C O R R I ~ L A T E U R S H Y B R I D E S A ~ , C H A N T I L L O N N A G E

par

Georges BONNET, Professeu~ ~ la Facult6 des sciences *

SOMMAIRE. - - On d~termine le comportement en s ignaux aldatoires d'un corrdlateur hgbride comportant une vote analogique el une vote dehantillonnde. L'dlude de premier ordre de la grandeur de sortie montre que celle-ci rdsulte du produit de convolution entre la covariance h l'enlrde el l ' impulsion d'dchantillonnage, cette dernidre jouant ainsi un rdle de filtre. On traite ensuite le probldme de la ddtection de s ignaux faibles darts un tel corrdlaleur, ddtermine l'expression du rapport signal/bruit et dtablit les conditions pour lesquelles ce dernier conserve la mgme valeur qu'avec un corrdlateur analogique ; ces conditions portent, d'une part, sur la cadence d'~chantillonnage dont le choix ddpend uniquemenl du spectre du bruit, d'aulre part, sur l ' impulsion de ponddralion, dont la durde doil demeurer faible ~ l'dchelle de la covariance du signal. De mgme, pour l'emploi en estimateur d'une covariance, le eorr(~lateur hgbride se comporte comme un corrdlaleur & dchantillonnage conventionnel, lorsque sont adoptdes des conditions de ponddralion mieroscopique el, finalement, comme an

corrdlateur analogique st, de plus, la cadence d'dehantillonnage est ehoisie suffisamment dlevde.

P L A N . - - �9 1 : I n t r o d u c t i o n . �9 2 : P r o p r i ~ t ~ s de p r e m i e r o r d r e en s o r t i e ; 2.1 Signaux d'entr~e; 2.2 : Eehantillonnage ; 2.3 : Propridtds de premier ordre ; 2.4 : Comparaison avee un corrdlateur ~ ~chantil- tonnage eonventionnel. �9 3 : E m p l o i en d~ tec t ion de signaux [ a i b l e s . ; 3.1 : Corrdlateur sans dchantil- lonnage; 3.2 : Corrdlateur d ~chantillonnage conventionnel; 3.3 : Corrdlateur hybride; 3.4 : Recherche des conditions optimales d'emploi ; 3.5 : Conclusion; 3.6 : Exemple. �9 4 : P r o b l d m e d ' e s t i m a t i o n d'une covariance. 4.1 : Erreur sysldmalique d' estimation ; 4.2 : Erreur statistique d' estimation ; 4.3 : Cas

gaussien; 4.4 : Ponddration microscopique. �9 5 : Conc lus ion . �9 6 : Bibliographie (4 r6f.).

I . I N T R O D U C T I O N

Certaines condit ions d 'emploi conduisent ~ s ' int6- resser au compor tement d ' u n corr~lateur poss6dant

une vote ~chantil lonn6e et une vote continue. Un tel syst~me - - que nous d6nommerons <~ corr~lateur

hgbride ~ ~chantillonnage ~ - - est esseutiellement caract6ris6 par (Fig. 1) :

a) une vote 1 (6chantillonn~e) qui regoit un signal

XI(t ) et le t ransforme en son ~chantil lonn6e Zl(t ). Cette t ransformat ion est d6crite par la p~riode d '6chan- t i l lonnage 0 (ou son inverse 110, la cadence) et la forme H(t) de l ' impulsion de ponddration ;

b) une vote 2 (analogique) qui re~oit un second signal X~(t) et le d6cale 6ventuel lement d ' u n retard v ;

c) un mul t ip l ica teur , 61aborant le produi t de Z~(t) et de X2(t - - ~). Pour des raisons th~oriques li6es

la simplification de certains calculs, nous suppo- serons que cette op6ration 6quivaut h former le signal composite :

(1) lit(l, "r) = ZI(t ) X~(t - - ~'),

en t r a i t an t alors les s ignaux d 'entr6e eomme des

grandeurs complexes. Dans le m6me esprit, le <, re tard ,~

sera eonsid~r~ eomme un nombre r6el de signe queleonque ;

d) un filtre lin~aire passe-bas .~, en g~n6ral tr~s s61eetif, de r~ponse pereussionnelle F(t) et de gain eomplexe f(v) ~ F(t) (o/1 ~ symbolise la transfor- mat ion de Fourier assoeiant ees deux quantit~s).

La grandeur de sortie ~ de ce filtre repr6sente une approximat ion de la grandeur d6 te rminante darts un t r a i t emen t par corr61ation, ~t savoir la valeur moyenne de la quant i t6 :

"(2) r ~) = xl(t) x~'(t - - ~).

z~ (t) Voie 1 X~ (t) ~ f -

Echantitl0,H ~ ',~(t.'~ ) .

X 2 (I) o ~ - - ~ . Filtre Voie 2 Retard F ~ f

FIG. 1.-- Seh6ma g6n6ral d'un corr61ateur hybride h 6chan- tillonnage.

Deux types de probl~mes sont alors h consid6rer, lorsque les s ignaux h t ra i ter darts le syst6me sont de na tu re aldatoire : ce peut 6tre un problSme de d6ter-

mina t ion du rapport signal~bruit h la sortie du syst~me, lorsque l 'entrde est constitu6e par des s ignaux faibles

noy6s dans du bruit . Ce peut 6tre aussi un probl~me de d6terminat ion des erreurs d ' approximat ion , t a n t syst6matiques que stat is t iques, lorsque le corr61ateur

de s t ructure hybride est utilis6 pour l 'eslimation d ' u n

moment de second ordre, la covariance des s ignaux d'entr6e.

Les deux problSmes seront donc consid6r6s succes- s ivement dans cette 6tude, apr~s qu ' a u r on t 6t6 6tablies les propri6t6s de premier ordre de ce type part icul ler

de corr61ateur.

* Centre d'Etudes des ph6nom~nes al6atoires (CEPHAG) (associ6 au C.N.R.S.), 46, avenue F61ix-Viallet, 38-Grenoble.

- - 252 - -

t . . ~ n ~ 7-S, 19~;9] C O R R E I , A T E U R S H Y B R I D E S A E C n A N T I L L O N N A G E 2/9

2. PROPRII~T]~S DE P R E M I E R ORDRE EN S O R T I E

2.1. S ignaux d'entr6e.

Les deux s ignaux d 'en t r6e , al~atoires par hypoth~se , on t pou r r ep r6sen ta t ions tempore l les X~(t) et Xa(t). Ces deux fone t ions al6atoires sont suppos6es de second ordre et stationnairement eorrdh;es. Darts u n b u t de s impl i f iea t ion , nous les eonsid6rons en ou t re

c o m m e centrdes, c 'es t -h-di re d ' esp6ranee m a t h ~ m a t i q u e nul le . De ce faR, leur s t a t i s t i que d 'o rdre deux se r6dui t h la eonna i s sance de leur covarianee mutuelle (ou fone- t i on d ' i n t e reo r r~ la t ion ) :

(3) Pl~('r ) = E{(I)(t, z)} : E{XI ( / ) X~(I - - -r)},

off E s y m b o l i s t l ' e sp6rance m a t h d m a t i q u e . Sous les hypoth+ses faites, la t r ans fo rmde de F ou r i e r

y~z(v) --,~ Pl~('r) existe en t a n t que distribution spectrale d'interaction.

