cours à 2 périodes/sem. - Collège Sainte-Véronique · modules, dans le cadre d’exercices. ... l'algébrique (dans les formules) et le graphique. Ils explorent la fonction du

FÉDÉRATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE CATHOLIQUE Rue Guimard, 1 – 1040 Bruxelles

Humanités professionnelles et techniques

Mathématiques 3e degré Technique de Qualification

cours à 2 périodes/sem.

D/2004/7362/3/16b

Mathématiques – 3ème degré Technique de Qualification – cours à 2 pér./sem. – 2004-16b 2

Introduction.................................................................................................... 3 Cinquième année............................................................................................ 7

Suites.......................................................................................................... 7 Graphiques ................................................................................................. 9 Compétences ............................................................................................ 10

Sixième année .............................................................................................. 11 Algèbre financière.................................................................................... 11 Statistiques et probabilités ....................................................................... 12 Compétences ............................................................................................ 13

Situations et problèmes ................................................................................ 15 Le rectangle d’or ...................................................................................... 15 La guerre des prix .................................................................................... 24 Échelle des temps..................................................................................... 27 Étrennes.................................................................................................... 29 Prévision de ventes .................................................................................. 31 Test à l'effort ............................................................................................ 33 Péage d’autoroute..................................................................................... 36 Fiabilité d’une machine............................................................................ 38

Bibliographie................................................................................................ 41

Ont collaboré à l’écriture de ce programme Sabine Hausmann, Jules Miéwis, Annie Oger, Françoise Thomas-Van Dieren, Annick Van Eerdenbrugghe, Claude Varlet.

Mathématiques – 3ème degré Technique de Qualification – cours 2 pér./sem. – 2004-16b 3

Introduction

Les enjeux du programme Pour progresser dans cette société et contribuer à son évolution, le citoyen a besoin de savoirs d’utilité immédiate, mais aussi de connaissances susceptibles de se démultiplier. Tout au long de la scolarité, l’enseignement des mathématiques vise à équiper les élèves de compétences qui permettent à chacun d’être à l’aise dans cette société de plus en plus technique.

Ceci étant, on pourrait croire que faire des mathématiques se résume à l’acquisition de procédures utiles. Il n’en n’est rien. Les connaissances mathématiques, même élémentaires, appartiennent à la culture au sens où l’entend le ROBERT qui définit la culture comme un « ensemble de connaissances acquises qui permettent de développer le sens critique, le goût, le jugement ». Dans la mesure où une attention particulière est donnée à la portée culturelle des connaissances enseignées, les mathématiques contribuent à assurer une formation humaniste.

Au troisième degré de qualification technique, l’élève approfondit sa formation, dépasse les niveaux d’abstraction qu’il a déjà atteints, acquiert des compétences spécifiques (selon le secteur d’activités) et se prépare à suivre avec profit, sans découragement, des formations nouvelles dans le cadre du métier qu’il a choisi.

Un recours fréquent aux calculatrices, aux logiciels Ce programme préconise un recours fréquent aux calculatrices et aux logiciels. Avec ces outils, l’élève appréhende certaines notions de manière dynamique et constructive. Il peut aussi traiter des problèmes réalistes à partir de données brutes, tirées par exemple d’expériences relatives aux cours techniques.

Actuellement des ordinateurs sont présents dans les centres Cyber-média des écoles, il faut veiller à ce qu’ils soient équipés de logiciels adéquats et qu’ils soient accessibles aux élèves.

Les calculatrices graphiques sont dotées de tableurs, de programmes et de menus dynamiques qui permettent de mettre en place des expérimentations. Lorsque la classe est équipée d’un set de projection, le travail avec ce type de calculatrices est plus facile à organiser.

Il faut aussi mettre en place une méthodologie qui intègre le travail sur ordinateur et/ou avec des calculatrices graphiques dans les cours, de manière significative et régulière.


Un fil conducteur Le programme comporte quatre modules, deux pour chaque année du degré. En cinquième année, un premier module porte sur les suites. On y propose des outils pour analyser différents types de croissance, mais l’on considère aussi les suites sous un angle culturel, voire philosophique lorsqu’on aborde des suites infinies, rejoignant ainsi des préoccupations très anciennes dans l’histoire de la pensée. Un deuxième module porte sur les fonctions. L’accent est mis sur les graphiques tels qu’ils se présentent dans les documents à usage des consommateurs, dans les médias et dans les textes de formation de base en mathématique. En sixième année, on aborde des problématiques éminemment citoyennes : il s’agit dans le module consacré à l’algèbre financière de comprendre les mécanismes d’épargne et d’emprunt. Le module consacré aux probabilités conduit, entre autres, à démystifier les mécanismes de loteries et de jeux. Chaque module débute par une rubrique intitulée D’où vient-on, où va-t-on ? Sous cet intitulé, on retrace, pour les matières concernées, les grandes lignes du parcours des élèves. Cette mise en perspective contribue à donner du sens à la formation mathématique. Il ne s’agit pas d’une liste de prérequis mais bien d’un outil pour situer les connaissances des élèves et leurs modes de raisonnement dans le cadre d’un enseignement « en spirale ».

Des situations, des problèmes, des activités et des contenus L’essentiel du programme est décrit dans un tableau qui met en correspondance d’une part des situations, des problèmes, des activités, et d’autre part des contenus. Les directives et commentaires qui suivent indiquent comment articuler les situations (qui donnent du sens, éclairent les concepts) avec une structuration des contenus (qui relie entre eux différents concepts et donne accès à une maîtrise réelle des savoirs et des méthodes). On ajustera l’ampleur des contenus théoriques à ce qui est nécessaire pour comprendre et résoudre des problèmes du même type que ceux du programme.

Directives et commentaires Sous cette rubrique, on indique comment articuler les situations avec une structuration des contenus. On cerne la portée de certains concepts et on met en évidence les aspects méthodologiques qui permettent d’atteindre le plus efficacement les compétences.

