'une interface : un élément joint à 2 nœuds utilisant un critère de Mohr-Coulomb reliant la contrainte ultime de cisaillement z a la contrainte normale de serrage ON : z = tgp x ahr + C . L'analyse des graphiques précédents nous permet d'identifier : C = 1.35 MPa et yi = 12O.

Une analyse de sensibilité portant sur les caractéristiques de l'élément joint a été effectuée (Bich-Hop 2005) afin de déterminer les raideurs normales Kn et de cisaillement Ks de l'élément. Les résultats présentés en figure 2.28 ont été obtenus en utilisant les valeurs Kn = 2.8 10'' N/m et Ks = 1.10" N/m.

Figure 2.28. Comparaison Essais calcul utilisant un modèle de joint à 2 nœuds et le critère de Mohr- Coulomb.

Cette identification a été validée en réalisant des essais de pull-out classiques sur les mêmes barres d'acier (rectangulaires) et le même béton. Les conditions limites ainsi que le mode de chargement engendre un état de contrainte normale inhomogène le long de l'interface. La figure 2.29 montre la réponse du modèle en terme d'effort-déplacement.

Figure 2.29. Validation sur un essais Pull-out classique de l'identijication d'un modèle simple de type Mohr-Coulomb. ?4 de l'essai modélisé. Comparaisons essais-calculs


3.2.4 Synthèse des résultats expérimentaux Dans cette partie a été développé un nouvel essai d'interfaces permettant de réaliser des essais mécaniques objectifs (en termes de contrôle de conditions limites et d'efforts appliqués). Celui-ci permet de contrôler le niveau de contrainte latérale, et donc d'envisager des identifications 'matériaux' des mécanismes d'interface et non par l'intermédiaire d'analyses inverses classiquement effectuées lors d'études plus 'structures'. De plus, utilisant le même dispositif expérimental, des chargements multiphysiques peuvent être générés (corrosion+mécanique), base indispensable à toute future modélisation du comportement d'une interface sous des chargements aussi divers que complexes. Enfin, la géométrie plane autorise la prise d'images numériques directes lors de l'essai, permettant l'observation des cinétiques de dégradation et de rupture à l'interface. Ce dernier élément, jusqu'à présent original concernant les interfaces acier-béton, permet de mieux discriminer les différentes sources de nonlinéarités et facilite les développements de modèles couplés d'interfaces.

Partie 2 Renforcement, corrosion, interSuces

3.3 Modèle d'interfaces acier béton

3.3.1 Introduction La nécessité de prédire la fissuration d'une structure à risque en béton conduit à se poser la question de la prise en compte de la ruPtGe de la liaison acier-béton : élément prédominant conditionnant l'espacement ainsi que l'ouverture des fissures (Favre et al. 1990). Développé en collaboration avec EDF-AMA, ce travail a pour but la mise en place d'un modèle thermodynamique, associé à un élément joint, permettant de décrire les phénomènes de rupture mécanique entre l'acier et le béton. Basé sur les éléments finis, le modèle doit être utilisable pour des analyses de structures à grande échelle, numériquement robuste et être écrit dans un cadre suffisamment large pour envisager des développements ultérieures prenant notamment en compte les phénomènes de corrosion couplés à la mécanique. Dans un premier temps, la loi de comportement employéè-est décrite dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles puis le cadre éléments finis adopté est explicité. Enfin, des exemples sur éléments de structure mettent en évidence les avantages d'une telle formulation mais aussi les avancées nécessaires à l'amélioration de la description.

Différentes formulations ont été développées afin de représenter les phénomènes de rupture à l'interface acier-béton, en petite ou grande déformation. Par exemple, une approche 3D complète, considérant l'interface comme un matériau avec son propre volume peut être envisagée (Tikhomirov & Stein 1999, Mosler & Meschke 2003). cette approche s e t de développer des modèles robustes mais semble inappropriée si des analyses de structures de grandes tailles sont envisagées. Les temps de calcul, et celui lié au maillage par l'utilisateur rendent tout à fait rédhibitoire ce genre d'analyses. Afin de diminuer les temps de calculs proprement dit, une réduction 1D des éléments d'interface est souvent pratiquée par l'emploi d'éléments de contact (Maker & Laursen 1994) basés sur la méthode de pénalité ou du lagrangien augmenté, ou d'éléments d'interface ayant une épaisseur normale nulle (Alfano & Crisfield 2001, Coutinho et ~1.2003, Oliveira & Lourenço 2004). Généralement exprimée en terme de saut de déplacement (Désir et al. 1999, Foulk et al. 2000, Tvergaard 1990), les lois de comportement développées à ce niveau sont basées sur des considérations thermodynamiques (Romdhane & Ulm 2002)' couplant adhésion et frottement (Raous et al. 1999)' adoptant la plasticité (Cox & Hermann 1998, Lundgren and Gylltoft 2000) ou encore la mécanique de l'endommagement (Chaboche et al. 1997).

Dans ce travail (Dominguez 2005, Ragueneau et al. 2006)' nous nous attacherons à développer un cadre thermodynamique permettant de décrire les différents mécanismes de rupture à l'interface acier-béton ainsi que son implantation numérique dans un éléments finis de type joint robuste, introduisant une relation entre contrainte et déformation et non en sauts de déplacement. La loi de comportement est basée sur la mécanique de l'endommagement couplée à la plasticité pour les matériaux fiagiles (Ragueneau et al. 2000, Ragueneau et al. 2006). Elle permet de prendre en compte des mécanismes fins tel que le glissement avec ffottement qui devient prépondérant en cas de chargements cycliques ou dynamiques. L'interface n'étant pas introduite par le biais d'éléments volumiques propres, le maillage reste simple. Afin d'éviter les classiques soucis d'instabilité des efforts d'interface lorsque des éléments de contact sont utilisés, la contribution nodale de l'élément joint est calculée par intégration locale des contraintes au niveau des points de Gauss de l'élément.

Partie 2 Renforcement, corrosion, inte$aces

3.3.2 Loi de comportement de l'élément d'interface

3.3.2.1 Formulation thermodynamique

3.3.2.1.1 Contraintes et déformations En considérant un système de coordonnées locales (normal et tangentiel) pour une interface entre deux éléments, la représentation des tenseurs a et E se réduit, dans l'hypothèse d'un état plan de déformation, à la forme suivante :

Par simplification, en observant la cinématique d'une interface quand le rapport entre épaisseur sur longueur ( h l 1 ) tend asymptotiquement vers O, les dérivées d'une quantité dans la direction tangentielle deviennent négligeable au regard des mêmes dérivées calculées dans

h a. a. la direction normale, soit : pour - << 1 alors - << - ). Pour un mode de rupture en quasi z at an mode II, E,, N O . Vis-à-vis de la rupture acier-béton, se produisant principalement en mode II

et dans l'hypothèse des petites déformations, la composante du tenseur des contraintes E,, est supposée nulle dans la suite des développements. En conséquence, le comportement de l'interface sera inopérant si aucun mouvement relatif des 2 surfaces en contact est observé. Dans la suite, nous simplifierons les écritures en posant O,, = a ~ pour la composante

normale des contraintes et a,, = a, pour la contrainte de cisaillement dans l'élément joint.

Les déformations correspondantes sont EN = E,, et E, = E,, .

3.3.2.1.2 Potentiel thermodynamique et lois d'état Au regard de la cinématique d'endommagement sur l'interface induisant une fissure parallèle à la direction du renforcement, et par soucis de simplicité, seule une variable scalaire d'endommagement est introduite dans l'interface. En effet, même une sollicitation directe en mode 1 d'ouverture générera la même direction de fissuration. En considérant le couplage entre endommagement et déformation irréversible engendré par le glissement avec frottement (Ragueneau et al. 2006), le potentiel thermodynamique est posé comme suit :

1 p~ = - (1 - ~) [2 ,m : s + RTr2 [SI]+ D ~ , D ( E - ss ): (s - s s ) + nTr2 [s - ss ]+ ya : a + H ( z )

2 2

y est l'énergie libre de Helmhotz, p la densité, R et ,D les coefficients de Lamé, y le module d'écrouissage pour le glissement. Les variables d'état sont le tenseur de déformation

de glissement interne sS , la variable d'endommagement D reliée à la fissuration (allant de O à l), la variable interne définissant l'énergie bloquée par I'écrouissage cinématique a et la variable de consolidation pour l'endommagement z . H(z) est la fonction de consolidation. Par analogie à la partie 1, Le couplage entre fissuration et frottement est obtenu par la variable D, agissant comme un terme multiplicatif dans la partie du glissement avec frottement de l'énergie libre. Cette forme de potentiel correspond à la famille de lois pour lesquelles

Partie 2 Renforcement, corrosion, interjiuces

g(~) = D (Equation 1.9 de la partie 1). Les lois d'état sont obtenues en dérivant ce potentiel par rapport aux variables d'état. Concernant les contraintes :

as est le tenseur des contraintes de glissement. Les déformations de glissement n'étant pas assimilées aux déformations plastiques (ou irréversibles), les forces thermodynamiques associées à ces deux quantités cinématiques sont donc obligatoirement différentes. Pour un élément d'interface, seuls les comportements normaux et tangentiels sont attendus, les lois d'état se simplifient ainsi en :

- contraintes normales

- contraintes tangentes

De plus, a; est la partie tangentielle des contraintes de frottement associée à la quantité E,S :

Le taux de restitution d'énergie est obtenu par :

Yd est associé aux phénomènes d'endommagement et Ys à ceux de glissement. Pour une

interface, Yd peut être décomposé en deux contributions: pour la composante normale, YdN

et pour la tangentielle Yd , :

Pour l'écrouissage cinématique,

La variable interne associée à la consolidation de l'endommagement est définie, compte tenu de résultats expérimentaux (Laborderie 199 1) :


A, est un paramètre définissant la fragilité de la loi d'évolution de l'endommagement.

3.3.2.1.3 Fonctions seuil et de lois d'évolution S'il s'avère nécessaire de décrire une rupture en mode mixte le long de l'interface (décohésion normale et glissement tangentiel), un critère simple issu des études concernant le délaminage des composites stratifiés peut être utilisé (Allix et al. 1996). En séparant les

déformations normales en ouverture et fermeture E$ = E N > O et EN = E N < O , la composante normale du taux de restitution d'énergie peut s'écrire comme :

Le critère seuil à l'initiation de l'endommagement peut prendre l'expression suivante :

Y. est le seuil d'endommagement relié au cisaillement limite par : Y. = E;~,U.Y;. a est un paramètre matériau introduisant la différence en énergie de rupture (au sens de la mécanique linéaire de la rupture (Bazant et al. 1994)) pour une sollicitation en mode 1 ou en mode II. Pour le béton, a est estimé à 6. Concernant le béton armé, en général, le mode II le long de l'interface est prépondérant, la fonction seuil d'endommagement s'exprime simplement par :

Dans le cadre des théories associées, les lois de normalité nous permettent d'obtenir les lois d'évolution des variables internes liées à l'endommagement introduisant un multiplicateur d'endommagement Ad :

La loi d'évolution peut être pré-intégrée directement en utilisant la condition de consistance :

L'influence de la contrainte normale latérale sur la réponse en cisaillement est naturellement introduite dans la partie glissement de la formulation. Le glissement est associé à une plasticité avec écrouissage cinématique nonlinéaire qui requière la définition d'un potentiel de dissipation différent de la sudace seuil (Armstrong & Frederick 1966). Le critère d'élasticité, équivalent à celui de Drucker-Prager, s'exprime comme suit :


J 2 ( c s - X ) est la contrainte équivalente de von Mises, X est la contrainte de rappel, c un paramètre matériau et I I le premier invariant du tenseur des contraintes.

Le potentiel de dissipation, permettant traiter de l'écrouissage cinématique nonlinéaire, est classiquement écrit de la manière suivante :

A est un paramètre matériau. Les lois d'évolution des variables internes s'obtiennent par dérivation :

As, le multiplicateur de glissement est calculé numériquement à partir des conditions de consistance. Certains détails concernant cette étape sont donnés dans le paragraphe suivant.

3.3.2.1.4 Implantation numérique De même que pour la loi de corrosion des aciers, nous devons intégrer une loi de comportement de plasticité et d'endommagement couplée. Toutefois, le caractère fragile de la liaison implique une formulation plus proche de celle des bétons. Ainsi, le schéma numérique correspondant devra intégrer cette particularité. L'endommagement, source des nonlinéarités engendrera le frottement. Il sera donc intégré en premier de manière exacte. Ensuite, à endommagement fixé, le multiplicateur de glissement pourra être calculé de manière implicite utilisant un algorithme de type return-mapping. Après linéarisation de la fonction seuil et discrétisation des équations de relaxation ; la multiplicateur plastique prend la forme suivante à chaque itération interne i :

E est le tenseur d'élasticité initial. Afin d'assurer la robustesse des calculs numériques pour des applications sur structures de grande taille, il peut être intéressant de déterminer le module tangent, H , de notre modèle. En posant c+ = H : E , après quelques calculs, on peut extraire :

3.3.2.1.5 Réponses locales du modèle


Les paramètres ont été identifiés (Dominguez et al. 2003) en utilisant les essais classiques de Eligehausen (1983) et sont donnés dans le tableau 2.3.

Mécanisme Paramètre Value Elasticité module d'Young. E 36 000 MPa

Coef. Poisson v 0.2 Endommagement fragilité 1 .O 1 0-03 MP~- '

limite Er 2.5 10-O4 Glissement lpi cinématique Y 1 .O 1 0 ' ~ p a

Ecrouissage nonlinéaire a 1.5 10-O M P ~ ' Pression latérale c 1.7

Tableau 2.3. Valeurs des paramètres de la loi de comportement.

La figure 2.30 montre deux exemples de réponse du modèle pour des chargements cycliques et en présence de contraintes latérales de serrage. On observe un accroissement des déformations irréversibles ainsi qu'une dissipation hystérétique (largeur des boucles d'hystérésis) concomitantes à l'augmentation de l'endommagement. Les effets d'une contrainte normale sur l'interface sont clairement représentés par une augmentation de la contrainte au pic.

