7/25/2019 correc prob 4

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Corrig de lexercice 3. un peu de courage, ce ne sont que des calculs.....

1. Pour F

a)F R4 par dfinition.b) On vrifie que le vecteur nul OR4 = (0; 0; 0; 0)appartient Fc) Soientx = x1e1+ x2e2+ x3e3+ x4e4 et x

0 =x01e1+ x0

2e2+ x0

3e3+ x0

4e4deux vecteurs deF et; 2 R

deux scalaires. Montrons que x00

=x + x0

2 F:Par hypothse on ax1+ x2+ x3 = 0et x

0

1+ x0

2+ x0

3 = 0:

x + x0 = (x1+ x0

1)e1+ (x2+ x0

2)e2+ (x3+ x0

3)e3+ (x4+ x0

4)e4 = (x00

1 ; x00

2 ; x00

3 ; x00

4)

On a

x001 + x00

2 + x00

3 =x1+ x0

1+ x2+ x0

2+ x3+ x0

3 = (x1+ x2+ x3) + (x0

1+ x0

2+ x0

3) = 0

, doncx00 =x + x0 2 Fde mme(0; 0; 0; 0)appartient E; Get Haet E; Get Ha sont stables par combinaisons linaires puisque :pourE: (;;; 2) + (0;0; 0; 20) = (00;00; 00; 200)avec00 = + 0

pourG :

(; + ; ; + ) + (0; 0 + 0; 0; 0 + 0) = (00; 00 + 00; 00; 00 + 00)

avec00 =+ 0; 00 =+ 0 et00 =+ 0

pourHa: six = (x1; x2; x3; x4) 2 Ha et six0

= (x0

1; x0

2; x0

3; x0

4) 2 Haalorsx1 = ax2; x2 x3 = x4; x1+ x2 = x3et x

0

1 = ax0

2; x0

2 x0

3 = x0

4; x0

1+ x0

2 = x0

3

donc si lon note

x00 =x + x0 = (x1+ x0

1; x2+ x0

2; x3+ x0

3; x4+ x0

4) = (x00

1 ; x00

2 ; x00

3 ; x00

4)

alors

x001 =x1+ x0

1 = ax2+ ax0

2= ax00

2

x002 x00

3 =x2+ x0

2 x3 x0

3 = (x2 x3) + (x0

2 x0

3) = x4+ x0

4 = x00

4

x001 + x00

2 =x1+ x0

1+ x2+ x0

2 = (x1+ x2) + (x0

1+ x0

2) = x3+ x0

3 = x00

3

2. Nous allons dterminer une base de chacun des sous-espaces.

a)x 2 E, x= (e1 e2+ e3 2e4), donc si lon considre le vecteur v = e1 e2+ e3 2e4 , la famille(v) est une famille gnratrice de E : dautre partv 6= OR4 donc la famille (v) est libre. cest une base de

E: dim(E) = 1

b)x 2 F, x3 = x1 x2 donc

x= x1e1+ x2e2 (x1+ x2)e3+ x4e4 = x1(e1 e3) + x2(e2 e3) + x4e4::

La famille(e1 e3; e2 e3; e4)engendre doncF: Cette famille est libre puisque

1(e1 e3) + 2(e2 e3) + 3e4 = OR4 () 1= 0; 2= 0; 3= 0

On en dduit que cest une base deFet donc dim F= 3c)x 2 Gssi il existe trois rels ; ; tels quex = (; + ; ; + )doncx= (e1+ e2+ e4) + e2+ (e3+ e4):La famille(e1+ e2+ e4; e2; e3+ e4)est une famille gnratricedeG:Cest de plus une famille libre puisque

(e1+ e2+ e4) + e2+ (e3+ e4) = OR4 () = 0; + = 0; = 0; + = 0() = 0; = 0; = 0

donc cest une base de Get dim G= 3

d)x 2 Ha ,

8:

L1+ L2 : y1+ y2 = 2x2+ x3L1+ L4 : y1+ y4 = 3x1 x3

y3 = x1 2x2 x3y1 = x1+ x2+ x4

,8>>>:

x2 = 1

2(y1+ y2 x3)

x1 = 1

3(y1+ y4+ x3)

y3 = 1

3(y1+ y4+ x3) (y1+ y2 x3) x3

x4 = y1 x1 x2

,

8>>>:

x3 = 2y1+ 3y2+ 3y3 y4x1 = y1+ y2+ y3

x2 = 1

2 y1 y2

3

2y3+

1

2y4

x4 = 1

2y1+

1

2y3

1

2y4

Donc

R1 =

0BB@1 1 1 01

2 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2

1

2

1CCAOn vrifie que0

BB@1 1 0 11 1 1 11 2 1 02 1 1 1

1CCA0BB@

1 1 1 01

2 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2

1

2

1CCA =

0BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA

3

7/25/2019 correc prob 4

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( ouf!)