Des compétences à évaluer Les compétences mathématiques sont indissociables du domaine dans lequel elles s’exercent. Résoudre un problème en l’algèbre ne mobilise pas du tout les mêmes ressources que résoudre un problème en géométrie. Il a été


convenu de retenir trois grands domaines (qui couvrent l’ensemble de la formation mathématique) et trois catégories de compétences. Une compétence se situe donc chaque fois dans l’une des cases du tableau ci-dessous. Les compétences ne sont pas hiérarchisées, chacune est partie intégrante de la formation mathématique. GRANDEURS, NOMBRES,

ALGEBRE, TGF, FONCTIONS

GEOMETRIE, TRIGONOMETRIE

TRAITEMENT DE DONNEES,

PROBLEMES RELATIFS À LA VIE SOCIALE,

ECONOMIQUE, CULTURELLE

EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES

PROCEDURES

APPLIQUER UNE PROCEDURE

RESOUDRE UN PROBLEME

Les modules Suites et Fonctions relèvent du premier domaine. Les modules Algèbre financière, Statistiques et probabilités, du troisième. Dans ce programme, la géométrie n’est travaillée qu’à l’intérieur de certains modules, dans le cadre d’exercices. Le professeur trouvera pour chaque année du degré, une liste de compétences regroupées selon les trois types d’aptitudes explicitées ci-après.

1. EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES PROCÉDURES Expliciter un savoir, une procédure, c’est évoquer des connaissances et montrer en même temps qu’on en saisit le sens, la portée dans un contexte donné. Il s’agit par exemple

- de citer un énoncé et de d’illustrer par un exemple ou un dessin, - d’énoncer la définition qui correspond à l’usage qui en est fait dans

un contexte donné, - de justifier certaines étapes d'un calcul, - de faire un schéma.

Pour évaluer la compétence « expliciter les savoirs et les procédures », l’enseignant repère

- si l'élève saisit le sens de ses connaissances, - s'il sait reconnaître les circonstances d'utilisation des savoirs, - s'il est capable de reproduire les étapes d'une argumentation, de

commenter une définition.

2. APPLIQUER UNE PROCÉDURE Dans les domaines liés aux nombres et à l'algèbre, la maîtrise de procédures requiert que l'élève articule une bonne connaissance des propriétés des opérations avec une habileté calculatoire. C'est une aptitude qu'il importe d'évaluer parfois pour elle-même mais qui doit aussi être testée dans le cadre


de la réalisation de tâches plus amples dans lesquelles les procédures servent à résoudre un problème, à vérifier une conjecture. L'aptitude à appliquer une procédure est évaluée à partir d'indicateurs qui distinguent si l'élève est capable de

- calculer, - réaliser un graphique, un diagramme, - construire une figure.

3. RÉSOUDRE UN PROBLÈME Ce qu'il importe d'évaluer ici c'est le travail de modélisation qui consiste à dégager dans une situation les aspects qui se prêtent à un traitement mathématique. On observera donc surtout comment l'élève choisit une méthode parmi celles qui ont été travaillées en classe et comment il présente et interprète ses résultats. Pour évaluer la compétence à résoudre un problème choisi dans une famille de problèmes traités en classe, le professeur vérifie si l’élève

- comprend l’énoncé, - repère les structures mathématiques qui permettent de modéliser, - utilise les outils adéquats pour traiter le problème, - présente les résultats, les interprète, - argumente.

Ces cinq critères ne sont évidemment que rarement tous présents à la fois. Selon le problème, certains d’entre eux seulement sont mobilisés. Les aspects procéduraux, quand ils interviennent dans le traitement du problème, doivent être interprétés pour ce qu’ils sont : ils seront pris en compte dans l’évaluation de la compétence « appliquer une procédure ». Autrement dit, une erreur de calcul ne doit pas peser de manière décisive dans l’évaluation de l'aptitude à résoudre un problème.

Des exemples de situations et de problèmes En fin de programme on trouve une série d’exemples de situations- problèmes qui se rapportent aux différents modules. Ces exemples sont choisis parce qu’ils sont éclairants et montrent l’utilité de certains contenus ou parce qu’ils exercent des points essentiels de la matière.


Cinquième année

D'où vient-on? Où va-t-on? Dès le premier degré, les élèves sont initiés aux représentations graphiques et principalement aux représentations de fonctions de proportionnalité. Au deuxième degré, les élèves apprennent à se mouvoir entre les trois modes d'expression que sont le numérique (dans les tableaux), l'algébrique (dans les formules) et le graphique. Ils explorent la fonction du premier degré, la fonction inverse et la fonction du second degré à l’aide de graphiques produits par des logiciels ou des calculatrices. Les problèmes traités portent sur des questions relatives aux accroissements et aux extremums (pour la fonction du second degré). Au troisième degré, on examine l'évolution à long terme de grandes séries de données puisées dans des domaines divers, on aborde ainsi le comportement asymptotique de certaines suites et on introduit les notions de limite.

Suites

Situations, problèmes, activités Contenus

Intérêts simples et composés.

Prêts et remboursements

Suites associées à des calculs de longueurs, d’aires, de volumes…

Objets fractals.

Suites conduisant au nombre d’or.

Suites de FIBONACCI.

Suites harmoniques.

Usage d’une calculatrice programmable, d’un tableur pour engendrer des suites.

Calcul du ne terme, de la somme des termes, de la raison de suites arithmétiques et géométriques

Représentation graphique d’une suite.

Suite croissante ou décroissante.

Définition par le terme général.

Définition par récurrence.

Approche de la notion de limite d’une suite.


Directives et commentaires Les suites sont présentes dans de nombreux jeux logiques et dans des tests d'aptitude destinés à l'embauche. Dans ce type de suites, on suppose implicitement qu'une régularité est présente et détectable sans ambiguïté à partir des premiers termes qui sont donnés. Lors du travail sur le mode de génération d'une suite, on montrera que la connaissance des premiers termes de celle-ci n'induit en rien son comportement futur tant que la règle de formation de ses termes n'est pas connue. L'histoire témoigne de la fascination des hommes pour l'univers des suites. Celles-ci ouvrent une première fenêtre sur un traitement mathématique de l'infini. Ce chapitre fournit l'occasion :

- d'aborder l'un ou l'autre problème tiré de l'histoire : paradoxe de ZÉNON, origine des gammes musicales, nombre d'or (voir l’activité Le rectangle d’or).

