Contribution au transport de poudre par actionnement

Contribution au transport de poudre par actionnement

pieacutezoeacutelectrique ultrasonique

THEgraveSE

preacutesenteacutee et soutenue publiquement le 8 juillet 2013

pour lrsquoobtention du titre de

Docteur de lrsquoUniversiteacute Lille 1 ndash Sciences et Technologies

(speacutecialiteacute Geacutenie Electrique)

par

Răzvan CHITIC

Composition du jury

Rapporteurs Jean Franccedilois Rouchon Pr ENSEEIHT Laplace Toulouse

Yves Bernard Pr Paris XI LGEP SUPELEC Examinateurs Bruno Dehez Pr UC Louvain

Christine Prelle Pr UT Compiegravegne Roberval Directrice de thegravese Betty Lemaire-Semail Pr L2EP USTL

Examinateurs Pascal Tierce PDG SinapTec Richard Beacuteareacutee MdC FISE - Arts et Meacutetiers ParisTech Freacutedeacuteric Giraud MdC L2EP USTL

Inviteacutes Monique Favre RampD SinapTec

Eacutecole doctorale Sciences Pour lrsquoIngeacutenieur

Laboratoire dElectrotechnique et dElectronique de Puissance de Lille ndash EA 2697

PAGE VIDE

ReacutesumeAbstract

i

ReacutesumeacuteAbstract Contribution au transport de poudre par actionnement pieacutezoeacutelectrique ultrasonique Reacutesumeacute Les systegravemes industriels de transport de poudre sont en geacuteneacuteral des systegravemes meacutecaniques bruyants eacutenergivores mais surtout coucircteux en maintenance Lrsquoobjectif de cette thegravese consiste agrave investiguer des solutions alternatives exploitant des vibrations ultrasonores moins contraignantes pour la structure et ses jonctions Dans une premiegravere partie une meacutethode de transport baptiseacutee laquo frottement controcircleacute raquo exploite un actionnement pieacutezo-eacutelectrique afin de moduler le coefficient de frottement eacutequivalent entre la poudre et son guide de transport en mouvement La mise en œuvre expeacuterimentale de cette meacutethode deacutemontre son potentiel et vient eacutegalement corroborer une proposition de modegravele analytique simplifieacute pour ce mode de transport Dans une seconde partie des solutions exploitant uniquement des vibrations ultrasonores sont eacutetudieacutees Ces solutions se basent sur la geacuteneacuteration et le controcircle drsquoune onde progressive acoustique dans un eacuteleacutement de type poutre ou tube Des modegraveles analytiques et eacuteleacutements finis de ces diffeacuterentes solutions de transport sont exploiteacutees afin de mieux appreacutehender les pheacutenomegravenes physiques influenccedilant le transport mais aussi afin drsquooptimiser le dimensionnement de la structure en minimisant le taux drsquoonde stationnaire En se basant sur les consideacuterations et preacuteconisations preacuteceacutedentes des bancs de tests speacutecifiques agrave chacune des solutions envisageacutees sont deacuteveloppeacutes Les diffeacuterentes campagnes drsquoessais reacutealiseacutees permettent finalement de mener une analyse comparative de la qualiteacute des solutions de transport de poudre par onde ultrasonique Mots-cleacutes onde progressive frottement controcircleacute transport de poudre transducteur pieacutezoeacutelectrique transducteur ultrasonore analyse modale vibrations deacuteformations Contribution to powder transportation with ultrasonic piezoelectric actuators Abstract Industrial powder transportation systems use conveyor belts or vibratory conveyors which are often noisy mechanical systems requiring a massive energy consumption and a costly maintenance due to their moving parts The objective of this thesis is to investigate alternative solutions using ultrasonic vibrations less restrictive for the structure and its junctions In the first part a method of transportation called friction control operates a piezoelectric actuator to modulate the equivalent friction coefficient between the powder and the guide in movement The experimental implementation of this method shows its potential We propose also a simplified analytical model for this mode of transport In the second part only solutions using ultrasonic vibrations are studied These solutions are based on the generation and control of an acoustic wave into a beam-like member or tube Analytical and finite element models of the different transport solutions are used to better understand the physical phenomena affecting transport but also to optimize the design of the structure by minimizing the standing wave ratio Based on the above considerations multiple specific tests bench for each of the proposed solutions are developed Finally the various tests carried out allow to conduct a comparative analysis of the quality of the powder transport solutions by ultrasonic wave Keywords traveling wave friction control powder transportation piezoelectric actuator ultrasonic transducer modal analysis vibrations deformations

ReacutesumeAbstract

ii

PAGE VIDE

Table de matiegraveres

iii


ReacutesumeAbstracti

Table de matiegraveres iii

Liste de figures vii

Liste de tableaux xi

Symboles et notations xiii

Introduction geacuteneacuterale1

Chapitre I Etat de lrsquoart 3

I1 Transport de poudre 3

I11 Probleacutematique du transport de poudre 3

I12 Etat de lrsquoart sur les meacutethodes classiques de transport de poudre 4

I13 Etat de lrsquoart des meacutethodes alternatives par ultrasons 12

I14 Meacutethode Hybride transport de poudre par frottement controcircleacute 20

I15 Synthegravese des diffeacuterentes meacutethodes de transport 22

I2 Proprieacuteteacutes de la poudre aux ultrasons 25

I21 Eleacutements concernant la poudre 25

I22 Les forces entre particules 25

I3 Conclusions du chapitre 29

Chapitre II Frottement Controcircleacute 31

II1 Introduction 31

II2 Analyse du principe de laquo Frottement controcircleacute raquo 32

II21 Preacutesentation du principe 32

II22 Conception et reacutealisation drsquoun banc de test 33

II23 Reacutealisation 39

II24 Structure de controcircle 40

II3 Reacutesultats expeacuterimentaux 42

II31 Essais avec inclinaison 42

II32 Essais sans inclinaison 49


iv

II4 Modegravele matheacutematique de transport de la poudre 56

II41 Introduction 56

II42 Preacutesentation du modegravele 56

II43 Modegravele analytique 58

II44 Reacutesultats instantaneacutes de la modeacutelisation 60

II45 Comparaison avec les reacutesultats expeacuterimentaux 65

II5 Conclusions 69

Chapitre III Onde progressive ndash eacuteleacutements theacuteoriques71

III1 Introduction 71

III2 Propagation drsquoune onde progressive dans un milieu de dimension infini 72

III21 Hypothegraveses et notations 72

III22 Qualiteacute de lrsquoonde progressive 74

III23 Vitesse tangentielle ideacuteale de transport 75

III24 Notion de reacuteflexion et drsquoonde reacutefleacutechie 77

III3 Propagation drsquoune onde progressive dans un milieu de dimension finie 78

III31 Probleacutematique 78

III32 Analyse modale - types de modes drsquoexcitation selon la structure exploiteacutee 78

III33 Geacuteneacuteration de lrsquoonde progressive par approche modale 81

III34 Preacuteservation de lrsquoonde progressive par lrsquoabsorption de lrsquoonde incidente 83

III4 Modegravele analytique de lrsquoonde progressive dans une poutre exciteacutee en flexion 84

III41 Calcul analytique des freacutequences de reacutesonance en flexion 85

III42 Modegravele analytique de la deacuteformeacutee dans le cas dune onde progressive 87

III43 Applications du modegravele analytique 88

III44 Conclusions 98

III5 Modegravele analytique de lrsquoonde progressive en longitudinal pour un tube 99

III51 Calcul analytique des modes propres de deacuteformation 99

III52 Modegravele analytique 105



v

III54 Conclusion 110


Chapitre IV Onde progressive ndash Mise en œuvre expeacuterimentale et analyses 111

IV1 Eleacutements geacuteneacuteraux 111

IV2 Onde progressive en flexion dans des poutres 112

IV21 Dimensionnement des bancs drsquoessais 112

IV22 Onde progressive en flexion 118

IV23 Essais de transport de poudre 120

IV24 Onde progressive en flexion sur une structure tubulaire 124

IV25 Conclusions 127

IV3 Onde progressive en longitudinal sur une structure tubulaire 128

IV31 Conception de la maquette 128

IV32 Construction de la maquette et essais reacutealiseacutes 132

IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135

Conclusions geacuteneacuterales 136

Bibliographie 139

Annexe A Glossaire de termes145

Annexe B Solution frottement controcircleacute 146

B1 Calcul de la longueur du pied 146

B2 Analyse modale de la poutre 148

B3 Caracteacuteristiques des poudres 149

B4 Modegravele matheacutematique du transport de poudre pour le principe du frottement controcircleacute 149

Annexe C Modegravele matheacutematique de lrsquoonde progressive en flexion 151


vi

Liste de figures

vii

Liste de figures

Figure I1 ndash Possibiliteacutes de transport pneumatique de poudre a ndash transport par phase dilueacutee b ndash transport par fluidisation (Aeacuteroglissiegravere) c ndash transport par fluidisation (Airlift) d ndash transport par effet Venturi 6 Figure I2 ndash Systegravemes de transport meacutecaniques a ndash transporteur agrave vis b ndash convoyeur agrave bande c ndash eacuteleacutevateur agrave godets 8 Figure I3 ndash Scheacutema du dispositif expeacuterimental 9 Figure I4 ndash Principe de fonctionnement x est le deacuteplacement du tuyau agrave chaque intervalle de temps la poudre avance drsquoune distance x0 9 Figure I5 ndash Exemple drsquoun installation de transport classique par couloir vibrant [ldquoSinex Industrierdquo 2013] 10 Figure I6 ndash Principe drsquoobtention drsquoun mouvement elliptique par combinaison drsquoun mouvement vertical et drsquoun mouvement horizontal 11 Figure I7 ndash Scheacutema du dispositif expeacuterimental 12 Figure I8 ndash Lrsquoonde progressive dans un tube en acrylique amorti [Mracek and Wallaschek 2005] 13 Figure I9 ndash Illustration du principe drsquoentraicircnement des grains de poudre sur les crecirctes des ellipses creacutees par lrsquoonde progressive [Mracek and Wallaschek 2005] 14 Figure I10 ndash Lrsquoinstallation expeacuterimentale de mesure du deacutebit [Kuumlhne and Fritsching 2005] 15 Figure I11 ndash La poudre dans le tube capillaire [Yang and Li 2003] 16 Figure I12 ndash Diffeacuterents types drsquoeacutecoulement [Lu et al 2008] 16 Figure I13 ndash La configuration geacuteomeacutetrique du dispositif de transport [Yamada et al 1993] 17 Figure I14 ndash Installation expeacuterimentale pour la geacuteneacuteration drsquoonde progressive agrave partir de deux excitateurs [Loh and Ro 2000] 18 Figure I15 ndash Scheacutema de lrsquoinstallation expeacuterimentale pour la propagation drsquoune onde progressive agrave partir drsquoun excitateur et drsquoun absorbeur [Hashimoto et al 1998] 18 Figure I16 ndash Structure du double tube 19 Figure I17 ndash Illustration des deacuteformations du tube inteacuterieur 20 Figure I18 ndash Scheacutema du dispositif expeacuterimental pour lrsquoapproche laquo frottement controcircleacute raquo 21 Figure I19 ndash Repreacutesentation qualitative des meacutethodes de transport 22 Figure I20 ndash Repreacutesentation radar des critegraveres de performances 24 Figure I21 ndash Deux particules de poudre avec des diamegravetres diffeacuterents 26 Figure I22 ndash a) une particule et une surface b) une particule et une plaque 26 Figure II1 ndash Synchronisation des vibrations US sur le deacuteplacement de la barre 32 Figure II2 ndash Allure de lrsquoamplitude vibratoire selon la largeur de la poutre et selon deux types de section (section de la poutre repreacutesenteacutee sous la courbe drsquoamplitude de deacuteplacement) 34 Figure II3 ndash Dimension de la section transversale de la poutre deacutefinitive 34

Liste de figures

viii

Figure II4 ndash Dimensions des ceacuteramiques drsquoexcitation 35 Figure II5 ndash Analyse modale de la poutre avec les ceacuteramiques positionneacutees aux ventres de lrsquoonde de flexion les nœuds de vibration apparaissent en vert 36 Figure II6 ndash Le montage de la maquette 36 Figure II7 ndash Superposition des ondes de vibration 37 Figure II8 ndash Dimensions geacuteneacuteriques de la lame 38 Figure II9 ndash Forme finale des lames 38 Figure II10 ndash Piegravece de fixation 39 Figure II11 ndash Le collage des ceacuteramiques sur le dessous de la poutre 39 Figure II12 ndash Les nœuds pour la freacutequence de 21729Hz 39 Figure II13 ndash Amplitude vibratoire dans la direction transversale sur la poutre Les valeurs de deacuteplacement donneacutees ci apregraves ont eacuteteacute obtenues pour U=100V ĉ-ĉ I=80mA ĉ-ĉ Pm=68mW et f=21729Hz 40 Figure II14 ndash Banc drsquoessais 41 Figure II15 ndash Lrsquoinclinaison du bacircti 43 Figure II16 ndash Deacutebit expeacuterimental en fonction de lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence pour α=10deg et lineacutearisation 43 Figure II17 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour α=15deg surface inox 44 Figure II18 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour α=15deg surface laquo scotch raquo 45 Figure II19 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour le corindon et diffeacuterentes surfaces 46 Figure II20 ndash Inclinaison du systegraveme complet 47 Figure II21 ndash Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence pour α=15deg 48 Figure II22 ndash Le montage complet de la maquette sans inclinaison 50 Figure II23 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence 51 Figure II24 ndash Vitesse moyenne en fonction de lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence 52 Figure II25 ndash Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence pour le corindon selon deux inclinaisons du guide de poudre 53 Figure II26 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude haute freacutequence pour une amplitude de deacuteplacement basse freacutequence de 630microm ĉ-ĉ 54 Figure II27 ndash Deacutebit en fonction du deacutephasage 55 Figure II28 ndash Deacutefinition des repegraveres 57 Figure II29 ndash Modegravele du transport repreacutesenteacute par le reacuteseau de Petri 57 Figure II30 ndash Bilan des efforts pour le corps granulaire pendant lrsquoadheacuterence 58 Figure II31 ndash Bilan des efforts pour la phase de glissement 59 Figure II32 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour le corindon ndash alimentation des ceacuteramiques quand lrsquoacceacuteleacuteration de la barre est neacutegative (deacutephasage 90deg) 62 Figure II33 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour le corindon ndash alimentation des ceacuteramiques quand la vitesse de la barre est neacutegative (deacutephasage 0deg) 63 Figure II34 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour lrsquoalumine Φ30microm ndash alimentation des ceacuteramiques quand lrsquoacceacuteleacuteration de la barre est neacutegative (deacutephasage 90deg) 64 Figure II35 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour le corindon 67 Figure II36 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour lrsquoalumine 30microm 68 Figure II37 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour le ciment 68 Figure II38 ndash Vitesse moyennes mesureacutee et calculeacutee pour lrsquoalumine 10microm 69

Liste de figures

ix

Figure III1 ndash Propagation de lrsquoonde progressive 72 Figure III2 ndash Onde stationnaire 73 Figure III3 ndash Illustration drsquoune onde progressive imparfaite (TOS diffeacuterent de 1) 74 Figure III4 ndash Principe drsquoentraicircnement des objets par des ellipses locales creacuteeacutees par lrsquoonde progressive 75 Figure III5 ndash La flexion drsquoune poutre pour un instant donneacute 76 Figure III6 ndash Modes de deacuteformation drsquoune poutre 79 Figure III7 ndash Les modes du tube les modes de dilatation-compression les modes radiaux et les modes de flexions 80 Figure III8 ndash Excitation transversale et longitudinale 80 Figure III9 ndash Excitation drsquoune poutre par deux geacuteneacuterateurs de force deacutephaseacutes 81 Figure III10 ndash Evolution de la participation de chaque mode propre en fonction de la freacutequence drsquoexcitation [Vloebergh 2010] 82 Figure III11 ndash Adaptation de lrsquoimpeacutedance 83 Figure III12 ndash Les premiers modes de deacuteformation de la poutre 86 Figure III13 ndash Spectre freacutequentiel de la poutre en acier 12times4times485mm en bleu reacutesultats du modegravele analytique en rouge freacutequences de reacutesonance obtenues par analyse modale 90 Figure III14 ndash Deacuteformeacutee de la poutre sur la partie centrale pour deux forces deacutephaseacutees de 90deg et pour la freacutequence meacutediane entre deux modes 91 Figure III15 ndash Deacuteformeacutee de la poutre en fonction du temps t et de la position x pour un amortissement nul 92 Figure III16 ndash Deacuteformeacutee de la poutre dans sa partie centrale en utilisant un taux drsquoamortissement ζ=0003 93 Figure III17 ndash Deacuteformeacutee de la poutre sur toute la longueur de la barre avec un taux drsquoamortissement de 0003 94 Figure III18 ndash Deacutetermination du TOS sans amortissement pour f=20900Hz 96 Figure III19 ndash Deacutetermination du TOS avec amortissement pour f=20900Hz 96 Figure III20 ndash Freacutequence optimiseacutee avec amortissement ζ=0003 97 Figure III21 ndash Veacuterification de freacutequence optimiseacutee avec amortissement 98 Figure III22 ndash Repreacutesentations des deacuteformations circonfeacuterentielles drsquoun tube 100 Figure III23 ndash Exemple de la deacuteformation du mode n=2 et m=4 101 Figure III24 ndash Les modes de deacuteformation n=(01hellip6) pour le tube en acier inoxydable 102 Figure III25 ndash Distribution de modes propres de deacuteformation pour une structure tubulaire en acier inoxydable Repreacutesentation des modes axisymeacutetriques uniquement (n=0) pour diffeacuterentes valeurs du ratio rayonlongueur et du ratio eacutepaisseurrayon 104 Figure III26 ndash Spectre freacutequentiel drsquoun barreau 30times30times1000mm 108 Figure III27 ndash Deacuteformeacutee de la poutre en fonction du temps t et de la position x 109 Figure IV1 ndash Deacuteformations de la poutre 14times49times476mm pour les modes m19 et m20 115 Figure IV2 ndash Deacuteformations de la poutre pour les modes m19 et m20 (reacutesultats par eacuteleacutements finis) 116 Figure IV3 ndash Fixation de la poutre sur le transducteur avec la vis 117 Figure IV4 ndash Montage complet poutre avec les deux transducteurs 117 Figure IV5 ndash Spectre freacutequentiel pour la maquette preacutesenteacutee dans la Figure IV4 mesure obtenue par lrsquoanalyseur drsquoimpeacutedance 118 Figure IV6 ndash Vitesses moyennes de la poudre mesureacutee et approcheacutee lineacuteairement en fonction de la vitesse tangentielle theacuteorique de crecircte drsquoonde 122

Liste de figures

x

Figure IV7 ndash Transport uniforme de la poudre sur la poutre 14times5mm 123 Figure IV8 ndash Transport discontinu de la poudre sur la poutre 15times2mm des paquets de poudre se forment 124 Figure IV9 ndash Deacuteformation de la poutre pour le mode f=20160Hz 125 Figure IV10 ndash Fixation du tube sur le transducteur avec la vis 126 Figure IV11 ndash Montage complet tube avec les deux transducteurs 126 Figure IV12 ndash Fixation du tube dans le transducteur 128 Figure IV13 ndash Les modes de deacuteformation n=(01) pour le tube en acier inoxydable 129 Figure IV14 ndash Deacuteformation du tube seul et de lrsquoassemblage complet dans la direction axiale Z mode m=18 130 Figure IV15 ndash Deacuteformation de la structure en Y et en Z (reacutesultats par eacuteleacutements finis) 131 Figure IV16 ndash Maquette onde progressive en longitudinal 132 Figure IV17 ndash Spectre freacutequentiel de la maquette 133 Figure IV18 ndash Trou reacutealiseacute a lrsquoextreacutemiteacute du tube pour introduire la poudre 134

Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux

Tableau I1 ndash Synthegravese des meacutethodes de transport preacutesenteacutees 23 Tableau I2 ndash La force drsquoadheacutesion respectivement de vibration pour les diffeacuterentes poudres28 Tableau II1 ndash Synthegravese des essais reacutealiseacutes pour une inclinaison de 15deg 46 Tableau II2 ndash Densiteacutes pour les poudres utiliseacutees 51 Tableau II3 ndash Identification expeacuterimentale des coefficients de frottement sec avec et sans US pour diffeacuterentes poudres 65 Tableau IV1 ndash Caracteacuteristiques des poutres utiliseacutees 114 Tableau IV2 ndash Longueur pour les poutres utiliseacutees 114 Tableau IV3 ndash Calcul analytique des modes propres de flexion 114 Tableau IV4 ndash Les modes de flexion pour la poutre 14times49mm reacutesultats expeacuterimentaux issus de lrsquoanalyse interfeacuteromeacutetrique 119 Tableau IV5 ndash Caracteacuteristiques de lrsquoonde progressive obtenue pour les poutres en flexion le dimensionnement de ces poutres a suivi la meacutethode analytique 120 Tableau IV6 ndash Paramegravetres de transport de la poudre sous lrsquoaction de lrsquoonde progressive mesure effectueacutee pour les quatre poutres et deux poudres diffeacuterentes 121 Tableau IV7 ndash Les amplitudes vibratoires de seuil mesureacutees et estimeacutees pour le corindon 122 Tableau IV8 ndash Caracteacuteristiques du tube 124 Tableau IV9 ndash Les modes de deacuteformation deacutetermineacutes par calcul analytique et par simulation numeacuterique 125 Tableau IV10 ndash Paramegravetres de lrsquoonde progressive pour les tubes en flexion 127 Tableau IV11 ndash Les modes de deacuteformation deacutetermineacutes par calcul analytique et par simulation numeacuterique 129 Tableau IV12 ndash Paramegravetres de lrsquoonde pour la maquette onde progressive en longitudinal 133

Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii

Symboles et notations

Constantes geacuteneacuterales du systegraveme

E Module du Young [Nm2]

I Moment inertiel [m4]

ρ Densiteacute [kgm3]

ν Coefficient de Poisson

L d h Respectivement la longueur la largeur et la hauteur drsquoune poutre [m]

R Rayon moyen drsquoun tube [m]

S Surface de la section droite drsquoune poutre [m2]

l Position des transducteurs pour la maquette Onde progressive en flexion [m]

α Inclinaison du systegraveme [deg]

g Acceacuteleacuteration gravitationnelle [ms2]

Constantes de lrsquoonde progressive

f Freacutequence drsquoexcitation [Hz]

ω Pulsation [rads]

λ Longueur drsquoonde [m]

k Nombre drsquoonde [1m]

Φ Phase de lrsquoonde progressive

v Vitesse de phase [ms]

A Amplitude de vibration [m]

vT vN Respectivement la vitesse tangentielle et la vitesse normale [ms]

w(xt) u(xt) Respectivement la deacuteformation normale et tangentielle de la vibration

TOS Taux drsquoOnde Stationnaire

Glossaire

xiv

Constantes de la poudre

M Masse du corps granulaire [kg]

P Poids du corps granulaire [N]

micros microrsquos Coefficients de frottement sec entre la poudre et la barre sans respectivement avec ultrasons

kf krsquof Coefficients de frottement fluide entre la poudre et la barre sans respectivement avec ultrasons

Fs Ff Force de frottement sec [N] force de frottement fluide [Nsm]

vp Vitesse moyenne de deacuteplacement de la poudre [ms]

Introduction geacuteneacuterale

1


Le transport de poudre est parfois une eacutetape deacutelicate drsquoun processus industriel bien qursquoil ne confegravere au produit final aucune valeur ajouteacutee en geacuteneacuteral on srsquoattend agrave ce que la matiegravere transporteacutee ne se deacute-meacutelange pas qursquoil nrsquoy ait pas de perte de matiegravere et que cette derniegravere ne soit sujette agrave aucune modification chimique pendant le transport De nombreux systegravemes de transport de poudre existent aujourdrsquohui Mais ils souffrent drsquoun nombre important de deacutefauts agrave corriger En effet ce sont en geacuteneacuteral des systegravemes meacutecaniques bruyants qui neacutecessitent une maintenance coucircteuse et qui sont parfois eacutenergivores Les travaux preacutesenteacutes dans ce meacutemoire proposent de fournir une alternative agrave ces meacutethodes Initieacutee par la socieacuteteacute SinapTec lrsquoeacutetude traite de la faisabiliteacute drsquoun transport de poudre par onde ultrasonore Elle fait suite agrave des eacutetudes preacuteliminaires meneacutees au sein du L2EP (Laboratoire dElectrotechnique et dElectronique de Puissance de Lille) notamment dans le cadre de deux stages ingeacutenieurs

SinapTec est une PME indeacutependante de la reacutegion lilloise qui propose une expertise de plus de 25 ans dans le deacuteveloppement de solutions pieacutezoeacutelectriques et ultrasoniques innovantes pour la recherche et lindustrie [ldquoSinapTecrdquo 2013]

Le but de cette thegravese consiste agrave rechercher et agrave analyser des meacutethodes de transport de poudre par onde vibratoire adaptable agrave un contexte dexploitation industrielle Les installations classiques de transport de poudre [ldquoSinex Industrierdquo 2013] sont geacuteneacuteralement reacutealiseacutees avec des couloirs vibrants qui utilisent des actionneurs eacutelectromagneacutetiques Ces actionneurs travaillent en basse freacutequence et ont de grandes amplitudes de deacuteplacement qui produisent les deacuteteacuteriorations au niveau des joints La maintenance consiste alors agrave remplacer ces eacuteleacutements (les silentblocs) mais aussi agrave reprendre le reacuteglage de lrsquoinstallation Par ailleurs ces sollicitations meacutecaniques importantes engendrent des fuites de poudre suite agrave la deacutegradation des soufflets aux jonctions Lrsquoobjectif final est donc de deacutevelopper une installation de transport poudre qui doit travailler en haute freacutequence et avec de faibles amplitudes afin drsquoeacuteliminer les problegravemes de contraintes au niveau des joints

La reacutealisation de cette installation doit respecter certains critegraveres de performance qui sont imposeacutes dans le cahier de charges

fixation quasi-rigide des jonctions (afin de reacuteduire la maintenance) deacutebit de transport (jusquagrave 12kgmin) minimal et potentiellement reacuteglable robustesse de lrsquoinstallation (faciliteacute et reacuteduction de la maintenance) aucune perte de poudre pendant le transport vidage complet de lrsquoinstallation (contrainte indispensable en cas dintervention

pour maintenance) conservation de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute de la poudre (contrainte lieacutee au processus) pas de reacutechauffement de la poudre (contrainte lieacutee au processus)


2

Ces travaux de thegravese ont commenceacute avec une eacutetude bibliographique large qui a porteacute aussi bien sur la probleacutematique du transport de poudres que sur le comportement des diffeacuterents types de poudres en terme drsquoadheacuterence ou de coheacutesiviteacute Au niveau de lrsquoactionnement nous nous sommes eacutegalement pencheacutes sur la probleacutematique de lrsquoactionnement pieacutezo-eacutelectrique et celle de la propagation drsquoune onde progressive dans un milieu fini tel un tube ou une poutre Afin de veacuterifier les principes de transport de poudre qui sont proposeacutes des investigations sur plusieurs maquettes conccedilues en collaboration entre SinapTec et le L2EP ont eacuteteacute systeacutematiquement meneacutees Les reacutesultats de ces eacutevaluations sont tregraves importants afin drsquoaccroicirctre la compreacutehension des pheacutenomegravenes (aujourdhui encore mal maicirctriseacutes) qui assurent la fonction de transport de la poudre Dans le premier chapitre nous introduisons donc les diffeacuterentes meacutethodes de transport de poudre ceux majoritairement utiliseacutes dans les processus industriels et ceux plus innovants ameneacutes agrave pallier les deacutefauts des premiers Crsquoest eacutegalement dans ce chapitre que nous rappelons quelques caracteacuteristiques simples du comportement des poudres Puis dans un second chapitre nous preacutesentons une solution de transport innovante qui srsquoappuie sur des deacuteplacements basse-freacutequence de forte amplitude dune conduite de poudre agrave laquelle des vibrations ultrasonores synchroniseacutees ont eacuteteacute ajouteacutees Pour cette solution nous preacutesentons le principe de transport les eacuteleacutements de conception et les validations numeacuteriques pour passer ensuite agrave la construction physique et aux expeacuterimentations Le chapitre se termine avec un modegravele matheacutematique simplifieacute de transport de poudre permettant drsquoanalyser le fonctionnement et les performances obtenues Les reacutesultats de ce banc de test ont eacuteteacute preacutesenteacutes dans deux articles de confeacuterence [Chitic et al 2012] [Chitic et al 2013] Cette solution a eu le meacuterite de nous faire aborder les interactions poudre-vibration mais elle ne respecte pas de maniegravere complegravete les critegraveres de performances imposeacutes dans le cahier de charges Crsquoest pourquoi une deuxiegraveme meacutethode de transport qui eacutelimine complegravetement le deacuteplacement basse freacutequence a eacuteteacute eacutetudieacutee elle utilise uniquement des vibrations haute freacutequence pour creacuteer une onde progressive dans une structure finie de transport un tube ou une poutre et assurer ainsi le transport de poudre Le chapitre trois introduit donc tout drsquoabord des notions geacuteneacuterales relatives agrave lrsquoonde progressive dans un milieu infini pour passer ensuite au cas plus reacutealiste du milieu de dimension finie Les possibiliteacutes drsquoobtenir une onde progressive en fonction du type de structure exciteacutee sont eacutetudieacutees notamment en proposant une modeacutelisation analytique de lrsquoonde de vibration et en eacutetudiant le TOS Taux drsquoOnde Progressive obtenu Enfin le quatriegraveme chapitre preacutesente les eacuteleacutements de conception de validation numeacuterique et de fabrication de diverses maquettes reacutealiseacutees pour eacutetudier le principe de lrsquoonde progressive Les reacutesultats expeacuterimentaux obtenus permettent de qualifier les performances en terme de deacutebit pour diffeacuterentes poudres et diffeacuterentes structures de transport

Chapitre I Introduction

3

Chapitre I

Etat de lrsquoart

I1 Transport de poudre

I11 Probleacutematique du transport de poudre

Les installations de transport de poudre sont utiliseacutees dans des domaines tregraves varieacutes tels les industries agro-alimentaire chimique ou pharmaceutique Dans chaque domaine elles doivent respecter des contraintes speacutecifiques comme par exemple le dosage preacutecis de substances meacutedicamenteuses le transport de poudre en grande quantiteacute etou sur de longues distances ou encore le vidage complet drsquoune installation contenant des produits dangereux Ainsi le transport de poudre peut parfois ecirctre une eacutetape deacutelicate drsquoun processus industriel bien qursquoil ne confegravere au produit final aucune valeur ajouteacutee En geacuteneacuteral on srsquoattend agrave ce que la matiegravere transporteacutee ne se deacutemeacutelange pas qursquoil nrsquoy ait pas de perte de matiegravere et que cette derniegravere ne soit sujette agrave aucune modification chimique pendant le transport De nombreux systegravemes de transport de poudre existent aujourdrsquohui mais pour certains domaines les meacutethodes actuelles ne permettent pas drsquoassurer une bonne maicirctrise de lrsquoeacutecoulement en termes de preacutecision et de vitesse de transport notamment De plus ces dispositifs souffrent drsquoun nombre important de deacutefauts agrave corriger Ce sont en effet des systegravemes meacutecaniques bruyants travaillant agrave basse freacutequence qui neacutecessitent une maintenance coucircteuse et sont parfois jugeacutes trop eacutenergivores Les travaux preacutesenteacutes dans ce meacutemoire visent agrave investiguer une alternative agrave ces meacutethodes Initieacutee par la socieacuteteacute SinapTec lrsquoeacutetude traite de la faisabiliteacute drsquoun transport de poudre par onde ultrasonore Elle fait suite agrave des eacutetudes preacuteliminaires meneacutees au sein du laboratoire L2EP notamment dans le cadre de deux stages ingeacutenieurs Ce chapitre introductif dresse tout drsquoabord un eacutetat de lrsquoart des meacutethodes classiquement utiliseacutees dans le monde industriel pour satisfaire au transport de poudres agrave diffeacuterentes eacutechelles Face aux inconveacutenients lieacutes agrave ces systegravemes une investigation vers des dispositifs plus performants reposant sur lrsquoutilisation de vibrations ultrasonores est meneacutee Le chapitre se termine sur la consideacuteration des forces physiques susceptibles de srsquoappliquer aux particules formant la poudre


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I12 Etat de lrsquoart sur les meacutethodes classiques de transport de poudre

Il existe plusieurs meacutethodes classiques de transport de poudre chacune drsquoentre elles eacutetant plus ou moins adapteacutee aux domaines dapplication En effet le transport de poudre est influenceacute par les caracteacuteristiques de la poudre mais aussi par drsquoautres facteurs exteacuterieurs comme lrsquohumiditeacute la tempeacuterature ou la pression [Masuda et al 2006] De plus chaque processus industriel a ses demandes speacutecifiques portant sur le deacutebit neacutecessaire ou la distance de transport Les diffeacuterentes meacutethodes classiquement utiliseacutees peuvent ecirctre classeacutees dans deux grandes cateacutegories

Transport de poudre par moyens pneumatiques Transport de poudre par moyens meacutecaniques

I121 Transport de poudre par des moyens pneumatiques

Les systegravemes de manutention pneumatiques sont des systegravemes qui consistent agrave reacutealiser le transport de poudre en utilisant un courant drsquoair dans une conduite eacutetanche Ces systegravemes ont des deacutebits qui varient entre quelques centaines de kilogrammes par heure et plusieurs dizaines de tonnes voir mecircme plusieurs centaines de tonnes par heure et pouvant srsquoeacutetendre sur des longueurs supeacuterieures agrave la centaine de megravetres Les avantages de ce principe de transport sont [Destoop 1999]

Aucune perte de produit ni deacutegagement de poussiegraveres puisque la poudre eacutevolue dans une conduite eacutetanche

La possibiliteacute de transporter sous gaz neutres Entretien et coucirct drsquoexploitation reacuteduits

Le transport pneumatique peut ecirctre classeacute en fonction de plusieurs critegraveres

En fonction de la pression tout dabord On distingue en effet les systegravemes basse pression ougrave la poudre est dilueacutee dans le gaz permettant datteindre en geacuteneacuteral les vitesses les plus eacuteleveacutees de ce mode de transport Dans les systegravemes agrave haute pression au contraire la poudre est en phase dense et les vitesses de transport sont faibles Dans un cas comme dans lautre on choisira de travailler en refoulement (agrave pression positive vis agrave vis de lair ambiant) ou en aspiration (cest agrave dire agrave pression neacutegative)

On peut eacutegalement consideacuterer la direction du transport selon quil seacutelabore agrave la verticale (Airlift) agrave lhorizontale ou avec une certaine inclinaison (Aeacuteroglissiegravere)

La Figure I1 preacutesente quelques reacutealisations technologiques Le dispositif de la Figure

I1a [ldquoConvoyeur pneumatiquerdquo 2013] preacutesente un systegraveme de transport de poudre agrave pression positive en phase dilueacutee en direction verticale et horizontale Un suppresseur associeacute agrave deux tecirctes de mise agrave lair libre permet de souffler de lair dans une conduite Leacutecluse rotative alimente la conduite en poudre qui se trouve alors entraicircneacutee dans la conduite Leacutecluse rotative peut ecirctre remplaceacutee par un dispositif employant leffet venturi comme dans la Figure I1d [ldquoBuses de transport pneumatiquerdquo 2013] Le systegraveme en Figure I1c [ldquoFluidisation Airliftrdquo 2013] produit un deacuteplacement de la poudre agrave la verticale et vers le


