Couplage d’un schéma AP à son modèle limite pour des

Le problème elliptique et sa reformulation AP

Le couplage (AP-L)

Discrétisation et résultats numériques

Couplage d’un schéma AP à son modèle limite pourdes problèmes elliptiques fortement anisotropes

Anaïs Crestetto 1, Fabrice Deluzet 2,3, Claudia Negulescu2.ANR IODISSEE.

Séminaire d’Analyse Appliquée, LATP - Marseille.17 décembre 2013.

1. Université de Nantes - LMJL.

2. Université Paul Sabatier Toulouse 3 - MIP.

3. CNRS.

1 A. Crestetto Couplage (AP-L) pour des pb elliptiques anisotropes


Le couplage (AP-L)


Contexte physique

Ionosphère constituée de plasma partiellement ionisé, soumis àun champ magnétique de forte intensité.

Rapport des fréquences de collision et cyclotron paramétré par", fortement variable dans le domaine.

Application : communication avec des satellites.

Modèle 4 : description fluide quasi-neutre du plasma. Étuded’une équation elliptique fortement anisotrope pour lepotentiel électrique.

4. Besse, Claudel, Degond, Deluzet, Gallice, Tessieras, MM & MAS 2004.



Le couplage (AP-L)


Objectifs

Difficultés générales des problèmes multi-échelles :développer un schéma numérique efficace dans chaquerégime :

- couplage spatial de deux schémas avec une interface,

- schémas préservant l’asymptotique (AP),

obtenir un bon rapport précision/coût.

Objectifs de ce travail :

coupler le schéma AP développé dans de précédentstravaux 5,6,7 pour le problème 2D à son modèle limite 1D,préserver une bonne précision partout dans le domaine,réduire le temps de calcul.

5. Degond et al., SIAM MMS 2010.

6. Degond et al., CMS 2012.

7. Besse et al., SIAM JSC 2013.



Le couplage (AP-L)


Schéma préservant l’asymptotique

Soit P" un problème dépendant de " et P",h un schéma numériqueassocié, h désignant le pas de discrétisation en espace.

Soit P0

= lim"!0

P" le problème limite et P0,h un schéma

numérique associé.

Pb : Contrainte des schémas standards : h = O(").Déf 8 : P",h est AP : uniformément stable et consistant avec P

0,h.

P" P",h

P0

P0,h

h ! 0

h ! 0

" ! 0 " ! 0

8. Jin, SIAM JSC 1999.



Le couplage (AP-L)


Plan de l’exposé

1 Le problème elliptique et sa reformulation AP

2 Le couplage (AP-L)

3 Discrétisation et résultats numériques



Le couplage (AP-L)


Problème à perturbation singulière

Reformulation AP


Domaine : ⌦ = ⌦x ⇥ ⌦z = [x�, x+]⇥ [z�, z+].Problème (P) considéré :

(P)

8>>>><

>>>>:

�@x (Ax@xu")� @z

⇣A

z

"(z)@zu"⌘= f , pour (x , z) 2 ⌦x ⇥ ⌦z ,

Az

(x ,z±)"(z±) @zu" (x , z±) = g± (x) , pour x 2 ⌦x ,

u" (x±, z) = 0, pour z 2 ⌦z ,

avec u" la solution,Ax (x , z), Az (x , z) du même ordre de grandeur, tels qu’on aitexistence et unicité de la solution u" pour " > 0.



Le couplage (AP-L)



Reformulation AP

Problème numérique à la limite " ! 0

Cas " constant, faisons tendre formellement " vers zero dans(P) :

(R)

8>>>><

>>>>:

�@z (Az@zu) = 0, pour (x , z) 2 ⌦x ⇥ ⌦z ,

@zu (x , z±) = 0, pour x 2 ⌦x ,

u (x±, z) = 0, pour z 2 ⌦z .

Infinité de solutions : fonctions constantes en z et satisfaisantu(x , z) = 0 sur @⌦x ⇥ ⌦z .Modèle (P) mal conditionné quand "⌧ 1.

Remarque : solution unique pour des conditions périodiques ou deDirichlet sur @⌦z .



Le couplage (AP-L)



Reformulation AP

Modèle limite

Modèle (P) non utilisable numériquement quand 0 < "⌧ 1.Cependant la solution u" de (P) converge vers u

0

quand"! 0. Quel est le modèle limite dont u

0

est solution ?En intégrant (P) sur ⌦z et en supposant que u

0

= u0

(x) (vraià la limite) on obtient le modèle limite :

(L)

8<

:�@x

�Ax@xu0

�= f + g+

Lz

� g�Lz

, pour x 2 ⌦x ,

u0

(x±) = 0,

avec les notations

f (x) :=1Lz

Z

⌦z

f (x , z) dz , f 0 = f � f .



