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7/24/2019 cours anoua S1.pptx

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COURS : Mcanique du point

Universit Chouaib DoukkaliFacult des SciencesDpartement de physique! "adida

Pr. Anoua M#

Cours sous $orme de diapositi$s

%animation&


2/189

U'()RS(* C+OU,(-DOU..,!(F,CU!* DS SC('CSD/,R*M'* D /+0S(1U

! ",D(D,

,nne universitaire 234562347

Fili8re : SM/

Module : /hysique 4

MC,'(1U DU /O('*

Responsable : /r# M# ,'OU,

2


3/189

CHAPITRE I : RAPPELS (CALCULS VECTORIELS)

INTRODUCTION

SOMMAIRE

CHAPITRE II : CINEMATIQUE DU POINT

CHAPITRE III : DYNAMIQUE DU POINT

PARTIE IV : THEOREME GENERAUX

CHAPITRE V : OSCILLATEURS HARMONIQUES (LA LOI DE FORCE EN K X)

CHAPITRE VI : GRAVITATION

CHAPITRE VII : CHOCS DE DEUX PARTICULES.

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La mcanique prsente ici concerne exclusivement la mcanique du point.Pratiquement elle concerne les objets matriels dont lextension spatiale est

tr!s "aible# leurs d"ormations et lner$ie lie % leur mouvement propre derotation peuvent ainsi &tre n$li$es devant les ner$ies mises en jeu.'ependant un objet aussi volumineux que la terre ou le soleil peut danscertains cas &tre assimilable % un pointen ce qui concerne( par exemple( sonaction sur des corps dans son entoura$e.

)ous ntudierons pas de s*st!mes de tr!s petites dimensions( % lc+elleatomique( domaine pour lequel il a t montr il * a un si!cle que les notions demcanique classique doivent &tre remplaces par celles de mcaniquequantique.

,e m&me la mcanique relativiste sort du cadre de cette prsentation et nousnenvisa$erons que des mobiles dont la vitesse est "aible devant celle de lalumi!re -mcanique classique/. 0oute"ois le principe "ondamental de lad*namique sera donn dans le cadre relativiste( son expression tant tr!s simple% partir de la quantit de mouvement( et nous en dduirons les relations

classiquement utilises que sont les lois de )e1ton.

Introduction

4


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Le but vis est de pouvoir relierle mouvement dun corps aux "orces qui luisont appliques. Pour cela( il nous "audra relier les "orces -la "orce extrieurersultante/ % lacclration #

cest le principe "ondamental de la d*namique. Ensuite( nous apprendrons %relier lacclration % la vitesse et % la position( oprations mat+matiquesre$roupes sous le nom de cinmatique#

)ous serons ainsi capables de dcrire le mouvement % partir de la "orceapplique( et inversement de dduire la "orce si la trajectoire est connue #

)ous supposerons qu2un temps unique peut3&tre d"ini en tout point de l2espace(et que les lon$ueurs( masses( temps( et "orces sontinvariantes lors d2unc+an$ement de r"rentiel.

La mcanique du point nexclut pas la mcanique des points et nous aurons denombreuses "ois loccasion dvoquer le comportement de plusieurs corps enprsence et den d"inir certaines proprits comme le centre de masseet laquantit de mouvement.

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Chapitre I : RAPPELS (CALCULS VECTORIELS)

4Le mo!"#$%&'e%e *+' mo ,-e &'% $%,%/%e 0'-e1 *o 20!"#$%&'e e$ 'e $%ee &'% $+%3-e$$e 4 2+3'*e *e$ !"3om5e$0'-e2$.

6e la deuxi!me e$ 20 -0*%0%o *o 2+3'*e e$ -3,% par la t+orieclassique de Max1ell

6 E22e 0 !o'- 7' 2+3'*e *e$ om!o$0$ *e 20 m0%5-e e 2e'-$

%e-0%o$ m''e22e$ 0/% *+e8!2%&'e- 2e$ *%//3-e$ !-o!-%33$ *e 20m0%5-e.

La p+*sique!e' 9-e *%%$3e e deux,-0*e$ 20$$e$ p+*siqueclassique et p+*sique moderne.

6La premi!re e$ o$%'3e *e *e'8 7-0"e$ 5 la mcanique &'%$+o'!e *e ltude des mouvements des s*st!mes matriels

/+0S(1U

6


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6RA),E7RS 8O),AME)0ALES E0 7)I09SL+3'*e *e$ !"3om5e$ !"#$%&'e$ o$%$e 4 2e'-$ 0$$o%e- *e$,-0*e'-$. L+0-%7'%o 4 "0&'e 02e'- *+'e ,-0*e'- ' om7-ee$ /0%e !0- 20 e"%&'e *e 20 me$'-e. Me$'-e- 'e ,-0*e'-1 +e$ lacomparer 4 'e &'0%3 *e -3/3-ee *e m&me nature !-%$e !o'-'%3. D+'e m0%5-e ,33-02e1 o 0*me ' $#$5me om!o$3 *e sixunits/o*0me02e$ ( $#$5me SI).

Les quatrepremi!res units "orment le s*st!me international M:SA.

62e m5-e1 '%3 *e 2o,'e'- (m)

6 2e ;%2o,-0mme1 '%3 *e m0$$e (;,)

6 20 $eo*e1 '%3 *e em!$ ($)

6 2+0m!5-e1 '%3 *+%e$%3 *e o'-0 32e-%&'e (A)

< 2e *e,-3 ;e2%1 '%3 *e em!3-0'-e (=K)

< 20 0*e201 '%3 *+%e$%3 2'm%e'$e (C*)

< L0 &'0%3 *e m0%5-e1 '%3 mo2e (mo2)

7


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ou

Ce$ *e'8 e8!-e$$%o$ *oe 20 !3-%o*e *+o$%220%o * +' !e*'2e $%m!2e*e 2o,'e'- e , e$ 2+0323-0%o *e 20 !e$0e'-.

Le !-em%e- mem7-e 0 20 *%me$%o *+' em!$ ($) %2 /0' &'e 2e *e'8%5me mem7-e 0%20 m9me *%me$%o1 $%o 20 /o-m'2e e$ /0'$$e.

>e-0$ :

?%5me

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>@??, m @ $

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O e !e'0**%%oe- &'e *e$ e-me$ 0#0 20 m9me *%me$%o L0 *%me$%o *' !-o*'% *e *e'8 ,-0*e'-$ e$ 2e !-o*'% *e$ *%me$%o$ *e

"0'e *e$ ,-0*e'-$: AB AB L0 *%me$%o *eAe$ 3,02e 4 Ao e$ ' om7-e $0$ *%me$%o. Po'- 2e$ /o%o$ $'%0e$: $%(')1 o$(')1 0(')1 2(')1 2o,(') e e'1 20

,-0*e'- 'e$ $0$ *%me$%o.


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Le$ 2o%$ !"#$%&'e$ $o /o-m'23e$ m0"3m0%&'eme e e-me$ *+3&'0%o$*%//3-e%e22e$ 2o% /o*0me02e *e 20 *#0m%&'e1 3&'0%o *e$ mo'eme$

H0-mo%&'e$1 e

R3$o2'%o *e$ 3&'0%o$ *%//3-e%e22e$

>) L0 $o2'%o ,33-02e *e 2+3&'0%o *%//3-e%e22e 2%30%-e 4 oe//%%e$ o$0$ :

a * =b * > ? est * > ' ert

O - < 0@7 e$ 20 $o2'%o *e 2+3&'0%o 0-03-%$%&'e 0-7 eC e$ 'e o$0e.

?) L0 $o2'%o ,33-02e *e 2+3&'0%o ( *e 2+o$%220e'- "0-mo%&'e). :

*=;* > ? est * >A sin-t/=@ cos-t/

o A e B $o *e'8 o$0e$

9


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J) L0 $o2'%o *e 2+3&'0%o *' $eo* o-*-e "omo,5e 4 oe//%%e$ o$0$

0) S% - -> ?D A e H B e

#

20 $o2'%o ,33-02e e$ :

o A e B $o *e$ o$0e$ e

>

7

- ?0et

+

= ?7

- ?0

=

7) S%

D e (A$%# )( ( )Bo$ +

20 $o2'%o ,33-02e e$ :7

-?0

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c) Si ; 0;

a*=b*=c* > ?

O *%$%,'e -o%$ 0$1 $'%0 20 02e'- *' *%$-%m%0 : > b; 3 ac

20 $o2'%o ,33-02e e$ :

-D e (# A B)+

) L0 $o2'%o *e 2+3&'0%o *' $eo* o-*-e "omo,5e 4 oe//%%e$ o$0$ 0eSeo* mem7-e :

a*=b*=c* > "-t/

10


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L0 m3"o*e *e -3$o2'%o *+'e 3&'0%o *%//3-e%e22e 2%30%-e 4 oe//%e$o$0$ 0e $eo* mem7-e e$ 20 $'%0e :

0) Re"e-"e *e 20 $o2'%o ,33-02e #,*e 2+3&'0%o $0$ $eo* mem7-e (ESSM)

0$$o%3e !0- '%2%$0%o *e 2+3&'0%o 0-03-%$%&'e (EC).7) Re"e-"e *+'e $o2'%o !0-%'2%5-e #!*e 2+3&'0%o 0e $eo* mem7-e.

) U%2%$0%o *e 20 /o-m'2e # #,#!

11


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I3 ,"inition dun


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3LOIS


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VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX :

14


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< E-%'-e *+' ee'- :Com!o$0e$ *+' ee'-

> ? JO A % ; A = A A= +

15


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< P-o*'% $020%-e

Remarques :

Le roduit sca!aire satis"ait !es !oissui#antes :

16


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L$ %R&'(I*$+&RI$L

17


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R$,-R.($/:

18


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'RI*$ '( *$+$(R

J> ?

R

*A*A *A *A% ;

* * * *

= + +

r r rO !e' 3-%-e : > ? J

A() A () A% () A ();

= + +

So% ' ee'- A() e ' -e!5-e R *e 70$e ( %11;).

R R

*A(*A

*

)' A()*

*'

* = +

r r

DERIVEE DU MODULE!0- -0!!o- 4

DERIVEE DU SENSP0- -0!!o- 4 e !0- R

E $0 *3-%3e !0- -0!!o- 4 R

S% e$ ' ee'- *e mo*'2e A1 02o-$ e$ ' ee'- '%0%-e *em9me*%-e%o e *e m9me $e$ &'e 1 0e

A A

'A =

r

A A A '=

19


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20

L0 %3m0%&'e 0 !o'-7'*e !-3%$e- 2e$ -0eo%-e$ e 2e$ 2o%$ "o-0%-e$.

O $'!!o$e &'e 2+e$!0ee$ *e *%me$%o 0' !2'$ Je &'e 2e em!$ e$ 07$o2'%*3!e*0 *' 2%e'.

No'$ 0*meo$ &'e $0 %e$$e ve$ 3,2%,e072e *e0 20 323-%3 *e 20 2'm%5-e c.

Chapitre II : CINEMATIQUE DU POINT

H#!o"5$e$ e m30%&'e 20$$%&'e

O o$%*5-e &'e o' $#$5me !"#$%&'e e$ -3*'% 4 '!o% m03-%e2 (!0-%'2e M)o%*0 0e $o e-e *e ,-0%3 e oe0 $0 m0$$e m.

D3/%%%o *e 20 %3m0%&'e

Po'- 3'*%e- 2e mo'eme *+'e !0-%'2e M1 o *o% -e!3-e- 20 !o$%%o *e ee !0-%'2e*0$ :

2e em!$ e *0$

2+e$!0e

L0 %3m0%&'e e$ 'e 7-0"e *e 20 m30%&'e &'% 3'*%e 2e$ mo'eme$ *e$ o-!$*0$ 2+e$!0e e /o%o *' em!$ %*3!e*0mme *e$ 0'$e$ &'%2e$ !-oo&'e.


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21

Po'- -e!3-e-20 !o$%%o *+'e !0-%'2e1 %2 e$ 3e$$0%-e *e *3/%%-

' -e!5-e *+e$!0e . A ' $o2%*e1 2%3 4 e -e!5-e *+e$!0e1 o /%8e 'e o-%,%e O e 'e 70$e

Le -%5*-e e$ 2e -e!5-e *+e$!0e.

Po'- 3'*%e-2e mo'eme *+'e !0-%'2e1 o 0 0'$$% 7e$o% *+' -e!5-e *e em!$.O *3/%%e ' -e!5-e *e em!$ !0- 'e o-%,%e e 'e '%3 4 2+0%*e *+'e "o-2o,e.

