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Mathématiques pour l’économie MATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49 Page i
CORRIGÉS DESEXERCICES
1 Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 1
2 Notions préliminaires II : Équations 10
3 Notions préliminaires III : Divers 14
4 Les fonctions d’une variable 20
5 Les propriétés des fonctions 30
6 La dérivation 35
7 Les dérivées en action 44
8 Optimisation à une variable 56
9 Intégration 65
10 Sujets d’économie financière 83
11 Les fonctions de plusieurs variables 89
12 Outils de statique comparative 97
13 Optimisation à plusieurs variables 111
14 L’optimisation sous contraintes 122
15 Algèbre des matrices et des vecteurs 136
16 Déterminants et matrices inverses 144
17 Les programmes linéaires 154
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CORRIGÉS DESEXERCICES
Chapitre 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire
1.1
1. (a) Vrai.
(b) Faux, �5 étant inférieur à �3, il est à gauche de �3 sur la droite des nombres.(c) Faux, �13 est un entier, mais pas un entier naturel.(d) Vrai.Tout entier naturel est rationnel. Par exemple, 5 = 5=1.
(e) Faux, car 3;1415 = 31 415=10 000, le quotient de deux entiers (3;1415 n’est qu’une
approximation de �).
(f) Faux. Contre-exemple :p
2 + (�p
2) = 0.
(g) Vrai.
(h) Vrai.
2. Il n’y a manifestement pas de suite finie de chiffres qui se répète continuellement
puisqu’un 0 supplémentaire est ajouté entre deux 1 successifs :
1;01001000100001000001 : : :
1.2
1. (a) 103 = 10 � 10 � 10 = 1000(b) (�0;3)2 = 0;09(c) 4�2 = 1=16(d) (0;1)�1 = 1=0;1 = 10
2. (a) 4 = 22
(b) 1 = 20
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2 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) 64 = 26
(d) 1=16 = 2�4
3. (a) 153
(b)(� 1
3
)3
(c) 10�1
(d) 10�7
(e) t6
(f) (a � b)3(g) a2b4
(h) (�a)3
4. (a) 25 � 25 = 25+5 = 210(b) 38 � 3�2 � 3�3 = 38�2�3 = 33(c) (2x)3 = 23x3 = 8x3
(d) (�3xy2)3 = (�3)3x3 (y2)3 = �27x3y6
5. (a)p24p3
p4p= p24+3�4�1 = p22
(b)a4b�3
(a2b�3)2=a4b�3
a4b�6= a4�4b�3�(�6) = b3
(c)34 (32)6
(�3)1537 =34312
�31537 = �3�6
(d)p (pq)�
p2+�q��2= p�q2
6. (a) 26 = 64
(b) 64=27
(c) 8=3
(d) x9
(e) y12
(f) 8x3y3
(g) 10�2 = 1=100(h) k4
(i) (x + 1)2
7. (a) Comme 4�(3r)2 = 4�32r2 = 9 (4�r2), la surface de la sphère est amplifiée d’un
facteur 9.
(b) Quand le rayon r augmente de 16 %, cela veut dire que r est multiplié par le
facteur 1,16 et r2 par le facteur (1;16)2 = 1;3456. La surface augmente de 34;56 %.
8. (a) Faux. a0 = 1.
(b) Vrai. c�n = 1=cn pour tout c 6= 0.(c) Vrai. am � am = am+m = a2m.(d) Faux (sauf si m = 0 ou ab = 1). ambm = (ab)m.
(e) Faux (sauf si m = 1). Par exemple, (a + b)2 est égal à a2 + 2ab + b2.
(f) Faux (sauf si ambn = 1). Par exemple, a2b3 n’est pas égal à (ab)2+3 = (ab)5 = a5b5:
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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 3
9. (a) x3y3 = (xy)3 = 33 = 27
(b) (ab)4 = (�2)4 = 16(c) (a8)0 = 1 pour tout a 6= 0.(d) (�1)2n = [(�1)2]n = 1n = 1
10. (a) 150 � 0;13 = 19;5(b) 2 400 � 0;06 = 144(c) 200 � 0;055 = 11
11. 1;50 meilleur marché, ce qui est 15 % de 10.
12. (a) Un investissement initial de 50 e s’il est placé à un taux d’intérêt de 11% l’an,
pendant 8 années, devient 50 � (1;11)8 � 115;23 e.(b) Un investissement initial de 10 000 e placés à 12 % l’an, pendant 20 ans, devient
10 000 � (1;12)20 � 96 462;93 e.(c) 5 000 � (1;07)�10 � 2 541;75 e est le montant que vous auriez dû investir il y a10 ans pour avoir 5 000 e aujourd’hui, si le taux d’intérêt est resté constant à 7 %.
13. (a) 12 000 � (1;04)15 � 21 611;32(b) 50 000 � (1;06)�5 � 37 362;91
14. p � 95,3%, puisque (1;25)3 = 1;9531.
1.3
1. (a) 1
(b) 6
(c) �18(d) �18(e) 3x + 12
(f) 45x � 27y(g) 3
(h) 0
(i) �1
2. (a) 3a2 � 5b(b) �2x2 + 3x + 4y(c) t
(d) 2r3 � 6r2s + 2s3
3. (a) �3n2 + 6n � 9(b) x5 + x2
(c) 4n2 � 11n + 6(d) �18a3b3 + 30a3b2(e) a3b � ab3(f) x3 � 6x2y + 11xy2 � 6y3
4. (a) acx2 + (ad + bc) x + bd
(b) 4 � t4(c) [(u � v) (u + v)]2 = (u2 � v2)2 = u4 � 2u2v2 + v4
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4 CORRIGÉS DES EXERCICES
5. (a) (2t � 1) (t2 � 2t + 1) = 2t (t2 � 2t + 1) � (t2 � 2t + 1)= 2t3 � 4t2 + 2t � t2 + 2t � 1 = 2t3 � 5t2 + 4t � 1
(b) (a+ 1)2 + (a�1)2�2 (a+ 1) (a�1) = a2 + 2a+ 1 +a2�2a+ 1�2a2 + 2 = 4. Sinon,on applique l’identité du deuxième degré x2 + y2 � 2xy = (x � y)2 avec x = a + 1 ety = a�1 et on obtient (a+1)2 +(a�1)2�2 (a+1) (a�1) = [(a+1)�(a�1)]2 = 22 = 4.(c) (x + y + z)2 = (x + y + z) (x + y + z)
= x (x + y + z) + y (x + y + z) + z (x + y + z)
= x2 + xy + xz + yx + y2 + yz + zx + zy + z2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(d) Avec a = x + y + z et b = x � y � z,(x + y + z)2 � (x � y � z)2 = a2 � b2 = (a + b) (a � b) = 2x (2y + 2z) = 4x (y + z):
6. (a) x2 + 4xy + 4y2
(b) 1=x2 � 2 + x2(c) 9u2 � 30uv + 25v2(d) 4z2 � 25w2
7. (a) 2012 � 1992 = (201 + 199) (201 � 199) = 400 � 2 = 800(b) u2 � 4u + 4 = (u � 2)2 = 1 de sorte que u � 2 = ˙1 et u = 1 ou u = 3.
(c)(a + 1)2 � (a � 1)2(b + 1)2 � (b � 1)2 =
a2 + 2a + 1 � (a2 � 2a + 1)b2 + 2b + 1 � (b2 � 2b + 1) =
4a
4b=a
b
8.1 0002
(2522 � 2482) =1 0002
(252 + 248) (252 � 248) =1 0002
500 � 4 = 500
9. (a) (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(b) (a � b)3 = (a � b)2 (a � b) = (a2 � 2ab + b2) (a � b) = a3 � 3a2b + 3ab2 � b3(c) et (d) : Développer les membres de droite.
10. (a) 3 � 7 � xxyyy(b) 3 (x � 3y + 9z)(c) aa (a � b)(d) 2 � 2 � 2xy (xy � 2)
11. (a) 2 � 2 � 7aabbb(b) 2 � 2 (x + 2y � 6z)(c) 2x (x � 3y)(d) 2aabb (3a + 2b)
(e) 7x (x � 7y)(f) 5xyy (1 � 3x) (1 + 3x)(g) (4 + b) (4 � b)(h) 3 (x + 2) (x � 2)
12. (a) (x � 2) (x � 2)(b) 2 � 2ts (t � 2s)(c) 2 � 2 (2a + b) (2a + b)(d) 5x (x +
p2y) (x �
p2y)
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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 5
13. (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 par l’identité du second degré.
(b) KL(K � L)(c) K�5(K � L)(d) 9z2�16w2 = (3z�4w) (3z + 4w), selon la formule de la différence de deux carrés.(e) � 1
5x2 + 2xy � 5y2 = � 1
5(x2 � 10xy + 25y2) = � 1
5(x � 5y)2
(f) a4 � b4 = (a2 � b2) (a2 + b2), grâce à la formule de la différence de deux carrés.Comme a2 � b2 = (a � b) (a + b), a4 � b4 = (a � b) (a + b) (a2 + b2).
14. (a) (5 + a) (x + y)
(b) u2 � v2 + 3 (u + v) = (u + v) (u � v) + 3 (u + v) = (u + v) (u � v + 3)(c) (P +Q) (P 2 +Q2)
15. (a) KK (K � L)(b) KL(L2 + 1)
(c) (L +K) (L �K)(d) (K � L) (K � L)(e) KL (K � 2L) (K � 2L)(f) K�6(K3 � 1) = K�6(K � 1) (K2 +K + 1), grâce à la formule de l’exercice 9(c).
1.4
1. (a) 2/7
(b) 13/12
(c) 5/24
(d) 2/25
(e) 9/5
(f) 1/2
(g) 1/2
(h) 11/27
2. (a) 3x=2
(b) 3a=5
(c) 1/5
(d) 112
(�5x + 11)(e) �1=(6b)(f) 1=b
3. (a)5 � 5 � 13
5 � 5 � 5 � 5 =13
25
(b)ab2
8c2
(c)2
3(a � b)
(d)P (P +Q) (P �Q)
(P +Q)2=P (P �Q)P +Q
4. (a) 1/2
(b) 6
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6 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) 5/7
(d) 9/2
5. (a)1
x � 2 �1
x + 2=
x + 2
(x � 2) (x + 2) �x � 2
(x + 2) (x � 2) =x + 2 � x + 2(x � 2) (x + 2) =
4
x2 � 4(b) Comme 4x +2 = 2 (2x+1) et 4x2�1 = (2x+1) (2x�1), le plus petit dénominateurcommun est 2 (2x + 1) (2x � 1). Ensuite,
6x + 25
4x + 2� 6x
2 + x � 24x2 � 1 =
(6x + 25) (2x � 1) � 2 (6x2 + x � 2)2 (2x + 1) (2x � 1)
=42x � 21
2 (2x + 1) (2x � 1) =21
2 (2x + 1):
(c)18b2
a2 � 9b2 �a
a + 3b+ 2 =
18b2 � a (a � 3b) + 2 (a2 � 9b2)(a + 3b) (a � 3b)
=a (a + 3b)
(a + 3b) (a � 3b) =a
a � 3b
(d)1
8ab� 1
8b (a + 2)=
(a + 2) � a8ab (a + 2)
=2
8ab (a + 2)=
1
4ab (a + 2)
(e)2t � t2t + 2
�(
5t
t � 2 �2t
t � 2
)=t (2 � t )t + 2
� 3tt � 2 =
�t (t � 2)t + 2
� 3tt � 2 =
�3t2t + 2
(f)a(1 � 1
2a
)
0;25=a � 1
214
= 4a � 2, de sorte que
2 �a(1 � 1
2a
)
0;25= 2 � (4a � 2) = 4 � 4a = 4 (1 � a):
6. (a)2
x+
1
x + 1� 3 = 2 (x + 1) + x � 3x (x + 1)
x (x + 1)=
2 � 3x2x (x + 1)
(b)t
2t + 1� t
2t � 1 =t (2t � 1) � t (2t + 1)
(2t + 1) (2t � 1) =�2t
4t2 � 1
(c)3x
x + 2� 4x
2 � x �2x � 1
(x � 2) (x + 2) =3x (x � 2) + 4x (x + 2) � (2x � 1)
(x � 2) (x + 2) =7x2 + 1
x2 � 4
(d)
1
x+
1
y1
xy
=
(1
x+
1
y
)xy
1
xy� xy
=y + x
1= x + y
(e)
1
x2� 1y2
1
x2+
1
y2
=
(1
x2� 1y2
)� x2y2
(1
x2+
1
y2
)� x2y2
=y2 � x2y2 + x2
(f) Réduire les fractions du numérateur et du dénominateur au dénominateur com-
mun xy, puis simplifier.a (y � x)a (y + x)
=y � xy + x
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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 7
7.�8x
x2 + 2xy � 3y2
8. (a) 14� 1
5= 5
20� 4
20= 1
20. De là,
(14� 1
5
)�2=(
120
)�2= 202 = 400.
