Cours 6 La Notation Differentielle

7/23/2019 Cours 6 La Notation Differentielle

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IUT Orsay Cours du

Mesures Physiques 1ersemestre

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La notation diffrentielle

A. Cas dune fonction une variable.

A-I. Rappel sur la drive

On utilise une fonction f dont la reprsentation graphique est sans coupure et sans

coude On construit la scante la courbe C reprsentant f passant par les points0

M et

hM dabscisses respectives 0x et 0x h+ .

Cette scante a pour coefficient directeur 0 0( ) ( )

( ) f x h f x

a hh

+ = .

On fait tendre h vers 0 et on observe que :

hM glisse sur la courbe en sapprochant de 0M

tourne autour de0

M en sapprochant de la position tangente fC en 0M

( )a h devient 0 00

( ) ( )limh

f x h f x

h

+ qui est le coeff. directeur de la tangente fC en 0M

On dfinit alors la fois la tangente et la drive

Dfinitions :

Si f est une fonction dfinie dans un intervalle contenant0

x , on appelle nombre driv

de f en0

x , le nombre 0 00

( ) ( )limh

f x h f x

h

+ sil existe.

La fonction qui, tout x de lensemble de dfinition de f associe , sil existe, le nombre

driv de f est appele fonction drive de f et est note 'f . Lorsque le nombre

driv de f en x existe, il est donc not 'f (x).

Si f est une fonction dfinie dans un intervalle contenant0

x , et si le nombre driv de

f en0

x existe, alors la droite passant par ( )0 0 0; ( )M x f x et dont le coefficient directeur

est le nombre driv est appele tangente C en0

M .

Remarque :

Puisque, avec les notations prcdentes on a0

0'( ) lim ( )

hf x a h

= on peut crire :

0( ) '( ) ( )a h f x h= + o0

lim ( ) 0h

h

=


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Attention : signe qui se lit quivalent ne pas confondre avec qui

se lit voisin de .Par exemple, on peut crire 0,01 0 mais jamais 0,01 0.

A-II. Variation vraie et variation estime

Soit f une fonction drivable dans un intervalle contenant0

x et0

x h+ .

On appelle variation vraie de f entre les antcdents0

x et0

x h+ le nombre y tel que :

0 0( ) ( )y f x h f x = +

On appelle variation estime de f entre les antcdents0

x et0

x h+ le nombre y tel que :

0

'( ).y f x h =

Exemple : On utilise la fonction

2

( )f x x=

avec 0 1x =

et 0,1h=

. La variation vraie est 2 2

0 0( ) ( ) (1,1) (1) 0, 21y f x h f x = + = =

La variation estime est 0

'( ). 2 0,1 0, 2y f x h = = =

Lintrt de cette notion de variation estime est vident pour les grandeurs qui voluent enfonction du temps lorsquon veut prvoir la valeur pour un instant futur. Par exemple, on peuttenter de prvoir la temprature en un lieu demain ou tenter de prvoir le cours du $ parrapport l dans deux jours Bien entendu, on ne peut prvoir que ce qui relve dun futur proche cest dire pour des valeurs de h proches de 0.

Toutes ces prvisions reposent sur lide simple que dune part,

0 0( ) ( )y f x h f x = + donne

0 0( ) ( )f x h f x y+ = +

et que dautre part, si y est proche de y alors

0

'( ).y f x h = donne 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) '( )f x h f x y f x f x h+ + +

Il reste prciser ce que signifie y est proche de y cest la notion de grandeurs

quivalentes dj aperue dans les exercices du chapitre 2, ex-BI :

Si 0h et si0

'( )f x est non nul, on a y y cest dire0

lim 1h

y

y

=

On sen assure :


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0 0

0 0 00 0

0

0 00 0

( ) ( ) ( )lim lim lim

'( ) '( )

'( ) ( ) ( )lim lim 1 1

'( ) '( )

h h h

h h

f x h f xy a h h

f x h f x hy

f x h h

f x f x

+ = =

+= = + =

A-III. Variable choisie et variable mesure

Dans une exprience de physique, on distingue les variables choisies et les variables mesures . Par exemple, en mcanique on peut choisir la masse accroche un ressort etmesurer son allongement en lectricit on peut choisir la tension aux bornes dun circuit etmesurer lintensit qui le traverse.

