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Exemple de representation fractale de lalamination attractive d’un automorphisme de

groupe libre

Anne Siegel (Irisa, CNRS, Rennes)P. Arnoux (IML), V. Berthe (LIRMM), A. Hillion (LATP)

ENS Lyon, Avril 2006

A. Siegel: Representation des morphismes de groupes libres

Historique

Suites symboliques: mieux comprendre la dynamique decertaines appplications.

Codage des orbites d’un systeme dans une partition finie bien choisie

Partitions de Markov

Suite de Morse (1920). Geodesique non fermee recurrentedans des surfaces connexes a courbure negative constante

point fixe de la substitution 0 → 01, 1 → 10

Systeme auto-induit: le systeme est conjugue a son applicationde premier retour dans un sous-ensemble bien choisi.

Combinatoire decrivant un systeme auso-induit ?


Exemple d’auto-induction: addition du nombre d’or

Nombre d’or: α2 = α + 1

Theoreme L’addition du nombre d’or est conjuguee a son premierretour sur le plus grand intervalle de continuite

(deux echanges d’intervalles dont les rapports des longueurs valentφ sont identiques)


Exemple d’auto-induction: Echange de morceaux

Nombre de Tribonacci: α3 + α2 + α = 1

Six intervalles du cercle: J1 = [0, α/2[, J2 = α/2 + J1, K1 = α + [0α2/2[,

K2 = α2/2 + K1, L1 = α + α2 + [0, α3/2[, L2 = α3/2 + L1[.

Dynamique: permutation des intervalles identiques + demi-tour.J1 → J2 + 1/2 K1 → K2 + 1/2 L1 → L2 + 1/2J2 → J1 + 1/2 K2 → K1 + 1/2 L2 → L1 + 1/2

Theoreme [Arnoux] L’echange d’intervalle est conjugue a sonpremier retour sur J1 ∪ J2.

(conjugaison: x → αx + α+α4

2 mod α)


Combinatoire sous-jacente ? Substitution

Substitution: morphisme de monoıde libre

σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 1

Point fixe (ou periodique): iterations successives de σ.

1 7→ 12 7→ 1213 7→ u = 121312112131212131211213 . . .

Matrice d’incidence: nombre de lettres dans les images.

M =

1 1 11 0 00 1 0

Proprietes algebriques

Primitive: ∃ n, Mn > 0Pisot: la valeur propre dominante est un nombre PisotType Pisot: la valeur propre dominante est un nombre de Pisotet les autres valeurs propres sont ses conjugues.Unimodulaire: detM = ±1


Dynamique symbolique

Systeme dynamique symbolique d’une substitution primitive:

orbite d’un des points periodiques Xσ = {Snu, n ∈ N}

dynamique donnee par le decalage S

Theoreme (Xσ,S) est minimal uniquement ergodique


Autosimilarite et substitutionsIdee: un systeme auto-similaire est (presque toujours) decrit parune substitution.

Codages respectifs01 0 01 01 0a b a a b

Passage du codage par l’induit au codage parl’addition:σ(a) = 01; σ(b) = 0.

Le codage de φ est le point fixe de σ.

Theoreme L’addition par le nombre d’or est

semi-conjugue au systeme substitutif de

Fibonacci: le codage symbolique est continu,

surjectif, injectif sauf sur un ensemble

denombrable


Combinatoire de l’echange de six intervalles

Substitution de Tribonacci: 1 → 12, 2 → 13, 3 → 1.

Theoreme L’echange de six intervalles est semi-conjugue ausysteme substitutif de Tribonacci: le codage symbolique estcontinu, surjectif, injectif en mesure


Fractals de Rauzy: Definition

Question inverse: Trouver une dynamique autosimilaire codee parune substitution Pisot unitaire fixee?

1. Construire l’escalier associeau point fixe

2. L’escalier reste pres de ladirection dilatante (condition

type Pisot)

3. Projection des sommets de la lignebrisee sur le plan contractant

4. Adherence

5. La couleur des points correspond al’arete entrante sur le sommet


Fractals de Rauzy: Exemples


Dynamique de translation sur le fractal de Rauzy

Autre partition du fractal: couleur de l’arete sortante (au lieu del’arete entrante)

Echange de morceaux: translation par les projections des vecteurscanoniques sur chaque morceau du fractal. Stabilise le fractal.