(b) n � n
1 � 1n
= n � n � n(1 � 1
n
)� n
= n � n2
n � 1 =n (n � 1) � n2
n � 1 =�nn � 1
(c) On pose u = xp�q . Alors
1
1 + xp�q+
1
1 + xq�p=
1
1 + u+
1
1 + 1=u=
1
1 + u+
u
1 + u= 1:
(d)
(1
x � 1 +1
x2 � 1
)(x2 � 1)
(x � 2
x + 1
)(x2 � 1)
=(x + 1) + 1
x3 � x � 2x + 2
=x + 2
(x + 2) (x2 � 2x + 1) =1
(x � 1)2
(e)1
(x + h)2� 1x2
=x2 � (x + h)2x2 (x + h)2
=�2xh � h2x2 (x + h)2
, de sorte que
1
(x + h)2� 1x2
h=�2x � hx2 (x + h)2
:
(f) En multipliant numérateur et dénominateur par x2 � 1 = (x + 1) (x � 1), il vient
10x2
5x (x � 1) =2x
x � 1 :
Exercices récapitulatifs du chapitre 1
1. (a) 53 = 5 � 5 � 5 = 125(b) 10�3 = 1=103 = 1=1 000 = 0;001(c) 1=3�3 = 33 = 27(d) �1 000(e) 3
(f) (3�2)�3 = 36 = 729(g) �1(h)(� 1
2
)�3= 1
(� 12
)3= 1� 1
8
= �8
2. (a) 1
(b) Non défini.
(c) 1
(d) 1
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8 CORRIGÉS DES EXERCICES
3. (a) 2�6 = 1=64(b) 3
2� 3
4= 3
4
(c) �45=4(d) 1
4. (a) (2x)4 = 24x4 = 16x4
(b) 2�1 � 4�1 = 12� 1
4= 1
4, de sorte que (2�1 � 4�1)�1 = 4.
(c) Éliminer le facteur commun 4x2yz2.
(d) �(�ab3)�3 = �(�1)�3a�3b�9 = a�3b�9, de sorte que
[�(�ab3)�3(a6b6)2]3 = [a�3b�9a12b12]3 = [a9b3]3 = a27b9:
(e)a5a3a�2
a�3a6=a6
a3= a3
(f)
[(x
2
)3� 8x�2
]�3=
[x3
8� 8x�2
]�3=
[x3
x�2
]�3= (x5)�3 = x�15
5. (a) 0;12 � 300 = 36(b) 0;05 � 2 000 = 100(c) 0;065 � 1500 = 97;5
6. (a) Une population de 100 millions d’individus qui croı̂t de 1% par an compte, après
8 ans, 100 � (1;01)8 � 108 millions d’individus.(b) Au taux d’intérêt annuel fixé de 15 %, un investissement initial de 50 000 e sera
devenu après 10 ans 50 000 � (1;15)10 � 202 277 e.(c) 6 000 � (1;03)�8 � 4 736 e est la somme que vous auriez dû déposer il y a 8 anspour avoir aujourd’hui 6 000 e, au taux de 3 %.
7. (a) 100 000 (1;08)10 � 215 892(b) 25 000 (1;08)�6 � 15 754
8. (a) a2 � a(b) x2 + 4x � 21(c) �
p3(p
3 �p
6)
= �3 +p
3p
6 = �3 +p
3p
3p
2 = �3 + 3p
2
(d) 3 � 2p
2
(e) x3 � 3x2 + 3x � 1(f) 1 � b4(g) (1 + x + x2 + x3) (1 � x) = (1 + x + x2 + x3) � (1 + x + x2 + x3) x = 1 � x4(h) (1 + x)4 = (1 + x)2 (1 + x)2 = (1 + 2x + x2) (1 + 2x + x2) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
9. (a) x3y3 = (x�1y�1)�3 = 3�3 = 1=27(b) (x�3)6 (x2)2 = x�18x4 = x�14 = (x7)�2 = 2�2 = 1=4(c) (z=xy)6 = (xy=z)�6 = [(xy=z)�2]3 = 33 = 27(d) (abc)4 = (a�1b�1c�1)�4 = (1=4)�4 = 44 = 256
10. (a) 5 (5x � 1)(b) xx (3 � xy)(c) (p
50 � x) (p
50 + x)
(d) a (a � 2b)2
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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 9
11. (a) (5 + a) (x + 2y)
(b) (a + b) (c � d )(c) ax + ay + 2x + 2y = a (x + y) + 2 (x + y) = (a + 2) (x + y)
(d) 2x2 � 5yz + 10xz � xy = 2x2 + 10xz � (xy + 5yz) = 2x (x + 5z) � y (x + 5z)= (2x � y) (x + 5z)
(e) p2 � q2 + p � q = (p � q) (p + q) + (p � q) = (p � q) (p + q + 1)(f) u3 + v3 � u2v � v2u = u2 (u � v) + v2 (v � u) = (u2 � v2) (u � v)
= (u + v) (u � v) (u � v) = (u + v) (u � v)2
12. (a) 161=4 =4p
16 = 2
(b) 243�1=5 = 1= 5p
243 = 1=3
(c) 51=7 � 56=7 = 51=7+6=7 = 51 = 5(d) 4�3=2 = 1=8
(e) 641=3 +3p
125 = 4 + 5 = 9
(f) (�8=27)2=3 = ( 3√�8=27 )2 = (�2=3)2 = 4=9
(g) (�1=8)�2=3 + (1=27)�2=3 = ( 3√�1=8 )�2 + ( 3
√1=27 )�2
= (�1=2)�2 + (1=3)�2 = 4 + 9 = 13:
(h)1 000�2=3
3p
5�3=
(3p
1 000 )�2
5�1=
10�2
5�1=
1
20
13. (a) 8 = 23, de sorte que x = 3=2.
(b) 1=81 = 3�4, de sorte que 3x + 1 = �4 ou x = �5=3.(c) x2 � 2x + 2 = 2, de sorte que x = 0 ou x = 2.
14. (a) 5 + x = 3, de sorte que x = �2.(b) 3x � 3x�2 = 3x�2(32 � 1) = 3x�2 � 8, de sorte que 3x�2 = 3 et donc x = 3.(c) 3x � 3x�1 = 32x�1 = 81 = 34 à condition que x = 2;5.(d) 35 + 35 + 35 = 3 � 35 = 36 de sorte que x = 6.(e) 4�6 + 4�6 + 4�6 + 4�6 = 4 � 4�6 = 4�5 de sorte que x = �5.
(f)226 � 223226 + 223
=223(23 � 1)223(23 + 1)
=7
9de sorte que x = 7.
15. (a)s
2s � 1 �s
2s + 1=s(2s + 1) � s(2s � 1)
(2s � 1) (2s + 1) =2s
4s2 � 1
(b)x
3 � x �1 � xx + 3
� 24x2 � 9 =
�x (x + 3) � (1 � x) (x � 3) � 24(x � 3) (x + 3)
=�7 (x + 3)
(x � 3) (x + 3) =�7x � 3
(c) En multipliant numérateur et dénominateur par x2y2, il vient
y � xy2 � x2 =
y � x(y � x) (y + x) =
1
x + y:
16. (a) Simplifier par le facteur 25ab.
(b) x2 � y2 = (x + y) (x � y). Simplifier par x + y.
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10 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) La fraction peut être écrite(2a � 3b)2
(2a � 3b) (2a + 3b) =2a � 3b2a + 3b
.
(d)4x � x3
4 � 4x + x2 =x (2 � x) (2 + x)
(2 � x)2 =x (2 + x)
2 � x17. (a) x < 13=2
(b) y > �3(c) Valable pour tout x.
(d) x < 29=14
(e) �1 6 x 6 13=3(f) �
p6 6 x 6 �
p2 oup
2 6 x 6p
6.
18. (a) 30 + 0;16x
(b) Au minimum 7;5 heures. Au maximum 10 heures.
19. 2�(r +1)�2�r = 2� , où r est le rayon de la Terre (supposée sphérique). Le supplémentde corde est seulement de 6,28 m !
20. (a) Poserp=100 = r . Alors, l’expression donnée devient a+ar�(a+ar)r = a (1�r2),comme demandé.
(b) 2 000 � 1;05 � 0;95 = 1 995 e.(c) Le résultat est exactement celui de la formule (a).
(d) Avec la notation utilisée en (a), on a : a� ar + (a� ar)r = a (1� r2), ce qui est lamême expression qu’en (a).
21. (a) Non, par exemple, �1 > �2, mais (�1)2 < (�2)2.(b) On suppose a > b ou a� b > 0. Si a + b > 0, alors a2 � b2 = (a + b) (a� b) > 0,de sorte que a2 > b2.
22. (a) 2 > 1 et 1=2 < 1=1. Aussi, �1 > �2 et 1=(�1) < �1=2. Par ailleurs, 2 > �1 et1=2 > 1=(�1).(b) Si ab > 0 et a > b, alors 1=b � 1=a = (a � b)=ab > 0, de sorte que 1=b > 1=a.(Aussi, si ab < 0 et a > b, alors 1=b�1=a = (a�b)=ab < 0 de sorte que 1=b < 1=a.)
23. (i) Quel que soit c, jcj =pc2. Ensuite jabj =
√(ab)2 =
pa2b2 =
pa2pb2 = jajjbj.
(ii) De deux choses l’une, ou a = jaj, ou a = �jaj, de sorte que �jaj 6 a 6 jaj. Demême, �jbj 6 b 6 jbj. L’addition de ces inégalités conduit à
�jaj � jbj 6 a + b 6 jaj + jbj
et donc ja + bj 6 jaj + jbj.
Chapitre 2 / Notions préliminaires II : Équations
2.1
1. (a) x = 5
(b) x = 3
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CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations 11
(c) x = 6
(d) N’importe quelle valeur de x est une solution.
(e) x = �12(f) x = 1
(g) x = �5. (Suggestion : x2 + 10x + 25 = (x + 5)2.)(h) x = �1
2. (a) x = 3
(b) x = �7(c) x = �28=11(d) x = 5=11
(e) x = 1
(f) x = 121
3. (a) On remarque d’abord que l’équation n’a pas de sens pour x = �3 et x = �4. Enmultipliant l’équation par le dénominateur commun (x + 3) (x + 4), on obtient
(x � 3) (x + 4) = (x + 3) (x � 4);
c’est-à-dire x2 + x � 12 = x2 � x � 12, et donc x = 0.(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun (x � 3) (x + 3), on obtient3 (x + 3) � 2 (x � 3) = 9, d’où x = �6.(c) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 15x (en supposant x 6= 0),on obtient
18x2 � 75 = 10x2 � 15x + 8x2;
d’où x = 5.
4. (a) 2x + 5 = x � 3. Solution : x = �8.(b) Avec x le plus petit possible, x + (x + 1) + (x + 2) = 10 + 2x, de sorte que x = 7 et
les nombres sont 7, 8 et 9.
(c) Si x est le salaire horaire normal de Claudia, alors 38x + (48 � 38) 2x = 812.Solution : x = 14.
(d) 1 500 + 12x=100 = 2 100. Solution : x = 5 000.
(e) 23x + 1
4x + 100 000 = x. Solution : x = 1 200 000.
5. (a) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 12, on obtient
9y � 3 � 4 + 4y + 24 = 36y
et ainsi y = 17=23.
(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 2x (x + 2), on obtient
8 (x + 2) + 6x = 2 (2x + 2) + 7x, d’où x = �4.(c) En multipliant les numérateur et dénominateur de la première fraction par 1� z,
2 � 2z � z(1 � z) (1 + z) =
6
2z + 1:
En multipliant chaque membre par (1�z2) (2z+1), on obtient (2�3z) (2z+1) = 6�6z2,et ainsi z = 4.
