COURS ANALYSE QUANTITATIVE (S1) Papa Gueye … · Comparer l’évolution :) grandeurs de natures différentes) grandeur dans deux situations différentes ... 5 2 =0;75 Le prix du

Organisation, Objectifs et PlanChapitre 2 : Calculs et interprétations des Indices

Université de Lorrainee Faculté de Droit, Sciences Economiques et Gestion

Année 2017/2018 Licence de Sciences Economiques

Licence Droit - Economie

1ereannee

COURSANALYSE QUANTITATIVE (S1)

Papa Gueye [email protected]

1/42 Papa FAM Analyse Qauntitative (S1) Chapitre 2 : Calculs et interprétations des Indices


Chapitre 2 : Calculs et Interprétations des Indices

Licence 1 : Semestre 1, 2017-2018

30 novembre 2017



OrganisationObjectifsPlan

1 Organisation, Objectifs et PlanOrganisationObjectifsPlan

2 Chapitre 2 : Calculs et interprétations des IndicesIntroductionIndices élémentairesIndices synthétiques




Organisation

Cours magistral + exercices : 12 heures

Examen (partie l) : 1 heure (Tirage au sort avec Statistiquesdescriptives)









Objectifs

1. Compléter les acquis en statistiques descriptives

2. Initier à l’analyse quantitative en sciences économiques et sociales

⇒ Fournir une connaissance pratique des techniques quantitatives de base

⇒ Effectuer des travaux d’analyse de données

3. Introduire l’analyse des séries temporelles









Plan du cours

Introduction

Chapitre 1 : Concepts de base en analyse quantitative

Chapitre 2 : Calculs et interprétations des Indices

Chapitre 3 : Introduction aux séries temporelles



IntroductionIndices élémentairesIndices synthétiques






Introduction

Indices : description des phénomènes plus ou moins complexes

Économie :⇒ indice des prix à la consommation (IPC)⇒ indice de compétitivité d’une économie,⇒ indice de développement humain (IDH) ...

Deux types d’indices :

1. indices élémentaires : calculés sur la base de grandeurs simples⇒ prix d’un produit,⇒ cours de l’action d’une socicété ...

2. indices synthétiques : calculés sur la base de grandeurs complexes⇒ IPC, production industrielle,⇒ cours des actions ...




Objectifs du chapitre

Synthétiser les informations d’une grandeur :⇒ indice résumant l’évolution des prix⇒ indice résumant l’évolution des quantités

Comparer l’évolution :⇒ grandeurs de natures différentes⇒ grandeur dans deux situations différentes

Agréger :⇒ ensemble de valeurs hétérogènes au sein d’un même indice

Mettre en évidence :⇒ des variations de prix et de quantités (changement de qualité)









Données

Possibilité : mesurer l’évolution d’une grandeur quelconque à deux périodes

⇒ période de base ou période de référence (période 0)⇒ période courante ou période finale (période t)

Si on note X la grandeur étudiée, on a alors deux observations :

x0 et xt

Objectif ?

⇒ mesurer l’évolution de cette grandeur entre :=⇒ la période de base (période 0) et la période courante (période t)




Définition

Considérons une grandeur simple x qui prend la valeur x0 à la période de base ou deréférence (période 0) et la valeur xt à la période courante (période t).

On définit l’indice élémentaire (noté : it/0 ) de la grandeur X à la période courante tpar rapport à la période de base 0 comme le rapport entre la valeur courante xt et la

valeur de base : x0 :

iX

t/0 =valeur courantevaleur de base

=xt

x0(1)

Indice de base 1 à la date 0




Remarques

Remarque 1 : indice exprimé en pourcentage :

iX

t/0 =valeur courantevaleur de base

•100 =xt

x0•100 (2)

Indice de base 100 à la date 0

Remarque 2 : usage abusif ⇒ mesurer par le taux de variation

tX

t/0 =xt − x0

x0(3)

Seulement constater que :

iX

t/0 = 1−txt/0 (4)




