CORRECTION

MATHEMATIQUES DNB POLYNESIE 2017

3EM

La thématique commune de l’épreuve de sciences était le voyage, principalement abordé :

- dans l’exercice 2 à travers la vitesse d’un TGV. Dans cet exercice qui compte pour 8 points, la difficulté majeure était d’exploiter simultanément les différents documents fournis.

- dans l’exercice 6 avec l’étude des trajectoires de deux lignes de bus - dans l’exercice 4 qui fait voyager culinairement par la découverte du

BAKLAVA.

Une autre difficulté demeurait dans l’exercice 3 (sur 9 points), car les données de l’exercice ne permettaient pas de conclure pour la dernière question (piège ou erreur ?). Néanmoins Cela n’empêchait de réussir les premières questions qui

étaient relativement simples.

Rappel :

45 points sont attribués à la résolution des exercices et 5 points accordés à la présentation de la copie.

Exercice N° Prérequis Barème

1(QCM) Conversions, Equations, Pythagore, Fraction, Tableur

7 pts 15 min

2 Organisation et gestion des données. Vitesse

8 pts 15 min

3 Géométrie : Construction, Théorème de Pythagore, Thalès

9 pts 20 min

4 Probabilités 6 pts 10 min

5 Algorithmique, Calcul littéral, Inéquations, Equations

7 pts 15 min

6 Multiples et diviseurs 8 pts 15 min

Première lecture du sujet ~ 15 min

Au début de l’épreuve, cette lecture est importante et doit vous permettre de :

- Repérez les notions clés pour la résolution des exercices - Identifiez les exercices les plus faciles pour vous

Fixez-vous des objectif temps à consacrer à chaque exercice

Pendant l’épreuve

Commencez par les exercices qui vous semblent les plus faciles

Soignez votre présentation (vous pouvez utiliser une copie par exercice)

Numérotez les questions traitées

Justifiez vos réponses (sauf indication contraire dans l’énoncé)

Laissez des traces de recherche et expliquez ce que vous faites, même si vous n’y arrivez pas

Pensez à utiliser des résultats des questions précédentes que vous n’avez pas su démonter.

Relecture et Vérification ~ 15 min

A la fin de l’épreuve, réservez du temps pour relire votre travail :

Encadrez vos résultats, corrigez les fautes d’orthographe,

Vérifiez que vous n’avez rien omis (des blancs non complétés …)

Numérotez vos copies

EXERCICE 1(QCM) :

1) Réponse A

1 Gigaoctet (Go ou GB) = 1000 Mégaoctets (Mo)

D’où 32𝐺𝑜 = 32×1000𝑀𝑜 = 32000𝑀𝑜

Le nombre de CD de 700 Mégaoctets pour stocker autant de données qu’une clé de 32 Gigaoctets est donc :

32000700 = 45,7 ≈ 46𝐶𝐷

2) Réponse B

Le triangle formé par la longueur, la largeur et la diagonale du rectangle est un triangle rectangle. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore ici. Ainsi, la diagonale d’un rectangle de 10 cm par 20 cm est :

𝑑 = 𝐿5 + 𝑙5 = 205 + 105 = 500 ≈ 22

3) Réponse B

Méthode 1 : Résolution de l’équation

2𝑥 + 3 = 7𝑥– 4

−5𝑥 =– 7

𝑥 = 75 = 1,4

Méthode 2 : Tester chacune des solutions proposées

Valeur de 𝑥 Calcul de 2𝑥 + 3 Calcul de 7𝑥– 4 Conclusion

𝐴 57 2×

57+ 3 =

317 7×

57 − 4 = 1

317 ≠ 1

=>n’est pas solution

𝐵 1,4 2×1,4 + 3 = 5,8 7×1,4 − 4 = 5,8 5,8 = 5,81,4est solution

𝐶 −0,7 2× −0,7 + 3 = 1,6 7× −0,7 − 4 = −8,9 1,6 ≠ −8,9−0,7n’est pas solution

4) Réponse C

Méthode 1 : Calculatrice

En saisissant la fraction BB5CCDE

sur la calculatrice la fraction

irréductible affichée est >F.

Méthode 2 : Utiliser la décomposition en produit de facteur premiers pour simplifier la fraction.

8821134 =

2×35×7𝟐

2×3𝟒×7 =75IC

3EI5 =735 =

79

Méthode 3 : Utiliser le PGCD.

𝑃𝐺𝐶𝐷 882; 1134 = 126

8821134 =

882 ÷ 1261134 ÷ 126 =

79

5) Réponse C

En B2 on veut avoir l’image de 5 qui se trouve en B1.

