LE DIPOLE RC

Problématique   : Qu’est ce qu’un condensateur, sa charge et sa décharge ? Comment évoluent les grandeurs électriques ( u(t) et i(t) ) dans un circuit RC  constitué d’un conducteur ohmique et d’un condensateur ?

Expérience préliminaire   :

En (1) : Eclat bref de l’ampoule pendant que uc augmente de 0 à E.Le courant est transitoire d’intensité positive, c’est la charge.En (2) : Eclat bref de l’ampoule pendant que uc augmente de E à 0.Le courant est transitoire d’intensité négative, c’est la décharge.

I Capacité d’un condensateur

1° Charge du condensateur et intensité

Un condensateur de symbole est constitué de deux armatures séparées par un isolant. uG > 0

E e- ( mouvement des électrons imposé par le générateur ) Intensité moyenne   : i > 0 Accumulation d’électrons I = Q/t Q   : la charge qui + se déplace dans le circuit A B en coulomb ( C ) pendant R C Retrait d’électrons le temps t en seconde ( s ).

uR > 0 uC > 0 Intensité instantanée   : i(t) = dq(t)/dt dq(t)/dt est la dérivée de la charge q(t) qui se déplace dans le circuit à l’instant t.

Le courant positif est fléché dans le sens opposé au déplacement des électrons.

La charge accumulée par le condensateur qA est égale à la charge q qui s’est déplacée dans le circuit.A courant constant QA = Q = I.t, à courant non constant qA = q est la primitive de i pendant la durée t.Remarques : 1) QB = - QA = - I.t et 2) les charges ne traversent pas le condensateur.

2° Charge et capacité

A QA QB B C est coefficient directeur de la droite QA = f ( uAB ). C’est la qA = C. uAB capacité du condensateur en farad ( F ).

I uAB = VA – VB est la tension positive aux bornes du conden- uAB sateur. QA est la charge positive de l’armature A. Remarque : Si uAB < 0 alors qA < 0

Pour déterminer la capacité d’un condensateur, on étudie la variation de charge QA en fonction de la tension uAB. Le graphique QA = f ( uAB ) est une droite passant par l’origine, dont le coefficient directeur est la capacité C. La charge QA est obtenue par l’apport de charges à courant constant I pendant le temps t, tel que QA = I.t, grâce à un générateur de courant.

II Charge et décharge du condensateur par un échelon de tension

1°Etude expérimentale de la charge L’échelon de tension est fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension uG = 0 à la tension uG = E à l’instant t = 0. uG(t) = uc(t) + uR(t) ( où R est la résistance totale du circuit )

La charge du condensateur n’est pas instantanée.Au début de la charge : E = 0 + R i i = Imax = E/R, intensité notée I0.

A la fin de la charge : E = uc + 0 uc = ucmax = E et q = Qmax = C.E, charge maximale notée Q0.La durée de la charge correspond au régime transitoire ( uc augmente progressivement de 0 à E ). Le courant de charge est transitoire. ( i diminue progressivement de I0 à 0 ). Le régime permanent correspond au condensateur chargé (uc = E et i = 0 ).

2° Constante de temps du circuit

La durée de la charge dépend du produit RC appelé constante de temps notée . = RC   : constante de temps en seconde ( s ), R   : résistance totale du circuit en ohm ( ), C   : capacité

du condensateur en farad ( F ). est obtenu par lecture graphique à 63% de la tension E soit 0,63E ou par la tangente à l’origine à t = 0 ( voir p.140 doc.14 et 15 ). 99 % de la charge est obtenue pour t = 5. (Le temps de demi charge est t1/2 = ln2 ). L’analyse dimensionnelle permet de vérifier que la dimension de est un temps :[ ] = [ R] .[ C ] or R = U/I [ R ] = [ U ]/[ I ] et C = Q/U = I.t/U [ C ] = [ I ].[ t ]/[ U ]

donc [ ] =

3° Décharge du condensateur

e- ( mouvement spontané des électrons pour rééquilibrer les charges )

i < 0 Départ des électrons A la décharge le courant

+ est de sens opposé à celui de la charge. Donc i>0 en charge A B Arrivée des électrons i<0 en décharge. uR > 0 uC > 0

Le courant négatif est fléché dans le sens du déplacement des électrons.

L’échelon de tension est fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension uG = E à la tension uG = 0 à l’instant t = 0 ou alors il est du à la fermeture instantanée d’un interrupteur qui place le circuit RC en court circuit. 0 = uc(t) + uR(t) ( où R est la résistance totale du circuit )

La décharge du condensateur n’est pas instantanée.Au début de la décharge : 0 = E + R i i = - Imax = -E/R, intensité notée -I0.

A la fin de la charge : 0 = uc + 0 uc = 0 et q = 0.La durée de la décharge correspond au régime transitoire ( uc diminue de E à 0 ). Le courant de décharge est transitoire ( i passe progressivement de -I0 à 0 ). Le régime permanent correspond au condensateur déchargé (uc = 0 et i = 0 ).

III Etude théorique de la charge

1°) Equations différentielles uG = uR + uC E = Ri + uc. Or i = dq/dt = d (Cuc)/dt = C duc/dt donc E = RC duc/dt + uc

uG = uR + uC E = Ri + q/C à t 0. Or i = dq/dt, donc E = R dq/dt + q/C, soit C.E = RC dq/dt + q

2°) Solutions uc(t) = E ( 1-e-t/ ) et q(t) = Q0 ( 1-e-t/ )

Q0 = C.E charge finale du condensateur.

3°) Exploitation A t = 0, la pente de la tangente à la courbe uc(t) est duc/dt = E/RC. En régime permanent duc/dt = 0.A t = 0, la pente de la tangente à la courbe q(t) est dq/dt =Q0/RC. En régime permanent dq/dt = 0.

IV Etude théorique de la décharge

1°) Equations différentielles

0 = uR + uC 0 = Ri + uc à t 0. Or i = dq/dt = d (Cuc)/dt = C duc/dt donc 0 = RC duc/dt + uc

0 = uR + uC 0 = Ri + q/C à t 0. Or i = dq/dt, donc E = R dq/dt + q/C, soit 0 = RC dq/dt + q

2°) Solutions uc(t) = E e-t/ et q(t) = Q0 e-t/

Q0 = C.E charge initiale du condensateur

4°) Exploitation A t = 0, la pente de la tangente à la courbe uc(t) est duc/dt = -E/RC. En régime permanent duc/dt = 0.A t = 0, la pente de la tangente à la courbe q(t) est dq/dt = -Q0/RC. En régime permanent dq/dt = 0.

IV Energie stockée

Au cours de la charge le condensateur emmagasine de l’énergie, qu’il restitue à la décharge. E = 1/2Cu2 = 1/2 q2/C E   : énergie emmagasinée en joule ( J ), C capacité du condensateur en farad

( F ), u tension aux bornes du condensateur en volt ( V ), q charge accumulée par le condensateur en coulomb ( C ).