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haut agrave partir dun jet de gaz (en vert) La seacuteparation gaz-poudre se fait au moyen dun reacuteflecteur incurveacute et par graviteacute Enfin le dispositif en Figure I1b [Destoop 1999] utilise un systegraveme de membrane poreuse pour produire un coussin dair sous lamas de poudre La poudre est alors deacuteplaceacutee par graviteacute [Destoop 1999] cest un cas dutilisation de la poudre en phase dense Cette liste dexemples nest pas exhaustive mais permet de bien montrer les limites dune telle technologie En effet au cours du processus la poudre doit ecirctre seacutepareacutee du gaz ce qui est reacutealiseacute agrave laide de filtres ou de seacuteparateurs Ces filtres accumulent de la poudre quil est ensuite difficile de reacutecupeacuterer certes le produit na pas fuit mais une partie est perdue ce qui peut ecirctre probleacutematique Par ailleurs agrave la longue de la poudre peut se colmater lagrave ougrave le jet de gaz subit des turbulences par exemple au niveau des coudes ou bien sur toute partie non lisse de la conduite Lagrave encore le produit nest pas perdu mais sa reacutecupeacuteration totale neacutecessite larrecirct du dispositif et une maintenance coucircteuse


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Figure I1 ndash Possibiliteacutes de transport pneumatique de poudre a ndash transport par phase dilueacutee b ndash transport par fluidisation

(Aeacuteroglissiegravere) c ndash transport par fluidisation (Airlift) d ndash transport par effet Venturi


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I122 Transport de poudre par des moyens meacutecaniques

Parce qursquoelles ne feront pas lrsquoobjet de notre eacutetude nous eacutevoquons tout drsquoabord rapidement les solutions classiques transport meacutecanique Ces solutions de transport sont utiliseacutees intensivement dans diffeacuterents secteurs industriels depuis de nombreuses anneacutees Elles permettent des deacutebits de transport tregraves importants pouvant attendre plusieurs centaines de tonnes de poudre par heure sur des distances de plusieurs dizaines de megravetres Parmi ces dispositifs de transport on citera

Les convoyeurs agrave vis sans fin (Figure I2 a [ldquoScrew conveyorsrdquo 2013]) Les convoyeurs agrave bande (Figure I2 b [ldquoConveyor Belt Guiderdquo 2013]) Les eacuteleacutevateurs agrave godets (Figure I2 c [ldquoEleacutevateur agrave Godetsrdquo 2013])

Ces systegravemes mettent en jeu une interaction poudre-conduite tregraves simple puisque la

poudre est en adheacuterence avec la conduite tout au long du transport Dans la suite nous allons deacutecrire plus en deacutetail des systegravemes meacutecaniques de

transport qui mettent en jeu une interaction poudre-conduite plus complexe et dont nous reprendrons les principes ulteacuterieurement

I1221 Introduction

Ces dispositifs de transport de poudre meacutecaniques reposent sur la mise en mouvement oscillant et peacuteriodique dun guide de poudre Deux types de mouvements se rencontrent

ceux sans hysteacutereacutesis de deacuteplacement ceux avec hysteacutereacutesis de deacuteplacement

Nous preacutesentons dans la suite de ce meacutemoire des expeacuteriences meneacutees au sein du laboratoire L2EP qui en illustrent le principe ainsi que quelques exemples significatifs de tels systegravemes


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Figure I2 ndash Systegravemes de transport meacutecaniques a ndash transporteur agrave vis b ndash convoyeur agrave bande c ndash eacuteleacutevateur agrave godets


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I1222 Systegravemes de transport sans hysteacutereacutesis

I12221 Systegravemes de transport de poudre par laquo stick and slip raquo

Pour ce type de dispositif un moteur lineacuteaire eacutelectromagneacutetique est fixeacute au guide de poudre (Figure I3) Le moteur est asservi en position et produit un mouvement qui a une forme de lsquolsquodents de sciersquorsquo [Chitic 2009]

Moteur Tuyau

GBF

GBF - geacuteneacuterateur basse freacutequence1 - capteur de position

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Figure I3 ndash Scheacutema du dispositif expeacuterimental

Comme deacutecrit agrave la figure Figure I4 au cours de lrsquointervalle de temps I le tuyau se deacuteplace lentement horizontalement et entraicircne la poudre (phase laquo stick raquo collage ou adheacuterence) Par contre pendant lrsquointervalle de temps II (tregraves court) le tuyau est rameneacute rapidement en arriegravere si bien que la poudre glisse et reste sur place par effet inertiel (phase laquo slip raquo glissement) Finalement au bout des deux intervalles de temps le tuyau est revenu agrave sa position initiale et la poudre a avanceacute drsquoune distance theacuteorique X0

t

x

I

II

I

II

I - deacuteplacement poudre lentII - retour rapide du tuyau

x0

Figure I4 ndash Principe de fonctionnement x est le deacuteplacement du tuyau agrave chaque intervalle

de temps la poudre avance drsquoune distance x0


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Pour augmenter la vitesse et le deacutebit de poudre on peut soit augmenter lamplitude de deacuteplacement (x0) soit augmenter la freacutequence du signal Il est mecircme possible dinverser le sens de deacuteplacement simplement en inversant lallure de la forme du signal de position de reacutefeacuterence Lavantage principal pour ce type dinstallation est la simpliciteacute de la commande puisqursquoelle ne neacutecessite qursquoun seul geacuteneacuterateur de signal De fait un tel dispositif sera robuste et simple agrave mettre en œuvre Cependant il faut veiller agrave ne pas augmenter la freacutequence drsquoalimentation pour eacuteviter drsquoexciter les modes de vibration eacuteleveacutes de la structure meacutecanique Dans ce cas le guide de poudre pourrait se deacuteformer et engendrer des mouvements parasites qui viendraient contrer leffet moteur de deacuteplacement de poudre On notera que ce principe de transport est un cas de transport sans hysteacutereacutesis de deacuteplacement car la conduite de poudre subit un mouvement de translation lineacuteaire horizontale

I12222 Systegravemes de transport de poudre par couloir vibrant

Ce terme deacutesigne plus particuliegraverement des dispositifs dans lesquels la conduite de poudre est mise en mouvement de translation lineacuteaire mais sur un axe inclineacute par rapport agrave lhorizontale Un tel systegraveme deacutecrit agrave la Figure I5 se compose dun actionneur eacutelectromagneacutetique produisant un mouvement oscillant et inclineacute donc Des joints flexibles guident la conduite en translation

Figure I5 ndash Exemple drsquoun installation de transport classique par couloir vibrant [ldquoSinex

Industrierdquo 2013]

Le principe de fonctionnement est deacutecrit dans larticle [Hor and Linz 2005] et peut se reacutesumer en trois eacutetapes Tout dabord une phase dadheacuterence pendant laquelle la conduite guide la poudre Puis une phase pendant laquelle la poudre nrsquoest plus en contact avec la conduite qui survient au moment du changement de sens du mouvement du moteur Cette phase consiste en un deacutecollement puis une chute de la poudre sur la conduite si bien quelle est aussi appeleacutee laquo chute balistique raquo Lorsque la poudre reprend contact avec la conduite leurs vitesses absolues ne sont plus identiques il y a donc une troisiegraveme phase de frottement avant de reprendre un cycle Cest lapparition de la phase de deacutecollement qui permet agrave la poudre davancer (sinon elle subirait elle aussi un mouvement oscillant) Cette phase est provoqueacutee par linclinaison de


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laxe de pousseacutee du moteur qui a une importance fondamentale sur le bon fonctionnement si le mouvement relatif de la poudre est trop proche de la verticale la poudre sursaute mais avance peu srsquoil est trop proche de lrsquohorizontale la poudre reste colleacutee au guide de poudre Cest donc une meacutethode sans hysteacutereacutesis de mouvement car chaque point du guide de poudre a un mouvement rectiligne A contrario les dispositifs agrave hysteacutereacutesis de mouvement conjuguent quant agrave eux un mouvement horizontal et un mouvement vertical

I1223 Dispositifs agrave hysteacutereacutesis de mouvement

Pour ces dispositifs un mouvement horizontal du guide de poudre est associeacute agrave un mouvement vertical produisant un mouvement plan agrave hysteacutereacutesis de mouvement Dans le cas particulier ougrave les mouvements horizontaux et verticaux sont deux oscillations sinusoiumldales ce mouvement devient un mouvement elliptique

+

I II III

I - mode longitudinalII - mode de flexionIII - mouvement elliptique

Figure I6 ndash Principe drsquoobtention drsquoun mouvement elliptique par combinaison drsquoun

mouvement vertical et drsquoun mouvement horizontal

Ce principe a eacuteteacute mis en œuvre sur le banc expeacuterimental deacutecrit agrave la Figure I7 il est composeacute par un moteur lineacuteaire Voice Coil qui travaille en basse freacutequence et un tuyau sur lequel on a ajouteacute un poids agrave lrsquoextreacutemiteacute libre pour favoriser par dissymeacutetrie lrsquoexcitation des modes de flexion [Alavi and Zhou 2008]


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Moteur Tuyau

GBF

1

GBF - geacuteneacuterateur basse freacutequence1 - poids


Le moteur eacutelectrique reacutealise un mouvement longitudinal de translation La freacutequence de ce mouvement et la longueur du tuyau doivent ecirctre bien choisies pour pouvoir induire lrsquoexcitation du premier mode de flexion du tuyau Le poids qui est ajouteacute agrave lrsquoextreacutemiteacute du tube aide agrave la flexion du tube parce qursquoil produit un deacuteplacement sur la direction transversale du tuyau [ldquoElliptec Motor X15Grdquo 2013] Le chevauchement de ces deux mouvements (Figure I6) creacutee un mouvement elliptique qui sera deacutetailleacute dans le chapitre suivant Plus la longueur du tube devient grande plus la freacutequence du premier mode devient petite ce qui peut produire des freacutequences audibles et dans tous les cas reacuteduit la vitesse de deacuteplacement (agrave oscillation constante) Ce principe se precircte donc plus facilement aux faibles longueurs de transport comme cela peut ecirctre le cas pour des dispositifs de dosage preacutecis

I13 Etat de lrsquoart des meacutethodes alternatives par ultrasons

I131 Eleacutements geacuteneacuteraux

Cest afin de pallier les inconveacutenients des systegravemes meacutecaniques que sont neacutes les dispositifs de transport de poudre par ultrason Un des objectifs est de parvenir agrave reacuteduire lamplitude de vibration meacutecanique neacutecessaire tout en conservant la mecircme vitesse de deacuteplacement de la poudre cest agrave dire le deacutebit En effet si lon considegravere que la vitesse de la poudre vp est lieacutee en premiegravere approximation agrave la vitesse vibratoire de leacuteleacutement mobile dun systegraveme meacutecanique on peut poser

fAvp sdot= I1 Avec A est lrsquoamplitude de deacuteplacement et f la freacutequence drsquoexcitation

Avec cette hypothegravese augmenter la freacutequence de la vibration permet de reacuteduire lamplitude neacutecessaire au mouvement meacutecanique pour une vitesse de poudre donneacutee Ce faisant les contraintes aux joints daccouplement entre partie fixe et partie mobile se reacuteduisent Pour des freacutequences vraiment tregraves grandes ce deacuteplacement peut mecircme ecirctre rendu neacutegligeable Mais dans le mecircme temps les hautes freacutequences excitent plus aiseacutement


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les modes de vibration du systegraveme et il devient alors possible dengendrer une vibration de la partie meacutecanique mais qui ne produit pas de deacuteplacement de la poudre Il convient alors drsquoadopter une approche globale qui prend en compte degraves la phase de preacute-conception ces deacuteformations afin de les reacuteduire ou au contraire drsquoen tirer profit dans le cadre du transport de poudre La suite de cette partie montre quelques exemples tireacutes de la bibliographie

I132 Exemples de transport de poudre par ultrasons

Cest afin de produire un mouvement elliptique susceptible drsquoentraicircner la poudre que certains auteurs ont envisageacute la propagation donde progressive dans un tuyau Par exemple [Mracek and Wallaschek 2005] utilise un tube reacutealiseacute dans un mateacuteriau qui a des caracteacuteristiques speacutecifiques drsquoamortissement (ex PEEK acrylique aluminium) ces caracteacuteristiques sont neacutecessaires pour preacuteserver une onde progressive de flexion dans le tuyau et annihiler lrsquoeffet de lrsquoonde reacutefleacutechie en extreacutemiteacute Les vibrations sont produites par un actionneur pieacutezo-eacutelectrique annulaire fixeacute sur lrsquoun des cocircteacutes du tube (Figure I8)

Figure I8 ndash Lrsquoonde progressive dans un tube en acrylique amorti [Mracek and Wallaschek

2005]

La surface du tube a un mouvement elliptique qui produit le deacuteplacement de la poudre dans une direction opposeacutee agrave la direction de deacuteplacement de lrsquoonde progressive (Figure I9)


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Figure I9 ndash Illustration du principe drsquoentraicircnement des grains de poudre sur les crecirctes des

ellipses creacutees par lrsquoonde progressive [Mracek and Wallaschek 2005]

Ce type drsquoinstallation a plusieurs avantages Un premier avantage est qursquoil ne neacutecessite pas drsquoadaptation acoustique [Takano et al 2003] contrairement au montage que nous verrons au paragraphe laquo Onde progressive dans une poutre raquo On notera que cette installation a une structure meacutecanique simple et par conseacutequent la maintenance srsquoen trouve eacutegalement simplifieacutee Les poudres ont un eacutecoulement reacutegulier le long du tuyau mais on peut observer des diffeacuterences drsquoeacutecoulement en extreacutemiteacute de tuyau Les essais ont montreacute que lrsquoeacutecoulement de la poudre deacutepend de ses caracteacuteristiques physiques et il peut sagir dun eacutecoulement continu en paquet ou encore avec formation de poussiegraveres [Kuumlhne and Fritsching 2005]

Il est inteacuteressant de noter que la deacutependance masse eacutecouleacutee ndash temps est lineacuteaire pour les poudres qui sont composeacutees de granules de grande taille et de forme spheacuterique (ex acier cuivre - nickel) Cette deacutependance est irreacuteguliegravere pour les poudres qui sont composeacutees de granules de petite taille et de forme non-spheacuterique (ex suie carbonate de calcium) En effet la diminution de dimension des particules de la poudre et la forme non-spheacuterique conduisent agrave une coheacutesion plus forte entre les particules [Kuumlhne and Fritsching 2005] Un reacutesultat important est que si on augmente la tension drsquoalimentation de lrsquoactionneur pieacutezo-eacutelectrique on augmente aussi le taux drsquoeacutecoulement Ceci est lieacute agrave lrsquoaugmentation de lrsquoamplitude vibratoire Ce reacutesultat est confirmeacute par les essais reacutealiseacutes par Kuumlhne et Fritschung [Kuumlhne and Fritsching 2005 Takano and Tomikawa 1998] Ces auteurs ont utiliseacute un systegraveme optique pour veacuterifier lrsquoaugmentation du taux drsquoeacutecoulement avec la tension drsquoalimentation (Figure I10)


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Figure I10 ndash Lrsquoinstallation expeacuterimentale de mesure du deacutebit [Kuumlhne and Fritsching 2005]

Ainsi cet exemple deacutemontre quil est possible de transporter de la poudre agrave partir dune structure reacutesonante aux freacutequences ultrasonores On constatera cependant que ce dispositif existe en taille reacuteduite (de lrsquoordre de 50cm [Kuumlhne and Fritsching 2005]) et on ne manquera pas de faire remarquer que bien que Mracek et al [Mracek and Wallaschek 2005] annoncent une faible consommation eacutenergeacutetique le fonctionnement repose sur lrsquoamortissement de la vibration par le tube lui-mecircme cest-agrave-dire sur ses pertes Le mecircme principe de transport est exploiteacute dans un autre type drsquoinstallation qui utilise comme conduite de transport un tube capillaire [Yang and Li 2003] Le tube capillaire est un tube tregraves fin (le diamegravetre inteacuterieur est compris entre 005mm et 04mm) donc on peut transporter seulement des poudres qui ont des particules tregraves petites Plus les particules de poudre sont petites plus la poudre est adheacutesive Dans ce cas la force de graviteacute nrsquoest pas suffisante pour faire tomber les grains de poudre qui se trouvent agrave lrsquointeacuterieur du tube Pour les faire sortir on doit appliquer des vibrations ultrasonores qui sont produites par des anneaux ou par des plaques pieacutezo-eacutelectriques [Matsusaka et al 1996] Les reacutesultats des essais meneacutes dans les eacutetudes de [Matsusaka et al 1996] et [Yang and Li 2003] ont montreacute que

si les vibrations cessent leacutecoulement de la poudre sarrecircte la freacutequence critique est inversement proportionnelle au diamegravetre du tube (la

freacutequence critique est la valeur de freacutequence pour laquelle lrsquoeacutecoulement srsquoarrecircte)

laugmentation de la freacutequence megravene agrave une augmentation de quantiteacute de poudre qui srsquoeacutecoule

le taux deacutecoulement augmente avec laugmentation de la tension dalimentation de lexcitateur


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les vibrations de lexcitateur produisent un mouvement de rotation de la poudre dans le tube capillaire et dans le mecircme temps la poudre devient plus compacte (plus dense) (Figure I11)

Figure I11 ndash La poudre dans le tube capillaire [Yang and Li 2003]

En fonction des forces dattraction qui existent entre les particules de la poudre on a trois types deacutecoulement [Lu et al 2008]

masse compacte cylindrique (Figure I12 a) paquets de poudre (Figure I12 b) particules individuelles (Figure I12 c)

Le dosage de la poudre est influenceacute par le diamegravetre du tube capillaire la forme donde la valeur de la tension la freacutequence et la peacuteriode de la vibration

Figure I12 ndash Diffeacuterents types drsquoeacutecoulement [Lu et al 2008]

Un autre exemple est le transport de poudre entre deux plaques vibrantes Cette installation est montreacutee Figure I13 Deux plaques qui ont une longueur l une largeur w et une eacutepaisseur h sont maintenues lrsquoune au dessus de lrsquoautre agrave une distance d Sur une face de chaque plaque sont colleacutees des ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques pour exciter le mode de flexion de chaque plaque Les deux plaques (en fait le collage des ceacuteramiques) sont deacutecaleacutees dans lrsquoespace drsquoune longueur lrsquo = λ4 (λ ndash longueur drsquoonde du mode de vibration) et leurs ceacuteramiques respectives sont alimenteacutees avec un deacutephasage temporel de 90deg


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Figure I13 ndash La configuration geacuteomeacutetrique du dispositif de transport [Yamada et al 1993]

La pression de radiation produite par les deux ondes ultrasoniques de flexion geacutenegravere un

mouvement de lrsquoair compris entre les deux poutres qui entraicircne la propagation de la poudre La direction de transport peut ecirctre inverseacutee quand le deacutecalage en espace ou en temps est aussi inverseacute Le transport est plus efficace quand lrsquoonde acoustique produite par les vibrations ultrasonores se propage selon une seule direction celle des deux poutres [Yamada et al 1993]

I133 Transport des objets par ondes progressives

I1331 Onde progressive dans une poutre

Mecircme srsquoil ne srsquoagit pas lagrave explicitement de transport de poudre nous reprenons cette possibiliteacute qui est souvent citeacutee dans la bibliographie pour le transport des objets avec une excitation ultrasonique Elle sera reprise plus loin dans ce meacutemoire pour lrsquoapplication transport de poudre Les composants de cette installation sont un geacuteneacuterateur de fonctions un circuit amplificateur deux geacuteneacuterateurs drsquoondes ultrasoniques et une poutre Un geacuteneacuterateur drsquoonde ultrasonique est composeacute par un transducteur pieacutezo-eacutelectrique et un eacuteleacutement conique qui concentre les vibrations [Loh and Ro 2000] en plus on peut ajouter aussi un eacuteleacutement pour amplifier les vibrations (booster) [Jeong et al 2007] (Figure I14)


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Figure I14 ndash Installation expeacuterimentale pour la geacuteneacuteration drsquoonde progressive agrave partir de

deux excitateurs [Loh and Ro 2000]

Les deux transducteurs sont alimenteacutes par des tensions sinusoiumldales deacutephaseacutees entre

elles de 90deg pour lrsquoinstallation de la Figure I14 A noter que dans [Jeong et al 2007] les auteurs utilisent des deacutephasages reacuteguliegraverement variables entre 0deg et 360deg ce qui leur permet de mettre en eacutevidence une deacutependance entre la vitesse de transport et le deacutephasage pour une section de poutre donneacutee De cette faccedilon en alimentant les transducteurs agrave une freacutequence intermeacutediaire entre deux freacutequences de reacutesonance on peut faire propager une onde progressive Ce principe est repris dans les travaux de Vloebergh [Vloebergh 2010] pour un transport drsquoobjets et de Hernandez [Hernandez 2010] pour une application micropompe et de transport de fluide Une autre disposition possible consiste agrave utiliser un seul transducteur comme geacuteneacuterateur des ondes ultrasoniques monteacute drsquoun cocircteacute de la poutre et de lrsquoautre cocircteacute on monte un deuxiegraveme transducteur ayant pour rocircle drsquoabsorber les vibrations Lrsquoeacutenergie de vibration sera absorbeacutee et dissipeacutee sur un circuit eacutelectrique simple reacutealiseacute avec une inductance et une reacutesistance en parallegravele (Figure I15) [Hashimoto et al 1998] Ainsi on pourra maintenir une onde progressive dans la poutre et retrouver le principe de transport eacutevoqueacute preacuteceacutedemment

Figure I15 ndash Scheacutema de lrsquoinstallation expeacuterimentale pour la propagation drsquoune onde

progressive agrave partir drsquoun excitateur et drsquoun absorbeur [Hashimoto et al 1998]


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Le deacutesavantage de ce type drsquoinstallation est qursquoil est neacutecessaire drsquoavoir une

adaptation drsquoimpeacutedance meacutecanique entre la poutre et le transducteur reacutecepteur il faut donc calculer les valeurs de la reacutesistance et de lrsquoinductance afin de satisfaire cette condition De plus le systegraveme nrsquoest pas tregraves robuste car si la freacutequence de reacutesonance eacutevolue par exemple en fonction de la tempeacuterature le circuit eacutelectrique doit ecirctre re-adapteacute Les essais ont montreacute que la vitesse et la direction de deacuteplacement peuvent ecirctre changeacutees si la diffeacuterence de phase ou la freacutequence change pour lrsquoinstallation avec deux transducteurs actifs Un autre reacutesultat important est que la vitesse de deacuteplacement est proportionnelle agrave la tension drsquoalimentation du transducteur et inversement proportionnelle au poids de lrsquoobjet transporteacute [Loh and Ro 2000] Dans le cas du systegraveme avec un seul transducteur actif le changement de sens de transport est possible si on inverse les positions du transducteur eacutemetteur et du transducteur reacutecepteur [Hashimoto et al 1998]

I1332 Onde progressive dans un tube

Comme dans le cas preacuteceacutedent la solution suivante utilise une onde progressive obtenue cette fois en excitant les modes longitudinaux drsquoun tube pour deacuteplacer une piegravece cylindrique Cette solution a eacuteteacute proposeacutee par Sun et al [Dongming Sun et al 2009 Sun et al 2010] Il srsquoagit drsquoun petit tube reacutealiseacute en verre meacutetalliseacute drsquoune longueur de 10mm et drsquoun diamegravetre de 15mm La construction de ce tube est donneacutee Figure I16

Figure I16 ndash Structure du double tube

Les deux ceacuteramiques tubulaires placeacutees aux extreacutemiteacutes du tube produisent dans le tube (noteacute TFMG pipe) une deacuteformation longitudinale agrave leur niveau et une deacuteformation radiale dans la zone centrale du tube inteacuterieur qui entraicircne le tube exteacuterieur (noteacute slider) comme deacutecrit agrave la Figure I17


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Figure I17 ndash Illustration des deacuteformations du tube inteacuterieur

En conclusion sur ces meacutethodes de transport agrave base drsquoondes ultrasonores on peut noter que des propositions existent et ont fait lrsquoobjet drsquoeacutetudes de faisabiliteacute mais peu drsquoentre elles ont vraiment donneacute lieu agrave une exploitation pour des transports industriels

I14 Meacutethode Hybride transport de poudre par frottement controcircleacute

Nous qualifions cette approche de laquo meacutethode hybride raquo car elle fait appel agrave la fois au principe meacutecanique classique du laquo stick amp slip raquo et agrave la geacuteneacuteration drsquoondes ultrasonores Par rapport au fonctionnement en laquo stick amp slip raquo exposeacute au paragraphe I12221 laquo Systegravemes de transport de poudre par laquo stick and slip raquo raquo on va ici saffranchir des pentes raides du profil en position de la barre en utilisant le principe de reacuteduction de frottement

Par rapport au principe du couloir vibrant cette meacutethode a lrsquoavantage de saffranchir de la neacutecessiteacute drsquoincliner lrsquoaxe de pousseacutee du moteur et de dissocier le reacuteglage de la vitesse et du deacutebit de la phase balistique Cette phase est en effet remplaceacutee par la reacuteduction de frottement obtenue par la propagation dune onde ultrasonore Nous donnons ici les grandes lignes du principe lrsquoeacutetude de ce mode de transport de poudre fera lrsquoobjet du chapitre Chapitre II

I141 Scheacutema du dispositif

Le banc expeacuterimental (Figure I18) est formeacute par une poutre deux actionneurs et un capteur de position Le premier actionneur est un moteur eacutelectrodynamique de type Voice Coil qui travaille agrave basse freacutequence et produit seulement un mouvement de translation Ce moteur est commandeacute en vitesse Le deuxiegraveme actionneur est composeacute par des ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques qui sont colleacutees sous la poutre et qui travaillent agrave haute freacutequence Les


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vibrations induites par les ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques sont synchroniseacutees avec la position du moteur

Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2

1 - capteur de position2 - ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriquesPA - amplificateur dalimentation des ceacuteramiquesGBF - geacuteneacuterateur basse freacutequence

Figure I18 ndash Scheacutema du dispositif expeacuterimental pour lrsquoapproche laquo frottement controcircleacute raquo

I142 Principe et analyse du fonctionnement

Pour reacutealiser le transport de la poudre agrave partir drsquoun mouvement oscillant (celui geacuteneacutereacute par le Voice Coil) on a besoin drsquoune asymeacutetrie dans le frottement au contact poudre ndash poutre Cette asymeacutetrie est reacutealiseacutee en imposant les vibrations ultrasonores dans la barre car ces derniegraveres produisent une forte reacuteduction du coefficient de frottement entre la poudre et la barre [Biet et al 2007 Chubb et al 2009] Malheureusement ce type de dispositif utilise encore un actionnement basse freacutequence et de grande amplitude ce qui ne reacuteduit pas la deacuteteacuterioration par fatigue des eacuteleacutements de liaisons En outre plus la poutre est longue et plus les modes de flexion seront exciteacutes Ce pheacutenomegravene aura eacutegalement pour implication drsquoamplifier la deacuteteacuterioration des joints et eacutegalement de reacuteduire la vitesse du transport de la poudre La qualiteacute du transport semble eacutegalement deacutependre fortement de la poudre qui doit ecirctre transporteacutee (granulomeacutetrie aspect collant) Toutefois si lrsquoon compare avec le principe du stick slip exposeacute au I12221 laquo Systegravemes de transport de poudre par laquo stick and slip raquo raquo le signal drsquoexcitation longitudinale (aller et retour du moteur) est ici purement sinusoiumldal il est donc deacutepourvu drsquoharmoniques de rang supeacuterieur susceptibles drsquoexciter les modes de flexion de la poutre nuisibles au principe De plus lrsquoutilisation de vibrations ultrasonores permet drsquoeacuteliminer les accumulations de la poudre qui se forment agrave lrsquointeacuterieur des conduits de transport par deacutecolmatage Enfin comme les vibrations sont produites par des ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques colleacutees sur la structure il est envisageable drsquointeacutegrer ces actionneurs dans les structures existantes Pour ces raisons une maquette deacutevaluation a eacuteteacute speacutecifiquement conccedilue afin de quantifier les proprieacuteteacutes de cette meacutethode Apres une seacuterie drsquoessais preacuteliminaires nous


22

montrerons au chapitre Chapitre II que la combinaison synchroniseacutee des effets basse freacutequence et haute freacutequence produit effectivement lrsquoavancement de la poudre

I15 Synthegravese des diffeacuterentes meacutethodes de transport

Lrsquoeacutetat de lrsquoart preacuteceacutedent a permis de comparer entre elles diffeacuterentes meacutethodes de transport de poudre potentiellement applicables au domaine viseacute par lrsquoentreprise SinapTec Drsquoun point vue purement qualitatif les diffeacuterentes meacutethodes de transport peuvent ecirctre repreacutesenteacutees en fonction de la freacutequence f et de lrsquoamplitude A comme preacutesenteacute Figure I19 La barre horizontale laquo Joints raquo repreacutesente la limite au delagrave de laquelle lrsquoamplitude du deacuteplacement peut endommager les joints et en geacuteneacuteral les eacuteleacutements de connexion entre les diffeacuterentes parties du systegraveme de transport La barre verticale laquo Modes raquo repreacutesente la limite au delagrave de laquelle on commence agrave exciter les modes de deacuteformation du guide de poudre qui peuvent perturber le fonctionnement normal du systegraveme de transport

A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100

(Eacutechelle reacuteduite)

10000

Stick slip

Systegraveme actuel

Frottement controcircleacute

Couplage de modes Onde progressive

On tend vers

Figure I19 ndash Repreacutesentation qualitative des meacutethodes de transport

Le point laquo Systegraveme actuel raquo preacutesent Figure I19 repreacutesente le systegraveme deacutecrit au paragraphe I12222 laquo Systegravemes de transport de poudre par couloir vibrant raquo Le Tableau I1 reacutesume les critegraveres utiliseacutes et la Figure I20 permet de reacutealiser un comparatif syntheacutetique entre les meacutethodes On notera quun certain nombre de critegraveres na pu ecirctre eacutevalueacute mais que dans ce cas ce sont les performances theacuteoriques qui sont prises en compte Dans ce cas seule lexpeacuterimentation permettra de conclure sur le critegravere de performance Les deacutefinitions pour les diffeacuterents critegraveres de performances sont donneacutees dans Annexe A laquo Glossaire de termes raquo


23

Critegraveres

No Meacutethodes de transport Indeacutependance de design Efficaciteacute

Robustesse et fiabiliteacute

Simpliciteacute de la

commande

Vidage complet

Indeacutependance par rapport agrave la tempeacuterature

Maintien de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute Coucirct

1 Stick slip non non oui oui oui oui non eacutevalueacute faible

2 Frottement controcircle non oui oui non oui oui non eacutevalueacute moyen

3 Couplage de modes ~ non ~ oui oui1 non eacutevalueacute non eacutevalueacute non eacutevalueacute faible

4 Onde progressive entre 2 modes ~ oui oui3 oui non2 oui3 oui non moyen

1 ndash parce que on a un seul actionneur 2 ndash dans le cas avec plusieurs cellules 3 ndash deacutepend du type de poudre

Tableau I1 ndash Synthegravese des meacutethodes de transport preacutesenteacutees


24

Le critegravere laquo coucirct raquo est assez difficilement agrave eacutevaluer mais de maniegravere geacuteneacuterale il est en bonne partie influenceacute par le nombre drsquoactionneurs eacutelectriques utiliseacutes et aussi par la difficulteacute de la commande et du controcircle de ces actionneurs (voir Annexe A laquo Glossaire de termes raquo)

Onde progressive

0

05

1

15

2

Indeacutependence dedesing

Efficaciteacute


Simpliciteacute de lacommande

Vidage complet

Independance vis-agravevis de la Tdeg

Maintien delhomogeacuteneiteacute

Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Figure I20 ndash Repreacutesentation radar des critegraveres de performances

Dapregraves la Figure I20 les meacutethodes inteacuteressantes pour la suite de lrsquoeacutetude en termes drsquoaire couverte dans lrsquoespace des performances sont le stick slip le frottement controcircleacute et lrsquoonde progressive Toutefois le critegravere drsquoefficaciteacute eacutetant preacutedominant la solution stick slip est eacutecarteacutee Dans le Tableau I1 la reacuteponse lsquolsquonon eacutevalueacutersquorsquo vaut 0 sur 2 pour la repreacutesentation radar preacutesenteacutee dans la figure preacuteceacutedente Les travaux preacutesenteacutes dans ce meacutemoire porteront ainsi sur lrsquoanalyse fine des solutions exploitant les pheacutenomegravenes de frottement controcircleacute et drsquoonde progressive au travers notamment de la reacutealisation de bancs de test


25

I2 Proprieacuteteacutes de la poudre aux ultrasons

I21 Eleacutements concernant la poudre

De maniegravere geacuteneacuterale le milieu granulaire est un terme qui est utiliseacute pour deacutesigner une famille de mateacuteriaux ayant un comportement particulier reprenant des caracteacuteristiques speacutecifiques aux liquides respectivement aux solides En fonction de la taille de particules qui les composent les milieux granulaires peuvent ecirctre classifieacutes en trois cateacutegories [Condotta 2005]

Les laquo nano-poudres raquo ndash particules qui ont une taille nanomeacutetrique Les laquo poudres raquo - les particules se mesurent en micromegravetres Les laquo graines raquo - les particules mesurent plusieurs centaines de micromegravetres

Les mateacuteriaux granulaires utiliseacutes dans ces travaux ont une taille de quelques dizaines de micromegravetres ils appartiennent donc agrave la cateacutegorie des poudres La poudre est un eacutetat fractionneacute de la matiegravere qui a une gamme tregraves large de caracteacuteristiques physico-chimiques Parmi ces caracteacuteristiques on peut en nommer quelques-unes [Masuda et al 2006]

La granulomeacutetrie La forme de la particule Lrsquoabrasiviteacute et la dureteacute La corrosiviteacute Lrsquoadheacutesiviteacute La coheacutesiviteacute La coulabiliteacute Lrsquohygroscopiciteacute

Le transport de poudre est influenceacute par les caracteacuteristiques de la poudre mais aussi par drsquoautres facteurs exteacuterieurs comme

Lrsquohumiditeacute La tempeacuterature La pression

De plus chaque processus industriel a ses demandes speacutecifiques comme Le deacutebit neacutecessaire La distance de transport

I22 Les forces entre particules

Dans ce paragraphe nous allons eacutevoquer les forces qui agissent sur les particules de poudre ces forces pouvant ecirctre agrave lrsquoorigine des pheacutenomegravenes et comportements obtenus dans la suite de ce meacutemoire et influenccedilant en particulier les deacutebits Les forces sont calculeacutees en consideacuterant que les particules sont parfaitement spheacuteriques


26

I221 La force de Van der Waals (force drsquoadheacutesioncoheacutesion)

On considegravere deux particules qui ont les diamegravetres respectivement D1 et D2 avec D1ltD2 Les deux particules se trouvent agrave une distance d lrsquoune de lrsquoautre (Figure I21)

dD1D2dD1D2

Figure I21 ndash Deux particules de poudre avec des diamegravetres diffeacuterents

La force drsquoadheacutesion entre ces deux particules est [Hamaker 1937 Israelachvili 1991]