La formule à entrer est donc = 3 ∗ 𝐵1 + 4

En recopiant cette formule vers la droite on obtiendra en C3 l’image de 6, en D3 l’image de 7 etc…

DansceQCMaucunejustificationn’estdemandée.

Laméthode1estlaplusjudicieusepourrépondrerapidementàlaquestion.

Laméthode2estpluslongue.Elleauraitétéadaptéesiunejustificationétaitattenue.Maisrappelonsquelacalculatricepermetégalementd’obtenirladécompositiondesnombresenproduitdefacteurspremiers!

Quantàlaméthode3:

BienquelesPGCDnesoientpluséligiblesauprogramme,ellepeuts’appliquerfacilement.

EXERCICE 2 : Dans cet exercice, on va s’intéresser à la vitesse d’un TGV passant en gare sans s’arrêter.

Pour calculer la vitesse en km/h du TGV, nous avons besoin de deux données :

- La distance 𝑑 (en km) - Le temps 𝑡 (en heures)

Le document 1 nous donne une information sur le temps :

𝑡 = «13𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠𝑒𝑡53𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖è𝑚𝑒𝑠» = 13,53𝑠 = (13,53 ÷ 3600)ℎ

Les deux autres documents permettent de déterminer la distance qui correspond ici à la longueur totale du train.

D’après le document 3 le TGV est constitué de deux rames. Et chaque rame est elle-même composée de deux motrices de type A encadrant dix voitures de type B.

𝑑 = 2×𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 _`a = 2×(2×𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟`bcdefag + 10×𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟hbecidaj)

Or d’après le document 2 on a la mesure de chaque :

• motrice (A): 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟`bcdefag = 5000 + 14000 = 19000𝑚𝑚 = 0,019𝑘𝑚 • voiture (B): 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟hbecidaj = 18300𝑚𝑚 = 0,0183𝑘𝑚

On en déduit la distance : 𝑑 = 2× 2×0,019 + 10×0,0183 = 0,442𝑘𝑚

Puis la vitesse :

𝑣 =𝑑𝑡 =

0,44213,53 ÷ 3600 =

0,44213,53 ×3600 = 117,605… ≈ 118𝑘𝑚/ℎ

Le TGV est passé à 118𝑘𝑚/ℎ.

EXERCICE 3 : 1)

a) Tracer un triangle CDE rectangle en D tel que CD = 6,8 cm et DE = 3,4 cm.

• Tracer deux segments perpendiculaires. A l’intersection, placer le point D

• Placer le point E sur l’un des segments à 3,4 cm de D.

• Placer le point C sur l’autre segment à 6,8 cm de D.

• Relier les points E et C

b) Le triangle CDE est rectangle en D. D’après le théorème de Pythagore :

𝐶𝐸5 = 𝐶𝐷5 + 𝐷𝐸5 = 6,85 + 3,45 = 57,8

𝐶𝐸 = 57,8 ≈ 7,6𝑐𝑚 (arrondi au dixième de cm près)

2)

a) Pour placer le point F sur

[CD] tel que CF=2cm, on

mesure 2 cm en partant du

point C.

b) Pour placer le point G sur [CE] tel que FG =1cm :

- Mesurer un écartement de 1 cm avec le compas

- Pointer sur F et tracer un arc de cercle (ou le cercle de centre F et de rayon 1).

On remarque ici que l’arc de cercle coupe le segment [CE] en deux points. Il y a donc deux points G possibles. Nommons les 𝐺C et 𝐺5(𝑣𝑜𝑖𝑟𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒)

c) Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles ?

Il est difficile de répondre à la question posée ici car il y-a deux points G possibles comme nous l’avons souligné plus haut. Il s’agit très probablement d’une erreur (ou donnée manquante) dans l’énoncé. En considérant la configuration actuelle : • La figure montre clairement que les

droites 𝐹𝐺5 et (𝐷𝐸) ne sont pas parallèles.

• Qu’en est-il de 𝐹𝐺C et (𝐷𝐸)?

Les points C,𝐺C,E et C, F, D sont alignés dans le même ordre.

𝐶𝐷𝐶𝐹 =

6,82 = 3,4

Et 𝐶𝐸𝐶𝐺C

=?

On ne peut pas calculer ce rapport car on ne connait pas la

distance 𝐶𝐺C

Impossible de conclure

EXERCICE 4 : Dans un sachet non transparent, on a sept baklavas indiscernables au toucher portant les lettres du mot BAKLAVA.

On tire au hasard un gâteau dans ce sachet et on regarde la lettre inscrite sur le gâteau.

1) Les issues de cette expérience sont : {B ; A ; K ; L ; V}

2) On souhaite déterminer les probabilités suivantes :

a) La lettre tirée est un L

Dans le lot de 7 baklavas, un seul porte la lettre L.