Le -e!5-e *+e$!0ee 2e -e!5-e *e em!$*3/%%$$e ' -3/3-e%e2.

U -3/3-e%e2 e$ *o ' o7e"o-2o,e !0- -0!!o- 0'&'e2 o 3'*%e 2emo'eme.

To' mo'eme e$ -e20%/ 0' -3/3-e%e2 '%2%$3.

Repre et Rfrentiel

Rere desace

( I1 Q1 K )

( O1 I1 Q1 K )

Rere de tems

R"rentie!


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22

L0 -0eo%-e*3!e* *o *' -e!5-e1 o *% &'e 20 -0eo%-e e$ -e20%e.

L0 !o$%%o *+'e !0-%'2e M e$ $0 -0e *0$ ' -e!5-e 0' o'-$ *' em!$ .

POSITION ET TRAECTOIRE


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23

Po$%%o *' !o% m03-%e2

L0 !o$%%o *' !o% m03-%e2 !e' 9-e *3/%%e 0' o'-$ *' em!$ e /o%o *' ee'-!o$%%o

O !e' 0'$$% -e!3-e- e !o% e '%2%$0 2e$ *%//3-e$ $#$5me$ *e oo-*o3e$.Ce !o% M !0-o'- 20 -0eo%-e C e 4 "0&'e %$0 $0!o$%%o e$ -e!3-3e !0-:

$e$ oo-*o3e$ (81 #1 ) :

*ecteur #itesse

R (OXY) -3/3-e%e2

O'

X(%)Y ()

(;)

O

M

r

#

8

u

m

? ? ?OM 8 #O M ' ' >= + +uuu uuu rur ur r

%OM 8 # ;= + +Le ee'- $+3-% *0$ e 0$ :OM

Ae : OMOM

'> uuuurr

Vee'- '%0%-e *e 20 *%-e%o OM


24/189

24

e$ 3,02e 0' *3!20eme !0- '%3 *e em!$1 $o% :

So% 'e !0-%'2e M mo7%2e $'- 'e -0eo%-e

8

#

=

M+()

VECTEUR VITESSE MOYENNE

*3/%%e !0- -0!!o- 4 ' -3/3-e%e2 R (OXY).

M()

L0 %e$$e mo#ee $'- 2%e-022e *e em!$ 1

A "0&'e %$0 1 20 !o$%%o *e M e$ -e!3-3e !0-:

O

X

Y

OM

mo#ee

MMV >

t

ur MO OMF

+=

OMF OM

=

mo#ee

R

8( ) 8()

#( ) #()

V

( ) ()

>

+

+

+

ur


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25

O 0!!e22e $30e 20 *-o%e &'% o% 2e$ *e'8 !o%$

( x, f(x) ) e (x+h, f(x+h)).

/ (8 ") / (8)

"

+

VECTEUR VITESSE INSTANTANNEE

R0!!e2$ m0"3m0%&'e$: D3-%3e *'e /o%o

OX

R(o8#)

$30e

x 8"

/(8")

/(8) "

/(8")


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26

L0 !ee*e ee 0,ee e$ 0!!e23e *3-%3e *e / e 8

O8

M() e* e-$ M+()

R(o8#)

/(8)

E %3m0%&'e1 20 0-%072e e$ ,33-02eme 2e em!$ 1 $o% :

" I

/ (8 ") / (8) */ / (8) 2%m /

" *8

+ = = =

/ ( ) / () */ / () 2%m /

*

+ = = =


27/189

27

Po'- o7e%- 20 %e$$e 4 2%$0 1 o /0% e*-e e-$ 3-o*0$ 2e8!-e$$%o *e 20 %e$$e mo#ee $'- 2%e-022e 1.

OMOM

=mo#eeMM

V

F

=

I I2%m 2%m

MM F

MM

MM FV )

F(

= uuuuur

uuuuuruuuur

RMM O *M OMV() 2% Om 2%m ( )

*M

=

= =

uuuur

So% :

VITESSE INSTANTANE

( )

V M

O 0 20 %e$$e mo#ee :

E 20 %e$$e 4 2%$0 (%e$$e %$003e):

V(M) =


28/189

2820 o-me*' ee'- %e$$e %*%&'e 20 2o,'e'- !0-o'-'e !0- '%3 *e em!$.

=

)M(V)M(V

O 0 *o :

O

X

YM()

M()

M+()R(o8#)

T-0eo%-e *e M !0- -0!!o- 4 R

V(M)@R

ee'- %e$$e 0,e 4 20 -0eo%-e

e$ ' ee'- '%0%-e 0,e 4 20 -0eo%-e

I

MMF2%m

MMF =

rO 0 :

INTERPRTATION GOMTRIQUE

E "0&'e !o% *e 20 o'-7e:2e ee'- %e$$e e$ 0,e4 20 o'-7e e22e %*%&'e 20 *%-e%o *' *3!20eme

2esens*' ee'- %e$$e %*%&'e 2e $e$ *' mo'eme *' mo7%2e


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29

VECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEE

L0323-0%o mo#ee $'- 2%e-022e *e em!$ 1 e$ 3,02e 4 200-%0%o *e %e$$e !0- '%3 *e em!$1 e$


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30

DIFFERENTS REFERENTIELS

I< REPERE CARTESIEN

< Coo-*o3e$ 0-3$%ee$:

D0$ ' -e!5-e o-"oo-m3 *08e$ o81 o#1 o e *e 70$e o-"oo-m3eL0 !o$%%o *' !o% M 0' o'-$ *' em!$ e$ *3/%%e !0- 2e ee'- !o$%%o.(% 1 1 ;)

X

R (OXY) -e!5-e

Y

Z

O

M#

8

81 #1 $o 2e$ oo-*o3e$ *' !o% M1

Le mo*'2e *e OM e$ ? ? ?@OM@ 8 # = + +uuuur

OM 8()% #() (); = + +

m


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31

II< REPERE CYLINDRIQUES

E oo-*o3e$ #2%*-%&'e$1 20 !o$%%o *' !o% M e$ -e!3-3e !0- :

M

t)m

t)

()

8

#

O

( )(81m): 20,2e !o20%-e

[ [I1?] [1 +

| Om| : [ [1 +( t ) = -0#o !o20%-e 1 e2 &'e

( ) /mM/ : 20 oe

(t), (t), e ()1 e22e$ &'e :

e

e


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32

< T-o'e- 'e -e20%o e-e (, ,) e (81 # 1 ) :

< Le ee'- %e$$e :

< Le ee'- 0323-0%o $3-% :

< Le ee'- !o$%%o $3-% :

E !'%$&'e : e= cos i+ sin j

OM e ; = +

OM Om mM= +

OM e 8 #; % ; = + = + +r

O 0 :

Ome

@ Om @ =

ruuur0e :

@ R

R

*OMV(M) e e ;

*

= = + +

uuuuuur rr r

Ae ee'- '%0%-e e2 &'e /o-me 'e 70$e o-"oo-m3e *%-ee.e (e 1e 1;) r r

?

@ R

R

*V(M)(M) ( )e ( ? )e ;

*

= = + + +

uuuuur rr r

#

8

cos o =

sin o = A-0,

=

? ?8 #+

D3-%3e *+' ee'-

i

j

e

e

DERIVEE D+UN VECTEUR

!"


33/189

DERIVEE D UN VECTEUR

VV ( ) ) '( = r

R

*V()

*

=

*

*

V )'

(

+

r

R

V(

'

*)

*

ur

L0 *3-%3e *' mo*'2e @em!$ L0 *3-%3e *' $e$ @em!$@R

V()

2e mo*'2e *' ee'-o V V()( e) $

E 2e ee'- V() $+3-% :

So%e ' ee'- *e 2+e$!0e eo-%e2 E

E ' -3/3-e%e2 Rm'% *+'e 70$e ( )% 1 1 ;r r r

'

(D)

R R

' V* **o

()DI DI

* *

urr2e ee'- e$ 2%3 ( /%8e 4 R)$% ' 4 R e$ 2%3 ( /%8e 4 R)V( 4) R

ur

E 'ee'- '%0%-e &'% -e!-3$ee 2e $e$ *' ee'- V()

Si non on dtermine R

*

D*

V()

ur

!

i

j

"

33

#*V()

ur


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34

D#$%!M&'%! D%!&*%% D' *%-$%!

Rem0-&'e :

( ) ( ) ( ) ( )V E *e 70$e %11; V % V V ;;V % = + +ur r r r r r ru# u# r r ru# u# u#

; ; ;

' !20(o81o#)

( ) ( ) ( )' % ' ' ;' % ;= + +r r rr r r

; ; ;r r rr

So% ' ee'-

t)O

Y

X

U%0%-e *3/%% !0- 2+0,2e (o%- /%,'-e)

'

' % ' ' ( )% ( ) ( ' );;= + +r r rr rr r rr r

' %.o$ $% +=

r

O !e' 3-%-e :

Do :

R

*D

*

V()

r


35/189

35

R

*' * *$% o$

* * %

*

+

= r r

( )R

*' ** *

$%

% o$ = + r r

R

*' *

* *

= r

$% % .o$ = +

>=r

' I=;

Conclusion:

No'$ -eeo$ *o1 -5$ %m!o-01 &'e *0$ ' !20 :

.

=

r

R

d u dv

dt dt

1 o7e' !0- -o0%o *e @? *0$ 2e $e$ *e$ & -o%$$0$.

' o$ % $% = + r

t)O

.

'

x

L0 *3-%3e *+' ee'- '%0%-e (*3/%% !0- ) 1' ()

e$ ' ee'- !e-!e*%'20%-e 4 '*

*

r

*

*

r

Co$-'%o ,-0!"%&'e

REMARQUES :


36/189

36

E *+0!-5$ 20 /%,'-e $'%0e :

< De m9me !o'- 2+0323-0%o1 o o7%e :

O !e' 3-%-e : i

j

e

e

$% I

$% I

%o$

I

o$

;I >

=

rr

O 0:-E8!-%me- 20 %e$$e e 2+0323-0%o *0$ ( % 1 1 ; )

@ R

R

*OM

*

V(M) e e ;

= = + +

r r rr

?

R

R

@(M) e ? e( )

*V(M)(

*;)

= = + +

+

rr rr

@ RV(M) %( o$ $% ) ( $% o ;$ ) = + + r r r

REMARQUES :

E 20 %e$$e *e M $+3-% *0$ 20 70$e :( % 1 1 ;)

e %o$ H $% = r

e %$% H .o$= ; ;=

REPERE SPHERIQUE


37/189

37

REPERE SPHERIQUE E oo-*o3e$ $!"3-%&'e$ 20 !o$%%o *' !o% Me$ -e!3-3e !0- :

Le !o% me$ 20 !-oe%o o-"o,o02e *eM $'- 2e !20 "o-%o02 (o81o#).

(t)

(t) m8

#

O

M

-()R(o8#)

( ) L %% * M * 3


41/189

41

> L0 !o$%%o *e M e$ *o3e !0-:

Ae :-

OMe

@OM @=

rr

--M e()O = r

m

M-e

r

er

e

-er

er

2

O mxe

D0$ 2e !20 (Om1;)

e

e ' ee'- '%0%-e 1 e2 &'e:e -e e e =

-e

*-

*

= r

@

R

R

*OV(M)

M

*

= r

-

R

*e

*

- +

B0$e *' -e!5-e $!"3-%&'ePo'- /o-me- 'e 70$e *' -e!5-e $!"3-%&'e1

!e-!e*%'20%-e 4 e- *0$ 2e $e$ *e

*0$ 2e !20 ( ; 1 e-)1

O

M M

M

o *3/%% ' 0'-e ee'- '%0%-e e &'% e$ :

'$RI*$$ '( *$+$(R : e A


42/189

42

A !0-%- *' -e!5-e $!"3-%&'e1 o !e' *3/%%- 2e$ -e!5-e$ $'%0$:

R( % 1 1 ; )

R>( ' 1 1 ; )R?( e-1 e1 e ) m'% *e 20 70$e $!"3-%&'e

/%8e

= i ? u ) et u # @

O -em0-&'e &'e :

>

-

R

*e

*

#

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R

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*

#

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'$RI*$$ '( *$+$(R : er A

A

-

R

*e

*

#

m

-e

r

er

O

M

-er

e

r

2

O mx e

D0$ 2e !20 (Om1;)

e

8

#

u

"

Q'e22e e$ 20 *3-%3e *e e-!0- -0!!o- 4 :

i

B@

-*e

=r

2%3 4 R R ( )


43/189

43

?R*

=

>

-

R

*e

*

#

- '$% oe $ ;= +

0- e- e$ 2%3 4 R?