221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2

ougrave A ndash la constante de Hamaker

D1 et D2 ndash les diamegravetres des deux particules d ndash la distance entre les deux particules Cette force doit ecirctre compenseacutee si on souhaite seacuteparer une particule de lrsquoautre Pour D2gtgtD1 (Lrsquoobjet 2 est une surface plane) la force drsquointeraction entre la particule et la surface est (Fig 122a) [Hamaker 1937]

21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2

Figure I22 ndash a) une particule et une surface b) une particule et une plaque


27

Si lrsquoobjet 2 est une plaque drsquoeacutepaisseur finie (d2-d1) (Fig 122b) [Hamaker 1937]

minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4

La constante de Hamaker est [Hamaker 1937]

λsdotsdotsdotπ= 212 qqA I5

ougrave q1 et q2 ndash les nombres des atomes par cm3 pour chacune des deux particules λ ndash la constante London ndash Van der Waals Si les particules sont du mecircme mateacuteriau la constant de Hamaker srsquoeacutecrit

λsdotsdotπ= 22 qA I6 Les formules de calcul pour la force drsquoadheacutesion sont valables seulement quand dltltD1 cest-agrave-dire quand la distance entre les particules ou entre les particules et la surface est tregraves petite par rapport au diamegravetre de particules Lrsquoordre de grandeur typique des diamegravetres est supeacuterieur agrave 1microm et la distance entre les particules est drsquoenviron 04nm

I222 La force vibratoire (force de deacutecollement)

Consideacuterons une particule de masse M constante Conformeacutement au principe fondamental de la dynamique la force qui srsquoexerce sur la particule est

γ= MF I7 Ougrave γ est lrsquoacceacuteleacuteration de la particule

Si la particule M est consideacutereacutee comme eacutetant spheacuterique et si elle suit un mouvement harmonique de pulsation 2πf lrsquoeacutequation (I7) permet drsquoeacutecrire lrsquoamplitude de la force sous la forme suivante

( )20

3

vib f2a6d

F sdotπsdotsdotsdotsdotπsdotρ= I8

ougrave ρ est la densiteacute de la poudre

d ndash le diamegravetre de la particule a0 ndash lrsquoamplitude vibratoire

f ndash la freacutequence de vibration Cette force sera appliqueacutee agrave la particule par la surface vibrante sur laquelle elle se trouve et contribuera agrave son eacuteventuel deacutecollement


28

I223 La force eacutelectrostatique (force coheacutesive)

La force eacutelectrostatique entre deux particules de charges Q1 et Q2 srsquoexprime selon (19)

20

21el

r4

QQF

sdotεsdotεsdotπsdot

sdot= I9

ougrave Q1 Q2 ndash sont les charges eacutelectriques

ε0 ndash la permittiviteacute dieacutelectrique du vide ε ndash la permittiviteacute dieacutelectrique relative

r ndash la distance entre les charges La charge eacutelectrique drsquoune particule Q est

ezQ sdot= I10 ougrave z est la valence ionique et e la charge eacuteleacutementaire (e=1602 times 10-19 C) Cette force peut ecirctre attractive ou reacutepulsive selon les signes des charges

I224 Synthegravese des grandeurs pour les poudres utiliseacutees

Le Tableau I2 donne des valeurs numeacuteriques de ces forces pour diffeacuterents mateacuteriaux que nous retrouverons dans la suite de ce travail le corindon lrsquoalumine Φ 30 (diamegravetre 30mm) le ciment et lrsquoalumine Φ 10 (diamegravetre 10mm)

Diamegravetre D50 1 (microm)

Force drsquoadheacutesion entre deux particules

identiques (10-9 N) 2

Force drsquoadheacutesion entre une particule et une surface plane

(10-9 N) 2

Force de vibration (10-9 N) 3

Corindon 50 1167 2333 470589 Alumine Φ30 30 700 1400 1006

Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727

Tableau I2 ndash La force drsquoadheacutesion respectivement de vibration pour les diffeacuterentes poudres

1 ndash D50 ndash 50 de particules sur un volume de poudre donneacutee ont un diamegravetre infeacuterieur ou eacutegal avec la valeur preacutesenteacutee dans le tableau 2 ndash les forces ont eacuteteacute calculeacutees pour A=14times10-19J et d=05nm [Israelachvili 1991] [Ahmadi 2013] 3 ndash les forces ont eacuteteacute calculeacutees pour une amplitude vibratoire a0=1microm et une freacutequence de vibration de 21500Hz Conformeacutement agrave [Beaudoin et al 2007] la force totale drsquoadheacutesion qui est appliqueacutee agrave une particule est eacutegale agrave la somme de deux forces drsquoadheacutesions entre deux particules et entre une particule et une surface plane


29

Il faut eacutegalement remarquer que les forces drsquoadheacutesion indiqueacutees dans le Tableau I2 ont des valeurs approximatives dues aux incertitudes sur les valeurs de la distance d entre les particules ou entre une particule et une surface plane Dans ce mecircme tableau on peut voir que la force de vibration pour le corindon est plus grande par rapport agrave la somme des deux forces drsquoadheacutesion tandis que pour les autres poudres la somme des deux forces drsquoadheacutesions est plus grande que la force vibratoire Ces reacutesultats sont importants et seront exploiteacutes pour justifier des diffeacuterences de deacutebit obtenues en pratique par la suite

I3 Conclusions du chapitre

Dans ce chapitre introductif nous avons dresseacute un eacutetat de lrsquoart des meacutethodes utiliseacutees classiquement dans lrsquoindustrie pour transporter les poudres Les systegravemes pneumatiques et meacutecaniques ont eacuteteacute citeacutes et leurs inconveacutenients listeacutes

Des approches plus innovantes utilisant les vibrations ultrasonores ont ensuite eacuteteacute deacutecrites En particulier les approches geacuteneacuteratrices drsquoonde progressive dans des poutres ou dans des tubes ont retenu notre attention elles seront reprises au Chapitre III laquo Onde progressive ndash eacuteleacutements theacuteoriques raquo Une meacutethode hybride dite laquo agrave frottement controcircleacute raquo met en eacutevidence lrsquoapport des vibrations ultrasonores sur un systegraveme meacutecanique actionneacute agrave basse freacutequence Briegravevement eacutevoqueacute ici cette approche fera lrsquoobjet du prochain chapitre


30

Chapitre II Frottement controcircleacute

31

Chapitre II

Frottement Controcircleacute

II1 Introduction

Le chapitre preacutecegravedent a montreacute les diffeacuterents principes industriels de transport de poudre leurs avantages et leurs inconveacutenients Parmi ceux-ci les dispositifs de transport de poudre par mouvement elliptique de la conduite sont tregraves employeacutes mais nous avons deacutecrit les problegravemes inheacuterents agrave leur utilisation dont la maintenance coucircteuse quils induisent Cette maintenance est notamment due aux deacuteplacements de grandes amplitudes neacutecessaires pour obtenir un transport efficace

Cest dans lespoir de reacuteduire ces vibrations basse freacutequence que la solution de transport de poudre par frottement controcircleacute a eacuteteacute deacuteveloppeacutee En effet elle se passe dun mouvement elliptique de vibration et eacutelimine donc complegravetement le deacuteplacement macroscopique selon laxe vertical Cest en changeant le frottement apparent entre le guide de transport et la poudre et en synchronisant ces changements sur la position du guide de transport que lon arrive agrave reacutealiser le transport de poudre La modification du frottement apparent est obtenue par la mise en vibration hautes freacutequences du guide de transport Cette vibration est obtenue par des transducteurs pieacutezo-eacutelectriques coupleacutes agrave la conduite Non seulement ces vibrations participent au transport de poudre mais elles se doublent dune deuxiegraveme fonctionnaliteacute En effet les vibrations hautes freacutequences permettent le deacutecolmatage de la poudre sur son guide [ldquoSinapTecrdquo 2013] Dans ce chapitre nous allons donc expliquer le principe du transport de poudre par frottement controcircleacute et le valider expeacuterimentalement gracircce agrave une maquette qui permet de coupler les mouvements longitudinaux basse freacutequence et les vibrations pieacutezo-eacutelectriques haute freacutequence Dans un second temps une campagne de mesures de deacutebit sera effectueacutee sur diffeacuterentes poudres Gracircce agrave ces reacutesultats un modegravele de comportement du systegraveme sera proposeacute permettant de retrouver simplement les reacutesultats acquis expeacuterimentalement


32

II2 Analyse du principe de laquo Frottement controcircleacute raquo

II21 Preacutesentation du principe

Comme son nom lrsquoindique le principe de transport par frottement controcircleacute repose sur la maicirctrise du coefficient de frottement entre la matiegravere transporteacutee et le canal de transport Lrsquoideacutee geacuteneacuterale consiste agrave deacuteplacer le milieu granulaire par le biais drsquoun mouvement horizontal peacuteriodique puis agrave reacuteduire les frottements lors de certaines phases afin de maintenir par glissement la direction de transport deacutesireacutee Pour reacutealiser cette asymeacutetrie de frottement on utilise une vibration haute freacutequence propageacutee suivant la normale agrave la direction du transport Cette excitation ultrasonique (US) induit des pertes de contact multiples entre la poudre et le support du transport ce qui se traduit par un coefficient de frottement eacutequivalent significativement reacuteduit

v

x

t

t

III

I - frottement normalII - frottement diminueacute

a

t

HFoffHFon

I

Figure II1 ndash Synchronisation des vibrations US sur le deacuteplacement de la barre

La Figure II1 illustre agrave titre drsquoexemple lrsquoeacutevolution de lrsquoacceacuteleacuteration a de la vitesse v et de la position x du canal de transport en fonction du temps Durant la phase I nous souhaitons que la poudre suive le mouvement de la conduite donc nous laissons le contact naturel conduite-poudre et la vibration transversale haute freacutequence nrsquoest pas activeacutee Si on veut


33

eacuteviter que la poudre ne recule durant la phase II cest-agrave-dire lors des phases agrave acceacuteleacuteration neacutegative (par rapport au sens de deacuteplacement deacutesireacute) on doit produire une rupture drsquoadheacuterence entre la poudre et la conduite Dans le cas dun dispositif stick slip nous avons vu que cette rupture est produite par un retour brutal en position initiale du guide de poudre Dans le cas du frottement controcircleacute il sagira drsquoune reacuteduction forte du frottement de contact [Chubb et al 2009] [Biet et al 2007] On remarque eacutegalement que la synchronisation des vibrations US nrsquoest pas faite sur la phase de deacutecroissance de la position mais sur celle de la vitesse pour tenir compte drsquoun effet dynamique qui sera mis en eacutevidence au paragraphe II4 laquo Modegravele matheacutematique de transport de la poudre raquo De faccedilon pratique ce changement de coefficient de frottement entre la poudre et le guide est produit par lrsquoimposition de vibrations ultrasonores obtenues en alimentant des ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques colleacutees sur le canal de transport Notons que ces actionneurs peuvent ecirctre inteacutegreacutes dans les structures existantes permettant de transformer un guide de transport classique en un systegraveme de transport de poudre agrave frottement controcircleacute moyennant comme nous le verrons dans la suite lajout de capteurs suppleacutementaires Cependant dans notre eacutetude seul un banc de test a eacuteteacute conccedilu afin de valider le concept

II22 Conception et reacutealisation drsquoun banc de test

Pour mettre en application ce principe une maquette drsquoeacutetude a eacuteteacute conccedilue Cette partie preacutesente la deacutemarche pratique de reacutealisation de ce banc de tests Crsquoest une maquette simplifieacutee qui ne prend pas en compte lensemble des contraintes imposeacutees par le cahier des charges dune structure industrielle Par exemple la conduite est laisseacutee ouverte ce qui peut conduire agrave la perte dune partie de la poudre mais permet des formes de guides de poudre simples La phase de conception est une phase importante qui devra permettre de deacuteterminer plusieurs paramegravetres dont

la forme les dimensions et les caracteacuteristiques du guide de poudre les diffeacuterentes possibiliteacutes de fixation du guide de poudre les actionneurs utiliseacutes pour reacutealiser le transport

o partie basse freacutequence type et dimensions de lrsquoactionneur neacutecessaire o partie haute freacutequence caracteacuteristiques drsquoactionnement (ex

ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques ndash dimensions et emplacement des ceacuteramiques)

II221 Choix de la structure guide

La geacuteomeacutetrie de la structure de transport doit permettre de canaliser le flot de poudre mais aussi de rendre possible la propagation dune onde de flexion que lon souhaite ultrasonore Lrsquoonde de flexion a eacuteteacute choisie gracircce agrave la faciliteacute drsquoexcitation De plus en excitant la structure agrave la reacutesonance on parvient agrave obtenir une amplitude de vibration plus importante en gardant une consommation reacuteduite drsquoeacutenergie


34

Comme nous le verrons au Chapitre III les modes de tube sont complexes et intercaleacutes les uns avec les autres Cest pourquoi nous nous sommes tourneacutes vers une structure plus simple agrave analyser la poutre Cependant partant dune section rectangulaire de cette poutre (Figure II2 a) lamplitude de la vibration est homogegravene en chaque point dune mecircme section si bien que la poudre ne peut rester confineacutee sur la poutre elle seacutechappe par les coteacutes en cours de transport Cest pourquoi une premiegravere ideacutee consiste agrave utiliser une poutre avec un profil plus eacutelaboreacute tel que celui deacutefini par [Hashimoto et al 1998] (Figure II2 b) Pour la geacuteomeacutetrie proposeacutee les flancs lateacuteraux de la poutre vibrent agrave une amplitude supeacuterieure au reste des autres points dune mecircme section Ceci a pour effet de rabattre la poudre vers le centre et ainsi de mieux confiner la poudre sur la poutre

Figure II2 ndash Allure de lrsquoamplitude vibratoire selon la largeur de la poutre et selon deux types

de section (section de la poutre repreacutesenteacutee sous la courbe drsquoamplitude de deacuteplacement)

Pour notre part nous proposons le profil de la Figure II3 pour lequel un canal de

largeur 20mm sur 1mm de haut est creuseacute sur la partie supeacuterieure ce qui permet de guider la poudre lors de son transport La preacutesence des flancs lateacuteraux permet eacutegalement de rabattre la poudre agrave linteacuterieur de ce canal Le mateacuteriau et la longueur sont imposeacutes il sagira dune poutre de 500mm en inox Les autres dimensions ont eacuteteacute deacutetermineacutees agrave partir des dimensions trouveacutees dans la litteacuterature [Hashimoto et al 1998] la partie centrale plus large que les parties exteacuterieures La nouvelle poutre a donc les dimensions suivantes (Figure II3)

2010

248

2

1

Figure II3 ndash Dimension de la section transversale de la poutre deacutefinitive


35

Une fois les dimensions choisies pour la section de la poutre la phase de conception se poursuit par une analyse modale (reproduite en annexe B2 laquo Analyse modale de la poutre raquo) permettant de deacuteterminer la position des excitateurs pieacutezoeacutelectriques devant produire la flexion ultrasonore

II222 Choix et emplacement des ceacuteramiques

Pour pouvoir transporter de la poudre la vibration stationnaire de la poutre doit ecirctre synchroniseacutee avec le deacuteplacement longitudinal de celle-ci La vibration stationnaire est obtenue en excitant le systegraveme agrave une freacutequence correspondant agrave un mode propre de flexion de la poutre La vibration est produite agrave lrsquoaide de ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques qui sont colleacutees sous la poutre Lrsquoemplacement des ceacuteramiques est deacutetermineacute en fonction de la freacutequence agrave laquelle on veut exciter le systegraveme La deacutetermination de cette freacutequence srsquoest faite avec lrsquoaide de la simulation numeacuterique de la poutre et elle est veacuterifieacutee ensuite en pratique (voir paragraphe II23 Reacutealisation) Pour qursquoelles soient efficaces les ceacuteramiques doivent ecirctre installeacutees au niveau des ventres de cette onde de vibration (maximum de vibration)

La largeur des ceacuteramiques a eacuteteacute calculeacutee en fonction de la longueur drsquoonde λ associeacutee au mode de flexion choisi Elle ne doit pas deacutepasser une demie longueur donde sinon les parties de la ceacuteramique se trouvant sur la demie longueur donde voisine de celle choisie deviennent contre-productives Une largeur denviron λ3 a eacuteteacute choisie ce qui laisse une marge mecircme en cas de mauvais placement En respectant ces contraintes les dimensions des ceacuteramiques utiliseacutees ont eacuteteacute choisies agrave partir de dimensions standards des ceacuteramiques disponibles au laboratoire (htimesltimese1) = 9times5times1mm (Figure II4)

l

h

e1

Figure II4 ndash Dimensions des ceacuteramiques drsquoexcitation

Apregraves avoir repeacutereacute sur la simulation modale de la poutre seule les ventres de vibration et avoir positionneacute les ceacuteramiques choisies en ces ventres la simulation est relanceacutee avec la poutre et les ceacuteramiques cette fois cette nouvelle analyse modale confirme que les ceacuteramiques sont bien positionneacutees (Figure II5)


36

Figure II5 ndash Analyse modale de la poutre avec les ceacuteramiques positionneacutees aux ventres de

lrsquoonde de flexion les nœuds de vibration apparaissent en vert

II223 Fixation de la poutre sur son bacircti et connexion au moteur de translation

La liaison meacutecanique de la poutre sur son bacircti doit avoir trois fonctions 1 assurer le guidage en translation de leacutequipage poutre-poudre tout en

supportant la masse de celui-ci 2 reacuteduire les modes basse freacutequence 3 permettre la libre propagation des modes de flexion hautes freacutequences

Notre choix sest porteacute sur un guidage par lame flexible plutocirct que par pallier trop intrusif Rappelons que les avantages des lames flexibles sont labsence de frottement et la faible emprise de la solution technologique sur le systegraveme agrave guider Le scheacutema de principe de lrsquoinstallation se trouve Figure II6

Poutre

Tige fileteacutee

Pieacutece fixation acier

Bacircti

Lameflexible

Figure II6 ndash Le montage de la maquette

Pour assurer la fonction 3 nous placerons les lames flexibles aux nœuds de vibration

haute freacutequence [Loh and Ro 2000] Pour assurer la fonction 2 nous placcedilons ces lames aux ventres des premiers modes

de flexion basse freacutequence de la poutre Le positionnement des lames est un choix important pour les raisons suivantes

le mouvement horizontal en basse freacutequence peut exciter un mode de flexion favoriseacute par lrsquoaugmentation de la longueur de la poutre Ces modes nuisent au transport par laquo frottement controcircleacute raquo Pour les minimiser les lames sont placeacutees au niveau des ventres de ces flexions

ce principe de transport nrsquoest efficace que si le coefficient de frottement est diminueacute ndash diminution obtenue en appliquant des vibrations ultrasonores De


37

ce fait pour ne pas nuire agrave cet effet les pieds sont positionneacutes aux niveaux des nœuds de lrsquoonde haute freacutequence (Figure II7)

- basse freacutequence- haute freacutequence

position lameflexible

Figure II7 ndash Superposition des ondes de vibration

Enfin leacutelasticiteacute des lames est supposeacutee infiniment grande dans laxe vertical mais

de valeur finie dans laxe horizontal Ainsi en jouant sur les dimensions de ces lames (hauteur largeur eacutepaisseur) il est possible de caler la freacutequence de reacutesonance de lassemblage poutre + lames flexibles sur la freacutequence basse de travail Ceci permet dalleacuteger leffort neacutecessaire sur le moteur qui creacutee les sollicitations basse freacutequence La formule de calcul pour la longueur des lames est alors donneacutee par lrsquoeacutequation (II1) La longueur est deacutetermineacutee agrave partir de la deacuteformation drsquoune poutre encastreacutee-libre obtenue sous lrsquoaction drsquoune force (voir Annexe B1 laquo Calcul de la longueur du pied raquo) Comme on peut le voir la longueur deacutepend de la freacutequence de travail de la masse de la poutre et du mateacuteriau de la lame (Figure II8)

3

0

3

M4ehNE

Lsdotsdotsdotsdotsdot=

ω II1

ougrave E est le module de Young N ndash nombre des lames M ndash masse de la poutre (poutre ceacuteramiques) ω0 ndash pulsation basse freacutequence de travail e ndash eacutepaisseur des lames h ndash largeur des lames


38

Figure II8 ndash Dimensions geacuteneacuteriques de la lame

Les lames utiliseacutees ont eacuteteacute reacutealiseacutees dans des plaques de cuivre beacuteryllium connu pour ses qualiteacutes eacutelastiques et elles ont eacuteteacute colleacutees sous la poutre au niveau des nœuds de lrsquoonde de vibration haute freacutequence (Figure II9)

Figure II9 ndash Forme finale des lames

Le trou oblong est reacutealiseacute pour pouvoir reacutegler la reacutesonance du systegraveme basse

freacutequence en modifiant la valeur de L Les pieds sont relieacutes par une tige fileteacutee qui va nous permettre de modifier la position du systegraveme poutre ndash lames dans la direction verticale mais aussi dans la direction horizontale

Des essais reacutealiseacutes au vibromegravetre laser avant et apregraves le collage des lames flexibles montrent quelles nont aucune influence ni sur la position des nœuds ni sur la position des ventres de la vibration haute freacutequence Ensuite des solutions pour fixer la poutre sur lrsquoaxe du moteur lineacuteaire ont eacuteteacute eacutetudieacutees Les solutions de fixation doivent comporter certaines caracteacuteristiques

ecirctre souples pour eacuteviter la deacuteformation en haute freacutequence de la poutre ecirctre capables de transmettre le deacuteplacement du moteur agrave la poutre

Un schema de la piegravece choisie est preacutesenteacutee Figure II10


39

Figure II10 ndash Piegravece de fixation

Une simulation numeacuterique de lrsquoensemble piegravece de fixation ndash poutre ndash ceacuteramiques a eacuteteacute reacutealiseacutee Elle a montreacute que cette piegravece nrsquoa pas perturbeacute la deacuteformation de la poutre Le mateacuteriau choisi pour cette piegravece a eacuteteacute comme pour la poutre de lrsquoacier inoxydable

II23 Reacutealisation

Les ceacuteramiques de type Noliac NCE41 [ldquoPiezoelectric Ceramicsrdquo 2013] sont colleacutees agrave la colle cyanolite sur le guide de poudre usineacute selon le motif de la Figure II11 Cest un collage simple et rapide mais fragile car il se deacuteteacuteriore avec le temps et lrsquohumiditeacute

Figure II11 ndash Le collage des ceacuteramiques sur le dessous de la poutre

Les positions des ceacuteramiques ont eacuteteacute deacutetermineacutees pour une freacutequence eacutegale agrave

21522Hz (freacutequence drsquoun mode de reacutesonance ndash flexion trouveacutee sous simulation numeacuterique) Dans la Figure II12 on peut voir les positions des noeuds pour la freacutequence

f=21729Hz mateacuterialiseacutes par lrsquoamas de poudre de sucre lors drsquoune vibration

Figure II12 ndash Les nœuds pour la freacutequence de 21729Hz


40

Pour une tension drsquoalimentation de 100V ĉ-ĉ (crecircte ndash crecircte) on obtient une amplitude vibratoire de 09microm ĉ-ĉ (au milieu de la largeur de la poutre) Sur les bords de la poutre lrsquoamplitude vibratoire est un peu plus importante que sur la partie centrale (drsquoun rapport R=106)

1 ndash 096microm 2 ndash 025microm3 ndash 09microm 4 ndash 025microm

5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5

Figure II13 ndash Amplitude vibratoire dans la direction transversale sur la poutre Les valeurs

de deacuteplacement donneacutees ci apregraves ont eacuteteacute obtenues pour U=100V ĉ-ĉ I=80mA ĉ-ĉ

Pm=68mW et f=21729Hz

II24 Structure de controcircle

Une fois que les eacuteleacutements permettant dactionner aussi bien les mouvements basse freacutequence du guide de poudre que la mise en vibration US de celui-ci sont en place un controcircle a eacuteteacute eacutetabli permettant la synchronisation de lexcitation haute freacutequence sur les deacuteplacements du guide de poudre Ce systegraveme est deacutecrit agrave la Figure II14 Il se compose dun systegraveme de controcircle-commande Dspace qui reccediloit les mesures diverses et fournit les commandes aux actionneurs Avec Dspace le logiciel Control Desk permet agrave lutilisateur de configurer les conditions de ses essais via une interface graphique


41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3

ORD - ordinateurAM - amplificateur moteurM - moteur lineacuteaireACC - acceacuteleacuteromegravetreGS - geacuteneacuterateur de signalAP - amplificateur ceacuteramiquesOSC - oscilloscopeSDT - sonde de tensionSTS123 - source de tension stabiliseacutee

AM

Figure II14 ndash Banc drsquoessais

Le moteur lineacuteaire qui produit les deacuteplacements basse freacutequence du guide de poudre

est alimenteacute par un amplificateur (AM) Le signal de commande de cet amplificateur est sinusoiumldal ce qui produit un mouvement lui aussi sinusoiumldal de lensemble dont on regravegle la freacutequence et lamplitude Il ny a pas de controcircle de ces mouvements mais un acceacuteleacuteromegravetre est attacheacute agrave leacutequipage mobile pour fournir une mesure de lacceacuteleacuteration En effet cest agrave partir de lacceacuteleacuteration du guide donde quest geacuteneacutereacutee la reacutefeacuterence de vibration haute freacutequence Cest un signal de type tout ou rien qui est la modulante dun signal sinusoiumldal agrave la freacutequence dexcitation des ceacuteramiques Lopeacuteration de modulation est reacutealiseacutee par lintermeacutediaire dun syntheacutetiseur sinusoiumldal (GS) dont la sortie est elle mecircme amplifieacutee pour atteindre les niveaux requis Signalons que la vibration de la poutre est mesureacutee avec lrsquoaide drsquoune ceacuteramique non alimenteacutee qui fonctionne par effet pieacutezo-eacutelectrique direct si on deacuteforme un cristal pieacutezo-eacutelectrique la tension agrave ses bornes est proportionnelle agrave lrsquoamplitude de deacuteformation du cristal Cette tension est mesureacutee avec une sonde de tension (SDT) Les mesures reacutealiseacutees avec la ceacuteramique ont eacuteteacute calibreacutees avec lrsquoaide drsquoun interfeacuteromegravetre laser


42

II3 Reacutesultats expeacuterimentaux

Le but de cette partie est drsquoeacutevaluer le systegraveme en fonction de diffeacuterents paramegravetres comme lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence le deacuteplacement basse freacutequence lrsquoinclinaison du systegraveme le type de poudre lrsquoeacutetat de surface de la poutre etc La quantification de lrsquoinfluence des paramegravetres a eacuteteacute reacutealiseacutee par lrsquointermeacutediaire du deacutebit (en gs) de poudre transporteacutee et par la vitesse de transport Pour la quantification on a choisi le deacutebit parce qursquoil est tregraves facile agrave mesurer et aussi parce qursquoil est un des paramegravetres imposeacutes dans le cahier des charges de lrsquoapplication Le deacutebit est deacutetermineacute comme eacutetant la quantiteacute de poudre qui srsquoeacutecoule dans une peacuteriode de temps donneacutee On a reacutealiseacute plusieurs essais avec cette maquette qui peuvent ecirctre diviseacutes en deux grandes cateacutegories

A Essais avec le systegraveme qui travaille dans un plan inclineacute o A1 Essais avec la partie haute freacutequence seule dans un plan inclineacute o A2 Essais avec le systegraveme complet dans un plan inclineacute

B Essais avec le systegraveme qui travaille dans le plan horizontal

II31 Essais avec inclinaison

II311 Essais sans deacuteplacement basse freacutequence

Une premiegravere eacutetude a consisteacute agrave eacutetudier le systegraveme sans deacuteplacement basse freacutequence simplement pour constater leffet de la reacuteduction de frottement Pour cela nous avons inclineacute le guide de poudre pour constater les seuils de deacutecollement cest agrave dire les seuils limites pour lesquels la poudre glisse Nous avons eacutegalement modifieacute la surface en contact avec la poudre en utilisant des rubans autocollants de type

scotch drsquoemballage sur la surface initiale de la poutre bande adheacutesive (bande utiliseacutee pour lrsquoisolation des cacircbles eacutelectriques)

Avec lrsquoaide drsquoune tige fileteacutee on a reacutealiseacute lrsquoinclinaison du bacircti sur lequel eacutetait fixeacutee la poutre avec ses pieds (Figure II15)

Les premiers essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes avec une inclinaison de 10deg pour diffeacuterentes poudres en changeant eacutegalement le type de surface Les poudres utiliseacutees dans ce paragraphe ont eacuteteacute choisies par rapport au cahier de charge agrave savoir le corindon lrsquoalumine Φ30microm le ciment et lrsquoalumine Φ10microm Comme on nrsquoutilise que la partie haute freacutequence le seul paramegravetre modifiable est lrsquoamplitude vibratoire US La Figure II16 montre les reacutesultats pour une surface brute (inox) et pour deux poudres utiliseacutees le corindon et lalumine Φ30


43

Poutre

Tige fileteacutee

Piegravece fixation acier

Bacircti

LameflexibleTige fileteacutee

Eacutecrou

Figure II15 ndash Lrsquoinclinaison du bacircti

Deacutebit en fonction de lamplitude vibratoire pour plusieurs poudres α=10deg (surface inox)

y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Amplitude vibratoire haute freacutequence c-c (nm)

Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm

Linear (Corindon 50microm)

Linear (Alumine 30microm)

Figure II16 ndash Deacutebit expeacuterimental en fonction de lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence pour

α=10deg et lineacutearisation

Cette figure deacutecrit bien leffet de reacuteduction de frottement causeacutee par les ultrasons En

effet sans vibration haute freacutequence la poudre adhegravere agrave la surface et reste immobile malgreacute lrsquoinclinaison du guide Le deacutebit mesureacute est donc nul Lorsquon augmente lrsquoamplitude de vibration haute freacutequence et au-delagrave drsquoun seuil eacutevalueacute agrave 500nm c-c la poudre nadhegravere plus et elle commence agrave glisser le long du guide de poudre le deacutebit augmente Cependant sa vitesse est limiteacutee par les frottements reacutesiduels Et nous constatons bien que ceux-ci diminuent agrave mesure que lamplitude haute freacutequence augmente puisque le deacutebit augmente

α


44

Cette figure montre eacutegalement la diffeacuterence de reacutesultat entre deux types de poudre Mecircme si la valeur du seuil drsquoadheacuterence est sensiblement la mecircme en revanche la diminution de frottement est beaucoup plus faible pour lalumine Dailleurs dautres essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes avec les autres poudres (ciment et alumine Φ10microm) et les autres surfaces (scotch et bande adheacutesive) mais ces essais nrsquoont pas permis de reacutealiser le transport (deacuteplacement de la poudre neacutegligeable)

Afin drsquoobtenir un transport de poudre plus significatif les essais ont eacuteteacute effectueacutes pour une inclinaison de 15deg en ne changeant que lrsquoamplitude vibratoire La Figure II17 preacutesente les courbes de deacutebit pour le corindon lrsquoalumine Φ30microm et le ciment pour une inclinaison de 15deg et pour la surface initiale de la poutre ndash inox On peut observer que le deacutebit deacutepend de la granulomeacutetrie Pour la mecircme amplitude vibratoire on a

le deacutebit le plus important est obtenu dans le cas du corindon (qui a le diamegravetre de la particule le plus grand (D50 est 50microm)) et

le deacutebit le plus petit pour le ciment (qui a le diamegravetre de la particule de 17microm (valeur D50)

Les erreurs de mesures sont tregraves grandes pour le corindon et presque non repreacutesentatives pour les autres poudres (ceci est ducirc eacutegalement agrave lrsquoeacutechelle du graphique) Chaque point du graphique reacutesulte de la moyenne de 3 mesures agrave partir desquelles une incertitude peut ecirctre calculeacutee Elle se traduit sur le graphique par les traits verticaux

Deacutebit en fonction de lamplitude vibratoire pour plusieurs poudres (surface inox α=15deg)

0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000Amplitude vibratoire haute freacutequence (nm)

Deacutebit (gs)

CorindonAlumine Φ30micromCiment

Figure II17 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour α=15deg surface inox


45

Debit en fonction de lamplitude vibratoire pour plusieurs poudres (surface scotch α=15deg)

0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000

Amplitude vibratoire haute freacutequence (nm)

Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment

Figure II18 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour α=15deg surface laquo scotch raquo

Dans la Figure II18 on observe les courbes de deacutebit pour une surface de type

laquo scotch raquo On obtient la mecircme disposition des courbes que dans le cas de lrsquoinox mais avec des diffeacuterences de niveau de deacutebit Pour lrsquoalumine et le ciment on observe en effet que les valeurs de deacutebit sont plus petites dans le cas de la surface laquo scotch raquo que dans celui de la surface inox (4-5 fois plus petit)

Dans le cas du corindon on a reacuteussi agrave mesurer des deacutebits mecircme pour la surface laquo bande adheacutesive raquo Les reacutesultats sont preacutesenteacutes dans la Figure II19 Pour le corindon les diffeacuterences ne sont pas tregraves importantes surtout si on regarde la valeur maximale qui est presque de 06gs dans les cas des surfaces inox et surface scotch On a quand mecircme une augmentation du deacutebit plus rapide pour le scotch que pour lrsquoinox Par contre le deacutebit obtenu pour la surface bande adheacutesive est tregraves petit voire presque nul


46

Deacutebit en fonction de lamplitude vibratoire corindon α=15deg pour diffeacuterentes surfaces

0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)

Corindon BAdheacutesive

Corindon scotch

Corindon inox

Figure II19 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude vibratoire pour le corindon et diffeacuterentes

surfaces

En observation compleacutementaire on peut noter qursquoil existe lors du transport des

zones drsquoaccumulations et de zones de deacuteplacement de la poudre sur la poutre qui peuvent varier en largeur jusqursquoagrave disparaicirctre Une autre observation est le fait qursquoon nrsquoarrive pas agrave vider complegravetement la poutre Ceci est un bon indicateur de la neacutecessiteacute de disposer du deacuteplacement horizontal basse freacutequence Une synthegravese de tous les essais reacutealiseacutes pour lrsquoinclinaison de 15deg est preacutesenteacutee dans le tableau suivant

α=15deg Surface

Poudre Diamegravetre1 (microm)

inox scotch bande adheacutesive

Corindon 50 OK OK OK Alumine Φ30 30 OK OK x Ciment 17 OK OK x Alumine Φ10 10 x x x

1 - valeur du diamegravetre D50 OK ndash mesures de deacutebits reacutealiseacutes

x ndash la poudre ne se deacuteplace pas ou les quantiteacutes sont insignifiantes

Tableau II1 ndash Synthegravese des essais reacutealiseacutes pour une inclinaison de 15deg


47

Ainsi cette partie montre bien laspect reacuteduction de frottement obtenu agrave partir des vibrations Elle a montreacute un effet de seuil au dessous duquel le frottement statique nest pas suffisamment diminueacute Elle a surtout montreacute les diffeacuterences de comportement dune poudre agrave une autre et dune surface de contact agrave une autre La partie suivante traite de la superposition de ces vibrations haute freacutequence avec le mouvement basse freacutequence

II312 Essais avec deacuteplacement basse freacutequence

Pour ces essais un support meacutetallique est introduit pour fixer le moteur lineacuteaire et le solidariser du bacircti Ce support nous a permis de reacutegler lrsquoinclinaison de lrsquoensemble moteur ndash poutre vibrante (Figure II20)