La probabilité cherchée est :

𝑃(𝐿) =𝑁𝑏𝑑u𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁𝑏𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

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b) La lettre tirée n'est pas un A.

Méthode 1 : Avec la formule précédente

Ne pas tirer un A revient à tirer un des 4 gâteaux portant une lettre différente de A.

𝑃(𝐴) =𝑁𝑏𝑑u𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁𝑏𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

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Méthode 2 : Evènement contraire

« La lettre tirée n'est pas un A » est le contraire de « La lettre tirée est un A ».

Comme 𝑃 𝐴 = D> alors 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 = 1 − D

>= E

>

3) Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher.

Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base de noix.

Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange ; c’est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre.

Au départ, le sac contenait 2 pistaches, 4 noisettes et 10 − 4 + 2 = 4noix.

Lorsqu’il s’apprête à piocher une seconde fois dans le sac, il reste 9 gâteaux dont :

2 pistaches, 4 noisettes et 3noix.

La probabilité de piocher un gâteau à base de :

- noix est de DF= C

D ,

- pistaches est de 5F

- noisettes est EF

comme EF> D

F> 5

F , il aura donc plus de chances de piocher un baklava aux noisettes

et non un gâteau à base de noix.

L’affirmation de son amie Laura est donc fausse.

EXERCICE 5 :

1) Avec ce programme, lorsque l’on

choisit −2 :

−2× −4 = 8

8 + 5 = 13

On obtient bien 13.

2)

Méthode 1 : utiliser une expression littérale.

Soit 𝑥 le nombre à choisir au départ. Le résultat final du programme peut donc s’écrire : −4𝑥 + 5

On cherche ici 𝑥 tel que :

−4𝑥 + 5 = −3

−4𝑥 = −3 − 5

− 4𝑥 = −8

𝑥 =

−8−4 = 2

Pour obtenir -3 il faut choisir 2 au départ

Méthode 2: Faire marcher le programme « à l’envers ».

Etape 3 : 5 + 𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑎𝑡𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑒2 = −𝟑

𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑎𝑡𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑒2 = −3 − 5

𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑎𝑡𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑒2 = −𝟖

Etape 2 : (− 4) ×𝑁𝑏𝑐ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖 = −𝟖

𝑁𝑏𝑐ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖 = (−8) ÷ (− 4)

𝑁𝑏𝑐ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖 = 2

3) Salomé fait exécuter le script suivant :

a) Si elle choisit le nombre 12 : −4×12 + 5 = −43 < 0

Le résultat est négatif. La réponse du lutin sera « Bravo » b) Si elle choisit le nombre -5

−4×(−5) + 5 = 25 > 0 Le résultat est positif. La réponse du lutin sera « Essaie encore »

4) Résolvons l’inéquation

−4𝑥 + 5 < 0

−4𝑥 < −5

𝑥 > I=

IE

𝒙 > 𝟏, 𝟐𝟓

5) Le Lutin dit « Bravo » lorsque le résultat final est négatif (cad −4𝑥 + 5 < 0). Cela correspond à l’inéquation résolue à la question précédente.

On est donc certain que la réponse du lutin sera « Bravo » si le nombre choisi est supérieur à 1,25.

Attention:

Lorsqu’onmultiplieoudiviseparunnombrenégatif,l’égalité

changedesens.

EXERCICE 6 :

Chacune des deux lignes revient au point de départ au bout de 8 arrêts. Ainsi :

- la ligne 1 effectue le circuit complet en 8×3 = 24𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠 - la ligne 2 effectue le circuit complet en 8×4 = 32𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠

Les deux lignes partent à 6h30 et s’arrêteront juste après 20h.

Elles vont donc circuler pendant 13h30 soit 13×60 + 30 = 780 + 30 = 810𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠

Les deux bus vont se croiser à chaque instant où on rencontre un multiple commun à 24 et 32.

Le plus petit multiple commun de 24 et 32 est 96. Ils se croisent donc pour la première fois au bout de 96 minutes soit au bout de 1 heure et 36 minutes après le départ. Ils se croisent donc à 8ℎ06

6ℎ30 + 1ℎ36 = 8ℎ06

Déterminons sur le même principe les horaires de rencontre suivants.

Les multiples suivants communs à 24 et 32 et inférieurs ou égaux à 810 sont :

192 ; 288 ; 384 ; 480 ; 576 ; 672 ; 768.

Les deux bus vont donc se croiser toutes les 1h36(96 minutes).

D’où les horaires suivants

Les bus se rencontrent pour la dernière fois à 19h18 car l’horaire de croisement suivant est 20h54, or les bus s’arrêtent juste après 20h.

Conclusion :

Les deux BUS se croiseront donc 8 fois au cours de la journée, la première fois à 8ℎ06 et la dernière à 19ℎ18 .