I1 v a de sol que l '~ tude qui sera f a r e s ' app l ique aussi b i en au eas pa r t i cu l i e r d ' u n signal d'enlrde unique (X~ = X~) : il suffirait alors de s u b s t i t n e r la covariance propre (ou fonc t ion d 'au tocor r61a t ion) de ce dernier , a ins i que sa t r ans fo rm6e de Four ie r , la

distribution speelraIe ~nerg~Tique.

2.2. l~ehant i l lonnage .

Nous conservons les n o t a t i o n s et r6su l ta t s d ' u n e

p u b l i c a t i o n an t~r ieure du m6me a u t e u r [1], 6 tude laquel le le lec teur est pri6 d c s e repor te r pour p lus de ddtai ls c o n c e r n a n t les par t icu la r i t~s dc l ' op6 ra t i on n o n homogbne d ' dchan t i l l ounage . L ' cxp rcs s ion dc l '~chan t i l lonn~e sur la voie 1 est ainsi :

(4) Za(t) 0 Y, X~(/0 ~ ] 0 ) H ( / - t o - - / 0 ) ,

H(/) est l ' impulsion de pondOralion, fonc t i on d~ter- m in i s t e de 1,2, dot~e de la t rans formde de F ou r i e r

h(v) ~ H(t), e l le-m~me de 1,~; t o est une da te origine al6atoire, h rdpa r t i t i on un i -

forme dans u n in te rva l l e de dur~e 0 et i n d 6 p e n d a n t e des s ignaux d 'en t r6e . De ce fait , l '6ehant i l lonnOe Zl(/) demeure al6atoire s t a t i o n n a i r e et s t a t i o n n a i r e m e n t corr616e avec X~(t) sur la voie 2 [1].

I1 est 6qu iva l en t de consid~rer que l ' 6chan t i l l onn6e Z~(t) r6sul te du filtrage, h t r ave r s u n filtre l in~aire JC de r6ponse percuss ionne l le 6gale "~ r i m p u l s i o n de p o n d 6 r a t i o n H(t), du p roces sus -d i s t r i bu t ion ci-aprbs

I l l :

(5) Yl(t) = 0 Xl(t) Z 3(t - - t 0 - - ]0)

Xl( /) ~.. e2~i,n(t-to)lo,

que nous avons dOnommO (( dchantillonnde propre

de Xl(t) , (la seconde express ion de Y~(t) rOsulte de la formule de s o m m a t i o n de Poisson) .

2.3. Propri6t6s de premier ordre.

Nous eonsid6rons sous ce t te r u b r i q u e la va lour

m o y e n n e :

E { q : ( l , v)} = E { Z I ( / ) X*( t - - = )} .

No tons que eet te g r a n d e u r s ' ident i f ie h la va l eu r

m o y e n n e E{~)} en sort ie du corr~la teur , sous r~serve que le filtre de sort ie ~- ai t u n ga in complexe soumis h la e o n t r a i n t e f(0) = 1. Nous ob t i end rons tr~s fae i le inent son express ion en m e t t a n t h prof i t l ' a r t i f ice concep tue l d ' 6chan t i l l onn6e propre , ce qui nous condu i t h effeetuer le ealeul en deux 6tapes :

2.3.1. D ' ap rbs la seeonde express ion (5) de l ' 6ehan t i l l onn6e propre et la d6f in i t ion m 6 m e de la

eovar ianee (3), on a i m m 6 d i a t e m e n t :

E { Y l ( t ) X~'(t - - z)} =

r 1 2 ( % ) ~a e'2:i"al 0 o e -- :'.,1,mo/O d/0 n l~ - - oo 0 0

r e l a t ion qui t i en t compte de la va leu r 1 /0 de la densi t~

de p robab i l i t~ de t o dans son d o m a i n e de d~f in i t ion (0, 0). Comme l'int(~grale ~qu ivau t ~ ~m0, il v i en t s i m p l e m e n t :

(6) E { Yl(t) X~(t - - =) } : r12(%- ) .

Ainsi , le m o m e n t cons t ru i t sur le p r o d u i t de l '6chan- t i l lonn6e propre d ' u n e voie et du signal de l ' a u t r e

voie s 'av~re- t - i l s t r i c t e m e n t 6gal h la covar iance m u t u e l l e des deux entr6es, eeci inddpendamment de la cadence d'~ehantillonnage.

2.32. - - P o u r ob ten i r le m o m e n t rechereh~ E{tF(t , v)}, il suffit de considOrer (Fig. 2) que ee de rn ie r repr6sente la covar iance m u t u e l l e h la sort ie d ' u n f i l t rage b id im ens ionne l , e o m p o r t a n t :

- - u n e vole a t t a q u d e par l ' ~chan t i l l onn~e propre Yx(t) et c o m p o r t a n t le filtre JC de r6ponse percus- s ionnel le H(t) ;

- - une voie a t t aqu6e par le s igna l X~ et r e s t i t u a n t ce 4ernier sans ddformat ion , ce que l ' o n peu t reprO-

senter par la t raversde d ' u n filtre idenlib! 1, de rdponse percuss ionne l le ~(t).

H YI (t) Z~ (fl

J o o. - : ,~, ~ &&

X~ (t) o

, X: ( t - z ~ , ~ �9 X; ( t - ~ : ) LLJ �9 ! �9 ~ / / /

Fro. 2. - - Sch6ma 6quivalent bas6 sur l'interm6diaire de l'6chantillonn6e propre.

La re l a t ion classique sor t ie -ent ree d ' u n f i l t rage l in~aire, e o n n u e sous le nora de (~ formule des i n t e r - f~rences ~> [2], donne alors compte t e n u de (6) :

E{tF(l, ~)} = E{ZI(I ) X ~ ( t - - v ) } = ( [ ' 1 2 . H * a) (v) ,

soit, pu i sque la d i s t r i b u t i o n de Dirac est l ' un i t~ d ' u n p rodu i t de c o n v o l u t i o n :

(7) �9 E { T ( t , v)} = (E12 * H)(~) .

Ce r~su l ta t est suscept ib le d ' u n e i n t e r p r b t a t i o n tr~s s imple, qui est la s u i v a n t e : la g r a n d e u r m o y e n n e de

sort ie d ' u n eorr~la teur h y b r i d e h 6 c h a n t i l l o n n a g e

- - 253 - -

3/9

a p p a r a i t comme la t ransform6e de la covar iance Fa~(-r) d 'en t r6e (laquelle serai t expr imde par la g randeur moyenne de sort ie d ' un corr61ateur analo- gique) h t r avers un filtre lin6aire a y a n t pour r6ponse percussionnelle 1 ' impulsion de pond6ra t ion H(t) uti- lisde pour l ' (!chanti l lonnage.

2 .4 . C o m p a r a i s o n avec u n corr61ateur A 6 c h a n t i l l o n n a g e c o n v e n t i o n n e l .