-1 lu3 -5 iod 0 io0 5 lod 1 IC

déformation tangente O ioo 2 lod 4 10' 6 lod 8 104 1 1v3 1.2 1v3

déformation tangente

Figure 2.30. Réponses locales sous chargement cyclique et avec effort normal de confinement

3.3.3 Formulation d'un élément d'interface La dégradation en cisaillement de la liaison acier béton doit pouvoir prendre en compte les trois principales phases du comportement : initialement une connection rigide entre les matériaux suivie d'une dégradation progressive des caractéristiques mécaniques d'adhérence et enfin, un glissement principalement guidé par le frottement. Un élément optimal pour la liaison devrait évoluer depuis une formulation rigide (par muliplicateur de Lagrange) jusqu'à une formulation de type contact avec frottement (Maker & Laursen 1994). De part la difficulté d'implémentation d'un tel élément dans un code élément finis classique, et le manque de robustesse engendré par ces deux comportements extrêmes, une formulation de

Partie 2 Renforcement, corrosion, inte flaces

type élément d'interface à épaisseur nulle a été retenue. Afin de permettre une implémentation rapide dans tout code éléments finis et assurer un maillage simple des structures, l'élément d'interface développé ci-dessous est basé sur la dégénérescence d'un élément quadrilatère à quatre nœuds. Afin de conserver les hypothèses thermodynamiques de la loi de comportement développée au chapitre précédent, il est nécessaire de définir, pour un élément d'épaisseur nulle, la notion de déformation en lieu et place de celle de saut de déplacement. Pour cela, un paramètre géométrique, h,,,, est introduit dans la formulation. Dépendant du type de rugosité entre les deux surfaces, cette longueur représente l'épaisseur de matériau dégradé par la rupture de l'interface. Son identification peut être réalisée par des essais d'adhérence avec mesure de champs comme montrée précédemment.

3.3.3.1 Epaisseur de matériau dégradée : h,, Afin d'éviter les classiques inconvénients d'instabilité liés à l'utilisation de forces de contact, la pénalisation du problème est résolue selon le principe d'interpénétration des surfaces (Ibrahirnbegovic & Wilson 1994). La zone de contact autorisée représente la proportion de matériaux susceptibles de s'écraser lors du contact. Ce paramètre géométrique est directement introduit dans les propriétés cinématiques de l'élément, définies à l'initialisation de l'analyse. Dans un cas simple, les déformations normales et tangentes sont simplement calculées (figure 2.3 1) à partir des sauts de déplacements aux frontières de l'élément.

Figure 2.31. Définition des déformations

Des premiers calculs simulant les essais réalisés par Ouglova (2004) ont permis d'obtenir des valeurs pour hpen comprises entre 1.5 mm pour les barres lisses et 4 mm pour les barres nervurées (Dominguez 2005).

3.3.3.2 Fonctions de forme Le paramètre hpen joue un rôle dans le calcul des dérivées des fonctions de forme, nécessaires à la construction de la matrice de raideur locale de l'élément. Ces dérivées utilisant les coordonnées nodales de l'élément, il apparaît immédiatement un souci et une indétermination dans le calcul du Jacobien de l'élément : des nœuds différents ont les mêmes coordonnées. L'introduction du paramètre hpen dans l'expression d'une partie des fonctions de forme nous permettra de manière aisée de remédier à ce problème.

Pour un élément à 4 nœuds, les fonctions de forme bilinéaire (Hughes 1987) s'expriment par :

a = 1,2,3,4 sont les noeuds de l'élément ; c,q sont les coordonnées naturelles et ta, 77, les valeurs des coordonnées naturelles. Le déterminant du Jacobien est obtenu par :


x,{ , y,,l , x,, , y,< , sont les dérivées des coordonnées nodales calculées par rapport aux coordonnées nodales de l'élément de référence. Dans la direction Y, normale à l'élément, nous introduisons h,,, dans le calcul des fonctions de forme :

Nous pouvons ainsi calculer les dérivées des fonctions de forme sans problème de singularité dans le calcul du Jacobien :

La matrice des dérivées des fonctions de forme B permet de procéder à la construction de la matrice de raideur locale de l'élément puis à l'assemblage globale. Celle-ci est obtenue de manière usuelle :

Utilisant les règles d'intégration numérique de Gauss, 2 points d'intégration dans la direction tangentes sont introduits et uniquement un seul dans la direction normal. Ce type d'élément peut être aisément enrichi en utilisant par exemple des éléments quadratiques dans la direction tangente, permettant de prendre en compte les fort gradients de cisaillement souvent rencontrés dans les problèmes de glissement acier-béton.

3.3.4 Applications

3.3.4.1 Fissuration d'un tirant en béton armé Afin de tester l'influence d'une modélisation de l'adhérence acier-béton sur la répartition des fissures dans une'structure en béton armé, un exemple de traction sur un tirant est traité dans cette partie (Clément 87). D'une section carrée de 10 cm x 10 cm et d'une longueur 68 cm, son renforcement est assuré en son centre par une barre d'acier de 10 mm de diamètre. Le béton est modélisé par le modèle de Mazars ayant pour caractéristique mécanique une résistance de 3 MPa en traction. Deux calculs ont été effectués, le premier en considérant une adhérence parfaite et le second en prenant en compte le modèle précédemment développé.

La réponse globale en terme d'effort-déplacement est tracé sur la figure 2.34 pour les différents types d'analyse. Les cartes d'endommagement dans les deux cas ainsi que la répartition des contraintes dans l'acier et le béton à différents niveaux du chargement sont représentées dans les figures 2.32 et 2.33.


N O R M A L S T R E S S D I S T R I B U T I O N O N S T E E L A L O N G TIE (SYY)

Distanoe aiong the bar (om)

N O R M A L S T R E S S D I S T R I B U T I O N O N C O N C R E T E A L O N G TIE ( S Y Y ) 3.5 I 1 1 1 1 1

Distance abng the bar (om)

Figure 2.32. Simulation avec adhérence parfaite. Cartes d'endommagement ; distribution des contraintes normales dans l'acier; distribution des contraintes normales dans le béton pour différents niveaux du chargement en déplacement.

N O R M A L S T R E S S D I S T R I B U T I O N O N S T E E L A L O N G TIE ( S Y Y ) ( r l t h Inter face e lemente)

DiatPnoe elone the b e r (cm)

N O R M A L S T R E S S D I S T R I B U T I O N O N C O N C R E T E A L O N G T I E ( S Y Y ) (wi th i n t e r f a c e e l e m e n t a )

1 1 1 1 I 1 1 i X , i 1

O 10 20 30 4 0 5 0 60 7 0

Distance along the bar (cm)

- 1

Figure 2.33. Simulation avec dégradation de l'interface Cartes d'endommagement ; distribution des contraintes normales dans l'acier : distribution des contraintes normales dans le béton pour différents niveaux du chargement en déplacement.

déplacement (mm)

Figure 2.34. Réponse globale du tirant en béton anné

Partie 2 Renforcement, corrosion, interSuces

Si le comportement global est bien représenté par le modèle, l'influence de la dégradation de l'interface est surtout visible dans la description de la multifissuration et de la transmission des efforts d'un matériau à l'autre. La répartition des contraintes dans la structure est affectée, générant ainsi des modes de fissuration différents. Les deux premières fissures apparaissent à égale distance des deux bords, la prise en compte d'un modèle réaliste de rupture d'interface génère l'apparition d'une troisième fissure, correspondant aux résultats expérimentaux obtenus. Avec l'ambition de décrire convenable la fissuration du béton dans le cas de couplages avec des analyses THM (thermo-hydro-mécanique), il est important de considérer l'influence de la rupture d'adhérence sur la répartition de la fissuration. La perméabilité macroscopique d'une structure est ainsi directement reliée à l'espacement et l'ouverture des fissures.

3.3.4.2 Essai puil-out avec effort normal Un dernier cas-test est traité dans ce paragraphe permettant de confronter la modélisation au comportement d'une interface soumise à des états de chargements bidirectionnels (cisaillement et effort normal) (Laborderie & ~ijaudier-cabot 1992). Les dimensions de l'éprouvette testée au LMT sur la machine triaxiale ASTREE ainsi que les conditions limites et chargement sont présentés en figure 2.35.

Imposed displacement

Lateral pressure

Figure 2.35. Pull-out test sous sollicitations combinées : cisaillement et efSort normal de serrage

Différentes valeurs de contrainte normale ont été expérimentalement appliquées ((0, 5, 10, 15 MPa), vérifiant ainsi l'augmentation de l'énergie dissipée lorsque le confinement augmente. Dans une configuration axisymétrique, seule la moitié de l'éprouvette a été modélisée. La comparaison des efforts et déplacements globaux est présentée en figure 2.36. les calculs présentés ont été effectués avec une valeur de h,. égale au 1110'~~ du diamètre de la barre ( + ).

Partie 2 Renforcement, corrosion, inteïfaces

O I O 2 4 6 8 10

déplacement (mm)

Figure 2.36. Comparaisons essais-calculs pour les difSérents confinements

Afin de mettre en évidence les différentes caractéristiques du modèle, des analyses paramétriques sur la valeur de hpen et du nombre d'éléments le long de l'interface (tracé ici pour hpen = 4 130) sont données. Les résultats obtenus, ayant une portée plus générale que la simple application à cet exemple ont été tracés de manière normée par rapport au pic en effort et en déplacement (figure 2.37).

O 2 4 6 8 10

déplacement n o m 6 O O. 5 1 1.5 2 2 5

déplacement normé

Figure 2.37. Analyse paramétrique du comportement du modèle d'inteïface

Du fait de la formulation intrinsèque en contrainte-déformation, le modèle ne présente aucune dépendance au maillage. Les effets de la valeur du paramètre hpen sont clairement mis en évidence. Par une augmentation du volume virtuel susceptible de s'endommager, l'énergie dissipée lors de la rupture est conditionnée par la valeur de hpen sans affecter la valeur de résistance au pic. Enfin, si l'on trace (figure 2.38) pour les différents niveaux de confinement, la correspondance essai-calcul entre effort et déplacement maximum, on s'aperçoit que les valeurs en effort sont correctement reproduites pour les différents essais alors que les


déplacements au pic sont largement sous-évalués. Au regard de l'étude paramétrique précédente, il semblerait que la taille de la zone d'interface soit affectée par le niveau d'étreinte transversale, il en résulte une valeur du paramètre h,, différente. Des essais supplémentaires avec mesure de la zone dégradée par corrélation d'images numériques, sous différents taux de confinement doivent donc être entrepris (Thèse en cours de Tran Bich Hop).

19 I I I I I --+... essai : i ! ! . , % .

confinement latéral (MPa) O 2 4 6 8 10 12 14 16

confinement latkral (MPa)

Figure 2.38. Comparaisons essais calculs concernant les contraintes et déplacements au pic.

3.3.5 Conclusion Le présent chapitre expose la formulation d'une loi de comportement de l'interface acier- béton ainsi qu'un élément fini dédié à son implantation numérique. Envisageant des évolutions ultérieures de cette loi vers des domaines prenant en compte des couplages multiphysiques entre mécanique, thermique et corrosion, le cadre général de la thermodynamique des milieux continus a été adopté. Basée sur une écriture en contrainte- déformation de la loi, l'élément fini implanté fait appel à un paramètre géométrique supplémentaire permettant de passer d'un saut de déplacement en bord d'élément à la déformation. L'utilisation d'un élément dégénéré à quatre nœuds permet une implantation numérique aisée ainsi qu'une souplesse de maillage pour l'utilisateur. Les paramètres peuvent être identifiés à l'échelle du matériau en profitant des dernières avancées en terme d'expérimentation et de mesure d'identification. Appliqué à différents cas d'études, le comportement global d'une structure en béton armé sous chargement mécanique est bien appréhendé, d'un point de vue réponse effort-déplacement sous action multiaxiale ou encore au regard de l'espacement des fissures observées. Toutefois, la volonté de décrire l'évolution macroscopique de la perméabilité d'une structure, du fait de la fissuration, ne peut se satisfaire de l'emploi unique de la mécanique de l'endommagement continu, incapable pour le moment de décrire avec réalisme et prédictivité l'ouverture de ces mêmes fissures. Ainsi, le couplage avec des méthodes différentes, basées par exemple sur les éléments discrets (Delaplace 2005) ou les méthodes de type X-FEM (Oliver 1996, Wells & Sluys 2001), permettra de faire le lien entre espacement de fissures, ouverture et perméabilité.


4 Synthèse

Dans cette partie ont été exposé différents développements afférents à la présence d'éléments de renforcement en acier au sein de la matrice cimentaire d'une structure en béton. Deux thèmes principaux ont été abordés : la corrosion des aciers et la perte d'adhérence entre les matériaux. Une loi de comportement basée sur un couplage entre plasticité et endommagement a été développée. Elle permet de prendre en compte, compte tenu de la corrosion, la baisse de capacité portante et de ductilité d'un acier. Appliquée à l'étude de diverses structures en béton armé et précontraint, la pertinence de l'étude a été validée sur des essais de flexions 4 points et de traction directe. Couplée à des modèles isotropes d'endommagement du béton, l'implantation numérique 3-D de la loi de comportement de l'acier corrodé a permis de rendre compte des divers mécanismes de fissuration qu'une structure en béton armé est amenée A supporter durant sa durée de vie, exposée tant à des risques de dégradation mécaniques que chimiques. Des essais sur poutres en béton armé ont montré l'influence non négligeable de la corrosion sur la perte d'adhérence entre acier et béton. Les faciès de fissuration sous sollicitations mécaniques, du fait même de la corrosion in situ, sont fondamentalement différents et peuvent générer des ouvertures et espacements de fissures préjudiciables à une structure 'à risque'. De la nécessité de prendre en compte la corrosion dans la perte de résistance de l'interface acier béton, des essais originaux d'arrachement ont été développés. La géométrie plane de l'éprouvette autorisant des mesures cinématiques le long de l'interface, des chargements couplés chemo-mécaniques ont pu être appliqués. Ces premiers essais, base de futures modélisations, ont permis l'identification d'une nouvelle loi de comportement de l'interface couplant endommagement et frottement. Un élément fini dédié à ce type de loi a été développé, introduisant un paramètre géométrique supplémentaire : la couche de matériaux dégradés le long de l'interface, identifiée par corrélation d'images numériques le long de l'interface. Ecrit dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles, cette loi de comportement mécanique devra être étendue à la prise en compte de la corrosion dans les cinétiques d'endommagement. Un travail dans ce sens est en cours au LMT-Cachan (Bich-Hop 2005).

