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Cours 3 La pensée algébrique et son
développement chez les élèves
Hassane SqualliUniversité de Sherbrooke
4 avril 2016
Plan
• La pensée algébrique ne se développe pas «naturellement» même après l’introduction de l’algèbre formelle.– Faible expérience des élèves dans la généralisation– Difficultés des élèves dans la résolution de
problèmes à contexte– Faible expérience des élèves en modélisation
• Le développement de la généralisation• Le développement du raisonnement analytique• Échos de la classe (situation le bijoutier)
3
Exemple: la généralisation
Lepérimètred’uncarréestquatrefoislamesure
desoncôté
Unnombreestpairsietseulementsison
chiffredesunitésestpair
Quandondiviseunnombreparunnombreplusgrandquel’unité
ondiminuelenombreini>al
Lasommedesmesuresdesanglesintérieursd’untriangle
vaut180degrés
La généralisation est au cœur de l’activité mathématique La plupart des faits mathématiques sont généraux
4
Importance de la généralisation dans l’apprentissage des mathématiques
Lagénéralisa>onestunprocessusessen>eldanslaconstruc>ondesconnaissancesmathéma>ques
D’unemanièrenaturellelesélèvesconstruisentdesgénéralisa6ons,souventdefaçoninconsciente.
6|246;(6|ab6,∀a,bchiffres)(c|abc,∀a,b,cchiffres)
9|819 ;(9|ab⇒9|ab9,∀a,bchiffres)(c|ab⇒c|abc,∀a,b,cchiffres)
Faux
Vrai
Faible expérience des élèves dans la généralisation
5
Le nombre n2 + n + 41 est-il : - Toujours premier ? - Quelque fois premier ? - Jamais premier ?
Justifiez votre réponse.
Ques6onposéeà76personnes(étudiantsd’unprogrammeuniversitairede1ecycle,profildominantscienceshumaines)
Le nombre n2 + n + 41 est-il : toujours premier; quelque fois premier; jamais premier? Justifiez votre réponse.
Listedes303premiersnombrespremiers
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Le nombre n2 + n + 41 est premier pour : n = 0, 1, 2, …, 38, 39, 42, 43, 45, 46, …
Le nombre n2 + n + 41 n’est pas premier pour: n = 40, 41, 44, et pour une infinité d’autres nombres, comme tous les multiples de 41.
Questions - Comment les étudiants vont-ils répondre à cette question? - Quelle est la nature des exemples choisis ? - Est-ce qu’il y a une logique dans les choix faits ou sont-ils faits au hasard? - Au bout de combien d’essais numériques un étudiant est-il convaincu de sa généralisation? - Quels sont les arguments apportés pour justifier la généralisation ?
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Réponsesdesétudiants
Toujours premier Quelque fois premier Jamais premier
57% (43)
40% (31)
3% (2)
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Analyse des réponses
Tendance arithmétique (AR)
Les généralisations sont formulées à partir de quelques essais numériques
Tendance algébrique (AL)
Les généralisations sont formulées à partir d’une analyse de la structure syntaxique de l’expression n2 + n + 41
AR AL
75% (57)
25% (19)
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Répar66ondesréponsesselonlescatégories
Quelque fois
Toujours Jamais Total
AR 47.4% ( 27 )
50.9% ( 29 )
1.7% ( 1 )
100% ( 57 )
AL 21.1% ( 4 )
73.7% ( 14 )
5.2% ( 1 )
100% ( 19 )
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Analyse des réponses de la catégorie Arithmétique
(N=57)
AR1 54.3% (31)
Les choix de n donnent tous des nombres premiers.
Tous ces étudiants, sauf un, ont répondu Toujours premier.
AR245.7% (26)
Un des choix de n donne un nombre non premier.
Tous ces étudiants ont répondu Quelque fois premier.
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Choix des nombres dans la catégorie AR1 (N=31)
1) Selon l’ordre croissant de la suite des nombres (une série de nombres entre 1 et 40)• Ex.: n=2, 3 et 4, trouve à chaque fois un nombre premier,
puis généralise cette régularité à tous les nombres.2) Selon les propriétés particulières de certaines
catégories de nombres• Ex.: variation des choix des nombres selon: pair/impair;
petit/grand; premier/composé3) Au hasard: sans aucune logique apparente
Généralisation par répétition: 1)Extension du domaine de validité
de la régularité
Généralisation par répétition: 2)Extension du domaine de validité de la régularité dans deux classes de nombres disjointes et partitionnant
l’ensemble des nombres Généralisation par répétition: 3)Un nombre choisi au hasard
comme représentant de tous les nombres
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Choix des nombres dans la catégorie AR2 (N=26)
1) Erreurs de calcul (N=2);2) Attribution de valeurs différentes à n dans les monômes
n et n2 (N=8)3) 5 étudiants ont choisis le nombre 414) 2 étudiants ont choisi les nombres 40 et 415) 9 étudiants semblent avoir choisi leurs valeurs au
hasard, sans raison apparente
Quelles sont les raisons qui poussent les étudiants à tester une valeur de n donnant un nombre non premier?