Exemple 1Si le salaire net mensuel d’un agent économique passe de 1425 euros à 1596 euros,l’indice élémentaire du salaire net vaut :

i salaire net =15961425

= 1,12

Le salaire net a été multiplié par 1,12

⇒ le salaire net est en augmentation (ou en hausse) de [(1,12−1)•100], soit 12%

Remarque 2 : usage abusif ⇒ dire que l’indice vaut 12% ou même l’indice vaut 12

Contexte et valeur ⇒ indice ou taux de variation

taux de variation = tsalaire net =1596−1425

1425= 0,12 ou 12%




Exemple 2

Si le prix d’un kilogramme de riz passe de 2 à 1,5 euros, l’indice du prix du riz vaut :

i prix riz =1,52

= 0,75

Le prix du riz a été multiplié par 0,75

On dit aussi que le prix du riz est en baisse (ou en diminution) de 25%

En effet, (0,75−1) • 100 =−25.




A retenir

Retenons : on reteindra les deux règles suivantes :

- Une multiplication par x (c’est à dire un indice élémentaire i = x)

⇒ équivalente à une variation en pourcentage de : (x −1) • 100

- Une variation en pourcentage de v

⇒ équivalente à une multiplication par : 1+ v100 .




PropriétésCircularité ou transitivité :⇒ Soit ixt/0 l’indice d’une grandeur x entre les périodes 0 et t , ixt′/t celui mesurant l’évolutionde cette même grandeur entre les périodes t et t ′ et ixt′/0 celui mesurant la même grandeur entreles périodes 0 et t ′, on aura :

i xt/0 = i x

t/t ′ • i xt ′/0 (5)

Ou encore :

i xt/t ′ =

i xt/O

i xt ′/0

(6)

Possibilité : comparer les dates 0 et t d’une part, et les dates 0 et t ′ d’autre part, maisaussi les dates t et t ′ (équation 6)

Réversibilité :⇒ Les indices élémentaires sont également réversibles :

i xt/0 =

1i x0/t

(7)




Remarque sur la circularité

Les indices élémentaires s’enchainent par multiplication.

Soit ix1/0 l’indice d’une grandeur x entre les périodes 0 et 1 , ix2/1 celui mesurant l’évolution decette même grandeur entre les périodes 1 et 2 ; l’indices ix2/0 qui mesure l’évolution entre 0 et2s’obtient à partir des deux indices précédents :

i x2/0 = i x

1/0 • i x2/1 (8)

Passage entre :

⇒ une série d’indices à base mobile : ix1/0 , ix2/1 , i

x3/2 , .., i

xt/t−1 , ...

⇒à la série correspondante des indices à base fixe, ix1/0 , ix2/0 , i

x3/0 , .., i

xt/0 , ...

En généralisant :

ix1/0 , ix2/1 , i

x3/2 , .., i

xt/t−1 , ...

Ainsi, on aura : ix1/0 = ix1/0 • ix2/1 • ix3/2• , .., • ixt/t−1 ET ixt/t−1 =i xt/0

i xt−1/0




Autres remarquesUn indice élémentaire vérifie également les propriétés suivantes :

- supposons que la grandeur X soit telle que : X = a • b ou a et b sont deuxgrandeurs.

On a alors :

i xt/0 = i a •b

t/0 = i at/0 • i b

t/0 (9)

- supposons que la grandeur X soit telle que : X = ab ou a et b sont deux grandeurs.

On a alors :

i xt/0 = i a /b

t/0 =i at/0

i bt/0

(10)









Généralités : indices de valeur, des prix et de volume

Possibilité : mesurer l’évolution d’un ensemble de grandeurs

⇒ grandeurs complexes : composées de grandeurs simples⇒ agréger (synthétiser)

Exemple : indice des prix à la production de l’industrie (INSEE)

⇒ sur la base des prix de 24 000 produits⇒ agrège (synthétise) l’évolution de 24 000 indices élémentaires

En économie : évolution des prix, des quantités et des valeurs

⇒ indice de valeur⇒ indice des prix⇒ indice de volume (ou des quantités)




Indice synthétique de valeurSoit une grandeur complexe X composée de n éléments.