Partie 3 Prévision du comvortement des structures sous séismes

Partie 3

Prévision du comportement des

structures sous séismes

Partie 3 Prévision du comportement des structures sous séismes

1 Introduction

Dans les différents cas de chargements accidentels qu'une structure de Génie Civil est amenée à supporter, le séisme sur bâtiment présente la particularité de mettre en jeu aussi bien la sécurité des biens que celle des personnes. Du point de vue purement calculatoire, les analyses de structures sous chargement sismique restent un point délicat à bien des égards. En effet, les trois principaux éléments d'un calcul doivent être pris en compte avec attention du fait de leurs fortes interactions, à savoir :

la discrétisation de la structure et le choix sur la cinématique des éléments retenus,

le comportement des matériaux intégrant la fissuration du béton, permettant de représenter les baisses de raideur de la structure ainsi que la plasticité des matures amenant à la ruine globale,

les conditions aux limites qui régissent le comportement global ainsi que le mode de ruine.

Tous ces points ainsi que leur différents couplages doivent être traités avec attention lors de calculs prédictifs sur structures. Guidé par les programmes nationaux de recherche CAMUS (Bisch & Coins 1998), le développement de méthodes simplifiées a permis d'aboutir à des outils de calculs robustes (du fait de la simplicité des approches retenues) et précis (par une description et modélisation fine du comportement des matériaux). Dans un premier temps, seront exposées dans ce chapitre les différentes approches pouvant être utilisées dans la description du comportement à rupture de structures sous séisme. L'accent sera porté sur la modélisation basée sur les structures de poutres multifibres. Des développements particuliers, permettant de prendre en compte notamment le comportement en torsion d'éléments en béton, seront traités. Des comparaisons avec les essais expérimentaux sur table sismique des programmes CAMUS (2D) et CAMUS 2000 (3D) permettront de valider les différents choix et compromis nécessaires à une modélisation raisonnable de telles structures.

Le dialogue essais-calculs a permis de faire franchir aux modèles numériques des étapes importantes dans la prédiction du comportement à rupture des structures. Toutefois, la complexité du problème rend illusoire l'idée du 'tout numérique'. De même, la complexité du problème expérimental (3D, interaction sol-structure, nonlinéarité, mesures, taille et réalisme des structures ...) ne permet pas de disposer d'essais à caractères suffisamment généraux permettant d'extrapoler certains résultats à d'autres structures. Un dialogue plus pertinent entre essais et calculs doit être envisagé. Il s'agit par exemple d'analyses hybrides dans lesquelles, tout ou partie d'une structure est modélisée, où seule la zone critique étudiée est testée en bénéficiant de l'environnement réaliste obtenu par calculs (Pegon & Pinto 2000). Par ailleurs, le développement de modèles de plus en plus fins nécessite des essais structuraux maîtrisés et des mesures mécaniques adéquates (mesures de champs par exemple (Hild 2002)). Les essais pseudo-dynamiques avec sous-structuration permettent de fournir un environnement réaliste aux éléments testés tout en bénéficiant des avantages des essais statiques au niveau contrôle et mesure. Le dernier chapitre de cette partie est consacré aux travaux effectués au LMT-Cachan pour développer une plateforme d'essais réalistes sur éléments de structures de Génie Civil.


2 Modélisations numériques des structures sous séismes

2.1 Différentes approches

La modélisation de la réponse des structures de génie civil sous sollicitations sismiques peut être abordée à différentes échelles et degrés de raffinement selon les enjeux et objectifs fixés. Considérant les nombreuses difficultés liées à la nonlinéarité des matériaux et à leurs interactions, le schéma de calcul le plus souvent choisi pour le dimensionnement considère un comportement linéaire élastique des matériaux. Les premières approches dans ce domaine introduisent le concept de 'Force-based design' (PS 92), les efforts de dimensionnement étant calculés par l'intermédiaire d'un coefficient de comportement appliqué aux efforts élastiques. Ce coefficient, supérieur à 1, permet d'introduire simplement la ductilité des matériaux (béton armé, précontraint, métallique, bois, . . .). N'introduisant aucune ductilité ni redistribution des efforts dans le calcul de la structure, les caractéristiques dynamiques de cette dernière sont irréalistes. Les fréquences de vibration surestimées nuisent à la prédiction des efforts et déplacements ultimes. Un concept plus rationnel, basé sur la ductilité propre à chaque élément de structure, le 'displacement-based design' (Pauley & Priestley 1992), permet de prendre en compte des comportements plus physiques et d'introduire des limites aux matériaux basées sur des éléments objectifs : courbure et déformations limites avant rupture. Le dimensionnement de chaque élément de structure s'effectue en fonction de la demande de ductilité nécessaire au bon comportement de l'ensemble. Considérant une raideur sécante, le calcul des fréquences propres de la structure est plus réaliste (Shibata & Sozen 1976) et correspond à la réponse dynamique lors des moments de plus grands déplacements de la structure sous séisme, introduisant ainsi une plus grande souplesse.

Ces méthodes, introduisant un comportement nonlinéaire de manière plus ou moins réaliste, permettent d'aborder le dimensionnement d'élément de structures. Elles sont toutefois basées sur l'étude d'un oscillateur à 1 degré de liberté. Ainsi, la structure simplifiée de substitution est incapable de prendre en compte la redistribution des efforts dans la structure due aux nombreuses nonlinéarités locales. Ceci constitue le principal handicap de ces méthodes interdisant une description réaliste du comportement local et global des structures jusqu'à la rupture. Par rupture, nous entendons, le critère le plus préjudiciable retenu pour certains éléments au regard des objectifs visés au dimensionnement. Il ne s'agit pas obligatoirement de l'instabilité globale ou partielle de tout ou partie de la structure, mais aussi de l'ouverture maximum des fissures lors de secousses sismiques ainsi que de leur ouverture résiduelle en fin de sollicitation. Ce type de critère fait appel à des caractéristiques fines du comportement des matériaux en présence et de leurs interactions (anisotropie, espacement des fissures, comportement de l'adhérence acier-béton, ....). Il est évident qu'une analyse uniquement basée sur les hypothèses de linéarité précédentes ne permet pas d'aborder de manière confiante ces domaines.

Une avancée dans la description du comportement nonlinéaire réel de la structure consiste à utiliser des techniques de calcul de type 'push-over' (Wilson 1960, Chopra 1995). La structure est discrétisée par le biais d'éléments finis introduisant des comportements nonlinéaires des matériaux plus ou moins raffinés. Une distribution d'efforts latéraux est appliquée de manière monotone croissante jusqu'à rupture. Ces efforts correspondent aux chargements inertiels que la structure est ammenée à supporter lors de l'accélération sismique en pied. Le calcul nonlinéaire ainsi pratiqué permet d'accéder directement à des grandeurs objectives de dimensionnement tels que les efforts maximums, leur redistribution au sein de la structure de part la fissuration, les déformations, les rotations, les espacements de fissures


ainsi que leur ouverture maximum. La principale hypothèse effectuée ici est de considérer pour le calcul des efforts latéraux uniquement la réponse de la structure à un seul mode propre de vibration : le mode fondamental, calculé une nouvelle fois sur la base de l'élasticité linéaire. L'interaction et le couplage avec d'autres modes de vibration pourtant nécessaire lors de chargements tridimensionnels (verticaux, torsion, . . . ) ne peuvent être pris en compte.

Lors de l'analyse de structures sensibles ou pour lesquelles des informations fines au niveau du comportement local sont requises, le choix alternatif aux précédentes méthodes consiste à réaliser une analyse dynamique nonlinéaire par intégration directe. La modélisation de la structure et des matériaux peut être effectuée avec le degré de raffinement désiré. La sollicitation sismique est un accélérogramrne en pied de la structure, naturel ou artificiel. Ainsi, les évolutions des fréquences propres en cours de séismes concomitantes à la dégradation de la raideur liée à des comportements locaux fournissent l'environnement de calcul le mieux adapté aux enjeux (Rashid et al. 2001). Le désavantage majebr de ces approches réside essentiellement dans les temps de calculs excessifs. Ainsi, l'enjeu est de diminuer ces temps d'analyse permettant ainsi d'envisager l'emploi de calculs paramétriques, souvent nécessaires du fait des inconnues et incertitudes liées à la structure. Différentes approches peuvent être envisagées d'introduire un certain pragmatisme dans ce contexte. Par exemple, la méthode de superposition modale a été poussée plus avant dans la résolution des équations du mouvement en dynamique transitoire, même dans une plage de comportement nonlinéaire prenant en compte les matrices de raideur tangente dans l'estimation des modes propres (Léger & Dussault 1991). Une autre alternative couplant intégration temporelle directe et superposition modale fait appel à la sous-structuration dynamique permettant de distinguer ab initio les zones critiques de taille limitée du reste de la structure (Ibrahimbegovic & Wilson 1991). Enfin, en lieu et place de l'analyse dynamique complète nonlinéaire 3D, des approches simplifiées du comportement (des matériaux ou de la cinématique des éléments de structures) peuvent être employées. L'emploi d'éléments poutres et coques multifibres permet, en diminuant de manière importante la taille des calculs, de conserver des lois de comportements physiques des matériaux. L'approche opposée consiste à conserver la finesse de description 3D de la structure en simplifiant la mécanique introduite au niveau local. Afin de mettre en évidence les avantages et inconvénients de ces deux voies principales de modélisation, différents benchrnarks sur structures en béton armé ont été réalisés. A titre d'exemple, le programme expérimental national CAMUS 2000 (décrit ci- après) a permis de comparer ces différents modéles. Maquette à échelle 113 d'un bâtiment à murs porteurs, CAMUS 2000 a été soumise à des chargements sismiques 2D sur table vibrante. Un benchmark international a été organisé (Combescure et al. 2002) et les résultats présentés lors d'une session spéciale de la dernière conférence de l'Association Française de Génie Parasismique (AFPS) en 2003 (Combescure et al. 2003, Ragueneau 2003). Cette maquette a été modélisée selon toutes les approches possibles par :

éléments 3D complet et lois de comportement nonlinéaire (Kubischta et al. 2003, Dowell & Zang 1999)'

éléments de Coque 2D de Kirchoff avec loi de comportement de fissuration diffuse (Ile et al. 2003, Ile et al. 2002)'

éléments de poutre multifibres de Timoshenko avec loi de comportement élasto- plastique (Combescure et al. 2003)' .

éléments de poutre multifibres de Timoshenko avec loi de comportement endommageable (Ragueneau et al. 2003)'


éléments de poutre multifibres d'Euler-Bernoulli avec loi de comportement endomrnageable (Davenne et al. 2003),

éléments 3D avec éléments d'inferface (Willam et al 2003 et 2004)

modèle macro de type bielle-tirant (Takahashi et al. 2003, Sakai et al. 1993).

Les modèles macro de type 'strut & Tie' (bielle-tirant) permettent de relativement bien simuler la réponse de la structure dans des domaines fortement nonlinéaires, pour peu que seules les informations dans le plan principal de la structure soient nécessaires. A l'inverse, l'analyse solide 3-D a permis de parfaitement reproduire le comportement de la maquette jusqu'à rupture et de mettre en évidence certaines cinématiques particulières de détérioration. Néanmoins, les temps de calculs très importants ne permettent pas d'envisager l'étude de structure de taille plus importante. Les approches intermédiaires de types poutre et coques multicouches ont montré la pertinence des hypothèses simplificatrices adoptées : la cinématique 1-D ou 2D. Dans la suite de ce chapitre, de plus amples détails et améliorations apportées aux poutres multifibres seront décrits.

2.2 Poutres multifibres

Les temps de calculs prohibitifs des approches 3D et la nécessité d'analyses paramétriques impliquent certains compromis à différentes échelles. Désirant préserver à l'échelle du matériau le plus possible de mécanique 'fine', les modèles à fibre réduisent drastiquement la taille des problèmes à résoudre. Ils permettent, par le biais de discrétisation transversale de sections droites, d'utiliser des outils de type RDM (théorie des poutres) pour la résolution en dynamique nonlinéaire du calcul global à l'échelle de la structure. Dans son expression classique et originale (Bazant et al. 1987, Laborderie, 1991, Spacone et al. 1996), les poutres mises en oeuvre utilisent la cinématique d'Euler-Bernoulli pour le calcul des déformations en chaque point d'une section droite. Le principal avantage des modèles à fibre réside dans la possibilité d'utiliser une loi uniaxiale simple pour chaque fibre, ce qui permet une implantation efficace et robuste de lois de comportement nonlinéaires. La figure 3.1 présente d'une manière générale la discrétisation transverse adoptée pour un calcul de type béton armé.

Figure 3.1. Pour multifibres pour éléments de structure en béton armé (d'après Guedes et al. 1994) .

Dans le domaine nonlinéaire, un problème survient en béton armé dans la description du couplage effort normal 1 moment fléchissant. En effet, pour les poutres de type Euler- Bernoulli, l'incompatibilité des degrés d'interpolation entre déplacements axiaux (linéaire) et transversaux (cubique) ne permet pas de prendre en compte correctement les variations de


l'effort normal dans une section du fait du mouvement de l'axe neutre de la poutre généré par la fissuration du béton. Les sections ne se retrouvent plus en équilibre. Différentes techniques peuvent être utilisées pour résoudre ce problème. Une des solutions est la sous-intégration de l'approximation des déplacements transversaux (EFiCoS, Dubé 1994) mais celle-ci ne bénéficie pas des avantages analytiques des poutres d'Euler. Une alternative est d'enrichir la description des déplacements axiaux le long de la poutre par l'emploi de modes incompatibles (Casaux 2003) ou encore d'adopter des modes d'interpolation différents par l'emploi de poutre de type Timoshenko (CAST3M, Guedes et al. 1994). Dans le cadre de l'utilisation de CAST3M, cette dernière version a été retenue dans la suite des travaux.