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12 CORRIGÉS DES EXERCICES
(d) En effectuant les produits,
p
4� 3
8� 1
4+p
12� 1
3+p
3= �1
3
puis, en multipliant par le dénominateur commun 24, on obtient l’équation
6p � 9 � 6 + 2p � 8 + 8p = �8;
dont la solution est p = 15=16.
2.2
1. (a) On multiplie les deux membres par abx pour obtenir b + a = 2abx. De là,
x =b + a
2ab=
b
2ab+
a
2ab=
1
2
(1
a+
1
b
):
(b) On multiplie l’équation par cx +d pour obtenir ax +b = cAx +dA, qui s’écrit aussi
(a � cA) x = dA � b et donc x = (dA � b)=(a � cA).(c) On multiplie l’équation par x1=2 pour obtenir 1
2p = wx1=2, d’où x1=2 = p=2w. En
élevant chaque membre au carré, x = p2=4w2.
(d) On multiplie chaque membre parp
1 + x pour obtenir 1 + x + ax = 0, de sorte que
x = �1=(1 + a).(e) x2 = b2=a2, de sorte que x = ˙b
a.
(f) On voit immédiatement que x = 0.
2. (a) p = 20q=3 � 14=15(b) P = (S � ˛)=ˇ(c) b = 2A=h
(d) r = (3V=4�)1=3
(e) L = (Y0A�1K�˛)1=ˇ
3. (a) ˛x�a = ˇx�b si et seulement si (˛�ˇ) x = a�b de sorte que x = (a�b)=(˛�ˇ).(b) Y = 94 + 0;2 (Y � (20 + 0;5Y )) = 94 + 0;2Y � 4 � 0;1Y , de sorte que 0;9Y = 90,soit Y = 100.
(c) En élevant chaque membre deppq = 3q + 5 au carré, on a pq = (3q + 5)2, de sorte
que p = (3q + 5)2=q.
(d) On élève chaque membre à la puissance quatrième
K2r
2wK = Q4
de sorte que K3 = 2wQ4=r et, de là, K =(2wQ4=r
)1=3:
(e) En multipliant numérateur et dénominateur dans la fraction du membre de gauche
par 4K1=2L3=4, on obtient 2L=K = r=w, d’où on tire L = rK=2w.
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CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations 13
(f) On élève chaque membre à la puissance quatrième, 116p4K�1 (r=2w) = r4. Il
s’ensuit que K�1 = 32r3w=p4, puis K = 132p4r�3w�1.
4. (a)1
s=
1
t� 1T
=T � ttT
, de sorte que s =tT
T � t .
(b)pKLM = B + ˛L, de sorte que KLM = (B + ˛L)2 et M = (B + ˛L)2=KL.
(c) Multiplier les deux membres par x � z conduit à x � 2y + xz = 4xy � 4yz ou(x + 4y) z = 4xy � x + 2y et z = (4xy � x + 2y)=(x + 4y).(d) V = C � CT=N , de sorte que CT=N = C � V et donc T = N (1 � V=C ).
Exercices récapitulatifs du chapitre 2
1. (a) x = 12
(b) x = 3
(c) x = �3=2(d) x = �19(e) x = 11=7
(f) x = 39
2. (a) En supposant x 6= ˙4, on multiplie par le dénominateur commun (x � 4) (x + 4).Cela réduit l’équation à x = �x, de sorte que x = 0.(b) L’équation donnée n’a de sens que si x 6= ˙3. Si on multiplie par le dénominateurcommun (x + 3) (x�3), on obtient 3 (x + 3)2�2 (x2�9) = 9x + 27 ou x2 + 9x + 18 = 0,avec comme solutions x = �6 et x = �3. La seule solution est donc x = �6.(c) En soustrayant 2x=3 à chaque membre, l’équation se simplifie en 0 = �1 + 5=x,dont la seule solution est x = 5.
(d) À condition que x 6= 0 et x 6= ˙5, on multiplie par le dénominateur communx (x � 5) (x + 5) pour obtenir x (x � 5)2 � x (x2 � 25) = x2 � 25� (11x + 20) (x + 5).Le développement des deux membres conduit à
x3 � 10x2 + 25x � x3 + 25x = x2 � 25 � 11x2 � 75x � 100
et après simplification 50x = �125 � 75x, dont la solution est x = �1.
3. (a) x = 23(y � 3) + y = 2
3y � 2 + y = 5
3y � 2 ou 5
3y = x + 2, de sorte que y = 3
5(x + 2).
(b) ax � cx = b + d , ou (a � c) x = b + d , de sorte que x = (b + d )=(a � c).(c)pL = Y0=AK, de sorte qu’en élevant les deux membres au carré, L = (Y0=AK)
2.
(d) qy = m � px, de sorte que y = (m � px)=q.(e) On pose s = 1=(1 + r). Alors s = (a + bc)=(1 � c), de sorte que
r = (1=s) � 1 = [(1 � a) � c(1 + b)]=(a + bc):
(f) En multipliant par (Px + Q)1=3, on obtient Px + Px + Q = 0, de sorte que
x = �Q=2P .
4. (a) De (ii) et (iii), C = b (Y � tY ) = b (1 � t )Y . On introduit dans (i) et on résout parrapport à Y
Y =Ī +G
1 � b (1 � t ) :
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14 CORRIGÉS DES EXERCICES
Alors
C =b (1 � t ) (Ī +G)
1 � b (1 � t ) :
(b) Notez que 0 < b (1 � t ) < 1. Lorsque t augmente, Y et 1 � t diminuent de sorteque C = b (1 � t )Y diminue aussi.
5. (a) Multiplier l’équation par 5K1=2 pour obtenir 15L1=3 = K1=2. Élever les deux mem-
bres au carré, K = 225L2=3.
(b) Élever chaque membre à la puissance 1=t pour obtenir 1 + r=100 = 21=t et ainsi
r = 100 (21=t � 1).(c) abxb�10 = p, d’où x
b�10 = p=ab. Élever chaque membre à la puissance 1=(b � 1).
(d) Élever chaque membre à la puissance �� pour obtenir (1��) a�� +�b�� = c�� oub�� = ��1(c�� � (1 � �) a��). Enfin, élever à la puissance �1=�.
6. (a) z = 0 ou z = 8.
(b) x = �7 ou x = 5.(c) p = �7 ou p = 2.(d) p = 1=4 ou p = 1=3.
(e) y = 4˙p
31
(f) x = �7 ou x = 6.
7. 53x = 25y+2 = 52 (y+2) de sorte que 3x = 2 (y + 2). Avec x � 2y = 8, cela donne x = �2et y = �5, de sorte que x � y = 3.
8. (a) Soit u = 1=x et v = 1=y. Alors, le système devient 2u+ 3v = 4, 3u� 2v = 19, aveccomme solution u = 5, v = �2 et, de là, x = 1=u = 1=5, y = 1=v = �1=2.(b) Soit u =
px et v =
py. Alors, le système devient 3u + 2v = 2, 2u � 3v = 1=4,
avec comme solution u = 1=2, v = 1=4, et, de là, x = 1=4, y = 1=16.
(c) Avec u = x2 et v = y2, on obtient u + v = 13, 4u � 3v = 24, avec comme solutionu = 9, v = 4 et, de là, x = ˙3 et y = ˙2.
Chapitre 3 / Notions préliminaires III : Divers
3.1
1. (a) 1 + 2 + 3 + � � � + 10 = 55(b) (5 � 30 � 2) + (5 � 31 � 3) + (5 � 32 � 4) + (5 � 33 � 5) + (5 � 34 � 6) = 585(c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
(d) 220
+ 221
+ 222
= 21 + 22 + 24 = 22
(e) 2 � 10 = 20(f) 2=1 + 3=2 + 4=3 + 5=4 = 73=12
2. (a) 2p
0 + 2p
1 + 2p
2 + 2p
3 + 2p
4 = 2 (3 +p
2 +p
3)
(b) (x + 0)2 + (x + 2)2 + (x + 4)2 + (x + 6)2 = 4 (x2 + 6x + 14)
(c) a1ib2 + a2ib
3 + a3ib4 + � � � + anibn+1
(d) f (x0)x0 + f (x1)x1 + f (x2)x2 + � � � + f (xm)xm3. Regardez le dernier terme de la somme et remplacez n par k pour obtenir une expression
du k-ième terme. Notez-le sk . La somme est∑n
k=1 sk .
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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers 15
(a)
n∑
k=1
4k
(b)
n∑
k=1
k3
(c)
n∑
k=0
(�1)k 12k + 1
(d)
n∑
k=1
aikbkj
(e) Les coefficients sont les puissances de 3
5∑
n=1
3nxn.
(f)
p∑
j=3
aji bi+j
(g)
p∑
k=0
ak+3i+k bi+k+3
(h) L’astuce est de voir que chaque terme a 198 unités de plus que le précédent3∑
k=0
(81 297 + 198k):
4. (a)
10∑
k=1
(k � 2)tk =8∑
m=�1mtm+2
(b)
N∑
n=0
2n+5 =
N+1∑
j=1
32 � 2j�1
5. (a) Le nombre total de travailleurs issus du pays i qui ont transféré leur lieu de travail.
(b) Le nombre total de travailleurs qui ont transféré leur lieu de travail vers le pays j .
6. (a), (c), (d) et (e) sont toujours vraies ; (b) et (f) ne sont généralement pas vraies.
3.2
1.
n∑
k=1
(k2 + 3k + 2) =
n∑
k=1
k2 + 3
n∑
k=1
k +
n∑
k=1
2
=1
6n (n + 1) (2n + 1) + 3
[12n (n + 1)
]+ 2n =
1
3n (n2 + 6n + 11)
2. (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6. (Les coefficients sont
ceux de la septième ligne du triangle de Pascal.)
3. (a)
(5
3
)=
5 � 4 � 31 � 2 � 3 =
5 � 4 � 3 � 2 � 11 � 2 � 3 � 2 � 1 =
5!
3! 2!=
5!
2! 3!
Formule générale
(m
k
)=m(m � 1) � � � (m � k + 1)
k!=m(m � 1) � � � (m � k + 1) � (m � k)!
k!(m � k)!
=m!
(m � k)! k! :
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16 CORRIGÉS DES EXERCICES
(b)
(8
3
)= 56 et
(8
8 � 3
)=
(8
5
)= 56 ;
(8
3
)+
(8
3 + 1
)= 56 + 70 = 126 et
(8 + 1
3 + 1
)=
(9
4
)= 126.
(c)
(m
k
)=
m!
(m � k)!k! =(
m
m � k
)et
(m
k
)+
(m
k + 1
)=
m!
(m � k)!k! +m!
(m � k � 1)!(k + 1)! =m!(k + 1 +m � k)(m � k)!(k + 1)!
=(m + 1)!
(m � k)!(k + 1)! =(m + 1
k + 1
):
4.∑n�1
i=0 (a + id ) =∑n�1
i=0 a +d∑n�1
i=0 i = na +d12[1 + (n� 1)](n� 1) = na + 1
2n (n� 1) d
3.3
1. (a)
3∑
i=1
4∑
j=1
i � 3j =3∑
i=1
(i � 3 + i � 9 + i � 27 + i � 81) =3∑
i=1
120i = 720
(b) On a
2∑
s=0
4∑
r=2
( rsr + s
)2=
2∑
s=0
[( 2s2 + s
)2+( 3s
3 + s
)2+( 4s
4 + s
)2]
= 0 +(2
3
)2+(3
4
)2+(4
5
)2+(4
4
)2+(6
5
)2+(8
6
)2= 5 +
3 113
3 600:
(c)
m∑
i=1
n∑
j=1
(i + j 2) =
n∑
j=1
( m∑
i=1
i)
+
m∑
i=1
( n∑
j=1
j 2)
.
Grâce aux formules (3.2.4) et (3.2.5), on peut écrire
n∑
j=1
12m(m + 1) +
m∑
i=1
16n (n + 1) (2n + 1) = n 1
2m(m + 1) +m
1
6n (n + 1) (2n + 1)
= 16mn (2n2 + 3n + 3m + 4):
(Notez que∑p
k=1 a = pa.)