Fortes coincidences: les pieces sont disjointes en mesure.∀ b1, b2, ∃ a, σn(b1) = P1 a S1, σn(b2) = P2 a S2,

P1 et P2 contiennent les memes lettres.

Theoreme (Host, Arnoux-Ito). Sous la condition de fortescoıncidences, l’echange de morceaux sur le fractal de Rauzy estconjugue en mesure au systeme symbolique (Xσ,S).


Echange de six intervalles

Le systeme substitutif de Tribonacci est conjugue a la fois a

l’echange de six intervalles sur le cercle

un echange de morceaux sur le fractal de Rauzy

Plongement surjectif du cercle dans le fractal de Rauzy


Partition de Markov et representation d’un feuilletageThurston, Veech, Arnoux...

Echange de six intervalles

Surface compacte connexe sans bord degenre 3

Suspension en un feuilletage mesureoriente (deux selles a six branches)

[0, α] se releve en une courbe fermeetransverse

Application de premier retour estl’echange de six intervalles

Feuilletage invariant par un diffeopseudo-Anosov

Realisation geometriqueexplicite de la conjugaison surl’homologie entre un diffeopseudo-Anosov et unautomorphisme de memematrice.

Rauzy, Arnoux...

Echange de morceaux dans le fractal deRauzy

On etend les pieces en cylindres

Domaine fondamental de Z3

Feuilletage par les verticales.

Le premier retour sur le fractal estl’echange de morceaux.

Partition de Markov pour unautomorphisme hyperbolique (matrice dela substitution)


Etude des homeo de surfaces?

Etude des homeomorphismes de surfaces: Nielsen, Thurston...

Codage en un automorphisme du groupe fondamental de la surface

Groupe libre si la surface a un bord non vide.

Etude de la dynamique a isotopie pres: train-track [graphes plonges dans lasurface]

Geometrie: les train-track de surface sont structures autour de chaque sommetpar un ordre cyclique provenant du fait que le graphe est localement planaire.

Feuilletage mesurable associe a un train-track de surface.

Oublier le point de vue geometrique: train-track “symboliques”

Quelle est la dynamique symbolique associee?


Definitions et problemes

Groupe libre Fn =< a1, . . . an >; Mots reduits: w = w0 . . .wn,wi+1 6= wi

Automorphisme: Aut(FN)

Automorphismes positifs: extension de substitutions sur un monoideengendrant Fn.

Automorphismes exterieurs: a conjuguaison par un automorphismeg → wgw−1 pres.

Iwip (irreductible et aux puissances irreductibles): aucun facteurlibre n’est envoye par l’automorphisme et ses puissances sur unconjugue du facteur.

Problemes: pas de point fixe par iteration (annulations); pas debase canonique.


Train-tracks representations

Representation topologique d’un automorphisme exterieur ΦApplication f : G → G , G graphe marque (graphe + equivalenced’homotopie τ : RN → G)L’image d’un sommet est un sommetL’image d’une arete ne contient pas d’annulations

f induit Φ sur Fn ' π1(G , τ(?))

Train-trackG n’a pas de sommet de valence 1 ou 2

pour toute arete e, f n(e) ne contient pas d’annulation.Exemples triviaux: toute substitution sur N lettres est representee par untrain-track sur la rose.

Contre-exemple: a 7→ c, b 7→ c−1a, c 7→ c−1b (inverse de Tribonacci).

(c → c−1b → b−1cc−1a = b−1a).

Theoreme [Betsvina-Handel] Tout automorphisme exterieur iwip admetun train-track pour representant topologique

Train-track pour l’inverse de Tribonacci: A 7→ DC ,B 7→ D−1A, C 7→ B, D 7→ C−1.


Iwip = primitif ?

Le contexte iwip est le bon contexte pour faire des iterations maisil n’est pas equivalent a la primitivite dans le cas substitutif

Si la valeur propre dominante de la matrice de transition durepresentant topologique d’un iwip est minimale, alors c’est untrain-track.