- d’utiliser un indice comme variable (par exemple pour décrire les termes successifs d’une suite,

- de maîtriser les notations relatives à la racine ne, telles qu’elles figurent sur les différentes calculatrices.


Graphiques

Situations, problèmes, activités

Contenus

Description, construction et comparaison de graphiques, notamment à partir de tableaux de valeurs expérimentales.

Grandeurs directement et inversement proportionnelles.

Taux d’imposition en fonction des tranches de revenus.

Comparaison de tarifications diverses.

Graphiques de distance parcourue ou de vitesse en fonction de la durée.

Évolution d’une population dans différents domaines (démographie, reproduction bactérienne, écologie, …)

Optimisation de coûts, d’aires, de volumes.

Utilisation d’un logiciel graphique.

Graphique des fonctions de référence :

xxf =)( , 2)( xxf = ,

3)( xxf = , x1)( =xf , xxf =)( ,

xxf sin )( = , xxf cos)( = .

Du graphique d’une fonction )(xf , déduire celui des fonctions kxf +)( , )( kxf + , )(kxf ,

)(xkf , k étant un réel.

Graphique de la somme de deux fonctions.

Construction de fonctions polynômes et de fonctions homographiques.

Recherche, sur un graphique, des racines, des extremums, de la période d’une fonction, de la solution d’un système d’équations.

Directives et commentaires La découverte des propriétés des graphiques des fonctions sera faite à partir de fonctions qui traduisent des phénomènes variés, présentés sous forme d’énoncés, de tableaux de nombres ou de graphiques. L’analyse de graphiques réalisés avec un logiciel (ou une calculatrice graphique) fournit des occasions pour

- observer et comparer différents types de variations, - préciser les notions de croissance, de racine, d’extremum, - résoudre graphiquement des équations et des inéquations, - choisir la fenêtre d’affichage en fonction des caractéristiques que

l’on recherche.


L’activité La guerre des prix introduit l’étude graphique de différentes fonctions dans le cadre d’un problème de concurrence entre des supermarchés.

Compétences

EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES PROCÉDURES - Reconnaître les caractéristiques d’une suite. - Construire une suite à partir de sa définition par récurrence ou de son

terme général. - Pour présenter les résultats d’une étude graphique, connaître le

vocabulaire relatif aux fonctions, à leurs variations, à leurs extremums.

- S’exprimer dans un langage clair, concis, exempt d'ambiguïté.

APPLIQUER UNE PROCÉDURE - Calculer un terme, la raison ou la somme de termes consécutifs d'une

suite arithmétique ou d'une suite géométrique. - Établir des correspondances entre des graphiques, des tableaux, des

expressions algébriques de fonctions.

RÉSOUDRE UN PROBLÈME - Modéliser une situation par une fonction du type de celles étudiées. - Interpréter un résultat, commenter un graphique en les situant dans le

cadre du problème traité.


Sixième année

Algèbre financière


Graphiques semi-logarithmiques.

Taux moyen.

Constitution d’un capital par annuités constantes.

Annuités de remboursement d’un capital.

Prêt personnel et financement (taux annuel effectif global).

Logarithmes décimaux.

Equations utiles en algèbre financière :

ba x = , bxa = , axn = .

Intérêt simple et intérêt composé.

Valeur acquise et actualisation.

Annuités et amortissements.

Directives et commentaires Les deux premiers contenus mentionnés ci-dessus sont les outils mathématiques indispensables pour aborder l’algèbre financière proprement dite. Ils peuvent être introduits au préalable dans le contexte de problèmes simples. D’autres problèmes simples doivent conduire à établir les différentes formules et procédures de calcul. Les élèves peuvent ensuite disposer d’un formulaire. L’activité Étrennes, est un exemple de problème simple qui conduit à élaborer la formule de constitution d’un capital. L’activité Échelle des temps conduit à définir les logarithmes décimaux et à extraire les propriétés utiles à la résolution de problèmes financiers.


Statistiques et probabilités

D'où vient-on? Où va-t-on? Au premier degré, les élèves ont appris à représenter des ensembles de données par divers diagrammes. Dans ce contexte, ils ont aussi découvert la notion de rapport et le calcul de pourcentages. Au deuxième degré, les élèves ont étudié les fréquences absolues, relatives et cumulées. Ils ont appris à calculer des valeurs centrales et des indices de dispersion de séries statistiques. Ils ont traité l’un ou l’autre problème à deux variables qu’ils ont représenté par un nuage de points. Ils ont déterminé une droite de régression dans les situations qui s’y prêtent, par la méthode de MAYER. Au troisième degré, on apprend une nouvelle régression linéaire : l’ajustement par la méthode des moindres carrés. Pour introduire les probabilités, on utilise l’un ou l’autre tableau statistique qui montre une stabilisation de la fréquence lors de la répétition d'un grand nombre d'expériences identiques. On calcule des probabilités dans des situations élémentaires. On apprend à utiliser les fonctions statistiques d’une calculatrice ou d’un tableur.


Séries chronologiques, variations saisonnières, ajustement linéaire de données expérimentales.

Immatriculation de véhicules, loteries, code Braille.

Sondages ou résultats électoraux.

Fiabilité de composants.

Méthode des moindres carrés.

Méthodes de dénombrement.

Calcul des probabilités.

Principe d’addition et de multiplication.

Probabilité conditionnelle.

Directives et commentaires En ce qui concerne la régression linéaire, il s’agit de poursuivre et de compléter ce qui a été travaillé en quatrième année à propos de la droite de MAYER. La méthode des moindres carrés sera introduite comme un outil, utilisé par la plupart des logiciels et des calculatrices, pour prévoir ou extrapoler le comportement statistique d’un nuage de points. Les calculs doivent toujours être guidés par le souci de répondre à une question, d’opérer des comparaisons à propos d’une situation aussi proche que possible de la réalité. Il faut insister sur la présentation des résultats.


