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Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

Construction de corps dedécomposition grace aux facteurs derésolvantesLionel Ducos aa Département de Mathématiques , Université de Poitiers ,SP2MI - Téléport 2, Futuroscope cedex, BP 17986960 E-mail:http://wwwmathlabo.univ-poitiers.frPublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Lionel Ducos (2000) Construction de corps de décompositiongrace aux facteurs de résolvantes, Communications in Algebra, 28:2, 903-924, DOI:10.1080/00927870008826868

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 28(2), 903-924 (2000)

CONSTRUCTION DE CORPS DE D~COMPOSITION

GRACE AUX FACTEURS DE RESOLVANTES

Lionel Ducos

UniversitB de Poitiers

DBpartement de MathCmatiques

SP2MI - TClCport 2 - B P 179

86960 Futuroscope cedex

ducosQmath1abo.univ-poitiers.fr

http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/-ducos

Abstract Traditional methods of research for the Galois group of a polyno-

mial f with coefficients in a field K are strongly related to factorization of absolute or relative resolvents. In this paper, thanks to resolvents and the Galois theory for rings, we describe an effective algorithm for building a splitting field E of f over K, i.e. to find a finite system of generators for the kernel of a surjective morphism KIX1,. . . , X,] -H E.

RBsum6 Les mkthodes classiques de recherche du groupe de Galois d'un

polynBme f a coefficients dans un corps K sont fortement likes B la factorisation de rCsolvantes absolues ou relatives. Dans ce document, grbce aux algkbres galoisiennes, nous montrons une mCthode permet- tant d'utiliser les facteurs de ces rCsolvantes afin de construire un corps de dkcomposition E de f sur K , c'est-&dire trouver un systkme fini de gCnCrateurs du noyau d'un morphisme surjectif KIX1,. . . , X,] -H E.

Copyright O 2000 by Marcel Dekker, Inc. www.dekker.com

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1 Introduction

DUCOS

Dans [2], [12], (151, et [16], les auteurs exposent des methodes voisines pour

determiner le groupe de Galois d'un polyn8me separable f de degre n sur

un corps K . On peut les resumer ainsi: soit H un sous-groupe du groupe

symetrique S, et CH une rBsolvante separable liBe au sous-groupe H. On ap-

pelle type de la factorisation de CH dans K[T] la liste croissante des degrBs de

ses facteurs irrhductibles. Soit G un sous-groupe de S,. Celui-ci opkre par mul-

tiplication a gauche sur l'ensemble des classes a gauche (S,/H),. On appelle

type de l'action de G sur (S,/H), la liste croissante des cardinaux des G-orbites

de (S,/H),. On montre aisBment que le type de la factorisation de CH et le

type de l'action du groupe de Galois de f sur (S,/H), sont identiques. Les

sous-groupes G ne vBrifiant pas cette proprietB sont exclus de la recherche du

groupe de Galois de f et en faisant varier suffisamment le sous-groupe H, on

peut ainsi Bliminer tous les sous-groupes differents du groupe de Galois de f .

I1 n'est pas difficile de constater que seuls les degres des facteurs des rBsolvantes

sont utilises.

Par ailleurs, dans [I] (page 249), J.-M. Arnaudiks pose la question sui-

vante : "...I Numdrotons arbitrairement les racines de f , soit yl, . . . , y,. Peut-on de'jinir un algorithme qui permettrait d'expliciter un systtme de

ge'ne'rateurs de l'ide'al de K[Xl , . . . , X,] forme' par les P E K[X,, . . . , X,] tels

que P(y1,. . . , y,) = 0 ?" En fait, il est possible d'utiliser les facteurs des

resolvantes CH (et non seulement leurs types de factorisation) afin de construire

un ideal maximal de l'algkbre des polyn8mes K[XI, . . . , X,] dont le corps

residue1 soit un corps de dBcomposition de f sur le corps K . Pour cela, nous

allons considirer l'algkbre de dBcomposition universelle dK du polyn8me f

sur K . Nous montrerons que cette algkbre est une algkbre galoisienne de

groupe de Galois S,. Nous verrons Bgalement comment une factorisation d'une

resolvante CH nous permet de construire une algkbre galoisienne sur K de

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groupe de Galois plus petit que S,, en quotientant dK par un ide'al galoisien.

En faisant varier H si besoin est, il est possible de construire une algkbre ga-

loisienne dont le groupe de Galois est celui de f : cette dernikre sera en realit6

un corps de dkomposition de f .

2 Alghbres galoisiennes

2.1 Rappels

DCfinition 2.1 Soit A un anneau commutatif, G un groupe fini ope'rant sur A ,

et R le sous-anneau des points fixes. On dira que A est une R-algkbre galoi-

sienne de groupe G si quel que soit l'ide'al maximal p' de A , p = R n p' sa truce

sur R, k = R l p et k' = Alp' les corps rbiduels, le morphisme canonique de

dans le groupe Autk k' est bijectif.

Le gmupe D(pr) est appele' groupe de d6composition de l'ide'al p'.