Nous r e p o r t a n t /~ l '6 tude expos~e en [1] des carac- t6r is t iques d ' un co r r f l a t eu r dot6 de deux voies 6chan- t i l lonn6es en synchronisme (avec la m6me pond6rat ion) nous pouvons 6tabl i r la compara ison suivante .

2.4.1. Echo.ntillonnage sur deux voles.

a) Forme de l'impulsion de ponddration H(t). Elle pen t 6tre quelconque, sous r6scrve que son suppor t soit born(! et d 'une 6tendue au plus 6gale ~ la p6riode 0 d '6chant i l lonnage .

b) Erreur systdmatique. En supposan t remplie une condi t ion de normal i sa t ion sur la pond6ra t ion (0[ IHI I ~ = 1), la g randeur moyenne de sort ie s ' identif ie , sans aucune erreur sys t6mat ique , h la covar iance Fa~(x) ; ceci i nd6pendamment de la cadence 1 /0 d ' 6chanti l lonnage.

G. BONNET [ANNALES DES TI~L]~COMMUNICATIONS

une expression plus approch6e de la va leur moyenne ; la re la t ion (7) donne :

E ( ,v(t , x ) ) = t) H(I) dt --

(__)]r ('~') f + ~ ]~ J - c o t �9 H(t) d t .

~=0 k !

En u t i l i san t les d~riv6es h(~)(v) de la t ransform6e de Four ie r de H(t), qui sont telles, sous r6serve d 'exis- tence, que h(~)(0) ---- ( - - 2 :zi) ~ < t ~, H > , on obt ient ainsi une expression de l ' e r reur moyenne , va lable dans l 'hypoth~se d 'une impuls ion de pond6ra t ion 6troi te et sous la con t ra in te h(0) ~ 1 :

h'(0) E { ~ ( t , x ) } - - F12(v ) - 2 ~ i F12 ( ' r ) - -

h" (0 ) 8~:2 F{~('O + . . . .

Si done le corr~lateur hybride h 6chantillonnage appa- ralt dans son principe comme inf6rieur au corr~lateur

6chantillonnage conventionne], une technologie appropri6e, visant h l'61aboration d'impulsions de

pond6ration tr6s br6ves, est de nature h r6tablir la

situation et ~ rendre pratiquement n6gligeable la difference entre les deux m~thodes. II reste h rechereher

sous quelles conditions cettc identit6 de comportement se conserve relativement h l'erreur statistique ; ce qui sera l'objet de l'6tude de second ordre.

2.4.2. Echantillonnage sur une seule voie (for- mule 7).

a) Forme de l'impulsion de pond~ralion. Elle n ' es t soumise h aucune res t r ic t ion directe, y compris sur son suppor t , qui a p p a r a i s s e explicitement.

b) Erreur systdmatique. I1 faut d~plorer une tel le erreur, celle qui r(isulte de la convolut ion ent re la covariance F12 recherch6e et l ' impuls ion d '~chan- t i l lonnage H. Cette d6format ion est ent i~rement ind6pendante de la cadence 1/0 d '6chant i l lonnage et son impor tance est li6e h l '6panouissement relat i f de l ' impuls ion de pond6ra t ion compar6 h celui de la covariance.

I1 est dis6 d ' en d6duire la rbgle de condui te qu ' i l convient d ' a d o p t e r pour rcndre l ' e r reur sys t6mat ique acceptab le ou m6me n6gligeable : le suppor t de l ' im- pulsion de pond6ra t ion H(t) doi t 6tre choisi de faible 6tendue h l '6chelle de la covariance. Lorsque ce dernier devient suff isamment 6troi t , de tel le fa~on que H(t) se compor te comme :

H(t) ~ < 1 , H > 8(t) = h(0) ~(~),

la re la t ion (7) donne alors :

E{~( t , x)} ~ h(0) Ia12('~'), ce qui fair que l ' e r reur sys t6mat ique devient n6gli- geable et, h la l imite , nulle, sous la seule con t ra in tc de normal i sa t ion < 1, H > - h(0) = 1, d 'a i l leurs formelle. On no te ra que, dans ce cas 6galement , ce rdsul ta t est ind6pendan t de la cadence 1/0 d '6chan- t i l lonnage.

2.4.3. - - Dans la mesure off la covar iance rl2(V ) est d6veloppable en s6rie de Taylor , on peu t ob ten i r

3. E M P L O I E N D ~ . T E G T I O N D E S I G N A U X F A I B L E S

Une (~ d6tect ion pa r corr61ation ~) por te sur les entr6es:

t Xl ( t = S ( t ) . + Bl(t ) ,

X2(t ) S(t) + B2(t) .

a) S(t) est le signal utile, al6atoire, r6el, centr6 et s ta t ionna i re , de covar iance propre Fs(v) et de distr i- bu t ion spectrale 6nerg6tique ys(v). On suppose qu 'un r e t a rd pr~alable a permis de me t t r e le signal en concordance sur les deux voies.

b) BI(t ) et B2(t ) sont des bruits parasites, al~atoires, r6els, centr~s et s ta t ionnai res . Ils sont ind6pendants entre eux et ont tous deux la m6me s t a t i s t i que de second ordre, d6cri te pa r la pai re de Four ie r I~B(x) ~ yB(v). On a ainsi pour covar iance mutuel le h l 'entr~e :

FI~.(x ) = E { X I ( t ) X ~ ( t - - z)} = Ps (0 ) , (signal pr6sent) ,

~--- 0 , (signal absent) .

c) Le corrdla teur est hybr ide h 6chant i l lonnage et conforme h la descr ip t ion du pa r a g ra phe 1, sch6matis6e pa r la figure 1, fi cela pr6s que la l igne/~ re ta rd , ddsor- mais plac6e en amon t du syst~me, est suppr im6e sur la voie 2.

L ' impu l s ion de pond6ra t ion H(t) est en fa i t une fonet ion rdelle [H*(t) ---- H(t) et H # ( t ) ~ H * ( - - t) =

- - 254

t. 24, n ''s 7-S, 1969]

H ( - - l)] et nous aurons fl ut i l iser la fonclion de corrf- lalion qui lui est assoeifie :

(8) Pu('r) = ( H . H#)(:) ~ ] h ( v ) ] 2 .

C'est une fonct ion r~!elle et pai re qui s ' expr ime 6ga- lement sous forme nt6grale pa r :

I~H(X) = f - i 7 H(I) H * ( I - v) dt .

d) Pour simplifiier, on supposera que le gain eomplexe dn filtre de sort ie ~ est normalis(!, ee qui n ' a p p o r t e d 'a i l leurs aucune res t r ic t ion de f a r ; done f(0) = < 1 , F > = 1. Dans ees condi t ions , l ' expres- sion de la bande passante inergHique de ce filtre est :

T - If(o)l If( )l 2 = I[ / l l - I I F Ii

Elle s ' ident i f ie done au carr6 de la norme daus L 2, soit du gain coInplexe, soit de l a r6ponse pereussionnel le (T serai t la m6moire d 'un filtre in t6gra teur pa r fa i t a y a n t une bande passan te 6nerg~tique I [T) .