>

-

R

*

*

e

#

A

.o$ ' < $% ; = C Cr

A P'%$&'e : -R

*e

*

#

-e $% ' o$ ; = +

*o :R R

o$ ' $% < $%*

;Ho$' *;

* *= +

rrrC C-

R

*e

*

=

( )o$ ' < $% ; $%

e $%

e

=

= +

+

r

rC C

rC

r

rC

( ).o$ ' < $% ; = C rr

: R?( e-1 e1 e)

e

= r

O 0 :

R>( ' 1 1 ; ) M

-er

er

O m

xe

u

o$ ' $% < $% ; = + CC C

RELATION ENTRE ( ) ( )- ee 1 % 1 1e e 1 ; r rr r rr


44/189

44

e = er e

*o :

So% :

De 20 m9me /0o1 o o7%e :

E 20 -e20%o : 1 o'$ *oe :

e D sin iE cosBE8!-e$$%o *' -0#o ee'- OM

D0$ R?: OM @OM@ e- - e-

D0$R>: - o$OM ' ;- $%

>

-

R

*ee

*

=

rro' 7%e1 o !e' -em0-&'e- :

'ans !a Fase u ? # ? @ ) ? er eut scrire :

er Eu @E eru ) # er@ ) er# )

o$e- ' ;$%E !'%$&'e : ' o$% $%

er sin cos iE sinsinBE cos@

e cos cos iE cossinBD sin@

D0$ R : OM -$%&o$%-$%$% -o$;

( ) ( )-

V%e$$e e 0323-0%o *e M !0- -0!!o- 4 R (e oo-*o3e$ $!"3-%&'e)


45/189

45

V%e$$e e 0323-0%o *e M !0- -0!!o- 4 R (e oo-*o3e$ $!"3-%&'e)

@R

R

* MV(M)

*

O

=

O 0 :

( )@

R

-

R

* -e

*V(M)

=

-

R

*e

*

e o 0 *3mo-3 &'e :

e e$% = + C Cr r

E 2+0323-0%o *e M !0- -0!!o- 4 R : @R@R

R

*V(M)(M)

*

=

r

E !'%$&'e : OM - e- 1 *o :

@R -eV(M) - - - $%e e

= + +r r

C rC C

-e*-

*=

r -

R

*e

*-

+

Do :

@RV(M) - $% - o$ - $% - o$ - $%' ;

+

= +; ; ; ; ; rr ruuuuuur

So%:

COORDONNES POLAIRES DE M


46/189

46

-() e () !e'e 0-%e- e /o%o *' em!$ :8

o$

e #

$%

,

O *3/%% 2e$ ee'-$ '%0%-e$( e1 e)*0$ 20 70$e ( % 1 ) !0-:

e o$ % $% e e $% % o$ = = + = +

R

$% *

%e

eo *

$

= + =

r rr

Ro$

*e

% e%* $

= =

r rr

O 0 : OM e

So% 'e !0-%'2e M mo7%2e *0$ 2e !20 O8# *' -e!5-e R(O8#)

E oo-*o3e$ !o20%-e$1 20 !o$%%o *e M e$ -e!3-3e !0- :

D 2e -0#o ee'- OM*e mo*'2e ()

< 20,2e !o20%-e ().

Rem0-&'e :Re!-3$ee-

( 1 )

Rem0-&'e :

R

*

*

=

r

M

8

#

O

( )

( % )

()e e

e$ 'e 70$e(e 1 o-"oe ) o-m3e

VITESSE ET ACCELERATION ( * 3 2 % )


47/189

47

D0$ 20 70$e *e$ oo-*o3e$ !o20%-e$ 2e ee'- !o$%%o $3-% :

VITESSE ET ACCELERATION(e oo-*o3e$ !o20%-e$)

OM e

= r

@ R

R

* MV(M

*

O)

=

r

R

*( e e )

*

= +

; ;r r

R@V(M) *

e*

r * e

*

r= +

?(M) ( )e ( ? )e = +

;r r rCC CCC C

Rem0-&'e$ :D0$ 2e 0$ o - e$ 'e o$0e (mo'eme %-'20%-e)1 o 0'-0 :

M

8

#

O

( )

( % )

t)

e e

OM =

L0 %e$$e *e M@R :

Do :

R@V(M)

=*

e*

r

?(M) ( )e ( )e = r r rCC

e = r r

e =

E

@ R

R

* V(M)(M)

*

=

r

Do :

REPERE DE FRENET


48/189

Z

REPERE DE FRENET

&'% e$ ' -3/3-e%e2 *o 2e$ 08e$ $o *3/%%$ !0- 2e$ ee'-$ '%0%-e$ $'%0$ :

Le -%5*-e o$-'% $'- 20 70$e *%-ee e$ 0!!e23 -%5*-e *eF-ee.7

[

e$ ' ee'- e2 &'e :

7

? n ? ? F )

Lo-%,%e *' -%5*-e e$ 2e !o% M e o !0$ 2e !o% O.

A "0&'e !o% M *e C1 %2 e$ !o$$%72e *0$$o%e- ' -%5*-e *o-%,%e MSo% ' -3/3-e%e2 Re ' !o% M*e 20 -0eo%-e C@R

e$ ' ee'- '%0%-e 0,e 4 C e Me$ ' ee'- '%0%-e o-m02 4 C e M

Le !20 ( 1 ) e$ 0!!e23 !20o$'20e'-.

,n

FR(o8#)

o+ar

raort G R

*itesse de , ar raort G R $rime dans !e reere de Hrenet)


49/189

49

P0- *3/%%%o1 o 0 : I

MV(M

M F) %

2 m

=

*

uuuuur

*

u

So% :

e$ ' ee'- '%0%-e 0,e 4 20 -0eo%-e

I

II I

MMFV(M) 2%m 2%m

MMF

MMF

=

uu uuu

uuuur

*

uu

*

r

*

A/%8e !0- -0!!o- 4 R.

OXY

R(o8#)

M()

M+()

*

CA

I I

II

AM F AM *$2%m *

2%m

M

M F

= =

*

uuuuur

* **

II

MMF2 m

F MM%

=

r

*

II

$ AM 0-AM $()

$ AM 0-AM $ ( )= = == = = +*

E !'%$&'e :

e

Do1 o !e' 3-%-e :

*$

V(M) *=

uuuuuur r

E $o% C 2e e-e *e o'-7'-e *o : @CM@ R -0#o *e o'-7'-e.

So%e ' -e!5-e R e ' !o% *e 20 -0eo%-e 4 2+%$0 e

O *3/%% 2e -e!5-e*e FRENET 4 "0&'e !o% M

E *2+0,2e e-e CM e CM+O !o$e :

E8!-e$$%o *e 2+0323-0%o *0$ 2e Re!e-e *e F-ee


50/189

W

! e$$ o *e 03 3 0 o *0 $ e e!e e *e e e

V(M) @ V(M) @=

O 0 : @ R@ R @ R

?

?

OM V(* * M)(M)

* *

= =

uuuuur

E !'%$&'e :

@ R

*@ V(M)

) @

*(M = +

uuu r ruu

@ R @ R

*$* *

* * *$

=

Do :

O !e' 3-%-e :

E !'%$&'e : *$ R *

O o7%e :@ R @ R

* @V(M) @ ** R *

= @V(M) @

R= r

@

.

R

*@ V(M) @ @ V(M) @(M)

R*= +

uuuuu rr r

@ R ((M)) M)(M = +

R

*$*

*$e V(M)

*=

uuuuuur r

@ R

*@ V(M) @

*

uuuuuur

E e//e o 0:

Do $+3-% :@ R(M)

Ra*on de courbure


51/189

51

*

OX

Y

ZR(o8#)

C e-e *e o'-7'-e e@CM@R -0#o *e o'-7'-e

M

+

n () ()

()

? ? ?

@ R@ (M) @ @ (M) @ @ (M) @ = + E *+0!-5$ 2e -%0,2e (MNP)1 o !e' 3-%-e :

%

? ?

*@ V(M) @ @ V(M) @

* R

= +

uuuuuuuuur uuuuuur

?

?

?

@ V @R

* @ V @@ @

*

=

urr

E 2e -0#o *e o'-7'-e $+3-%:

E8em!2e *e mo'eme !0-%'2%e-$


52/189

W?

>) Mo'eme -e%2%,e

0< D3/%%%oD0$ ' -e!5-e R1 ' !o% m03-%e2 M e$ 0%m3 *' mo'eme -e%2%,e $% $0 -0eo%-e

e$ 'e *-o%e e $% 2e$ ee'-$ !o$%%o (O !o% /%8e *0$ R)1 %e$$eOM

R

*V(M) OM

*

=

uuuurrE 0323-0%o

?

?

R R

* *(M) V(M) OM

* *

= =

ur uuuurr $o o2%30%-e$e !o-3$ !0- ee *-o%e.

7< Mo'eme -e%2%,e '%/o-meU mo'eme e$ -e%2%,e e '%/o-me $%2 -3!o* 4 20 *3/%%%o (0) e $% e !2'$1 2e mo*'2e

*e 20 %e$$e e$ o$01 e$


53/189

53

U mo'eme e$ -e%2%,e e '%/o-m3me 0-%3 $%2 -3!o* 4 20 *3/%%%o (0) e $% e!2'$ 2e mo*'2e *e 20323-0%o e$ o$0 $'- 20 -0eo%-e1 e$


54/189

54

)

D0$ e 0$1 2e mo7%2e $e *3!20e $'- ' e-2e (C) *e -0#o R e *e e-e O.Ce e-2e e$ $%'3 *0$ 2e !20 (8O#). Po' 3'*%e- 2e mo'eme *e M1 o -e!-3$ee 20 /%,'-e$'%0e :

R

*V(M) OM

*

=

uuuurrOM Re

= r

R

R

@

*OM

*V(M) R e

= =

rr

@ R

R

* V(M)(M)

*

=

r ?R e R e = r r

CC CR

*(R e )

*

=

; r

O 0 : Ae :

Do : *e m9me :

< E8em!2e *e Mo'eme %-'20%-e e oo-*o3e$ #2%*-%&'e$U % 3 % 2 M % 3 * % 2 % % % 2


55/189

55

- R () 0e ( O8 1OM)

e ( *0$ 2e 0$ *e 20 /%,'-e)So% e oo-*o3e$ 0-3$%ee$ :

8() R o$

#() R $% () e ( *0$ 2e 0$ *e 20 /%,'-e).

U !o% m03-%e2 M e$ 0%m3 *' mo'eme %-'20%-e $% $0 -0eo%-e e$ ' e-2e( o%- /%,'-e).S% Re$ 2e -0#o *' e-2e -0eo%-e 2e !o% M!e' 9-e *3/%% !0- $e$ 3&'0%o$!0-0m3-%&'e$ :

So% e oo-*o3e$ #2%*-%&'e$:

E8em!2e$ *e 02'2 *e -0#o *e o'-7'-e :>


56/189

56

! #> Mo'eme %-'20%-e *e -0#o R :

-OM Re= r

?

-(M) R e R e = + C CC

V(M) R e= rC

? ? L ? ?@ @ R R = + C CC

* @ V @@ V(M) @ R e R

*

= = uuuuuur

C C

Mo'eme -e%2%,e:

e (M) 8% = CC

Do1 *0$ e 0$ Re* e-$ 2+%/%%

,t)%

&

,

-er

er

!20(O8)

;

? ?

? ? ? ? ? ?

?

@ V @ (R )R R

R R R* @ V @@ @

*

= = =

+

C

urC CC CCr

? ?

? ? ?

?

@ V @ 8R

8 8* @ V @@ @

*

= =

Cur CC CCr

O 0:

E -e!o-0 e$ 3&'0%o$*0$ 2+e8!-e$$%o *e R :

&

OM @ OM @ %= 8()%=

* VV(M) 8% 8

* = =

uuuuuur rC C

< HODOGRAPHE DES VITESSES


57/189

57

Le$em72e *e$ !o$%%o$ *e H o$%'e 2"o*o,-0!"e *' mo'eme !0- -0!!o- 4 O

O

H(>)

H(?)