(d)
m∑
i=1
2∑
j=1
ij =
m∑
i=1
(i + i2) =
m∑
i=1
i +
m∑
i=1
i2
= 12m (m + 1) + 1
6m (m + 1) (2m + 1) = 1
3m (m + 1) (m + 2)
2. (a) Le nombre total d’unités du bien i .
(b) Le nombre total d’unités de tous les biens détenus par la personne j .
(c) Le nombre total d’unités de tous les biens détenus par le groupe tout entier.
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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers 17
3.∑i
j=1 aij est la somme des i éléments de la ième ligne, chacune de cesm sommes étant
à additionner, c’est la première double somme.∑m
i=j aij est la somme des m � j + 1éléments de la j ème colonne, chacune de ces m colonnes étant à additionner, c’est la
deuxième double somme.
4. ā est la moyenne des moyennes des colonnes āj puisque
1
n
n∑
j=1
āj =1
n
n∑
j=1
(1
m
m∑
r=1
arj
)=
1
mn
m∑
r=1
n∑
j=1
arj = ā:
Pour démontrer (�), on note que, par le fait que arj � ā est indépendant de l’indicede sommation s, il est un facteur commun quand on somme sur s. Par conséquent,∑m
s=1(arj � ā)(asj � ā) = (arj � ā)∑m
s=1(asj � ā) pour chaque r . Ensuite, en sommantsur r , on obtient
m∑
r=1
m∑
s=1
(arj � ā) (asj � ā) =[ m∑
r=1
(arj � ā)][ m∑
s=1
(asj � ā)]
(��)
car∑m
s=1(arj � ā) est un facteur commun quand on somme sur r . Grâce aux propriétésdes sommes et à la définition de āj , on a
m∑
r=1
(arj � ā) =m∑
r=1
arj �m∑
r=1
ā = māj �mā = m(āj � ā):
De même, en remplaçant r par s comme indice de sommation, on a aussi
m∑
s=1
(asj � ā) = m(āj � ā):
Par substitution de ces valeurs dans (��), on a confirmation de (�).
3.4
1. (a) 2x � 4 = 2) x = 3(b) x = 3) 2x � 4 = 2(c) x = 1) x2 � 2x + 1 = 0(d) x2 > 4() jxj > 2
2. x = 2. En effet, x = �1, 0 et 1 annulent un dénominateur. En multipliant par ledénominateur commun x (x � 1) (x + 1), on obtient 2x (x2 � 3x + 2) = 0 ou
2x (x � 1) (x � 2) = 0:
De là, x = 2 est la seule solution.
3. (a) ) vraie,( fausse.(b) ) fausse,( vraie.(c) ) vraie,( fausse.
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18 CORRIGÉS DES EXERCICES
(d) ) et( vraies toutes les deux.(e) ) fausse (0 � 5 = 0 � 4, mais 5 6= 4),( vraie.(f) ) vraie,( fausse.
4. (a) x > 0 est nécessaire, mais pas suffisante.
(b) x > 50 est suffisante, mais pas nécessaire.
(c) x > 4 est nécessaire et suffisante.
5. (a) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtientx2 = 9,
de sorte que x = ˙3. Seul x = 3 est une solution.(b) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtient
x (x + 5) = 0. Tant x = 0 que x = �5 sont solutions.(c) L’équation équivalente jxj2 � 2jxj � 3 = 0 donne jxj = 3 ou jxj = �1. Seulesx = ˙3 sont solutions.
6. (a) Si (i)px � 4 =
px + 5�9, alors, en élevant les deux membres au carré, on obtient
(ii) x � 4 = (px + 5 � 9)2. Après développement du carré dans le membre de droite
de (ii), on obtient x � 4 = x + 5 � 18px + 5 + 81, qui se réduit à 18
px + 5 = 90 oup
x + 5 = 5, impliquant x + 5 = 25 et donc x = 20. Cela montre que, si x est une
solution de (i), alors x = 20. Aucune autre valeur de x ne peut vérifier (i). Mais si on
vérifie cette solution, on trouve que quand x = 20 le membre de gauche de (i) devientp16 = 4, tandis que le membre de droite devient
p25 � 9 = 5 � 9 = �4. Cela signifie
que l’équation (i) n’a en fait pas de solution. (Remarquez que 42 = (�4)2, c’est-à-direque le carré du membre de gauche est égal au carré du membre de droite. C’est pourquoi
la solution fausse x = 20 a réussi à s’infiltrer.)
(b) Si x est une solution de (iii)px � 4 = 9�
px + 5, alors, exactement comme dans
la partie (a), on trouve que x doit être une solution de (iv) x � 4 = (9 �px + 5 )2.
Maintenant, (9�px + 5 )2 = (
px + 5�9)2, de sorte que l’équation (iv) est équivalente
à l’équation (ii) dans la partie (a). Cela signifie que (iv) a exactement une solution, à
savoir x = 20. Si on remplace x par cette valeur dans (iii), on trouve que x = 20 est une
solution de (iii).
7. (a) Si et seulement si. (Notez quep
4 signifie 2, pas˙2.)(b) Seulement si. Il est facile de voir, à partir d’un tableau de signes, que x (x + 3) < 0
exactement lorsque x appartient à l’intervalle ouvert ]� 3; 0[. Par conséquent, on a uneimplication de gauche à droite, mais pas dans l’autre sens. (Par exemple, si x = 10,
alors x (x + 3) = 130.)
(c) Seulement si. x2 < 9 () �3 < x < 3, de sorte que x2 < 9 seulement si x < 3.Si x = �5, par exemple, on a x < 3 mais x2 > 9.(d) Si et seulement si. Comme x2 + 1 n’est jamais nul, ici on a ssi.
(e) Si. Si x > 0, alors x2 > 0 aussi quand x < 0.
(f) Seulement si. x4 + y4 = 0 () x = 0 et y = 0. Si x = 0 et, disons, y = 1, alorsx4 + y4 = 1. Le si n’est donc pas correct.
8. (a) Six ety ne sont pas tous les deux positifs, au moins l’un des deux doit être strictement
négatif, c’est-à-dire x < 0 ou y < 0.
(b) Si tous les x ne sont pas supérieurs ou égaux à a, au moins un x doit être inférieur
à a.
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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers 19
(c) Au moins l’un des deux est inférieur à 5, si pas les deux.
(d) Il existe un " > 0 tel que B ne soit pas satisfaite quel que soit ı > 0.
(e) Quelqu’un peut ne pas aimer les chats.
(f) Quelqu’un n’aime jamais personne.
Exercices récapitulatifs du chapitre 3
1. (a)1
1 � 3 +1
2 � 4 +1
3 � 5 +1
4 � 6 =17
30
(b) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 220
(c)0
2+
1
3+
2
4+
3
5+
4
6=
21
10= 2;1
2. (a) 12 � 4 + 22 � 5 + 32 � 6 + 42 � 7 = 4 + 20 + 54 + 112 = 190
(b) 1 � 16
= 56
(c) 1�2 + 2�1 + 30 + 41 + 52 + 63 = 1 + 1=2 + 1 + 4 + 25 + 216 = 4952
3. (a)
100∑
n=1
(2n + 1)
(b)
96∑
k=1
k + 1
k
4. (a)
38∑
i=4
i (i + 2)
(b)
n∑
i=1
1
xi
(c)
16∑
j=0
x2j
2j + 1
(d)
81∑
k=1
(�1)k�1 1k
5. (a) Correcte. Les deux sommes sont égales à a1 + a2 + � � � + an.
(b) Faux en général.n∑i=1
(ai + bi )2 =
n∑i=1
(a2i + 2aibi + b2i ) =
n∑i=1
a2i +n∑i=1
b2i + 25∑i=1
aibi .
(c) Correcte. Les deux sommes sont égales à 5a1;j + 5a2;j + � � � + 5an+1;j .
(d) Faux en général.3∑i=1
ai
bi=a1
b1+a2
b2+a3
b3, alors que
∑3i=1 ai∑3i=1 bi
=a1 + a2 + a3
b1 + b2 + b3et les deux
expressions ne sont manifestement pas égales. (Posez, par exemple, tous les ai et biégaux à 1.)
6. (a) ) vrai,( faux.(b) ) faux (car x2 = 16 a aussi comme solution x = �4),( vraie, car, si x = 4, alorsx2 = 16.
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20 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) ) vraie, car (x�3)2 > 0 ;( faux, car avecy > �2 etx = 3 on a (x�3)2 (y+2) = 0.(d) ) et( toutes les deux vraies, car l’équation x3 = 8 a comme solution x = 2 etaucune autre. (Dans les termes de la section 6.3, la fonction f (x) = x3 est strictement
croissante. Voir exercice 6.3.3 et le graphique de la figure 4.2.7.)
7. A\B = f1; 4g ;A[B = f1; 3; 4; 6g ;AnB = f3g ;BnA = f6g ; (A[B)n(A\B) = f3; 6g ;A [ B [ C [D = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; A \ B \ C = f4g et A \ B \ C \D = ;.
8. D’après l’exercice 3.R.3(a), il y a 100 termes. En se servant de la même astuce que celle
employée pour déduire la formule (3.1.3), il vient
R = 3 + 5 + 7 + � � � + 197 + 199 + 201R = 201 + 199 + 197 + � � � + 7 + 5 + 3:
On additionne terme à terme
2R = 204 + 204 + 204 + � � � + 204 + 204 + 204 = 100 � 204 = 20 400:
D’où R = 10 200.
(b) S = 1 001 + 2 002 + 3 003 + � � � + 8 008 + 9 009 + 10 010= 1 001 (1 + 2 + 3 + � � � + 8 + 9 + 10) = 1 001 � 55 = 55 055
9. (a) (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x pour tout x puisque x2 > 0.
(b) (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 = 1 + 3x + x2 (3 + x) > 1 + 3x pour tout x > �3,puisque x2 (3 + x) > 0 pour tout x > �3.(c) Pour n = 1, l’inégalité est correcte par (a) (et pour n = 2, elle est correcte par (b)).
Par hypothèse, on suppose que (1 +x)k > 1 + kx pour un entier quelconque k. Comme
1 + x > 0, on a
(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) > (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx2 > 1 + (k + 1) x;
la dernière inégalité étant justifiée par le fait que k > 0. Par conséquent, l’inégalité de
Bernoulli est vraie, quel que soit l’entier naturel n.
Chapitre 4 / Les fonctions d’une variable
4.2
1. (a) f (0) = 02 + 1 = 1, f (�1) = (�1)2 + 1 = 2, f (1=2) = (1=2)2 + 1 = 1=4 + 1 = 5=4,et f (
p2) = (
p2)2 + 1 = 2 + 1 = 3.
(b) (i) Puisque (�x)2 = x2, f (x) = f (�x) pour tout x.(ii) On a
f (x + 1) = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2
et f (x) + f (1) = x2 + 1 + 2 = x2 + 3:
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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 21
Cette égalité est vérifiée si et seulement si x2 +2x+2 = x2 +3, c’est-à-dire si et seulement
si x = 1=2.
(iii) f (2x) = (2x)2 + 1 = 4x2 + 1 et 2f (x) = 2x2 + 2. On a ainsi
4x2 + 1 = 2x2 + 2 , x2 = 1=2 , x = ˙√
1=2 = ˙12
p2:
2. F (0) = F (�3) = 10, F (a + h) � F (a) = 10 � 10 = 0.
3. (a) f (0) = 0, f (a) = a2, f (�a) = a2 � (�a � a)2 = �3a2 et f (2a) = 0.(b) 3f (a) + f (�2a) = 3a2 + [a2 � (�2a � a)2] = 3a2 + a2 � 9a2 = �5a2.
4. (a) f (�1=10) = �10=101, f (0) = 0, f (1=p
2) =p
2=3, f (p�) =
p�=(1 + �),
f (2) = 2=5.
(b) f (�x) = �x=(1 + (�x)2) = �x=(1 + x2) = �f (x) etf (1=x) = (1=x)=[1 + (1=x)2] = (1=x) x2=[1 + (1=x)2] x2 = x=(1 + x2) = f (x).
5. F (0) = 2, F (�3) =p
19, F (t + 1) =pt2 + 3.
6. (a) C (0) = 1 000, C (100) = 41 000 et C (101) � C (100) = 501.(b) C (x + 1)�C (x) = 2x + 301 = coût supplémentaire dû au passage de la productionde x à x + 1.
7. (a) D(8) = 4, D(10) = 3;4 et D(10;22) = 3;334.
