Cours 4: Le sens de la metrique 1

Cours 4. Geometrie d’une surface courbe,

geometrie d’un espace-temps courbe, le

trou noir de Schwarzschild ! Dilatation du

temps gravitationnelle

Cours 4: Le sens de la metrique 2

Resume du cours d’aujourd’hui

– Resume du dernier cours sur la metrique, le produit scalaire, la

transformation des coordonnees d’un tenseur.

– Interpretation physique de la metrique.

– Exploration de la geometrie d’une sphere.

– Exploration de la geometrie de Schwarzschild.

Cours 4: Le sens de la metrique 3

Resume du dernier cours sur le calcul

vectoriel sur une variete

pseudo-riemannienne

– Tous les vecteurs en quatre dimensions peuvent etre ecrives

comment :~V = a~e0 + b~e1 + c~e2 + d~e3 = V α ~eα

ou les ~eα sont les vecteurs de bases et V α sont les composants

contravariants.

– Si nous changeons les vecteurs de bases, le vecteur ne change pas

mais les coordonnees nouvelles, xα′, sont liees a les coordonnees

ancients, xβ , par une transformation lineaire :

xα′

= Λα′

βxβ

Cours 4: Le sens de la metrique 4

ou la matrice de transformation est donnes par

Λα′

β =∂xα

′

∂xβ

– Les mathematiques de RR sont plus belles que ceux de

mecanique newtonnienne. Comparons un changement de

referentiel inertiel dans lequel un observateur se deplace le long

de l’axe X a un vitesse constante v. Dans la mecanique

newtonnienne, ca implique un changement des vecteurs de

position, de vitesse, d’impulsions etc. Il sont liees par une

transformation de Galilee. Mais de la RR c’est simpliement un

changement des vecteurs de bases ! Et donc tous les

quadrivecteurs ne changent pas, mais bien sur les coordonnees

Cours 4: Le sens de la metrique 5

changent par une transformation lineaire de Lorentz :

(Λα′

β) =

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ou,

β =v

c,

γ =1√

1− β2. (1)

– On peut utiliser les vecteurs de bases daux ωα aussi pour la base,

~V = V α~eα = Vαωα

ou Vα sont les composants covariants.

– Les composants covariants se transform sous un changement de

Cours 4: Le sens de la metrique 6

base comme les vecteur de base.

– On peut aisement se rappeler les transformations par l’idee

d’equilibrer des indices :

Vα′ = Λβα′Vβ =∂xβ

∂xα′ Vβ

~eα′ = Λβα′~eβ (2)

– On prend le produit scalaire avec le tenseur metrique :

~A · ~B = g( ~A, ~B) ≡ gαβAαBβ

– Le tenseur metrique joue le double role d’encoder la geometrie et

de nous dit comme faire le produit scalaire.

– Une autre definition du tenseur metrique est

gαβ ≡ ~eα · ~eβ

– Dans une variete riemannienne, l’element lineaire est vraiment

Cours 4: Le sens de la metrique 7

une distance comme nous avons vu pour la sphere :

ds2 = r2sdθ

2 + r2s sin2θ dφ2

– Dans une variete Lorentzienne, l’element lineaire est la limite

infinetesimale de l’intervale de RR

lim∆s→0

∆s2 = ds2

Cours 4: Le sens de la metrique 8

La sphere est courbe

– Metrique pour la sphere :

ds2 = r2sdθ

2 + r2s sin2θ dφ2

– Le rayon d’un cercle, rc :

ds2∣∣φ

= r2sdθ

2

ds∣∣φ

= Rsdθ

rc =

∫ θc

0

ds∣∣φ

= Rsθc. (3)

Cours 4: Le sens de la metrique 9

– Le perimetre d’un cercle, pc :

ds2∣∣θ

= r2s sin2θc dφ

2

ds∣∣θ

= Rs sin θc dφ

pc =

∫ 2π

0

ds∣∣θ

= 2πRs sin θc. (4)

– Rapport :

pcrc

= 2πsin θcθc

< 2π. (5)

Cours 4: Le sens de la metrique 10

Autre manifestation de la courbure

– Le plus grande cercle sur la sphere, θc = π2 , s’appelle « grand

cercle ». Par exemple l’equateur ou un meridien (une ligne de

longitude sur le Globe).

– Les grands cercle sont les generalisations des droites pour

geometrie riemannienne ; ils sont les geodesiques.

– Deux meridiens sont paralleles a l’equateur, mais se croisent au

pole Nord a l’exception du cinquieme postulat d’Euclide.

