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Nombres p-adiques Minimalite Idees
Decomposition minimale des systemes dynamiquesp-adiques
Lingmin LIAO(en collaboration avec Ai-Hua Fan, Shi-Lei Fan et Yue-Fei Wang)
Universite Paris-Est Creteil
Nancy, le 13/11/2014
Seminaire de Theorie des nombres de Nancy-Metz, Nancy, le 13/11/2014 Decomposition minimale des systemes dynamiques p-adiques 1/42
Nombres p-adiques Minimalite Idees
Plan
1 Nombres p-adiques et systemes dynamiques p-adiques
2 Minimalite de systemes dynamiques polynomiaux sur Zp
3 Fonctions homographiques p-adiques
4 Fonctions rationnelles ayant bonne reduction
5 Idees et methodes
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
0. Une motivation : distribution de suite recurrente
Soit Fn la suite de Fibonacci : F1 = F2 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2(n ≥ 3).
Question : Etant donne un nombre primier p et un entier k ≥ 1, quelleest la frequence (existe ?) de :
limN→+∞
1
NCard{1 6 n < N : pk | Fn}?
En general, considerons la suite anc− b ou a, b, c sont entiers positifs.
Question : Etant donne un nombre primier p et un entier k ≥ 1, quelleest la frequence (existe ?) de :
limN→+∞
1
NCard{1 6 n < N : pk | (anc− b)}?
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
Nombres p-adiques
et systemes dynamiques p-adiques
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
I. Nombres p-adiquesEtant donne p ≥ 2 un nombre premier,
∀n ∈ N, n =∑Ni=0 aip
i (ai = 0, 1, · · · , p− 1)
Anneau des entiers p-adiques Zp :
Zp 3 x =∑∞i=0 aip
i.
Corps des nombres p-adiques Qp : le corps des fractions de ZpQp 3 x =
∑∞i=v(x) aip
i, (∃v(x) ∈ Z).
Valeur absolue : |x|p = p−v(x), metrique : d(x, y) = |x− y|p.
3Z3
1 + 3Z32 + 3Z3
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
II. Arithmetiques dans Qp
L’addition et la multiplication : similaires a celles de R.”Retenues” de gauche a droite.
Exemple : x = (p− 1) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · , alors
x+ 1 = 0, d’ou,
−1 = (p− 1) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · .
2x = (p− 2) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · .→ On pourra aussi definir la soustraction et la division. Ces sont commeles quatre operations de deux series avec des retenues.
Donc on peut avoir des polynomes et des applications rationnelles.
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
III. Dynamique EquicontinueT : X → X est equicontinue si
∀ε > 0,∃δ > 0 s. t. d(Tnx, Tny) < ε (∀n ≥ 1,∀d(x, y) < δ).
Theoreme
Soient X un espace metrique compact et T : X → X une transformationequicontinue. Alors les assertions suivantes sont equivalentes :(1) T est minimale (toute orbite est dense).(2) T est uniquement ergodique (il existe une seule mesure invariante).(3) T est ergodique pour toute/certaine mesure invariante avec X commeson support.
Fait : Polynome f ∈ Zp[x] : Zp → Zp est 1-Lipschitzienne et doncest equicontinue.
Theoreme
Si la transformation continue T est uniquement ergodique (µ est la pro-babilite invariante unique), alors pour toute fonction contine g : X → R,uniformement,
1
n
n−1∑k=0
g(T k(x)) →∫gdµ.
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IV. Recherches sur les systemes dynamiques p-adiques
Oselies et Zieschang 1975 : automorphismes d’anneau des entiersp-adiques
Herman et Yoccoz 1983 : systemes dynamiques p-adiques complexes
Volovich 1987 : theorie des cordes p-adiques
Dujardin, Favre, Li Hua-Chieh, Lubin, Rivera-Letelier, Silva ...
Thiran, Verstegen et Weyers 1989 ; Woodcock-Smart 1998 ;Fan-Liao-Wang-Zhou 2007 ; Benedetto-Briend-Perdry 2007 :polynomes chaotiques dans QpAnashin 1994 : transformation 1-lipschitzienne (series de Mahler)Anashin-Khrennikov-Yurova 2011, 2012 ; Jeong 2012 :transformation 1-lipschitzienne (series de Van der Put)
Coelho et Parry 2001 : ax et distribution des nombres de Fibonacci
Gundlach, Khrennikov et Lindahl 2001 : xn
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Minimalite desystemes dynamiques
polynomiaux sur Zp
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I. Systemes dynamiques polynomiaux sur Zp
Soit f ∈ Zp[x] un polynome a coefficients dans Zp.La transformation f : Zp → Zp definit un systeme dynamiquepolynomial sur Zp, note (Zp, f).