Lorsquune variable est choisie, on admet que sa variation vraie est gale sa variation

estime. Autrement dit, si x est une variable choisie on a x x = .

Evidemment pour une variable mesure ceci est tout fait faux Si y est une variable

mesure en fonction de x , alors y y

On peut approximativement confondre la notion de variable choisie avec la notion dantcdentpour une fonction et la notion de variable mesure avec la notion dimage pour cette fonction.

A-IV. Variable nomme ou non-nomme

En physique, les variables dun phnomne sont toujours mystrieuses, voir inconnues Par

exemple, on crit propos de la rsistance dun fil lectrique : .l

rS

= , mais de quoi dpend r?

En fait, toutes les variables nommes dans cette relation dpendent dautres grandeurs, parexemple de la temprature !

En mathmatiques, lorsquon dit que f est une fonction de x , on ne risque pas dtre contredit

par lexprience alors quen physique toute affirmation peut tre confirme ou infirme parlexprience. Les physiciens utilisent donc des noms pour reprsenter les RESULTATS produitspar des fonctions dont les variables sont en gnral non-nommes alors que les matheux utilisentdes noms distincts pour les FONCTIONS et pour les RESULTATS que produisent ces fonctions.

En pensant la surface dun disque de rayonR , un physicien crit 2.S R= et dit que S estfonction de R . Dans ces conditions, Sreprsente la fois une fonction et un nombre. Pour unmatheux cest difficilement tolrable et cela risque de provoquer des catastrophes.

En fait on peut tout autant crire 2.S R= que2

.4

DS = si R est le rayon et D est le

diamtre Et alors si on drive que se passe-t-il ?2

.S R= donne ' 2 .S R= (en pensant que R est la variable)2

.4

DS = donne

2' .

4

DS R = = (en pensant que D est la variable)

Les deux rsultats sont diffrents parce que dans un cas la variable considre est R et danslautre cas cest D . Et si on ignore quelle est la bonne variable on ne peut pas choisir entre lesdeux cas donc on ne peut pas dire quelle est la drive !

Cest pour ces raisons que les physiciens nutilisent pratiquement jamais la notation desdrives mais quils utilisent la notation diffrentielle.


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A-V. La diffrentielle et ses notations

Soit f une fonction de la variable x et posons ( )y f x= . Dans ces conditions, x est une

variable choisie alors que y est une variable mesure.

Lorsque x varie de 0x 0x h+

, la variation estime de y , cest dire

y

, est 0'( ).f x h alorsque la variation de x est x (ou bien x ou encore h ).

On peut alors crire 0

'( ).y f x x = ce qui signifie que la variation estime de y

sobtient partir de la variation de x en multipliant par le coefficient0

'( )f x : on voit

apparatre une fonction linaire de vers telle que :0

'( ).x f x x

. On notera cette

fonction0x

df et on lappellera diffrentielle de f en0

x .

Rappel : Les fonctions linaires de vers sont les fonctions f

telles que ( )f x ax= Elles vrifient deux proprits fondamentales :

1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x+ = + et ( ) . ( )f kx k f x=

La reprsentation graphique dune fonction linaire de vers esttoujours une droite passant par lorigine du repre.

Cas particulier fondamental :

Supposons que f soit lidentit cest dire ( )f x x= pour tout x rel.

On a alors0

'( ) 1f x = quel que soit0

x et par consquent0

( ) 1.xdf x x x = = .

Si on utilise la confusion habituelle entre les notations, ici entre ( )f x et x , on crit alors

0( )xdx x x = pour tout 0x que lon simplifie en ( )dx x x = puisque lindice 0x ne sert

rien. Ceci montre que dx , quand la variable choisie est x , nest rien dautre que

lidentit dans .

Cas gnral, retour la drive :

Supposons que f soit une fonction drivable telle que ( )f x y= pour tout x rel.

On a

0 0

00 0 0

( ) ( )'( ) lim lim lim .

x x x

f x x f x y y yf x

x x xy

+ = = =

Comme on sait dj que0

lim 1x

y

y

=

, il ne reste plus que

00

'( ) limx

yf x

x

=

cest dire :

0

0

0

0

0

0

0

( )lim( )

'( )( )

lim( )

x

xx

x

xx

df xdx x

f xdy x

dx x

=

ce quon crit 0 0'( ) ( )df

f x xdx

= ou bien 0 0'( ) ( )dy

f x xdx

=

Cette dernire criture est donc une voie pour crire la drive dune fonction quand on neconnat pas sa variable

Comment a marche ?

si 2.S R= on crira 2 .dS

RdR

= ou 2 . .dS R dR=

si2

.4

DS = on crira

2.

