Enoncé 8.3.19 Un système à régler est connu par son modèle «fonction de transfert»: v

w u 451 0 035

210 3es

s− −

+ ,

121 0 22 1 0 003( , ) ( , )+ +s s

y

y A Dimensionner un régulateur pour que le système asservi réponde aux spécifications suivantes (résultat: quotient de polynômes factorisés): • bonne immunité aux perturbations • dépassement maximal sur la réponse indicielle inférieur à 10% • écart statique nul. B Estimer le temps de réponse du système par rapport à une variation de consigne. C Compléter le schéma ci-dessus (cadre en traits interrompus). Corrigé 8.3.19 A On calcule la fonction de transfert par rapport à la consigne: (1 pt)

G ss s s s s s ss ( )

( , )( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )≅

+ + + +≅

+ + +12 45

1 0 22 1 0 035 1 0 003 1 0 002540

1 0 22 1 0 035 1 0 005 La condition d’écart statique nul impose une composante intégrale au système en boucle ouverte, qui sera apportée par le régulateur. La constante de temps dominante est très grande par rapport aux autres; une simple compensation par le régulateur risque d'offrir une trop grande sensibilité aux perturbations: on prend le dimensionnement "pour système à comportement intégral" avec un PID . (2 pts) Tn = 4*Tpe = 20 [ms] Tv = T2 = 35 [ms]. (1 pt) Pour D1 = 5 %, on calcule la valeur de Ti = 8*Ks*Tpe

2/T1= 8*540 *(5*10-3 )/0,22 = 490[ms].

G s

s ssR ( )

( , )( , ),

=+ +1 0 020 1 0 035

0 490 (2 pts)

B La figure 8.25 nous révèle qu'un tel dimensionnement peut donner un dépassement maximal inférieur à 5 % et un temps de réponse voisin de 8*Tpe pour autant qu'on place un filtre adéquat sur la valeur de consigne: Tf ≅ Tn = 20 [ms]

tr ms≅ =8 0 005 40, [ ] (2 pts) C On peut compléter le schéma:

w 1

1 0 012+ s , +

( , )( , ),

1 0 020 1 0 0350 490

+ +s ss

u y

– (2 pts)

Temps étudiants 15’ TOTAL 10 pts

+

+

Enoncé 8.3.20 pour chacun des systèmes ci-dessous, indiquer si on peut appliquer la méthode de Bode pour dimensionner le régulateur afin d'obtenir un comportement optimal du système réglé. Si la réponse est positive, esquisser les calculs sans les exécuter, sinon proposer une autre méthode qui convienne s'il en existe une.

A G se

s s

s

sA ( )( , )( , )

.=

+ +

−31 0 1 1 0 002

0 3

B G ss

s s ssB( )( , )

( , )( , )( , )=

−+ + +

6 1 0 0051 0 01 1 0 004 1 0 0003

C G ss s ssC ( )

( , )( , )( , )=

+ + +9

1 0 03 1 0 005 1 0 003

D G ss s ssD ( )

( , )( , )( , )=

+ − +12

1 0 01 1 0 008 1 0 003

E G ss

s s ssE ( )( , )

( , )( , )( , )=

++ + +

6 1 0 0041 0 01 1 0 0038 1 0 0005

Corrigé 8.3.20 A NON: le retard pur e–s0,3 est une fonction non rationnelle, comme son effet est dominant, on ne peut pas l'approximer par une fonction rationnelle. (1 pt) La méthode d'Evans est inapplicable à une fonction non rationnelle. Seule la méthode de Nyquist avec la marge de phase reste utilisable. (1 pt) B NON: ∃ zéro positif. (1 pt) Evans ou Nyquist peuvent être appliqués. (1 pt) C OUI (1 pt) Tn = 0,03 Ti = 2*9*(0,005+0,003) (1 pt) D NON: ∃ pôle positif. (1 pt) Evans seul peut être appliqué lorsque∃ pôle positif. (1 pt) E OUI (1 pt)

T Tn i= =0 01 2 150 0040 0038

0 0005, * *,,

* , (1 pt)

Temps étudiants 15’ TOTAL 10 pts