Copernic (1473 1543) - Laboratoire de physique des hautes

OS, 13 décembre 2005 99

Copernic (1473 1543)

• De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543)– Modèle héliocentrique (inspiré par Aristarque)– Remet en question la vision géocentrique et le

« modèle des deux sphères concentriques »(la sphère terrestre et la sphère des étoiles fixes)

Révolution de pensée:la Terre (et donc l’humain)n’est plus le centre del’Univers !

conflit avec l’Eglise

Qualitativement, explication plus simple dumouvement des planètes (mouvement rétrogradeexpliqué par le mouvement de la Terre)… mais toujours des cercles !« … le mouvement des corps célestes est circulaire. En effet, lamobilité propre de la sphère est de tourner en rond: par cet actemême [...] elle exprime sa forme, celle du corps le plus simple … »

polonais


Tycho-Brahé (1546 1601) et Képler (1571–1630)

• Tente de réconcilier lespoints de vue de l’Egliseet de Copernic(Soleil tourne autour de laTerre immobile et planètestournent autour du Soleil)

• Réalise l’importance defaire des mesures précisesdu mouvement desplanètes (approche scientifique)

• Consacre de nombreusesannées à l’observation etla mesure des mouvementplanétaires.

• Remarque que si l’orbite de Mars est un cercle,le Soleil ne peut pas se trouver au centre de cecercle ... et finalement que l’orbite de Marsn’est pas un cercle

• Partisan dusystèmehéliocentriquede Copernic

• Poursuitl’analyse desmesures dumouvement deMars faite(s)par son maîtreet ami Tycho-Brahé

allemanddanois


Lois de Képler• 2ème loi: (lois des aires, 1609)

Le rayon-vecteur du Soleil à une planètebalaie des aires égales en des temps égaux.

• 1ère loi: (1609)Les trajectoires des planètes sont des ellipsesdont le Soleil occupe l’un des foyers.

• 3ème loi: (1619)Les carrés des périodes de révolution sontproportionnels au cube des grands axes:

période( )2

grand axe( )3 = constante

Découverte pourla planète Terreen supposant uneorbite circulaire

Découverte en1604 pour laplanète Mars ensupposant la loides aires

Note:Rapport des axes de l’ellipse: 0.996 pour Mars 0.99986 pour la Terre


Galilée (1564–1642), Newton (1642–1727)et le développement de la dynamique

• Qu’est-ce qui fait bouger les planètes ?– Avant Galilée/Newton:

• Le mouvement « naturel » d’un corps est l’immobilité• Une planète doit constamment être poussée ou tirée

(par un ange !) dans la direction de son mouvement,autrement elle s’arrête

– Après Galilée/Newton:• Le mouvement « naturel » d’un corps est rectiligne

uniforme; une planète dévie de sa ligne droite si uneforce non tangentielle agit sur elle

• Newton tire les conséquences des lois de Képler:La 2ème loi et la planéité de l’orbite implique que la force(et donc l’accélération) subie par une planète pointe toujoursvers le Soleil:

cette force centrale attractive est exercée par le Soleil (voilà notre ange !)En utilisant de plus la 3ème loi, Newton montre que la forceest proportionnelle à 1/r2 (r = distance Soleil-planète)A partir de là, il prédit une trajectoire elliptique ! (1ère loi)

anglaisitalien

F 1r2

loi de lagravitationuniverselle


Mouvement central et loi des aires

Définition: un point P de masse m a un mouvement central sison accélération passe toujours par un même point O

r r (t) = OP reste toujours parallèle à

r a (t)

P(t’)

P(t’’)a(t’)

a(t’’)

O

dA

v(t) dt

r(t)

Mouvementcentral

Momentcinétiqueconstant

Loi des aires+ mouvementdans un plan

par rapport à un certain point O fixe

ddt(

r r m

r v ) =

r v m

r v +

r r m

r a = 0

Conséquences:

• Le vecteur moment cinétiquereste constant et le mouvement est plan:

r L =

r r m

r v

dA = 12 r v dt sin(

r r ,

r v ) dA

dt = 12 r r

r v = L

2m

• L’aire balayée par unité de temps par levecteur r(t) est constante (loi des aires):


Mouvement central (démos)démos: projection dans un plan horizontal du mouvement

d’une bille soumise à son poids et astreinte à sedéplacer sur une surface de révolution d’axe vertical

r F

O

y

x

Projection sur plan horizontal

r F = mg cos sin

Support de r F passe toujours par O

Force totale r F = m

r g +

r N = F ˆ e + Fz ˆ e z

F = r F ˆ e = mg cos sin

Repère associé (coord. cylindr.)Pˆ e ˆ e ˆ e z

Composante horizontale:

axe

de r

évol

utio

n ve

rtic

al

surf

ace

de r

évol

utio

n

mr g

r N

r F

ˆ e

ˆ e z

zVue de coté

xO


« Découverte » de la force en 1/r2

(dans le cas particulier d’une orbite circulaire de rayon r)