4

dS DR

dD = = ou . .dS R dD=


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Les deux critures ne sont plus contradictoires car on sait que 2D R= donc 2.dD dR= .

Attention bien comprendre que :

dy

dxest la fonction drive et

0( )

dyx

dxest limage de

0x pour cette drive

Une diffrentielle ne peut sexprimer quen fonction dune autre diffrentielle : sil y a d dun ct dune galit, il doit y avoir aussi d de lautre ct.

Lorsquon sait en quel0

x est construite la diffrentielle dune fonction f il vaut mieux

crire0x

df plutt que df tout court

En rsum :

y tant fonction de x , on crit ( )y f x= et alors :

0( )xdy (ou

0xdf ) est la fonction linaire qui multiplie les variations de x par

0'( )f x

Si on veut utiliser cette diffrentielle, on doit lappliquer une variation de x :

( ) ( ) ( )0( ) 0 0

'( ). '( ).xdy truc f x dx truc f x truc= =

Evidemment cette notation (correcte et complte) est lourde donc elle sera souvent abrge,donc rendue incorrecte, pour tre rendue plus maniable.

On rencontrera donc les notations :

'.dy y dx= ou '( ).dy y x dx= ou 'dy

ydx

= ou '( )dy

y xdx

=

'( ). .df f x dx etc=

Remarque : Pour une fonction une seule variable, dire que cette fonction est drivable en0

x

ou quelle est diffrentiable en0

x revient au mme et ce ne sera pas la mme chose pour les

fonctions plusieurs variables.

Exemples dexercices simples : On donne ( ) sin( )f x x x= + . Quelle est la diffrentielle de f ? Estimer la variation de f

lorsque x varie de 0,5 0,51.

On donne2

1( )

1

xe

f xx

+=

. Pour quelles valeurs de la variable cette fonction est-elle

diffrentiable ? Quelle est la diffrentielle de f ? Combien vaut (0)f ? Estimer la valeur de

( 0.02)f .

En TP, on mesure Q en fonction de t

t 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Q 12,8 13,1 13,4 13,9 14,6 15,8 17,1

Reprsenter ces donnes et estimer (intelligemment) les valeurs de Q(3,51), de Q(3,99)

( 0'( ).x xdy df f x dx= =Fonction linaire

qui dpend de 0x

Coefficient

Fonction linaireIdentit

Autre notation utiliseour la fonction linaire


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A-VI. Proprits de la diffrentielle

a. Diffrentielle dune somme

Si u et v sont deux fonctions de la variable x , drivables dans un mme intervalle, on a pour

tout x de cet intervalle : ( )d u v du dv+ = +

Dmonstration : triviale

b. Diffrentielle dun produit


tout x de cet intervalle : ( ) . .d uv v du u dv= +

Dmonstration : triviale

c. Diffrentielle dun quotient


tout x de cet intervalle o v nest pas nulle :2

. .( )

u v du u dvd

v v

=

Dmonstration : encore triviale

d. Diffrentielle dune compose

Si u et v sont deux fonctions de la variable x , telles que v soit drivable en0

x et u drivable

en0

( )v x , on a en0

x : ( )d u v du=

Dmonstration : pas triviale du tout mais comprhensible !

Version rapide : ( ) [ ]'. '. '( ). '( ). ' '( ).d u v u v dx v u v dx u v v dx u v dv du= = = = =

Version plus physique .

On suppose que u est une fonction de la variable v donc on peut

crire '( ).du u v dv= .

On saperoit alors que v est une fonction de x donc on peut

crire '( ).dv v x dx= et on peut remplacer dans lgalit prcdente qui

devient :

'( ). '( ). '( ). [ ] '. ( )du u v dv u v v x dx u v dx d u v= = = =

En fait, on retrouve ici largument qui a pouss dfinir cette notation diffrentielle : alors que ladrive dune fonction dpend de la variable de cette fonction, la diffrentielle dune fonction nedpend pas de la variable de cette fonction.