Le modèle à fibres permet de calculer la loi de fonctionnement (relation entre déformation axiale, courbure et rotation et les contraintes généralisées associées (N, M et T)) de l'élément poutre de Timoshenko à partir d'une description géométrique de la section basée sur des éléments bidimensionnels maillant la section droite et de lois de comportement uniaxiales pour chaque matériau (béton, acier, ...). Les hypothèses cinématiques supposent l'absence de gauchissement en cisaillement. En torsion, la répartition des contraintes de cisaillement n'est exacte que pour des sections circulaires. Le principe général consiste à passer des déformations généralisées (rotation et déplacement) aux nœuds des poutres au profil de déformation le long d'une section droite par l'intermédiaire des hypothèses de Timoshenko : les sections planes restent planes mais non perpendiculaires à la fibre neutre. Ainsi, pour un problème de flexion plane, en tout point à la côte y d'une section droite, les déformations peuvent être calculées en fonction du déplacement axial u(x), du déplacement transversal V(X) et de la rotation e(x) :

E, = u'(x) - y.6' (x) et 2~~ = v' (x) - û(x)

Les lois de comportement locales, au niveau de chaque fibre, permettent de passer des déformations aux contraintes de Cauchy. Du fait de la cinématique d'une section droite propre aux poutres, l'adhérence entre l'acier et le béton est considérée ici comme parfaite.

Dans la construction d'un élément de type poutre multifibres, la différence principale avec un classique élément poutre se situe dans la relation entre contrainte généralisée s et déformation généralisée e . Dans un cas 3D, ces dernières contiennent :

N est l'effort normal, M x le moment de torsion, M y et M, sont les moments de flexion, E

la déformation axiale, 6, la rotation de torsion, X, and x, les courbures. Le comportement

d'une section droite est exprimé par le biais de la matrice de raideur :

Les coefficients sont obtenus par integration numérique le long de la section droite par integration bidimensionnelle (axes y et z ) :


E and G sont les modules d'Young et de cisaillement variant en y et z selon les matériaux (acier ou béton) et les nonlinéarités. Ces derniers peuvent être choisis à leur valeur initiale, secante ou encore tangente lors de la modélisation de comportements nonlinéaires. Un seul point de Gauss par fibres est souvent suffisant pour procéder à cette intégration numérique de surface.

Dans un but de simplification et dans le cadre des poutres de Timoshenko, le comportement de chaque fibre dans la direction normale et tangente est découplé. Ainsi les nonlinéarités sont attribuées au déformations et contraintes normales. Les comportements tangents en cisaillement demeurent découplés et donc élastiques linéaires. Si des structures possèdent un élancement faible, voisin de 1, s'éloignant ainsi de la théorie des poutres classiques, un comportement couplé le long de la section droite doit être introduit (Dubé 1994, Kotronis 2000).

2.3 Modèles de poutres enrichies : prise en compte de la torsion

La volonté de traiter des problèmes de structures 3D (3 directions de chargements ou des structures dissymétriques), comme dans le programme CAMUS 2000 (cf chapitre suivant), les modèles simplifiés de type poutres multifibres doivent être capable de prendre en compte la torsion dans un cadre nonlinéaire et pour tout type de section (éloignée de la section circulaire pour laquelle le gauchissement est nul). Si la torsion n'est pas correctement prise en compte, les processus et zones de fissuration dans une section droite ne peuvent correspondre pas à la cinématique réellement rencontrée dans les structures en béton armé supportant de forts niveaux de sollicitations et des chargements complexes. Il existe divers niveaux de modélisation permettant d'intégrer la torsion dans le cadre de calculs multifibres :

Linéaire : généralement utilisée, et donc découplée des autres comportements (flexion, cisaillement, ..).

Nonlinéaire global : par une relation empirique reliant le moment de torsion à la rotation. Simple à mettre en oeuvre mais ayant les défauts des modèles globaux au niveau de leur identification et validation.

Localement nonlinéaire en utilisant une loi de comportement 3D sur chaque fibre. Cette approche est difficile. En effet, peu de modèles de béton sont suffisamment fiables et robustes sous des chargements cycliques 3D. De plus, il existe deux possibilités : intégrer ou non le gauchissement

La nécessité de considérer le gauchissement dans une analyse multifibre sur éléments de structure en béton est discutée dans les paragraphes suivants.

2.3.1 Torsion élastique linéaire Le but de cette partie est d'obtenir pour chaque fibre le tenseur des déformations dû à la torsion pure en résolvant le problème d'équilibre pour une section droite, constituée de plusieurs matériaux (le cas du béton armé par exemple). Le problème est résolu dans le cadre

Partie 3 Prévision du comoortement des structures sous séismes

de l'élasticité linéaire, comme dans Schulz & Filippou (1998). Considérons une section de poutre constituée de matériaux homogènes élastiques linéaires. (O, X, Y, Z ) est le référentiel cartésien de référence. Sous l'hypothèse des petits déplacements et en considérant qu'il n'y a pas de discontinuité entre acier et béton, la solution pour les trois composantes du vecteur déplacement est posée sous la forme :

y>(y,z) est la fonction de gauchissement de la section et a = (82 - B 1 ) l ~ . Si + est l'axe longitudinal de la poutre de longueur L, BI et B2 sont les rotations aux deux extrémités de l'élément considéré. Résoudre les équations de champs du problème consiste à déterminer le champ de déplacement Ü(u, v, w) sous le moment de torsion de manière à respecter :

Les équations d'équilibre dans le domaine SZ : diva = O

Les conditions limites sur les surfaces libres latérales, X L : c.Z = O, et aux deux

extrémités de la poutre : ( So , S1 ), IX A cjl<S = -ë , I+ A oZdS = . SO s,

La loi de comportement : c(t) = ~[&(t), t < t], A étant un tenseur d'ordre 4.

Utilisant une loi de comportement élastique linéaire pour les matériaux, la solution s'écrit généralement sous la forme d'un Laplacien de la fonction de gauchissement :

2.3.2 Implantation numérique et extension nonlinéaire Afin de résoudre ce problème plan pour une section droite de poutres composées de plusieurs matériaux tels que le béton et l'acier, une analogie avec la conduction thermique est menée (Proix et al. 2000, Casaux 2003, Mazars et al. 2006). Le calcul de la fonction de gauchissement d'une section constituée de plusieurs matériaux de module de cisaillement Gi est transformé en un problème de conduction plane dans une plaque faite de différents matériaux (de conductivité thermique différente). En effet, la solution d'équation en Laplacien est classique et immédiate dans les problèmes de transfert de chaleur. Ainsi, si les conditions limites sont connues, le problème peut être résolu dans tout code élément fini. Concernant le problème mécanique, les notations y>(y,z) (la fonction de gauchissement homogène à un déplacement au carré) et Gi (le module de cisaillement du matériau i) sont utilisées. Pour le

problème de conduction thermique, nous noterons : T ( ~ , z) (le champ de température), 4 '(la

conductivité thermique du matériau isotrope i) et $(y, z) = ~ . ~ r a d ~ ( y , z) (la densité de flux).

Pour la partie mécanique, dans chaque sous-domaine associé à chaque matériaux, nous avons ~ y > , (y, z) = O correspondant à l'équation de la chaleur pour la condition en régime permanent


à A ? ( ~ , Z ) = O . Afin de déterminer les conditions aux limites sur les surfaces externes latérales, nous écrivons que les forces appliquées sur cette surface dS de normale n (ayant pour composantes ny et n,) sont nulles. Entre chaque sous-domaine, la continuité entre

matériaux est assurée en imposant la continuité de la fonction de gauchissement &~,z) et la continuité des efforts à l'interface, imposant par la même l'équilibre de l'interface. Des conditions de flux sur les surfaces libres et aux interfaces permettent de traiter le problème complet (Proix et al. 2000).

Le problème de thermique équivalent à résoudre se résume ainsi à :

Ainsi, ces équations peuvent être aisément résolues dans tout code de calcul apte à traiter de thermiques (CAST3M par exemple). Le calcul de la fonction de gauchissement est effectué en utilisant des éléments quadrilatère à 4 nœuds. Cette analogie thermique sera utilisée par la suite, nous permettant ainsi le calcul du champ de déformation de torsion le long d'une section droite utilisant le classique opérateur de déformation :

L'état de contrainte est calculé par l'opérateur local de la loi de comportement sur chaque point de Gauss de la section transversal. Le moment de torsion est obtenu par simple intégration numérique ramenée au centre élastique de torsion :

Le cadre des poutres multifibres est un domaine naturel d'intégration numérique permettant une implantation relativement aisée de cette approche dans tout code élément fini dédié à cet effet. L'intégration des contraintes le long de la section droite est également effectuée en utilisant des éléments quadrilatères à quatre nœuds et des fonctions de forme linéaire.

Par la suite, une extension de cette approche aux comportements nonlinéaires est utilisée, conservant la fonction de gauchissement obtenue dans le domaine élastique pour le calcul des déformations de cisaillement selon chaque fibre.

De même que les approches de types 'fixed crack model' (Rots l988), nous considérerons que le réseau de fissures initié par la torsion reste constant pendant le chargement, lors de la propagation après la phase d'initiation. L'allure du champ de déplacement générant ces fissurations restera donc similaire. Le champ de déformation le long de la section droite due à la torsion et au gauchissement initie le comportement nonlinéaire mais sa forme globale ne sera pas affectée par l'apparition d'endommagement localisé. C'est pourquoi, la fonction de gauchissement, calculée sur les bases d'un comportement élastique linéaire est conservée, pendant toute la phase nonlinéaire du comportement de l'élément de structure. Une loi de


comportement à endommagement scalaire est utilisée (Mazars 1984) sur chaque fibre en béton permettant de calculer l'état de contrainte lors d'un cisaillement local sur chaque fibre. La suite du calcul se déroule comme précédemment par intégration des contraintes le long de la section.

En cas de chargements complexes fortement non-proportionnels, un développement ultérieur imaginable consisterait à prendre en compte l'endommagement des sections droites dans le calcul de la fonction de gauchissement a, . Ainsi, les rotations des directions de propagation de l'endommagement pourraient être intégrées. Une telle analyse nécessiterait un calcul thermique équivalent pour chaque section droite et à chaque pas de temps prenant en compte l'inhomogénéité des paramètres matériaux due à l'endommagement non uniforme sur la section. Le principe en est simple, mais fortement coûteux en temps de calcul et donc éloigné des philosophies de calculs liées aux méthodes simplifiées. En ces circonstances, un calcul 3D nous parait être encore la solution la plus appropriée.

Le paragraphe suivant, traitant d'un cas-test de poutre en béton soumise à une torsion pure, permet de valider cette approche.

2.3.3 Simulation d'une poutre en béton soumise à de la torsion pure Une série d'essais sur poutre en béton armé (Karayannis & Chalioris 200) a permis de mettre en évidence les effets de la torsion pure sur le comportement du béton ainsi que l'influence de la forme des sections droites. Les poutres sont constituées de trois parties bien distinctes : deux zones proches des appuis (renforcées de manière à éviter toute nonlinéarité importante du fait de la torsion) et la partie centrale de la poutre non renforcée. C'est donc dans cette dernière zone que doit se localiser la fissuration ainsi que la rupture des éléments pendant les essais. La torsion pure est appliquée par des vérins sur les deux parties extrêmes de la poutre. La figure 3.2 présente le principe de ferraillage pour une poutre rectangulaire.

Plain concrete r w

Figure 3.2. Principe de l'essais en cisaillement pure de Karayannis et Chalioris (2000)

Dans cette étude, 4 poutres ont été retenues nous permettant d'identifier et de valider le calcul en torsion par éléments de poutres multifibres : deux poutres à sections rectangulaires (dénommées R(a) et Rh(c)) et deux poutre en T (Ts et T). Les dimensions des sections droites, les caractéristiques du béton en compression et en traction (F, et Ft) ainsi que les mesures expérimentales en termes de raideur (K) et de moment de torsion (C) à rupture sont présentées dans le tableau 3.1,


poutres Section droites Fc F t %x? ce,, (MN.cm /rad)

b m m f ( c m ) (MPa) (MPa) (kN.cm)

Tableau 3.1. Essais sur poutre en béton - Données et résultats expérimentaux (Karayannis & Chalioris 2000)

Les essais ont été simulés en utilisant la démarche de calcul adaptée au calcul simplifié de type poutre multifibres. Les fonctions de gauchissement ont été calculées, l'allure de ces dernières est présentée dans la figure 3.3 pour les deux types de section.

Figure 3.3. Allure des fonctions de gauchissement pour les poutres rectangulaires et en T.

Les paramètres du modèle de Mazars ont été identifiés afin de reproduire les données expérimentales sur les contraintes au pic. Le module d'Young a été fixé à 25 000 MPa et le coefficient de Poisson à 0.2. Le calcul des contraintes le long de chaque fibre se réalise simplement en imposant une rotation aux deux parties d'extrémité de la poutre. Le couple de torsion est calculé par intégration numérique comme expliqué en 3.1 1

Afin de mettre en évidence la nécessité dans un calcul de type multifibre de prendre en compte le gauchissement des sections droites (dont le calcul est élastique), les calculs ont été menés avec et sans gauchissement. Les figures 3.4 et 3.5 montre une comparaison essais- calculs pour les poutres R(a) et Ts.

" O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

rotation (1 radhi)

Figure 3.4. Comparaisons essais-calcul, avec et sans torsion pour la poutre R(a).

-. - . - . . . - . . . . - . . - . . . . - . . . . -. . . . . . ---- - . ,. - . . . . . . . . . - -

. . . . - - - avec gauchissement

0.5 1 1.5 rotation (1 rad/rn)

Figure 3.5. Comparaisons essais-calcul, avec et sans torsion pour la poutre Ts.