Les élèves utiliseront systématiquement des calculatrices ou des tableurs dès qu’ils auront compris, à propos de l’un ou l’autre exemple, quels sont les calculs répétitifs que ces machines effectuent. On réservera une place importante à l'expérimentation, voire à la simulation en utilisant un tableur. Lorsqu’on réalise un grand nombre d’expériences virtuelles et que l’on examine les tableaux de nombres produits, la probabilité apparaît comme une idéalisation de la fréquence. La construction de diagrammes en arbre est une méthode de dénombrement qui permet de résoudre la plupart des problèmes élémentaires (voir l’activité Fiabilité d’une machine). L’analyse combinatoire est un prolongement facultatif.

Compétences

EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES PROCÉDURES. - Illustrer l’utilisation d’une formule d’algèbre financière en situant

les données et les résultats partiels sur une ligne du temps. - Commenter une information ou un graphique portant sur des

probabilités, dans un langage clair, concis et exempt d’ambiguïté. - En vue de calculer une probabilité, modéliser une situation par des

tableaux ou des arbres. - Connaître les propriétés de base des probabilités simples et des

probabilités conditionnelles. - Relier la notion de probabilité à celle de fréquence.

APPLIQUER UNE PROCÉDURE. - Substituer les données dans la formule appropriée et effectuer les

calculs. - Construire un tableau décrivant l’évolution d’un capital constitué de

versements périodiques. - Construire un tableau d’amortissement d’une dette, éventuellement

avec un logiciel. - Déterminer la probabilité d’un phénomène aléatoire simple. - Appliquer les lois de probabilité conditionnelle. - Déterminer la droite de régression par la méthode des moindres

carrés à l’aide d’un logiciel approprié.


RÉSOUDRE UN PROBLÈME. - Résoudre des problèmes nécessitant le calcul d’annuités de

placement ou de remboursement (avec l’aide d’un formulaire). - Modéliser un problème par un (ou plusieurs) nuage(s) de points,

déterminer si le problème se prête ou non à un ajustement linéaire. - Commenter les graphiques pour répondre à une question ou

procéder à des comparaisons. - Résoudre des applications à caractère probabiliste en utilisant des

diagrammes en arbre, des tableaux, des lois probabilistes (éventuellement l'analyse combinatoire).


Situations et problèmes

Le rectangle d’or

Quel enjeu ? Explorer le comportement d’une suite convergente dans le cadre d’une construction géométrique qui réserve une belle surprise.

Que fait l’élève ? Il part d’un rectangle de son choix (par exemple le rectangle

1R de la figure

ci-dessous) et suit les étapes de la construction décrite par l’énoncé. Il examine comment évolue la suite des coefficients de forme des rectangles ainsi construits (le coefficient de forme c’est le rapport lL / ).

Énoncé1 Construire un rectangle

1R de longueur

1L et de largeur 1l . À partir de ce rectangle, en construire un second

2R , en

juxtaposant sur son grand côté, un carré comme indiqué sur la figure. De la même manière, construire

3R , en

juxtaposant un carré sur la longueur de 2

R .

Dès que l’on dépasse le cadre de la feuille, on poursuit en complétant un tableau qui reprend pour chaque rectangle, ses dimensions et son coefficient de forme.

n° des rectangles

nL

nl

n

nn

Lk

l=

1 M

10

1 Ce problème est, pour l’essentiel, extrait de C. HAUCHART et N.ROUCHE, Apprivoiser l’infini, renseigné dans la bibliographie,.


Déroulement Après la construction du troisième, voire du quatrième rectangle, Les élèves observent les différentes suites.

Parmi les rectangles choisis, il peut être intéressant de partir d’un carré. Ci-contre, un tableau complété avec

1L = 3 et

1l = 1 :

Les suites de largeurs et de longueurs tendent manifestement vers l’infini. Par contre, chacun observe que sa suite de coefficients de forme est oscillante et atteint souvent avant la dixième étape le voisinage d’un nombre dont les premières décimales sont 1,618 …

Le plus étonnant, c’est que les suites calculées par tous les élèves, au départ de rectangles qui avaient des coefficients de forme différents, se concentrent vers une même valeur.

n° des rectangles

nL

nl

n

nn

Lk

l=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

4

7

11

18

29

47

76

123

199

1

3

4

7

11

18

29

47

76

123

3

1,333

1,75

1,571

1,636

1,611

1,621

1,617

1,618

1,618

Ils peuvent aussi multiplier les expériences en utilisant un tableur. Voici trois copies d’écran, d’expériences réalisées avec une calculatrice graphique.


Pour un rectangle de 10x3 :

Pour un "rectangle" de 2x2 :

Pour un rectangle de 1x20 :

Les deux graphiques ci-après illustrent ce phénomène

Lorsqu’on relie les points correspondant à une valeur paire de n d’une part et ceux correspondant à une valeur impaire d’autre part : on voit que la valeur 1,618 est « coincée » dans une sorte d’entonnoir…


Pour expliquer ce phénomène étonnant, il s’agit d’y voir clair dans une classe infinie de suites. Il faut donc représenter les suites de manière symbolique, traduire les propriétés des différentes suites et examiner l’évolution de la suite des coefficients de forme. Pour cela le professeur pose les questions suivantes

- Que vaut 1+n

L en fonction de n

L et nl ?

- Que vaut 1+n

l en fonction de n

L et nl ?

- Que vaut 1+n

k en fonction de n

k ?

- L'expression de 1+n

k en fonction de n

k permet-elle de trouver avec précision la limite de la suite des coefficients de forme (

nk )?

On trouve ainsi les dimensions du deuxième rectangle: 112 l+= LL et 12 L=l ,

et les équations de récurrence : nnn LL l+=+1 ,

nn L=+1l ,

nn

n

n

n

n

nn

n

nn kLL

LL

LLk 1 1

1

11 +=+=

+==

+

++

ll

l,

nn k

k 1 1 1 +=+ .


S'il est vrai que la suite des termes se stabilise (autour de k = 1,618 semble-t-il), c'est que

1+nk =

nk

lorsque n devient infiniment grand. Dans ce cas, on doit avoir:

kk 1 1 += , c'est-à-dire

kkk 1 +

= ou encore 12 += kk .

On en déduit que k est solution de l'équation du second degré

012 =−− kk .

Cette équation admet deux solutions: 618033,12

51=

+ et

618033,02

51−=

− . Puisque les coefficients de forme sont des nombres

positifs, la limite des termes de la suite des coefficients de forme ne peut être que la première de ces solutions.