H(J)

H()

Rem0-&'e : Le ee'- 0323-0%o e$ 0,e 4 2"o*o,-0!"e1 e e//e :

I

V(M)(M) 2%m

=

uuuuur

A02#%&'eme1 L+o*o,-0!"e *e$ %e$$e$ !0- -0!!o- 4 ' !o% O /%8e e$ *o 2+e$em72e*e$ !o$%%o$ *+' !o% H1 e2 &'e :

Ho*o,-0!"e

,)

G3om3-%&'eme1 2+o*o,-0!"e !0- -0!!o- 4 O:

A "0&'e !o% *e 20 -0eo%-e *e M1 o -0e 2e ee'- %e$$e *e M.E $o% ' !o% O /%8e @R :

O -e!-3$ee 2e ee'- %e$$e 3&'%02e !0- -0$20%o 0' !o% O:

V()

V()V())

M(?)M(J)

M()V(M)

Ho*o,-0!"e


58/189

WZ

W.>< Do3e$ *' !-o725me

So%e *e'8 -e!5-e$ e ' !o% m03-%e2 :

(J) : M 'e !0-%'2e mo7%2e !0- -0!!o- 4Re R:(?) : R( O 8 # ) mo7%2e*e 70$e

I I I( % 1 1 ; )

(% 1 1 ; )

Le mo'eme *e R!0- -0!!o- 4 Re$ 0!!e23 mo'eme *+e-0^eme.

M

T-0eo%-e *e M !0- -0!!o- 4 R

T-0eo%-e *e M !0- -0!!o- 4 R

(> ): R( O 8 #)/%8e*e 70$e Ce$ 70$e$ $o

o-"oo-m3e$*%-ee$

(/%8e)

L0 !0-%'2e M mo7%2e !o$$5*e *e'8 -0eo%-e$ :

< 'e -0eo%-e !0- -0!!o- 4 R0!!e23e 07$o2'e

< 'e -0eo%-e !0- -0!!o- 4 R0!!e23e -e20%e.

O

R

#

8

#

(Mo7%2e)

O

R

8


59/189

59

R R

T-0eo%-e *e M!0- -0!!o- 4 R

T-0eo%-e *e M!0- -0!!o- 4 R


60/189

_

L0 -0eo%-e *3!e* *o *' -e!5-e1 o *% &'e 20 -0eo%-e e$ -e20%e.

R(o8#)

o

L0 -0eo%-e *e 20 02e !0- -0!!o- 4 :

>< R3/3-e%e2 2%3 4 2+08e *e 20 -o'e : RT-0eo%-e e e- !0- -0!!o- 4 R

?< R3/3-e%e2 e--e$-e : R

R

T-0eo%-e e -o',e !0- -0!!o- R

M

Co$%*3-o$ 2e mo'eme *'e 02e $'- 20 0e *'e -o'e *e 32o 2o-$&'e e22e


61/189

61

F%8e 0' $o2 : R

F%8e 4 2+08e *e 20 -o'e :R

Exep!e :T " t i ! ti t & !


62/189

62

Tra"e#t$ire re!ati%e et a&'$!e

< MOUVEMENT ABSOLU DU POINT M


63/189

_J

Le mo'eme *e 20 !0-%'2e M !0- -0!!o- 4 R e$ 0!!e23 mo'eme 07$o2'

@ RIV(M) =

S% O M 8 ()% # () (); = + +

A2o-$ : I I I0 I I I*8 *# *V (M) % ; * * *= + +

uuuuuuur r r r

E e//e e$ 2%3e 0' -e!5-e R ( % 1 1 ; )

? ? ?

0 ? ? ?

* 8 * # * (M) % ;

* * * = + +uuuuuuur r r r

e

I

?

R

?

I* O M

*

=

uuuuur

So% :

I

I

R

* M

*

O

uuuuur

0V (M)=

0 (M) =IR

0*V (M)

*

uuuuuuur

MOUVEMENT RELATIF DU POINT M


64/189

_

Le mo'eme *e 20 !0-%'2e M!0- -0!!o- 4 Re$ 0!!e23 mo'eme -e20%/.

S%

A2o-$:

e

So% :

-V (M)=

M 8() #() (O % );= + +

-

*8 *# *

*V (M) % ;

* *= + +uuuuuuur r r r

-@

?

?R -

RR

V (M) O(M)

* * M(

*

)

*

M

= =

= uuuuuuuur uuuuuur

? ? ?

? ?- ?(M) %

* 8 * # *

* * * ; = + +

uuuuuur r r r

Le$ *3-%3e$ *e %1 1 e ; $o '22e$1 e e//e20 70$ee$ 2%3e0' -e!5-eR.

( %1 1 ;)

L0 %e$$e -e20%e$+3-% :@ R

V(M) =

@ R

R

O* MV(M)

*

=

uuuuuur

MOUVEMENT D+ENTRAINEMENT DE RPAR RAPPORT AR


65/189

_W

IR @ R

Rem0-&'e :Re$ e -o0%o !0- -0!!o- 4 R$% 0' mo%$ *e'8 ee'-$

*e "0,e *e $e$ !0- -0!!o- 4 R( % 1 1 ; )

E8em!2e*+'e -o0%o *e R@R0'o'- *e O:

RI

@R

*;

*

=ur r

e$ 2+0,2e e-e 2+08e O8e 2+08e O8

Le mo'eme *+e-0^eme *e R!0- -0!!o- 4 Re$ *3/%%!0- 20 o0%$$0e :

*e 20 %e$$e *+' !o% /%8e *e R !0- -0!!o- 4 R1 $o% : V(O)@R

V(O)@RV0(O)

()

*' ee'- -o0%o *e R!0- -0!!o- 4 R1 $o% :

R

O #

8

O

R

#

8

R

O #

8

O

#

8


66/189

66

M0erendicu!aire au !an$t &&0

0

&0

00

0R0

R

RI@R =

*

*

;

N0

O0R0&&0

9

6

@ RIR =

R0

&00 0

R

@ P0

B Q0

RI@RI =

R

R

EXPRESSION DE


67/189

_`

< EXPRESSION DE:

A !0-%- *e$ -e20%o$ (`) 1 (Z) e (a) (o%- o'-$)1 o !e' -em0-&'e- &'e :

R R R

% ;* * *? (* e 0 )

* * *% ; % ;

+ + = + +

r r rr r r r r r

E !'%$&'e1 o 0 !o$3 1*o :

I I I

>

? = + +

r r rr r r

R R R

di j kd d

dt dt t i

dj k

I@ RR

RI@Re =

;0e%*e I@RR

++== R@R e =

-$&R$,$ '$ '$RI*-I& :);%(' ! F


68/189

68

8 # V V % V V ; = + +

et sa dri#e ar raort au tems et ar raort G R0 est

donne ar !a re!ation sui#ante :

I I IR R

8

R

#* % * *V V V ;* * *

+

+

e e8 # e

R

*V( % ) (V V V) ( ;)

*

= + + +

r r rr r r

R

8 # e (V*V

*% V V )

;

+= + +

r r rr

R

RR

@ R

* *

* *

V VV

= +

r r

'onc :

V E

e R1 R

);11%( ? un #ecteur eut scrire :-'ans !a Fase V

I

8 #

R

V V% ;*

V*V

= + + +

r r r

'$+&,%&/II& '$/ *I$//$/

i d G ! i F ! d


69/189

69

La #itesse de ,ar raort G R0est !a #itesse aFso!ue de , :

I

I

IR@ 0

R

* MV(M) V (M)

*

O

= =

uuuuuruuuuuur uuuuuuur&n a :

$t dars S' )? on a :

I IO M O O OM= +$t uisque :

'onc :

R

R R

*O M *O O *OM

* * *

= +

uuuuur uuuur uuuur

IR

0 0V (M) V (O)*

*OM

= +uuuuuuur uuu uuuur

uuur

$t on oFtient :

I

I

R R@

R R

OM OM* *

* *

OM

= +

uuuur uuuuur

ruuuur

[ ]I- R0 @R0V (O)V (M)V (M M) O+ + =

IR@ R- OV (M M)= +

P'%$&'e 2+e-0^eme *e R@R e$ 0-03-%$3 !0- 20 %e$$e 07$o2'e *e O e 20 -o0%o *e


70/189

`

So% :

[ ]I0 R @ R OV ( MO) +

P'%$&'e 2 e-0ême*e R@R e$ 0-03-%$3 !0- 20 %e$$e 07$o2'e *e O e 20 -o0%o *eR@R :

0e R@RV (OV ( ) MO)M = +

Do 2e e-me

!e' -e!-3$ee- 20 %e$$e *+e-0ême *e R@R

Ce &'% %m!2%&'e :

L0 %e$$e *+e-0ême e$ *o 3&'%02ee 4 20 %e$$e 07$o2'e *e 20 -0e (!o%

o%*0) *e M *0$ R.

I

M /%8e *

e

0

I

e

0

0 $

R

R

* MM M

OV (

V (

*D ) )

=

uuuu uuruurur

I

eI

R

-0

* MM V (M) V (M )

*

O( )

V

= = +

u uuruuuuur

uururO 0 :

S% Me$ /%8e *0$ R02o-$ -V (M) I=

Rem0-&'e : S% M e$ /%8e *0$ R1 *3e-m%e-I

I

R

* M

*

O

uuuuur

Co2'$%o


71/189

`>

R @ R0e M V (O)V ( OM)= +

-0 eV (M) V (M)V (M)= +I

I0

R

*O MV *

=

uuuuurr

@ R-

R

* M( )

OV M*

=

uuuuuuur

o'

o' 0- eV (M) V (M) )V (M =

I

/%8M e *

e

$ R

I

R

0

* MM V

O

*)(

=

uuuuuruur

o'

V%e$$e07$o2'e

V%e$$e-e20%e

V%e$$e*+e-0^


72/189

`?

DECOMPOSITION DES ACCELERATIONS

( )

( )

0

0

R

*V M

M *

=

uuuuuuur

[ ]R @ R0 - 0V (M) V (M) V (O) OM= + +

P0- *3/%%%o o 0 :

E !'%$&'e :

O !e' 3-%-e: ( ) [ ]( )- R

I

@ R0 I* V (M)

0 *

V (O) OM

R

M + + =

uuuuuuuur uur uuuuuuuuu ruuu urr

( )

( )

( ) ( )( )-

V (M)

R

* * *

0 * * *R0 RR@ RV (O) OM M

= + +

uuuuuuuuur uuuuuur r uuuurr u

I

-

R

*V (M)

*

=

uur

0

R

*V (O)

*

=

uurI

I

R @ R

R

*( OM)

*

=

ur uuuur

So% :

*V (M)

uurV (M) *V (M)


73/189

73

I

-

R

*V (M)

*

= R @ R -V (M) -

R

*V (M)

*

+

-(M)= + R @ R -V (M)

00

R

*V (O)

*(O)

=

uuruur

I

I

R @ R

R

*( OM)

*

=

ur uuuur

I

IR

R @ R*OM

*

uuuurur

I

I

R @ R

R

*OM

*

+

uruuuur

I

IR @ R

RR

**OM

*

OMOM

*

= +

uuuuuuuur rur uuuur

R @ R- V (M) OM= +

R @ R

R

*( OM)

*

=

ur uuuurI

I

R @ R

R

*OM

*

+

uruuuur

( ) R @ R R @ R -V (M) OM + ur ur ur uuuur

AA

A'-e$ m3"o*e$ *e 02'2 *eVe


74/189

`

I

M /%8e0e *0$ R

I

R

e

* MM

*V )

O

(

=

uuuuuruur

( )e MV < 0 o$ %=

IO M0e 0 ' =

r

U mo'eme %-'20%-e *e -0#o 0 o$ e *e %e$$e 0,'20%-e

Le mo'eme *e M !0- -0!!o- 4 RS% o /%8e M *0$ Re$ :

I' o$ K $%= +

S0$ /0%-e *e 02'2 :

> 3 80GL 80

III< FORME GNRALE DE LA SECONDE LOI DE NEbTON (PFD)

*


81/189

Le P. F.D $0oe $o'$ 20 /o-me :F

*

!*

R

=

F*

)m(*

R

=

F**m

**m

R

=+

o' 7%e &'% $+3-% eo-e :

P'%$&'e 20 m0$$e *' !o% m03-%e2 e$ %0-%0e 0' o'-$ *' mo'eme:

!'%$&'e

*m

F m I*= =

r r

D0$ 20 m30%&'e mo*e-e1 %2 e$ *3mo-3 &'e 20 m0$$e m*+' o-!$ *3!e* *e 20%e$$e *' mo'eme &'0* e22e


82/189

ous sa#ons? ar erience? que !e mou#ement dune articu!e estdtermin ar !a nature et !a disosition des cors qui !entourent?cestDGDdire son en#ironnement -insi? !e mou#ement est !e rsu!tat de!interaction entre !a articu!e et son en#ironnement +etteinteraction? ae!e "orce? est caractrise ar !es rorits de !aarticu!e masse? cSare? moment dio!aire T) et ar !a nature de!en#ironnement dans !eque! e!!e est !ace

ous a#ons #u quen Ssique? !a "orce est? intuiti#ement? erUue commeune randeur qui traduit !es interactions entre !es oFBets +est une causecaaF!e de roduire ou de modiVer !e mou#ement dWun cors? oudenendrer sa d"ormation I! est ossiF!e de c!asser !es "orcesen "orces de contact ou actions G distance

82

d I2 # 0 /o-e *e o0 2o-$&'+e22e -0*'% 'e %e-0%o e-e *e'8 o-!$ e o0" % L / * 2


83/189

!"#$%&'e. Le$ /o-e$ *e o0 om!-ee1 !0- e8em!2e :

< 2e$ /o-e$ *e /-oeme : 2e$ /o-e$ *e /-oeme 0!!0-0%$$e 2o-$&'e *e'8 o-!$ eo0 $o e mo'eme -e20%/1 2+' !0- -0!!o- 4 2+0'-e. E22e$ $o!!o$e o'o'-$ 0'mo'eme *' o-!$ o$%*3-3.