Au tableau

rO

a = ( r)

v = r

NB: le cercle est une ellipse de grand (petit) demi-axe ret son centre est l’un ou l’autre des foyers

r L =

r r m

r v = m

r r (

r

r r )

= m (r r

r r )

r m (

r r

r )

r r = mr2

r

r L = cste

r = cste v = r = cste

mouvement circulaire uniforme

• 2ème loi de Képler (loi des aires):

• 3ème loi de Képler:

(période)2 = T2 = C r3

où C est une constante

F = ma = mv 2

r = m

r 2 r

T( )2

= mr (2 r) 2

C r 3 = 4 2 m

C 1r 2

= S m 1

r 2

On pose S = 4 2

C

T = 2 r 3

S


Les planètes, la lune et la pomme

• Newton postule que tous les corps exercent l’un sur l’autreune force similaire à celle du Soleil sur une planète:– Exemple: la Terre attire aussi bien la Lune

qu’une pomme, et donc la Lune« tombe » en chute libre de lamême manière que la pomme

• Vérification du postulat (1666):– A la surface de la Terre de rayon R, la pomme de masse m

subit une force donnée par mg = T m / R2, donc T = gR2

– Newton calcule alors la période de révolution T de la Luneconnaissant sa distance d à la Terre:

… mais le résultat diffère de 15% par rapport à la valeur observée !Il renonce à publier, jusqu’à ce que, plusieurs années plus tard, lalongueur du méridien terrestre soit mesurée correctement(et réduise l’écart de 15% à 1%)

T = 2 d 3

T

= 2 d 3

gR 2

Got

lib


Action et réaction (3ème loi de Newton)

« A chaque action, il y a toujours une réaction égale et opposée; si uncorps exerce une force sur un autre, cet autre corps exerce une forceégale et opposée sur le premier »

Application aux forces gravifiques:cas du système Terre(T)-Lune(L)

r F T L +

r F L T = 0

FT L = FL T

T

mT

= L

mL

= constante universelle indépendante du corps (= G)

FT L = TmL1d

2

FL T = LmT1d

2

TmL = LmT

FT L

FL T

mT

mL

d


Loi de la gravitation universelle (Newton)

L’interaction de gravitation entre deuxcorps s’exprime par une force centraleattractive proportionnelle aux massesdes deux corps et inversementproportionnelle au carré de leur distance

« Philosophiae Naturalis Principia Mathematica » (1687)

r F = G M m

r2 ˆ e r = G M mr3

r r

G = constante de gravitation universelle

Mm

F

r

ˆ e r Notes:• En pleine cohérence avec les lois de Képler,

cette loi a tout de suite été acceptée• G = (6.673 ± 0.010) 10 11

m3 kg 1 s 1

(valeur actuelle)


Relativité générale d’Einstein (dès 1907)

Andromède

Notre galaxie

A grande échelle, lastructure de l’Universest complètementdominée par les forcesgravitationnelles.

Et plus loin ...

• Concept de base:– l’espace-temps est déformé par la présence des masses

(et les corps suivent des géodésiques dans l’espace courbe)

• La gravitation newtonienne n’est qu’une approximation– des effets de relativité générale ont été observés sur l’orbite de Mercure– la lumière, qui n’a pas de « masse », est également affectée par la gravitation

(observation d’étoiles dans la direction du Soleil lors d’une éclipse solaire)

• Description de « phénomènes extrêmes » (trous noirs, …)


Champ de gravitation

• Une masse ponctuelle M produit unchamp gravitationnel g(r) à la position r:Force subie par une masse m à cette position:

• Quel est le champ gravitationnel produit par une masse Mnon ponctuelle, par exemple la Terre (supposée sphériqueet homogène) de rayon R ?

Terre M

m

gr = R + h

R

h

r g (

r r ) = GM

r2 r r r

r F = m

r g (

r r )

Réponse: si r R, le même champ queproduirait une masse M ponctuellesituée au centre le la Terre(conséquence de la forme en 1/r2)


Flux du champ de gravitation

• Définition du flux d’un champ g à travers unesurface dA:

• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant une masse ponctuelle M:

d = r g d

r A = g dA cos

aire dA

normaleg dA

= dsurface

= g cossurface

dA = =0 =0

2GM

r2

g{

r2sin d d

cos dA1 2 4 3 4

= 4 GM

dA

M

dA cos

rg

x

Mr

r d

r sin d

y

z

indépendant de lasurface fermée !

(théorème de Gauss)


Champ de gravitation d’une distribution de masse

• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant 3 masses ponctuelles:

• Boule de rayon R de masse M(distribution de masse uniforme):– Le champ g(r) doit être radial (symétrie sphérique):

– On applique le théorème de Gauss sur la sphèrede rayon r = R+h:

dA

M1

g1

M2

g2M3

g3

r g =

r g 1 +

r g 2 +

r g 3 = 1 + 2 + 3

= 4 G (M1+ M2 + M3)

r g (

r r ) = g(r) ˆ e r

= g 4 r2 = 4 G MTerre

M

m

g

R

h

r

g = GMr2

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