Corrigé EXERCICE 1€¦ · CRPE – MATHÉMATIQUES AFADEC – Nathalie N’Diaye – Droits de reproduction réservés 4 4.%Les nombres qui s’écrivent avec les chiffres 1, 2 et

CRPE – MATHÉMATIQUES

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Corrigé

EXERCICE 1

1. Une cible est composée de trois disques concentriques, de rayons respectifs 1 dm, 2 dm et 3 dm, qui délimitent trois zones (numérotés 1, 2 et 3).

Soient A1 l’aire de la zone 1, A2 celle de la zone 2, et A3 celle de la zone 3, exprimées en dm².

A1 est l’aire du disque de rayon 1 dm : A1 = ! × 1² = !.

A2 est la différence entre l’aire du disque de rayon 2 dm et celle du disque de rayon 1 dm :

A2 = ! ×2² − !×1! = 4! − ! = 3! .

A3 est la différence entre l’aire du disque de rayon 3 dm et celle du disque de rayon 2 dm :

A3 = ! ×3² − !×2! = 9! − 4! = 5!.

La probabilité d’obtenir une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone, et on atteint toujours la cible, donc la somme des probabilités de ces trois zones doit être égale à 1.

On peut présenter les probabilités dans un tableau de proportionnalité :

Aire de la zone (dm²) ! 3 ! 5 ! 9 !

Probabilité 19

13

59 1

Pour obtenir la probabilité de la zone 1, on effectue une règle de trois : !×!!!

= !!



Et on fait de même pour les deux autres zones.

La probabilité d’obtenir la zone 2 est donc de !! soit

!! et non de

!!.

L’affirmation 1 est donc fausse.

2. 2! + 2!!! + 2!!! = 2! + 2!× 2! + 2! × 2!

= 2! ( 1+ 2+ 4) = 7 × 2! pour tout n

2! est un nombre entier donc le nombre 2! + 2!!! + 2!!! est un multiple de 7, pour tout n.

L’affirmation 2 est donc vraie.

3. Soit DM la distance en km entre Luz-Saint-Sauveur et le sommet du col et DD la distance en km entre le sommet du col et Campan.

Pour Jean-Luc, on a : DM = 20 × TM – JL où TM – JL est la durée de la montée de Jean-Luc.

Et : DD = 48 × TD – JL où TD – JL est la durée de sa descente.

La distance parcourue par les deux cyclistes est la même à la montée et à la descente.

Pour Patrice, on a : DM = 15 × TM – P où TM – P est la durée de la montée de Patrice.

Et : DD = 60 × TD – P où TD – P est la durée de sa descente.

De plus, pour aller de Luz-Saint-Sauveur à Campan (soir la montée et la descente), Jean-Luc

a mis 1h 24 min soit (1 + !"!" ) heure, soit 1,6h.

Par conséquent, on a : T!!!" + T!!!" = 1,4 T!!! + T!!! = 1,6 et

20 TM−JL = 15 TM−P48 TD−JL = 60 TD−P



Résolvons par combinaison ce système en commençant par le 2ème système, et en multipliant la 1ère équation par 4 :

80 T!!!" = 60 T!!!48 T!!!" = 60 T!!!

On ajoute ces deux équations :

80 T!!!" + 48T!!!" = 60 T!!! + 60 T!!! 80 T!!!" + 48T!!!" = 60 (T!!! + T!!! ) 80 T!!!" + 48T!!!" = 60 ×1,6

80 T!!!" + 48T!!!" = 96 On divise par 16 : 5 T!!!" + 3T!!!" = 6

Ainsi : T!!!" + T!!!" = 1,4 5T!!!" + 3 T!!!" = 6

En procédant toujours par combinaison et en multipliant par (-3) la 1ère équation, on a :

−3T!!!" − 3 T!!!" = −4,2 5T!!!" + 3 T!!!" = 6

On ajoute ces deux équations :

2T!!!" = 1,8

T!!!" =!,!!= 0,9

Jean-Luc a mis 0,9 h pour aller de Luz-Saint-Sauveur jusqu’au sommet du col, à la vitesse moyenne de 20 km/h. La distance parcourue est donc :

DM = 0,9 x 20 = 18 km




4. Les nombres qui s’écrivent avec les chiffres 1, 2 et 3, utilisés qu’une seule fois sont :

123 – 132 – 213 – 231 – 312 – 321

Leur somme S vaut :

S = 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332 = 2 ×111 ×6

S est donc toujours un multiple de 2 et de 111.


5. Calculons les différents volumes, sachant que le trou est un parallélépipède rectangle, le volume d’eau est lui aussi le volume d’un parallélépipède rectangle et la bille est une boule de diamètre 1,4 cm donc de rayon 0,7 cm :

Vtrou = 3 × 1,6² = 7,68 le trou a donc un volume de 7,68 cm3.

Veau = 2 × 1,6² = 5,12 l’eau a donc un volume de 5,12 cm3.

Vbille = !!!×0,7! ≈ 1,437 la bille a donc un volume de 1,437 cm3, au millième près.

Par conséquent, l’eau et la bille ont un volume d’environ : 5,12 + 1,437 = 6,557 cm3

6,557 < 7,68 Donc la bille ne fera pas déborder l’eau de ce trou.


6. Le bilan des ventes de ses menus est donné en pourcentage. Prenons, par exemple, un nombre total de menus vendus égal à 100.

Il y a donc 14 menus enfants vendus au prix de 4€, 36 menus normaux vendus à 6,50€, 29 menus grande taille vendus à 8 € et 21 menus géants vendus à 12€.

La moyenne est donc :

!"×!!!"×!,!!!"×!!!"×!"!""

= !!"!""

= 7,74

Le prix moyen dépensé pour un menu est de 7,74 € et non de 7€.