– Les geodesiques jouent un role tres important. L’espace-temps dit

a la matiere comment elle doit bouger. Une particule libre (en

l’absence de toute force electromagnetique ou nucleaire) suit une

geodesique.

Cours 4: Le sens de la metrique 11

Courbure de l’espace-temps autour d’un

trou noir de Schwarzschild

– La metrique de Schwarzschild

ds2 = (1 + 2Φ)dt2 − (1 + 2Φ)−1dr2 − r2(dθ2 + sin2θ dφ2), (6)

ou Φ = −GM/c2r, G est la constante newtonienne, c la vitesse

de la lumiere, M la masse. Donc Φ est comme le potentiel

gravitational sauf que le fait que r n’est pas la distance au centre,

c’est juste la coordonnee radiale. Ces coordonnees de

Schwarzschild sont comme les coordonnees spherique : 0 ≤ θ ≤ πet 0 ≤ φ ≤ 2π sont les coordonnees angulaires ; r est la

coordonnee radiale ; t est la coordonnee temporelle.

– Mais dt n’est pas un intervalle de temps, et dr n’est pas une

petite distance. Il faut utiliser la metrique pour definir les

Cours 4: Le sens de la metrique 12

intervalles physiques. On va voir bientot !

– Considerons la sous-variete r = Rs, t = t0. On a

dl2 ≡ −ds2∣∣Rs,t0

= R2s(dθ

2 + sin2θ dφ2). (7)

– Remarquez-vous que l’intervalle (au carre) peut etre negatif ou

positif. Quand il est negatif nous disons que il est « du genre

espace » ; l’intervalle positif est « du genre temps ».

Cours 4: Le sens de la metrique 12-1

Table 1 – Interpretation physique de l’intervalle

ds2 < 0, dl =√−ds2

dl = distance propre

dl = distance on mesure avec une regle

ds2 > 0,√ds2 = dτ

dτ = temps propre

dτ = temps on mesure avec une horloge

Les mesures en RR et RG sont effectuees avec des horloges et

des regles au repos. En fait, on define un referentiel comme un

essemble d’observateurs chaqun portant une horloge et une regle

avec lesquelles il fait sont mesures.

Cours 4: Le sens de la metrique 13

Geometrie de Schwarzschild est spherique

symetrique

– C’est claire a partir de Eq. (7) que les surfaces obtenues avec

t = t0, r = Rs sont les spheres. Pourquoi ? Rappelez-vous que

toutes les informations geometriques sont continues dans la

metrique et donce l’element lineaire. Et d’ailleurs nous savons la

metrique de la sphere a la forme de Eq. (7).

– Nous dissons que l’espace-temps ou geometrie de Schwarzschild

est symetrique spherique. En effet, on peut presque trouver la

metrique Eq. (6) cherchant les espace-temps qui sont

independents du temps et symetriques spherique. C’est la piste

normalement utilisee pour introduire l’espace-temps de

Schwarzschild (Hobson et al., 2010, §9.1) ou (Schutz , 2009, §10.1

et §10.2).

Cours 4: Le sens de la metrique 14

Geometrie de Schwarzschild : sens de r

– On peut calculer la surface des spheres utilisant l’element lineaire

dl2 en Eq. (7).

A =

∫ π

0

∫ 2π

0

dl2 =

∫ π

0

∫ 2π

0

R2s(dθ

2 + sin2θ dφ2)

= R2s4π. (8)

– Attention ! ! Malge la familiaritee de cet expression, on ne peut

pas dire que Rs est la distance au centre de la sphere ! Les

distances sont definis par un integral de la racine carree de

l’intervalle du genre espace ; voir Table 1 ci-dessus. En effet, pour

le trou noir de Schwarzschild il y a un singularite de coordonnee

Cours 4: Le sens de la metrique 15

a r = rs ≡ 2MG/c2 ou

grr = (1 + 2Φ)−1 =1

1− 2MGc2rs

=∞

– La sphere r = rs est l’horizon de trou noir de Schwarzschild. Si

vous traversez cette sphere vous ne pouvez pas resortir. Meme la

lumiere ne peut pas echapper l’interieur de l’horizon d’un trou

noir.

– Restons a l’exterieur de l’horizon ! (L’analyse a l’interieur de

l’horizon est bizarre car r devient une coordonnee du genre

temps et t devient une coordonnee du genre espace !).

Cours 4: Le sens de la metrique 16

L’espace-temps de Schwarzschild est

courbe

– On peut trouver les spheres dans l’espace plat (espace euclidien

ou espace-temps de Minkowski a un instant du temps). Nous

l’avons deja fait en cours 3 ! Et donc jusqu’a maintenant c’est

n’est pas claire que l’espace est courbe autour d’un trou noire de

Schwarzschild.