Ce nombre a joué un rôle important dans l’histoire de l’art, il est appelé le « nombre d'or ». On le note souvent par la lettre grecque φ (lire « phi »):

618033,1 2

5 1 =+

=φ .

Prolongements

Faire une recherche sur le nombre d’or en explorant un document relatif à sa présence dans l’art ou dans l’architecture. La documentation fournie ci-après donne l’une ou l’autre piste.


Le nombre d’or dans l’art et l’architecture

Le nombre d’or, la section dorée, la divine proportion, la lettre grecqueφ (en référence à PHIDIAS l’architecte du Parthénon d’Athènes), toutes ces expressions désignent un rapport valant approximativement 1,618.

C’est en étudiant le pentagone, le décagone, l’étoile à cinq branches (pentacle), l’icosaèdre et le dodécaèdre que les mathématiciens grecs ont découvert ce rapport. Ils l’utilisaient probablement en architecture car on peut en donner une construction géométrique simple et rigoureuse, mais il ne reste aucune trace de calcul dans les documents.

Pour construire un rectangle dont les dimensions sont entre elles dans un « rapport doré » , on partage un carré de côté unité en deux rectangles identiques par une médiane. Du milieu d’un côté de ce carré pris comme centre, on trace un arc de cercle de rayon dont le rayon est la diagonale de l’un des rectangles. On obtient un rectangle dont la largeur est 1 et la longueur φ .


EUCLIDE, PYTHAGORE et bien d’autres ont donné à ce nombre toute sa rigueur mathématique, mais c’est le monde de l’art qui va lui donner son éclat. Ce nombre est entre autres intimement lié à la construction des spirales. Le dessin ci-contre présente une approximation d’une spirale, elle est construite à partir de quarts de cercles et utilise des rectangles agencés comme ceux que l’on a construits dans le problème que l’on a travaillé.

Au premier siècle av. J-C, l’architecte romain VITRUVE en donne la définition suivante : Trois points alignés, déterminant deux segments, forment une section dorée, s’il y a de la plus petite partie à la grande le même rapport que la grande au tout.

La section dorée est donc la proportion

xy

yyx=

− .

Il reprend en cela la définition du partage d’un segment en moyenne et extrême raison donnée par Euclide au troisième siècle av. J-C.

Voici les premiers termes de la suite de FIBONACCI : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…

Les quotients d’un terme par le précédent forment à leur tour les termes d’une nouvelle suite qui s’approche du nombre d’or. Cette suite est également liée aux mesures de l’époque puisque la paume valaient 34 lignes, la palme 55, l’empan 89, le pied 144 et la coudée 233.


À la Renaissance, LUCA PACIOLI et LÉONARD DE VINCI adoptent la divine proportion comme canon de la Beauté et de l’Harmonie.

Le célèbre dessin de DE VINCI ci-contre illustre les proportions idéales énoncées par VITRUVE.


Le nombre d’or a été utilisé par de nombreux peintres qui y voyaient une condition nécessaire à l’équilibre de leurs œuvres. Citons par exemple le peintre GEORGES SEURAT, le maître du pointillisme.

L’architecte, urbaniste et peintre français LE CORBUSIER utilise dès 1947 un modulor (module humain basé sur le nombre d’or) pour déterminer les dimensions des habitations.


La guerre des prix

Quel enjeu ? Construction du graphique de fonctions affines par morceaux, continues et discontinues,

Que fait l’élève ? Il calcule des pourcentages par tranches, résout un problème par des méthodes algébrique et graphique.

Énoncé2 Les élèves travaillent à partir de la fiche proposée ci-dessous.

Deux supermarchés voisins se font la « guerre des prix ». Voici les publicités qu’ils font paraître dans un journal. On demande quel est le supermarché qui pratique les prix les plus avantageux.

Supermarché A Remise de 10% sur le montant de vos achats du jour si ce montant dépasse 40 €. Sinon, remise de 5%. Supermarché B

5 % sur la première

TRANCHE de vos achats du jour jusqu’à

40€

10 % sur la deuxième

TRANCHE de vos achats du jour

comprise entre 40€ et 80€

Que devez-vous faire ?

Après avoir terminé vos achats, vous vous rendez à l’un des « Centres de Remboursement ». Vous y présentez vos tickets du jour et si vos achats du 9 mai s’élèvent par exemple, à 114€ : Nous vous remboursons : 5 % sur les premiers 40€ 2€ 10 % sur les 40€ suivants 4€ 15 % sur le solde, soit 34€ 5,1€ 11,1€

15 % sur la troisième

TRANCHE de vos achats du jour dépassant

80€.

2 Situation mise au point par Ginette Cuisinier, Isabelle Jardon et Carine Rimaux.


Déroulement Pour guider le travail des élèves, le professeur propose les étapes qui suivent.

Analyse des prix du supermarché A 1. Observe la publicité et complète le tableau suivant :

2. Donne pour chacune des tranches d’achat une formule permettant de calculer le montant de la remise (R), connaissant le montant des achats (P).

3. Le montant de mes achats est de 39,5 €. Arrivé à la caisse, j’achète des biscuits à 1€. Que devient ma ristourne ? La politique de prix pratiquée par ce supermarché te paraît-elle « logique » ?

4. Construis le graphique donnant la ristourne accordée par le supermarché A en fonction du montant des achats.

Analyse des prix dans le supermarché B

1. Observe à présent la publicité du supermarché B, et vérifie la remise proposée en exemple.

2. Complète le tableau suivant.

Montant des achats

Montant de la remise sur la 1ère tranche

Montant de la remise sur la 2e

tranche

Montant de la remise sur la 3e

tranche

Montant de la remise

12,5 € 25 € 39,5 € 40 € 40,5 € 50 € 70 € 75 € 80 € 100 € 125 €

Montant des achats Montant de la remise 5€ 12,5€ 25€ 40€ 50€ 75€


3. Donne pour chacune des tranches d’achat une formule permettant de calculer le montant de la remise (R), connaissant le montant des achats (P).

4. Construis le graphique donnant la ristourne accordée par le supermarché B en fonction du montant des achats. Travaille dans le même repère que celui utilisé précédemment, afin de pouvoir comparer facilement.

