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FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE TANGER

Département Génie Electrique

Licence EEA 15 Janvier 2010 Examen

Automatique Numérique Durée : 1h30

Problème: (14 point)

Soit un processus continu de fonction de transfert 1

( )1 10

G pp

1. On attaque le système ( )G p par un échelon unitaire, déterminer la réponse indicielle ( )vy t du

système en boucle ouverte ? Calculer le temps de réponse à 5 % et l’erreur statique )( ce résultat

était il prévisible ?

2. On insère le système ( )G p dans la boucle de régulation suivante avec C(p)=K :

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée )( pW . Quel est le gain statique FK et la

constante du temps F du système )( pW . En déduire la valeur de K pour que le système devienne

5 fois plus rapide en boucle fermée.

3. On prend pour K la valeur calculée dans la question précédente et on attaque le système )( pW

par un échelon unitaire, déterminer la réponse indicielle )(tyF du système en boucle fermée, l’erreur

yc(p) u(t) Fy (p)

+

-

( )G p C(p)

2

10( )) 1

t

vy t e

( ) 0 Oui car gain = 1

5%

105% 5%( ) 0,095 1 10ln 0,05 30

t

vy t e t s

101 2 , ,101 2 10 1 2 1 2

11 2

F F

K

K KKW kK p K K

pK

Pour que le système devient 5 fois plus rapide, il faut que

5

F

10 102

1 2 5F K

K

2

statique )( . Ce résultat était il prévisible?

4. Calculer les valeurs de signal de commande u(t) à t = et à t=0+

5. On prend C(p) = 1

(1 )i

KT p

avec 0K ; On attaque le système par un échelon unitaire,

déterminer l’erreur statique )( . Ce résultat était il prévisible?

2 100.4, 2

5 5F Fk s

0,4,

1 2 10 1 2

KW

K p p

2( ) 0,4 1

t

Fy t e

( ) 1 ( )Fy 0,6 Oui car pas d’intégration

( ) 1 ( ) 0Fy Oui car présence d’une d’intégration

2 100.4, 2

5 5F Fk s

0,4,

1 2 10 1 2

KW

K p p

2( ) 0,4 1

t

Fy t e

( ) 1 ( )Fy 0,6 Oui car pas d’intégration

2

2

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 0,8 1

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 0,8 0,4

(0) 2 ( ) 2 (0) 2 1 0,8 1 2

t

F

F

t

F

u t yc t y t e

u yc t y

u yc t y e

2 100.4, 2

5 5F Fk s

0,4,

1 2 10 1 2

KW

K p p

2( ) 0,4 1

t

Fy t e

( ) 1 ( )Fy 0,6 Oui car pas d’intégration

2 100.4, 2

5 5F Fk s

0,4,

1 2 10 1 2

KW

K p p

2( ) 0,4 1

t

Fy t e

( ) 1 ( )Fy 0,6 Oui car pas d’intégration

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6. On souhaite fixer la sortie du système à une valeur fixe de 2, quelle est la valeur de la consigne

yc(p) et calculer le signal de commande u(t) en régime permanent dans ce cas .

7. Le processus ( )G p est maintenant inséré dans une boucle d’asservissement numérique

(période d’échantillonnage = 0,2 s) à commande proportionnelle C(z) = Kc (Kc > 0).

Déterminer la fonction de transfert ( )eG z du système échantillonné, on posera a e

. Comparer

l’ordre des fonction de transfert G(p) et ( )eG z ainsi que leur gains statiques.

8. Calculer la fonction de transfert du système bouclé H(z) et la mettre sous la forme

zHzH

1)( 0 . Identifier les expressions de 0H et .

E(z) )(z u(z) y(z)

+

-

eG (z) C(z)

La présence d’intégration dans la boucle annule l’erreur statique. Donc en régime permanent on aura :

( ) 2 ( ) 0 2 ( ) 2 2 4F Fyc y yc y

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 4 2 4Fu yc t y

1 ( ) 1 1 0,98 0,02( )

0,98 0,98e

z G p aG z

z p z a z z

Même ordre qu’en continu et du même 1

(1) 1e

again statique G

z a

2

4

10. On règle 2K et on identifie H(z) à un premier ordre : 0 0

1 1( )

BF

BF

eH z H H

zz e

.

Calculer le gain statique, 0H et la constante du temps en boucle fermée BF .

Le pole de ( )H z est 2 (1 )a K a

Puisque c’est un système de premier ordre, la condition de stabilité est 1z

max max

2 (1 ) 1 :

:

(1 )0,5

2 (1 ) 1 2(1 )'

2 (1 ) 1 (1 )

2(1 )

(1 )

2(1 )

(1 )0

2(1 )

a K a

On en déduit

aK

a K a ad où

a K a aK

a

aLa valeur de K est K

a

aLe système est stable si K

a

0

1 2 (1 )( ) (1 ) (1 )( ) = =

1 2 ( ) 2 (1 ) 2 (1 ) 1 2 (1 )

1 2 (1 )( )=

1 2 2 (1 )

' , 2 (1 )1 2

a K aKG z K a K aH z

KG z z a K a z a K a a K a

a K aKH z

K z a K a

KH même gain statique qu en continu a K a

K

9. Exprimer le pole de ( )H z et la condition de stabilité du système en boucle fermée. En déduire

l’expression de maxK , valeur de K pour laquelle le système devient instable en boucle fermée.

Calculer sa valeur.

5

11. On applique à l'entrée un échelon unité. Déterminer l'expression de sa réponse y(n) et calculer 0y ,

1y , 2y . Représenter graphiquement y(n)

0 0,41 2

KH

K

'On retrouve le resultatu encontinu

2 (1 ) 2 2(1 ) 0,9

2ln

102 2 2 5 .

5 5

'

BF

BF

BF

a K a a a

par idebntification on a e

le système pour K est fois plus rapide

On retrouve le meme resultat qu encontinu

0

Pour une entrée échelon ( ) ( ) ( ) ( ) 1

Pr :

1 0,1( ) 0,4

1 0,9 1

( ) 0,1 1 10,4 0,4 0,4

0,9 1 0,9 1 0,9 1

( ) 0,40,9 1

( ) 0,4 1 0,9n

zy z H z E z avec E z

z

emière méthode

z zy z H

z z z z

y z A B

z z z z z z z

z zy z

z z

y n

Deuxième mét

0 0

:

( ) 1 1 0,4 1 0,9

(0) 0, (1) 0,04, (2) 0,076, (3) 0,1, (4) 0,13

(8) 0,22 .......... ( ) 0,4

BF

n

nn

hode directement

y n H E H E e

y y y y y

y etc y

6

Données :

T

t

eTTP

1

1

1

atePa

1

)1()1(

1T

t

eTPp

1 ( )( ) e

z G pG z

z p