Dans les deux cas, la simulation prenant en compte la torsion avec gauchissement élastique parvient à reproduire correctement le comportement de la structure dans toutes ses phases, tant d'un point de vue de la raideur que de l'effort au pic. Le tableau 3.2 présente de manière synthétique ces résultats pour les quatre poutres, avec et sans gauchissement. Pour les différents critères, le gauchissement, même pour des sections rectangulaires peu éloignées des sections circulaires (pour lesquelles le gauchissement est nul) influe énormément sur le comportement ultime des structures. Le modèle sans gauchissement montre une raideur initiale plus élevée que le modèle avec gauchissement ainsi qu'une surestimation très nette du moment de torsion à rupture. Ces différences sont expliquées par le fait que le gauchissement

I Partie 3 Prévision du comportement des structures sous séismes

modifie profondément le profil des déformations le long de la section droite, la distribution d'endommagement et donc la carte de fissuration. La figure 3.6 présente pour la section rectangulaire le profil d'endommagement calculé à rupture pour les deux types de calculs.

poutre Avec gauchissement Sans gauchissement

Tableau 3.2. Influence du gauchissement sur la raideur et le moment de torsion à rupture.

Figure 3.6. Carte d'endommagement de la poutre R(a) pour les deux types de calcul. Sans gauchissement et avec gauchissement

L'étude des profils d'endommagement générés par la torsion met en évidence la nécessité de prendre en compte le gauchissement dans la cinématique de rupture. L'endommagement dans le cas sans gauchissement est similaire à celui obtenu pour des sections circulaires e t ' foncièrement différent de celui obtenu avec gauchissement. En plus de la différence quantitative observée dans le tableau 3.2, cette différence qualitative sur la forme du faciès de rupture a une influence très importante sur les raideurs résiduelles en torsion et en flexion. La figure 3.7 montre pour les deux types de modélisations, l'évolution des raideurs en torsion et en flexion lorsqu'un chargement de torsion pure est appliqué à la poutre R(a). Comme attendu, l'influence de l'endommagement sur l'évolution de la raideur en torsion tend à diminuer l'influence du gauchissement. Concernant la flexion, le gauchissement avant fissuration n'a bien évidemment aucune influence. Par contre, au fur et h mesure du développement de l'endommagement dans la section droite, son influence devient très importante. En effet, le profil de fissuration circulaire généré par le modèle sans gauchissement tend à diminuer très fortement la raideur résiduelle en flexion. Un calcul mené


avec gauchissement remédie à ce problème. Ce dernier point peut avoir des effets importants pour des structures sollicitées par des chargements combinés de type flexion-torsion.

.....-... sans gauchissement avec gauchissement

O 0.5 I 1.5 2 rotation

, - avec gauchissement

O 0.5 1 1.5 2 rotation

Figure 3.7. Influence du gauchissement sur l'évolution des raideurs en torsion et en flexion

Partie 3 Prévision du com~ortement des structures sous séismes

3 Réponses de bâtiments à un séisme

Cette partie traite des travaux effectués au LMT-Cachan concernant la modélisation numérique lors des différents programmes nationaux CAMUS (1996 - 2002). Les programmes de recherche CAMUS (Conception et Analyses de Murs sous Séisme) ont des objectifs multiples. D'un point de vue purement industriel, ils visent à démontrer le bon comportement parasismique de la construction française typique : bâtiments constitués de murs porteurs (par opposition à la construction anglo-saxonne : assemblage de poteaux- poutres). En effet, par un ferraillage adapté et optimisé, de telles structures répartissent la fissuration et dissipent de manière ductile l'énergie de déformation induite par la sollicitation sismique. Pour cela, des essais sur différentes maquettes, présentant des géométries, des taux de ferraillage et des modes de sollicitation différents ont été réalisés sur la table sismique du CEA-Saclay. Le second objectif était de faire progresser la modélisation dans ce domaine, par des comparaisons avec des simulations numériques. Deux campagnes principales ont eu lieu : CAMUS 1, II, III et IV concernant un bâtiment symétrique sollicité dans son plan sous une seule direction de séisme et CAMUS 2000-1 et CAMUS 2000-2 mettant en évidence le comportement tridimensionnel pour des bâtiments dissymétriques ou supportant des sollicitations sismiques bidirectionnelles.

Les principaux résultats, en terme d'avancées de modélisation, obtenus lors des premiers essais CAMUS (1, II et III) seront présentés ainsi que les comparaisons effectuées sur les maquettes tridimensionnelles des programmes CAMUS 2000 (Casaux 2004).

3.1 Rappels des principaux résultats de CAMUS

Dans le cadre de ce programme, deux maquettes à échelle 113 ont été testées avec deux principes de ferraillages différents. Pour un poids total de 36 tonnes, les maquettes sont constituées de deux murs parallèles de 5 m de hauteur reliés entre eux par l'intermédiaire de 5 planchers de 20 cm d'épaisseur (figure 3.8). Les masses additionnelles sont ajoutées sur les planchers, elles permettent d'augmenter la charge axiale sur les murs de manière réaliste (1,6 MPa contre 1 MPa pour CASSBA) et de prendre en compte les effets de similitude entre géométrie réduite et gravité invariante. Les problèmes liés aux effets de similitude ont aussi une seconde conséquence : les données temporelles doivent être contractées avec un rapport : I I&.

Figure 3.8. Description de la maquette CAMUS

Sans rappeler tous les résultats obtenus lors de ce programme, il nous a semblé important de mettre en lumière les principales avancées réalisées au niveau de la modélisation numérique de bâtiments sous séisme. Tous les résultats sur les campagnes d'essais CAMUS peuvent être


trouvés dans Ragueneau (1999)' Kotronis et al. (2005)' Bisch & Coin (1998) et Queval et al. (1 998).

Conceniant l'utilisation de méthodes simplifiées basées sur la théorie des poutres multifibres, il a été intéressant de mettre l'accent sur les relations importantes qui existent entre des comportements locaux fins et le comportement global de la structure. Le pragmatisme à l'échelle global engendré par un calcul de type poutre autorise l'emploi à l'échelle local du matériau (point de Gauss) de modèles mécaniques fins. Ainsi la mécanique de l'endommagement a montré sa capacité à simuler les différents aspects de la réponse globale de ce type de structures au niveau des déplacements globaux, des efforts globaux et des chutes de fréquences dues à la fissuration. Néanmoins, si les modes de rupture sont bien retrouvés (fissures de moment fléchissant sur différents niveaux), des aspects plus locaux, telles que les ouvertures ou la mesure des déformations, ne peuvent être que partiellement reproduits du fait même de la cinématique poutre utilisée.

Certains points particuliers, ayant fait l'objet de développements spécifiques sont abordés dans la suite.

3.1.1 Amortissement La difficulté de modéliser de manière prédictive l'amortissement dans les structures en général, et béton armé en particulier, subissant de nombreuses nonlinéarités, nous a amené à porter notre attention sur une modélisation plus physique et locale de ces dissipations. En effet, bien souvent modélisé par des matrices d'amortissement visqueuse de type Rayleigh ou Caughey (1 960)' l'amortissement n'est introduit que de manière purement numérique, dont le calage basé sur aucun argument physique nuît à toute analyse prédictive. Ainsi, la

.. modélisation des phénomènes de frottement liées à la fissuration sous chargement cyclique (Ragueneau 1999, Ragueneau et al. 2000) doit nous permettre de mieux modéliser les phénomènes dissipatifs mis en jeux, permettant de diminuer la part prise par une matrice d'amortissement visqueuse dans les calculs numériques. Les deux figures ci-après présentent pour l'enchainement de la séquence expérimentale complète de CAMUS 1 (série de 4 séismes d'agressivité croissante), le bilan énergétique réalisé pour deux types de calculs : le premier avec un modèle d'endommagement unilatéral classique et le second avec un modèle d'endommagement intégrant l'hystérésis de comportement cyclique due au frottement de fissures (Ragueneau et al. 2001).

+ énergie cinétique 80 - - + énergie amortie

n + énergie du séisme 5 60 0

.r( + dissipation dans le matériau

M

3 40 '0

20

O O 1 O 30 40 50

20 temps (s)

Figure 3.9. Bilan énergétique sur un calcul CAMUS I. Endommagement unilatéral


+ énergie cinétique

+ dissipation dans le materiau

+ énergie du séisme

énergie amortie = O

Figure 3.10. Bilan énergétique sur un calcul CAMUS 1. Endommagement avec frottement.

Pour un calcul classique, utilisant une matrice d'amortissment visqueuse, plus de 60 % de l'énergie totale est dissipée de manière numérique et artificielle, sans: aucune possibilité d'identification prédictive. Dans un calcul incluant des mécanismes supplémentaires de types frottement de fissures, l'énergie introduite dans la structure par le séisme peut être dissipée dans le matériau et identifée de manière plus prédictive au niveau de l'élément de volume. Cette piste de modélisation des matériaux fragiles lors de chargement sismique sera poursuivie par la suite, cf. partie 1 (Desmorat et al. 2006).

3.1.2 Variation dynamique de l'effort normal L'interaction entre effort normal et moment fléchissant est un point important dans le dimensionnement des structures en béton armé. Sous effort sismique, la sollicitation cyclique alliée à la fissuration de la section transversale en béton armé introduit un soulèvement des masses de la structure. Lors de la refermeture des fissures, le choc introduit par la reprise de contact excite le mode de vibration verticale de la structure. Ainsi, afin de modéliser à chaque instant l'état réel de chargement d'une section de poutre (Moment min ou max et effort normal min ou m a ) , il convient de disposer d'une modélisation suffisamment fine au niveau local permettant de reproduire cette reprise de contact lors de l'alternance du chargement. Le modèle d'endommagement utilisé (Laborderie 1991) permet de générer des refermetures de fissures plus ou moins brutales entre la traction et la compression. Par des analyses paramétriques, ce paramètre matériau (contrainte de refermeture de fissure, cf. partie 1) a pu être identifié à l'échelle de la structure sur la séquence complète de chargement induisant un niveau de fissuration croissant.

-- -

1.0 essai O -

g -410' Nlce0.25 g 180 189 190 190 202

C S-F.1.139 225 230 270 288 271 6 1 0 ' ~

Nice 0.40 g 190 202 225 235 217

- 4 -3 -2 -1 O 1 2 3

d6fomiaHon ( 1 6

Figure 3.1 1. Eget de la contrainte de refermeture defissures sur la variation dynamique de

l'efort normal


Les effets de ce mode de refermeture de fissures peuvent être très importants, i.e. dans les zones de soulèvement, les accélérations verticales annulent le poids propre de la maquette, alors que celui-ci peut être doublé dans les moments de compression maximum (voir figure 3.12).

3.1.3 Rupture d'acier et perte d'adhérence La comparaison des spectres de réponse des signaux en déplacements, expérimentaux et numériques nous donne une bonne indication sur la qualité de la simulation et sa capacité à reproduire convenablement le comportement global sous différents niveaux de séisme. En effet, des chutes de fréquence très importantes sont observées (jusqu'au tiers de la fréquence propre initiale). Les modèles poutres, sur les 3 premiers niveaux de séisme, parviennent à reproduire parfaitement le contenu fréquentiel des différentes réponses. Par contre, lors de la dernière séquence menant à la ruine de la structure, le calcul demeure plus raide que l'essai. Certains mécanismes tels que les ruptures localisées d'acier en traction ne sont pas reproduits. En effet, le caractère trop global d'une analyse poutre empêche de manière naturelle toute possibilité de procéder en temps réel à un calcul des déformations réellement supportées par les aciers au droit d'une fissure.

Afin d'étudier l'impact de tels mécanismes, un modèle simplifié a été établi (Mazars & Ragueneau 2001). Par ré-analyses locales, il permet en introduisant les longueurs d'adhérence et les espacements de fissures (Favre et al. 1990) de procéder à un calcul réaliste de la déformation dans l'acier et ainsi de le mener à rupture. Si on note I r , la longueur de régularisation des contraintes de cisaillement à partir d'une fissure, sr la déformation de rupture de l'acier et Zh la taille de l'élément fini proche de la zone concernée, alors, dans un milieu poutre, la déformation limite à rupture qh s'exprime par :

En considérant la discrétisation adoptée pour les analyses CAMUS, sth = 4.10-03. Sur le dernier niveau de séisme, la figure 3.12 montre la comparaison en terme de contenu fréquentiel entre un calcul multifibre classique et un calcul introduisant des ruptures d'acier localisées.

- - sans rupture d'acier ,...... essai

Figure 3.12. Niveau de séisme ultime. Contenu fréquentiez de la réponse en déplacement. Influence d'une rupture localisée


Les chutes de fréquence montrent clairement l'effet bénéfique dans la simulation apportée par la prise en compte d'une rupture localisée. Ce recalcul des déformations au droit d'une fissure, fortement dépendant des caractéristiques de la liaison acier-béton, fera l'objet de plus amples développements dans la suite des travaux (cf partie 2).

3.1.4 Les modes de rupture PS 91 et EC8 La démonstration du comportement parasismique des murs faiblement armés a pu être établi de manière numérique et expérimentale. Pour cela, une comparaison des modes de rupture de deux maquettes (Kotronis et al. 2005) (CAMUS 1, dimensionnée selon la conception française (PS 91) et CAMUS III, conçue selon les règles européennes (ECS)) a permis de mettre en évidence les différents comportements. Sur CAMUS 1 une fissuration multi-étagée a été constatée et correctement représentée. L'apparition d'une rotule plastique à la base de la maquette CAMUS III (figure 3.13) a crée une sorte de fusible, rendu possible par un surferraillage dans le reste de la maquette.

Figure 3.13. Mode de rupture par création d'une rotule plastique à la base : CAMUS III (Kotronis et al. 2005)

3.2 CAMUS 2000

Suivant la méthodologie du programme CAMUS initial, combinant essais sur structures et développements de modèles numériques, le programme CAMUS 2000 a eu pour principal objectif d'investiguer la réponse de bâtiments à murs porteurs faiblement renforcés sous des sollicitations sismique tridimensionnelles. Dans ce cadre, deux maquettes à l'échelle 113 ont été testées sur la table vibrante AZALEE du laboratoire EMS1 du CEA Saclay.