(b) P = 10;9.
8. (a) f (tx) = 100 (tx)2 = 100t2x2 = t2f (x)
(b) P (tx) = (tx)1=2 = t1=2x1=2 = t1=2P (x)
9. (a) b (0) = 0, b (50) = 100=11, b (100) = 200.
(b) b (50+h)�b (50) est le coût additionnel d’enleverh% de plus que 50 % d’impuretés.
10. (a) Non : f (2 + 1) = f (3) = 18, alors que f (2) + f (1) = 8 + 2 = 10.
(b) Oui : f (2 + 1) = f (2) + f (1) = �9.(c) Non : f (2 + 1) = f (3) =
p3 � 1;73, alors que f (2) + f (1) =
p2 + 1 � 2;41.
11. (a) f (a + b) = A(a + b) = Aa + Ab = f (a) + f (b)
(b) f (a + b) = 10a+b = 10a � 10b = f (a) � f (b)
12. Voir les figures C4.2.12a et C4.2.12b.
x 2
x · 1 1 · 1
1 · x
x 1
x
1
x
1
x
1
Figure C4.2.12a L’aire vaut
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
Figure C4.2.12b L’aire vautx2+1.
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22 CORRIGÉS DES EXERCICES
13. (a) Il faut 5 � x > 0, soit x 6 5.(b) Le dénominateur x2 � x = x (x � 1) doit être différent de 0, de sorte que x 6= 0 etx 6= 1.(c) Pour commencer, le dénominateur doit être différent de 0. Ce qui exige x 6= 2 etx 6= �3. En outre, comme on ne peut prendre la racine carrée que d’un nombre positif,la fraction (x � 1)=(x � 2) (x + 3) doit être positive. Un tableau de signes révèle queDf =] � 3; 1] [ [2;+1[. Notez en particulier que la fonction est définie en x = 1 oùelle vaut 0.
14. (a) Définie pour x 6= 2 ou Df =] �1; 2[[]2;+1[.(b) f (8) = 5
(c) f (x) =3x + 6
x � 2 = 3 () 3x + 6 = 3 (x � 2) () 6 = �6, ce qui est impossible.
15. Puisque g est manifestement définie pour x > �2, Dg = [�2;+1[. Notez queg(�2) = 1 et g(x) 6 1 pour tout x 2 Df . Lorsque x va de �2 à +1, g(x) décroı̂t de 1à �1, de sorte que Rg =] �1; 1].
4.3
1. Voir figure C4.3.1.
2. (a) f (�5) = 0, f (�3) = �3, f (�2) = 0, f (0) = 2, f (3) = 4, f (4) = 0.(b) Df = [�5; 4], Rf = [�3; 4].
y
1
x1
(− 3, 2)
(4, 0)
(0, 4)
(2, 3)
(− 3/ 2, − 2)
Figure C4.3.1
3.x 0 1 2 3 4
g(x) = �2x + 5 5 3 1 �1 �3
Voir figure C4.3.3.
4.x �2 �1 0 1 2 3 4
h(x) = x2 � 2x � 3 5 0 �3 �4 �3 0 5
Voir figure C4.3.4.
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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 23
y
− 4− 3
− 2− 1
12
34
5
x1 2 3 4
y
−4−3−2−1
1
2
34
5
x− 2 21 3 4 22 21 1 2
1
2
3
22
21
y
x 22 21 1 2 3
1
2
3
4
22
23
21
y
x
Figure C4.3.3 Figure C4.3.4 Figure C4.3.5 Figure C4.3.6
5.x �2 �1 0 1 2
F (x) = 3x 1=9 1=3 1 3 9Voir figure C4.3.5.
6.x �2 �1 0 1 2 3
G(x) = 1 � 2�x �3 �1 0 1=2 3=4 7=8Voir figure C4.3.6.
4.4
1. (a) (8 � 3)=(5 � 2) = 5=3(b) �2=3(c) 51=5
2. Voir figures C4.4.2a, C4.4.2b et C4.4.2c.
y
1
2
3
4
x1 3
y
− 5
− 4
− 3
− 2
− 1
1
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
− 1
1
2
3
4
x1 2 3 4 5
Figure C4.4.2a Figure C4.4.2b Figure C4.4.2c
3. SiD = a + bP , alors a + 10b = 200 et a + 15b = 150. La solution en a et b est a = 300
et b = �10, de sorte que D = 300 � 10P .
4. d1 : La pente vaut 1 et la formule (2) avec (x1; y1) = (0; 2) et a = 1 donne y = x + 2.
d2 : La formule (3) avec (x1; y1) = (0; 3) et (x2; y2) = (5; 0) fournit y � 3 =0 � 35 � 0x ou
y = � 35x + 3.
d3 est la droite d’équation y = 1, de pente 0.
d4 est la droite d’équation y = 3x � 14, de pente 3.d5 est la droite d’équation y =
19x + 2, de pente 1/9.
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24 CORRIGÉS DES EXERCICES
5. (a), (b) et (d) sont du premier degré ; (c) est du second degré.
6. Si P est le prix de Q copies, alors, par la formule (3),
P � 1 400 = 3 000 � 1 400500 � 100 (Q � 100) ou P = 1 000 + 4Q:
Le prix d’impression de 300 copies est donc P = 1 000 + 4 � 300 = 2 200:7. (a) d1 : y � 3 = 2 (x � 1) ou y = 2x + 1.
(b) d2 : y � 2 = 3�23�(�2) [x � (�2)] ou y = x=5 + 12=5.(c) d3 : y = �x=2.(d) d4 : x=a + y=b = 1 ou y = �bx=a + b.
8. (a) Voir les figures C4.4.8a, C4.4.8b et C4.4.8c.
y
x
1
1
y
x− 1 1
y
x
1
1
Figure C4.4.8a Figure C4.4.8b Figure C4.4.8c
9. Pour (a), la figure C4.4.9a montre que la solution est x = 3, y = �2. Pour (b), la fi-gure C4.4.9b montre qu’il n’y a pas de solutions, puisque les deux droites sont parallèles.
Pour (c), la figure C4.4.9c montre que la solution est x = 2, y = 0.
y
x
x + y = 1
x − y = 5
(3, − 2)
1
1
y
x
1
1
6x + 8y = 63x + 4y = 1
Figure C4.4.9a Figure C4.4.9b
y
x1
1
x − y = 2
x − 2y = 2
x + y = 2
(2, 0)
Figure C4.4.9c
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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 25
10. Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité 3x + 4y 6 12 sont ceux qui se
trouvent sur ou sous la droite d’équation 3x + 4y = 12, comme expliqué à l’exemple
6 pour une inégalité semblable. Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité
x � y 6 1, ou, de façon équivalente, y > x � 1, sont ceux qui se trouvent sur ouau-dessus de la droite d’équation x � y = 1. Enfin, les points dont les coordonnéessatisfont à l’inégalité 3x + y > 3, ou, de façon équivalente, y > 3 � 3x, sont ceux quise trouvent sur ou au-dessus de la droite d’équation 3x + y = 3. L’ensemble de tous les
points qui satisfont aux trois inégalités est ombré dans la figure C4.4.10.
y
x
1
2
3
2 3 4
3x + 4y = 123x + y = 3
x − y = 1
Figure C4.4.10
4.5
1. 0,78
2. (a) 75 � 3P e = 20 + 2P e et, de là, P e = 11.(b) P e = 90
3. La formule (3) donne C � 200 = 275 � 200150 � 100 (x � 100) ou C =
3
2x + 50.
4. C = 0;8y + 100. (Avec C = ay + b, on sait que 900 = 1 000a + b et a = 80=100 = 0;8,
de sorte que b = 100.)
5. (a) P (t ) = 20 000 � 2 000t(b) W (t ) = 500 � 50t
6. (a) Avril 1960 correspond à t = 9=4, quand
N (9=4) = �17 400 � (9=4) + 151 000 = 111 850:
(b) �17 400 t + 151 000 = 0 implique t = 8;68, ce qui correspond environ à septembre1966.
4.6
1. (a)x �1 0 1 2 3 4 5
f (x) = x2 � 4x 5 0 �3 �4 �3 0 5
Voir figure C4.6.1.
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26 CORRIGÉS DES EXERCICES
(b) Minimum en x = 2, avec f (2) = �4.(c) x = 0 et x = 4.
y
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
5
x− 1 1 2 3 4 5 6
f (x) = x2 − 4x
y
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
x− 4− 3− 2− 1 2 31
f(x) = − 12x 2 − x + 3
22
− 1
Figure C4.6.1 Figure C4.6.2
2. (a)x �4 �3 �2 �1 0 1 2
f (x) = � 12x2 � x + 3
2�2;5 0 1;5 2 1;5 0 �2;5
Voir figure C4.6.2.
(b) Maximum en x = �1 où f (�1) = 2.(c) x = �3 et x = 1.(d) f (x) > 0 en (�3; 1), f (x) < 0 pour x < �3 et pour x > 1.
3. (a) Minimum �4 quand x = �2.(b) Minimum 9 quand x = �3.(c) Maximum 45 quand x = 5.
(d) Minimum �45 quand x = 1=3.(e) Maximum 40 000 quand x = �100.(f) Minimum �22 500 quand x = �50.
4. (a) x (x + 4). Racines 0 et �4.(b) Pas de factorisation possible. Pas de racines.
(c) �3 (x � x1) (x � x2), où les racines sont x1 = 5 +p
15 et x2 = 5 �p
15.
(d) 9 (x � x1) (x � x2), où les racines sont x1 = 1=3 +p
5 et x2 = 1=3 �p
5.
(e) �(x + 300) (x � 100). Racines �300 et 100.(f) (x + 200) (x � 100). Racines �200 et 100.
5. (a) x = 2p et x = p.
(b) x = p et x = q.
(c) x = 12p et x = �2q.
6. U (x) atteint un maximum en x = 4 (r � 1)=(1 + r2). (Après développement,U (x) = �(1 + r2) x2 + 8 (r � 1) x. Ensuite, on applique (4.6.4) avec a = �(1 + r2)et b = 8 (r � 1).)
7. (a) Les aires quand x = 100, 250 et 350 sont respectivement 100 � 400 = 40 000,250 � 250 = 62 500 et 350 � 150 = 52 500.
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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 27
(b) L’aire est égale à A = (250 + x) (250� x) = 62 500� x2, qui manifestement atteintun maximum en x = 0. Le rectangle est alors un carré.
8. (a) �(Q) = (PUK � PG � )Q = � 12Q2 + (˛1 � ˛2 � )Q.
(b) Par (4), on voit que Q� = ˛1 � ˛2 � rend le profit maximal si ˛1 � ˛2 � > 0.Si ˛1 � ˛2 � 6 0, alors Q� = 0.(c) �(Q) = � 1
2Q2 + (˛1�˛2� � t )Q etQ� = ˛1�˛2� � t si ˛1�˛2� � t > 0.
(d) T = tQ� = t (˛1 � ˛2 � � t ). T est une fonction du deuxième degré en t ; ellevaut 0 quand t = 0 et quand t = t1 = ˛1 � ˛2 � , et elle est strictement positive pourt compris entre 0 et t1.
(e) La taxe à l’exportation est maximale quand t = 12(˛1 � ˛2 � ).
9. (a) 361 6 377
(b) On trouve quef (x) = Ax2 + Bx + C , où
A = a21 + a22 + � � � + a2n; B = 2 (a1b1 + a2b2 + � � � + anbn) et C = b21 + b22 + � � � + b2n:
Maintenant, si B2 � 4AC > 0, alors, en accord avec la formule (2.3.4), l’équationf (x) = Ax2 + Bx + C = 0 devrait avoir deux solutions distinctes, ce qui contredit
f (x) > 0 pour tout x. Donc B2 � 4AC 6 0 et la conclusion en découle.
Exercices récapitulatifs du chapitre 4
1. (a) f (0) = 3, f (�1) = 30, f (1=3) = 2, f ( 3p
2) = 3�27 (21=3)3 = 3�27�2 = �51.(b) f (x) + f (�x) = 3 � 27x3 + 3 � 27 (�x)3 = 3 � 27x3 + 3 + 27x3 = 6.
2. (a) F (0) = 1, F (�2) = 0, F (2) = 2 et F (3) = 25=13.(b) F (x) = 1 +
4
x + 4=xtend vers 1 lorsque x devient grand positif ou négatif.