Prolongement

Traiter la question avec un tableur.


Échelle des temps

Quel enjeu ?

Découverte du logarithme dans le cadre d’une représentation graphique.

Que fait l’élève ?

À partir du texte fourni par l’énoncé ci après, il situe les différentes dates sur une droite graduée.

Énoncé

Graduer une ligne du temps qui permette de placer les événements suivants.

Il y a environ 15 milliards d'années, le « Big Bang » donnait naissance à l'univers. Le système solaire et la Terre apparaisaient 10 milliards d'années plus tard. Les premiers hominidés firent leur apparition il y a environ 6 millions d'années. En Ethiopie, on a retrouvé les restes de Lucy, jeune femme qui vivait il y a 3,5 millions d'années. «L'Homo Habilis» qui vivait il y a deux millions d'années fut supplanté par «l’Homo Erectus» il y a 1,5 millions d'années. «L’Homo Sapiens» ou homme de Neandertal a vécu il y a 35 000 ans; il a été remplacé par l'homme de Cro-Magnon il y seulement 10000 ans.

Déroulement Après quelques essais les élèves réalisent qu’il est impossible de représenter tous ces événements sur une seule feuille (même si l’on prend 1 mm pour représenter 10000 ans !).

Le professeur introduit la convention : nous remplaçons 10 000 par 4 car 10 000 =

410 .

La graduation ainsi construite utilise une fonction, qui à une puissance de 10, fait correspondre son exposant. C’est la fonction logarithme présente sur les calculatrices scientifiques.

Les élèves poursuivent en utilisant leur calculatrice pour placer les autres dates.

Synthèse Pour situer une date sur une échelle logarithmique, on écrit cette date sous forme d’une puissance de 10 puis on remplace cette date par l’exposant de la puissance.

Plus généralement, un nombre x est remplacé par a, tel que

a = log x avec x = a10 .


La calculatrice permet de trouver directement le logarithme d’un nombre.

Prolongement On peut repérer d’autres événements. Repérer par exemple l’époque des dinosaures (de 120 à 155 millions d'années), l'Homme de Tautavel (450 000 ans), l'apparition du Mammouth (250 000 ans), l'Homme de Spy (30 000 ans), la Vénus de Pont-à-Lesse (25 000 ans), les tombes de Wéris (vers 2500 ans)

On peut aussi s’intéresser aux propriétés des logarithmes qui découlent directement de l’examen d’un tableau de correspondance.


Étrennes

Quel enjeu? Élaborer la formule de constitution d'un capital dans le cadre de la résolution d’un problème simple.

Que fait l’élève ? Il organise les calculs relatifs à l’énoncé ci-après et construit un tableau récapitulatif. Il se sert de ce tableau pour élaborer une formule générale.

Énoncé3 Un enfant reçoit tous les ans 125 € d'étrennes. Il place cet argent en début de chaque année sur un compte bancaire où le taux de placement est de 3%. Le premier placement a eu lieu au début de l'année 2000. Les intérêts sont maintenus chaque année sur le compte. Calculer la situation financière de l'enfant début 2001, 2002, 2003. Quelle sera sa situation financière au début 2012?

Déroulement Si l'on place 125 €, après 1 an ce capital sera augmenté des intérêts et sa valeur sera de

125 × 1,03 = 128,75 €, après 2 ans ce capital sera augmenté des intérêts

(125 × 1,03) € × 0,03, sa valeur sera de:

203,1125× = 132,61 €, et ainsi de suite.

Nous pouvons résumer cela dans un tableau.

Situation début : Apports des étrennes de : 2000 2001 2002 2003

2000 125 € 125 × 1,03 € 203,1125× € 303,1125× € 2001 125 € 125 × 1,03 € 203,1125× € 2002 125 € 125 × 1,03 € 2003 125 €

3 Situation crée par V.Bodart, G.Cuisinier et M.Sermeus, publiée au CTELH (voir bibliographie [6]).


Nous sommons dans les colonnes pour calculer le capital constitué en début de chaque année.

Situation début : Apports des étrennes de : 2000 2001 2002 2003

2000 125 € 128,75 € 132,61€ 136,59€ 2001 125 € 128,75 € 132,61€ 2002 125 € 128,75 € 2003 125 € Total 125 € 253,75 € 386,36 € 522,95 €

Pour calculer la situation en 2012, c'est-à-dire après 13 placements, on pourrait continuer le tableau ou trouver une méthode plus rapide.

La dernière colonne du premier tableau permet d'écrire que le capital après 13 placements sera: (125+125×1,03+125 203,1× +125 303,1× 1203,1125×++L ) € ou encore

)03,103,103,103,11(125 1232 +++++ L €

La somme S = 1232 03,103,103,103,11 +++++ L est une somme de 13 termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q=1,03. On sait que cette somme vaut:

62,15103,1103,1 13

=−−

=S .

Le capital après 12 ans (mais13 placements) sera donc de 125 € × 15,62 = 1952,50 €.

Synthèse Formule de la constitution d'un capital nV par n versements constants d'une somme A à date fixe avec un intérêt composé au taux de i pour 1 €

iiAV

n

n1)1( −+

= .

Prolongement À partir de la formule n

n iVV −+= )1(0 et de celle de l’actualisation,

établir la formule de remboursement d’un emprunt

iiAV

n−+−=

)(110 ,

dans laquelle A est l'annuité de remboursement et V0 le montant emprunté.


Evolution des ventes

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n° du trimestre

mon

tant

des

ven

tes

en

mill

ions

d'e

uros

Prévision de ventes

Quel enjeu? Découvrir l'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés pour établir des prévisions de ventes futures.

Que fait l'élève ? Il représente graphiquement une série chronologique à l'aide d'un tableur, trace une droite de régression et utilise cette droite pour faire des prévisions.

Enoncé Un commerçant a établi un relevé trimestriel du montant des ventes réalisées (en millions d'euros) sur deux ans. A partir d'une représentation graphique des données, il souhaite prévoir le montant trimestriel des ventes de l'année suivante.

Déroulement L’élève insère les données dans le tableur Excel, il réalise un graphique d'évolution des ventes sur huit trimestres.