D ' a u t r e par t , dans l 'hypoth~se oh ee filtre passe-bas est trbs sdleetif, la s t a t i s t ique de second ordre rdgissant la g randeur de sort ie [1 s ' expr ime par :

(9a) E{[1} = E{~F(I, 0)}, (ear frO) = 1),

1 1 S ~ (9b) E { [ I 2 } # ~ y~(O) = ~ - - - ~ r~((~) dr

oh P~(a) = E{tF(t, 0). tF*(t - - a, 0)} -~ 7~(v) est la covar iance propre de iF(t, 0) = Zl(t) X2*(t ).

Nous allons d6terminer la d~grada t ion appor t6e au r appo r t s i gna l /b ru i t pa r ce t y p e de corr61ateur hybr ide , en p renan t comme r6f~rence une d6tect ion par corr61ation sans ~ehant i l lonnage (corr61ateur analogique).

3.1. Corr61a/eur sans 6chan/il lonnage.

Ce eas correspond ~ Zl(t ) = Xl(/) et il a ~!t6 expos6 dans [1] et [3] ; nous en reprenous ici les conclusions.

a) Le rapport signal~ bruit d l'entr~e est d~fini pa r le r appo r t des var iances du signal et du bru i t , soil :

FB(0) ;

b) Le bruit de sortie Bs est celui observ6 en l ' absence de signal d 'entr6e. On t rouve :

B~ -- I [2 = 1

e) Le signal de sortie Ss repr6sente la composan te cer taine E{~} que l 'on observe h la sort ie lorsque le signal d 'en t r6e est p r&ent .

Le carrY! du r appo r t s igna l /bru i t h la sort ie d 'un corr61ateur analogique est d6crit [1, 3] pa r deux expressions 6quivalentes, l 'une temporel le , l ' au t r e fr~quentiel le :

= T LTA "= CO) . y=( , ) d ,

CORRI~,LATEU1;IS HYBRIDES A ~CHANTILLONNAGE

3.2. Corr6lateur tionnel.

/L 6chantillonnage conven-

Nous comparons les t r a i t emen t s avec et sans 6chan- t i l lonnage au moyen du quot ien t R des r appor t s s ignal /bru i t de sort ie cor respondants . En nous repor- t an t aux r6sul ta ts ob tenus en [1] et [4], nous t rouvons deux formula t ions pour le cas d 'un 6chant i l lonnage sur les deux voles :

ot ) = -B-

= f_L ( , ) d , ( m 0 ) 1 - 1 ,

( l i b ) R2 _-- (YB ~ ys)(0) +oo

X (yB * T~)(kl0)

3.3. Corr61aieur hybride.

3.3.1. Bruit de sort/e.

I1 s 'agi t des valeurs prises pa r ~2 lorsque S(t) = 0 h l 'entr6e.

a) E t a n t donnd l ' ind6pendance des bru i t s d 'entr6e , les re la t ions (9a) et (7) donnent au p remier ordre :

E([1B} = (r12 * H)(0) ---- 0 ,

donc [1B est centrde et Var [1B = E{[1B2}, ce que la re la t ion (9b) v a n o u s pe rme t t r e de d~terminer .

b) Pour ce faire, il faut calculer la covar iance : P r (6 ) = E{ZB(t) B2*(t ) . z B * ( t - (r) B2(t - - r ou encore, puisque (B1, B2) - - et pa r suite l '~chant i l lonn~e Z~ et B~ - - sont ind~pendants :

r~,(a) - E{ Z f ( t ) Z f * ( t - - o) }P,(~). L'express ion de la covar iance E{ZB(t) Z ~ * ( t - - 6)} de l '6chant i l lonn6e est bien connue [1] et il en r6sulte :

+oo r ~ ( a ) = 0FB&) ~ F s ( m 0 ) P g ( a - - m 0 ) ,

m~--eo

off FB est, rappelons- le , la covar iance propre des bru i t s d 'en t r6e et I 'H la fonet ion de eorrdlat ion d6finie en (8). En in t~grant conformdment /~ la re la t ion (9b), on ob t ien t done, pour la puissance moyenne du bru i t de sort ie et en formula t ion tempore l le :

0 +oo (12a) Bs a hyu. -- r N PB(m0) (FB * I~H)(,n0)

L a formula t ion fr~quentiel le s 'en d~duit en u t i l i san t la formule de sommat ion de Poisson et en t e n a n t compte de ce que FH(X) ~ Ih(v)]~" ; ce qui donne �9

1 .~oo (12b) BSs hyb. = T Y], (yB Yr yB[hl2)(k]O)

3.3.2. Signal de sort/e.

Puisque le b ru i t de sortie est centr6, le signal de sort ie est reprO!sent6, en p r&ence du signal h l 'ent r6e , pa r E{[1S+B}. La re la t ion (9a) jo in te h (7) donne alors :

$8 hyb. = ( F S * /-/)(o) ----- f $ ; y8 (~/) h(M) dv ;

255

5/9 d'ofi l ' express ion du carr6 du r appo r t s ignal /bru i t de sortie fourni pa r un corrdla teur hybr ide fi dchan- t i l lonnage :

E;-I' 8 hyb. r s (o) ]~ x

0 ~] FB (toO) (PB * FH)(m0) m~--oa

3.3.3. Compara i son avec un corr~iateur ana- logique.

A pa r t i r de (12a) et (12b), ainsi que de (10), nous obtenons deux expressions 6quivalentes du quot ien t :

~%yb, = [sIB]~ ~,~ [ S I B K ~ , ~ sav0ir :

a) en formula t ion t empore l l e :

(13a) /~2hyb. =

E (Fs ' x 'H) (~ ] ~ F s (0)

:r F~ ('v) d ":

0 Z FB(m0) (FB * Pn)(,,0) i;1=--oo

b) en formula t ion frdquentiel le :

(13b) R2hyb. =

(y * yB)(O) +co

Z (~B * yB)]hl2)(t40) . /r - co

On r emarque ra que le quo t ien t .~2hyb. e s t invar ian t pour t ou t e affinitd H --). k H p o r t a n t sur l ' impuls ion de pondara t ion . Ces rdsu l ta t s sont h comparer avec les expressions (11) cor respondantes , dans le cas du corrdla teur convent ionnel h 6chant i l lonnage : ils s ' ident i f ient les uns aux aut res lorsque H(t) = ~(t) et done h(v) ---- 1, Vv.

3.4 . R e c h e r c h e des c o n d i t i o n s o p t i m a l e s d 'emplo i .

Les rela t ions (13) m o n t r e n t que le quot ien t R~h,b. est un p rodu i t de deux facteurs :

- - le p remier ne dapend que du seul signal et n ' es t aucunement lid fi la cadence 1 / 0 de l ' achant i l lonnage ;

- - l e second ddpend h la fois du bruit et de la cadence 1/0.

Ces deux fac teurs sont donc inddpendants et l 'on peu t chercher ~ amdliorer les condi t ions d 'emploi en m a j o r a n t tou t d ' a b o r d le second facteur : il s ' ag i t done d ' un probl~me lid h l ' impor t ancc re la t ive de la cadence d '~chant i l lonnage et de la largeur de bande dn bru i t , inddpendamment de la structure du signal.