Le couplage (AP-L)



Reformulation AP

Reformulation APDécomposition : u" (x , z) = u" (x) + u0

" (x , z) .Reformulation AP 9,10 :

�AP

�8<

:�@x

�Ax@xu"

�= f + g+

Lz

� g�Lz

+ @x�A0

x@xu0"

�, pour x 2 ⌦x ,

u" (x±) = 0.

�AP 0�

8>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:

�@x (Ax@xu0")� @z

⇣A

z

"(z)@zu0"

⌘

= f + @x (Ax@xu") , pour (x , z) 2 ⌦x ⇥ ⌦z ,

Az

(x ,z±)"(z±) @zu0

" (x , z±) = g± (x) , pour x 2 ⌦x ,

u0" (x±, z) = 0, pour z 2 ⌦z ,

u0" = 0, pour x 2 ⌦x (contrainte).

9. Degond, Deluzet, Negulescu, SIAM MMS 2010.

10. Besse, Deluzet, Negulescu, Yang, SIAM JSC 2013.



Le couplage (AP-L)



Reformulation AP

À propos des travaux précédents (en 2D)

Cas " constant + solveur itératif :Degond, Deluzet, Negulescu, SIAM MMS 2010.

Cas " variable + direction de l’anisotropie alignée avec un axe+ solveur direct :Besse, Deluzet, Negulescu, Yang, SIAM JSC 2013,Yang, thèse 2011.

Cas d’une direction variable de l’anisotropie :Degond, Deluzet, Lozinski, Narski, Negulescu, CMS 2012.



Le couplage (AP-L)


Motivations et stratégie

Formulation variationnelle

Étude mathématique

Qu’a-t-on fait ? . . .

P" AP"

R L

équivalente

Reformulation

" ! 0 " ! 0

. . . et que va-t-on faire ?

Couplage spatial de (AP) avec le modèle limite (L).

Remarque : étude numérique 1D réalisée par Degond, Deluzet,Maldarella, Narski, Negulescu et Parisot au CEMRACS 2010(ESAIM Proc. 2011).



Le couplage (AP-L)





Motivations

Le schéma AP est utilisable quelle que soit la valeur de ", maisplus coûteux que le modèle (P) ou le modèle 1D (L).

Dans le plasma ionosphérique, "⌧ 1 dans une grande partiedu domaine. L’utilisation du modèle 1D (L) est suffisante danscette région.

Avec un couplage (P-L), il peut être difficile de trouver uneposition adéquate pour l’interface, car leurs domaines devalidité ne s’intersectent pas toujours 11.

! Développer un couplage (AP-L).

11. Degond, Deluzet, Lozinski, Narski, Negulescu, CMS 2012.



Le couplage (AP-L)





Stratégie de couplage

Hypothèses :- dans une grande région du domaine de calcul, "⌧ 1,

- le domaine peut être décomposé dans la direction z en deux

sous-domaines délimités par une interface en z◆ 2 [z�, z+] :

⌦z

= ⌦1

z

[ ⌦2

z

où ⌦2

z

= [z�, z◆] et ⌦1

z

= [z◆, z+].

Décomposition

u0|⌦1

z

(x , z) = u01

(x , z) , u0|⌦2

z

(x , z) = u02

(x , z)

et couplage via une condition de type Dirichlet-to-Neumann

@zu01

(x , z◆) = @zu02

(x , z◆) , u02

(x , z◆) = u01

(x , z◆) .



Le couplage (AP-L)





Utilisation du modèle limite dans ⌦2

z : u02

ne dépend pas de z .



Le couplage (AP-L)





Formulation (AP-L) :�AP

�� (AP 01

)� (L) avec

�AP

�

8>>><

>>>:

�@x�Ax@xu

�= f + g+

Lz

� g�Lz

+ 1

Lz

@x

⇣R⌦1

z

A0x@xu0

1

dz +R⌦2

z

A0x@xu0

2

dz⌘,

u (x±) = 0,

pour x 2 ⌦x ,

(AP 01

)

8>>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>>:

�@x (Ax@xu01

)� @z

⇣A

z

"(z)@zu01

⌘

= f + @x (Ax@xu) ,A

z

(x ,z+)"(z+) @zu0

1

(x , z+) = g+ (x) ,

u01

(x±, z) = 0,

@zu01

(x , z◆) = 0,R⌦1

z

u01

(x , z) dz + L2

zu02

(x) = 0,

pour (x , z) 2 ⌦1

,

pour x 2 ⌦x ,

pour z 2 ⌦1

z ,

pour x 2 ⌦x ,

pour x 2 ⌦x (contrainte),

(L)n

u02

(x) = u01

(x , z◆) , pour x 2 ⌦x .