ThCorhme 2.2 (cf [8] ou [9]) Soit un anneau commutatif A sur lequel optre

un groupe fini G . Soit R le sous-anneau des points fixes. Alors il y a e'quivalence

entre les assertions suivantes :

1. A est une algtbre galoisienne sur R de groupe G ;

2. le morphisme A BR A + nG A de'fini par a €3 b ++ (a.g(b))gEG est un

G-isomorphisme de A-algtbres;

3. il existe des e'le'ments X I , . . . , x,, yl, . . . , y, dans A tels que

t' g E G Ci xig(yi) = bg,l, ;

(6 dbigne le symbole de Kronecker.)

4. quel que soit p' ide'al maximal de A et quel que soit g E G , g # lG, il

existe au moins un x E A tel que g ( x ) - x $! p'.

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Propri6td 2.3 (cf [13]) Soit A une algbbre galoisienne sur un anneau R de

groupe G, I un ide'al propre de A et H C Stabc(1) = { g E G I g ( I ) = I ) .

Alors :

1. A est un R-module projectif de type fin; de rang constant JG1 ;

2. A / I est une algbbre galoisienne sur A H / ( I n A H ) de groupe H ;

3. le groupe H opbre fidblement sur A / I ;

4. I'iddal I est engendrd par I n A H .

Propridtd 2.4 Soit A une algbbre galoisienne sur un anneau R de groupe G

et p un ide'al premier de R . On note R , le localisd de R par S = R \ p ,

A , le localise' de A par S . Alors A, est une algbbre galoisienne libre sur R , de

groupe G.

Par ailleurs, quel que soit l'ide'al premier p' de A au-dessus de p , le corps

des fractions k' = Frac(A/pl) est une extension galoisienne de k = Frac(R/p)

de groupe de Galois StabG(pl).

2.2 Algbbres galoisiennes sur un anneau int6gralement clos

Nous allons Btudier la structure trks particulihre d'une algkbre galoisienne A

lorsque son anneau des points fixes R est integralement clos. En e f fe t , A est

par exemple rBduite en raison de la propriktk suivante:

PropriCtC 2.5 Soit A une algbbre galoisienne sur un anneau R de groupe G,

f i un idial premier de R. Alors pA = n,,pl 02i l'intersection porte sur les idkaux

premiers p1 au-dessus de p .

En particulier, pA est semi-premier et le nil-radical de A est engendre'e par

celui de R .

Par suite, comme dans tout anneau rkduit, nous avons

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U 'P = {diviseurs de 0) P C A

l er minimal

Nous allons dBmontrer que l'algkbre galoisienne A sur l'anneau intkgralement

clos R ne posskde qu'un nombre fini d'idkaux premiers minimaux, et d'autre

part qu'elle est isomorphe canoniquement a un produit fini d'anneaux int6-

gralement clos. De plus, ces anneaux sont des R-algkbres galoisiennes toutes

isomorphes et dont les groupes de Galois sont bien dCterminBs.

PropriBtd 2.6 Soit A une algdbre galoisienne d e groupe G sur un anneau R

intdgralement clos de corps des fractions K . Alors A est intkgralement ferme'e

dans son anneau total des fractions K BR A = (R*)-'A (algbbre galoisienne

sur K , de groupe de Galois G).

DBmonstration GrGce a la propriBtB 2.4, on sait que K @ R A = (R*)-'A

est une K-algkbre galoisienne de groupe G. Soit (xi, y,)i des BlCments de A

vBrifiant xi xig(yi) = d l , pour tout g E G. Ces BlCments existent car A est une

R-algkbre galoisienne de groupe G. I1 en existe Bgalement dans la K-algbbre

galoisienne K BR A = (R*)-'A: nous pouvons prendre les memes (xi, y,)i

puisque A s'injecte dans K @ R A = (R')-'A. Nous avons alors

Si nous considCrons un Clement a E (R')-'A entier sur A, alors celui-ci est

entier sur R (car A est une algkbre entiere sur R) . Comme les y, appartiennent

B A, ils sont Bgalement entiers sur R , si bien que les produits zy, le sont aussi.

Dks lors, tr(zyi) est un BlBment de K entier sur R. Or R est integralement

clos, donc tr(zyi) appartient a R. Finalement, si un BlBment z de (R*)-'A est

entier sur A, alors z appartient au module xi Rxi, donc A : l'algkbre A est

intkgralement fermCe dans son anneau total des fractions.

ThBor&me 2.7 (cf [4], page 56) Soit R un anneau inte'gralement clos, A

un anneau contenant R et entier sur R. On suppose que 0 est le seul de'ment

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de R qui soit diviseur de 0 dans A. Soit p c q deux ide'aux premiers de R et q

un iddal premier de A au-dessus de q. Alors il existe un ide'al premier p de A

au-dessus de p et contenu dans q.

En particulier, si nous consid6rons une algebre galoisienne A sur un an-

neau R intkgralement clos, 0 est le seul dement de R qui est diviseur de 0

dans A car A est un module projectif sur l'anneau intkgre R. Ainsi les hy-

potheses et la conclusion de ce theoreme sont tout-a-fait valides dans notre

cadre. I1 est alors facile de prouver le corollaire suivant :

Corollaire 2.8 Soit A une algbbre galoisienne de groupe G sur un anneau R

intdgralement clos. Les ide'aux premiers minimaux de A sont les ide'aux pre-

miers de A au-dessus de I 'iddal premier (0) C R. Le nombre d Fde'aux premiers

minimaux dans A est fini (car ils sont G-conjugue's).