3.4.1. Majorat ion.

La formula t ion frdquentiel le (13b) mon t re que le danomina teu r du second fac teur est une somme de te rmes non n6gatifs (yB est une d i s t r i bu t ion spectrale 6nergatique). Ce dernier sera done min imal si la sdrie se radui t au seul t e rme de rang k = 0. Par suite, le second fac teur de R2hyb. sera max ima l si la cadence

G. B O N N E T [ANxALES DES TI::LI::COMMUNICATIONS

1/0 de l 'gchant i l lonnage est choisie suf i isamment 61evae pour que :

(yB * yB [hl~)(kl0) = 0 , Vk ent ier r 0 .

E t a n t donnd que T~(v) est non ndgatif, eet te condi t ion por te sur une int4grale dont l ' i n tdgran t est non ndgat if et f iquivaut ainsi fi :

[h(v)] 2YB(v)YB(v + k]O) = 0, Vk ent ier :/: 0 ; Vv ~ R,

Une condi t ion suffisantc pour y pa rven i r est done que :

(14) �9 yB (v) yB(V + k/O) = 0 , u ent ier ve 0 ; V v ~ R

C'est j u s t emen t celle qui assure le m a x i m u m du r appor t s ignal /brui t pour un eorra la teur eonvent ionnel h dehant i l lonnage [1, 4]. Une tel le condi t ion impl ique que le spectre du bru i t a i t un support borne, l ' (!volution de ce spectre dans la bande de frdquences qu ' i l occupe p o u v a n t pa r ail leurs ~trc quelconque. On a ainsi :

- - dans le eas general : le suppor tde yB (v) oeeupe la bande [ - - ~, + [~]. La condi t ion (14) donne la borne infarieure admise pour la cadence d 'dchan t i l lonnage (frgquenee de Nyquis t ) :

Inf 1/0 = 2 ~ ;

- - dans le eas des bruits f spectre ~troit : le suppor t de yB(v) oeeupe une b a n d e de la rgeur [~ au tour de la frgquenee eentrale v 0, ainsi que la bande symdtr ique . En reprenan t les r&u l t a t s de [1] et [4], on sal t que, lors- que la la rgeur de bande re la t ive est in/drieure f 1 octave (Vo/ ~ > 3 /2 ) , il existe un ensemble de cadences au to r i s&s plus faibles que la fraquenee de Nyqu i s t (2 v + ~) et qui est borng in f&ieurement pa r :

v0[~ + 112 Inf 1/0 = 2 ~ En t [vo/~ § 1/2]

3.4.2. Pond~rat ion et brui t .

Si la condi t ion de cadence lide h (14) est respectde (brui t h spectre bornd), le quot ien t R2hyb a t t e in t une va leur maximale , expr imde d 'apr~s (13) pa r :

(15a) �9 Sup R2hyb. =

_ y s ( v ) h ( v ) d v / : 7~ (v) d v

(15b) �9 Sup R2h.b. =

/_5 /fir(r.. j' d v

A p a r t i r de ces r&ul t a t s , on pour ra i t rechercher quelle est la [orme optimale de l ' impuls ion de pond~ra t ion H(t) qui rende m a x i m a l le quo t ien t R2hyb.. Effective- ment , un calcul des var ia t ions condui t , pour la t rans-

formde de Four ie r de H(t), h :

bop, (~) = y s ( ~ ) l ~ (v) .

I1 semble cependan t prgfdrable d ' a d o p t e r un poin t de vue plus rgaliste, qui t ienne compte des condi t ions expdr imenta les prat iqu~es le plus c o u r a m m e n t :

- - 256 - -

t. 24, n ~ 7-8, 1969]

a) clans la technologic habi tuel le , H(t) est repr6- sent6e par une fonet ion rdelle h support bornd (le plus souvent un rectangle) int6rieur h l ' i n te rva l l e 0 d '6chan- t i l lonnage. Par suite, le spectre h(v) ddborde la [rd- quence 1 /0 ;

b) H(t) est de signe constant, disons positif . Pa r sui te :

[h(v)[ ~< / [H(t)l dt - h ( 0 ) . . i , - -

I1 n ' y a d 'a i l leurs aucune res t r ic t ion h poser h(0) = 1, d ' aprbs ce qui a 6t6 observ6 sur l ' i nvar iance pa r affinit6. On a done :

lh(v)l ~< h(0) = 1 ,

et le second fac teur de Sup R2~y~. est ainsi te l que :

L 'effet de la duroc de la p o n d i r a t i o n H(I), qui s 'av~re 6tre un e/let de filtrage sur le bru i t , est donc suscept ible d ' a p p o r t e r une cer taine am61ioration. Cependant , 6 tan t donn6 que h(v) d~borde la fr~quence 1/0 >~ 2 ~, donc d6borde le spectre du bru i t , cet effet de f i l t rage est limit6 et le second fac teur de R2h,b. demeure en tou t 6 ta t de cause assez voisin de l 'unit6.

3.4.3. Pond~ration et signal.

Le premier fac teur dans Sup R2hyb. , qui ne d6pend que du spectre du signal, est tel que :

y s (v) h(v) dv Ts(v) dv ~ 1 .

1 I1 a done un effet nuisible de f i l t rage sur le s igna de la pa r t de la la rgeur d ' impuls ion de ponddra t ion .

a) Si le spect re du signal est beaucoup plus large que h(v) (done beaucoup plus large que le spect re du brui t ) , le p remier fac teur de R2hyb[. est faible devan t l 'uni t6 et l 'on ob t ien t de mauva i s r6sultats .

La proc6dure h adopter , dans les condi t ions consi- d6r6es ici ou l ' impuls ion H(t) est intdrieure h la p6riode 0 d '6chant i l lonnage , fai t alors appa ra l t r e une cer ta ine con t rad ic t ion avec l ' ana lyse qui v ient d '6 t re fai te : dans la mesure oh le spectre du signal d6borde celui du brui t , ou bien l ' impuls ion de pond6ra t ion doi t 6tre choisie brbve h l '6chelle de la covar iance du signal et, pa r suite, tr~s brbve devan t la p~riode 0, ou bien c 'es t la cadence d '6chant i l lonnage elle-m6me qui doi t 6tre d6termin6e cn fonct ion du signal et non plus du brui t .

b) Si le spect re du signal est plus 6troi t que le spectre du bru i t , done plus 4troi t que h(v), le p remier fac teur de Sup R2hyb. est voisin de l 'uni t6 et Sup R2hyb. lui-m6me peu t ainsi 6tre supdrieur ~ l'unit~ : l '~chan- t i l lonnage hybr ide i n t rodu i t une cer ta ine am61ioration par r a p p o r t au t r a i t e m e n t analogique. Cependant , ce rdsul ta t n ' es t qu ' i l lusoire car les condi t ions 6tudi6es sont in t r insSquement d~favorables ; on a en v6rit6 tou t intdr6t h d iminuer d'abord la la rgeur de b a n d e du b ru i t pa r un f i l t rage pr6alable , de fa~on h r amener cet te derni~re h une largeur compa rab l e h celle du signal.