Le couplage (AP-L)





Formulation variationnelleHypothèses de régularité

A

x

, A

z

2 W

1,1 (⌦), tels que

0 < m

x

A

x

(x , z) M

x

, 0 < m

z

A

z

(x , z) M

z

,

f 2 L

2 (⌦), g± 2 L

2 (⌦x

)," 2 W

1,1 (⌦z

), tel que 0 < "min

" (z) "max

,

avec mx , mz , Mx , Mz , "min

, "max

des constantes strictementpositives données.

Espaces de Hilbert

V1

:=� (·, ·) 2 H1 (⌦

1

) / = 0 sur @⌦x ,

W :=� (·) 2 H1 (⌦x) / = 0 sur @⌦x

.

associés aux produits scalaires

(�, )V1

:= (@x�, @x )L2(⌦1

) + (@z�, @z )L2(⌦1

) ,

(�, )W := (@x�, @x )L2(⌦x

) .16 A. Crestetto Couplage (AP-L) pour des pb elliptiques anisotropes


Le couplage (AP-L)





Après définition de formes bilinéaires, on obtient la formulationvariationnelle :

Trouver u 2 W, u01

2 V1

et P 2 L2 (⌦x) tels que8>>>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>>>>:

axa�u,

�=⇣f ,

⌘

L2(⌦x

)+ 1

Lz

�g+ � g�,

�L2(⌦

x

)

� 1

Lz

�ca1

�u01

, �+ ca2

�u01

(·, z◆) , ��

, 8 2 W,

axf 1

(u01

, 01

) + az1

(u01

, 01

) + bl1�P, 0

1

�

= (f , 01

)L2(⌦1

) + (g+, 01

(·, z+))L2(⌦x

) � cf 1

(u, 01

) , 8 01

2 V1

,

bc1

�u01

,Q�= �bc2

�u01

(·, z◆) ,Q�, 8Q 2 L2 (⌦x) .



Le couplage (AP-L)






Introdution de la condition de type Dirichlet-to-Neumann

Proposition

Le modèle (AP)-(AP 01

)-(AP 02

) obtenu est équivalent au modèle(AP)-(AP 0). Il admet une unique solution.

Idée de la preuve : choix de bonnes fonctions tests dans laformulation variationnelle.

Erreur introduite par le modèle limite (hypothèse u02

= u02

(x))

Proposition

Cette erreur tend vers zero dans H1 (⌦) commep" (z◆) tend vers

zero.



Le couplage (AP-L)





Idées de la preuve :- dans (AP)-(AP 0

1

)-(AP 02

), changement de variables⇠02

(x , z) := u02

(x , z)� u01

(x , z◆) pour se ramener à desconditions de Dirichlet homogène,

- inégalités classiques (Cauchy-Schwarz, Poincaré et Young)dans l’écriture faible donnent les estimations

||@x⇠02

||L2(⌦) cp" (z◆) et ||@z⇠

02

||L2(⌦) c " (z◆) ,

- écriture du système vérifié par l’erreur (w ,w 01

, ⇠02

) entre cenouveau système (AP)-(AP 0

1

)-(AP 02

)hom et le système(AP)-(AP 0

1

)-(L),- utilisation de la contrainte pour réarranger ce système,- inégalité de Young et contrainte donnent les estimations

k@xwkL2(⌦x

) cp" (z◆), k@xw 0

1

kL2(⌦1

) cp" (z◆)

et k@zw 01

kL2(⌦1

) cp" (z◆).



Le couplage (AP-L)


Discrétisation éléments finis

Résultats numériques

Discrétisation éléments finisDiscrétisation de ⌦x ⇥ ⌦z par

xi = i�x , i = 0, . . . ,Nx + 1,zk = k�z , k = 0, . . . ,Nz + 1.