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Quelques hypothèse explicatives
H1: Les conduites suivantes: Choix du nombre 40, sans factorisation de l’expression (c.à.d., sans une mise en évidence du facteur multiplicatif 40) Choix du nombre 41, suivi par celui de 40 Choix du nombre 41 et calcul de la valeur de l’expression 412 + 41 + 41 indiquent que ces choix ne se basent pas sur des arguments pouvant anticiper de trouver un nombre composé.
H2: les conduites précédentes indiquent que les choix de 40 et de 41 sont motivés par le fait que l’étudiante choisi ses valeurs dans l’intervalle [1, 41] et 40 et 41 sont les derniers nombres de cet intervalle.
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Analyse des réponses de la catégorie AL
(N=19)
Quelque fois
Toujours Jamais Total
AL 21.1% ( 4 )
73.7% ( 14 )
5.2% ( 1 )
100% ( 19 )
Les réponses sont basés sur des raisonnements très variés portant sur une manipulation de l’expression n2 + n + 41 ou sur sa structure syntaxique.
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Trois types de raisonnement
1) Généralisation basée sur d’autres généralisations Ex.: n2 + n + 41 est toujours un nombre premier car n2 + n
est toujours un nombre pair et un nombre pair + un nombre premier est un nombre premier (N=3)
Ex.: car un nombre non premier + un nombre premier donne un nombre premier (N=3)
Ex.: car un nombre premier + n’importe quel autre nombre est un nombre premier (N=2)
Ex.: n2 + n + 41 est toujours un nombre premier car c’est la somme d’un nombre pair (n2 + n ) est d’un nombre impair (N=1).
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Trois types de raisonnement
Ex.: n2 + n + 41 ; n2 + n = 41 n + n = √412 2n = -6; n =-6/2; n = -3 « alors le nombre n2 + n + 41 est toujours premier puisque 3 est un nombre premier».
Ex.: n2 + n + 41 ; n2 + n = 41 n + n = (√-41)/ 2 ce nombre «ne sera jamais premier puisque n n’a pas la valeur d’un nombre premier
2) Le nombre n est considéré comme inconnue et l’expression n2 + n + 41 comme une équation à résoudre
(N=2)
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Trois types de raisonnement
3) Raisonnement «correct» (N=1)
Ex.: «Le nombre total de n2 + n + 41 n’est pas premier seulement lorsque ce nombre est divisible par 41»
Quelleconclusion>rerdecesrésultats?
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Des pièges à éviter, …
1) Trouver le terme suivant, ensuite le terme de rang n ?
• 1, 5, 9, 13, 17, …
2) Rebondissement d’une balle de caoutchouc
)0')(5)(4)(3)(2)(1(41 ≠−−−−−++ iimportequonnnnnnn
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Difficultés observés chez les élèves
• Généralisation abusive (exemple: n2 +4n+1)• Voir le général dans le particulier est source de
malentendus en classe (prof. – élèves, ou élèves – élèves)
• Difficulté pour des élèves de changer de point de vue: difficulté pour certains élèves de se détacher de leur schème d’actions initiale et d’adopter un autre «point de vue».
• Difficulté à justifier une généralisation par un argument intellectuel et non par une vérification empirique.
• …
Développement de la pensée algébrique Quelques propositions
pour guider l’action
• Avant l’introduction du calcul algébrique avec des lettres, proposer des activités amenant les élèves à:– Réfléchir sur le calcul (en particulier voir une chaîne d’opérations
comme une expression et dégager des connaissances à partir de la forme de l’expression)
– Prendre conscience des opérations et de leurs propriétés– Enrichir leurs stratégies numériques – Généraliser (pressentir des régularités, les formuler et les justifier)– Penser de manière analytique– Identifier des variables; formuler des relations fonctionnelles – Introduire le langage algébrique comme une nécessité (pour
représenter et opérer sur ce qui est inconnue; pour exprimer la généralité; pour exprimer la variabilité; ..)
Passerprogressivementdulangagenaturelàunlangagedeplusenplusformel
Exemples d’activités favorisant le développement de la pensée algébrique
expérimentées par des enseignants
Résolution d’équations du premier degré à une inconnue
Conventions:
I y a toujours autant de cubes à gauche qu’à droite de la ligne verticale
Une enveloppe contient toujours le même nombre, inconnu, de jetons
Résolution d’équations du second degré à une inconnue
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
Convention supplémentaire:
I y a toujours autant de petites enveloppes dans une grande enveloppe que de jetons dans une petite enveloppe.