CORR]~LATEURS H Y B R I D E S A ] ~ C H A N T I L L O N N A G E 6/9 c) Si le spectre du signal et celui du bru i t ont des

6tendues comparables , Sup R2hyb. demeure voisin de l 'uni t6.

3.5. Conclusion.

Remarquons bien que, dans t o u s l e s cas, Sup R2hyb. t end a s y m p t o t i q u e m e n t vers 1 lorsque la dur6e de l ' impuls ion de pond6ra t ion t end vers z6ro, h l '6chel le des covar iances t an t du bru i t que du signal (done h(v) t end vers 1 pour t ou t v). Ceci nous pe rme t de conclure l ' ana lyse pa r deux poin ts :

a) Le choix de la cadence 1 / 0 d'dchantillonnage est lid uniquement ~ la largeur du spectre du bruit. Si ce spectre est h suppor t born6, des condi t ions opt imales peuven t 6tre a t te in tes .

b) La forme de l ' impuls ion de pond6ra t ion peu t 6tre quelconque ; les condi t ions po r t en t un iquemen t sur sa dur6e et sont li6es au seul signal. Elles sont sat is- faisantes dans la mesure off la durde de l ' impulsion H(t) est tr~s br~oe devant l'dtendue de la covariance I~s(x) du signal (ou h(v) tr~s large devan t le spectre du signal).

Sous ces deux r6serves, il n ' y a pas de diff6rence sensible entre les performances de d6tect ion d ' un corr61ateur hybr ide h 6chant i l lonnage et celles des corr~lateurs, r an t analogiques qu 'h 6chant i l lonnage convent ionnel .

3.6. Exemple .

Consid6rons le cas simple su ivant (Fig. 3) :

- - signal h spectre uniforme, de densit6 cons tan te

Ts&) = ys dans la bande v E [ - - ~, -F c~] et nulle fi l ' ex tdr ieur ;

- - bruit h spectre uniforme, de densit6 TB(V) = TB dans la b a n d e [ - - ~, + ~ ] ;

- - i m p u l s i o n de ponddration H(t) rec tangula i re , d 'une dur6e 6gale h une f ract ion ~ de la p6riode : H(t) = l / e 0 , pour t ~ [0, e0].

On a done h(~) ~ e x p [ - - 7 : i v r sin(n,~0)/~r et l ' encombremen t spectra l de h(~) est de l ' o rdre de 1~cO ;

- - la formule (15a) donne ici, pour 1 /0 1> 2 ~ :

Sup R2hyb.

si .0 2 7:or 2 n[3~0 n~r

a) On choisit une cadence d '6chant i l lonnage ~gale la fr6quence de Nyquis t , donc 2 ~0 = 1. La figure 3

mon t re alors l '6volu t ion de Sup R 2 en fonct ion de la dur~e re la t ive de l ' impuls ion, ceci pour t rois valeurs (y/~ = 1/4 , 1 et 4. De plus, le cas (~/~ = 0, pour lequel le premier fac teur de Sup R 2 est 6gal h 1, fai t a p p a r a i t r e l 'effet de f i l t rage qu ' a ppo r t e la largeur de l ' impuls ion sur le seul brui t .

b) Pour ~[~ = 1[4, les meil leures condi t ions sont a t t e in tes pour ~ ---- 1, au t r emen t di t pour une impuls ion rec tangula i re occupant tou te la p6riode d '6chant i l - lonnage et p rodu i san t ainsi le m a x i m u m d'effet de filtrage. On a alors Sup R 2 = 1,72. En nous r e p o r t a n t

- - 257 - -

7/9

h l ' express ion (10) re la t ive au corr61ateur analogique, ici :

[ S/B]~ = 2 ~ T (~1~)2 (TS/TB) ~ ,

nous obtenons ainsi pour le corr61ateur hybr ide : : 1 / 4 ) :

[S]B]~sh,.b = Sup R ~ [S/B]~ = 0,214 ~T (ys/ys) ~.

c) I1 est in t6ressant de comparer ce dernier r a p p o r t s ignal /bru i t de sort ie, va lab le pour ~r/[3 : 114 , h celui que l 'on ob t i endra i t en f i l t rant au pr6alable la g randeur d 'entr6e, de fa~;on h ramener la largeur de bande du b ru i t h une va leur [~' = [~[4 ~gale h celle, a,

du signal. On aura i t alors a l i a ' = 1 et, sous r6serve d ' a d o p t e r une la rgeur d ' impuls ion inf6rieure au 1 /10 de la p6riode d '~chant i l lonnage , Sup B ~ = 1. D'ofl :

[SIB]~,,,~ = 0,5 ~ T ('~S/TB) ~ .

Cette m~thode de pr6f i l t rage est done bien pr6f6rable h celle qui fa i t appel , comme pr~c6demment , h l 'effet de f i l t rage pa r la la rgeur d ' impuls ion . De plus, elle pe rme t d ' a d o p t e r une cadence d '6chant i l lonnage qua t re fois plus faible.

H(t) l

R~t, - - 0 ~0 0 t Spec~res impulsion , ~

1

0,5

6 & & 0t, 0!~ o'~ ' - - ' ' ' " , ,2 ,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 6,3 1

FI6. 3. - - Effet de largeur de l'impulsion de pond6ration.

4. P B O B L I ~ M E D ' E S T I M A T I O N D ' U N E COVAI:tIANCE

L a g randeur d 'en t r6e est la pai re de s ignaux al6a- toires Xl(t) , X~(t), suppos6s cenlrds pour simplif ier , de covar iance mutue l le I~2(~) = E{X~(t) X2*(t - - x)}.

G. B O N N E T [ANNAIA~S DES TI;~I,I:;COSIMUNICATIONS

Le corr61ateur hybr ide est celui d6crit au pa rag raphe 1 et repr~sent~ figure 1 ; sa g randeur de sort ie ~ const i tue l 'estimation de la covariance P12( 'L ') .

4.1 . Erreur s y s t 6 m a t i q u e d ' e s t i m a t i o n .

La va leur moyenne de la g randeur de sort ie est donn6e par (7), sous la cou t ra in te f(0) = 1 impos6e au gain complexe du filtre de sortie ~- et que nous supposerons respect6e :

(7) E (~} = (P12 * U)(x) �9

Les condi t ions d 'une estimation sans biais

[E{~-2} : F12('t')] ne sont done pas r6unies et deux solut ions se pr6sentent pour y pa rven i r :

a) ou bien effectuer une correc t ion de E{f~} par un caleul d e , d6eonvolut ion )>. Ce qui se t r adu i t , en calcul analogique, pa r une m6thode de filtre inverse (gain complexe 6gal /~ l / h (~ ) dans la bande de fr6- quences recouver te pa r la d i s t r ibu t ion spectra le "f12 @ FI~) ; en calcul num6rique pa r l ' invers ion d 'une mat r i ce ;

b) ou bien, et beaucoup plus s implement , choisir une impuls ion de pond6ra t ion H(t) de dur6e tr6s br6ve devan t l '6 tendue de la covar ianee estim6e et tel le que h(0) = 1 (cf. w 2.42) : ce que nous nommerons (~ ponddration microscopique ~>.