Decomposition minimale
Theoreme (Fan-L, 2011, decomposition minimale)
Soit f ∈ Zp[x] avec deg f ≥ 2. Nous avons la decomposition suivante :
Zp = P⊔M⊔B
ou
P est un ensemble fini et se compose de tous les points periodiques ;
M := ti∈IMi (I fini ou denombrable)→ Mi : union finie des boules,→ f : Mi → Mi est minimal ;
B est attire dans P tM.
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
II. Classes de conjugaisonEtant donnee une suite des entiers positifs (ps)s≥0 tels que ps|ps+1.Groupe profini : Z(ps) := lim
←Z/psZ.
Odometre : La transformation τ : x 7→ x+ 1 sur Z(ps).
Theoreme (Chabert-Fan-Fares 2007)
Soient E un ensemble compact dans Zp et f : E → E une transformation1-lipschitzienne. Si le systeme dynamique (E, f) est minimal, alors
(E, f) est conjugue a l’odometre (Z(ps), τ) ou (ps) est determineepar la structure de E.
Theoreme (Fan-L, 2011 : Structure des parties minimales)
Soient f ∈ Zp[X] un polynome, et O ⊂ Zp un compact ouvert, f(O) ⊂ O.Supposons que f : O → O est minimal.
Si p ≥ 3, alors, (O, f |O) est conjugue a l’odometre (Z(ps), τ) ou
(ps)s≥0 = (k, kd, kdp, kdp2, . . . ) (1 ≤ k ≤ p, d|(p− 1)).
Si p = 2, alors (O, f |O) est conjugue a (Z2, x+ 1).
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III. Problemes
Probleme 1 : Sous quelle condition a-t-on A = C = ∅, et B admet uneseule partie ?(i.e., f : Zp → Zp est minimal ?)
Probleme 2 : Si (Zp, f) n’est pas minimal, comment trouve-t-on ladecomposition complete ?
Probleme 3 : La solution pour le cas deg f = 2 ? (Qu’est-ce qui se passepour les polynomes affines ?)
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
IV. Resultats connus - Minimal sur tout Zp
Theoreme (Larin 2002 + Knuth 1969 ; tout p, mais deg(f) ≤ 2)
Soit f(x) = ax2 + bx+ c avec a, b, c ∈ Zp. Alors f est minimal ssi
1 a ≡ 0 (mod p), b ≡ 1 (mod p), c 6≡ 0 (mod p), si p ≥ 5,
2 a ≡ 0 (mod 9), b ≡ 1 (mod 3), c 6≡ 0 (mod 3) ouac ≡ 6 (mod 9), b ≡ 1 (mod 3), c 6≡ 0 (mod 3), si p = 3.
3 a ≡ 0 (mod 2), a+ b ≡ 1 (mod 4) et c 6≡ 0 (mod 2), si p = 2.
Theoreme (Larin 2002 ; tout polynome, mais p = 2)
Soient p = 2, et f(x) =∑akx
k ∈ Z2[X] un polynome. Alors f estminimal ssi
a0 ≡ 1 (mod 2),
a1 ≡ 1 (mod 2),
2a2 ≡ a3 + a5 + · · · (mod 4),
a2 + a1 − 1 ≡ a4 + a6 + · · · (mod 4).
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→ Tout polynome, mais avec p = 3
Soit f(x) =∑akx
k ∈ Z3[X]. On peut supposer a0 = 1 :
a0 ≡ 0 (mod 3) ⇒ f n’est pas minimal.
a0 6≡ 0 (mod 3) ⇒ f est conjugue a un polynome g avec a0 = 1.
Notons
A0 =∑
i∈2N,i6=0
ai, A1 =∑
i∈1+2Nai, D0 =
∑i∈2N,i6=0
iai, D1 =∑
i∈1+2Niai.