Du fait de la rareté de ce genre d'essais tridimensionnels, un benchmark international a été organisé afin de comparer les différentes modélisations. Des équipes de plusieurs pays (France, Europe, USA et Japon) ont pu se confronter à la simulation de la maquette CAMUS 2000-1 et comparer leurs résultats lors d'une session spéciale organisée lors du VI& colloque AFPS en juillet 2003. Des modélisations 3D, 2D, poutre et par ressort-anologie ont ainsi pu être comparées.


3.2.1 Présentation du programme La maquette CAMUS 2000-1 est symétrique (deux voiles identiques 2.1 x 0.6 m) et est soumise à deux accélérogramrnes décorélés, suivant les deux directions perpendiculaires horizontales. Le ferraillage est décrit dans le tableau suivant :

Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 Niv. 4 Niv. 5

Section 0,95 0,48 0,16 0,16 0,16 d'acier à chaque 0,79 0,32 extrémité de mur (cm2 O,b4 0,16

Tableau 3.3. Ferraillage retenu pour la maquette CAMUS 2000-1

La maquette CAMUS 2000-2 est dissymétrique (les voiles ont des dimensions différentes 2.1 x 0.6 m et 1.3 x 0.6 m) et est soumise à un accélérograrnme dans le plan des voiles. Les sections calculées sont présentées dans le tableau 3.4. Les dimensions et caractéristiques des maquettes (nombre d'étages, masse, ..) sont identiques à celles de CAMUS. Seules les sections transversales diffèrent prenant en compte la présence de 2 directions de chargement : 2 séismes pour CAMUS 2000-1 et apparition de la torsion pour CAMUS 2000-2.

Le LMT-Cachan (Casaux 2003, Casaux et al. 2002) a participé aux analyses numériques, conjointement au CEA-Saclay et à I'INSA de Lyon (Mazars 2002), en pré-essais permettant d'aider au dimensionnement des maquettes, au choix des séismes et à l'enchainement des séquences de chargement ainsi qu'à l'instrumentation. La seconde phase des analyses numériques, post-essais, a permis de recaler et de valider les modèles afin de mieux comprendre le comportement des différentes maquettes. Tous les résultats ne sont pas présentés dans ce document, seuls quelques points importants sont traités dans la suite.

3.2.2 Discrétisation et modélisation des structures L'approche par poutre multifibres combinées à la mécanique de l'endommagement local a été retenue ici. Les modèles des maquettes ont été disposés sur appuis élastiques permettant de modéliser la souplesse engendrée par la présence de la table sous la maquette testée ainsi que leur interaction (Ragueneau 1999). La figure 3.14 montre la discrétisation multifibre d'une section transversale de chacune des deux maquettes.

Les maquettes sont discrétisées de la façon suivante :

- les murs sont représentés par des poutres de Timoshenko multifibres ; chaque poutre ayant une section et des inerties égales à celles de l'élément qu'elle représente. Chaque élément de mur est constitué de 8 x 3 fibres (élément quadrilatère à quatre nœuds) par section.

- les planchers et semelles sont des poutres élastiques. - les masses additionnelles sont modélisées par une densité équivalente des planchers. - les contreventements métalliques sont des éléments de poutre élastiques. - les tiges sont des éléments de barres.


Mur Etage Section de considéré ferraillage (cm2)

Mur Etage Section de ferraillage considéré (cm2>

Tableau 3.4 Ferraillage retenu pour la maquette CAMUS 2000-2

Q signal 3

CAMUS 2000-1 CAMUS 2000-2

Figure 3.14. Discrétisation transversale des deux maquettes CAMUS 2000.

La table est modélisée par deux poutres perpendiculaires de longueur 7,60m ;de largeur 3m et d'épaisseur lm. Elles sont liées de façon à obtenir un mouvement de corps rigide de l'ensemble. Chaque poutre est posée sur trois appuis élastiques. Les raideurs verticales de ces appuis ont été identifiées par le CEA lors des précédents essais CAMUS, à savoir 400.10~ N.m-' pour les ressorts d'extrémités et 800.10~ N.m-' pour le ressort central.

Concernant les matériaux, le modèle d'endommagement de Laborderie a été implanté au sein de CASTEM 2000 dans sa version uniaxiale. Les caractéristiques retenues pour le béton sont les suivantes : fc= 32'5 MPa, ft= 1'5 MPa, et E=29700 MPa. Pour l'acier, la loi de comportement uniaxiale de plasticité à écrouissage isotrope linéaire de CASTEM 2000 a été utilisée. Les paramètres (limite d'élasticité et pente de l'écrouissage) ont été identifiés grâce aux essais sur échantillon.

Le recalage a consisté, après observation des résultats expérimentaux en vibration libre, à retrouver les premières fréquences propres expérimentales. Pour ce faire, nous avons considéré un encastrement aux liaisons voile-plancher (une rotule aurait pu être imaginée) et


introduit des jeux dans les biellettes du contreventement transversal. Les comparaisons avec les essais pour les différents modes propres sont données en figure 3.15 ainsi que les calculs obtenus en 3D par 1'INSA de Lyon.

Les tableaux 3.5 et 3.6 fournissent les résultats obtenus sur les 2 maquettes pour tous les niveaux de séisme.

Mode Flexion dans le Flexion hors plan Torsion Pompage plan

Allure 3D

Calcul 3D 6,14 Hz 6,07 Hz 10,73 Hz

Calcul poutre 6,O Hz 5,5 Hz 10,5 Hz 17,2 Hz

essais 6,O Hz 5,45 Hz

Figure 3.15. Recalage des fréquences propres

On s'aperçoit que de manière globale, pour les différents indicateurs, les modèles de type poutres multifibres sont capables de représenter le comportement 3D de bâtiments à murs porteurs sous séismes. Afm de mieux apprécier la pertinence de cette approche, les comparaisons suivantes, se focalisant sur la simulation de la maquette CAMUS 2000-1, investiguent les réponses temporelles et fiéquentielles. Pour le niveau de dimensionnement de 0.55 g, les figures 3.16 et 3.17 présentent la comparaison entre essais et calculs des déplacements en tête de la maquette dans le plan des murs et du moment fléchissant hors- plan.


calcul essai calcul essai calcul essai calcul essai

Dép. Mur gauche (mm) 4,92 4,08 12,9 13,2 22,4 18,7 26,9 31,O

Dép. Mur droit (mm) 4,40 4,31 15,7 16:l 20,6 18,3 293 40,3

Dép. hors plan (mm) +3 $8 +4,93 +9,82 +12,8 +12,4 +27,9 +12,3 +45,7

Moment ds le plan (kN.m) 293 225 382 362 452 473 392 407

Moment hors plan(kN.m) 305 331 545 492 649 578 621 500

Effort normal total - Mur +46,9 +79 +9 t28 gauche (kN)

-484 -467 -470 -40

Tableau 3.5. Comparaisons essais-calcul pour la maquette CAMUS 2000-1

Niveau signal 0,80 g effectif 1,12 g effectif

comparaison calcul essai calcul essai

Déplacement dans le plan Mur gauche 34Jmm 32,4mm 65,2mm 57,9 mm

Déplacement dans le plan Mur droit 33,6mm 3 1,8mm 64,8mm 63,4 mm

Déplacement hors plan 10,Omm 6,O mm 16,4mm 17,9 mm

Moment dans le plan mur 130 348 kN.m 469 kN.m 393 kN.m 5 19 kN.m

Moment dans le plan mur 2 10 458 kN.m 727 kN.m 503 kN.m 632 kN.m

Effort normal total mur 130 -82 kN +36 kN -36,2kN +64 kN

Effort normal total mur 2 10 -52,6 kN -64 kN -57 kN +13 kN

Tableau 3.6. Comparaisons essais-calcul pour la maquette CAMUS 2000-2


Figure 3.16. Niveau de dimensionnement : 0.55 g. Déplacement dans le plan des murs

Figure 3.1 7. Niveau de dimensionnement : 0.55 g. Moment fléchissant hors-plan à la base du mur

La bonne représentation des différentes nonlinéarités apparaissant aux différents niveaux de sollicitation peut s'observer grâce au contenu fréquentiel des réponses en déplacement. Ainsi la figure 3.18 montre, pour les 4 niveaux de sollicitation, les comparaisons des spectres de réponses entre essais et calculs dans le plan et hors du plan des murs.

Il apparaît clairement à l'étude de la figure 3.1 8 que dans le plan de flexion des murs, guidés principalement par le comportement en béton armé, les modèles de poutres multifibres sont a même de parfaitement saisir les nonlinéarités et les chutes de fréquences correspondantes, jusqu'au niveau de ruine totale de la structure. Par contre, dans le sens transversal, pour lequel le contreventement métallique joue un rôle important, le modèle ne suit plus la réponse expérimentale dès le niveau de dimensionnement à 0.55 g. Un excès de raideur, synonyme d'une déficience de représentation d'un mode de rupture est observé. En effet, à ces niveaux importants de chargement, les plaques et boulons d'ancrage du contreventement métallique ont cédé, ce qui n'a pas été pris en compte dans une modélisation simplifiée du comportement de la structure.


dans le plan

hors plan

Figure 3.18. Contenu fréquentiez des réponses en déplacement en tête de la maquette pour les 4 niveaux de séisme et les 2 directions de chargement.

3.3 Synthèse

Les différentes campagnes expérimentales CAMUS ont permis, non seulement de démontrer le parfait comportement parasismique de la construction française mais aussi d'améliorer la modélisation ainsi que l'identification et la validation des modèles. Le premier programme CAMUS a permis de mettre en évidence l'importance de la modélisation, au niveau du matériau, de certains mécanismes fins du comportement (refermeture de fissures, adhérence, hystéresis .. ) ainsi que de permettre leur identification. CAMUS 2000 a permis de valider ces approches dans un contexte 3D. Du fait de la complexité de tels essais, tous les aspects du comportement n'ont pas pu être correctement mis en évidence et mesurés : la torsion notamment sur CAMUS 2000-2. Il est apparu une limite dans ce genre d'approche : le réalisme d'essais sismiques sur table, bien que permettant de reproduire fidèlement les conditions de sollicitation d'une structure sous séisme, engendre des difficultés de mesure, d'identification des comportements, et de compréhension des différentes réponses du fait de la multiplicité des sources de nonlinéarités.

Les essais sur structure, permettant l'identification et la validation de modèles de plus en plus sophistiqués demandent des mesures physiques de plus en plus fines (gestion des conditions limites, mesure de champs.. .). La suite de cette partie, consacrée à la mise en place au LMT- Cachan d'essais pseudo-dynamiques (PSD) avec sous-structuration nonlinéaire s'atèle à cette tâche.


4 Prévision du comportement à rupture : Approches hybrides

4.1 Contexte des essais sur structures en génie parasismique

La compréhension du comportement ultime des ouvrages de génie civil soumis à des risques naturels ou industriels (choc, impact, vent, séisme, . ..) peut être abordée sur deux plans : La modélisation numérique et la pratique expérimentale. Dans un domaine aussi complexe faisant intervenir les nonlinéarités des matériaux, les aléas et la méconnaissance du chargement et devant inclure des effets structurels dynamiques, les aspects (( calculs )) et (( essais )) doivent être abordés conjointement.

Ces vingt dernières années ont vu un essor important dans le domaine du calcul numérique et de la prévision de la tenue des structures soumises à différents types de chargement mécaniques, thermiques et/ou chimiques. Les modèles de matériaux développés permettent d'intégrer dans les analyses des comportements de plus en plus fins (plastification, fissuration, anisotropie, vieillissement, ....). Ces modèles nécessitent une identification de leurs paramètres à l'échelle du Volume Elémentaire Représentatif permettant au niveau du calcul de structures d'attendre une analyse prédictive des comportements. Il est clair qu'en présence de structures 3D soumises à des chargements complexes, la majorité des modèles est inapte à toute analyse prédictive fiable et robuste. Différents benchrnarks internationaux (( aveugles » de comparaison entre calculs et essais (bâtiment à échelle réduite soumis à un séisme sur table vibrante) (CAMUS 1, III) ont montré toutes les difficultés encore existantes. La fiabilité nécessaire à l'étude de certains sites à risques ne peut donc pas se passer complètement d'expérimentation sur structures.

Les essais pouvant être menés à l'échelle de la structure (taille réelle ou non) sont de trois types

1. Structures soumises à un chargement représentatif de la réalité (essais dynamiques)

- table sismique pour le génie parasismique (Azalée au CEA-Saclay)

- soufflerie pour le vent (Jules Vernes à Nantes)

Ces moyens d'essais ont l'avantage de tester la structure dans un cas de figure réaliste : signaux et spectres représentatifs de séismes réels. Les désavantages majeurs sont le coût important de ces essais, leur difficulté d'instrumentation et d'interprétation ainsi que leur caractère déterministe non reproductible : un ouvrage ayant supporté sur une table sismique tel type d'accélérogramrne qualifié par son signal spécifique, son niveau d'accélération et son contenu fiéquentiel n'est pas assuré de résister in situ compte-tenu de l'aléa important existant dans la propagation des ondes sismiques au travers des terrains rencontrés entre le lieu de la rupture de faille terrestre et celui de la structure.

2. Estimation de la résistance et de la ductilité globale de la structure (essais statiques)

Encore une fois, à échelle 1 ou non, le but de ce type d'essais (push-over en génie parasismique) permet, par l'application d'un chargement statique jusqu'à la rupture de déterminer les zones faibles de l'ouvrage et sa capacité portante maximum. Ces essais sont moins onéreux que les précédents, plus faciles d'interprétation et d'exploitation mais ne


peuvent en aucun cas prendre en compte les effets dynamiques, pourtant prépondérants dans une structure.

3. Essais Pseudo-dynamiques

Une alternative aux deux précédentes approches permet de combiner les calculs et les essais. C'est un essai quasi-statique dans lequel tous les effets dynamiques du comportement sont obtenus par le calcul et introduits dans les essais par un mode particulier d'asservissement (Pegon & Pinto 2000, Chung et al. 1999). A chaque instant, l'équation du mouvement pour l'ensemble de la structure est résolue : les termes inertiels, peu sensibles aux nonlinéarités sont calculés et les forces de rappels élastiques mesurées expérimentalement. Le chargement est pris en compte dans l'équation différentielle permettant de calculer les nouveaux déplacements à appliquer aux vérins. Développé pour le génie parasismique, ce processus expérimental permet de combiner la relative facilitée de réalisation d'un essai statique, prenant en compte le chargement et les effets dynamiques.