Poutre

Tige fileteacute


Bacircti

Lameflexible Eacutecrou

Support meacutetallique

Moteur lineacuteaire

Tige fileteacutee

Figure II20 ndash Inclinaison du systegraveme complet

Avec ce montage des essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour une inclinaison de 15deg La freacutequence drsquoexcitation du moteur lineacuteaire est resteacutee constante agrave 20Hz On garde eacutegalement la synchronisation des signaux BF et HF tels qursquoindiqueacutes Figure II1 soit un deacutephasage de 90deg entre la commande en vitesse du moteur lineacuteaire et le signal de synchronisation pour lrsquoalimentation des ceacuteramiques Des essais avec tous les types de poudre (appeleacutees simulats) et avec un seul type de surface ndash inox ont eacuteteacute reacutealiseacutes Les essais se sont scindeacutes en deux types

mesure de deacutebit pour une amplitude de deacuteplacement basse freacutequence variable et amplitude vibratoire haute freacutequence constante

mesure de deacutebit pour une amplitude de vibration haute freacutequence variable et amplitude de deacuteplacement basse freacutequence constante

Dans la Figure II21 sont preacutesenteacutees les courbes de deacutebit pour les quatre simulants pour une inclinaison de 15deg et la surface inox Les observations qui peuvent ecirctre faites sont les suivantes

les 4 courbes ont une allure lineacuteaire la valeur de deacutebit maximal est obtenue pour le corindon (qui a le diamegravetre de

particule le plus grand) agrave la mecircme valeur de deacuteplacement basse freacutequence pour lrsquoalumine Φ10 une amplitude de deacuteplacement basse freacutequence plus grande

(compareacutee au cas des autres poudres) est neacutecessaire pour commencer agrave observer du transport ce qui peut srsquoexpliquer par ses caracteacuteristiques physiques (granulomeacutetrie caractegravere coheacutesif)

α


48

Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence surface inox α=15deg

0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000

Deacuteplacement basse freacutequence c-c (microm)

Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm

Alumine Φ30microm AHF=820nm


Figure II21 ndash Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence pour α=15deg


49

Il faut noter que la mecircme valeur de tension drsquoalimentation pour lrsquoactionneur pieacutezo-eacutelectrique est imposeacutee pour tous les essais mais en fonction des conditions de test au moment de sa reacutealisation lrsquoamplitude vibratoire est leacutegegraverement diffeacuterente

II313 Conclusions

Les reacutesultats preacutesenteacutes dans ce paragraphe nous montrent drsquoune part que les grandeurs controcirclables (amplitude de deacuteplacement basse freacutequence et de vibrations US) permettent de jouer sur le deacutebit mais que celui-ci deacutepend eacutegalement de plusieurs paramegravetres

la qualiteacute de la surface du guide de poudre surface inox ou surface laquo scotch raquo

lrsquoinclinaison du guide de poudre inclinaison 10deg et 15deg la nature de la poudre et en particulier son diamegravetre (Annexe B3

laquo Caracteacuteristiques des poudres raquo) qui influence son caractegravere adheacutesif Les deacutebits obtenus sont coheacuterents avec les forces drsquoadheacutesion et de vibration calculeacutees (paragraphe I2 Proprieacuteteacutes de la poudre aux ultrasons) Dans le cas du corindon pour lequel on a obtenu le meilleur eacutecoulement la somme des forces drsquoadheacutesions est infeacuterieure agrave la force de vibration Par contre pour les autres trois poudres le rapport est inverseacute ce qui fait que en terme de deacutebit ou de vitesse de deacuteplacement les reacutesultats sont moins bons que dans le cas du corindon

II32 Essais sans inclinaison

Comme on a pu voir dans le paragraphe preacuteceacutedent le transport de poudre deacutepend fortement de la nature de cette derniegravere certaines poudres eacutetant tregraves difficiles agrave transporter malgreacute lrsquoexistence de paramegravetres favorables comme lrsquoinclinaison du guide de poudre Tenant compte de cette conclusion et du fait qursquoon veut reacutealiser des essais avec une inclinaison nulle nous avons deacutecideacute drsquoeacutetendre notre gamme de simulants avec notamment des poudres qui ont des dimensions plus importantes comme le sucre Nous avons effectueacute des essais avec trois poudres diffeacuterentes sucre placirctre et corindon Les essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes en fonction des diffeacuterents paramegravetres

certains ont eacuteteacute modifieacutes o amplitude de vibration haute freacutequence o amplitude de deacuteplacement basse freacutequence o deacutephasage φ entre la commande du moteur et le signal de

synchronisation pour lrsquoalimentation des ceacuteramiques o type de poudre transporteacutee

drsquoautres ont eacuteteacute gardeacutes constants pour tous les essais o par exemple la basse freacutequence qui a eacuteteacute fixeacutee agrave 20Hz

Le montage de cette maquette est preacutesenteacute Figure II22


50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible

EacutecrouSupport meacutetallique


Figure II22 ndash Le montage complet de la maquette sans inclinaison

II321 Amplitude de vibration haute freacutequence constante et amplitude de deacuteplacement basse freacutequence variable

Dans la Figure II23 on peut voir les courbes de deacutebit en fonction de lrsquoamplitude du deacuteplacement basse freacutequence pour plusieurs poudres quand la basse freacutequence est de 20Hz et lrsquoamplitude haute freacutequence constante (plus exactement elle est comprise entre 400nm et 450nm crecircte ndash crecircte) La mecircme valeur de tension drsquoalimentation haute freacutequence est imposeacutee pour tous les essais mais en fonction des conditions de test au moment de sa reacutealisation lrsquoamplitude vibratoire fluctue un peu

Chaque point du graphique reacutesulte de la moyenne de 3 mesures agrave partir desquelles une incertitude peut ecirctre calculeacutee Elle se traduit sur le graphique par les traits verticaux Comme on peut le voir Figure II23 et Figure II24 le deacutebit deacutepend lagrave encore des caracteacuteristiques physiques de la poudre Plus le diamegravetre de la particule est petit plus le deacutebit est faible pour la mecircme valeur de deacuteplacement basse freacutequence et pour une amplitude vibratoire haute freacutequence constante Lrsquoordre de disposition des courbes de deacutebit est deacutetermineacute aussi par les caracteacuteristiques de la poudre comme la morphologie des particules la coheacutesiviteacute On peut tenter drsquoestimer la vitesse moyenne de transport agrave partir du deacutebit D (Figure II24) si on considegravere que la poudre de masse volumique ρ est transporteacutee au travers dune section constante S

S

Dvm sdotρ

= II2

On prendra pour S=20mmsup2 la section de la gorge usineacutee dans le guide de poudre

Bien sucircr cette vitesse est une approximation une mesure rigoureuse aurait consisteacute agrave mesurer la vitesse de plusieurs particules de poudre et den faire la moyenne Cette solution nous a sembleacute difficile agrave mettre en oeuvre et nous avons opteacute pour cette estimation approximative de la vitesse de poudre Les densiteacutes des poudres sont donneacutees dans le Tableau II2


51

Poudre Sucre Corindon Placirctre Densiteacute ρ (kgm3) 1600 3940 2900

Tableau II2 ndash Densiteacutes pour les poudres utiliseacutees

Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence

y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c

Lineacuteaire (Corindon 150V c-c)

Lineacuteaire (Platre 150V c-c)

Lineacuteaire (Sucre 150V c-c)

Figure II23 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence


52

Vitesse moyenne en fonction du deplacement basse freacutequence

0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000

Deplacement basse freacutequence c-c (microm)

Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c

Figure II24 ndash Vitesse moyenne en fonction de lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence

II322 Comparaison avec les reacutesultats sur le plan inclineacute

La Figure II25 preacutesente la comparaison de deacutebit entre les systegravemes avec une inclinaison α=0deg et une inclinaison α=15deg pour le corindon quand lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence est maintenue constante pendant la reacutealisation de lrsquoessai On observe sans surprise que la tendance du deacutebit est de croicirctre avec lrsquoinclinaison On note que ce reacutesultat est ici accentueacute du fait que lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence est plus grande lors de nos mesures pour α=15deg


53

Debit en fonction du deplacement basse freacutequence surface inox

0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon α=15deg AHF=830nm


Figure II25 ndash Deacutebit en fonction du deacuteplacement basse freacutequence pour le corindon selon

deux inclinaisons du guide de poudre

II323 Amplitude de vibration haute freacutequence variable et amplitude de deacuteplacement basse freacutequence constante

Pour la mecircme freacutequence de deacuteplacement du moteur lineacuteaire (20Hz) on a gardeacute constante lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence (630microm ĉ-ĉ) et on a modifieacute lrsquoamplitude de vibration haute freacutequence Les reacutesultats de cet essai sont preacutesenteacutes Figure II26 La freacutequence drsquoexcitation haute freacutequence est eacutegale agrave 21240Hz On peut observer que le deacutebit est directement proportionnel agrave lrsquoamplitude vibratoire Si lrsquoamplitude vibratoire augmente on a une augmentation du deacutebit Cet essai a eacuteteacute effectueacute avec du sucre poudre pour laquelle les reacutesultats en terme de deacutebit sont les plus exploitables Ainsi si lon considegravere en premiegravere approximation que le frottement apparent diminue lorsque lamplitude haute freacutequence augmente nous voyons bien leffet beacuteneacutefique de cette reacuteduction de frottement Cette courbe ne fait pas apparaicirctre de valeur seuil supeacuterieur pour lamplitude vibratoire cest agrave dire une valeur pour laquelle le deacutebit naugmente plus et quil est donc inutile de deacutepasser Cette valeur est importante pour la conception de linterface Si elle existe elle se situe donc au delagrave de 800nm c-c


54

Deacutebit en fonction de lamplitude haute freacutequence sucre

y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400

Amplitude haute freacutequence crete (nm)

Deacutebit (gs)

Figure II26 ndash Deacutebit en fonction de lrsquoamplitude haute freacutequence pour une amplitude de

deacuteplacement basse freacutequence de 630microm ĉ-ĉ

Enfin nous ne constatons pas non plus deffet de seuil infeacuterieur sur cette figure comparativement agrave la Figure II16 par exemple Plus preacuteciseacutement il y a deacuteplacement de poudre mecircme agrave amplitude haute freacutequence nulle Pour expliquer cela nous ne pouvons pas invoquer un mauvais alignement du guide de poudre celui-ci a eacuteteacute correctement caleacute mis bien agrave lhorizontale Par contre il nest pas impossible quun pheacutenomegravene de couplage de mode apparaisse tout de mecircme de maniegravere limiteacutee mais provoquant un transport de poudre mecircme sans reacuteduction de frottement

II324 Amplitudes de vibration haute freacutequence et de deacuteplacement basse freacutequence constantes et deacutephasage variable

Lrsquoobjectif de cet essai est drsquoanalyser lrsquoinfluence de la synchronisation des vibrations HF sur le mouvement de translation BF vis-agrave-vis du deacutebit Pour cet essai on a gardeacute constants

lrsquoamplitude vibratoire haute freacutequence (entre 400nm et 600nm ndash valeurs diffeacuterentes pour chaque poudre utiliseacutee ndash valeurs crecircte ndash crecircte)

lrsquoamplitude de deacuteplacement basse freacutequence (entre 500microm et 700microm ndash valeurs diffeacuterentes pour chaque poudre utiliseacutee ndash valeurs crecircte-crecircte)

La freacutequence basse est toujours eacutegale agrave 20Hz et la freacutequence d lsquoexcitation haute est drsquoenviron 21200Hz


55

Le seul paramegravetre eacutevolutif a eacuteteacute le deacutephasage entre la commande du moteur et le signal de synchronisation pour lrsquoalimentation des ceacuteramiques Le but a eacuteteacute de trouver une valeur optimale pour le deacutephasage et de prouver que la valeur pressentie (90deg) eacutetait correcte Les courbes deacutetermineacutees dans cet essai sont preacutesenteacutees Figure II27

Deacutebit en fonction du deacutephasage

0

005

01

015

0 40 80 120 160 200

Deacutephasage (deg)

Deacutebit (gs)

SucrePlacirctreCorindonModegravele theacuteorique

Figure II27 ndash Deacutebit en fonction du deacutephasage

On peut observer que le sucre a toujours un deacutebit mesureacute plus important pour les mecircmes valeurs drsquoamplitude vibratoire et drsquoamplitude de deacuteplacement Theacuteoriquement nous nous attendons agrave avoir une valeur optimale de 90deg cependant en pratique la valeur maximale est obtenue

pour le sucre pour un deacutephasage de 95deg pour le corindon pour un deacutephasage de 85deg pour le placirctre pour un deacutephasage de 60deg

Conformeacutement agrave la supposition faite au deacutebut du chapitre on doit obtenir un deacutebit

maximal pour un deacutephasage de 90deg entre le signal de commande du moteur basse freacutequence et le signal de synchronisation pour lrsquoalimentation des ceacuteramiques Pour illustrer lrsquoeacutecart entre la valeur optimale attendue et les essais expeacuterimentaux nous avons ajouteacute la courbe laquo modegravele theacuteorique raquo sur la Figure II27 qui est calculeacutee comme eacutetant le produit entre la valeur maximale du deacutebit obtenu pour le sucre et le sinus du deacutephasage

Les reacutesultats preacutesenteacutes dans la Figure II27 tendent agrave confirmer lrsquohypothegravese faite au deacutebut du chapitre sur le deacutephasage optimal Cette hypothegravese sera veacuterifieacutee eacutegalement par simulation numeacuterique dans le paragraphe suivant en utilisant un modegravele matheacutematique simplifieacute de transport de poudre qui a eacuteteacute deacuteveloppeacute dans le cadre de la thegravese


56

II325 Conclusions

Les reacutesultats obtenus dans ce paragraphe ont montreacute lrsquoinfluence de la vibration haute freacutequence et du deacuteplacement horizontal basse freacutequence dans le transport de poudre notamment pour le sucre pour lequel on obtient des deacutependances lineacuteaires entre le deacutebit et les deacuteplacements horizontal basse freacutequence respectivement vertical haute freacutequence Dans le cas de la deacutependance deacutebit-deacutephasage on observe que la courbe obtenue pour le sucre confirme de maniegravere expeacuterimentale la supposition faite au deacutebut du chapitre drsquoavoir un deacutephasage de 90deg entre la commande du moteur basse freacutequence qui est reacutealiseacutee en vitesse et la commande de lrsquoactionneur haute freacutequence

II4 Modegravele matheacutematique de transport de la poudre

II41 Introduction

Lrsquoobjectif de cette partie consiste agrave deacutevelopper un modegravele matheacutematique simple du transport par frottement controcircleacute afin drsquoune part drsquoaider agrave la compreacutehension des pheacutenomegravenes et drsquoautre part de permettre une optimisation globale du principe

II42 Preacutesentation du modegravele

Les hypothegraveses du modegravele sont les suivantes et elles sont eacutenonceacutees par [Hor and Linz 2005] [Sloot and Kruyt 1996]

Le convoyeur qui est dans notre cas une barre a un mouvement basse freacutequence purement sinusoiumldal

La dynamique du milieu granulaire est assimileacutee agrave celle drsquoun corps solide de masse M

Le glissement du corps granulaire sur la barre est soumis agrave une friction dynamique modeacuteliseacutee comme une combinaison de forces de frottement sec et frottement visqueux

Le convoyeur est preacutesenteacute de maniegravere scheacutematique dans la Figure II28 Le corps granulaire de masse M se trouve dans le repegravere mobile xOy qui est attacheacute sur la barre Celle-ci se trouve dans le repegravere fixe XOY


57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Figure II28 ndash Deacutefinition des repegraveres

La barre se deacuteplace dans la direction horizontale sous lrsquoaction drsquoune oscillation sinusoiumldale drsquoamplitude A et de pulsation ω

)tsin(AX ω= II3 Du point de vue de la poudre on distingue deux eacutetats selon la nature du frottement avec le guide de poudre repreacutesenteacutes sous la forme drsquoun reacuteseau de Petri Figure II29

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=

g)tsin(A s2 microgtωω

0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Figure II29 ndash Modegravele du transport repreacutesenteacute par le reacuteseau de Petri

Cette Figure II29 montre les deux eacutetats des conditions de liaison de la poudre avec

le guide de poudre Leacutetat de glissement suppose une vitesse relative de la poudre vp non nulle dans le repegravere de son guide Cet eacutetat se termine lorsque cette vitesse sannule Leacutetat adheacuterence correspond agrave une phase dadheacuterence de la poudre sur le convoyeur et qui prend fin lorsque la composante tangentielle de la reacuteaction du convoyeur sur la poudre deacutepasse


58

une valeur limite Cette valeur limite est deacutefinie par le coefficient de frottement limite au sens du frottement de Coulomb que multiplie la masse de la poudre

Ces eacutetats sont identiques que les vibrations US soient activeacutees (On) ou non (OFF) Par contre les valeurs du frottement limite en phase dadheacuterence ou du frottement en phase de glissement deacutependent de leacutetat dexcitation de la barre Ceci ayant eacuteteacute confirmeacute par les essais expeacuterimentaux du paragraphe II3 laquo Reacutesultats expeacuterimentaux raquo Enfin le modegravele prend en compte langle dinclinaison du guide de poudre noteacute α Les valeurs des conditions de passage sont expliciteacutees au paragraphe suivant

x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R

Figure II30 ndash Bilan des efforts pour le corps granulaire pendant lrsquoadheacuterence

II43 Modegravele analytique

Lorsque la poudre est en phase drsquoadheacuterence avec la barre elle est solidaire de cette derniegravere Drsquoun point de vue du modegravele cela signifie que la position de la poudre est lieacutee de maniegravere rigide agrave la position de la barre Nous posons donc dans cette phase x=0 Par conseacutequent la reacuteaction tangentielle de la barre sur la poudre due agrave la translation imposeacutee par le moteur noteacutee Fb-p se deacuteduit de X en appliquant le principe fondamental de la dynamique avec )tsin(AX ω= et M la masse de la poudre

)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4

Cette force tangentielle est eacutequilibreacutee par la projection du poids Psinα ainsi que par le

frottement sec microsRn soit microsPcosα Cette phase drsquoeacutequilibre caracteacuteriseacutee par un deacuteplacement

relatif de la poudre nul par rapport agrave la barre dure tant que la force tangentielle reste infeacuterieure au seuil de Coulomb Cest-agrave-dire

)sin(Mg)(tg)cos(Mg)sin(P)(tg)cos(PF pb αminusϕαleαminusϕαleminus II5

En utilisant les eacutequations (II4) et (II5) et en sachant que s)(tg micro=ϕ on obtient la condition

drsquoadheacuterence

)sin(Mg)cos(Mg)tsin(AM s2 αminusmicroαleωω II6


59

ougrave micros est le coefficient de frottement statique entre la barre et le corps granulaire ce coefficient prend deux valeurs selon que les US sont ON ou OFF Lrsquoeacutequation (II6) est la condition neacutecessaire pour que la poudre reste dans la phase drsquoadheacuterence Comme la poudre adhegravere agrave la barre sa vitesse est celle de la barre

)tcos(Avp ωω= II7

Ainsi que les vibrations US soient ON ou OFF la poudre commence agrave glisser lorsque lacceacuteleacuteration instantaneacutee deacutepasse un certain seuil qui ne deacutepend pas de la masse de la poudre Par ailleurs Il existe des valeurs damplitude vibratoire A qui ne permettent jamais dobtenir un glissement de la poudre sur la poutre Ce cas sera eacutetudieacute ulteacuterieurement Une fois la poudre en glissement sur la barre sa dynamique est deacutefinie par un frottement poudre-barre Dans cette eacutetape nous avons choisi de speacutecifier un frottement sec dont la valeur correspond au seuil de passage adheacuterence-glissement et un frottement fluide proportionnel agrave la vitesse relative de la poudre sur la barre [Biet 2007] [Watanabe and Fukui 1995] Lrsquoeacutequation qui deacutecrit le glissement de la poudre est similaire agrave la preacuteceacutedente avec en plus la consideacuteration du frottement fluide Pour obtenir lrsquoeacutequation de la vitesse de la poudre on va eacutecrire le bilan des efforts pour le corps granulaire sur lrsquoaxe Ox comme illustreacute Figure II31

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

Figure II31 ndash Bilan des efforts pour la phase de glissement

Le bilan des efforts est

2p

2

fspbdt

xdMFF)sin(PF =minusminusα+minus II8

ougrave xp est la position de la poudre Fs est la force de frottement sec et Ff la force de frottement fluide On sait que la force de frottement sec Fs et la force de frottement fluide Ff sont deacutetermineacutees par


60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9

ougrave vpr est la vitesse relative de la poudre par rapport agrave la barre On peut noter que les coefficients micros et kf vont avoir des valeurs reacuteduites dans les cas des vibrations US ON donnant ainsi de nouveaux coefficients noteacutes microsrsquo et kfrsquo Si on remplace les eacutequations (II4) et (II9) dans lrsquoeacutequation (II8) on obtient

dt

dvMvkMg)sin(Mg)tsin(AM pr

prfs2 =minusmicrominusα+ωω II10

Pour trouver la solution de lrsquoeacutequation (II10) on doit reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuterentielle Pour cela on applique la transformeacutee Tustin

)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11

ougrave Te est le pas drsquoincreacutementation pour lrsquointeacutegration numeacuterique Ainsi on obtient par reacutesolution de lrsquoeacutequation (II10) la vitesse absolue vp de la poudre

))n(tcos(A

)1n(vkTM2

)n(F2)sin()n(P2)1n(F)n(Fk

TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus

minus+minusα+minusminus

+= minusminus

II12

La phase de glissement prend fin lorsque la poudre recolle agrave nouveau agrave la barre cest agrave dire lorsque la vitesse relative sannule

II44 Reacutesultats instantaneacutes de la modeacutelisation

Ces eacutequations ont eacuteteacute reacutesolues avec le logiciel Matlab Le modegravele matheacutematique complet est deacutecrit dans lrsquoannexe B4 laquo Modegravele matheacutematique du transport de poudre pour le principe du frottement controcircleacute raquo Les reacutesultats preacutesenteacutes ici sont obtenus comme dans les conditions expeacuterimentales agrave savoir avec une vibration ultrasonique imposeacutee lorsque la position de la barre devient positive ou encore lorsque la vitesse de la barre est en phase deacutecroissante Les reacutesultats obtenus pour le corindon sont illustreacutes Figure II32 On peut voir que au deacutebut du cycle de transport la poudre adhegravere agrave la barre (la vitesse relative de la poudre est nulle) jusqursquoagrave un instant t proche de 0014 secondes Lorsque lrsquoactionnement ultrasonique est activeacute (US ON) le frottement poudre-barre est tellement faible que la condition de passage (II6) est aussitocirct remplie agrave partir de ce moment la poudre rentre dans une phase de glissement (visible sur la valeur de sa vitesse relative) qui va durer jusquagrave un instant proche de 004sec cest-agrave-dire un peu au delagrave de lextinction des US qui intervient agrave t=0037s Pendant cette phase de glissement la poudre continue sur sa lanceacutee pendant


61

que la barre elle commence agrave ralentir (visible sur la vitesse de la barre) Neacuteanmoins comme les US sont arrecircteacutes agrave t=0037sec le frottement de la poutre sur la poudre devient plus important conduisant a larrecirct de la poudre sur la barre

Lrsquoutiliteacute des ultrasons est visible si on reacutealise une comparaison entre la courbe de la vitesse absolue de la poudre et la vitesse de la barre On observe que au deacutebut du cycle de transport alors que les US sont OFF la poudre suit le mouvement de la barre ensuite agrave partir du moment ougrave les US sont ON la vitesse de la poudre suit une trajectoire diffeacuterente de celle de la barre qui dure jusqursquoagrave environ 004s Et pourtant agrave 0025s la barre change de sens de deacuteplacement ce qui nrsquoinfluence pas le deacuteplacement de la poudre gracircce agrave la vibration ultrasonore et du fait de lrsquoeacutenergie cineacutetique qursquoelle a accumuleacutee

Cette simulation nous permet donc de mieux analyser lrsquoinfluence des US sur le transport et de justifier les instants drsquoactionnement des US relativement au mouvement BF de la barre

La Figure II33 nous montre un reacutesultat de simulation obtenu avec les mecircmes paramegravetres que pour la Figure II32 mais pour une alimentation des ceacuteramiques pieacutezo-eacutelectriques (US ON) lorsque la vitesse de la barre est neacutegative Ce type de synchronisation est en fait tregraves proche de celui utiliseacute pour le principe de transport de poudre preacutesenteacute dans le chapitre introductif plus exactement le stick slip qui utilise comme dissymeacutetrie dans le cycle de fonctionnement la descente drsquoun signal de commande en laquo dents de scie raquo Les diffeacuterences entre les deux cas de deacutephasage (90deg et 0deg) sont alors visibles sur la forme des signaux et leurs amplitudes par exemple la position absolue de la poudre a une valeur maximale plus petite dans le cas du deacutephasage 0deg 8times10-4m contre 12times10-4m pour lrsquoalimentation des ceacuteramiques quand lrsquoacceacuteleacuteration est neacutegative La vitesse relative de la poudre est elle aussi plus petite dans le deuxiegraveme cas 0032ms contre 00522ms

Les reacutesultats obtenus par simulations numeacuteriques veacuterifient eux aussi de maniegravere

theacuteorique lrsquohypothegravese faite au deacutebut du chapitre et qui expose la neacutecessiteacute drsquoimposer les vibrations haute freacutequence quand lrsquoacceacuteleacuteration du guide de poudre est neacutegative Les reacutesultats obtenus pour lrsquoalumine Φ30microm sont similaires drsquoun point de vue qualitatif avec ceux du corindon (Figure II34)


62

0 001 002 003 004 005-1

0

1

2Etat 1-Adheacuterence ou 0-Glissement

0 001 002 003 004 005-1

0

1

2Etat 1-HF ON ou 0-HF OFF

0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10

-3 Position absolue de la poudre (m)

0 001 002 003 004 005-005

0

005

01

015Vitesse absolue de la poudre (ms)

0 001 002 003 004 005-002

0

002

004

006Vitesse relative de la poudre (ms)

0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10

-4 Position de la barre (m)

0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005

01Vitesse de la barre (ms)

0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5

10Acceacuteleacuteration de la barre (ms2)

Parametres corindon HF ON quand lacceacuteleacuteration est negative

Temps (s)

Figure II32 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour le corindon ndash alimentation des ceacuteramiques quand lrsquoacceacuteleacuteration de

la barre est neacutegative (deacutephasage 90deg)


63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10

-3Position absolue de la poudre (m)

0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10

-4Position de la barre (m)

0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5


Paramegravetres corindon HF ON quand la vitesse est negative

Temps (s)

Figure II33 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour le corindon ndash alimentation des ceacuteramiques quand la vitesse de la

barre est neacutegative (deacutephasage 0deg)


64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5


Paramegravetres alumine φφφφ30micromicromicromicrom

Temps (s)

Figure II34 ndash Simulation drsquoun cycle de fonctionnement pour lrsquoalumine Φ30microm ndash alimentation des ceacuteramiques quand

lrsquoacceacuteleacuteration de la barre est neacutegative (deacutephasage 90deg)


65

II45 Comparaison avec les reacutesultats expeacuterimentaux

Le modegravele de deacuteplacement de la poudre eacutelaboreacute au paragraphe preacuteceacutedent a permis drsquoexpliquer les pheacutenomegravenes mis en jeu et de justifier les instants de synchronisation des vibrations ultrasonores sur la translation horizontale Nous voulons maintenant savoir si les comportements obtenus sur les deacutebits pour diffeacuterentes poudres sont eacutegalement conformes agrave ce modegravele Mais pour cela il nous faut identifier des paramegravetres tels que les coefficients de frottement sec et fluide avec ou sans US micros et kf puis microrsquos et krsquof

II451 Deacutetermination expeacuterimentale des coefficients de frottement

Afin de comparer avec les mesures expeacuterimentales nous avons essayeacute de mesurer ces coefficients de frottement en particulier les coefficients de frottement sec qui sont les plus simples agrave identifier dans notre cas Pour les mesurer on prend une poutre sur laquelle on a placeacute un peu de poudre agrave lrsquoune des extreacutemiteacutes et on incline la poutre jusquagrave ce que la poudre commence agrave glisser sur la barre A ce moment on mesure lrsquoangle drsquoinclinaison de la barre qursquoon va appeler angle de passage adheacuterence-glissement Le coefficient de frottement sec est deacutetermineacute en calculant la tangente de cet angle drsquoinclinaison De la mecircme faccedilon on peut mesurer le coefficient de frottement sec avec ultrasons en mettant en vibration la barre avec lrsquoaide drsquoun actionneur pieacutezo-eacutelectrique Les coefficients ainsi deacutetermineacutes pour diffeacuterentes poudres sont preacutesenteacutes dans le tableau suivant

Sans US Avec US Caracteacuteristiques

Poudre Inclinaison de la

barre (deg) micros

Inclinaison de la barre (deg)

microsrsquo

Corindon 40 084 8 014 Alumine Φ30microm 46 104 19 034

Ciment 57 154 22 04 Alumine Φ10microm 90 infin 29 055

Tableau II3 ndash Identification expeacuterimentale des coefficients de frottement sec avec et sans

US pour diffeacuterentes poudres

Comme on peut lrsquoobserver les coefficients de frottement avec ultrasons sont beaucoup plus petits que ceux sans vibrations Les coefficients avec US ont eacuteteacute deacutetermineacutes pour une amplitude de vibrations drsquoenviron 1microm crecircte sur une barre dont la surface usineacutee est en acier inoxydable Drsquoautres essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deacuteterminer les coefficients de frottement visqueux mais il a eacuteteacute tregraves difficile de mesurer une vitesse moyenne de poudre en reacutegime permanent et de faccedilon reacutepeacutetable Ces paramegravetres ne seront donc pas identifieacutes explicitement


66

II452 Reacutesultats de la modeacutelisation

La comparaison entre les reacutesultats du modegravele et ceux issus des mesures est reacutealiseacutee en prenant comme grandeur de recalage la vitesse moyenne de deacuteplacement de la poudre traceacutee par rapport agrave lrsquoamplitude du deacuteplacement basse freacutequence Parmi les quatre coefficients de frottement deux sont connus par la mesure (les frottements secs) et les deux autres sont imposeacutes de maniegravere arbitraire (les frottements visqueux) et ensuite modifieacutes jusqursquoagrave lrsquoobtention drsquoune courbe de vitesse theacuteorique qui suive celle de la vitesse moyenne mesureacutee de maniegravere expeacuterimentale Pour cela on utilise la fonction Matlab laquo polyfit raquo Comme la courbe de tendance est une droite (cf Figure II21) elle est deacutetermineacutee par lrsquoeacutequation suivante

mmm oxpy += II13 Ougrave pm est la pente de la droite correspondante agrave la vitesse mesureacutee et Om est lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine correspondante agrave la vitesse mesureacutee

Lrsquoideacutee est drsquoobtenir une courbe de tendance pour la vitesse theacuteorique qui a les mecircmes paramegravetres que celle de la vitesse expeacuterimentale En modifiant les coefficients de frottement on peut observer que lrsquoabscisse agrave lrsquoorigine de la courbe theacuteorique est influenceacute par le coefficient de frottement sec avec ultrasons et que la pente de la mecircme courbe est influenceacutee par le frottement visqueux toujours avec US Sur la Figure II35 on peut observer que la vitesse calculeacutee commence croicirctre agrave partir drsquoune valeur minimale appeleacutee amplitude minimale de deacuteplacement Cette croissance est plus visible sur les figures Figure II36 Figure II37 et Figure II38 Le mecircme pheacutenomegravene est observeacute sur la courbe de la vitesse mesureacutee qui est deacuteceleacutee agrave partir drsquoenviron 100microm ce qui repreacutesente la valeur minimale de lrsquoamplitude basse freacutequence de deacuteplacement de la barre pour laquelle on a un deacuteplacement de la poudre On observe aussi que les deux courbes de tendances ne sont pas strictement identiques mais qursquoon parvient cependant agrave trouver des paramegravetres de friction qui les rendent tout agrave fait proches Nous pouvons donc en conclure que la structure de notre modegravele matheacutematique est correcte


67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon

modele matheacutematiquemesure expeacuterimentalefitting theoriquefitting mesure

Figure II35 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour le corindon

Les reacutesultats obtenus pour lrsquoalumine Φ30microm sont preacutesenteacutes agrave la Figure II36 On observe un comportement similaire drsquoun point de vue qualitatif agrave celui du corindon avec une diffeacuterence en ce qui concerne la valeur maximale de la vitesse qui est plus faible


68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm


Figure II36 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour lrsquoalumine 30microm

0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment


Figure II37 ndash Vitesses moyennes mesureacutee et calculeacutee pour le ciment


69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm


Figure II38 ndash Vitesse moyennes mesureacutee et calculeacutee pour lrsquoalumine 10microm

On constate une divergence accrue entre les reacutesultats du modegravele et ceux issus de lrsquoexpeacuterience agrave mesure que nous travaillons avec des poudres de plus en plus fines La coheacutesiviteacute de la poudre son adheacutesion avec la surface de la barre ainsi que les forces interparticulaires sont certainement en cause Sans rentrer dans des consideacuterations tribologiques fines on peut simplement penser que pour ces poudres tregraves fines les forces interparticulaires deviennent tregraves importantes

II5 Conclusions

Ce chapitre nous a permis drsquoanalyser de maniegraveres expeacuterimentale et theacuteorique un principe de transport de poudre original baseacute sur la dissymeacutetrie des conditions de frottement lors drsquoun mouvement de translation Une maquette expeacuterimentale a eacuteteacute conccedilue et reacutealiseacutee afin de veacuterifier le principe de fonctionnement et drsquoobtenir les caracteacuteristiques de deacutebit selon les conditions de fonctionnement et les diffeacuterentes poudres utiliseacutees Parmi les reacutesultats obtenus on peut insister en particulier sur

La forte influence de la nature de la poudre et en particulier de son diamegravetre sur les performances de transport obtenues

La possibiliteacute de controcircler le transport de la poudre par les vibrations US ce sont leurs amplitudes qui caracteacuterisent le deacutebit pour une poudre donneacutee


70

La simulation numeacuterique nous a permis de valider de maniegravere theacuteorique les hypothegraveses faites dans la partie expeacuterimentale

Cette approche de transport ne satisfait pas cependant le cahier des charges initial

demandeacute car elle ne srsquoaffranchit pas de lrsquoaspect basse freacutequence du mouvement facteur de deacuteteacuterioration des joints dans lrsquoassemblage de tube ou dans les systegravemes de fixation Par contre cette approche demeure inteacuteressante pour ameacuteliorer le transport dans des conduites existantes pour soulager les joints en diminuant lrsquoamplitude basse freacutequence ou pour assurer eacuteventuellement un deacutecolmatage Dans les chapitres suivants nous allons introduire une autre approche afin de srsquoaffranchir complegravetement de la composante basse freacutequence du mouvement