– Comparons la surface de deux spheres avec coordonnee radiale

r = R > rs et r = 2R. La surface de la deuxieme est 4 fois la

premiere :A2

A1=

4(2R)2π

4R2π= 4.

– Dans l’espace plat, ca implique que la distance entre les deux

spheres est R. Mais dans l’espace-temps de Schwarzschild la

Cours 4: Le sens de la metrique 17

distance est :∫ 2R

R

√−ds|t,θ,φ =

∫ 2R

R

√−grrdr =

∫ 2R

R

1√1 + 2Φ

dr 6= R.

– L’espace dans l’espace-temps de Schwarzschild est courbe.

– La courbure d’espace n’est pas comme une sphere – c’est plutot

comme un chapeau.

Cours 4: Le sens de la metrique 18

Figure 1 – Plongement du plan equatoriel coupant la terre. Il y a

juste deux dimensions d’espace montre. L’hauteur est une dimension

imaginaire pour montrer la courbure.

Cours 4: Le sens de la metrique 19

Explication qualitative

– Imaginez-vous que la Terre est homogene, spherique, et qu’elle ne

tourne pas. La geometrie autour d’elle serait celle de

Schwarzschild. Et la geometrie ne change pas avec le temps ; elle

est permanente et figee comme une statue. En fait, le trou noir

de Schwarzschild a la meme geometrie en dehors de l’horizon.

– On peut mettre en evidence la courbure d’un tranche d’espace ou

d’espace-temps a deux dimensions avec la cartographie.

– On a vu que la sphere est courbe. Si je coupe la sphere en deux

morceaux et que je mets les deux morceaux sur une surface plate,

ils ne restent pas plats sur la surface. Si je le coupe en 4

morceaux, c’est toujours la meme situation.

– Si je le coupais en beaucoup de morceaux, j’aurais les morceaux

tres minces. Je n’ai pas change la courbure de chaque morceau

Cours 4: Le sens de la metrique 20

mais et j’arriverais a les aplatir avec minimum distorsion ! Je vais

utiliser cette idee tout a l’heure !

– Ce n’est pas le cas avec le cylindre. Je peux le couper une seule

fois, le derouler, et il devient parfaitement plat.

– Pour la surface d’une sphere je peux continuer de la couper en

plusieurs morceaux jusqu’a ce qu’ils paraissent plats, meme si la

courbure reste la meme que la sphere de depart. Et ca c’est vrai

pour n’importe quelle surface en deux dimensions si la surface est

lisse. Une surface lisse a une courbure finie ; il n’y a pas de

singularite.

– La courbure des bords des morceaux met en evidence la courbure

globale de la surface. Pour reconstruire la surface globale, il faut

mentalement «recoudre» les bords, sans detendre la surface, c’est

a dire ne pas changer la distance entre les points.

Cours 4: Le sens de la metrique 21

Figure 2 – Qu’est-ce qu’il y a dans l’espace blanc sur la carte ? Par

exemple, l’espace entre les deux cotes de Groenland ? Rien ! C’est du

neant ! La surface de la terre consiste uniquement en la region coloree

de la carte !

Cours 4: Le sens de la metrique 22

Courbure d’espace a 3 dimensions

– Rappelez-vous que nous parlons de la surface, une chose en deux

dimensions. Nous avons, juste pour l’instant, imagine que la

troisieme dimension d’espace n’existe pas. Bien entendu c’est

normal d’imaginer la surface courbe dans la troisieme dimension,

mais ce n’est pas necessaire de reintroduire la troisieme

dimension quand on recoud les bords des morceaux.

– Ca c’est le grand effort d’imagination qu’on doit faire pour

comprendre la courbure d’espace.

– Quand vous etes a l’aise avec cette idee de la courbure pour

l’espace en deux dimensions, vous devez simplement faire

exactement pareil pour l’espace en trois dimensions. C’est a dire,

vous devez imaginer qu’il est possible d’avoir une courbure dans

l’espace a trois dimensions. Je ne peux pas facilement le dessiner,

Cours 4: Le sens de la metrique 23

mais ce n’est pas important.

Cours 4: Le sens de la metrique 24

Le temps dans l’espace-temps de

Schwarzschild est courbe

– Le phenomene de la dilation du temps gravitationnelle est du a

la courbure du temps.

– Les italiens ont mesure la dilatation du temps gravitationnelle

avec des horloges atomiques tres precises en 1977. Deux horloges

cesium identiques ont ete comparees.