(c) Voir figure C4.R.2.
y
1
2
x− 4 − 3 − 2 − 1 21 43
F( x) = 1 + 4xx2+4
Figure C4.R.2
3. (i) f (x) 6 g(x) quand �2 6 x 6 3.(ii) f (x) 6 0 quand �1 6 x 6 3.(iii) g(x) > 0 quand x 6 3.
4. (a) x2 > 1, c’est-à-dire x > 1 ou x 6 �1.(b) La racine carrée n’est définie que si x > 4, mais comme x = 4 rend le dénominateur
nul, il faut exiger x > 4.
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28 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) Il faut que (x � 3) (5� x) > 0, c’est-à-dire 3 6 x 6 5 (faites un tableau de signes).
5. (a) C (0) = 100, C (100) = 24 100 et C (101) � C (100) = 24 542 � 24 100 = 442.(b) C (x + 1) � C (x) = 4x + 42 est le coût additionnel dû à la production d’une unitésupplémentaire.
6. (a) Pente �4.(b) Pente �3=4.(c) La résolution en y donne y = b � (b=a) x, de sorte que la pente vaut �b=a.
7. (a) La formule (2) donne y � 3 = �3 (x + 2) ou y = �3x � 3.(b) La formule (3) donne y � 5 = 7 � 5
2 � (�3) (x � (�3)) ou y = 2x=5 + 31=5.
(c) y � b = 3b � b2a � a (x � a) ou y = (2b=a) x � b.
8. f (2) = 3 et f (�1) = �3 entraı̂nent 2a + b = 3 et �a + b = �3, de sorte que a = 2,b = �1. De là, f (x) = 2x � 1 et f (�3) = �7. (Ou par la formule (3).)
9. Le graphique est tracé à la figure C4.R.9.
x �5 �4 �3 �2 �1 0 1y = x2ex 0;17 0;29 0;45 0;54 0;37 0 2;7
y
1
2
3
x− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 21
Figure C4.R.9
10. (1;�3) appartient au graphique si a + b + c = �3, (0;�6) appartient au graphique sic = �6 et (3; 15) appartient au graphique si 9a + 3b + c = 15. Par conséquent, a = 2,b = 1 et c = �6.
11. (a) � =(1 000� 1
3Q)Q�
(800 + 1
5Q)Q�100Q = 100Q� 8
15Q2. Ici,Q = 1 500=16,
c’est-à-dire Q = 93;75, rend � maximal.
(b) �̂ = 100Q � 815Q2 � 10Q = 90Q � 8
15Q2. Donc, Q̂ = 1 350=16 = 84;375 rend �̂
maximal.
12. Le nouveau profit est donné par �t = 100Q � 52Q2 � tQ, qui atteint son maximum en
Qt =15(100 � t ).
13. (a) La fonction de profit est �(x) = 100x � 20x � 0;25x2 = 80x � 0;25x2, maximalen x� = 160.
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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 29
(b) La fonction de profit est �t (x) = 80x � 0;25x2 � 10x, maximal en x� = 140.(c) La fonction de profit est�t (x) = (p�t�˛) x�ˇx2, maximal enx� = (p�˛�t )=2ˇ.
14. (a) p(x) = x (x2 +x�12) = x (x�3) (x+4), car x2 +x�12 = 0 pour x = 3 et x = �4.(b) ˙1, ˙2, ˙4, ˙8 sont les seules racines entières possibles. Par essai et erreur, ontrouve q(2) = q(�4) = 0, de sorte que 2 (x � 2) (x + 4) = 2x2 + 4x � 16 est un facteurde q(x). La division polynomiale fournit le quotient q(x)� (2x2 + 4x� 16) = x� 1=2.Finalement, q(x) = 2 (x � 2) (x + 4) (x � 1=2).
15. (a) x3 � x � 1 n’est pas nul en x = 1, de sorte que la division laisse un reste.(b) 2x3 � x � 1 est nul en x = 1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.(c) x3 � ax2 + bx � ab est nul en x = a, de sorte que la division ne laisse pas de reste.(d) x2n � 1 est nul en x = �1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.
16. On utilise (4.7.5).
(a) p(2) = 8 � 2k = 0 pour k = 4.(b) p(�2) = 4k2 + 2k � 6 = 0 pour k = �3=2 et k = 1.(c) p(�2) = �26 + k = 0 pour k = 26.(d) p(1) = k2 � 3k � 4 = 0 pour k = �1 et k = 4.
17. Un calcul direct montre que p(2) = 1423 � 22 � 11
42 + 15
2= 2 � 4 � 11
2+ 15
2= 0. En
conséquence, x � 2 est un facteur de p(x). La division de p(x) par ce facteur donnep(x)�(x�2) = 1
4(x2�2x�15) = 1
4(x+3) (x�5). Les deux autres racines sont x = �3
et x = 5. (Autre possibilité : q(x) a les mêmes racines que 4p(x) = x3�4x2�11x+30.Les racines entières de ce polynôme ne peuvent être que ˙1, ˙2, ˙3, ˙5, ˙10, ˙15et˙30. Il est fastidieux de chercher les racines de cette manière.)
18. (1 + p=100)15 = 2 donne p = 100 (21=15 � 1) � 4;7 comme taux moyen annuel.
19. Pour le graphique de gauche, on remarque que, pour x 6= 0, on a
y = f (x) =a + b=x
1 + c=x;
de sorte que y tend vers a lorsque x devient grand positif ou négatif. Le graphique
montre que a > 0. La fonction n’est pas définie en x = �c et sur le graphique �c > 0,donc c < 0. f (0) = b=c > 0, d’où b < 0.
Le graphique de la fonction du deuxième degré g est une parabole convexe, aussip > 0.
De plus, r = g(0) < 0. Finalement, g(x) atteint son minimum en x = x� = �q=2p.Comme x� > 0 et p > 0, on conclut que q < 0.
20. (a) SoitF = aC +b. Alors 32 = a�0+b et 212 = a�100+b. D’où a = 180=100 = 9=5et b = 32, de sorte que F = 9C=5 + 32.
(b) Si X = 9X=5 + 32, alors X = �40.
21. (a) ln x = ln eat+b = at + b, de sorte que t = (ln x � b)=a.(b) �at = ln(1=2) = ln 1 � ln 2 = � ln 2, d’où t = (ln 2)=a.(c) e�
12t2 = 21=2�1=22�3, de sorte que� 1
2t2 = 1
2ln 2+ 1
2ln��3 ln 2 = � 5
2ln 2+ 1
2ln� ,
puis t2 = 5 ln 2 � ln� = ln(32=�) et finalement t = ˙√
ln(32=�
).
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30 CORRIGÉS DES EXERCICES
22. (a) ln(x=e2) = ln x � ln e2 = ln x � 2 pour x > 0.(b) ln(xz=y) = ln(xz) � ln y = ln x + ln z � ln y pour x; y; z > 0.(c) ln(e3x2) = ln e3 + ln x2 = 3 + 2 ln x pour x > 0. (En général, ln x2 = 2 ln jxj.)(d) Quand x > 0, notez que
1
2ln x � 3
2ln(1=x) � ln(x + 1) = 1
2ln x � 3
2(� ln x) � ln(x + 1) = 2 ln x � ln(x + 1)
= ln x2 � ln(x + 1) = ln[x2=(x + 1)]:
Chapitre 5 / Les propriétés des fonctions
5.1
1. (a) y = x2 + 1 a comme graphique celui de y = x2 translaté vers le haut de 1 unité. Voir
figure C5.1.1a.
(b) y = (x + 3)2 a comme graphique celui de y = x2 déplacé de 3 unités vers la gauche.
Voir figure C5.1.1b.
(c) y = 3 � (x + 1)2 a comme graphique celui de y = x2 renversé vers le bas, avec lesommet (0; 0) déplacé en (�1; 3). Voir figure C5.1.1c.
y
x1
1
y
x− 1
1
y
x− 1
1
Figure C5.1.1a Figure C5.1.1b Figure C5.1.1c
2. (a) Le graphique de y = f (x) est translaté de 2 unités vers la droite. Voir figure C5.1.2a.
(b) Le graphique de y = f (x) est translaté vers le bas de 2 unités. Voir figure C5.1.2b.
(c) Le graphique de y = f (x) a subi une réflexion par rapport à l’axe Oy. Voir figu-
re C5.1.2c.
y
x
1
1
y
x
1
1
y
x
1
1
Figure C5.1.2a Figure C5.1.2b Figure C5.1.2c
3. La condition d’équilibre est 106 � P = 10 + 2P et donc P = 32. La quantité corres-pondante est Q = 106 � 32 = 74. Voir figure C5.1.3.
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CHAPITRE 5 / Les propriétés des fonctions 31
P
Q , D , D̃ , S
32
74
P = 100 − D
P = 106 − D̃P = 1
2S − 5
y
x
1
− 1
y
x
1
− 2
Figure C5.1.3 Figure C5.1.4 Figure C5.1.5
4. On déplace y = jxj de 2 unités vers la gauche. Ensuite, on en prend l’image par uneréflexion par rapport à l’axe Ox et, enfin, on translate le graphique de 2 unités vers le
haut. Voir figure C5.1.4.
5. On trace le graphique de y = 1=x2. On le translate de 2 unités vers la gauche. Puis, on
en prend l’image symétrique par rapport à l’axe Ox et, enfin, on le monte de 2 unités
vers le haut. C’est la figure C5.1.5.
6. f (y� � d ) = f (y�) � c donne A(y� � d ) + B(y� � d )2 = Ay� + B(y�)2 � cou Ay� � Ad + B(y�)2 � 2Bdy� + Bd 2 = Ay� + B(y�)2 � c. D’où
y� = [Bd 2 � Ad + c]=2Bd:
5.2
1. Voir figure C5.2.1.
y
x
14x 2
1/x
Figure C5.2.1
aQ2 + bQ + c
y
Q
y
x
y
x
Figure C5.2.2a Figure C5.2.2b Figure C5.2.2c
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32 CORRIGÉS DES EXERCICES
2. Voir figures C5.2.2a à C5.2.2c.
3. (f + g) (x) = 3x, (f � g) (x) = 3x � 2x3, (fg) (x) = 3x4 � x6, (f=g) (x) = 3=x2 � 1,f (g(1)) = f (1) = 2 et g(f (1)) = g(2) = 8.
4. Si f (x) = 3x+7, alors f (f (x)) = f (3x+7) = 3 (3x+7)+7 = 9x+28. f (f (x�)) = 100exige 9x� + 28 = 100, de sorte que x� = 8.
5. ln(ln e) = ln 1 = 0, alors que (ln e)2 = 12 = 1.
6. g(�x) = f (�x) + f (x)2
=f (x) + f (�x)
2= g(x)
7. (a) Ni l’un, ni l’autre.
(b) Ni l’un, ni l’autre.
(c) Paire.
(d) Impaire.
(e) Ni l’un, ni l’autre.
(f) Paire.
(g) Impaire.
(h) Paire.
(i) Impaire.
5.3
1. P = 13(64 � 10D)
2. P = (157;8=D)10=3
3. (a) Domaine de définition et ensemble image : R ; x = �y=3.(b) Domaine de définition et ensemble image : R n f0g ; x = 1=y.(c) Domaine de définition et ensemble image : R ; x = y1=3.
(d) Domaine de définition [4;+1[, ensemble image [0;+1[ ; x = (y2 + 2)2.
4. (a) Comme tous les nombres de la deuxième ligne du tableau sont différents, f admet
une fonction réciproque qui envoie chaque nombre de la deuxième ligne sur son corres-
pondant dans la première ligne.
Le domaine de définition de f �1 est f�4;�2; 0; 2; 4; 6; 8g et f �1(2) = �1.(b) Comme f (x) augmente de 2 unités à chaque accroissement unitaire de x, f (x) est
de la forme 2x +a pour une constante convenable a. Or, f (0) = 4. Donc f (x) = 2x +4.
Si y = 2x + 4, alors x = (y � 4)=2 et la formule de f �1 est f �1(x) = 12x � 2.
5. f (x) = x2 n’est pas injective sur ]�1;+1[ et n’a donc pas de réciproque. Sur [0;+1[,f est strictement croissante et, de ce fait, admet une réciproque f �1(x) =
px.
6. (a) f (x) = x=2 et g(x) = 2x sont des fonctions réciproques.