On notera que, quelle que soit la proc6dure adopt6e, la cadence d '6chant i l lonnage n ' i n t e rv i en t nu l lement dans la va leur eentrale de l ' e s t imat ion .

4.2 . Erreur s tat i s t ique d ' e s t i m a t i o n .

Cette erreur est repr6sent~e pa r la var iance de la g randeur de sort ie ~. Si l 'on convient de nommer <, signal )> la va leur centrale E{~}, on peut ut i l iser le langage de (, r appo r t s ignal /bru i t ~> en consid6rant :

V ~ 2 = ] ( P l ~ * H)I~)12Var f l

a) Le fai t que le filtre ~ de sort ie soit pa r hypoth~se tr~s s61ectif pe rme t de d6crire s implement la var iance ; o n a :

1 (16) Vat f~ = y - ~ (0, =),

11T = IIlll est la b a n d e passante 6nerg6tique de (cf. w 3) et ~ (~, x) la d i s t r i bu t ion spectra le 6ner-

g6tique de la fonet ion al6atoire centr6e :

ff/'(t, "r) = tF(t, "r) - - E{tF(t, x)} =

Zx(t) X2*(t -- ~) -- (P~ . H)(~).

On pourra done atteindre Y.r (0, ~) en int6grant la covariance centr6e :

(17) P",r(o', "r) = E{ '~'(t, -r) ~lJ'*(t -- o', ~:)},

d'ofi, d'apr6s (16), la variance de /'estimation :

1 / + ~ Pr((~, ~) d(~ (18) Var ~ -- T

b) Le calcul der~(~, ~) = P~(~, ~) - - 1 ( 1 ~ 1 2 . H)(~) 18 fai t appel h :

Iar(<r, x) = E(ZI(t ) X2* (t - - -r) Zl*(t - - ~) X 2 ( / - - O" - - ~ ' )} ,

- - 258 - -

t. 24, n ~ 7-8, 1969]

et, si l 'on ut i l ise l ' express ion (4) de l '@hant i l lonnSe Z1, on obt ien t apr~s quelques calculs ~rbs simplcs :

(19) P~ (a, "~) =

0 E E ( X # - - z) x ~ ' ( t - - z I m0) x nl~--oo

X 2 (t - - ~:) X~(t - - (; - - ~)} H(z) H*(z - - (; - - m0)dz .

La recherche de cet te covar iance impl ique donc la connaissance d 'un moment du 4 e ordre des s ignaux d 'entr~e. Nous re t iendrons deux cas, pour lesqucts les calculs peuven t 6tre conduits plus avan t : celui d ' une entr4e de Laplace-Gauss et celui d 'une pond6- r a t i on microscopique.

4.3. Cas gaussien.

Si le couple ( X l , X 2 ) est de Laplace-Gauss rdel, le momen t du 4e ordre qui in te rv ien t dans (19) s ' expr ime i~ p a r t i r des eovarianees propres 1~11 et 1~22 et de la covar ianee m u t u e l l e lml2 ; on a ainsi :

(20) P v (~, '0 = +oo ~.+oo

0 ~, / [F12('~ -- z) F~2(~" + (; + m0 - - z) + II1=--(2'3 ../--09

I~15(% " -[- (3" - - Z) 1~12(T -}- m O - - Z) -~ Pn(mO) F22(a)] H(z) H*(z - - a - - mO) d z ,

et il convient de consid4rer success ivement t rois cont r ibu t ions h la d i s t r ibu t ion spectrale centr6e :

(21) ~ , r (v , r ) = Yv (v, "~) -- I(P~2 96 H)(~)I * ~(~) ~ "F,~-(~, "0

4.3.1. C o n t r i b u t i o n de Fx~('~--z)Fl~('r ~- a-~ mO --z).

Elle s ' expr ime, pa r t r ans fo rmat ion de Four ie r sur ~;, sous la forme [avee H # ( t ) = H * ( - - t) ~ h*(v)] :

A ~ §

e -2wi'z 1~12('~ - - z ) H(z) dz. 0 ~ e 2=ivm0 X

/ : ~ + (~-z) + _ F12(~: -k mO + a--z)H# (toO a--z) d~.

La seconde int~grale est en fai t ind6pendan te de z ; elle condui t , vu la formule de Poisson, ~ :

.boo ~+co 0 ~ e '~1~'*0 e2~i'~ / e-2 z lx~ '12(v- x)h* (x) dx nt=--oo J--oo

alors que la premiere int~grale v a u t :

e-~l~ e ~ , y* ( ~ - g) h(g) dg.

D'ofl la con t r ibu t ion h y,r(v, "r) :

e -2~lxzh*(x) '~12(v-x) Z ~ ~ - - --~- ,

I1 s ' ag i t d ' u n spectre de raies et la raie ~ l 'or igine, celle qui in te rv ien t dans y~,(0, ~) s ' expr ime, vu l '4galit6 de Parseval , pa r :

/ + ~ h*(x) %'12(--x) = 2~(V)

@-2~lxv dx

I(1"~ 96 n)(~tl ~ 8(~)

CORRI~LATEURS H Y B R I D E S A ]~CHANTILLONNAGE 8/9 Si, m a i n t e n a n t , on se repor te h l ' express ion ( 2 1 ) d e ~v(v, z), la con t r ibu t ion 4tudi~e ici s 'avbre compenser exac tement la raie de fr~quence z~ro due h la compo- sante cer ta ine E{tF(t , ~)}. La va leur h l 'or igine du spectre cenlrd ~ ( ~ , "Q est done const i tuSe un iquement de l ' a p p o r t des deux autres contr ibut ions .

4.3.2. Contribution de F12('~-[- a --Z)Fl~('~ -1-mO --z).

Puisquc lc centrage est effectu~ ipso ]acto par le t e rme precedent , nous pouvons calculer d i rec tement la cont r ibu t ion ~ Var ~ par une in t6gra t ion en a su ivant la formule (18). On a, "~ pa r t i r de (20) :

0 FlS(~ + m0 - - z) H(z) dz • T ,,=_oo

./-iioo F12 (~: + c; - - z) H*(z - - r - - m0)da ,

ce qui donne ([~12 est r6el) :

(22) ~ - ~ (1~12 96 H)( 'c- i -mO)(F12 96 H ) * ( , : - , , o ) . in=--~

4.3.3. Con t r ibu t i on de P n ( m 0 ) P22((;) �9

En u t i l i sant la fonct ion de corr41ation (8) de l ' im-

pulsion H(t) et compte tenu de ce que F2~ est paire , cet te con t r ibu t ion ~ Var f / , ob tenue par i n t@ra t i on en (; dans (20), v a u t :

0 +~

/ + ~ F22(~)FH(a + ,nO) (23) T - , , , ~ _ ~ Fn(m0) d~ =

0 +~ -~ ~ Pn(m0) (F22 96 FH)(,,0) �9

m=--:)o

4.3.4. Variance de l 'est imation.

En add i t i onnan t les cont r ibu t ions (22) et (23), on ob t ien t done, pour ee eas gaussien :