X ⇒ x i , i = 1, ...n ⇒ x1 , x2 , x3 , ... , xn

⇒ IValeur : indice de valeur des n éléments considérés.

Définition 1 :Soient pi

0 le prix à la période de base et pit le prix à la période courante d’un

éléments x i . On note qi0 et qi

t les quantités respectivement à la période de base et à lapériode courante de ce même élément.

L’indice de valeur IValeurt/0 ou IVt/0 est donné par le rapport : entre la somme des

valeurs des n éléments de X à la période courante et cette même somme à période de

base , soit :

IValeurt/0 = IV

t/0 =

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pi0q

i0

(11)




Indice synthétique de valeur (suite)

v it : valeur monéaire de chaque élément x i , i = 1, ...n de X

⇒ période courante : v it = pi

t •qit

⇒ période de base : v i0 = pi

0 •qi0.

V Xt : valeur monétaire de la grandeur complexe X

⇒ période courante : V Xt =

n∑

i=1v it =

n∑

i=1pitqi

t

⇒ période de base : V X0 =

n∑

i=1v i

0 =n∑

i=1pi0q

i0

IX (valeur)t/0 = IX (V )

t/0 = I X (pq)t/0 =

n∑

i=1v it

n∑

i=1v i

0

=

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pi0q

i0

(12)




Limites de l’indice synthétique de valeur

L’indice donne peu d’information sur la grandeur étudiée

⇒ dépend à la fois de l’évolution des prix et des quantités

Problème d’interprétation

⇒ hausse (baisse) de l’indice

⇒ hausse (baisse) des prix et d’une baisse (hausse) des quantités

⇒ hausse (baisse) des quantités et d’une baisse (hausse) des prix

Nécessité de surmonter ce problème

⇒ indice de volume ou des quantités (prix constants)

⇒ indice des prix (quantités constantes)




Définition générale : indices de Laspeyres

Définition générale :

Soit β i la part (ou le poids) de l’élément x i , i = 1, ...n dans la grandeur complexe (ou agrégée)

X . Les coefficients β i , i = 1, ...n représentent les coefficients de pondération. Par définition :

n

∑i=1

βi0 =

n

∑i=1

βit = 1 (13)

Définition 2 : indice de Laspeyres :

L’indice de Laspeyres d’une grandeur X noté LXt/0 est la moyenne arithmétique des indices

élémentaires pondérée par les coefficients β i de la période de base ou de référence (période 0),β i

0 :

LXt/0 =

n

∑i=1

βi0 I it/0 =

n

∑i=1

βi0

x it

x i0

(14)




Définition générale : indices Paasche

Définition générale :

Soit β i la part (ou le poids) de l’élément x i , i = 1, ...n dans la grandeur complexe (ou agrégée)

X . Les coefficients β i , i = 1, ...n représentent les coefficients de pondération. Par définition :

n∑

i=1β i0 =

n∑

i=1β it = 1 (13)

Définition 3 : indice de Paasche :

L’indice de Paasche d’une grandeur X noté PXt/0 est la moyenne harmonique des indices

élémentaires pondérée par les coefficients β i de la date courante (période t), β it :

PXt/0 =

1n∑

i=1

β it

I it/0

=1

n∑

i=1β it

x i0

x it

(15)




Indices de LaspeyresIndice des prix de Laspeyres :

L’indice des prix de Laspeyres d’une grandeur complexe X noté : LXt/0(p)

βi0 =

pi0q

i0

n∑

i=1pi0q

i0

(16)

L’indice des prix de Laspeyre peut alors s’écrire comme suit :

LXt/0(p) =

n

∑i=1

βi0 I it/0 =

n

∑i=1

pi0q

i0

n∑

i=1pi0q

i0

• pit

pi0

(17)

LXt/0(p) =

n

∑i=1

βi0 I it/0 =

n∑

i+1pitqi

0

n∑

i=1pi0q

i0

(18)




Indices de LaspeyresMéthode du panier à provision :

⇒ Indice élémentaire du prix de cet aliment vaut :

I it/0 =pit

pi0

⇒ En notant qi les quantités des aliments retenus dans le panier :

IXt/0 =

n∑

i=1pit•qi

n∑

i=1pi0•qi

⇒ dépend donc du panier, c’est-à-dire de la répartition en quantités choisies.