Solution 2 : Pour le pivot de Gauss on pose les calculs:

0BB@

1 1 0 11 1 1 11 2 1 02 1 1 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA

puis les oprations

L2 L2+ L1; L3 L3 L1; L4 L4 2L10BB@

1 1 0 10 2 1 00 3 1 10 3 1 3

1 0 0 01 1 0 01 0 1 02 0 0 1

1CCA

L2 1

2L20

BB@1 1 0 10 1 1

2 0

0 3 1 10 3 1 3

1 0 0 01

2

1

2 0 0

1 0 1 02 0 0 1

1CCA

L3 L3+ 3L2; L4 L4+ 3L20BB@

1 1 0 10 1 1

2 0

0 0 12 10 0 1

2 3

1 0 0 01

2

1

2 0 0

12

32 1 0

12

3

2 0 1

1CCA

L4 L4 L30BB@

1 1 0 10 1 1

2 0

0 0 12 1

0 0 0 2

1 0 0 01

2

1

2 0 0

1

2

3

2 1 0

1 0 1 1

1CCA

L3 2L3; L4 1

2L40

BB@1 1 0 10 1 1

2 0

0 0 1 20 0 0 1

1 0 0 01

2

1

2 0 0

1 3 2 01

2 0 1

2

1

2

1CCA

L3 L3+ 2L4; L1 L1 L40BB@

1 1 0 00 1 1

2 0

0 0 1 00 0 0 1

12 0 12 121

2

1

2 0 0

2 3 3 11

2 0 1

2

1

2

1CCA

L2 L2 1

2L30

BB@1 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

2 0 1

2

1

2

12 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2

1

2

1CCA

L1 L1 L20

BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 1 01

2 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2

1

2

1

CCA

(c)

0BB@

1 1 0 11 1 1 11 2 1 02 1 1 1

1CCA1

=

0BB@

1 1 1 01

2 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2 1

2

1CCA ca va plus vite

4

7/25/2019 correc prob 4

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9. On aP0 =R1P Ret donc

P = RP0R1 =

0BB@

1 1 0 11 1 1 11 2 1 02 1 1 1

1CCA0BB@

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@

1 1 1 01

2 1 3

2

1

2

2 3 3 11

2 0 1

2 1

2

1CCA

P =0BB@

0 1 0 1

0 1 1 10 2 1 00 1 1 1

1CCA0BB@

1 1 1 0

12 1 32

12

2 3 3 11

2 0 1

2 1

2

1CCA =0BB@

0 1 1 0

1 2 1 01 1 0 02 2 2 1

1CCA

10. Autre mthode de calcul de P

(a) E1:p(e01) = 0 = p(e1)p(e2) +p(e3) + 2p(e4)E2:p(e02) = e

0

2 = p(e1) +p(e2) 2p(e3)p(e4)E3:p(e03) = e

0

3 = p(e2)p(e3)p(e4)E4:p(e04) = e

0

4 = p(e1)p(e2)p(e4)

(b) par combinaisons linaires on obtient

E1 E1-E4:p(e3) + 3p(e4) = e0

4

E2E1-E2: 2p(e2) + 3p(e3) + 3p(e4) = e0

2E32E3+E2:p(e3) +p(e4) = 2e

0

3 e0

2

finalement2p(e4) = e0

2 2e0

3 e0

4doncp(e4) = 1

2e02 e

0

3 1

2e04

on en dduit quep(e3) = 2e0

3 e0

2 (1

2e02 e

0

3 1

2e04) =

3

2e02+ 3e

0

3+ 1

2e04

p(e2) = e02+ 3e0

3 et p(e1) = 1

2e02+ 2e

0

3+ 1

2e04

en exprimant ces vecteurs en fonction de la baseB on obtient

p(e1) = e2 e3 2e4; p(e2) = e1+ 2e2 e3 2e4p(e3) = e1+ e2 2e4 etp(e4) = e4

(c) la matrice P=matB(p)correspond en colonnes aux coordones des vecteurs p(ei)dans la base(e1; : : ;e4)

doncP =

0BB@

0 1 1 01 2 1 01 1 0 02 2 2 1

1CCA

:

Rem : on pouvait prvoir que p(e4) = e4 car e4 2 F

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