Theoreme (Durand-Paccaut 2009)
Le systeme (Z3, f) est minimal ssi f verifie A0 ∈ 3Z3, A1 ∈ 1 + 3Z3 etl’une des conditions suivantes :(1) D0 ≡ 0, D1 ≡ 2, a1 ≡ 1 [3] et A1 + 5 6≡ 0, 3a2 + 3
∑j>0 a5+6j [9] ;
(2) D0 ≡ 0, D1 ≡ 1, a1 ≡ 1 [3] et A0 + 6 6≡ 0, 6a2 + 3∑j>0 a2+6j [9] ;
(3) D0 ≡ 1, D1 ≡ 0, a1 ≡ 2 [3] et A1 + 5 6≡ 0, 6a2 + 3∑j>0 a5+6j [9] ;
(4) D0 ≡ 2, D1 ≡ 0, a1 ≡ 2 [3] et A0 + 6 6≡ 0, 3a2 + 3∑j>0 a2+6j [9].
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
V. Resultats connus - Decomp. minimale (polys affines)Soit Ta,bx = ax+ b (a, b ∈ Zp). Notons
U = {z ∈ Zp : |z| = 1}, V = {z ∈ U : ∃m ≥ 1, t.q. zm = 1}.Cas faciles :
1 a ∈ Zp \ U ⇒ un point fixe attractif b/(1− a).2 a = 1, b = 0 ⇒ tous les points sont fixes.3 a ∈ V \ {1} ⇒ tout point est dans une orbite de periode `, ou ` est
le plus petit entier > 1 tel que a` = 1.
Theoreme (AH. Fan, MT. Li, JY. Yao, D. Zhou 2007) Cas p ≥ 3 :
4 a ∈ (U \ V) ∪ {1}, vp(b) < vp(1− a) ⇒ pvp(b) parties minimales.
5 a ∈ U \ V, vp(b) ≥ vp(1− a) ⇒ (Zp, Ta,b) est conjugue a (Zp, ax).
Decomposition : Zp = {0} t tn≥1pnU.
(1) Un point fixe {0}.(2) Tous (pnU, ax)(n ≥ 0) sont conjugues a (U, ax)
Pour (U, ax) : pvp(a`−1)(p− 1)/` parties minimales, ou ` est le plus
petit entier, tel que a` ≡ 1(mod p).
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Nombres p-adiques Minimalite Idees
Deux decompositions typiques de Zp
Tx = x+ 3, p = 3 Tx = 2x, p = 3
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VI. La motivation mentionneeDistribution d’une suite recurrente.Proposition (Fan-Li-Yao-Zhou 2007)
Soit k > 1 un entier. Soient a, b, c trois entiers dans Z qui sont premiersavec p > 2. Notons sk le plus petit entier > 1 tel que ask ≡ 1
(mod pk
).
(a) Si b 6≡ ajc (mod pk) pour tout entier j (0 6 j < sk), alorspk - (anc− b), pour tout entier n > 0.
(b) Si b ≡ ajc (mod pk) pour certain entier j (0 6 j < sk), alors nousavons
limN→+∞
1
NCard{1 6 n < N : pk | (anc− b)} =
1
sk.
Remarque : Posons Tx = ax. Alors anc = Tn(c) et
pk | (anc− b)⇔ anc ∈ B(b, p−k)⇔ Tn(c) ∈ B(b, p−k).
Z. Coelho, W. Parry 2001 : Ergodicity of p -adic multiplications andthe distribution of Fibonacci numbers.
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VII. Decomp. minimale pour polynomes quadratiquesFan–L 2011 : decomposition minimale pour tous les polynomesquadratiques et pour p = 2.
→ Decompositionde x2 + x 1 0 (mod 2)
0 2 (mod 22)
0 4 (mod 23)
0 8 4 12 (mod 24)
0 16 8 24 (mod 25)
8 40 24 56 (mod 26)
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Fonctions homographiques
p-adiques
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I. Droite projective sur Qp
Pour (x1, y1), (x2, y2) ∈ Q2p \ {(0, 0)}, on dit que (x1, y1) ∼ (x2, y2) si
∃λ ∈ Q∗p t.q.x1 = λx2 et y1 = λy2.
