Cours 3 : Réponses harmoniques des systèmes linéaireso.sename/docs/cours3_2017.pdf · Cours 3 : Réponses harmoniques des systèmes linéaires Olivier Sename GIPSA-Lab Septembre

Cours 3 : Réponses harmoniques des systèmes linéaires

Olivier Sename

GIPSA-Lab

Septembre 2017

Olivier Sename (GIPSA-Lab) Rép. fréquentielles Septembre 2017 1 / 27

1 Principe

2 BodeIntroductionsystème du 1er ordretermes du 1er ordre2ème ordretermes du 2ème ordreIntégrateursRetard purcas des systèmes à déphasage non minimal

3 NyquistIntroduction1er ordre2nd ordreintégrateurExemplesTransfert en BF

4 Diagramme de Black/NicholsIntroduction1er ordre2nd ordre

O. Sename [GIPSA-lab] 2/27

Principe

Pourquoi réaliser une étude dans le domaine fréquentiel ?

Complémentarité approche temporelle / approche fréquentielle. Mais l’analyse fréquentielle estimportante pour

Analyse: • Analyse de stabilité des systèmes en boucle fermée : critère de stabilité deNyquist (stabilité des systèmes linéaires en BF à partir de la réponsefréquentielle du système en BO).

• Analyse de performances d’un système dynamique (précision, stabilité ...)• Analyse de la robustesse d’une loi de commande en boucle fermée en

présence d’incertitudes de modélisation

Modélisation: • Identification: détermination de la fonction de transfert de systèmescompliqués (à partir de données d’excitation sinusoïdale).

• Etude de la représentation sur une bande de fréquences donnée,correspondant au fonctionnement "réel" du système.

Commande: • "Loop-shaping": réglage d’un régulateur peut être effectué directement àl’aide d’un diagramme fréquentiel (dans Bode, Nyquist ou Nichols).

• Approche fréquentielle essentielle en commande robuste• Automatisation de la synthèse de régulateurs est souvent liée à une

optimisation effectuée dans le domaine fréquentiel.

La réponse fréquentielle

C’est la réponse en régime permanent à un signal d’entrée sinusoïdal


Principe

Principe: quels diagrammes à partir de la réponse fréquentielle?


G(p)

On montre, pour un système stable en régimepermanent, que la sortie du système s’obtientdirectement à partir de la fonction de transfert danslaquelle on remplace p par jω.

u(t) = Asin(ωt) =⇒ y(t) = Y sin(ωt+ φ)

avec

Y = A|G(jω)|, G(jω) = |G(jω)|ejφ

Le tracé de G(jω) lieu de transfert1 Diagramme de Bode : tracé de GdB(jω) = 20× log|G(jω)| et arg(G(jω)) en

fonction de ω... le plus simple pour la visualisation et la synthèse2 Diagramme de Nyquist : tracé de partie réelle de G(jω) et partie imaginaire deG(jω) dans le plan complexe ... vue complexe mais indispensable pour l’analyse dela stabilité et de la robustesse

3 diagramme de Black (ou Nichols) : tracé de |G(jω)| (en dB) en fonction deφ = arg(G(jω))... pratique pour les systèmes peu amortis

Ces représentations peuvent servir à la modélisation, à l’analyse des performances et dela stabilité d’un système (bouclé ou non) et à la synthèse de régulateurs.

Principe

A quoi servent-ils?

Diagramme de Bode

C’est LE tracé pour la visualisation du comportement fréquentielle d’un système dynamique. Ilpeut:• être réalisé pour un système réel à l’aide d’expérimentations• est généralisable aux systèmes non linéaires• être tracé, selon l’objectif, pour un système G seul (analyse de performances), pour un

transfert en Boucle Ouverte HBO (analyse de stabilité et réglage d’un correcteur), ou pour unsystème en Boucle Fermée HBF (analyse de performances).

Diagramme de Nyquist

Tracé pour le transfert de boucle HBO : dédié uniquement à l’analyse de stabilité et derobustesse (de fonctions complexes).

Diagramme de Black (ou Nichols)

Tracé pour le transfert de boucle HBO . Utile pour:• Visualiser l’intérêt du correcteur et le synthétiser par Loop Shaping• Déterminer les marges de Gain et de Phase


Bode Introduction

Tracé et caractéristiques du diagramme de Bode

• Diagramme asymptotique ("sketch of the plot") prenant en compte• ordre du système, présence d’un numérateur, d’un intégrateur, d’un retard pur, ...• ω → 0, ω →∞• ω liées aux paramètres des fonctions de transfert (τ ...)