1ère année 2ème année x (n° du trimestre) 1 2 3 4 5 6 7 8

y (montant des ventes en 106 euros)

4,2 5,1 6,5 5,8 4,9 5,7 7 6,2


Le graphique obtenu étant sélectionné, en cliquant sur la courbe avec le bouton droit de la souris, un menu s'affiche qui permet d'ajouter une courbe de tendance au graphique. Le professeur demande de choisir l'option linéaire. La droite de régression (obtenue automatiquement par la méthode des moindres carrés) est ajoutée au graphique. Les options de cette courbe de tendance affichées par EXCEL fournissent l'équation de cette droite, ce qui permet de prévoir les ventes des trimestres suivants. On constate que l’on peut espérer un montant de 6,76 millions d'euros pour les ventes du trimestre 9 et de 7 millions d'euros pour le trimestre 10.

On peut aussi se demander quels résultats on obtiendrait en utilisant la droite de Mayer. Pour construire cette droite, il faut calculer les coordonnées des points moyens pour les quatre premiers et les quatre derniers points du graphique, soit (2,5; 5,4) et (6,5; 5,95) La droite passant par ces deux points moyens est la droite de Mayer. Elle a pour équation

y = 0.1375 x + 5,05625.

On peut aussi prévoir les ventes des trimestres suivants à partir de la droite de Mayer et comparer ces résultats avec les précédents. Pour le trimestre 9, on trouve 6,29 millions d’euros; pour le trimestre 10, on en trouve 6,43…

Evolution des ventes

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13n° du trimestre

mon

tant

des

ven

tes

en m

illio

ns

d'eu

ros


Test à l'effort

Quel enjeu ? Découvrir l'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés et l'utiliser pour réaliser une extrapolation et une interpolation.

Que fait l’élève ? À l'aide d'un tableau, qui met en correspondance l’intensité du travail et la fréquence cardiaque de la personne qui effectue un test à l’effort, il recherche la droite de régression, et détermine le coefficient de corrélation. Il compare ses résultats aux valeurs proposées par les fonctions du tableur. Il utilise l'équation de la droite de régression pour extrapoler et interpoler.

Énoncé : Les relevés de l'intensité du travail fourni(xi) exprimée en kilojoules par minute et de la fréquence cardiaque(yi) exprimée en nombre de battements par minute d'une personne pendant un test à l'effort sont données par le tableau suivant:

xi 9,6 12,8 18,4 31,2 36,8 47,2 49,6 56,8 yi 70 86 90 104 120 128 144 154

1) Déterminer, par son équation, la droite de régression de y et en x (on

arrondira les résultats au centième le plus proche).

2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique.

3) Représenter le nuage de points et la droite de régression (obtenue à l'aide de la courbe de tendance linéaire) sur un même graphique. Comparer l'équation obtenue à l'aide des options de cette courbe de tendance et l'équation obtenue à la première question, ainsi que les coefficients de corrélation.

4) Lorsque l'intensité du travail fourni est de 65kJ/min, estimer la fréquence cardiaque.

5) Lorsque la fréquence cardiaque est de 100 battements par minute, estimer l'intensité du travail fourni.

Mise en œuvre :

A l'aide d'un tableur, l'élève construit le tableau ci-après pour lequel

x = moyenne des xi

y = moyenne des yi

Xi = xi - x


Yi = yi - y

Cov(x,y) = moyenne des Xi * Yi

V(x) = moyenne des Xi²

V(y) = moyenne des Yi²

xi yi Xi Yi Xi*Yi

Xi² Yi²

9,6 70 -23,2 -42 974,4 538,24 1764 12,8 86 -20 -26 520 400 676 18,4 90 -14,4 -22 316,8 207,36 484 31,2 104 -1,6 -8 12,8 2,56 64 36,8 120 4 8 32 16 64 47,2 128 14,4 16 230,4 207,36 256 49,6 144 16,8 32 537,6 282,24 1024 56,8 154 24 42 1008 576 1764

262,4 896 3632 2229,76 6096

x = 32,8 V(x) = 278,72

y= 112 Cov(x,y) = 454 V(y) = 762

Le coefficient directeur a de la droite de régression est

63,1)(

),(==

xVyxCova .

L'ordonnée à l'origine b est calculé avec la formule b = y - a. On a par ailleurs x =58,57. Il est entendu que ces deux dernières valeurs se calculent aussi à l'aide du tableur. Il s'ensuit que la droite de régression a pour équation

y = 1,63 x + 58,57. Le coefficient de corrélation au carré est

970485,0)()(),(2

=⋅ yVxV

yxCov .


En utilisant l'assistant graphique du tableur et le bouton droit de la souris pour afficher les courbes de tendance, on obtient:

En utilisant la droite de régression avec x = 65, on extrapole facilement que la fréquence cardiaque, pour un travail fourni de 65 kJ/min sera de 164,45 c.à d 165 battements par minute. De même, on interpole que lorsque la fréquence cardiaque est de 100 battements par minute, le travail fournit sera de 25,4 kJ/min.

y = 1,6289x + 58,573R2 = 0,9705

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 10 20 30 40 50 60


Péage d’autoroute

Quel enjeu ? Organisation et dénombrement de données en utilisant des règles simples. Découverte de la notion de probabilité.

Que fait l’élève ? Il construit un tableau représentant la situation et s’en sert pour calculer la probabilité demandée.

Énoncé Un péage automatique d'autoroute n'accepte que les billets de 10 € et de 5 € ainsi que les pièces de 2 € et de 1 € mais il ne rend pas la monnaie. De combien de façons peut-on acquitter un paiement de 18 €? Quelle est la probabilité que ce paiement utilise 2 billets de 5€?

Déroulement On relève dans des tableaux, construits méthodiquement, toutes les possibilités d'obtenir une somme de 18 € avec les billets et pièces acceptées. Le premier tableau reprend les paiements qui utilisent le billet de 10 €. Le deuxième reprend les paiements qui utilisent au moins un billet de 5 € mais pas celui de 10 €. Le troisième tableau montre les paiements qui n'utilisent aucun billet.