Droite projective sur Qp :
P1(Qp) := (Q2p \ {(0, 0)})/ ∼
Metrique spherique : pour P = [x1, y1], Q = [x2, y2] ∈ P1(Qp),definissons
ρ(P,Q) =|x1y2 − x2y1|p
max{|x1|p, |y1|p}max{|x2|p, |y2|p}
Regardant P1(Qp) comme Qp ∪ {∞}, on a pour z1, z2 ∈ Qp ∪ {∞}
ρ(z1, z2) =|z1 − z2|p
max{|z1|p, 1}max{|z2|p, 1}si z1, z2 ∈ Qp,
et
ρ(z,∞) =
{1, si |z|p ≤ 1 ;1/|z|p, si |z|p > 1.
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Representations geometriques de P1(Q2) et P1(Q3)
1
1
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II. Fonctions homographiquesSoit
φ(x) =ax+ b
cx+ davec a, b, c, d ∈ Qp, ad− bc 6= 0.
Alors φ definit une transformation (1-a-1) φ : P1(Qp)→ P1(Qp).
La dynamique de φ depend de ses points fixes qui sont les solutions de
ax+ b
cx+ d= x⇔ cx2 + (d− a)x− b = 0.
Discriminant : ∆ = (d− a)2 + 4bc.
Si ∆ = 0, alors φ a un seul point fixe x0 dans Qp et φ est conjuguea une translation x 7→ x+ α pour certain α ∈ Qp par g(x) = 1
x−x0.
Si ∆ 6= 0 et√
∆ ∈ Qp, alors φ a deux points fixes x1, x2 ∈ Qp etφ est conjugue a une multiplication x 7→ βx pour certain β ∈ Qp parg(x) = x−x2
x−x1.
Si ∆ 6= 0 et√
∆ /∈ Qp, alors φ a aucun point fixe dans Qp. Mais φ
a deux points fixes x1, x2 ∈ Qp(√
∆). Donc nous etudierons la
dynamique de φ sur P1(Qp(√
∆)) puis sa restriction sur P1(Qp).
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III. Notations
K est une extension finie de Qp.
Notons encore | · |p la valeur absolue (la norme) de K.
Degre : d = [K : Qp]. Indice de ramification : e
Fonction de valuation : vp(x) := − logp(|x|p). Im(vp) = 1eZ.
OK := {x ∈ K : |x|p ≤ 1} : Anneau local de K,PK := {x ∈ K : |x|p < 1} : son ideal maximal.
Corps residuel : K = OK/PK . Alors K = Fpf , avec f = d/e.
→ K est dit non ramifie si e = 1, ramifie si e > 1 et totalement ramifie sie = d.
Extensions quadratiques :
7 extensions quadratiques de Q2 :
Q2(√−1), Q2(
ñ2), Q2(
ñ3), Q2(
ñ6).
3 extensions quadratiques de Qp(p ≥ 3) :
Qp(√p), Qp(
√Np), Qp(
√pNp),
ou Np est le plus petit non-residu quadratique module p.
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IV. Uniformisante et representationUn element π ∈ K est une uniformisante si vp(π) = 1/e.
Definssons vπ(x) := e · vp(x) pour x ∈ K. Alors Im(vπ) = Z, etvπ(π) = 1.
Soit C = {c0, c1, . . . , cpf−1} (pf elements) un systeme de representantsde PK dans OK . Alors tout x ∈ K admet une unique expansion π-adique de la forme
x =∞∑i=i0
aiπi,
ou i0 ∈ Z et ai ∈ C pour tout i ≥ i0.
Example : Pour Qp(√p) (p ≥ 3), posons π =
√p, alors
x = a0 + a1√p+ a2p+ a3p
3/2 + a4p2 + · · · .
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V. Decomposition minimale (φ a aucun point fixe)
Theoreme (AH. Fan, SL. Fan, L, YF. Wang, 2014)
Supposons que φ a aucun point fixe dans P1(Qp) et φn 6= id pour toutn > 0. Alors
1 le systeme (P1(Qp), φ) se decompose en un nombre fini desous-systemes minimaux ;
2 ces sous-systemes minimaux sont topologiquement conjugues ;
3 le nombre de sous-systemes minimaux est determine par le nombre
λ :=(a+ d) +
√∆
(a+ d)−√
∆.
Notons
K = Qp(√
∆) : l’extension quadratique de Qp engendre par√
∆.
π : un uniformisante de K
K : le corps residuel de K.