Propri4t6 2.9 Soit A une algkbre galoisienne de groupe G sur un anneau R

intdgralement clos. Soit p un ide'al premier minimal de A (i.e. au-dessus

de (0)). Alors Alp est une R-algbbre galoisienne intbgre de groupe de Ga-

lois H = StabG(p).

DBmonstration Soit Kp, KH et K les corps des fractions des anneaux

intkgres A/#, AH/(AH n p) et R respectivement. Nous savons dCjB que Alp

est galoisienne sur le quotient AH/(AH n p ) de groupe H (propri6t6 2.3). Nous

en d6duisons par localisation que l'extension Kp est galoisienne sur KH de

groupe H.

D'autre part, grbce a la propriCt6 2.4, K p est une extension galoisienne

de K de groupe de Galois H. Ainsi KH = K , autrement dit AH/(AH n p)

et R ont le mdrne corps des fractions. Comme AH/(AH n p) est entier sur R

et R est inthgralement clos, nous avons l16galitC de ces deux anneaux: Alp est

galoisienne sur R de groupe H. 0

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2.3 Idempot ents ind6composables

Lorsqu'un anneau noethhrien est rkduit, il est connu que son anneau total

des fractions est un produit fini de corps (voir [3], page 153). De plus, si cet

anneau ncethkrien rhduit est inthgralement ferme dans son anneau total des

fractions, alors il est isomorphe i un produit d'anneaux inthgralement clos.

Nous proposons ici un resultat tout-8-fait similaire pour les algkbres galoi-

siennes "monthes" sur les anneaux inthgralement clos.

ThQor&me 2.10 Soit A une algbbre galoisienne de groupe G sur un an-

neau R inte'gralement clos. Alors A = $,Ae ozi la somme directe porte sur

les idempotents inde'composables e de A. Ceux-ci sont G-conjugu~s. De plus,

les R-alghbres Ae - Al(1 - e)A sont intigralement closes et galoisiennes de

groupe de Galois Stabc(e).

DQmonstration Soit K le corps des fractions de R et A' la K-algkbre galoi-

sienne (R*)- 'A = K BR A de groupe G. Tout d'abord les idempotents de A'

appartiennent B A (car racines de T2 - T) en vertu de la proprihte 2.6.

D'autre part, la K-algkbre galoisienne A' est une K-algkbre artinienne (car

de dimension finie) et r6duite. I1 s'agit donc d'un produit de corps

A' = (I?)-'A 2 n A'lm m maximal

De plus, tout idhal d'un produit de corps est engendre par un unique idem-

potent. Ainsi pour tout ideal maximal m c A', nous noterons ek l'idempotent

qui engendre m. Ces idempotents sont des BlCments premiers de A qui en-

gendrent des idBaux maximaux dans A'. De f a ~ o n symktrique, les idempotents

em = 1 - ek forment I'ensemble des idempotents indhcomposables de A' et

de A. Nous obtenons simultanhment deux sommes directes, l'une de corps,

l'autre d'anneaux intkgres :

A' = $ A'e, et A = $ Ae, em em

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On montre ensuite aisement que les idempotents ind6composables em de A sont

G-conjuguis car les ek engendrent les id6aux premiers minimaux de A.

Enfin, gr2ce B la propriCt6 2.9, nous savons que A/(ek) E Ae, est une

R-alghbre galoisienne intkgre de groupe StabG(e',) = StabG(em) et la pro-

priBti 2.6 prouve que chaque R-algkbre Ae, est integralement close. 0

Corollaire 2.11 Toute algdbre galoisienne sur un anneau inte'gralement clos

est un anneau normal ayant un nombre fini d'ide'aux premiers minimaux.

2.4 Polyn6mes minimaux et r4solvantes

DBfinition 2.12 Soit A un anneau commutatif sur lequel opbre un groupe

jini G et le sous-anneau des points fies R = AG. Pour tout e'le'ment x E A,

on de'jinit la rksolvante associe'e ci x par

Lemme 2.13 Soit A un anneau sur lequel opbre un groupe fini G et R = AG

le sous-anneau des points fixes. Alors A est entier sur R. On suppose que R

est un anneau inte'gralement clos. Soit x un e'le'ment de A, son polyn6me

minimal sur R et g sa rbolvante. Alors p, divise g pui hi-mzme divise p!G'x'

duns R[T].

ThBorbme 2.14 Soit A une algdbre galoisienne de groupe G sur un anneau R

inte'gralement clos. Si x est un e'le'ment de A, alors le polyn6me minimal de x

sur R (note' p,) est la partie sans facteur carre' de sa re'solvante.

DBmonstration Montrons que p, est sans facteur carre: si h E R[T] est un

polynbme tel que h2 divise p, dans R[T] alors

est un polynbme de R[T] qui s'annule en x. Comme A est rhduit, le polynbme

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s'annule aussi en x. Ainsi h est nkcessairement Cgal a 1 car p, est le polyn6me

minimal de x. Ce polyn6me est donc sans facteur carre et on conclut facilement

grgce au lemme 2.13. 0

3 Algkbre de d6composition universelle

Definition 3.1 (cf [5], [ l l ] , [14]) Soit f un polyndme unitaire a coeficients

duns un anneau commutatif R

Duns l'algibre des polyndmes RIX1, . . . , X,], on considire l'ensemble

ozi a, est le i-iime polynSme syme'trique e'le'mentaire homogine de degre' i .