Quelques échos de classes
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Formulegénéraleàpar>rd’unpaIerngéométriqueLeschaînesdubijou0er
Chris0anClou0er(6eannéeprimaire)etChris0anBoily(secondaire1)
Propriétésdesopéra>ons
JeuxdedevineAesMarioMathieu,(4e,5eannéeduprimaire)
Découverte de la règle fonctionnelle Pentaminos
(Classe spéciale de transition. Projet de recherche)
Devinette 1 (avec la calculatrice)
5e année primaire
• Choisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 1 et 10.• Multipliez-le mentalement par 6• Divisez-le nombre obtenu par 3• Divisez-le nombre obtenu par 2.• Enlevez le nombre choisi au départ• Ajoutez 7• Retranchez 4
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Surprise !...
3
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Devinette 2 (avec calculatrice)
• Choisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 1 et 10.• Ajoutez 6• Enlevez le nombre de départ• Retranchez 4• Multipliez par 9• Divisez par 3• Divisez par 3
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Questionnement
• Pourquoi puis-je prédire avec succès les réponses obtenues ?
• Quelles opérations sont utilisées ?• Que remarquez-vous à propos des opérations
utilisées ?
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Invente une devinette (en équipe de 4)
• Faites une devinette qui, elle aussi, donne toujours le même nombre.
• Il faut qu’elle soit la plus difficile possible.• Elle ne doit pas dépasser 6 opérations.• Une seule opération par ligne sur la calculatrice• Elle doit comprendre seulement des nombres
entiers positifs.
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Présentation des devinettes
• Qu’est-ce qui a bien fonctionné ? Pourquoi ?• Qu’est-ce qui a moins bien fonctionné ? Pourquoi ?• Quelles lois sur les opérations a-t-on démontrées ?• Est-ce que tu penses que ces lois pourraient s’appliquer
dans un autre contexte ? Donne-moi un exemple.
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Défi: le nombre secret est 7
• Construire une devinette qui arrive nécessairement au nombre 7.
• Il faut qu’elle soit la plus difficile possible.• Elle ne doit pas dépasser 6 opérations.• Une seule opération par ligne sur la calculatrice• Elle doit comprendre seulement des nombres entiers positifs.
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Quelques échos des expérimentations
• La transition arithmétique-algèbre se joue au cœur des situations et doit être sous la responsabilité des enseignants du primaire et du secondaire.– Exemple: situation devinette
• Amener les élèves à un changement de point de vue: voir une chaîne d’opérations comme une expression en soi (passage à une écriture horizontale)
• la réflexion ne porte plus sur la séquence d’opérations à effectuer mais sur la structure de la chaîne (expression)
• Les arguments deviennent basés sur les propriétés des opérations (arguments intellectuels) et non sur les résultats des calculs (arguments empiriques)
• l’emploi des parenthèses et la priorité des opérations, deviennent une nécessité et non une convention d’écriture imposée.
– Importance pour l’enseignant de soutenir ces passages
• provoquer la réflexion sur l’écriture horizontale, • provoquer les conflits provoqués par le passage à
l’écriture horizontale, • reformuler les formulations des élèves en utilisant
un langage «plus algébrique» (parler d’expression et non de chaîne d’opérations, par exemple)
• Provoquer des arguments intellectuels (basés sur les propriétés des opérations et non sur les valeurs numériques des calculs)
Situation Les chaînes du bijoutier (6e primaire, secondaire 1)
• Un bijoutier fabrique des chaînes formées avec des mailles de différentes formes. Une maille est composées de tiges (d’égales longueurs) et a une forme d’un polygone régulier (triangle, carré, etc.). Le but de l’activité est que, pour une forme de mailles données, les élèves doivent écrire un message au bijoutier lui expliquant combien de tiges il aurait besoin pour fabriquer une chaîne avec n’importe quel nombre de mailles.
• Exemples de tâches demandées aux élèves:– Chaînes formées de mailles carrées– Chaînes formées de mailles triangulaires– Chaînes formées de mailles hexagonales– Construction d’une chaîne personnelle– Défi: trouver une façon de calculer combien de mailles aurait une chaîne
formée de 121 tiges– Défi: cas d’une chaîne de mailles de forme quelconque
Mathematiqueps.blogspot.ca
Fichier: retour sur expérimentationExtraits vidéo
(20:00)9
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Pentaminos Découverte de la règle fonctionnelle
PRÉDICTIONS ET PENTAMINOS
But: Trouver un moyen
pour un nombre pour prédire le nombre qui va apparaître dans la case d’arrivée, étant donné un nombre dans la case de départ.