Interface placée en z◆ (9k 2 {1, . . . ,Nz} t.q. z◆ = zk).Fonctions P

1

-chapeaux �i (x) et k (z), avec

�i (x) =

8>>><

>>>:

x�xi�1

�x , x 2 [xi�1

, xi )

xi+1

�x�x , x 2 [xi , xi+1

)

0, ailleurs

, i = 1, . . . ,Nx ,

�0

(x) =

8<

:

x1

�x�x , x 2 [x

0

, x1

)

0, ailleurs, �N

x

+1

(x) =

8<

:

x�xN

x

�x , x 2 [xNx

, xNx

+1

)

0, ailleurs,

et k (z) de la même forme.20 A. Crestetto Couplage (AP-L) pour des pb elliptiques anisotropes


Le couplage (AP-L)




Inconnues approchées par

uh (x) =PN

x

i=1

↵i�i (x) ,

u01h (x , z) =

PNx

i=1

PNz

+1

k=◆ �ik�i (x)k (z) ,

Ph (x) =PN

x

+1

i=0

�i�i (x) .

Fonctions tests dans la formulation variationelle

�i , i = 1, . . . ,Nx ,

�ik , i = 1, . . . ,Nx ,

k = ◆, . . . ,Nz + 1.

Intégration numérique par une formule de quadrature de Gaussà trois points.



Le couplage (AP-L)




Système à résoudre

0

BBB@

Axa1

Lz

(Ca1 + Ca2) 0

Cf 1

Axf 1

+ Az1

Bl1

0 Bc1

+ Bc2

0

1

CCCA

0

BBB@

↵

�

�

1

CCCA=

0

BBB@

Fu

Fu01

0

1

CCCA

Taille de ce système : (Nx + Nx (Nz + 2 � ◆) + Nx + 2).

Pour comparaison :taille du système (P) : (N

x

(Nz

+ 2)),taille du système (AP) : (N

x

+ N

x

(Nz

+ 2) + N

x

+ 2).

Résolution par le solveur direct MUMPS.



Le couplage (AP-L)




À propos du choix de l’interface

Dès que " est petit dans une région du domaine, il est toujourspossible de trouver une position adéquate de l’interface,n’importe où dans le domaine de validité du modèle (L).

Ici, nous fixons l’interface quelque part dans le domaine devalidité du modèle (L).

Pour augmenter la performance du couplage, il seraitintéressant de calculer de manière automatique la position z◆de telle sorte que l’erreur induite par l’utilisation du modèle(L) dans ⌦

2

soit du même ordre que l’erreur de discrétisation.



Le couplage (AP-L)




Cas tests

Solution exacte 1 :

uex (x , z) = sin✓

2⇡Lx

x◆✓

1 + " (z) sin✓

2⇡Lz

z◆◆

.

avecAx (x , z) = Lz + xz2, Az (x , z) = Lz + xz .

Solution exacte 2 :

uex (x , z) = sin✓

2⇡Lx

x◆✓

1 + sin✓

2⇡Lz" (z) z

◆◆.

avec

Ax (x , z) = 1+ cos (Lz + xz) , Az (x , z) = 1+ sin2 (Lz + xz) .

f , g+ et g� calculés en injectant la solution exacte dans leséquations.



Le couplage (AP-L)




Anisotropie 1 : " constant sur le domaine⌦x ⇥ ⌦z = [0, 1]⇥ [�1, 1].

Anisotropie 2 :

" (z) =12("

max

(1 + tanh (rz)) + "min

(1 � tanh (rz))) ,

avec r , "min

, "max

2 R+? sur ⌦x ⇥ ⌦z = [0, 1]⇥ ⇥�3

2

, 1

2

⇤.

1e-25

1e-20

1e-15

1e-10

1e-05

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

ε(z

)

z

10-25

<ε<1

10-8

<ε<1

10-10

<ε<10-5



Le couplage (AP-L)




Ordre du schéma

Erreur relative en norme L2 entre les solutions exacte et approchéeen fonction de �x�z (avec "

max

= 1).

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1

Rel

ativ

e-L

err

or

∆x∆z

εmin=10-8

εmin=10-25

slope 2

! Schéma d’ordre 2.



Le couplage (AP-L)




Propriété AP

À gauche : erreur relative en norme L2,à droite : conditionnement des systèmes linéaires (estimés par lesolveur MUMPS) en fonction de "

min

(avec "max

= 1).