< 2e$ /o-e$ *e e$%o e8e-3e$ $'- ' o-!$ : e $o *e$ /o-e$ &'% %-e $'- ' 323me

*' o-!$ omme !0- e8em!2e1 20 e$%o e8e-3e !0- ' /%2 o' !0- ' -e$$o-.

Le$ /o-e$ 4 *%$0e : e $o *e$ /o-e$ &'% !e'e $e m0%/e$e- m9me $+%2 +# 0 !0$ *eo0 !"#$%&'e e-e 2e$ *e'8 o-!$ &'% %e-0,%$$e. Ce$ /o-e$ %e-%ee !0-2%e-m3*%0%-e *e "0m!$ eo-%e2$ omme !0- e8em!2e :

2e$ /o-e$ *e ,-0%0%o : e $o *e$ /o-e$ *+0-0%o &'% $+e8e-e e-e *e$ o-!$ e &'%$o *'e$ 4 2e'-$ m0$$e$. Le !o%*$ *+' o-!$ e 2e$ /o-e$ 3"0,3e$ !0- 2e$ 0$-e$ $oe$$e%e22eme *e$ /o-e$ *e ,-0%0%o.

83


84/189

d 2e$ /o-e$ 32e-%&'e$ : e22e$ $+e8e-e e-e *e'8 o7e$ !o-0 *e$ "0-,e$ 32e-%&'e$.

E22e$ !e'e 9-e 0'$$% 7%e 0-0%e$ &'e -3!'2$%e$.d 2e$ /o-e$ m0,3%&'e$ : e22e$ $+e8e-e e-e *e$ 0%m0$1 e-e *e$ 0%m0$ e e-0%$m03-%0'8 (e !0-%'2%e- 2e /e-) o' 7%e e-e *e'8 o*'e'-$ !0-o'-'$ !0- ' o'-032e-%&'e. E22e$1 0'$$%1 !e'e 9-e 0-0%e$ o' -3!'2$%e$.

84

I.J. Ie-0%o$ /o*0me02e$M02,-3 2e'- ,-0*e *%e-$%31 2e$ /o-e$ -eo-3e$ *0$ 20 0'-e $o 2e$


85/189

m0%/e$0%o$ *e$ &'0-e %e-0%o$ /o*0me02e$ :< 2+%e-0%o ,-0%0%oe22e : e22e $e m0%/e$e !0- 'e /o-e *+0-0%o e-e o'e$ 2e$!0-%'2e$. Cee /o-e 0!!0-0^ *0$ 20 !2'!0- *e$ !"3om5e$ *3-%$ !0- 20$-oom%e e 20

,3o2o,%e (2e mo'eme *e$ 0$-e$1 20 mo3e *e$ m0-3e$ 2e$ o-!$ 0%-3$!0- 20 Te--e e $o o%$%0,e1 20 o *3$0,-3,0%o *e 20 Te--e ).< 2+%e-0%o 32e-om0,3%&'e : e22e $e m0%/e$e e-e 2e$ "0-,e$ 32e-%&'e$ *0$ o'$ 2e$!"3om5e$ /0%$0 %e-e%- 232e-%%3 e@o' 2e m0,3%$me.< 2+%e-0%o /o-e : +e$ 2+%e-0%o &'% $+e8e-e e-e 2e$ '23o$ &'% $o 2e$ o$%'0$ *'o#0' *+' 0ome. E22e !e-me 0'8 !0-%'2e$ om!o$3e$ *e &'0-;$1 omme 2e$ !-oo$ e 2e$

e'-o$1 *e e !0$ $e *3$0,-3,e-. E22e $+e8e-e 4 -5$ o'-e *%$0e e e$-e$!o$072e *e 20 o"3$%o *' o#0'.< 2+%e-0%o /0%72e : e22e $0!!2%&'e 4 o'e$ 2e$ !0-%'2e$ *e m0%5-e (&'0-;$1 32e-o$1 e'-%o$e...). E !0-%'2%e-1 2e$ e'-%o$1 &'% $o 32e-%&'eme e'-e$ e &'% e $o !0$ *e$ &'0-;$1$o $e$%72e$ &'0'8 %e-0%o$ /0%72e e ,-0%0%oe22e.L%e-0%o /0%72e $e m0%/e$e *0$ e-0%$ #!e$ *e -30%o$ '230%-e$ e22e$ &'e 20

-0*%o0%%3.

85

IV< DIFFERENTS TYPES DE FORCES :


86/189

.>< Le$ /o-e$ 4 *%$0e

Ce $o *e$ /o-e$ *o 20 !o-3e !e' 9-e 3e*'e '$&'4 2%/%%1 !0-m% 2e$&'e22e$ o !e'

%e- :0 < Fo-e *0-0%o '%e-$e22e

S% o o$%*5-e *e'8 !0-%'2e$ A> e A? *e m0$$e$ m> e m?o%$%e$ 2'e *e 20'-e1 02o-$"0'e e8e-e $'- 20'-e 'e /o-e *%e *0-0%o '%e-$e22e *e Neo.

>?F Ae - @A>A?@> ?>??

m -

-F

m

-G=

r

O Ge$ 20 o$0e '%e-$e22e 1 G _1_`>> N.m?@;,?

7< Fo-e 32e-o$0%&'e (o%- o'-$ *32e-%%3 e S?)Co$%*3-o$ *e'8 !0-%'2e$ *e "0-,e$ 32e-%&'e$ &>e &?1 e$ *e'8 !0-%'2e$ e8e-e 2'e

$'- 20'-e *e$ /o-e$ *%e-0%o$ *o3e$ !0- 20 2o% *e Co'2om7 :

> ?>? ?

& .&F

- -

K-

=r O K Z1aa.>aNm@Co'2? e

- e$ 20 *%$0e e-e 2e$ ? "0-,e$

A>

m>

A?

m?

e - e$ 20 *%$0e e-e 2e$ ? "0-,e$

86

.?< Fo-e$ *e o0: E8em!2e$ : Le$ o-0%e$ m30%&'e$1 Le$ /o-e$ *e /-oeme$1Le$ 2%0%$o$ "%m%&'e$1 Le$ %e-0%o$ '230%-e


87/189

FORCE DE FROTTEMENT

( )@ RF m M= r ( )@ RP R m M + = r r r Se$ *' *3!20eme

R m, < m8= CC

P

R

M(m)

7R R R R 7= + +

So% 20 70$e :( )1 1 7 rr r

P m, =

7P.F.D. m , R R R 7 m 8 + + + = CC Do :

R m ,=R m8 = C

O

( )OM 8= uuuur r

7R I=

O 0 :

C"o%8 *e 20 70$e *e 20 !-oe%o :

So% Me mo'eme -e%2%,e $'- ' $'!!o- ($o2) e2 &'e @OM@ 8I2 e$ $o'm%$ 4 *e'8 /o-e$ : $o !o%*$e 20 -30%o*' $o2 $'- M

So% :

T

N

87

Do 2e 0$ ,33-021 20 /o-e e$ %2%3e !0- -0!!o- 4 20 o-m02e 4 20RREMARF7E #


88/189

, 1 ! !!$'-/0e *e mo'eme.

R (*e!20eme) ee'- *e *3!20em R Ie =;

R m, < m8= rCC

R N T+

(m, < m8 ) I m8DI = CC CC,ans notre cas # Le ee'- *e *3!20eme , *o :

Do :

R =;

R m, =

O 0 :

N /o-e o-m02e 4 20 $'-/0e *e o0

T /o-e 0,ee 4 ee $'-/0e:

Rem0-&'e ? :

S %2 # 0 pas de "rottement*' $o2 $'- M1 o 0:

88


89/189

D.3 ,"inition

U -3/3-e%e2 R1 *0$ 2e&'e2 20 >5-e2o% *e Neo e$ 3-%/%3e1 e$ G02%23e

F I=0' -e!o$

V

o

$0

o

V

'

=

=

rr

rr

< E8em!2e$ *e -e!5-e$ G02%23e$ :

>< R3/3-e%e2 *e Co!e-%:

2+o-%,%ee$ 2e e-e *e ,-0%3 *' $#$5me $o20%-ee $e$ J 08e$ $o *%-%,3$ e-$ -o%$ 3o%2e$

/%8e$.

?< R3/3-e%e2 e--e$-e

2+o-%,%e e$ 2e e-e *e 20 Te--ee 2e$ 08e$ $o 2%3$ 4 20 Te--e.

R e$ e Mo'eme-e%2%,e '%/o-meo'

89

3 Remarques pratiques # ,"inition dun rep!re 6alilen


90/189

3 Si un rep!re quelconque R est en mouvement rectili$ne uni"ormeou au reposparrapport % un rep!re 6alilen( ce rep!re R est 6alilen.

;3 ,ans un rep!re 6alilen( les "orces exercssur une particule( li % ce rep!re( sontuniquement des "orces relles- Poids( Ractions( H../

3 Soient un rep!re R?6alilenet un rep!re Ren mouvement par rapport % R?.

Rest 6alilen ( si #

RR

=et

la vitesse de son ori$ine O est constantepar rapport % R?

90

PAR0IE I< # 0BEOREME 6E)ERA7J


91/189

I# 0BEOREME ,7 MOME)0 'I)E0IF7E

.3 Moment dun vecteur -rappel/

@ OM ()r

@ OM () OM V= r0el que #

% > ?

% >

OM F OM F OM F ...... OM F=

= + + + uuuur uuuur uuuur uuuurr r r r

Remarque #

Le moment en O de toutes ces "orces est d"ini par #

Si M est soumis % un ensemble de "orces 8 ( 8; ( HH..( 8n

On appelle moment dun vecteur < dori$ine M( par rapport % un point O( levecteur( not #

91

.;3 Moment cintique


92/189

Le moment cintique par rapport % un point A( dune particule M demasse manim dun mouvement de vitesse


93/189

@ RA

@ R @ R @ R

@ RAM m* * *

* * *V(M) AM m V(M)

= +

@ R

*

*AM

=

uuuur

@ R @ R mV(M) V(A)

@ R V(M)+@ RV(A)=

R @ R

@ R

@

*

m (M)*AM m V(M) AM

=

uuuur uuuu rrr

FAM=

FAM

@ R @ R

mV(M) V(A)+ A@ R

*

*

=

uur

(PFD)

Le t+or!me du moment cintique -par rapport % un point quelconque/ A crit #

( )@ R @ R

AM A* *

*O OM

*

= =

+

uuuur uuur uuuur

@ R @ R

* *OA OM

* *

+

uuur uuuur

et

@ R

@ R

AM mV(M)*

*

=uuuur r

@ R @ R V(A) V(M) + uuuuuur uuuuuur

93

'AS PAR0I'7LIERS ,E LAPPLI'A0IO) ,7 0M' #

A * uur


94/189

3 Si A est "ixe par rapport % R et soit A>O #On a donc # @ RV(A) O= Le 0.M.'. scrit #

Remarque #attention pour les "orces si R est 6alilen ou non

;3 Mouvement % "orces centrales7n mouvement est dite % "orce centrales si % c+aque instant la "orce estdiri$e vers un point "ixe ?