Un exemple dapplication entirement trait.

On fait une exprience. On sait que pendant cette exprience, une grandeur physique f va un

peu varier parce que f dpend dun paramtre physique, disons l , qui va lgrement varier. La

thorie montre que f et l sont lis par 2( ) cos( )f l l l= + et on en dduit que (2 sin( )).df l l dl=

Aprs lexprience, on saperoit que la temprature T na pas t constante et que l dpend

de T suivant la relation ( ) ln( ) 4l T T T = + donc il serait plus judicieux dutiliser comme variable

T au lieu de l et heureusement, grce la diffrentielle il nest pas ncessaire de refaire tousles calculs !

Il suffit de remarquer que de ( ) ln( ) 4l T T T = + on dduit1

4 .dl dT T

= +

do, en remplaant :

( ) ( ) ( )1 1

2 sin( ) . 2 sin( ) . 4 . 2 ln( ) 8 sin(ln( ) 4 . 4 .df l l dl l l dT T T T T dT T T

= = + = + + +

Et on peut, juste pour se tranquilliser, vrifier ce dernier rsultat en exprimant ds le dpart f

en fonction de T pour calculer directement la drive par rapport T :

2( ) cos( )f l l l= + devient ( ) ( )

2( ) ln( ) 4 cos ln( ) 4f T T T T T= + + + donc '( )f T = vous ! ! !


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Exemple dapplication : Une chelle de longueur L est appuye contre un mur vertical, son piedreposant sur un sol horizontal Le pied de lchelle glisse et sloigne du mur la vitesse v.Quelle est la vitesse de chute du haut de lchelle lorsquil passe la hauteur L/2 puis L/4 et enfinL/10. Application numrique : L=6m, v=1 m/s.

A-VII. Tableau des diffrentielles usuelles

Puisque la diffrentielle dune fonction ne dpend pas de la variable de cette fonction, lesformules auront toujours la mme forme quelle que soit la variable et remarquez bien quil ny aplus jamais de drives ', '...u v dans ces formules :

Si ( )f u = sin( )u cos( )u tan( )u

alors0u

df = 0

cos( ).u du 0

sin( ).u du ( )2 0 20

11 tan ( ) . .

cos ( )u du ou du

u+

Si ( )f u = ln( )u ue 1

u u

nu

avec 1n

alors 0udf = 0

duu

0

.u

e du 2

0

duu

0

2du

u

1

0. .n

n u du

B. Cas dune fonction deux variables indpendantes

B-I. Drives partielles

Si f est une fonction de deux variables indpendantesx et y , on ne peut plus driver comme

on le faisait pour une fonction une seule variable On doit distinguer deux cas, deux faons dedriver, suivant quon considre lune des variables ou lautre.

Soit : ( ; ) ( ; )f x y f x y

, on appelle drive partielle de f par rapport x la fonction qui

associe tout couple0 0

( ; )x y la limite (si elle existe) : 0 0 0 00

( ; ) ( ; )lim

x

x

hx

f x h y f x y

h

+ .

Cette drive partielle est note soit 'xf soitf

x

. L'emploi des au lieu des d n'est pas une

faon du prof de math de se faire remarquer c'est une ncessit quon va expliquer trs bientt !

On dfinit de mme la drive partielle de f par rapport y :

Soit : ( ; ) ( ; )f x y f x y , on appelle drive partielle de f par rapport y la fonction qui

associe tout couple0 0

( ; )x y la limite (si elle existe) :0 0 0 0

0

( ; ) ( ; )lim

y

y

h y

f x y h f x y

h

+ .

On la note 'yf ouf

y

Remarque : En fait, pour une fonction deux variables indpendantes, on fait comme si lunedes variables tait constante et on drive par rapport lautre ou bien le contraire.

Exemples :

Si ( ; ) 2 .sin( )f x y xy y y= + on a

2

2 sin( ) .cos( )

fy

x

fx y y y

y

=

= + +


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Si 2 2( ; ) .f x y x x y= + on a

22 2

2 2

2 2

f xx y

x x y

f xy

y x y

= + +

+

= +

B-II. Estimation pour les fonctions deux variables

Si x varie de xh et si y varie de yh , lorsque : ( ; ) ( ; )f x y f x y la variation vraie est

0 0 0 0( ; ) ( ; )x yf f x h y h f x y = + + et la variation estime est

0 0 0 0

( ; ). ( ; ).x yf f

f x y h x y hx y

= +

.