0 +~ (24) Var ~ = T i n ~-oo (ln1296 H)(~+m0)(P12 96 H)*(~-m0) +

Fn (m0)(P22 * PH)(m0)] �9

Une autre formulation, eelle-ei fr4quentielle, peut 6tre obtenue h partir de la pr6c6dente en faisant appel h la formule de Poisson ; elle est :

(25) Var ~ =

1 +~o ~. [(e 2~lz~ ~'12h * [e2~lz~ ~'12h]*)(kl0) +

T k - ~ ('~11 96 ~"~2[hl2)(kl0) ]"

On notera que, lorsque H(t) ~/~ ~(t) (pond6rat ion micro- seopique), l ' express ion (24) se r6dui t h :

Var ~2 =

- y - E [F12(~ + ,nO) P~2(~- - m0) + in : - - co

Fn(m0) F22(m0)] �9

4.4. Pond6ration microscopique.

Pla~ons-nous dans le cas ou l ' impuls ion de pond6-

ra t ion H(t) est suff isamment brbve h l '4ehelle de la

- - 259 - -

9/9

covar iance P12(~) pour que l ' e s t ima t ion erreur sys t6mat ique (w 2.4.2). Alors :

(Pl~ * H)~ ~ I~12('r VT ;

ee qui fai t que, ~ l '~chelle des covarianees, ce t te impuls ion H(t) se compor t e eomme la d i s t r ibu t ion de Dirac ~(l) et que h(v) peu t pa r sui te 6tre consid6r6e comme ~gale h 1 pour t ou t , . On peu t alors confondre l '~ehant i l lonn6e Zl(t ) avec l '~chant i l lonn~e propre YI(t) et 6erire, d 'apr~s (5) :

W(t, ~) = Z~(t) X~*(t--~), +0o

Xl(t) x ~ * ( t - - z ) 0 E ~ ( t - - t o - / O ) , ,]~--oo

+oo = 0 ~(t , ~) Y, ~(t - - t o - - i 0 ) .

j=-co

Par suite, la g randeur tF(t, T) qui in te rv ien t dans un corr61ateur hyb r ide peu t 6tre consid6r6e comme l'dchantillonnde proprc de la g randeur (I)(t, "0 = X~(t) X~*(t - - "0, celle-lh m6me qui in te rv iendra i t dans un eorr61ateur analogique. A ce t i t re , le pro- b lame ~tant de calculer les f luctuat ions de tF(t, "0, il est facile d ' en d6terminer la d i s t r ibu t ion spec t ra le centr6e ~ v (v, T) : en se r e p o r t a n t h [1] p a r a g r a p h e 2.4, on l ' exp r imera au moyen de la d i s t r ibu t ion spec- t ra le re la t ive h la g6n6ratrice (I)(t, T). Ainsi, nous obtenons pour la va r iance de l ' e s t ima t ion et su ivant (16) :

a) en formulation temporelle :

1 (26) Var ~ = - ~ - y v ( 0 , T) =

0 +~o -~-- Z F| Z) ,

/1 ~--oo avec :

Y| (~, ~) = E{~)(t, ~) ~ ) * ( t - - a, T) =

E{Xl(t ) X~* (t - - ~) Xl*(t - - ~) X~(t - - ~ - - ~)} - -

I E { X , ( O x**(t - - T)}]*;

b) en formulation /r~quentielle :

(27) V a r ~ -- T ~ ~| ' ~ '

avec Tv(v, ~) ~ F| x) �9

Pa r suite, 1 'expression de la var iance de l ' e s t ima t ion s 'avbre, dans le cas d ' u n e pond6ra t ion microscopique, ident ique h celle ob tenue avee un cor rUateur clas- sique de m6me cadence d '6chant i l lonnage , cf. [1], p a r a g r a p h e 4.2. Les impl ica t ions en sont donc les memes.

4.4.1. - - Pour des cadences /aibles, la var iance de l ' e s t ima t ion est inversement propor t ionnel le au nombre T]O d '6ehant i l lons non eorr616s utilis~s p e n d a n t la

G. BONNET [ANNALES DES TI~LECOMMUNICATIONS

soit sans dur6e de l 'observa t ion , la m6moire T du filtre de sortie.

4.4.2. - - Pour des cadences ~leodes, la compara i son entre l ' e r reur Var ~ h la sor t ie du eorr~lateur hybr ide et l ' e r reur Var A fi la sor t ie d ' u n cor rUa teur analo- gique s ' expr ime sous la forme :

Var ~ = +~o ~ { m "~/ "

4.4.3. - - Les condi t ions pour lesquelles l '6chant i l - lonnage n ' a u g m e n t e pas l ' e r reur s t a t i s t ique d 'es t i - mar ion sont de m6me na tu re que pour l ' emploi en d6tect ion des s ignaux, p a r a g r a p h e 3. I1 faut :

a) un spectre ~| borne, ce qui impl ique des s ignaux d 'en t r6e h spectre born6 ;

b) une cadence d '6chant i l lonnage 1 /0 au moins 6gale au double de la fr~quence l imi te supdrieure de

~| T).

5 . CONCLUSION

In t f r e s san t h plusieurs 6gards du po in t de vue technologique, le corr61ateur h y b r i d e pa ra l t devoi r faire p a y e r sa simplici t6 p a r une d i m i n u t i o n ' d e s per- formances. Cependant , il nous a 6t6 donn6 de m o n t r e r qu ' i l est pa r f a i t emen t possible d 'ob ten i r , dans ce t y p e de t r a i t emen t , des r6sul ta t s ident iques h ceux d ' u n cor r f l a t eu r h dchant i l lonnage convent ionne l : ceci m o y e n n a n t la pr6caut ion d 'u t i l i se r le cor r f l a teur hyb r ide darts des condi t ions de , p o n d f r a t i o n micro- scopique ~. Cet te ident i t6 de compor t emen t est alors va lab le aussi bien pour l ' e s t ima t ion s t a t i s t ique d 'une covar iance que pour la d f t ec t ion des s ignaux faibles. Ceci 6 tant , l ' a s s imi la t ion h u n corr61ateur ana logique ne d6pend plus que du choix de la cadence d'dchan- tillonnage r e l a t ivemen t h la la rgeur du spectre h Fen- tr6e.

Manuscrit recu le 17 ]uillet 1968.

BIBLIOGRAPHIE

[1] BONNET (G.). Probl~mes d'~chantillonnage en traite- ment lin~aire et quadratique des signaux al6atoires. Ann. Tdldcommunic., Fr. (janv.-f6vr. 1969), 24, n os 1-2, pp. 17-30.

[2] BLANc-LAPIERRE (A.), FORTET (R.) . Th6orie des fonc- tions al6atoires, Masson, Paris (1953), 693 p.

[3] BLANc-LAPIERRE (A.), PICINBONO (B.). Propri~t~s sta- tistiques du bruit de fond. Masson, Paris (1961), t0~ p.

[~] DUFLOS (J.). Etude des effets de l'~chantillonnage en d~tection des signaux faibles. Onde dear., Fr. (i96Q, 4 4 , no ~ 3 , pp. 197-211.

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