On note (Cf) 1'idCal des relations symktriques de f engendre' par la fa-

mille Cf duns RIX1,. . . , x,]. On appelle algkbre de dCcomposition universelle

la R-algibre RIXI, . . . , Xn]/(Cf). Nous la noterons %.

Propriete 3.2 Quels que soient I'anneau commutatif R et f E R[T] unitaire,

~ est libre de type fini, de rang n! et d e R-base canonique xi' .x: avec

0 < kj < j (uoir [5], pages 68-70). De plus, si n 2 2, le discriminant de cette

base est dis(f)* (uoir [lo], section II.2).

Rappel. dis(f) dksigne le discriminant du polyn6me unitaire f E R[T] de degrC n : dis(f) = (-1)n(n-1)/2 res(f, f') (voir (51, page 78).

I1 est clair de voir que Sn agit sur car Sn ophre sur R[X1,. . . , Xn]

par permutation des indCtermin6es tout en laissant stable l'idkal (Cf), puisque

celui-ci est engendrk par des polyn6mes sym6triques. L'action de Sn passe donc

au quotient. Nous allons montrer que l'algkbre de dCcomposition universelle % est une R-algkbre galoisienne de groupe de Galois S, si le discriminant du

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polynhme f est inversible dans R. (En fait cette condition est nCcessaire car le

discriminant d'une algkbre galoisienne libre est inversible.)

Lemme 3.3 (cf [Il l) Soit R' un anneau commutatif, 81,. . . , O n des e'le'ments

distincts de R', et f (T) = (T - 81). . . (T - 8,). Si dis(f) est inversible

dans R' alors %, et nTESn R' sont isomorphes en tant que R'-algtbres ci groupe

d 'ope'rateurs S,.

D6monstration Posons 8 = (el, . . . ,On) et considCrons le Sn-morphisme

de R'-alghbres

Le noyau de C$ est l'ensemble des polyn6mes qui s'annulent en . . . , @,(,))

pour toute permutation r E S,. Or un polyn6me s'annule en un tel n-uplet

si et seulement s'il appartient B 11id6al I, c R1[X1,. . . , X,] engendrk par

{XI - . . . , X, - Or(,)). Ainsi ker C$ = n,I,, et on voit qu'il contient

l'idCal engendrC par Cf = {al - a l , . . . ,a, - a,) (ou les a, sont les polyn6mes

symCtriques ClCmentaires et f = Tn - alTn-' + .. . + (-l)"a,). Donc le mor-

phisme C$ passe au quotient et on d6finit un nouveau morphisme

Montrons que 3 ainsi dCfini est un isomorphisme. En fait, ii suffit de

dkmontrer que est surjectif, et pour des raisons d78galitC de rangs on aura

l'isomorphie. Par hypothhse, on sait que dis(f) est inversible dans R', donc

les idCaux (I,),ESn sont co-maximaux deux B deux: en effet, si r # r' alors il

existe i E (1,. . . , n ) tel que

Grice au thkorkme chinois,

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oh les isomorphismes de R'-algkbres ci-dessus sont compatibles avec l'action

de S,. Par consequent 3 est surjectif, et donc bijectif. 0

PropriCtB 3.4 (cf [14]) Si R est u n anneau commutatif et f E R[X] unitaire

de discriminant re'gulier (non diviseur de 0) alors le sous-anneau des points

fixes de dR sous l'action de S, est exactement R.

Theoreme 3.5 Si R est un anneau commutatif et f E R[X] unitaire dont le

discriminant est inversible dans R alors @ est une algdbre galoisienne sur R

de groupe S,.

DBrnonstration L'anneau R est l'ensemble des points de IU( invariants sous

l'action de S,. Le polynbme f se dCcompose totalement dans l'anneau R' = d R .

Le lemme 3.3 nous donne le Sn-isomorphisme

s n IU&B~IU(=IU&, t) n s n R 1 = n s n I U & p B Q t-1 (P.TQ),Es,

On termine la preuve en utilisant le theoreme 2.2.

4 Calcul d'un corps de d6composition

4.1 Id6aux galoisiens

DBfinition 4.1 Soit A une alg2bre galoisienne de groupe G sur u n corps K et

I un ide'al de A. O n dira que I est un idCal galoisien de A si le quotient A / I

est une K-algdbre galoisienne de groupe StabG(I).

Exemple : l'id6al nu1 et les idCaux maximaux sont galoisiens.

PropriCtB 4.2 Soit A une algdbre galoisienne de groupe G sur un corps K ,

I un ide'al propre de A et H = Stabc(I). I1 y a e'quivalence entre les assertions

suivantes :

1. I est un ide'al galoisien de A ;

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3. I n AH est u n ide'al maximal de AH et le groupe de de'composition de

chaque ide'al maximal de A au-dessus I n AH est inclus dans H ;

4. les idtaux maximaux de A contenant I sont H-conjugu6s et le groupe de

de'composition de chacun d'entre eux est i n c h dans H ;

5. pour tout g E G \ H , on a I + g.I = A (i.e. I et g.1 sont comaximaux).