(b) f (x) = 3x � 2 et g(x) = 13(x + 2) sont des fonctions réciproques.
(c) C = 59(F � 32) et F = 9
5C + 32 sont des fonctions réciproques.
7. f �1(C ) détermine le coût de C kilos de carottes.
8. (a) Voir figure C5.3.8a.
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CHAPITRE 5 / Les propriétés des fonctions 33
y
x
(3, 1)
(5, 3)(1, 3)
(3, 5)
y = x
y
x
C = (b,a)
A = (a,b)
B
y = x
D
EO
Figure C5.3.8a Figure C5.3.8b
(b) Voir figure C5.3.8b. Les trianglesOBA etOBC sont isométriques. Le point milieu
entre A et C est le point B de coordonnées ( 12(a + b); 1
2(a + b)).
9. (a) (x3 � 1)1=3 = y () x3 � 1 = y3 () x = (y3 + 1)1=3. Si x désigne la variableindépendante, f �1(x) = (x3 + 1)1=3. R est le domaine de définition et l’ensemble imagedes deux fonctions f et f �1.(b) Le domaine de définition est l’ensemble des réels à l’exception de x = 2 et, dans ce
cas,
x + 1
x � 2 = y , x + 1 = y (x � 2) (1 � y) x = �2y � 1, x =�2y � 1
1 � y =2y + 1
y � 1 :
Avec x comme variable indépendante, f �1(x) = (2x + 1)=(x � 1). Le domaine dedéfinition de la réciproque est l’ensemble des réels, à l’exception de x = 1.
(c) Ici,
y = (1 � x3)1=5 + 2, y � 2 = (1 � x3)1=5 , (y � 2)5 = 1 � x3
, x3 = 1 � (y � 2)5 , x = [1 � (y � 2)5]1=3:
Avec x comme variable indépendante, f �1(x) = [1� (x � 2)5]1=3. R est le domaine dedéfinition et l’ensemble image des deux fonctions f et f �1.
10. (a) Le domaine de définition est R et l’ensemble image, ]0;+1[ de sorte que la récipro-que est définie sur ]0;+1[. De y = ex+4, on a ln y = x + 4 et, de là, x = ln y�4, y > 0.(b) L’ensemble image est R, qui est le domaine de définition de la réciproque. De
y = ln x � 4, on tire ln x = y + 4, et ainsi x = ey+4.(c) Le domaine de définition est R. La fonction y est strictement croissante, avec
y ! ln 2 lorsque x ! �1 et y ! 1 lorsque x ! +1. L’ensemble image estdonc ] ln 2;+1[. De y = ln
(2 + ex�3
), on tire ey = 2 + ex�3, puis ex�3 = ey �2 et enfin
x = 3 + ln(ey � 2) pour y > ln 2.
11. Il faut résoudre x = 12(ey � e�y) par rapport à y. On multiplie l’équation par ey , ce qui
donne 12e2y � 1
2= xey ou e2y �2xey �1 = 0. En posant ey = z, on a z2�2xz�1 = 0,
dont la solution est z = x˙px2 + 1. Celle avec le signe moins est négative. On retient
z = ey = x +px2 + 1. D’où, la fonction réciproque est y = ln
(x +px2 + 1
).
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34 CORRIGÉS DES EXERCICES
Exercices récapitulatifs du chapitre 5
1. Les translations à appliquer à y = jxj sont les mêmes que celles appliquées à y = x2 àl’exercice 5.1.1. Voir figures C5.R.1(a) - (c).
y
x
y = | x |+ 1
y
x
y = | x + 3|
Figure C5.R.1a Figure C5.R.1b
y
x
y = 3 − |x + 1|
Figure C5.R.1c
2. (f + g) (x) = x2 � 2, (f � g) (x) = 2x3 � x2 � 2, (fg) (x) = x2 (1 � x) (x3 � 2),(f=g) (x) = (x3 � 2)=x2 (1 � x), f (g(1)) = f (0) = �2 et g(f (1)) = g(�1) = 2.
3. (a) La condition d’équilibre est 150 � 12P � = 20 + 2P �, qui donne P � = 52 et
Q� = 20 + 2P � = 124.(b) S = 20 + 2 (P̂ � 2) = 16 + 2P̂ , de sorte que S = D quand 5P̂ =2 = 134. De là,P̂ = 53;6, Q̂ = 123;2.
(c) Avant la taxe, R� = P �Q� = 6 448. Après la taxe,
R̂ = (P̂ � 2)Q̂ = 51;6 � 123;2 = 6 357;12:
4. P = (64 � 10D)=3
5. P = 24 � 15D
6. (a) x = 50 � 12y
(b) x = 5√y=2
(c) x = 13[2 + ln(y=5)]; y > 0
7. (a) La fonction f est définie et strictement croissante quand ex > 2, c’est-à-dire
x > ln 2. Son ensemble image est R, car f (x) ! �1 lorsque x ! ln 2+ etf (x) ! +1 lorsque x ! +1. De y = 3 + ln(ex � 2), on tire ln(ex � 2) = y � 3et donc ex � 2 = ey�3 ou ex = 2 + ey�3 et finalement x = ln(2 + ey�3). Donc,f �1(x) = ln(2 + ex�3), x 2 R.
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CHAPITRE 6 / La dérivation 35
(b) Notez que f est strictement croissante. De plus, e��x ! +1 lorsque x ! �1 ete��x ! 0 lorsquex ! +1. Par conséquent, f (x)! 0 lorsquex ! �1 etf (x)! 1lorsque x ! +1. L’ensemble image de f , et donc le domaine de définition de f �1,est ]0; 1[. De y =
a
e��x + a, on tire e��x +a = a=y, de sorte que e��x = a (1=y�1), ou
��x = ln a+ln(1=y�1). Ensuite, x = �(1=�) ln a� (1=�) ln(1=y�1) et la formule dela fonction réciproque est f �1(x) = �(1=�) ln a � (1=�) ln(1=x � 1), avec x 2 ]0; 1[.
8. (a)p
13
(b)p
17
(c)√
(2 � 3a)2 = j2 � 3aj. (Notez que 2 � 3a est la réponse correcte seulement si2 � 3a > 0, c’est-à-dire a 6 2=3. Testez en posant a = 3.)
9. (a) (x � 2)2 + (y + 3)2 = 25(b) (x + 2)2 + (y � 2)2 = 65
10. (x � 3)2 + (y � 2)2 = (x � 5)2 + (y + 4)2. Après simplification, x � 3y = 7. Voirfigure C5.R.10.
y
x
A = (3, 2)
B = (5,− 4)
2
2
P
Figure C5.R.10
11. La fonction ne peut pas être injective, car au moins deux personnes sur les cinq auront
le même groupe sanguin.
Chapitre 6 / La dérivation
6.1
1. f (3) = 2. La tangente passe par le point de coordonnées (0; 3), de sorte que sa pente
est égale à �1=3. D’où, f 0(3) = �1=3.
2. g(5) = 1, g0(5) = 1.
6.2
1. f (5 + h) � f (5) = 4 (5 + h)2 � 4 � 52 = 4 (25 + 10h + h2) � 100 = 40h + 4h2. Ainsi,[f (5 +h)�f (5)]=h = 40 + 4h! 40 lorsque h! 0. De là, f 0(5) = 40. Cela concordeavec (6) quand a = 4 et b = c = 0.
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36 CORRIGÉS DES EXERCICES
2. (a) f 0(x) = 6x + 2(b) f 0(0) = 2, f 0(�2) = �10, f 0(3) = 20. L’équation de la tangente est y = 2x � 1.
3. (a) dD(P )=dP = �b(b) C 0(x) = 2qx
4.f (x + h) � f (x)
h=
1=(x + h) � 1=xh
=x � (x + h)hx (x + h)
=�h
hx (x + h)=
�1x (x + h)
�!h!0� 1x2
5. Pour les énoncés (a) - (c), nous appliquons la marche à suivre (6.2.3).
(a) f (a+h) = f (0 +h) = 3h+ 2 ; f (a+h)�f (a) = f (h) �f (0) = 3h+ 2�2 = 3h ;[f (h) � f (0)]=h = 3 ; [f (h) � f (0)]=h = 3 ! 3 lorsque h ! 0, de sorte quef 0(0) = 3. La pente de la tangente au point de coordonnées (0; 2) est 3.
(b) f (a+h) = f (1+h) = (1+h)2�1 = 1+2h+h2�1 = 2h+h2 ; f (1+h)�f (1) = 2h+h2 ;[f (1 + h) � f (1)]=h = 2 + h ; [f (1 + h) � f (1)]=h = 2 + h ! 2 lorsque h ! 0,de sorte que f 0(1) = 2.
(c) f (3 + h) = 2 + 3=(3 + h) ; f (3 + h) � f (3) = 2 + 3=(3 + h) � 3 = �h=(3 + h) ;[f (3+h)�f (3)]=h = �1=(3+h) ; [f (3+h)�f (3)]=h = �1=(3+h)! �1=3 lorsqueh! 0, de sorte que f 0(3) = �1=3. Pour les énoncés (d) - (f), nous appliquons toujoursla marche à suivre (6.2.3), mais de façon plus concise.
(d) [f (h) � f (0)]=h = (h3 � 2h)=h = h2 � 2 ! �2 lorsque h ! 0, de sorte quef 0(0) = �2.
(e)f (�1 + h) � f (�1)
h=�1 + h + 1=(�1 + h) + 2
h, qui se simplifie en
h2 � 1 + 1h(h � 1) =
h
h � 1 ! 0
lorsque h! 0, de sorte que f 0(0) = 0:(f) On a
f (1 + h) � f (1)h
=(1 + h)4 � 1
h=h4 + 4h3 + 6h2 + 4h + 1 � 1
h
= h3 + 4h2 + 6h + 4 ! 4 lorsque h! 0;
de sorte que f 0(1) = 4.
6. (a) f (x+h)�f (x) = a (x+h)2 +b (x+h)+c� (ax2 +bx+c) = 2ahx+bh+ah2, donc[f (x+h)�f (x)]=h = 2ax+b+ah! 2ax+b lorsque h! 0. D’où f 0(x) = 2ax+b.(b) f 0(x) = 0 pour x = �b=2a. La tangente au point de maximum/minimum estparallèle à l’axe Ox.
7. f 0(a) < 0, f 0(b) = 0, f 0(c) > 0, f 0(d ) < 0.
8. (a) En appliquant la formule (a � b) (a + b) = a2 � b2 avec a =px + h et b =
px, on
obtient
(px + h �
px) (px + h +
px) = (x + h) � x = h:
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CHAPITRE 6 / La dérivation 37
(b)f (x + h) � f (x)
h=
(px + h �
px) (px + h +
px)
h(px + h +
px)
=1p
x + h +px
(c) Grâce à (b),f (x + h) � f (x)
h=
1px + h +
px�!h!0
1
2px
=1
2x�1=2.
9. (a) f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c.(b) Posez a = 1 et b = c = d = 0 pour avoir le résultat de l’exemple 2. Ensuite, posez
a = 0 pour avoir une expression du second degré comme à l’exercice 6(a).
10.(x + h)1=3 � x1=3
h=
1
(x + h)2=3 + (x + h)1=3x1=3 + x2=3! 1
3x2=3lorsque h ! 0 et
1
3x2=3=
1
3x�2=3.
6.3
1. f 0(x) = 2x�4, de sorte que f (x) est décroissante sur ]�1; 2], croissante sur [2;+1[.
2. f 0(x) = �3x2 + 8x � 1 = �3 (x � x0) (x � x1), où x0 = 13 (4 �p
13) � 0;13 etx1 =
13(4 +p
13) � 2;54. Ensuite f (x) est décroissante sur ] �1; x0], croissante sur[x0; x1] et décroissante sur [x1;+1[.
3. Si x2 > x1, alors x32 � x31 = (x2 � x1)
[(x1 +
12x2)2
+ 34x22]> 0, puisque la partie entre
crochets est strictement positive. Cela montre que f (x) = x3 est strictement croissante.
6.4
1. C 0(100) = 203 et C 0(x) = 2x + 3.
2. I est le coût fixe, tandis que k est le coût marginal et aussi le coût additionnel (constant)
pour produire une unité de plus.