⇒ consommation de la période de référence, LXt/0(p) :

LXt/0(p) =

n∑

i+1pit • qi

0

n∑

i=1pi0 • qi

0

(19)




Indices de LaspeyresIndice de volume de Laspeyres :

L’indice des prix de Laspeyres d’une grandeur complexe X noté LXt/0(q)

βi0 =

pi0q

i0

n∑

i=1pi0q

i0

(20)

L’indice de volume de Laspeyres peut alors s’écrire comme suit :

LXt/0(p) =

n

∑i=1

βi0 I it/0 =

n

∑i=1

pi0q

i0

n∑

i=1pi0q

i0

qit

qi0

(21)

LXt/0(p) =

n

∑i=1

βi0 I it/0 =

n∑

i+1pi0q

it

n∑

i=1pi0q

i0

(22)




Indices de PaascheIndice des prix de Paasche :

L’indice des prix de Paasche d’une grandeur complexe X noté PXt/0(p)

βit =

pitqi

tn∑

i=1pitqi

t

(23)

L’indice des prix de Paasche peut alors s’écrire comme suit :

PXt/0(p) =

1n∑

i=1

β it

I it/0

=1

n∑

i=1

pitqi

tn∑

i=1pitqi

t• pi

0pit

(24)

PXt/0(p) =

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pi0q

it

(25)




Indices de PaascheMéthode du panier à provision :

⇒ Indice élémentaire du prix de cet aliment vaut :

I it/0 =pit

pi0

⇒ En notant qi les quantités des aliments retenus dans le panier :

IXt/0 =

n∑

i=1pit•qi

n∑

i=1pi0•qi

⇒ dépend donc du panier, c’est-à-dire de la répartition en quantités choisies.

⇒ consommation de la période courante, LXt/0(p) :

PXt/0(p) =

n∑

i+1pit • qi

t

n∑

i=1pi0 • qi

t

(26)




Indices de PaascheIndice de volume de Paasche :

L’indice de volume de Paasche d’une grandeur complexe X noté PXt/0(q)

βit =

pitqi

tn∑

i=1pitqi

t

(27)

L’indice de volume de Paasche peut alors s’écrire comme suit :

PXt/0(q) =

1n∑

i=1

β it

I it/0

=1

n∑

i=1

pitqi

tn∑

i=1pitqi

t• qi

0qit

(28)

PXt/0(q) =

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pitqi

0

(29)




Avantages et inconvénients des indices

Les indices de Laspeyres sont les plus utilisés

⇒ permettent de conserver le même panier

⇒ différents indices restent proches.

Méthode de pondération pas totalement satisfaisante

⇒ isoler spécifiquement l’influence (sur l’indice) des seules changement de prix des aliments

⇒ surestimer l’impact de l’évolution des prix sur le pouvoir d’achat du consommateur

⇒ nécessité de réviser périodiquement les coefficients de pondération de l’indice




Avantages et inconvénients des indices (suite)

Indice des prix de paasche

⇒ avantage de tenir compte des changements de structure de consommation

Indice est limité : mêle l’influence des changement de prix et des quantités

⇒ difficulté de calcul de l’indice : disponibilité des données (prix et quantité)

⇒ variation des coefficients de pondération

⇒⇒ sous-estimer l’impact de l’évolution des prix sur le pouvoir d’achat du consommateur




Indices de FisherIndices de Laspeyres et de Paasche sont limités :

⇒ absence de critères pour conclusion sur la supérioté de l’un sur l’autre⇒ nécessité de construire un indice permettant de combiner les deux indices

Définition 4 :L’indice de Fisher d’une grandeur X noté FX

t/0 est défini comme la moyennegéométrique des indices de Laspeyres et de Paasche, soit :

FXt/0 =

√LXt/0 • PX

t/0 (30)

Indice des prix de Fisher :

FXt/0(p) =

√LXt/0(p) • PX

t/0(p) (31)

Indice de volume de Fisher :

FXt/0(q) =

√LXt/0(q) • PX

t/0(q) (32)




Indices de Fisher

Remarque :

PXt/0 ≤ FX

t/0 ≤ LXt/0 (33)

Indices de Laspeyres : moyennes arithmétiques des indices élémentaires

Indices de Paasche : moyennes harmoniques des indices élémentaires

Pour une série de donnée :

⇒ moyenne harmonique < moyenne arithmetique.