Chapitre III Onde progressive ndash eacuteleacutements theacuteoriques

71

Chapitre III

Onde progressive ndash eacuteleacutements

theacuteoriques

III1 Introduction

La premiegravere partie de ce meacutemoire preacutesente une meacutethode de transport de poudre qui combine un actionnement basse freacutequence et forte amplitude de deacuteplacement avec un actionnement haute freacutequence Mais conformeacutement au cahier des charges lrsquoactionnement basse freacutequence doit ecirctre complegravetement eacutelimineacute afin drsquoeacuteviter les trop fortes contraintes aux joints de liaison le bruit et lrsquousure preacutematureacutee Pour cela il faut donc creacuteer le transport de poudre en utilisant uniquement des actionneurs haute freacutequence qui ont des amplitudes vibratoires de lrsquoordre de quelques microns A cette fin ce chapitre preacutesente les eacuteleacutements theacuteoriques drsquoune meacutethode baseacutee sur lrsquoexploitation drsquoune onde progressive pour creacuteer le transport Apregraves avoir rappeleacute les caracteacuteristiques drsquoune onde progressive dans un milieu infini nous deacutecrivons la probleacutematique introduite par la creacuteation drsquoune onde progressive dans un milieu fini une poutre ou un tube essentiellement Pour ces deux types de structure une modeacutelisation analytique et une analyse modales sont entreprises permettant de mener agrave lrsquooptimisation de la qualiteacute de lrsquoonde obtenue par action sur les freacutequences drsquoexcitation


72

III2 Propagation drsquoune onde progressive dans un milieu de dimension infini

III21 Hypothegraveses et notations

Consideacuterons une poutre reacutealiseacutee dans un mateacuteriau isotrope et homogegravene et dont la longueur est infinie Supposons que cette poutre sous leffet dune excitation particuliegravere subit une deacuteformation de type flexion pure et que donc les sections droites de la poutre avant deacuteformation restent droites et perpendiculaires agrave la fibre neutre apregraves deacuteformation [Graff 1991] Si lon appelle x labscisse dun point de la poutre appartenant agrave la fibre neutre le deacuteplacement de ce point selon leacutepaisseur seacutecrira dans le cas dune onde progressive de flexion

)vtx(kcosA)tx(w minus= III1 ougrave A repreacutesente lamplitude de londe progressive v sa vitesse et k est appeleacute nombre donde Ainsi dans ce cas la deacuteformation de la fibre neutre est sinusoiumldale les maxima de la deacuteformation (les ventres) et les nœuds de vibration (ougrave la deacuteformation sannule) occupent des positions diffeacuterentes pour chaque instant t ce que montre la Figure III1

ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre

Figure III1 ndash Propagation de lrsquoonde progressive

Notons Φ la phase instantaneacutee de lrsquoonde progressive deacutefinie telle que

)vtx(k minus=Φ III2


73

On deacutefini alors la longueur drsquoonde λ comme eacutetant la distance sur la poutre entre deux points successifs avant une deacuteformation maximale cest agrave dire deux points deacutephaseacutes de π2 radians La longueur donde est constante et (III2) donne

k2π=λ III3

Drsquoautres grandeurs qui apparaissent souvent dans les eacutequations drsquoonde acoustique sont la freacutequence f avec f2πω = qui repreacutesente la pulsation de lrsquoonde progressive Les relations entre les diverses grandeurs sont donneacutees ci-dessous

kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4

Par ailleurs les relations trigonomeacutetriques permettent de reacuteeacutecrire lrsquoeacutequation (III1) sous la forme

πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2

tcosA)kxcos()tcos(A)vtx(kcosA III5

On remarque alors que londe progressive peut seacutecrire comme la somme de deux deacuteformations elles aussi sinusoiumldales deacutephaseacutees spatialement de 2π Ces deacuteformations

sont appeleacutees ondes stationnaires car les lieux des ventres et des nœuds sont fixes dans le temps seule lamplitude de la deacuteformation varie ce que montre la Figure III2

A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud

Figure III2 ndash Onde stationnaire

Une onde stationnaire lorsquelle est seule seacutecrit alors


74

)kxcos()tcos(A)tx(ws ω= III6 La deacutecomposition de la relation (III5) est importante car cest la base dun principe utiliseacute pour geacuteneacuterer une onde progressive dans une poutre de longueur finie [Uchino 1998] par superposition de deux ondes stationnaires deacutecaleacutees dans le temps et lrsquoespace de 90deg

III22 Qualiteacute de lrsquoonde progressive

Mecircme dans un milieu infini une onde progressive nest pas obligatoirement parfaite En effet les conditions dexcitation de lrsquoonde peuvent ecirctre telles que lamplitude de celle-ci nest pas constante le long de la poutre ce que montre la figure 33 Pour obtenir un indicateur de la qualiteacute de londe on mesure les eacutecarts damplitude le long du milieu de propagation Le Taux dOnde Stationnaire (TOS) permet de calculer la laquo quantiteacute raquo drsquoonde stationnaire contenue dans lrsquoonde progressive Le TOS peut ecirctre calculeacute comme le rapport entre lrsquoamplitude vibratoire maximale (Amax) et minimale (Amin) mesureacutees tout au long du milieu de propagation (eacutequation III7) Pour mesurer les amplitudes vibratoires on peut soit deacuteplacer un interfeacuteromegravetre laser et pour chaque point de mesure relever lamplitude de la deacuteformation soit utiliser un reacuteseau de plusieurs capteurs drsquoamplitude qui sont positionneacutes de maniegravere repartie sur une section de la poutre [Bucher 2004] et [Minikes et al 2005]

min

max

AA

TOS = III7

Figure III3 ndash Illustration drsquoune onde progressive imparfaite (TOS diffeacuterent de 1)


75

III23 Vitesse tangentielle ideacuteale de transport

Si londe progressive se propage selon une direction privileacutegieacutee avec la vitesse v lorsqursquoelle est utiliseacutee pour entraicircner un objet ce ne sont ni cette vitesse ni ce sens de deacuteplacement qui sont communiqueacutes agrave lrsquoobjet Le pheacutenomegravene est bien connu et exploiteacute par exemple dans les moteurs agrave onde progressive de type Shinsei [Sashida and Kenjo 1993] En fait les mouvements qui sont transmis aux objets agrave deacuteplacer sont ceux des sommets de londe qui sont de nature elliptique (Figure III4) Pour les poudres ces sommets drsquoonde communiquent leur vitesse par adheacuterence [Mracek and Wallaschek 2005] La vitesse instantaneacutee de ces sommets de londe peut ecirctre calculeacutee si lon applique le principe de londe de flexion

VTVTVT

VN VN VN

Direction de propagationde londe progressive

Direction de transport

Surface vibrante

Objet agrave transporter

Mouvement elliptique

Figure III4 ndash Principe drsquoentraicircnement des objets par des ellipses locales creacuteeacutees par lrsquoonde

progressive

La Figure III5 montre la flexion de la poutre agrave un instant donneacute Chaque section droite de la poutre se deacuteforme selon deux directions

La direction normale noteacutee w(xt) et deacutefinie par lrsquoeacutequation (III1) La direction tangentielle u(xt) [Vloebergh 2010] qui deacuterive de w(xt) et

deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ

π=minussdotsdotsdot=partpartminus= III8


76

h est lrsquoeacutepaisseur de la surface vibrante

uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z

x Figure III5 ndash La flexion drsquoune poutre pour un instant donneacute

Pour une particule situeacutee agrave lrsquoabscisse x avant deacuteformation le deacuteplacement engendreacute par la propagation de lrsquoonde progressive srsquoeacutecrit

)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9

qui est lrsquoeacutequation parameacutetrique drsquoune ellipse de petit axe λπAh et de grand axe A

La vitesse de chaque point agrave la surface de la poutre est calculeacutee en deacuterivant lrsquoexpression du deacuteplacement horizontal par rapport au temps On appelle vT la vitesse suivant lrsquoaxe tangentiel et on obtient

)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10

Dans lrsquoeacutequation de la vitesse tangentielle on observe que celle-ci est maximale lorsque

)vtx(kcos minus est maximale et donc aux points de londe ougrave w est maximale car w aussi est

proportionnelle agrave )vtx(kcos minus cest-agrave-dire aux sommets de lrsquoonde progressive Ainsi aux

endroits ougrave la deacuteformation est maximale londe peacutenegravetre dans le milieu particulaire et communique par frottement sa vitesse agrave la poudre Le signe neacutegatif observeacute dans leacutequation (III10) explique pourquoi lrsquoonde progressive se propage dans un sens et lrsquoobjet agrave transporter dans le sens opposeacute De la mecircme faccedilon on peut deacuteterminer la vitesse normale vN(xt) de lrsquoonde progressive dans la poutre en deacuterivant lrsquoexpression du deacuteplacement vertical w(xt) par rapport au temps

)vtx(ksinAt

)tx(w)tx(vN minussdotω=

partpart= III11


77

Le principe ideacutealiseacute de transport de poudre consiste donc agrave dire que la poutre communique sa vitesse agrave la poudre aux points ougrave lrsquoamplitude vibratoire dans lrsquoaxe w est maximale Cette hypothegravese simplifie agrave lrsquoextrecircme le meacutecanisme de transport puisqursquoil considegravere de maniegravere implicite la poudre comme un solide sur lequel srsquoappliquent des conditions de roulement sans glissement Mais il srsquoagit ici de trouver une approche globale au principe un peu agrave la maniegravere de ce qui a eacuteteacute proposeacute dans le cadre des moteurs pieacutezoeacutelectriques rotatifs agrave onde progressive [Giraud 2002] En notant que agrave chaque instant t lrsquoabscisse correspondant agrave lrsquoamplitude maximale de lrsquoonde (III1) noteacutee xM est donneacutee par

kt

xMω= III12

Et en introduisant (III12) dans (III10) et (III11) on obtient les vitesses tangentielle et normale du point de contact

0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13

Ainsi lrsquoeacutequation (III13) explicite les principaux facteurs qui influencent la vitesse de transport de poudre par une onde progressive on pourra augmenter lrsquoamplitude vibratoire A mais eacutegalement la freacutequence drsquoexcitation ω Plus la freacutequence sera eacuteleveacutee plus la longueur drsquoonde λ diminuera Dun point de vue geacuteomeacutetrique on choisira dopeacuterer avec des poutres drsquoeacutepaisseur h non neacutegligeable Prenons un exemple numeacuterique Une poutre avec une eacutepaisseur h=4mm exciteacutee agrave la freacutequence f=19700Hz pour laquelle on obtient une longueur drsquoonde λ=45mm et agrave une amplitude A=1microm nous obtenons une vitesse tangentielle vT=35mms et une vitesse normale vN=124mms Ces deux valeurs sont des vitesses maximales theacuteoriques Maintenant prenons le cas du moteur Shinsei dont le stator propage une onde progressive agrave 40kHz entraicircnant le rotor Du fait de la geacuteomeacutetrie du stator pour la mecircme amplitude vibratoire A=1microm on obtient en ce cas vNasympvT = 300mms valeur nettement supeacuterieure agrave celle obtenue pour la poutre

III24 Notion de reacuteflexion et drsquoonde reacutefleacutechie

Si lon considegravere lexpression (III6) deacutecrivant une onde stationnaire on constate qursquoelle peut se mettre sous la forme de la somme de deux ondes progressives de mecircme amplitude mais de vitesse opposeacutee En effet

)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A

)kxcos()tcos(A minus++=ω III14

Ainsi lorsquune onde progressive se propage et rencontre un obstacle elle se reacutefleacutechit et produit en retour une onde progressive qui se dirige en direction opposeacutee [de Nanteuil 2008] La combinaison de ces deux ondes progressives qui sajoutent donne naissance agrave


78

une onde stationnaire deacuteteacuteriorant la qualiteacute de londe progressive incidente et deacutegradant le TOS Ceci se produit pour des poutres de longueur finie les conditions aux limites produisent cet obstacle Nous verrons dans la suite de ce chapitre que cest justement la maicirctrise de ces conditions aux limites ou bien encore la compensation de londe reacutefleacutechie qui permet dobtenir une onde progressive de qualiteacute ou dit autrement on peut obtenir soit une onde progressive soit une onde stationnaire en changeant uniquement les conditions aux extreacutemiteacutes de la barre [Graff 1991]

III3 Propagation drsquoune onde progressive dans un milieu de dimension finie

III31 Probleacutematique

Comme nous venons de le voir il est plus difficile dobtenir une onde progressive dans un milieu fini que dans un milieu infini car la reacuteflexion de lrsquoonde produit une nouvelle onde se deacuteplaccedilant en sens inverse qui se combine avec londe incidente pour produire une onde stationnaire Il existe toutefois plusieurs meacutethodes pour creacuteer une onde progressive dans un milieu de longueur finie dans la suite nous nous focalisons sur la geacuteneacuteration drsquoune onde progressive dans un barreau de section cylindrique (tube) ou rectangulaire (poutre)

La premiegravere meacutethode consiste agrave utiliser deux actionneurs pieacutezo-eacutelectriques qui induisent chacun dans le milieu une onde stationnaire La superposition de ces deux ondes corroboreacutee avec de bonnes conditions aux limites produiront alors lrsquoonde progressive rechercheacutee Les paramegravetres de lrsquoexcitation comme la freacutequence et la position des actionneurs seront deacutetermineacutes dans les paragraphes suivants Mais pour comprendre ce principe les notions de mode de reacutesonance drsquoune poutre se doivent drsquoecirctre abordeacutees ce qui sera fait dans la partie suivante Dans la deuxiegraveme meacutethode on chercher agrave eacuteliminer lrsquoonde reacutefleacutechie pour eacuteviter la constitution de lrsquoonde stationnaire Pour ce faire un des actionneurs fonctionne en geacuteneacuterateur et impose lrsquoonde progressive incidente tandis que le second actionneur a pour rocircle drsquoabsorber et de dissiper leacutenergie de londe reacutefleacutechie dans une reacutesistance

III32 Analyse modale - types de modes drsquoexcitation selon la structure exploiteacutee

III321 Notion de mode de deacuteformation

Soit un actionneur pieacutezo-eacutelectrique qui excite dans une structure de longueur finie une onde de vibration Cette onde produit dans le barreau une deacuteformation qui deacutepend des conditions limites imposeacutees agrave ses extreacutemiteacutes et des conditions dexcitation (freacutequence et amplitude)


79

La theacuteorie de vibration montre que cette vibration peut seacutecrire comme une somme infinie de deacuteformations appeleacutees modes propres ou modes normaux de deacuteformation A ces modes propres correspondent des freacutequences de reacutesonance pour lesquelles le mode associeacute est preacutepondeacuterant Dans le cadre de nos travaux deux types de structures ont eacuteteacute exploiteacutes

Structure poutre Structure tubulaire

Le chapitre suivant deacutecrit les modes propres rencontreacutes dans ces structures

III322 Modes propres de deacuteformation des structures poutre et tubulaire

Chaque structure a ses modes propres speacutecifiques de deacuteformation Prenons lrsquoexemple de la poutre on a les modes de flexions les modes de torsions et les modes de dilatation-compression [Devalan 2012] (Figure III6)

Figure III6 ndash Modes de deacuteformation drsquoune poutre

Pour les tubes on a les modes de flexions les modes de dilatation-compression (appeleacutes aussi modes longitudinaux) les modes radiaux (Figure III7) et les modes circonfeacuterentiels (voir le paragraphe III5 laquo Modegravele analytique de lrsquoonde progressive en longitudinal pour un tube raquo pour plus de deacutetails) [Amabili 2008]


80

Tube initial Tube initial

Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial

Tube initial Tube initial Tube initial

Mode flexion

Figure III7 ndash Les modes du tube les modes de dilatation-compression les modes radiaux

et les modes de flexions

Pour les deux structures (poutre ou tube) ces modes de deacuteformation peuvent ecirctre obtenus en excitant la structure uniquement dans une seule direction (Figure III8)

Soit dans une direction transversale pour obtenir preacutefeacuterentiellement des modes de flexion pour la poutre ou le tube

Soit dans une direction longitudinale en privileacutegiant ainsi la dilatation-compression

Structure

Excitation transversale

Excitation longitudinale

Structure

Structure



Structure

Figure III8 ndash Excitation transversale et longitudinale

Pour une poutre la deacuteformation la plus facile agrave obtenir est la flexion par contre sur

une structure tubulaire on peut obtenir assez facilement la flexion et la dilatation axiale (mode longitudinal) Ces trois types drsquoexcitation vont ecirctre preacutesenteacutes dans les paragraphes suivants


81

Lrsquoeacutetat de lrsquoart scientifique fait apparaicirctre un certain nombre de travaux deacutemontrant la possibiliteacute drsquoobtenir une onde progressive soit en excitant les modes de flexion drsquoune poutre [Hashimoto et al 1998] [Loh and Ro 2000] [Minikes et al 2005] [Vloebergh 2010] soit en excitant les modes longitudinaux drsquoun tube [Sun et al 2010] [Dongming Sun et al 2009]

III33 Geacuteneacuteration de lrsquoonde progressive par approche modale

Pour faciliter le deacuteveloppement des eacutequations on a choisi la structure la plus simple qui est la poutre pour laquelle on consideacuterera uniquement les modes de flexion Soit une poutre drsquoEuler-Bernoulli (pour laquelle les pheacutenomegravenes de cisaillement sont neacutegligeacutes) que lrsquoon excite dans la direction transversale par deux actionneurs situeacutes agrave une distance l des extreacutemiteacutes de la poutre (Figure III9) Les deux forces F1 et F2 ont une freacutequence ω une amplitude F0 et on note φ le deacutephasage entre F2 et F1

Barre

)tsin(FF 01 ωsdot= )tsin(FF 02 ϕω +sdot=

l lBarre


l l

Figure III9 ndash Excitation drsquoune poutre par deux geacuteneacuterateurs de force deacutephaseacutes

Cette meacutethode drsquoobtention de lrsquoonde progressive a eacuteteacute suggeacutereacutee par Loh [Loh and Ro 2000] et ensuite reprise et deacuteveloppeacutee par [Minikes et al 2005] et [Vloebergh 2010] On considegravere ici que la vibration forceacutee drsquoune poutre en flexion peut ecirctre exprimeacutee en utilisant la deacutecomposition modale cest-agrave-dire par la superposition drsquoun nombre infini de modes de deacuteformation La contribution de chaque mode agrave la deacuteformeacutee globale agrave une freacutequence donneacutee est deacutetermineacutee par un facteur participatif noteacutee an [Vloebergh 2010]

)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15

ougrave L est la longueur de la poutre E et I repreacutesentent le module drsquoeacutelasticiteacute respectivement le moment inertiel Le facteur βn donne le mode de deacuteformation et il sera calculeacute dans le paragraphe suivant Le terme β est deacutecrit par lrsquoeacutequation suivante

S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16

Dans ce cas la superposition des modes de deacuteformation produite par un seul actionneur srsquoeacutecrit


82

suminfin

=

=1n

nn )tsin()xsin(a)tx(w ωβ III17

Pour un deuxiegraveme actionneur placeacute de maniegravere symeacutetrique par rapport au milieu de la poutre consideacutereacutee les facteurs participatifs pour chaque mode an se trouvent ainsi

eacutegaux pour les n pairs opposeacutes pour les n impairs

Ainsi la vibration totale parcourant le barreau pour deux actionneurs produisant une excitation deacutephaseacutee de 2π=ϕ peut srsquoeacutecrire comme la somme des contributions associeacutees

agrave chaque actionneur par

sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n

1nnn )tcos()xsin(a)1()tsin()xsin(a)tx(w III18

La figure suivante illustre la participation de chaque mode de deacuteformation agrave la creacuteation de lrsquoonde progressive On observe que plus on se rapproche de la freacutequence ωn correspondante agrave un mode propre plus sa contribution agrave lrsquoamplitude de vibration est preacutedominante Inversement si la freacutequence drsquoexcitation se trouve entre deux modes propres successifs la vibration sera influenceacutee en partie par chaque mode mecircme si aucun ne preacutedomine dans la deacuteformation

Figure III10 ndash Evolution de la participation de chaque mode propre en fonction de la

freacutequence drsquoexcitation [Vloebergh 2010]

En partant de cette observation et du fait qursquoune onde progressive peut se deacutecomposeacuter en la somme de deux ondes stationnaires drsquoapregraves lrsquoeacutequation (III5) [Minikes et al 2005] et [Vloebergh 2010] ont montreacute que si chaque mode se trouve exciteacute de faccedilon similaire (freacutequence drsquoexcitation eacutegale agrave la freacutequence moyenne de deux modes conseacutecutifs) alors on peut creacuteer une onde progressive dans la barre

Mais comme le montre Vloebergh dans sa thegravese [Vloebergh 2010] par la recombinaison de deux modes propres on ne creacutee pas une onde progressive parfaite qui serait caracteacuteriseacutee par un TOS=1 Cependant il est possible drsquooptimiser la position


83

drsquoexcitation l et la freacutequence ω afin de diminuer la part drsquoonde stationnaire dans lrsquoonde progressive Une des conditions pour obtenir une participation eacutegale des deux modes conseacutecutifs est drsquoexciter le systegraveme excitateur-poutre-excitateur agrave une freacutequence qui se trouve au milieu de lrsquointervalle entre deux modes propres

III34 Preacuteservation de lrsquoonde progressive par lrsquoabsorption de lrsquoonde incidente

Soit un actionneur pieacutezo-eacutelectrique qui excite dans une poutre de longueur finie une onde de vibration Cette onde se propage dans la poutre jusqursquoagrave ce qursquoelle arrive agrave lrsquoextreacutemiteacute de cette derniegravere Pour eacuteviter la formation drsquoune onde reacutefleacutechie dans la poutre on peut ajouter un deuxiegraveme transducteur pieacutezo-eacutelectrique agrave son extreacutemiteacute pour absorber la vibration produite par le premier actionneur Lrsquoeacutenergie de vibration sera ainsi absorbeacutee et dissipeacutee sous forme de chaleur sur un circuit eacutelectrique simple reacutealiseacute avec une inductance et une reacutesistance en parallegravele (Figure III11) [Hashimoto et al 1998] et [Kuribayashi et al 1985]

A sin( t) ZωA sin( t) Zω

Figure III11 ndash Adaptation de lrsquoimpeacutedance

Ce systegraveme est alimenteacute avec une tension sinusoiumldale agrave la freacutequence de reacutesonance du systegraveme actionneurs pieacutezo-eacutelectriquesbarreau Ce montage permet le changement de la direction de transport en inversant le rocircle des deux moteurs Le deacutesavantage de ce type drsquoinstallation est qursquoil est neacutecessaire drsquoavoir une adaptation drsquoimpeacutedance meacutecanique entre la poutre et le transducteur reacutecepteur Pour cela on doit calculer lrsquoimpeacutedance de la poutre qui est donneacutee par la formule

f24kEdh

Z33

0 π= III19

Ougrave E ndash le module de Young (Nm2) d et h ndash la largeur et la hauteur de la section transversale de la poutre (m) k ndash le nombre drsquoonde (1m) f ndash la freacutequence de vibration (Hz)


84

Connaissant lrsquoimpeacutedance de la poutre et les paramegravetres internes du transducteur on peut deacuteterminer lrsquoimpeacutedance Z que lrsquoon doit connecter aux bornes de lrsquoactionneur pour qursquoil soit adapteacute par rapport agrave la poutre Lrsquoimpeacutedance est donneacutee par lrsquoeacutequation suivante

Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20

Ougrave A ndash le facteur de force n ndash le facteur drsquoamplification de vibration du pavillon du transducteur Yd ndash lrsquoadmittance bloqueacutee du transducteur - Yd = jωCd ou Cd est la capaciteacute du transducteur YL ndash lrsquoadmittance de la charge qui est composeacutee drsquoune reacutesistance et une inductance monteacutees en parallegravele Pour que lrsquoonde reacutefleacutechie soit complegravetement eacutelimineacutee lrsquoimpeacutedance Z du couple transducteur-charge doit ecirctre eacutegale agrave lrsquoimpeacutedance Z0 de la poutre Cela se fait en deux temps dabord en adaptant linductance connecteacutee en parallegravele du transducteur pour quelle compense la capaciteacute bloqueacutee du transducteur Puis en rajoutant en parallegravele une reacutesistance de valeur Z0 qui absorbera londe [Sashida and Kenjo 1993] En regardant lrsquoeacutequation (III19) on observe que lrsquoimpeacutedance Z0 de la poutre deacutepend de la freacutequence drsquoexcitation du moteur et des paramegravetres structurels de la poutre Par ailleurs limpeacutedance Z agrave rajouter deacutepend quant agrave elle de la capaciteacute bloqueacutee du transducteur Or ces valeurs peuvent varier sous leffet des conditions expeacuterimentales et principalement de la tempeacuterature ambiante ou des conditions drsquoessai La valeur dimpeacutedance doit donc sadapter agrave ces conditions ce qui nest pas tregraves pratique ainsi le systegraveme nrsquoest donc pas tregraves robuste car le circuit eacutelectrique doit ecirctre reacuteadapteacute en cours de fonctionnement Par ailleurs ce systegraveme souffre dun rendement faible puisque une grande partie de leacutenergie injecteacutee est dissipeacutee sous forme de chaleur

Dans ce qui suit nous deacuteveloppons les modegraveles analytiques associeacutees agrave lrsquoeacutetablissement drsquoune onde progressive dans une poutre et dans un tube Ces deux modegraveles analytiques reposent sur la reacutesolution de lrsquoeacutequation geacuteneacuterale de propagation drsquoune onde acoustique en utilisant les fonctions de Green

III4 Modegravele analytique de lrsquoonde progressive dans une poutre exciteacutee en flexion

Comme on lrsquoa vu dans le chapitre introductif la majoriteacute des reacutefeacuterences bibliographiques traitent de la creacuteation drsquoune onde progressive dans une structure de type poutre de longueur finie et non tube du fait de la faciliteacute drsquoexciter des ondes de flexion dans une telle structure Crsquoest pour cela que le premier modegravele analytique qui deacutecrit la creacuteation de lrsquoonde progressive sera deacuteveloppeacute pour une poutre Il srsquoagit lagrave drsquoune eacutetape intermeacutediaire dans le cadre du projet de transport de poudre par vibrations ultrasonores pour lequel lrsquoutilisation drsquoune structure tubulaire sera plus adapteacutee mais dans le mecircme


85

temps plus complexe agrave cause de la multitude de modes de deacuteformation preacutesents dans un tube

III41 Calcul analytique des freacutequences de reacutesonance en flexion

On considegravere une poutre de section rectangulaire dont lrsquoaire est noteacutee S et de longueur L La poutre a une masse volumique ρ un module eacutelastique E et un moment drsquoinertie I Tout drsquoabord on va deacuteterminer les modes propres de deacuteformation drsquoune poutre de longueur finie Pour cela nous partons de lrsquoeacutequation geacuteneacuterale de propagation drsquoune onde acoustique sur une direction transversale dans une poutre [Graff 1991]

0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22

et w repreacutesente le deacuteplacement transversal de la poutre Pour pouvoir deacuteterminer les modes propres le principe de seacuteparation des variables est utiliseacute en posant

)t(T)x(Y)tx(w = III23 La substitution de lrsquoeacutequation (III23) dans lrsquoeacutequation (III21) donne la solution suivante

)tsin(B)tcos(A)t(T ω+ω= III24

( ) ( )

( ) ( ))xsinh()xsin(D)xsinh()xsin(D

)xcosh()xcos(D)xcosh()xcos(D)x(Y

43

21

βminusβ+β+β++βminusβ+β+β=

III25

avec

2

24

g

ω=β III26

Dans notre cas la poutre est libre aux deux extreacutemiteacutes les conditions aux limites (en x=0 et en x=L) eacutetant deacutecrites par les eacutequations suivantes


86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27

Appliqueacutees agrave lrsquoeacutequation (III25) les conditions agrave x=0 imposent que D2=D4=0 et les conditions agrave x=L donnent lrsquoeacutequation transcendante

1)Lcosh()Lcos( =ββ III28 Qui se reacutesout uniquement de faccedilon numeacuterique Les premiegraveres racines de lrsquoeacutequation (III28) sont

2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29

En utilisant ces valeurs on peut deacuteterminer les freacutequences propres drsquoune poutre libre-libre avec la formule suivante

S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30

Figure III12 ndash Les premiers modes de deacuteformation de la poutre

La Figure III12 montre les premiegraveres deacuteformations modales de la poutre correspondantes agrave lrsquoeacutequation (III29) Ce calcul montre que la solution de propagation dune onde dans un milieu fini possegravede des solutions pour des valeurs particuliegraveres de freacutequence Ces freacutequences sont appeleacutees freacutequences de reacutesonance et des allures particuliegraveres de deacuteformation qui apparaissent pour ces freacutequences sont appeleacutees laquo modes propres raquo de la poutre Ce calcul est important


87

puisque nous avons vu que la freacutequence de travail pour une onde progressive doit se situer au milieu de deux modes Dans ce chapitre nous ne donnons pas les eacutequations de deacuteformation de ces modes propres Nous nous inteacuteressons en effet agrave lallure de la deacuteformeacutee obtenue pour cette condition de freacutequence ce qui implique la propagation de plusieurs modes propres simultaneacutement

III42 Modegravele analytique de la deacuteformeacutee dans le cas dune onde progressive

Dans ce chapitre nous reprenons leacutequation (III21) pour laquelle nous introduisons les coefficients damortissement ainsi que le chargement meacutecanique produit par les excitateurs [Abu-Hilal 2003]

)tx(pwrwrwwIE ia =primeprimeprimeprimesdot+sdot+sdotmicro+primeprimeprimeprimesdotsdot ampampampamp III31 Ougrave micro ndash la masse lineacuteique de la poutre ra ndash e coefficient drsquoamortissement externe ri ndash le coefficient drsquoamortissement interne p(xt) ndash la charge lineacuteique de la poutre dans le point x et le moment t ougrave wprime repreacutesente la diffeacuterentielle de w en fonction de la position x et wamp la diffeacuterentielle en fonction du temps t

On suppose une force ponctuelle positionneacutee agrave labscisse ξ cest-agrave-dire que lon note )(F)tx(p 0 ξδ= ougrave )(ξδ repreacutesente limpulsion de Dirac

Dans ces conditions la reacutesolution de (330) est donneacutee par [Abu-Hilal 2003]

[ ] ti1242230 e)x()(g)x()(gCF)tx(w ωsdotΦsdotξ+Φsdotξsdotsdot= III32

Ici nous utilisons la notation complexe mais notons

que les grandeurs mesurables sont les valeurs reacuteelles des nombres complexes

que g et Φ sont des fonctions de real vers real Comme preacuteceacutedemment deacutetailleacute dans le paragraphe III33 laquo Geacuteneacuteration de lrsquoonde progressive par approche modale raquo pour creacuteer une onde progressive dans une poutre deux actionneurs pieacutezo-eacutelectriques sont placeacutes agrave une certaine distance par rapport aux extreacutemiteacutes de la poutre qui seront alimenteacutes avec la mecircme tension mais avec un deacutephasage temporel de 90deg Lrsquoeacutequation (III32) donne alors la deacuteformation totale de la poutre creacuteeacutee par les deux forces

π+ωω sdotsdot+sdotsdot=+= 2

ti

20ti

1021t eCFeCF)tx(w)tx(w)tx(w III33

avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231

Φsdotξminus+Φsdotξminussdot=

Φsdotξ+Φsdotξsdot= III34

Le deacuteveloppement complet du modegravele est preacutesenteacute dans lrsquoannexe Annexe C laquo Modegravele matheacutematique de lrsquoonde progressive en flexion raquo

Comme on peut observer dans lrsquoeacutequation (III34) pour pouvoir calculer la deacuteformation de la poutre produite par les deux moteurs on doit imposer la distance ξ et la pulsation ω Afin de creacuteer une onde progressive homogegravene et uniforme sur toute la longueur de la poutre la position et la freacutequence drsquoexcitation des transducteurs doivent avoir des valeurs tregraves preacutecises Concernant le choix de la freacutequence drsquoexcitation comme preacuteciseacute dans la partie introductive elle doit se trouver entre deux freacutequences de reacutesonance de la poutre afin de creacuteer une onde progressive par la combinaison de leur mode propre cette freacutequence est calculable gracircce agrave (III30) En ce qui concerne la position des transducteurs elle a eacuteteacute deacutetermineacutee en utilisant une formule de calcul proposeacutee par Kuribayashi [Kuribayashi et al 1985]

λsdot+λsdot=87

2nl III35

Ougrave l ndash la position du transducteur λ ndash la longueur drsquoonde correspondante agrave la freacutequence drsquoalimentation n ndash nombre entier Il sagit de positionner les transducteur agrave environ frac34 de longueur donde du bord de la poutre Cependant [Minikes et al 2005] montre que dautres positions sont possibles agrave condition dadapter les conditions dexcitation des transducteurs

III43 Applications du modegravele analytique

Le modegravele analytique ainsi deacuteveloppeacute a eacuteteacute impleacutementeacute sous Matlab et a pu ecirctre simuleacute Cette modeacutelisation nous a permis de veacuterifier lrsquoobtention drsquoune onde progressive dans une poutre et de lrsquooptimiser Pour cela nous avons reacutealiseacute plusieurs calculs

Calcul du spectre freacutequentiel de la poutre et comparaison avec les modes propres de la poutre preacutedeacutetermineacutes par lrsquoeacutequation (III30)

Calcul de la deacuteformeacutee de la poutre obtenue par lrsquoaddition des deux deacuteformations produites par les deux transducteurs

Optimisation de lrsquoonde progressive en fonction du taux drsquoonde stationnaire TOS

III431 Analyse des reacutesultats du modegravele

Le premier calcul a eacuteteacute fait pour deacuteterminer les modes propres de deacuteformation drsquoune poutre les reacutesultats obtenus eacutetant ensuite compareacutes avec les modes propres de la poutre calculeacutes avec la formule (III30) Cette comparaison a eacuteteacute reacutealiseacutee pour veacuterifier que le modegravele analytique donne de bons reacutesultats La poutre utiliseacutee pour ce calcul est une poutre


89

en acier de section 12times4mm et de longueur 485mm La comparaison est preacutesenteacutee dans la Figure III13 Cette figure montre bien un comportement reacutesonant car lamplitude vibratoire atteint des valeurs bien plus grandes agrave des freacutequences particuliegraveres quautour de ces freacutequences Par ailleurs en notant sur ce graphique et par des traits verticaux les valeurs calculeacutees par (III30) nous constatons une bonne correspondance du modegravele analytique de [Abu-Hilal 2003] que nous avons implanteacute avec les valeurs analytiques de [Graff 1991]

Le spectre est calculeacute pour amortissement nul agrave un point de mesure qui se trouve au centre de la poutre

Ce modegravele a eacutegalement eacuteteacute utiliseacute pour analyser lrsquoinfluence de certains paramegravetres comme

La freacutequence drsquoexcitation du systegraveme transducteurs ndash poutre Le deacutephasage entre les deux tensions drsquoalimentation des transducteurs La position des transducteurs La longueur totale de la poutre Lrsquoamortissement du mateacuteriau


90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)

Barre 12x4mm L=0485m

spectre freacutequentielmodes propres analytiques

Figure III13 ndash Spectre freacutequentiel de la poutre en acier 12times4times485mm en bleu reacutesultats du modegravele analytique en rouge

freacutequences de reacutesonance obtenues par analyse modale


91

Pour la Figure III14 les conditions supposeacutees optimales sont imposeacutees avec un amortissement nul et nous traccedilons la deacuteformeacutee de la poutre en fonction de x sur la partie centrale de celle-ci agrave diffeacuterents instants On observe qursquoentre chaque instant la deacuteformeacutee est deacutecaleacutee en position ce qui deacutemontre la preacutesence drsquoune onde progressive dans la poutre

02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re

Barre 12x4mm L=0485m f=20573Hz pos TR =[00377 0447]m ζ=0000

t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6

Figure III14 ndash Deacuteformeacutee de la poutre sur la partie centrale pour deux forces deacutephaseacutees de