Combinant le procédé pseudo-dynamique expérimental à des outils de calcul nonlinéaire efficaces et robustes, notre objectif est d'étendre les capacités d'investigation de ces essais sur des éléments de structures par sous-structuration dans le domaine du génie parasismique des structures endommageantes (Souid et al. 05). L'interaction entre la sollicitation et la réponse de la structure est forte en génie parasismique. Les chutes de fréquences engendrées par la fissuration modifient la réponse spectrale de la structure. Ainsi, dans le but d'identification du comportement des matériaux ou éléments de structures sous des chargements réalistes, le comportement de la sous-structure modélisée se doit d'être le plus fidèlement reproduit. Les modèles robustes développés en terme de lois de comportement (partie 1) ou d'éléments finis (partie 3) seront mis à profit ici. Dans un même temps, bénéficiant de conditions quasi- statiques, des mesures adaptées à l'identification des comportements tels que les mesures de champs pourront être adoptées.

4.2 Les essais Pseudo-Dynamiques

4.2.1 Schéma général Le principe de base des essais Pseudo-Dynamique (PsD) est assez simple. Il consiste à réaliser des essais quasi-statiques sur structures ou éléments de structures, considérant les caractéristiques dynamiques de celles-ci (inertielles et d'amortissement) (Takanashi et al. 1975, Shing & Mahin 1984, Donea et al. 1992). Pour ce faire, dans la configuration la plus simple, la structure testée est assimilée à un système discret à 1 ou plusieurs degrés de liberté (ddl). Seuls ces ddl seront assujetis expérimentalement a un vérin. Dans le cas d'une sollicitation sismique représentée par un accélérogramme naturel ou artificiel a(t) , les équations semi-discretes du mouvement pour ces ddl s'expriment simplement par une équation différentielle du second ordre

Seul le vecteur des forces de raideurs r(t) est mesuré expérimentalement. Les autres termes de l'équation du mouvement sont calculés à l'aide de schéma d'intégration numérique. Les discrétisations en temps les plus couramment utilisées appartiennent à la famille de Newrnark. Etant donné l'interaction permanente entre calculs et essais, le schéma explicite des différences centrées est souvent utilisé garantissant l'efficacité de la méthode pour des pas d'intégration suffisamment petits comme le réclame par exemple les essais PSD


'continus' (Magonette 2001). L'augmentation de la taille des pas de temps d'intégration requiert l'emploi de schémas implicites, plus stables et plus précis. Des classiques schémas impliquant subcycling et itérations pendant chaque pas de temps garantissent la stabilité de l'intégration mais pénalisent fortement l'interaction calculs-essais par le coût de calcul engendré (Shing et al. 1991). Une solution pragmatique consiste à utiliser le principe de prédicteur-correcteur (Operator Splitting), permettant une intégration directe sans itération de l'équation : implicite dans un cas linéaire et explicite dans le domaine nonlinéaire (Nakashima et al. 1993). Dans la réalisation d'essais nonlinéaires à rupture, il devient alors nécessaire d'amortir les hautes fréquences, sources d'instabilité lors de l'emploi d'un schéma explicite, ainsi, un couplage de l'algorithme OS avec la méthode HHT (Hilber et al. 1977) s'avère des plus efficace (Combescure & Pegon 1997).

-n+l Connaissant l'accélération au pas de temps u , Les déplacements et vitesses sont approximées de la manière suivante :

Une prédiction :

Une correction :

Avec p = (1 - a)Z 14 et y = (1 - 2a)12. Pour a = O, nous retrouvons le classique schéma de Newmark (112, 114) et pour a E [-113;0[, le schéma dissipe de l'énergie. Une telle discrétisation est totalement implicite. Il est possible de le rendre explicite en approximant la force de raideur :

K I est une matrice de raideur, pouvant aller de la matrice de raideur initiale à la matrice de raideur tangente. Utilisant l'équilibre au pas n+l décalé de a , il est possible d'obtenir le vecteur d'accélération en résolvant le système linéaire :

Avec M = M + y&(l + a ) ~ + pAt2(1 + a)K1 et


Ce schéma s'applique parfaitement dans le cas où une structure complète est testée. L'utilisation de temps dilaté permet aisément l'interaction entre le calcul et les essais. Afin d'éviter certains inconvénients lors de la réalisation de tests PSD en quasi-statique : temps de maintien trop élevé des efforts entre deux pas de temps générant des relaxations inopportunes d'efforts, des procédures de sous-découpages en temps permettant de réaliser des essais PSD continus peuvent être adoptées (Magonette & Negro 1998, Magonette 2001). Dans le cas de matériaux et d'éléments de structure sensibles aux effets de vitesse (système de dissipation d'énergie par frottement et/ou viscosité), l'emploi de temps dilaté ne permet pas de rendre compte de la physique des phénomènes. En ce cas, des essais PSD en temps réel doivent être entrepris. Ce type d'essais, en grand développement, nécessite de relever un défi important au niveau de l'asservissement et de la discussion en temps réel entre calculs numériques et vérins (Nakashima 2001, Dorka et al. 2005, Haussman 2006).

Dans le cas des essais sur structures de génie civil en béton fortement endommagées. Nous nous intéresserons plutôt à l'identification sur éléments de structures de lois de comportement ainsi qu'aux cinématiques de ruptures correspondantes. Les essais envisagés sur la plateforme à Cachan concerneront des essais PSD continus avec sous-structuration nonlinéaire, faisant l'objet du paragraphe suivant.

4.2.2 Les essais PsD et la sous-structuration

4.2.2.1 Principe Le principe de base est de tester uniquement un élément de structure pour lequel les informations expérimentales sont attendues. Le reste de la structure est discrétisé. 3 zones de la structure seront distinguées : les éléments appartenant à la structure testée seule, ceux appartenant à la sous-structure modélisée seule et les nœuds d'interface entre les deux sous- structures (Pegon & Pinto 2000). Prenons l'exemple d'un portique double pour lequel seul un montant vertical sera testé expérimentalement, présenté en figure 3.19.

1 Nœuds 4 + Nœuds

internes modélisés

7

Structure complète Sous structure testée Sous structure modélisée

Figure 3.1 9. Sous-structuration pour un essais PSD

Reprenant les notations de 3.19, si les indices S concernent les structures modélisées et T les structures testées alors le système a traité est de la forme,:


Une condensation statique appliquée aux noeuds d'interface (Pegon & Pinto 2000) permet de traiter uniquement deux systèmes : l'un pour la sous-structure modélisée et le second pour la structure testée.

Un comportement élastique linéaire peut être affecté à la sous-structure modélisée (Pegon & Pinto 2000). Au regard de l'influence, lors d'une sollicitation sismique, de la prise en compte de la fissuration difise dans l'ensemble de la structure sur le comportement dynamique (chute de fréquence propre apparente), il semble important de pouvoir considérer le comportement nonlinéaire de l'ensemble de la structure. De manière pragmatique, en raison du système nonlinéaire à résoudre à chaque pas de temps, la solution des poutres multifibres a été adoptée par la suite. Les lois de comportement des matériaux, développées en partie 1 de ce document doivent être en mesure de s'accommoder de chargements dynamiques et cycliques.

4.2.2.2 Loi de comportement du béton Le caractère cyclique dans la réponse du béton est ici très important, permettant de simuler les ouvertures de fissures en traction, en compression, ainsi que la refermeture de fissures au passage entre la traction et la compression. Pour ce faire, le modèle anisotrope développé en partie 1 de ce document a été amélioré et enrichi afin de pouvoir intégrer les effets unilatéraux, engendrant des reprises de raideur. La formulation est identique à la partie 1 mis à part la partie déviatorique du comportement qui doit elle aussi être affectée par les refermetures de fissures. La mise en œuvre numérique de tels modèles peut s'avérer longue et délicate. Toutefois, en raison de l'environnement des analyses sismiques faisant appel aux analyses simplifiées de type poutres multifibres, seule la réponse sous chargement uniaxial en traction-compression sera implantée dans un code de calcul.

Ainsi, suivant le même principe (Ladevèze 1983, Lemaitre & Desmorat 2005), le potentiel permettant d'introduire une seule variable d'endommagement quelque soit le chargement (contrainte positive ou négative) s'écrit :

() - correspond à la partie négative d'un tenseur exprimée dans sa base propre. Afin de

conserver la différentiabilité de l'énergie libre de Gibbs, la partie positive of de crD doit

être construite avec précaution (Ladevèze 1983). Ainsi, le problème aux valeurs propres A' et

vecteurs propres f ' suivant est posé :

Partie 3 Prévision du comaortement des structures sous séismes

-1T 112 -5 La normalisation étant définie comme : T (1 - D) T = 6,j, la partie positive du déviateur s'écrit comme :

Ceci permet d'obtenir comme propriété à la différentiabilité de la première partie du potentiel :

La loi d'élasticité peut ainsi être dérivée, de manière continue comme en partie 1, en prenant en compte maintenant une refermeture totale des microfissures :

Définissant une contrainte effective, indépendante de tout paramètre matériau :

La dernière adaptation à effectuer sur la loi de comportement anisotrope de la partie 1 concerne la loi d'évolution de la fonction de consolidation K . En écrivant a = ~ ( t r ~ ) , nous avons obtenu en partie 1 des réponses monotones tout à fait satisfaisantes, aussi bien traction qu'en compression. Si un chargement cyclique est envisagé, la consolidation générée en traction engendrera un comportement purement élastique lors de la compression ultérieure. La fonction de consolidation a doit donc prendre en compte une certaine notion d'orientation elle aussi. Désirant conserver la loi d'évolution de l'endommagement ainsi que les paramètres précédemment identifiés, il suffit de projeter l'endommagement sur les déformations positives qui génère un endommagement à un instant donné, normé par la valeur maximum de la déformation principale. Ainsi, un effet de mémoire et d'orientation est introduit. Le seuil d'élasticité s'écrira comme suit :


D : (&) En traction, : (')+ = DI = TrD , et en compression + = 2D2 = TrD . L'écriture est

m=(&I ) m 4 ~ I ) donc tout à fait équivalente à l'expression de la partie 1.

L'implantation numérique de cette variante du modèle anisotrope est similaire à celle proposée en partie 1 de ce document. La figure 3.20 présente la réponse du modèle pour un chargement non monotone : traction-compression-traction. Les paramètres utilisés sont les mêmes que ceux de la partie 1. Les courbes enveloppes sont donc comparables.

-0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 O 0.001

déformation

Figure 3.20. Réponse du modèle anisotrope pour des chargements uniaxiaux cycliques : prise en compte de l'unilatéralité.

Après le premier chargement de traction, la raideur initiale élastique du modèle est restituée en compression. La loi de comportement suivie ensuite est celle du béton comprimé de la partie 1. En repassant en traction, il est à noter une qualité importante du modèle : du fait du couplage des directions, obtenu par le terme en TrD, un fort endommagement de compression affecte la réponse en traction suivante, ce qui est tout à fait réaliste à l'examen d'échantillons ayant subi une compression importante. Ce type de comportement ne peut être reproduit si deux variables indépendantes sont introduites dans le but de représenter la dissymétrie traction-compression (Laborderie 199 1).

4.3 Développement d'une plate forme d'essais au L MT-Cachan

Des premiers essais visant à développer un environnement pseudo-dynamique sur la plateforme d'essais sur structures aux LMT-Cachan ont été effectués. Dans un premier temps, des essais PsD élastiques sur structures simples ont été réalisés, visant à valider les différents schémas d'intégration couplés à l'asservissement des moyens hydrauliques (Souid 2003). Dans un second temps, le couplage avec la sous-structuration dans un régime élastique a été effectué (Souid et al. 2005). Enfin des premiers essais nonlinéaires sur structures de génie civil sont présentés.

4.3.1 Essai PsD élastique Un système simple a un degré de liberté a été retenu, représenté en figure 3.21, il s'agit d'une poutre surmontée d'une masse en tête soumise à une accélération de type sismique à sa base. Seule la poutre en aluminium sans masse en tête a été testée. Encastrée à sa base, les


mouvements de la masse effective dus aux effets inertiels sont calculés par les procédures préalables.

Figure 3.21. Essais PSD à 1 ddl, schéma de principe et accélérogramme appliqué à la base.

Différentes études paramétriques ont été menées sur ce dispositif expérimental permettant de tester l'influence du schéma numérique ainsi que celui du pas de temps de discrétisation sur les paramètres d'asservissement P.I.D. du système hydraulique. Un premier exemple est donné en figure 3.22 pour lequel on compare, utilisant le schéma purement explicite des différences centrées, la réponse numérique (calculée par CAST3M) de ce problème à la réponse expérimentale, utilisant différents incréments de temps dans l'application des déplacements calculés : 1 seconde et 0.1 seconde. Un schéma explicite requiert des temps d'application des déplacements plus élevés pour représenter correctement les déplacements théoriques. Un schéma implicite de type a-Os permet, en augmentant la fréquence d'application du chargement, d'obtenir les mêmes résultats qu'en explicite (voir figure 3.22) permettant un gain de temps appréciable dans la réalisation des essais.

......... : .....-.... .: ..........; ..-........ .. ....... I I I i \

O 2 4 6 8 10 temps (s)

. . . . - . . . . -

O 2 4 6 8 1 O temps (s)

Figure 3.22. Essais PSD avec schéma explicite. Gauche : Influence des incréments de temps. Droite : comparaison des schémas implicite (At = 0.1s) et explicite (At = 1s)

4.3.2 Les essais PSD avec sous-structuration linéaire Le même dispositif expérimental a été conservé permettant d'effectuer un premier test avec sous-structuration linéaire. Pour cela, un simple portique est considéré comme présenté en figure 3.23 dans lequel seule une direction de sollicitation est envisagée. La partie testée correspond à un montant du portique comme indiqué en figure 3.23. Désirant conserver un

Partie 3 Prévision du corn~ortement des structures sous séismes

seul degré de liberté, une rotule est introduite en tête du poteau en jonction avec la traverse. Le portique est soumis à une accélération horizontale du sol.