10 € 5 € 2 € 1 € 5 € 2 € 1 € 2 € 1 €

1 1 1 1 3 1 1 9

1 1 3 3 3 8 2

1 4 2 4 7 4

1 3 2 2 3 2 6 6

1 2 4 2 2 4 5 8

1 1 6 2 1 6 4 10

1 8 2 8 3 12

1 6 1 2 14

1 5 3 1 16

1 4 5 18

1 3 7

1 2 9

1 1 11

1 13


Il y a donc 7 + 14 + 10 = 31 possibilités d'acquitter les 18 €. Un paiement qui utilise deux billets de 5 € se retrouve cinq fois dans le tableau. La probabilité que le paiement utilise deux billets de 5 € est donc de

36,19315≈ %.

Synthèse Le nombre de possibilités d'obtenir 18 € représente le Nombre de Cas Possibles. Le nombre de possibilités d'utiliser deux billets de 5 € représente le Nombre de Cas Favorables. La Probabilité est le quotient de ces deux nombres.


Fiabilité d’une machine

Quel enjeu ? Modéliser un problème de probabilité conditionnelle par un arbre.

Que fait l’élève ? Il utilise des arbres et/ou des tableaux.

Énoncé Trois machines fabriquent des ampoules électriques dans les proportions suivantes: 20% pour la machine A, 50% pour la machine B et 30% pour la machine C. Les fiabilités respectives des machines sont 0,9, 0,95 et 0,8. On achète une ampoule et elle fonctionne. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine A ?

Mise en œuvre Nous recommandons d'examiner les deux représentations, tableau et arbre, toutes deux conduisent à leurs façons à modéliser et à mettre en place les raisonnements pour construire les formules. Le tableau aide à rendre compte de l'ensemble de la situation et la présentation en arbre est une bonne transition vers les formules.

Présentation en tableau

Supposons que 1000 ampoules ont été fabriquées. On peut construire le tableau suivant

A B C Total

Bonnes ampoules 180 475 240 895

Ampoules défectueuses 20 25 60 105

Total 200 500 300 1000

L'ampoule est bonne: il y a donc 895 ampoules possibles. Parmi ces ampoules, 180 proviennent de la machine A. Ainsi, si l'ampoule est bonne,

la probabilité qu'elle ait été fabriquée par A est 2011,0895180

= .


Présentation en arbre

Mais pour répondre à la question posée, nous devrions disposer d’un autre arbre:

On peut compléter assez rapidement les deux premières branches, c'est-à-dire déterminer la probabilité qu'une ampoule soit bonne. En appliquant les règles d'addition et de multiplication sur le premier arbre, on obtient: P(bonne ampoule) = 0,2 × 0,9 + 0,5 × 0,95 + 0,3 × 0,8 = 0,895.

D'où P(ampoule défectueuse) = 1 - 0,895 = 0,105.

Pour déterminer les autres probabilités du second arbre, mettons les deux arbres en parallèle. Si l'on veut savoir quelle est la probabilité d'avoir une bonne ampoule fabriquée par la machine A, on peut parcourir un chemin (= branches consécutives) sur un arbre ou l'autre mais le résultat doit être le même dans les deux cas.

- Sur le premier arbre, la probabilité que l'ampoule soit fabriquée par la machine A et soit bonne est 0,2 × 0,9 = 0,18.

- Sur le second arbre, la probabilité qu'une bonne ampoule ait été fabriquée par la machine A est 0,895 × a.

En égalant les deux, on trouve la probabilité demandée

895,018,0

=a


Synthèse La probabilité pour qu'une ampoule soit bonne n'est pas la même que la probabilité pour qu'une ampoule soit bonne si elle a été fabriquée par la machine A. Dans le second cas, il y a une information supplémentaire. Le « référentiel » n'est plus le même. On parle alors de probabilité conditionnelle.

Prolongement On peut recommencer le tableau en remplaçant 1000 par 1, ce qui introduit naturellement un tableau de probabilité.

On peut aussi établir la formule des probabilités conditionnelles.


Bibliographie

[1] G. Barussaud et D. Laurent - Mathématiques (les cahiers de) - Bac Pro tertiaires- classe de première et de terminale. Editions Foucher ; 2003. ISBN 2-216-09457-9

[2] H.Carnec, R.Seroux, J-M. Dagoury, M.Thomas - Itinéraires en statistiques et probabilités, Ellipses Edition, 2000.

[3] CTELH – Mathématiques au service des métiers du tertiaire ), et du « citoyen » Disponible au CTELH, asbl, rue des Compagnons, 10 A 7000, Mons.

[4] C. Hauchart et N. Rouche - Apprivoiser l’infini. Ciaco, Louvain La Neuve, 1987.

[5] D. Justens et J. Rosoux - Introduction à la mathématique financière. De Boeck-Université, collection Entreprise ; 1995

[6] A.Massoni- Initiation aux statistiques descriptives avec EXCEL, Editions Vuibert, 2002.

[7] André Ross - Mathématiques appliquées à l’administration, éditions Le Griffon d’argile, 1999 , ISBN 2-89443-086-8.

[8] Van der Linden - L'arbre, outil pédagogique en calcul des probabilités. Mathématique et Pédagogie n° 25 (p.29 à 51); 1980

[9] C. Villers - La mathématique au quotidien… Question de tempérament. Math-Jeunes n°93 (p.50 à 54) ; 2000

A propos du nombre d’or

M. Cleyet-Michaud - Le nombre d’Or, Collection Que sais-je ? (1530) Presses Universitaires de France.

R. Vincent, Géométrie du nombre d’Or - Ed. Chalagam, 15, Boulevard André-Aune, 13006 – Marseille – ISBN : 2-9508001-4-9

M. Neveux et H.E. Huntley - Le nombre d’or, radiographie d’un mythe, suivi de La divine proportion, Inédit sciences. Editions du Seuil, 1995

Logiciels Graphmatica, logiciel graphique, téléchargeable gratuitement. On peut y accéder via le site du secteur mathématique de la FeSEC, disponible aussi sur http://www8.pair.com/ksoft.

Excel, tableur, diffusé par Microsoft

Documents

cours à 2 périodes/sem. - Collège Sainte-Véronique · modules, dans le cadre d’exercices. ... l'algébrique (dans les formules) et le graphique. Ils explorent la fonction du