90deg et pour la freacutequence meacutediane entre deux modes

Dautres tests viennent eacuteprouver la validiteacute du modegravele Par exemple en mettant le deacutephasage nul entre les deux forces F1 et F2 on va obtenir une succession de deacuteformeacutees qui gardent la mecircme position mais qui changent drsquoamplitude autrement dit une onde stationnaire (figure non reporteacutee) La Figure III15 preacutesente la deacuteformeacutee de la poutre en fonction du temps t et de la position x Comme on peut lrsquoobserver dans la partie centrale de la poutre on a une succession uniforme de bandeaux inclineacutes bleu vert et rouge Lrsquoinclinaison de ces bandeaux est garant de lrsquoexistence drsquoune onde progressive et leur uniformiteacute donne un aperccedilu de la qualiteacute de cette onde Les couleurs rouge et bleu repreacutesentent les ventres positifs et neacutegatifs de la deacuteformation par rapport agrave la fibre neutre de la poutre On peut observer qursquoaux extreacutemiteacutes de la poutre les conditions aux limites preacutesenteacutees dans lrsquoeacutequation (III27) sont respecteacutees On observe aussi toujours aux extreacutemiteacutes que la deacuteformeacutee w subit une onde stationnaire parce que la deacuteformation de la poutre est repreacutesenteacutee par une succession de zones bleues vertes et rouges qui sont en fait les nœuds et les ventres drsquoune onde stationnaire Par contre entre les deux transducteurs on obtient une onde progressive qui a lrsquoamplitude vibratoire constante Les deux traits verticaux noir repreacutesentent les positions des transducteurs Ces calculs ont eacuteteacute faits en consideacuterant une poutre ideacuteale qui nrsquoamortit pas la vibration En reacutealiteacute les mateacuteriaux parfaits nrsquoexistent pas et les figures suivantes introduisent une valeur plus importante de lamortissement


92

Figure III15 ndash Deacuteformeacutee de la poutre en fonction du temps t et de la position x pour un amortissement nul


93

Dans la suite nous introduisons donc un facteur damortissement [Abu-Hilal 2003] calculeacute par la formule suivante

ωmicroζ= 2ra III36 Ougrave ra ndash coefficient drsquoamortissement externe

ζ ndash le taux drsquoamortissement micro ndash la masse lineacuteique de la poutre ω ndash la pulsation correspondante agrave la freacutequence drsquoexcitation Enfin nous nenvisageons ici que des amortissements externes et lrsquoamortissement interne ri sera poseacute agrave 0 (voir III31) La Figure III16 reprend les conditions de la Figure III14 mais en rajoutant cet amortissement ζ=0003 Dans la Figure III17 on preacutesente la mecircme deacuteformeacutee mais cette fois sur toute la longueur de la poutre

02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]

Deformation de la barre en fonction de la position fOP

=20573Hz ζ=0003

Figure III16 ndash Deacuteformeacutee de la poutre dans sa partie centrale en utilisant un taux

drsquoamortissement ζ=0003

Ainsi bien que nous imposions les conditions dexcitations optimales au sens des relations (III30) et (III35) londe progressive obtenue montre un TOS non eacutegal agrave 1 lorsque lamortissement de la poutre nest pas nul Cest pourquoi dans la suite de cette partie nous tentons de trouver la nouvelle condition doptimaliteacute dans le cas ougrave ζ=0003


94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003

Figure III17 ndash Deacuteformeacutee de la poutre sur toute la longueur de la barre avec un taux drsquoamortissement de 0003


95

III432 Optimisation du TOS

Nous nous inteacuteressons maintenant agrave loptimisation de cette onde progressive cest agrave dire agrave la recherche des valeurs de lexcitation (freacutequence amplitude et phase des forces produites par les excitateurs) qui donne une onde progressive la meilleure possible drsquoun point vue du maintien de lrsquoamplitude constante sur toute la longueur de la poutre Pour cela on a reacutealiseacute une optimisation de lrsquoonde progressive en fonction du taux drsquoonde stationnaire (TOS)

Le TOS a eacuteteacute calculeacute agrave partir de lrsquoamplitude vibratoire de la poutre deacutetermineacutee avec lrsquoeacutequation (III32) qui a eacuteteacute reacuteeacutecrite pour seacuteparer la partie reacuteelle et la partie imaginaire En traccedilant la courbe )W((f)W( tt real=image on obtient une ellipse [Bucher 2004] Lrsquoexcentriciteacute de

lrsquoellipse repreacutesente le TOS Plus la courbe devient un cercle plus le TOS tend vers 1 et plus lrsquoonde progressive est meilleure Pour deacuteterminer lrsquoexcentriciteacute de lrsquoellipse nous avons utiliseacute la fonction Matlab nommeacutee laquo fitellipse raquo [Brown 2007] Cette fonction donne les paramegravetres de lrsquoellipse qui sont les coordonneacutees du centre et les semi-axes x et y Pour trouver les paramegravetres de lrsquoellipse la fonction laquo fitellipse raquo a besoin drsquoau moins six points de mesure de lrsquoamplitude vibratoire (les six petits cercles bleus de la Figure III18)

La Figure III18 preacutesente )W((f)W( tt real=image (en vert) et le reacutesultat obtenu de lrsquoellipse

passant au mieux des points (en rouge) pour les conditions suivantes dexcitation un deacutephasage de 2π=ϕ entre les deux forces une freacutequence f drsquoexcitation eacuteloigneacutee de la

freacutequence meacutediane et sans introduire drsquoamortissement Dans ce cas le TOS a la valeur de 18718

En Figure III19 on montre la mecircme courbe preacutesenteacutee dans la Figure III18 mais cette fois en introduisant un amortissement On observe une fluctuation de lrsquoamplitude de deacuteformation donneacutee par lrsquoeacutepaississement de la courbe verte Cette mecircme fluctuation drsquoamplitude est observeacutee aussi dans la Figure III17 Dans ce cas le TOS agrave une valeur de 18727 qui est un petit peu plus grande que dans le cas sans amortissement Concernant les figures Figure III18 et Figure III19 une remarque importante doit ecirctre faite pour illustrer la forme ellipsoiumldale de la courbe )W((f)W( tt real=image nous avons

reacutealiseacute les calculs agrave une freacutequence eacuteloigneacutee de la freacutequence meacutediane entre les deux modes de reacutesonance successifs


96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt

Data pointsEllipseLinear Bookstein fit

Figure III18 ndash Deacutetermination du TOS sans amortissement pour f=20900Hz

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt


Figure III19 ndash Deacutetermination du TOS avec amortissement pour f=20900Hz


97

Nous traccedilons maintenant en Figure III20 le TOS agrave diffeacuterentes valeurs de freacutequence en preacutesence drsquoamortissement Nous constatons la preacutesence dun minimum ce qui correspond agrave la valeur de la freacutequence optimale On observe que la freacutequence optimiseacutee agrave la valeur de 20563Hz par rapport agrave la freacutequence meacutediane qui est de 20573Hz et pour laquelle le TOS a la valeur de 1056

204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13

20563Hz rarr larr20573Hz

Freacutequence (Hz)

TO

S

Poutre acier 12x4mm L=0485m position transducteurs=[0038 0447]m ζ=0003

TOSfreacutequence OP theacuteorique

Figure III20 ndash Freacutequence optimiseacutee avec amortissement ζ=0003

En mettant cette nouvelle freacutequence optimiseacutee dans le modegravele on obtient une nouvelle courbe )W((f)W( tt real=image qui est preacutesenteacutee agrave la figure suivante et qui est cette fois tregraves

proche drsquoun cercle ayant un TOS de 1053 On peut noter aussi que dans le cas drsquoun amortissement nul la freacutequence optimiseacutee reste inchangeacutee le seul paramegravetre qui change eacutetant le TOS qui devient dans ce cas 10002


98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt


Figure III21 ndash Veacuterification de freacutequence optimiseacutee avec amortissement

III44 Conclusions

Dans ce chapitre nous avons eacutetabli les conditions theacuteoriques de lobtention dune onde progressive de flexion dans une poutre Nous avons montreacute linfluence de lamortissement de cette poutre qui deacuteteacuteriore la qualiteacute de londe progressive pour un reacuteglage des excitateurs preacute-calculeacute

Nous avons alors mis en place toujours par simulation une optimisation de la condition dalimentation en freacutequence Cela nous a permis de reacuteduire le TOS de 187 agrave 1053 Si leacutetude de londe progressive agrave partir des modes de flexion est faciliteacutee par la bonne description de ces modes elle a permis de deacuteterminer simplement les conditions dalimentation Cependant nous devons aller plus loin dans notre eacutetude puisque la poutre ne constitue pas un guide de poudre fermeacutee Cest pourquoi la suite de ce chapitre traite du cas des tubes


99

III5 Modegravele analytique de lrsquoonde progressive en longitudinal pour un tube

Mis appart les modes de flexion qui ont eacuteteacute eacutetudieacutes dans les paragraphes preacuteceacutedents lrsquoautre grande famille de formes drsquoonde obtenues dans une structure de dimensions finies sont les modes de dilatation-compression appeleacutes aussi modes longitudinaux Comme nous avons besoin drsquoun guide de poudre fermeacute la solution est drsquoutiliser des structures de forme tubulaire Crsquoest pour cela que ce paragraphe cherche agrave montrer la possibiliteacute drsquoexciter une onde progressive en utilisant des modes longitudinaux qui sont facilement excitable sur une structure de type tube (voir paragraphe III32)

III51 Calcul analytique des modes propres de deacuteformation

On considegravere un tube avec un rayon moyen R et une longueur L Le mateacuteriau qui

constitue le tube a la masse volumique ρ le module eacutelastique E et le moment inertiel I Comme preacutesenteacute dans le paragraphe III322 laquo Modes propres de deacuteformation des structures poutre et tubulaire raquo une structure tubulaire a plusieurs types de modes propres de deacuteformation Pour deacuteterminer ces modes de reacutesonance on utilise une formule de calcul proposeacutee par [Amabili 2008] et [Arnold and Warburton 1949]

)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37

Ougrave f est la freacutequence et ν le coefficient de Poisson Ω est un paramegravetre qui sera deacutetermineacute ulteacuterieurement par la reacutesolution de lrsquoeacutequation (III37) [Arnold and Warburton 1949] consideacuterons pour linstant quil sagit dun reacuteel La reacutesolution de cette eacutequation produit trois racines qui correspondent chacune agrave un mode propre du tube ayant une deacuteformation preacutedominante radiale longitudinale ou circonfeacuterentielle [Amabili 2008]

0KKK 012

23 =minussdot+sdotminus ΩΩΩ III38

avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K

λ+sdotδ+λ+sdotνminus+=

λ+sdotδsdotνminusνminus+λ+++λsdotνsdot+sdotνminus=

λ+sdotδ+λsdotνminussdotνminus=

III39

et


100

L

Rm~ sdotπsdot=λ III40

2

2

R12

h

sdot=δ III41

Ougrave n - le nombre des modes circonfeacuterentiels (voir Figure III22) m - le nombre des demi-longueurs drsquoondes dans la direction axiale h ndash lrsquoeacutepaisseur du tube Les modes propres drsquoune structure tubulaire sont deacutetermineacutes par le couple de valeurs n et m Par exemple tous les modes propres deacutetermineacutes pour n=0 et toutes les valeurs de m sont des modes axisymeacutetriques ndash les modes longitudinaux et radiaux Par contre les modes deacutetermineacutes pour n=1 et tous les m sont des modes qui nrsquoont pas une symeacutetrie axiale lrsquoexemple le plus courant eacutetant les modes de flexion Pour nge2 on obtient des modes qui ont une deacuteformation circonfeacuterentielle plus complexe comme on peut voir dans les figures Figure III22 et Figure III23

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

Figure III22 ndash Repreacutesentations des deacuteformations circonfeacuterentielles drsquoun tube


101

Mode n=2 m=4

nœud du mode circonfeacuterentiel

nœud du mode longitudinal

Figure III23 ndash Exemple de la deacuteformation du mode n=2 et m=4

En reacutesolvant lrsquoeacutequation (III37) on obtient une infiniteacute de modes propres de la structure tubulaire deacutefinis par le couple n et m La figure suivante preacutesente les modes propres pour n compris entre 0 et 6 drsquoun tube en acier inoxydable de dimensions Φext=483mm Φint=443mm L=1000mm


102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

eModes de deformation en fonction de la freacutequence

n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6

Figure III24 ndash Les modes de deacuteformation n=(01hellip6) pour le tube en acier inoxydable

La Figure III24 nous montre les modes de deacuteformation n=(01hellip6) pour un tube en acier inoxydable qui sera utiliseacute dans le Chapitre IV Les modes de flexion sont repreacutesenteacutes en rouge sur la figure preacuteceacutedente tandis que les modes longitudinaux sont en bleu On observe que en plus des modes de flexion et des modes longitudinaux on a un grand nombre drsquoautres modes de deacuteformation preacutesents Tous ces modes qui srsquointercalent avec les modes que lrsquoon cherchera agrave exciter peuvent perturber les vibrations et ainsi nuire agrave lrsquoobtention drsquoune onde progressive Si on ne considegravere pour faciliter lrsquoexplication que les modes de flexions et les modes longitudinaux on observe que dans la zone comprise entre 1times104Hz et 25times104Hz les modes de flexions sont plus nombreux que ceux de dilatation ndash compression Donc pour pouvoir exciter une onde progressive en flexion on doit se trouver dans cette reacutegion freacutequentielle Par contre si on veut exciter les modes longitudinaux on doit choisir une zone ougrave la densiteacute des modes de dilatation-compression est plus grande Cette zone est comprise entre 3times104Hz et 35times104Hz Pour montrer la distribution des modes propres drsquoune structure tubulaire geacuteneacuterale on a parameacutetreacute les dimensions du tube Cette parameacutetrisation amegravene agrave une reacuteeacutecriture des coefficients introduits preacuteceacutedemment Ainsi nous posons

12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45

Pour avoir un parameacutetrage complet on doit reacuteeacutecrire lrsquoeacutequation (336) sous la forme suivante

)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46

Le calcul a eacuteteacute reacutealiseacute sous Matlab et les reacutesultats sont preacutesenteacutes dans la Figure

III25 Les courbes sont deacutetermineacutees en consideacuterant n=0 cest-agrave-dire donc uniquement les modes axisymeacutetriques qui sont les modes de dilatation-compression ceci pour plusieurs valeurs des paramegravetres α et β Pour ce calcul on a utiliseacute les paramegravetres drsquoun tube en acier inoxydable

Cette eacutetude nous permet de deacuteterminer les paramegravetres dimensionnant α et β qui donneront pour une plage de freacutequences la densiteacute de modes la plus importante et ce faisant favoriseront la propagation drsquoun mode voulu Afin drsquoillustrer le raisonnement prenons un exemple numeacuterique drsquoun tube de longueur L=1000mm et un rapport β=003 ce qui fait un rayon moyen de 30mm Le rapport α doit ecirctre choisi assez faible car plus le tube est eacutepais plus il sera difficile de lrsquoexciter pour des consideacuterations eacutenergeacutetiques On choisit alors la courbe correspondante agrave un facteur α=01 pour laquelle on obtient une eacutepaisseur du tube de 3mm Donc pour un tube de longueur L=1000mm rayon moyen 30mm et eacutepaisseur 3mm on doit exciter drsquoapregraves la Figure III25 la structure dans une reacutegion de forte densiteacute de ces modes cest-agrave-dire une zone ougrave fR est compris entre 810 et 900 cest-agrave-dire encore une reacutegion freacutequentielle comprise entre 27kHz et 30kHz Le calcul preacutesenteacute dans la figure suivante est purement theacuteorique surtout en ce qui concerne les valeurs obtenues pour le rapport α=0 qui nrsquoexiste pas drsquoun point vue physique (tube drsquoeacutepaisseur nulle)


104

Figure III25 ndash Distribution de modes propres de deacuteformation pour une structure tubulaire en acier inoxydable Repreacutesentation

des modes axisymeacutetriques uniquement (n=0) pour diffeacuterentes valeurs du ratio rayonlongueur et du ratio eacutepaisseurrayon


105

III52 Modegravele analytique

Lrsquoobjectif de ce modegravele est de montrer que par une eacutetude similaire agrave celle deacuteveloppeacutee pour la flexion en utilisant toujours une excitation freacutequentielle entre deux modes de reacutesonance conseacutecutifs avec un deacutephasage temporel de 2π=ϕ et avec les

excitateurs positionneacutes cette fois aux extreacutemiteacutes de la structure on peut obtenir une onde progressive Mecircme si le paragraphe preacuteceacutedent preacutesente les modes de deacuteformation longitudinaux sur une structure tubulaire le modegravele repris ici srsquoappuie sur une structure de type poutre ou barreau Pour une poutre exciteacutee dans la direction axiale lrsquoeacutequation geacuteneacuterale de propagation drsquoune onde acoustique est donneacutee par la formule [Graff 1991]

)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47

ougrave u est la deacuteformation longitudinale de la poutre c0 la vitesse de propagation de lrsquoonde acoustique On considegravere que p(xt) est une charge concentreacutee appliqueacutee sur la poutre agrave lrsquoinstant t et au point x qui est en fait lrsquoextreacutemiteacute de la barre et qui impose un mouvement harmonique de pulsation ω agrave la poutre Lrsquoexpression de p est donneacutee pour les deux extreacutemiteacutes de la poutre par

π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48

Ougrave F0 est lrsquoamplitude la force Consideacuterons que la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (III47) agrave la forme

tie)x(U)tx(u ω= III49

ougrave

xcosDxsinC)x(U β+β= III50 avec

ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106

Le barreau est consideacutereacute comme eacutetant libre-libre Comme pour obtenir une onde progressive on doit imposer une force agrave chaque extreacutemiteacute du barreau on doit avoir deux seacuteries de conditions limites

0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52

Ougrave A est la surface de la section droite du barreau En remplaccedilant lrsquoeacutequation (III52) dans lrsquoeacutequation (III50) on obtient

ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen

e)x(Ue)xcosLcotx(sinEAF

)tx(u0xen

III53

A partir de cette eacutequation on peut deacuteterminer la deacuteformation totale du barreau par lrsquoaddition des deux deacuteformations creacuteeacutees par les deux forces en sachant qursquoelles sont deacutephaseacutees de 2π=ϕ


ti

20ti

10L0T eCFeCF)tx(u)tx(u)tx(u III54

avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55

En ce qui concerne la freacutequence drsquoexcitation elle doit se trouver entre deux freacutequences de reacutesonance du barreau afin de creacuteer une onde progressive par la combinaison de ces deux modes propres successifs Pour cela on a donc calculeacute la freacutequence qui se trouve au milieu de lrsquointervalle entre les deux modes de reacutesonance successifs


Le modegravele analytique ainsi deacuteveloppeacute a eacuteteacute impleacutementeacute sous Matlab et a pu ecirctre simuleacute Cette modeacutelisation nous a permis de veacuterifier lrsquoobtention drsquoune onde progressive dans une poutre Pour cela nous avons reacutealiseacute plusieurs calculs


107

Calcul du spectre freacutequentiel de la poutre et comparaison avec les modes propres de la poutre sans amortissement


Le premier calcul a eacuteteacute fait pour deacuteterminer les modes propres de deacuteformation drsquoune poutre les reacutesultats obtenus eacutetant ensuite compareacutes avec les modes propres de la poutre calculeacutes avec la formule [Graff 1991]

)21n(L2

ncf 0n == III56

Qui repreacutesentent les freacutequences propres drsquoun barreau libre-libre Cette comparaison a eacuteteacute reacutealiseacutee pour veacuterifier que le modegravele matheacutematique donne de bons reacutesultats Le barreau utiliseacute pour ce calcul est une poutre en acier avec les dimensions 30times30mm et de longueur L=1000mm La comparaison est preacutesenteacutee dans la Figure III26


108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)

Spectre freacutequentiel


Figure III26 ndash Spectre freacutequentiel drsquoun barreau 30times30times1000mm


109

Figure III27 ndash Deacuteformeacutee de la poutre en fonction du temps t et de la position x


110

La Figure III27 nous montre la deacuteformeacutee du barreau en fonction du temps t et de la position x Comme pour lrsquoonde progressive en flexion on observe une succession uniforme de bandeaux inclineacutes bleu vert et rouge Lrsquouniformiteacute des bandeaux donne un aperccedilu de la qualiteacute de lrsquoonde progressive Les couleurs rouge et bleu repreacutesentent les ventres positifs et neacutegatifs de la deacuteformation par rapport agrave la fibre neutre de la poutre qui est montreacutee en vert

III54 Conclusion

Cette eacutetude complegravete lrsquoanalyse dans lrsquoobjectif drsquoobtenir une onde progressive dans un tube drsquoune part au paragraphe III51 lrsquoanalyse modale permet de deacuteterminer une zone freacutequentielle approprieacutee compte tenu drsquoune forte densiteacute de modes drsquoautre part le modegravele analytique montre que dans les conditions drsquoexcitation longitudinale se placer entre deux modes de reacutesonance permet drsquoobtenir une onde progressive

III6 Conclusions

Dans ce chapitre nous nous sommes inteacuteresseacutes aux conditions de propagation drsquoune onde progressive dans un milieu infini tout drsquoabord ce qui a permis de rappeler un certain nombre de deacutefinitions et drsquointroduire la vitesse de transport drsquoun objet entraicircneacute par les crecirctes de vibration Nous nous sommes ensuite inteacuteresseacutes au cas de la propagation drsquoonde dans un milieu fini avec la notion drsquoonde reacutefleacutechie cause de lrsquoapparition dans la structure drsquoune onde stationnaire peu propice au transport Deux approches ont alors eacuteteacute citeacutees pour pallier le problegraveme de stationnariteacute lrsquoune qui consiste agrave absorber lrsquoonde reacutefleacutechie lrsquoautre qui consiste agrave exciter la structure entre deux modes de reacutesonance conseacutecutifs La premiegravere solution passe par lrsquoadaptation drsquoimpeacutedance de la structure agrave celle de lrsquoabsorbeur et de sa charge ce qui la rend intrinsegravequement peu robuste et deacuteteacuteriore eacutegalement le bilan eacutenergeacutetique La seconde a donc retenu notre attention et nous avons donc chercheacute agrave deacutecrire les diffeacuterents modes meacutecaniques que nous pouvons obtenir dans une structure de type barre tout drsquoabord puis dans une structure de type tube plus adapteacutee au transport de poudre Dans les deux cas (barre exciteacutee de faccedilon transversale et tube exciteacute de faccedilon longitudinale) une modeacutelisation analytique a eacuteteacute deacuteveloppeacutee et a permis drsquoobtenir par simulation les deacuteformeacutees de la structure en fonction de la position et du temps Au niveau des conclusions pour obtenir une onde progressive de qualiteacute avec un TOS le plus proche possible de 1 on doit pour la poutre connaicirctre avec preacutecision drsquoune part la position ougrave on doit appliquer les excitations ainsi que la freacutequence drsquoexcitation qui doit se situer entre deux modes de reacutesonance conseacutecutifs de la poutre Dans le cas de lrsquoonde progressive en longitudinale dans un tube les positions des transducteurs puisqursquoils sont situeacutes aux extreacutemiteacutes du tube ne sont plus agrave deacuteterminer Par contre la freacutequence drsquoexcitation doit se positionner toujours entre deux modes conseacutecutifs de reacutesonance

Chapitre IV Onde progressive ndash Mise en œuvre expeacuterimentale et analyses

111

Chapitre IV

Onde progressive ndash Mise en œuvre

expeacuterimentale et analyses

IV1 Eleacutements geacuteneacuteraux

Dans ce chapitre nous preacutesentons les diffeacuterentes reacutealisations expeacuterimentales visant agrave veacuterifier les principes theacuteoriques drsquoeacutetablissement drsquoune onde progressive vus dans le chapitre preacuteceacutedent Les maquettes reposent sur des caracteacuteristiques structurelles diffeacuterentes qui peuvent ecirctre classeacutees selon

Le type de la structure poutre ou tube La direction des effort drsquoexcitation direction transversale (excitation des

modes de flexions) ou direction longitudinale (excitation des modes de traction-compression)

Dans une premiegravere partie nous nous focalisons sur lrsquoeacutetablissement drsquoune onde progressive en flexion pour poutres de sections rectangulaires Ce type de structure eacutetant le plus couramment utiliseacute dans la litteacuterature il nous offre une base de travail significative et inteacuteressante pour le passage agrave drsquoautres structures Nous verrons ensuite que le passage dune poutre agrave un tube tout en conservant une excitation transversale nest pas immeacutediat De fait des recommandations de conception sont preacutesenteacutees dans cette partie La derniegravere expeacuterimentation concernera lrsquoanalyse des ondes de propagation produites par lrsquoexcitation des modes de traction-compression drsquoun tube On notera que lrsquoutilisation drsquoun tube est associeacutee aux contraintes imposeacutees dans le cahier des charges Une structure la plus hermeacutetique possible eacutevitera la perte de poudre pendant le transport


112

IV2 Onde progressive en flexion dans des poutres

IV21 Dimensionnement des bancs drsquoessais

Drsquoapregraves les eacuteleacutements deacuteveloppeacutes dans le chapitre preacuteceacutedent pour pouvoir obtenir une onde progressive dans une poutre de longueur finie lrsquoexcitation du systegraveme doit ecirctre produite agrave la freacutequence meacutediane entre deux modes propres conseacutecutifs de reacutesonance de mecircme type ou du moins proche de celle-ci Dans la suite nous excitons des modes de flexion de la poutre et les excitateurs doivent ecirctre monteacutes agrave une position preacutecise pour exciter ces modes

Le problegraveme est quagrave ce stade la longueur de la poutre nest pas deacutetermineacutee et la freacutequence des modes propres non plus par conseacutequent Or on ne peut pas prendre cette longueur de poutre de faccedilon arbitraire car la position des modes deacutepend justement de la longueur de la poutre

Ainsi nous commenccedilons par nous fixer une freacutequence de travail f et une poutre que lon deacutefinit par sa section et le mateacuteriau qui le constitue Alors nous pouvons calculer la position des transducteurs par rapport au bord de poutre en utilisant lrsquoeacutequation (III35) reprise ici

λsdot+λsdot=87

2nl IV1

ougrave l ndash la position du transducteur par rapport au bord de la poutre λ ndash la longueur drsquoonde correspondante agrave la freacutequence drsquoexcitation n ndash nombre entier

La longueur drsquoonde deacutepend de la freacutequence drsquoexcitation et des diffeacuterentes caracteacuteristiques physiques du mateacuteriau de la poutre elle est donneacutee par la relation suivante

k

2 πsdot=λ IV2

Ougrave k est deacutefini par

4IES

ksdotsdotρsdotω= IV3

ougrave k ndash nombre drsquoonde

ω ndash la pulsation E ndash le module de Young I ndash le moment inertiel ρ ndash la densiteacute du mateacuteriau S ndash la surface de la section droite


113

Pour calculer la longueur L neacutecessaire nous prenons comme hypothegravese que les

modes utiliseacutes et au milieu desquels il est neacutecessaire de se placer sont dordre eacuteleveacute ne serait-ce que pour des consideacuterations acoustiques Alors dans ce cas et compte tenu des conditions aux limites imposeacutees la longueur donde est approximativement lieacutee agrave la longueur de la poutre pour le mode m par

82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4

Ougrave λm correspond agrave la longueur drsquoonde du mode m Pour le mode m+1 cette relation devient

82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5

Lorsque lon fait la moyenne de ces deux relations on trouve que

44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6

En supposant toujours pour des nombres de modes eacuteleveacutes que λcongλcongλ +1mm alors

leacutequation preacuteceacutedente aboutit agrave

2

mLλsdot= IV7

ougrave m est un entier Cette formule approcheacutee nous montre quil est theacuteoriquement possible drsquoexciter une onde progressive dans des poutres de longueurs tregraves diffeacuterentes en allant de quelques dizaines de centimegravetres jusquagrave plusieurs megravetres Cependant nous navons testeacute en laboratoire que des longueurs infeacuterieures agrave un megravetre Cette meacutethode permet ainsi de fixer la longueur de poutre afin de placer la freacutequence meacutediane entre deux modes de flexion de la poutre entre le mode m et m+1

Les reacutesultats de ce calcul sont donneacutes pour deux types de poutres Tableau IV1 une poutre de section rectangulaire 14x5mm en acier une poutre de section carreacutee 115x115mm en aluminium

Nous choisissons m afin dobtenir une longueur de poutre denviron 500mm et la freacutequence de travail choisie est de 19700Hz Les transducteurs que nous utilisons des transducteurs standards laquo 20kHz raquo de SinapTec doivent ecirctre utiliseacutes agrave 19700Hz qui est leur vraie freacutequence de reacutesonance ce qui explique la freacutequence de travail choisie agrave partir de laquelle drsquoapregraves lrsquoeacutequation (IV7) la longueur de la poutre est deacutetermineacutee On remarque qursquoelle est sensiblement diffeacuterente pour les deux poutres


114

Section transversale btimesh Masse volumique ρ

Module drsquoeacutelasticiteacute E Coefficient Poisson ν

14times49 mm 7700kgm3 210GPa 028

115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033

Tableau IV1 ndash Caracteacuteristiques des poutres utiliseacutees

Section transversale btimesh Longueur de la poutre L

14times49 mm 476mm

115times115 mm 503mm

Tableau IV2 ndash Longueur pour les poutres utiliseacutees

Le Tableau IV3 preacutesente les freacutequences des modes de flexion pour chacune de deux poutres

No mode Freacutequence (Hz)

m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883

Tableau IV3 ndash Calcul analytique des modes propres de flexion

Nous constatons que pour chaque poutre le calcul donne des freacutequences de mode diffeacuterentes Mais nous trouvons une freacutequence intermeacutediaire drsquoenviron 19700Hz entre les modes 19 et 20 pour la poutre 14times4mm et entre les modes 13 et 14 pour la poutre 115times115mm ce qui valide lapproche analytique de calcul de la longueur de poutre Connaissant agrave preacutesent la longueur de la poutre une eacutetude par eacuteleacutements finis a eacuteteacute entreprise pour valider ce choix sur lrsquoexemple de la poutre rectangulaire Nous avons retrouveacute pour les modes 19 et 20 des freacutequences respectivement eacutegales agrave 18404Hz et 20227Hz soit un eacutecart de 2 par rapport au modegravele analytique De plus la freacutequence de 19700Hz est comprise entre ces deux freacutequences ce qui corrobore les reacutesultats analytiques

Regardons maintenant les deacuteformations obtenues par eacuteleacutements finis de la poutre en acier correspondant aux modes m19 et m20


115

Figure IV1 ndash Deacuteformations de la poutre 14times49times476mm pour les modes m19 et m20

Sur la Figure IV1 les zones rouges et bleues repreacutesentent les ventres de la deacuteformation et les zones vertes les nœuds Ces graphiques montrent que lon obtient bien

19 ventres et deux huitiegravemes de longueur donde aux extreacutemiteacutes de la poutre pour le mode m19

20 ventres et deux huitiegravemes de longueur donde pour le mode m20 Leacutetude par eacuteleacutements finis confirme donc bien lrsquoeacutequation (IV4) Si on observe lrsquoextreacutemiteacute de la poutre on constate qursquoil y a encore une petite zone bleue ou rouge de longueur environ λ8 La Figure IV2 souligne les caracteacuteristiques des deux courbes de deacuteformation


116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr

eMode m=19 f=18404Hz

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm

Figure IV2 ndash Deacuteformations de la poutre pour les modes m19 et m20 (reacutesultats par eacuteleacutements

finis)

Ainsi leacutetude analytique est confirmeacutee par leacutetude numeacuterique et ainsi que le choix de la longueur L

Dun point de vue pratique les maquettes que nous avons utiliseacutees donnent des conditions qui diffegraverent de leacutetude theacuteorique par le fait que lexcitation se fait par lintermeacutediaire de transducteurs de Langevin comme source drsquoeffort Ces appareils associent des eacuteleacutements pieacutezoeacutelectriques agrave des piegraveces meacutecaniques appeleacutees contre-masse et pavillon et dont le rocircle est de coupler leacuteleacutement pieacutezoeacutelectrique agrave lenvironnement Or ces piegraveces ne sont pas infiniment rigides aux freacutequences de travail si bien que la force produite nest pas une fonction simple des conditions dalimentation

Toutefois si on travaille agrave la reacutesonance du transducteur en raisonnant sur son scheacutema eacutelectrique eacutequivalent on peut montrer que la force produite est proportionnelle agrave la tension dalimentation du transducteur [Mason 1948] [Piecourt 1995] et [Hernandez 2010]

De plus la fixation de ces transducteurs doit ecirctre conccedilue avec soin car elle doit assurer plusieurs fonctions Tout dabord elle doit permettre de transmettre les efforts alternatifs il faut donc assurer un contact reacuteversible Ensuite ce contact doit ecirctre ponctuel afin de ne pas modifier les conditions aux limites Enfin dans notre cas nous avons chercheacute une meacutethode simple de montage Notre choix technologique sest porteacute sur un contact visseacute tel que deacutecrit agrave la Figure IV3 Un goujon dadaptation de diamegravetre le plus petit possible a eacuteteacute inseacutereacute pour limiter la surface de contact Les transducteurs sont simplement poseacutes ou maintenus par une structure flexible


117

Figure IV3 ndash Fixation de la poutre sur le transducteur avec la vis

La maquette complegravete pour la poutre 14times5mm2 est preacutesenteacutee agrave la Figure IV4

Figure IV4 ndash Montage complet poutre avec les deux transducteurs

Dans le paragraphe suivant afin de veacuterifier la robustesse de notre meacutethode nous

allons eacutetendre lrsquoeacutetude agrave diffeacuterentes maquettes reacutealiseacutees en changeant La section rectangulaire carreacutee ronde Le mateacuteriau acier aluminium

En combinant ces deux paramegravetres nous avons choisi cinq poutres

Poutre rectangulaire en aluminium 15times2mm2 Poutre carreacutee en aluminium 6times6mm2 Poutre carreacutee en aluminium 115times115mm2 Poutre rectangulaire en acier 14times49mm2 Poutre ronde en aluminium Φext=115mm


118

IV22 Onde progressive en flexion

Nous deacuteveloppons ici leacutetude expeacuterimentale reacutealiseacutee pour la poutre en acier de 14x5mmsup2

Un analyseur drsquoimpeacutedance [ldquo4194A ImpedanceGain-Phase Analyzerrdquo 2013] mesure le spectre freacutequentiel de lrsquoimpeacutedance drsquoune charge Il est utiliseacute pour mesurer limpeacutedance de lun des transducteurs (Figure IV5) ce qui va faciliter la recherche des modes Le spectre freacutequentiel nous permet de deacuteterminer les modes susceptibles de produire de laquo bonnes deacuteformations raquo Sur ce releveacute nous notons les freacutequences de chaque pic de reacutesonance Ces pics peuvent correspondre agrave des modes de flexion qui sont ici rechercheacutes ou agrave dautres modes de reacutesonance non deacutesireacutes comme de la torsion par exemple A ce stade cependant il est difficile de connaicirctre la nature des modes meacutecaniques identifieacutes par mesures eacutelectriques sur ce graphique