OO

R

*F OM F

* = =

uuuurr rr

OOM mV(M) =

o

R

*OM F

*I

=

=

uuuu r rrOM@@F

O e = r

O est un point "ixe KR donc #

et car

,onc #

Pour cette condition( ces mouvements poss!dent des proprits particuli!res #

FAM @ R @ R mV(M) V(A)+ A@ R

*

*

=

uurO 0 A :

F

O

R M%m&

94

prits et consquences des mouvements = $orces centrales ::::::::::::

our ces mouvement on a :


95/189

our ces mouvement> on a :

o

R

*OM F I

*

= =

uuuur rr

O OM mV(M) e = =rfe $o o'o'-$ $%'3$ *0$ 2eOM memeV(M) !20 e e//e :

O e = r

Donc:

On peut crire :

Ce qui implique :

!e mouvement de M est

donc situ dans le plan / :Mouvement /lan

prons M par ses coordonnes polaires % r> & :

- -eo 0 : OM -e V(M) - e - e= = + C C

t d?apr8s le *#M#C :

O =Soit :

Donc :?

O

?

Im- ; e - e = = = CCoR

*OM F I

*

= =

uuuur rr

R

F M%m&

O

r

-ee

I;e

MOV(M)/

O

?

Im- ;C

95


96/189

II 3 0BEOREME ,E LE)ER6IE 'I)E0IF7E


97/189

;.3 0ravail

* F *M= Et puisque #

R

*MV(M)

*

=

uuuuuur

'e travail scrit #

* F V(M) *= ;

?

>

M

M F *V(M) *=

r uuuuuuuur;

V(M)

M

F

C

Si la "orce 8 dplace le mobile M de la position M % M;( le travail total #

dM

,1

,2

R

&

'onsidrons une "orce 8 applique % un point mobile M se dplaant leLon$ dune trajectoire .

On appelle travail lmentaire de la "orce 8( lors de ce dplacementla quantit scalaire #

Soit dM un vecteur dplacement in"initsimal du point M sur .

97

Remarque #


98/189

L2unit du travail est le Noule # N > ).m > Q$.m;Ks;

! F d cos

7ne "orce perpendiculaire au dplacement -> ?/

n2e""ectue aucun travail car le cos?>? donc T>?

* F *M= ;On a: Soit:

On parle de travail moteur lorsque U ? -cosa V ?/par ex. travail de 8 motrice.

On parle de travail rsistant lorsque V ? -cosa U ?/par ex. travail de 8 "rottement.

FFF

dM

oW est l2an$le entre 8 et dM et d>KdMK

98

;.;3 puissance

Pour "aire un m&me travail deux mac+ines peuvent mettre des temps di""rents


99/189

Pour "aire un m&me travail deux mac+ines peuvent mettre des temps di""rents.On d"init donc la puissance P comme #

*bP*

= P*

*b M

*

F

*= = ;

FP F V(M)=r ;

Soit :

Le c+eval3vapeur est une unit de la puissance # ' CXT.Le Qilo1att+eure QT.+ est une unit de travail.

L2unit de la puissance est le Tatt# T > NKs > Q$.m;Ks

Remarques #

La puissance e""ectue par 8 est donc#

99

;.3 0+or!me de Lner$ie 'intique


100/189

,monstration de 0+or!me de Lner$ie 'intique(0.E.'/:

On a #

R

* V(M)*V(M)

m **

=

uuuuuur

;

* V(M) *F= ;

R

*V(M*V(M)

)m * *

=

uuuuuur

;

Et dapr!s le P.8.,( d1 scrit #

Soit #

? >m V(M)

* * *E

* * *? = =

uuuuuur'e qui implique #

La quantit Ecest appele ner$ie cintique de la particule M de mase m(

( )C F* *

P* *

E= = r

)ous considrons maintenant 8 comme la rsultante de toutes les "orcesappliques % ce point matriel M de masse m.

Et le 0+or!me de Lner$ie 'intique scrit #*b *E=

o'( ) ( )

? >M M

b E E= >

Remarque # -unit de T et Ec est # le Noule/


101/189

La variation de lner$ie cintique par rapport au temps( dune particule M demasse m( en mouvement est $ale au travail des "orces qui lui sont appliques.

Le travail % "ournir pour communiquer une vitesse % un corps de masse m vautdonc Ym


102/189

,-nergie e.iste sous de multiples 0ormes :amcanique (cintique 1 potentielle)

alectriqueacalori0iqueanuclairealumineusecc2imique

(la masse est une 0orme dnergie 3 c04 la relation dEinstein : E!mc5)

# Votre peau trans0orme lnergie lumineuse en c2aleur4

647# "ntroduction

nerAie peut passer dBune $orme = lBautre sous l?action d?une $orce:

emple :

$orce de $rottement trans$orme de l?nerAie mcanique en chaleur>

Un barraAe trans$orme de l?nerAie potentielle en nerAielectrique ArEce = la $orce de pesanteur>

centrales thermique %charbon&> hydraulique %eau& et nuclaire %urani

102

645# &radient dune 0onction (rappel )


103/189

Soit (.8 98 ) une 0onction scalaire qui dpens de .8 9 et 4

+n appelle gradient de la 0onction le ;ecteur :

% ;,-0* 8 #

(>

) = + +

r r ruuuuuur( )o %1 1 ; 'e 70$e *e 2 e$!0e

r r r

Pour un dplacement in0initsimal du point M8 on peut crire :

*M *8 *# *% ; (?)= + +

*M *8 *# *,-0* .8 #

= + +

uuuu uuruur uEt le produit scalaire de (7) par (5)8 nous donne :

Donc : ,-0* .*M * = 646# Energie potentille

+n dit quun c2amp de 0orce Fdri;e dun potentiel sil e.iste une 0onctionScalaire telle que :

F U,-0*=

+< est une 0onction nergie potentiel103

64=# *ra;ail dun gradient


104/189

,e tra;ail lmentaire d8dune 0orce F pou un dplacement dM8est donn par :

* F.*M=

( )1*M o 0 : ,-0* M. ** = uuuur uuuu uuuruur

F U,-0*=

* *M,-0*U )

* (

*>=

uuuuuuur

Et Si F dri;e de 8 on a:

* ,-0* .*U M=

,-0*U *U*M=;* *U

* *=

d> scrit donc : Soit :

Et puisque8 on a :

,quation (7) scrit :

64?# Puissance de F

P F V(M)= ; Soit : P ,-0*U V(M)= ;E.emple en coordonnes cartsiennes :

U U UP H H

8 #

#

8

=

car

L0 !'%$$0e P (*e F *0$ 2e mo'eme *e M@R ) :

* *U= So% :

104

7er cas :

E*DE DE 'AS :

Si (.8988t) c4a4d dpend de .8 98 et e.plicitement de t


105/189

7er cas

5me cas :

Si (.8988t) c4a4d dpend de .8 98 et e.plicitement de t

Dans ce cas8 on peut crire que : U U U U*U *8 *# * *8 #

= + + +

* * *

*U U *8 U *#

*

U * U

*

*

8 # = + + +

U U U8 # 8 #

*U U*

= +

++

C C C

*U U *8 U *#

*

U

* * *

*

8 #

= + +

PuissanceDonc :*U

P*

Si (.898) dpend de .8 98 et implicitement de tDans ce cas8 on peut crire que : U U U*U *8 *# *

8 #

= + +

*U U U U 8 #

* 8 #

= + +

C C

F *U *bP * *= =r

Dans ce cas8 le tra;ail pendant scrit :[ ]> ? 1 ? ?

> >

> ? F b( 1 ) P * *U= = r

Soit : ou

Soit : ou

Donc :

( ) ( ) ( )> ? > ?

b 1 U U = +< ( ) ( )% % % %U $%,%/%e U 8 1 #( )1 ( )( )Soit :

!es "orces qui inter#iennent dans ce cas sae!!eLes "orces conser#atrices )

105

Dans ce cas (0orces conser;atrices)8 on dit que le tra;ailD di t d t (t7 t5) d d d 2 i i i M


106/189

De ce gradient pendant (t78t5) ne dpend pas du c2emin sui;i par M8Mais ne dpend que de la position de M @ linstant t5etde sa position @ linstant t7

%emarque: En particulier le tra;ail (t78t5) est gal @ (t58t7) soit :

( ) ( )4 2 2 4F t >t @F t >t ;3

t1

t2

F U,-0*=

Contre exemple : la force de frottement est non conservative

dEc = dw +dw (voir fin du chapitre)

106

+n appelle nergie mcanique d-un corps ou d-un s9stme la somme des64?# 'onser;ation de lnergie mcanique (total)


107/189

107

n pp n rg m n qu un rp u un 9 m mmnergies cintique et potentielle de ce corps ou de ce s9stme4

Appliquons le *4E4' pour une 0orce qui dri;e dun potentiel

F U,-0*= Soit :

Et dans ce cas o< les 0orces sont conser;atrices:

d>!#d+n peut crire dans ce cas: dEc ! #d Soit : d(Ec 1)!B

Donc :

E ! Ec 1

,a somme de lnergie cintique Ec et de lnergie potentiel reste constanteau cours du dplacement dans le cas des 0orces conser;ati;es4

'ette somme E est appele nergie mcanique totale4

Ec 1!constante quelque soit t

+n a daprs le *4E4' : dEc ! d

V# E","C%E


108/189

=47# Equilire et principe 0ondamental de la d9namique

,a particule M(m) est en quilire statique dans %8 lorsque ses coordonnesdans % restent constantes au cours du temps4

Equilire statique

Pour trou;er les positions dquilire possile dun point M soumis @ la 0orcetotale F8 il su00it de rsoudre lquation sui;ante :

F o=

r r

,e P4F4D nous permet dcrire : R(M) I = RV(M) o$ 0 e =

'e sont les solutions @ coordonnes constantes (M est 0i.e par rapport @ %)RV(M) e = =

Equilire d9namiqueRV(M) e =

7er'as:

5m cas:

M est en mou;ement rectiligne uni0orme4 108

=45# Equilire et nergie potentielle


109/189

Donc : F U,-0*= (7)

Et supposons que ce point se dplace sur une droite de ;ecteur unitaire i8 soit :

F / (8)%

= M(m).!.B .F

,quation (7) nous donne:

U/(8)

8

U

#

U

=

=

=

} U(8)Soit : *U/(8)

*8=

'onsidrons un point matriel M soumis @ des 0orces conser;ati;es F:

109

F i d l t li it d 0( ) i i d B


110/189

Et supposons quon a une position dquilire en .!.B donc : 0(.B) !B

Faisons un d;eloppementlimit de 0(.) au ;oisinage de .!.B

0(.) !0(.B) 1 (.#.B) 0(.B) 1

I

?

I ?

8 8

* U(8)/ (8) (8 8 ) *8 =

=

Soit :

(7)

*U/(8) *8= Et puisque :?

?* U/ (8) *8= Donc :

110

=4547# $ature de lquilire7er cas : ?

?

* U(8)I

?

I ?

* U(8)/ (8) (8 8 )

*8

=

+n a : (7)


111/189

I

?

8 8

I*8

=

Supposons que lon sloigne

le moile M de sa positiondquilire ;ers ,a gauc2e:

,e terme (.#.B) est ngati0 0(.) est positi0Et daprs (7)

Donc la 0orce ramne le point M ;ers sa position dquilire (.!.B)

De mme si on loigne Mde sa position dquilire;ers la droite :

,e terme (.#.B) est positi0 0(.) est ngati0Et daprs (7)

Donc la 0orce ramne le point M ;ers sa position dquilire (.!.B)

+n aura ainsi8 un mou;ement doscillation au ;oisinage de .!.B :

,quilire est stale4

I8 8*8 =

.!.B.

F&auc2e Droite

M(m) @ .

.!.B .

&auc2e Droite

M(m) @ .

MF

111

?* U( ) *U

Dans ce cas dquilire stale :


112/189

Etude de la ;ariation de (.)

0(.) est positi0 0(.) est ngati0

?

?

?

8 8

* U(8) I (7)

*8=

*U/ (8) !o'- 88 (0)

*8= =

F / (8)%=

(.#.B) est ngati0 (.#.B) est positi0

FF

.!.B

(.)

(.)

..

+n a:

Et daprs () la conca;it est dirige ;ers le (.) G BDaprs (a)8 (.) possde une tangente 2oriontale en .!.B

112

et

=4547# $ature de lquilire5m cas : ?

?

* U(8)g I

*

?

I ?

* U(8)/ (8) (8 8 )

*8

=

+n a : (7)


113/189

I

?

8 8*8

=

Supposons que lon sloignele moile M de sa positiondquilire ;ers ,a gauc2e:

,e terme (.#.B) est ngati0 0(.) est ngati0Et daprs (7)

Donc la 0orce loigne le point M de sa position dquilire (.!.B) ;ers # lin0ini

De mme si on loigne Mde sa position dquilire;ers la droite :

,e terme (.#.B) est positi0 0(.) est positi0Et daprs (7)

Donc la 0orce loigne le point M de sa position dquilire (.!.B) ;ers 1 lin0ini

,quilire est instale

I8 8*8 =

M(m) @ ..!.B .

