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Contenu du cours. Analyseur de spectre Des transformées de Fourier Transformée de Fourier temps discret Transformée de Fourier discrète Algorithme rapide de la TFD : FFT Bourrage de zéros. 1996. Tolérance pour l’émission d’un GSM. 2/ Des transformées de Fourier. TC,NP. TC,P. - PowerPoint PPT Presentation
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2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Contenu du cours1. Analyseur de spectre2. Des transformées de Fourier3. Transformée de Fourier temps discret4. Transformée de Fourier discrète5. Algorithme rapide de la TFD : FFT6. Bourrage de zéros
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2
1996
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4
Tolérance pour l’émission d’un GSM
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5
2/ Des transformées de Fourier
T
tTkj
k dtetsT
S0
2)(1ˆ
-
2)((f)S dtets ftj
1
0
2
k1S
N
n
Nknj
nesN
n
fnTjn
ees 2(f)S
TC,P TC,NP
TD,P TD,NP
Coefficients de la série de Fourier Transformée de Fourier
Transformée de Fourier discrète
Transformée de Fourier à temps discret
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6
période
3/ Tranformée de Fourier à temps discret
n
fnTjn
eexfX 2ˆ
2/
2/
2ˆ1 e
e
e
f
f
fnTj
en dfefX
fx
dfefXtx ftj 2ˆ)(
TFTD
TFTDI
|X(f)|
arg(X(f))
enTt
dtetxfX ftj 2ˆ
fe=1/Te
ee fTjafT ee
fX 211ˆ
nexnn
anTn
E 1 0
Te=10
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7
Propriétés de la transformée de Fourier temps discret
2/
2/
22 )(ˆ1 ef
fenn dffS
fsE
)(ˆ)(ˆ)(* 21 fYfXfnyxTFTD nn
)(ˆ)]([)(ˆ)]([ 022 0 ffSfseTFTDfSefsTFTD n
nTfjfdTjdn
ee
Parseval
)(ˆ)(ˆ)]([)(ˆ)]([ fYfXfyxTFTDfSafasTFTD nnn
)]()2[sin()]()2[cos(sin
sin1)]([
111
1..001..00
11..0
fnnTfTFTDfnnTfTFTDfT
fNTefnTFTDfTFTD
NeNe
e
eTNfjNn
e
)(ˆ1)()(ˆ1
1)( 212
0
fSefssTFTDfSe
fsTFTD e
e
fTjnnfTj
n
pp
y
e
xe
nne f
ffXfYxy
Tˆˆ1f e
Retard=>déphasageLinéarité
Dilatation/concentrationSomme cumulée
Produit de convolution/produit
Sinusoïdes=>quotients
décalage fréquentiel
Parité )(ˆ)(ˆ fXfXxn
'''21 ])[*(
nnnnnn yxnyx
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8
1..12
2..0
NNk
Nk fréquences positivesfréquences négatives
fe
TFD
4/ Transformée de Fourier discrète
en nTt
1
0
21ˆN
n
Nkn
j
nk exN
X
1
0
2ˆN
k
Nkn
j
kn eXx
NTe
ITFD
x[n]1[n0-N+1,n0]
|Xk|
x[n]
arg(Xk)
NTe
e
ek NT
kNf
kf 1
l
Tn lNnxx
2010-2011
Propriétés de la transformée discrète
kknn YXknyxTFD ˆˆ)(21
0
0
ˆˆ][22
kknN
nkj
kNkd
j
dn SkseTFDSeksTFD
kkn XXx ˆˆ
kknnkn YXkyxTFDaSkasTFD ˆˆ][][
knTfTFDkN
nkTFDknTFDkTFD eNkkkkkNn )]2[sin(
21
21)]2[cos(1][ 0
01..0 001
kNkn
j
nnk
Nkn
j
n
pp SekssTFDS
eksTFD ˆ1ˆ
1
1 2
120
ee T
f 1
Retard=>déphasageLinéarité
Dilatation/concentration
Somme cumulée (sous réserve de périodicité)
Produit de convolution/produit
Sinusoïdes=>quotients
décalage fréquentielParité
llNn
llNn 1
lklNnklNn 00
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10
Notation matricielle
1
3
2
1
0
1113121
13963
12442
132
1
3
2
1
0
1
111
11111
1
ˆ
ˆˆˆˆ
N-))(N-(N-
N)(N-
N)(N-
NN-
N
)(N-NNNN
)(N-NNNN
N-NNNN
N- x:xxxx
W..WWW:::::::W..WWWW..WWWW..WWW
..
N
X:XXXX
: TFD la écrirepeut on , Avec2
FTe-jNπ-j
N =e=eW=W
1
0
1
0
ˆet 1ˆN-
k
-nkNkn
N-
n
knNnk WX x Wx
NX
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11
Propriétés de la TFD• Périodicité : Xk = XN+k d’où X-k = XN-k
• Soit x={x0,x1,…,xN-1} de TF X = {X0,X1,…,XN-1}Et y = {{x},{x },{ }…{x}} répétition de x M fois, C-à-d y={x0x1.. xN-1, x0x1..xN-1 ….} la TF Y de y est:
Y={X0,0,0,…,0,X1,0,0…,0,XN-1,0,0…,0}
xnyn
TFD
XkYk
réplication
ajout de zéros
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 12
5/ Transformée de Fourier Rapide
• La TFD est une méthode rapide de calcul– Diminution du nombre de calculs– Algorithme de Cooley et Turkey (1965)
– Les multiplications par WNnk sont effectuées plusieurs fois, on peut
donc les regrouper
1
0
1ˆN-
n
knNnk Wx
NX
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 13
Algorithme de fft
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 14
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 15
6/ Bourrage de zéro
][1 1..0 nxy Nnn
NTekY
NX k
ˆ1ˆ
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16