CHU Amiens IFTLM BHTS2ème année 2012-2013

Statistique Corrigé Exercices cours 5

Correction Exercice 1Il s’agit d’un test de comparaison de deux proportions observées.PA : population des malades traités avec le schéma A. Soit pA le taux de mortalité à 5 ans dans cettepopulation.PB : population des malades traités avec le schéma B. Soit pB le taux de mortalité à 5 ans dans cettepopulation.H0 : pA = pBH1 : pA 6= pBOn effectue un test bilatéral. On utilise la statistique

u =pA − pB√pqnA

+ pqnB

avec p =nApA + nBpBnA + nB

.

Pour faire le test, on suppose que H0 est vraie et pour le calcul de u, on remplace pA par sonestimation sur l’échantillon 0, 15 et pB par son estimation sur l’échantillon 0, 25. On a donc p =40× 0, 15 + 60× 0, 25

40 + 60= 0, 21 et sur l’échantillon

ue =0, 15− 0, 25√

0,21×(1−0,21)40 + 0,21×(1−0,21)

60

= −1, 2

On utilise la loi normale. Au risque 10%, on obtient uα = 1, 645 et au risque 5%, on obtient uα = 1, 96.Comme |ue| < uα, on ne peut pas rejeter H0 au risque 5%.

Correction Exercice 2Il s’agit d’un test de comparaison d’une moyenne observée à une moyenne théorique pour un petitéchantillon. Moyenne théorique : 14,5 dans la population des non malades. Soit µ la moyenne dans lapopulation des femmes dont est extrait l’échantillon.H0 : µ = 14, 5Pour répondre à la première question (la teneur en hémoglobine est-elle normale ?), on fait un testbilatéral et l’hypothèse H1 est µ 6= 14, 5. Pour répondre à la deuxième question (la teneur est-elle tropfaible), on effectue un test unilatéral et l’hypothèse H1 est µ < 14, 5. Dans les deux cas, on utilise lastatistique :

t =x̄− µσ√n

qui suit une loi de Student puisque l’échantillon est petit. Le risque est de 5% et t0,05;19 = 2, 093 pour letest bilatéral. Pour le test uniltéral, comme l’erreur n’est pas coupée en deux, il faut regarder −t0,1;19 =−1, 729. Pour le calcul de t sur l’échantillon, on estime σ par l’écart-type corrigé de l’échantillon 1,2.On a donc

te =13, 8− 14, 5

1,2√20

= −2, 6.

Comme |te| > t0,05;19 et |te| > t0,1;19, on rejette l’hypothèse H0 dans les deux cas, on peut donc conclureavec un risque de 5% que la population des femmes dont est extrait l’échantillon présente une teneuren hémoglobine trop faible.

Correction Exercice 3Il s’agit d’un test de comparaison de deux proportions observées.

P1 : population des malades traités dans le premier hôpital. Soit p1 le taux de guérison dans cettepopulation.P2 : population des malades traités dans le deuxième hôpital. Soit p2 le taux de guérison dans cettepopulation.H0 : p1 = p2H1 : p1 6= p2On effectue un test bilatéral. On utilise la statistique

u =p1 − p2√pqn1

+ pqn2

avec p =n1p1 + n2p2n1 + n2

.

Pour faire le test, on suppose que H0 est vraie et pour le calcul de u, on remplace p1 par son estimation

sur l’échantillon 0, 7 et p2 par son estimation sur l’échantillon 2/3. On a donc p =70 + 100

100 + 150= 0, 68

et

ue =70100 −

100150√

0,68×(1−0,68)100 + 0,68×(1−0,68)

150

= 0, 55.

On utilise la loi normale. Au risque 5%, on obtient uα = 1, 96. Comme ue < uα, on ne peut pas rejeterH0 au risque 0,05. On n peut pas conclure à une différence entre les deux hôpitaux.

Correction Exercice 41. Ph : population des hommes, Pf : population des femmes, caractère étudié : quantité d’acide aspar-tique de l’urine. Echantillon issu de la population Ph de taille 53 et échantillon issu de la populationPf de taille 48.2. Il s’agit d’un test de comparaison de deux moyennes observées pour deux grands échantillons indé-pendants. Soit µh le dosage moyen d’acide aspartique dans la population Ph et µf le dosage moyendans la population Pf .H0 : µh = µfH1 : µh 6=m ufIl s’agit d’un test bilatéral. On utilise la statistique :

u =x̄h − x̄f√s2c,hnh

+s2c,fnf

On dispose des écart-types sh et sf . On as2c,hnh

=s2h

nh − 1idem pour les femmes. On peut donc calculer

la valeur de la statistique sur l’échantillon

ue =91, 13− 112, 9√30,492

52 + 48,992

47

= −2, 62.

Pour un risque de 5%, on a uα = 1, 96 (en utilisant la loi normale). Puisque |ue| > uα, on peut rejeterl’hypothèse H1 au risque 5%. On ne peut donc pas conclure que les deux populations ont le mêmedosage moyen d’acide aspartique.3. Non et lorsque les échantillons sont petits, pour effectuer un test de comparaison de moyennes, ilfaut supposer en plus que les variables considérées sur la population suivent des lois normales, ce quin’est pas le cas ici. On ne peut donc rien conclure.

Correction Exercice 51. Il s’agit d’un test de comparaison d’une moyenne observée à une moyenne théorique pour un grandéchantillon. Moyenne théorique : 40,5. Moyenne dans la population des accouchements de la maternité :µ. La question est : est-ce que µ < 40, 5 ? On va donc effectuer un test unilatéral.

H0 : µ = 40, 5H1 : µ < 40, 5.Sous H0, On utilise la statistique

u =x̄− µσ√n

qui suit une loi normale puisque l’échantillon est grand. Le risque est de 5% (puisque non spécifé) etuα = −1, 645 puisque le test est unilatéral, l’erreur de 5% est donc totalement placée dans la zone desnégatifs. On calcule la valeur de la statistique sur l’échantillon, en estimant

σ√n

parsc√n

=s√n− 1

.

On obtientue =

38, 5− 40, 55√99

= −3, 98.

Comme ue < uα, on rejette H0 au rsique 5%. On peut donc conclure que cette maternité est spécialiséedans les accouchements prématurés avec une confiance de 95%.2. Il s’agit d’un test de comparaison de deux moyennes observées pour deux grands échantillons indé-pendants.P1 population des nouveaux-nés de la maternité, µ1 durée de gestation moyenne dans cette population.P2 population des nouveaux-nés dont la mère a reçu un traitement inhibant les contractions utérines,µ2 durée de gestation moyenne dans cette population.Au vu de la question posée, on effectue un test bilatéral.H0 : µ1 = µ2H1 : µ1 6= µ2.On utilise la statistique :

u =x̄1 − x̄2√s2c,1n1

+s2c,2n2

qui, sous H0, suit une loi normale. Là encore, on utilises2c,1n1

=s21

n1 − 1idem pour le deuxième groupe.

On peut donc calculer la valeur de la statistique sur l’échantillon

ue =38, 5− 39, 5√

52

99 + 42

99

= −1, 55.

Pour un risque de 5%, on a uα = 1, 96 et pour un risque de 2%, on a uα = 2, 33. Dans les deux cas,|ue| < uα. On ne peut onc pas rejeter l’hypothèse H0 au risque 2%.