3. (a) S 0(Y ) = b(b) S 0(Y ) = 0;1 + 0;0004Y
4. T 0(y) = t , le taux marginal d’imposition est constant.
5. x0(0) = �3 : pendant la première minute, environ 3 barils de pétrole sont extraits.
6. (a) C 0(x) = 3x2 � 180x + 7 500(b) x = 30. (C 0(x) atteint un minimum en x = 180=6 = 30, selon (4.6.3).)
7. (a) � 0(Q) = 24 � 2Q. Q� = 12(b) R0(Q) = 500 �Q2(c) C 0(Q) = �3Q2 + 428;4Q � 7 900
8. (a) C 0(x) = 2a1x + b1(b) C 0(x) = 3a1x2
6.5
1. (a) 3
(b) �1=2
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38 CORRIGÉS DES EXERCICES
(c) 133 = 2 197
(d) 40
(e) 1
(f) �3=4
2. (a) 0,6931
(b) 1,0986
(c) 0,4055 (En fait, d’après les résultats de l’exemple 7.12.2, les valeurs précises de ces
limites sont ln 2, ln 3 et ln(3=2), respectivement.)
3. (a)
x 0;9 0;99 0;999 1 1;001 1;01 1;1
x2 + 7x � 8x � 1 8;9 8;99 8;999 � 9;001 9;01 9;1
*non défini
(b) x2 + 7x � 8 = (x � 1) (x + 8), de sorte que (x2 + 7x � 8)=(x � 1) = x + 8 ! 9lorsque x ! 1.
4. (a) 5
(b) 1/5
(c) 1
(d) �2(e) 3x2
(f) h2
5. (a)1=3 � 2=3hh � 2 =
3h(1=3 � 2=3h
)
3h(h � 2) =h � 2
3h(h � 2) =1
3h! 1
6lorsque h! 2.
(b) Quand x ! 0, alors (x2 � 1)x2
= 1 � 1x2! �1 lorsque x ! 0.
(c)32t � 96t2 � 2t � 3 =
32 (t � 3)(t � 3) (t + 1) =
32
t + 1! 8, lorsque t ! 3 et
3
√32t � 96t2 � 2t � 3 !
3p
8 = 2 lorsque t ! 3:
(d)
ph + 3 �
p3
h=
(ph + 3 �
p3) (ph + 3 +
p3)
h(ph + 3 +
p3)
=1p
h + 3 +p
3�!h!0
1
2p
3
(e)t2 � 4
t2 + 10t + 16=
(t + 2) (t � 2)(t + 2) (t + 8)
=t � 2t + 8
! �23
lorsque t ! �2.
(f) On sait que 4 � x = (2 +px) (2 �
px). D’où lim
x!4
2 �px
4 � x = limx!41
2 +px
=1
4.
6. (a)f (x) � f (1)
x � 1 =x2 + 2x � 3x � 1 =
(x � 1) (x + 3)x � 1 = x + 3! 4 lorsque x ! 1.
(b)f (x) � f (1)
x � 1 = x + 3! 5 lorsque x ! 2.
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CHAPITRE 6 / La dérivation 39
(c)f (2 + h) � f (2)
h=
(2 + h)2 + 2 (2 + h) � 8h
=h2 + 6h
h= h+6! 6 lorsque h! 0.
(d) On a
f (x) � f (a)x � a =
x2 + 2x � a2 � 2ax � a =
x2 � a2 + 2 (x � a)x � a
=(x � a) (x + a) + 2 (x � a)
x � a = x + a + 2! 2a + 2 lorsque x ! a:
(e) Même réponse qu’en (d), si on pose x � a = h.(f) On a
f (a + h) � f (a � h)h
=(a + h)2 + 2a + 2h � (a � h)2 � 2a + 2h
h
= 4a + 4! 4a + 4 lorsque h! 0:
7. (a) x3 � 8 = (x � 2) (x2 + 2x + 4), de sorte que la limite vaut 1=6.(b) lim
h!0[
3p
27 + h � 3]=h = limu!3
(u � 3)=(u3 � 27), et u3 � 27 = (u � 3) (u2 + 3u + 9),de sorte que la limite vaut 1=27.
(c) xn � 1 = (x � 1) (xn�1 + xn�2 + � � � + x + 1), de sorte que la limite est égale à n.
6.6
1. (a) 0
(b) 4x3
(c) 90x9
(d) 0 (Pour rappel, � est une constante !)
2. (a) 2g0(x)(b) � 1
6g0(x)
(c) 13g0(x)
3. (a) 6x5
(b) 33x10
(c) 50x49
(d) 28x�8
(e) x11
(f) 4x�3
(g) �x�4=3(h) 3x�5=2
4. (a) 8�r
(b) A(b + 1)yb
(c) (�5=2)A�7=2
5. Dans (6.2.1) (la définition de la dérivée), choisissez h = x�a. Alors a +h est remplacépar x et h! 0 devient x ! a. Pour f (x) = x2, on a f 0(a) = 2a.
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40 CORRIGÉS DES EXERCICES
6. (a) F (x) = 13x3 + C
(b) F (x) = x2 + 3x + C
(c) F (x) =xa+1
(a + 1)+ C (Dans tous les cas, C est une constante arbitraire.)
7. (a) Avec f (x) = x2 et a = 5,
limh!0
(5 + h)2 � 52h
= limh!0
f (a + h) � f (a)h
= f 0(a) = f 0(5):
Par ailleurs, f 0(x) = 2x et f 0(5) = 10. La limite est 10.(b) Soit f (x) = x5. Alors f 0(x) = 5x4 et la limite est égale à f 0(1) = 5 � 14 = 5.(c) Soit f (x) = 5x2 + 10. Alors f 0(x) = 10x et c’est la valeur de la limite.
6.7
1. (a) 1
(b) 1 + 2x
(c) 15x4 + 8x3
(d) 32x3 + x�1=2
(e) 12� 3x + 15x2
(f) �21x6
2. (a) 65x � 14x6 � 1
2x�1=2
(b) 4x (3x4 � x2 � 1)(c) 10x9 + 5x4 + 4x3 � x�2 (Développer et dériver.)
3. (a) y =1
x6= x�6 ) y 0 = �6x�7, par la règle de dérivation d’une puissance (6.6.4).
(b) y = x�1(x2+1)px = x�1x2x1=2+x�1x1=2 = x3=2+x�1=2 ) y 0 = 3
2x1=2� 1
2x�3=2
(c) y = x�3=2 ) y 0 = � 32x�5=2
(d) y =x + 1
x � 1 ) y0 =
1 � (x � 1) � (x + 1) � 1(x � 1)2 =
�2(x � 1)2
(e) y =x
x5+
1
x5= x�4 + x�5 ) y 0 = � 4
x5� 5x6
(f) y =3x � 52x + 8
) y 0 = 3 (2x + 8) � 2 (3x � 5)(2x + 8)2
=34
(2x + 8)2
(g) y = 3x�11 ) y 0 = �33x�12
(h) y =3x � 1x2 + x + 1
) y 0 = 3 (x2 + x + 1) � (3x � 1) (2x + 1)
(x2 + x + 1)2=�3x2 + 2x + 4(x2 + x + 1)2
4. (a)3
2px (px + 1)2
(b)4x
(x2 + 1)2
(c)�2x2 + 2
(x2 � x + 1)2
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CHAPITRE 6 / La dérivation 41
5. (a) f 0(L�) < f (L�)=L�. Voir figure C6.7.5. La pente de la tangente en P est f 0(L�).On « voit » que la tangente en P est moins raide que la droite qui joint l’origine à P ,
dont la pente est f (L�)=L� = g(L�). (L’inégalité suit directement de la caractérisationdes fonctions dérivables concaves dans FMEA, théorème 2.4.1.)
P
y
L
y = f ( L)
f ( L*)
L*
Figure C6.7.5
(b)d
dL
(f (L)
L
)=
1
L
(f 0(L) � f (L)
L
), comme à l’exemple 6.
6. (a) y 0 = 6x � 12 = 6 (x � 2) > 0 () x > 2, d’où y est croissante sur [2;1[.(b) y 0 = x3 � 3x = x (x2 � 3) = x (x �
p3) (x +
p3), d’où, par un tableau de signes,
y est croissante sur[�p
3; 0]
et sur[p
3;+1[.
(c) y 0 =2 (2 + x2) � (2x) (2x)
(2 + x2)2=
2 (2 � x2)(x2 + 2)2
=2 (p
2 � x) (p
2 + x)
(x2 + 2)2, d’où y est crois-
sante sur [�p
2;p
2].
(d) y 0 =(2x � 3x2) (x + 1) � (x2 � x3)
2 (x + 1)2=�2x3 � 2x2 + 2x
2 (x + 1)2=�x (x � x1) (x � x2)
(x + 1)2,
où x1;2 = � 12 �12
p5. Alors y est croissante sur ] �1; x1] et sur [0; x2].
7. (a) y 0 = �1 � 2x = �3 quand x = 1. La pente de la tangente est donc �3. Commey = 1 quand x = 1, la formule (4.4.2) donne y � 1 = �3 (x � 1) ou y = �3x + 4.(b) y = 1 � 2 (x2 + 1)�1, de sorte que y 0 = 4x=(x2 + 1)2 = 1 et y = 0 quand x = 1.L’équation de la tangente est y = x � 1.(c) y = x2 � x�2, d’où y 0 = 2x + 2x�3 = 17=4 et y = 15=4 quand x = 2. De là,y = (17=4) x � 19=4.
(d) y 0 =4x3 (x3 + 3x2 + x + 3) � (x4 + 1) (3x2 + 6x + 1)
[(x2 + 1) (x + 3)]2= �1
9et y =
1
3quand x = 0.
D’où y = �(x � 3)=9.
8. R0(t ) = p0(t ) x (t ) + p(t ) x0(t ). R(t ) croı̂t pour deux raisons. La première, R(t ) croı̂tparce que le prix croı̂t. Cet accroissement est proportionnel à la quantité extraite x (t ) et
est égal àp0(t ) x (t ). MaisR(t ) croı̂t aussi parce que l’extraction augmente. Sa contribu-tion au taux de variation deR(t ) doit être proportionnelle au prix et est égale àp(t ) x0(t ).R0(t ), le taux de variation total de R(t ), est la somme de ces deux contributions.
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42 CORRIGÉS DES EXERCICES
9. (a) On utilise la règle de dérivation du quotient
y =at + b
ct + d) y 0 = a (ct + d ) � (at + b)c
(ct + d )2=ad � bc(ct + d )2
:
(b) y = tn(apt + b
)= atn+1=2 + btn ) y 0 = (n + 1=2)atn�1=2 + nbtn�1
(c) y =1
at2 + bt + c) y 0 = 0 � (at
2 + bt + c) � 1 � (2at + b)(at2 + bt + c)2
=�2at � b
(at2 + bt + c)2
10. En raison de la règle de dérivation du produit, f 0(x) � f (x) + f (x) � f 0(x) = 1,de sorte que 2f 0(x) � f (x) = 1. D’où, f 0(x) = 1=2f (x) = 1=2
px.
11. Si f (x) = 1=xn, la règle de dérivation du quotient donne
f 0(x) = (0 � xn � 1 � nxn�1)=(xn)2 = �nx�n�1;
qui est la règle de dérivation d’une puissance.
Exercices récapitulatifs du chapitre 6
1. On a
[f (x + h) � f (x)]=h = [(x + h)2 � (x + h) + 2 � x2 + x � 2]=h= [2xh + h2 � h]=h = 2x + h � 1! 2x � 1 lorsque h! 0;
de sorte que f 0(x) = 2x � 1.
2. [f (x + h)� f (x)]=h = �6x2 + 2x � 6xh� 2h2 + h! �6x2 + 2x lorsque h! 0, desorte que f 0(x) = �6x2 + 2x.
3. (a) y 0 = 2, y 00 = 0.(b) y 0 = 3x8, y 00 = 24x7.(c) y 0 = �x9, y 00 = �9x8.(d) y 0 = 21x6, y 00 = 126x5.(e) y 0 = 1=10, y 00 = 0.(f) y 0 = 5x4 + 5x�6, y 00 = 20x3 � 30x�7.(g) y 0 = x3 + x2, y 00 = 3x2 + 2x.(h) y 0 = �x�2 � 3x�4, y 00 = 2x�3 + 12x�5.
4. Comme C 0(1 000) � C (1 001) �