&auc2e DroiteMF

Dans ce cas8 le point M cart de sa position dquilire continuera @Sloigner8 il ne repassera Hamais par sa position dquilire .!.B4

.!.B.

&auc2e Droite

M(m) @ .

F

113

Etude de la ;ariation de (.)

*U/ ( ) I

: Dans ce cas dquilire instale :

+


114/189

?

?

?

8 8

* U(8) g I*8 =

I

*U/ (8) I !o'- 8D8

*8= =+n a:

Donc la conca;it est dirige ;ers le (.) IB

.!.B

(.)

.

Donc (.) possde une tangente2oriontale en .!.B

et

0(.) est ngati0

(.#.B) est positi0

F

0(.) est positi0

(.#.B) est ngati0

F

114

%emarque 7 :,nergie mcanique totale E est une constante pourles 0orces conser;ati;es : E!Ec 1 ! constante


115/189

= 0

+ ma.

'as ""

!B (29po)

E!Ec 1 ! constante

Ec ! ma. !int

E!Ec 1 ! constante

Ec!Ecint !ma.

E!Ec 1 ! constante

Ec ! B

+

'as " :Ec ma. 'as """: Ep ma.'as "": intermdiaire @ t

les 0orces conser;ati;es : E!Ec 1 ! constanteDans le.emple dun pendule simple8+n peut distinguer 6 cas :

'as " 'as "" 'as """

= 0

ma.

E!cte

ma.

Ec

!B

Ec ma.

+

Ec!B

115

%emarque 5

F d 0 tt t di i ti


116/189

Force de 0rottement dissipati;e :

Dans ce cas il n9 pas de conser;ation de lnergie mcanique totale

'ar il 9 a perte de c2aleur au cours du mou;ement dJ @ ce 0rottement

+n peut crire pour ces 0orces non conser;ati;es : dEc!d> 1 d> (7)

+< d> est la perte de c2aleur au cours du mou;ementEt pour les 0orces conser;ati;es : d ! # d>

Et puisque dE!dEc 1d Et daprs (7)8 on a : dE!(d>1d>) d>

dE! d> di00rent de B Donc E nest pas constante

E.emple 0orce de 0rottement:%

%n

%td>IB implique dEIB

E dcroit8 cette diminution correspond @ une perte de c2aleurau cours du mou;ement 4

116

'+apitre < # OS'ILLA0E7RS BARMO)IF7ES-la loi de "orce en Z Q x/


117/189

Lobjet de ce c+apitre est ltude des petits mouvements dun point matrielau voisina$e dune position dquilibre stable % laide dun mod!le #

oscillateur +armonique.

I Z OS'ILLA0E7R BARMO)IF7E )O) AMOR0I -libre/

3 ,"inition #Par d"inition nous appellerons oscillateur +armonique % une dimension un

point matriel mobile sur un axe dont le mouvement est dcrit par unequation di""rentielle de la "orme #

toutes "onctions de la "orme # x > Acos?t=@sin?t

-/

Ou x > 'cos -?t=/est solution de -/ avec( A( @ et 'sont des constantes et test le temps

? 0e

T

=

5

5

B5

d .1K . !B

dt

Remarque # est la priode du mouvement et 'est lamplitude.II

?T

=

117

3; EJEMPLE # Oscillateur vertical

7ne particule M de masse m "ixe % lextrmit dun ressort( lon$ueur l?


118/189

La "i$ure ci3dessous reprsente trois positions dun ressort de raideur Q(suspendu % un point "ixe #

M en mouvementM en quilibre

7ne particule M de masse m "ixe % l extrmit d un ressort( lon$ueur l?

l?

[

P = 0 > ?

P m$ :>

P 0= > $

0 >3 : - le Z lo/ :

le

0 >3: -le3l?/=[ :

P m$ :>

[

m$ 3 : - le Z lo/>?

m$ 3: -le3l?/=[ > m [..

>?

K H D I

mCC

P

0M P

0

m$ 3: -le3l?/ 3:[ > m [..

Etude de lquilibre # Etude d*namique #

On pose l > le3l? ;-/

Ressort % vide

118

3 Rsolution de lquation -;/ # K H D Im

CC

K

-;/


119/189

I I$o% : () D o$(] H h) Avec # ?I

K] D

mEst une solution de lquation -;/

Les constantes [oet sont calcules par les conditions initiales.,apr!s lquation -;/ le mouvement est priodique de priode

Soit #

I

I

?iT D

]

I

mT D ?i

K

119

3 ,E0ERMI)A0IO) ,ES E)ER6IES

i i i ( )uuuuuur 24

m) M


120/189

a3 Ener$ie cintique # Ec

Soit #

b3 Ener$ie potentielle# Ep On a #

'e qui implique #

,e m&me pour la "orce 0 #

( )c ; m) M2

On a #

?

>E m?= C -/

! ! !E E (*j 4 P) E (*j 4 T)= +

Pour le poids P #

! !E @ PD 3m$[ = constanteSoit #

'e qui implique #! !E @ TDK 2 K o$ 0 e

?= + +Soit #

120

Lner$ie potentielle Ep-M/de M est # Ep-M/ > Ep-d\ % P/ = Ep-d\ % 0 /


121/189

et en tenant compte de lquation dquilibre -/ on obtient # ?!>

E K e?

= +

et si on suppose que Ep > ? % lquilibre -[>o/ Ep scrit #?

!

>E K?=

c3 Ener$ie mcanique totale # E

On a # E > Ep = Ec Soit # ? ?> >

E m K ? ?

= +C

-/

-D/

-X/

Montrer que E > cte t

Puisque # [>[? cos-1?t = j/I I ID< )o$( + C

En reportant ces deux expression dans lquation -X/( on obtient #? ?

>

E m ?= donc E est une constanteRemarques #3on peut vri"ier de m&me que dapr!s lquation -X/ #

*EI E o 0 e

*= =

121

;3 rciproquement si un mouvement est reprsent par une quation de t*pe #

K


122/189

multipliant cette quation par ;-d[Kdt/ et en int$rant on obtient #

E > constanteProprit #

Lner$ie mcanique totale E est constante pour tout s*st!me p+*sique dont

lvolution obit % une quation de t*pe #

K

mCC

? ? ?

I o$ 0 e+ =C

? ? ?

I o

m m

? ? $ 0 e+ =C?

I

K

] m

? ?> > K o$ 0 e? ?

+ =C

Et multiplier par mK; #

Et puisque # On obtient #

?X X =CC+

122

Le P.8., nous donne #@ RP T m (M)F+ + =

P m, K


123/189

On a #

et en tenant compte de lquation dquilibre -/( on obtient #

avec #

priode de loscillateur en absence damortissement.

P m, K =

T K( 2 ) K = +?

?

* K K

* = =r r rCC*F K K

*= = r r rC Et

?

I ? I+ + =CC C?

m

= param!tre qui caractrise le p+nom!ne dissipati"

?

K

m

= pulsation de loscillateur en absence damortissement

I

I

?T

=

7)

8)

123


124/189

3 0emps de relaxation de loscillateur

On appelle temps de relaxation le temps que met le s*st!me pour atteindresai i d ilib bl


125/189

donc / est un temps

Posons

est le temps que met le s*st!me pour atteindre sa position dquilibre stable

'e temps est appel le temps de relaxation de loscillateur #

position dquilibre stable.

>

? =

,apr!s lquation -^/( lunit deest Ks

[

t

125

;3; Rsolution de lquation de lO.Amorti

,apr!s lquation -/( le t*pe de lquation dun oscillateur amorti est la "orme #


126/189

-?/ Avec #

A noter que x-t/ est llon$ation ou dplacement % linstant t de lO.B.

On propose une solution de la "orme #

En reportant cette expression dans lquation -?/( on obtient #

-;/

?

I8 8? I8

+ + =

;; ; ?m

=

?

IKm

=

-8() e= 0e - X

I? ?? I- -+ + =

La solution de cette quation -;/( dpend du si$ne de? ?

I =

er cas # ;!me cas # !me cas #

-/

I > = I

=

Amortissement "aible-r$ime pseudo3priode/

Lorsque lamortissement est critique- > o/(on

ne peut plus parler dun oscillateur puisque les*st!me retourne % sa position dquilibre sanse""ectuer doscillation autour de cette position.

- V o/(

Amortissement "ort-r$ime "ort/

-> o/

t

t

J

t

J

127

;3;3 AMOR0ISSEME)0 8AI@LE -r$ime pseudo3priode/ -,Uo/

? ?


128/189

Lamortissement "aible est caractris par l U 1?( dans ce cas

Lquation -;/ admet donc ; solutions complexes( soient #

? ?

I I = - % = + =

?- % = =

? ?

I% + = >% + ? ?

I% = >% Avec #

? ?

> = La solution $nrale de lquation -?/ est donc une combinaison linaire de

> ?- - ee e donc #> ?- -8 A B() e e= +

OW A et @ sont des constantes.

( )> >% % 8( A B) e e e = +En reportant lexpression de r et r; dans x-t/#

128

En utilisant la "ormule de Moivre#

On peut crire x-t/sous la "orme suivante #

%e o$ % $% 1 = +


129/189

On sait que x-t/est une lon$ation( donc cette solution x-t/est une valeur relle

en c+oisissant les coe""icients arbitraires Aet @tels que #

-A = @/soit rel et -A3@/ima$inaire pur. ,ans ce cas #

oW lamplitude initiale -t>o/ > aoet la p+ase sont deux constantes(

% dterminer par les conditions initiales.

pulsation de loscillateur Amorti donne par

( ) ( )>

>8( ) e A B o$ A B $% % = + +

[ ]> >8 ( ) e o$ $%C D = + ou ( ) >8( ) e o$ 0 = +

? ? ?> =

>>

?T

=

Et la priode de loscillateur amorti 0est donnepar #

3 Reprsentation $rap+ique de x-t/ # ( )I >8( ) e o$ 0 = +

129

3 Reprsentation $rap+ique de x-t/ # ( ) >I8() e $0 o = + 'ette solution x-t/reprsente un oscillateur amorti de priode0telle que

? 0


130/189

Et damplitudedcroissante exponentiellement en "onction de

I0 e

3 'onditions initiales # 3 'onditions initiales #

>

>

?T

=

? ? ?

> I = ?

E;

?

00 >

_E 3

`

Et puisque# ,onc#

IA DI : 8(I) D I e V 8(I) I= C A : 8() 0 e V 8() = = =C

3_t?a e

? ??

I> I

?I I

I

T >T > T >

?>

= = +

On a #

?

J-t/

t

?

J-t/

t

130

3 E)ER6IE M9'A)IF7E 0O0ALE #

Lner$ie cintique de la particule #?

>E m

?= C


131/189

et son ner$ie potentielleest donne par #

donc lner$ie totaleest #

3 Multiplions scalairement( lquation di""rentielle du mouvement(

('e qui nous donne #

Soit#

donc on en dduit que #

3 Ladrive de E par rapport au temps est n$ative -#o/(

lner$ie ne reste pas constante( Edcro]t depuis une valeur initiale Eo;3 Si lon crit #

On "ait appara]tre la puissance P de la "orce de "rottement responsable

de la dcroissance de lner$ie E.

?

!

>E K

?=

? ?> >E m K? ?

= +C

m ; I 1*

!0- *

+ + =CC C ( ) ( )* * * *

m ;

+ = CC C

( )?

? ?> >m ;* * * *? ?

+ =

C ( ) ( )?

* *E* *

=

*E.V .V P'%$$0e *V e /-oemeF

*= = =

r rr r

ou

131

;3;3; AMOR0ISSEME)0 'RI0IF7E -R$ime aperiodique/->o/

Lamortissement critique est d"ini par dans ce cas on a = ? ?IF I = =


132/189

Lquation caractristique -;/ admet une racine double r > 3l(

soit #

Mais la relation -?/ est une quation di""rentielle de second ordre(la solution $nrale est donc une combinaison linaire de deux "onctionsindpendantes #

'+erc+ons une deuxi!me solution de lquation -?/ de la "orme #

En reportant les expressions de

dans lquation -?/( on trouve r > 3l soit

I

I< ]A8() D e

e= +C ( )? -8() - ?- e= +CCet

I


133/189

x-t/ est toujours positi"( sans e""ectu aucune oscillation.

Et quand ,e m&me

,onc x-t/admet un maximum pour t > tm.