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1

Rel

ativ

e-L

err

or

εmin

Nx=Nz=64

(AP-L)-scheme

(AP)-scheme

(P)-scheme

1

100

10000

1e+06

1e+08

1e+10

1e+12

1e+14

1e+16

1e+18

1e+20

1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1

Co

nd

itio

n n

um

ber

εmin

Nx=Nz=64

(AP-L)-scheme

(AP)-scheme(P)-scheme, CN1(P)-scheme, CN2



Le couplage (AP-L)




1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1

Rel

ativ

e-L

err

or

εmin

Nx=Nz=1024

(AP-L)-scheme

(AP)-scheme

(P)-scheme

1

100000

1e+10

1e+15

1e+20

1e+25

1e-25 1e-20 1e-15 1e-10 1e-05 1

Co

nd

itio

n n

um

ber

εmin

Nx=Nz=1024

(AP-L)-scheme

(AP)-scheme(P)-scheme, CN1(P)-scheme, CN2

! Conditionnement et précision du couplage (AP-L)indépendants de l’intensité de l’anisotropie.

! Schéma AP.



Le couplage (AP-L)




Temps de calcul

Avec |⌦1

z | = 2

5

|⌦z | et |⌦2

z | = 3

5

|⌦z |,r = 30, "

max

= 1 et "min

= 10�8.

Schéma Nx = Nz Temps # lignes # élts 6= 0 Erreur L2

AP-L 250 72% 26 000 533 324 1.06 ⇥ 10�4

AP 250 187% 63 500 1 318 724 1.06 ⇥ 10�4

P 250 100% 63 000 563 992 1.06 ⇥ 10�4

AP-L 2000 43% 1 608 000 33 666 774 1.54 ⇥ 10�6

AP 2000 146% 4 008 000 84 049 974 1.66 ⇥ 10�6

P 2000 100% 4 004 000 36 011 992 8.88 ⇥ 10�5



Le couplage (AP-L)




Avec |⌦1

z | = 3

10

|⌦z | et |⌦2

z | = 7

10

|⌦z |,r = 30, "

max

= 10�5 et "min

= 10�10.

Schéma Nx = Nz Temps # lignes # élts 6= 0 Erreur L2

AP-L 250 56% 19 750 402 424 5.61 ⇥ 10�5

AP 250 213% 63 500 1 318 724 5.61 ⇥ 10�5

P 250 100% 63 000 563 992 1.51 ⇥ 10�4

AP-L 2000 26% 1 208 000 25 269 574 1.17 ⇥ 10�6

AP 2000 137% 4 008 000 84 049 974 8.84 ⇥ 10�7

P 2000 100% 4 004 000 36 011 992 1.50 ⇥ 10�2

! Temps réduit comparé au schéma (AP).



Le couplage (AP-L)




Conclusions. . .! Modèles (AP) et (L) couplés naturellement via une condition

de type Dirichlet-to-Neumann.! Toujours possible de trouver une position adéquate de

l’interface.! Même précision que le modèle (AP).! Temps de calcul réduit comparé à la formulation (AP) !

. . .et perspectives

Programmation d’un schéma de Scharfetter-Gummel 12 pouraméliorer la précision dans le cas de gradients plus grands.Extension de cette stratégie en 3D, couplage d’un modèle 3D(AP) au modèle 2D (L).Pour le cas 3D, remplacer le solveur direct par un solveuritératif.

12. Saito, PJA 2006.



Le couplage (AP-L)




- C. Besse, J. Claudel, P. Degond, F. Deluzet, G. Gallice, C. Tessieras : A modelhierarchy for ionospheric plasma modeling, Mathematical Models & Methods in Applied

Sciences 14 (2004).

- C. Besse, F. Deluzet, C. Negulescu, C. Yang : Efficient numerical methods for stronglyanisotropic elliptic equations, SIAM Journal of Scientific Computing 55 (2013).

- P. Degond, F. Deluzet, A. Lozinski, J. Narski, C. Negulescu : Duality basedAsymptotic-Preserving Method for highly anisotropic diffusion equations, Communications

in Mathematical Sciences 10 (2012).

- P. Degond, F. Deluzet, D. Maldarella, J. Narski, C. Negulescu, M. Parisot : Hybridmodel for the coupling of an Asymptotic Preserving scheme with the asymptotic limitmodel : the one dimensional case, ESAIM Proc. 32 (2011).

- P. Degond, F. Deluzet, C. Negulescu : An Asymptotic Preserving scheme for stronglyanisotropic elliptic problem, SIAM Multiscale Modeling and Simulation 8 (2010).

- S. Jin : Efficient asymptotic-preserving (AP) schemes for some multiscale kinetic equations,SIAM Journal of Scientific Computing 21 (1999).

- N. Saito : An interpretation of the Scharfetter-Gummel finite difference scheme, Proc.

Japan Acad. 82 (2006).

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Couplage d’un schéma AP à son modèle limite pour des