` : l’ordre de λ dans le groupe multiplicatif K∗.
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VI. Le cas p ≥ 3
Theoreme (Fan-Fan-L-Wang, K = Qp(√Np) est non-ramifie)
Le systeme (P1(Qp), φ) se decompose en ((p + 1)pvp(λ`−1)−1)/` sous-
systemes minimaux. Chaque sous-systeme est topologiquement conjuguea l’odometer Z(ps) avec (ps) = (`, `p, `p2, · · · ).
Theoreme (Fan-Fan-L-Wang, K = Qp(√p),Qp(
√pNp) est ramifie)
(1) Si |a+ d|p > |√
∆|p, alors λ = 1 ( mod π). Le systeme (P1(Qp), φ)se decompose en 2p(vπ(λ
p−1)−3)/2 sous-systemes minimaux. Chaquesous-systeme est topologiquement conjugue a l’odometer Z(ps) avec(ps) = (1, p, p2, · · · ).
(2) Si |a+d|p < |√
∆|p, alors λ = −1 ( mod π). Le systeme (P1(Qp), φ)se decompose en p(vπ(λ
p+1)−3)/2 sous-systemes minimaux. Chaque sous-systeme est topologiquement conjugue a l’odometer Z(ps) avec (ps) =(2, 2p, 2p2, · · · ).
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VII. Conditions minimales (ergodiques)
Corollaire (FFLW, cas p ≥ 3)
Le systeme (P1(Qp), φ) est minimal si et seulement si une des conditionssuivantes est verifiee :
(1) K = Qp(√
∆) est non-ramifie, ` = p+ 1 et vp(λ` − 1) = 1,
(2) K = Qp(√
∆) est ramifie et vπ(λp + 1) = 3.
Corollaire (FFLW, case p = 2)
Le systeme (P1(Q2), φ) est minimal si et seulement si une des conditionssuivantes est verifiee :
(1) K = Q2(√
∆) = Q2(√−3), ` = 3 et v2(λ2` − 1) = 2,
(2) K = Q2(√
∆) = Q2(√−1),Q2(
√3), |a+ b|2 = |
√∆|2 et
vπ(λ2 + 1) = 2.
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Fonctions rationnelles
ayant bonne reduction
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I. Fonctions rationnelles ayant bonne reductionSoit · : Zp → Z/pZ la reduction modulo p definie par a 7→ a ≡ a mod p.La reduction d’un polynome f(z) =
∑ni=0 aiz
i ∈ Zp[z] est
f(z) =
n∑i=0
aizi.
Une fonction rationnelle φ(z) ∈ Qp(z) peut s’ecrire comme un quotientdes polynomes f(z), g(z) ∈ Zp[z] n’ayant pas de facteurs en commen, telque au moins un coefficient de f ou de g a la valeur absolute 1. Lareduction de φ est
φ(z) =f(z)
g(z)∈ Fp(z).
Si deg φ = deg φ, on dit que φ a bonne reduction, et si deg φ < deg φ,on dit que φ a mauvaise reduction.
Theoreme (Livre de Silverman : The arithmetic of dynamical systems)
Une fonction rationnelle φ a bonne reduction si et seulement si φ est 1-lipschitzienne par rapport a la metrique spherique.
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II. Decomposition minimale pour les fonctionsrationnelles ayant bonne reduction
Theorem (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit φ ∈ Qp(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction avecdeg φ ≥ 2. Nous avons la decomposition suivante :
P1(Qp) = P tMt B,
ou
P est un ensemble fini et se compose de tous les points periodiques ;
M := ti∈IMi (I fini ou denombrable)→ Mi : union finie des boules,→ φ :Mi →Mi est minimal ;
B est attire dans P tM.
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III. Structure dynamique de sous-systemes minimaux
Theorem (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit φ ∈ Qp(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction avecdeg φ ≥ 2. Si E ⊂ P1(Qp) est un ensemble ouvert-ferme et invariant parφ, alors φ : E → E est conjugue a l’odometre Z(ps), ou
(ps) = (k, kd, kdp, kdp2, · · · )
avec k et d entiers tels que 1 ≤ k ≤ p+ 1 et d | (p− 1).
