E 8.3.49 Un système à régler est connu par sa fonction de transfert:

G se

s s

s

s ( )( , ) ( , )

=+ +

− −25

1 0 25 1 0 0012

310 4

A Choisir un régulateur pour que le système asservi réponde aux spécifications suivantes(résultat: quotient de polynômes factorisés):– Pour la réponse indicielle par rapport à la consigne:• dépassement maximal ≤ 5%.• temps de réponse à 5% inférieur à 12 [ms].• écart statique nul.– Pour la réponse indicielle par rapport à une perturbation:• temps de rétablissement inférieur à 24 [ms] (rappel de définition: = temps nécessaire pour

que l'écart de réglage dû à l'arrivée de la perturbation soit atténué d'un facteur 20 (= 5 %)par rapport à sa valeur maximale).

B Vérifier avec simulink (regana.mdl, en plaçant le retard pur et un gain de 5 avant le pointd'action de la perturbation, et le reste du système après) si le cahier des charges est bienrespecté; relever les valeurs obtenues et commenter les résultats par rapport au cahier descharges.

C 8.3.49 A La condition d’écart statique nul impose une composante intégrale au système enboucle ouverte, qui sera apportée par le régulateur. (1 pt)

On approxime le retard pur par une fonction rationnelle: es

s−−

−≅

+310

44 1

1 310(1 pt)

On regroupe les deux petites constantes de temps:

1

1 3 10 1 12 101

1 15104 4 4( )( )+ +≅

+− − −s s s(1 pt)

La rapidité de rattrapage des perturbations incite à choisir le dimensionnement pour système àcomportement intégral, d'autant plus que la constante de temps dominante est près de 200 foisplus grande que la petite constante de temps équivalente calculée ci-dessus. (1 pt)T T

T KTT

G ss

s

n p

i sp

R

ms

ms

= =

= = =

=+

−

−

−

4 6

8 8 251510

0 251 8

1 6 1018 10

2

1

4 2

3

3

[ ]

( ),

, [ ]

( ),

(3 pts)

Le dépassement limité à 5 % sur la réponse indicielle de consigne nous incite à placerun filtre de consigne. On choisira un filtre du premier ordre avec un constante de tempsvoisine du temps de corrélation d'intégrale du régulateur: T Tlc n ms≅ = 6 [ ] . (1 pt)

C 8.3.49 B On introduit les valeurs calculées et celles du système à régler dans un schémasimulink.

Le temps de réponse de 11 [ms] et le dépassement de 3,7 % respectent bien le cahierdes charges pour la consigne et le temps de rétablissement atteint 21 [ms] pour un écart deréglage maximal de près de 5 % qui intervient 5,8 [ms] après l'apparition de la perturbation.On a obtenu un dépassement inférieur à 5 % en prenant une constante de temps du filtre 10 %plus grande que le temps de corrélation d'intégrale. Après quelques essais, on pourrait sansdoute augmenter le dépassement juste au-dessous de 5 % en réduisant quelque peu le temps deréponse.