DCmonstration 1 2: Evident car A / I est une algkbre galoisienne sur

AH / I n AH de groupe de Galois H (propriet6 2.3).

2 + 3 : Si M est un ideal maximal de A au-dessus de I n A H , le degre residue1

de M sur K de I n AH est Bgal B l'indice de StabH(M) dans StabG(M). Dans

notre cas, ce degre residue1 est 1, ce qui prouve H > StabG(M).

3 3 4 : ~ v i d e n t compte tenu du theoreme 2 de [4] (page 38).

4 + 2 : Soit x E AH et M un ideal maximal de A contenant I . Comme le

groupe de d6composition de M est inclus dans H, 11B16ment x est invariant sous

l'action de StabG(M), donc il existe X E K tel que z - X E M . ~ t a n t donne

que les idCaux maximaux de A contenant I sont H-conjugu6s, nous avons

x - X E f - )h .M= f-) M i h E H MI31

Or, dans un produit de corps, tout ideal est kgal B l'intersection des id6aux

maximaux qui le contiennent. Ainsi x - X appartient B I .

Conclusion: AH c K + I et AH / I n AH = K.

4 3 contraposCe de 5 : Soit g E G tel que I + g.I # A. Alors il existe un

id6al maximal M de A contenant I + g.I. Ainsi I est inclus a la fois dans M

et g-'.M. Or les id6aux maximaux contenant I sont H-conjugu6s, si bien que

g-l.M = h.M avec h E H . On a alors gh E Stabc M c H, donc g E H .

5 3 4 : Soit M et M i deux ideaux maximaux de A contenant I . I1 existe

g E G tel que g.Mi = M car les idCaux maximaux sont au-dessus de 11id6al

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maximal (0) c K . Ainsi, on a I c M et g.I C M, donc g appartient

nbcessairement a H.

De mEme, pour tout g E stab^ M , on a I C M = g.M, donc g E H.

Corollaire 4.3 Soit A une algbbre galoisienne de groupe G et deux ide'aux

galoisiens I , J de A.

Si I c J , alors S t a b ~ ( 1 ) > StabG(J) .

Si I + J # A alors I + J est un ide'al galoisien dont le groupe de

de'composition est lJintersection S t a b ~ ( I ) n S t a b ~ ( J ) .

DCmonstration

Premier point. On utilise la propriCt6 4.2: soit g E StabG(J), on a alors

I + 9.1 C J A, donc g E StabG(I).

Second point. Avec la mEme propriCtC 4.2: soit g E G \ Stabc(I + J ) , alors

g n'appartient pas a StabG(I) ou StabG(J) (ou les deux). Par suite, on a

clairement ( I + J) + g.(I + J) = A car I et g.I ou J et g.J sont comaximaux.

Finalement, I + J est un ideal galoisien dont le groupe de dCcomposition est

inclus (et donc Cgal) a S t a b ~ ( 1 ) n S t a b ~ ( J ) . 0

4.2 Id6aux galoisiens et facteurs d'une r6solvante

Theoreme 4.4 Soit A une algbbre galoisienne de groupe G sur u n corps K ,

x E A et C la re'solvante (suppose'e se'parable) de x . Soit P E K[T] u n polyn6me

irre'ductible divisant C et M u n ide'al maximal contenant y = P ( x ) . Notons

0, et 0, les orbites respectives de x et y sous l'action de Stabc(M). Alors

lJide'al de A engendre' par l'orbite 0, est un ide'al galoisien dont le groupe de

de'composition (groupe de Galois re'siduel) est StabG(O,).

DBmonstration Le polyntime L est le polyntime minimal de x sur K (voir le

thCorkme 2.14). Par suite, 1'ClCment y = P ( x ) est un diviseur de 0 et il existe

bien un ideal maximal M le contenant. On considere l'idCal I engendrC par 0,

(remarque : 0, = P(0,)) . L1idCal I est bien s i r inclus dans M (car 0, C M) et

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Soit M et M' deux idBaux maximaux de A contenant I . I1 existe g E G tel

que M = g.M1. Alors on a g.1 + I c g.M1 + M = M . Ainsi, modulo M ,

le polynbme irreductible P admet pour racines les Blements de 0, mod M

et de go , mod M . Or Stabc(M) opere transitivement sur les racines de P

car il est le groupe de Galois sur K de I'extension risiduelle A I M ... Donc

g0 , = 0, mod M . De plus L est skparable, la reduction modulo M induit

donc une bijection de G.x c A sur G.x mod M. Ainsi on obtient g 0 , = 0,

et g E StabG(O,). Conclusion: les idkaux maximaux de A contenant I sont

Stab~(0,)-conjuguCs.