– Une etait a Plateau Rosa a 3500 m d’altitude, l’autre a Turin a

250 m d’altitude. L’horloge a Plateau Rosa a gagne environ

trente et une nano secondes par jour sur l’horloge a Turin (Scott ,

2015; Briatore and Leschiutta, 1977).

Cours 4: Le sens de la metrique 25

Explication qualitative

– Souvent on dit que le temps coule plus vite en haute altitude, ou

on dit que les horloges se ralentissent pres du centre de la

planete. Mais nous allons voir tout a l’heure que ce n’est pas

exactement ca. C’est plutot qu’il y a davantage du temps a

mesurer en haut altitude. Bien sur ca vaut une explication.

Cours 4: Le sens de la metrique 26

Courbure d’espace-temps

– L’effort final d’imagination est de realiser que le temps est la

quatrieme dimension d’espace-temps ; l’espace-temps peut etre

courbe !

– Je peux le visualiser avec un diagramme en deux dimensions :

une dimension d’espace et une dimension de temps. Je vais le

faire pour l’espace-temps proche de la terre. C’est similaire pour

un trou noir de Schwarzschild.

Cours 4: Le sens de la metrique 27

4000m

3000m

2000m

250m

1000m

0 1 2 3 4 5 6 7temps

altitud

e

Figure 3 – Tranche d’espace-temp, hauteur vs. temps, dans l’espace-

temps de Schwarzschild. Ca applique proche de la surface de la terre.

Cours 4: Le sens de la metrique 28

Courbure d’espace-temps

– Dans le diagramme, la region coloree, c’est-a-dire les trois

morceaux en forme de banane, est une tranche d’espace-temps a

deux dimensions. (Les directions de longitude et de latitude ne

sont pas representees.) Le temps est courbe ! La courbure des

bords des morceaux met en evidence la courbure du temps. Bien

entendu j’ai beaucoup exagere leurs courbures dans ce

diagramme.

– Les deux lignes sont les ”lignes d’univers” des deux horloges dans

l’experience dans les Alpes italiennes. La ligne verte a deux cent

cinquante metres represente la ligne d’univers d’horloge qui reste

a Turin. La ligne rouge monte au debut, atteint 3500 m pour

quelques heures, et puis descend jusqu’a 250 m ; c’est la ligne

d’univers de la deuxieme l’horloge. La deuxieme horloge a passe

Cours 4: Le sens de la metrique 29

plus du temps entre le debut et la fin de cette experience parce

que la banane est plus epaisse en haute montagne.

– Les morceaux de banane sont presque des morceaux d’un

diagramme de Minkowski. Les horloges se deplacent l’une par

rapport a l’autre a une vitesse toujours tres inferieure a celle de

la vitesse de la lumiere. Donc ce n’est pas necessaire de rendre

compte des effets de relativiste restreinte.

– Le bilan : le temps est courbe autour de la Terre. Cela implique

une dilatation du temps gravitationnelle. Les horloges a haute

altitude mesurent davantage de temps que les horloges a basse

altitude meme car il y a davantage du temps la a mesure !

– La gravitation n’a aucun effet sur la foncitonnement des horloges.

Cours 4: Le sens de la metrique 30

Dilatation du temps gravitationnelle :

calculs quantitatifs

– Ingorons la partie de la tranjectoire (rouge) quand l’horloge a

monte la montagne ; considerons juste le mesurement du temps

quand les horloges ont une coordonnee radiale fixe.

– La duree mesure entre deux valeurs de coordonnee temporelle

t = t1 et t = t2 est

∆τ =

∫ t2

t1

dτ =

∫ t2

t1

√ds2∣∣r,θφ

=

∫ t2

t1

√gttdt2 (9)

=

∫ t2

t1

√1− 2MG

c2rdt =

√1− 2MG

c2r(t2 − t1). (10)

– Donc le rapport pour l’horloge a Plateau Rose, r = rB , et

Cours 4: Le sens de la metrique 31

l’horloge a Turin, r = rA est :

∆τ(rB)

∆τ(rA)=

√1− 2MG

c2rB√1− 2MG

c2rA

> 1, (11)

≈ 1 +g

c2(3500− 250). (12)

Cours 4: Le sens de la metrique 32

References

Briatore, L., and S. Leschiutta (1977), Evidence for the earth

gravitational shift by direct atomic-time-scale comparison, Il

Nuovo Cimento B Series 11, 37 (2), 219–231,

doi :10.1007/BF02726320.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite

Generale, de boeck, Bruxelles.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.

Scott, R. B. (2015), The consistency between the equivalence

principle and gravitational time dilation : Do clocks really slow

down ?, Found. Phys., p. under review.