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IV. Conditions minimales pour des fonctionsrationnelles ayant bonne reductionSi φ a bonne reduction, alors φ definit une transformation equi-continuesur P1(Fp), ou P1(Fp) est la droite projective sur Fp
Theorem (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit φ : P1(Qp) 7→ P1(Qp) une fonction rationnelle ayant bonnereduction et deg φ ≥ 2. Alors le systeme dynamique (P1(Qp), φ) estminimal si et seulement les conditions suivantes sont verifiees :
(1) La reduction φ est transitive sur P1(Fp).
(2) Pour p ≥ 5 : (φp+1)′(0) = 1 (mod p) et |φp+1(0)− 0|p = 1/p.
(3) Pour p = 2 ou 3 : (φp+1)′(0) = 1 (mod p), |φp+1(0)− 0|p = 1/p et|φ(p+1)p(0)− 0|p = 1/p2.
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V. Version standarde pour une fonction rationnelleayant bonne reduction
Pour φ ∈ Qp(z) avec deg φ ≥ 2, il existe z0 ∈ Qp tel quez0, φ(z0), φ2(z0) sont distincts.
Prenons
g(z) =(z − z0)(φ2(z0)− φ(z0))
(z − φ(z0))(φ2(z0)− z0).
Alors g(z0) = 0, g(φ(z0)) =∞ et g(φ2(z0)) = 1.
Soit ψ = g ◦ φ ◦ g−1. Alors ψ(0) =∞ et ψ(∞) = 1. De plus, ψ s’ecritcomme
ψ(z) =a0 + a1z + · · ·+ an−1z
n−1 + zn
b1z + · · ·+ bn−1zn−1 + zn
avec n ≥ 2 et ai, bj ∈ Qp.
→ Sans perte de generalite, nous supposons que φ(0) =∞ et φ(∞) = 1.
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VI. Conditions minimales (ergodiques) pour p = 2
Theorem (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit
φ(z) =a0 + a1z + · · ·+ an−1z
n−1 + zn
b1z + · · ·+ bn−1zn−1 + zn
avec n ≥ 2 et ai, bj ∈ Q2. Soit an = bn = 1. Posons Aφ :=∑i≥0 ai,
Bφ :=∑j≥1 bj , Aφ,1 :=
∑i≥0 a2i+1, Aφ,2 :=
∑i≥0 a4i+1 et
Aφ,3 :=∑i≥0 a4i+3. Alors φ a bonne reduction et (P1(Q2), φ) est
minimal si et seulement si
ai, bj ∈ Z2, pour 0 ≤ i ≤ n− 1 et 1 ≤ j ≤ n− 1,
a0 ≡ 1 mod 2, b1 ≡ 1 mod 2,
Aφ ≡ 2 mod 4, Aφ,1 ≡ 1 mod 2, Bφ ≡ 1 mod 2,
an−1 − bn−1 ≡ 1 mod 2,
a0b1(an−1 − bn−1)(Aφ,2 −Aφ,3)Bφ
+2(b2 − a1 + an−2 − bn−2 + bn−1 +Aφ,3) ≡ 1 mod 4.
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VII. Corollaries
Corollary (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit φ ∈ Q2(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction et dedegre 2 ou 3. Alors le systeme dynamique (P1(Q2), φ) n’est jamaisminimal.
Corollary (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Nous trouvons toutes les fonctions rationnelles ayant bonne reduction etde degre 4 qui sont minimales sur P1(Q2).
Exemple 1 : Soit p = 3. Considerons φ(z) = − 2z2+2z+1z3−3z2+z+1 . Alors le
systeme dynamique (P1(Qp), φ) est minimal.
Exemple 2 : Soit p = 3. Considerons φ(z) = 2z+3(z−1)(z−2) . Alors le systeme
dynamique (P1(Qp), φ) n’est pas minimal. Nous avons la decompositionsuivante :
P1(Qp) = B1(0)⊔
(P1(Qp) \B1(0)),
ou B1(0) est use partie sur laquelle φ est minimal et les points dansP1(Qp) \B1(0) sont attires dans B1(0).
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Idees et methodes
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I. Global et localTheoreme (Anashin 1994, Chabert, Fan et Fares 2009)
Soit X ⊂ Zp un compact.T : X → X est minimal⇔ Tn : X/pnZp → X/pnZp est minimal pour tout n ≥ 1.