• G(jω) = G1(jω)G2(jω)G3(jω)⇒ G(jω) = G1dB(jω) +G2dB(jω) +G3dB(jω)

• Bande passante (en automatique) : intervalle de fréquences pour lequel le gain ne diminuepas de plus de 3 dB par rapport à sa valeur l’origine (c-a-d par rapport au comportement enbasses fréquences).

Etude

• Système du 1er ordre• Termes du 1er ordre• Système du 2ème ordre• Termes du 2ème ordre• Intégrateurs• Retard pur• Notion de déphasage minimum / non minimum


Bode Introduction

Tracé et caractéristiques du diagramme de Bode

• Diagramme asymptotique ("sketch of the plot") prenant en compte• ordre du système, présence d’un numérateur, d’un intégrateur, d’un retard pur, ...• ω → 0, ω →∞• ω liées aux paramètres des fonctions de transfert (τ ...)

• G(jω) = G1(jω)G2(jω)G3(jω)⇒ G(jω) = G1dB(jω) +G2dB(jω) +G3dB(jω)

• Bande passante (en automatique) : intervalle de fréquences pour lequel le gain ne diminuepas de plus de 3 dB par rapport à sa valeur l’origine (c-a-d par rapport au comportement enbasses fréquences).

Etude

• Système du 1er ordre• Termes du 1er ordre• Système du 2ème ordre• Termes du 2ème ordre• Intégrateurs• Retard pur• Notion de déphasage minimum / non minimum


Bode système du 1er ordre

Diagramme de Bode d’un système du 1er ordre

G(p) =K

1 + τp⇒ G(jω) =

K

1 + jτω

|G(jω)| =|K|

√1 + τ2ω2

arg(G(jω)) = arg(K)− arg(1 + jτω)

arg(K) = 0 ou π suivant K > 0 ou K < 0. Dans la suite : K > 0

-20

-10

0

10

20

30

Mag

nitud

e (d

B)

1/τ

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Bode termes du 1er ordre

Les termes du 1er ordre: premier cas

G(p) = K1+τp

avec τ = 1 et K = 10

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

G(p) = K1+τp

avec τ = −1 et K = 10

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Bode termes du 1er ordre

Les termes du 1er ordre: deuxième cas

G(p) = K(1 + τp) avec τ = 1 et K = 10

20

30

40

50

60

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

G(p) = K(1 + τp) avec τ = −1 et K = 10

20

30

40

50

60

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

270

315

360

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Bode 2ème ordre

Diagramme de Bode d’un système du 2ème ordre

G(p) =K

1 + 2ξ pωn

+ p2

ω2n

⇒ G(jω) =K

1 + 2ξ jωωn− ω2

ω2n

|G(jω)| =|K|√

(1− ω2

ω2n)2 + (2ξ ω

ωn)2, arg(G(jω)) = arg(K)− arg(1−

ω2

ω2n

+ j2ξω

ωn)

On prendra K > 0.

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitud

e (d

B)

ωn

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Bode 2ème ordre

Phénomène de résonance - systèmes du 2ème ordre

• Pour certaines valeurs de ξ et dans certaines bandes de fréquence : |G(jω)| > |G(0)| ⇒Phénomène de résonance ou de surtension.

• La pulsation de résonance d’un système d’ordre 2 est la pulsation ωr pour laquelle |G(jω)|admet un maximum. Sur le diagramme des phases, existence d’une décroissance rapide.

ωr = ωn√

1− 2ξ2

Résonance uniquement si ξ < 0.7

• Le coefficient de surtension ou facteur de résonance pour un système du deuxième ordre :

Q =|G(jωr||G(0)|

=1

2ξ√

1− ξ2

• Bande passante:

ωB = ωn

√(1− 2ξ2) +

√4ξ4 − 4ξ2 + 2

pour 0.3 ≤ ξ ≤ 0.8, ωB ≈ (1.85− 1.196ξ)ωn

• Temps de réponse (5%): ts = 3ξ.ωn


Bode 2ème ordre

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ξ =1ξ = 0.1


Bode termes du 2ème ordre

-100

-50

0

50

10-2

10-1

100

101

102

-180

-90

0

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-50

0

50

100

10-2

10-1

100

101

102

0

90

180

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

100

90

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

10-180

-90

0P

hase

(de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Bode Intégrateurs

G(p) = Kpni avec K = 10

HdB = 20 ∗ log|K| − 20 ∗ ni ∗ log(ω)

arg(G(jω)) = ni ∗ (−π

2)

-100

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-90

0

90

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)O. Sename [GIPSA-lab] 14/27

Bode Retard pur

Fonction de transfert d’un retard pur de tR secondes : G(p) = e−jωtR

|G(jω)| = 1

arg(G(jω)) = −ωtR

Systèmes thermiques, hydrauliques et pneumatiques.