Figure IV5 ndash Spectre freacutequentiel pour la maquette preacutesenteacutee dans la Figure IV4 mesure

obtenue par lrsquoanalyseur drsquoimpeacutedance

Crsquoest pourquoi avec lrsquoaide drsquoun interfeacuteromegravetre laser Polytec [ldquoPolytec - Controleur

modulaire OFV5000rdquo 2013] coupleacute avec une tecircte optique [ldquoPolytec - tecircte optique OFV505rdquo 2013] on cartographie la poutre afin de deacuteterminer la nature des modes observeacutes Pour les structures simples que sont les poutres les modes de flexion sont facilement deacutetectables En effet si on regarde tout au long de la poutre on trouve une succession homogegravene (eacutequidistante) de noeuds et de ventres Dans notre cas nous retrouvons bien les freacutequences identifieacutees agrave la Figure IV5 agrave 19150Hz et 20275Hz comme des freacutequences de modes de flexion La freacutequence 19700Hz est bien alors une freacutequence meacutediane Cependant ces flexions correspondent aux modes m=20 et m=21 et non pas aux modes m=19 et m=20


119

comme cela avait eacuteteacute deacutefini dans leacutetude analytique Cette diffeacuterence peut ecirctre imputeacutee au fait que les eacutetudes analytique et par eacuteleacutements finis ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour la barre seule alors que les mesures expeacuterimentales concernent la barre connecteacutee agrave ses transducteurs

En alimentant ces transducteurs agrave cette freacutequence intermeacutediaire (voir Tableau IV4 la freacutequence de 19732Hz comprise entre les mode 20 et 21) et en les deacutephasant de 90deg nous trouvons bien une onde progressive Le TOS a eacuteteacute estimeacute en relevant le rapport entre lamplitude maximale et minimale de vibration sur la poutre Le tableau suivant preacutesente les freacutequences correspondant aux modes de flexion trouveacutes avec linterfeacuteromegravetre laser

No mode m

Freacutequences expeacuterimentales

(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -

Tableau IV4 ndash Les modes de flexion pour la poutre 14times49mm reacutesultats expeacuterimentaux

issus de lrsquoanalyse interfeacuteromeacutetrique

Ce tableau montre tout dabord que les freacutequences identifieacutees au vibromegravetre diffegraverent leacutegegraverement de freacutequences identifieacutees par lanalyse de limpeacutedance La raison tient peut ecirctre dans le fait que ces mesures ne sont pas simultaneacutees et quentre les deux essais des paramegravetres comme la tempeacuterature (qui agit sur les proprieacuteteacutes meacutecaniques et les longueurs par dilatation) ont pu varier On rappelle aussi que nous avions vu deacutejagrave une diffeacuterence entre le calcul analytique et les reacutesultats expeacuterimentaux sur les freacutequences due agrave lrsquoinfluence du montage des transducteurs Or le bon choix de la freacutequence est deacuteterminant dans lobtention de londe progressive Pour parvenir agrave reacutegler cette freacutequence sur un vrai dispositif il faut donc dabord identifier expeacuterimentalement les freacutequences des modes et ensuite choisir la freacutequence de travail Puisque celle-ci est susceptible de varier dun essai agrave lautre une identification preacutealable agrave chaque campagne de mesures est donc neacutecessaire Une deuxiegraveme remarque porte sur le choix des deux modes conseacutecutifs il nrsquoest pas restrictif Par exemple ici nous avons travailleacute avec les modes 20 et 21 et la freacutequence 19732Hz Mais on obtient eacutegalement une onde progressive agrave la freacutequence 18460Hz qui se trouve entre les modes 19 et 20 avec un TOS cependant plus grand En effet les transducteurs ne travaillant plus agrave leur reacutesonance pour cette freacutequence lagrave on ne peut donc pas consideacuterer que la force produite par les transducteurs est proportionnelle agrave la tension Alors mecircme en reacuteglant un deacutephasage de 90deg entre leurs tensions dalimentation le deacutephasage des forces peut ecirctre diffeacuterent Cest peut-ecirctre ce qui explique laugmentation du TOS lorsque les modes consideacutereacutes changent Signalons enfin que pour le couple de modes 21 et 22 nous navons pas pu obtenir donde progressive de flexion Une raison possible est que dans lintervalle freacutequentiel dexcitation des modes dun autre type que la flexion viennent perturber londe progressive En effet le graphique de la Figure IV5 montre une reacutesonance laquo parasite raquo entre les modes de flexion agrave 20325Hz et 21700Hz Nous avons ensuite appliqueacute la proceacutedure du paragraphe preacuteceacutedant agrave chaque type de poutre et nous avons choisi les deux modes conseacutecutifs qui permettaient drsquoavoir une freacutequence meacutediane associeacute au meilleur TOS Par ailleurs nous calculons eacutegalement les


120

vitesses tangentielle et normale en exploitant les formules du paragraphe III23 laquo Vitesse tangentielle ideacuteale de transport raquo Le Tableau IV5 syntheacutetise ces diffeacuterents essais et calculs en adaptant les notations

Poutre (btimeshtimesL mm)

Mateacuteriau poutre

l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)

14times49times476 acier 38 19732 45 122 071 25 88 115times115times498 aluminium 65 18071 70 158 075 44 85

15times2times500 aluminium 27 19107 33 195 320 73 384 6times6times493 aluminium 47 18937 52 210 280 121 333

Φ115times1000 aluminium 71 19147 82 150 043 23 52

Tableau IV5 ndash Caracteacuteristiques de lrsquoonde progressive obtenue pour les poutres en flexion

le dimensionnement de ces poutres a suivi la meacutethode analytique

l est la position de transducteurs fOP la freacutequence drsquoexcitation de lrsquoonde progressive qui a donneacute le meilleur TOS λ est la longueur drsquoonde correspondante agrave la freacutequence drsquoexcitation et Amax vTmax vNmax repreacutesentent les valeurs maximales de lrsquoamplitude de vibration de la vitesse tangentielle respectivement de la vitesse normale

IV23 Essais de transport de poudre

Lrsquoobjectif de ce paragraphe est drsquoaboutir agrave une caracteacuterisation du transport de poudre par onde progressive par lrsquoeacutetablissement drsquoun modegravele simple liant la vitesse de la poudre agrave la vitesse tangentielle des laquo crecirctes raquo de lrsquoonde progressive Ce modegravele sera deacutetermineacute de faccedilon empirique Exception faite du cas de la poutre agrave section circulaire qui ne le permet pas (il est difficile drsquoy fixer une structure souple pour canaliser la poudre) la vitesse moyenne de deacuteplacement de la poudre a eacuteteacute estimeacutee en mesurant le temps neacutecessaire agrave la poudre pour parcourir une distance donneacutee Les essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes pour deux poudres diffeacuterentes le corindon et le ciment Dans le Tableau IV6 sont syntheacutetiseacutees les vitesses de deacuteplacement et les deacutebits pour les quatre poutres diffeacuterentes avec en comparaison les valeurs calculeacutees au Tableau IV5

Pour pouvoir comparer les valeurs du deacutebit Q pour les quatre poutres on a calculeacute le deacutebit rapporteacute agrave la largeur de chaque poutre


121

Poudre Poutre

(btimeshtimesL mm) U (V)

Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)

115times115times498 470 075 00109 12 25 0216 14times49times485 370 071 00077 10 44 0117 15times2times500 370 320 00300 30 73 0445

Corindon 50microm

6times6times493 400 280 00303 30 121 0411 115times115times498 470 075 00017 9 25 0579


Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805

Tableau IV6 ndash Paramegravetres de transport de la poudre sous lrsquoaction de lrsquoonde progressive

mesure effectueacutee pour les quatre poutres et deux poudres diffeacuterentes

Pendant les essais on observe qursquoune amplitude minimale de vibration est neacutecessaire pour que la poudre commence agrave se deacuteplacer Cette amplitude est appeleacutee amplitude de seuil et noteacutee Aseuil dans le Tableau IV6 Cette amplitude de deacutecollement est diffeacuterente pour chaque poutre et pour chaque poudre On observe eacutegalement que les deacutebits sont plus importants dans le cas du corindon ce qui est en conformiteacute avec les reacutesultats obtenus pour la maquette baseacutee sur le principe du Frottement controcircleacute preacutesenteacutee dans le Chapitre II mais aussi avec les reacutesultats preacutesenteacutes dans le Chapitre I qui concernent les forces drsquoadheacutesions nettement infeacuterieures agrave la force de vibration On observe aussi que les vitesses moyennes de deacuteplacement de la poudre sont nettement infeacuterieures aux valeurs de la vitesse tangentielle theacuteorique preacutesenteacutees dans le Tableau IV5

Pour tenter de comprendre ce pheacutenomegravene nous pourrions nous inteacuteresser agrave la description meacutecanique microscopique des pheacutenomegravenes de contact entre la surface vibrante et les grains un peu agrave la maniegravere de ce qui a eacuteteacute fait au Chapitre II Or cette meacutecanique est complexe dans le cas de londe progressive agrave haute freacutequence et nous preacutefeacuterons lui substituer une approche macroscopique geacuteneacuterale qui globalise lensemble des pheacutenomegravenes Ainsi nous traccedilons dans le plan (vTvP) les points correspondant agrave nos releveacutes pour le corindon et nous eacuteliminons le point qui correspond agrave la poutre 6times6mm qui ne permet pas de tracer raisonnablement une tendance lineacuteaire Puis nous cherchons la droite qui passe au mieux des points Dans nos releveacutes elle seacutecrit

)vv(kv 0TTestimeacutee_P minus= IV8 Avec k=043 et la vitesse seuil vT0=73mms


122

vP en fonction de vT

y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee

Linear (Vp mesureacutee)

Figure IV6 ndash Vitesses moyennes de la poudre corindon mesureacutee et approcheacutee lineacuteairement

en fonction de la vitesse tangentielle theacuteorique de crecircte drsquoonde reacutesultats obtenus pour trois

types des poutres

Nous partons ensuite de lhypothegravese que le seuil observeacute sur la vitesse tangentielle vT0 correspond agrave lrsquoamplitude de seuil observeacutee sur chaque couple poutrepoudre Ainsi nous recalculons donc ces seuils en inversant la relation donnant la vitesse en fonction de lamplitude vibratoire (voir le paragraphe III23 laquo Vitesse tangentielle ideacuteale de transport raquo)

0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9

A lrsquoamplitude de seuil (voir Tableau IV6) la vitesse tangentielle devient nulle drsquoougrave lrsquoeacutequation

0Testimeacutee_seuil vh

Aωπ

λ= IV10


Aseuil_mesureacutee (microm)

Aseuil_estimeacutee (microm)

14times49times476 0117 0174 115times115times498 0216 0115

15times2times500 0445 0312

Tableau IV7 ndash Les amplitudes vibratoires de seuil mesureacutees et estimeacutees pour le corindon


123

Nous trouvons ainsi des valeurs relativement proches ce qui valide a posteriori le modegravele Bien sucircr celui-ci peut ecirctre ameacutelioreacute par lrsquoutilisation drsquoun nombre des points drsquoidentification plus importants Dans le cas du ciment une approche similaire est envisageable mais biensur avec des paramegravetres diffeacuterents car pour le ciment la vitesse tangentielle de seuil est diffeacuterente Par ailleurs il existe un seuil damplitude vibratoire en dessous duquel la poudre ne pourra pas se deacuteplacer Ce seuil comme le montre le tableau 46 nrsquoest pas constant Le modegravele qui vient decirctre deacutecrit propose lui que le paramegravetre vT0 soit une constante de linteraction poutre vibrante ndash poudre et qursquoil vaut environ 7mmsec pour les essais concernant le corindon Cette proposition si elle se confirmait pourrait avoir des conseacutequences importantes pour la conception dun dispositif de transport de poudre par onde progressive en flexion En effet on pourrait penser optimiser le dispositif en recherchant une amplitude vibratoire la plus importante possible Mais le lien entre vt et lrsquoamplitude vibratoire nrsquoeacutetant pas constant on pourrait a cause du seuil qui est un seuil en vitesse ecirctre ameneacute agrave utiliser une partie importante de la vibration rien que pour amorcer le mouvement la poudre Signalons enfin que la poudre se comporte diffeacuteremment selon la nature de la poutre utiliseacutee En effet nous constatons un transport uniforme et continu pour les poutres 14times5mm et 115times115mm par contre pour les deux autres poutres la poudre suit un chemin serpenteacute sur la poutre Lrsquoeffet est plus visible pour le ciment que pour le corindon Il sagit peut ecirctre lagrave de linfluence de la vitesse normale qui possegravede des valeurs bien diffeacuterentes entre ces deux essais (voir Tableau IV7) La Figure IV7 nous montre un exemple de transport uniforme et continu de la poudre sur la poutre 14times5mm dans le cas du ciment et du corindon Le transport est continu pour les deux poudres qui nrsquoest pas le cas Figure IV8 qui preacutesente un transport discontinu pour la poutre 15times2mm Ce pheacutenomegravene et drsquoautant plus important dans le cas du ciment

Figure IV7 ndash Transport uniforme de la poudre sur la poutre 14times5mm


124

Figure IV8 ndash Transport discontinu de la poudre sur la poutre 15times2mm des paquets de

poudre se forment

Cette eacutetude a permis de produire les premiegraveres interactions poudre-onde progressive de flexion Le transport de poudre agrave proprement parler nrsquoest cependant pas simple compte tenu de la structure non adapteacute de la poutre Convaincus du potentiel de ce principe gracircce aux bons reacutesultats obtenus nous avons deacutecideacute de poursuivre lrsquoeacutetude par la conception drsquoune maquette tubulaire

IV24 Onde progressive en flexion sur une structure tubulaire

Dans le paragraphe preacutecegravedent nous avons preacutesenteacute les reacutesultats obtenus sur des maquettes qui utilisent les modes de flexion drsquoune poutre pour exciter une onde progressive Ces poutres ont une structure geacuteomeacutetrique tregraves simple qui facilite lrsquoobtention des modes de flexion sans autres modes de deacuteformation intercaleacutes Lrsquoeacutetape preacuteceacutedente nous a permis aussi de valider la meacutethodologie agrave suivre pour obtenir une onde progressive et nous a fourni quelques reacutesultats concernant linteraction poudre-onde progressive

Dans ce paragraphe nous cherchons agrave produire une onde progressive dans un tube de dimensions plus grandes Pour cela nous nous inteacuteressons dabord au dimensionnement et agrave la conception du dispositif tube+ transducteurs + connexions

Le tube est dimensionneacute pour une longueur de 1m et nous avons choisi dutiliser de lacier inoxydable pour sa composition Ses caracteacuteristiques sont rappeleacutees au Tableau IV8

Section transversale ΦexttimesΦint Masse volumique ρ

Module drsquoeacutelasticiteacute E Coefficient Poisson ν Longueur du tube L

Position du transducteur l

483times443 mm 8000kgm3 193GPa 028 1000mm 167mm

Tableau IV8 ndash Caracteacuteristiques du tube


125

Les modes propres du tube ont eacuteteacute deacutetermineacutes analytiquement en utilisant la relation (III37) reprise ici

)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11

Les reacutesultats de leacutetude analytique sont ensuite compareacutes au Tableau IV9 avec une eacutetude par eacuteleacutements finis

On a vu dans le Chapitre III qursquoil est plus difficile de trouver deux modes propres conseacutecutifs de mecircme type pour une structure tubulaire que pour une structure simple comme celle de la poutre (voir III32 laquo Analyse modale - types de modes drsquoexcitation selon la structure exploiteacutee raquo)


m Calcul

analytique Simulation eacuteleacutements

finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930

Tableau IV9 ndash Les modes de deacuteformation deacutetermineacutes par calcul analytique et par simulation

numeacuterique

A titre drsquoillustration lrsquoimage de la Figure IV9 preacutesente le calcul numeacuterique de la

deacuteformation du tube pour le mode m=21 agrave la freacutequence 20160Hz

Figure IV9 ndash Deacuteformation de la poutre pour le mode f=20160Hz


126

La vitesse tangentielle produite dans le cas du tube se calcule de la mecircme maniegravere

que dans le cas des poutres la fibre neutre agrave consideacuterer est laxe du tube [Fanchon 2001] et nous aurons donc

λ

ωπ= ADv T IV12

Les transducteurs ont eacuteteacute fixeacutes sur le tube par une nouvelle piegravece dadaptation

montreacutee agrave la Figure IV10

Figure IV10 ndash Fixation du tube sur le transducteur avec la vis

La maquette complegravete est preacutesenteacutee Figure IV11

Figure IV11 ndash Montage complet tube avec les deux transducteurs

Puis en utilisant la mecircme proceacutedure drsquoobtention de lrsquoonde progressive que dans le

cas de la poutre en flexion on deacutetermine les freacutequences de reacutesonance puis les freacutequences intermeacutediaires et enfin nous choisissons les meilleurs reacuteglages vis-agrave-vis du TOS Le Tableau IV10 preacutesente les reacutesultats obtenus


127

Poutre

(ΦexttimesΦint timesL mm) Mateacuteriau poutre

l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)

483times443times1000 acier

inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112

Tableau IV10 ndash Paramegravetres de lrsquoonde progressive pour les tubes en flexion

Malgreacute un optimisation freacutequentielle le TOS obtenu nest pas tregraves bon certainement parce que la freacutequence de travail se situe au delagrave des 19700Hz freacutequence de reacutesonance des transducteurs Certes la vitesse tangentielle vT se trouve bien au delagrave de la vitesse seuil Neacuteanmoins avec cette valeur eacuteleveacutee du TOS nous navons pas reacuteussi agrave obtenir de transport au cours de nos essais Ces derniers essais montrent finalement que la solution dune onde progressive dans un tube nest pas simple agrave mettre en œuvre deacutejagrave du point de vue de la qualiteacute de lrsquoonde progressive De plus drsquoun point vue pratique la position des transducteurs selon un axe radial rend difficile lintroduction de poudre

IV25 Conclusions

Dans ce paragraphe nous avons preacutesenteacute une meacutethode de dimensionnement des poutres ayant comme but la creacuteation drsquoune onde progressive en flexion dans ces structures Mecircme si la meacutethode est approximative elle a donneacutee des reacutesultats tregraves inteacuteressants Gracircce agrave cette meacutethode de dimensionnement nous avons exciteacute une onde progressive en flexion sur plusieurs maquettes qui ont des longueurs drsquoenviron 500mm Ces maquettes nous ont permis de montrer la possibiliteacute de transporter de la poudre avec le principe de lrsquoonde progressive Un modegravele permettant dapprocher la vitesse de la poudre agrave partir des dimensions geacuteomeacutetriques de la poutre de la freacutequence de travail et de lamplitude vibratoire a eacuteteacute proposeacute dans le cas du corindon Apregraves les bons reacutesultats obtenus avec les poutres rectangulaires nous sommes passeacutes agrave une structure tubulaire qui nrsquoa pas donneacute les mecircmes bons reacutesultats La difficulteacute du tube est due agrave la richesse des modes propres preacutesents potentiellement dans la structure ce qui a rendu complexe le calage de la freacutequence de travail avec la freacutequence de reacutesonance des transducteurs Pour tenter de reacutesoudre ce problegraveme nous avons essayeacute drsquoutiliser les modes longitudinaux du tube pour creacuteer une onde progressive En effet dans ce cas les transducteurs eux-mecircmes placeacutes cette fois dans lrsquoaxe du tube seront mieux inteacutegreacutes agrave la structure vibrante


128

IV3 Onde progressive en longitudinal sur une structure tubulaire

Le dernier banc de tests reacutealiseacute correspond au cas de lrsquoobtention drsquoune onde progressive dans une structure tubulaire en utilisant ses modes de dilatation ndash compression Cette solution a eacuteteacute mise en œuvre sur la base de plusieurs reacutefeacuterences bibliographiques qui mentionnent lrsquoobtention drsquoune onde progressive dans une structure tubulaire de petite taille comme celle preacutesenteacutee au paragraphe I1332 laquo Onde progressive dans un tube raquo Le principe drsquoobtention de lrsquoonde progressive est similaire agrave celui utiliseacute pour les ondes de flexion on alimente les deux actionneurs qui cette fois sont monteacutes aux extreacutemiteacutes du tube agrave la mecircme tension mais avec un deacutephasage temporel de 90deg

IV31 Conception de la maquette

Pour la validation de ce principe nous avons utiliseacute le mecircme type de tube que pour la maquette en flexion (cf paragraphe IV24) Comme lrsquoexcitation du tube se fait dans la direction axiale les actionneurs sont positionneacutes aux extreacutemiteacutes du tube Pour la reacutealisation de cette maquette nous avons conccedilu un nouveau transducteur adapteacute agrave la structure tubulaire (Figure IV12) La longueur du tube avec laquelle nous souhaitons travailler a eacuteteacute choisie eacutegale agrave 1m

Figure IV12 ndash Fixation du tube dans le transducteur

Les dimensions du tube eacutetant poseacutees on peut passer agrave lrsquoeacutetape de validation qui consiste en un calcul analytique des modes du tube coupleacute agrave une analyse modale par eacuteleacutements finis Pour augmenter les chances de trouver plusieurs modes longitudinaux conseacutecutifs sans drsquoautres modes intercaleacutes nous devons reprendre le calcul reacutealiseacute au paragraphe III5 laquo Modegravele analytique de lrsquoonde progressive en longitudinal pour un tube raquo cette fois en se concentrant sur la reacutegion freacutequentielle ougrave la densiteacute des modes longitudinaux est plus grande Ainsi en reprennent la Figure III24 mais uniquement avec les modes de flexions et longitudinaux on observe que la zone rechercheacutee se trouve entre 3times104Hz et 35times104Hz (Figure IV13)


129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e

Modes de deacuteformation en fonction de la freacutequence

modes longitudinauxmodes de flexion

tube acier inxoydable φext=483mm φint=443mm L=1000mm

Figure IV13 ndash Les modes de deacuteformation n=(01) pour le tube en acier inoxydable

Pour cette maquette on a reacutealiseacute plusieurs analyses modales par eacuteleacutements finis une analyse pour le tube seul et une deuxiegraveme pour lrsquoassemblage complet transducteur ndash tube ndash transducteur Les reacutesultats sont syntheacutetiseacutes dans le Tableau IV11

Freacutequence (Hz)

No mode Calcul

analytique Simulation eacuteleacutements finis

m Tube seul Tube seul Assemblage 17 26093 32298 32085 18 27628 32537 32385 19 29163 32722 32609 20 30698 32869 32793 21 32233 32999 32936 22 33077 33093 33052 23 33182 33177 33144 24 33272 33255 33243 25 33353 33320 33324 26 33426 33387 33401

Tableau IV11 ndash Les modes de deacuteformation deacutetermineacutes par calcul analytique et par

simulation numeacuterique


130

Nous constatons que les freacutequences des modes propres de lassemblage coiumlncident avec celles du tube seul ce qui montre que les transducteurs sont bien inteacutegreacutes agrave la structure vibrante Nous constatons eacutegalement que pourvu que le mode consideacutereacute soit dordre eacuteleveacute le calcul analytique des freacutequences correspond au reacutesultat par eacuteleacutement fini La Figure IV14 preacutesente les deacuteformations du tube seul et de lrsquoassemblage complet Les deux deacuteformations correspondent au mecircme mode de deacuteformation du tube (donneacute par le nombre m=18 dans le Tableau IV11 Les freacutequences drsquoexcitation sont elles aussi tregraves proches pour le tube seul f=32537Hz et pour lrsquoassemblage f=32385Hz

Figure IV14 ndash Deacuteformation du tube seul et de lrsquoassemblage complet dans la direction axiale

Z mode m=18

Comme dans lrsquoeacutetude du transport par exploitation des modes de flexion il est inteacuteressant drsquoestimer la vitesse tangentielle de la crecircte drsquoonde le calcul de cette vitesse est diffeacuterent du cas de londe de flexion car la nature du mode a changeacute Nous menons donc lrsquoeacutetude suivante avec comme objectif lrsquoobtention drsquoune expression analytique de la vitesse tangentielle vT Consideacuterons le mode m=18 de la structure preacutesenteacutee dans Figure IV14 et repreacutesentons les deacuteformations dans lrsquoaxe Z et Y (voir Figure IV15) Les axes Z et Y sont visibles sur la Figure IV14 Par analogie avec lrsquoeacutetude de lrsquoonde progressive en flexion on note w la deacuteformation selon la direction Y et u la deacuteformation selon la direction axiale Z Pour rappel dans le cas de lrsquoonde en flexion nous constatons un deacutephasage spatial de 90deg entre les deacuteplacements u et w du moins au centre


131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub

eMode longitudinal m=18 f=32385Hz

Deformation W dans la direction YDeformation U dans la direction Z

Figure IV15 ndash Deacuteformation de la structure en Y et en Z (reacutesultats par eacuteleacutements finis)

La Figure IV15 nous montre les deacuteformations (deacutetermineacutees par eacuteleacutements finis) de la maquette laquo Onde progressive en longitudinal raquo avec en bleu la deacuteformation dans la direction normale et en rouge la deacuteformation selon la direction axiale Nous constatons que lagrave aussi les deux deacuteformations ont un deacutephasage spatial de 90deg approximativement du moins au centre du tube Ainsi bien que la deacuteformation soit apparenteacutee agrave une deacuteformation longitudinale il se produit eacutegalement une deacuteformation normale en quadrature avec cette derniegravere (Figure IV15) de maniegravere analogue au cas de la flexion traiteacute au paragraphe preacuteceacutedent et pour laquelle nous avons montreacute lexistence dune vitesse tangentielle Compte tenu de cette similariteacute nous supposons que lon peut eacutecrire la relation entre le deacuteplacement tangentiel u et le deacuteplacement normal w sous la forme

x

)tx(w)tx(u

partpartγminus= IV13

ou γ est un facteur de proportionnaliteacute En approchant encore une fois les deacuteformeacutees par des fonctions sinusoiumldales on obtient

ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ

partpartγminus IV14

La formule IV14 est valable pour une deacuteformation normale de la forme suivante


132

ωt)(kxcosA=t)w(x minus IV15

avec k2

=πλ

Soit Γ le rapport entre lamplitude de w et lamplitude de u (voir Figure IV15) En prenant en consideacuteration les relations IV14 et IV15 nous avons

kγ=Γ IV16 La vitesse tangentielle est alors donneacutee par

)tkxcos(A)tkxcos(kAt

)tx(u)tx(vT ωminusωΓminus=ωminusγωminus=

partpart= IV17

Cette expression sera utiliseacutee dans le paragraphe suivant pour estimer la vitesse tangentielle pour diffeacuterentes freacutequences

IV32 Construction de la maquette et essais reacutealiseacutes

La maquette est composeacutee drsquoun tube et de deux transducteurs qui sont soudeacutes sur le tube donnant ainsi une structure complegravetement fermeacutee (Figure IV16)

Figure IV16 ndash Maquette de deacuteveloppement de lrsquoonde progressive en longitudinal

Pour faciliter la recherche des modes de deacuteformation on a reacutealiseacute tout drsquoabord une mesure spectrale de la maquette agrave lrsquoaide de lrsquoanalyseur drsquoimpeacutedance Ensuite avec des mesures interfeacuteromeacutetriques nous avons deacutetermineacute le type de mode de deacuteformation Sur la Figure IV17 on observe les diffeacuterents modes de deacuteformation trouveacutes entre 32kHz et 34kHz Les modes numeacuteroteacutes sont des modes de dilatation ndash compression et les eacutetoiles repreacutesentent les freacutequences pour lesquels une onde progressive a pu ecirctre obtenue


133

Figure IV17 ndash Spectre freacutequentiel de la maquette par obtenue par lrsquoanalyse drsquoimpeacutedance

De maniegravere theacuteorique on peut deacuteterminer une vitesse tangentielle approximative en utilisant la formule IV17 Dans lexemple de la Figure IV15 nous mesurons le rapport Γ=03 Donc pour une amplitude moyenne de deacuteplacement (mesureacutee avec le vibromegravetre) de 310nm une freacutequence f=33614Hz et une longueur drsquoonde de 105mm on obtient la vitesse tangentielle approximative

smm201031033614240v 9T =sdotsdotsdotπsdot= minus IV18

U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20

Tableau IV12 ndash Paramegravetres de lrsquoonde pour la maquette onde progressive en longitudinal

Comme le tube est complegravetement fermeacute le transport peut ecirctre veacuterifieacute uniquement sur la surface exteacuterieure du tube Ainsi on a reacuteussi agrave transporter du corindon en reacutealisant un canal en bande adheacutesive sur la surface du tube Le transport a eacuteteacute reacutealiseacute agrave la freacutequence de 33600Hz pour une tension drsquoalimentation de 500V crecircte pour laquelle on a obtenu une amplitude maximale de vibration de 700nm Dans ces conditions la vitesse moyenne de deacuteplacement de la poudre est de 72mms


134

En appliquant leacutequation IV8 du modegravele eacutetabli pour londe progressive en flexion nous obtenons une vitesse estimeacutee de poudre de

smm55)3720(430vp =minussdot= IV19 Cette valeur est proche de la valeur mesureacutee expeacuterimentalement Cela confirmerait les meacutecanismes en jeu dans le transport de poudre par une onde progressive en mode longitudinal bien que la freacutequence en jeu soit plus grande Il faut cependant ecirctre prudent vis agrave vis de ces reacutesultats qui ne concernent quun petit nombre dessais Une eacutetude plus approfondie devrait ecirctre meneacutee afin de conforter ce modegravele Ensuite nous avons essayeacute de transporter la poudre agrave lrsquointeacuterieur du tube Pour cela nous avons reacutealiseacute des trous aux extreacutemiteacutes du tube pour pouvoir introduireextraire la poudre (Figure IV18)

Figure IV18 ndash Trou reacutealiseacute a lrsquoextreacutemiteacute du tube pour introduire la poudre

Malheureusement les trous ont perturbeacute les deacuteformations du tube ce qui a induit la perte de lrsquoonde progressive dans la structure

IV33 Conclusion

Dans ce paragraphe nous avons montreacute la possibiliteacute drsquoobtenir une onde progressive en excitant les modes longitudinaux drsquoun tube Par analogie avec lrsquoonde progressive en flexion nous avons proposeacute un calcul de la vitesse tangentielle qui est propice au transport de poudre Pour cela nous avons montreacute gracircce aux reacutesultats de lanalyse par eacuteleacutements finis que le deacuteplacement tangentiel est deacutephaseacute de 90deg dans lespace par rapport au deacuteplacement dans laxe normal ce qui conduit agrave une formule analogue au cas de la flexion Avec la maquette reacutealiseacutee nous avons reacuteussi agrave transporter de la poudre sur la surface exteacuterieure du tube La vitesse de la poudre trouveacutee expeacuterimentalement est conforme aux preacutevisions du modegravele eacutetabli dans le cas du transport de poudre ce qui semble montrer que les


135

meacutecanismes de transport de poudre sont semblables que ce soit pour les ondes longitudinales que pour les ondes de flexion Une nouvelle eacutetude sur la conception des ports dentreacutee et de sortie de la poudre a eacuteteacute meneacutee Cependant parce que les discontinuiteacutes de la geacuteomeacutetrie modifient la reacutepartition des modes de vibration nous navons pas eacuteteacute en mesure de constater dans ce cas lexistence dune onde progressive

IV4 Conclusions

Dans ce chapitre nous avons montreacute les reacutesultats obtenus avec les maquettes qui mettent en œuvre le principe de lrsquoonde progressive Ainsi avec le principe de lrsquoonde progressive en flexion pour des poutres nous avons obtenu des reacutesultats assez inteacuteressants en terme de transport de poudre avec des vitesses moyennes de deacuteplacement avoisinant les 15mms dans le cas du corindon Ces reacutesultats sont en concordance avec les donneacutees preacutesenteacutees dans le Chapitre I concernant les forces drsquoadheacutesions Pour le principe de lrsquoonde progressive en flexion sur une structure tubulaire les reacutesultats en terme de transport sont deacutecevants La difficulteacute de propagation de lrsquoonde dans le tube est due agrave la complexiteacute de modes propres existants drsquoune part et drsquoautre part aux incertitudes introduites par les fixations des deux transducteurs au tube Ensuite nous avons reacuteussi agrave obtenir une onde progressive en utilisant les modes longitudinaux dans une structure tubulaire de grandes dimensions Dans ce cas on obtient une onde progressive de bonne qualiteacute avec des amplitudes vibratoires tregraves faibles mais qui permettent quand mecircme un transport de poudre avec une vitesse comparable agrave celle obtenue pour les maquettes agrave onde progressive en flexion sur une poutre

Conclusions geacuteneacuterales

136


Ce travail a pour objectif la proposition de modes de transport de poudre innovants reacutepondant aux contraintes de maintenance reacuteduite drsquoefficaciteacute en terme de deacutebits et de qualiteacute de transport en termes de preacuteservation des poudres et drsquoeacutevacuation complegravete de la matiegravere

Dans le chapitre introductif nous avons dresseacute un eacutetat de lrsquoart des meacutethodes utiliseacutees classiquement dans lrsquoindustrie pour transporter les poudres Les systegravemes pneumatiques et meacutecaniques ont eacuteteacute citeacutes et leurs inconveacutenients listeacutes Des approches plus innovantes utilisant les vibrations ultrasonores ont ensuite eacuteteacute introduites En particulier les approches geacuteneacuteratrices drsquoonde progressive dans des poutres ou dans des tubes ont retenu notre attention elles ont eacuteteacute reprises au Chapitre III laquo Onde progressive ndash eacuteleacutements theacuteoriques raquo Une meacutethode hybride dite laquo agrave frottement controcircleacute raquo met en eacutevidence lrsquoapport des vibrations ultrasonores sur un systegraveme meacutecanique actionneacute agrave basse freacutequence Briegravevement eacutevoqueacute ici cette approche a eacuteteacute deacutetailleacutee dans le second chapitre Nous avons alors analyseacute de maniegraveres expeacuterimentale et theacuteorique ce principe de transport de poudre original baseacute sur la dissymeacutetrie des conditions de frottement lors drsquoun mouvement de translation Une maquette expeacuterimentale a eacuteteacute conccedilue et reacutealiseacutee afin de veacuterifier le principe de fonctionnement et drsquoobtenir les caracteacuteristiques de deacutebit selon les conditions de fonctionnement et les diffeacuterentes poudres utiliseacutees Parmi les reacutesultats obtenus on peut insister en particulier sur




Cette approche de transport ne satisfait pas cependant le cahier des charges initial demandeacute car elle ne srsquoaffranchit pas de lrsquoaspect basse freacutequence du mouvement facteur de deacuteteacuterioration des joints dans lrsquoassemblage de tube ou dans les systegravemes de fixation Par contre cette approche demeure inteacuteressante pour ameacuteliorer le transport dans des conduites existantes pour soulager les joints en diminuant lrsquoamplitude basse freacutequence ou pour assurer eacuteventuellement un deacutecolmatage Dans le Chapitre III nous nous sommes inteacuteresseacutes aux conditions de propagation drsquoune onde progressive dans un milieu infini tout drsquoabord ce qui a permis de rappeler un certain nombre de deacutefinitions et drsquointroduire la vitesse de transport drsquoun objet entraicircneacute par les crecirctes de vibration Nous nous sommes ensuite inteacuteresseacutes au cas de la propagation drsquoonde dans un milieu fini avec la notion drsquoonde reacutefleacutechie cause de lrsquoapparition dans la structure drsquoune onde stationnaire peu propice au transport