Différence non négligeable entre les coefficients de pondération :

⇒ inégalité non plus lieu d’être vérifiée.




Propriétés des indices : Laspeyres, Paasche et Fisher

Circularité :

Les indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher ne vérifient pas la propriété decircularité.

LXt/0 diff erent de LX

t/t ′ • LXt ′/0 (34)

PXt/0 diff erent de PX

t/t ′ • PXt ′/0 (35)

FXt/0 diff erent de FX

t/t ′ • FXt ′/0 (36)




Démonstration :

LXt/0(p) diff erent de LX

t/t′(p) • LX

t′/0(p) (37)

Si cette différence est vérifiée, alors :

LXt/t′

(p) diff erent deLXt/0(p)

LXt′/0(p)

(38)

Or :

LXt/t′

(p) =

n∑

i=1pitqi

t′

n∑

i=1pit′

qit′

(39)

Et

LXt/0(p)

LXt′/0(p)

=

n∑

i=1pitq

i0

n∑

i=1pi0qi

0n∑

i=1pit′

qi0

n∑

i=1pi0qi

0

=

n∑

i=1pitqi

0

n∑

i=1pi0qi

0

•

n∑

i=1pi0qi

0

n∑

i=1pitqi

0

=

n∑

i=1pitqi

0

n∑

i=1pi0qi

0

•

n∑

i=1pi0qi

0

n∑

i=1pitqi

0

=

n∑

i=1pitqi

0

n∑

i=1pitqi

0

(40)

On en déduit que :

LXt/t′

(p) =

n∑

i=1pitqi

t′

n∑

i=1pitqi

t′

diff erent deLXt/0(p)

LXt′/0(p)

=

n∑

i=1pitqi

0

n∑

i=1pitqi

0

(41)




Propriétés des indices : Laspeyres, Paasche et FisherRéversibilité :Les indices de Laspeyre et de Paasche ne sont pas réversibles :

LXt/0 diff erent de

1LX0/t

(42)

PXt/0 diff erent de

1PX

0/t(43)

On notera cependant que :

LXt/0 =

1PX

0/t(44)

PXt/0 =

1LX0/t

(45)

L’indice de Fisher est réversible :FX

t/0 =1

FX0/t

(46)




Propriétés des indices : Laspeyres, Paasche et Fisher

Agrégation :

Les indices de Laspeyres et de Paasche vérifient la propriété d’agrégation.

N’ayant pas de structure de moyenne arithmétique :

⇒ l’indice de Fisher ne vérifie pas la propriété d’agrégation.




Reconstitution de l’indice de valeurL’indice de valeur d’une grandeur complexe X est donné par la relation suivante :

IX (valeur)t/0 = I X (pq)

t/0 =

n∑

i=1V i

t

n∑

i=1V i

0

=

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pi0qi

0

(47)

ce que l’on peut encore décomposer comme suit :

IX (valeur)t/0 = IX (pq)

t/0 =

n∑

i=1V i

t

n∑

i=1V i

0

=

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pitqi

0

•

n∑

i=1pitqi

0

n∑

i=1pi0qi

0

=

n∑

i=1pitqi

t

n∑

i=1pi0qi

t

•

n∑

i=1pi0qi

t

n∑

i=1pi0qi

0

(48)

D’où la relation suivante :


t/0 =√

PXt/0(q) • LX

t/0(p)•PXt/0(p) • LX

t/0(q) (49)

soit encore :


t/0 =√

LXt/0(p) • PX

t/0(p) •√

LXt/0(q) • PX

t/0(q) (50)

d’où :

IX (valeur)t/0 = I X (pq)

t/0 = FXt/0(p) • FX

t/0(q) (51)


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