Pour tout g E StabG(I), on a I C g.M. I1 existe donc h E StabG(O,) tel

que g.M = h.M, d'oG h-'g E Stabc(M) c Stabc(O,) et g E Stabc(0,). Par

suite

StabG(M) c StabG(O,) = StabG(O,) = S t a b ~ ( I )

I1 est facile de voir que Stabc(M1) c StabG(I) pour tout ideal maximal M'

contenant I, donc I'idCal I est galoisien (propridt6 4.2). 0

4.3 Idbaux galoisiens dam I'algkbre de d4composition universelle

Dans tout ce qui suit, K est un corps, f E K[X] unitaire &parable,

A = KIX1, . . . , X,]/ (C,) dCsigne I'algkbre de dicomposition universelle de f

sur K .

Propri6tB 4.5 U n ide'al galoisien de A est maximal s i et seulement s i son

groupe de de'composition D est isomorphe au groupe de Galois I' de f sur K .

DBmonstration Soit I un ideal galoisien. Cet ideal est maximal si et seule-

ment si I'algbbre galoisienne A/ I est un corps (de dkomposition de f sur K) .

Si I est maximal, alors, par dbfinition des algbbres galoisiennes, D est iso-

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morphe B F. Si I n'est pas maximal, alors la dimension de A / I sur K (qui est

Cgale au cardinal de D) est strictement plus grande que le cardinal de r, donc

D et I' ne peuvent 6tre isomorphes. 0

ThBorhme 4.6 Sz I' = I / (Cf) est un ide'al galoisien de A, alors la base de

Grobner re'duite de I pour i'ordre lexicographique (auec XI > - > X,) est

de cardinal n :

23 = {fn, . . . , f i ) avec fi E K[X,, . . . ,Xi]

En particulier, la base t3 est triangulaire.

De plus, en posant S, = Perm((1,. . . , i ) ) et H, = S, n Stabs, I = Stabsi I

pour tout i < n , le mon6rne dominant d e f, est x,!~':~'-'].

DBmonstration Posons Ki = K[X,,. . . ,Xi] / I n K(X,, . . . ,Xi]. En parti-

culier, nous avons K1 = A/I' et Kn+1 = K . De f a ~ o n gdnkrale, on a

et Ki est un anneau semi-local (K-algkbre de dimension finie). Enfin, il est

clair que 5 = Xi mod I est un gCnCrateur de la Ki+l-algkbre K,.

DBsormais, i est fix& Montrons que K, est une Ki+l-alg&bre libre de dimen-

sion [H, : On sait que K1 est une algebre galoisienne sur Ki et sur Ki+l,

respectivement de groupe Hi-l et Hi. Par suite, K1 est un K,+l-module de type

fini, projectif de rang constant lH,ll donc libre. De mgme, K, est libre sur Ki+l

car c'est un facteur direct de K1. NBcessairement, la dimension de Ki/Ki+l est

Bgale a l'indice d, = (Hi : Hi-l].

A prbent, constatons que zi"' s'exprime comme une combinaison linBaire

des puissances de strictement infBrieures, a coefficients dans Ki+l. En effet,

IH,.xi( = 14' = [H, : H,-l], et donc le polyniime IHi n Si-11

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s'annulant en 5 , est de degrC d, = [H, : Hi-l]. Comme Ki = K , + l [ ~ ] est de

dimension d, sur Kitl et g, est unitaire de degrC d,, on a

Finalement, relevons canoniquement le polyn6me gi(Xi) en un polyn6me

fi E K[Xni . . Xi+l][Xi] :

- f, = g,(Xi) mod I n K[X,, . . . , Xi+,]

Maintenant, Ctant donne que la K-algkbre A / I est une tour d'algkbres du

type K,+l[Xi] / (3) pour i 6 n, la famille B = {fi ; i < n) est une base de

Grobner triangulaire de 1'idCal I pour l'ordre lexicographique.

5 Exemples

Dans toute la suite, nous utiliserons la notation de Butler et MacKay (voir

la table de [7]) pour d6signer les groupes dont nous nous servirons: dTn cor-

respond au n-ikme groupe transitif de la table en degrC d.

Nous supposons dCsormais que K est un corps infini. En effet, nous avons

besoin de cette hypothhse par assurer l'existence dlCICments primitifs et de

rksolvantes skparables (voir [6] sur les algbbres Ctales).

5.1 PolynGmes de groupe de Galois 7T5 21 PSL2(IF7)

Cet exemple illustre le cas oh la connaissance du type de la factorisa-

tion d'une seule resolvante suffit pour connaitre le groupe de Galois d'un po-

lyndme f donne dans le corps K . Nous verrons qu'un seul facteur irrkductible

quelconque de cette rksolvante nous fournit un ideal maximal de l'algkbre de

dkcomposition universelle d K .

ConsidCrons un polyndme irrkductible skparable f de degrk 7. Dans dK1 on

calcule la rksolvante C (de degrC 35) de I1klCment x = x7 + x6 + x5 (xi dCsigne

la classe de l'indkterrninde Xi dans d K ) , dont le fixateur dans S7 est

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H = Perm({l,2,3,4)) x Perm({5,6,7)). On suppose C sCparable, cas auquel

on peut toujours se ramener quitte a choisir un autre H-invariant : il faut choi-

sir un Clement z primitif de (!l$K)H sur K (thCor6me 2.14). Un tel ClCment

existe toujours car l'algebre galoisienne dK est Ctale sur le corps K supposC

infini.