Cette variation estime na rien de mystrieux : elle tient compte des variations de chacune desdeux variables en multipliant chacune par la valeur de la drive correspondante. Lorsque x varie,on multiplie ses variations par la drive par rapport x et lorsque cest y qui varie on multiplie

ses variations par la drive par rapport y enfin, lestimation totale est la somme des deux

variations ainsi calcules.Exemple : On donne ( ; ) 2 .sin( )f x y xy y y= + et on demande destimer la variation lorsque

( ; )x y varie de (1 ; )2

(1, 03 ; 0, 01)

2

+ .

On obtient 0 0 0 0

( ; ). ( ; ).x yf f

f x y h x y hx y

= +

ce qui donne 0, 03 3 0, 01f = +

B-III. Diffrentielle dune fonction deux variables

On suppose que x et y sont deux variables choisies et indpendantes. On note dx la

fonction telle que ( ; )x y xdx h h h=

et dy celle telle que ( ; )x y ydy h h h=

: ce sont des projections etles projections sont des applications linaires.

On appelle diffrentielle de f en0 0

( ; )x y la fonction linaire deux variables telle que :

0 0( ; ) 0 0 0 0( ; ). ( ; ).x y

f fdf x y dx x y dy

x y

= +

Lorsquon applique cette fonction aux variables xh et yh , on obtient :

0 0( ; ) 0 0 0 0( ; ) ( ; ). ( ; ) ( ; ). ( ; )x y x y x y x y

f fdf h h x y dx h h x y dy h h

x y

= +

cest dire :

0 0( ; ) 0 0 0 0( ; ) ( ; ). ( ; ).x y x y x y

f fdf h h x y h x y h

x y

= +

Notation abrge et dangereuse : Lorsque f est une fonction deux variables

indpendantes ,x y sa diffrentielle df est souvent note . .f f

df dx dyx y

= +

si bien que ceux

qui nont pas compris la diffrence entre les d et les vont simplifier et ce sera lhorreur !

Exemple : Quelle est la diffrentielle de2

2

1

xR

y=

+?

On a 21

1

R

x y

= + et 2 2 2 22 4

2 . (1 ) (1 )

R y xyxy y y

= = + + donc 2 2 21 4

. .1 (1 )

xydR dx dyy y= + +


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C. Gnralisation pour les fonctions n variables

Si1 2, , ... , nx x x sont des variables indpendantes, et si 1 2 1 2: ( , , ... , ) ( , , ... , )n nf x x x f x x x

alors la diffrentielle de f est :

1 2 3

1 2 3

. . . ... . n

n

f f f fdf dx dx dx dx

x x x x

= + + + +

Dans cette criture, pour allger on nindique plus quel endroit on travaille, ni quelles sontles variations de chacune des variables

Exemple : On donne ( ; ; ) y

f x y z xz

= + . Quelle est la diffrentielle de f ? Estimer la variation

de f lorsque ( ; ; )x y z varie de (1; 2;3) (1,1;1, 9; 2,99) .

D. Quels sont les objectifs atteindre ?

Avoir compris que la notion de diffrentielle et la notion de drives sont deux cousines mais que ce nest pas la mme chose : une drive est une fonction quelconque alors quune

diffrentielle est une fonction linaire.Avoir compris que la drive dune fonction dpend de la variable de cette fonction alors que la

diffrentielle dune fonction ne dpend pas de la variable de cette fonction ce qui rend lesdiffrentielles indispensables en physique.

Avoir compris que les diffrentielles vont servir de modles dans tous les problmesdestimation.

Avoir compris que la notation complte tant trop lourde, on la simplifie en faisant des abus delangage et dcriture mais que tous les abus ne sont pas tolrables en particulier, les notationsd , , et reprsentent des choses trs diffrentes et la confusion entre elles est impossible.

Savoir calculer des drives mme de fonctions compliques (somme, produit, quotient,compose) y compris avec des fonctions trigonomtriques directes ou rciproques, circulaires

ou hyperboliques.Savoir utiliser les diffrentielles dans les problmes de robinet dbit constant.


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