Pour a ∈ P1(Qp) et un entier n ≥ 1, notons
Bn(a) := {x ∈ P1(Qp) : ρ(x, a) ≤ p−n}.
Soit Bn l’ensemble de (p+ 1)pn−1 boules disjointes de rayon p−n
contenus dans P1(Qp). Toute fonction 1-lipschitzienneφ : P1(Qp)→ P1(Qp) induit une transformation sur Bn. Notons φn latransformation induite de φ sur Bn, c’est-a-dire
φn(Bn(x)) = Bn(φ(x)), ∀x ∈ P1(Qp).
Proposition
Soit φ : P1(Qp)→ P1(Qp) une fonction 1-lipschitzienne. Alors le systeme(P1(Qp), φ) est minimal si et seulement si (Bn, φn) est minimal pour toutn > 0.
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II. Prediction et linearisationPrevoir le comportement de Tn+1 par celui de Tn.→ Idees de Desjardins et Zieve 1994 (arXiv) et la these de Zieve (UCBerkeley, 1996).
Considerons un cycle (x1, . . . , xk) de Tn dans Zp/pnZp,
Chaque xi est leve a pf points {xi + tpn : t ∈ C} (avecC = {0, 1, . . . , p− 1}) dans Zp/pn+1Zp.
Linearisation : g := T k,
g(x1 + tpn) ≡ x1 + (ant+ bn)pn (mod pn+1)
avec an = g′(x1), bn = g(x1)−x1
pn .
Application lineaire Φ : C → C : Φ(t) = ant+ bn (mod p).
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III. Comportements localsRelevements du cycle (x1, . . . , xk) :
Soit Xi = {xi + tpn : t ∈ C}. Alors, g : Xi → Xi.
1 an ≡ 1, bn 6≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet un seule cycle de longueurpk. On dit que σ pousse (grows).
2 an ≡ 1, bn ≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet p cycles de longueur k.On dit que σ se divise (splits).
3 an ≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet un seul cycle de longueur k et lesautres points de X sont envoyes a ce cycle par T k.On dit que σ pousse avec une queue (grow tails).
4 an 6≡ 0, 1 mod p : Tn+1|Xi admet un cycle de longueur k et(p− 1)/` cycles de longueur k`.On dit que σ se divise partiellement (partially splits).
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Comportement de Tn+1 (p = 3)
Cas 1 Cas 2
Cas 3 Cas 4
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IV. PrevoirProposition
Soit n ≥ 1. Soient σ un k-cycle of Tn et σ un de son relevement. On a1) si an ≡ 1 (mod p), alors an+1 ≡ 1 (mod p) ;2) si an ≡ 0 (mod p), alors an+1 ≡ 0 (mod p) ;3) si an 6≡ 0, 1 (mod p) et σ est de longueur k, alors an+1 6≡ 0, 1 (mod p) ;4) si an 6≡ 0, 1 (mod p) et σ est de longueur k` ou ` ≥ 2 est l’ordre de andans (Zp/pZp)∗, alors an+1 ≡ 1 (mod p).
Par ce resultat :1) Si σ pousse ou se divise, alors tout relevement σ pousse ou se divise.2) Si σ pousse avec une queue, alors le seule relevement σ pousse avecune queue.3) Si σ se divise partiellement, alors le relevement σ de la memelongueur que σ se divise partiellement, et les autres relevements quisont de longueur k` poussent ou se divisent.
Remarque : Sous certaines conditions, σ pousse, ⇒ σ pousse.
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V. Conditions minimales jusqu’au niveaux finis
Proposition (Anashin, 1994)
Soit f ∈ Zp[x] un polynome. Alors le systeme dynamique (Zp, f) estminimal si et seulement si les conditions suivantes sont verifiees :
(1) le systeme (Z/p3Z, f3) est minimal pour p = 2 ou 3,
(2) le systeme (Z/p2Z, f2) est minimal pour p ≥ 5.
Proposition (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)
Soit φ : P1(Qp) 7→ P1(Qp) une fonction rationnelle ayant bonne reductionet de degre deg φ ≥ 2. Alors le systeme dynamique (P1(Qp), φ) est minimalsi et seulement si les conditions suivantes sont verifiees :
(1) le systeme (B3, φ3) est minimal pour p = 2 ou 3,
(2) le systeme (B2, φ2) est minimal pour p ≥ 5.
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