Bode cas des systèmes à déphasage non minimal

Systèmes à déphasage non minimal

• Un système est à déphasage non minimal quand sa fonction de transfert a un ou plusieurszéros ou pôles à partie réelle positive, ou un retard pur.

• Deux systèmes dont les fonctions de transfert diffèrent par la présence d’un ou plusieursdéphaseurs purs 1−ap

1+apont les mêmes courbes de gain mais des courbes de phase

différentes.• systèmes <(zi) > 0 : réponse indicielle particulière (à dérivée négative)


Nyquist Introduction

Tracé du diagramme de Nyquist

Il représente l’évolution en coordonnées polaires du nombre complexe G(s) lorsque s parcourt lecontour d’exclusion de Nyquist.

Le lieu de Nyquist est le lieu du vecteur :

|G(jω)|∠G(jω) quand ω varie de 0→∞

Une phase positive est mesurée dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre) àpartir de l’axe réel positif.


G

G

G

Nyquist 1er ordre

Nyquist - 1er ordre

G(jω) =K

1 + jωτ=

K√1 + τ2ω2

∠− arctan(ωτ)

K=10;tau=1;F=tf(K,[tau 1]);nyquist(F)


-2 0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 dB

-10 dB-6 dB

-4 dB

-2 dB

10 dB6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist 2nd ordre

Nyquist - 2nd ordre

G(jω) =K


ω2n

K = 1, ωn = 1, ξ = 0.7 et ξ = 0.4

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 dB

-20 dB

-10 dB

-6 dB

-4 dB-2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Nyquist intégrateur

Nyquist - Intégrateur

G(jω) =1

jω=−jω

=1

ω∠− 90◦

K=10Fint=tf(K,[1 0])nyquist(Fint)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

100 dB

-10 dB -6 dB -4 dB-2 dB

10 dB6 dB4 dB2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Nyquist Exemples

Exemples de tracé du diagramme de Nyquist


G1(jω) =1

jω(1 + τjω)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

20 dB -10 dB -6 dB -4 dB-2 dB10 dB6 dB4 dB2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

G2(jω) =e−jωtr

(1 + τjω)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-20 dB

-10 dB -6 dB-4 dB

-2 dB

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Transfert en BF

Nyquist et le Lieu de transfert en Boucle Fermée

actionneur

-

+Action

SystèmecapteurG

HBF =G

1 +G

Construction géométrique de cette relation pour déduire les propriétés de HBF de laconnaissance de G

• M : point représentatif de G(jω)

• A : point représentatif de (−1, 0)

• |HBF (jω)| = |G(jω)||1+G(jω)| =

MOMA

= λ




actionneur

-

+Action

SystèmecapteurG

HBF =G

1 +G

Construction géométrique de cette relation pour déduire les propriétés de HBF de laconnaissance de G

• M : point représentatif de G(jω)

• A : point représentatif de (−1, 0)

• |HBF (jω)| = |G(jω)||1+G(jω)| =

MOMA

= λ




-2 0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 dB

-10 dB

-6 dB

-4 dB

-2 dB

10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

M

A

O

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


Diagramme de Black/Nichols Introduction

Tracé du diagramme de Black/Nichols

Le diagramme de Black est une représentation cartésienne de:

G(jω) = |G(jω)|∠G(jω)

• en abscisse : la phase en degrés• en ordonnée : le gain en décibels• courbe graduée en ω (ou flèche indiquant les ω croissants)• sa détermination passe par le lieu de Bode

Intérêts:• performances du système bouclé à retour unitaire à partir de la réponse harmonique du

système en BO: mesure du gain statique en BF, valeur maximale du gain en BF et pulsationde résonance, pulsation de coupure (bande passante) à −3dB

• mesure rapide de la marge de gain, marge de phase du système en BO


Diagramme de Black/Nichols Introduction

diagramme de Black/Nichols


Diagramme de Black/Nichols 1er ordre

Black/Nichols - 1er ordre

G(jω) =K

1 + jω=

K√1 + τ2ω2

∠− arctan(ωτ)

K=10;tau=1;F=tf(K,[tau 1]);nichols(F)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)


Diagramme de Black/Nichols 2nd ordre

Black/Nichols - 2ème ordre

G(jω) =K


ω2n

K = 1, ωn = 1, ξ = 0.1, ξ = 0.4, ξ = 0.7 et ξ = 2

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB -6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)


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