EXERCICE 2

1. x est la longueur AM où M est un point de [AC] ( M n’est pas situé en A, ni en C),

donc 0 < x < AC 0 < x < 8

2. AMIE est un rectangle donc ses côtés opposés (AE) et (MI) sont parallèles.

De plus, E est un point de [AB] donc (AB) et (MI) sont parallèles.

Les points C, I, B d’une part et C, M, A d’autre part sont alignés dans le même ordre, on peut donc appliquer la propriété de Thalès, et on a :

!"!" =

!"!" =

!"!"

Or AB = 6 cm, CA = 8 cm et CM = CA – AM = 8 – x

Donc MI = !" ×!"!"

MI = !!! × !

!= !!! ×!

! = !"!!!

!= !"

!− !

!!

MI = ! − !!!.



3. a. P(x) = 2AM + 2MI

P(x) = 2x + 2(6− !!!)

P(x) = 2x + 12 − !

!!

P(x) = 12 + !

!!

b. D’après la question précédente, le périmètre de AMIE en fonction de x est une fonction affine, donc le périmètre de AMIE n’est pas proportionnel à la longueur AM.

Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire et non affine.

c. Pour x = 1,5 : P(1,5) = 12 + 0,5 x 1,5 = 12 + 0,75 = 12,75

Pour une longueur AM de 1,5 cm, le périmètre de AMIE est de 12,75 cm.

Pour x = 6,75 : P(6,75) = 12 + 0,5 x 6,75 = 12 + 3,375 = 15,375

Pour une longueur AM de 6,75 cm, le périmètre de AMIE est de 15,375 cm.

d. On veut obtenir un périmètre égal à 8 cm, on a donc P(x) = 18. Il faut donc résoudre l’équation :

12 + !!! = 18

!

!! = 18 – 12

!

!! =

! = 12

Or d’après la question 1., ! est un nombre strictement compris entre 0 et 8, donc il ne peut pas valoir 12.

Par conséquent, on ne peut pas avoir un périmètre de 18 cm.



4.

a. AMIE est un rectangle donc (EI) est perpendiculaire à (AE) et donc aussi à (BE).

Le triangle BEI est donc rectangle en E, d’où :

A1(x) = !" ×!"

!

Or EI = AM = x (ce sont deux côtés opposés du rectangle) et EB = AB – AE (car les points B, E, A sont alignés dans cet ordre) EB = 6 – MI EB = 6 – 6 +

!!!

EB =

!!!

Donc A1(x) = !! ! × !

! =

!! ×

!! !² A1(x) = !! !²

De même que pour BIE, on montre que MIC est un triangle rectangle en M, d’où :

A2(x) = !" ×!"

!

Or MI = 6 − !

!! et MC = 8 – x

Donc A2(x) = !! ×(6 −

!!!)(8 − !)

A2(x) = !! ×(48 − 6! − 6! +

!!!2)

A2(x) = !! ×(48 − 12! +

3

4!2)

A2(x) = 24−!"+ !

! !!



b. Déterminons la valeur de x pour laquelle l’aire du triangle BEI est égale à celle du triangle MIC. Il faut donc résoudre l’équation : A1(x) = A2(x)

!!!² = 24 − 6! +

!!!²

6! + 38 !

! − 38 !! = 24

6! = 24 ! = 4 et 0 < 4 < 8

Les aires des triangles BEI et MIC sont égales pour x = 4 cm.

EXERCICE 3

1.

a. Cette spirale qui a pour base un triangle équilatéral ABC est composée de 3 arcs de cercle.

ABC est équilatéral donc ses angles valent tous 60°, les points A’, A et B sont alignés

Donc !!!" = 180° donc !"!! = !""′ − !"# = 180 – 60 = 120

De même, on a : !′!!′ = 120° et !′!!′ = 120° .



Ainsi, la spirale est composée des arcs de cercle :

b. Un cercle entier a un angle de 360, les arcs de cercle ont un angle de 120, donc cela représente :

120360 =

13

On utilise donc 1/3 de chaque cercle.

c. 1/3 est une fraction irréductible, dont le dénominateur n’est pas un produit de puissances de 2 et/ou de 5, donc cette fraction n’est pas un nombre décimal.

2. Programme de construction d’une spirale à base carrée, de côté a :



3. Calculons la longueur LT de la spirale à base triangulaire :

LT = CA’ + A’B’ + B’C’

D’après la question 1., chaque arc de cercle correspond à 1/3 du cercle entier. Le périmètre d’un cercle de rayon a est 2!" donc :

LT = !! ×2!" +

!!×2!2! +

1

3 × 2!3!

LT =

!!×(2!" + 4!" + 6!")

LT = 13× 12!"



LT = 4!"

La longueur de la spirale à base triangulaire est 4!".

Calculons la longueur LC de la spirale à base carrée :

LC = DA’ + A’B’ + B’C’ + C’D’

Les angles d’un carré mesurant 90°, chaque arc de cercle aura un angle de 90°, ce qui

correspond à 1/4 du cercle entier (!"!"#

= !!) donc :

LC = !! × 2!" +

!!× 2!2! +

!! × 2!3! +

!! × 2!4!

LT = !!× (2!" + 4!" + 6!" + 8!") LT =

!!× 20!"

LT = 5!"

La longueur de la spirale à base carré est 5!".

4. La longueur de la spirale construite à partir d’un triangle équilatéral de côté 10 cm vaut :

LT = 4!" = 4!×10 = 40! On souhaite que la longueur de la spirale construite à partir d’un carré de côté a est elle aussi une longueur de 40!, il faut donc que :

5!" = 40! ! = !"!

!!= 8

Il faut donc que le côté du carré soit de 8 cm pour que les deux spirales aient la même longueur.

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