Admettons que le type de la factorisation de C est 7; 28. Le groupe de

Galois de f est donc 7T5 E PSL2(F7) d'ordre 168 (voir la table en degrk 7

ci-dessous). Grgce a un facteur irrkductible quelconque de L, nous allons trou-

ver t r b rapidement un idCal maximal de !I(,. Dans toute la suite, i dCsigne

On considere une reprCsentation quelconque de 7T5 dans S7. Le type de

l'action de 7T5 sur la S7-orbite de x est le m6me que celui de la factorisation

de L, a savoir 7; 28. Notons 0, la 7T5-orbite de cardinal i dans S7.x, P le fac-

teur irrkductible de L de degrC i et 0, = P ( 0 , ) . En utilisant le thCoreme 4.4,

on sait que 11id6al I engendrC par 0, est un idCal galoisien dont le groupe de

dCcomposition est Stabs,(C3,), c'est-&-dire 7T5 lui-m6me dans notre cas, que

Remarque. Le calcul de Stabs,(O,) peut se faire 9. l'avance, de manikre indkpendante du polynbme f , tout comme les tables de partitions sont connues avant de commencer l'algorithme: en effet, comme la rksolvante L de degrC 35 est supposCe sCparable, nous disposons d'une &-bijection entre S7.x et l'ensemble des classes B gauche (S7/H)g. Ainsi Stabs,(O,) est Cgalement le stabilisateur de la 7T5-orbite de cardinal i dans (S7/H)g. Or calculer ce dernier stabilisateur n'est qu'une affaire de groupes et peut etre rCalisC sans connaitre le polynbme f . Voici un tableau complCtant les matrices de partitions pour les groupes transitifs en degrC 7 :

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Ainsi, llidCal I (engendrk par 0,) est maximal dans dK car son groupe

de dCcomposition est Cgal au groupe de Galois de f , et d K / ~ est un corps de

ddcomposition de f .

Pour calculer rCellement un corps de dCcomposition de f sur K = Q, il

faut calculer une base de Grobner de l'idCal I (pour l'ordre lexicographique

par exemple). Avec le logiciel Gb, trks efficace, nous avons men6 les calculs

en partant du facteur de degrC 7 de la rCsolvante C en considkrant le po-

lyn6me f = T7 - 7T + 3. En 15 secondes, on obtient une base de Grijbner

de I de 7 polyn6mes dont les mon6mes dominants sont respectivement X;,

X i , X5, X j , X3, X2 et X I , comme il est CnoncC dans le thCor6me 4.6. On voit

par exemple que le corps de ddcomposition de f est engendrk par seulement

3 racines de f (A savoir x 7 , ~ 6 , ~ 4 mod I).

Ainsi, il aura fallu moins de 30 secondes de calcul (obtenir la rdsolvante C,

sa factorisation, les orbites et la base de Grobner) pour construire un corps de

d6composition de f .

5.2 PolynBmes de groupe de Galois inclus dans 6T3 - D6 Par opposition au premier exemple, celui-ci illustre le cas oh l'utilisation

de plusieurs facteurs irrkductibles d'une (seule) rCsolvante est nCcessaire pour

construire un idCal galoisien.

Soit f un polyn6me irrkductible &parable de degrC 6. Dans ID$, on cal-

cule la rCsolvante C (de degrC 6) du 67'14 = PGL2(F5)-invariant donnC par

Stauduhar dans [15] :

Admettons que C soit &parable et que le type de sa factorisation soit 1; 2; 3.

Le groupe de Galois de f est alors inclus dans le groupe diCdral D6 (voir la table

en degrC 6 dans [16]). Grgce aux facteurs irrkductibles de C, nous allons trouver

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des idCaux galoisiens de dK dont les groupes de dCcomposition sont diffkrents

de D6. Cependant leur somme sera un idCal galoisien qui aura exeactement D6

pour groupe de dCcomposition.

On considkre une reprksentation quelconque de D6 dans S6. Le type de

l'action de D6 sur la S6-orbite de @ est le mCme que celui de la factorisation

de L. Pour i E {1,2,3), notons Oi la D6-orbite de cardinal i dans S6.@, P, le

facteur irrkductible de L de degrC i et 0: = Pi(Oi). En utilisant le thCorkme 4.4,

on sait que llidCal I, engendrC par 0: est un id6al galoisien dont le groupe de

dCcomposition est Gi = Stabs,(Oi) :

(Bien sGr, les CgalitCs sont B conjugaison prks.) Comme aucun de ces stabili-

sateurs Gi n'est Cgal au groupe D6, aucun des idCaux galoisiens I; ne convient

pour faire du calcul relatif B D6. En revanche, l'intersection de deux Gi quel-

conques parmi les trois est rBduite B D6. Autrement dit, les idCaux I1 + 12,

Il + I3 et I2 + I3 (engendrb respectivement par 0; U Ob, 0: U O$ ou 06 U O$)

sont des idCaux galoisiens de dK, et leurs algkbres rCsiduelles ont pour groupe

de Galois D6.