Si la matrice de l’abelianise a un polynome caracteristiqueirreductible, alors on a un automorphisme iwip.

Si une substitution s’etend a un iwip, alors elle est primitive

Reciproque fausse: a → bac , b → ba, c → ca fixe bc−1.


Notion de suites infinies?Etude de la dynamique d’un automorphisme du groupe libre? Recherchedes points fixes sur le bord.

FN est un groupe hyperbolique: son bord de Gromov ∂FN existe.

Si une base est fixee, ∂FN est l’ensemble des suites infinies a droite sansannulations (topologie discrete)

Representation: chemins infinis dans l’arbre reel.

Lamination algebrique: ferme de l’ensemble des lignes bi-infinies∂FN × ∂FN \ {(x , x} invariant par decalage et inversion.

Tout automorphisme φ de FN s’etend en un homeo ∂φ de ∂FN (les annulationssont bornees).

L’image d’une lamination par un automorphisme exterieur est une lamination.

Theoreme [Betsvina-Haendel] Toute automorphisme exterieur iwip admetune lamination stable par l’automorphisme. Le langage de cettelamination dans n’importe quelle representation est l’ensemble des motifsapparaissant dans l’image d’une arete.


Systeme dynamique associe ?

Substitution double d’un train-track f : l’ensemble des aretes et de leurs inversesforment un alphabet A. Le train-track est code en une substitution.

La substitution double de a 7→ c, b 7→ c−1a, c 7→ b estσ : a 7→ c, b 7→ c−1a, c 7→ b, a−1 7→ c−1, b−1 7→ a−1c, c−1 7→ b−1.

Invariant par le flip Θ.

Substitution orientable: il existe un sous-ensemble de A qui partitionne A endeux et est stable ou disjoint de son image par σf .

Primitivite et orientabilite: La substitution double est primitive ssi σf estnon-orientable.

Orientabilite et geometrie: Un automorphisme iwip sur un groupe libre de rangimpair n’est jamais realise par un diffeo d’une surface orientable.

Proposition. La lamination attractive d’un automorphisme exterieur iwip

dans les coordonnees donnee par un representant train-track f est le

systeme dynamique symbolique associe a la substitution double σf . Ce

systeme est minimal et invariant par le flip ssi σf est nonorientable.


Representation geometriqueResume: Un automorphisme exterieur Φ iwip nonorientable contient une dynamiquesubstitutive minimale, qui represente la lamination attractive de Φ du bord du groupelibre.

La valeur propre dominante de la matrice de la substitution double est lecoefficient de dilatation λ de ΦSi Pisot, on construit un escalier et donc un fractal de Rauzy.Vit dans un espace de dimension d − 1, ou d est le degre de λContient 2k pieces, ou n est le nombre d’aretes du grapheLes pieces sont regroupees deux a deux.Symetrie centrale

Morphisme sur 5 lettres, traintrack, coef de dilatation dedegre 3

Morphisme sur 3 lettres, traintrack. Coef de dilatation dedegre 3.

Morphisme sur 3lettres. Train-tracksur 4 aretes. coefde dilatation dedegre 4


Echange de morceaux

Theoreme. Le decalage sur la lamination attractive d’un automorphismeexterieur d’un groupe libre iwip dont le coefficient de dilatation est unnombre de Pisot unitaire est isomorphe en mesure a un echange demorceaux dans un fractal de Rauzy.

Theoreme. Les laminations attractives de train-track fixes pour φ1 :a 7→ c , b 7→ c−1a, c 7→ b et φ2 : a 7→ c , b 7→ c−1a, c 7→ bc−1 sont aspectre discret. Elles sont isomorphes en mesure a une translation sur letore de dimension 2.

Signification en termes geometriques?


Invariance par le choix du train-track?

Fractals de Rauzy pour des automorphismes de groupes libres(orientables) conjugues

Quels sont les invariants a conjugaison pres? La propriete despectre discret est-elle invariante? Differentes sections d’une memesuspension?


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