Figure 3.23. Essais PSD : avec sous-structuration.

La figure 3.24 présente une comparaison de la réponse horizontale de l'articulation enregistrée pendant l'essai PSD avec sous-structuration et la réponse numérique obtenue sur CAST3M en modélisant l'ensemble du problème d'un seul tenant. Nous notons que dans un cadre linéaire, la réponse obtenue est tout à fait satisfaisante.

Figure 3.24. Essais PSD avec sous-structuration. Comparaison essais-calculs

4.3.3 Les essais PSD sur structure en béton armé avec sous-structures nonlinéaires

Afin de démontrer la capacité des éléments de modélisation mis en place précédemment (calculs simplifiés couplés à l'endommagement) et des algorithmes expérimentaux PSD avec sous-structuration, un premier exemple de structures en béton a été traité. Il s'agit d'un portique double dont la description est donnée en figure 3.25 sousmis à deux directions de sollicitation (horizontale dans le plan et verticale). L'élément isolé testé est une poutre horizontale de plancher supportant une masse ponctuelle en son centre. La poutre devant subir un chargement de flexion alternée cyclique, un montage en flexion 3 points bi-rotulé avec condition d'appuis unilatéraux a été utilisé (Laborderie 1992). La poutre centrale, d'une longueur de 1.5 m présente une coupe transversale rectangulaire de 15*22 cm et est renforcée par l'intermédiaire de 2 aciers longitudinaux de 14 mm de diamètre.


Le déplacement dû au poids propre de la structure est appliqué la première seconde, puis le séisme à la suite.

Figure 3.25. Essais PSD sur poutre en béton armé sous chargement cyclique

Dans un premier temps, des comparaisons purement numériques, utilisant le modèle anisotrope présenté au paragraphe précédent, ont été effectuées. Les deux sous-structures ont été modélisées par l'intermédiaire de poutre multifibres. En figure 3.26, les déplacements verticaux de la masse ponctuelle et horizontaux de l'appui de gauche de la poutre sont tracés pour deux calculs : la structure complète et avec sous-structuration. Bien que dans un régime nonlinéaire, avec des pas de temps suffisamment petits (At = 0.5 ms) , les deux analyses se superposent.

temps (s) temps (s)

Figure 3.26. Comparaisons des simulations numériques avec et sans sous-structuration.

Un premier résultat expérimental est présenté en figure 3.27, il s'agit du déplacement vertical du centre de la poutre lors des premières secondes du signal. ~a-réalisation d'essais quasi- statiques nous permet de disposer de moyens de mesures plus précis que dans le cas d'essais en dynamique. A titre d'exemples, lors des instants critiques de la réponse de la structure au séisme, il est possible de procéder à des mesures de champs par l'intermédiaire de corrélation d'images numériques (Hild 2002). Des premiers résultats de ce type sont présentés pour trois instants de la réponse : au début du séisme, lors d'un pic en moment négatif et lors d'un pic en moment positif. Placée au tiers de la poutre, la caméra permet d'observer des ouvertures de fissures en cisaillement. La figure 3.28 présente le champ de déplacement horizontal. Des ouvertures de fissures de 50 à 700 microns ont ainsi pu être observées à différents instants.


temps (s)

Figure 3.27. Essai PSD avec sous-structuration nonlinéaire sur poutre en béton anné$ssuvée

33 cm = 1280 Pixels 4 b

Figure 3.28. Champ de déplacement par cowélation d'images numériques

Ce type d'essais permet donc de déterminer en cours de séisme le degré d'ouverture des fissures mais aussi d'estimer, suite à la sollicitation sismique, le niveau d'ouverture résiduelle de ces mêmes fissures. Ce dernier indicateur se révèle être de toute première importance pour les sites à risques dans lequel la perméabilité au gaz est extrêmement sensible à ce facteur. La ré-analyse locale de ces résultats à l'aide du modèle 3D d'endommagement est en cours, permettant une validation de l'identification.

5 Synthèse

Cette partie s'est attachée à décrire les méthodes de calculs pragmatiques utilisées en génie parasismique permettant de décrire le comportement jusqu'à rupture de structures en béton armé. Basées sur le concept des poutres multifibres, les méthodes simplifiées autorisent l'emploi de lois de comportement fines au niveau du matériau, prenant en compte différents mécanismes de type refermeture de fissures, frottement, anélasticité, anisotropie.. . . Utilisés dans un calcul de structure en dynamique, ces mécanismes locaux sont essentiels dans la représentation de différents phénomènes structuraux tels que l'évolution des fréquences propres et de la dissipation par amortissement en cours de séisme. Appliquées à différents cas


d'études par le biais de programmes expérimentaux nationaux, ces méthodes d'analyses simulent de manière prédictive le comportement de structures complexes et/ou soumises à des chargements complexes. Toutefois, même si le comportement global est bien appréhendé, certains mécanismes locaux, du fait même des cinématiques adoptées ne peuvent être convenablement représentés. Les phénomènes par exemple de rupture localisée des aciers et les pertes d'adhérence entre les matériaux ne peuvent être aisément pris en considération. Des efforts de modélisation, introduisant les concepts de sous-structuration dans certaines zones critiques sont encore à développer dans le domaine de l'analyse simplifiée des structures sous séisme (Feyel & Chaboche 2000, Hund & Ramm 2006).

Le dialogue permanent entre essais et calculs a permis de faire progresser la modélisation numérique tout en apportant un éclairage neuf sur certains résultats expérimentaux. L'amélioration des modèles employés nécessite une identification de plus en plus élaborée. Les essais sur table vibrante, du fait même de leur caractère dynamique rendent difficile la mesure de certaines données. Les informations obtenues sont globales (déplacements en tête, force globale, description macroscopique de la fissuration...), et n'apportent pas d'informations fines sur la ruine. Les mesures locales obtenues par des extensomètres ne sont pertinentes que si le phénomène que l'on souhaite enregistrer (localisation des déformations, ouverture de fissure) se produit exactement sur la zone d'étude et perpendiculairement à la direction de mesure, ce qui reste aléatoire pour le type de matériaux testés. Les conditions aux limites sont complexes et difficiles à modéliser par manque d'informations précises (un encastrement n'est jamais parfait), ce qui amène des différences de comportement calcul/essai dès le domaine élastique. Le développement d'essais pseudo-dynamique au LMT Cachan a pour ambition de permettre de mieux appréhender la rupture de structures ou d'éléments de structures par des mesures fines rendues possibles par le coté quasi-statique de la sollicitation. L'identification de modèles se retrouve améliorée en ayant accès directement à certaines informations manquantes lors de la réalisation d'essais sur table vibrante :

les conditions aux limites peuvent être analysées (déplacement et rotation d'un encastrement, déformation d'un mur de réaction) et permettent d'obtenir les conditions aux limites réelles pour la simulation,

des essais statiques et pseudo-dynamiques permettent de prendre en compte des conditions aux limites réalistes et un environnement 'dynamique' du chargement tout en bénéficiant des possibilités de mesures en statique,

la fissuration peut être localisée précisément dès son apparition, et suivie tout au long du test par l'emploi de mesures par corrélation d'images.

Des premiers tests dans le domaine linéaire, avec sous structuration, ont permis de .tester les différents algorithmes de dialogue entre calculs et essais. Un essai sur structure réelle de génie civil dans le domaine nonlinéaire, aussi bien pour la sous-structure testée que pour la sous- structure modélisée a démontré la faisabilité du projet. Les essais envisagés sur la plateforme du LMT ont pour but d'améliorer la modélisation et l'identification de modèles. Des mesures de l'amortissement en pseudo-dynamique de différentes structures nous permettront, par exemple, de distinguer l'évolution de la part visqueuse de la part hystérétique dans le comportement d'éléments en béton armé proches de la rupture.


L'objectif de ces travaux, principalement axés sur le comportement mécanique des structures de génie civil en béton armé et précontraint, est de contribuer à l'amélioration des techniques d'analyse de celles-ci lors du comportement ultime proche de la ruine, tant numériquement qu'expérimentalement. Pour cela, se basant sur les conclusions de différents programmes nationaux de recherche sur le comportement sismique des structures en béton (CAMUS), plusieurs points méritaient développements. Ainsi, trois thèmes principaux ont été abordés.

Le premier point concerne les techniques d'analyses propres au génie parasismique. La prédiction de la rupture des structures de type bâtiment, de par la complexité des sollicitations et de leurs aléas, nécessite l'emploi de méthodes paramétriques. Les analyses simplifiées, reposant sur la théorie des poutres multifibres, fournissent un cadre approprié à la description mécanique et physique des différents mécanismes nonlinéaires. Elles sont de plus sufisamment pragmatiques pour permettre d'envisager le traitement de structures de grande taille. Des développements particuliers, liés au comportement 3D des structures, tels que la torsion avec gauchissement ont permis, par une confrontation à des résultats expérimentaux, de faire progresser les capacités de prédiction de ces modèles. Le dialogue entre calculs et essais en dynamique a mis en évidence les difficultés de compréhension du fonctionnement de ces structures, mais aussi de leur identification. Ainsi, une démarche se basant sur les analyses hybrides couplant essais et calculs a été adoptée. Les essais pseudo-dynamiques avec sous- structuration nonlinéaire, permettant de procéder à des mesures physiques du fait de l'asservissement quasi-statique utilisé, ouvrent de nouvelles pistes quand à l'amélioration des processus d'identification des modèles sur matériaux et éléments de structure. L'identification de l'amortissement par frottement hystérétique d'éléments de structures en béton armé fissurés peut être envisagée par le biais de ces essais. Différents types de renforcements permettraient de discriminer la dissipation liée exclusivement à la fissuration du béton et celle due au frottement initié par le glissement à l'interface entre l'acier et le béton. Un point inabordé ici concerne les essais incluant des matériaux dont la réponse peut être dépendante de la vitesse de sollicitations (amortisseurs sismiques, appuis en néoprène, . . .). Les classiques essais pseudo-dynamiques développés ne permettent pas de reproduire les effets de dissipations visqueuses observées sur matériaux. Des développements expérimentaux permettant de pratiquer des essais PSD en temps réel (real time resting) devront être réalisés.

Le second aspect traite des améliorations de la modélisation des matériaux en présence. Le béton, élément prédominent des structures de génie civil, fait donc l'objet de notre attention. Deux pistes de modélisations ont été empruntées, répondant à deux objectifs et types de calculs pratiqués. Dans un premier temps, prenant en compte un maximum de mécanismes dissipatifs nonlinéaires (anélasticité, endommagement, hystérésis), un modèle de comportement dédié initialement à l'analyse multifibres des structures a été développé. Incluant un couplage fort entre endommagement et frottement, il permet non seulement de rendre compte des caractéristiques essentielles de la réponse des structures en dynamique (chute des fréquences propres par fissuration et accroissement de l'amortissement par frottement hystérétique) mais aussi d'accumuler des sources de dommages en service par fatigue. La combinaison de ces deux types de dégradation (court et long terme) permet de prendre en compte l'état initial d'une structure avant application de la sollicitation accidentelle extrême. Dans le but d'intégrer un maximum de mécanismes nonlinéaires à long terme, des développements sont en cours quant à la prise en compte du fluage pour les structures précontraintes. La mise en œuvre tridimensionnelle de ce modèle nécessite une réflexion sur le type de critère d'élasticité à adopter, deux échelles étant considérées : la contrainte seuil de frottement et la limite de fatigue asymptotique. Du fait de la complexité des mécanismes introduits de manière unidimensionnelle, une réflexion quant à l'opportunité d'intégrer ce type de lois au sein d'un formalisme de type microplan devra être menée. Un


modèle 3D pour le béton de ré-analyse locale du comportement structurel a été développé, introduisant un couplage entre anisotropie induite et élasticité. L'intégration numérique d'un tel modèle, facilitée par une discrétisation implicite des équations d'évolution résolue de manière explicite au niveau du point de Gauss, permet de rendre compte de manière globale du comportement des structures fissurées. La nécessité de déterminer l'espacement mais aussi l'ouverture des fissures prises individuellement exige d'établir clairement le lien entre endommagement anisotrope et ouverture discrète. Des analyses combinées couplant essais par mesure de champs, calcul par éléments discrets et analyse continue par endommagement anisotrope devraient nous permettre d'avancer de manière confiante dans ce domaine.

Le dernier aspect abordé dans ce travail concerne la prise en compte des aciers de renforcement au sein des structures en béton. Deux aspects importants ont été envisagés : la corrosion à long terme de ces aciers et les phénomènes de rupture à l'interface acier-béton. Une loi de comportement de l'acier corrodé a été développée, permettant de considérer les pertes de capacités portantes ainsi que les chutes de ductilité, de manière corrélée avec le niveau de corrosion. Une campagne expérimentale sur poutres en béton armé corrodées a permis d'identifier les différents paramètres de la modélisation. Les effets de la corrosion sur les phénomènes de glissement à l'interface acier béton ont été étudiés expérimentalement. Afin de pouvoir discriminer, dans un but d'identification de modèles, les différents mécanismes survenant sur l'interface, un nouvel essai d'arrachement a été imaginé. Par des conditions limites adaptées et une géométrie plane, des essais de cisaillement peuvent être menés sans contraintes latérales parasites. Des mesures de champs de déplacement directement sur l'interface ont mis en évidence les différents mécanismes survenant lors de la rupture, dépendant du type de rugosité des aciers. L'influence d'un état triaxial de contrainte de l'interface sur les modes de fissuration doit être étudiée, permettant d'identifier les paramètres géométriques liées à la taille de la zone endommagée au contact. Une loi de comportement ainsi que son élément fini approprié ont été développés, permettant de prendre en compte la rupture d'interface dans la prédiction des faciès de ruptures d'éléments en béton armé. Le couplage de ce modèle purement mécanique avec d'autres sources de dégradation telles que la corrosion doit être développé.

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COMPORTEMENTS ENDOMMAGEANTS DES …MATERIAUX ET DES STRUCTURES EN BETON ARME ... L'analyse des ouvrages de Génie Civil, ... Partant d'une discrétisation sommaire de la structure