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Grille numérique
y–x=22
Déploiement d’actions à l’extérieur
Reflet interne des actions
Élève(s)
Opérations But
Artefacts Instruments
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Grille numérique
But, artefacts à actions extérieures
Répétition des actions àconstance des actions
à Système d’actions
Réflexion sur le système d’actions
à invariants mathématiques
à Description symbolique
à Invariants deviennent les objets des actions (actions intérieures) et les prototypes des actions potentielles
à Détachement des invariants du véhicule des actions
à Extension de leur domaine de référence
Le processus de généralisation: adapté de Dörfler (1991)
Quelques échos d’expérimentations auprès d’élèves
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Laquelle de ces formes et la plus difficile? Pourquoi?
y-x=+17
y-x=-19
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Ulysse Forme 2: «Augmente de 1, puis descend de 1, puis descend encore de 1 parce que chaque ligne c’est 10»
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Grille numérique
Forme 3: « - 2, + 10, + 10 »
Forme 7: «+ 17 »
Chaque déplacement est associé à un invariant. Les invariants et leurs descriptions restent attachés au véhicule des actions.
Un premier détachement de la grille (le véhicule des actions) dans la description des invariants; mais sans encore une réflexion sur les symboles décrivant les invariants.
Réflexion sur les symboles décrivant les actions; détachement des invariants et leurs descriptions du véhicule des actions.
42
Forme 3
Stella: «+18»
Compte le nombre de cases dans la grille entre la case de départ et la case d’arrivée.
Invariant: constance de l’écart entre le nombre de départ et le nombre d’arrivée. Le véhicule des actions n’est pas la forme mais les positions relatives des nombres de départ et d’arrivée dans la grille.
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Stratégie de Cassandre
Forme 3 : Cassandre fait seize lignes sur une feuille, puis les compte. 60
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Grille numérique Description symbolique des actions.
Véhicule des actions: positions relatives des cases entrée et sortie sur la grille et non les valeurs des nombres dans les cases.
Vers l’invariant: l’écart entre le nombre de départ et d’arrivé reste constant.
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David David : OK. Ben moi c’est comme je prends 12, OK. Je vais prendre mes chiffres c’est le 1. Je l’augmente de 2, alors ça me fait 3. Après je prends mon autre chiffre, qui est 2. À la place de faire plus 2, je fais moins 2 et ça me fait euh…
(ajoute 2 au chiffre des dizaines et enlève 2 au chiffre des unités.)
Construction des invariants par comparaison des écritures des nombres de départ et d’arrivée.
Le véhicule des actions: les cases de départ et d’arrivée; l’écriture des nombres dans ces cases.
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Grille numérique
Au jeu de la forme la plus difficile, David avance que la forme de la forme n’est pas importante. Seuls comptent en effet les écarts entre les chiffres des nombres des cases de départ et d’arrivée.
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Familles de systèmes d’actions utilisés par les élèves
=: une famille est une classe constituée des systèmes d’actions conduisant à l’abstraction des mêmes invariants mathématiques.
• F1: Déplacements horizontaux et verticaux sur la grille au voisinage de la forme. Stratégie décrite sous forme d’une chaîne d’opérateurs: +1, +10, +10, par exemple. Les invariants sont liés à la structure de la grille numérique.
• F2: Calcul du nombre de cases entre la case de départ et la case d’arrivée. L’invariant est la constance de l’écart entre le nombre de départ et le nombre d’arrivée quelque soit le nombre de départ sur la grille.
• F3: Comparaison des chiffres des unités et des chiffres des dizaines du nombre de départ et du nombre d’arrivée. Invariant: ces écarts sont constants quelque soit le nombre de départ. L’invariant est indépendant de la structure de la grille numérique.
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Conclusion 1. Importance du système d’action initial.
1. Il détermine d’une certaine façon la direction et le contenu de la généralisation (invariants)
2. il détermine le registre sémiotique pour décrire les actions, les opérations sur ces actions, les invariants ainsi que les explications
3. Les systèmes d’action sont déterminants dans la négociation de sens au cours des interactions
2. Un moment crucial est quand l’invariant ne sert plus uniquement à expliquer les cas spécifiques mais les cas potentiels.
3. Validation et généralisation
“Teachertrainingandnottheabili6esofchildrenwill,Ibelieve,betherealchallengeofearlyalgebra.”
LesleyLee
ICMI-AlgebraProceedings
MERCI !!!
Devinette 1
x 6 ÷ 3 ÷ 2 - + 7 – 4
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Nombrededépart
Nombrededépart
+6--4x9÷3÷3
Nombrededépart
Nombrededépart
L’emploidesparenthèseseposecommenécessité