3 'onditions initiales #

I o 0 : 8(I) A

o 0 : 8( ) I

=

Im

I

B A*8 I !o'- * B = =

3 'onditions initiales #

t

x-t/

I4 DI 8(I)D0 e 8(I)DIC 4 D 8()D e 8()DV C

mC.I AD0 BD0 =

8()D0 (> )e$o% : +

m

> >C.I AD BDV = =

8()DV $ : eo%

tmtm>?t

x-t/

?

133

;.;.3AMOR0ISSEME)0 8OR0-r$ime apriodique/

'est le cas oW #I > 'e qui implique #

? ?

I I = >


134/189

Lquation -?/ admet donc deux solutions relles #

>- = + =

?- = =

? ?I + = > +

? ?

I = > ? ?

> I = Avec # La solution de lquation -;/ scrit donc #

( )> >]


135/189

? I >

I I =

> I

<

[-t/

t

135

III OSCILLATEUR AMORTI ENTRETENU

L+3 % *+ %22 % *3 ^


136/189

o 2'% 0!!2%&'e 'e /o-e e8%0-%e e83-%e'-e &'% 2'% 0!!o-e 0'0*+3e-,%e &'+e *%$$%!e 2e$ /-oeme$.

L+3e-,%e *+' o$%220e'- 0mo-% *3-o^1

ee 3e-,%e $e *%$$%!e $o'$ 2+0%o *e$ /o-e$ *e /-oeme

e 2e mo'eme $+0mo-% 0!-5$ &'e2&'e$ em!$.

Po'- e-ee%- ' !"3om5e !"#$%&'e 0mo-%1

J EQUATION DE L+OSCILLATEUR AMORTI ENTRETENU (OAE)

P-eo$ 2+e8em!2e !-33*e *e 2+o$%220e'- e-%02 $o'm%$ e !2'$ 4 'e /o-e

e83-%e'-e F()12+3&'0%o *' mo'eme1 $+3-% :

(III)?8 8 8? F()+ + =

;; ;

'ar #136

Le P.F.D o'$ *oe :

E 0e :

e @RP m (MF )FT+ + + =

P m, K=


137/189

E 0e :

e e e0 om!e *e 2+3&'0%o *+3&'%2%7-e (>)1 o o7%e :

o :

!3-%o*e *e 2+o$%220e'- e 07$ee *+0mo-%$$eme.

P m, K =

T K( 2 8) K = +

?

?

* 8K 8K

* = =r r r

CC

*8F K 8 K *

= = r r rC

Et

?

I8 ? 8 8 F()+ + =CC C?

m

= !0-0m5-e &'% 0-03-%$e 2e !"3om5e *%$$%!0%/

?

K

m = !'2$0%o *e 2+o$%220e'- e 07$ee *+0mo-%$$eme

I

I

?T

=

e8 > 8-t/ :

-III/

137

J


138/189

>< L0 $o2'%o ,33-02e *e 2+3&'0%o $0$ $eo* mem7-e1 $o% 8>() $o2'%o*34 02'23e *0$ 2+3'*e *e 2+o$%220e'- 0mo-%e (o%- II).

?< L0 $o2'%o !0-%'2%5-e0e $eo* mem7-e1 $o%8?()&'e o'$ 022o$ 02'2e-%()o*o8()8?() Ce% *3/%% 2e -3,%me !e-m0e.

R$ime transitoireR$ime permanent

J-t/

t?

x-t/ x;-t/

138


139/189

Ae Fo 2e mo*'2e *e F() e $0 !'2$0%o>

T =

D0$ e 0$ 8?() $+3-% :

8?() A o$ B $% o' 7%e 8?() 0 o$ ( ) o 0 e *e'8 o$0e$

&'e o'$ 022o$ *3e-m%e- e '%2%$0 20 NOTION COMPLEXE :


140/189

R0!!e2 : So%e > e ? '

> > > > > >

? ? ? ? ? ?

> ? > ?

0 %7 0 %7 0 %7 0 %7

e $% 8 8 D 8

= + = = + =

= Y

On a #

,onc # ( )> ( ) ( ) ( )? ? % F? e% 0 ?

m

= M'2%!2%0 mem7-e 4 mem7-e 2e$ 3&'0%o$ (>) e (?) :

( ) ( )?

??? ?? I

I F?m

0 + = Soit #

( ) ( )I

? ?? ?

I

F0D

m ? + 140


141/189

( ) ( )

I

? ?? ?

I

F0D

m ? + On a # Soit # ( ) ( )

? ? ?? ?

F0 ?

m = +

On calcul la drive de a par rapport % 1 #

( )

( ) ( )

? ? ?

II

J? ? ?

? ?I

??F*0

* m

?

=

+

'ette drive sannule pour #

*0 I* =

? ? ?

I

o

I (0)

? (7)

'

=

=

? ?

7 ?( ) >I g?

-Amortissement "aible/

a

?

positive n$ative*0

*

1? +

F

m

-0( )

? ?

? ?

- I ? =

141

?

*

+? ?- I ? =

-0( )

a


142/189

a

?

positive n$ative*0

*

?

Fm

-0( )

? ?

L+0m!2%'*e 0()!-3$ee ' m08%m'm !o'-

>

? ?? ?

- I I ?

I

? ? >

=

I<

( )( ) ( )

I

? ?? ?

I

F0 D

m ?

+

On a #

?

F

m

-( )

-

I

?

'ans !e cas o !amortissement est asse imortant


143/189

?

'onc *0

*sannu!e que our o?et uisque a o quand donc :

a

B

I

? >

I

?

I

F

m

143

Remarque # Rsonance

Po'- -1 o *% &'+%2 # 0 -3$o0e e-e 2+o$%220e'- e 20 /o-e e8%0-%e


144/189

C02'2 *e 0 !o'- - :

e $% 2e /-oeme +e$ !0$ -o! %m!o-0 (/0%72e) 2+0m!2%'*e !0$$e !0- 'm08%m'm !o'-

2e !"3om5e *e -3$o0$$e ommee 4 0!!0-0^-e

( ) ( ) ( )

- ? ?? ?

- -

F0 D

m ? +

? ? ?

- ? =

? ? ?

I ? =

o

( ) ( ) ( ) ( )

I I

>@ ? >@ ?? ??? ? ? ? ?

I - - -

F F

m ? m ? ? )

= = + +

>@ ? >@ ? >@ ? >@ ? >@ ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

- -

?

F F F F F> > > > >

m m? m? m? m??(? )>

= = = = = + + +

( )

>@ ??

I- ?

I I

F0 >

m?

=

Do :

O 0 :

144


145/189


146/189


147/189

# %emarque :ltude des p2nomnes lectrique a montr le.istence dune autre 0orce :

la 0orce coulomienne qui se.erce entre deu. c2arges q et q


148/189

148

q g q q

?

K&& F

-

= a ? ?; Z.aa >I Nm @ o'2=o

"" Equations des traHectoires pour des mou;ements de 0orcescentrales en

?>@ -Soit une particule Mde masse msoumise a une 0orce centralepassant parun point 0i.e + :

-er

er

.

9

+

F

Mo< ? -e

A

(?)- F =

rr

Et A une constante

%(+.9) repre 0i.e

5#7 ,oi des aires

Daprs le thorme du moment cintique : *

M F (J)*

=

r


149/189

149

R*

et puisque IM F OM F= Et OM @@ F Donc : IM F OM F I= =

Implique I

R

*I

*

=

rDonc : I o 0 e = OM mV(M) =

Par suit, la trajectoire de M est plane dans un plan passant par o etperpendiculaire k

t le mou!ement se""ectue de telle sorte que : - --e m(-e - e ) o$ 0 e = + =r CC

Soit :?

; o$ 0 em - =C ? I*

m- e* = = ? *

$o% : - C* m

= =

cest##dire a!ec une !itesse arolaire constante $%me loi de &P'()*

*Proprits et consuences des mouvements ! forces centrales :

Pour ces mouvement" on a :

* uuuur rr e = r#onc


150/189

150

o

R

*OM F I

*

= =

uuuur rr

O OM mV(M) e = =r

fe $o o'o'-$ $%'3$ *0$ 2eOM memeV(M) !20 e e//e :

O e = #onc :

$n peut crire :

Ce ui impliue :

%e mouvement de & est

donc situ dans le plan P :&ouvement Plan

'eprons & par ses coordonnes polaires ( r" ) :

- -eo 0 : OM -e V(M) - e - e= = + C C

Et daprs le &C :

?O Im- ; = Coit :

#onc :?

O

?

Im- ; e - e = = = CCoR

*OM F I

*

= =

uuuur rr

' F&(m)

$

r

-ee

I;e

?O

?m- ; e () - e = = = CC *-.- e

*

=$n a :

Application et consquence (la loi des Aires)

Soit :


151/189

151

-.*

*

$

*

?

0

* =

, linstant t la particule occupe la position &(t)

F &(t)'

$

r

M(t+dt)

d

dS

d3

Et le vecteur $& -ala. la surface d

*Se

*

*o : =

%aire -ala. (par le vecteur $& )par unit de temps est constante :cest la loi des ,ires

Et a linstant t+dt la particule occupe la position &(t+dt)

Et daprs ce triangle :-.

*$?

*0=

*0 -.*= *0 *-.* *

=

*S? e

* =

-.

*$* ?

*-

*

=

*e !'%$&'e : -.- e

*

=

"nterprtation de ce rsultat :

# +emple : Mou!ement de la terre**S

e O0: =


152/189

152

BS

'e raon !ecteur -./alae des aires 0ales Pendant des temps 0au+*

*(M)

Donc la !itesse de la .erre prs de P et 1 sa !itesse prs de 2*

*

PA

(;oir e.ercice en *D)

,oi de EP,E%3est !ers 4546que &P'( non7a les troislois empiriquessui!antes qui constituent

d t d l d d t


153/189

153

sans doute une des plus 0randes dcou!ertese+primentales dans lhistoire de lhumanit :

'es deu+ premires lois de &epler "urentpu/lies en 4589et la troisime en 4546*

Peu aprs, Isaac e;tondcou!rit en 456


154/189

154

5# ,+" des A"%ES'e mou!ement de chaque plante est tel que le se0ment de droite reliant le soleil

et la plante /alaie des aires 0ales pendant des dures 0ales

6# ,+" des PN%"+DESPour toutes les plantes, le rapport entre le cu/e du demi 0rand a+e de latrajectoire et le carr de la priode est le mBme* ?

J

To$ 0 e

0=

*Se

*=

EOEMP,E :


155/189

155


156/189

156

5#5 Etude nergtique : 'onser;ation de lnergie mcanique

Cn a : c E p a!ec cner0ie cintique et


157/189

157

p 0 qpner0ie potentielle

5#5#7 Energie cintique : Ec'ner0ie cintique dune particule M de masse m, anime dune!itesse F$M) est telle que :

?

>E m V(M)

?=

uuuuuurt daprs les donnes :

-V(M) -e - e= + r rCC

-er

er

oE m - - (_)

? = +

CCDonc :

V(M)-OM -e=

r

.

9

+

F

M&n a :

5#5#5 Energie potentielle : Ep

'ner0ie potentielle p dune particule M soumise la "orce G est donne par :!E A


158/189

158

!F ,-0*E

=

-?e

A

-F=

r r

o< A est une constante

+n a :

!

?

!

!

A

- -

E

E

=

= =

! E (-)

!

A E $

- = + t si p$r ) o, p scrit !

AE

-=

5#5#6 Energie mcanique (*otale) : E

Cn a : c E p implique ( )??> A

m (`E - - )? -

= + CC

# D!eloppement de le+pression de a!ec un chan0ement de !aria/le:

Daprs la relation $>)?

*m- o$ 0 e* = = et scrit :

?

?

L

?

I A (> *-

E --

Z*

)?m -

= +

!

?

*E AD

*- -

Posons> >

' -= =

'2angement de ;ariale

ce qui nous donne?

*- > *'

* *=


159/189

159

on o/tient :

- ' ?* ' *

et en le reportant dans de+pression $eq*6),?

?

I I

? ?mA*' ' '?mE

(a*

)+ =

-i on dri!e leq*$9) par rapport

? > ?

? ?

I

*' * ' *' *'

?' I* * * *

?mA

?

+ =

*- *@

*

*- *- * *'

* ** * *=

=Et puisque:

?

?

?

I

mA * ' ' (>I)*

+ =

on o/tient :

st lquation di""rentielle du trajectoire de M*


160/189

?

I

A

$ature de cette traHectoire de M


161/189

161

( )I I?

I

-

> o$

mA (>?)

AmA

=

+ + +n a :

Par identi0ication @ le.pression dune conique donne par :

-> o

! $

e

=+

?

I

?

II

!D (>J)mA

e A (>L)mA

=

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