137

Deux approches ont alors eacuteteacute citeacutees pour pallier le problegraveme de stationnariteacute lrsquoune qui consiste agrave absorber lrsquoonde reacutefleacutechie lrsquoautre qui consiste agrave exciter la structure entre deux modes de reacutesonance conseacutecutifs La premiegravere solution passe par lrsquoadaptation drsquoimpeacutedance de la structure agrave celle de lrsquoabsorbeur et de sa charge ce qui la rend intrinsegravequement peu robuste et deacuteteacuteriore eacutegalement le bilan eacutenergeacutetique La seconde a donc retenu notre attention et nous avons donc chercheacute agrave deacutecrire les diffeacuterents modes meacutecaniques que nous pouvons obtenir dans une structure de type barre tout drsquoabord puis dans une structure de type tube plus adapteacutee au transport de poudre Dans les deux cas (barre exciteacutee de faccedilon transversale et tube exciteacute de faccedilon longitudinale) une modeacutelisation analytique a eacuteteacute deacuteveloppeacutee et a permis drsquoobtenir par simulation les deacuteformeacutees de la structure en fonction de la position et du temps Au niveau des conclusions pour obtenir une onde progressive de qualiteacute avec un TOS le plus proche possible de 1 on doit pour la poutre connaicirctre avec preacutecision drsquoune part la position ougrave on doit appliquer les excitations drsquoautre part la freacutequence drsquoexcitation qui doit se situer entre deux modes de reacutesonance conseacutecutifs de la poutre Dans le cas de lrsquoonde progressive en longitudinale dans un tube les positions de transducteurs sont les deux extreacutemiteacutes du tube Dans le Chapitre IV nous avons montreacute les reacutesultats obtenus avec les maquettes qui mettent en œuvre le principe de lrsquoonde progressive Ainsi avec le principe de lrsquoonde progressive en flexion pour des poutres les reacutesultats se sont aveacutereacutes inteacuteressants en terme de transport de poudre avec des vitesses moyennes de deacuteplacement avoisinant les 15mms dans le cas du corindon Ces reacutesultats sont en concordance avec les donneacutees preacutesenteacutees dans le Chapitre I concernant les forces drsquoadheacutesions Un modegravele grossier a eacuteteacute proposeacute permettant de preacutevoir la vitesse de la poudre en fonction de lamplitude vibratoire il met en eacutevidence lexistence pour le corindon dune vitesse seuil denviron 7mmsec quil faut deacutepasser avant de voir la poudre se deacuteplacer Pour le principe de lrsquoonde progressive en flexion sur une structure tubulaire les reacutesultats en terme de transport sont deacutecevants La difficulteacute du tube est donneacutee par la complexiteacute de modes propres et aussi par un mauvais positionnement des transducteurs Ensuite on a reacuteussi drsquoobtenir une onde progressive en utilisant les modes longitudinaux dans une structure tubulaire de grandes dimensions Dans ce cas on obtient une onde progressive de bonne qualiteacute mais avec des amplitudes vibratoires tregraves faibles qui permettent quand mecircme un transport de poudre avec une vitesse comparable avec celle obtenue pour les maquettes onde progressive en flexion sur une poutre Dailleurs le modegravele grossier deacuteveloppeacute pour le corindon en flexion sapplique eacutegalement pour londe progressive en longitudinal Ces travaux ont donc amorceacute leacutetude sur le transport de poudre mais ils nont pas permis de deacutegager une solution technologique vraiment convaincante Des efforts doivent se poursuivre pour obtenir un deacutebit important invariablement selon le type de poudre transporteacutee Cela passera dabord par une structure qui permette de propager les ondes progressives tout en permettant lintroduction de la poudre De ce point de vue les dispositifs utilisant les modes longitudinaux sembles les plus performants car les actionneurs se placent dans laxe du tube Des travaux suppleacutementaires sont neacuteanmoins neacutecessaires afin


138

de rendre compatible les orifices dentreacutee et de sortie avec londe progressive Ensuite un controcircle devra ecirctre implanteacute afin de sassurer de la qualiteacute de londe progressive quelles que soient les conditions dutilisation et drsquoameacuteliorer ainsi la robustesse des dispositifs Cela passe par une modeacutelisation de la conversion deacutenergie eacutelectrique en eacutenergie meacutecanique quil faudra ensuite controcircler Enfin il faudra deacuteterminer des modegraveles plus rigoureux de linteraction onde-progressive-poudre Lapproche globale que nous avons montreacutee dans notre modegravele grossier nous semble prometteuse mais des essais suppleacutementaires sont agrave mener pour en confirmer les reacutesultats Surtout cette eacutetude devra eacutegalement sinteacuteresser au rapport entre vitesse normale et vitesse tangentielle qui permet de transporter la poudre dans les meilleures conditions Ce rapport deacutepend en effet de la conception du dispositif cest un degreacute de liberteacute que nous navons pas pris en compte dans ces travaux

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139

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144

Annexes

145

Annexe A Glossaire de termes

Indeacutependance de design indeacutependance des performances globales du systegraveme vis-agrave-vis des variations dimensionnelles ou parameacutetriques des composants Efficaciteacute capaciteacute du dispositif agrave transporter la poudre dans un mode proche des conditions ideacuteales On peut deacuteterminer lrsquoefficaciteacute comme le rapport entre le deacutebit reacuteel et le deacutebit theacuteorique Robustesse et fiabiliteacute a) robustesse indeacutependance des performances globales du systegraveme vis-agrave-vis des variations des paramegravetres exteacuterieurs au systegraveme tempeacuterature proprieacuteteacutes meacutecaniques de la poudre humiditeacute b) fiabiliteacute aptitude du dispositif agrave accomplir une fonction requise dans des conditions donneacutees pour une peacuteriode de temps donneacutee Simpliciteacute de la commande indice traduisant la facilite de mise en œuvre (nombre drsquoeacuteleacutements) et de reacuteglages (nombre des paramegravetres meacutethodeshellip) de la commande du dispositif Vidage complet capaciteacute du dispositif agrave assurer une eacutevacuation complegravete de la poudre (grammes de poudre par cmsup2) Indeacutependance par rapport agrave la tempeacuterature Conservation de lefficaciteacute du dispositif et maintien des proprieacuteteacutes de la poudre transporteacutees face aux variations thermiques Maintien de lrsquohomogeacuteneacuteiteacute pas de diffeacuterences drsquohomogeacuteneacuteiteacute entre lrsquoentreacutee et la sortie du dispositif Lhomogeacuteneacuteiteacute peut sappreacutecier agrave luniformiteacute des concentrations en tout point du meacutelange et agrave labsence de structures ou micro-structures physiquement deacutecelables par exemple visuellement Lrsquohomogeacuteneacuteiteacute est proportionnelle agrave la finesse de la granulomeacutetrie des poudres Coucirct se subdivise comme suit

a) coucirct initial - reacutealisation - mise en œuvre de lrsquoinstallation et reacuteglage

b) coucirct drsquoexploitation - eacutenergie consommeacutee par lrsquoinstallation - maintenance de lrsquoinstallation

Annexes

146

Annexe B

Solution frottement controcircleacute

B1 Calcul de la longueur du pied

On commence avec la deacuteformation drsquoune poutre encastreacutee-libre obtenue sous lrsquoaction drsquoune force (Figure B1 a)

y

a) b)

Figure B1 ndash a) Poutre encastreacutee-libre b) Dimensions de la poutre

La flegraveche obtenue en appliquant la force F est

IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11

Ougrave F est la force appliqueacutee L la longueur de la poutre E le module du Young et I le moment inertiel On connaicirct la formule de calcul pour I

12

ehI

3sdot= B12

En utilisant les formules B11 et B12 on obtient

Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13

Comme les dimensions de la poutre sont constantes on considegravere que

ykF eq sdot= B14 ougrave keq est une constante eacutelastique eacutequivalente

3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15

On souhaite que la poutre reacutesonne agrave une valeur de freacutequence f0 donc avec une pulsation ω0 Dans un point de vue meacutecanique la pulsation srsquoeacutecrit

M

k T0 =ω B16

ougrave kT et la constante eacutelastique drsquoun ressort et M la masse du systegraveme vibrant On considegravere que

20eqT MkNk ωsdot=sdot= B17

ougrave N est le nombre de ressorts En utilisant les eacutequations B15 et B17 on obtient

3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18

Ensuite si on considegravere constants lrsquoeacutepaisseur et la largeur de la poutre on peut deacutetermine sa longueur

30

3

M4ehNE

Lsdotωsdotsdotsdotsdot= B19

Annexes

148

B2 Analyse modale de la poutre

Poutre L=500mm acier inoxydable

Mode flexion

Mode F (Hz) Mode F (Hz) Mode F (Hz) Mode F (Hz)

1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482

Tableau B11 ndash Modes de flexion pour une en acier inoxydable L=500mm

Annexes

149

B3 Caracteacuteristiques des poudres

Poudre Caracteacuteristiques

corindon ciment alumine Φ30 (SPM84)

alumine Φ10 (SPM95)

Densiteacute absolue (kgm3)

3940 ~3000 3900 3900

Granulomeacutetrie D10 (microm) 20 13 20 7 D501 (microm) 50 17 30 10 D100 (microm) 80 57 (D90) 50 25

1 ndash D50 ndash 50 de particules sur un volume de poudre donneacutee ont un diamegravetre infeacuterieur ou eacutegal avec la valeur preacutesenteacutee dans le tableau

Tableau B31 ndash Caracteacuteristiques principales des poudres utiliseacutees

B4 Modegravele matheacutematique du transport de poudre pour le principe du frottement controcircleacute

function v_moy=friction_controle_v6(A omegatHF rho mu f display) A amplitude de la vibration BF omega pulsation de la vibration BF tvecteur de temps HF vecteur des instants HF HF=0 pas de HF HF=1 HF mu(1) -gt HF OFF mu(2) -gt HF ON f(1) -gt HF OFF f(2) -gt HFON constante g=981 Te=(t(length(t))-t(1))(length(t)) eps_v=1e-5 au dessous on considegravere que initialisations adherence = 1 aherence = 0 si glissement on deacutefinit les vecteurs vitesse vi=0t vabs=0t x_barre= -Acos(omegat) v_barre= Aomegasin(omegat) a_barre= Aomega^2cos(omegat) etat = 0t old_fext=0 deacutefinition de leffort de la barre sur la poudr e F=0t for i=1length(t) cest parti etat(i)=adherence on affecte les valeurs des grandeurs qui d eacutependent de HF

Annexes

150

mu_s=mu(1)+(mu(2)-mu(1))HF(i) f_s=f(1)+(f(2)-f(1))HF(i) f_s=f(2) on reacutesoud leacutequation de la dynamique if (1==adherence) then vi(i)=0 vabs(i)=v_barre(i) F(i)=rhoa_barre(i) S car vabs=v_barre if (abs(F(i))gtmu_srhog) then adherence=0 end else ici il y a un frottement sec et un fr ottement fluide on reacutesoud dans le repere mobile pour p lus de faciliteacute if (vi(i-1)gt0) then f_ext=-rhoa_barre(i)-mu_srhog car le frottement deacutepend de la vitesse else f_ext=-rhoa_barre(i)+mu_srhog end vi(i)=1(f_s+2rhoTe)(f_ext+old_fext+vi( i-1)(2rhoTe-f_s)) vabs(i)=vi(i)+v_barre(i) F(i)=f_ext+rhoa_barre(i)-f_svi(i) old_fext=f_ext doit on passer en adheacuterence if (vi(i)vi(i-1)lt0) then adherence=1 old_fext=0 end end end aabs=[0 diff(vabs)Te] pabs=cumsum(vabs)Te v_moy=mean(vabs) save ( resultatsmat etat vi pabs vabs aabs F x_barre v_barre a_barre t ) Le fichier de donneacutees est t=01e-550e-3 peacuteriode drsquoun cycle de transport omega=2pi20 pulsation HF=1(1-sign(cos(omegat)))2 rho=3900 densiteacute mu(1)=08 mu(2)=001557 valeurs pour les coeff de frottement sec avec US et sans US f(1)=2000000 f(2)=297700 valeurs pour le coeff de frottement fluide avec Us et sans US A=002e-44e-4 amplitude BF for k=1length(A) v_moy(k)=friction_controle_v6(A(k)omegatHFr homuf0) end

Annexes

151

Annexe C Modegravele matheacutematique

de lrsquoonde progressive en flexion

La vibration transversale drsquoune poutre Euler-Bernoulli est donneacutee par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle [Abu-Hilal 2003]

)tx(pwrwrwwIE ia =primeprimeprimeprimesdot+sdot+sdotmicro+primeprimeprimeprimesdotsdot ampampampamp C11 Ougrave micro ndash la masse lineacuteique de la poutre ra ndash e coefficient drsquoamortissement externe ri ndash le coefficient drsquoamortissement interne p(xt) ndash la charge lineacuteique de la poutre dans le point x et moment t

Une apostrophe repreacutesente la diffeacuterentielle en fonction de la position x et un point la diffeacuterentielle en fonction du temps t On considegravere que p(xt) est une charge concentreacutee qui impose un mouvement harmonique de pulsation ω de la poutre La formule est

ti0

ti eF)x(e)x(f)tx(p ωω ξminusδ== C12

Ougrave δ(x-ξ) ndash la fonction Dirac delta ξ ndash la position ougrave on impose la force p(xt) F0 ndash amplitude de la force On impose que la solution de lrsquoeacutequation (C11) ait la forme suivante

tie)x(X)tx(w sdotωsdotsdot= C13

En remplaccedilant la solution (C13) dans lrsquoeacutequation (C11) et divisant par eiωt on obtient

)riIE()x(f

XkXi

4

ωsdotsdot+sdot=sdotminusprimeprimeprimeprime C14

ougrave

ωsdotsdot+sdot

ωsdotsdotminusωsdotmicro=

i

a2

4

riIEri

k C15

La solution de lrsquoeacutequation (C14) peut srsquoeacutecrire sous la forme

Annexes

152

int ξsdotξsdotξ= L0

d)x(G)(f)x(X C16

ougrave L est la longueur de la poutre et G(xξ) la fonction Green qui doit ecirctre deacutetermineacutee Pour reacutesoudre lrsquoeacutequation (C14) on va utiliser la transformeacutee de Laplace et on va obtenir

primeprimeprime+primeprimesdot+primesdot+sdot+

ωsdotsdot+sdotsdot

minus=

ξsdotminus)0(X)0(Xs)0(Xs)0(Xs

riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17

ougrave X(0) Xrsquo(0) Xrsquorsquo(0) et Xrsquorsquorsquo(0) sont les valeurs de la fonction X et de ses deacuteriveacutees dans le point x=0 Pour une poutre avec conditions aux limites homogegravenes seulement deux des quatre conditions sont connues les deux autres seront laisseacutees comme paramegravetres pouvant ecirctre deacutetermineacutes en appliquant les conditions limites en x=L dans lrsquoeacutequation de la transformeacutee inverse La transformeacutee inverse de lrsquoeacutequation (C17) est

)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34

Φsdotprimeprimeprime

+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime

+Φsdot+ωsdotsdot+sdotsdot

ξminussdotξminusΦ=ξ

C18

ougrave u(x) est la fonction unitaire et

))kxsin()kx(sinh(

21

)x())kxcos()kx(cosh(21

)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21

minussdot=Φminussdot=Φ

+sdot=Φ+sdot=Φ C19

En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153

)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk)x()0(Xk)irEI()x(

)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X

)x()0(X)x()0(kX)irEI(k

)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+ξminusΦ

=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111

En combinant les eacutequations (C18) et (C111) on obtient

ξminusprimeprimeprimeξminusprimeprimeξminusprimeξminus

=

primeprimeprimeprimeprimeprime

sdot

ΦΦsdotΦsdotΦsdot

ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ

)(f)L(X)(f)L(X)(f)L(X)(f)L(X

)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave

ωsdotsdot+sdotξminusΦ

=ξωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113

Les conditions aux extreacutemiteacutes pour une poutre libre-libre sont

0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114

En remplaccedilant lrsquoeacutequation (C114) dans lrsquoeacutequation (C112) on obtient

ωsdotsdot+sdotξminusΦminus

ωsdotsdot+sdotsdotξminusΦminus

=

primesdot

ΦsdotΦsdotΦsdotΦsdot

i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X

)L(k)L(k)L(k)L(k C115

Apregraves la reacutesolution de cette eacutequation et lrsquointroduction de reacutesultats dans lrsquoeacutequation (C18) on peut deacuteterminer la fonction Green pour une poutre libre-libre

Annexes

154

[ ])x()(g)x()(gC)x(u)x(C)x(G 1242234 Φsdotξ+Φsdotξsdot+ξminussdotξminusΦsdot=ξ C116 avec

)riIE(k

1C

i3 ωsdotsdot+sdotsdot

= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ

ξminusΦsdotΦminusξminusΦsdotΦ=ξ

ΦsdotΦminusΦ


C118

En remplaccedilant lrsquoeacutequation (C116) dans lrsquoeacutequation (C16) et ensuite dans lrsquoeacutequation (C13) on obtient la deacuteformation subite par la poutre sous lrsquoaction drsquoune charge concentreacutee imposeacutee dans la position ξ

[ ] ti1242230 e)x()(g)x()(gCF)tx(w ωsdotΦsdotξ+Φsdotξsdotsdot= C118

PAGE VIDE

ReacutesumeAbstract

i


ReacutesumeAbstract

ii

PAGE VIDE


iii




















II1 Introduction 31










iv







II5 Conclusions 69























v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118



ReacutesumeAbstract

i


ReacutesumeAbstract

ii

PAGE VIDE


iii




















II1 Introduction 31










iv







II5 Conclusions 69























v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118



ReacutesumeAbstract

ii

PAGE VIDE


iii




















II1 Introduction 31










iv







II5 Conclusions 69























v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118




iii




















II1 Introduction 31










iv







II5 Conclusions 69























v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118




iv







II5 Conclusions 69























v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118




v














IV33 Conclusion 134

IV4 Conclusions 135


Bibliographie 139









vi

Liste de figures

vii

Liste de figures


Liste de figures

viii


Liste de figures

ix


Liste de figures

x


Liste de tableaux

xi

Liste de tableaux


Liste de tableaux

xii

Glossaire

xiii















ω Pulsation [rads]









Glossaire

xiv









1









2



3

Chapitre I

Etat de lrsquoart





4














5



6




7







I1221 Introduction





8



9




Moteur Tuyau

GBF


1



t

x

I

II

I

II


x0




10








11




+

I II III






12

Moteur Tuyau

GBF

1










13





2005]



14






15








16









17








18








19








20









21


Moteur

HF

Poutre

GBF PA

1 2






22




A

f

Joints

Modes

1 10 100 1000

1

10

100


10000

Stick slip

Systegraveme actuel



On tend vers




23

Critegraveres




commande

Vidage complet










24


Onde progressive

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct


0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Couplage de modes

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct

Stick-slip

0

05

1

15

2


Efficaciteacute



Vidage complet



Coucirct




25













26



dD1D2dD1D2



221

21

d

1DDDD

12A

F sdot+sdot

sdotminus= I2



21

d

D12A

F sdotminus= I3

dD1dD1

d1D1

d2

d1D1

d2



27


minussdotminus=

22

121

1

d

D

d

D12A

F I4









( )20

3

vib f2a6d






28



20

21el

r4

QQF


sdot= I9











(10-9 N) 2



Ciment 17 397 794 1408 Alumine Φ10 10 233 466 3727




29






30


31

Chapitre II


II1 Introduction




32




v

x

t

t

III


a

t

HFoffHFon

I




33










34






2010

248

2

1



35





l

h

e1




36







Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible








37







3

0

3

M4ehNE


ω II1



38










39











40



5 ndash 096microm

1 2 3 4 5


5 ndash 096microm

1 2 3 4 5







41

SDT

OSC

M

ORD

ACC

GS AP

STS1 STS2

STS3


AM





42












43

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti


Eacutecrou



y = 00001x - 00656

y = -9E-07x + 00107

0

005

01

015

02

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Deacutebit (gs)

Alumine 30microm

Corindon 50microm







α


44







0

02

04

06

08


Deacutebit (gs)




45


0

02

04

06

0 400 800 1200 1600 2000


Debit (gs)

Corindon

Alumine Φ30microm

Ciment






46


0

02

04

06

08

0 400 800 1200 1600 2000


Deacutebit (gs)


Corindon scotch

Corindon inox


surfaces



α=15deg Surface








47




Poutre

Tige fileteacute


Bacircti




Tige fileteacutee









α


48


0

02

04

06

08

1

12

0 200 400 600 800 1000


Deacutebit (gs)

Ciment AHF=810nm

Corindon AHF=830nm





49


II313 Conclusions












50

Poutre

Tige fileteacutee


Bacircti

Lameflexible







S

Dvm sdotρ

= II2




51




y = 00002x - 00923

y = 2E-05x - 00066

y = 00005x - 00991

-005

0

005

01

015

02

025

03

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c






52


0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000


Vitesse moyenne

(mms)

Corindon 150V c-c

Platre 150V c-c

Sucre 150V c-c





53


0

03

06

09

12

0 200 400 600 800 1000


Debit (gs)








54


y = 00006x + 00302

0

005

01

015

02

025

0 100 200 300 400


Deacutebit (gs)










55



0

005

01

015

0 40 80 120 160 200


Deacutebit (gs)









56

II325 Conclusions



II41 Introduction









57

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O

Y

X

x

yY

XAbarre

poudre

O

O O




Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =

Repos

Adheacuterence

Glissement

)tsin(AX ω=


0vp =





58



x

y

pbF minusr

P α

R

x

y

pbF minusr

P α

R




)tsin(AMdt

XdMF 2

2

2

pb ωω==minus II4









59


)tcos(Avp ωω= II7


x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α

x

y

pbF minusrfF

rsFr

sinP

α

α



2p

2

fspbdt




60

prff

ss

vkF

MgF

=micro=

II9


dt




)z(E)z(xz1

z1T2

)t(edtdx

1

1

e=

+

minusrArr=

minus

minus II11


))n(tcos(A

)1n(vkTM2


TM2

1)n(v pf

espbpb

fe

p

ωω+

+

minus


+= minusminus

II12





61








62

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-3

-2

-1

0

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1

15x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002

004


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




63

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-5

0

5x 10

4 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-005

0

005

01


0 001 002 003 004 005-002

0

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




64

0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

0

1


0 001 002 003 004 005-1

-05

0

05

1x 10

5 Force(ms2)

0 001 002 003 004 0050

05

1x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-001

0

001

002


0 001 002 003 004 005-4

-2

0

2

4x 10


0 001 002 003 004 005-01

-005

0

005


0 001 002 003 004 005-10

-5

0

5



Temps (s)




65







barre (deg) micros


microsrsquo







66






67

0 1 2 3 4

x 10-4

-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Corindon





68

0 1 2 3 4

x 10-4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ30microm



0 1 2 3 4

x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Ciment




69

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45

x 10-4

0

02

04

06

08

1

12

14x 10

-3

Amplitude BF (m)

Vite

sse

mo

yen

ne

(m

s)

Alumine φ10microm




II5 Conclusions





70





71

Chapitre III


theacuteoriques

III1 Introduction



72





ν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventreν

λ

A

-A

t3

t2

t1

x

y

Ventre





73


k2π=λ III3


kvfvv2 =ωλ=ω=

λπ

III4


πminus

πminusω+ω=minus2

kxcos2




A

-At3

t2

t1

x

yVentre Nœud




74




min

max

AA

TOS = III7



75



VTVTVT

VN VN VN



Surface vibrante




progressive



deacutefinie par

)vtx(ksinAh

)vtx(ksinkA2h

xw

2h

)tx(u minussdotλ



76


uw

h2

h

A

B

C

D

A

B

D

C

Fibre neutre

Barreau

z



)vtx(ksinAh

)tx(u

)vtx(kcosA)tx(w

minussdotλ

π=

minussdot= III9



)vtx(kcosAh

t)tx(u

)tx(vT minussdotλ

ωπminus=part

part= III10





)vtx(ksinAt


partpart= III11


77


kt

xMω= III12


0)tx(v

Ah)tx(v

NM

TM

=λ

ωπ= III13




)vtx(kcos2A

)vtx(kcos2A




78










79









80


Tube initial

Tube initial

Tube initial

Mode longitudinal

Mode radial


Mode flexion






Structure



Structure

Structure



Structure





81




Barre


l lBarre


l l



)(EI

)lsin(LF2

)x(a44

n

n0n

βββminus

= III15


S

EIg

g2

2

24

ρωβ == III16



82

suminfin

=

=1n






sumsuminfin

=

infin

=ωβminus+ωβ=

1nnn

n








83







f24kEdh

Z33

0 π= III19



84


Ld2

2

YY1

n

AZ

+= III20






85




0t

w

g

1

x

w2

2

24

4=

part

part+part

part III21

avec

S

EIg2

ρ= III22




( ) ( )



43

21


III25

avec

2

24

g

ω=β III26



86

0dx

)L(Yd

dx

)L(Yd

0dx

)0(Yd

dx

)0(Yd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

III27



2817L1314L9910L

857L734L0L

543

210

=β=β=β

=β=β=β III29


S

EI

L2

)L(f

2

2n

n ρπ

β= III30




87












ti

20ti


avec


88

[ ]

[ ])x()L(g)x()L(gCC

)x()(g)x()(gCC

1242232

1242231





λsdot+λsdot=87

2nl III35










89






90

0 05 1 15 2 25 3

x 104

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)






91


02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03-15

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re


t1

t2gtt

1

t3gtt

2

t4gtt

3

t5gtt

4

t6gtt

5

t7gtt

6





92



93




02 021 022 023 024 025 026 027 028 029 03

-1

-05

0

05

1

15x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003





94

0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 05-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

x [m]

Def

orm

eacutee d

e la

bar

re [

m]


=20573Hz ζ=0003



95











96

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18718 pour f=20900Hz et ζ=0000

x

gt



-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=18727 pour f=20900Hz et ζ=0003

x

gt




97


204 2045 205 2055 206 2065 207

x 104

095

1

105

11

115

12

125

13


Freacutequence (Hz)

TO

S







98

-2 -15 -1 -05 0 05 1 15 2

x 10-8

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2x 10

-8

real Wt

image

Wt

TOS=10533 pour f=20563Hz et ζ=0003

x

gt



III44 Conclusions




99






)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= III37


0KKK 012


avec

[ ]

222222

322222221

422420

)~

n()~

n(2

31K

)~

n(13

)~

n(n~

)23(2

1K

)~

n(~

)1(2

1K




III39

et


100

L


2

2

R12

h

sdot=δ III41


n=0 n=1 n=2 n=3 n=4



101

Mode n=2 m=4






102

0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5

x 104

0

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd


n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6



12

2α=δ III42


103

βsdotπsdot=λ m~

III43

avec

Rh=α III44

LR=β III45


)1(

E2

Rf2νminussdotρ

sdotπsdot

Ω=sdot III46





104




105




)tx(pt

u

c

1

x

u2

2

20

2

2minus=

part

partminuspart

part III47


π+ω

ω

=

=

2ti

0

ti0

eF)tL(p

eF)t0(p III48



ougrave


ρ=ω=β E

cc

020

22 III51


106


0dxdU

FdxdU

EALxen

0dxdU

FdxdU

EA0xen

0x0

Lx

Lx0

0x

=minus==

=minus==

==

==

III52


ϕ+ωϕ+ω

ωω

=βββ

minus==

=ββ+ββ

minus==

itiL

iti0L

ti0

ti00

e)x(UxecosLsinEA

F)tx(uLxen


)tx(u0xen

III53



ti

20ti


avec

xcosLsinEA

FC

)xcosLcotx(sinEAF

C

02

01

βββ

minus=

ββ+ββ

minus=

III55





107




)21n(L2

ncf 0n == III56



108

0 1 2 3 4 5 6

x 104

-700

-500

-300

-100

100

Freacutequence (Hz)

Am

plit

ud

e (d

B)





109



110


III54 Conclusion


III6 Conclusions



111

Chapitre IV









112






λsdot+λsdot=87

2nl IV1



k

2 πsdot=λ IV2


4IES





113



82

m8

L mmm λ+

λsdot+

λ= IV4


82

)1m(8

L 1m1m1m +++ λ+

λsdot++

λ= IV5


44

)21

m(2

LL 1m1mm ++ λ+

λ+λ+=+

IV6



2

mLλsdot= IV7





114




115times115 mm 2800kgm3 74GPa 033



14times49 mm 476mm





m Poutre

14times49mm Poutre

115times115mm 11 6513 13292 12 7695 15704

13 8975 18317 14 10354 21132

15 11832 24147 16 13408 27363 17 15083 30781 18 16856 34399

19 18727 38219 20 20697 42239

21 22766 46460 22 24933 50883





115






116

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000D

efo

rma

tio

n d

e l

a b

arr


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4000

-2000

0

2000

4000

L (mm)

De

form

ati

on

de

la

ba

rre

Mode m=20 f=20227Hz

8mm48mm

47mm

8mm


finis)






117









118









119



No mode m


(Hz) 19 17753

FOP (Hz)

TOS

20 19167 18460 133 21 20298 19732 114 22 21621 - -





120




l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)











121

Poudre Poutre


Amax (microm)

Q (gsmm)

VP (mms)

vT max (mms)

Aseuil (microm)


Corindon 50microm



Ciment 17microm

6times6times493 400 280 00014 6 121 0805







122


y = 04335x - 318770

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100

vT (mms)

vP (mms)

Vp mesureacutee

Vp estimeacutee




types des poutres


0TT vAh

v minusλ

ωπ= IV9



Aωπ

λ= IV10





15times2times500 0445 0312



123




124


poudre se forment












125


)1(

ER2

f2νminussdotρ

sdotsdotπsdot

Ω= IV11




m Calcul


finis 18 17110 17554 19 18093 18489 20 19038 19372 21 19942 20160 22 20806 20908 23 21627 21930


numeacuterique





126



λ

ωπ= ADv T IV12









127

Poutre


l (mm)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amax (microm)

vT max (mms)

vN max (mms)


inoxydable 167 20970 90 275 085 190 112



IV25 Conclusions



128








129

15 2 25 3 35 4

x 104

10

20

30

40

50

60

f [Hz]

m -

no

mb

re d

e d

em

i lo

ng

ue

ur

do

nd

e






Freacutequence (Hz)

No mode Calcul






130



Z mode m=18



131

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

L (mm)

Def

orm

atio

n d

u t

ub





x

)tx(w)tx(u



ωt)(kxsinkA=x

t)w(x=t)u(x minusγ




132


avec k2

=πλ





partpart= IV17







133




U (V c)

fOP (Hz)

λ (mm)

TOS Amin (nm)

Amax (nm)

vT (mms)

300 32410 130 169 157 265 13 300 33339 115 155 215 334 17 300 33614 105 147 251 370 20




134





IV33 Conclusion



135


IV4 Conclusions



136









137



138


Bibliographie

139

Bibliographie













Bibliographie

140

















Bibliographie

141



















Bibliographie

142
















Bibliographie

143


Bibliographie

144

Annexes

145





Annexes

146

Annexe B




y

a) b)



IE3

LFy

3

sdotsdotsdot= B11


12

ehI

3sdot= B12


Annexes

147

3

3

ehE

LF4y

sdotsdot

sdotsdot= B13



3

3

eqL4

ehEk

sdot

sdotsdot= B15


M

k T0 =ω B16




3

320

eqL4

ehEN

Mk

sdot

sdotsdot=ωsdot

= B18


30

3

M4ehNE


Annexes

148



Mode flexion


1 0 41 66466 81 14586 121 22604

2 0 42 66584 82 14698 122 22642

3 0 43 67283 83 14737 123 22852

4 13459 44 67899 84 15453 124 23112

5 71559 45 69184 85 15686 125 23235

6 17809 46 71374 86 15706 126 23640

7 19032 47 72968 87 16289 127 23667

8 28943 48 73093 88 16719 128 23853

9 33224 49 74318 89 16755 129 24119

10 53336 50 77352 90 17139 130 24583

11 59142 51 77792 91 17335 131 24685

12 78021 52 7994 92 17655 132 24965

13 91333 53 81829 93 17759 133 25393

14 10015 54 83413 94 17998 134 25459

15 10711 55 86545 95 18008 135 25763

16 12562 56 87112 96 18250 136 26142

17 1404 57 89967 97 18332 137 26235

18 16162 58 90616 98 18441 138 26342

19 17757 59 91962 99 18600 139 26810

20 19944 60 95186 100 18800 140 26893

21 2173 61 97044 101 18881 141 27096

22 23761 62 99207 102 18915 142 27521

23 24137 63 10305 103 19093 143 27645

24 24269 64 10320 104 19105 144 28000

25 26841 65 10757 105 19425 145 28014

26 28243 66 10967 106 19777 146 28260

27 31541 67 11123 107 19789 147 28936

28 32736 68 11630 108 20023 148 29011

29 36727 69 11649 109 20217 149 29161

30 37516 70 11656 110 20282 150 29208

31 42137 71 12012 111 20288 151 29699

32 42265 72 12354 112 20697 152 29927

33 43079 73 12460 113 20731 153 30346

34 48061 74 12868 114 21160

35 4812 75 12876 115 21289

36 53761 76 13110 116 21522

37 54263 77 13629 117 21645

38 59737 78 13783 118 21816

39 60634 79 13879 119 22385

40 64647 80 14460 120 22482


Annexes

149






3940 ~3000 3900 3900






Annexes

150


Annexes

151






ti0





)riIE()x(f

XkXi

4


ougrave

ωsdotsdot+sdot


i

a2

4

riIEri

k C15


Annexes

152


d)x(G)(f)x(X C16



ωsdotsdot+sdotsdot

minus=


riIEe

ks

1)s(X 23

i

s

44 C17


)x(

k

)0(X)x(

k

)0(X

)x(k

)0(X)x()0(X

)riIE(k

)x(u)x()x(X

4332

21i

34


+Φsdotprimeprime

+

+Φsdotprime



C18


))kxsin()kx(sinh(

21


)x(

))kxsin()kx(sinh(21


)x(

43

21



En sachant que

13

422

434

43

312

323

33

242

212

23

132

141

kkk

kkk

kkk

kkk

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ

C110

On obtient que

Annexes

153


)x(X

)x(k

)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk

)irEI(k)x(

)x(X

)x(k

)0(X)x(

k)0(X


)x()x(X

1432

23

i

1

21432

i

2

32214i

23


=ξ


=ξ

Φ+Φ+Φ+Φ+ω+

ξminusΦ=ξ

C111



=


sdot


ΦΦΦsdotΦsdot

ΦΦΦΦsdot

ΦΦΦΦ


)0(X)0(X)0(X)0(X

)L()L(k)L(k)L(kk

)L()L()L(k)L(k

k

)L(k

)L()L()L(k

k

)L(

k

)L(k

)L()L(

4

3

2

1

1432

23

2143

2

232

14

34

232

1

C112

ougrave



ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

ωsdotsdot+sdotsdot

ξminusΦ=ξ

i

14

i

23

i2

32

i3

41

riIE)L(

)(f)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

)riIE(k

)L()(f

C113


0dx

)L(Xd

dx

)L(Xd

0dx

)0(Xd

dx

)0(Xd

3

3

2

2

3

3

2

2

==

==

C114




=

primesdot


i

2i

2

32

23

432

riIE)L(

)riIE(k)L(

)0(X)0(X



Annexes

154


)riIE(k

1C


= C117

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

)L()L()L(

)L()L()L()L()(g

4223

231424

4223

132223

ΦsdotΦminusΦ


ΦsdotΦminusΦ


C118



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Contribution au transport de poudre par actionnement