5.3 Polyniimes de groupe de Galois 6T7 - S4 v d6

Ce troisikme exemple illustre le cas oh la determination du groupe de Galois

du polyn6me f se fait par la connaissance de la factorisation de plusieurs

rCsolvantes. En fait, bien que la situation soit diffkrente de celle de l'exemple

prCcCdent, le principe de la mCthode en est proche.

Soit f un polyn6me irrkductible &parable de degrC 6 dont le discriminant

est un carre (en supposant la caractbristique de K distincte de 2, le groupe

de Galois de f est inclus dans le groupe alternC A). Dans dK1 on calcule

la resolvante L (de degrC 6) du 6T14-invariant O considCr6 dans l'exemple

prCcCdent, et on suppose toujours L skparable.

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Admettons que la factorisation de 13 est 2; 4. Alors le groupe de Galois

de f est 6T7, d'ordre 24 et pair (voir la table en degr6 6 dans [16]). GrGce B

un facteur irreductible quelconque de C, nous allons trouver un ideal galoisien

de dK, puis gr6ce au discriminant de f , nous determinerom un ideal maximal

de d K . Dans toute la suite, i designe indiffhremment 2 ou 4.

On considkre une representation quelconque de 6T7 dans S6. Le type de

l'action de 6T7 sur la S6-orbite de O est le m&me que celui de la factorisa-

tion de C, c'est-&dire 2; 4. Notons 0, la 6T7-orbite de cardinal i dans S6.@,

P le facteur irreductible de C de degr6 i et 0, = P(0, ) . En utilisant le

theorkme 4.4, on sait que 1'idCal I engendre par 0, est un ideal galoisien dont

le groupe de dCcomposition est Stabs,(O,), c'est-a-dire 6 T l l 2 S2 1 S3 (quel

que soit i). L'idBal I n'est donc pas maximal.

D'autre part, le groupe de Galois de f est inclus dans le groupe alternC

car le polyn8me separable T2 - dis( f ) est scinde dans K. Soit 6 6 K une racine

de ce polyn8me et J 17idBal de dK engendre par A = 6 - n (xi - xj) l<i<jg6

En utilisant le thkorkme 4.4, on prouve simultankment que J (respective-

ment ( I + J ) / I ) est un ideal galoisien de dK (respectivement d K / ~ ) dont le

groupe de d6composition est (respectivement & n 6 T l l = 6T7). Ainsi,

11id6al I + J (engendr6 par 0, et A) est galoisien et maximal dans et

d K / ( l + J) est un corps de dCcomposition de f dont le groupe de Galois

est 6T7.

REMERCIEMENTS Je remercie Claude Quitte pour l'aide et les conseils qu'il m'a apport6s afin

d161aborer ce document.

[I] J.M. Arnaudiks. Sur la r6solution explicite des equations de degr6 5, quand

elles sont r6solubles par radicaux. Bulletin des sciences mathe'matiques,

deuxidme serie, 100:241-254, 1976.

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[2] J.M. Arnaudies and A. Valibouze. Rbolvantes de Lagrange. Institut

Blaise Pascal, d6cembre 1993.

ftp://w~~.medicis.polytechnique.fr/pub/publications/valibouze/.

[3] N. Bourbaki. Algdbre commutative, ch. 4, IdCaux premiers associCs et

d6composition primaire. Hermann, 1961.

(4) N. Bourbaki. AlgGbre commutative, ch. 5, Entiers. Hermann, 1964.

[5] N. Bourbaki. Algtbre, ch. 4, Polyn6mes et fractions rationnelles. Masson,

1981.

[6] N. Bourbaki. Algtbre, ch. 5, Corps commutatifs. Masson, 1981.

[7] G. Butler and J. MacKay. The transitive groups of degree up to eleven.

Comm. in Algebra, 11(8):863-911, 1983.

[8] S.U. Chase, D.K. Harrison, and A. Rosenberg. Galois Theory and Galois

Cohomology of Commutative Rings. Memoirs of American Mathematical

Society, 52:15-33, 1965.

[9] F. DeMeyer and E. Ingraham. Separable algebras over commutative rings,

ch. 3. Lecture notes in Mathematics, 181, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[lo] L. Ducos. Effectivite' en the'orie de Galois. Sous-re'sultants. Universit6 de

Poitiers, 1997. These doctorale.

http://wvvmathlabo.univ-poitiers.fr/-ducos/travaux.html.

[ll] L. Ducos and C. QuittC. Algtbre de de'composition universelle, Imple'men-

tation et applications d la the'orie de Galois. PrCpublication de l'Universit8

de Poitiers, n.98, juin 1996.

[12] K. Girstmair. On the Computation of Resolvents and Galois Groups.

Manuscripta mathernatica, 43:289-307, 1983.-

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924 DUCOS

[13] H.W. Lenstra. Galois Theory and Primality Testing. Lecture notes in

Mathematics, 1142, Springer- Verlag, Berlin, New- York, pages 169-189,

1985.

(14) M . Pohst and H. Zassenhaus. Algorithmic algebraic number theory, ch. 2 .

Cambridge University press, 1989.

[15] R.P. Stauduhar. The determination of Galois groups. Math. of Comp.,

27(124):981-996, 1973.

[16] A. Valibouze. Mimoire d'Habilitation. L.I.T.P. 93.61, 1993.

Received: September 1998

Revised: April 1999

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